Krumm und Gerade in der Nicht-Euclidischen Geometrie
Hero
Beweis bzgl. Abstand von Primzahlen
</group/de.sci.mathematik/browse_thread/thread/f254e92987e64c35/6b48b1f0d29220a2>
Ich gehe jetzt erst mal nur auf einige Diskussionspunkte ein.
Irgendwie schaffe ich nicht den Einstieg in die nichteuclidische
Geometrie. Hier ein Beitrag von Jutta:
> Hallo Hero!
>
> "Hero" <Hero.van...@gmx.de> schrieb
>
> > Warum soll ich einen "Grosskreis" Gerade nennen? Was ist das fuer ein
> > komisches Denken? Angenommen Euclid wuerde noch leben und Du sagst ihm,
> > ich habe hier Kreise und wenn ich die "Gerade" nenne, dann stimmt Dein
> > 5.Axiom nicht mehr...
>
> Wie gesagt, es handelt sich um ein _Modell_. Ich will mal zwei verschiedene
> Ansätze vorstellen:
>
> 1. Stell dir einen "flatlander" vor, der die dritte Dimension nicht
> wahrnehmen kann. (Auch wenn du sagst, wir sind keine flarlander - die
> Vorstellung ist trotzdem hilfreich.) Wenn der auf eine Kugeloberfläche lsben
> würde, dann wären seine "Geraden" die kürzesten Verbindungen zwischen zwei
> Punkten, also Großkreise. Er könnte keinen Unterschied feststellen! Er
> könnte auch Geometrie nach Euklid betreiben. Nur würde er feststellen, dass
> z.B. die Winkelsumme in einem sehr großen Dreieck mehr als 180° beträgt.
> Alle Sätze, die aus dem 5. Axiom folgen, wären also falsch.
>
> Wenn unser dreidimensionaler Raum "in Wirklichkeit" die Oberfläche einer
> Hypersphäre wäre, könnten wir das auch nicht feststellen. Denn für uns ist
> eine Gerade der Weg, den ein Lichtstrahl nimmt - und was ist, wenn die
> Lichtstrahlen "in Wirklichkeit" gekrümmt sind? Laut Relativitätstheorie
> leben wir ja in einem vierdimensionalen, gekrümmten Raum-Zeit-Kontinuum.
> (Die Experten mögen mich ausbessern, wenn ich Blödsinn rede.)
>
> 2. Wir verzichten auf die Anschauung und begründen die Geometrie rein
> axiomatisch. Es ist egal, was wir uns unter "Geraden" und "Punkten"
> vorstellen - ausschlaggebend sind nur die Beziehungen zwischen diesen
> Objekten, die man aus den Axiomen ableiten kann. Und da zeigt sich, dass man
> auch ohne Parallelenaxiom widerspruchsfrei Geometrie betreiben kann. Man
> erhält sogar zwei verschiedene Geometrien: die hyperbolische, wenn man
> annimmt, dass es zu einer Geraden mehrere Parallelen durch einen Punkt gibt,
> und die elliptische, wenn man annimmt, dass es gar keine Parallelen gibt.
>
> Jetzt will der Mensch sich aber auch was vorstellen, und deswegen
> konstruiert man Modelle für diese Geometrien. Ein Modell für die elliptische
> Geometrie ist die Kugeloberfläche - die "Geraden" in diesem Modell sind die
> Großkreise. (Deswegen schreibe ich "Geraden" immer in Anführungszeichen.)
> Allerdings muss man dabei jeweils zwei gegenüberliegende Kugelpunkte
> identifizieren, also als einen "Punkt" betrachten.
>
> Als Modell für die hyperbolische Ebene wählt man gerne das Innere eines
> Kreises. "Geraden" in diesem Modell sind alle Kreisbögen, die den großen
> Kreis im rechten Winkel schneiden. M.C.Escher hat das in einigen seiner
> Bilder sehr schön dargestellt. Auch in diesem Modell kann man
> widerspruchsfrei Geometrie betreiben.
>
> Fazit: "Geraden" sind das, was wir so definieren. Wie gesagt, wenn du dich
> mehr damit beschäftigen willst, lies "Flacherland"!
>
> lg
> Jutta
Stellt Euch mal einen Menschen vor, der die dritte Dimension wahrnehmen
kann (und die Zeit, gemessen an gleichmaessigster Veraenderung) und der
noch nie in einer Hypersphaere war. Und er kann gerade und krumm
unterscheiden. Nennt fuer ihn doch die Dinge beim Namen. Dann gibt es
auf einer Kugeloberflaeche keine zwei parallelen Grosskreise, klar und
auch keine Geraden. Er kann Geraden und Grosskreise mit dem Oberbegriff
Linie zusammenfassen, er kann sie auch mit ihrer gemeinsamen
Eigenschaft " Kuerzester Weg" zu sein betrachten ( die Gerade im Raum,
der Grosskreis auf der Kugeloberflaeche). Hierfuer ist das 5.Axiom
nicht noetig, aber ohne dies hat man aber auch wohl keinen Unterschied
von gerade und krumm, oder?
Wie definiert die nichteuclidische Geometrie den Unterschied von gerade
und krumm ? Etwa auf einer Hyperboloid- oder auch schon
Kegeloberflaeche, dort gibt es verschiedne kuerzeste Wege-Linien,
gerade und gebogene. Wie unterscheidet die nichteuclidische Geometrie
diese ?
Wenn sie diese nicht unterscheidet (falls), warum redet sie dann von
"Geraden" und nennt die Dinge nicht beim Namen?
Wenn ein Lichtstrahl in Wirklichkeit gekruemmt ist, dann gibt es
offenbar einen Unterschied zwischen gerade und krumm in der
Wirklichkeit und zusaetzlich wird er dann ja auch irgendwo definiert
sein, oder nicht ?
Warum muss die nichteuclidische Geometrie krumme Linien "Geraden"
nennen, oder etwas parallel nenen, was gar nicht parallel ist, wofuer
ist das wichtig? Wenn sich ein Nichteuclidischer Geometer mal drauf
einlaesst, gebogene Linien krumm zu nennen, was kann er dann an Neuem
vorbringen ? Geometrie mit Grosskreisen und kuerzesten Wegen usw gab
es schon vorher. Und aus den euclidischen Axiomen konnte man schon
immer Beziehungen zwischen Objekten ableiten und mir scheint,es ist
bisher nicht gelungen, etwas als gerade zu definieren, was seinen Namen
zu Recht traegt, ohne die 5 Axiome.
Gruss
Hero
PS:
http://www.alcyone.com/max/lit/flatland
Gottfried Helms
> Hero schrieb:
>
>
>>Irgendwie schaffe ich nicht den Einstieg in die nichteuclidische
>>Geometrie.
>
>
>>warum redet sie [die nichteuklidische Geometrie] dann von
>>"Geraden" und nennt die Dinge nicht beim Namen?
>
>
> Der Name allein ist Schall und Rauch. Fuer einen Tibeter
> ist "Gerade" nicht viel ausdrucksstaerker als "Katampe".
> Wenn man ihm aber erklaert wie dieses Dingens mit dem
> zusammenhaengt, was er unter Punkten und Abstand versteht,
> dann wird es ihm daemmern und er sagt dann: Oh Manno, warum
> sagt ihr denn nicht gleich "Sattva", denn ganz offensichtlich
> geht es ja bei dem so definierten Begriff um Klarheit und
> Freiheit von den negativen Einfluessen von Rajas (Unruhe)
> und Tamas (Traegheit). Also bitte, liebe Leute, macht nicht
> auch hier wieder so einen Kaese wie bei der idiotischen
> Benennung der Haltung, die als "Zazen" jedem gebildeten
> Menschen bekannt ist. Wie nennt ihr das? Natuerlich etwas
> verkorkst: "Sizen". Und dann muss man solche merkwuerdigen
> "Erklaerungen" lesen wie z.B. auf
> http://www.stern.de/wissenschaft/519120.html?eid=518428&nv=ex_L3_ct
> wo es heisst: Zazen - stilles, konzentriertes Sitzen in der
> Haltung des Buddha, die wichtigste Uebung des Zen.
>
> A propos "Zen", auch hier wieder diese Missverstaendnisse.
> Es muss natuerlich heissen: "die Zen-Gebote" und nicht die
> "Zehn Gebote".
>
>
>>und mir scheint,es ist bisher nicht gelungen, etwas als
>>gerade zu definieren, was seinen Namen zu Recht traegt,
>>ohne die 5 Axiome.
>
>
> Die Buchstabenkombination g-e-r-a-d-e eignet sich wirklich
> vorzueglich, um das zu bezeichnen, was in den 5 Axiomen
> als "Gerade" in den Saetzen und Erklaerungen vorkommt.
>
> Wieso Du dann allerdings Lichtstrahlen als "gerade" bezeichnest,
> und das tust Du gewiss (Leugnen ist zwecklos), darueber musst
> Du dann Rechenschaft ablegen. Vielleicht sind sie ja nicht
> wirklich gerade (in Deinem strengen Sinne).
>
> Gruss,
> Rainer Rosenthal
> r.ros...@web.de
>
>
ROTFL! Das war ein fulminanter Abschluß eines drögen Montagabends.
Man möchte noch das Tan-Zen erwähnen, das zwar nicht vom Buddha
stammt aber nach dem Hörensagen Nirwanaähnliche Zustände ermöglichen
soll. :-)
Herzlich -
Gottfried
Rainer Rosenthal
> Irgendwie schaffe ich nicht den Einstieg in die nichteuclidische
> Geometrie.
> warum redet sie [die nichteuklidische Geometrie] dann von
> "Geraden" und nennt die Dinge nicht beim Namen?
Der Name allein ist Schall und Rauch. Fuer einen Tibeter
ist "Gerade" nicht viel ausdrucksstaerker als "Katampe".
Wenn man ihm aber erklaert wie dieses Dingens mit dem
zusammenhaengt, was er unter Punkten und Abstand versteht,
dann wird es ihm daemmern und er sagt dann: Oh Manno, warum
sagt ihr denn nicht gleich "Sattva", denn ganz offensichtlich
geht es ja bei dem so definierten Begriff um Klarheit und
Freiheit von den negativen Einfluessen von Rajas (Unruhe)
und Tamas (Traegheit). Also bitte, liebe Leute, macht nicht
auch hier wieder so einen Kaese wie bei der idiotischen
Benennung der Haltung, die als "Zazen" jedem gebildeten
Menschen bekannt ist. Wie nennt ihr das? Natuerlich etwas
verkorkst: "Sizen". Und dann muss man solche merkwuerdigen
"Erklaerungen" lesen wie z.B. auf
http://www.stern.de/wissenschaft/519120.html?eid=518428&nv=ex_L3_ct
wo es heisst: Zazen - stilles, konzentriertes Sitzen in der
Haltung des Buddha, die wichtigste Uebung des Zen.
A propos "Zen", auch hier wieder diese Missverstaendnisse.
Es muss natuerlich heissen: "die Zen-Gebote" und nicht die
"Zehn Gebote".
> und mir scheint,es ist bisher nicht gelungen, etwas als
> gerade zu definieren, was seinen Namen zu Recht traegt,
> ohne die 5 Axiome.
Die Buchstabenkombination g-e-r-a-d-e eignet sich wirklich
Hero Wanders
> Warum muss die nichteuclidische Geometrie krumme Linien "Geraden"
> nennen, oder etwas parallel nenen, was gar nicht parallel ist [...]?
Ich kenne mich mit der nicht-euklidischen Geometrie noch nicht aus, aber
meine Intuition sagt mir, dass du hier ständig das Modell wechselst.
Wenn wir mal annehmen, dass unsere "Standardgeometrie", wie wir sie von
kleinauf kennenlernen, eine nichteuklidische wäre, dann würdest du hier
bestimmt fragen: "Warum muss eine euclidische Geometrie gerade Linien
'krumm' nennen, oder etwas nicht-parallel nennen, was aber parallel
ist?". Es gibt ja kein "wirkliches"(tm), echtes "parallel", sondern nur
das was im Modell, mit dem man arbeitet, definiert ist.
Viele Grüße,
Hero Wanders
Rudolf Sponsel
> Dies ist eine Fortsetzung einer Diskussion aus dem Thread:
> Beweis bzgl. Abstand von Primzahlen
> </group/de.sci.mathematik/browse_thread/thread/f254e92987e64c35/6b48b1f0d29220a2>
>
> Ich gehe jetzt erst mal nur auf einige Diskussionspunkte ein.
> Irgendwie schaffe ich nicht den Einstieg in die nichteuclidische
> Geometrie. Hier ein Beitrag von Jutta:
>
>>Hallo Hero!
>>
>>"Hero" <Hero.van...@gmx.de> schrieb
>>
...
> Warum muss die nichteuclidische Geometrie krumme Linien "Geraden"
> nennen, oder etwas parallel nenen, was gar nicht parallel ist, wofuer
> ist das wichtig? Wenn sich ein Nichteuclidischer Geometer mal drauf
> einlaesst, gebogene Linien krumm zu nennen, was kann er dann an Neuem
> vorbringen ? Geometrie mit Grosskreisen und kuerzesten Wegen usw gab
> es schon vorher. Und aus den euclidischen Axiomen konnte man schon
> immer Beziehungen zwischen Objekten ableiten und mir scheint,es ist
> bisher nicht gelungen, etwas als gerade zu definieren, was seinen Namen
> zu Recht traegt, ohne die 5 Axiome.
> Gruss
> Hero
> PS:
> http://www.alcyone.com/max/lit/flatland
>
Eine klare und vernünftige Lösung wäre, überhaupt keine Worte zu verwenden, die semantisch
'vorbelastet' sind, also z.B. "Halbgerade" als "Objekt15.22.1". Wie im richtigen Leben ist
damit wohl kaum zu rechnen.
Rudolf Sponsel, Erlangen
Jutta Gut
"Hero" <Hero.van...@gmx.de> schrieb
> Stellt Euch mal einen Menschen vor, der die dritte Dimension wahrnehmen
> kann (und die Zeit, gemessen an gleichmaessigster Veraenderung) und der
> noch nie in einer Hypersphaere war. Und er kann gerade und krumm
> unterscheiden. Nennt fuer ihn doch die Dinge beim Namen.
Du gehst davon aus, dass man gerade und krumm unterscheiden kann. Was aber,
wenn die Lichtstrahlen "in Wirklichkeit" gekrümmt sind? Du hast keine
Möglichkeit, das festzustellen, außer durch Visieren. Man könnte es
vielleicht differentialgeometrisch berechnen, aber für die Anschauung wären
es trotzdem Geraden. (Deswegen schreibe ich "in Wirklichkeit" immer in
Anführungszeichen.)
Und woher willst du wisen, dass sich zwei Parallele wirklich nicht
schneiden? Du kannst sie ja nicht ein paar hundert Lichtjahre weit verfolgen
und nachsehen. Und wie kannst du dir so sicher sein, dass es zu einer
geraden nur eine Parallele gibt - und nicht vielleicht eine andere Gerade,
die nur um ein Millionstel Grad geneigt ist, die erste auch nicht schneidet?
Man kann noch weitergehen und fragen, ob es so was wie "Punkte" und Geraden"
in der Realität überhaupt gibt (und nicht nur Farbkleckse auf Papier). Im
Grund sind das alles Gedankenkonstrukte.
> Wie definiert die nichteuclidische Geometrie den Unterschied von gerade
> und krumm? Etwa auf einer Hyperboloid- oder auch schon
> Kegeloberflaeche, dort gibt es verschiedne kuerzeste Wege-Linien,
> gerade und gebogene. Wie unterscheidet die nichteuclidische Geometrie
> diese?
Das sind zwei Dinge, die wir nicht durcheinanderbringen sollten. Geometrie
auf gekrümmten Flächen fällt in das Gebiet Differentialgeometrie. Da kann
man geodätische Linien (also kürezeste Verbindungen) berechnen.
Auf der anderen Seite kann man eine Kugeloberfläche oder eine
Hyperboloidfläche als Modelle für nichteuklidische Geometrien nehmen. Das
heißt nicht, dass diese Linien dann wirklich Geraden sind, sondern, dass man
sich mit ihrer Hilfe die Beziehungen zwischen Geraden in einer
nichteuklidischen Ebene besser vorstellen kann.
Ein Atom besteht ja auch nicht "wirklich" aus kleinen negativ geladenen
Kügelchen, die um einen positiv geladenen Kern kreisen. Aber das Bohrsche
Atommodell ist auch ein Hilfe für die menschliche Vorstellung.
lg
Jutta
Hero
Hero Wanders wrote:
> Hero schrieb:
> > Warum muss die nichteuclidische Geometrie krumme Linien "Geraden"
> > nennen, oder etwas parallel nenen, was gar nicht parallel ist [...]?
>
> Ich kenne mich mit der nicht-euklidischen Geometrie noch nicht aus, aber
> meine Intuition sagt mir, dass du hier ständig das Modell wechselst.
> Wenn wir mal annehmen, dass unsere "Standardgeometrie", wie wir sie von
> kleinauf kennenlernen, eine nichteuklidische wäre, dann würdest du hier
> bestimmt fragen: "Warum muss eine euclidische Geometrie gerade Linien
> 'krumm' nennen, oder etwas nicht-parallel nennen, was aber parallel
> ist?".
Das waere genauso verwirrend. Das Muster nach dem hier gestrickt wird,
ist in meinen Augen folgendes:
Es ist heutzutage ungewiss, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge
gibt. Jetzt erweitere ich auf eine Menge P, die alle ganzen Zahlen
enthaelt, die durch 1 oder sich selbst oder durch 2 oder durch 3
teilbar sind. In dieser Menge gibt es unendlich viele Zwillinge (Zahlen
mit Differenz zwei). Die Konfusion beginnt, solbald ich nun P als Menge
der "Primzahlen" bezeichne.
