rational root theorem - >DE
sttsc...@tesco.net
Marc Olschok
Kontext bitte. Vermutlich passt "Satz über rationale Nullstellen".
--
Marc
Brian M. Scott
<nob...@nowhere.invalid> wrote in
<news:hggfpf$9e6$3...@news.albasani.net> in de.sci.mathematik:
> sttsc...@tesco.net <sttsc...@tesco.net> wrote:
>> Wie heisst "rational root theorem" auf deutsch ?
> Kontext bitte. Vermutlich passt "Satz �ber rationale Nullstellen".
Auf Englisch heisst folgender Satz 'rational root theorem':
Rationale Nullstellen eines Polynoms P : R --> R vom
exakten Grad n mit ganzzahligen Koeffizienten, P(x) =
a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n, sind von der Form
w = p/q mit teilerfremden p, q in Z, wobei p ein Teiler
von a-0 und q ein Teiler von a_n ist.
Keine Ahnung, wie man ihn auf Deutsch nennt.
Brian
Marc Olschok
> On Fri, 18 Dec 2009 17:57:03 +0000 (UTC), Marc Olschok
> <nob...@nowhere.invalid> wrote in
> <news:hggfpf$9e6$3...@news.albasani.net> in de.sci.mathematik:
>
> > sttsc...@tesco.net <sttsc...@tesco.net> wrote:
>
> >> Wie heisst "rational root theorem" auf deutsch ?
>
>
> Auf Englisch heisst folgender Satz 'rational root theorem':
>
> Rationale Nullstellen eines Polynoms P : R --> R vom
> exakten Grad n mit ganzzahligen Koeffizienten, P(x) =
> a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n, sind von der Form
> w = p/q mit teilerfremden p, q in Z, wobei p ein Teiler
> von a-0 und q ein Teiler von a_n ist.
>
> Keine Ahnung, wie man ihn auf Deutsch nennt.
Vielleicht hält man die Beobachtung im Deutschen eines Satzes nicht würdig.
--
Marc
Helmut Richter
> Vielleicht h�lt man die Beobachtung im Deutschen eines Satzes nicht w�rdig.
Soo schrecklich trivial ist der nun auch nicht. Was man dazu braucht,
tr�gt den Namen "Gau�sches Lemma", der auch eine gewaltige W�rde ausstrahlt.
--
Helmut Richter
Marc Olschok
> On Sat, 19 Dec 2009, Marc Olschok wrote:
>
> > Brian M. Scott <b.s...@csuohio.edu> wrote:
>
> > > Rationale Nullstellen eines Polynoms P : R --> R vom
> > > exakten Grad n mit ganzzahligen Koeffizienten, P(x) =
> > > a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n, sind von der Form
> > > w = p/q mit teilerfremden p, q in Z, wobei p ein Teiler
> > > von a-0 und q ein Teiler von a_n ist.
> > >
> > > Keine Ahnung, wie man ihn auf Deutsch nennt.
> >
>
> Soo schrecklich trivial ist der nun auch nicht. Was man dazu braucht,
Für diesen Spezialfall braucht man das Gaußsche Lemma nicht,
dass geht auch so. Sogar Lang (3.ed) überlässt dies dem Leser
als Übung (Proposition 3.3 "Integral root test") und verbucht
es nicht als Korollar zum GL (Theorem 2.1).
--
Marc
Helmut Richter
> Helmut Richter <hh...@web.de> wrote:
> > Soo schrecklich trivial ist der nun auch nicht. Was man dazu braucht,
> > tr�gt den Namen "Gau�sches Lemma", der auch eine gewaltige W�rde ausstrahlt.
>
> F�r diesen Spezialfall braucht man das Gau�sche Lemma nicht,
> dass geht auch so. Sogar Lang (3.ed) �berl�sst dies dem Leser
> als �bung (Proposition 3.3 "Integral root test") und verbucht
> es nicht als Korollar zum GL (Theorem 2.1).
