Widersprueche der Mengenlehre

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Dieter Jungmann

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Jan 2, 2001, 12:49:46 PM1/2/01
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Verwendete Zeichen:
Zeichen: Bedeutung:
>- mächtiger als
el Element von
N Menge der natürlichen Zahlen (einschl. 0)
P, Q, I Menge der Primzahlen, rationalen Zahlen, irrationalen Zahlen
Pot(P) Potenzmenge von P
oo Unendlich
/= nicht gleich

Zusammenfassung:

Die Mengenlehre enthält elementare Widersprüche, deren Ursachen
aufgezeigt werden. CANTORs Diagonalbeweis ist unvollständig und
fehlerhaft. Die Mächtigkeitsdefinition erweist sich als unhaltbar,
ebenso der Begriff der transfiniten Menge. Pot(P) ist nach der Theorie
überabzählbar, sie lässt sich aber auf eine Teilmenge von N abbilden.
Die Potenzmenge der Menge der Zweierpotenzen ist gleichmächtig wie N
(Dualsystem). Auch Pot(N) ist abzählbar. Die Begriffe Unendlich und
Irrationale Zahl werden untersucht.

1. Widersprüche

1.1 Irrationale Zahlen als rationale Folgen

Lässt man in der dezimalen Schreibweise einer irrationalen Zahl alle
Ziffern nach der n-ten Stelle weg, erhält man einen endlichen Dezimal-
bruch, der sich als Quotient a/b zweier ganzer Zahlen darstellen lässt.
Berücksichtigt man auch die (n + 1)-te Stelle, ergibt sich eine weitere
rationale Zahl, usw.. Jede irrationale Zahl ist mit einer sie charakte-
risierenden endlosen rationalen Folge verknüpft. In Stellenwertsystemen
mit anderer Grundzahl ergeben sich weitere Folgen. Aussagefähiger ist
eine von allen Stellenwertsystemen unabhängige charakteristische ratio-
nale Folge, die sich ergibt, indem für jede gegebene Stellenzahl von a
(oder b) der Wert gewählt wird, der der irrationalen Zahl am nächsten
kommt. (Für sqrt(2) gibt es eine einfache Rekursionsformel, mit der sich
a und b beliebig genau direkt berechnen lassen. Die Quotienten dieser
Werte ergeben gerade diese rationale Folge. Sie weist Strukturen auf,
die in der Stellenwertschreibweise nicht erkennbar sind.)

Daraus ergibt sich unter der Voraussetzung, dass die Gesetze der Logik
uneingeschränkt gelten, folgende Konsequenz: Es ist nicht möglich, zwei
verschiedene irrationale Zahlen anzugeben, deren rationale Folgen sich
nicht in wenigstens einer rationalen Zahl unterscheiden (sonst wären
sie identisch). Da dies für alle Vergleiche jeder irrationalen Zahl mit
jeder anderen gilt, muss es zu jeder irrationalen Zahl wenigstens eine
rationale Zahl geben, die nur mit ihr verknüpft ist. Q muß also
mindestens so mächtig sein wie I. Falls die Gesetze der Logik nicht
auf unendliche Mengen anwendbar sind, gilt das auch für die vermeint-
lichen Beweise von I >- Q.

1.2 CANTORs Diagonalbeweis

Als Anknüpfungspunkt für die weiteren Überlegungen dient CANTORs Zuord-
nungsvorschrift. Da nach dem Verständnis der Mengenlehre die Menge der
reellen Zahlen im Einheitsintervall gleichmächtig ist wie die Menge
aller reellen Zahlen, brauchen nur die ersteren berücksichtigt zu
werden. Abweichend von CANTOR werden nur die irrationalen Zahlen berück-
sichtigt, weil der Beweis sonst von vornherein absurd ist (s. u.). Man
listet also auf der linken Seite der Zuordnungstabelle in beliebiger
Reihenfolge alle irrationalen Zahlen zwischen 0 und 1 auf und bildet
sie umkehrbar eindeutig auf die natürlichen Zahlen ab, indem diese auf
der rechten Seite in aufsteigender Folge aufgelistet werden, z. B.:

,_329 230 484 ... 1
,1_21 497 099 ... 2
,68_8 724 209 ... 3
,247 _823 068 ... 4
,337 5_31 857 ... 5
... ...

Die Liste sei vollständig. Nun nimmt man von jeder irrationalen Zahl die
durch vorangehenden Unterstrich gekennzeichnete Ziffer in diagonaler
Anordnung und verändert sie in beliebiger Weise (z. B. durch Addition
einer 1). Die geänderten Ziffern werden zu einer ganzen Zahl (Diagonal-
zahl) mit unendlich vielen Stellen zusammengefügt, z. B. 43994..., von
der weiter unten gezeigt wird, dass sie nicht in der Tabelle enthalten
ist. Durch Hinzufügen eines Dezimalkommas vor der ersten Ziffer erhält
man eine neue irrationale Zahl. Da sich alle irrationalen Zahlen der
Tabelle in mindestens einer Stelle von der irrationalen Diagonalzahl
unterscheiden, kann sie entgegen der ursprüngliche Annahme nicht in der
Tabelle enthalten sein (auf die exakte Begründung kann hier verzichtet
werden). Da CANTOR die neue ganze Zahl ignoriert, glaubt er bewiesen zu
haben, dass es nicht möglich ist, jeder irrationalen Zahl umkehrbar
eindeutig eine ganze Zahl zuzuordnen. Daraus folgert er, dass es sog.
transfinite Mengen gibt, die mächtiger sind als N.

Wenn man alle Ziffernkombinationen zulässt, enthält die Liste nicht nur
irrationale Zahlen sondern auch die periodischen Dezimalbrüche. Trotzdem
handelt es sich nicht um die Menge der reellen Zahlen des Einheitsinter-
valls, denn dazu gehören auch die endlichen Dezimalbrüche. Werden sie
berücksichtigt und an den Anfang der Tabelle gesetzt, so dass sich die
Zahl der Nachkommastellen kontinuierlich vergrössert, sind bereits alle
endlichen natürlichen Zahlen für ihre Abbildung verbraucht. Zur Abbil-
dung der periodischen und irrationalen Brüche stehen dann nur noch
natürliche Zahlen mit unendlich vielen Stellen zur Verfügung, die eben-
falls nicht abzählbar sind.

Ein Fehler in CANTORs Beweis besteht in der (versuchsweisen) Annahme,
die Liste sei vollständig. Dann müsste sie entweder eine letzte Zeile
enthalten oder sich ständig wiederholen (evtl. mit vertauschten Zeilen).
Dann wäre die Menge der dargestellten Zahlen endlich. Eine unendliche
Menge kann nicht vollständig sein (s. Abschn. 4). Jeder Test kann daher
nur ihre Unvollständigkeit bestätigen, weitergehende Schlüsse sind nicht
möglich. Das gilt für alle unendlichen Mengen, nicht nur für die reellen
oder irrationalen Zahlen. Wenn der Diagonalbeweis stichhaltig wäre,
liesse er sich auch auf die rechte Seite von CANTORs Zuordnungstabelle
anwenden, indem jede natürliche Zahl n durch 10^n ersetzt wird. Durch
diese formale Änderung wird die Vollständigkeit der Liste nicht beein-
flusst. Sie enthält dann auf der rechten Seite die Zahlen
{1, 10, 100, ...}. Da die Zahl der Ziffern von Zeile zu Zeile anwächst,
lässt sich auch auf der rechten Seite eine Diagonalzahl bilden, die
nicht in der Tabelle enthalten ist, indem in jeder Zeile die letzte
Ziffer z. B. durch eine 2 ersetzt wird. Der Diagonalbeweis sagt also
nichts darüber aus, ob I auf N abgebildet werden kann.

Um den Kern des Problems deutlicher hervorzuheben, wird eine endliche
Tabelle aufgestellt, die auf der linken Seite alle Dezimalbrüche mit
n Dezimalstellen zwischen 0 und 1 einschliesslich der 0 und ohne die 1
enthält. Da es für die n Ziffern 10^n Kombinationsmöglichkeiten gibt,
besteht die Tabelle aus n Spalten für die Ziffern und 10^n Zeilen für
die daraus gebildeten Zahlen. Den Dezimalbrüchen werden auf der rechten
Seite die ganzen Zahlen von 0 bis 10^n - 1 zugeordnet. Die größte ganze
Zahl hat ebenfalls n Dezimalstellen, nämlich n mal die 9, zu ihrer
Darstellung werden also ebenfalls n Spalten benötigt. Die Ziffern-
kombinationen der Dezimalbrüche sind identisch mit denen der ganzen
Zahlen, nur ihre Reihenfolge in der Tabelle kann unterschiedlich sein.

Man sieht jetzt, dass die Diagonalzahlen nicht n sondern 10^n Dezimal-
stellen haben, d. h. sie setzen sich aus (10^n)/n Diagonalen zusammen,
wenn in jeder Zeile eine Ziffer geändert werden soll. (n = 1000 erfor-
dert bereits 10^997 Diagonalen pro Diagonalzahl.) Um sie in die Tabelle
aufnehmen zu können, muss die Zahl der Spalten auf 10^n vergrössert
werden. Damit ergeben sich 10^(10^n) Kombinationsmöglichkeiten und eine
entsprechend grössere Zeilenzahl, womit das Spiel von neuem beginnt.
Daran ändert sich auch beim Grenzübergang n --> oo nichts, die Zahl
der Zeilen ist eine Größenordnung mächtiger als die Zahl der Spalten,
sie entsprechen der Potenzmenge der Spalten. (Die Potenzmenge enthält
2^n Elemente, zum direkten Vergleich müssten die Zahlen im Dualsystem
dargestellt werden, worauf es aber hier nicht ankommt.) Mit einer
einzigen Diagonalen werden also nicht alle Zahlen der Liste erfasst,
so dass der Beweis gegenstandslos ist.

Der Diagonalbeweis und seine Akzeptanz in der Mengenlehre offenbaren
einen widersprüchlichen Gebrauch des Begriffs Unendlich. Da dieser
induktiv definiert wird, müsste N eine offene Menge sein, die nicht
vollständig sein kann. Der Diagonalbeweis ergibt aber (abgesehen von
dem vorstehend aufgezeigten Fehler) nur Sinn, wenn die nachgewiesene
Eigenschaft der Unvollständigkeit nur für die irrationalen (oder
reellen) Zahlen, nicht aber für N gilt. Für N wird also stillschweigend
der strukturlose Unendlichkeitsbegriff (s. Abschn. 4) vorausgesetzt.
Das bedeutet, dass N auch natürliche Zahlen mit unendlich vielen Stellen
enthält, sie machen dann sogar den wesentlichen Bestandteil von N aus,
während die endlichen Zahlen nur eine vernachlässigbare Teilmenge sind.
Daraus ergibt sich eine einfache Möglichkeit, I auf N abzubilden, indem
jeder irrationalen Zahl die ganze Zahl zugeordnet wird, die sich ergibt,
wenn in der irrationalen Zahl bei unveränderter Ziffernfolge das
Dezimalkomma weggelassen wird.

1.3 Die Potenzmenge der Menge P der Primzahlen

P ist eine unendliche Teilmenge von N und daher per definitionem gleich-
mächtig wie N. Pot(P) sollte wie jede Potenzmenge einer unendlichen
Menge überabzählbar sein. Da sie sich aber auf eine Teilmenge von N
abbilden lässt, schliessen sich die beiden Aussagen aus.
B e w e i s : Die Potenzmenge ist definiert als Menge aller Teilmengen
der Grundmenge einschließlich der leeren Menge und der Grundmenge. Zu
den Elementen von Pot(P) gehören daher alle Primzahlen und alle Teil-
mengen, die 2, 3, 4, ... verschiedene Primzahlen enthalten. Da es keine
2 identische Teilmengen gibt und die Primzahlen keine Faktoren enthal-
ten, unterscheiden sich alle Zahlen, die sich als Produkte der Prim-
zahlen der Teilmengen darstellen lassen. Jedem Element von Pot(P) lässt
sich daher umkehrbar eindeutig eine natürliche Zahl zuordnen, die
entweder eine Primzahl oder ein Produkt von ersten Potenzen von _
Primzahlen ist. |_|

Es sei Pm, m = ganzzahlig >= 1, die Menge der m-ten Potenzen der Prim-
zahlen. Analog zum vorstehenden Beweis lässt sich Pot(Pm) umkehrbar
eindeutig auf die Teilmenge Tm von N abbilden, deren Elemente die m-ten
Potenzen der Primzahlen und deren Produkte sind. Wenn man die leere
Menge, die definitionsgemäss jeder Potenzmenge hinzugefügt wird, nur
in _einer_ der Teilmengen Tm berücksichtigt und der Zahl 0 zuordnet,
sind alle Tm, Tn mit m /= n disjunkt. Daher ist N die Vereinigungsmenge
von 1 und allen Tm. N müsste also gleichmächtig sein wie die Vereini-
gungsmenge von unendlich vielen Potenzmengen der Primzahlen.

1.4 Die Potenzmenge der Menge der Zweierpotenzen

Es sei D1 = {2^k | k = 0, 1, 2, 3, ...} die Menge der Zweierpotenzen.
Pot(D1) lässt sich auf N abbilden, indem der leeren Menge die 0 und
jeder Teilmenge {2^km, 2^kn, ...} von Pot(D1) die Summe
(2^km + 2^kn + ...) zugeordnet wird. Da die Teilmengen keine
Zweierpotenz mehrfach enthalten, ist die Abbildung umkehrbar eindeutig,
denn jede Summe von Zweierpotenzen mit unterschiedlichen Exponenten
definiert genau eine natürliche Zahl. Umgekehrt lassen sich alle natür-
lichen Zahlen als Summe von Zweierpotenzen mit unterschiedlichen Expo-
nenten darstellen. Die Abbildung ist also auch lückenlos, d. h. jedem
Element in N wird ein Element in Pot(D1) zugeordnet und umgekehrt.
(Das ist die Darstellung der natürlichen Zahlen im Dualsystem.) Die
Anzahl der Elemente von Pot{2^k | k el N} ist also identisch mit der
Anzahl der natürlichen Zahlen.

Es sei
D2 = {2^2^k | k el N} = {2, 4, 16, 256, ...}

die Menge der Zweierpotenzen, deren Exponenten ebenfalls Zweierpotenzen
sind. Die Ausdrücke 2^k, 2^2^k, 2^2^2^k = 2^(2^(2^k)), ... seien als
1-, 2-, 3-, ...-fache Zweierpotenzen bezeichnet. Pot(D2) wird umkehrbar
eindeutig auf D1 abgebildet, indem der leeren Menge die Zahl 1 und jeder
Teilmenge {2^2^km, 2^2^kn, ...} von Pot(D2) das Produkt

s = (2^2^km mal 2^2^kn mal ...) = 2^(2^km + 2^kn + ...)

zugeordnet wird. Alle s sind Zweierpotenzen, also Elemente von D1. Für
die Summen der Zweierpotenzen im Exponenten des letzten Klammerausdrucks
wurde die Eindeutigkeit und Lückenlosigkeit bereits nachgewiesen. Da
keine Kombination von k-Werten mehrfach vorkommt, sind auch alle s-Werte
nur einmal vertreten. Die Abbildung ist daher umkehrbar eindeutig und
lückenlos. Daraus folgt, dass die Potenzmenge der Potenzmenge (zweifache
Potenzmenge) von D2 umkehrbar eindeutig und lückenlos auf N abgebildet
werden kann. Jede natürliche Zahl ist die Summe von Zweierpotenzen
(Dualsystem) und jede Zweierpotenz das Produkt von unterschiedlichen
2-fachen Zweierpotenzen.

Es sei
D3 = {2^2^2^k | k el N} = {2^2, 2^4, 2^16, 2^256, ...}

die Menge der 3-fachen Zweierpotenzen. Pot(D3) kann umkehrbar eindeutig
und lückenlos auf D2 abgebildet werden, indem der leeren Menge die Zahl
2 und den Teilmengen {2^2^2^km, 2^2^2^kn, ...} von Pot(D3)
die Zahlen
a3 = 2^a2 mit a2 = 2^(2^km + 2^kn + ...) = s

zugeordnet werden. Das Verfahren lässt sich beliebig fortsetzen. Wenn
Dq die Menge der q-fachen Zweierpotenzen ist, lässt sich Pot(Dq)
umkehrbar eindeutig und lückenlos auf D(q-1) abbilden, indem der
leeren Menge die niedrigste Zahl aus D(q-1) und den übrigen Elementen
von Pot(Dq) die Zahlen aq = 2^a(q-1) zugeordnet werden. Mit grossen
Werten von q lässt sich Dq im Verhältniss zu N beliebig ausdünnen.
Trotzdem sind beide Mengen definitionsgemäss gleichmächtig, obwohl N
gleichmächtig wie die q-fache Potenzmenge von Dq ist.

Das vorstehende Verfahren hat folgenden Hintergrund: Die Anzahl der
Elemente von Pot(T) einer Menge T mit n Elementen wächst exponentiell
mit n. Um zu erreichen, dass sich die Potenzmenge einer Teilmenge T1
von T auf T abbilden lässt, muss T1 relativ zu T mit wachsendem n
entsprechend stärker ausgedünnt werden. Die Zweierpotenzen erfüllen
diese Bedingung im Verhältnis zu N. Nachdem _eine_ solche Beziehung
existiert, lässt sie sich auf beliebige Mengen anwenden. Es sei z. B.
P1 die Menge, welche alle (2^n)-ten Primzahlen mit n el N enthält,
also P1 = {2, 3, 7, 19, 53, ...}. Dann lässt sich Pot(P1) umkehrbar
eindeutig und lückenlos auf P abbilden (wenn auch nicht mit einer ein-
fachen Formel). Entsprechend lässt sich Pot(P2) umkehrbar eindeutig
und lückenlos auf P1 abbilden, wenn P2 als die Menge definiert ist,
die alle (2^n)-ten Zahlen von P1 als Elemente enthält. Das Verfahren
lässt sich beliebig fortsetzen. Jede unendliche Menge kann daher
umkehrbar eindeutig und lückenlos auf eine beliebigfache Potenzmenge
einer ihrer Teilmengen abgebildet werden.

1.5 Gleichzerlegungsprobleme

Das Kreisquadrierungsproblem von TARSKI besagt, dass ein Kreis und ein
flächengleiches Quadrat mit den Methoden der Mengenlehre gleichzerlegbar
sind. Nach dem BANACH-TARSKI-Paradoxon sind zwei dreidimensionale Körper
mit unterschiedlichem Volumen gleichzerlegbar. Beides steht im Wider-
spruch zu den Ergebnissen der analytischen Geometrie. Daraus folgt, dass
die Mengenlehre ihren Anspruch, axiomatische Grundlage der Mathematik
zu sein, nicht einlösen kann, weil ihre Ergebnisse die bewährte Mathe-
matik konterkarieren statt sie zu fundieren.

2 Die Mächtigkeitsdefinition

Ursache der Widersprüche ist die Mächtigkeitsdefinition. Eine Menge
kann nicht gleichmächtig wie eine ihrer echten Teilmengen sein. Für
endliche Mengen ist diese einfache logische Aussage gültig. Ihre
Anwendung auf unendliche Mengen lehnt die Mengenlehre ab. Das führt
zu einer ausweglosen Situation. In der Realität gibt es keine unend-
lichen Mengen. Auch die Einlassung, man könne sie sich aber vorstellen,
hilft nicht weiter, denn bekanntlich kann man sich auch etwas falsches
vorstellen (den meisten Menschen fällt das sogar besonders leicht).
Jede nur auf Vorstellung beruhende Aussage muss sich deshalb an der
Realität messen lassen. Da hier diese Möglichkeit entfällt, bleibt
als einziges (und letztlich doch unsicheres) Hilfsmittel nur eine
unbedingt zuverlässige Logik. Die Gesetze der bekannten Logik wurden
aber aus dem Verhalten endlicher Mengen abgeleitet und auch nur an
ihnen erprobt. Eine Anwendung dieser Regeln auf unendliche Mengen
lehnt die Mengenlehre ab. Da sie keine erprobte Alternative anzubieten
hat, sind alle ihe Aussagen über unendliche Mengen spekulativ.

Da P dichter ist als D1, sollte auch Pot(P) dichter sein als Pot(D1).
Im vorigen Abschnitt wurde aber gezeigt, dass die Anzahl der natür-
lichen Zahlen gleichgroß ist wie die Zahl der Elemente von Pot(D1) und
gleichgroß wie die Anzahl der Elemente von unendlich vielen Potenzmengen
der Primzahlen. Der Grund für das paradoxe Ergebnis ist, dass die
Abbildung von Pot(P) auf N nur für endliche Teilmengen gilt und kein
Rückschluss auf das Verhältnis der unendlichen Mengen P und N möglich
ist, weil kein geordneter Grenzübergang stattfindet.

Das wird am Beispiel von CANTORs vermeintlichem Beweis gezeigt, dass Q
und N gleichmächtig seien. Das Wesentliche lässt sich durch Vergleich
mit einem einfachen Gegenbeweis erläutern. Das Intervall 0 < x <= 100
enthält 100 natürliche und unendlich viele rationale Zahlen. Das gleiche
gilt für das Nachbarintervall 100 < x <= 200 und für alle anderen gleich
grossen Intervalle. Die durch diese Intervalle definierten Teilmengen
von Q und N können daher nicht lückenlos aufeinander abgebildet werden,
auch ein Rückgriff auf die natürlichen Zahlen anderer Teilmengen ist
nicht möglich, weil sie dort ebenfalls benötigt werden. Das gilt auch
für alle Vereinigungsmengen und daran ändert sich auch beim Grenzüber-
gang x --> oo nichts. Q ist daher zweifelsfrei mächtiger als N.

CANTORs Beweis benutzt ebenfalls eine Teilmenge von Q. Die rationalen
Zahlen q = a/b mit a, b el N und a, b >= 1 werden dem Intervall
1/n <= q <= n mit n el N entnommen. Die Bedingung a + b <= n + 1 legt
fest, welche q aus diesem Intervall für die Abbildung herangezogen
werden. Wird das Intervall auf n + 1 vergrössert, kommen alle q hinzu,
für die a + b = n + 2 gilt, sofern sie nicht bereits berücksichtigt
wurden, weil nur teilerfremde a und b eine neue rationale Zahl ergeben.
Es findet keine Kontrolle statt, wieviele q aus dem vorgegebenen
Intervall bei dieser Abbildung nicht berücksichtigt werden. (Es sind
unabhängig von n unendlich viele.) Ferner ist das Intervall nicht
definiert, aus dem die natürlichen Zahlen entnommen werden, die den q
zugeordnet werden, sondern es wird nach Belieben so gewählt, dass sich
die beabsichtigte Zuordnung gerade erfüllen lässt. (Es wächst schneller
als n aber langsamer als n^2.) Auch gibt es keine Formel für die Anzahl
der q, die bei vorgegebenem n zu berücksichtigen sind. Die Aussagekraft
der Abbildung beschränkt sich daher auf die konkret vorgegebene Teil-
menge, über das Verhalten beim Grenzübergang n --> oo lässt sich nichts
aussagen, weil kein übersichtlicher Grenzübergang möglich ist.

Mit CANTORs unkontrollierter Abbildungsmethode lässt sich - im Gegensatz
zur Aussage der Mengenlehre - auch "beweisen", dass N und Pot(N) gleich-
mächtig sind. Von einer endlichen Teilmenge von N, die die Zahlen von
0 bis n enthält, wird die Potenzmenge gebildet. Ihren Elementen werden
in aufsteigender Folge die natürlichen Zahlen zugeordnet. Bei jeder
Vergrösserung von n um 1 werden den neu hinzukommenden Elementen der
Potenzmenge die nächsten natürlichen Zahlen zugeordnet. Den Elementen
{0}, {1}, {0,1}, {2}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}, {3}, {0,3}, {1,3}, ...
aus Pot(N) werden also die Zahlen 0, 1, 2, 3, ... aus N zugeordnet. Die
Vorgehensweise entspricht CANTORs Abbildung von Q auf N. Mit solchen
Abbildungen lässt sich nahezu jedes gewünschte Resultat erzielen. Der
Grund, warum sich I mit dieser Methode nicht auf N abbilden lässt (wenn
die natürlichen Zahlen mit unendlich vielen Stellen unberücksichtigt
bleiben), ist allein die Tatsache, das keine irrationale Zahl exakt
bekannt ist. Die Abzählbarkeit ist kein Kriterium für die Mächtigkeit
einer Menge. In der Mathematik ist alles abzählbar, was exakt bekannt
ist. Rechnen ist nur ein anderer Ausdruck für intelligentes Abzählen,
denn auch das komplizierteste Theorem lässt sich auf einen Abzählvorgang
zurückführen. Was nicht (wenigstens prinzipiell) abzählbar ist, kann
daher auch nicht Gegenstand mathematischer Untersuchungen sein.

Mit der Mächtigkeit ist bei endlichen Mengen die Anzahl ihrer Elemente
gemeint. Da bei unendlichen Mengen die Zahl ihrer Elemente nicht bekannt
ist, kann auch ihre Mächtigkeit nicht angegeben werden. In solchen
Fällen muss die absolute Angabe durch eine relative ersetzt werden. Die
Mächtigkeit ist daher als mittlere Dichte aufzufassen. Die Dichte von N
dient als Einheit. Mengen, deren Elemente keine Zahlen sind, müssen
zuerst auf eine Zahlenmenge abgebildet werden, um mathematisch unter-
sucht werden zu können. Es brauchen daher nur Mengen von Zahlen berück-
sichtigt zu werden. Die Dichte ist der Differentialquotient und die
Mächtigkeit (= mittlere Dichte) der Differenzenquotient aus der Anzahl
der Elemente der zu untersuchenden Zahlenmenge und der Anzahl der im
gleichen Intervall enthaltenen natürlichen Zahlen. Dieser Mächtigkeits-
begriff ist auch auf unendliche Mengen anwendbar. Die Ermittlung des
Grenzwertes der mittleren Dichte setzt eine sorgfältige Untersuchung
voraus, welche die Mengenlehre vermissen lässt. Man vergleiche den
Aufwand, der zur Bestimmung der mittleren Dichte von P nötig war, mit
der Leichtigkeit, mit der die Mengenlehre P und N als gleichmächtig
erklärt. Im Gegensatz zur Kontinuumshypothese sind mit dieser Definition
beliebige Mächtigkeiten möglich. (Die Kontinuumshypothese ist in
Wahrheit keine Hypothese sondern eine zwangsläufige Folge der Mächtig-
keitsdefinition.)

Von den genannten Abbildungen halten nur die Abbildungen von Pot(Dq)
auf D(q-1) und insbesondere von Pot(D1) auf N einer strengen Kontrolle
stand. Die Potenzmenge aller in der Teilmenge
Tm = {0, 1, 2, 3, ..., (2^m - 1)} enthaltenen Zweierpotenzen lässt sich
umkehrbar eindeutig (und lückenlos) auf die ebenfalls in Tm enthaltenen
natürlichen Zahlen abbilden. Das gilt für beliebige Tm. N und Pot(D1) haben
daher die gleiche mittlere Dichte und sind gleichmächtig.

3 Irrationale Zahlen

Die sog. irrationalen Zahlen sind keine Zahlen sondern Variablen. Mit
jeder irrationalen Variablen ist eine Rechenvorschrift verbunden, mit
der ihr bei Bedarf eine rationale Zahl zugewiesen wird. (Ohne diese
wie auch immer geartete Vorschrift ist die "Zahl" nicht definiert.)
Bei unbegrenzter Anwendung der Rechenvorschrift ergibt sich eine endlose
Folge von rationalen Zahlen, deren Grenzwert man als irrationale Zahl
bezeichnen kann. Zur Anwendung kommt aber nie diese Zahl sondern immer
nur die Variable, weil die Zahl nicht bekannt ist und auch nie bekannt
sein wird (näherungsweise bekannt ist nur eine andere Ausdrucksweise
für die Anwendung der Variablen, denn eine Zahl hat nur einen einzigen,
unveränderbaren Wert). Die irrationalen Grenzwerte sind also nur eine
unpräzise Fiktion. Bisher wurden alle Approximationen mit rationalen
Zahlen ausgeführt, weil keine irrationalen Zahlen bekannt sind, diese
werden vielmehr selbst rational approximiert. Es sind keine zwei
irrationalen Zahlen bekannt, die so dicht beieinander liegen, dass
nicht noch beliebig viele rationale Zahlen dazwischen Platz hätten.
Dies dürfte nicht der Fall sein, wenn die Behauptung zuträfe, dass I
dichter ist als Q. Dann wiederum wären die irrationalen Zahlen nicht
beliebig genau rational approximierbar und damit undefiniert. Es ist
nicht möglich, eine beliebige reelle Zahl mit irrationalen Zahlen zu
approximieren ohne indirekt auf rationale Zahlen zurückzugreifen.
Dagegen kann jede reelle Zahl beliebig genau rational approximiert
werden, das ist sogar Voraussetzung für ihre Existenz. (Diese Ausdrucks-
weise ist eigentlich falsch, denn es werden keine Zahlen sondern unbe-
kannte Lösungen von Aufgaben oder Problemen approximiert. Eine "Zahl",
die _nur_ durch eine Approximation definiert wird, ist daher keine Zahl
sondern Ausdruck eines nicht exakt lösbaren Problems, für das es nicht
gelingt, die passende Lösungszahl zu finden.)

Mit einem digitalen System, wie es jedes Zahlensystem ist, lässt sich
kein Kontinuum ohne Restfehler darstellen. Im Unterschied zu technischen
Anwendungen lässt sich das mathematische "Quantisierungsrauschen"
beliebig klein machen aber grundsätzlich nicht völlig vermeiden. Die
irrationalen Variablen sind der mathematische Ausdruck dieser Tatsache.
Es wäre erstaunlich, wenn alle Problemlösungen deckungsgleich mit dem
digitalen Raster eines Zahlensystems wären. Die Eigenschaft einer
Problemlösung, mit einer rationalen Zahl beschreibbar zu sein oder
nicht, ist invariant gegenüber allen Zahlensystemen, die auf den natür-
lichen Zahlen aufbauen (andere sind nicht bekannt). Das bestätigt, dass
es sich um ein Deckungsproblem mit dem digitalen Zahlenraster handelt,
denn alle Zahlensysteme lassen sich auf dasselbe rationale System
zurück führen, das aus den ganzen Zahlen und den Quotienten aus zwei
ganzen Zahlen besteht.

Jede irrationale Zahl lässt sich als Summe einer rationalen und einer
irrationalen Zahl darstellen. Diese Aufspaltung in zwei Summanden
erfolgt bei jeder numerischen Berechnung. Der bekannte Teil einer
irrationalen Zahl ist immer ein rationaler Summand. Der verbleibende
Rest ist eine unbekannte irrationale Zahl. Die irrationalen Reste
gehören einem Intervall an, das sich prinzipiell beliebig klein machen
lässt. Dieses Intervall hat den Charakter eines mathematischen Grund-
rauschens. Seine Grösse ist nicht fest vorgegeben sondern hängt von den
technischen Möglichkeiten ab. Jede irrationale Zahl ist die Summe einer
exakt bekannten rationalen Zahl und einer grundsätzlich unbekannten
irrationalen Zahl aus dem Intervall des Grundrauschens.

Für die irrationalen Zahlen fehlt nicht nur der Existenzbeweis, sie
sind sogar überflüssig. Der direkte Beweis ihrer Existenz durch Angabe
des exakten numerischen Wertes wenigstens einer irrationalen Zahl wird
nie gelingen, der indirekte Beweis ist nicht möglich, weil sich die
Eigenschaften endlicher Mengen nicht auf unendliche Mengen übertragen
lassen und das Aufstellen beweisbarer spezieller Regeln für unendliche
Mengen nicht möglich ist, weil es keine realen unendlichen Mengen zur
Überprüfung solcher Regeln gibt. (Hier sind nicht die induktiven sondern
die strukturlosen unendlichen Mengen gemeint (s. Abschn.4), die Voraus-
setzung für die Existenz der irrationalen Grenzwerte sind.) Überflüssig
sind sie, weil es bei symbolischen Rechnungen keinen Unterschied macht,
ob die Symbole als Variablen oder Zahlen interpretiert werden, während
sie in numerischen Berechnungen ohnehin durch rationale Zahlen ersetzt
werden. Tatsächlich ist kein mathematisches Problem denkbar, das sich
bei Verzicht auf die irrationalen Grenzwerte nicht mehr oder nicht mehr
so genau lösen lässt wie ohne diesen Verzicht. Eine Theorie mit dem
Anspruch, axiomatische Grundlage einer Disziplin zu sein, sollte ohne
überflüssige Begriffe auskommen.

4 Der Begriff Unendlich

Der Begriff Unendlich ergibt sich aus dem Bildungsgesetz der natürlichen
Zahlen. Jede natürliche Zahl entsteht aus der vorhergehenden durch
Addition von 1, und zu jeder gegebenen Zahl lässt sich eine noch größere
konstruieren. Da sich für diesen Prozess keine obere Grenze angeben
lässt, gelangt er grundsätzlich nie an ein Ende. N kann daher keine
abgeschlossene Menge sein, denn dann wäre der Prozess zum Stillstand
gekommen. An welcher Stelle aber hätte der Stillstand eintreten sollen?
Unendlich ist also eine Methode, die sinnvoll nur auf endliche Mengen
anwendbar ist. Das führt zu folgender
D e f i n i t i o n : Eine unendliche Menge ist eine nicht abge-
schlossene endliche Menge, deren Elemente mit der Methode Unendlich
beliebig vermehrt werden können (induktiver Unendlichkeitsbegriff).

Obwohl die Mengenlehre den Begriff Unendlich ebenfalls induktiv defi-
niert, macht sie häufig stillschweigend von einem anderen, dem struktur-
losen Unendlichkeitsbegriff Gebrauch, der nachfolgend erläutert wird.

