Über Dedekind-Schnitte

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Rainer Rosenthal

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May 3, 2022, 11:51:35 AMMay 3
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Dedekind schrieb:
"Jedesmal nun, wenn ein Schnitt (A1,A2) vorliegt, welcher nicht durch
eine rationale Zahl hervorgebracht wird, so erschaffen wir eine neue,
eine irrationale Zahl alpha."[1]

Es erscheint einleuchtend, dass beim Vorliegen des Schnittes die Zahl
alpha noch nicht existierte. Andernfalls könnte sie ja nicht erst
erschaffen werden.

Erstaunlicherweise gibt es Leute, die das obige Zitat geradezu als Beleg
dafür anführen, dass man die Mengen A1 und A2 mittels alpha definieren
könne. Schräg, oder?

Gruß,
RR



[1] Zitiert von WM im Thread "Neue Erkenntnisse aus Wissenschaft und
Forschung // TH7 (Dedekind-Schnitt)" mit Angabe einer Seitenzahl [p. 13]

JVR

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May 3, 2022, 12:08:29 PMMay 3
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Rainer Rosenthal

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May 3, 2022, 2:02:30 PMMay 3
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Am 03.05.2022 um 18:08 schrieb JVR:
>
> https://archive.org/details/stetigkeitundir00dedegoog/page/n8/mode/2up

Besten Dank, ich habe bereits mit Vergnügen einige Passagen gelesen.
Aus irgendwelchen Gründen ist der Google-Scan bei Seite 30 zu Ende.
Aber das Thema Schnitt ist vorher ausführlich abgehandelt.
Mit gescannt wurde auch das Rechnen mit Schnitten und der schöne Satz
auf Seite 27:
"... und man gelangt auf diese Weise zu wirklichen Beweisen von Sätzen
(wie z.B. "Wurzel 2" * "Wurzel 3" = "Wurzel 6"), welche meines Wissens
bisher nie bewiesen sind."

Original ist halt Original, schön!

Gruß,
RR

Dieter Heidorn

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May 3, 2022, 2:08:42 PMMay 3
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Rainer Rosenthal schrieb:
> Am 03.05.2022 um 18:08 schrieb JVR:
>>
>> https://archive.org/details/stetigkeitundir00dedegoog/page/n8/mode/2up
>
> Besten Dank, ich habe bereits mit Vergnügen einige Passagen gelesen.
> Aus irgendwelchen Gründen ist der Google-Scan bei Seite 30 zu Ende.

Die noch fehlende Seite findest du z.B. hier:

https://publikationsserver.tu-braunschweig.de/servlets/MCRFileNodeServlet/dbbs_derivate_00005740/Aa_2043.pdf

Dieter Heidorn

Ganzhinterseher

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May 3, 2022, 4:04:45 PMMay 3
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Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 3. Mai 2022 um 17:51:35 UTC+2:
> Dedekind schrieb:
> "Jedesmal nun, wenn ein Schnitt (A1,A2) vorliegt, welcher nicht durch
> eine rationale Zahl hervorgebracht wird, so erschaffen wir eine neue,
> eine irrationale Zahl alpha."[1]
>
> Es erscheint einleuchtend, dass beim Vorliegen des Schnittes die Zahl
> alpha noch nicht existierte. Andernfalls könnte sie ja nicht erst
> erschaffen werden.
>
> Erstaunlicherweise gibt es Leute, die das obige Zitat geradezu als Beleg
> dafür anführen, dass man die Mengen A1 und A2 mittels alpha definieren
> könne. Schräg, oder?

Nein, Dedekind: Wir werden sagen, dass die Zahl α diesem Schnitt entspricht oder dass sie ihn hervorbringt.

Gruß, WM

Carlos Naplos

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May 4, 2022, 4:09:36 AMMay 4
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Ich denke, das gilt für jede Theorie.
Theoretisch hätte man sich in der Steinzeit eine Dampfmaschine ausdenken
können.