> Es gibt ja kein "wirkliches"(tm), echtes "parallel", sondern nur
> das was im Modell, mit dem man arbeitet, definiert ist.
Das finde ich eine sehr gute Idee: Bewaehrte Bezeichnungen belassen und
davon Verschiedenes mit anderem Namen zu benennen.
Dass es von dem Modell abhaengt, mit dem man arbeitet, was "parallel"
ist, hat natuerlich etwa fuer sich. Trotzdem wirst Du mir zustimmen,
dass mein obiges Modell von "Primzahlen" mal abgesehen von der
Bezeichnung, dass also das Menge P Modell wenig sinnvoll ist und kaum
der Beachtung verdient. Warum ist dies so ? Selbst wenn Du Mathematik
als abstraktes "Spiel" betreibt, findest Du einige Strukturen
faszinierender wie andere. Haben die Bedeutung? Warum kann man mit
Menschen, die nicht mathematisch geschult sind, sich ueber Geraden,
parallele Richtungen usw verstaendigen oder auch -ich spring mal ueber
meinen Schatten (wie Rainer vorschlaegt) - ueber eine vierte
Raumdimension. Entstanden zumindest ist die Mathematik aus dem
Bemuehen, sich in Raum und Zeit zu orientieren. Dies ist ein Modell, an
der ich die Mathematik gerne messe.
Gruss
Hero
Hero
> Ein Atom besteht ja auch nicht "wirklich" aus kleinen negativ
> geladenen Kügelchen, die um einen positiv geladenen Kern kreisen.
> Aber das Bohrsche Atommodell ist auch ein Hilfe für die menschliche
> Vorstellung.
des Denkens). Ebenso soll Mathe nicht science fiction, nicht mathe
fiction oder etwa Numerologie sein.
Einige Fragen von mir werden nicht klar beantwortet:
Betrachtet die nichteuclidische Geometrie den Unterschied von gerade
und krumm, von parallel und nicht-parallel ?
Wozu dient das "Verwirr-Spiel" mit der Verwendung von klar und bewaehrt
definierten mathematischen Begriffen fuer andere Sachverhalte ?
Und jetzt gehst Du hier noch einen Schritt weiter und stellst die
Wirklichkeit und ihre Erkenntnis in Frage.
Jutta schrieb in Posting davor:
> Denn für uns ist eine Gerade der Weg, den ein Lichtstrahl nimmt - und
> Relativitätstheorie leben wir ja in einem vierdimensionalen,
> gekrümmten Raum-Zeit-Kontinuum.
> (Die Experten mögen mich ausbessern, wenn ich Blödsinn rede.)
> Wenn ein Lichtstrahl in Wirklichkeit gekruemmt ist, dann gibt es
> offenbar einen Unterschied zwischen gerade und krumm in der
> Wirklichkeit und zusaetzlich wird er dann ja auch irgendwo definiert
> sein, oder nicht ?
Jutta schrieb im vorletzten Posting:
> Als Modell für die hyperbolische Ebene wählt man gerne das Innere
> eines Kreises. "Geraden" in diesem Modell sind alle Kreisbögen, die
> den großen Kreis im rechten Winkel schneiden. M.C.Escher hat das in
> einigen seiner Bilder sehr schön dargestellt. Auch in diesem Modell
> kann man widerspruchsfrei Geometrie betreiben.
Betrachten wir dies Beispiel ohne Namenskonfusion:
Ich habe einen Grundkreis und eine Menge K von Kreisboegen, die den
Grundkreis im rechten Winkel schneiden. Wenn ich das richtig sehe gibt
es eine Menge P von Punkten auf dem Grundkreisrand. Zu einem beliebigen
Kreisbogen K1 aus K und einem Punkt P1 aus P, der nicht auf K1 liegt,
gibt es mehrere Kreisboegen K2, K3,.., die mit K1 keinen Punkt
(Vorsicht jetzt) des Grundkreises gemeinsam haben, also keinen Punkt
aus P. Richtig?
Gut, dann braucht also die nichteuclidische Geometrie die euclidische,
um ueberhaupt dieses ihr eigene Modell zu modellieren. Soweit es um
dieses Modell geht, und um viele andere, komme ich mit der euclidischen
Geometrie hin.
Betreibt man mit diesem Grundkreis-Modell Geometrie, gibt es weitere
Untersuchungen in ihr oder ist nur ihre Existenz bekannt ?
Jutta schrieb:
> Das sind zwei Dinge, die wir nicht durcheinanderbringen sollten. Geometrie
> auf gekrümmten Flächen fällt in das Gebiet Differentialgeometrie. Da kann
> man geodätische Linien (also kürezeste Verbindungen) berechnen.
> Auf der anderen Seite kann man eine Kugeloberfläche oder eine
> Hyperboloidfläche als Modelle für nichteuklidische Geometrien nehmen. Das
> heißt nicht, dass diese Linien dann wirklich Geraden sind, sondern, dass man
> sich mit ihrer Hilfe die Beziehungen zwischen Geraden in einer
> nichteuklidischen Ebene besser vorstellen kann.
Durch diesen Unterschied wird es erstmal klarer.
Also die Modelle, wie Hyperboloid (da gibt es uebrigens Parallelen auf
der Oberflaeche wenn man genau hinsieht) oder auch der gerade
besprochene Grundkreis, sind nur Modelle, aber nicht etwa
"eine nichteuklidische Ebene" selbst. Trotz aller Bemuehungen habe ich
stets nur Ebenen und Modelle bekommen, die euclidisch sind.
Gibt es innermathematisch vielleicht gar keine pur nichteuclidische
Modelle? Also gibt es sie in der uebrigen Wirklichkeit ausserhalb der
Mathematik?
Und dahin willst Du mich jetzt locken, dazu, die wirklichen Ebenen als
moeglicherweise nicht-euclidische Ebenen anzusehen. Du schreibst:
> Und woher willst du wisen, dass sich zwei Parallele wirklich nicht
> schneiden? Du kannst sie ja nicht ein paar hundert Lichtjahre weit verfolgen
> und nachsehen. Und wie kannst du dir so sicher sein, dass es zu einer
> geraden nur eine Parallele gibt - und nicht vielleicht eine andere Gerade,
> die nur um ein Millionstel Grad geneigt ist, die erste auch nicht schneidet?
> Man kann noch weitergehen und fragen, ob es so was wie "Punkte" und Geraden"
> in der Realität überhaupt gibt (und nicht nur Farbkleckse auf Papier). Im
> Grund sind das alles Gedankenkonstrukte.
Wenn man keinen Unterschied zwischen gerade und krumm machen kann, wenn
man nicht zwischen parallel und nicht parallel unterscheiden kann ( wie
anscheinend die Nichteuclidier), warum spricht man dann davon ?
fragt
Hero
Hero
Rainer Rosenthal wrote:
> Hero schrieb:
> > und mir scheint,es ist bisher nicht gelungen, etwas als
> > gerade zu definieren, was seinen Namen zu Recht traegt,
> > ohne die 5 Axiome.
> Die Buchstabenkombination g-e-r-a-d-e eignet sich wirklich
> vorzueglich, um das zu bezeichnen, was in den 5 Axiomen
> als "Gerade" in den Saetzen und Erklaerungen vorkommt.
"nennen wir eine Katze mal Hund" habe ich nur Schwierigkeiten, weil ich
nie weiss, ob die "Katze" nun bellt oder nicht. Als Mathematiker sollte
man doch froh sein, dass man eine gute Definition hat, schon ueber
zweitausend Jahre lang. Dann kommt jemand und redet ueber etwas
anderes, wie "kuerzester Weg", muss das aber "Gerade" nennen.
Und kann anscheinend den Unterschied zwischen gerade und krumm in
seiner Geometrie gar nicht beschreiben.
>
> Wieso Du dann allerdings Lichtstrahlen als "gerade" bezeichnest,
> und das tust Du gewiss (Leugnen ist zwecklos), darueber musst
> Du dann Rechenschaft ablegen. Vielleicht sind sie ja nicht
> wirklich gerade (in Deinem strengen Sinne).
Den Namen "gerade" entspricht ein gewisser Sachverhalt in der Welt, die
sowohl mathematische, wie nicht-mathematische Zuege hat, und dazu
zaehlt der Weg des Lichts oder auch (nach Newton) eine Bewegung von
Dingen, auf die keine Kraefte wirken. Gerade ist eine Form der
Bewegung, es gibt auch Entsprechungen in der Form von raeumlichen
Dingen. Eine Beschreibung, sogar gleich fuer Mathematiker haben Euclid
und andere in Axiome gefasst. Dadurch bekamen wir einen Massstab an die
Hand, den wir umgekehrt an den Lichtstrahl anlegen koennen und erkennen
koennen, dass beim Durchgang durch verschiedene Atmosphaerenschichten
Licht gebogen wird.
Verstand und Welt ausserhalb der Kopfes zusammen haben also diesen
Begriff, der etwas bezeichnet, hervorgebracht und reiche praktische
Erfahrung, etwa beim Entfernungsmessen haben ihn als sinnvoll
bestaetigt. Kennst Du eine bessere mathematische Beschreibung, als die
euclidsche ? Kennst Du ein besseres Werkzeug als Laserlicht? Nehmen
ich also diese, dann sind Lichtstrahlen gerade, in Wirklichkeit.
Ommmm
Hero
Hero
Rainer Rosenthal wrote:
> Hero schrieb:
> > und mir scheint,es ist bisher nicht gelungen, etwas als
> > gerade zu definieren, was seinen Namen zu Recht traegt,
> > ohne die 5 Axiome.
>
> Die Buchstabenkombination g-e-r-a-d-e eignet sich wirklich
> vorzueglich, um das zu bezeichnen, was in den 5 Axiomen
> als "Gerade" in den Saetzen und Erklaerungen vorkommt.
>
"nennen wir eine Katze mal Hund" habe ich nur Schwierigkeiten, weil ich
nie weiss, ob die "Katze" nun bellt oder nicht. Als Mathematiker sollte
man doch froh sein, dass man eine gute Definition hat, schon ueber
zweitausend Jahre lang. Dann kommt jemand und redet ueber etwas
anderes, wie "kuerzester Weg", muss das aber "Gerade" nennen.
Und kann anscheinend den Unterschied zwischen gerade und krumm in
seiner Geometrie gar nicht beschreiben.
> und das tust Du gewiss (Leugnen ist zwecklos), darueber musst
> Du dann Rechenschaft ablegen. Vielleicht sind sie ja nicht
> wirklich gerade (in Deinem strengen Sinne).
>
sowohl mathematische, wie nicht-mathematische Zuege hat, und dazu
zaehlt der Weg des Lichts oder auch (nach Newton) eine Bewegung von
Dingen, auf die keine Kraefte wirken. Gerade ist eine Form der
Bewegung, es gibt auch Entsprechungen in der Form von raeumlichen
Dingen. Eine Beschreibung, sogar gleich fuer Mathematiker haben Euclid
und andere in Axiome gefasst. Dadurch bekamen wir einen Massstab an die
Hand, den wir umgekehrt an den Lichtstrahl anlegen koennen und erkennen
koennen, dass beim Durchgang durch verschiedene Atmosphaerenschichten
Licht gebogen wird.
Verstand und Welt ausserhalb der Kopfes zusammen haben also diesen
Begriff, der etwas bezeichnet, hervorgebracht und reiche praktische
Erfahrung, etwa beim Entfernungsmessen haben ihn als sinnvoll
Rainer Rosenthal
> Betrachtet die nichteuclidische Geometrie den Unterschied von gerade
> und krumm, von parallel und nicht-parallel ?
Hallo Hero,
Du kannst doch auf einer Kugel einen Kreis zeichnen. Ganz
in gewohnter Manier, also Zirkel in Punkt M einstechen
und mit eingestelltem Radius r zeichnen. Das ist krumm.
Auch in Nichteuklidien.
Es sind ja die genauen Überlegungen zu "was ist gerade",
die im Rahmen der axiomatischen Geometrie diskutiert
werden können - eben aufgrund ordentlicher Begriffsbildungen.
Und wenn zwei Geraden zu einer dritten senkrecht sind, dann
kann eine sehr klare Vorstellung von "gerade" durchaus
damit im Einklang sein, dass diese beiden Geraden nicht
parallel sind.
> ... und stellst die Wirklichkeit und ihre Erkenntnis in Frage.
Die Wirklichkeit in Frage zu stellen, scheint mir ein Ding
der Unmöglichkeit zu sein. Ich kann nur in Frage stellen, dass
Leute die Wirklichkeit erfassen oder ordentlich über sie reden.
Erkenntnis ist an so spezielle und selten anzutreffende Voraus-
setzungen (genug zu essen, Bildung, Temperaturen zwischen -40
und +40 Grad, ...) gebunden, dass sie mit Wirklichkeit wenig
zu tun hat. (Mit einem schönen Gruss von Schopenhauer.)
> Wenn man keinen Unterschied zwischen gerade und krumm machen kann, wenn
> man nicht zwischen parallel und nicht parallel unterscheiden kann ( wie
> anscheinend die Nichteuclidier), warum spricht man dann davon ?
Wenn ein Nichteuklidier im Kreis um das besetzte Klo-Häuschen
rennt, dann weiss er, dass er sich nicht auf einer Geraden
befindet. Er *kann* also zwischen gerade und krumm unterscheiden.
Gruss,
Rainer
Hero Wanders
> Selbst wenn Du Mathematik als abstraktes "Spiel" betreibt,
> findest Du einige Strukturen faszinierender wie andere.
> Haben die Bedeutung?
In diesem Fall: Nur für mich, und wenn ich anderer dazu bringe diese
Strukturen auch interessant zu finden, dann bedeuten sie für diejenigen
Personen auch etwas. IMO(!) hat an sich nichts Bedeutung (im Sinne von
Wichtigkeit) solange dies nicht irgendein Wesen so für sich festlegt.
Hier gelangen wir aber glaube ich ins Philosophische.
> Warum kann man mit Menschen, die nicht mathematisch geschult sind,
> sich ueber Geraden, parallele Richtungen usw verstaendigen oder auch
> -ich spring mal ueber meinen Schatten (wie Rainer vorschlaegt) -
> ueber eine vierte Raumdimension.
Man kann sich IMO mit gewöhnlichen Nichtmathematiken nur bzgl. der
euklidischen Geometrie und dann auch nur mit Einschränkungen über
Geraden, parallele Richtungen usw. unterhalten.
Dass man sich überhaupt mit ihnen über soetwas verständigen kann liegt
doch ganz einfach daran, dass diese Menschen zumindest ein wenig
"darüber wissen". Man hat halt einen "gemeinsamen Nenner" auf dem man
reden kann, ein Beispiel über die verwendete Sprache wurde ja auch schon
angebracht. So könnte es möglich sein, dass da eine Spezies existiert,
die fast die gleiche(n) Sprache(n) hat wie wir, nur einige mathematische
Einzelheiten werden anders benannt, z.B. "gerade" und "krumm" vertauscht.
Ein anderes Beispiel wäre das Rechnen. 1 + 1 = 2 muss nicht stimmen,
dazu muss ich nichtmal ein neues Modell erfinden.
Alleine dadurch, dass ich das Modell in dem ich rechne nicht nenne, ist
die Richtigkeit diese Gleichung nicht geklärt, auch dann nicht, wenn ich
die Gleichung ausspreche. Wenn ich sage, dass im Dezimalsystem (dessen
Regeln den meisten Leuten bekannt sind und falls sie das nicht sein
sollten, muss eben alles von vorne aufgerollt werden) 1 + 1 = 2, dann
ist das genauso richtig als wenn ich sage im Binärsystem gelte 1 + 1 =
10. Gleichzeitig gilt im Dezimalsystem 2 + 8 = 10.
Die Zeichenkette "10" hat also ganz unterschiedliche Bedeutungen, je
nach Modell eben.
Soll ich jetzt fragen, "Warum muss im Dezimalsystem "Zehn" (2+8=10)
genannt werden, was eigentlich "Tausendzehn" (10+1000=1010) ist?"?
Ich glaube nicht...
In einer anderen Antwort wurde auch schon gesagt, die Worte seien nur
Schall und Rauch. Das trifft es IMO recht gut.
Erst die Bedeutung hinter ihnen (ich bin mir nicht sicher, ob man auch
"Bedeutung" nur ein Fassade ist, so wie Wörter für ihre Bedeutung, ...
auch hier geht's wieder ins Philosophische) vermitteln die
Informationen, die Fassaden sind aber austauschbar.
Da wir in einer Gesellschaft leben, in der viel kommuniziert wird, legt
man sich eben auf gemeinsame Regeln fest, sodass man nicht immer sagen
muss in welchem Modell man sich befindet.
Dass dadurch auch einiges erschwert wird (z.B. ganz einfach: das
Multiplizieren mit dem Wert 8, welches ja im Binärsystem oder
Oktalsystem oder anderen System wesentlich einfacher ist als im
Dezimalsystem) ist wohl klar.
IMO sollte man also das Wort ansich und die Bedeutung dahinter immer
getrennt sehen (können) und bevor man vergleicht, schauen ob denn
überhaupt die gleichen Bedeutungen vorliegen, bei gleichen Wörtern
(zumindest also Mathematiker und dann eigentlich meistens auch nur wenn
es eben an verschiedene Herangehensweisen desselben Inhalts geht).