Eine unendliche Menge ist entweder unvollständig (offene oder induktive
Menge) oder strukturlos (abgeschlossene Menge). Die Strukturlosigkeit
lässt sich am Beispiel der natürlichen Zahlen einsehen. Diese lassen
sich in aufsteigender Folge so anordnen, dass sich benachbarte Zahlen
um 1 unterscheiden. Das gilt aber nur für endliche Teilmengen. Sobald
die unendliche Menge aller natürlichen Zahlen betrachtet wird (falls sie
existiert), müssen auch matürliche Zahlen mit unendlich vielen Stellen
berücksichtigt werden. Dann treten beim Versuch, zwei benachbarte Zahlen
anzugeben, dieselben Probleme auf wie beim Versuch, zwei benachbarte
irrationale Zahlen zu finden. Es ist auch keine Aussage darüber möglich,
ob eine unendliche natürliche Zahl gerade oder ungerade ist, ob sie eine
Primzahl ist oder welche Faktoren sie enthält. Anders ausgedrückt: Wenn
die grösste Zahl (und damit auch alle anderen Zahlen) einer Menge natür-
licher Zahlen eine der genannten Eigenschaften aufweist, ist die Menge
endlich. Daraus folgt, dass N (wenn sie keine offene endliche Menge nach
obiger Definition ist) unendlich viele strukturlose Zahlen, also Zahlen
mit unbegrenzt vielen Stellen, enthalten muss, denn wenn man alle Zahlen
mit endlich vielen Stellen weglässt, vernachlässigt man nur eine end-
liche Zahlenmenge.

Beim strukturlosen Unendlichkeitsbegriff entfällt die Eigenschaft der
Unvollständigkeit. Ihm liegt die Vorstellung zugrunde, dass eine unend-
liche Menge eine abgeschlossene Menge ist, die den endlichen Mengen als
eigenständiges Gebilde gegenübersteht. Zwischen ihnen gibt es keinen
kontinuierlichen Übergang. Beim Übergang von einer endlichen zu einer
unendlichen Menge ist der letzte Schritt ein unendlich weiter Sprung,
die unendliche Menge taucht wie ein Deus ex machina aus dem Nichts auf
und verleibt sich die noch endliche Menge ein. Das Symbol oo steht in
diesem Fall stellvertretend für die Gesamtheit aller Zahlen mit unend-
lich vielen Vorkommastellen. Bei konsequenter Anwendung dieses Unend-
lichkeitsbegriffs ist daher die Auswertung eines Ausdrucks der Form
oo/oo nicht möglich, weil sich keine Zahlen mit unendlich vielen Stellen
realisieren lassen und man auch nicht wüsste, welche von ihnen einzu-
setzen ist. Da die Existenz von natürlichen Zahlen mit unendlich vielen
Stellen vorausgesetzt wird, ist auch die Existenz von irrationalen
Zahlen gesichert, sie sind in diesem Fall der Quotient von zwei unend-
lichen natürlichen Zahlen. --(Auch die Konstruktion von irrationalen
Zahlen als Grenzwert konvergenter unendlicher Reihen setzt die Existenz
von unendlichen ganzen Zahlen voraus. Denn damit die als rationale
Brüche darstellbaren Summanden gegen 0 streben, müssen im Nenner unend-
liche ganze Zahlen möglich sein. Um das Problem zu vermeiden, müsste
die Existenz beliebig kleiner irrationaler Zahlen vorausgesetzt werden
bevor die erste konstruiert wurde. Auch wäre zu klären, ab welcher
Stelle der Reihe sie auftreten sollen. Diese Konstruktion ist ein logi-
scher Zirkel.)-- Auch zwischen rationalen und irrationalen Zahlen gibt
es keinen kontinuierlichen Übergang, es handelt sich um getrennte
Welten, wobei die Welt der Zahlen mit unendlich vielen Stellen
spekulativen Charakter hat.

Wie sehr diese Welten getrennt sind, wird an einem Beispiel erläutert.
Zwei endliche Mengen sind gleichmächtig, wenn die Zahl ihrer Elemente
gleich ist. Fügt man einer Menge auch nur ein Element hinzu, ist sie
die mächtigere. Unendliche Mengen haben diese Eigenschaft nicht. Selbst
die Vereinigungsmenge beliebig vieler gleichmächtiger unendlicher Mengen
hat (nach der Mengenlehre) dieselbe Mächtigkeit. Würde man durch Hinzu-
fügen von unbegrenzt vielen Elementen versuchen, einen kontinuierlichen
Übergang von einer endlichen zu einer unendlichen Menge auszuführen,
müsste sich diese Eigenschaft an einer Stelle ändern. Ein solcher
Umschlagpunkt ist aber nicht definierbar, nicht einmal vorstellbar.
Wenn sich die Eigenschaften endlicher und unendlicher Mengen so radikal
unterscheiden, ist auch aus den Eigenschaften endlicher Teilmengen kein
Rückschluss auf die Eigenschaften einer unendlichen Menge möglich.
Deshalb ist beim strukturlosen Unendlichkeitsbegriff auch keine Aus-
wertung von unbestimmten Ausdrücken möglich, da hierbei immer ein Rück-
griff auf endliche Teilmengen nötig ist.

Für die Existenz abgeschlossener und daher strukturloser unendlicher
Mengen gibt es keinen Beweis. Da es in der Realität keine unendlichen
Mengen gibt, könnte es sich bei ihnen nur um Mengen von abstrakten
Begriffen handeln. Diese entstehen in den Köfpen der Menschen. Da deren
Zahl endlich ist, da die Menschheit nicht ewig existiert und da das
Denken mit endlicher Geschwindigkeit erfolgt, kann es nur endlich viele
abstrakte Begriffe geben. Auch mit induktiven Methoden lassen sich nur
endliche Mengen erzeugen, weil jeder Erzeugungsvorgang endliche Zeit in
Anspruch nimmt. Die Annahme, dass sich abgeschlossene, fertige unend-
liche Mengen mit unendlicher Geschwindigkeit erzeugen lassen, ist nicht
zulässig, weil eine unendliche Geschwindigkeit nicht vorausgesetzt
werden kann bevor die Existenz unendlicher Grössen bewiesen wurde. Nach
obiger Definition wäre eine unendliche Geschwindigkeit ohnehin nur eine
unbekannte, ständig wachsende, aber doch immer noch endliche Geschwin-
digkeit. Die Annahme der Existenz abgeschlossener unendlicher Mengen
bedeutet daher, dass sie a priori existieren müssen. Die Existenz von
a priori vorhandenen Grössen oder Eigenschaften ist aber grundsätzlich
nicht beweisbar oder unmittelbar einsehbar, sie muss geglaubt werden.
(Und dieser Glaube stellt sich regelmässig als Notlösung ein, wenn keine
andere Erklärung gefunden wird.) Das gilt besonders für unendliche
Mengen, die sich in Wahrheit niemand vorstellen kann. (Sollte es doch
jemanden geben, könnte er es nicht beweisen. Es zählen aber nur beweis-
bare oder unmittelbar einsehbare Aussagen.) Solche Grössen eignen sich
daher nicht als Axiome einer exakten Wissenschaft. Es bleibt daher nur
die Möglichkeit, unendliche Mengen im Sinne obiger Definition zu ver-
stehen. Das gilt auch für die Zahlen, die nach aller Erfahrung erst bei
Bedarf nach einem fest vorgegebenen Schema erzeugt werden und nicht
a priori existieren. Aber selbst wenn man ihre Existenz a priori voraus-
setzt, ist nichts gewonnen, denn worin besteht der Unterschied zwischen
Zahlen, von deren Existenz man zwar überzeugt ist, die sich aber dennoch
(wie die irrationalen Grenzwerte) auf grund ihrer Definition nicht
realisieren lassen, und solchen Zahlen, die tatsächlich nicht
existieren? Die Aussagefähigkeit des mathematischen Existenzbegriffs
würde fraglich werden.

Beim induktiven Unendlichkeitsbegriff entfällt die Eigenschaft der
Strukturlosigkeit. Er beruht auf obiger Definition, wonach eine unend-
liche Menge eine offene unvollständige endliche Menge ist. Er kennt
keine Zahlen mit unendlich vielen Stellen und daher auch keine irratio-
nalen Grenzwerte. Irrationale Zahlen sollten daher richtigerweise als
irrationale Variablen bezeichnet werden. Da es keine scharfe Grenze
zwischen endlichen und unendlichen Mengen gibt, findet bei der Annähe-
rung an einen Grenzwert kein echter Grenzübergang sondern nur eine
beliebig weitgehende Annäherung statt, wenn auch die Bezeichnung Grenz-
übergang wegen der bequemeren Ausdrucksweise üblich ist. Unbestimmte
Ausdrücke wie oo/oo bereiten keine Schwierigkeiten, weil sich hinter
dem Symbol oo jetzt keine unerreichbaren Zahlen mit unendlich vielen
Stellen verbergen sondern unbegrenzte endliche Folgen, die sich in
bekannter Weise auswerten lassen. Die Epsilon-Delta-Methode nach
WEIERSTRASS stützt sich ausschliesslich auf den induktiven Unendlich-
keitsbegriff und stellt damit die Infinitesimalrechnung auf ein sicheres
Fundament. Die Mengenlehre verhält sich widersprüchlich. Da sie den
Begriff Unendlich induktiv definiert, müsste für Q, N und deren Teil-
mengen die Mächtigkeit wie in Abschn. 2 erläutert gleich der mittleren
Dichte sein. Der Mächtigkeitsbegriff der Mengenlehre setzt jedoch den
strukturlosen Unendlichkeitsbegriff voraus.

Zur Unterscheidung von den abzählbar unendlichen Mengen, zu denen Q und
N gehören (N enthält in diesem Fall nur Zahlen mit endlich vielen
Stellen), könnte man die strukturlosen Mengen, zu denen I und die Menge
der natürlichen Zahlen mit unendlich vielen Stellen gehören würden, als
transfinite Mengen bezeichnen. Transfinit ist also nur ein anderer Aus-
druck für strukturlos (und spekulativ). Strukturlose Mengen haben keine
Eigenschaften und daher auch keine unterschiedlichen Mächtigkeiten.
Daher kann eine strukturlose Menge auch gleichmächtig sein wie eine
ihrer echten Teilmengen, weil diese Aussage in diesem Fall ohnehin
inhaltslos ist.

Das Bestreben, die Zahlenmenge als Kontinuum aufzufassen, ist ein Wider-
spruch in sich. Ein perfektes Kontinuum ist völlig strukturlos ohne
Anfang und Ende, denn an diesen Stellen müsste es eine ausgeprägte
Struktur aufweisen. Auch an den Grenzen der Strukturbereiche würden
Änderungen auftreten, die dem Begriff des perfekten Kontinuums wider-
sprechen. Würden die Zahlen ein solches Kontinuum bilden, wären sie
zum Rechnen ungeeignet, da sie nicht unterscheidbar wären. Wollte man
zur Vermeidung dieses Problems auf die Perfektion des Kontinuums ver-
zichten, stellt sich die Frage, welche Eigenschaft nicht kontinuierlich
sein soll. Es müsste jedenfalls eine für die Methamatik relevante sein.
Damit ist aber die Vorstellung von der Kontinuität der Zahlenmenge
bereits aufgeweicht wenn nicht sogar ad absurdum geführt. Wenn man an
der Vorstellung der irrationalen Zahlen als irrationale Grenzwerte
festhält, bilden sie das überflüssige und nicht fassbare Kontinuum,
während der für die Mathematik allein brauchbare strukturierte Anteil
der Zahlenmenge von den rationalen Zahlen gestellt wird.

--
Dieter Jungmann, Gartenstrasse 18, D-56858 Mittelstrimmig
dtr.ju...@t-online.de

Falls einige News-Server die Umlaute nicht richtig uebertragen sollten,
kann man von einem Suchprogramm folgende Substitutionen ausfuehren
lassen:
=C4 --> Ä (od. Ae), =D6 --> Ö, =DC --> Ü
=E4 --> ä, =F6 --> ö, =FC --> ü

Rainer Rosenthal

unread,
Jan 2, 2001, 3:16:27 PM1/2/01
to

Dieter Jungmann <dtr.ju...@t-online.de> wrote in message
news:3A5214BA...@t-online.de...

> Ein Fehler in CANTORs Beweis besteht in der (versuchsweisen) Annahme,
> die Liste sei vollständig

Hallo Dieter,

dies ist kein Fehler in Cantors Beweis sondern sein Beweis besagt,
dass es ein Fehler wäre, an eine vollständige Liste zu glauben.

> Jeder Test kann daher
> nur ihre Unvollständigkeit bestätigen, weitergehende Schlüsse sind nicht
> möglich

Also stimmst Du Cantor zu, dass die Liste unvollständig sein muss.
Weitergehende Schlüsse zu verbieten, erscheint mir recht kess. Denn
der forschende Geist - und wenn jemand einen solchen besass, dann
sicher der grosse Cantor - fragt sich doch beklommen, als "wie gross"
man Mengen einzuschätze hat, die sich jeder Auflistung entziehen.

> Das wird am Beispiel von CANTORs vermeintlichem Beweis gezeigt, dass Q
> und N gleichmächtig seien. Das Wesentliche lässt sich durch Vergleich
> mit einem einfachen Gegenbeweis erläutern

Der "Gegenbeweis" erinnert fatal an die Argumentation, es gebe weniger
gerade natürliche Zahlen als natürliche Zahlen überhaupt. Motto: Es ist ja
nur jede zweite natürliche Zahl gerade, also ...
Dabei ist ja der ganze Witz darin begründet, dass mit n -> 2*n eine
Bijektion hergestellt wird. Wenn man so will: eine vollständige Liste aller
geraden natürlichen Zahlen.

Und ebenso ist das lustig-geniale Zickzack-Verfahren zum Aufzählen der
Tabelle der Brüche ( = positive rationale Zahlen) eben der Beweis dafür,
dass Q+ (und damit auch Q) in eine vollständige Liste passt, also zu N
gleichmächtig ist.

============

Bei den Astronomen gibt eine strikte Abgrenzung zu den Astrologen. Wieso
gibt es in Mathematik keine solche offizielle Abgrenzung ?
Ich bin nämlich ziemlich fest davon überzeugt, dass für Dich die Suche nach
der Erkenntnis und die Phase des Selbstzweifels seit längerer Zeit abge-
schlossen ist.
Das dsm-Forum dient aber eher der Diskussion als der Agitation.
Ich würde mich trotzdem freuen, wenn es zu einer Diskussion kommen könnte.

Nach der Proklamation Deines Manifests müssten dann aber einzelne Punkte
ausgewählt und einzeln behandelt werden. Ich habe lediglich einige wenige
ausgewählt, um Dein Posting nicht unwidersprochen und schädlich stehen zu
lassen. Schädlich deswegen, weil so mancher meinen könnte, dass "dieser
ganze Cantor-Kram" ja doch nix gescheites und lernenswertes wäre und sich
um die nicht geringe Arbeit drückt, die im Nachvollziehen von Cantors
Gedanken liegt.

Gruss,
Rainer

Thomas Haunhorst

unread,
Jan 2, 2001, 4:00:37 PM1/2/01
to
On Tue, 02 Jan 2001 18:49:46 +0100,
Dieter Jungmann <dtr.ju...@t-online.de> wrote:

>1.1 Irrationale Zahlen als rationale Folgen

>Da dies für alle Vergleiche jeder irrationalen Zahl mit

>jeder anderen gilt, muss es zu jeder irrationalen Zahl wenigstens eine
>rationale Zahl geben, die nur mit ihr verknüpft ist.

Was meinst Du mit "verknuepft"? Kannst Du so eine Verknuepfung angeben?

>1.3 Die Potenzmenge der Menge P der Primzahlen
>
>P ist eine unendliche Teilmenge von N und daher per definitionem gleich-
>mächtig wie N. Pot(P) sollte wie jede Potenzmenge einer unendlichen
>Menge überabzählbar sein. Da sie sich aber auf eine Teilmenge von N
>abbilden lässt, schliessen sich die beiden Aussagen aus.
>B e w e i s : Die Potenzmenge ist definiert als Menge aller Teilmengen
>der Grundmenge einschließlich der leeren Menge und der Grundmenge. Zu
>den Elementen von Pot(P) gehören daher alle Primzahlen

alle Mengen von Primzahlen

>und alle Teil-
>mengen, die 2, 3, 4, ... verschiedene Primzahlen enthalten. Da es keine
>2 identische Teilmengen gibt und die Primzahlen keine Faktoren enthal-
>ten, unterscheiden sich alle Zahlen, die sich als Produkte der Prim-
>zahlen der Teilmengen darstellen lassen.

Hier betrachtest Du endliche Teilmengen von Primzahlen.

>Jedem Element von Pot(P) lässt
>sich daher umkehrbar eindeutig eine natürliche Zahl zuordnen, die
>entweder eine Primzahl oder ein Produkt von ersten Potenzen von _
>Primzahlen ist.

Jeder endlichen Menge von Primzahlen kannst Du in eindeutiger Weise eine
natuerliche Zahl durch Produktbildung ihrer Elemente zuordnen. Diese Funktion
ist injektiv. Aber was machst Du mit den unendlichen Primzahlmengen?

>1.4 Die Potenzmenge der Menge der Zweierpotenzen

Siehe oben.

>2 Die Mächtigkeitsdefinition
>
>Ursache der Widersprüche ist die Mächtigkeitsdefinition. Eine Menge
>kann nicht gleichmächtig wie eine ihrer echten Teilmengen sein.

Wieso? N ist glm zu 2N (einfach zu zeigen.)
Bei endlichen Mengen hast Du natuerlich recht. Mir scheint, dass Du auch
bei den obigen "Beweisen" immer nur von Endlichkeiten ausgehst.

>Ihre Anwendung auf unendliche Mengen lehnt die Mengenlehre ab.

n|->2n zeigt doch aber, dass es geht.

>Das führt
>zu einer ausweglosen Situation. In der Realität gibt es keine unend-
>lichen Mengen.

Das ist die Crux in Deiner Denkweise. Wie in Deinen obigen "Beweisen" hast
Du Dich von dieser Praemisse leiten lassen.

>Auch die Einlassung, man könne sie sich aber vorstellen,
>hilft nicht weiter, denn bekanntlich kann man sich auch etwas falsches
>vorstellen (den meisten Menschen fällt das sogar besonders leicht).
>Jede nur auf Vorstellung beruhende Aussage muss sich deshalb an der
>Realität messen lassen.

Zenons Paradoxon faellt mir gerade dazu ein, aber die Schildkroete kann zum
Glueck doch noch ueberholt werden.

>Da hier diese Möglichkeit entfällt, bleibt
>als einziges (und letztlich doch unsicheres) Hilfsmittel nur eine
>unbedingt zuverlässige Logik.

Und die Erfahrung, dass Schildkroeten doch nicht Olympiasieger werden
koennen. ;-)

>Die Gesetze der bekannten Logik wurden
>aber aus dem Verhalten endlicher Mengen abgeleitet und auch nur an
>ihnen erprobt.
>Eine Anwendung dieser Regeln auf unendliche Mengen
>lehnt die Mengenlehre ab.

Das tut sie sicher nicht. Die Mengenlehre kann das garnicht, sondern nur
die Menschen, die sie nicht akzeptieren. Du vertrittst hier einen intuitio-
nistischen Standpunkt.

>Da sie keine erprobte Alternative anzubieten
>hat, sind alle ihe Aussagen über unendliche Mengen spekulativ.

Auf die Konsequenzen kommt es an, will sagen: dass die Schildkroete letztend-
lich doch von Achill eingeholt wird, laesst sich mathematisch durch eine Reihe
zeigen. So eine (unendliche) Folge beschreibt also gut, was wir auch erfahren.
Wenn sie das aber tut, dann spricht in meinen Augen nichts dagegen, solche
Erfahrungen auch so mathematisch zu modellieren.

>Der Grund für das paradoxe Ergebnis ist, dass die
>Abbildung von Pot(P) auf N nur für endliche Teilmengen gilt und kein
>Rückschluss auf das Verhältnis der unendlichen Mengen P und N möglich

>ist...

Huch, hier steht ja meine Argumentation. Aber Du machst meiner Ansicht nach
einen entscheidenden Fehler, naemlich: Einerseits versuchst Du im Rahmen der
Mengenlehre zu beweisen, dass Pot(P) glm zu N ist, andererseits lehnst Du aber
die "Unendlichkeit" als spekulatives Element ab. Wenn Du Infinity ablehnst und
ein Axiomensystem der Mengenlehre mit (non Inf) aufstellst, dann gibt es aber
auch keine Menge N. Du kannst also obige Behauptungen auch nicht aufstellen,
und was nicht aufzustellen ist, kann auch nicht bewiesen werden.


>
>Das wird am Beispiel von CANTORs vermeintlichem Beweis gezeigt, dass Q
>und N gleichmächtig seien. Das Wesentliche lässt sich durch Vergleich
>mit einem einfachen Gegenbeweis erläutern.

Es ist klar, dass Cantors Beweis Humbug ist, wenn Du Infinity ablehnst.
Andererseits, wenn Du Deinen Standpunkt selbst relativierst und Dich
fuer einen Moment auf Infinity einlaesst, dann darfst Du aber dann nicht mehr
zwischenduch (non Infinity) einfliessen lassen. Das ist in der Tat unmathema-
tisch.

[Und wieder betrachtest Du im folgenden nur endliche Mengen]

>Mit der Mächtigkeit ist bei endlichen Mengen die Anzahl ihrer Elemente
>gemeint. Da bei unendlichen Mengen die Zahl ihrer Elemente nicht bekannt
>ist, kann auch ihre Mächtigkeit nicht angegeben werden.

Die Maechtigkeit der Menge der natuerlichen Zahlen ist die Kardinalzahl
|N|. Mit solchen Zahlen kann man rechnen!


Gruss

Thomas.
--

Boris 'pi' Piwinger

unread,
Jan 2, 2001, 4:39:12 PM1/2/01
to
Dieter Jungmann <dtr.ju...@t-online.de> wrote:

>P, Q, I Menge der Primzahlen, rationalen Zahlen, irrationalen Zahlen

>1. Widersprüche


>
>1.1 Irrationale Zahlen als rationale Folgen

[rationale Folge, die gegen eine gegebene Zahl konvergiert]


>Daraus ergibt sich unter der Voraussetzung, dass die Gesetze der Logik
>uneingeschränkt gelten, folgende Konsequenz: Es ist nicht möglich, zwei
>verschiedene irrationale Zahlen anzugeben, deren rationale Folgen sich
>nicht in wenigstens einer rationalen Zahl unterscheiden (sonst wären
>sie identisch).

Richtig.

>Da dies für alle Vergleiche jeder irrationalen Zahl mit
>jeder anderen gilt, muss es zu jeder irrationalen Zahl wenigstens eine
>rationale Zahl geben, die nur mit ihr verknüpft ist.

Und schon haben wir einen Fehler. Gut, dass man sich damit den Rest
des Artikels schenken kann. Danke, dass der Fehler nicht erst in Zeile
1237 versteckt war.

pi
--
One of the three most powerful tools in mathematics is abuse of notation.
(Gerald Sacks)

Harald Schumann

unread,
Jan 3, 2001, 5:46:00 PM1/3/01
to
Grüß Dich, Boris.

BpP>Gut, dass man sich damit den Rest des Artikels schenken kann.

Nein! Unbedingt zu Ende lesen - das Ding wimmelt von Köstlichkeiten. Ich
hab's jedenfalls umgehend meiner Sammlung der komischsten Usenet-Artikel
einverleibt. :-)

Glückauf! Harald

Detlef Mueller

unread,
Jan 5, 2001, 1:08:22 PM1/5/01
to
Dieter Jungmann wrote:
>
...

> 1.1 Irrationale Zahlen als rationale Folgen
>
...

> Daraus ergibt sich unter der Voraussetzung, dass die Gesetze der Logik
> uneingeschränkt gelten, folgende Konsequenz: Es ist nicht möglich, zwei
> verschiedene irrationale Zahlen anzugeben, deren rationale Folgen sich
> nicht in wenigstens einer rationalen Zahl unterscheiden (sonst wären
> sie identisch).
>
Klar.

> Da dies für alle Vergleiche jeder irrationalen Zahl mit
> jeder anderen gilt, muss es zu jeder irrationalen Zahl wenigstens eine
> rationale Zahl geben, die nur mit ihr verknüpft ist.
>

Falsch. Dies ist nur der Gramatik nach
eine Schlussfolgerung.
Allerdings kein Argument, sondern
Unsinn. Und fertig.
...
>
> 1.2 CANTORs Diagonalbeweis
>
...
Die Annahme:

> Die Liste sei vollständig. ...

Fuehrt zum Widerspruch:

> man eine neue irrationale Zahl. Da sich alle irrationalen Zahlen der
> Tabelle in mindestens einer Stelle von der irrationalen Diagonalzahl
> unterscheiden, kann sie entgegen der ursprüngliche Annahme nicht in der
> Tabelle enthalten sein (auf die exakte Begründung kann hier verzichtet
> werden).

Also ein korrekter Widerspruchsbeweis.

> Da CANTOR die neue ganze Zahl ignoriert,
>

Tut er nicht, er braucht sie ja fuer seinen Widerspruch.

...


>
> Ein Fehler in CANTORs Beweis besteht in der (versuchsweisen) Annahme,

> die Liste sei vollständig. ...

Grins. Kein weiterer Kommentar hierzu.
...


>
> 1.3 Die Potenzmenge der Menge P der Primzahlen
>
> P ist eine unendliche Teilmenge von N und daher per definitionem gleich-
> mächtig wie N.
>

So siehts aus.

> Pot(P) sollte wie jede Potenzmenge einer unendlichen
> Menge überabzählbar sein.
>

Sollte sie, ja.

> Da sie sich aber auf eine Teilmenge von N
> abbilden lässt, schliessen sich die beiden Aussagen aus.
> B e w e i s : Die Potenzmenge ist definiert als Menge aller Teilmengen
> der Grundmenge einschließlich der leeren Menge und der Grundmenge. Zu
> den Elementen von Pot(P) gehören daher alle Primzahlen und alle Teil-
> mengen, die 2, 3, 4, ... verschiedene Primzahlen enthalten.
>

Falsch. Die Menge Der Primzahlen die modulo 4 gleich -1 sind,
ist z.B. in der Auflistung nicht enthalten.

Praemisse falsch: Beweis Murks.
Und fertig.

>
> 1.4 Die Potenzmenge der Menge der Zweierpotenzen
>
> Es sei D1 = {2^k | k = 0, 1, 2, 3, ...} die Menge der Zweierpotenzen.
> Pot(D1) lässt sich auf N abbilden, indem der leeren Menge die 0 und
> jeder Teilmenge {2^km, 2^kn, ...} von Pot(D1) die Summe
> (2^km + 2^kn + ...) zugeordnet wird.
>

Falsch. Die Menge Der Primzahlen die modulo 4 gleich -1 sind,
ist z.B. wie oben in der Auflistung nicht enthalten.

Praemisse falsch: Beweis Murks.
Und fertig.
...


>
> 1.5 Gleichzerlegungsprobleme
>
> Das Kreisquadrierungsproblem von TARSKI besagt, dass ein Kreis und ein
> flächengleiches Quadrat mit den Methoden der Mengenlehre gleichzerlegbar
> sind. Nach dem BANACH-TARSKI-Paradoxon sind zwei dreidimensionale Körper
> mit unterschiedlichem Volumen gleichzerlegbar. Beides steht im Wider-
> spruch zu den Ergebnissen der analytischen Geometrie.
>

Falsch.
Die Ergebnisse der analytischen Geometrie stellen
Messbarkeitsvoraussetzungen an die vorkommenden
Teilmengen.
Diese sind bei den im BANACH-TARSKI-Paradoxon
vorkommenden Mengen nicht gegeben.

Wieder Murks.

...

> 2 Die Mächtigkeitsdefinition
>
> Ursache der Widersprüche ist ...
>
Es wurden keine Widersprueche gezeigt, also ist das
folgende Gegenstandslos.


> 3 Irrationale Zahlen
>
> Die sog. irrationalen Zahlen sind keine Zahlen sondern Variablen.

...
Es folgt eine drollige Beschreibung der wohldefinierten
irrationalen Zahlen als "unprazise"
...
[irrationale Zahlen]


> werden vielmehr selbst rational approximiert. Es sind keine zwei
> irrationalen Zahlen bekannt, die so dicht beieinander liegen, dass
> nicht noch beliebig viele rationale Zahlen dazwischen Platz hätten.
>

Bekannt.

> Dies dürfte nicht der Fall sein, wenn die Behauptung zuträfe, dass I
> dichter ist als Q.
>

Quatsch. Wie soll denn "dichter" definiert sein?
Dicht im Top. Sinne ist eine Menge oder nicht.

> Dann wiederum wären die irrationalen Zahlen nicht
> beliebig genau rational approximierbar und damit undefiniert.
>

Wieso denn das nicht?

> Es ist
> nicht möglich, eine beliebige reelle Zahl mit irrationalen Zahlen zu
> approximieren ohne indirekt auf rationale Zahlen zurückzugreifen.
>

Wieso das nicht?

> Dagegen kann jede reelle Zahl beliebig genau rational approximiert
> werden, das ist sogar Voraussetzung für ihre Existenz. (Diese Ausdrucks-
> weise ist eigentlich falsch, denn es werden keine Zahlen sondern unbe-
> kannte Lösungen von Aufgaben oder Problemen approximiert. Eine "Zahl",
> die _nur_ durch eine Approximation definiert wird, ist daher keine Zahl
> sondern Ausdruck eines nicht exakt lösbaren Problems, für das es nicht
> gelingt, die passende Lösungszahl zu finden.)
>

Aus den rationalen Cauchykonvergenten Folgen die Nullfolgen
herauszudividieren fuehrt ganz exakt zu vollkommen eindeutigen
Objekten.
Da wird nichts "geschaetzt" oder "Approximiert".

> Mit einem digitalen System, wie es jedes Zahlensystem ist, lässt sich
> kein Kontinuum ohne Restfehler darstellen.
>

Deshalb braucht man ja "richtige" Zahlen, nicht die unzulaenglichen
Digitalen Zahlensysteme.
Die koennen "richtige Zahlen" (TM) naemlich nur unvollstaendig
naehern!
...


>
> Jede irrationale Zahl lässt sich als Summe einer rationalen und einer
> irrationalen Zahl darstellen. Diese Aufspaltung in zwei Summanden
> erfolgt bei jeder numerischen Berechnung. Der bekannte Teil einer
> irrationalen Zahl ist immer ein rationaler Summand. Der verbleibende
> Rest ist eine unbekannte irrationale Zahl. Die irrationalen Reste
> gehören einem Intervall an, das sich prinzipiell beliebig klein machen
> lässt. Dieses Intervall hat den Charakter eines mathematischen Grund-
> rauschens. Seine Grösse ist nicht fest vorgegeben sondern hängt von den
> technischen Möglichkeiten ab. Jede irrationale Zahl ist die Summe einer
> exakt bekannten rationalen Zahl und einer grundsätzlich unbekannten
> irrationalen Zahl aus dem Intervall des Grundrauschens.
>

Nun, das mag bei Informatik-Ueberlegungen Sinn machen,
was die Mathematik betrifft, ist es ziemlicher Unsinn.
Natuerlich ist der Alghoritmisch noch nicht bestimmte
Rest der Zahl eindeutig und wohlbekannt.

Ansonsten koennte man den Alghorithmus prinzipiell
ab einer bestimmten Stellenzahl nicht mehr weiterfuehren.
Kann man aber doch.

Ein Grundproblem scheint hier das Verwechseln
des Abstraktums "Zahl" mit einer Ziffernfolge
auf dem Papier zu sein.

Ganz verschiedene Ziffernfolgen koennen sich
auf die selbe Zahl beziehen, selbst im Rationalen
gibt es Zahlen, die sich in entsprechenden Systemen
nicht durch endliche Ziffernfolgen (n-adisch)
ausdruecken lassen.

Der Vorliegende Text scheint jedenfalls
von anderen Objekten zu sprechen, als denen,
die in der Mathematik unter dem Begriff
"Zahl" verstanden werden :)

> Für die irrationalen Zahlen fehlt nicht nur der Existenzbeweis, sie
> sind sogar überflüssig. Der direkte Beweis ihrer Existenz durch Angabe
> des exakten numerischen Wertes wenigstens einer irrationalen Zahl wird
> nie gelingen, der indirekte Beweis ist nicht möglich,

Ann:
(p/q)^2=2, p,q Ganz, Teilerfremd (sonst kuerzen).
=> p^2 = 2 q^2 => 2 teilt p^2 => 2 teilt p =>
4 teilt p^2 (=2q^2) => 2 teilt q^2 => 2 teilt q,
Widerspruch.
Also gibt es keine p,q mit (p/q)=Wurzel 2,
wohl aber eine Cauchyfolge, die gegen Wurzel
2 konvergiert, modulo Nullfolgen ist dies die
exakt bestimmte reelle Zahl Wurzel aus 2.
Diese ist also irrational.

...
>
> 4 Der Begriff Unendlich
>
...


> D e f i n i t i o n : Eine unendliche Menge ist eine nicht abge-
> schlossene endliche Menge, deren Elemente mit der Methode Unendlich
> beliebig vermehrt werden können (induktiver Unendlichkeitsbegriff).
>

Was soll abgeschlossen bedeuten? ohne das zu konkretisieren,
ist das hier keine vernuenftige Definition.

...


> um 1 unterscheiden. Das gilt aber nur für endliche Teilmengen. Sobald
> die unendliche Menge aller natürlichen Zahlen betrachtet wird (falls sie
> existiert), müssen auch matürliche Zahlen mit unendlich vielen Stellen
> berücksichtigt werden.
>

Nein, warum? Natuerliche Zahlen haben immer nur endlich
viele Stellen. Was anderes muss man nicht berücksichtigen.
Murks.
...

Bitte noch einmal mit korrekten Schlussfolegerungen
ueberarbeiten und klare Definitionen verwenden.

Wenn das ein Silvesterscherz war, bin ich
reingefallen und wuensche auch einen guten
Rutsch gehabt zu haben :)

Gruss,
Detlef

Dieter Jungmann

unread,
Jan 5, 2001, 7:57:29 PM1/5/01
to
Detlef Mueller schrieb:

>
> Dieter Jungmann wrote:
> >
> ...
> >
> > 1.2 CANTORs Diagonalbeweis
> >
> ...
> Die Annahme:
>
> > Die Liste sei vollständig. ...
>
> Fuehrt zum Widerspruch:
>
> > man eine neue irrationale Zahl. Da sich alle irrationalen Zahlen der
> > Tabelle in mindestens einer Stelle von der irrationalen Diagonalzahl
> > unterscheiden, kann sie entgegen der ursprüngliche Annahme nicht in der
> > Tabelle enthalten sein (auf die exakte Begründung kann hier verzichtet
> > werden).
>
> Also ein korrekter Widerspruchsbeweis.
>
Habe ich auch nicht bestritten. Es kommt auf die Schlussfolgerung an, die
daraus gezogen wird und die ist falsch, das ist im Artikel ausfuehrlich
begruendet.
>
> > Da CANTOR die neue ganze Zahl ignoriert,
> >
> Tut er nicht, er braucht sie ja fuer seinen Widerspruch.
>
Tut er doch, er benutzt nur die neue irrationale Zahl.
> ...