CN

Am 03.05.2022 um 18:12 schrieb Stefan Ram:
> Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> writes:
>> Dedekind schrieb:
>> "Jedesmal nun, wenn ein Schnitt (A1,A2) vorliegt, welcher nicht durch
>> eine rationale Zahl hervorgebracht wird, so erschaffen wir eine neue,
>> eine irrationale Zahl alpha."[1]
>> Es erscheint einleuchtend, dass beim Vorliegen des Schnittes die Zahl
>> alpha noch nicht existierte. Andernfalls könnte sie ja nicht erst
>> erschaffen werden.
>
> Ich denke, daß es in der /Mathematik/ (also unter den
> mathematischen Objekten, den Gegenständen der Wissenschaft
> "Mathematik") keine "Zeit" gibt. Also nicht die Begrifflichkeiten,
> mit denen man sagen könnte "vor der Erschaffung" oder "nach
> der Erschaffung". Wenn man zeitliche Abläufe studiert,
> betreibt man Physik.
>
> Allerdings gibt es eine /Geschichte der Mathematik/
> (gewissermaßen als Teil der Physik), in deren Rahmen
> man über "Erschaffungen" reden kann.
>
> Für die alten Griechen gab es noch keine reellen Zahlen
> in unserem heutigen Sinne. Aber innerhalb der Mathematik
> sind die reellen Zahlen zeitlos. Die Griechen hatten nur
> noch nicht von ihnen gesprochen.
>
> Man könnte sagen, daß alle Strukturen, die man ohne Bezug
> auf physikalische Objekte definieren kann, in der Mathematik
> existieren (ohne Bezug auf eine "Zeit"), aber Menschen noch
> nicht von allen jenen Strukturen gesprochen haben. Die
> "Erschaffung" wird damit zur ersten /Beschreibung/ von etwas
> (innerhalb des physikalischen geschichtlichen Zeitablaufs),
> dessen Existenz zeitlos ist.
>
> (Strukturen, die mit Bezug auf physikalische Objekte
> definiert werden, zähle ich zur Physik.)
>
> Es könnte sein, daß schon die Griechen einen Dedekind
> hatten, von dem uns aber nichts überliefert ist. Dem lag
> vielleicht schon der Schnitt (A1,A2) vor. Würde man davon
> irgendetwas bemerken? Könnte man der durch (A1,A2)
> bestimmten reellen Zahl ansehen, daß sie schon vor
> mehr als 2000 Jahren "erschaffen" wurde? Nein! Also gibt
> es keine Erschaffung innerhalb der Mathematik, sondern
> nur innerhalb der /Geschichte der Mathematik/.
>
>> Erstaunlicherweise gibt es Leute, die das obige Zitat geradezu als Beleg
>> dafür anführen, dass man die Mengen A1 und A2 mittels alpha definieren
>> könne. Schräg, oder?
>
> Das würde wohl voraussetzen, daß man "alpha" zuvor auf
> andere Weise definiert hat. Aber dann wären die Mengen A1
> und A2 durch alpha wohl immer noch nicht eindeutig bestimmt.
>
>

Ganzhinterseher

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May 4, 2022, 5:51:51 AMMay 4
to

> Am 03.05.2022 um 18:12 schrieb Stefan Ram:
> > Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> writes:
> >> Dedekind schrieb:
> >> "Jedesmal nun, wenn ein Schnitt (A1,A2) vorliegt, welcher nicht durch
> >> eine rationale Zahl hervorgebracht wird, so erschaffen wir eine neue,
> >> eine irrationale Zahl alpha."[1]
> >> Es erscheint einleuchtend, dass beim Vorliegen des Schnittes die Zahl
> >> alpha noch nicht existierte. Andernfalls könnte sie ja nicht erst
> >> erschaffen werden.
> >
> > Ich denke, daß es in der /Mathematik/ (also unter den
> > mathematischen Objekten, den Gegenständen der Wissenschaft
> > "Mathematik") keine "Zeit" gibt. Also nicht die Begrifflichkeiten,
> > mit denen man sagen könnte "vor der Erschaffung" oder "nach
> > der Erschaffung". Wenn man zeitliche Abläufe studiert,
> > betreibt man Physik.

