Heizungsregelung mit Differentialgleichungen
Harald Schaefer
ich beschaeftige mich zur Zeit mit der mathematischen Simulation einer
Heizungsregelung, stoße dabei jedoch auf Probleme bzw. an die Grenzen
meiner Faehigkeiten, weshalb ich das Problem hier zur Diskussion
stelle.
Problem: Die Temperatur (T(t)) eines Wohnraums wird mit Hilfe eines
Thermostatventils geregelt, welches nach Erreichen der eingestellten
Soll-Temperatur die Wärmezufuhr zum Heizkörper stopt. Dies geschieht
natürlich mit einer zeitlichen Verzoegerung, die durch die Traegheit
des Systems (Thermostatventil, Heizkoerper aus Gußeisen) bedingt ist.
Durch Waermeverlust nach außen sinkt die Raumtemperatur, bis nach
Unterschreitung des Sollwertes das Thermostatventil wieder oeffnet,
und durch Waermezufuhr zum Heizkoerper die Raumtemperatur wieder mit
zeitlicher Verzoegerung steigt. Durch die Traegheit des Regelsystems
schwankt somit die Raumtemperatur um den Sollwert.
Um dieses Verhalten zu modellieren, habe ich folgende
Differentialgleichung (dgl) aufgestellt
dT/dt=k*(Th-T(t))+p*(Ta-T(t)) mit k,p>0 ;Th:=HeizkoerperT; Ta:=AussenT
Die dgl beruecksichtigt in einfacher Form die Waermezufuhr durch den
Heizkoerper und den Waermeverlust nach Aussen, wobei beides
proportional zur jeweiligen Temperaturdifferenz ist. k und p stellen
eine Art Waermeuebergangskoeffizient dar.
Die Loesung der dgl zeigt für t gegen unendlich, dass sich die
Raumtemperatur T(t) bei einem Grenzwert stabilisiert
G=(p*Ta+k*Th)/(p+k).
Die dgl ist jedoch nicht in der Lage das Regelverhalten des Systems zu
simulieren, welches sich ja in der periodischen Schwankung der
Raumtemperatur zeigt. Auch die Einführung einer linearen Funktion für
Th, etwa in der Art Th=m*t+b führt nicht zum Ziel. Mann sieht jetzt
nur, wie die Raumtemperatur der Heizkoerpertemperatur nachlaeuft.
Frage: Ist eine dgl üeberhaupt geeignet, das Problem abzubilden?
Welche Alternativen zur Simulation gibt es? Ich bin fuer jeden Tip
dankbar, muss jedoch erwaehnen, dass ich kein Mathestudent bin und
auch kein Studium absolviert habe. Ich bin einfach an solchen
Problemen und ihrer mathematischen Behandlung interessiert und habe
mich erst vor wenigen Wochen in das schwierige Gebiet der dgl
vorgetastet. Bitte beruecksichtigt das bei der Formulierung eurer
Antworten.
Viele Gruesse
Harald
Bringst Du die Loesung, oder bist Du selbst das Problem!
H.Sch...@T-Online.de
Hans Steffani
>Um dieses Verhalten zu modellieren, habe ich folgende
>Differentialgleichung (dgl) aufgestellt
>dT/dt=k*(Th-T(t))+p*(Ta-T(t)) mit k,p>0 ;Th:=HeizkoerperT; Ta:=AussenT
>Die dgl beruecksichtigt in einfacher Form die Waermezufuhr durch den
>Heizkoerper und den Waermeverlust nach Aussen, wobei beides
>proportional zur jeweiligen Temperaturdifferenz ist. k und p stellen
>eine Art Waermeuebergangskoeffizient dar.
>Frage: Ist eine dgl üeberhaupt geeignet, das Problem abzubilden?
Jein. Du brauchst noch eine zweite DGL bzw. DGLsystem zur Modellierung
von Th. Schliesslich hast Du ja selber gesagt, dass es Traegheiten
im Ventil gibt, ausserdem sind Transportvorgaenge zu beruecksichtigen.
h.f.s.
