Stammfunktion existiert, aber nicht integrierbar
Jan Hoffer
gibt es eine Funktion die nicht integrierbar ist, zu der jedoch eine
Stammfunktion existiert?
Besten Dank
Jan
Achim Doebler
Ja, das gibt es. definiere f auf [0,1] durch f(x):= x sqrt(x) sin(1/x)
fuer x>0 und durch f(0):=0.
Dann ist f auf [0,1] differenzierbar, also besitzt f' auf [0,1] eine
Stammfunktion (naemlich f),
trotzdem ist f' nicht ueber [0,1] Riemann-integrierbar. Die
Ueberpruefung der Einzelheiten
lasse ich Dir als Uebungsaufgabe.
Achim
Uwe Bosse
> > gibt es eine Funktion die nicht integrierbar ist, zu der jedoch eine
> > Stammfunktion existiert?
> >
>
> Ja, das gibt es. definiere f auf [0,1] durch f(x):= x sqrt(x) sin(1/x)
> fuer x>0 und durch f(0):=0.
> Dann ist f auf [0,1] differenzierbar, also besitzt f' auf [0,1] eine
> Stammfunktion (naemlich f),
> trotzdem ist f' nicht ueber [0,1] Riemann-integrierbar. Die
> Ueberpruefung der Einzelheiten
> lasse ich Dir als Uebungsaufgabe.
>
Faszinierend!! Ich hätte geschworen, dass das dem Hauptsatz
widerspricht. Werde mir den also nochmal genauer ansehen müssen.
--
Merke: In der Analysis kann alles auch anders sein als man zuerst denkt!
Martin Gütlbauer
Achim Doebler <doe...@math.tu-berlin.de> schrieb in im Newsbeitrag:
3934AFA0...@math.tu-berlin.de...
> Jan Hoffer wrote:
>
> > Hallo,
> > gibt es eine Funktion die nicht integrierbar ist, zu der jedoch eine
> > Stammfunktion existiert?
> >
> > Jan
>
> Ja, das gibt es. definiere f auf [0,1] durch f(x):= x sqrt(x) sin(1/x)
> fuer x>0 und durch f(0):=0.
> Dann ist f auf [0,1] differenzierbar, also besitzt f' auf [0,1] eine
> Stammfunktion (naemlich f),
> trotzdem ist f' nicht ueber [0,1] Riemann-integrierbar. Die
> Ueberpruefung der Einzelheiten
> lasse ich Dir als Uebungsaufgabe.
>
>
Vermutung: Wenn man einen anderen Integralbegriff verwendet kann man diese
Fkt. schon integrieren (z.B. verallgemeinertes R.I.) - Oder?
Horst Kraemer
wrote:
> Hallo,
> gibt es eine Funktion die nicht integrierbar ist, zu der jedoch eine
> Stammfunktion existiert?
Das Standardbeispiel:
F(0) = 0
F(x) = x^2 * sin (1/x^2)
Die Ableitung ist
f(0) = lim = x^2 * sin(1/x^2) = 0
x->0
und sonst
f(x) = 2( x*sin(1/x^2) - cos(1/x^2)/x)
Also ist F in jedem Intervall eine Stammfunktion von f. f ist ueber
kein Intervall, das die 0 enthaelt (RIEMANN-)integrierbar, da f in
jedem Intervall, das die 0 enthaelt, unbeschränkt ist (wegen
cos(1/x^2)/x). In jedem Intervall, das die 0 nicht enthaelt, ist f
natuerlich integrierbar, weil f dort sogar stetig ist. Man kann noch
wesentlich haesslichere nicht-integrierbare Funktionen mit
Stammfunktion konstruieren.
MfG
Horst
Horst Kraemer
wrote:
> Achim Doebler wrote:
>
> > > gibt es eine Funktion die nicht integrierbar ist, zu der jedoch eine
> > > Stammfunktion existiert?
> > >
> > =
>
> > Ja, das gibt es. definiere f auf [0,1] durch f(x):=3D x sqrt(x) sin(1/x=
> )
> > fuer x>0 und durch f(0):=3D0.
> > Dann ist f auf [0,1] differenzierbar, also besitzt f' auf [0,1] eine
> > Stammfunktion (naemlich f),
> > trotzdem ist f' nicht ueber [0,1] Riemann-integrierbar. Die
> > Ueberpruefung der Einzelheiten
> > lasse ich Dir als Uebungsaufgabe.
> > =
>
>
> Faszinierend!! Ich h=E4tte geschworen, dass das dem Hauptsatz
> widerspricht. Werde mir den also nochmal genauer ansehen m=FCssen.
Ein wesentlicher Bestandteil des Hauptsatzes fuer das RIEMANN-Integral
b
Integral f(x) dx = F(b) - F(a)
a
ist, dass er voraussetzt, dass sowohl F eine Stammfunktion von f ist
als auch, dass f _integrierbar_ ist. Die zweite Voraussetzung wird
meist verdraengt. Leider folgt aus der Existenz einer Stammfunktion
_nicht_ automatisch die Integrierbarkeit, so dass sie tatsaechlich
wichtig ist. Der exakte Zusammenhang zwischen Integrierbarkeit und
Besitz einer Stammfunktion ist beim RIEMANN-Integral trotz seiner
einfachen Definition leider hoellisch kompliziert.
Dies hat einige Autoren (z.B. Dieudonné) dazu bewogen, auf den Begriff
des RIEMANN-Integrals als "Anfaeger-Integral" zu verzichten und vom
Begriff der erweiterten Stammfunktion auszugehen.
Man will von vornherein nur relativ "anstaendige" Funktionen
integrieren. Als "anstaendig" - alias "reguliert" - bezeichnet man
beschraenkte Funktionen f, die fuer jedes x einen links- und einen
rechtsseitigen Limes besitzen (diese muessen weder untereinander noch
mit f(x) uebereinstimmen). Mit anderen Worten, man betrachtet nur
solche Funktionen auf [a,b] als Integral-Kandidaten, deren
Unstetigkeitsstellen Sprungstellen sind.
Diese Funktionen besitzen nun die schoene Eigenschaft, dass es dazu
eine bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmte _stetige_
Funktion F gibt, die bis auf hoechstens abzaehlbar viele Ausnahmen
differenzierbar ist und fuer die bis auf hoechstens abzaehlbar viele
Ausnahmen gilt F'(x)=f(x). (Achtung: Daraus folgt nicht, dass
ueberall, wo F'(x) existiert, auch F'(x)=f(x) gilt. Es kann auch hier
hoechstens abzaehlbar viele Ausnahmen geben)
Jetzt definiert man per Dekret fuer eine solche "regulierte" Funktion
f:
b
Integral f(x) dx := F(b) - F(a)
a
und der "Hauptsatz" ist damit zur Definition geworden, weil man die
Klasse der integrierbaren Funktionen auf solche Funktionen
eingeschraenkt hat, die eine erweitere "Stammfunktin" im obigen Sinne
besitzen.
Wenn man moechte, kann man jetzt zeigen, dass diese Funktionen auch
RIEMANN-integrierbar sind und beide Integrale denselben Wert haben.
Man hat also nichts Wesentliches verloren. Die Idee dieser Defition
stammt von Cauchy. Daher nennt man diese Integraldefinition auch
manchmal "Cauchy-Integral" (nicht zu verwechseln mit dem Cauchyschen
Hauptwert eines uneigentlichen Integrals).
MfG
Horst