Das ist der Platonismus, der mit der Erschaffung der Welt auch die Erschaffung aller Objekte der Mathematik voraussetzt. Dedekind war gegenteiliger Ansicht.

> > Für die alten Griechen gab es noch keine reellen Zahlen
> > in unserem heutigen Sinne. Aber innerhalb der Mathematik
> > sind die reellen Zahlen zeitlos. Die Griechen hatten nur
> > noch nicht von ihnen gesprochen.

Hippasos hat von einer Zahl gesprochen, die im Sinne der Pythagoreer keine Zahl war. Deswegen wurde er auch verfolgt, wie das so geht.
Erst geköpft,
dann gehangen,
dann gespießt
auf heiße Stangen;
dann vebrannt,
dann gebunden,
und getaucht;
zuletzt geschunden.

> >> Erstaunlicherweise gibt es Leute, die das obige Zitat geradezu als Beleg
> >> dafür anführen, dass man die Mengen A1 und A2 mittels alpha definieren
> >> könne. Schräg, oder?
> >
> > Das würde wohl voraussetzen, daß man "alpha" zuvor auf
> > andere Weise definiert hat.

Natürlich hat man das. Der Schnitt übernimmt entweder den Ansatz, wie zum Beispiel x^2 = 2 oder das Ergebnis wie Wurzel 2. Einen Aufstand zu machen, weil nur das erste zulässig sei, ist lächerlich.

> > Aber dann wären die Mengen A1
> > und A2 durch alpha wohl immer noch nicht eindeutig bestimmt.

Doch, sie sind eindeutig durch die Schnittzahl bestimmt. Der Schnitt wird durch die Zahl definiert oder, wie Dedekind sagte, hervorgebracht.

Gruß, WM


Tom Bola

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May 4, 2022, 6:38:58 AMMay 4
to
Carlos Naplos schrieb:

> Ich denke, das gilt für jede Theorie.
> Theoretisch hätte man sich in der Steinzeit eine Dampfmaschine ausdenken
> können.

Ein Beispiel sind Quadrokopter, die ja auf eine ganz unproblematische Weise
stabil in der Luft sind - vier Motoren hatte man viel früher auch schon...

Gus Gassmann

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May 4, 2022, 8:40:47 AMMay 4
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On Wednesday, 4 May 2022 at 06:51:51 UTC-3, Ganzhinterseher wrote:
[...]
> Hippasos hat von einer Zahl gesprochen, die im Sinne der Pythagoreer keine Zahl war. Deswegen wurde er auch verfolgt, wie das so geht.
[...]
Ach, der Verfolgungsmythos. Es gibt keinerlei Belege, dass diese Darstellung historisch korrekt ist. Aber das ficht ja einen Obermathematiker von ganz hinterm Mond natürlich nicht im geringsten an.

Tom Bola

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May 4, 2022, 9:13:49 AMMay 4
to
Gus Gassmann schrieb:
Was auch heute in dir tiefe Empörung auslöst, die du wieder voller
Schmerz unaufhörlich in die grosse weite Welt hinausschreist. Für WM
ist all das täglicher Lohn seiner unaufhörlichen Mission.

Rainer Rosenthal

unread,
May 6, 2022, 5:41:27 PM (13 days ago) May 6
to
Dieser Satz steht auf Seite 21 seiner Schrift "Stetigkeit und
irrationale Zahlen", und er lautet vollständig:

"Jedesmal nun, wenn ein Schnitt (A1,A2) vorliegt, welcher durch keine
rationale Zahl hervorgebracht wird, so /erschaffen/ wir eine neue, eine
/irrationale/ Zahl alpha, welche wir als durch diesen Schnitt (A1,A2)
vollständig definiert ansehen; wir werden sagen, dass die Zahl alpha
diesem Schnitt entspricht, oder dass sie diesen Schnitt hervorbringt."