--
Hans Friedrich Steffani
Institut fuer Elektrische Maschinen und Antriebe
TU Chemnitz-Zwickau
e-mail: hans.s...@e-technik.tu-chemnitz.de
Stefan Wesner
Harald Schaefer wrote:
>
> Hallo Mathefans,
>
> ich beschaeftige mich zur Zeit mit der mathematischen Simulation einer
> Heizungsregelung, stoße dabei jedoch auf Probleme bzw. an die Grenzen
> meiner Faehigkeiten, weshalb ich das Problem hier zur Diskussion
> stelle.
> Problem: Die Temperatur (T(t)) eines Wohnraums wird mit Hilfe eines
> Thermostatventils geregelt, welches nach Erreichen der eingestellten
> Soll-Temperatur die Wärmezufuhr zum Heizkörper stopt. Dies geschieht
> natürlich mit einer zeitlichen Verzoegerung, die durch die Traegheit
> des Systems (Thermostatventil, Heizkoerper aus Gußeisen) bedingt ist.
> Durch Waermeverlust nach außen sinkt die Raumtemperatur, bis nach
> Unterschreitung des Sollwertes das Thermostatventil wieder oeffnet,
> und durch Waermezufuhr zum Heizkoerper die Raumtemperatur wieder mit
> zeitlicher Verzoegerung steigt. Durch die Traegheit des Regelsystems
> schwankt somit die Raumtemperatur um den Sollwert.
> Differentialgleichung (dgl) aufgestellt
>
> dT/dt=k*(Th-T(t))+p*(Ta-T(t)) mit k,p>0 ;Th:=HeizkoerperT; Ta:=AussenT
>
> Die dgl beruecksichtigt in einfacher Form die Waermezufuhr durch den
> Heizkoerper und den Waermeverlust nach Aussen, wobei beides
> proportional zur jeweiligen Temperaturdifferenz ist. k und p stellen
> eine Art Waermeuebergangskoeffizient dar.
>
> Raumtemperatur T(t) bei einem Grenzwert stabilisiert
> G=(p*Ta+k*Th)/(p+k).
> Die dgl ist jedoch nicht in der Lage das Regelverhalten des Systems zu
> simulieren, welches sich ja in der periodischen Schwankung der
> Raumtemperatur zeigt. Auch die Einführung einer linearen Funktion für
> Th, etwa in der Art Th=m*t+b führt nicht zum Ziel. Mann sieht jetzt
> nur, wie die Raumtemperatur der Heizkoerpertemperatur nachlaeuft.
>
> dankbar, muss jedoch erwaehnen, dass ich kein Mathestudent bin und
> auch kein Studium absolviert habe. Ich bin einfach an solchen
> Problemen und ihrer mathematischen Behandlung interessiert und habe
> mich erst vor wenigen Wochen in das schwierige Gebiet der dgl
> vorgetastet. Bitte beruecksichtigt das bei der Formulierung eurer
> Antworten.
Der GRund warum kein Einschwingverhalten sichtbar werden kann liegt in deiner
Modellierung. Die aufgestellte DGL ist von der Ordnung 1. Um ein Schwingfähiges
System zu beschreiben, muss dies mindestens von der Ordnung 2 sein. Ausserdem
sind noch gewisse Nebenbedingungen zu erfüllen (z.B. Dämpfung nicht zu groß).
Ein Beispiel für eine homogene DGL 2.Ordnung
d2y/dt2 + dy/dt * v + y * d = 0
Falls Du diese Regelungssache ernsthaft betrieben willst empfehle ich aber vorab
mal das Studium eines Buches über Regelungstechnik, wie z.B Jaschek /Einführung
in die Regelungstechnik, Oldenbourg Verlag (ich glaub so ca. 40 Mark).
Dort werden neben so ähnlichen Beispielen auch effiziente Methoden (Stichwort Laplace)
zur Lösung von DGL angewendet (incl. einer kurzen Anleitung).
Der Fehler in der Modellierung liegt meiner Meinung nach in der Annahme eines linearen
Abgebens bzw. Aufnehmen der Wärme. Diese Art von Vorgang ist mit Sicherheit deutlich
komplizierter. So weit ich mich erinnere werden thermische Vorgänge als PTN Glieder
also Systeme n-ter (n groß) beschrieben. Das heißt, das das Temperatirglied (Heizung)
schon durch eine DGl n.ter Ordnung beschrieben werden muesste.