Somit ist dann die "Winkelsumme", auch in nicht-euklidischen Geometrien,
180 Grad groß. Natürlich meinte ich die euklidische Winkelsumme. Bevor
ich nämlich diese Winkel nach dem euklidischen System messe müssen
gewisse Sätze erfüllt sein, was wiederum erforderlich macht, dass man
von einem Modell ins andere umwandelt.
Das ist so wie mit einer Brille die alle Farben gegen andere ersetzt
(wobei keine Information verloren geht), zu sagen der Gegenstand X sei
weiß (absolut). Man muss als jemand der eine anderen Brille aufhat
erstmal schauen, was derjenige denn mit "weiß" überhaupt meint und
entsprechend übersetzen.
> Entstanden zumindest ist die Mathematik aus dem Bemuehen,
> sich in Raum und Zeit zu orientieren.
> Dies ist ein Modell, an der ich die Mathematik gerne messe.
Soweit ich weiß, ist das doch heutzutage unter Anderem die Aufgabe der
_Physik_.
Die Aufgabe der Mathematik, deren Daseinsberechtigung etc. pp. möchte
ich hier eigentlich nicht diskutieren...das hat nämlich IMO mit
Diskussionen über die eigentlichen Inhalten der Mathematik nicht viel zu
tun und passt daher nicht so ganz in diese Gruppe.
lk pk2 kj4ß32e
Das heißt:
Viele Grüße,
Hero
Detlef Müller
> Jutta schrieb:
...
> Genau, es geht um Wissenschaft, Erkenntnis der Welt (einschliesslich
> des Denkens). Ebenso soll Mathe nicht science fiction, nicht mathe
> fiction oder etwa Numerologie sein.
Doch, genau das ist Mathe und soll es sein.
Alle Modelle sind eine Idealisierung der "Wirklichkeit".
Ein möglichst gutes Modell finden macht der Physiker.
Der Mathematiker aber betrachtet nur das Modell und
untersucht dieses.
Die Grundannahmen kommen oft aus irgendwelchen Anschauungen,
die sich aber nicht wirklich exakt fassen lassen.
Die Illusion, man wüsste ja intuitiv, was eine Gerade
und was ein Punkt ist, hat Generationen von Menschen mit
der Herleitung des Parallelenaxioms aus den anderen
beschäftigt.
Erst der Schritt, sich von der "Wirklichkeit" zu lösen und
die beobachteten Eigenschaften zur Definition zu erheben führte
zu klaren Definitionen.
Das Ersetzen des Papiers oder der "intuitiven
Idee" der Ebene durch R^2 mit Koordinaten, wie man sie aus
der Schule kennt, das ist nun exakt und hier haben
Geraden und Punkte klar definierte Entsprechungen.
Übersehen wird hier gerne, daß dieser Schritt erst nach
den Axiomen gekommen ist, und der R^2 mit den kartesischen
Koordinaten und Geraden als Punktmengen nur ein Modell der
Geometrie sind.
Es sind auch andere Modelle denkbar - ganz simpel kannst Du
in den Kartesischen Koordinaten meinetwegen y durch arctan(y)
und x durch arctan(x)ersetzen.
In diesem Modell sehen die Geraden eben nicht mehr gerade
aus (Dafür geht die ganze Ebene nun auf ein endliches
Blatt Papier).
Oder man betrachtet als Gerade das Paar aus
Normalenvektor und Abstand von 0 - eine Gerade muß also
nicht einmal eine Punktemenge sein
(Der Schnittpunkt zweier Geraden muß ja nicht unbedingt
eine Schnittmenge und "auf einer Geraden liegen" keine
Elementbeziehung.)
> Einige Fragen von mir werden nicht klar beantwortet:
> Betrachtet die nichteuclidische Geometrie den Unterschied von gerade
> und krumm, von parallel und nicht-parallel ?
Genausowenig wie die Euklidische.
Die Objekte, um die es geht sind Geraden und Punkte.
"Krumme" kommen dort nicht vor.
> Wozu dient das "Verwirr-Spiel" mit der Verwendung von klar und bewaehrt
> definierten mathematischen Begriffen fuer andere Sachverhalte ?
Das ist Begriffsökonomie.
In der Schule ist die Begriffswelt noch klein überschaubar
und in Ordnung.
Um die Begriffswelt weiter überschaubar zu halten, überlegt
man sich besser gut, welche zusätzlichen Begriffe man wirklich
braucht.
Es gibt tausende von Modellen von Geometien und
Abstandsbegriffen.
Es ist viel einfacher, das Modell in dem man sich befindet
zu klären, als hunderte von verschiedenen Begriffen für
"Punkt, Gerade, Kreis ..." in jedem denkbaren Modell
einzuführen.
Die Menge der Punkte, die von 0 den Abstand 1 haben verändert
sich, wenn ich den Abstandsbegriff verändere.
Da ich aber einen Kreis als eben diese Menge definiere, ist
ein Kreis in der Maximumsnorm ein Quadrat (also gar nicht
mehr rund).
So ist aber die poetische Definition des Kreises als rundestes
Rund, das man sich nur vorstellen kann, leider hinüber.
Genauso muß eine Gerade nicht gerade aussehen, wenn ich zum
Beispiel die Koordinaten von Oben verwende.
...
>>Denn für uns ist eine Gerade der Weg, den ein Lichtstrahl nimmt - und
>>was ist, wenn die Lichtstrahlen "in Wirklichkeit" gekrümmt sind? Laut
>>Relativitätstheorie leben wir ja in einem vierdimensionalen,
>>gekrümmten Raum-Zeit-Kontinuum.
>>(Die Experten mögen mich ausbessern, wenn ich Blödsinn rede.)
> Hero antwortete:
>>Wenn ein Lichtstrahl in Wirklichkeit gekruemmt ist, dann gibt es
>>offenbar einen Unterschied zwischen gerade und krumm in der
>>Wirklichkeit und zusaetzlich wird er dann ja auch irgendwo definiert
>>sein, oder nicht ?
>
Ich vermute hier hat niemand die Frage verstanden.
...
> Gut, dann braucht also die nichteuclidische Geometrie die euclidische,
> um ueberhaupt dieses ihr eigene Modell zu modellieren. Soweit es um
> dieses Modell geht, und um viele andere, komme ich mit der euclidischen
> Geometrie hin.
Die Modelle haben wenig mit der Geometrie zu tun.
Sie geben dem Axiomensystem nur auf die eine oder Andere
Weise eine Welt, wo dieses lebt.
Und Aussagen, die aus den Axiomen folgern, müssen in jeder
möglichen Welt, in der sie leben, gelten.
Übrigens ist die Situation symmetrisch: Man kann in den
nichteuklidischen Modellen wieder Modelle für die Euklidische
Geometrie formulieren.
...
>>Auf der anderen Seite kann man eine Kugeloberfläche oder eine
>>Hyperboloidfläche als Modelle für nichteuklidische Geometrien nehmen. Das
>>heißt nicht, dass diese Linien dann wirklich Geraden sind, sondern, dass man
>>sich mit ihrer Hilfe die Beziehungen zwischen Geraden in einer
>>nichteuklidischen Ebene besser vorstellen kann.
> Durch diesen Unterschied wird es erstmal klarer.
> Also die Modelle, wie Hyperboloid (da gibt es uebrigens Parallelen auf
> der Oberflaeche wenn man genau hinsieht) oder auch der gerade
> besprochene Grundkreis, sind nur Modelle, aber nicht etwa
> "eine nichteuklidische Ebene" selbst. Trotz aller Bemuehungen habe ich
> stets nur Ebenen und Modelle bekommen, die euclidisch sind.
Dann such mal nach "Projektive Ebene".
Die taucht auch in der darstellenden Kunst auf, der "Fluchtpunkt"
in Bildern, in dem sich wirklich Parallelen schneiden
(Bahnschinen schneiden sich auf Fotos am Horizont).
> Gibt es innermathematisch vielleicht gar keine pur nichteuclidische
> Modelle? Also gibt es sie in der uebrigen Wirklichkeit ausserhalb der
> Mathematik?
In vielen Gebieten wird fast nur im projektiven Raum gearbeitet
und "zur Not" in den nichtprojektiven Raum geschnitten.
Also genau umgekehrt: die Euklidische Ebene, in der sich
Parallelen dummerweise nicht schneiden wird in die projektive
eingebettet, in der man viel besser und mit viel weniger
Ausnahmen arbeiten kann.
...
> Wenn man keinen Unterschied zwischen gerade und krumm machen kann,
die "Gerade" als Objekt der Geometrie ist ein eigenständiges
Objekt, wie auch ein "Punkt".
"gerade sein" ist ein mehr wahrnehmungspsychologisches Wort für
einen Sinneseindruck, oder?
Das ist erstmal keine Mathematik.
Und ein "Krumm" ist gar nirgends definiert.
Mit Krümmungen und co. befasst sich die
Differentialgeometrie, und das ist schon ein
recht kompliziertes Ding.
> wenn
> man nicht zwischen parallel und nicht parallel unterscheiden kann ( wie
> anscheinend die Nichteuclidier), warum spricht man dann davon ?
Wenn zwei Geraden eine gemeinsame Senkrechte haben, darf man doch
wohl einen Ausdruck dafür benutzen, oder?
Ob man nun logisch zeigen kann, daß die sich nun schneiden oder
nicht, ist eine andere Frage.
Man kann es nicht aus den ersten vier Axiomen zeigen, weil
eben verschiedene Modelle existieren, in denen die alle gelten,
aber mal das Schnittaxiom, und mal wieder nicht.
Und genau das ist Mathe:
Wir spielen mit Modellen science fiction. Und manchmal
gebiert diese science fiction eine Erkenntnis.
Ohne das Spiel würden heute noch viele ihr Hirn ausrenken
um das fünfte Axiom aus den ersten herzuleiten.
Gruß,
Detlef
Hero
> Hero schrieb:
>
> > Betrachtet die nichteuclidische Geometrie den Unterschied von gerade
> > und krumm, von parallel und nicht-parallel ?
>
> Hallo Hero,
>
> Du kannst doch auf einer Kugel einen Kreis zeichnen. Ganz
Das hatten wir schon, und auch dass die Nichteuklidier Grosskreise als
Gerade benennen. Sie haben halt so ihre Benennungen.
Hero schrieb:
> Den Namen "gerade" entspricht ein gewisser Sachverhalt in der Welt, die
Und auch in den Modellen der Nichteuklidier, etwa auf hyperbolischen
Paraboloiden gibt es Geraden und es gibt "kuerzeste Wege"-Linien, die
nicht gerade sind. Beide benennt er erst einmal mit demselben Namen,
aber unterscheidet er in seiner Geometrie auch diesen Sachverhalt ? Hat
er einen Namen speziell fuer die Parallelen auf einem Hyperboloid ?
Entsprechend auf einem Kegel oder Zylinder, falls er diese Oberflaechen
betrachtet.
Dass die Nichteuclidier faehig sind "unzuschalten" und auch einen Kreis
als krumm zu benennen ist nicht meine Frage.
Gruss
Hero
Hero
> ...So könnte es möglich sein, dass da eine Spezies existiert,
> die fast die gleiche(n) Sprache(n) hat wie wir, nur einige mathematische
> Einzelheiten werden anders benannt, z.B. "gerade" und "krumm" vertauscht.
und "krumm" vertauschen, aber in ihren Modellen nicht-gerade Linien,
die man euklidisch auch frueher schon benannt hat, etwa Grosskreise,
als "gerade" benennen.
>
> Ein anderes Beispiel wäre das Rechnen. 1 + 1 = 2 muss nicht stimmen,
> dazu muss ich nichtmal ein neues Modell erfinden.
Ein guter Vergleich. Um das Binaersystem zu verstehen, stellt man etwa
gleiche Rechnungen mal binaer, mal dezimal geschrieben nebeneinander,
man hat auch Formeln fuer die Uebersetzung und man muss viel ueben.
Eben danach suche ich hier.
>
> Somit ist dann die "Winkelsumme", auch in nicht-euklidischen Geometrien,
> 180 Grad groß. Natürlich meinte ich die euklidische Winkelsumme. Bevor
> ich nämlich diese Winkel nach dem euklidischen System messe müssen
> gewisse Sätze erfüllt sein, was wiederum erforderlich macht, dass man
> von einem Modell ins andere umwandelt.
> Das ist so wie mit einer Brille die alle Farben gegen andere ersetzt
> (wobei keine Information verloren geht),...
Wenn ich gerade Linien und Kuerzeste Wege auf Oberflaechen unter einem
Begriff zusammenfasse, geht eine Unterscheidung floeten. Dies ist auch
ohne Mathematik unterschiedlich und Euklid beschreibt es mathematisch
> ...zu sagen der Gegenstand X sei
> weiß (absolut). Man muss als jemand der eine anderen Brille aufhat
> erstmal schauen, was derjenige denn mit "weiß" überhaupt meint und
> entsprechend übersetzen.
Mach doch mal den Versuch einem Nicht-Mathematiker, etwa einem
Architekten, die nichteuklidische Geometrie zu uebersetzen, in eine
Sprache, die er versteht und ohne Doppel-Namen, wenigstens zum
Einstieg. Warum macht das keiner ?
lk e³ pk2 kj4ß32e
Hero
Hero
Detlef Müller wrote:
> Hero wrote:
....
> > Einige Fragen von mir werden nicht klar beantwortet:
> > Betrachtet die nichteuclidische Geometrie den Unterschied von gerade
> > und krumm, von parallel und nicht-parallel ?
>
> Genausowenig wie die Euklidische.
>
> Die Objekte, um die es geht sind Geraden und Punkte.
> "Krumme" kommen dort nicht vor.
> Mit Krümmungen und co. befasst sich die
> Differentialgeometrie, und das ist schon ein
> recht kompliziertes Ding.
Betrachtet die nichteuclidische Geometrie den Unterschied von geraden
und nicht-geraden Linien, von parallel und nicht-parallel ?
Euklid, Buch I Definitionen
....
1. Ein Punkt ist, was keine Teile hat.
2. Eine Linie breitenlose Laenge.
3. Die Enden einer Linie sind Punkte.
4. Eine gerade Linie (Strecke) ist eine solche, die zu den Punkten auf
ihr gleichmaessig liegt.
...
>
> > wenn
> > man nicht zwischen parallel und nicht parallel unterscheiden kann ( wie
> > anscheinend die Nichteuclidier), warum spricht man dann davon ?
>
> Wenn zwei Geraden eine gemeinsame Senkrechte haben, darf man doch
> wohl einen Ausdruck dafür benutzen, oder?
>
> Ob man nun logisch zeigen kann, daß die sich nun schneiden oder
> nicht, ist eine andere Frage.
>
> Man kann es nicht aus den ersten vier Axiomen zeigen, weil
> eben verschiedene Modelle existieren, in denen die alle gelten,
> aber mal das Schnittaxiom, und mal wieder nicht.
Leider habe ich noch nicht alles bedacht, was Du schreibst, aber hier
noch etwas Info, fuer die, die es nicht kennen:
Euklid Definitionen weiter:
23. Parallel sind gerade Linien, die inderselben Ebene liegen und
dabei, wenn man sie nach beidenm Seiten ins unendliche verlaengert, auf
keiner einander treffen.
Postulate
Gefordert soll sein:
1. Dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
2. Dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhaengend gerade
verlaengern kann.
3. Dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann,
4 (Ax 10) Dass alle rechten Winkel einander gleich sind,
5 (Ax 11) Und dass, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei
geraden Linien bewirkt, dass innen auf derselben Seite entstehende
Winkel zusammen kleiner als zwei rechte werden, dann die zwei geraden
Linien bei Verlaengerung ins unendliche sich treffen auf der Seite, auf
der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei rechte sind.
Nach Helmuth Gericke, "Mathematik in Antike, Orient und Asbendland",
Wiesbaden 2003, S. 236f
Bis bald
Hero
Hero
Hier Euclid auf english:
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html#defs
Viel Spass
Hero
Jutta Gut
"Hero" <Hero.van...@gmx.de> schrieb
> Euklid, Buch I Definitionen
> ....
> 1. Ein Punkt ist, was keine Teile hat.
> 2. Eine Linie breitenlose Laenge.
> 3. Die Enden einer Linie sind Punkte.
> 4. Eine gerade Linie (Strecke) ist eine solche, die zu den Punkten auf
ihr gleichmaessig liegt.
Das sind doch nicht wirklich Definitionen. Euklid geht davon aus, dass jeder
schon "irgendwie" weiß, was Punkte und Geraden sind. Man kann sie nicht im
eigentlichen Sinn definieren. (Auch die übliche Definition als "kürzeste
Verbindung zweier Punkte" enthält einen zirkelschluss, weil du vorher schon
wissen musst, wie man Entfernungen mißt.)
Grüße
Jutta
Christopher Creutzig
<scnr>
> Die "Realität" ist auch ein Gedankenkonstrukt.
Manche Leute behaupten, es sei eine Halluzination, hervorgerufen durch
einen Mangel an Alkohol oder sonstigen Drogen ...
</scnr>
Christopher
Christopher Creutzig
> Irgendwie schaffe ich nicht den Einstieg in die nichteuclidische
> Geometrie. Hier ein Beitrag von Jutta:
Versuch einmal, ob Du irgendwo das „Geometrikon“ von Jean-Pierre Petit
findest. In diesem Comic entdeckt Anselm Wüßtegern ein paar
nichteuklidische Geometrien – die ersten anschaulich eingebettet wie
Kugeloberflächen etc., später dann auch welche, die sich nicht in den
R^3 einbetten lassen.