Dein Zitat ist sinnentstellend gekürzt.
Zuerst wird durch den Schnitt eine irrationale Zahl erschaffen.
Danach darf man dann sagen, dies Zahl bringe den Schnitt hervor.

Das ist der Witz, dessen Pointe sich Dir offenbar nicht erschließt.
Wenn Du Sätze halbierst oder "a^2 < D" durch "a < Wurzel D"
vereinfachst, kann man das gut sehen.

Gruß,
RR
_________________
W2 kommt bei rationaler Näherung ans Licht,
WM verschwindet bei rationaler Näherung im Dunkeln.

Tom Bola

unread,
May 6, 2022, 8:10:44 PM (13 days ago) May 6
to
Rainer Rosenthal:

> Wenn Du Sätze halbierst oder "a^2 < D" durch "a < Wurzel D"
> vereinfachst, kann man das gut sehen.

Das ist die perfekte Nahrung für dein Hirn... weniger geht nicht, mehr auch nicht.

Einige Jahre bleiben sicher noch um am Nasenring beglückt hinterherzutrampeln...

Ganzhinterseher

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May 7, 2022, 8:27:12 AM (12 days ago) May 7
to
Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 6. Mai 2022 um 23:41:27 UTC+2:

> "Jedesmal nun, wenn ein Schnitt (A1,A2) vorliegt, welcher durch keine
> rationale Zahl hervorgebracht wird, so /erschaffen/ wir eine neue, eine
> /irrationale/ Zahl alpha, welche wir als durch diesen Schnitt (A1,A2)
> vollständig definiert ansehen; wir werden sagen, dass die Zahl alpha
> diesem Schnitt entspricht, oder dass sie diesen Schnitt hervorbringt."
>
> Dein Zitat ist sinnentstellend gekürzt.

Nein.

> Zuerst wird durch den Schnitt eine irrationale Zahl erschaffen.
> Danach darf man dann sagen, dies Zahl bringe den Schnitt hervor.

Falsch. Zumindest Twitter wird inzwischen nicht mehr zensiert. Dort darf man sagen, dass sqrt2 einen Schnitt hervorbringt.
>
> Das ist der Witz, dessen Pointe sich Dir offenbar nicht erschließt.

Es ist nicht dessen Pointe, sondern Dein Spleen.

Gruß, WM

Rainer Rosenthal

unread,
May 7, 2022, 8:54:44 AM (12 days ago) May 7
to
Am 07.05.2022 um 14:27 schrieb Ganzhinterseher:
> Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 6. Mai 2022 um 23:41:27 UTC+2:
>
>> "Jedesmal nun, wenn ein Schnitt (A1,A2) vorliegt, welcher durch keine
>> rationale Zahl hervorgebracht wird, so /erschaffen/ wir eine neue, eine
>> /irrationale/ Zahl alpha, welche wir als durch diesen Schnitt (A1,A2)
>> vollständig definiert ansehen; wir werden sagen, dass die Zahl alpha
>> diesem Schnitt entspricht, oder dass sie diesen Schnitt hervorbringt."
>>
>> Dein Zitat ist sinnentstellend gekürzt.
>
> Nein.
>

Das Nein bezieht sich auf "sinnentstellend", nehme ich an.
Denn dass Du gekürzt hast, wirst Du hoffentlich nicht bestreiten.

Aus dem originalen Teilsatz "...; wir werden sagen, ..."
hast Du einen neuen Satz gemacht:
"Wir werden sagen, ..."

Dass die Kürzung sinnentstellend ist, hast Du zwar nicht verstanden,
aber das kann ja noch kommen. Hier ein neuer Anlauf:

>> Zuerst wird durch den Schnitt eine irrationale Zahl erschaffen.
>> Danach darf man dann sagen, dies Zahl bringe den Schnitt hervor.
>
> Falsch. Zumindest Twitter wird inzwischen nicht mehr zensiert. Dort darf man sagen, dass sqrt2 einen Schnitt hervorbringt.

