Stefan Schmitz schrieb am Sonntag, 19. Dezember 2021 um 15:40:59 UTC+1:
> Am 19.12.2021 um 15:00 schrieb Ganzhinterseher:
> >>> Wäre ℕ die Vereinigung aller endlichen Anfangsabschnitte, dann müsste es unendlich (ℵ₀) mehr Elemente enthalten als jeder endliche Anfangsabschnitt.
> >> Hat es ja auch.
> >
> > Richtig. Aber keine dieser natürlichen Zahlen, die auf alle endlichen Anfangsabschnitte folgen, ist definierbar.
> Solche gibt es ja auch nicht.
Du sagst oben, dass ℕ mehr enthält als alle endlichen Anfangsabschnitte. Also gibt es mehr. Definierbar durch endliche Anfangsabschnitte ist aber nur, was in ihnen enthalten ist, nicht das "mehr".
>
> Oben redest du davon, dass nach jedem endlichen Anfangsabschnitt
> unendlich viele Zahlen folgen. Die beginnen mit n+1.
Alle definierbaren Zahlen gehören selbst zu endlichen Anfangsabschnitten. Aber was darüber hinaus existiert, gehört eben nicht dazu. Und was dazu gehört ist weniger als ℕ, weil eben für alle gilt
|ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .
> Jetzt aber fragst du nach Zahlen, die jedem Anfangsabschnitt folgen,
> also größer als jede natürliche Zahl sind. Das ist etwas völlig anderes.
Größer als jede *individuell definierbare* Zahl. Die darauf folgenden Zahlen sind nicht individuell definier bar. Sie können nur kollektiv behandelt werden, zum Beispiel indem man ganz ℕ verwendet.
> > Weil sie dunkel sind, das heißt nicht individuell definierbar.
> Was für dich im Dunkeln liegt, spielt keine Rolle.
Dan versuche doch, eine dieser Zahlen individuell zu bezeichnen.
> >> Bitte beweisen.
> >
> > Jede definierbare natürliche Zahl wird durch einen endlichen Anfangsabschnitt definiert, gehört also nicht zu den ℵ₀ auf jeden endlichen Anfangsabschnitt folgenden natürlichen Zahlen.
Verstanden?
> > Mein liebstes Beweismittel ist die Unfähigkeit der Matheologen, ihre Behauptungen zu verifizieren (worunter ich nicht ihre albernen "Beweise" verstehe, sondern tatsächliche Verifikationen).
> Du redest über Mathematik und lehnst das elementarste Handwerkszeug ab?
Wenn das Handwerkszeug aus inkonsistenten Axiomen besteht, ja.
Wenn klar ist, dass nur abzählbare viele reelle Zahlen bezeichnet werden können, aber ein Axiom ihre Wohlordnung erlaubt, dann haben wir es nicht mehr mit Mathematik zu tun. Es ist klar, dass keine Wohlordnung der reellen Zahlen angegeben werden kann, trotzdem wird "bewiesen", dass eine existiert.
> > Definiere eine natürliche Zahl als Individuum, das nicht zu einem endlichen Anfangsabschnitt gehört. Du wirst versagen, aber vermutlich weiterhin behaupten, alle natürlichen Zahlen seien individuell definierbar.
> Natürlich, weil jede natürliche Zahl zu einem endlichen Abschnitt gehört.
Wenn ℵo natürliche Zahlen existieren, dann sind das mehr als in allen endlichen Anfangsabschnitten enthalten sind, weil für alle n < ℵo gilt. Es fehlen also viele. Keine dieser fehlenden kann individuell bezeichnet werden, weil jede individuell bezeichnete ℵo Nachfolger hat
∀n ∈ ℕ: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .
Man kann die Nachfolger also nicht durch Wegnahme individuell bezeichneter natürlicher Zahlen entfernen. Man kann sie aber kollektiv entfernen. Also gibt es sie, aber eben nicht individuell.
Gruß, WM