Christopher
Detlef Müller
> Detlef Müller wrote:
>>Hero wrote:
>>>Einige Fragen von mir werden nicht klar beantwortet:
>>>Betrachtet die nichteuclidische Geometrie den Unterschied von gerade
>>>und krumm, von parallel und nicht-parallel ?
>>Genausowenig wie die Euklidische.
>>Die Objekte, um die es geht sind Geraden und Punkte.
>>"Krumme" kommen dort nicht vor.
>>Und ein "Krumm" ist gar nirgends definiert.
>>Mit Krümmungen und co. befasst sich die
>>Differentialgeometrie, und das ist schon ein
>>recht kompliziertes Ding.
> Wiederholung- verbessert:
> Betrachtet die nichteuclidische Geometrie den Unterschied von geraden
> und nicht-geraden Linien, von parallel und nicht-parallel ?
>
"nicht-geraden Linien" kommen in der Euklidischen Geometrie
nicht explizit vor.
Höchstens der Kreis als Menge Aller Punkte mit gegebenem
Abstand von einem Mittelpunkt taucht auf - allerdings ist
er genau betrachtet nicht ein eigenes Objekt, sondern die
Forderung, Abstände abtragen zu können.
Hilbert hat die Euklidischen postulate in klar axiomatische
Form gebracht, siehe:
http://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Geometrie
> Euklid, Buch I Definitionen
> .....
> 1. Ein Punkt ist, was keine Teile hat.
> 2. Eine Linie breitenlose Laenge.
> 3. Die Enden einer Linie sind Punkte.
> 4. Eine gerade Linie (Strecke) ist eine solche, die zu den
> Punkten auf ihr gleichmaessig liegt.
Diese Definitionen genügen natürlich nicht den
Ansprüchen der modernen Mathematik - die Euklid
ja nicht kennen konnte.
Sie setzen z.B. voraus, daß man schon irgendwelche Sachen
im Hinterkopf hat, die "keine Teile haben".
Wenn man die weiteren Definitionen anschaut, sieht man,
daß vieles nur mit der Anschauung definiert wird, insbesondere
bleiben Länge, Breite, Winkel und deren Vergleiche undefiniert.
Hinzu kommt eine altertümliche Sprache, die mit Vorsicht zu
genießen sein dürfte - zum Studium eignet sich sicher
eine Moderne Variante besser.
> ....
>>Man kann es nicht aus den ersten vier Axiomen zeigen, weil
>>eben verschiedene Modelle existieren, in denen die alle gelten,
>>aber mal das Schnittaxiom, und mal wieder nicht.
> Leider habe ich noch nicht alles bedacht, was Du schreibst, aber hier
> noch etwas Info, fuer die, die es nicht kennen:
>
> Euklid Definitionen weiter:
> 23. Parallel sind gerade Linien, die inderselben Ebene liegen und
> dabei, wenn man sie nach beidenm Seiten ins unendliche verlaengert, auf
> keiner einander treffen.
Nun kommt das, was heute unter "Axiome" läuft ...
> Postulate
> Gefordert soll sein:
> 1. Dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
> 2. Dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhaengend gerade
> verlaengern kann.
> 3. Dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann,
Der ja auch definiert sein sollte. Der Hilbertsche Ausbau
der Postulate zu einem Axiomensystem moderner Art kommt ganz
ohne den Begriff Kreis aus.
> 4 (Ax 10) Dass alle rechten Winkel einander gleich sind,
> 5 (Ax 11) Und dass, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei
> geraden Linien bewirkt, dass innen auf derselben Seite entstehende
> Winkel zusammen kleiner als zwei rechte werden, dann die zwei geraden
> Linien bei Verlaengerung ins unendliche sich treffen auf der Seite, auf
> der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei rechte sind.
> Nach Helmuth Gericke, "Mathematik in Antike, Orient und Asbendland",
> Wiesbaden 2003, S. 236f
Dann folgen "Axiome" in altertümlicher Ausdrucksweise (Quelle:
http://www.uni-bielefeld.de/philosophie/personen/beckermann/euklid.pdf).
Aber wer mag heute Sprachmonster wie "Wenn Gleichem Gleiches
hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich." analysieren, wo doch
ein unzweideutiges Mathematisches Kalkül zur Verfügung steht,
in dem den Objekten eindeutige Namen zugeordnet werden.
(a,b,c Längen so gilt a=b => a+c=b+c)
Darum empfehle ich:
Zum Studium nicht der Historie sondern des Stoffes selbst
suche man sich tunlichst keine Historischen Quellen, sondern
modern aufbereitete Ausarbeitungen.
Wenn man das verstanden hat, kann man die Urquellen anschauen,
und hat eine Chance die Formulierungen dort zu interpretieren.
Gruß,
Detlef
Hero
Christopher Creutzig wrote:
> Hero wrote:
>
> > Irgendwie schaffe ich nicht den Einstieg in die nichteuclidische
> > Geometrie. Hier ein Beitrag von Jutta:
>
> findest.
Meinst Du diesen Petit?
http://www.jp-petit.com/science/maths_f/Crosscap_Boy1.htm
Da werd ich mal hinterhergehen.
Gruss
Hero
Hero
> "Hero" <Hero.van...@gmx.de> schrieb
>
>
> > Euklid, Buch I Definitionen
> > ....
> > 1. Ein Punkt ist, was keine Teile hat.
> > 2. Eine Linie breitenlose Laenge.
> > 3. Die Enden einer Linie sind Punkte.
> > 4. Eine gerade Linie (Strecke) ist eine solche, die zu den Punkten auf
> ihr gleichmaessig liegt.
>
> Das sind doch nicht wirklich Definitionen.
gelungen:
23. Parallel sind gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und
dabei, wenn man sie nach beiden Seiten ins unendliche verlaengert, auf
keiner einander treffen.
Gruss
Hero
Hero
> Hero wrote:
> > Wiederholung- verbessert:
> > Betrachtet die nichteuclidische Geometrie den Unterschied von geraden
> > und nicht-geraden Linien, von parallel und nicht-parallel ?
> >
> Die Antwort wird nicht anders.
> "nicht-geraden Linien" kommen in der Euklidischen Geometrie
> nicht explizit vor.
>
> Höchstens der Kreis als Menge Aller Punkte mit gegebenem
> Abstand von einem Mittelpunkt taucht auf - allerdings ist
> er genau betrachtet nicht ein eigenes Objekt, sondern die
> Forderung, Abstände abtragen zu können.
auf. Angesichts etwa der Quadratrix des Hippias von Elis oder etwa
Kegelschnitten waren Euclid selbstverstaendlich "krumme" Linien
bekannt. Aber in den 13 Buechern werden sie nicht weiter behandelt,
Euklid hielt sich wohl an Plato's Minimal-Geometrie nur mit Zirkel und
Lineal. Kreise und Kreisboegen tauchen reichlich auf, etwa die
Konstruktion einer Tangente an einen Kreis: III, 17.
Also, es werden gerade von nicht-geraden Linien unterschieden, von den
nichtgeraden werden Kreise behandelt, und parallele wie nicht
parallele Geraden behandelt, selbst etwa Parallelepipede.
So aber wohl nicht in der nichteuklidischen Geometrie , wie Du
bestaetigst .
Danke fuer die Antwort. Da bleibt mein Gesichtsausdruck fragend.
Mir kommt es so vor, als wenn man etwa Sekanten und Tangenten von
Kreisen unter dem Oberbegriff "Tangenten" zusammenfasst, obwohl man
etwa den Begriff Geraden, die einen Kreis schneiden, bilden kann. Und
dies tut man, damit man dann von mehreren "Tangenten" durch einen Punkt
auf einem Kreis sprechen kann, den sachlichen Unterschied also
wegdefiniert.So kommt es mir vor.
Hero schrieb:
> > Wozu dient das "Verwirr-Spiel" mit der Verwendung von klar und bewaehrt
> > definierten mathematischen Begriffen fuer andere Sachverhalte ?
> Das ist Begriffsökonomie.
Auch heute schaffe ich es noch nicht, auf alles in Deinem Brief vom
Mittwoch einzugehen, Detlef. Ich arbeite daran. Danke fuer die
Hinweise.
Hier gleich mal den Hilbert (von wiki abgeschrieben):
IV Axiome der Parallelen
IV (Euklidisches Axiom.) Es sei g eine beliebige Gerade und P ein Punkt
ausserhalb von g. Dan gibt es in der durch g und P bestimmten Ebene
hoechstens eine Gerade g', die durch P verlaeuft und g nicht schneidet.
Diese Gerade g' heisst Parallele zu g durch P."
Und hier noch mal Euclid:
5 (Ax 11) Und dass, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei
geraden Linien bewirkt, dass innen auf derselben Seite entstehende
Winkel zusammen kleiner als zwei rechte werden, dann die zwei geraden
Linien bei Verlaengerung ins unendliche sich treffen auf der Seite, auf
der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei rechte sind.
Waehrend Euklid noch versucht die mathematische Seite der Welt
auszudruecken, hat man spaeter ja auch sich die Freiheit genommen,
damit zu experimentieren, Axiome abzuaendern, auszutauschen. Da bin ich
voll mit einverstanden. Und danach sieht es auf den ersten Blick auch
bei unserem Thema aus.
Ich hab mal etwas Aehnliches versucht:
Wir haben zwei Arten von Objekten oder Elementen, D's und M's,
zwischen denen eine Relation r definiert ist. Eine dritte Art von
Elementen sei V, wobei jedem Paar (D, M), die in der Relation r
zueinander stehen, ein V zugeordnet wird. (kein V ) ( mehrere V ).
Das waeren doch auch so drei Theorien, andere, aber doch so gestrickt
wie elliptische, euklidische, hypberbolische Geometrie, oder nicht ?
(Ein Modell dazu gebe ich naechstesmal.)
Sollte man diese nicht in gleichem Masse untersuchen?
Detlef, Du schreibst ja:
> Die Modelle haben wenig mit der Geometrie zu tun.
> Sie geben dem Axiomensystem nur auf die eine oder Andere
> Weise eine Welt, wo dieses lebt.
> Und Aussagen, die aus den Axiomen folgern, müssen in jeder
> möglichen Welt, in der sie leben, gelten.
Das habe ich begriffen (und stimme zu), finde ich auch gut ausgedrueckt
- naechstesmal weiter.
Viel Spass
Hero
Jutta Gut
"Detlef Müller" <dmue...@mathematik.uni-kassel.de> schrieb
> Die Antwort wird nicht anders.
> "nicht-geraden Linien" kommen in der Euklidischen Geometrie
> nicht explizit vor.
Das stimmt so nicht ganz. Ich habe vor einiger Zeit "Unvergängliche
Geometrie" von Coxeter gelesen (leider ist das Buch nicht mehr leicht zu
bekommen). Da habe ich erfahren, dass es in der hyperbolischen Geometrie
Linien gibt, die von einer Geraden konstanten Abstand haben. Diese Linien
sind keine Geraden!
Ich glaube allerdings nicht, dass man sich in der nichteuklidischen
Geometrie so ausführlich mit Kurven beschäftigt hat wie in der euklidischen,
und ob das überhaupt möglich wäre. Zum Beispiel wäre der Begriff "Steigung
einer Kurve in einem Punkt" problematisch, denn man müsste eine Gerade als
x-Achse auszeichnen und in den Punkt verschieben, und dazu braucht man eine
eindeutige Parallele.
Auf jeden Fall wäre, um ein Beispiel von Hero aufzugreifen, auch in der
elliptischen Geometrie eine Loxodrome keine Gerade. (genauer gesagt, die
Linie, der im Kugelmodell eine Loxodrome entspricht).
Grüße
Jutta
Jutta Gut
"Hero" <Hero.van...@gmx.de> schrieb
> > > Euklid, Buch I Definitionen
> > > ....
> > > 1. Ein Punkt ist, was keine Teile hat.
> > > 2. Eine Linie breitenlose Laenge.
> > > 3. Die Enden einer Linie sind Punkte.
> > > 4. Eine gerade Linie (Strecke) ist eine solche, die zu den Punkten auf
> > ihr gleichmaessig liegt.
> >
> > Das sind doch nicht wirklich Definitionen.
> Manches koennen wir heute besser,
Wir können auch heute nicht definieren, was ein Punkt oder eine Gerade
"wirklich" ist. Wir können nur feststellen, dass es Objekte namens "Punkt"
und andere Objekte namens "Gerade" gibt, und dass diese gewissen Beziehungen
zueinander haben.
> aber dies ist schon sehr gut
> gelungen:
>
> 23. Parallel sind gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und
> dabei, wenn man sie nach beiden Seiten ins unendliche verlaengert, auf
> keiner einander treffen.
Ja, das ist eine echte Definition, weil sie Geraden schon voraussetzt und
nur eine Beziehung namens "parallel" einführt. Es ist aber nicht gesagt, ob
es überhaupt Parallele gibt.
Grüße
Jutta
Detlef Müller
> Detlef Müller wrote:
>>Hero wrote:
>>>Wiederholung- verbessert:
>>>Betrachtet die nichteuclidische Geometrie den Unterschied von geraden
>>>und nicht-geraden Linien, von parallel und nicht-parallel ?
>>>
>>Die Antwort wird nicht anders.
>>"nicht-geraden Linien" kommen in der Euklidischen Geometrie
>>nicht explizit vor.
>>
>>Höchstens der Kreis als Menge Aller Punkte mit gegebenem
>>Abstand von einem Mittelpunkt taucht auf - allerdings ist
>>er genau betrachtet nicht ein eigenes Objekt, sondern die
>>Forderung, Abstände abtragen zu können.
> Schon in Definition 8 tauchen Linien im Unterschied zu geraden Linien
> auf.
Du hast Recht, was den Originaltext der "Elemente" betrifft.
Aber nochmal:
Die "Euklidische Geometrie" von heute ist auf richtigen Axiomen
aufgebaut. Euklid selbst hat beachtliches geleistet, um von
vagen individuellen Vorstellungen zu konkreteren Grundelementen
zu kommen.
Er ist also der Begründer. Aber zum mathematichen Verständnis
sind seine Originaltexte untauglich.
in den Definitionen sieht man:
1. Ein Punkt ist, was keine Teile hat,
Was sind Teile?
2. Eine Linie ist breitenlose Länge.
Was ist Breite? Was Länge?
Dies ist nach heutigen Maßstäben untauglich zur Definition.
Hier wird vollständig auf eine Anschauung gesetzt.
Im R^2 könnte eine Kurve gemeint sein, wahrscheinlich ohne
Selbstdurchdringung ...
3. Die Enden einer Linie sind Punkte.
Und offenbar endlich "lang" (metrik brauchen wir also
auch) und Anfangs- und Endpunkt sollen verschieden sein.
4. Eine gerade Linie (Strecke) ist eine solche, die zu den
Punkten auf ihr gleichmäßig liegt.
Hier versteckt sich eine "zwischen"-Beziehung. Wahrscheinlich
ist gemeint, daß jeder Punkt der Strecke zwischen den Endpunkten
zu liegen hat.
...
8. Ein ebener Winkel ist die Neigung zweier Linien in einer
Ebene gegeneinander, die einander treffen, ohne einander
gerade fortzusetzen.
Hier wird "Winkel" durch "Neigung" definiert. Hm ... was ist denn
eine Neigung?
Übrigens scheint "gerade" hier, da die Linien nicht gerade sein
müssen, etwas anderes als das "gerade" aus 4. zu bedeuten.
Wahrscheinlich, wenn die "linien" Kurven darstellen, soll es
bedeuten, daß sie keinen "Knick" haben, sich also am
zusammentreffpunkt zu einer diffbaren Kurve zusammenfügen.
BITTE: Verwende ein ausgearbeitetes Axiomensystem in moderner
Sprache und Schreibweise!
Die Originalquellen der Elemente, auf denen die
Euklidische Geometrie fußt, taugen einfach nicht
als Axiomensystem.
> Angesichts etwa der Quadratrix des Hippias von Elis oder etwa
> Kegelschnitten waren Euclid selbstverstaendlich "krumme" Linien
> bekannt. Aber in den 13 Buechern werden sie nicht weiter behandelt,
> Euklid hielt sich wohl an Plato's Minimal-Geometrie nur mit Zirkel und
> Lineal. Kreise und Kreisboegen tauchen reichlich auf, etwa die
> Konstruktion einer Tangente an einen Kreis: III, 17.
> Also, es werden gerade von nicht-geraden Linien unterschieden, von den
> nichtgeraden werden Kreise behandelt, und parallele wie nicht
> parallele Geraden behandelt, selbst etwa Parallelepipede.
Mag sein, ich bin kein Historiker.
Du verwechselst "euklidische Geometrie" aus der Mathematik
mit der Geometrie, wie Euklid sie betrieben hat.
Willst Du Dich mit letzterem befassen, kann ich Dir nicht
weiter helfen - es hat wenig mit moderner Mathematik zu
tun.
> So aber wohl nicht in der nichteuklidischen Geometrie , wie Du
> bestaetigst.
Nein, auch in der (modernen) euklidischen Geometrie nicht,
nach wie vor.
Natürlich wird hier der Kreis als Menge der Punkte von
gegebenen Abstand vom Zentrum betrachtet.
> Danke fuer die Antwort. Da bleibt mein Gesichtsausdruck fragend.
Wenn Dir der Unterschied zwischen "euklidische Geometrie"
und "Geometrie, wie sie Euklid betrieben hat" klar geworden
ist, dürfte schon viel erreicht sein.
> Mir kommt es so vor, als wenn man etwa Sekanten und Tangenten von
> Kreisen unter dem Oberbegriff "Tangenten" zusammenfasst, obwohl man
> etwa den Begriff Geraden, die einen Kreis schneiden, bilden kann. Und
> dies tut man, damit man dann von mehreren "Tangenten" durch einen Punkt
> auf einem Kreis sprechen kann, den sachlichen Unterschied also
> wegdefiniert.So kommt es mir vor.