Das darf man auch hier in de.sci.mathematik sagen.
Allerdings sollte man mit dem Namen sqrt2 etwas vorsichtiger operieren,
wenn man über eine Schrift diskutiert, in der die Grundlagen der
Mathematik erörtert werden.

Dazu ist der von Dir weggelöschte erste Teil des Satzes wichtig:
"Jedesmal nun, wenn ein Schnitt (A1,A2) vorliegt, welcher durch keine
rationale Zahl hervorgebracht wird, so /erschaffen/ wir eine neue, eine
/irrationale/ Zahl alpha, welche wir als durch diesen Schnitt (A1,A2)
vollständig definiert ansehen, ..."

An dieser Stelle wurde die Zahl alpha = sqrt2 /erschaffen/.

Im Anschluss an diese Erschaffung, so schreibt Dedekind:
"... ; wir werden sagen, dass die Zahl alpha diesem Schnitt entspricht,
oder dass sie diesen Schnitt hervorbringt."

Hier kommt die von Dir stets zusammenhanglos zitierte Aussage "dass
sqrt2 einen Schnitt hervorbringt". Mittels "rationaler Näherung", also
mittels Aktivierung Deiner gewiss nicht völlig verkümmerten "ratio"
(Verstand), weise ich Dich auf Deinen Fehler auf Seite 37 Deines Buchs
hin. Dort verwendest Du sqrt2 bereits zur Schnitt-Definition. Kaum zu
glauben, aber wahr (schräg).

Bisher kamen dazu nur irrationale Ausflüchte.

Tom Bola

unread,
May 7, 2022, 9:11:07 AM (12 days ago) May 7
to
Rainer Rosenthal schrieb:
Und das wird auch so oder sonstwie bleiben - euer BEIDER GEFASEL ist sinnlos.

> Gruß,
> RR
> _________________
> W2 kommt bei rationaler Näherung ans Licht,
> WM verschwindet bei rationaler Näherung im Dunkeln.

Cocksuckers love Cocksucking...

Rainer Rosenthal

unread,
May 11, 2022, 4:45:49 PM (8 days ago) May 11
to
Am 07.05.2022 um 14:27 schrieb Ganzhinterseher:
> Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 6. Mai 2022 um 23:41:27 UTC+2:
>
>> "Jedesmal nun, wenn ein Schnitt (A1,A2) vorliegt, welcher durch keine
>> rationale Zahl hervorgebracht wird, so /erschaffen/ wir eine neue, eine
>> /irrationale/ Zahl alpha, welche wir als durch diesen Schnitt (A1,A2)
>> vollständig definiert ansehen; wir werden sagen, dass die Zahl alpha
>> diesem Schnitt entspricht, oder dass sie diesen Schnitt hervorbringt."
>>
>> Dein Zitat ist sinnentstellend gekürzt.
>
> Nein.
>

Dein Zitat ist aber gekürzt.

Das darfst Du ruhig zugeben, denn das sieht jeder.

Gruß,
RR

Ralf Bader

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May 12, 2022, 2:49:10 PM (7 days ago) May 12
to
Im vorliegenden Zusammenhang möchte ich, da mir das zufälligerweise just
untergekommen ist, auf
https://archive.org/details/vorlesungenberd00bachgoog
Bachmann, Vorlesungen über die natur der irrationalzahlen
hinweisen. Der Dedekindsche Beweis der Nichtexistenz einer rationalen
Wurzel aus 2 wird hier am Anfang dargestellt, im weiteren Verlauf geht
es um die Charakterisierung der quadratischen Irrationalitäten durch die
Periodizität ihrer Kettenbruchentwicklung, die Frage eines
entsprechenden Kriteriums für algebraische Irrationalitäten höherer
Ordnung und die Transzendenz von e und pi. Dieses Buch macht auch im
130. Jahr seines Erscheinens einen gut und mit Gewinn lesbaren Eindruck.

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