Gruß Stefan
--
__&__ Stefan Wesner mailto: stwe...@stud.uni-sb.de
/ \ Schulstr. 86
| | 66125 Saarbruecken
| (o)(o)
C .---_)
| |.___| http://www.ee.uni-sb.de/iaeste/STAFF/stefan/
| \__/
/_____\
Silvio Martin
In article <3180B0...@ids-scheer.de>,
Stefan Wesner <s.we...@ids-scheer.de> wrote:
>Harald Schaefer wrote:
>>
>> ich beschaeftige mich zur Zeit mit der mathematischen Simulation einer
>> Heizungsregelung, stoße dabei jedoch auf Probleme bzw. an die Grenzen
>> meiner Faehigkeiten, weshalb ich das Problem hier zur Diskussion
>> stelle.
>> Problem: Die Temperatur (T(t)) eines Wohnraums wird mit Hilfe eines
>> Thermostatventils geregelt, welches nach Erreichen der eingestellten
>> Soll-Temperatur die Wärmezufuhr zum Heizkörper stopt. Dies geschieht
>> natürlich mit einer zeitlichen Verzoegerung, die durch die Traegheit
>> des Systems (Thermostatventil, Heizkoerper aus Gußeisen) bedingt ist.
>> Durch Waermeverlust nach außen sinkt die Raumtemperatur, bis nach
>> Unterschreitung des Sollwertes das Thermostatventil wieder oeffnet,
>> und durch Waermezufuhr zum Heizkoerper die Raumtemperatur wieder mit
>> zeitlicher Verzoegerung steigt. Durch die Traegheit des Regelsystems
>> schwankt somit die Raumtemperatur um den Sollwert.
>> Um dieses Verhalten zu modellieren, habe ich folgende
>> Differentialgleichung (dgl) aufgestellt
>>
>> dT/dt=k*(Th-T(t))+p*(Ta-T(t)) mit k,p>0 ;Th:=HeizkoerperT; Ta:=AussenT
>>
>> Die dgl beruecksichtigt in einfacher Form die Waermezufuhr durch den
>> Heizkoerper und den Waermeverlust nach Aussen, wobei beides
>> proportional zur jeweiligen Temperaturdifferenz ist. k und p stellen
>> eine Art Waermeuebergangskoeffizient dar.
>> Frage: Ist eine dgl üeberhaupt geeignet, das Problem abzubilden?
>> Welche Alternativen zur Simulation gibt es? Ich bin fuer jeden Tip
>> dankbar, muss jedoch erwaehnen, dass ich kein Mathestudent bin und
>> auch kein Studium absolviert habe. Ich bin einfach an solchen
>> Problemen und ihrer mathematischen Behandlung interessiert und habe
>> mich erst vor wenigen Wochen in das schwierige Gebiet der dgl
>> vorgetastet. Bitte beruecksichtigt das bei der Formulierung eurer
>> Antworten.
>
>Der GRund warum kein Einschwingverhalten sichtbar werden kann liegt in deiner
>Modellierung. Die aufgestellte DGL ist von der Ordnung 1. Um ein Schwingfähiges
>System zu beschreiben, muss dies mindestens von der Ordnung 2 sein. Ausserdem
>sind noch gewisse Nebenbedingungen zu erfüllen (z.B. Dämpfung nicht zu groß).
>
gewoehnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung erhalten. Vielleicht gibt
es auch die Moeglichkeit, eine Differentialgleichung fuer die Temperatur des
Raumes und eine fuer die Temperatur des Heizkoerpers aufzustellen. Beide
Differentialgleichungen enthalten einen dann einen gekoppelten Term, der die
Temperaturaenderung des Raumes in Abhaengigkeit der Temperaturaenderung des
Heizkoerpers (bzw. andersherum) beruecksichtigt.
Es ist auch anschaulich klar, dass der Heizkoerper bei abgestellter
Waermezufuhr schneller abkuehlt, wenn das Zimmer kaelter ist.
Viel Spass beim Suchen.
Gruss,
Silvio
--
Silvio Martin <mar...@math.uni-duisburg.de> This message represents
FB Mathematik, Gerhard Mercator Universitaet neither my employer's
47048 Duisburg, Germany opinion nor my own.