Dann ist Dir noch nicht Klar, was der Unterschied zwischen
dem Axiomensystem und einem Modell dafür ist.
Die "Euklidische Geometrie" ist für mich ein Satz klarer Axiome,
wie etwa die Hilbertschen auf dem aufbauend weitere Definitionen
und Folgerungen eine Wissenschaft für sich bilden.
Ein (nur eins von vielen!) Modell dafür ist der R^2 mit Punkten
(x,y), Geraden als Punktmengen bestimmter Form und die
Elementbeziehung als "liegt auf"-Relation (Punkt P liegt auf
Gerade g <=> P ist Element der Menge g).
Willst Du das im Computer realisieren, nimmst Du als Geraden
natürlich keine Punktmengen mehr (mangels Speicher),
sondern definierende Parameter,
etwa einen Aufpunkt u aus R^2 und einen Richtungsvektor v.
Dann ist die "liegt auf"-Beziehung nicht mehr so leicht
hinschreibbar.
...
> Mittwoch einzugehen, Detlef. Ich arbeite daran. Danke fuer die
> Hinweise.
> Hier gleich mal den Hilbert (von wiki abgeschrieben):
> IV Axiome der Parallelen
> IV (Euklidisches Axiom.) Es sei g eine beliebige Gerade und P ein Punkt
> ausserhalb von g. Dan gibt es in der durch g und P bestimmten Ebene
> hoechstens eine Gerade g', die durch P verlaeuft und g nicht schneidet.
> Diese Gerade g' heisst Parallele zu g durch P."
> Und hier noch mal Euclid:
> 5 (Ax 11) Und dass, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei
> geraden Linien bewirkt, dass innen auf derselben Seite entstehende
> Winkel zusammen kleiner als zwei rechte werden, dann die zwei geraden
> Linien bei Verlaengerung ins unendliche sich treffen auf der Seite, auf
>
> der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei rechte sind.
>
Tja, haben die Aussagen viel miteinander zu tun?
Wie dem auch sei, mit der altertümlichen Sprechmathematik
des Euklid werde ich mich nicht mehr befassen, Seine
Gedanken wurden bereits erfolgreich in moderne Sprache
übersetzt.
Tu Dir den Gefallen, und benutze die Alten Quellen erst, wenn
Du die Sache an und für sich verstanden hast.
Es ist hier scheinbar die vollkommen idiotische Sitte
eingezogen, sich mit altertümlichen Texten zu kasteien,
obwohl diese längst in klarere, einfachere und
gleichwertige moderne Begriffswelten übersetzt sind.
Wir sind hier nicht in der Theologie oder Historie,
wo Urhebertreue Nähe zur Wahrheit bedeutet, in der
Mathematik ist es umgekehrt: Durch einen jahrhunderte
währenden Prozess werden Ungenauigkeiten,
Missverständlichkeiten und Fehler behoben, nicht
verstärkt.
> Waehrend Euklid noch versucht die mathematische Seite der Welt
> auszudruecken, hat man spaeter ja auch sich die Freiheit genommen,
> damit zu experimentieren, Axiome abzuaendern, auszutauschen.
>
Euklid hat den ersten Schritt zum extrahieren der seiner
Meinung nach wesentlichen Eigenschaften aus "der Welt"
unternommen. Das entspricht dem Anspruch, die Weltformel
zu finden: die große Maschine "Wirklichkeit" analysieren
und erklären.
Später kam ein Wechsel der Ansprüche:
Man schaute sich nur gewisse Eigenschaften an,
baute ein System aus sicheren Folgerungen (etwa
die euklidische Geometrie), eine Theorie.
Dabei werden diese Eigenschaften eben nicht mehr
als "ein Stück Wirklichkeit", aus der Welt gerissen
und in die Formeln eingebaut, betrachtet.
Dennoch kommt die Theorie ja meist von einem
beobachteten Stück Wirklichkeit, so daß man
Objekte der Thorie oft danach benennt, etwa
"Gerade".
Findet man dann in "der Welt" irgendeine Struktur S,
die die theoretischen Eigenschaften erfüllt, kann
man seine Theorie darauf anwenden.
Und Dabei kann die Struktur S ein ganz anderes
Stück "der Wirklichkeit" sein, als das, das die
Eigenschaften der Theorie geliefert hat.
Sprich: Was in der Theorie "Gerade" heißt, ist
in einer anderen Struktur, die auch ein Modell
für die selbe Theorie sein kann, nicht mehr
das selbe.
> Da bin ich
> voll mit einverstanden. Und danach sieht es auf den ersten Blick auch
> bei unserem Thema aus.
> Ich hab mal etwas Aehnliches versucht:
> Wir haben zwei Arten von Objekten oder Elementen, D's und M's,
> zwischen denen eine Relation r definiert ist. Eine dritte Art von
> Elementen sei V, wobei jedem Paar (D, M), die in der Relation r
> zueinander stehen, ein V zugeordnet wird. (kein V ) ( mehrere V ).
> Das waeren doch auch so drei Theorien, andere, aber doch so gestrickt
> wie elliptische, euklidische, hypberbolische Geometrie, oder nicht ?
Verstehe ich nicht. D, M, V sind drei Theorien?
Gruß,
Detlef
Detlef Müller
> "Detlef Müller" <dmue...@mathematik.uni-kassel.de> schrieb
>
>>Die Antwort wird nicht anders.
>>"nicht-geraden Linien" kommen in der Euklidischen Geometrie
>>nicht explizit vor.
>
> Das stimmt so nicht ganz. Ich habe vor einiger Zeit "Unvergängliche
> Geometrie" von Coxeter gelesen (leider ist das Buch nicht mehr leicht zu
> bekommen). Da habe ich erfahren, dass es in der hyperbolischen Geometrie
> Linien gibt, die von einer Geraden konstanten Abstand haben. Diese Linien
> sind keine Geraden!
>
in dem Modell Geraden auch Punktmengen sind, kann man
willkürliche Mengen darauf testen, ob sie Geraden sind.
Aber niemand verlangt, daß Geraden Mengen von Punkten
sein müssen!
Es gibt beispielsweise einen Zugang in die Euklidische
Geometrie über Gruppentheorie (F. Bachmann, "Aufbau der
Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff").
Dabei ist eine von ihren involutorischen Elementen (s^2=id,
s!=id) S erzeugte Gruppe G gegeben.
Die Elemente aus S heißen Geraden, Produkte von genau zwei
Elementen aus S heißen Punkte.
Ein Punkt P inzidiert mit einer Geraden g, wenn
das Produkt Pg involutorisch ist (Definition P liegt
auf g).
So werden nach und nach die Begriffe und Axiome der
Geometrie nachgebaut, und man hat ein Modell.
Darüber kommt Bachman zur absoluten, projektiven, euklidischen
und hyperbolischen Geometrie.
Und das mit einem Modell, in dem klar ist, das die Punktmengen,
die von einer Geraden konstanten Abstand haben eben Mengen
von Punkten sind, die zunächst ganz und gar nichts mit
Geraden (also involutorischen Elementen von G) zu tun
haben.
...
> Auf jeden Fall wäre, um ein Beispiel von Hero aufzugreifen, auch in der
> elliptischen Geometrie eine Loxodrome keine Gerade. (genauer gesagt, die
> Linie, der im Kugelmodell eine Loxodrome entspricht).
>
Bei dem Modell von Bachmann käme man gar nicht erst auf die Idee,
zu erwarten, eine Menge von Punkten könne ein Gruppenelement
sein (also eine Gerade).
Hier kann man vermuten, es gebe eine Gerade, auf der genau
die Punkte der Menge liegen - oder eben nicht.
Das zeigt, wie sehr man aufpassen muß, nicht Modellspezifische
Beobachtungen mit dem axiomatischen Modell zu vermengen.
Achtung: Der Bachman ist ein hartes Brot, ich habe ihn nur
soeben rasch durchgeblättert.
Gruß,
Detlef
Joachim Merkel
> Es ist hier scheinbar die vollkommen idiotische Sitte
> eingezogen, sich mit altertümlichen Texten zu kasteien,
Warum so abwertend? Hast Du keine Zeit oder Lust wie der
Korinther oder willst Du was anderes hier erfahren?
Haben die Mäzene Deiner mathematischen Forschung an solcherart
Kreativität kein Interesse?
> obwohl diese längst in klarere, einfachere und
> gleichwertige moderne Begriffswelten übersetzt sind.
Man sollte auch überlegen, in welchem Bereich einer Wissenschaft,
in der schon vor 20 Jahren auch Fachleute nur etwa 1/7
des Stoffs beherrschen.
Deine Ausführung deckt auch nur einen Teil des Erfolges
(des Rekurrenz-Verfahrens) ab, die Möglichkeit seine
Begrifflichkeit zu flexibilisieren ist ja geradezu der zentrale
Punkt der Entwicklung gewesen, wie ich Mehrtens in seinem Buch
"Moderne Sprache Mathematik" [1] verstehe.
Für die modernen Begriffswelten fand daher Detlef Spalt in
einer Vorbemerkung zu Beginn der Buchausgabe seiner Dissertation
den schönen Namen "vagabundierender Jargon"[2].
> Wir sind hier nicht in der Theologie oder Historie,
> wo Urhebertreue Nähe zur Wahrheit bedeutet, in der
> Mathematik ist es umgekehrt: Durch einen jahrhunderte
> währenden Prozess werden Ungenauigkeiten,
> Missverständlichkeiten und Fehler behoben, nicht
> verstärkt.
An Übernahme und Reformulierung bzw. Gleichwertigkeit wurden
wie zur Rezeption von Cauchy ja schonmal Zweifel angemeldet
[2,3], genauer eine objektive Verfälschung konstatiert, an der
mehrere Generationen von Mathematikern beteiligt waren oder
noch sind.
Ich kann das inhaltlich nicht beurteilen, aber Quellen im Original
sind anscheinend für Mathematiker weder uninteressant noch
zu verachten und selbst denken noch weniger.
--------------------------------zip-----------------------------------
[1] Mehrtens, Herbert, Moderne Sprache Mathematik -
eine Geschichte des Streits um die Grundlagen der
Disziplin und des Subjekts formaler Systeme,
Frankfurt a. M., Suhrkamp, 1990
[2] Spalt, Detlef D., Vom Mythos der mathematischen Vernunft -
eine Archäologie zum Grundlagenstreit d. Analysis oder Dokumentation
einer vergeblichen Suche nach der Einheit der mathematischen Vernunft
Darmstadt, Wissenschaftl. Buchges., 1981
[3] Spalt, Detlef D., Die Vernunft im Cauchy-Mythos - synthetischer
Aufbau einer Analysis - Herkunft, Missverständnisse und Herkunft der
Missverständnisse, Thun [u.a.], 1996
--------------------------------zap-----------------------------------
--
Salut
_)oachim
Hero
Hero wrote:
> > Ich hab mal etwas Aehnliches versucht:
> > Wir haben zwei Arten von Objekten oder Elementen, D's und M's,
> > zwischen denen eine Relation r definiert ist. Eine dritte Art von
> > Elementen sei V, wobei jedem Paar (D, M), die in der Relation r
> > zueinander stehen, ein V zugeordnet wird. (kein V ) ( mehrere V ).
> > Das waeren doch auch so drei Theorien, andere, aber doch so gestrickt
> > wie elliptische, euklidische, hypberbolische Geometrie, oder nicht ?
>
> Verstehe ich nicht. D, M, V sind drei Theorien?
>
> Gruß,
> Detlef
(analog nichteuklidisch: es gibt welche, die bezeichne ich mit g und
andere mit P, und eine Relation P zu g ... und dann im formulierten ist
g eine "Gerade", P ein "Punkt" und die Relation ist dann "liegt auf".
Bedeuten kann dies in jedem Modell etwas anderes, wie Rainer anfuehrte,
das koennen Bierseidel und Tische sein, oder Geraden und Punkte, mit
denen etwa ein Archtitekt umgeht (oder meinetwegen Theorien, wenn Du da
ein Modell zu meiner Beschreibung findest). Und so koennte meine
Beschreibung oben doch ein netter Ansatzpunkt fuer eine neue Theorie
sein, die man erforschen kann, oder?
Bis bald
Hero
Wolfgang Kirschenhofer
"Jutta Gut" <gut.jutt...@chello.at> schrieb im Newsbeitrag
news:4c41a$4333a5bf$d52f93dc$29...@news.chello.at...
>
> "Detlef Müller" <dmue...@mathematik.uni-kassel.de> schrieb
>
> > Die Antwort wird nicht anders.
> > "nicht-geraden Linien" kommen in der Euklidischen Geometrie
> > nicht explizit vor.
>
> Das stimmt so nicht ganz. Ich habe vor einiger Zeit "Unvergängliche
> Geometrie" von Coxeter gelesen (leider ist das Buch nicht mehr leicht zu
> bekommen). Da habe ich erfahren, dass es in der hyperbolischen Geometrie
> Linien gibt, die von einer Geraden konstanten Abstand haben. Diese Linien
> sind keine Geraden!
Im Kleinschen Modell der ebenen hyperbolischen Geometrie kann man diese
beiden Punktmengen(=Ortslinien) äquidisdanten Abstands sehr leicht angeben.
Ich kann mich nur kurz fassen.
Wir verwenden folgende Abkürzungen: e. für euklidischen Begriff (bzw.
Aussage)und h. für den entsprechenden Begriff der hyperbolischen Geometrie
im Kleinschen Modell.
Kleinsches Modell der h.Geometrie der Ebene:
Sei k der Einheitskreis der e. Geometrie.
Die h. Punkte sind genau jene e.Punkte, welche im Inneren von k liegen.
Die e.Punkte auf k und außerhalb von k sind keine h.Punkte.
Die h.Geraden sind genau die e.Sehnen von k (ohne ihre e.Endpunkte,denn die
liegen ja auf der Kreislinie k).
In diesem Modell formuliert man das ganze Hilbertsche Axiomensystem mit
Ausnahme des euklidischen Parallelaxioms.
Für das folgende Beispiel ist der Begriff der "h.Kongruenz" von Strecken
und Winkeln wichtig, wobei diese über ein Doppelverhältnis definiert wird
und ebenso die Längenmessung, die über den Logarithmus dieses
Doppelverhältnisses definiert wird. Details lasse ich jetzt weg.
Wir wählen als h.Gerade g einen Durchmesser von k. g geht also durch den
Mittelpunkt O von k. Nach einem Satz der h.Geometrie ist jede e.orthogonale
Gerade zu g auch h.orthogonal und umgekehrt (in diesem Spezialfall wo g ein
Durchmesser von k ist). Wir legen nun durch O die zu g h.orthogonale Gerade
n(dieser e.Durchmesser n ist auch e.orthogonal zu g).
Sei C ein Punkt auf n, der von O den e. Abstand b hat.
Der zu C bezüglich g e.spiegelbildlich liegende Punkt D liegt auch
h.spiegelbildlich zu g und er hat ebenfalls von O den e.Abstand b.
Man kann nun leicht berechnen, daß die zur Geraden g h.äquidistante
Punktmenge die e.Ellipse mit der Gleichung x^2 + y^2/b^2 = 1 ist, mit
Ausnahme der Hauptscheitel, die ja auf k liegen und daher keine h.Punkte
sind (g liegt auf x-Achse, n auf y-Achse). Der h.Normalabstand jedes
e.Ellipsenpunktes zu g ist konstant.
In der e.Geometrie ist ja die Ortslinie der äquidistanten Punkte ein
Parallelenpaar zu g. In der h.Geometrie sind es die beiden Ellipsenhälften,
die jedoch keine h.Geraden sind. h.Geraden sind ja im Kleinschen Modell
genau die Kreissehnen von k.
Mit Benützung einer Skizze wären meine Erläuterungen wesentlich kürzer
ausgefallen.
Literatur dazu z.B.: R.Baldus/F.Löbell:Nichteuklidische Geometrie,
Sammlung Göschen, Band 970,1953 .
Man kann im Kleinschen Modell alle Konstruktionen, die in der e.Geometrie
ohne Benützung des e.Parallelenaxioms möglich sind, auch im Kleinschen
Modell der h.Ebene durchführen. z.B. benützt man für die Geradenspiegelung
Polarentheorie (harmonische Quadrupel); siehe z.B.:dtv-Atlas zur
Mathematik,Bd 1,Seite 132.
Nun an Hero:
Du hast die Hilbert'sche Axiomatik der euklidischen Geometrie "Wikipedia"
entnommen. Leider fehlt dort ein besonders wichtiger Teil und zwar genau
der Teil, der für jeden, der den formalistischen Standpunkt Hilberts
verstehen will, wichtig ist.
In den "Grundlagen der Geometrie" heißt es nämlich in §1 des ersten
Kapitels (wörtlich zitiert):
ERKLÄRUNG. Wir denken drei verschiedene Systeme von Dingen: die Dinge des
ersten Systems nennen wir PUNKTE und bezeichnen sie mit A,B,C,...;die Dinge
des zweiten Systems nennen wir GERADEN und bezeichnen sie mit
a,b,c,....;die Dinge des dritten Systems nennen wir EBENEN und bezeichnen
sie mit alpha,beta,gamma,....; die Punkte heißen auch die ELEMENTE DER
LINEAREN GEOMETRIE, die Punkte und Geraden heißen ELEMENTE DER EBENEN
GEOMETRIE, und die Punkte, Geraden und Ebenen heißen die ELEMENTE DER
RÄUMLICHEN GEOMETRIE oder DES RAUMES.