> > Da sie sich aber auf eine Teilmenge von N
> > abbilden lässt, schliessen sich die beiden Aussagen aus.
> > B e w e i s : Die Potenzmenge ist definiert als Menge aller Teilmengen
> > der Grundmenge einschließlich der leeren Menge und der Grundmenge. Zu
> > den Elementen von Pot(P) gehören daher alle Primzahlen und alle Teil-
> > mengen, die 2, 3, 4, ... verschiedene Primzahlen enthalten.
> >
> Falsch. Die Menge Der Primzahlen die modulo 4 gleich -1 sind,
> ist z.B. in der Auflistung nicht enthalten.
>
Wieso denn das? Die Primzahl 23 beispielsweise ist sowohl in P wie auch
in Pot(P) als Element enthalten und wird auf sich selbst abgebildet. Die
Kombination der Primzahlen 17 und 23 ist eine Teilmenge von P und somit
ein Element von Pot(P). Diesem Element von Pot(P) wird umkehrbar eindeutig
die Zahl 17 mal 23 = 391 in P zugewiesen. Das laesst sich fuer alle
Elemente
von Pot(P) durchfuehren. Weshalb sollten bestimmte Primzahlen davon ausge-
nommen sein.?

>
> >
> > 1.4 Die Potenzmenge der Menge der Zweierpotenzen
> >
> > Es sei D1 = {2^k | k = 0, 1, 2, 3, ...} die Menge der Zweierpotenzen.
> > Pot(D1) lässt sich auf N abbilden, indem der leeren Menge die 0 und
> > jeder Teilmenge {2^km, 2^kn, ...} von Pot(D1) die Summe
> > (2^km + 2^kn + ...) zugeordnet wird.
> >
> Falsch. Die Menge Der Primzahlen die modulo 4 gleich -1 sind,
> ist z.B. wie oben in der Auflistung nicht enthalten.
>
Gleiche Frage wie oben: Warum nicht? Wenn nicht ausnahmslos alle Elemente
von Pot(D1) auf N abbildbar waeren und umgekehrt, waere das Dualsystem zur
Darstellung der natuerlichen Zahlen ungeeignet. Muss ich das wirklich noch
deutlicher erklaeren? In was fuer eine Newsgroup bin ich bloss geraten?

Wenn nicht nur eine voruebergehende mentale Blockade vorliegt sondern tat-
saechlich noch Verstaendnisschwierigkeiten bestehen, bitte ich um eine
genaue Beschreibung derselben, damit ich dazu Stellung nehmen kann, denn
diese Frage ist von entscheidender Bedeutung. Die transfiniten Mengen sind
abstrakte Gebilde ohne nachpruefbaren realen Hintergrund. Fuer ihren
Existenzbeweis ist CANTORs Satz, dass jede Potenzmenge maechtiger ist als
die zugehoerige Grundmenge, unverzichtbar. Mit der Widerlegung dieses
Satzes
werden alle Aussagen der Mengenlehre ueber unendliche Mengen hinfaellig.
Daraus folgt u. a., dass auch die Begriffe irrationale Zahl und Unendlich
neu ueberdacht werden muessen. Nur unter dieser dieser Voraussetzung sind
meine Ausfuehrungen dazu sinnvoll. Ihre Eroerterung ergibt daher erst Sinn,
wenn die Frage der Potenzmengen geklaert ist.

Trotzdem lassen sich einige der kritisierten Punkte bereits vorab klaeren:

> >
> > Das Kreisquadrierungsproblem von TARSKI besagt, dass ein Kreis und ein
> > flächengleiches Quadrat mit den Methoden der Mengenlehre gleichzerlegbar
> > sind. Nach dem BANACH-TARSKI-Paradoxon sind zwei dreidimensionale Körper
> > mit unterschiedlichem Volumen gleichzerlegbar. Beides steht im Wider-
> > spruch zu den Ergebnissen der analytischen Geometrie.
> >
> Falsch.
> Die Ergebnisse der analytischen Geometrie stellen
> Messbarkeitsvoraussetzungen an die vorkommenden
> Teilmengen.
> Diese sind bei den im BANACH-TARSKI-Paradoxon
> vorkommenden Mengen nicht gegeben.
>

Genau deshalb können sie nicht mathematisch untersucht werden. Wenn man
es doch tut, kommen die paradoxen Ergebnisse heraus. Hier muss allerdings
geklaert werden, was man von der Mathematik erwartet. Ich gehe davon aus,
dass sie die Realitaet und nicht irgendwelche Geister- oder Phantasie-
welten beschreiben soll. Mit der Einbeziehung nicht messbarer Mengen
wird die Grenze zur Spekulation ueberschritten, weil sich diese Phaenomene
nie werden ueberpruefen lassen. Zumindest halte ich es nicht fuer sinnvoll,
eine solche Theorie zur axiomatischen Grundlage der Mathematik zu machen.
Ausserdem halte ich die Argumentation mit den nichtmessbaren Mengen fuer
einen logischen Fehler, weil dieser Begriff speziell eingefuehrt wurde,
um die Widersprueche der Mengenlehre zu verdecken.
>
> > 2 Die Mächtigkeitsdefinition
> ...


> > Dies dürfte nicht der Fall sein, wenn die Behauptung zuträfe, dass I
> > dichter ist als Q.
> >
> Quatsch. Wie soll denn "dichter" definiert sein?
> Dicht im Top. Sinne ist eine Menge oder nicht.
>
> > Dann wiederum wären die irrationalen Zahlen nicht
> > beliebig genau rational approximierbar und damit undefiniert.
> >
> Wieso denn das nicht?
>

Weil die irrationalen Zahlen mit einer Vorschrift definiert sind, mit
deren Hilfe eine fuer sie charakteristische rationale Folge erzeugt
wird. Wenn es mehr irrationale als rationale Zahlen gaebe, muesste
diese Folge abbrechen, bevor die irrationale Zahl vollstaendig
definiert ist. Vgl. auch Abschn. 1.1.


> > Es ist
> > nicht möglich, eine beliebige reelle Zahl mit irrationalen Zahlen zu
> > approximieren ohne indirekt auf rationale Zahlen zurückzugreifen.
> >
> Wieso das nicht?
>

Weil die irrationalen Zahlen ihrerseits rational approximiert werden.


>
> Nun, das mag bei Informatik-Ueberlegungen Sinn machen,
> was die Mathematik betrifft, ist es ziemlicher Unsinn.
> Natuerlich ist der Alghoritmisch noch nicht bestimmte
> Rest der Zahl eindeutig und wohlbekannt.
>
> Ansonsten koennte man den Alghorithmus prinzipiell
> ab einer bestimmten Stellenzahl nicht mehr weiterfuehren.
> Kann man aber doch.
>

Das bedeutet, daß der Alghorithmus zwar bekannt ist, was ich nie
bestritten habe, die eigentlich gesuchte Zahl ist aber unbekannt.
Mit dem Alghorithmus lassen sich immer nur rationale Zahlen als
Ersatz für die gesuchte irrationale Zahl ermitteln. Das gilt unab-
haengig von der Frage nach der Ueberabzaehlbarkeit. Ein weiteres
Problem kommt hinzu, wenn man daran festhaelt, dass die
Menge der irrationalen Zahlen ueberabzaehlbar ist. Das setzt
voraus, dass auch die Anzahl der Dezimalstellen der irrationalen
Zahlen uebarabzaehlbar ist. Ich gehe davon aus, dass dies
keiner weiteren Begruendung bedarf, nachdem nachgewiesen wurde,
dass es mit Potenzmengen nicht moeglich ist, aus einer abzaehlbaren
eine ueberabzaehlbare Menge zu erzeugen. Wenn die Stellenzahl nicht
abzaehlbar ist, lassen sich auch nicht alle Ziffern alghorothmisch
ermitteln.


>
> Ganz verschiedene Ziffernfolgen koennen sich
> auf die selbe Zahl beziehen, selbst im Rationalen
> gibt es Zahlen, die sich in entsprechenden Systemen
> nicht durch endliche Ziffernfolgen (n-adisch)
> ausdruecken lassen.
>

Dabei handelt es sich um die periodischen Brueche. Genau dies ist
gemeint mit dem Hinweis, daß sich alle Zahlensysteme auf das
rationale System, bestehend aus den Quotienten zweier ganzer
Zahlen, zurueckfuehren lassen. In n-adischen Systemen hat immer nur
ein kleiner Bruchteil der rationalen Zahlen eine endliche Stellen-
zahl, waehrend die meisten unendliche periodische Brueche sind. Das
rationale System (oder sollte ich besser die rationale Schreibweise
sagen?) ist das einzige System, in dem alle rationalen Zahlen durch
Zahlen mit endlich vielen Stellen darstellbar sind.


>
> ...
> > D e f i n i t i o n : Eine unendliche Menge ist eine nicht abge-
> > schlossene endliche Menge, deren Elemente mit der Methode Unendlich
> > beliebig vermehrt werden können (induktiver Unendlichkeitsbegriff).
> >
> Was soll abgeschlossen bedeuten? ohne das zu konkretisieren,
> ist das hier keine vernuenftige Definition.

Nicht abgeschlossen meint in diesem Zusammenhang natuerlich eine nach
oben offene Menge, also eine Menge, fuer die keine groesste Zahl
angegeben werden kann. Ich bin davon ausgegangen, daß der Begriff
klar ist, es mag aber sein, daß diese Ausdrucksweise heute nicht
mehr gebraeuchlich ist.

Gruß

Dieter

Harald Schumann

unread,
Jan 5, 2001, 6:00:00 PM1/5/01
to
DJ>Die Primzahl 23 beispielsweise ist sowohl in P wie auch in Pot(P) als
DJ>Element enthalten

Wenn das zutrifft, ist die 23 keine Primzahl.

Holger Gollan

unread,
Jan 8, 2001, 7:54:14 AM1/8/01
to
Dieter Jungmann wrote:
>
> Detlef Mueller schrieb:
> >
> > Dieter Jungmann wrote:
> > >
> > ...
> > >
> > > 1.4 Die Potenzmenge der Menge der Zweierpotenzen
> > >
> > > Es sei D1 = {2^k | k = 0, 1, 2, 3, ...} die Menge der Zweierpotenzen.
> > > Pot(D1) lässt sich auf N abbilden, indem der leeren Menge die 0 und
> > > jeder Teilmenge {2^km, 2^kn, ...} von Pot(D1) die Summe
> > > (2^km + 2^kn + ...) zugeordnet wird.
> > >
> > Falsch. Die Menge Der Primzahlen die modulo 4 gleich -1 sind,
> > ist z.B. wie oben in der Auflistung nicht enthalten.
> >
> Gleiche Frage wie oben: Warum nicht? Wenn nicht ausnahmslos alle Elemente
> von Pot(D1) auf N abbildbar waeren und umgekehrt, waere das Dualsystem zur
> Darstellung der natuerlichen Zahlen ungeeignet. Muss ich das wirklich noch
> deutlicher erklaeren? In was fuer eine Newsgroup bin ich bloss geraten?
>

Nun, in eine mathematische (hoffe ich doch).
Wie Thomas Haunhorst schon ausgefuehrt hat, stimmt Deine Argumentation
so lange, wie Du Dich um endliche Teilmengen von D1 bemuehst. Bei einer
unendlichen Teilmenge ist es aber nicht mehr moeglich, eine natuerliche
Zahl zuzuordnen, oder?
Was geschieht mit
{1,2,4,8,16,32,...} -> 1+2+4+8+16+32+...
Das gleiche Problem tauchte ja auch bei der Potenzmenge der
Primzahlmenge auf. Deine Zuordnungen bilden jeweils die Menge der
endlichen Teilmenge auf eine Teilmenge der natuerlichen Zahlen ab. (Bei
D1 sogar auf N selbst.) Aber Deine Zuordnung funktioniert bei
unendlichen Teilmengen nicht mehr.
Es sei denn, Du verstehst unter natuerlichen Zahlen etwas anderes als
der gewoehnliche Mathematiker. Das wuerde dann auch erklaeren, dass Du
an einer Stelle von natuerlichen Zahlen mit unendlich vielen Stellen
sprichst. Vielleicht solltest Du erst einmal diesen strittigen Punkt
klaeren.

> > ...
> > > D e f i n i t i o n : Eine unendliche Menge ist eine nicht abge-
> > > schlossene endliche Menge, deren Elemente mit der Methode Unendlich
> > > beliebig vermehrt werden können (induktiver Unendlichkeitsbegriff).
> > >

Also: Zunaechst einmal habe ich schon Probleme mit einer Definition, die
da lautet: Eine unendliche Menge ist eine ... e n d l i c h e Menge
...
Ich denke mal, dass Du eher meinst, dass jede unendliche Menge sozusagen
aus einer endlichen Menge und einer Vorschrift, neue Elemente zu bilden,
entsteht.
Wie ist es z.B. mit der Menge der Quadratzahlen? Wo ist da die zugrunde
liegende endliche Menge, wo die Methode Unendlich?

> > Was soll abgeschlossen bedeuten? ohne das zu konkretisieren,
> > ist das hier keine vernuenftige Definition.
>
> Nicht abgeschlossen meint in diesem Zusammenhang natuerlich eine nach
> oben offene Menge, also eine Menge, fuer die keine groesste Zahl
> angegeben werden kann. Ich bin davon ausgegangen, daß der Begriff
> klar ist, es mag aber sein, daß diese Ausdrucksweise heute nicht
> mehr gebraeuchlich ist.
>

Dann gibt es aber auch abgeschlossene unendliche Mengen, z.B.
{ 1 , 1/10 , 1/100 , 1/1000 , ...}
Diese Menge ist sicherlich nach oben nicht offen, aber genauso sicher
unendlich und sogar rational.

> Gruß
>
> Dieter

--

Gruesse, email: hgo...@yahoo.com
Holger URL: http://www.geocities.com/Colosseum/Stadium/9099

Holger Gollan

unread,
Jan 8, 2001, 7:40:16 AM1/8/01
to

Wir wollen mal nicht zu kleinlich sein. Er meint natuerlich {23} als
Element der Potenzmenge. In diesem Sinne ist natuerlich jedes Element
von P auch Element von Pot(P).
Diese kleine Aenderung macht seinen Beweis aber nicht richtiger.

Harald Schumann

unread,
Jan 8, 2001, 6:00:00 PM1/8/01
to
>DJ>Die Primzahl 23 beispielsweise ist sowohl in P wie auch in Pot(P) als
>DJ>Element enthalten
>
> Wenn das zutrifft, ist die 23 keine Primzahl.
HG>
HG>Wir wollen mal nicht zu kleinlich sein.

Bin ich normalerweise auch gar nicht.

HG>Er meint natuerlich {23} als Element der Potenzmenge.

Da wäre ich gerade in diesem Fall nicht so sicher. Seine Absonderungen
wimmeln derart von Fehlern, daß man grundsätzlich annehmen muß, daß er gar
nicht weiß, wovon er spricht.

HG>In diesem Sinne ist natuerlich jedes Element von P auch Element von
HG>Pot(P).

Mit etwas Wohlwollen: ja. ;-)

HG>Diese kleine Aenderung macht seinen Beweis aber nicht richtiger.

Sehe ich auch so ...

Glückauf! Harald

Detlef Mueller

unread,
Jan 10, 2001, 10:30:50 AM1/10/01
to
Dieter Jungmann wrote:
>
> Detlef Mueller schrieb:
> >
> > Dieter Jungmann wrote:
> > >
> > ...
> > >
> > > 1.2 CANTORs Diagonalbeweis
> > >
> > ...
> > Die Annahme:
> >
> > > Die Liste sei vollständig. ...
> >
> > Fuehrt zum Widerspruch:
> >
> > > man eine neue irrationale Zahl. Da sich alle irrationalen Zahlen der
> > > Tabelle in mindestens einer Stelle von der irrationalen Diagonalzahl
> > > unterscheiden, kann sie entgegen der ursprüngliche Annahme nicht in der
> > > Tabelle enthalten sein (auf die exakte Begründung kann hier verzichtet
> > > werden).
> >
> > Also ein korrekter Widerspruchsbeweis.
> >
> Habe ich auch nicht bestritten. Es kommt auf die Schlussfolgerung an, die
> daraus gezogen wird und die ist falsch, das ist im Artikel ausfuehrlich
> begruendet.
>

Deine Begruendung ist im Wesentlichen:

"
Ein Fehler in CANTORs Beweis besteht in der (versuchsweisen) Annahme,

die Liste sei vollständig. Dann müsste sie entweder eine letzte Zeile
enthalten oder sich ständig wiederholen (evtl. mit vertauschten Zeilen).
"

Dieser Schluss ist schlicht falsch (oder eine boeswillige
Missinterpretation des Wortes "Liste").
"Liste" ist natuerlich hier nicht als real auf Papier
vorliegender Aufschrieb zu verstehen, sondern
als Zuordnungsvorschrift (Funktion) l, die jeder Zahl
n eine Reelle Zahl l(n) zuordnet.

Der Kantorbeweis konstruiert aus einer solchen
Vorschrift dann eine weitere Vorschrift, der sich
eine reelle Zahl zuordnen laesst (dazu spaeter mehr),
die, im Widerspruch zur Annahme nicht im Bild der Funktion
l auftaucht.
Jetzt klar?

"Abzaehlung" ist als Aufzaehlung aufzufassen, die derart
ist, dass jede reelle Zahl, wenn man lange genug
aufgezaehlt hat, irgendwann drann kommt. Das ist
aber bei der konstruierten Zahl nicht der fall.

Bevor Du weiterschreibst, schau erstmal meinen
Absatz (**********) zu "reellen Zahlen" an,
wo ich versuche die Definition dieser Zahlen
naeherzubringen.

Wie Du bemerkst wird auch eine noch so lange
Aufzaehlung rationaler Zahlen aus einer
Vorschrift, die eine reelle Zahl definiert,
nie gleich einer reellen Zahl gesetzt werden
koennen.
Du solltest das verstanden haben, bevor
du weiter ueber die "Ungenauigkeit" der
reellen Zahlen schwadronierst!

> >
> > > Da CANTOR die neue ganze Zahl ignoriert,
> > >
> > Tut er nicht, er braucht sie ja fuer seinen Widerspruch.
> >
> Tut er doch, er benutzt nur die neue irrationale Zahl.
>

und? Gleichzeitig ignoieren und benutzen ist schon
interessant :)

> > ...
> > > Da sie sich aber auf eine Teilmenge von N
> > > abbilden lässt, schliessen sich die beiden Aussagen aus.
> > > B e w e i s : Die Potenzmenge ist definiert als Menge aller Teilmengen
> > > der Grundmenge einschließlich der leeren Menge und der Grundmenge. Zu
> > > den Elementen von Pot(P) gehören daher alle Primzahlen und alle Teil-
> > > mengen, die 2, 3, 4, ... verschiedene Primzahlen enthalten.
> > >
> > Falsch. Die Menge Der Primzahlen die modulo 4 gleich -1 sind,
> > ist z.B. in der Auflistung nicht enthalten.
> >
> Wieso denn das? Die Primzahl 23 beispielsweise ist sowohl in P wie auch
> in Pot(P) als Element enthalten und wird auf sich selbst abgebildet. Die
> Kombination der Primzahlen 17 und 23 ist eine Teilmenge von P und somit
> ein Element von Pot(P). Diesem Element von Pot(P) wird umkehrbar eindeutig
> die Zahl 17 mal 23 = 391 in P zugewiesen. Das laesst sich fuer alle
> Elemente
> von Pot(P) durchfuehren. Weshalb sollten bestimmte Primzahlen davon ausge-
> nommen sein.?
>

Du scheinst den Unterschied zwischen einer Menge und
einem Element nicht zu verstehen.
23 ist ein _Element_ der Menge der Primzahlen die modulo 4
gleich -1 sind, keinesfalls aber die Menge selber, ist
doch klar, oder?
Und die ganze Menge der Primzahlen die modulo 4 gleich -1
sind wird von deiner angeblichen Abbildungsvorschrift
nicht erfasst, da Du das Produkt der Elemente nur fuer
_endliche_ Mengen bilden kannst, wie hier auch schon
bemerkt wurde.
Ergo handelt es sich bei der angegebenen Vorschrift
um keine vernuenftig definierte Abbildun Pot(P)->Nat
und Du musst Dir was neues ausdenken.

> >
> > >
> > > 1.4 Die Potenzmenge der Menge der Zweierpotenzen
> > >
> > > Es sei D1 = {2^k | k = 0, 1, 2, 3, ...} die Menge der Zweierpotenzen.
> > > Pot(D1) lässt sich auf N abbilden, indem der leeren Menge die 0 und
> > > jeder Teilmenge {2^km, 2^kn, ...} von Pot(D1) die Summe
> > > (2^km + 2^kn + ...) zugeordnet wird.
> > >
> > Falsch. Die Menge Der Primzahlen die modulo 4 gleich -1 sind,
> > ist z.B. wie oben in der Auflistung nicht enthalten.
> >
> Gleiche Frage wie oben: Warum nicht?
>

Gleiche Antwort wie oben:
Auf die Angegebene Menge ist die Vorschrift nicht
anwendbar.
...

> Wenn nicht ausnahmslos alle Elemente
> von Pot(D1) auf N abbildbar waeren und umgekehrt, waere das Dualsystem zur
> Darstellung der natuerlichen Zahlen ungeeignet. Muss ich das wirklich noch
> deutlicher erklaeren? In was fuer eine Newsgroup bin ich bloss geraten?
>

Dir ist aber klar, dass Natuerliche Zahlen immer nur
endlich viele Stellen in ihrer Binaerdarstellung
haben?
Da es keine unendlichstelligen natuerlichen Zahlen
gibt, versagen deine Abbildungen bei allen nichtendlichen
Mengen.
Wenn Du spaeter aus den "Widerspruechen" schliesst, dass
unendliche Mengen nicht statthaft sind, ist das mithin
ein Witz (denn hier laesst du eben dies einfliessen).

> Wenn nicht nur eine voruebergehende mentale Blockade vorliegt sondern tat-
> saechlich noch Verstaendnisschwierigkeiten bestehen, bitte ich um eine
> genaue Beschreibung derselben, damit ich dazu Stellung nehmen kann, denn
> diese Frage ist von entscheidender Bedeutung.
>

Ich hoffe die Erklaerungen sind ausreichend.


> Die transfiniten Mengen sind
> abstrakte Gebilde ohne nachpruefbaren realen Hintergrund. Fuer ihren
> Existenzbeweis ist CANTORs Satz, dass jede Potenzmenge maechtiger ist als
> die zugehoerige Grundmenge, unverzichtbar. Mit der Widerlegung dieses
> Satzes
> werden alle Aussagen der Mengenlehre ueber unendliche Mengen hinfaellig.
>

glaube ich gern.

...


> > >
> > > Das Kreisquadrierungsproblem von TARSKI besagt, dass ein Kreis und ein
> > > flächengleiches Quadrat mit den Methoden der Mengenlehre gleichzerlegbar
> > > sind. Nach dem BANACH-TARSKI-Paradoxon sind zwei dreidimensionale Körper
> > > mit unterschiedlichem Volumen gleichzerlegbar. Beides steht im Wider-
> > > spruch zu den Ergebnissen der analytischen Geometrie.
> > >
> > Falsch.
> > Die Ergebnisse der analytischen Geometrie stellen
> > Messbarkeitsvoraussetzungen an die vorkommenden
> > Teilmengen.
> > Diese sind bei den im BANACH-TARSKI-Paradoxon
> > vorkommenden Mengen nicht gegeben.
> >
> Genau deshalb können sie nicht mathematisch untersucht werden. Wenn man
> es doch tut, kommen die paradoxen Ergebnisse heraus.
>

Klar kann man sie untersuchen.
Das scheinbar paradoxe Ergebnisse herauskommen
zeigt nur, dass die Messbarkeitsvoraussetzungen
wichtig sind.

Wenn eine Praemisse der Ergebnisse der analytischen
Geometrie nicht gegeben ist, ist ein von Diesen
abweichendes Ergebnis doch gar kein Widerspruch!

Simples Beispiel:
Analytische Geometrie stellt fest:
"An heissen Herdplatten verbrennt man sich
die Finger"

BANACH-TARSKI sagt:
"Hier habe ich eine Herdplatte, an der man
sich nicht die Finger verbrennt!"

Paradoxon?
Nein: die Praemisse heiss wurde
nicht untersucht, es stellte sich auch
spaeter heraus, dass sie nicht gegeben
war ... und?

> Hier muss allerdings
> geklaert werden, was man von der Mathematik erwartet. Ich gehe davon aus,
> dass sie die Realitaet und nicht irgendwelche Geister- oder Phantasie-
> welten beschreiben soll.
>

Dir "Realitaet" ist was fuer Philosophen,
Physiker halten sich an Modelle, die moeglichst
befriedigend (Phaenomene erklaerend) sind,
Mathematiker befassen sich mit den
Modellen.
Das ist, grob gesehen, meine Sichtweise.
Natuerlich interessieren anwendbare Sachen
irgendwie meist doch mehr :)
Andererseits hat sich das Konzept der
reellen Zahlen vielfach als sehr praktisch
erwiesen.

> Mit der Einbeziehung nicht messbarer Mengen
> wird die Grenze zur Spekulation ueberschritten, weil sich diese Phaenomene
> nie werden ueberpruefen lassen. Zumindest halte ich es nicht fuer sinnvoll,
> eine solche Theorie zur axiomatischen Grundlage der Mathematik zu machen.
>

Ich denke, die Entdeckung des "Paradoxons" zeigte einfach, dass
die "Messbarkeitsvoraussetzungen" noetig sind, um naeher an
"die Realitaet" zu gelangen.
Ob es fruchtbar ist, nicht messbare Mengen zu untersuchen,
oder reiner Spieltrieb, ist eine andere Frage.
Verboten ist es aber wohl kaum.
Wie bei der Zahlentheorie in der chiffrierung, oder
Gruppentheorie in der Quantenphysik mag sich ueberraschend
eine praktische Anwendung ergeben.

> Ausserdem halte ich die Argumentation mit den nichtmessbaren Mengen fuer
> einen logischen Fehler, weil dieser Begriff speziell eingefuehrt wurde,
> um die Widersprueche der Mengenlehre zu verdecken.
>

Es handelt sich hier (siehe oben) nicht mehr um
einen Widerspruch als die Aussage, dass man sich
an kalten Herdplatten die Finger nicht
verbrennt.
Nochmal: hier wurde kein "Widerspruch verdeckt", sondern
eine notwendige, bisher nicht beachtete Voraussetzung
eingefuehrt, die "wirkliche" Mengen (TM) stets erfuellen
und die bisher vernachlaessigt wurde.

> >
> > > 2 Die Mächtigkeitsdefinition
> > ...
> > > Dies dürfte nicht der Fall sein, wenn die Behauptung zuträfe, dass I
> > > dichter ist als Q.
> > >
> > Quatsch. Wie soll denn "dichter" definiert sein?
> > Dicht im Top. Sinne ist eine Menge oder nicht.
> >
> > > Dann wiederum wären die irrationalen Zahlen nicht
> > > beliebig genau rational approximierbar und damit undefiniert.
> > >
> > Wieso denn das nicht?
> >
> Weil die irrationalen Zahlen mit einer Vorschrift definiert sind, mit
> deren Hilfe eine fuer sie charakteristische rationale Folge erzeugt
> wird.
>

(**********)
Das wollen wir mal praezisieren:

Wir haben Vorschriften (Zahlenfolgen).

Eine Vorschrift sei vernuenftig, wenn
zu jedem bel. grossen natuerlichen N
eine Zahl N0 existiert, so dass alle
rationalen Zahlen, die diese Vorschrift
ab N0 liefert, voneinander um weniger
als 1/N abweichen (Konvergierende
Folge).

Aus zwei vernuenftigen Vorschriften V1, V2
kann man eine neue machen, indem man
als n. Element die Differenz (Summe, Produkt,
etc. genauso) als neue Vorschrift nimmt.

Es laesst sich beweisen, dass die neue
Vorschrift wieder "vernuenftig" in obigem
Sinne ist.

Eine Vorschrift sei "Nullwertig", wenn
zu jedem bel. grossen natuerlichen N
eine Zahl N0 existiert, so dass alle
rationalen Zahlen, die diese Vorschrift
ab N0 liefert, kleiner als 1/N sind
(Nullfolge).

Zwei Vorschriften seien "gleichwertig",
wenn ihre Differenz nullwertig ist.

Nun bilden gleichwertige Vorschriften
sogenannte "Klassen" in der Menge der
vernuenftigen Vorschriften.

Diese Klassen definiert man als die
reellen Zahlen.

Die Rationalen Zahlen kann man als
Elemente davon auffassen (die Zahl
q wird halt als die Vorschrift
(q,q,q,q,...) auffassen).

> Wenn es mehr irrationale als rationale Zahlen gaebe, muesste
> diese Folge abbrechen, bevor die irrationale Zahl vollstaendig
> definiert ist. Vgl. auch Abschn. 1.1.
>

gleicher Fehlschluss, dort schon begruendet.

> > > Es ist
> > > nicht möglich, eine beliebige reelle Zahl mit irrationalen Zahlen zu
> > > approximieren ohne indirekt auf rationale Zahlen zurückzugreifen.
> > >
> > Wieso das nicht?
> >
> Weil die irrationalen Zahlen ihrerseits rational approximiert werden.
>

Nein, niemand zwingt einen dazu.

Obige Klassen von Folgen (Vorschriften) sind
Elemente fuer sich, niemand muss da irgedwas
approximieren.

Auch, wenn man zeigt, dass genau eine
positive reelle Zahl die Gleichung x^2=2
erfuellt, weiss man genau, dass eine
Vorschrift existiert, die man hier wohl
sogar explizit angeben kann, und die
vernuenftig ist.
Damit ist obige Klasse von Vorschriften
exakt definiert.

Es ist nicht noetig, Ziffern auszurechnen,
wenn man ein Bildungschema angeben kann.

Es wird direkt mit den Vorschriften
gerechnet und dabei kommen neue Vorschriften
heraus.

Das _sind_ schon reelle Zahlen! Nichts muss
mehr "approximiert" werden.

Klar?

> >
> > Nun, das mag bei Informatik-Ueberlegungen Sinn machen,
> > was die Mathematik betrifft, ist es ziemlicher Unsinn.
> > Natuerlich ist der Alghoritmisch noch nicht bestimmte
> > Rest der Zahl eindeutig und wohlbekannt.
> >
> > Ansonsten koennte man den Alghorithmus prinzipiell
> > ab einer bestimmten Stellenzahl nicht mehr weiterfuehren.
> > Kann man aber doch.
> >
> Das bedeutet, daß der Alghorithmus zwar bekannt ist, was ich nie
> bestritten habe, die eigentlich gesuchte Zahl ist aber unbekannt.
>

Sollte jetzt klar sein: mit der richtigen Definition
der reellen Zahlen _ist_ der Alghorithmus, die Vorschrift,
gewissermassen schon das Objekt mit dem gerechnet wird.
Die ist wohlbekannt und gleich der gesuchten Zahl.
Niemand muss (und kann) eine unendlich lange Ziffernfolge
hinschreiben bevor eine Zuordnungsvorschrift auf wundersame
Weise zu einer "reellen Zahl" mutiert.
Rechnen mit reellen Zahlen ist Rechnen mit (Klassen von) Folgen,
Zuordnugsvorschriften, Alghorithmen - wie auch immer.

> Mit dem Alghorithmus lassen sich immer nur rationale Zahlen als
> Ersatz für die gesuchte irrationale Zahl ermitteln.
>

Nein, eine rationale Zahl ist in der Regel nie ein Ersatz
fuer den Alghorithmus. Die Reelle Zahl wird durch den
Alghorithmus selbst repraesentiert, nicht durch irgendwelche
Ergebnisse zu irgendeinem Berechnugszeitpunkt - das waer
in der Tat schwammig.
So ist es aber nicht.

> Das gilt unab-
> haengig von der Frage nach der Ueberabzaehlbarkeit. Ein weiteres
> Problem kommt hinzu, wenn man daran festhaelt, dass die
> Menge der irrationalen Zahlen ueberabzaehlbar ist. Das setzt

> voraus, dass auch die Anzahl ...

Menge?

> der Dezimalstellen der irrationalen
> Zahlen uebarabzaehlbar ist.
>

Was meinst Du damit?
Es gibt doch nur die Dezimalstellen {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},
oder?

> Ich gehe davon aus, dass dies
> keiner weiteren Begruendung bedarf, nachdem nachgewiesen wurde,
> dass es mit Potenzmengen nicht moeglich ist, aus einer abzaehlbaren
> eine ueberabzaehlbare Menge zu erzeugen.
>

Wurde nicht nachgewiesen.

...


> > ...
> > > D e f i n i t i o n : Eine unendliche Menge ist eine nicht abge-
> > > schlossene endliche Menge, deren Elemente mit der Methode Unendlich
> > > beliebig vermehrt werden können (induktiver Unendlichkeitsbegriff).
> > >
> > Was soll abgeschlossen bedeuten? ohne das zu konkretisieren,
> > ist das hier keine vernuenftige Definition.
>
> Nicht abgeschlossen meint in diesem Zusammenhang natuerlich eine nach
> oben offene Menge, also eine Menge, fuer die keine groesste Zahl
> angegeben werden kann.
>

Auf Mengen muss es keine Ordnungsrelation geben.
Meinst du es vielleicht folgendermassen:

D e f i n i t i o n : Eine unendliche Menge ist ein

Ding D, zu dem endliche Mengen in "ist enthalten in"-
Beziehung gesetzt werden koennen, und fuer das fuer
jede endliche Menge, die in D enthalten ist, eine
endliche Menge groesserer Kardinalitaet gibt, die
auch in D enthalten ist.

> Ich bin davon ausgegangen, daß der Begriff
> klar ist, es mag aber sein, daß diese Ausdrucksweise heute nicht
> mehr gebraeuchlich ist.
>

Fuer Mengen von Zahlen kenne ich nur nach oben
unbeschraenkt oder unbegrenzt, fuer beliebige
Mengen macht der Ausdruck wohl kaum einen Sinn.