Der mir bekannte Beweis st�tzt sich darauf, dass das Polynom durch sx-r
teilbar ist, wenn r/s rationale Nullstelle ist. Dass die Polynomdivision
in Q[x] aufgeht, ist trivial, aber dass das auch in Z[x] geht, muss man
zeigen. Ist das so viel weniger als das Gau�sche Lemma im Spezialfall von
Z als Gau�schem Ring? Falls ja, m�sste ja Z Eigenschaften �ber die eines
Gau�schen Ringes hinaus haben, die man nutzen kann.
--
Helmut Richter
Thomas Plehn
"Helmut Richter" <hh...@web.de> schrieb im Newsbeitrag
news:Pine.LNX.4.64.09...@lxhri01.lrz.lrz-muenchen.de...
> Der mir bekannte Beweis st�tzt sich darauf, dass das Polynom durch sx-r
> teilbar ist, wenn r/s rationale Nullstelle ist. Dass die Polynomdivision
> in Q[x] aufgeht, ist trivial, aber dass das auch in Z[x] geht, muss man
> zeigen. Ist das so viel weniger als das Gau�sche Lemma im Spezialfall von
> Z als Gau�schem Ring? Falls ja, m�sste ja Z Eigenschaften �ber die eines
> Gau�schen Ringes hinaus haben, die man nutzen kann.
>
a_n*(p/q)^n + a_{n-1}*(p/q)^{n-1} + ... + a_0 = 0
a_n*p^n + a_{n-1}*q^1*p^{n-1} + a_{n-2}*q^2*p^{n-2} + ... + a_1*q^{n-1}*p^1
+ a_0*q^n = 0
man sieht also
p | a_0*q^n
q | a_n*p^n
nun sind p und q teilerfremd, damit
p | a_0
q | a_n
Marc Olschok
> On Sat, 19 Dec 2009, Marc Olschok wrote:
>
> > Helmut Richter <hh...@web.de> wrote:
>
> > > Soo schrecklich trivial ist der nun auch nicht. Was man dazu braucht,
> >
> > Für diesen Spezialfall braucht man das Gaußsche Lemma nicht,
> > dass geht auch so. Sogar Lang (3.ed) überlässt dies dem Leser
> > es nicht als Korollar zum GL (Theorem 2.1).
>
> teilbar ist, wenn r/s rationale Nullstelle ist. Dass die Polynomdivision
> in Q[x] aufgeht, ist trivial, aber dass das auch in Z[x] geht, muss man
> Z als Gaußschem Ring? Falls ja, müsste ja Z Eigenschaften über die eines
> Gaußschen Ringes hinaus haben, die man nutzen kann.
Den (elementaren) Beweis, den ich meinte, verwendet auch nur die
eindeutige Zerlegung in Primfaktoren:
ist f in Z[x] vom Grad n und a/b rationale Nullstelle von f,
so erhält man aus 0 = f(a/b) die Gleichung
0 = b^n * f(a/b) = f_n * a^n + ab*h(a,b) + f_0 * b^n
für ein geignetes Polynom h aus Z[x,y].
Weil man o.B.d.A ggt(a,b)=1 annehmen kann, folgt a|f_0 und b|f_n.
Ich meinte halt bloß, dass das Gaußsche Lemma mehr leistet, weil
es aus jeder Zerlegung f = gh in Q[x] eine Zerlegung in Z[x]
produziert --- und nicht bloß dann, wenn ein einer der beiden
Faktoren linear ist, also von einer Nullstelle herrührt.
--
Marc
Helmut Richter
> Den (elementaren) Beweis, den ich meinte, verwendet auch nur die
> eindeutige Zerlegung in Primfaktoren:
> ist f in Z[x] vom Grad n und a/b rationale Nullstelle von f,
> so erh�lt man aus 0 = f(a/b) die Gleichung
>
> 0 = b^n * f(a/b) = f_n * a^n + ab*h(a,b) + f_0 * b^n
>
> f�r ein geignetes Polynom h aus Z[x,y].
Vielen Dank f�r die Kommentare von dir und Thomas Plehn.
--
Helmut Richter