Wir denken die Punkte,Geraden,Ebenen in gewissen gegenseitigen Beziehungen
durch Worte wie "liegen", "zwischen", "kongruent", "parallel", "stetig";
die genaue und für mathematische Zwecke vollständige Beschreibung dieser
Beziehungen erfolgt durch die AXIOME DER GEOMETRIE.
Die Axiome der Geometrie können wir in fünf Gruppen teilen; jede einzelne
dieser Gruppen drückt gewisse zusammengehörige Grundtatsachen unserer
Anschauung aus. Wir benennen diese Gruppen von Axiomen in folgender Weise:
......................................
Nun folgen die Axiome.
Hilbert verzichtet also auf eine explizite Definition der Grundbegriffe,
weil ihm klar ist, daß dies gar nicht möglich ist.
Es wird nichts darüber gesagt, was denn die "Dinge" dieser Systeme sind.
Wir haben volle Freiheit, uns darunter vorzustellen, was wir wollen (z.B.
daß ein "Punkt" "krumm" oder "gerade" oder "schwarz" ist), wenn es nur mit
den Aussagen der obiger Erklärung folgenden Axiome verträglich ist.
Zu Widersprüchen und Verständnisproblemen kommt man (als Lernender) in der
Regel dann, wenn man in einen Begriff zusätzlich eine Eigenschaft
hineininterpretiert, die ihm nicht zukommt oder nicht zukommen kann.
Hilbert hat einmal bei einer Diskussion im Wartesaal eines Berliner
Bahnhofs seinen formalistischen Standpunkt drastisch so ausgedrückt:
"Man muß jederzeit an Stelle von "Punkt, Geraden, Ebenen" , "Tische,
Stühle, Bierseidel" sagen können."
Hilbert wollte damit nur drastisch ausdrücken, daß das anschauliche
Substrat der geometrischen Grundbegriffe mathematisch belanglos ist und nur
ihre Verknüpfung durch die Axiome in Betracht kommt.
Man kann eine mathematische Theorie auch mit einem Spiel, z.B. mit dem
Schachspiel vergleichen. Es ist z.B. völlig belanglos ob der Springer, wie
ein Pferdekopf aus Holz oder Elfenbein geschnitzt aussieht.
Was den Springer zum Springer macht ist nur die Regel wie er zu ziehen ist
und was man damit im Spiel erreichen kann.
Ein Axiom ist in diesem Sinn genauso wenig "wahr" wie eine Spielregel
"wahr" ist. Die Axiome kann man in gewisser Weise mit den Regeln eines
Spiels vergleichen.
Vielleicht habe ich jetzt vieles gesagt, was ohnehin jedem am Thread
Teilnehmenden bereits klar ist. Ich kenne leider den derzeitigen Stand der
Diskussion nicht ganz, weil ich nicht jeden Beitrag gelesen habe.
Weitere Fragen zur Axiomatik der Geometrie werde ich gerne beantworten,
wenn ich das kann.
Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer
Hero
Detlef Müller wrote:
....
Das ist ja spannend. Euklidische Geometrie ohne Kreise, was macht
Hilbert hier ? Alles Augenmerk ist nach dem 5.Postulat von Euklid,
aber da fehlt doch das Dritte:
"Gefordert soll sein: ..
3. Dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann,
"
Hero
........
Das ist ja spannend. Euklidische Geometrie ohne Kreise, was macht
Hilbert hier ? Alles Augenmerk ist nach dem 5.Postulat von Euklid,
aber da fehlt doch das Dritte:
"Gefordert soll sein: ..
"
> > Angesichts etwa der Quadratrix des Hippias von Elis oder etwa
> > Kegelschnitten waren Euclid selbstverstaendlich "krumme" Linien
> > bekannt. Aber in den 13 Buechern werden sie nicht weiter behandelt,
> > Euklid hielt sich wohl an Plato's Minimal-Geometrie nur mit Zirkel und
> > Lineal. Kreise und Kreisboegen tauchen reichlich auf, etwa die
> > Konstruktion einer Tangente an einen Kreis: III, 17.
> > Also, es werden gerade von nicht-geraden Linien unterschieden, von den
> > nichtgeraden werden Kreise behandelt, und parallele wie nicht
> > parallele Geraden behandelt, selbst etwa Parallelepipede.
>
> Mag sein, ich bin kein Historiker.
>
> Du verwechselst "euklidische Geometrie" aus der Mathematik
> mit der Geometrie, wie Euklid sie betrieben hat.
>
> Willst Du Dich mit letzterem befassen, kann ich Dir nicht
> weiter helfen - es hat wenig mit moderner Mathematik zu
> tun.
>
> > So aber wohl nicht in der nichteuklidischen Geometrie , wie Du
> > bestaetigst.
>
> Nein, auch in der (modernen) euklidischen Geometrie nicht,
> nach wie vor.
(Postulat 3 fehlt). Mit einer solchen Geometrie zu arbeiten ist sicher
sehr interesant. Aber die kann er doch nicht "Euklidische Geometrie"
nennen!<http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html>
Und Wolfgang Kirschenhofer hat uns ja den Anfang der Hilbertschen
Geometrie gerade gegeben, der zu dem Teil von wiki dazugehoert:
http://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Geometrie
> Wie dem auch sei, mit der altertümlichen Sprechmathematik
> des Euklid werde ich mich nicht mehr befassen, Seine
> Gedanken wurden bereits erfolgreich in moderne Sprache
> übersetzt.
>
> Tu Dir den Gefallen, und benutze die Alten Quellen erst, wenn
> Du die Sache an und für sich verstanden hast.
>
> Es ist hier scheinbar die vollkommen idiotische Sitte
> eingezogen, sich mit altertümlichen Texten zu kasteien,
> obwohl diese längst in klarere, einfachere und
> gleichwertige moderne Begriffswelten übersetzt sind.
>
> Wir sind hier nicht in der Theologie oder Historie,
> wo Urhebertreue Nähe zur Wahrheit bedeutet, in der
> Mathematik ist es umgekehrt: Durch einen jahrhunderte
> währenden Prozess werden Ungenauigkeiten,
> Missverständlichkeiten und Fehler behoben, nicht
> verstärkt.
Du hast uns wach gemacht..(Danke Detlef)
Wie kann eine solche behindert entstandene kreislose Geometrie und ihre
ebenso behinderten Geschwister (elliptisch und hyperbolisch) spaeter
dann etwa Aussagen ueber raum-zeitliche Kruemmung abgeben ?
Du schreibst:
.....
> Nein, auch in der (modernen) euklidischen Geometrie nicht,
> nach wie vor.
> Natürlich wird hier der Kreis als Menge der Punkte von
> gegebenen Abstand vom Zentrum betrachtet.
Freundliche Gruesse
Hero
PS Detlef, vieles was Du schreibst finde ich auch richtig und einiges
ganz toll. Ich hab auch schon einiges von Dir gelernt. Du gibst mir
auch deutliche Antworten. Dass ich mit einigem nicht einverstanden bin
ist nicht persoenlich gemeint. Und da sind so ein paar Fragen, die
bohren und die muss ich erst klaeren, sonst bekomme ich keinen Zugang
zur nichteuklidischen Geometrie.
Hero
angeklickt.
Tut mir leid
Hero
Wolfgang Kirschenhofer
"Hero" <Hero.van...@gmx.de> schrieb im Newsbeitrag
news:1127551230.1...@f14g2000cwb.googlegroups.com...
Detlef Müller wrote:
........
Das ist ja spannend. Euklidische Geometrie ohne Kreise, was macht
Hilbert hier ? Alles Augenmerk ist nach dem 5.Postulat von Euklid,
aber da fehlt doch das Dritte:
"Gefordert soll sein: ..
3. Dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann,
"
...........................................................
Hilbert bringt hier eine Geometrie zur Welt mit einem Gen-defekt
(Postulat 3 fehlt). Mit einer solchen Geometrie zu arbeiten ist sicher
sehr interesant. Aber die kann er doch nicht "Euklidische Geometrie"
nennen!
Hier Euclid auf english:
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html#defs
<http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html>
Und Wolfgang Kirschenhofer hat uns ja den Anfang der Hilbertschen
Geometrie gerade gegeben, der zu dem Teil von wiki dazugehoert:
http://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Geometrie
Hallo Hero!
Du verzeihst mir bitte, wenn ich sage, daß ich ein wenig bestürzt bin.
Hilbert hat in seinem Buch "Grundlagen der Geometrie" EUKLID ergänzt und
die Lücken in seiner Axiomatik der Geometrie beseitigt - PASCH hat damit
bereits vor Hilbert begonnen. Es ist also tatsächlich so, daß Hilbert die
"Defekte" in Euklids Axiomatik beseitigt hat.
Die Euklidische Geometrie nach Hilbert enthält selbstverständlich alle
Sätze der Geometrie von Euklid.
Der Begriff "Kreis" ist natürlich bei Hilbert kein (undefinierter)
Grundbegriff; "Kreis" wird bei Hilbert explizit definiert.
Ich zitiere jetzt wieder wörtlich aus Hilberts Grundlagen der Geometrie:
Auf Seite 29 der Neuauflage aus dem Jahr 1956 steht:
ERKLÄRUNG. Wenn M ein beliebiger Punkt in einer Ebene alpha ist, so heißt
eine Gesamtheit von allen solchen Punkten A in alpha, für welche die
Strecken MA einander kongruent sind, ein KREIS; M heißt der MITTELPUNKT des
Kreises.
Lieber Hero, wenn Du Dir ein Urteil über die Hilbertsche Axiomatik der
euklidischen Geometrie bilden willst, mußt Du seine "Grundlagen" zumindest
teilweise studieren oder ein moderneres Buch darüber lesen.
Ich habe hier die Kreisdefinition auf Seite 29 zitiert, das Buch hat jedoch
zusammen mit den Anhängen einen Umfang von 250 Seiten.
Seit Hilbert gibt es die verschiedensten Versionen einer Axiomatik der
euklidischen Geometrie, die einfacher und verständlicher für den Lernenden
sind, als die Darstellung Hilberts in seinen "Grundlagen".
Z.B. für die ebene euklidische Geometrie die Axiomatik von George,David
Birkhoff.
Ich möchte Dir nun zusätzliche Literatur zur Axiomatik der euklidischen
(synthetischen) Geometrie angeben:
1.)H.Meschkowski:Grundlagen der euklidischen
Geometrie;BI-Hochschultaschenbuch, Mannheim 1966(Nr.105/105a).
Dieses Buch lehnt sich sehr stark an Hilberts Grundlagen an, beseitigt aber
methodisch geschickt die Schwierigkeiten in Hilberts Darstellung.
Leider ist es bereits vergriffen und ich besitze es selbst nicht, habe es
aber vor vielen Jahren ziemlich genau studiert.
2.)E.Moise:Elementary geometry from an advanced standpoint;Addison-Wesley,
London 1964.
Eine ausgezeichnete Einführung in die Grundlagen der "synthetischen
Geometrie", wesentlich moderner als Hilbert. Soweit ich mich noch erinnern
kann, sind in diesem Buch die Ideen Birkhoffs bereits hineingearbeitet
worden.
3.)Karzel/Sörensen/Windelberg:Einführung in die Geometrie;UTG
184,Vandenhoeck&´Ruprecht,Göttingen 1973
Die modernen einführenden Bücher zur Geometrie verwenden in der Regel
Koordinaten d.h. genauer die Methoden der Vektorrechnung und der linearen
Algebra (einschließlich Abbildungsgruppen).
4.)Wenn Du jedoch mit Genuß "schöne Geometrie" studieren willst, dann lies
bitte das ausgezeichnete Buch von H.S.M. Coxeter:Introduction to Geometry,
John Wiley & Sons,1989.
In diesem Buch findest Du vermutlich alle die Fragen beantwortet, die Dich
bewegen. Ich habe es erst vor einigen Monaten gekauft, obwohl ich es schon
länger kenne. Die deutsche Übersetzung - erschienen im überaus teuren
Birkhäuser-Verlag - ist meines Wissens derzeit vergriffen.
Weitere Fragen beantworte ich gerne, falls ich dazu in der Lage bin.
Grüße,
Wolfgang
Hero
Wolfgang Kirschenhofer wrote:
> Du verzeihst mir bitte, wenn ich sage, daß ich ein wenig bestürzt bin.
> Hilbert hat in seinem Buch "Grundlagen der Geometrie" EUKLID ergänzt und
Deine Bestuerzung kann ich verstehen. Und Du hast ja auch einen Beleg
und die Definition eines "Kreises" durch Hilbert gebracht. Also
"kreislos" nehme ich zurueck. Ich bin ja auch noch nicht weiter als bis
zu den Axiomen gekommen und es ist fuer mich aeusserst schwierig, da ja
mehrfach von Detlef gesagt wurde, dass in der Hilbertschen Geometrie
gerade und nicht-gerade Linien nicht unterschieden werden. Aber doch
bin ich nicht zuufrieden.
Faellt Dir der Unterschied auf: "Gerade" wird axiomatisch von Hilbert
festgelegt, "Kreis" nur ueber eine Definition, als "Punkt"menge. Warum
definiert er "Gerade" nicht auch als "Punkt"menge, als eine andere
natuerlich? Und warum wird der Kreis im Unterschied zu Euklid aus den
Axiomen herausgenommen ?
Du schreibst:
> Die Euklidische Geometrie nach Hilbert enthält selbstverständlich alle
> Sätze der Geometrie von Euklid.
Dann doch etwa auch die Konstruktion einer Tangente an einen Kreis:
III, 17
Unter welchem Begriff der Hilbertschen Axiomatik gehoert Tangente? Ist
dies auch eine "Punkt" menge oder eine "Gerade" und wie definiert er
denn Tangente (die ja eine Gerade bei Euklid ist)?
Und vielen Dank fuer die Literaturhinweise.
Liebe Gruesse
Hero
Detlef Müller
Joachim Merkel wrote:
> Detlef Müller (dmue...@mathematik.uni-kassel.de) schreibt:
>
>>Es ist hier scheinbar die vollkommen idiotische Sitte
>>eingezogen, sich mit altertümlichen Texten zu kasteien,
>
> Warum so abwertend?
>
Weil inzwischen etliche Threads in dieser Gruppe sich mit
reinem Schaumschlagen und Begriffeverwirren befassen seit
Mückenheim & Co anfingen altertümliche Texte auszugraben
und Mathematisches Argumentieren durch Quellenstudium und
einer Mischung aus Küchen-Psychologie und -Sprachwissenschaft
im stets fliegenden Wechsel der Begriffsinterpretation
zu ersetzen.
Als Leseprobe emmpfehle ich einige Promill der
Mückenheimthreads, oder einen Stats Posting von
Blumis Quark anzulesen - dann weist Du, warum ich
hier etwas markigere Töne anschlage.
> Hast Du keine Zeit oder Lust wie der
> Korinther oder willst Du was anderes hier erfahren?
Ich habe keine Zeit und Lust, das nahezu unmögliche
Unterfangen zu stützen, einen axiomatischen Aufbau
mit Texten zu erklären, deren Urheber noch nichts von
Axiomensystemen wussten.
Historische Texte muß man im richtigen Kontext behandeln.
> Haben die Mäzene Deiner mathematischen Forschung an solcherart
> Kreativität kein Interesse?
>
Ich denke durchaus, das historische elemente in Kassel durchaus
im Lehrprogramm auftauchen (gotische Architektur).
Und die Ideeen der Altvorderen zu erforschen dürfte sicher
so manches wieder zutage bringen.
Aber, wie gesagt, im richtigen Kontext.
>>obwohl diese längst in klarere, einfachere und
>>gleichwertige moderne Begriffswelten übersetzt sind.
>
> Man sollte auch überlegen, in welchem Bereich einer Wissenschaft,
> in der schon vor 20 Jahren auch Fachleute nur etwa 1/7
> des Stoffs beherrschen.
>
> Deine Ausführung deckt auch nur einen Teil des Erfolges
> (des Rekurrenz-Verfahrens) ab, die Möglichkeit seine
> Begrifflichkeit zu flexibilisieren ist ja geradezu der zentrale
> Punkt der Entwicklung gewesen, wie ich Mehrtens in seinem Buch
> "Moderne Sprache Mathematik" [1] verstehe.
>
Ich kann hier leider nicht ganz folgen (geht es um Mathematik?
Da bezweifle ich aber das irgendwer 1/7 der Mathematik
beherrscht. Oder geht es um Geometrie?).
Ich stelle nur fest, daß man mit heutiger Schulbildung
mit der heute üblichen mathematischen Sprache gewiss
wesentlich besser bedient ist, als mit Texten aus dem
Altertum.
Allein die Erfindung des Benennens von Objekten
(Sei g eine Gerade und P ein Punkt auf g ...) bringt
so viel mehr Klarheit, daß allein dies modernen
Texten einen erheblichen Vorteil verschafft.
> Für die modernen Begriffswelten fand daher Detlef Spalt in
> einer Vorbemerkung zu Beginn der Buchausgabe seiner Dissertation
> den schönen Namen "vagabundierender Jargon"[2].
>
Was auch immer er darunter versteht, leider habe ich
keine Zeit mich damit näher zu befassen.
> ...
>>Wir sind hier nicht in der Theologie oder Historie,
>>wo Urhebertreue Nähe zur Wahrheit bedeutet, in der
>>Mathematik ist es umgekehrt: Durch einen jahrhunderte
>>währenden Prozess werden Ungenauigkeiten,
>>Missverständlichkeiten und Fehler behoben, nicht
>>verstärkt.