Dieter Jungmann

unread,
Jan 10, 2001, 6:15:44 PM1/10/01
to
Holger Gollan schrieb:

>
> Dieter Jungmann wrote:
> >
> > Detlef Mueller schrieb:
> > >
> > > Dieter Jungmann wrote:
> > > >
> > > ...
> > > >
> > > > 1.4 Die Potenzmenge der Menge der Zweierpotenzen
> > > >
> > > > Es sei D1 = {2^k | k = 0, 1, 2, 3, ...} die Menge der Zweierpotenzen.
> > > > Pot(D1) lässt sich auf N abbilden, indem der leeren Menge die 0 und
> > > > jeder Teilmenge {2^km, 2^kn, ...} von Pot(D1) die Summe
> > > > (2^km + 2^kn + ...) zugeordnet wird.
> > > >
> > > Falsch. Die Menge Der Primzahlen die modulo 4 gleich -1 sind,
> > > ist z.B. wie oben in der Auflistung nicht enthalten.
> > >
> > Gleiche Frage wie oben: Warum nicht? Wenn nicht ausnahmslos alle Elemente
> > von Pot(D1) auf N abbildbar waeren und umgekehrt, waere das Dualsystem zur
> > Darstellung der natuerlichen Zahlen ungeeignet. ...
> > ...
> ...

> Wie Thomas Haunhorst schon ausgefuehrt hat, stimmt Deine Argumentation
> so lange, wie Du Dich um endliche Teilmengen von D1 bemuehst. Bei einer
> unendlichen Teilmenge ist es aber nicht mehr moeglich, eine natuerliche
> Zahl zuzuordnen, oder?
> Was geschieht mit
> {1,2,4,8,16,32,...} -> 1+2+4+8+16+32+...
> Das gleiche Problem tauchte ja auch bei der Potenzmenge der
> Primzahlmenge auf. Deine Zuordnungen bilden jeweils die Menge der
> endlichen Teilmenge auf eine Teilmenge der natuerlichen Zahlen ab. (Bei
> D1 sogar auf N selbst.) Aber Deine Zuordnung funktioniert bei
> unendlichen Teilmengen nicht mehr.

Warum nicht? Der Beweis findet sich am Ende von Abschn. 2 des Beitrags:

Die Potenzmenge aller in der Teilmenge Tm = {0, 1, 2, 3, ..., (2^m - 1)}

enthaltenen Zweierpotenzen laesst sich umkehrbar eindeutig (und luecken-
los) auf die ebenfalls in Tm enthaltenen natuerlichen Zahlen abbilden.
Das gilt fuer beliebige Tm und folglich auch fuer m --> oo. Ein ueber-
sichtlicherer Grenzuebergang als in diesem Beispiel ist kaum moeglich.
Wenn er hier nicht zulaessig ist, wo dann? Vielleicht bei CANTORs
unuebersichtlicher Abbildung von Q auf N? Dass er gerade dort nicht
moeglich ist, habe ich ausfuehrlich begruendet.

Die in meinem Artikel beschriebene Moeglichkeit, Pot(N) auf N abzubilden,
ist eine sinngemaesse Uebertragung von CANTORs Abbildungsmethode von Q
auf N. Warum sollte bei der Abbildung von Potenzmengen nicht mehr moeg-
lich sein, was bei der Abbildung von Q moeglich ist?

Dein Argument ist eine unbewiesene Behauptung. Kannst Du eine obere
Grenze fuer die Teilmengen Tm angeben, oberhalb der die Abbildung
nicht mehr funktioniert? Wenn nicht, wie begruendest Du dann Deine
Behauptung?

Wenn nur endliche Teilmengen als Elemente von Pot(D1) zugelassen werden,
ist die Gesamtzahl der Elemente von Pot(D1) endlich und folglich kann
dann Pot(D1) nur auf eine endliche Anzahl natuerlicher Zahlen abgebildet
werden. Das wuerde bedeuten, dass entweder N eine endliche Menge sein
muesste oder dass nicht alle Elemente von N im Dualsystem darstellbar
sind. Das waeren dann unendlich viele. In welcher Schreibweise willst Du
diese natuerlichen Zahlen darstellen?

Es besteht noch ein weiterer Widerspruch. Man kann die Elemente von
Pot(D1) (ohne Beschraenkung auf endliche Teilmengen und ohne eine
Abbildung auf N) so zusammenfassen, dass sich eine Menge T ergibt,
die nur noch unendliche Teilmengen Tn enthaelt. T1 sei die Menge
der Zweierpotenzen, T2 die Menge aller Teilmengen, die 2
Zweierpotenzen als Elemente enthalten, ..., Tn die Menge aller
Teilmengen, die n Zweierpotenzen enthalten, ... . T1 ist auch
Teilmenge von N und daher abzaehlbar. T2 laesst sich auf eine
Teilmenge von Q abbilden, indem jedem Element von T2 eine rationale
Zahl q = a/b zugewiesen wird, so dass b gleich der ersten Zweierpotenz
ist und a gleich der zweiten Zweierpotenz plus 1. a und b sind also
teilerfremd und die Menge aller so gebildeten q ist eine Teilmenge von
Q. Da Q abzaehlbar ist, ist auch T2 abzaehlbar.

Die Menge aller moeglichen Zweierkombinationen aller Elemente
einer abzaehlbaren Menge ist also ebenfalls abzaehlbar. Das gilt
allgemein, denn eine beliebige abzaehlbare Menge kann zuerst auf
T1 abgebildet werden, um dann den Beweis in gleicher Weise zu fuehren.
T3 ist die Menge aller Zweierkombinationen der Elemente von T2 mit den
Elementen von T1 und daher abzaehlbar. Tn ist die Menge der Zweier-
kombinationen der Elemente von T(n-1) mit den Elementen von T1, wobei
lediglich die Kombinationen entfallen, die dieselbe Zweierpotenz
mehrfach enthalten wuerden.
Alle Tn sind also abzaehlbar. T ist die Menge aller Tn und daher
gleichmaechtig wie N und folglich abzaehlbar. Die Tn sind die Elemente
von T, es interessiert daher nicht, wie sich die Tn zusammensetzen.
Pot(D1) dagegen ist die Menge aller in den Tn enthaltenen Elemente.
Pot(D1) ist also die Vereinigungsmenge einer abzaehlbaren Menge
abzaehlbarer Mengen und daher ebenfalls abzaehlbar im Widerspruch
zu der Voraussetzung, ueberabzaehlbar zu sein.


>
> > > ...
> > > > D e f i n i t i o n : Eine unendliche Menge ist eine nicht abge-
> > > > schlossene endliche Menge, deren Elemente mit der Methode Unendlich
> > > > beliebig vermehrt werden können (induktiver Unendlichkeitsbegriff).
> > > >
>
> Also: Zunaechst einmal habe ich schon Probleme mit einer Definition, die
> da lautet: Eine unendliche Menge ist eine ... e n d l i c h e Menge
> ...
> Ich denke mal, dass Du eher meinst, dass jede unendliche Menge sozusagen
> aus einer endlichen Menge und einer Vorschrift, neue Elemente zu bilden,
> entsteht.

Kennst Du eine andere Methode, unendliche Mengen zu bilden?

> Wie ist es z.B. mit der Menge der Quadratzahlen? Wo ist da die zugrunde
> liegende endliche Menge, wo die Methode Unendlich?

Wo liegt das Problem? Man addiert 1 zur Wurzel der groessten Quadratzahl
und bildet das neue Quadrat.

> > > Was soll abgeschlossen bedeuten? ohne das zu konkretisieren,
> > > ist das hier keine vernuenftige Definition.
> >
> > Nicht abgeschlossen meint in diesem Zusammenhang natuerlich eine nach
> > oben offene Menge, also eine Menge, fuer die keine groesste Zahl
> > angegeben werden kann. Ich bin davon ausgegangen, daß der Begriff
> > klar ist, es mag aber sein, daß diese Ausdrucksweise heute nicht
> > mehr gebraeuchlich ist.
> >
>
> Dann gibt es aber auch abgeschlossene unendliche Mengen, z.B.
> { 1 , 1/10 , 1/100 , 1/1000 , ...}
> Diese Menge ist sicherlich nach oben nicht offen, aber genauso sicher
> unendlich und sogar rational.

Was heisst _sogar_ rational? Es geht in diesem Zusammenhang ausschliess-
lich um die moegliche Groesse oder Maechtigkeit einer Menge. Daher
interessiert nur die Anzahl der Elemente und nicht ihre Bedeutung. Das
aendert allerdings nichts daran, dass ich hier eine falsche Formulierung
gewaehlt habe. Um diese Fehler herauszufinden, benoetige ich Kritik
und sachdienliche Hinweise. Deshalb Dank fuer Deinen Beitrag und

Gruß

Dieter

Dieter Jungmann

unread,
Jan 12, 2001, 6:57:05 PM1/12/01
to
Hallo Detlef,
weil die Gefahr besteht, dass die Diskussion unuebersichtlich wird,
wenn zu viele Fragen gleichzeitig behandelt werden, beschraenke ich
mich auf die Details, von denen ich annehme, dass sie sich schnell
abhaken lassen. Die komplexeren Probleme moechte ich zurueckstellen,
bis die Frage nach der Abbildung von Pot(D1) auf N, die z. Z. im
Mittelpunkt der Diskussion steht, geklaert ist.

Zu meiner Bemerkung


> Ein Fehler in CANTORs Beweis besteht in der (versuchsweisen) Annahme,
> die Liste sei vollständig. Dann müsste sie entweder eine letzte Zeile
> enthalten oder sich ständig wiederholen (evtl. mit vertauschten Zeilen).

schreibst Du:


> Dieser Schluss ist schlicht falsch (oder eine boeswillige
> Missinterpretation des Wortes "Liste").
> "Liste" ist natuerlich hier nicht als real auf Papier
> vorliegender Aufschrieb zu verstehen, sondern
> als Zuordnungsvorschrift (Funktion) l, die jeder Zahl
> n eine Reelle Zahl l(n) zuordnet.
>

Dazu folgendes:
1) Der Hinweis auf die "letzte Zeile" ist eine anschauliche Darstellung,
eine exaktere Begruendung folgt in Abschn. 4. Darauf habe ich 2 Zeilen
weiter hingewiesen, was Du offensichtlich (absichtlich?) uebersehen hast.

2) Auch die Zeilen einer Liste bilden eine Menge. Die Menge der Zahlen
wird umkehrbar eindeutig auf die Menge der Zeilen abgebildet, so dass
es gleichgueltig ist, ob ich mich auf die Zeilen oder direkt auf die
Zahlen beziehe.

3) Was nutzt der Beweis, dass die Liste der irrationalen Zahlen
unvollstaendig ist, wenn die Liste der natuerlichen Zahlen, was ich
ausfuehrlich erlaeutert habe, ebenfalls unvollstaendig ist? Wenn sowohl
die Menge N als auch die Menge I (oder R) unvollstaendig ist, wie kannst
Du dann folgern, dass N abzaehlbar ist, I aber nicht?

4) Tatsaechlich eignet sich CANTORs Beweis nicht einmal zum Beweis der
Unvollstaendigkeit der Liste, weil er von der falschen Voraussetzung
ausgeht, dass dazu eine Diagonale ausreicht. Auch das habe ich ausfuehr-
lich dargelegt. Bezeichnenderweise geht keiner von Euch darauf ein.

5) Wenn diese Tipps nicht ausreichen, moechte ich die weitere Diskussion
des Diagonalbeweises aus dem oben genannten Grund auf spaeter vertagen.

Zu den Primzahlen:
Deine Aussagen dazu gelten entweder fuer alle Primzahlen oder fuer
keine. Wenn Du weiter daran festhaelst, dass die Primzahlen, die
modulo 4 gleich -1 sind, in diesem Zusammenhang eine Sonderstellung
einnehmen, dann nenne endlich den Grund dafuer! Der Rest Deiner
Ausfuehrungen erledigt sich von selbst, wenn die Frage nach der
Abbildung von Pot(D1) auf N geklaert ist.

Zur Abbildung von Pot(D1), Potenzmenge der Menge der Zweierpotenzen,
auf N:
Im wesentlichen vertrittst Du hierzu dieselbe Meinung wie die anderen
Diskussionsteilnehmer. In meiner Antwort vom 11. 1., 00:15, an Holger
Gollan kannst Du meine Argumente nachlesen.

Du setzt allerdings noch eins drauf, indem Du schreibst:


> Dir ist aber klar, dass Natuerliche Zahlen immer nur
> endlich viele Stellen in ihrer Binaerdarstellung
> haben?
> Da es keine unendlichstelligen natuerlichen Zahlen
> gibt, versagen deine Abbildungen bei allen nichtendlichen
> Mengen.
> Wenn Du spaeter aus den "Widerspruechen" schliesst, dass
> unendliche Mengen nicht statthaft sind, ist das mithin
> ein Witz (denn hier laesst du eben dies einfliessen).
>

Mit endlich vielen Binaerstellen lassen sich nur endlich viele
natuerliche Zahlen darstellen. Aus Deinem Argument folgt, dass
die Menge der natuerlichen Zahlen endlich ist. Was nun, kleiner
Witzbold?

Zum Banach-Tarski-Paradoxon:
Nicht messbare Mengen kommen real nicht vor, es besteht daher kein
Bedarf zur Einfuehrung dieses Begriffs. Er wurde auch nur eingefuehrt,
weil die Theorie ohne ihn nicht auskommt. Ausserhalb der Theorie gibt
es keine Verwendung dafuer. Es handelt sich also um eine Ad-Hoc-
Hypothese. Natuerlich steht es Dir frei, solche Hypothesen zu akzep-
tieren, mich ueberzeugen sie nicht. Mir stellt sich vielmehr die Frage,
wie ein Widerspruch wohl aussehen muss, damit ein Mengentheoretiker
ihn als solchen erkennt und ihn nicht formal korrekt wegdefiniert.

Zur Existenz der irrationalen Zahlen:
Du schreibst


>
> Es wird direkt mit den Vorschriften
> gerechnet und dabei kommen neue Vorschriften
> heraus.
>
> Das _sind_ schon reelle Zahlen! Nichts muss
> mehr "approximiert" werden.
>

und weiter unten


> Sollte jetzt klar sein: mit der richtigen Definition
> der reellen Zahlen _ist_ der Alghorithmus, die Vorschrift,
> gewissermassen schon das Objekt mit dem gerechnet wird.
> Die ist wohlbekannt und gleich der gesuchten Zahl.
>

und noch weiter unten
> ... Die Reelle Zahl wird durch den
> Alghorithmus selbst repraesentiert, ...
>
Alle drei Aussagen sind eine Bestaetigung meiner Behauptung,
dass es fuer die irrationalen Zahlen keinen Existenzbeweis
gibt. Ein Algorithmus ist ein Werkzeug zur Ermittlung eines
gesuchten Ergebnisses (hier also einer irrationalen Zahl).
Es gehoert schon eine ordentliche Portion Ignoranz und
Begriffsverwirrung dazu, das Werkzeug mit dem Werkstueck zu
verwechseln. Ich kann Dich nicht daran hindern, Dich mit einer
solchen verbalen Ersatzkonstruktion zufrieden zu geben, ich
ziehe es vor, einzusehen, dass nicht jedes Problem 100%ig exakt
loesbar ist. Im Endergebnis erzielst Du mit Deinem Selbstbetrug
auch kein genaueres Resultat. Wenn Du an Deiner Auffassung festhaelst,
so wie ich an meiner, wenn sich keine neuen Gesichtspunkte ergeben,
muessen wir die Diskussion dieses Problems an dieser Stelle beenden,
denn hier stehen sich zwei grundverschiedene Auffassungen vom Wesen
einer Zahl gegenueber, die sich gegenseitig ausschliessen.

>
> Was meinst Du damit?
> Es gibt doch nur die Dezimalstellen {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},
> oder?
>

{0,1,2,...,9} ist die Menge der Ziffern, die im Dezimalsystem benoetigt
werden. Die Anzahl der Dezimalstellen ist identisch mit der Anzahl der
Ziffern, die zur Darstellung einer Dezimalzahl benoetigt werden.

--
Gruss

Dieter

Holger Gollan

unread,
Jan 15, 2001, 9:50:33 AM1/15/01
to
Dieter Jungmann wrote:
>

Hallo Dieter,

> Hallo Detlef,
> weil die Gefahr besteht, dass die Diskussion unuebersichtlich wird,
> wenn zu viele Fragen gleichzeitig behandelt werden, beschraenke ich
> mich auf die Details, von denen ich annehme, dass sie sich schnell
> abhaken lassen. Die komplexeren Probleme moechte ich zurueckstellen,
> bis die Frage nach der Abbildung von Pot(D1) auf N, die z. Z. im
> Mittelpunkt der Diskussion steht, geklaert ist.
>

Wunderbar! Ein einziges Thema, und kein "unendliches" Chaos!

>
> Zur Abbildung von Pot(D1), Potenzmenge der Menge der Zweierpotenzen,
> auf N:
> Im wesentlichen vertrittst Du hierzu dieselbe Meinung wie die anderen
> Diskussionsteilnehmer. In meiner Antwort vom 11. 1., 00:15, an Holger
> Gollan kannst Du meine Argumente nachlesen.
>

Und in meiner Antwort findest Du die Begruendung, warum Deine Zuordnung
keine Abbildung auf die Menge der natuerlichen Zahlen liefert. Leider
bisher ohne Antwort. Aber Du scheinst ja ein etwas eigenartiges
Verstaendnis der natuerlichen Zahlen zu besitzen. (s.u.)

> Du setzt allerdings noch eins drauf, indem Du schreibst:
> > Dir ist aber klar, dass Natuerliche Zahlen immer nur
> > endlich viele Stellen in ihrer Binaerdarstellung
> > haben?
> > Da es keine unendlichstelligen natuerlichen Zahlen
> > gibt, versagen deine Abbildungen bei allen nichtendlichen
> > Mengen.
> > Wenn Du spaeter aus den "Widerspruechen" schliesst, dass
> > unendliche Mengen nicht statthaft sind, ist das mithin
> > ein Witz (denn hier laesst du eben dies einfliessen).
> >
> Mit endlich vielen Binaerstellen lassen sich nur endlich viele
> natuerliche Zahlen darstellen. Aus Deinem Argument folgt, dass
> die Menge der natuerlichen Zahlen endlich ist. Was nun, kleiner
> Witzbold?
>

Entschuldige bitte, aber das ist absoluter Quatsch. Wie ich schon einmal
vermutet habe, scheinst Du eine andere Sicht auf die natuerlichen Zahlen
zu haben und auch solche mit unendlich vielen Stellen zuzulassen, oder?
Nur zur Erlaeuterung: Natuerlich hat jede natuerliche Zahl nur endlich
viele Binaerstellen, genau so, wie sie nur endlich viele Dezimalstellen
hat. Trotzdem kann man auf diese Weise unendlich viele Zahlen
darstellen. Oder ist die folgende Liste endlich? (Egal, ob im Dual- oder
Dezimalsystem)
1, 10, 100, 1000, 10000, ...
Jede diese Zahlen besitzt nur endlich viele Stellen, es sind aber
unendlich viele Zahlen, oder?

>
> --
> Gruss
>
> Dieter

Detlef Mueller

unread,
Jan 16, 2001, 1:39:12 PM1/16/01
to
Hallo,

Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo Detlef,
> weil die Gefahr besteht, dass die Diskussion unuebersichtlich wird,
> wenn zu viele Fragen gleichzeitig behandelt werden, beschraenke ich
> mich auf die Details, von denen ich annehme, dass sie sich schnell
> abhaken lassen.
>

Gute Idee.

>
> Zu meiner Bemerkung
> > Ein Fehler in CANTORs Beweis besteht in der (versuchsweisen) Annahme,
> > die Liste sei vollständig. Dann müsste sie entweder eine letzte Zeile
> > enthalten oder sich ständig wiederholen (evtl. mit vertauschten Zeilen).
> schreibst Du:
> > Dieser Schluss ist schlicht falsch (oder eine boeswillige
> > Missinterpretation des Wortes "Liste").
> > "Liste" ist natuerlich hier nicht als real auf Papier
> > vorliegender Aufschrieb zu verstehen, sondern
> > als Zuordnungsvorschrift (Funktion) l, die jeder Zahl
> > n eine Reelle Zahl l(n) zuordnet.
> >
> Dazu folgendes:
> 1) Der Hinweis auf die "letzte Zeile" ist eine anschauliche Darstellung,
> eine exaktere Begruendung folgt in Abschn. 4. Darauf habe ich 2 Zeilen
> weiter hingewiesen, was Du offensichtlich (absichtlich?) uebersehen hast.
>

Darin tauchen "natuerliche Zahlen mit unendlich vielen Stellen"
auf, die angeblich aufgrund der unbeschraenktheit der Nat. Zahlen
notwendig sind, dazu spaeter mehr - jedenfalls
fusst der Text im folgenden darauf, und diese Annahme ist
imo falsch - doch Du bekommst spaeter gelegenheit, mich
hier zu widerlegen, oder ein Missverstaendnis richtigzustellen.

> 2) Auch die Zeilen einer Liste bilden eine Menge. Die Menge der Zahlen
> wird umkehrbar eindeutig auf die Menge der Zeilen abgebildet, so dass
> es gleichgueltig ist, ob ich mich auf die Zeilen oder direkt auf die
> Zahlen beziehe.
>

Nun, das mag wahr sein. Aber "Liste" suggeriert etwas endliches,
was notiert vorliegt, oder?
Bei eiener Abbildung ist von vornherein klar, dass die Menge
der Bilder nicht endlich sein muss.

> 3) Was nutzt der Beweis, dass die Liste der irrationalen Zahlen
> unvollstaendig ist, wenn die Liste der natuerlichen Zahlen, was ich
> ausfuehrlich erlaeutert habe, ebenfalls unvollstaendig ist? Wenn sowohl
> die Menge N als auch die Menge I (oder R) unvollstaendig ist, wie kannst
> Du dann folgern, dass N abzaehlbar ist, I aber nicht?
>

Wenn Du mit deiner Erlaeuterung den erwaehnten Abschnitt 4. meinst,
musst Du noch einmal deine Folgerung der Existenz von nat.
Zahlen "mit unendlich vielen Stellen" praezisieren. Ich halte
sich jedenfalls fuer falsch.

> 4) Tatsaechlich eignet sich CANTORs Beweis nicht einmal zum Beweis der

> Unvollstaendigkeit der Liste, ...
>
Welcher Liste jetzt?
Natuerlich ist die (fiktive) Liste vollstaendig, sonst
waere sie keine Liste.
Verstehen wir etwas unterschiedliches darunter?
Ich habe eine Liste a1, a2, a3, ... an, a(n+1), ...
von Zahlen gegeben. Was wuerde fuer Dich bedeuten, dass
diese vollstaendig ist, oder unvollstaendig?

> weil er von der falschen Voraussetzung
> ausgeht, dass dazu eine Diagonale ausreicht. Auch das habe ich ausfuehr-
> lich dargelegt. Bezeichnenderweise geht keiner von Euch darauf ein.
>

Nochmal: erst schreibst Du

"Wenn man alle Ziffernkombinationen zulässt, enthält die Liste nicht nur
irrationale Zahlen sondern auch die periodischen Dezimalbrüche. Trotzdem
handelt es sich nicht um die Menge der reellen Zahlen des Einheitsinter-
valls, denn dazu gehören auch die endlichen Dezimalbrüche."

Das ist natuerlich falsch, denn endliche Dezimalbrueche tauchen
sehr wohl auf, man muss sogar einschraenkungen machen, dass sie
nicht doppelt auftauchen:
0,5 = 0,5000000... = 0,49999999...
Ein Fehler, ab da braucht man nicht weiterzulesen, wenn die
Argumentation aufeinander aufbauend ist (weshalb wohl auch
viele auf das folgende nicht eingehen). Der ist erstmal zu
beheben.

...


>
> Zu den Primzahlen:
> Deine Aussagen dazu gelten entweder fuer alle Primzahlen oder fuer
> keine. Wenn Du weiter daran festhaelst, dass die Primzahlen, die
> modulo 4 gleich -1 sind, in diesem Zusammenhang eine Sonderstellung
> einnehmen, dann nenne endlich den Grund dafuer!
>

Der Grund, diese (willkuerlich) hervorzuheben ist folgender:

Es geht um die Potenzmenge der Menge der Primzahlen.

Die Elemente dieser Potenzmenge sind definitionsgemaess
die Teilmengen (endlich wie auch unendlich) aus der
Menge der Primzahlen.

Wenn Deine gegebene Abbildung besagete Potenzmenge in die
Natuerlichen Zahlen abbilden soll, muss sie jeder dieser
Teilmengen eine natuerliche Zahl zuordnen.

Das tut sie aber nicht, als Gegenbeispiel habe ich willkuerlich
die erstbeste unendliche Teilmenge der Primzahlen herausgegriffen,
und als Standardbeispiel erkoren.

Deine Abbildung wuerde hier zu einem unendlichen Produkt
fuehren, das ist aber keine Natuerliche Zahl, denn jede
natuerliche Zahl hat nur endlich viele Primfaktoren.

...


>
> Zur Abbildung von Pot(D1), Potenzmenge der Menge der Zweierpotenzen,
> auf N:
> Im wesentlichen vertrittst Du hierzu dieselbe Meinung wie die anderen
> Diskussionsteilnehmer. In meiner Antwort vom 11. 1., 00:15, an Holger
> Gollan kannst Du meine Argumente nachlesen.
>

Getan: Dein Problem ist, dass Du meinst die
Potenzmenge sei die Vereinigung der Mengen der
Leeren Menge,
der einelementigen Teilmengen,
der zweielementigen Teilmengen,
der dreielementigen Teilmengen und so fort.

Das ist aber falsch.

Die Menge selbst ist in dieser Vereinigung im Allgemeinen
schon nicht enthalten:
Beispiel: die Natuerlichen Zahlen N.
N hat mehr als ein, mehr als zwei, mehr als drei,
und ueberhaupt zu jedem n mehr als n Elemente.

Daher kommt die Menge N in der obigen Auflistung
an keiner Stelle vor.

Sprich: Du beschraenkst dich immernoch auf eine
winzige Teilmenge der wirklichen Potenzmenge.

Das die dann abzaehlbar ist, ist kein
Wunder.

> Du setzt allerdings noch eins drauf, indem Du schreibst:
> > Dir ist aber klar, dass Natuerliche Zahlen immer nur
> > endlich viele Stellen in ihrer Binaerdarstellung
> > haben?
> > Da es keine unendlichstelligen natuerlichen Zahlen
> > gibt, versagen deine Abbildungen bei allen nichtendlichen
> > Mengen.
> > Wenn Du spaeter aus den "Widerspruechen" schliesst, dass
> > unendliche Mengen nicht statthaft sind, ist das mithin
> > ein Witz (denn hier laesst du eben dies einfliessen).
> >
> Mit endlich vielen Binaerstellen lassen sich nur endlich viele
> natuerliche Zahlen darstellen. Aus Deinem Argument folgt, dass
> die Menge der natuerlichen Zahlen endlich ist. Was nun, kleiner
> Witzbold?
>

Du behauptest also, die Menge der natuerlichen Zahlen,
die nur endlich viele binaerstellen haben, ist selbst
endlich.

Nun, als endliche Menge muesste sie ja ein groesstes
Element haben.

Bitte nenn mir dieses groesste Element.
Oder sage mir nur, wieviele Stellen es denn hat.

Siehst Du, worauf ich hinaus will?

Das jede Zahl nur endlich viele Stellen hat,
heisst ja nicht, dass die Anzahl der Stellen
nicht beliebig gross sein kann.

Vielleicht hilft folgende Ueberlegung:
Habe ich eine Zahl mit endlich vielen
Stellen, und addiere eins dazu, so erhoeht
sich die Anzahl der Stellen dadurch
hoechstens um 1, oder?

Dann kann aber die Anzahl der Zahlen
mit endlich vielen Stellen nicht endlich
sein, denn wenn es eine obere Grenze
m gaebe, haetten wir die Zahlen
1, 1+1=2, 2+1=3, ... , m, m+1,
die alle verschieden sind, und alle
nur endlich viele Stellen haben.

Deshalb gibt es unendlich viele Zahlen
mit endlich vielen Stellen,
klar?
Jede einzelne Zahl hat nur endlich
viele Stellen, aber die Stellenanzahl
ist insgesammt nicht beschraenkt.
Allein weil ich immer wieder Zahlen mit
mehr (aber immernoch endlich vielen)
Stellen als alle aus einer beliebigen
endlichen Menge finden laesst, kann
die Menge der Zahlen mit endlich vielen
Stellen nicht endlich sein.

> Zum Banach-Tarski-Paradoxon:
> Nicht messbare Mengen kommen real nicht vor, es besteht daher kein
> Bedarf zur Einfuehrung dieses Begriffs. Er wurde auch nur eingefuehrt,
> weil die Theorie ohne ihn nicht auskommt.
>

Sicher kommt sie ohne ihn aus.

> Ausserhalb der Theorie gibt
> es keine Verwendung dafuer. Es handelt sich also um eine Ad-Hoc-
> Hypothese.
>

Sieh es so: Man hatte die physikalischen Mengen,
die man beobachten konnte (Flaechen, Volumen in
der Natur), und versuchte sie Axiomatisch zu
fassen.
Dann stellte man fest, dass die bisherigen
Axiome so frei waren, dass es Mengen gab,
die sich komisch verhalten (denen sich etwa kein
Mass zuordnen laesst).
Das ist aber doch gar kein Grund zur Panik,
fuehrt zu keinem Widerspruch und warnt den
Physiker nur, dass Modell und "Wirklichkeit"
verschiedene Sachen sind.

> Natuerlich steht es Dir frei, solche Hypothesen zu akzep-
> tieren, mich ueberzeugen sie nicht. Mir stellt sich vielmehr die Frage,
> wie ein Widerspruch wohl aussehen muss, damit ein Mengentheoretiker
> ihn als solchen erkennt und ihn nicht formal korrekt wegdefiniert.
>

Hier gibt es keinen Widerspruch.

Du hast nur Mengen, denen sich kein Mass zuordnen
laesst.

In den komplexen Zahlen hat man z.B. keine
Anordnung, aber auf der Teilmenge der rationalen
Zahlen sehr wohl, das ist nichts
aussergewoehnliches.

> Zur Existenz der irrationalen Zahlen:
> Du schreibst
> >
> > Es wird direkt mit den Vorschriften
> > gerechnet und dabei kommen neue Vorschriften
> > heraus.
> >
> > Das _sind_ schon reelle Zahlen! Nichts muss
> > mehr "approximiert" werden.
> >
> und weiter unten
> > Sollte jetzt klar sein: mit der richtigen Definition
> > der reellen Zahlen _ist_ der Alghorithmus, die Vorschrift,
> > gewissermassen schon das Objekt mit dem gerechnet wird.
> > Die ist wohlbekannt und gleich der gesuchten Zahl.
> >
> und noch weiter unten
> > ... Die Reelle Zahl wird durch den
> > Alghorithmus selbst repraesentiert, ...
> >
> Alle drei Aussagen sind eine Bestaetigung meiner Behauptung,
> dass es fuer die irrationalen Zahlen keinen Existenzbeweis
> gibt.
>

Ich habe versucht, mich deinem Sprachgebrauch anzupassen,
hat wohl nicht ganz geklappt.

Versuchen wir es nochmal zum Abhaken, irgendwann musst
Du nein oder weiss nicht antworten, da koennen wir
weitermachen:

Glaubst Du an die Existenz von Folgen von
rationalen Zahlen?

Glaubst Du an die Existenz von Konvergenten Folgen
von rationalen Zahlen?

Glaubst Du an die Existenz von Nullfolgen rationaler
Zahlen?

Glaubst Du daran, dass Konvergente Folgen rationaler
Zahlen, die sich nur um Nullfolgen unterscheiden,
Zu Klassen zusammenfassen kann?

Glaubst Du daran, dass man fuer diese Klassen
die elementaren Rechenoperationen definieren
kann?

Wenn ja, hast Du jetzt eine Skizze der Konstruktion der
reellen Zahlen vor Dir, also einen Existenzbeweis.

> Ein Algorithmus ist ein Werkzeug zur Ermittlung eines
> gesuchten Ergebnisses (hier also einer irrationalen Zahl).
> Es gehoert schon eine ordentliche Portion Ignoranz und
> Begriffsverwirrung dazu, das Werkzeug mit dem Werkstueck zu
> verwechseln.
>

"Werkstuecke" sind fuer dich die rationalen Zahlen.
Deine Illusion ist, Du wuesstest, was etwa 7/11 ist.
Rationale Zahlen sind genauso Abstrakta wie auch
Reelle.
Wenn ich den Umfang eines Kreises vom Radius 1
betrachte, oder die Laenge der Diagonale eines
Einheitsquadrates, so wird ein kleines Kind
sicher weniger Probleme haben hier 2pi oder
Wurzel aus 2 als gleichberechtigt zur Groesse
1 zu betrachten als so mancher verbildete
Erwachsene.

...


> >
> > Was meinst Du damit?
> > Es gibt doch nur die Dezimalstellen {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},
> > oder?
> >
> {0,1,2,...,9} ist die Menge der Ziffern, die im Dezimalsystem benoetigt
> werden. Die Anzahl der Dezimalstellen ist identisch mit der Anzahl der
> Ziffern, die zur Darstellung einer Dezimalzahl benoetigt werden.
>

Mh, "die Anzahl der Dezimalstellen ist ueberabzaehlber".

Naja, ich denke das klaert sich damit, ob jede Natuerliche
Zahl endlich viele Dezimalstellen zur Darstellung benoetigt.

Das habe ich aber weiter oben (skizzenhaft) gezeigt.

Gruss,
Detlef

Dieter Jungmann

unread,
Jan 18, 2001, 4:56:22 PM1/18/01
to
Hallo Holger,

Du schreibst


> Und in meiner Antwort findest Du die Begruendung, warum Deine Zuordnung
> keine Abbildung auf die Menge der natuerlichen Zahlen liefert.

Wo ist denn die Begruendung? Ausser unbewiesenen Behauptungen war
bisher nichts von Dir zu lesen.

Du faehrst dann fort:
> Leider bisher ohne Antwort. ...
Das ist unfair. Ich habe sehr genau auf Deine unbewiesene Behauptung
geantwortet, aber Du gehst mit keinem Wort darauf ein.

Du versuchst permanent Dich damit herauszureden, dass die Abbildung
nur fuer endliche Teilmengen gelte. Warum beantwortest Du nicht die
Frage nach der groessten Teilmenge, oberhalb der die Abbildung nicht
mehr moeglich ist? Wie werden natuerliche Zahlen oberhalb dieser
Grenze dargestellt? Was ist mit der Abbildung von Pot(N) auf N
nach dem Vorbild von Cantors Abbildung von Q auf N?