>
> An Übernahme und Reformulierung bzw. Gleichwertigkeit wurden
> wie zur Rezeption von Cauchy ja schonmal Zweifel angemeldet
> [2,3], genauer eine objektive Verfälschung konstatiert, an der
> mehrere Generationen von Mathematikern beteiligt waren oder
> noch sind.
>
Auch da kann ich jetzt nichts dazu sagen.
Sicher ist ein Paradigmenwechsel hin zum Axiomatischen,
weg von der "Welterklärung".
Wenn man etwa den Wandel der Bedeutung von ursprünglich
als emotionalen Abstandhalter gedachen diffamierenden
Bezeichnungen wie "irrational" oder "imaginär" hin zu
akzeptierten Begriffen betrachtet, kann man das als
"Verfälschung" bezeichnen.
So kamen damals Leute über Wege, die ihnen unheimlich
waren zu den selben (korrekten) Resultaten wie heute.
Nur heute wird den früher so unheimlichen Gebilden
mehr Existenzstatus zugebilligt (vielleicht auch, weil
man etwa die komplexen Zahlen über Matrizen realisieren
kann, oder als Quotient von Polynomringen).
> Ich kann das inhaltlich nicht beurteilen, aber Quellen im Original
> sind anscheinend für Mathematiker weder uninteressant noch
> zu verachten und selbst denken noch weniger.
>
Was ich als idiotisch bezeichnete war in diesem Zusammenhang,
moderne mathematische Modelle und Vorgehensweisen mit der
naturgemäß unzulänglichen Sprache der Zeit vor oder während
ihrer Entstehung behandeln zu wollen.
Die Begriffe sind heute klar definiert und etliche
Ungereimtheiten von damals geklärt.
Da die Großen der Vergangenheit dieses System erst nach
und nach aufgebaut haben, waren die Begrifflichkeiten
natürlich damals noch nicht so konsistent!
Meine Kritik richtet sich hier an Leute, die sinngemäß
eine Höhlenmalerei vom Erfinder des Rades gefunden haben,
und fortan behaupten, das sei der Beweis, daß das Rad an
und für sich garnicht exakt rund sein darf, und folglich
das Ende der Autoindustrie schon beschlossene Sache
ist.
Gruß
Detlef
Detlef Müller
Hero wrote:
> ...
> Deine Bestuerzung kann ich verstehen. Und Du hast ja auch einen Beleg
> und die Definition eines "Kreises" durch Hilbert gebracht. Also
> "kreislos" nehme ich zurueck. Ich bin ja auch noch nicht weiter als bis
> zu den Axiomen gekommen und es ist fuer mich aeusserst schwierig, da ja
> mehrfach von Detlef gesagt wurde, dass in der Hilbertschen Geometrie
> gerade und nicht-gerade Linien nicht unterschieden werden.
>
Und zwar in genau dem Sinne, wie gerade Linien nicht von
Kürbiskernen unterschieden werden.
Krumme Linien kommen als Objekte erstmal nicht vor.
Sicher kann man später gewisse Mengen von Punkten
hernehmen und die dann "Kreise" oder so nennen.
Das wird früher oder später in jedem Geometriebuch
passieren.
> Aber doch
> bin ich nicht zuufrieden.
>
>
> Faellt Dir der Unterschied auf: "Gerade" wird axiomatisch von Hilbert
> festgelegt, "Kreis" nur ueber eine Definition, als "Punkt"menge. Warum
> definiert er "Gerade" nicht auch als "Punkt"menge, als eine andere
> natuerlich?
>
Weil es nicht nötig ist. Es gibt eine Tendenz, möglichst wenige
Axiome zu verwenden.
An anderer Stelle zeige ich ja auch ein Modell,
wo "liegt auf" eben nicht "ist Element von" heißt.
Und das kann Sinnvoll sein, etwa wenn man mit eine
Gerade als ein Tupel aus einem Punkt und einer Richtung
definieren will (etwa um die Geometrie in einem
Computerprogramm "nachzubauen").
> Und warum wird der Kreis im Unterschied zu Euklid aus den
> Axiomen herausgenommen ?
Weil er überflüssig ist.
Es handelt sich um ein Objekt, daß man aus den bereits
bekannten Axiomen zusammenbauen kann.
Was man aus den Axiomen bereits zusammenbasteln kann
fügt man normalerweise nicht als "Atomares Element"
ein, sondern Definiert es über das bisher eingeführte.
> Du schreibst:
>>Die Euklidische Geometrie nach Hilbert enthält selbstverständlich alle
>>Sätze der Geometrie von Euklid.
> Dann doch etwa auch die Konstruktion einer Tangente an einen Kreis:
> III, 17
> Unter welchem Begriff der Hilbertschen Axiomatik gehoert Tangente? Ist
> dies auch eine "Punkt" menge oder eine "Gerade" und wie definiert er
> denn Tangente (die ja eine Gerade bei Euklid ist)?
>
Dann schau doch bitte in der angegebenen Literatur nach.
Ich würde jedenfalls vermuten zu einem Punkt P aus
einem Kreis K kann man eher leicht aus der Definition des
Kreises und den übrigen Axiomen genau eine Gerade
finden, die durch P geht und auf der kein weiterer
Punkt aus K liegt.
Gruß,
Detlef
Detlef Müller
> Detlef Müller wrote:
> Hero wrote:
>>Verstehe ich nicht. D, M, V sind drei Theorien?
>>
>>Gruß,
>> Detlef
> Leider, nur ganz kurz. Was D, M , V ist, habe ich ja beschrieben
> (analog nichteuklidisch: es gibt welche, die bezeichne ich mit g und
> andere mit P, und eine Relation P zu g ... und dann im formulierten ist
> g eine "Gerade", P ein "Punkt" und die Relation ist dann "liegt auf".
> Bedeuten kann dies in jedem Modell etwas anderes, wie Rainer anfuehrte,
> das koennen Bierseidel und Tische sein, oder Geraden und Punkte, mit
> denen etwa ein Archtitekt umgeht (oder meinetwegen Theorien, wenn Du da
> ein Modell zu meiner Beschreibung findest). Und so koennte meine
> Beschreibung oben doch ein netter Ansatzpunkt fuer eine neue Theorie
> sein, die man erforschen kann, oder?
>
Allerdings hat man bei Theorien, die aus einer Anschauung
kommen, die Gewissheit, das zumindest das eine Modell
existiert ...
Gruß,
Detlef
Hero
>> Wir haben zwei Arten von Objekten oder Elementen, D's und M's,
>> zwischen denen eine Relation r definiert ist. Eine dritte Art von
>> Elementen sei V, wobei jedem Paar (D, M), die in der Relation r
>> zueinander stehen, ein V zugeordnet wird. (kein V ) ( mehrere V ).
>> Das waeren doch auch so drei Theorien, andere, aber doch so
>> gestrickt wie elliptische, euklidische, hypberbolische Geometrie, oder
>> nicht ?
Detlef schrieb:
> Allerdings hat man bei Theorien, die aus einer Anschauung
> kommen, die Gewissheit, das zumindest das eine Modell
> existiert ...
anfangen kann. Man braucht erstmal Modelle, die Leben in die Sache
bringen, dann versteht man, worum es geht. Wenn ich die D's nun benenne
mit "Ebene" oder "Linie" habe ich hoechstens einen Assoziationswert
hinzugefuegt, der sogar hinderlich sein kann. Gut, also ein Modell:
D's sind Kreise, M's sind Punkte und r ist die Relation "liegt auf".
Waehle ich V= Tangente, dann gibt es stets eine. Beschraenke ich alles
auf eine Kugeloberflaeche, dann gibt es zwar eine Tangente, aber eben
nicht auf dieser Oberflaeche. Mehrere Tangenten werde ich nicht finden,
nur in Gedankenwelten, im Wolkenkuckucksheim.
Waehle ich anstelle von V= Tangente nun V= Linie, dann gibt es stets
mehrere.
Zum Vergleich noch etwas von Dir, Detlef wobei mir hier entgeht ob Du
von "Kreisen" und "Geraden" oder von Kreisen und Geraden sprichst.
> ...
> Da ich aber einen Kreis als eben diese Menge definiere, ist
> ein Kreis in der Maximumsnorm ein Quadrat (also gar nicht
> mehr rund).
> So ist aber die poetische Definition des Kreises als rundestes
> Rund, das man sich nur vorstellen kann, leider hinüber.
> Genauso muß eine Gerade nicht gerade aussehen, wenn ich zum
> Beispiel die Koordinaten von Oben verwende
Detlef, ich moechte zu Deinem Brief vom Mittwoch noch etwas sagen, weil
da einiges offen geblieben ist.
Hero schrieb:
> > man nicht zwischen parallel und nicht parallel unterscheiden kann
> > ( wie anscheinend die Nichteuclidier), warum spricht man dann
> > davon ?
> Wenn zwei Geraden eine gemeinsame Senkrechte haben, darf man
> doch wohl einen Ausdruck dafür benutzen, oder?
> Ob man nun logisch zeigen kann, daß die sich nun schneiden oder
> nicht, ist eine andere Frage.
> eben verschiedene Modelle existieren, in denen die alle gelten,
> aber mal das Schnittaxiom, und mal wieder nicht.
> Wir spielen mit Modellen science fiction. Und manchmal
> gebiert diese science fiction eine Erkenntnis.
> Ohne das Spiel würden heute noch viele ihr Hirn ausrenken
> um das fünfte Axiom aus den ersten herzuleiten
Mathe fiction Spiel ist mehr wie nur ein Spiel, . Dies ist eine
Freiheit, die die Mathematiker sich nicht nehmen lassen sollten und
auch nicht werden. Aber da gibt es noch so ein mathematisches Modell...
Es gibt eine Welt, die durchwachsen mathematisch ist und die
unabhaengig von Mathematikern existiert.
Sollen wir uns die Freiheit schrittweise nehmen lassen, diese zu
untersuchen, sie z.B. als Massstab fuer die Guete mathematischer
Modelle zu nehmen ?
Detlef schrieb:
> Die Modelle haben wenig mit der Geometrie zu tun.
> Sie geben dem Axiomensystem nur auf die eine oder Andere
> Weise eine Welt, wo dieses lebt.
> Und Aussagen, die aus den Axiomen folgern, müssen in jeder
> möglichen Welt, in der sie leben, gelten.
Dies gefaellt mir immer besser, Klasse formuliert. Dennoch, sollen wir
nun in die Richtung von Modellen gefuehrt werden, die nur im Kopf
existieren, oder wie Warcraft III nur in Computern ? Gibt es
Mathematiker, die fuer ein egozentrisches Weltbild kaempfen, die
mathematischen ego-shooter ? Bleibt die Mathematik dann die schoene
heile Welt mit ihren Wahrheiten ?
>>> <scnr>
Stefan Ram wrote:
>>>> Die "Realität" ist auch ein Gedankenkonstrukt.
Christopher antwortete:
>>> Manche Leute behaupten, es sei eine Halluzination, hervorgerufen
>>> durch einen Mangel an Alkohol oder sonstigen Drogen ...
>>> </scnr>
>>> Christopher
(Ach, armer Antaios).
Hero schrieb:
>> Trotz aller Bemuehungen habe ich
>> stets nur Ebenen und Modelle bekommen, die euclidisch sind.
Detlef antwortete:
> Dann such mal nach "Projektive Ebene".
> Die taucht auch in der darstellenden Kunst auf, der "Fluchtpunkt"
> in Bildern, in dem sich wirklich Parallelen schneiden
> (Bahnschinen schneiden sich auf Fotos am Horizont).
("Dies ist keine Pfeife")
Eine Projektion von Bahnschienen ist genauso real wie Bahnschienen
selbst, fuer die Geometrie kann man beides als Modell bezeichnen, und
doch sind sie qualitativ verschieden (Oder hast Du schon mal einen
Lokfuehrer gehoert, "die Schienen kommen dahinten immer enger
zusammenn, da komme ich nicht durch oder ich werd entgleisen " ?)
Man vergibt sich die Faehigkeit Gleise und ein Bild von Gleisen,
Parallelen und eine Abbildung von Parallelen zu unterscheiden, wenn
man beides uniform erst mit Parallel in Anfuehrungszeichen benennt und
so nach und nach dann die Anfuehrungszeichen weglaesst.
Es ist nicht gelungen, das 5.Postulat aus den anderen zu beweisen , es
auf einfachere zurueckzufueheren. Es ist eben notwendig fuer die
Gerade der "Anschauung", die man noetig hat, ob im Bruecken- oder
Flugzeugbau, Landwirtschaft, Fischerei, Newton Gesetz
Aber es ist vor allem nicht gelungen, unter all den "Geraden" Modellen
eins zu finden, in dem es eben mehrere Parallen oder gar keine zu einem
Punkt ausserhalb einer Geraden gibt.
Punkte, Geraden, Parallelen, das haengt ja nicht nur ueber die Axiome
zusammen, in denen es heute nur "Punkte", "Geraden" und "Ebenen" gibt.
Da es nach einem von den Mathematikern unabhaengigen Modell kontruiert
ist, gibt es auch noch viele andere Zusammenhaenge darueber
Jutta schrieb:
>>>>> Denn für uns ist eine Gerade der Weg, den ein Lichtstrahl nimmt
>>>>> - und was ist, wenn die Lichtstrahlen "in Wirklichkeit" gekrümmt
>>>>> sind? Laut Relativitätstheorie leben wir ja in einem
>>>>> vierdimensionalen, gekrümmten Raum-Zeit-Kontinuum.
>>>>> (Die Experten mögen mich ausbessern, wenn ich Blödsinn rede.)
Hero antwortete:
>>Wenn ein Lichtstrahl in Wirklichkeit gekruemmt ist, dann gibt es
>>offenbar einen Unterschied zwischen gerade und krumm in der
>>Wirklichkeit und zusaetzlich wird er dann ja auch irgendwo definiert
>>sein, oder nicht ?
Und Detlef schrieb dazu:
> Ich vermute hier hat niemand die Frage verstanden.
Nun aber wohl, oder?
Gruss
Hero
Joachim Merkel
[...]
> Als Leseprobe emmpfehle ich einige Promill der
> Mückenheimthreads, oder einen Stats Posting von
> Blumis Quark anzulesen - dann weist Du, warum ich
> hier etwas markigere Töne anschlage.
Ja, ich habe mir vor einiger Zeit dafür extra einen Laber-Threadkill
in meinen Newsreader eingebaut.
[...]
>> Deine Ausführung deckt auch nur einen Teil des Erfolges
>> (des Rekurrenz-Verfahrens) ab, die Möglichkeit seine
>> Begrifflichkeit zu flexibilisieren ist ja geradezu der zentrale
>> Punkt der Entwicklung gewesen, wie ich Mehrtens in seinem Buch
>> "Moderne Sprache Mathematik" [1] verstehe.
>>
> Ich kann hier leider nicht ganz folgen (geht es um Mathematik?
Die Fähigkeit Ergebnisse aufzunehmen und in neue Sichtweisen
aufgehen zu lassen ist ein Grund für den Erfolg der Mathematik
ebenso wie deren Anpassungsfähigkeit, so daß nach Mehrtens
bisher noch jede Krise die Mathematik leistungsfähiger werden ließ.
> Da bezweifle ich aber das irgendwer 1/7 der Mathematik
> beherrscht. Oder geht es um Geometrie?).
Ich hatte mal gelesen, das 1/7 das Maximum war, was Spitzenleute
vor 20 Jahren allenfalls noch überblicken konnten.
> Ich stelle nur fest, daß man mit heutiger Schulbildung
> mit der heute üblichen mathematischen Sprache gewiss
> wesentlich besser bedient ist, als mit Texten aus dem
> Altertum.
Würde ich nicht widersprechen.
> Allein die Erfindung des Benennens von Objekten
> (Sei g eine Gerade und P ein Punkt auf g ...) bringt
> so viel mehr Klarheit, daß allein dies modernen
> Texten einen erheblichen Vorteil verschafft.
Sollte Teil der Allgemeinbildung sein, ist es leider nicht,
>> Für die modernen Begriffswelten fand daher Detlef Spalt in
>> einer Vorbemerkung zu Beginn der Buchausgabe seiner Dissertation
>> den schönen Namen "vagabundierender Jargon"[2].
>>
> Was auch immer er darunter versteht, leider habe ich
> keine Zeit mich damit näher zu befassen.
Michts bleibt dem definitorischen Zugriff entzogen. Was man nicht
versteht oder stört grenzt man aus.
Wo derart gehobelt wird, fallen anscheinend mehr als Späne -
wie bei Cauchy. Dabei gings allerdings nur um etwa dreihundert
Jahre Umweg mit der Grenzwertrechnung, wobei mich mal die Meinung
von kompetenten Lesern dazu oder auch Hinweise auf Kritiken daran
interessiert.
[...]
> Was ich als idiotisch bezeichnete war in diesem Zusammenhang,
> moderne mathematische Modelle und Vorgehensweisen mit der
> naturgemäß unzulänglichen Sprache der Zeit vor oder während
> ihrer Entstehung behandeln zu wollen.
Aber die vorsätzliche Rezeption älterer mathematischer Schinken
als hero-ische Selbstversuch, warum nicht?
> Die Begriffe sind heute klar definiert und etliche
> Ungereimtheiten von damals geklärt.
> Da die Großen der Vergangenheit dieses System erst nach
> und nach aufgebaut haben, waren die Begrifflichkeiten
> natürlich damals noch nicht so konsistent!
Sollte man wissen, wenn man sich ältere Grundlagen
ansieht. Wobei die vielen Fallunterscheidungen in älteren
Werken manches verständlicher machen und auch handwerkliche
Spuren fallen in modernen Darstellungen leider unter den Tisch,
eine üble Tradition IMO auch von Gauss begründet.