Deine Behauptung, nur endliche Teilmengen von Pot(D1) koennten auf
N abgebildet werden, hast Du mit dem Hinweis zu begruenden versucht,
dass die Potenzmenge der unendlichen Menge der Zweierpotenzen auch
unendliche Teilmengen als Elemente enthaelt. Das Argument ist unsinnig,
weil sich ausnahmslos jede abzaehlbar unendliche Menge als Vereinigung
von unbegrenzt vielen unendlichen Teilmengen darstellen laesst. Deshalb
gilt auch der folgende Satz der Mengenlehre:
"Die Vereinigung einer abzaehlbaren Menge abzaehlbarer Mengen ist
abzaehlbar." (Zitat aus H.-D. Ebbinghaus, Einfuehrung in die Mengen-
lehre, B. I. Wissenschaftsverlag, 3. Auflage, 1994, S. 139, 2.6 (c))

Mit Hilfe dieses Satzes habe ich in meiner Antwort, die Du allerdings
nicht zur Kenntnis nimmst, bewiesen, dass Pot(D1) abzaehlbar ist. Beim
Beweis der Abzaehlbarkeit der Tn habe ich sogar auf die naheliegende
Abbildung auf Teilmengen von N verzichtet und den Umweg ueber Teil-
mengen von Q gewaehlt, weil Abbildungen auf Teilmengen von N bei Dir
offenbar zu einer mentalen Sperre fuehren. Aber auch diese Muehe war
vergebens, weil Du alles, was Deine Vorurteile nicht bestaetigt,
schlicht ignorierst.

Eines Deiner Probleme ist offensichtlich der Begriff Unendlich.
Du schreibst
> ...


> Nur zur Erlaeuterung: Natuerlich hat jede natuerliche Zahl nur endlich
> viele Binaerstellen, genau so, wie sie nur endlich viele Dezimalstellen
> hat. Trotzdem kann man auf diese Weise unendlich viele Zahlen
> darstellen. Oder ist die folgende Liste endlich? (Egal, ob im Dual- oder
> Dezimalsystem)
> 1, 10, 100, 1000, 10000, ...
> Jede diese Zahlen besitzt nur endlich viele Stellen, es sind aber
> unendlich viele Zahlen, oder?
>

Ich sehe nur 5 Zahlen und 3 Punkte, von unendlich keine Spur. Die
groesste der 5 Zahlen hat 5 Dezimalstellen (oder 5 Binaerstellen,
wenn man sie als Dualzahlen interpretiert). Dieses Beispiel zeigt
besonders deutlich den untrennbaren Zusammenhang zwischen der Anzahl
der Binaerstellen und der Anzahl der damit darstellbaren Zahlen. Die
Anzahl der Zahlen Deiner Zahlenfolge ist exakt gleich gross wie die
Anzahl der Binaer- (oder Dezimal-)stellen der groessten dieser
Zahlen. Wie kannst Du also behaupten, dass die Anzahl der Zahlen
unendlich, die exakt gleichgrosse Anzahl der Binaerstellen der
groessten dieser Zahlen aber endlich ist?

Du lehnst meine Definition des Begriffs Unendlich ab. Das koennte
ich akzeptieren, wenn Du im Gegenzug eine eigene Definition vorlegen
wuerdest, damit klar wird, was Du mit unendlich meinst. Statt dessen
operierst Du vollmundig mit einem Begriff, von dem ich den Eindruck
habe, dass Du selbst nicht weisst, um was es sich handelt. Wenn die
weitere Diskussion Sinn haben soll, erklaere also genau, was Du
unter einer unendlichen Menge verstehst, und liefere auch den
Existenzbeweis fuer Deine unendlichen Mengen. Da es in der Realitaet
nur endliche Mengen gibt und somit der direkte Nachweis der Existenz
unendlicher Mengen nicht moeglich ist, ist ein eindeutiger theore-
tischer Existenzbeweis unverzichtbar, wenn der Begriff nicht nur
Spekulation sein soll. Mit einer solchen Definition koenntest Du
mich mehr beeindrucken als mit Deinen unbewiesenen Behauptungen.

In den naechsten Tagen werde ich auf das posting von Detlef Mueller
etwas ausfuehrlicher antworten. Bis dahin

Gruss

Dieter

Holger Gollan

unread,
Jan 19, 2001, 4:16:15 AM1/19/01
to
Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo Holger,

>
> Du versuchst permanent Dich damit herauszureden, dass die Abbildung
> nur fuer endliche Teilmengen gelte. Warum beantwortest Du nicht die
> Frage nach der groessten Teilmenge, oberhalb der die Abbildung nicht
> mehr moeglich ist? Wie werden natuerliche Zahlen oberhalb dieser
> Grenze dargestellt? Was ist mit der Abbildung von Pot(N) auf N
> nach dem Vorbild von Cantors Abbildung von Q auf N?
>

Du behauptest also, dass eine Aussage, die fuer alle endlichen
Teilmengen einer unendlichen Menge gilt, zwangslaeufig auch fuer die
unendliche Menge selbst gueltig ist? (Wobei Deine Aussage ja nur fuer
einen Teil der endlichen Teilmengen galt, und was "unendlich" eigentlich
bedeutet, sollten wir wirklich mal klaeren.)
Wie ist es mit folgender Aussage: Sei T_n = {1,2,...,n} die Menge der
ersten n natuerlichen Zahlen. Dann gilt: T_n besitzt ein groesstes
Element, eine obere Schranke, was auch immer. Deiner Meinung nach gilt
das dann auch fuer die Vereinigung aller T_n, also die Menge der
natuerlichen Zahlen?

> Deine Behauptung, nur endliche Teilmengen von Pot(D1) koennten auf
> N abgebildet werden, hast Du mit dem Hinweis zu begruenden versucht,
> dass die Potenzmenge der unendlichen Menge der Zweierpotenzen auch
> unendliche Teilmengen als Elemente enthaelt. Das Argument ist unsinnig,
> weil sich ausnahmslos jede abzaehlbar unendliche Menge als Vereinigung
> von unbegrenzt vielen unendlichen Teilmengen darstellen laesst. Deshalb
> gilt auch der folgende Satz der Mengenlehre:
> "Die Vereinigung einer abzaehlbaren Menge abzaehlbarer Mengen ist
> abzaehlbar." (Zitat aus H.-D. Ebbinghaus, Einfuehrung in die Mengen-
> lehre, B. I. Wissenschaftsverlag, 3. Auflage, 1994, S. 139, 2.6 (c))
>

Ja, und? Das Problem ist doch, dass die Aussage beim Uebergang zur
Vereinigung nicht unbedingt richtig bleiben muss (Sinn ergeben muss).
Beispiel:
Betrachte Pot(N) und N. Obige T_n sind Elemente von Pot(N) und es gilt,
dass N die Vereinigung der abzaehlbar vielen T_n ist. Nun koennte man
analog zu Deinem Beweis mit Pot(D1) eine Abbildung definieren, die jedem
endlichen Element von Pot(N), also jeder endlichen Teilmenge von N, die
Summe (das Produkt) ihrer Elemente, also eine natuerliche Zahl zuordnet.
Fuer die Summe wuerde man dann jedem T_n die natuerliche Zahl n*(n+1)/2
zuordnen. Dies kannst Du nun fuer alle T_n machen, was aber sagt dass
fuer die Vereinigung der T_n, also fuer N selbst aus? Kannst Du auf
diese Art und Weise auch N eine natuerliche Zahl zuordnen? (Die Summe
aller natuerlichen Zahlen?)
Noch einmal wiederholt: Fuer jeden endlichen Teil hast Du eine konkrete
Aussage, beim Uebergang zur Vereinigung, zum unendlichen Ganzen, muss
diese Aussage aber nicht mehr Bestand haben.

> Mit Hilfe dieses Satzes habe ich in meiner Antwort, die Du allerdings
> nicht zur Kenntnis nimmst, bewiesen, dass Pot(D1) abzaehlbar ist. Beim
> Beweis der Abzaehlbarkeit der Tn habe ich sogar auf die naheliegende
> Abbildung auf Teilmengen von N verzichtet und den Umweg ueber Teil-
> mengen von Q gewaehlt, weil Abbildungen auf Teilmengen von N bei Dir
> offenbar zu einer mentalen Sperre fuehren. Aber auch diese Muehe war
> vergebens, weil Du alles, was Deine Vorurteile nicht bestaetigt,
> schlicht ignorierst.
>

Nun, sieh es mal so. Du willst etwas beweisen, von dem ich ueberzeugt
bin, dass es falsch ist. Ich zeige Dir einen Fehler ganz am Anfang
Deines Beweises, auf den Du im Folgenden gar nicht mehr eingehst. Ich
haette schon erwartet, dass Du dazu Stellung beziehst, da Deine ganzer
Beweis darauf aufbaut.

> Eines Deiner Probleme ist offensichtlich der Begriff Unendlich.

Wer damit Probleme hat, ist vielleicht noch heraus zu finden.

> Du schreibst
> > ...
> > Nur zur Erlaeuterung: Natuerlich hat jede natuerliche Zahl nur endlich
> > viele Binaerstellen, genau so, wie sie nur endlich viele Dezimalstellen
> > hat. Trotzdem kann man auf diese Weise unendlich viele Zahlen
> > darstellen. Oder ist die folgende Liste endlich? (Egal, ob im Dual- oder
> > Dezimalsystem)
> > 1, 10, 100, 1000, 10000, ...
> > Jede diese Zahlen besitzt nur endlich viele Stellen, es sind aber
> > unendlich viele Zahlen, oder?
> >
> Ich sehe nur 5 Zahlen und 3 Punkte, von unendlich keine Spur. Die
> groesste der 5 Zahlen hat 5 Dezimalstellen (oder 5 Binaerstellen,
> wenn man sie als Dualzahlen interpretiert). Dieses Beispiel zeigt
> besonders deutlich den untrennbaren Zusammenhang zwischen der Anzahl
> der Binaerstellen und der Anzahl der damit darstellbaren Zahlen. Die
> Anzahl der Zahlen Deiner Zahlenfolge ist exakt gleich gross wie die
> Anzahl der Binaer- (oder Dezimal-)stellen der groessten dieser
> Zahlen. Wie kannst Du also behaupten, dass die Anzahl der Zahlen
> unendlich, die exakt gleichgrosse Anzahl der Binaerstellen der
> groessten dieser Zahlen aber endlich ist?

Mir war schon klar, dass die 3 Punkte nicht gerade perfekter
mathematischer Notation entsprachen, aber ich bin eigentlich davon
ausgegangen, dass Du nicht auf solche Feinheiten abhebst, sondern Dich
um die Inhalte bemuehst.
Prinzipiell erscheint in Deiner Argumentation wieder das gleiche
Problem: Natuerlich hat jede einzelne Zahl in dieser Folge nur endlich
viele Stellen, aber es gibt unendlich viele von diesen Zahlen. Oder
willst Du behaupten, dass es nur endlich viele natuerliche Zahlen gibt?

>
> Du lehnst meine Definition des Begriffs Unendlich ab. Das koennte
> ich akzeptieren, wenn Du im Gegenzug eine eigene Definition vorlegen
> wuerdest, damit klar wird, was Du mit unendlich meinst. Statt dessen
> operierst Du vollmundig mit einem Begriff, von dem ich den Eindruck
> habe, dass Du selbst nicht weisst, um was es sich handelt. Wenn die
> weitere Diskussion Sinn haben soll, erklaere also genau, was Du
> unter einer unendlichen Menge verstehst, und liefere auch den
> Existenzbeweis fuer Deine unendlichen Mengen. Da es in der Realitaet
> nur endliche Mengen gibt und somit der direkte Nachweis der Existenz
> unendlicher Mengen nicht moeglich ist, ist ein eindeutiger theore-
> tischer Existenzbeweis unverzichtbar, wenn der Begriff nicht nur
> Spekulation sein soll. Mit einer solchen Definition koenntest Du
> mich mehr beeindrucken als mit Deinen unbewiesenen Behauptungen.
>

Wie waere es mit der Menge der natuerlichen Zahlen? Endlich oder
unendlich? Wenn sie endlich waere, dann muesste es doch ein groesstes
Element geben, oder?

> In den naechsten Tagen werde ich auf das posting von Detlef Mueller
> etwas ausfuehrlicher antworten. Bis dahin
>
> Gruss
>
> Dieter

--

Sören Schindler

unread,
Jan 19, 2001, 6:53:26 AM1/19/01
to
Ich habe mir zum Spass sämtliche Postings in diesem Thread
durchgelesen und es ist schon erstaunlich, wie sehr sich die Postings
Dieter Jungmanns die von James Harris (der mit dem ganz einfachen
FLT-Beweis) in der sci.math Newsgroup ähneln...

Dieter Jungmann wrote:
<<ziemlich viel-Schnipp>>

Dieter Jungmann

unread,
Jan 21, 2001, 9:54:44 PM1/21/01
to
Hallo Detlef,

meine Antwort hat sich hinausgezoegert, ich hoffe aber, dass es
dafuer jetzt etwas mehr Klarheit gibt.

>
> > 4) Tatsaechlich eignet sich CANTORs Beweis nicht einmal zum Beweis der
> > Unvollstaendigkeit der Liste, ...
> >
> Welcher Liste jetzt?
> Natuerlich ist die (fiktive) Liste vollstaendig, sonst
> waere sie keine Liste.
> Verstehen wir etwas unterschiedliches darunter?
> Ich habe eine Liste a1, a2, a3, ... an, a(n+1), ...
> von Zahlen gegeben. Was wuerde fuer Dich bedeuten, dass
> diese vollstaendig ist, oder unvollstaendig?
>

Es besteht die Absicht, alle {an} einer gegebenen Zahlenmenge in eine
Liste aufzunehmen. Wenn alle an in der Liste enthalten sind, ist sie
vollstaendig, wenn ein oder mehrere an fehlen, ist sie unvollstaendig.

Cantor standen die heutigen Begriffe der Mengenlehre noch nicht zur
Verfuegung, er konnte sie daher auch nicht benutzen. Es ist daher
Erbsenklauberei, an einzelnen Ausdruecken Anstoss zu nehmen. Die
Beschreibung mit Hilfe einer Liste oder Tabelle hat er gewaehlt, um
den Sinn des Diagonalbeweises moeglichst anschaulich zu erklaeren.

Da mir Zweifel kommen, ob Du den Sinn des Diagonalbeweises kennst,
will ich ihn kurz andeuten. Wenn es nur darum ginge, dass in
jeder Zeile eine Ziffer geaendert wird, koennte man einfach alle
untereinander an derselben Dezimalstelle stehenden Ziffern aendern.
Da die Anordnung der reellen Zahlen in der Liste beliebig ist, koennte
man, nachdem die neue Zahl definiert wurde, zwei Zahlen vertauschen,
so dass sich mindestens bei der einen Zahl die Ziffer an
der vorgegebenen Dezimalstelle nicht mehr von der Ziffer der neuen
Zahl an derselben Dezimalstelle unterscheidet. Da es viele Tausch-
moeglichkeiten gibt, laesst sich nicht ausschliessen, dass es eine
Zahl gibt, die auch in allen anderen Dezimalstellen mit der neuen
uebereinstimmt. Man haette also keinen Beweis. Durch die diagonale
Anordnung der zu veraendernden Ziffern wird erreicht, dass auch dann
noch erkennbar ist, dass sich die neue Zahl in wenigstens einer
Dezimalstelle von jeder in der Liste enthaltenen Zahl unterscheidet,
wenn deren Reihenfolge geaendert wird. Wie das funktioniert, kannst
Du Dir selbst ueberlegen.

Die Idee mit der Diagonalen ist in der Tat raffiniert. Sie setzt aber
voraus, dass die Anzahl der Zeilen und Spalten der Liste (also die
Anzahl der zu beruecksichtigenden Zahlen und die Anzahl der zu ihrer
Darstellung benoetigten Dezimalstellen) gleich ist. Diese Voraussetzung
ist aber, wie ich nachgewiesen habe, nicht erfuellt, eine solche Annahme
ist geradezu absurd. Daher ist der Diagonalbeweis gegenstandslos.


> >
> Nochmal: erst schreibst Du
> "Wenn man alle Ziffernkombinationen zulässt, enthält die Liste nicht nur
> irrationale Zahlen sondern auch die periodischen Dezimalbrüche. Trotzdem
> handelt es sich nicht um die Menge der reellen Zahlen des Einheitsinter-
> valls, denn dazu gehören auch die endlichen Dezimalbrüche."
>
> Das ist natuerlich falsch, denn endliche Dezimalbrueche tauchen
> sehr wohl auf, man muss sogar einschraenkungen machen, dass sie
> nicht doppelt auftauchen:
> 0,5 = 0,5000000... = 0,49999999...
> Ein Fehler, ab da braucht man nicht weiterzulesen, wenn die
> Argumentation aufeinander aufbauend ist (weshalb wohl auch
> viele auf das folgende nicht eingehen). Der ist erstmal zu
> beheben.
>

Richtig. Deshalb habe ich auch geschrieben "Werden sie beruecksichtigt

und an den Anfang der Tabelle gesetzt, so dass sich die Zahl der

Nachkommastellen kontinuierlich vergroessert, sind bereits alle
endlichen natuerlichen Zahlen fuer ihre Abbildung verbraucht. Zur
Abbildung der periodischen und irrationalen Brueche stehen dann nur
noch natuerliche Zahlen mit unendlich vielen Stellen zur Verfuegung,
die ebenfalls nicht abzaehlbar sind."

Da die Reihenfolge der reellen Zahlen beliebig ist, ist es zulaessig
und uebersichtlicher, die endlichen Brueche an den Anfang der Tabelle
zu stellen. Die ueblichen Beschreibungen des Diagonalbeweises sugge-
rieren naemlich, dass sie unberuecksichtigt bleiben, zumindest wird
ihre Bedeutung nicht sichtbar. Die Tabelle koennte z. B. so aussehen:
,1 1
,2 2
... ...
,9 9
,01 10
,11 11
... ...
,91 19
,02 20
,12 21
... ...
,99 99
,001 100
,101 101
... ...
,901 109
,011 110
... ...

Man hat jetzt die Wahl zwischen mehreren Uebeln. Da es kaum
zu begruenden sein duerfte, warum die Anzahl der moeglichen
Dezimalstellen der natuerlichen Zahlen eine andere sein sollte
als die Zahl der Nachkommastellen der Brueche, koennte man
annehmen, dass sie gleich ist. Dann waere aber die Anzahl der
reellen Zahlen exakt gleich der Anzahl der natuerlichen Zahlen.
Da die Anzahl der Dezimalstellen der natuerlichen Zahlen
abzaehlbar ist, gilt das dann auch fuer die Dezimalstellen
der Brueche.

Ausserdem gibt es dann nur rationale Zahlen, denn ein Bruch
mit einer abzaehlbaren Anzahl von Dezimalstellen laesst sich
als Quotient von 2 ganzen Zahlen mit abzaehlbar vielen Stellen
darstellen. Waeren darunter auch irrationale Zahlen, muesste
man eine Stellenzahl definieren, ab der der Quotient keine rationale
Zahl mehr ist. Eine solche Definition ist nicht sinnvoll moeglich.

Da die Mengenlehre davon ausgeht, dass es mehr reelle als natuerliche
Zahlen gibt, muss die maximale Stellenzahl der Brueche groesser
sein als die der natuerlichen Zahlen. Daraus wiederum folgt,
dass die Stellenzahl der Brueche ueberabzaehlbar sein muss,
denn waere sie wie die Stellenzahl der natuerlichen Zahlen
abzaehlbar, liesse sich nicht mehr begruenden, warum sich die
Anzahl der Stellen der natuerlichen Zahlen nicht auf dieselbe
Anzahl wie die der Brueche sollte anheben lassen.

Fuer die irrationalen Zahlen ergibt sich daraus folgende
Konsequenz: Es gibt keinen Algorithmus, mit dem sich ueber-
abzaehlbar viele Stellen berechnen lassen. Selbst wenn man
definieren wuerde, dass die irrationalen Zahlen zu existieren
haben, wuerde feststehen, dass es sich nur um ein unerfuellbares
Postulat handelt. Das bedeutet auch, dass es keine Zahlen mit
ueberabzaehlbar vielen Stellen gibt, denn fuer ihre Erzeugung
gibt es keinen Algorithmus. Daraus folgt, wie gezeigt, dass die
Menge der reellen Zahlen des Einheitsintervalls gleich gross ist
wie die Menge der natuerlichen Zahlen. Da Zahlen mit abzaehlbar
vielen Stellen rationale Zahlen sind, gibt es fuer irrationale
Zahlen keinen Existenzbeweis.

Wenn Du bei Deiner (unhaltbaren, wie ich spaeter noch zeigen werde)
Aussage bleibst, dass die Anzahl der Dezimalstellen der natuerlichen
Zahlen endlich ist, sind alle natuerlichen Zahlen fuer die Abbildung
der endlichen Brueche verbraucht, es bleiben keine zur Abbildung der
Zahlen mit unendlich vielen Stellen uebrig. Du koenntest das als
Beweis fuer die Ueberabzaehlbarkeit der reellen Zahlen interpretieren.
Das kann aber nicht Cantors Absicht gewesen sein, denn dann haette
er den Diagonalbeweis nicht gebraucht. Ausserdem haette er dann seine
Behauptung, dass Q gleichmaechtig sei wie N, selbst widerlegt.
Denn mit endlichen Dezimalbruechen laesst sich nur ein kleiner
Teil der rationalen Zahlen darstellen, die meisten sind periodische
Dezimalbrueche mit unendlich vielen Stellen, fuer deren Abbildung
dann aber keine natuerlichen Zahlen uebrig sind.

Der Diagonalbeweis enthaelt so viele Fehler (ich habe nicht alle
aufgezaehlt), dass man schliesslich nicht mehr weiss, was mit
welchem Argument bewiesen werden soll. Ich muss also raten. Da Du
die Position der Mengenlehre vertrittst, ist es Deine Aufgabe,
verbindlich zu sagen, wie der Diagonalbeweis zu interpretieren ist,
wenn Dich die vorstehenden Ausfuehrungen nicht ueberzeugen.


Zu den Primzahlen:

Was Du mit den Primzahlen, die modulo 4 gleich -1 sind, meinst,
ist jetzt klar. Das Beispiel zeigt, wie man aneinander vorbei
reden kann, wenn man von unterschiedlichen Standpunkten aus an
ein Problem herangeht.

Trotz dieser Klarstellung kann ich mich allerdings Deiner
Argumentation nicht anschliessen.


>
> Deine Abbildung wuerde hier zu einem unendlichen Produkt
> fuehren, das ist aber keine Natuerliche Zahl, denn jede
> natuerliche Zahl hat nur endlich viele Primfaktoren.

Wenn Du eine solche Behauptung aufstellst, musst Du konsequenterweise
sagen, wie viele Primfaktoren eine natuerliche Zahl maximal enthalten
darf. Du benutzt hier den Begriff unendlich, ohne Dir das bewusst zu
machen, im Sinne des strukturlosen Unendlichkeitsbegriffs, den ich in
Abschn. 4 erlaeutert habe, also so, als ob oo eine festvorgegebene
Superzahl ausserhalb von N waere. Das trifft aber auf N nicht zu. Die
Unendlichkeit von N besteht einfach nur darin, dass es eben nicht
moeglich ist, eine groesste Zahl anzugeben. Das gilt auch fuer die
Anzahl der Primfaktoren. Die Aussage, es muesste in meiner Abbildung
auch natuerliche Zahlen mit unendlich vielen Primfaktoren geben, ist
daher unsinnig, es sei denn, man haette sich auf den induktiven
Unendlichkeitsbegriff, wie ich ihn definiert habe, geeinigt. In diesem
Fall sind unendliche Mengen ein Sonderfall von endlichen Mengen, eben
jenen Mengen, fuer die sich keine obere Grenze fuer die Anzahl der
Elemente angeben laesst. Dann aber tritt das Problem, auf das Du hinaus
willst, nicht auf.

Alle Primzahlen sind Elemente von N. Fuer alle Elemente von N gelten
die gleichen Rechenregeln. Insbesondere gibt es keine obere Grenze fuer
die Anzahl der Elemente, auf die eine Rechenoperation gleichzeitig
anwendbar ist. Wenn Du an Deinem Argument festhaelst, musst Du neue
Rechenregeln definieren.

Im uebrigen sagt der mengentheoretische Abzaehlbarkeitsbegriff nichts
ueber die Beschaffenheit der Elemente aus. Er verlangt nur, dass sich
die Elemente einer abzaehlbaren Menge in der Form {n0, n1, n2, ...}
schreiben lassen. Dabei muss eindeutig erkennbar sein, dass jedes
Element der Menge seinen Platz in dieser abzaehlbaren Auflistung findet.
Die Abbildung von Pot(P) auf N und noch deutlicher die Abbildung von
Pot(D1) auf N erfuellt diese Bedingung wesentlich uebersichtlicher
als beispielsweise Cantors Abbildung von Q auf N. Wenn Du bestreitest,
dass Pot(P) und Pot(D1) abzaehlbar sind, musst Du zuerst eine von der
heutigen Mengenlehre abweichende neue Definition der Abzaehlbarkeit
einfuehren.

Damit eruebrigen sich eigentlich weitere Ausfuehrungen zur Abbildung
von Pot(D1) auf N. Da Du Dich offensichtlich an einer bestimmten
Vorstellung festgebissen hast, will ich Dir noch eine Hilfestellung
geben.

Du argumentierst so, als ob es um die Abbildung von Pot(N) auf N
ginge. Dann waere Deine Argumentation nachvollziehbar, obwohl auch
Pot(N) nach dem Abzaehlbarkeitskriterium der Mengenlehre abzaehlbar
ist.

Die Menge D1 der Zweierpotenzen {2^n | n el N} ist eine extrem
"duenne" Teilmenge von N. Das wird erst bei groesseren Werten von n
sichtbar. Die Differenz (2^(n+1) - 2^n) verdoppelt sich jedesmal,
wenn n um 1 vergroessert wird. Andererseits verdoppelt sich auch die
Anzahl der Elemente der Potenzmenge einer Menge mit n Elementen
jedesmal, wenn n um 1 erhoeht wird. Die beiden Effekte kompensieren
sich exakt. Das kommt auch in den Teilmengen Tm, auf die ich bereits
mehrfach hingewiesen habe, deutlich zum Ausdruck. Deshalb ist die
Anzahl der Elemente von Pot(D1) exakt identisch mit der Anzahl der
Elemente von N.

Vielleicht benoetigst Du noch eine grundsaetzlichere Ueberlegung,
um Dich aus den Fallstricken der Mengenlehre befreien zu koennen.
Du findest sie am Anfang von Abschn. 2 meines Artikels. Wenn die unsinnige
Maechtigkeitsdefinition, wonach eine Menge gleichmaechtig
sein kann wie eine ihrer echten Teilmengen, nicht zu Widerspruechen
fuehren wuerde, waere die Logik ein Gluecksspiel und zur Gewinnung
und Ueberpruefung von Erkenntnissen ungeeignet.

>
> Dir ist aber klar, dass Natuerliche Zahlen immer nur
> endlich viele Stellen in ihrer Binaerdarstellung
> haben?

> ...


> Du behauptest also, die Menge der natuerlichen Zahlen,
> die nur endlich viele binaerstellen haben, ist selbst
> endlich.
>
> Nun, als endliche Menge muesste sie ja ein groesstes
> Element haben.
>
> Bitte nenn mir dieses groesste Element.
> Oder sage mir nur, wieviele Stellen es denn hat.
>
> Siehst Du, worauf ich hinaus will?

Du behauptest also, die Menge B der Binaerstellen einer
natuerlichen Zahl ist endlich.

Nun, fuer eine endliche Menge muesste es ja eine groesste Zahl
geben, die sagt, wieviel Binaerstellen es maximal sein duerfen.

Bitte nenn mir diese Zahl.

Siehst Du, worauf ich hinaus will?

Mit dieser Argumentation drehst Du Dich im Kreis herum.

Die Binaerstellen einer natuerlichen Zahl lassen sich
nummerieren. Es gibt keine groesste zulaessige Nummer.
D. h. sie lassen sich auf N abbilden.
Die Menge B der Binaerstellen ist also gleichmaechtig
wie N. Es ist daher unsinnig, zu behaupten,
B sei endlich und N unendlich. Beide Mengen sind gleich
endlich oder unendlich. Und da N die Potenzmenge von B
ist, liegt ein eindeutiger Widerspruch in den Aussagen
der Mengenlehre vor.


Zum Banach-Tarski-Paradoxon:
Zu meiner Bemerkung


> > Ausserhalb der Theorie gibt
> > es keine Verwendung dafuer. Es handelt sich also um eine Ad-Hoc-
> > Hypothese.

schreibst Du


> Sieh es so: Man hatte die physikalischen Mengen,
> die man beobachten konnte (Flaechen, Volumen in
> der Natur), und versuchte sie Axiomatisch zu
> fassen.
> Dann stellte man fest, dass die bisherigen
> Axiome so frei waren, dass es Mengen gab,
> die sich komisch verhalten (denen sich etwa kein
> Mass zuordnen laesst).
> Das ist aber doch gar kein Grund zur Panik,
> fuehrt zu keinem Widerspruch und warnt den
> Physiker nur, dass Modell und "Wirklichkeit"
> verschiedene Sachen sind.
>

Diese Warnung braucht der Physiker nicht, weil ihm das Problem
bewusst ist. Sein Ziel ist es ja gerade, das Modell so an die
Wirklichkeit anzupassen, dass innerhalb der Messgenauigkeit
kein Unterschied mehr feststellbar ist. Wenn das nicht gelingt,
weiss er, dass das Modell unbrauchbar ist. In der Physik zaehlt
nur, was messbar ist, ein nicht messbares Modell ist daher von
vornherein unbrauchbar. In der klassischen Mathematik kommen
ebenfalls keine nicht messbaren Mengen vor. Daraus folgt, dass
das Modell Mengenlehre als axiomatische Grundlage der (klassischen)
Mathematik ungeeignet ist. Als Modell einer erweiterten Mathematik
ist sie ebenfalls ungeeignet, weil es keine Moeglichkeit zur
Ueberpruefung der Aussagen gibt.

In der "Wirklichkeit" gibt es nur endliche Mengen. Nicht messbare
Mengen sind aber immer unendliche Mengen, sie setzen sogar den
spekulativen strukturlosen Unendlichkeitsbegriff voraus und sind
daher als Modell fuer die Realitaet unbrauchbar.

Man koennte einwenden, dass auch in der klassichen Mathematik
unendliche Mengen vorkommen. Das gilt jedoch nur bedingt. Die
klassische Infinitesimalrechnung basiert auf der Epsilon-Delta-
Methode. Diese kommt grundsaetzlich mit endlichen Mengen aus.
Es genuegt, dass Mengen beliebig gross und Abstaende beliebig
klein aber doch immer noch endlich sein koennen. Das entspricht
dem induktiven Unendlichkeitsbegriff, bei dem unendliche Mengen
nur ein Sonderfall endlicher Mengen sind. Es bleiben daher alle
Eigenschaften endlicher Mengen erhalten. Dieses Konzept hat sich
in Uebereinstimmung mit der realen Erfahrung bestens bewaehrt.

Da nicht messbare Mengen _immer_ unendliche Mengen sind, haben
sie keinerlei Bezug zu den allein ueberpruefbaren endlichen
Mengen und sind daher reine Spekulationsobjekte.

> > >
> > Alle drei Aussagen sind eine Bestaetigung meiner Behauptung,
> > dass es fuer die irrationalen Zahlen keinen Existenzbeweis
> > gibt.
> >
>
> Ich habe versucht, mich deinem Sprachgebrauch anzupassen,
> hat wohl nicht ganz geklappt.
>
> Versuchen wir es nochmal zum Abhaken, irgendwann musst
> Du nein oder weiss nicht antworten, da koennen wir
> weitermachen:
>
> Glaubst Du an die Existenz von Folgen von
> rationalen Zahlen?
>

Selbstverstaendlich ja.

> Glaubst Du an die Existenz von Konvergenten Folgen
> von rationalen Zahlen?
>

Ja, konvergent im Sinne der Epsilon-Delta-Methode, die mit
endlichen Mengen auskommt.

> Glaubst Du an die Existenz von Nullfolgen rationaler
> Zahlen?
>

Wie vorstehend.

> Glaubst Du daran, dass Konvergente Folgen rationaler
> Zahlen, die sich nur um Nullfolgen unterscheiden,
> Zu Klassen zusammenfassen kann?
>

Warum nicht? Nur eine Frage der Definition. Man kann
beliebige Zusammenfassungen definieren.

> Glaubst Du daran, dass man fuer diese Klassen
> die elementaren Rechenoperationen definieren
> kann?
>

Ja, solange man die Rechenoperationen gliedweise auf die
Elemente der Folgen anwenden kann.

> Wenn ja, hast Du jetzt eine Skizze der Konstruktion der
> reellen Zahlen vor Dir, also einen Existenzbeweis.
>

???
Die Skizze einer Konstruktion ist noch kein Beweis, dass
die Konstruktion tatsaechlich zum gewuenschten Ziel fuehrt.

> ...


> Wenn ich den Umfang eines Kreises vom Radius 1
> betrachte, oder die Laenge der Diagonale eines
> Einheitsquadrates, so wird ein kleines Kind
> sicher weniger Probleme haben hier 2pi oder
> Wurzel aus 2 als gleichberechtigt zur Groesse
> 1 zu betrachten als so mancher verbildete
> Erwachsene.

Ein Kind hat es in der Tat leichter, weil ihm das noetige
Hintergrundwissen fehlt. Und vielen Erwachsenen faellt es
offensichtlich schwer, sich von ihren einfachen kindlichen
Vorstellungen zu befreien. Daher kommt es wohl auch, dass
es vielen so schwer faellt, die Tatsache zu akzeptieren,
dass sich nicht alles auf eine Handvoll idealisierter
abstrakter Begriffe zurueckfuehren laesst.

Fuer Wurzel aus 2 hast Du in Deinem ersten posting selbst den
Beweis gebracht, dass die Loesung nicht existiert. Ich zitiere:

> (p/q)^2=2, p,q Ganz, Teilerfremd (sonst kuerzen).
> => p^2 = 2 q^2 => 2 teilt p^2 => 2 teilt p =>
> 4 teilt p^2 (=2q^2) => 2 teilt q^2 => 2 teilt q,
> Widerspruch.
> Also gibt es keine p,q mit (p/q)=Wurzel 2,
> wohl aber eine Cauchyfolge, die gegen Wurzel
> 2 konvergiert, modulo Nullfolgen ist dies die
> exakt bestimmte reelle Zahl Wurzel aus 2.
> Diese ist also irrational.

Die Ausdrucksweise "Cauchyfolge, die gegen Wurzel 2 konvergiert,"
ist ungenau, weil sie von Wurzel 2 so spricht, als stuende bereits
fest, dass es sie gibt, obwohl ihre Existenz erst zu beweisen ist.

Tatsache ist: Die Folge oder der Algorithmus liefert sukzessive
rationale Zahlen, die mit sich selbst multipliziert dem Wert 2
immer naeher kommen, ihn aber nie exakt erreichen, sonst waere es
keine unendliche Folge. Die Definition des irrationalen Grenzwerts
setzt also seine Nichtexistenz voraus, denn im Gegensatz zu rationalen
Zahlen, die auch (nie exakt erreichbarer) Grenzwert einer unendlichen
Folge sein koennen, gibt es fuer die irrationalen Grenzwerte keine
andere Definition. Da sich alle rationalen Zahlen in der Form p/q
schreiben lassen, liefert der Algorithmus nie einen Wert, der nicht
zu obigem Widerspruch fuehrt. Der einzige Ausweg waere die Hoffnung,
dass er irgendwann doch einen Wert fuer p und/oder q liefert, fuer den
die Aussage, dass er gerade oder ungerade ist, gegenstandslos wird.
Damit ist man bei den strukturlosen Zahlen angekommen, die Du genau so
ablehnst wie ich.

Die Aussage, dass die Folge gegen Wurzel 2 konvergiert, ist im Sinne
der Epsilon-Delta-Methode richtig, weil hier ein endlicher, wenn auch
beliebig kleiner, Restfehler in Kauf genommen wird. Wenn man aber
behauptet, dass es einen _exakten_ Wert fuer Wurzel 2 gibt, muss man
voraussetzen, dass der Restfehler _exakt_ gleich null wird. Das fuehrt
aber zu dem logischen Zirkel, den ich meinem Artikel in Abschn. 4
Absatz 4 als Fussnote --(in Klammern)-- beschrieben habe.

In Deinem zweiten posting schriebst Du zu diesem Thema

> Es wird direkt mit den Vorschriften
> gerechnet und dabei kommen neue Vorschriften
> heraus.
>

> Das _sind_ schon reelle Zahlen! Nichts muus
> mehr "approximiert" werden.

Definitionen sind hilfreich aber auch verfuehrerisch. Die Definition
des neuen Begriffs aendert doch nichts an der Tatsache, dass er selbst
auf einer Approximation beruht!


>
> Mh, "die Anzahl der Dezimalstellen ist ueberabzaehlber".
>
> Naja, ich denke das klaert sich damit, ob jede Natuerliche
> Zahl endlich viele Dezimalstellen zur Darstellung benoetigt.
>
> Das habe ich aber weiter oben (skizzenhaft) gezeigt.
>

Warum zitierst Du nur die halbe Wahrheit? Ich habe geschrieben "..., _wenn_

man daran festhaelt, dass die Menge der irrationalen Zahlen ueberabzaehlbar

ist. Das setzt voraus, dass auch die Anzahl der Dezimalstellen der irra-
tionalen Zahlen ueberabzaehlbar ist. Ich gehe davon aus, dass dies keiner
weitern Begruendung bedarf, nachdem nachgewiesen wurde, dass es mit Potenz-

mengen nicht moeglich ist, aus einer abzaehlbaren eine ueberabzaehlbare

Menge zu erzeugen." Dem ist nichts hinzuzufuegen, insbesondere wenn Du
Dich an die Problematik des Diagonalbeweises erinnerst.

Gruss

Dieter

Holger Gollan

unread,
Jan 22, 2001, 4:29:11 AM1/22/01
to
Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo Detlef,
>

Hallo Dieter,

> meine Antwort hat sich hinausgezoegert, ich hoffe aber, dass es
> dafuer jetzt etwas mehr Klarheit gibt.
>

nun ja, schauen wir mal. Ich bin zwar nicht Detlef, aber da ich auf mein
letztes Posting noch keine Antwort bekommen habe, wollte ich mich hier
noch einmal einhaengen mit dem Versuch, die ganze Diskussion auf kleine
und ueberschaubare Teile zu beschraenken.

Eben doch (s.u.)!

> Alle Primzahlen sind Elemente von N. Fuer alle Elemente von N gelten
> die gleichen Rechenregeln. Insbesondere gibt es keine obere Grenze fuer
> die Anzahl der Elemente, auf die eine Rechenoperation gleichzeitig
> anwendbar ist. Wenn Du an Deinem Argument festhaelst, musst Du neue
> Rechenregeln definieren.
>
> Im uebrigen sagt der mengentheoretische Abzaehlbarkeitsbegriff nichts
> ueber die Beschaffenheit der Elemente aus. Er verlangt nur, dass sich
> die Elemente einer abzaehlbaren Menge in der Form {n0, n1, n2, ...}
> schreiben lassen. Dabei muss eindeutig erkennbar sein, dass jedes
> Element der Menge seinen Platz in dieser abzaehlbaren Auflistung findet.
> Die Abbildung von Pot(P) auf N und noch deutlicher die Abbildung von
> Pot(D1) auf N erfuellt diese Bedingung wesentlich uebersichtlicher
> als beispielsweise Cantors Abbildung von Q auf N. Wenn Du bestreitest,
> dass Pot(P) und Pot(D1) abzaehlbar sind, musst Du zuerst eine von der
> heutigen Mengenlehre abweichende neue Definition der Abzaehlbarkeit
> einfuehren.
>

Du benoetigst fuer Deinen Beweis zunaechst eine Abbildung von Pot(P)
bzw. Pot(D1) nach N, von der Du dann zeigen musst, dass sie eine
Bijektion ist. Alle Kritik, die hier aufkommt, bezweifelt schon die
Aussage, dass Du ueberhaupt eine Abbildung nach N vorliegen hast. Hier
noch einmal, so klar wie moeglich, das Gegenargument, mit der Hoffnung,
dass Du den Fehler in meiner Argumentation aufzeigen kannst:
1) P ist die Menge aller Primzahlen.
2) Pot(P) ist die Menge aller Teilmengen von P.
3) Insbesondere ist P selbst ein Element von Pot(P).
4) Was ist nun das Bild von P unter Deiner Abbildung?
5) Es ist das Produkt aller Elemente von P, also das Produkt aller
Primzahlen.
[Einschub: Wie ist eigentlich ein unendliches Produkt definiert?]
6) Sei nun X dieses Produkt aller Primzahlen.
7) Dann ist X das Bild des Elements P von Pot(P) unter Deiner Abbildung.
8) Frage: Ist X eine natuerliche Zahl?
9) Wenn X eine natuerliche Zahl ist, dann gibt es eine Primzahl p, die
groesser als X ist. Dieses p ist aber einer der Faktoren im Produkt X,
also muss X groesser als p sein, was aber groesser als X ist. Ein
Widerspruch, da X und p insbesondere natuerliche Zahlen sind.
10) Also ist X keine natuerliche Zahl, also ist das Bild von P unter
Deiner Abbildung keine natuerliche Zahl, also bildet Deine Abbildung
nicht Pot(P) nach N ab.
11) Damit entfaellt die Grundlage fuer den Beweis der Gleichmaechtigkeit
von Pot(P) und N.

Analog kann man die Abbildung fuer den Fall Pot(D1) widerlegen, da auch
bei der dort gebildeten Summe eine 2er-Potenz existiert, die groesser
als die angenommene natuerlich Zahl ist und zu einem aehnlichen
Widerspruch fuehrt. Bei Fall der 2er-Potenzen wuerdest Du ausserdem ein
Problem mit der Surjektivitaet bekommen, wenn die unendliche Summe aller
2er-Potenzen wirklich eine natuerliche Zahl Y waere, da sich Y
andererseits als Summe von endlich vielen 2er-Potenzen schreiben laesst,
und somit auch Bild einer endlichen Teilmenge von D1 waere. Waere Deine
Abbildung also von Pot(D1) nach N (was sich nicht ist), dann waere sie
nicht surjektiv, und damit auch nicht fuer den Beweis der
Gleichmaechtigkeit geeignet.

> Damit eruebrigen sich eigentlich weitere Ausfuehrungen zur Abbildung
> von Pot(D1) auf N. Da Du Dich offensichtlich an einer bestimmten
> Vorstellung festgebissen hast, will ich Dir noch eine Hilfestellung
> geben.
>
> Du argumentierst so, als ob es um die Abbildung von Pot(N) auf N
> ginge. Dann waere Deine Argumentation nachvollziehbar, obwohl auch
> Pot(N) nach dem Abzaehlbarkeitskriterium der Mengenlehre abzaehlbar
> ist.
>
> Die Menge D1 der Zweierpotenzen {2^n | n el N} ist eine extrem
> "duenne" Teilmenge von N. Das wird erst bei groesseren Werten von n
> sichtbar. Die Differenz (2^(n+1) - 2^n) verdoppelt sich jedesmal,
> wenn n um 1 vergroessert wird. Andererseits verdoppelt sich auch die
> Anzahl der Elemente der Potenzmenge einer Menge mit n Elementen
> jedesmal, wenn n um 1 erhoeht wird. Die beiden Effekte kompensieren
> sich exakt. Das kommt auch in den Teilmengen Tm, auf die ich bereits
> mehrfach hingewiesen habe, deutlich zum Ausdruck. Deshalb ist die
> Anzahl der Elemente von Pot(D1) exakt identisch mit der Anzahl der
> Elemente von N.
>

Ob man mit solchen Betrachtungen die Abgruende unendlicher Mengen
untersuchen kann, wage ich doch zu bezweifeln.

> Vielleicht benoetigst Du noch eine grundsaetzlichere Ueberlegung,
> um Dich aus den Fallstricken der Mengenlehre befreien zu koennen.
> Du findest sie am Anfang von Abschn. 2 meines Artikels. Wenn die unsinnige
> Maechtigkeitsdefinition, wonach eine Menge gleichmaechtig
> sein kann wie eine ihrer echten Teilmengen, nicht zu Widerspruechen
> fuehren wuerde, waere die Logik ein Gluecksspiel und zur Gewinnung
> und Ueberpruefung von Erkenntnissen ungeeignet.
>

Nur zur Klarheit: Zwei Mengen heissen gleichmaechtig, wenn es eine
Bijektion zwischen ihnen gibt. Du behauptest also, dass z.B. die Menge
der geraden Zahlen und die Menge der natuerlichen Zahlen nicht
gleichmaechtig sind?

Christian Semrau

unread,
Jan 22, 2001, 1:29:44 PM1/22/01
to
Hallo an alle Teilnehmer dieser - sich endlos hinziehenden - Diskussion.

Ich stehe schon eine Weile vor der ersten unbedingt zu klaerenden Frage:
Was sind natuerliche Zahlen?
Bitte im Sinne einer axiomatischen Definition.
Ich erinnere mich an das Axiomensystem von Peano. Kann das bitte jemand
posten, und Dieter, du moegest bitte schreiben, ob du mit diesem
Axiomensystem einverstanden bist.

Und anschliessend die Frage:
Gibt es natuerliche Zahlen, die unendlich viele Stellen haben?
Wobei allein um die Frage korrekt stellen zu koennen, geklaert sein
muss,
was "Stellen" und was "unendlich" heisst.

Christian

--
Warum laeuft das Huhn ueber das Moebius-Band?
Um auf die andere Seite - aehm...

Holger Gollan

unread,
Jan 23, 2001, 6:26:27 AM1/23/01
to
Christian Semrau wrote:
>
> Hallo an alle Teilnehmer dieser - sich endlos hinziehenden - Diskussion.
>
> Ich stehe schon eine Weile vor der ersten unbedingt zu klaerenden Frage:
> Was sind natuerliche Zahlen?
> Bitte im Sinne einer axiomatischen Definition.
> Ich erinnere mich an das Axiomensystem von Peano. Kann das bitte jemand
> posten, und Dieter, du moegest bitte schreiben, ob du mit diesem
> Axiomensystem einverstanden bist.
>

1) 1 ist eine natuerliche Zahl.
2) Zu jeder natuerlichen Zahl n gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl
n*, den so genannten Nachfolger.
3) 1 ist nicht der Nachfolger einer natuerlichen Zahl.
4) Zwei natuerliche Zahlen m und n, deren Nachfolger gleich sind (m* =
n*), sind selbst schon gleich (m = n).
5) Sei T eine Teilmenge der natuerlichen Zahlen mit folgenden
Eigenschaften:
a) 1 ist Element von T.
b) Ist n Element von T, dann auch der Nachfolger n*.
Dann ist T gleich der Menge der natuerlichen Zahlen.

Man kann nun z.B. darueber streiten, ob nicht 0 die kleinste natuerliche
Zahl ist, und man kann auch andere Formulierungen fuer das 5. Axiom
finden, oder sonstige Feinheiten aendern, aber ungefaehr so sollte die
axiomatische Definition der natuerlichen Zahlen aussehen.

> Und anschliessend die Frage:
> Gibt es natuerliche Zahlen, die unendlich viele Stellen haben?

Nein!

> Wobei allein um die Frage korrekt stellen zu koennen, geklaert sein
> muss,
> was "Stellen" und was "unendlich" heisst.
>

Du hast natuerlich Recht! Bevor man ueber den Wahrheitsgehalt einer
Aussage entscheidet, sollte man die Begriffe klaeren. Ich habe
allerdings keine Lust, eine formale Definition fuer den Stellen-Begriff
einzufuehren, und "unendlich" heisst einfach "nicht endlich".

> Christian
>
> --
> Warum laeuft das Huhn ueber das Moebius-Band?
> Um auf die andere Seite - aehm...

--

Tilman Thiele

unread,
Jan 23, 2001, 8:17:31 AM1/23/01
to
Holger Gollan <hgo...@yahoo.com> wrote:
>Christian Semrau wrote:
>>
>> Hallo an alle Teilnehmer dieser - sich endlos hinziehenden - Diskussion.
>>
>> Ich stehe schon eine Weile vor der ersten unbedingt zu klaerenden Frage:
>> Was sind natuerliche Zahlen?
>> Bitte im Sinne einer axiomatischen Definition.
>> Ich erinnere mich an das Axiomensystem von Peano. Kann das bitte jemand
>> posten, und Dieter, du moegest bitte schreiben, ob du mit diesem
>> Axiomensystem einverstanden bist.
>>
>
>1) 1 ist eine natuerliche Zahl.
>2) Zu jeder natuerlichen Zahl n gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl
>n*, den so genannten Nachfolger.
>3) 1 ist nicht der Nachfolger einer natuerlichen Zahl.
>4) Zwei natuerliche Zahlen m und n, deren Nachfolger gleich sind (m* =
>n*), sind selbst schon gleich (m = n).
>5) Sei T eine Teilmenge der natuerlichen Zahlen mit folgenden
>Eigenschaften:
> a) 1 ist Element von T.
> b) Ist n Element von T, dann auch der Nachfolger n*.
>Dann ist T gleich der Menge der natuerlichen Zahlen.
>
>Man kann nun z.B. darueber streiten, ob nicht 0 die kleinste natuerliche
>Zahl ist, und man kann auch andere Formulierungen fuer das 5. Axiom
>finden, oder sonstige Feinheiten aendern, aber ungefaehr so sollte die
>axiomatische Definition der natuerlichen Zahlen aussehen.
>


OBACHT! Im Zweifelsfalle gehört die 0 auch dazu!
(Ersetze in den Axiomen die "1" durch "0".) Das
formale System funktioniert zwar auch ohne Null,
aber die Arithmetik auf N ist dann nicht mehr so
schön. Jedenfalls wird PA (Die Theorie der Peano-Arithmetik)
kanonisch immer mit 0 definiert.


>> Und anschliessend die Frage:
>> Gibt es natuerliche Zahlen, die unendlich viele Stellen haben?
>
>Nein!
>
>> Wobei allein um die Frage korrekt stellen zu koennen, geklaert sein
>> muss,
>> was "Stellen" und was "unendlich" heisst.
>>
>
>Du hast natuerlich Recht! Bevor man ueber den Wahrheitsgehalt einer
>Aussage entscheidet, sollte man die Begriffe klaeren. Ich habe
>allerdings keine Lust, eine formale Definition fuer den Stellen-Begriff
>einzufuehren, und "unendlich" heisst einfach "nicht endlich".
>

Die korrekte Definition für " abzählbar unendlich" ist (und ich lasse
die Formalitäten mal beiseite):
"Bijektiv auf die Menge der Natürlichen Zahlen abbildbar"


("überabzählbar unendlich" entsprechend mit größeren Mengen)


Daran kannst du absehen, daß es kaum eine unendlich-stellige
natürliche Zahl geben kann (sonst könntest du die natürlichen
Zahlen bijektiv auf die einzelnen Ziffern abbilden!)


>> Christian
>>
>> --
>> Warum laeuft das Huhn ueber das Moebius-Band?
>> Um auf die andere Seite - aehm...
>
>--
>
>Gruesse, email: hgo...@yahoo.com
>Holger URL: http://www.geocities.com/Colosseum/Stadium/9099

--
_____________________________________________________________
NewsGroups Suchen, lesen, schreiben mit http://netnews.web.de

Christian Schneider

unread,
Jan 23, 2001, 11:23:57 AM1/23/01
to
Tilman Thiele schrieb:

>
> Daran kannst du absehen, daß es kaum eine unendlich-stellige
> natürliche Zahl geben kann (sonst könntest du die natürlichen
> Zahlen bijektiv auf die einzelnen Ziffern abbilden!)
>
Was ist mit 0.999999...., 1.999999.... ?

Dieter Jungmann

unread,
Jan 23, 2001, 8:13:29 PM1/23/01
to
Hallo Holger,

> > "Die Vereinigung einer abzaehlbaren Menge abzaehlbarer Mengen ist
> > abzaehlbar." (Zitat aus H.-D. Ebbinghaus, Einfuehrung in die Mengen-
> > lehre, B. I. Wissenschaftsverlag, 3. Auflage, 1994, S. 139, 2.6 (c))
> >
>
> Ja, und? Das Problem ist doch, dass die Aussage beim Uebergang zur
> Vereinigung nicht unbedingt richtig bleiben muss (Sinn ergeben muss).

Meinst Du das ernst? Sind mathematische Mengen wie chemische Mengen,
die sich bei der Vereinigung veraendern? Welchen Sinn hat obiger Satz,
wenn Du schon im naechsten Satz sagst: "Aetsch, gilt doch nicht, weil
sich die Mengen bei der Vereinigung veraendern"?

Es gilt sogar der umgekehrte Satz: Es sei X eine ueberabzaehlbare Menge.
Zieht man eine abzaehlbare Menge abzaehlbarer Teilmengen T_n von X ab,
ist die Restmenge ueberabzaehlbar. (Korrekter: Es sei V die Vereinigung
einer abzaehlbaren Menge abzaehlbarer Teilmengen T_n von X. Dann ist das
relative Komplement (X\V) von V bzgl. X ueberabzaehlbar.) Auf Pot(D1)
angewandt heisst das, dass es zur Feststellung der Maechtigkeit von
Pot(D1) gar nicht noetig ist, alle Teilmengen zu beruecksichtigen.
Wichtig ist nur, dass die nicht beruecksichtigten T_n abzaehlbar sind.
Anm.: Zu den abzaehlbaren Mengen gehoeren auch die abzaehlbar
unendlichen Mengen.

Auf den Kern des Problems komme ich am Ende nochmal zurueck.

>
> Nun, sieh es mal so. Du willst etwas beweisen, von dem ich ueberzeugt
> bin, dass es falsch ist. Ich zeige Dir einen Fehler ganz am Anfang
> Deines Beweises, auf den Du im Folgenden gar nicht mehr eingehst. Ich
> haette schon erwartet, dass Du dazu Stellung beziehst, da Deine ganzer
> Beweis darauf aufbaut.

Welchen Fehler meinst Du? Es geht hier um die Frage, ob sich Pot(D1) auf
N abbilden laesst. Dazu nehme ich doch dauernd Stellung. Du hast selbst
begruesst, dass wir die Diskussion vorerst auf diesen Punkt eingrenzen.

>
Du schriebst


> > > Nur zur Erlaeuterung: Natuerlich hat jede natuerliche Zahl nur endlich
> > > viele Binaerstellen, genau so, wie sie nur endlich viele Dezimalstellen
> > > hat. Trotzdem kann man auf diese Weise unendlich viele Zahlen
> > > darstellen. Oder ist die folgende Liste endlich? (Egal, ob im Dual- oder
> > > Dezimalsystem)
> > > 1, 10, 100, 1000, 10000, ...
> > > Jede diese Zahlen besitzt nur endlich viele Stellen, es sind aber
> > > unendlich viele Zahlen, oder?
> > >
> > Ich sehe nur 5 Zahlen und 3 Punkte, von unendlich keine Spur. Die
> > groesste der 5 Zahlen hat 5 Dezimalstellen (oder 5 Binaerstellen,
> > wenn man sie als Dualzahlen interpretiert). Dieses Beispiel zeigt
> > besonders deutlich den untrennbaren Zusammenhang zwischen der Anzahl
> > der Binaerstellen und der Anzahl der damit darstellbaren Zahlen. Die
> > Anzahl der Zahlen Deiner Zahlenfolge ist exakt gleich gross wie die
> > Anzahl der Binaer- (oder Dezimal-)stellen der groessten dieser
> > Zahlen. Wie kannst Du also behaupten, dass die Anzahl der Zahlen
> > unendlich, die exakt gleichgrosse Anzahl der Binaerstellen der
> > groessten dieser Zahlen aber endlich ist?
>
> Mir war schon klar, dass die 3 Punkte nicht gerade perfekter
> mathematischer Notation entsprachen, aber ich bin eigentlich davon
> ausgegangen, dass Du nicht auf solche Feinheiten abhebst, sondern Dich
> um die Inhalte bemuehst.

Mit der Bemerkung "Ich sehe nur 5 Zahlen ..." wollte ich nicht auf
eine vermeintlich nicht perfekte Notation hinweisen. Diese Schreibweise
ist ueblich, ich habe sie selbst mehrfach benutzt. Ich habe auf ein
fundamentaleres Problem angespielt, auf das ich nicht weiter eingehen
moechte. In erster Linie war sie scherzhaft gemeint. (Deine vorangehende
Argumentation kann ja auch nicht ernst gemeint gewesen sein, oder?)

> Prinzipiell erscheint in Deiner Argumentation wieder das gleiche
> Problem: Natuerlich hat jede einzelne Zahl in dieser Folge nur endlich
> viele Stellen, aber es gibt unendlich viele von diesen Zahlen. Oder
> willst Du behaupten, dass es nur endlich viele natuerliche Zahlen gibt?

Will ich nicht. Aber was willst Du mit Deinem Beispiel sagen? Ich
wiederhole meine Frage: Wie kannst Du behaupten, dass die Anzahl der

Zahlen unendlich, die exakt gleichgrosse Anzahl der Binaerstellen der

groessten dieser Zahlen aber endlich ist? Merkst Du tatsaechlich nicht,
dass Du hier selbst einen zweiten Beweis dafuer erbracht hast, dass
Pot(D1) abzaehlbar ist?
Deine Zahlenmenge F = {1, 10, 100, 1000, 10000, ...} ist eine unendliche
Teilmenge von N und daher gleichmaechtig wie N. Wenn es nur um den
Vergleich von Maechtigkeiten geht, ist daher F eine vollwertige
Vertreterin von N. Es sei B die Menge der moeglichen Binaerstellen von
natuerlichen Zahlen. Das nte Element von F hat genau n Binaerstellen.
Das gilt fuer alle n. Daraus folgt, dass B und F und somit auch N und F
gleichmaechtig sind. N ist aber die Potenzmenge sowohl von B als auch von
F, wenn man die Elemente von F als Binaerzahlen interpretiert. Damit ist
bewiesen, dass Potenzmengen nicht maechtiger sind als ihre Grundmengen.


Zurueck zum Kern des Problems. Du schreibst
> Beispiel:
> ...
> ... Dies kannst Du nun fuer alle T_n machen, was aber sagt dass


> fuer die Vereinigung der T_n, also fuer N selbst aus? Kannst Du auf
> diese Art und Weise auch N eine natuerliche Zahl zuordnen? (Die Summe
> aller natuerlichen Zahlen?)
> Noch einmal wiederholt: Fuer jeden endlichen Teil hast Du eine konkrete
> Aussage, beim Uebergang zur Vereinigung, zum unendlichen Ganzen, muss
> diese Aussage aber nicht mehr Bestand haben.

Zunaechst einmal: Auf Pot(N) habe ich das Abzaehlbarkeitskriterium
angewandt, das ist der direkte und ueberzeugendste Weg. Hier werden
also die T_n, die als abzaehlbar _unendliche_ Teilmengen von Pot(D1)
definiert waren, nicht benoetigt. Das haette durch den Hinweis auf
die Analogie zur Abbildung von Q auf N klar sein duerfen.
Die direkte Anwendung des Abzaehlbarkeitskriteriums auf Pot(D1) durch
Abbildung auf N hast Du abgelehnt (weil offensichtlich nicht verstanden).
Deshalb habe ich zum alternativen Beweis die T_n eingefuehrt. Die
Menge der Zweierpotenzen enthaelt aber bei weitem nicht alle
natuerlichen Zahlen, so dass auch deren Summe nicht vorkommt.

Du machst einen entscheidenden Fehler: Du versuchst, _alle_ Elemente
einer unendlichen Menge aufzuschreiben. Das ist natuerlich nicht
moeglich, sonst waere es keine unendliche Menge.
Wenn ich Dich auffordern wuerde, die Elemente von N anzugeben, wuerdest
Du schreiben N = {0, 1, 2, 3, ...}. Wenn ich nach dem groessten Element
von N frage, musst Du passen. Du kannst nicht nur das groesste sondern
unendlich viele Elemente von N nicht angeben. Ist N deshalb nicht
abzaehlbar? Warum wendest Du auf Pot(D1) andere Kriterien an? Hier
versuchst Du offensichtlich rueckwaerts abzuzaehlen.


Da sich Pot(D1) auf N abbilden laesst, ist die Abzaehbarkeit bereits
bewiesen. Wenn Dich das noch nicht ueberzeugt, mache ich folgenden
Vorschlag:
Wir beschraenken uns auf diese eine Frage.
Ich werde Dir dann eine ausfuehrliche Definition der Begriffe abzaehlbar
und abzaehlbar unendlich geben. Du kannst diese Definitionen dann pruefen.
Sobald wir uns auf eine Definition geeinigt haben, versuchen wir, sie
direkt auf Pot(D1) anzuwenden. Damit muesste die Frage endgueltig geklaert
sein. Nachdem wir soviel Muehe auf das Problem verwandt haben, sollte
dieser letzte Schritt auch noch gelingen. Vorher warte ich aber Deine
Antwort ab, vielleicht kann ich mir ueberfluessige Arbeit sparen.

Gruss

Dieter

Christian Semrau

unread,
Jan 24, 2001, 4:29:06 AM1/24/01
to

Was soll damit sein?
0.9999... ist eine andere Schreibweise der Zahl 1.

Christian Semrau

unread,
Jan 24, 2001, 4:57:08 AM1/24/01
to
Dieter Jungmann wrote:

>
> Holger Gollan wrote:
>
> > Prinzipiell erscheint in Deiner Argumentation wieder das gleiche
> > Problem: Natuerlich hat jede einzelne Zahl in dieser Folge nur endlich
> > viele Stellen, aber es gibt unendlich viele von diesen Zahlen. Oder
> > willst Du behaupten, dass es nur endlich viele natuerliche Zahlen gibt?
>
> Will ich nicht. Aber was willst Du mit Deinem Beispiel sagen? Ich
> wiederhole meine Frage: Wie kannst Du behaupten, dass die Anzahl der
> Zahlen unendlich, die exakt gleichgrosse Anzahl der Binaerstellen der
> groessten dieser Zahlen aber endlich ist? Merkst Du tatsaechlich nicht,
> dass Du hier selbst einen zweiten Beweis dafuer erbracht hast, dass
> Pot(D1) abzaehlbar ist?
> Deine Zahlenmenge F = {1, 10, 100, 1000, 10000, ...} ist eine unendliche
> Teilmenge von N und daher gleichmaechtig wie N. Wenn es nur um den
> Vergleich von Maechtigkeiten geht, ist daher F eine vollwertige
> Vertreterin von N. Es sei B die Menge der moeglichen Binaerstellen von
> natuerlichen Zahlen. Das nte Element von F hat genau n Binaerstellen.
> Das gilt fuer alle n. Daraus folgt, dass B und F und somit auch N und F
> gleichmaechtig sind. N ist aber die Potenzmenge sowohl von B als auch von
> F, wenn man die Elemente von F als Binaerzahlen interpretiert. Damit ist
> bewiesen, dass Potenzmengen nicht maechtiger sind als ihre Grundmengen.

Ich wiederhole deine Aussage, um zu sehen, ob ich sie verstanden habe.
Sei F also die Menge der Zweierpotenzen {2^n mit n>=0 natuerlich}
F gleichmaechtig N ist klar (Bijektion n <-> 2^n).
B ist die Menge der Binaerstellen der natuerlichen Zahlen.
Die Anzahl der Binaerstellen einer natuerlichen Zahl ist eine
natuerliche Zahl, und zu jeder Anzahl von Binaerstellen gibt es eine
natuerliche Zahl, die diese Stellenzahl hat (Stellenzahl n, Zahl 10^n.
Gibt noch ein kleines Problem fuer n=0, aber das ist denke ich
unwesentlich)
Also ist B gleichmaechtig N.
Warum ist nun aber N die Potenzmenge von F?
Oh, das ist genau das Problem, auf das du hier speziell eingehen willst
(F = D1, oder?)
Du meinst, du kannst jeder Teilmenge von natuerlichen Zweierpotenzen
eine natuerliche Zahl zuordnen, indem du aufsummierst. Bilde also die
Summer aller Zweierpotenzen. Diese "Zahl" (es ist keine nat.Zahl in
meinem Sinne), nennen wir Z. Z ist nat.Zahl in deinem Sinne (mit
unendlich vielen Stellen). Also ist 2^Z Element von F.
Ach ja - hat jede nat.Zahl einen Nachfolger und kann ich von 1 startend
indem ich immer den Nachfolger bilde, zu jeder nat.Zahl kommen (von mir
aus auch unendlich oft)? Ausserdem: kann ich die Groesser zweier
nat.Zahlen stets vergleichen, d.h. kann ich von zwei nat.Zahlen stets
sagen, welche der beiden groesser ist?
Wenn ja, dann ist die Menge der Zweierpotenzen mit Exponent <= Z auch
eine Teilmenge von F. Sogar eine echte Teilmenge, weil es ja keine
groesste nat.Zahl gibt und daher auch nat.Zahlen groesser als Z.
Wenn du nun die nat.Zahl bildest, die zur Menge {2^n, n nat.Zahl, n<=Z}
bildest, liefert das eine Zahl Y, die groesser ist als Z.
Nun war Z aber bereits die Summe aller Zweierpotenzen. Wie kann die
Summe aller Zweierpotenzen kleiner sein als die Summe einer echten
Teilmenge von Zweierpotenzen?!

> Da sich Pot(D1) auf N abbilden laesst, ist die Abzaehbarkeit bereits
> bewiesen.

Fuer mich sind meine Ausfuehrungen mindestens ein Hinweis darauf, dass
bei deiner Bijektion etwas nicht stimmt.

> Nachdem wir soviel Muehe auf das Problem verwandt haben, sollte
> dieser letzte Schritt auch noch gelingen. Vorher warte ich aber Deine
> Antwort ab, vielleicht kann ich mir ueberfluessige Arbeit sparen.

Wesentlich zur Loesung des Problems, das ich mit deiner Bijektion D1<->N
habe, ist eine klare Definition von N und Klarstellung der oben
gefragten Eigenschaften.

Bis die Tage,
Christian

Holger Gollan

unread,
Jan 24, 2001, 8:41:15 AM1/24/01
to
Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo Holger,
>

Hallo Dieter,
zunaechst etwas Allgemeines: Ich werde in einer zweiten Antwort einzig
und allein auf das Problem mit Pot(D1) eingehen und hoffe, dass wir uns
dann auf kleine und nachvollziehbare Postings beschraenken koennen. Ich
habe dies schon an anderer Stelle versucht, aber dort leider noch keine
Antwort von Dir bekommen.
In dieser Antwort daher nur einige kleinere Anmerkungen...

> > > "Die Vereinigung einer abzaehlbaren Menge abzaehlbarer Mengen ist
> > > abzaehlbar." (Zitat aus H.-D. Ebbinghaus, Einfuehrung in die Mengen-
> > > lehre, B. I. Wissenschaftsverlag, 3. Auflage, 1994, S. 139, 2.6 (c))
> > >
> >
> > Ja, und? Das Problem ist doch, dass die Aussage beim Uebergang zur
> > Vereinigung nicht unbedingt richtig bleiben muss (Sinn ergeben muss).
>
> Meinst Du das ernst? Sind mathematische Mengen wie chemische Mengen,
> die sich bei der Vereinigung veraendern? Welchen Sinn hat obiger Satz,
> wenn Du schon im naechsten Satz sagst: "Aetsch, gilt doch nicht, weil
> sich die Mengen bei der Vereinigung veraendern"?
>

Ich meine eigentlich meistens die Sachen ernst, die ich in dieser
Newsgroup verbreite. An keiner Stelle habe ich gesagt, dass sich die
Mengen aendern. Es ging mir nur darum, dass eine Aussage fuer alle
endlichen Teilmengen eienr unendlichen Menge richtig sein kann, oder
dass daraus die Richtigkeit fuer die unendliche Menge selbst folgt.
(Beispiel: Jede endliche Teilmenge der natuerlichen Zahlen besitzt ein
groesstes Element, nicht aber die Menge der natuerlichen Zahlen.) Der
Grenzwertuebergang ist also meiner Meinung nach nicht so einfach, wie Du
ihn gerne haettest. Warum sollte sich also die Eigenschaft Deiner T_m
auf die Gesamtheit aller natuerlichen Zahlen uebertragen lassen?


>
> Auf den Kern des Problems komme ich am Ende nochmal zurueck.
>

Ich auch, wie gesagt in einem getrennten Posting.

> >
> > Nun, sieh es mal so. Du willst etwas beweisen, von dem ich ueberzeugt
> > bin, dass es falsch ist. Ich zeige Dir einen Fehler ganz am Anfang
> > Deines Beweises, auf den Du im Folgenden gar nicht mehr eingehst. Ich
> > haette schon erwartet, dass Du dazu Stellung beziehst, da Deine ganzer
> > Beweis darauf aufbaut.
>
> Welchen Fehler meinst Du? Es geht hier um die Frage, ob sich Pot(D1) auf
> N abbilden laesst. Dazu nehme ich doch dauernd Stellung. Du hast selbst
> begruesst, dass wir die Diskussion vorerst auf diesen Punkt eingrenzen.
>

Genau, und deswegen ein gesondertes Posting fuer diese Fragestellung.

>
> Will ich nicht. Aber was willst Du mit Deinem Beispiel sagen? Ich
> wiederhole meine Frage: Wie kannst Du behaupten, dass die Anzahl der
> Zahlen unendlich, die exakt gleichgrosse Anzahl der Binaerstellen der
> groessten dieser Zahlen aber endlich ist? Merkst Du tatsaechlich nicht,
> dass Du hier selbst einen zweiten Beweis dafuer erbracht hast, dass
> Pot(D1) abzaehlbar ist?

Nur eine Anmerkung: Es gibt keine "groesste dieser Zahlen"!

> Deine Zahlenmenge F = {1, 10, 100, 1000, 10000, ...} ist eine unendliche
> Teilmenge von N und daher gleichmaechtig wie N. Wenn es nur um den
> Vergleich von Maechtigkeiten geht, ist daher F eine vollwertige
> Vertreterin von N. Es sei B die Menge der moeglichen Binaerstellen von
> natuerlichen Zahlen. Das nte Element von F hat genau n Binaerstellen.
> Das gilt fuer alle n. Daraus folgt, dass B und F und somit auch N und F
> gleichmaechtig sind. N ist aber die Potenzmenge sowohl von B als auch von
> F, wenn man die Elemente von F als Binaerzahlen interpretiert. Damit ist
> bewiesen, dass Potenzmengen nicht maechtiger sind als ihre Grundmengen.
>

N ist nicht die Potenzmenge von B, aber darauf hat Dich ja auch schon
Christian hingewiesen und ausserdem fuehrt das zum eigentlichen Kern der
Problematik. Der Fehler in Deiner Argumentation ist naemlich immer
derselbe, und das soll in einem gesonderten Posting noch einmal geklaert
werden.

> Du machst einen entscheidenden Fehler: Du versuchst, _alle_ Elemente
> einer unendlichen Menge aufzuschreiben. Das ist natuerlich nicht
> moeglich, sonst waere es keine unendliche Menge.
> Wenn ich Dich auffordern wuerde, die Elemente von N anzugeben, wuerdest
> Du schreiben N = {0, 1, 2, 3, ...}. Wenn ich nach dem groessten Element
> von N frage, musst Du passen. Du kannst nicht nur das groesste sondern
> unendlich viele Elemente von N nicht angeben. Ist N deshalb nicht
> abzaehlbar? Warum wendest Du auf Pot(D1) andere Kriterien an? Hier
> versuchst Du offensichtlich rueckwaerts abzuzaehlen.
>

Ich habe beim besten Willen keine Ahnung, was Du mit "rueckwaerts
abzaehlen" meinst, aber das ist im Moment vielleicht nicht so wichtig.



> Da sich Pot(D1) auf N abbilden laesst, ist die Abzaehbarkeit bereits
> bewiesen. Wenn Dich das noch nicht ueberzeugt, mache ich folgenden
> Vorschlag:

Dir ist schon klar, dass mich das nicht ueberzeugt, oder?

> Wir beschraenken uns auf diese eine Frage.
> Ich werde Dir dann eine ausfuehrliche Definition der Begriffe abzaehlbar
> und abzaehlbar unendlich geben. Du kannst diese Definitionen dann pruefen.
> Sobald wir uns auf eine Definition geeinigt haben, versuchen wir, sie
> direkt auf Pot(D1) anzuwenden. Damit muesste die Frage endgueltig geklaert
> sein. Nachdem wir soviel Muehe auf das Problem verwandt haben, sollte
> dieser letzte Schritt auch noch gelingen. Vorher warte ich aber Deine
> Antwort ab, vielleicht kann ich mir ueberfluessige Arbeit sparen.
>

Ich versuche einfach mal einen Ansatz im versprochenen, gesonderten
Posting. Also nicht unbedingt auf dieses Posting hier antworten, aber
bitte auf das parallel dazu verfasste.

Holger Gollan

unread,
Jan 24, 2001, 8:59:05 AM1/24/01
to
Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo Holger,
>

Hallo Dieter,

> Da sich Pot(D1) auf N abbilden laesst, ist die Abzaehbarkeit bereits
> bewiesen. Wenn Dich das noch nicht ueberzeugt, mache ich folgenden
> Vorschlag:
> Wir beschraenken uns auf diese eine Frage.
> Ich werde Dir dann eine ausfuehrliche Definition der Begriffe abzaehlbar
> und abzaehlbar unendlich geben. Du kannst diese Definitionen dann pruefen.
> Sobald wir uns auf eine Definition geeinigt haben, versuchen wir, sie
> direkt auf Pot(D1) anzuwenden. Damit muesste die Frage endgueltig geklaert
> sein. Nachdem wir soviel Muehe auf das Problem verwandt haben, sollte
> dieser letzte Schritt auch noch gelingen. Vorher warte ich aber Deine
> Antwort ab, vielleicht kann ich mir ueberfluessige Arbeit sparen.
>

Vielleicht fang ich einfach mal an:
1) Eine Menge M ist abzaehlbar unendlich, wenn es eine Bijektion von M
auf die Menge N der natuerlichen Zahlen gibt.
2) D1 = { 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , ... , 2^m , ... } sei die Menge
aller 2er-Potenzen.
3) D1 ist eine abzaehlbar unendliche Teilmenge der natuerlichen Zahlen.
4) Pot(D1) sei die Potenzmenge von D1, also die Menge aller Teilmengen
von D1.
5) Jedem Element von Pot(D1), also jeder Teilmenge von D1, ordnest Du
bei Deiner Abbildung die Summe ihrer Elemente zu. Sei f diese Abbildung.
6) Es gilt z.B. f({2,8}) = 2 + 8 = 10
f({1,4,16,32}) = 1 + 4 + 16 + 32 = 53
7) Deine Behauptung: f ist eine Abbildung von Pot(D1) nach N, ordnet
also jedem Element von Pot(D1), also jeder Teilmenge von D1, eine
natuerliche Zahl zu.
8) Unbestritten ist, dass Deine Abbildung eine Bijektion zwischen den
endlichen Teilmengen von D1 und N beschreibt. (Das Problem der leeren
Menge mal ausser Acht gelasssen.)
9) Aber: Was ist z.B. das Bild f(D1) von D1 unter Deiner Abbildung f?
10) Ang.: f(D1) = X ist eine natuerliche Zahl.
11) Dann ist auch 2^X eine natuerliche Zahl, also Element von D1. Also
taucht 2^X in der Summe f(D1) auf. Folglich: X = f(D1) > 2^X > X.
12) Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme unter 10) falsch ist.
Folglich ist f(D1) keine natuerliche Zahl, es liegt also keine Abbildung
von Pot(D1) nach N vor.
13) Selbst wenn f(D1) = X eine natuerliche Zahl waere, Du also eine
Abbildung von Pot(D1) nach N haettest, dann wuerdest Du an dieser
Probleme mit der Surjektivitaet Deiner Abbildung bekommen. Schliesslich
haette X als natuerliche Zahl eine endliche Binaerdarstellung, waere
also Summe von endlich vielen 2er-Potenzen. Fasst man diese 2er-Potenzen
zu einer Menge T zusammen, so waere T eine Teilmenge von D1, also waere
T ein Element von Pot(D1) mit der Eigenschaft, dass f(T) = X = f(D1). Da
T ungleich D1 ist, waere Deine Abbildung also nicht surjektiv, also auch
nicht bijektiv.

Es waere schoen, wenn Du in Deiner Antwort auf Fehler in obiger
Argumentationskette eingehen koenntest.

Detlef Mueller

unread,
Jan 29, 2001, 12:00:58 PM1/29/01
to
Hallo,

Dieter Jungmann wrote:
>
...
> > Welcher Liste jetzt?
> > Natuerlich ist die (fiktive) Liste vollstaendig, sonst
> > waere sie keine Liste.
> > Verstehen wir etwas unterschiedliches darunter?
> > Ich habe eine Liste a1, a2, a3, ... an, a(n+1), ...
> > von Zahlen gegeben. Was wuerde fuer Dich bedeuten, dass
> > diese vollstaendig ist, oder unvollstaendig?
> >
> Es besteht die Absicht, alle {an} einer gegebenen Zahlenmenge in eine
> Liste aufzunehmen. Wenn alle an in der Liste enthalten sind, ist sie
> vollstaendig, wenn ein oder mehrere an fehlen, ist sie unvollstaendig.
>

{an}, wie Du schreibst, definiert fuer eine Menge von Zahlen.
Eine Solche Menge wird untersucht, und die Annahme widerlegt,
sie koenne alle reellen Zahlen enthalten.
Die Schreibweise {an} besagt, dass eben fuer jedes natuerliche
n eine genau definierte Zahl "an" in diese Menge liegt.
Und dass, weil jemand Cantor diese Menge, und zwar mit allen
"an" fix und fertig vorlegt, und dreisst behauptet, alle
reellen Zahlen wuerden in der Aufzaehlung a1, a2, a3, ...
frueher oder spaeter einmal auftauchen.
Dies wird voellig korrekt widerlegt, die urspruengliche
Aufzaehlung wird nicht veraendert, einzig die
Behauptung sie wuerde alle reellen Zahlen umfassen wird
ad absurdum gefuehrt.

...


>
> Die Idee mit der Diagonalen ist in der Tat raffiniert. Sie setzt aber
> voraus, dass die Anzahl der Zeilen und Spalten der Liste (also die
> Anzahl der zu beruecksichtigenden Zahlen und die Anzahl der zu ihrer
> Darstellung benoetigten Dezimalstellen) gleich ist.
>

Tut sie nicht. Sie setzt lediglich eine abzaehlbar
unendliche Zeilenzahl und eine ebensolche Spaltenzahl
voraus.
ersteres ist gegeben, da niemand bezweifeln kann, das
es nur endlich viele reelle Zahlen gibt, und die
Aufzaehlung per Annahme mit natuerlichen Zahlen
Indiziert ist (eben "an"), Zweiteres ergibt sich
durch geeignete konvention in der Darstellung der
reellen Zahlen "an".
...

> > >
> > Nochmal: erst schreibst Du
> > "Wenn man alle Ziffernkombinationen zulässt, enthält die Liste nicht nur
> > irrationale Zahlen sondern auch die periodischen Dezimalbrüche. Trotzdem
> > handelt es sich nicht um die Menge der reellen Zahlen des Einheitsinter-
> > valls, denn dazu gehören auch die endlichen Dezimalbrüche."
> >
> > Das ist natuerlich falsch, denn endliche Dezimalbrueche tauchen
> > sehr wohl auf, man muss sogar einschraenkungen machen, dass sie
> > nicht doppelt auftauchen:
> > 0,5 = 0,5000000... = 0,49999999...
> > Ein Fehler, ab da braucht man nicht weiterzulesen, wenn die
> > Argumentation aufeinander aufbauend ist (weshalb wohl auch
> > viele auf das folgende nicht eingehen). Der ist erstmal zu
> > beheben.
> >
> Richtig. Deshalb habe ich auch geschrieben "Werden sie beruecksichtigt
> und an den Anfang der Tabelle gesetzt, so dass sich die Zahl der
> Nachkommastellen kontinuierlich vergroessert, sind bereits alle
> endlichen natuerlichen Zahlen fuer ihre Abbildung verbraucht.
>

Die Konvention muss natuerlich dem bekannt sein,
der die reellen Zahlen abzaehlen will, _bevor_ er
seine Abzaehlung {an} ins Rennen schickt.
Und, wie Cantors Beweis zeigt, es kann ihm auch dann
nicht gelingen!
Wenn Dir noch weitere Gruende weisst, warum das nicht
moeglich ist, schoen und gut.
Dann sind die Reellen Zahlen erst recht nicht
abzaehlbar!
Dein Argument ist ja, als ob ein alternativer Beweis
den Cantorbeweis ungueltig machen wuerde!

...
>
> [ ... Scheitern der Auflistung ...]


>
> Da die Mengenlehre davon ausgeht, dass es mehr reelle als natuerliche
> Zahlen gibt, muss
> die maximale Stellenzahl der Brueche groesser
> sein als die der natuerlichen Zahlen.
>

Maximale Stellenzahl von Bruechen?
Was soll das sein? Wie folgerst Du hier,
findest Du das nicht selbst etwas wischi
waschi?


> Daraus wiederum folgt,
> dass die Stellenzahl der Brueche ueberabzaehlbar sein muss,
> denn waere sie wie die Stellenzahl der natuerlichen Zahlen
> abzaehlbar, liesse sich nicht mehr begruenden, warum sich die
> Anzahl der Stellen der natuerlichen Zahlen nicht auf dieselbe
> Anzahl wie die der Brueche sollte anheben lassen.
>

Die stellen eines Dezimalbruches stehen offenbar
schoen brav nebeneinander. Da ist doch schon an
der Definition eines Dezimalbruches zwischen 0 und 1 direkt
abzulesen, dass die Stellenzahl ganz klar abzaehlbar ist
(Als Summe von Produkten der Ziffern mit negativen Zehnerpotenzen
eben ueber die Natuerlichen Zahlen als Indexmenge).
Damit braucht man sich um den argumentativen
Eiertanz da oben ja wohl nicht mehr ernstlich
zu kuemmern.

...


>
> Zu den Primzahlen:
>
> Was Du mit den Primzahlen, die modulo 4 gleich -1 sind, meinst,
> ist jetzt klar. Das Beispiel zeigt, wie man aneinander vorbei
> reden kann, wenn man von unterschiedlichen Standpunkten aus an
> ein Problem herangeht.
>
> Trotz dieser Klarstellung kann ich mich allerdings Deiner
> Argumentation nicht anschliessen.
> >
> > Deine Abbildung wuerde hier zu einem unendlichen Produkt
> > fuehren, das ist aber keine Natuerliche Zahl, denn jede
> > natuerliche Zahl hat nur endlich viele Primfaktoren.
>
> Wenn Du eine solche Behauptung aufstellst, musst Du konsequenterweise
> sagen, wie viele Primfaktoren eine natuerliche Zahl maximal enthalten
> darf.
>

Wieso denn das?

Eine Natuerliche Zahl N bezeichnet ja immer auch die
Kardinalitaet der endlichen Menge {1,2,3,4, ... N-1, N},
einverstanden?

Gaebe es nun unendlich viele Primfaktoren von N, die logischerweise
kleiner als N sind, waeren die alle in der endlichen
Menge oben enthalten - Widerspruch zur Endlichkeit der Menge
{1,2,3,4, ... N-1, N}.
Daher gibt es stets nur endlich viele Primfaktoren.
Andererseits gibt es natuerlich zu jedem N etwa die
Zahl 2^(N+1), die mehr Primfaktoren hat, aber eben
immernoch endlich viele.

...


> Anzahl der Primfaktoren. Die Aussage, es muesste in meiner Abbildung
> auch natuerliche Zahlen mit unendlich vielen Primfaktoren geben, ist
> daher unsinnig,
>

Dann gib bitte das Bild der Menge Aller Primzahlen unter
Deiner Abbildung an.

Das muesste das Produkt aller Primzahlen sein, oder?

Sind das nun unendlich viele Faktoren oder nicht?

Das ist doch ganz konkret, und ich verstehe dein herumphilosophieren
nicht.

>
> Alle Primzahlen sind Elemente von N. Fuer alle Elemente von N gelten
> die gleichen Rechenregeln. Insbesondere gibt es keine obere Grenze fuer
> die Anzahl der Elemente, auf die eine Rechenoperation gleichzeitig
> anwendbar ist. Wenn Du an Deinem Argument festhaelst, musst Du neue
> Rechenregeln definieren.
>

Produkte sind nur parweise definiert, induktiv lassen sie
sich ueber die Regel a*b*c := (a*b)*c auf endliche
Anzahlen erweitern.
Unendliche Produkte ergeben keine natuerlichen Zahlen mehr,
wie man mit meiner obigen Argumentation fuer die endlichkeit
der Anzahl der Faktoren sieht.

...

> Die Abbildung von Pot(P) auf N ...
>
Sorry, aber was Du beschrieben Hast ist eben keine
Abbildung, deine Weitere Argumentation versagt daher.

...

> > Dir ist aber klar, dass Natuerliche Zahlen immer nur
> > endlich viele Stellen in ihrer Binaerdarstellung
> > haben?
> > ...
> > Du behauptest also, die Menge der natuerlichen Zahlen,
> > die nur endlich viele binaerstellen haben, ist selbst
> > endlich.
> >
> > Nun, als endliche Menge muesste sie ja ein groesstes
> > Element haben.
> >
> > Bitte nenn mir dieses groesste Element.
> > Oder sage mir nur, wieviele Stellen es denn hat.
> >
> > Siehst Du, worauf ich hinaus will?
>
> Du behauptest also, die Menge B der Binaerstellen einer
> natuerlichen Zahl ist endlich.
>

Genau, und zwar fue rede Zahl individuell
verschieden, aber endlich, also eine Natuerliche
Zahl, mit anderen Worten.

> Nun, fuer eine endliche Menge muesste es ja eine groesste Zahl
> geben, die sagt, wieviel Binaerstellen es maximal sein duerfen.
>

Was aber nichts mit meiner Behauptung zu tun hat!
Beachte dass in meiner Aussage keinerlei Mengen
auftauchen.

> Bitte nenn mir diese Zahl.
>

Der Binaere Logharithmus der groessten Zahl aus
der Menge, nach oben gerundet.

> Siehst Du, worauf ich hinaus will?
>

Ja, Du willst Dich um die Antwort meiner
Frage druecken.

Waehrend Du aber behauptest _die Menge_
der Zahlen mit endlich Vielen Stellen sei
endlich, rede ich nicht von Mengen, sondern
von einzelnen Zahlen.
Und eine Natuerliche Zahl hat eben nur
endlich viele Stellen.
Also ist die Menge der Zahlen, die nur endlich
viele Stellen haben, gleich den Natuerlichen
Zahlen selbst, denn jede kommt drinn vor, und
es bleibt keine uebrig.

> Mit dieser Argumentation drehst Du Dich im Kreis herum.
>

imo nicht.

> Die Binaerstellen einer natuerlichen Zahl lassen sich
> nummerieren. Es gibt keine groesste zulaessige Nummer.
>

Du sprichst doch hoffentlich nicht von fuehrenden
Nullen? Die sind natuerlich auszuschliessen.

> D. h. sie lassen sich auf N abbilden.
>

Nur, wenn fuehrende Nullen akzeptiert werden.
Die tragen aber nichts zur Maechtigkeit bei,
schliesslich kann man sie ohne Informationsverlust
weglassen.

> Die Menge B der Binaerstellen ist also gleichmaechtig
> wie N.
>

Huch, waehle N=12, also ist {1,2} gleichmaechtig zur
menge der Natuerlichen Zahlen?

...

> >
> > Versuchen wir es nochmal zum Abhaken, irgendwann musst
> > Du nein oder weiss nicht antworten, da koennen wir
> > weitermachen:
> >
> > Glaubst Du an die Existenz von Folgen von
> > rationalen Zahlen?
> >
> Selbstverstaendlich ja.
>
> > Glaubst Du an die Existenz von Konvergenten Folgen
> > von rationalen Zahlen?
> >
> Ja, konvergent im Sinne der Epsilon-Delta-Methode, die mit
> endlichen Mengen auskommt.
>

mehr brauchen wir auch nicht.

> > Glaubst Du an die Existenz von Nullfolgen rationaler
> > Zahlen?
> >
> Wie vorstehend.
>
> > Glaubst Du daran, dass Konvergente Folgen rationaler
> > Zahlen, die sich nur um Nullfolgen unterscheiden,
> > Zu Klassen zusammenfassen kann?
> >
> Warum nicht? Nur eine Frage der Definition. Man kann
> beliebige Zusammenfassungen definieren.
>

Wobei diese ganz praktsch sind, denn wenn
man hier mit Stellvertretern Elementweise
Operationen durchfuehrt, kommt man unabhaengig
von der Vertreterwahl in die selben neuen
Klassen ...

> > Glaubst Du daran, dass man fuer diese Klassen
> > die elementaren Rechenoperationen definieren
> > kann?
> >
> Ja, solange man die Rechenoperationen gliedweise auf die
> Elemente der Folgen anwenden kann.
>

Kann man. Zu den Folgen <an>, <bn> kann man gliedweise
die Folge <an+bn> bilden.


> > Wenn ja, hast Du jetzt eine Skizze der Konstruktion der
> > reellen Zahlen vor Dir, also einen Existenzbeweis.
> >
> ???

!!!

> Die Skizze einer Konstruktion ist noch kein Beweis, dass
> die Konstruktion tatsaechlich zum gewuenschten Ziel fuehrt.
>

Uebungsaufgabe fuer Differentialrechnung.

Du kannst wirklich selbst mit der schoenen endlichen
epsilontik nachrechnen, dass etwa die Klasse a der
Folgen, die mit <an> zusammenliegen und die Klasse
b der Folgen, die mit <bn> zusammenliegen, die Klasse
a+b durch die Klasse, in der <an+bn> liegt eindeutig
definiert, und ueberhaupt alle elementaren
Rechenoperationen auf diese Weise wohldefiniert
sind.
Die Ganzen Zahlen, etwa 2, findet man in den Klassen
in der Folge <2> (die nur aus 2en besteht), wieder.

Und wenn Du nun mit irgendeinem Verfahren eine positive
Folge <wn> findest mit wn^2 -> 2, dann bestimmt auch
diese Folge eindeutig eine Klasse, die wir
Wurzel aus Zwei nennen, denn ihr Quadrat ist
gleich der klasse <2>.

Beachte, dass auf dieser Ebene keine Naeherung mehr
stattfindet, man kann mit diesen Klassen wirklich
rechnen.

Das Problem ist nur das finden der konvergenten
Folge, etwa durch Intervallschachtlung oder
dergleichen.
Insofern haben die Reellen Zahlen natuerlich ein
analytisches Element, das man auch nicht
wegdiskutieren sollte - aber dennoch sind es
praeziese definierbare Objekte, bei denen man
durchaus auf festem Grund steht.

Die Manie alles erst in Form von Stellen auf dem
Taschenrechnerdisplay als "real" zu betrachten,
ist ein anderes Problem, womoeglich gar kein
Mathematisches.

...

> Ein Kind hat es in der Tat leichter, weil ihm das noetige
> Hintergrundwissen fehlt. Und vielen Erwachsenen faellt es
> offensichtlich schwer, sich von ihren einfachen kindlichen
> Vorstellungen zu befreien. Daher kommt es wohl auch, dass
> es vielen so schwer faellt, die Tatsache zu akzeptieren,
> dass sich nicht alles auf eine Handvoll idealisierter
> abstrakter Begriffe zurueckfuehren laesst.
>

Aber zum Glueck vieles, etwa die reellen Zahlen.


> Fuer Wurzel aus 2 hast Du in Deinem ersten posting selbst den
> Beweis gebracht, dass die Loesung nicht existiert. Ich zitiere:
>
> > (p/q)^2=2, p,q Ganz, Teilerfremd (sonst kuerzen).
> > => p^2 = 2 q^2 => 2 teilt p^2 => 2 teilt p =>
> > 4 teilt p^2 (=2q^2) => 2 teilt q^2 => 2 teilt q,
> > Widerspruch.
> > Also gibt es keine p,q mit (p/q)=Wurzel 2,
> > wohl aber eine Cauchyfolge, die gegen Wurzel
> > 2 konvergiert, modulo Nullfolgen ist dies die
> > exakt bestimmte reelle Zahl Wurzel aus 2.
> > Diese ist also irrational.
>
> Die Ausdrucksweise "Cauchyfolge, die gegen Wurzel 2 konvergiert,"
> ist ungenau, weil sie von Wurzel 2 so spricht, als stuende bereits
> fest, dass es sie gibt, obwohl ihre Existenz erst zu beweisen ist.
>

Natuerlich steht fest, dass es sie gibt, man kann ja eine solche
Folge einfach konstruieren, und die Zugehoerige Klasse bilden, all
das hast Du ja gutgeheissen.
Bitte, da ist die Wurzel aus zwei.
Uebrigens gibt es natuerlich auch Gleichungen, die nicht
derart loesbar sind, und die definieren dann natuerlich
auch keine reelle Zahl, etwa wurzel aus -1.

> Tatsache ist: Die Folge oder der Algorithmus liefert sukzessive
> rationale Zahlen, die mit sich selbst multipliziert dem Wert 2
> immer naeher kommen, ihn aber nie exakt erreichen, sonst waere es
> keine unendliche Folge.
>

Das erreichen ist nicht per se ausgeschlossen, die Folge
bleibt dann eben konstant.

> Die Definition des irrationalen Grenzwerts
> setzt also seine Nichtexistenz voraus,
>

Falsch.
Als reelle Zahl ist dieser Grenzwert die zugehoerige Klasse
der Cauchyfolge, als rationale Zahl existiert er logischerweise
nicht, sonst waere er nicht irrational.

...

> >
> > Das _sind_ schon reelle Zahlen! Nichts muus
> > mehr "approximiert" werden.
>
> Definitionen sind hilfreich aber auch verfuehrerisch. Die Definition
> des neuen Begriffs aendert doch nichts an der Tatsache, dass er selbst
> auf einer Approximation beruht!
>

Sagen wir sehr lax, was sich rational approximieren laesst, ist eine
reelle
Zahl.

Da sich auch Natuerliche und rationale Zahlen banalerweise rational
approximieren lassen, betten sie sich ganz zwanglos in obiges Konstrukt
ein, man braucht dann nicht einmal mehr "zwischen den Welte" zu
springen.

Will man aber den Wert auf einer Skala abtragen, da sind sich wohl
alle einig, muss man schliesslich doch wieder approximieren.

Gruss,
Detlef

Dieter Jungmann

unread,
Jan 29, 2001, 6:34:24 PM1/29/01
to
Hallo zusammen,

einige von Euch sind sehr ungeduldig und haetten am liebsten die
Antwort noch bevor ihr posting abgeschickt ist. Verstaendlich,
bedenkt aber, dass nicht jeder so viel Zeit zur Verfuegung hat
wie Ihr anscheinend. Ausserdem sind Schnellschuesse bei diesem
komplexen Thema wenig hilfreich.

Da sich die Fragen teilweise ueberschneiden, antworte ich nicht mehr
auf einzelne postings sondern komme auf die Fragen im geeigneten
Zusammenhang zurueck.

Holger Gollan hat in seinem posting vom 24. Jan. 14:59 eine Liste mit
13 Punkten als Grundlage fuer die weitere Diskussion vorgeschlagen.
Diese nehme ich nachfolgend als Ausgangspunkt. Zuvor aber einige
Anmerkungen.

Es sei U = { 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...} die Menge der Quadratzahlen.
U und N sind gleichmaechtig. U ist Teilmenge von N, aber N ist nicht
Teilmenge von U. Ganz gleich sind sie offensichtlich doch nicht.
Wenn man bedenkt, welche Bedeutung Symmetrien in anderen Theorien
haben, ist diese Unsymmetrie zumindest auffaellig. Zufolge der
Maechtigkeitsdefinition muesste N auch Teilmenge von U sein koennen.
Um dies zu ermoeglichen, werden die Symbole 1^2, 2^2, ... nicht mehr
als Zahlen interpretiert, sondern sie sollen eine beliebige andere
Bedeutung haben. Die Menge U veraendert sich dadurch nicht, sie ist
jetzt aber nicht mehr Teilmenge von N sondern eine von N voellig
unabhaengige eigenstaendige Menge. Man bildet jetzt von U durch
Aussonderung jedes zweiten Elementes die Teilmenge U1 und bildet
N bijektiv auf U1 ab. N ist also gleichmaechtig zu einer Teilmenge
von U und kann in diesem Sinne als eine Teilmenge von U betrachtet
werden. Wenn man die Bedeutung der Elemente von U und N entsprechend
neu interpretiert (notfalls neue Symbole draufschreiben), wird N
sogar zur echten Teilmenge von U.

Ein Widerspruch? Nein, sondern nur eine Konsequenz aus der Definition
der Begriffe Maechtigkeit und Unendlich. Eine Definition, die nur
_eine_ Aussage enthaelt, kann nicht widerspruechlich sein sondern
nur zweckmaessig oder unzweckmaessig. Eine unzweckmaessig gewaehlte
Definition mit unuebersichtlichen Konsequenzen birgt aber in erhoehtem
Masse die Gefahr in sich, in Kombination mit anderen Aussagen zu
Widerspruechen zu fuehren. Diese Situation ist in der Megnenlehre
gegeben. Wenn aber ein Widerspruch auftritt, interpretiert die Mengen-
lehre ihn immer in ihrem Sinne, es wird grundsaetzlich nicht nach der
Usache des Widerspruchs gesucht. Das ist einer der Prinzipfehler
dieser Theorie.

Abzaehlbar:
Eine Menge ist abzaehlbar, wenn sich ihre Elemente in der Form
{no, n1, n2, n3,...} schreiben lassen. Voraussetzung dafuer ist,
dass es ein Ordnungsprinzip gibt, das jedem Element der Menge einen
und nur einen genau definierbaren Platz in dieser Folge zuweist.
Weitere Bedingungen gibt es nicht.

Abzaehlbar unendlich:
Eine abzaehlbar unendliche Menge ist eine abzaehlbare Menge, in der
es zu jedem Element ein nachfolgendes Element, kurz Nachfolger, gibt.
Weitere Bedingungen gibt es nicht.

Eine unendliche Menge ist also eine unvollstaendige Menge. Die Aussage
"Alle Elemente" der Menge ist gegenstandslos, weil es "alle Elemente"
nicht gibt, denn man kann immer noch ein Element hinzufuegen.
Die Aussage, N ist die Menge DER natuerlichen Zahlen ist problematisch,
weil sie suggeriert, N sei die Menge aller natuerlichen Zahlen.
Endlichen Mengen natuerlicher Zahlen kann man eine reale Existenz in
dem Sinne zusprechen, dass sie auf reale Mengen abgebildet werden
koennen. Fuer N gilt das nicht, N existiert nicht in diesem Sinne.
N = Menge der natuerlichen Zahlen ist nur ein kurzer Ausdruck fuer
die Tatsache, dass man sich nicht auf eine bestimmte endliche Menge
von natuerlichen Zahlen bezieht, sondern dass beliebig grosse Mengen
zulaessig sind. Mehr ist mit der Aussage, N sei eine unendliche Menge,
nicht gemeint. Das gilt fuer alle unendlichen Mengen. Unendliche
Mengen sind also nur ein Sonderfall von endlichen Mengen, deren
Groesse unbestimmt ist.

Die Nichtexistenz von N laesst sich mengentheoretisch besonders einfach
beweisen. Gemaess dem mengentheoretischen Zahlenbegriff entspricht einer
natuerlichen Zahl m die Menge m mit m Elementen. m ist also eine Menge.
Das nachfolgende Element n = m + 1 ist die Vereinigungsmenge
n = m |_|{m}. Darin ist {m} eine Menge, die als einziges Element die
Menge m enthaelt. Falls N tatsaechlich existiert, kann man genauso die
Menge {N} bilden, die als einziges Element N enthaelt. Die Vereinigungs-
menge N |_| {N} ist eine abzaehlbare Menge, die ein Element mehr enthaelt
als N, folglich kann N nicht die Menge aller natuerlichen Zahlen sein.
Aus der mengentheoretischen Definition der Zahlen folgt der zwiespaeltige
Charakter von N. Man kann N wahlweise als Vereinigungsmenge aller Mengen n
oder als die groesste der n Mengen auffassen, beide haben die gleiche
Anzahl an Elementen. Da es aber keine groesste Menge n geben kann, zeigt
sich der Widerspruch der Definitionen.

Es sei T_n die Teilmenge von N, die alle Elemente von 0 bis n enthaelt.
T_n ist nicht gleichmaechtig zu einer ihrer echten Teilmengen. Das gilt
fuer alle T_n. Will man jedem Element von T_n umkehrbar eindeutig eine
Quadratzahl zuordnen, so reichen die in T_n enthaltenen Quadratzahlen
nicht aus, man benoetigt dazu eine groessere Teilmenge T_q. Diese wird
gerade so gross gewaehlt, dass die Abbildung moeglich ist. T_q enthaelt
alle Elemente von 0 bis q, fuer die Abbildung wird nur die Teilmenge
der Quadratzahlen ausgewaehlt.
Die Differenz zwischen der Anzahl der Elemente von T_q und T_n waechst
quadratisch mit n. T_q wird nie gleich gross wie T_n. Die Eigenschaft
einer unendlichen Menge, gleichmaechtig wie eine ihrer echten Teilmengen
zu sein, hat also nichts mit der "Maechtigkeit" dieser Mengen zu tun,
sondern ist ausschliesslich eine Folge der Beliebigkeit, mit der die
Teilmengen ausgewaehlt werden. Das bestaetigt obige Aussage, dass eine
unendliche Menge nur der Sonderfall einer endlichen Menge mit beliebig
waehlbarer Groesse ist.

In einem Eurer postings habe ich die Definition gelesen, eine unendliche
Menge sei eine nicht endliche Menge. Diese Definition ist natuerlich
sinnlos. Sie haette nur Sinn, wenn zuvor die Existenz von unendlichen
Mengen bewiesen worden waere. Dieser Existenzbeweis fehlt aber. Die
Mengenlehre versucht sich mit Hilfe der Kardinalzahlen aus der Affaere
zu ziehen. Unendliche Kardinalzahlen sind identisch mit den Alephs.
Diese setzen die Existenz von abzaehlbar und ueberabzaehlbar unendlichen
Mengen aber schon voraus. Auch die Ueberabzaehlbarkeit der unendlichen
Potenzmengen muss bereits bewiesen sein. Die Argumentation mit den
Kardinalzahlen ist also einer der zahlreichen logischen Zirkel der
Mengenlehre.

Nun zu Holgers 13 Punkte Plan:
Die Punkte 2) bis 8) sind problemlos und koennen abgehakt werden.

> 1) Eine Menge M ist abzaehlbar unendlich, wenn es eine Bijektion von M
> auf die Menge N der natuerlichen Zahlen gibt.

Wenn es um die Klaerung grundsaetzlicher Fragen geht, ist es sinnvoller,
die obige allgemeingueltige Definition der Abzaehlbarkeit zu verwenden.

Wenn man doch eine Vergleichsmenge, z.B. N, heranzieht, genuegt bei
unendlichen Mengen eine Injektion von M nach N. Grund: Da auch eine
unendliche Teilmenge V von N gleichmaechtig wie N ist, genuegt eine
Bijektion von M nach V. Das ist eine Injektion von M nach N. Da das
gleiche auch fuer V gilt, reicht bei unendlichen Mengen grundsaetzlich
eine Injektion.


Zu Punkt 9):

> 9) Aber: Was ist z.B. das Bild f(D1) von D1 unter Deiner Abbildung f?

D1 ist die unendliche "Menge aller Zweierpotenzen". Wenn Ihr mir sagt,
was in einer unendlichen Menge _alle_ Elemente sind, sage ich Euch, was
das Bild ihrer Abbildung ist.

Bei der gewaehlten Abbildungsvorschrift waere f(D1) die Abbildung des
letzten Elementes von Pot(D1). Da es in einer unendlichen Menge kein
letztes Element gibt, ist die Frage unsinnig. Die Abzaehlbarkeits-
Definition verlangt nicht, dass alle Elemente angegeben werden muessen,
das ist bei keiner unendlichen Menge moeglich. Sie verlangt nur den
Nachweis einer Rekursionsformel, mit der alle Elemente induktiv aus den
vorherigen bei Wahrung der Wohlordnung abgeleitet werden koennen. Diese
Bedingungen werden von meiner Abbildungsvorschrift erfuellt.

> 10) Ang.: f(D1) = X ist eine natuerliche Zahl.
> 11) Dann ist auch 2^X eine natuerliche Zahl, also Element von D1. Also
> taucht 2^X in der Summe f(D1) auf. Folglich: X = f(D1) > 2^X > X.
> 12) Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme unter 10) falsch ist.
> Folglich ist f(D1) keine natuerliche Zahl, es liegt also keine Abbildung
> von Pot(D1) nach N vor.

Nachdem ich bewiesen habe, dass Pot(D1) eine gemaess der Definition
abzaehlbare Menge ist, waere der Widerspruch nur ein weiterer Beweis
dafuer, dass die Mengenlehre nicht widerspruchsfrei ist. Ihr macht
immer wieder den Fehler, dass Ihr nicht nach der Ursache der Wider-
sprueche sucht sondern voreilige Schluesse zieht. Im vorliegenden
Fall liegt der Fehler darin, dass ihr eine Abbildung der Summe f(D1)
fordert ohne die Existenz von D1 bewiesen zu haben. Dieser Existenz-
beweis ist aber, wie ich oben gezeigt habe, nicht moeglich. Das ist
ein Problem von D1 und nicht von Pot(D1).

Noch ein Beispiel:
Mengentheoretisch sind alle Zahlen "n" Mengen mit n Elementen. N, die
Menge aller natuerlichen Zahlen, also aller n, ist die Vereinigungs-
menge aller n. Jede Menge n ist ein Element von N. Nun kann man auch
die Vereinigungsmenge V aller in den einzelnen n enthaltenen Elemente
bilden. Die Anzahl der Elemente von V ist 1 + 2 + 3 + 4 + ... , also
groesser als die Anzahl der Elemente von N. Die Anzahl der Elemente
jeder Menge n ist abzaehlbar. Die Menge aller n ist voraussetzungs-
gemaess ebenfalls abzaehlbar. V ist also die Vereinigungsmenge einer
abzaehlbaren Menge abzaehlbarer Mengen und daher ebenfalls abzaehlbar.
V kann also auf N abgebildet werden. Die Summe 1 + 2 + 3 + ... ist
aber groesser als jede in N enthaltene Zahl. Es ergibt sich also der
gleiche Widerspruch.

Zu Punkt 13 gilt das gleiche wie vorstehend.


Zum Schluss noch eine Frage. Holger Gollan hat in seinem posting vom
23. Jan. 12:26 als Antwort auf Christian Semrau's Frage nach dem
Axiomensystem von Peano unter Punkt 4 geschrieben:

> 4) Zwei natuerliche Zahlen m und n, deren Nachfogler gleich sind (m* =

> n*), sind selbst schon gleich (m = n).

Das ist in der Tat eines der 3 Axiome aus PEANOs Axiomensystem.
(m und n sind Elemente derselben Menge, es geht nicht um den
Vergleich verschiedener Mengen.)
Es seien m** und n** die Nachfolger von m* und n*. Um die Gleichheit
von m und n festzustellen, muss also zuerst die Gleichheit von m* und
n* bekannt sein. Da kein Element von N eine Vorzugsstellung hat
(m und n sind beliebig vorgegeben, es könnte sich also auch um m* und
n* handeln), muss auch zur Feststellung der Gleichheit von m* und n*
gelten, dass sie genau dann gleich sind, wenn ihre Nachfolger m** und
n** gleich sind, usw. Da jedes Element einer unendlichen Menge einen
Nachfolger hat, gelangt man an keine Ende, die Gleichheit von m und n
ist also nicht feststellbar. Falls sie doch in der beschriebenen Weise
feststellbar ist, bedeutet das entweder, dass m* und n* eine Sonder-
stellung einnehmen, oder dass die Gleichheit von m und n genau wie bei
m* und n* auch unmittelbar feststellbar ist. Kann jemand erklären,
worin die Besonderheit von m* und n* liegt? Habe ich etwas uebersehen
oder handelt es sich nur um ein weiteres Beispiel dafuer, wie in der
Mengenlehre mit Pseudogenauigkeit leeres Stroh gedroschen wird?
Wie stellt man die Gleichheit von m* und n* fest (im Unterschied
zu m und n)?

Dieses Vorgehen ist charakteristisch fuer die Mengenlehre. Direkte
Aussagen werden moeglichst vermieden und durch eine zweite Aussage
ersetzt, aus der die erste durch logischen Schluss folgt. Dahinter
steckt die Absicht, alle intuitiven Aussagen durch formale Aussagen
zu ersetzen. Damit wird das Problem aber nur verlagert, denn die
zweite Aussage enthaelt genau so viel Intuition wie die erste.
Haeufig kommt ein zweites Problem hinzu. Wenn der logische Schluss
sich auf allgemeine Mengen bezieht, kann man bei der Vielfalt
unterschiedlicher Mengen nicht sicher sein, dass er tatsaechlich
fuer alle Mengen gilt. Der Beweis, dass es tatsaechlich so ist,
wird nie geliefert. Statt dessen vertrauen die Theoretiker auf
die Intuition des Lesers und bringen damit neben der Unsicherheit
zusaetzliche Intuition ins Spiel. Der Versuch, Theorien frei von
Intuition zu halten, ist zum Scheitern verurteilt. Jede Theorie
enthaelt mehr Intuition als den meisten bewusst ist.

Hinzu kommt ein weiteres Problem. Jede Theorie enthaelt unvermeidbar
das Axiom, dass unser Denken korrekt ist. In Wahrheit wissen wir nicht
einmal, wie unser Denken funktioniert. Trotzdem ist jeder davon ueber-
zeugt, richtig zu denken, obwohl dieses Axiom millionenfach widerlegt
ist. Jede serioese Theorie muss deshalb durch die Realitaet ueberprueft
werden. Eine Theorie, die grundsaetzlich nicht in dieser Weise pruefbar
ist, ist nach meiner Auffassung Spekulation.


Gruss

Dieter

Holger Gollan

unread,
Jan 30, 2001, 4:37:03 AM1/30/01
to
Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo zusammen,
>

Hallo Dieter,

> einige von Euch sind sehr ungeduldig und haetten am liebsten die
> Antwort noch bevor ihr posting abgeschickt ist. Verstaendlich,
> bedenkt aber, dass nicht jeder so viel Zeit zur Verfuegung hat
> wie Ihr anscheinend. Ausserdem sind Schnellschuesse bei diesem
> komplexen Thema wenig hilfreich.
>

Na ja, so schnell muss die Antwort nun auch nicht da sein! Und mit den
Schnellschuessen hast Du Recht. Ich habe z.B. bei einigen meiner
Postings die Begriffe Surjektivitaet und Injektivitaet durcheinander
gewirbelt. (sorry!)

> Da sich die Fragen teilweise ueberschneiden, antworte ich nicht mehr
> auf einzelne postings sondern komme auf die Fragen im geeigneten
> Zusammenhang zurueck.
>

Was wieder einmal leider dazu fuehrt, dass lange Postings entstehen. Mir
waere es immer noch lieber, wir wuerden uns auf kurze beschraenken, da
man sich dann auf ein Problemfeld konzentrieren kann.

> Holger Gollan hat in seinem posting vom 24. Jan. 14:59 eine Liste mit
> 13 Punkten als Grundlage fuer die weitere Diskussion vorgeschlagen.
> Diese nehme ich nachfolgend als Ausgangspunkt. Zuvor aber einige
> Anmerkungen.
>

Danke fuer die Ehre; dazu unten mehr.

Ich sehe da nun wirklich keinen Widerspruch. Und das Ganze hat auch
ueberhaupt nichts mit dem Begriff der Maechtigkeit zu tun. Es gibt nun
mal injektive Abbildungen von U nach N und von N nach U, also kannst Du
(sozusagen) auch N als Teilmenge von U auffassen. Und zwar ohne
ueberhaupt ueber den Begriff der Maechtigkeit nachzudenken. Erst jetzt
musst Du Dich fragen, in was fuer eine Situation Du nun geraten bist. U
ist "kleiner" als N und N ist "kleiner" als U. Da bleibt doch nur
uebrig, dass U gleichmaechtig wie N ist, oder? Und deshalb wird
gleichmaechtig so definiert. Wenn es ueberhaupt einen Widerspruch gibt,
dann schon bei der Betrachtung der injektiven Abbildungen.
Unendliche Mengen verhalten sich nun einmal nicht genau so wie endliche
Mengen. Du kannst gerne Mengenlehre nur mit endlichen Mengen betrachten,
aber wenn Du Dich auf unendliche Mengen einlaesst, dann geschehen halt
seltsame Dinge.

> Abzaehlbar:
> Eine Menge ist abzaehlbar, wenn sich ihre Elemente in der Form
> {no, n1, n2, n3,...} schreiben lassen. Voraussetzung dafuer ist,
> dass es ein Ordnungsprinzip gibt, das jedem Element der Menge einen
> und nur einen genau definierbaren Platz in dieser Folge zuweist.
> Weitere Bedingungen gibt es nicht.
>
> Abzaehlbar unendlich:
> Eine abzaehlbar unendliche Menge ist eine abzaehlbare Menge, in der
> es zu jedem Element ein nachfolgendes Element, kurz Nachfolger, gibt.
> Weitere Bedingungen gibt es nicht.
>

Ich wuerde es zwar anders definieren (injektive Abbildungen auf N), aber
ich denke, dass aus meiner Sicht die Sachen aequivalent waeren.

> Eine unendliche Menge ist also eine unvollstaendige Menge. Die Aussage
> "Alle Elemente" der Menge ist gegenstandslos, weil es "alle Elemente"
> nicht gibt, denn man kann immer noch ein Element hinzufuegen.
> Die Aussage, N ist die Menge DER natuerlichen Zahlen ist problematisch,
> weil sie suggeriert, N sei die Menge aller natuerlichen Zahlen.
> Endlichen Mengen natuerlicher Zahlen kann man eine reale Existenz in
> dem Sinne zusprechen, dass sie auf reale Mengen abgebildet werden
> koennen. Fuer N gilt das nicht, N existiert nicht in diesem Sinne.
> N = Menge der natuerlichen Zahlen ist nur ein kurzer Ausdruck fuer
> die Tatsache, dass man sich nicht auf eine bestimmte endliche Menge
> von natuerlichen Zahlen bezieht, sondern dass beliebig grosse Mengen
> zulaessig sind. Mehr ist mit der Aussage, N sei eine unendliche Menge,
> nicht gemeint. Das gilt fuer alle unendlichen Mengen. Unendliche
> Mengen sind also nur ein Sonderfall von endlichen Mengen, deren
> Groesse unbestimmt ist.
>

Und hier fangen die Probleme an! Man kann zwar nicht alle Elemente einer
unendlichen Menge hinschreiben, aber trotzdem kann man Aussagen ueber
alle Elemente treffen, und sogar fuer alle Elemente beweisen. Genau fuer
diesen Zweck gibt es das Prinzip der vollstaendigen Induktion. Wird das
von Dir eigentlich akzeptiert (als Bestandteil der Peano-Axiome)?

> Die Nichtexistenz von N laesst sich mengentheoretisch besonders einfach
> beweisen. Gemaess dem mengentheoretischen Zahlenbegriff entspricht einer
> natuerlichen Zahl m die Menge m mit m Elementen. m ist also eine Menge.
> Das nachfolgende Element n = m + 1 ist die Vereinigungsmenge
> n = m |_|{m}. Darin ist {m} eine Menge, die als einziges Element die
> Menge m enthaelt. Falls N tatsaechlich existiert, kann man genauso die
> Menge {N} bilden, die als einziges Element N enthaelt. Die Vereinigungs-
> menge N |_| {N} ist eine abzaehlbare Menge, die ein Element mehr enthaelt
> als N, folglich kann N nicht die Menge aller natuerlichen Zahlen sein.
> Aus der mengentheoretischen Definition der Zahlen folgt der zwiespaeltige
> Charakter von N. Man kann N wahlweise als Vereinigungsmenge aller Mengen n
> oder als die groesste der n Mengen auffassen, beide haben die gleiche
> Anzahl an Elementen. Da es aber keine groesste Menge n geben kann, zeigt
> sich der Widerspruch der Definitionen.
>

Ist ja schoen, dass N nicht existiert. Worueber streiten wir dann
ueberhaupt? Aber Spass beiseite! Du begehst den Fehler, dass Du auf die
Menge N den gleichen Prozess anwenden willst wie auf die Mengen m. Das
fordert aber niemand, N ist keine natuerliche Zahl.

> Es sei T_n die Teilmenge von N, die alle Elemente von 0 bis n enthaelt.
> T_n ist nicht gleichmaechtig zu einer ihrer echten Teilmengen. Das gilt
> fuer alle T_n. Will man jedem Element von T_n umkehrbar eindeutig eine
> Quadratzahl zuordnen, so reichen die in T_n enthaltenen Quadratzahlen
> nicht aus, man benoetigt dazu eine groessere Teilmenge T_q. Diese wird
> gerade so gross gewaehlt, dass die Abbildung moeglich ist. T_q enthaelt
> alle Elemente von 0 bis q, fuer die Abbildung wird nur die Teilmenge
> der Quadratzahlen ausgewaehlt.
> Die Differenz zwischen der Anzahl der Elemente von T_q und T_n waechst
> quadratisch mit n. T_q wird nie gleich gross wie T_n. Die Eigenschaft
> einer unendlichen Menge, gleichmaechtig wie eine ihrer echten Teilmengen
> zu sein, hat also nichts mit der "Maechtigkeit" dieser Mengen zu tun,
> sondern ist ausschliesslich eine Folge der Beliebigkeit, mit der die
> Teilmengen ausgewaehlt werden. Das bestaetigt obige Aussage, dass eine
> unendliche Menge nur der Sonderfall einer endlichen Menge mit beliebig
> waehlbarer Groesse ist.
>

Wie ganz oben beschrieben, ist es nun mal moeglich, per injektiver
Abbildung eine abzaehlbar unendliche Menge auf eine echte Teilmenge
abzubilden. Und mit diesem Phaenomen muss man leben (umgehen). Der
allgemein gebraeuchliche Zugang ist mir da allerdings lieber als die
Vorstellung, eine Menge mit beliebig waehlbarer, also unbestimmter
Groesse zu besitzen.
Was machst Du denn mit der Menge der Quadratzahlen, der Menge der
Primzahlen, der Menge der natuerlichen Zahlen? Existieren diese
unendlichen Mengen? Sind sie gleich gross? Ist die Menge der
Quadratzahlen weniger maechtig als die Menge der natuerlichen Zahlen?
Wie gesagt, Du kannst die Menge der natuerlichen Zahlen per injektiver
Abbildung in die Menge der Quadratzahlen einbetten, sozusagen als
Teilmenge der Menge der Quadratzahlen auffassen.

> In einem Eurer postings habe ich die Definition gelesen, eine unendliche
> Menge sei eine nicht endliche Menge. Diese Definition ist natuerlich
> sinnlos. Sie haette nur Sinn, wenn zuvor die Existenz von unendlichen
> Mengen bewiesen worden waere. Dieser Existenzbeweis fehlt aber. Die
> Mengenlehre versucht sich mit Hilfe der Kardinalzahlen aus der Affaere
> zu ziehen. Unendliche Kardinalzahlen sind identisch mit den Alephs.
> Diese setzen die Existenz von abzaehlbar und ueberabzaehlbar unendlichen
> Mengen aber schon voraus. Auch die Ueberabzaehlbarkeit der unendlichen
> Potenzmengen muss bereits bewiesen sein. Die Argumentation mit den
> Kardinalzahlen ist also einer der zahlreichen logischen Zirkel der
> Mengenlehre.
>

Nun bin ich kein Axiomatiker der Mengenlehre und weiss nicht, welche
abstrusen Theorien man dort so alles betrachten kann. Wenn man aber
zulaesst, dass man die Menge der natuerlichen Zahlen bilden kann, dann
stellt sich die Frage nach der Existenz unendlicher Mengen nicht mehr.

> Nun zu Holgers 13 Punkte Plan:
> Die Punkte 2) bis 8) sind problemlos und koennen abgehakt werden.
>

Danke!

> > 1) Eine Menge M ist abzaehlbar unendlich, wenn es eine Bijektion von M
> > auf die Menge N der natuerlichen Zahlen gibt.
>
> Wenn es um die Klaerung grundsaetzlicher Fragen geht, ist es sinnvoller,
> die obige allgemeingueltige Definition der Abzaehlbarkeit zu verwenden.
>
> Wenn man doch eine Vergleichsmenge, z.B. N, heranzieht, genuegt bei
> unendlichen Mengen eine Injektion von M nach N. Grund: Da auch eine
> unendliche Teilmenge V von N gleichmaechtig wie N ist, genuegt eine
> Bijektion von M nach V. Das ist eine Injektion von M nach N. Da das
> gleiche auch fuer V gilt, reicht bei unendlichen Mengen grundsaetzlich
> eine Injektion.
>

Du hast natuerlich Recht mit der Injektion. Wie oben schon geschrieben,
halte ich die Definitionen fuer aequivalent, da man ueber die Bijektion
zu den natuerlichen Zahlen den Nachfolger geliefert bekommt.

> Zu Punkt 9):
>
> > 9) Aber: Was ist z.B. das Bild f(D1) von D1 unter Deiner Abbildung f?
>
> D1 ist die unendliche "Menge aller Zweierpotenzen". Wenn Ihr mir sagt,
> was in einer unendlichen Menge _alle_ Elemente sind, sage ich Euch, was
> das Bild ihrer Abbildung ist.
>

Das ist doch nicht Dein Ernst, oder? Du definierst eine "Abbildung",
weisst nicht, wie sie auf bestimmten Elementen des Ursprungsbereichs
aussieht, und fragst uns, was nun zu tun sei? Es ist Deine Abbildung,
also musst Du uns sagen, wie bestimmte Bilder aussehen.
Wenn ich die Gleichmaechtigkeit zweier Mengen per Bijektion beweise,
dann kann ich auch fuer jedes Element ein Bild angeben. Du kannst es
doch nicht der Mengenlehre anlasten, dass Du fuer manchen Elemente von
Pot(D1) nicht in der Lage bist, das Bild zu bestimmen.

> Bei der gewaehlten Abbildungsvorschrift waere f(D1) die Abbildung des
> letzten Elementes von Pot(D1). Da es in einer unendlichen Menge kein
> letztes Element gibt, ist die Frage unsinnig. Die Abzaehlbarkeits-
> Definition verlangt nicht, dass alle Elemente angegeben werden muessen,
> das ist bei keiner unendlichen Menge moeglich. Sie verlangt nur den
> Nachweis einer Rekursionsformel, mit der alle Elemente induktiv aus den
> vorherigen bei Wahrung der Wohlordnung abgeleitet werden koennen. Diese
> Bedingungen werden von meiner Abbildungsvorschrift erfuellt.
>

Hier befindest Du Dich aber im Zirkelschluss! Wo ist Deine
Rekursionsformel, die aus jedem Element von Pot(D1) das naechste Element
liefert. Bisher habe, wenn ueberhaupt, so etwas nur fuer endliche
Teilmengen von D1 gesehen. Was ist z.B. das naechste Element nach { 2^0
, 2^2 , 2^4 , 2^6 , 2^8 , ... }
(Entschuldige, dass ich wieder die "..."-Notation benutzt habe.)
Die Bemerkung mit dem letzten Element verstehe ich nicht. D1 ist ein
Element von Pot(D1) und sicherlich nicht das letzte, da es ein solches,
wie Du richtig bemerkst, nicht gibt. Wenn Deine Abbildungsvorschrift
aber so gebaut ist, dass daraus folgt, dass D1 das letzte Element von
Pot(D1) ist, dann muss doch mit Deiner Vorschrift etwas nicht stimmen,
oder?

> > 10) Ang.: f(D1) = X ist eine natuerliche Zahl.
> > 11) Dann ist auch 2^X eine natuerliche Zahl, also Element von D1. Also
> > taucht 2^X in der Summe f(D1) auf. Folglich: X = f(D1) > 2^X > X.
> > 12) Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme unter 10) falsch ist.
> > Folglich ist f(D1) keine natuerliche Zahl, es liegt also keine Abbildung
> > von Pot(D1) nach N vor.
>
> Nachdem ich bewiesen habe, dass Pot(D1) eine gemaess der Definition
> abzaehlbare Menge ist, waere der Widerspruch nur ein weiterer Beweis
> dafuer, dass die Mengenlehre nicht widerspruchsfrei ist. Ihr macht
> immer wieder den Fehler, dass Ihr nicht nach der Ursache der Wider-
> sprueche sucht sondern voreilige Schluesse zieht. Im vorliegenden
> Fall liegt der Fehler darin, dass ihr eine Abbildung der Summe f(D1)
> fordert ohne die Existenz von D1 bewiesen zu haben. Dieser Existenz-
> beweis ist aber, wie ich oben gezeigt habe, nicht moeglich. Das ist
> ein Problem von D1 und nicht von Pot(D1).
>

Du hast an dieser Stelle aber noch nicht bewiesen, dass Pot(D1)
abzaehlbar ist. Hier geht es immer noch darum, ob Deine Abbildung
ueberhaupt dazu geeignet ist, Pot(D1) injektiv auf N abzubilden. Und
dies ist nicht der Fall. Obiges Argument zeigt, dass f(D1) keine
natuerliche Zahl sein kann. Und wenn es eine waere, dann zeigt ein
Argument in einem meiner anderen Postings, auf das Du leider auch nicht
eingegangen bist, dass dann keine injektive Abbildung mehr vorliegt.

> Noch ein Beispiel:
> Mengentheoretisch sind alle Zahlen "n" Mengen mit n Elementen. N, die
> Menge aller natuerlichen Zahlen, also aller n, ist die Vereinigungs-
> menge aller n. Jede Menge n ist ein Element von N. Nun kann man auch
> die Vereinigungsmenge V aller in den einzelnen n enthaltenen Elemente
> bilden. Die Anzahl der Elemente von V ist 1 + 2 + 3 + 4 + ... , also
> groesser als die Anzahl der Elemente von N. Die Anzahl der Elemente
> jeder Menge n ist abzaehlbar. Die Menge aller n ist voraussetzungs-
> gemaess ebenfalls abzaehlbar. V ist also die Vereinigungsmenge einer
> abzaehlbaren Menge abzaehlbarer Mengen und daher ebenfalls abzaehlbar.
> V kann also auf N abgebildet werden. Die Summe 1 + 2 + 3 + ... ist
> aber groesser als jede in N enthaltene Zahl. Es ergibt sich also der
> gleiche Widerspruch.
>

Ich sehe da keinen Widerspruch. Mal ausser Acht gelassen, dass man die
Summe 1+2+3+4+... nicht so ohne Weiteres bilden kann: Die Maechtigkeit
von V ist groesser als jede natuerliche Zahl, aber nicht groesser als
die Maechtigkeit von N. Oder willst Du ernsthaft argumentieren, dass
1+2+3+4+... > 1+1+1+1+... ?

Hier geht es nicht darum, eine Vorschrift anzugeben, wie man denn nun
die Gleichheit zweier natuerlicher Zahlen dadurch beweist, dass man das
Problem per Nachfolger ins Unendliche verlagert, sondern dieses Axiom
soll nur sicher stellen, dass die Nachfolgerfunktion eine injektive
Abbildung ist.

> Dieses Vorgehen ist charakteristisch fuer die Mengenlehre. Direkte
> Aussagen werden moeglichst vermieden und durch eine zweite Aussage
> ersetzt, aus der die erste durch logischen Schluss folgt. Dahinter
> steckt die Absicht, alle intuitiven Aussagen durch formale Aussagen
> zu ersetzen. Damit wird das Problem aber nur verlagert, denn die
> zweite Aussage enthaelt genau so viel Intuition wie die erste.
> Haeufig kommt ein zweites Problem hinzu. Wenn der logische Schluss
> sich auf allgemeine Mengen bezieht, kann man bei der Vielfalt
> unterschiedlicher Mengen nicht sicher sein, dass er tatsaechlich
> fuer alle Mengen gilt. Der Beweis, dass es tatsaechlich so ist,
> wird nie geliefert. Statt dessen vertrauen die Theoretiker auf
> die Intuition des Lesers und bringen damit neben der Unsicherheit
> zusaetzliche Intuition ins Spiel. Der Versuch, Theorien frei von
> Intuition zu halten, ist zum Scheitern verurteilt. Jede Theorie
> enthaelt mehr Intuition als den meisten bewusst ist.
>

Deine Einwaende verstehe ich nicht! Wenn ich etwas fuer "alle" Mengen
beweise, dann gilt es auch fuer alle Mengen, auch wenn ich gar nicht
alle Mengen bis ins Detail kenne. Das ist gerade der Ansatz der
Mathematik. Ich bringe Ordnung und Strukturen in das Chaos, beschreibe
Dinge anhand von Gemeinsamkeiten, und beweise Saetze ueber Strukturen,
ohne jede einzelne Struktur genau zu kennen.

> Hinzu kommt ein weiteres Problem. Jede Theorie enthaelt unvermeidbar
> das Axiom, dass unser Denken korrekt ist. In Wahrheit wissen wir nicht
> einmal, wie unser Denken funktioniert. Trotzdem ist jeder davon ueber-
> zeugt, richtig zu denken, obwohl dieses Axiom millionenfach widerlegt
> ist. Jede serioese Theorie muss deshalb durch die Realitaet ueberprueft
> werden. Eine Theorie, die grundsaetzlich nicht in dieser Weise pruefbar
> ist, ist nach meiner Auffassung Spekulation.
>

Dieser Schlussabschnitt ist mir eigentlich zu philosphisch, daher nur
zwei Anmerkungen:
1) Wenn Du schon die Faehigkeit des Denkens anzweifelst, wieso glaubst
Du, dass wir bei der Ueberpruefung durch die Realitaet keine Fehler
machen? Wer sagt Dir denn, was ueberhaupt real an der Realitaet ist.
2) Du kannst gerne bei endlichen Mengen bleiben, da in unserer realen
Welt hoechstwahrscheinlich alles endlich ist. Wenn Du aber ueber
unendliche Mengen diskutieren moechtest, dann waere es gut, wenn wir uns
auf eine gemeinsame Grundlage einigen koennten. Daher noch einmal mein
Appell: Kleine Postings, am Besten ganz zu Beginn anfangen, und nicht
immer versuchen, die Abgruende unendlicher Menge mit der einfachen
Struktur endlicher Menge zu vergleichen. Manches mag verwirren, man kann
auch sagen, dass man unendliche Mengen ablehnt, weil sich ihr Verhalten
nicht mit den alltaeglichen Erfahrungen deckt, aber deswegen der Theorie
Inkonsistenz vorzuwerfen, funktioniert nicht. Dazu bedarf es schon eines
Beweises und nicht nur eines Verweises darauf, dass das Verhalten der
Mengen in der Theorie ungewoehnlich ist.

Christian Semrau

unread,
Jan 30, 2001, 8:54:49 AM1/30/01
to
Dieter Jungmann wrote:
>
> Abzaehlbar:
> Eine Menge ist abzaehlbar, wenn sich ihre Elemente in der Form
> {no, n1, n2, n3,...} schreiben lassen. Voraussetzung dafuer ist,
> dass es ein Ordnungsprinzip gibt, das jedem Element der Menge einen
> und nur einen genau definierbaren Platz in dieser Folge zuweist.
> Weitere Bedingungen gibt es nicht.
>
Ich vermisse die Definition einer endlichen Menge.
Fuer mich ist eine endliche Menge eine in deinem Sinne abzaehlbare
Menge, bei der die Liste der Elemente an einem bestimmten Index endet.
Es gibt also eine natuerliche Zahl n, so dass {a_0, a_1, ... a_n} die
ganze betrachtete Menge ist.

> Abzaehlbar unendlich:
> Eine abzaehlbar unendliche Menge ist eine abzaehlbare Menge, in der
> es zu jedem Element ein nachfolgendes Element, kurz Nachfolger, gibt.
> Weitere Bedingungen gibt es nicht.

Du betrachtest also eine "Abzaehlung" der Elemente der Menge, und wenn
nach jedem Element in der Liste noch eins steht, dann ist die Menge
abzaehlbar unendlich. Gut, soweit bin ich einverstanden.

> In einem Eurer postings habe ich die Definition gelesen, eine unendliche
> Menge sei eine nicht endliche Menge. Diese Definition ist natuerlich
> sinnlos. Sie haette nur Sinn, wenn zuvor die Existenz von unendlichen
> Mengen bewiesen worden waere. Dieser Existenzbeweis fehlt aber.

Da besteht noch das Problem, dass ich gerade keine Definition einer
endlichen Menge von dir habe. Wenn du die Definition einer endlichen
Menge akzeptierst, die ich oben gegeben habe, dann ist eine abzaehlbar
unendliche Menge nicht endlich, denn es gibt keine natuerliche Zahl n,
so dass {a_0, a_1, ... a_n} die ganze Menge ist, denn hinter a_n steht
ja a_(n+1) als Element der Menge in der Abzaehlung.
Oder willst du sagen, dass auch eine abzaehlbar unendliche Menge endlich
ist? Das ist dann in meinen Augen aber ein ziemlicher Missbrauch des
Begriffs "unendlich".

>
> > 1) Eine Menge M ist abzaehlbar unendlich, wenn es eine Bijektion von M
> > auf die Menge N der natuerlichen Zahlen gibt.
>
> Wenn es um die Klaerung grundsaetzlicher Fragen geht, ist es sinnvoller,
> die obige allgemeingueltige Definition der Abzaehlbarkeit zu verwenden.
>
> Wenn man doch eine Vergleichsmenge, z.B. N, heranzieht, genuegt bei
> unendlichen Mengen eine Injektion von M nach N. Grund: Da auch eine
> unendliche Teilmenge V von N gleichmaechtig wie N ist, genuegt eine
> Bijektion von M nach V. Das ist eine Injektion von M nach N. Da das
> gleiche auch fuer V gilt, reicht bei unendlichen Mengen grundsaetzlich
> eine Injektion.

Du bezweifelst die Existenz von unendlichen Menge, arbeitest aber
trotzdem mit dem Begriff "unendliche Menge" im Zusammenhang mit den
natuerlichen Zahlen. Sind die natuerlichen Zahlen nun eine endliche oder
eine unendliche Menge?

Wolfgang Kirschenhofer

unread,
Jan 30, 2001, 10:03:09 AM1/30/01
to
Dieter Jungmann schrieb:
>
> Hallo zusammen,

>
> In einem Eurer postings habe ich die Definition gelesen, eine unendliche
> Menge sei eine nicht endliche Menge. Diese Definition ist natuerlich
> sinnlos. Sie haette nur Sinn, wenn zuvor die Existenz von unendlichen
> Mengen bewiesen worden waere. Dieser Existenzbeweis fehlt aber.
>
> Gruss
> Dieter

Hallo Dieter !

Das war in meinem Posting "Fragen an Dieter Jungmann",vom 23.1.01,19:38.
Obige Definition des Begriffes "unendliche Menge" ist allgemein üblich.

Die Existenz einer unendlichen Menge kann gar nicht bewiesen werden.

Sie muß durch ein eigenes Axiom gefordert werden.
z.B. in Zermelo-Fraenkel folgendermaßen:

Unendlichkeitsaxiom:Es gibt eine Menge A mit folgenden Eigenschaften: {}
Element von A und für alle a Element von A gilt auch (a v {a}) Element
von A. X v Y heißt X vereinigt mit Y .
a v {a} heißt auch Nachfolger von a

Jede derartige Menge heißt auch induktive Menge.
Der Durchschnitt aller induktiven Mengen ist dann die Menge N aller
natürlichen Zahlen,wobei 0:={},n:=n v {n}.
Siehe auch Induktionsaxiom in den Peano-Axiomen.

Wenn Du also das Unendlichkeitsaxiom im "Spiel Mathematik" nicht als
"Spielregel" akzeptieren kannst oder willst,dann existiert auch die
Menge N der natürlichen Zahlen in Form einer unendlichen Menge für Dich
nicht.
Man kann auch eine Mathematik betreiben, in der es nur "endliche" Mengen
gibt. Diese wäre meist sehr kompliziert,umständlich und schwer zu
handhaben.Die Physiker und viele andere Naturwissenschaftler und
Anwender wären mit so einer Mathematik nicht zufrieden und zwar gerade
deshalb,weil die derzeitige Mathematik ihnen nützliche Modelle zur
Beschreibung der von Dir so oft zitierten Realität liefert.
Stell' Dir z.B. eine Mathematik ohne Analysis oder
Differentialgleichungen vor.

Abschließend noch:ca.99% der derzeit lebenden Mathematiker wollen sich
aus dem "Paradies" welches Cantor uns geschaffen hat,nicht vertreiben
lassen (Frei zitiert nach David Hilbert).

Grüße,
Wolfgang

Norbert Micheel

unread,
Jan 30, 2001, 10:19:19 PM1/30/01