> Meine Kritik richtet sich hier an Leute, die sinngemäß
> eine Höhlenmalerei vom Erfinder des Rades gefunden haben,
> und fortan behaupten, das sei der Beweis, daß das Rad an
> und für sich garnicht exakt rund sein darf, und folglich
> das Ende der Autoindustrie schon beschlossene Sache
> ist.
Don't feed the trolls.
--
Salut
_)oachim
Wolfgang Kirschenhofer
Hallo Hero!
Zu Deinen grundsätzlichen Fragen bezüglich Hilberts Axiomatik möchte ich
nichts mehr sagen, das würde zu weit führen und ich müßte mich wiederholen;
außerdem hat zu diesem Thema bereits Detlef Müller einiges gesagt. Am
besten, Du liest in den "Grundlagen der Geometrie" nach.
Hilberts "Grundlagen der Geometrie" ist kein Lehrbuch der Geometrie, es
enthält daher vieles nicht, was in einem Lehrbuch zu finden ist. Die
Formulierungen der Axiome sind sowohl im Hinblick auf das System von Euklid
als auch in ihrem historischen Kontext des ausgehenden 19.Jahrhunderts zu
sehen. Die Begriffsbildung soll "einfach" und trotzdem möglichst
"allgemein"(man spricht hier auch von "absoluter Geometrie")sein; hier
möchte ich nur die Axiome der Anordnung und Kongruenz erwähnen.
Das Anordnungsaxiom II4 (oder ein Äquivalent dazu) fehlt bei Euklid.
Dies hat bereits 1882 M.Pasch erkannt; II4 wird daher in der Literatur
meist als Axiom von Pasch bezeichnet.
Das Buch enthält auch einen relativen Widerspruchsbeweis der Axiome und
Unabhängigkeitsbeweise.
Nun zu Deiner Frage bezüglich Kreistangente:
In mehreren Schritten:
1.)Bei Hilbert wird die Existenz rechter Winkel gezeigt(seine Schenkel
"stehen senkrecht" zueinander).
Die folgenden Sätze aus der ebenen Kreisgeometrie findet man meines Wissens
nicht in den "Grundlagen", können jedoch aus den "Grundlagen" heraus
gefolgert werden und gelten in der Ebene epsilon, in der der Kreis liegt
(d.h. alle Punkte und Geraden, von denen geredet wird, liegen in derselben
Kreisebene):
2.)Im Kreis gehören zu gleichen Zentriwinkeln gleiche Sehnen und zu
gleichen Sehnen gleiche Zentriwinkel.
3.)Eine Gerade trifft einen Kreis in höchstens zwei Punkten.
4.)Ist A ein Punkt eines Kreises mit dem Mittelpunkt M, dann trifft jede
Gerade durch A, die nicht zu AM senkrecht steht, den Kreis in genau einem
weiteren Punkt, während die in A zu AM senkrechte Gerade den Kreis nicht
mehr trifft. Diese letztere Gerade heißt "TANGENTE des Kreises" in A und A
ihr "BERÜHRUNGSPUNKT".
Vor 4.) muß man noch beweisen, daß jede Gerade g, die einer Ebene epsilon
angehört, in jedem ihrer Punkte genau eine in epsilon liegende Senkrechte
besitzt.
5.)Durch jeden vom Berührungspunkt verschiedenen Punkt einer Kreistangente
kann man noch genau eine weitere Tangente an den Kreis legen.
6.),7.)........usw.
Willst Du mehr wissen, mußt Du in den Büchern nachlesen.
Z.B. enthält das Buch "Nichteuklidische Geometrie" von Baldus/Löbell im
2.Kapitel die Axiomatik der absolute Geometrie, die ziemlich genau mit der
Axiomatik Hilberts übereinstimmt.
Auch das Buch "Nichteuklidische Geometrie" von Hanfried Lenz
(BI-Hochschultaschenbuch,Nr.123/123a) enthält zuerst die absolute
Elementargeometrie der Ebene.
Herzliche Grüße,
Wolfgang
Wolfgang Kirschenhofer
"Wolfgang Kirschenhofer" <ki...@kstp.at> schrieb im Newsbeitrag
news:11278206...@news.aic.at...
>
> "Hero" <Hero.van...@gmx.de> schrieb im Newsbeitrag
> news:1127597420.9...@g47g2000cwa.googlegroups.com...
>
.......................
> Hallo Hero!
>........................................................
> Das Buch enthält auch einen relativen Widerspruchsbeweis der Axiome und
> Unabhängigkeitsbeweise.
Es muß natürlich richtig heißen:
Das Buch enthält auch einen Beweis für die relative Widerspruchsfreiheit
der Axiome und Unabhängigkeitsbeweise.
>
>
Grüße,
Wolfgang
Detlef Müller
...
>>Wir spielen mit Modellen science fiction. Und manchmal
>>gebiert diese science fiction eine Erkenntnis.
>>Ohne das Spiel würden heute noch viele ihr Hirn ausrenken
>>um das fünfte Axiom aus den ersten herzuleiten
>
> Mathe fiction Spiel ist mehr wie nur ein Spiel, . Dies ist eine
> Freiheit, die die Mathematiker sich nicht nehmen lassen sollten und
> auch nicht werden. Aber da gibt es noch so ein mathematisches Modell...
>
> Es gibt eine Welt, die durchwachsen mathematisch ist und die
> unabhaengig von Mathematikern existiert.
>
Mit der beschäftigt sich dann die Physik.
> Sollen wir uns die Freiheit schrittweise nehmen lassen, diese zu
> untersuchen, sie z.B. als Massstab fuer die Guete mathematischer
> Modelle zu nehmen ?
Diese Freiheit nimmt doch niemand.
Die Physiker können machen, was sie wollen.
Und vieles aus der Physik hat dann wieder Eingang
in die Mathematik.
Aber die Zeit, wo beides das selbe war, ist wohl
erstmal vorüber.
> Detlef schrieb:
>>Die Modelle haben wenig mit der Geometrie zu tun.
>>Sie geben dem Axiomensystem nur auf die eine oder Andere
>>Weise eine Welt, wo dieses lebt.
>>Und Aussagen, die aus den Axiomen folgern, müssen in jeder
>>möglichen Welt, in der sie leben, gelten.
> Dies gefaellt mir immer besser, Klasse formuliert. Dennoch, sollen wir
> nun in die Richtung von Modellen gefuehrt werden, die nur im Kopf
> existieren, oder wie Warcraft III nur in Computern ? Gibt es
> Mathematiker, die fuer ein egozentrisches Weltbild kaempfen, die
> mathematischen ego-shooter ? Bleibt die Mathematik dann die schoene
> heile Welt mit ihren Wahrheiten ?
>
Ja, bleibt sie.
Alle Modelle sind übrigens Vereinfachungen und existieren
nur im Kopf. Die Wirklichkeit(TM) mit Modellen möglichst gut
zu treffen versuchen, wie gesagt die Physiker.
Eine "Breitenlose Linie" und Sachen "ohne Ausdehnung" wirst
Du in der Wirklichkeit(TM) nicht finden.
Allerdings findet sich eher für die real verwertbaren
Wahrheiten und die Modelle, die Physiker gebrauchen können,
ein Sponsor mit realem Geld :)
...
>>>Trotz aller Bemuehungen habe ich
>>> stets nur Ebenen und Modelle bekommen, die euclidisch sind.
> Detlef antwortete:
>>Dann such mal nach "Projektive Ebene".
>>Die taucht auch in der darstellenden Kunst auf, der "Fluchtpunkt"
>>in Bildern, in dem sich wirklich Parallelen schneiden
>>(Bahnschinen schneiden sich auf Fotos am Horizont).
> ("Dies ist keine Pfeife")
> Eine Projektion von Bahnschienen ist genauso real wie Bahnschienen
> selbst, fuer die Geometrie kann man beides als Modell bezeichnen, und
> doch sind sie qualitativ verschieden (Oder hast Du schon mal einen
> Lokfuehrer gehoert, "die Schienen kommen dahinten immer enger
> zusammenn, da komme ich nicht durch oder ich werd entgleisen " ?)
>
Auf der Kugeloberfläche sind die Geraden Großkreise.
Sprich:
Auf der Erde existieren gar keine sich nicht schneidenden
wirklich parallelen Schienen.
Und in wirklich großen Dreiecken ist die Winkelsumme auch
nicht 180°.
Das ist real messbar.
> Man vergibt sich die Faehigkeit Gleise und ein Bild von Gleisen,
> Parallelen und eine Abbildung von Parallelen zu unterscheiden, wenn
> man beides uniform erst mit Parallel in Anfuehrungszeichen benennt und
> so nach und nach dann die Anfuehrungszeichen weglaesst.
>
Tja, die Schlurigkeit, die den Physikern so gern vorgeworfen
wird, ist wohl in der Physik in gewissem maße systembedingt
nötig.
>
> Es ist nicht gelungen, das 5.Postulat aus den anderen zu beweisen , es
> auf einfachere zurueckzufueheren. Es ist eben notwendig fuer die
> Gerade der "Anschauung", die man noetig hat, ob im Bruecken- oder
> Flugzeugbau,
Negativ: Schon beim Brückenbau kommt bei Großprojekten die
Erdkrümmung ins Spiel.
Von Flugzeugnavigation wollen wir gar nicht erst reden.
> Landwirtschaft, Fischerei, Newton Gesetz
> Aber es ist vor allem nicht gelungen, unter all den "Geraden" Modellen
> eins zu finden, in dem es eben mehrere Parallen oder gar keine zu einem
> Punkt ausserhalb einer Geraden gibt.
Falsch (siehe: die Erde, auf der Du lebst
(Elliptische Geometrie)).
> Punkte, Geraden, Parallelen, das haengt ja nicht nur ueber die Axiome
> zusammen, in denen es heute nur "Punkte", "Geraden" und "Ebenen" gibt.
> Da es nach einem von den Mathematikern unabhaengigen Modell kontruiert
> ist, gibt es auch noch viele andere Zusammenhaenge darueber
Die "Wirklichkeit" ist kein Modell.
Die Euklidische Ebene findet man in der "Wirklichkeit" nicht.
Sie ist ein Modell.
> Jutta schrieb:
>>>>>>Denn für uns ist eine Gerade der Weg, den ein Lichtstrahl nimmt
>>>>>>- und was ist, wenn die Lichtstrahlen "in Wirklichkeit" gekrümmt
>>>>>>sind? Laut Relativitätstheorie leben wir ja in einem
>>>>>>vierdimensionalen, gekrümmten Raum-Zeit-Kontinuum.
>>>>>>(Die Experten mögen mich ausbessern, wenn ich Blödsinn rede.)
> Hero antwortete:
>>>Wenn ein Lichtstrahl in Wirklichkeit gekruemmt ist, dann gibt es
>>>offenbar einen Unterschied zwischen gerade und krumm in der
>>>Wirklichkeit und zusaetzlich wird er dann ja auch irgendwo definiert
>>>sein, oder nicht ?
> Und Detlef schrieb dazu:
>>Ich vermute hier hat niemand die Frage verstanden.
> Nun aber wohl, oder?
Nicht "wirklich" :)
Die Physik hat da ein Monster namens "Wirklichkeit".
Dem versucht sie irgendwelche Regeln abzutrotzen, durch
Beobachtungen.
Da finden sie z.B. haufenweise Platz,
in dem Objekte herumschwirren, etwas, das wir als Raum
empfinden.
Die menschlichen Sinne und ein (angeborener?) Weltinterpretierer
in unserem Kopf geben uns ein Gefühl von Richtungen und so
weiter ... das ist praktisch (sonst wären wir wohl schon
ausgestorben), aber Optische Täuschungen und ein Blick ins
Mikros- oder Teleskop zeigen, daß unsere Interpretationen
bei leibe nicht "die Welt" sind.
Die Worte "gerade", "krumm" geben, bezogen auf "die Wirklichkeit"
gewisse Interpretationen, die besagtes Monster in unserem Kopfe
entstehen laesst - also "-" ist gerade und "S" ist krumm.
Die Physik versucht, (mit Hilfe der Mathematik) ein
kalkulierbares Denkmodell zu entwerfen, das das Monster
Wirklichkeit teilweise vorhersagt ... machen wir ein
Gedankenexperiment.
Man kann eine gerade Strecke, einen 2-D-Lichtstrahl
auf ein Blatt Papier zeichnen.
Relativ zum Papier ändert sich nichts,
wenn das Blatt etwas gerollt wird, in den Koordinaten
des Papieres bleibt die Gerade eine Gerade - der
Lichtstrahl der Papierwelt bewegt sich eben nur
entlang des Papieres.
Ein 2-D Physiker auf dem Blatt merkte keinen Unterschied,
und es wäre im Rahmen des Papieres auch Egal.
Nun könnten aber andere Phänomene der Wirklichkeit
des 2-D Physikers ihn auf die Idee bringen, das Blatt
sei in eine unvorstellbare dritte Dimesion eingebettet,
aber in einer gekrümmten Weise.
Natürlich lachen den dann seine 2-D - Mitbewohner aus,
weisen auf die Strecke und sagen dann "Da Licht sich
gerade ausbreitet, kann die Welt gar nicht gekrümmt
sein.". Die 2-D-Leute könnten dann auch über die
Definiton von Gerade und Krumm philosophieren ...
So geht es uns auch: ziemlich die beste Möglichkeit in
unserer "Fühlwelt" gerade zu definieren ohne in Modelle
zu versinken, ist der Lichtstrahl.
Jenseits unserer Sinneswahrnehmung entzieht sich die
"Wirklichkeit" der Beschreibung - sie verhält sich auch
gegen unsere eingebaute Intuition, wie die Physiker
feststellen mußten.
Wahrscheinlich war das der Grund der Physik, vom Versuch "die"
Erklärung der Welt an sich zu finden zu dem Anspruch
möglichst gute Modelle zu erdenken überzugehen.
Aber wir verlassen dabei die Mathematik.
Gruß,
Detlef
Hero
Wolfgang Kirschenhofer wrote:
> "Hero" <Hero.van...@gmx.de> schrieb:
>> Unter welchem Begriff der Hilbertschen Axiomatik gehoert Tangente? Ist
>> dies auch eine "Punkt" menge oder eine "Gerade" und wie definiert er
>> denn Tangente (die ja eine Gerade bei Euklid ist)?
Wolfgang, vielen Dank fuer Deine ausfuehrliche und praezise Antwort. So
komme ich vorwaerts.
Liebe Gruesse
Hero
Hero
>> Aber da gibt es noch so ein mathematisches Modell...
>> Es gibt eine Welt, die durchwachsen mathematisch ist und die
>> unabhaengig von Mathematikern existiert.
> Mit der beschäftigt sich dann die Physik
> Eine "Breitenlose Linie" und Sachen "ohne Ausdehnung" wirst
> Du in der Wirklichkeit(TM) nicht finden.
oder Dingen besteht, das ist nur die halbe Wahrheit. Wie breit ist die
Drehachse der Erdrotation, wieviel Ausdehnung hat ein Schwerpunkt ?
Ach und was man so alles entdecken kann, wenn der Computer mal nicht
funktioniert: Baumstruktur (z.B. als Apfelbaum materialisiert),
Winkel als Richtungsunterschied, Zahlenverhaeltnisse, Links- und
Rechtdrehung bei Eiweiss, dort auch Codierung in RNS und DNS, und so
etwas existiert unabhanegig von Mathematikern.
Detlef schrieb:
> Dann such mal nach "Projektive Ebene".
> Die taucht auch in der darstellenden Kunst auf, der "Fluchtpunkt"
> in Bildern, in dem sich wirklich Parallelen schneiden
> (Bahnschinen schneiden sich auf Fotos am Horizont).
Hero antwortete:
>> Eine Projektion von Bahnschienen ist genauso real wie Bahnschienen
selbst, ...
>> Man vergibt sich die Faehigkeit Gleise und ein Bild von Gleisen,
>> Parallelen und eine Abbildung von Parallelen zu unterscheiden, wenn
>> man beides uniform erst mit Parallel in Anfuehrungszeichen benennt >> und so nach und nach dann die Anfuehrungszeichen weglaesst.
Und darauf Detlef:
> Auf der Kugeloberfläche sind die Geraden Großkreise. Sprich:
> Auf der Erde existieren gar keine sich nicht schneidenden
> wirklich parallelen Schienen.
Bahnschienen sind keine Geraden (auch nicht Abschnitte auf
Grosskreisen), Kurven koennen auch parallel sein, denk mal an
konzentrische Kreise. Grosskreise sind keine Geraden (sonst hiessen sie
Grossgeraden), vielleicht "Geraden" im Flatland-Denken, sprich
es gibt drei Welten (Raeume) elliptisch, euklidisch-eben, hyperbolisch.
Ich lebe raeumlich in einer 3D-Welt und darin sind Oberflaechen 2D,
unterschieden nach Kruemmung. Hier ist die kuerzeste Verbindung immer
ein Abschnitt einer Geraden, erst wenn man sich auf gekruemmte
Oberflaechen beschraenkt, muss man Umwege gehen, wird die kuerzeste
Verbindung laenger, zur Geodaete mit positiver oder negativer
Kruemmung ( auf der Ebene bleibts unveraendert)...
Detlef schreibt weiter:
> Und in wirklich großen Dreiecken ist die Winkelsumme auch
> nicht 180°.
> Das ist real messbar
In diesen Dreiecken sind die drei Ecken nicht durch Geraden verbunden.
Zurueck zur hyperbolischen, und da habe ich vielleicht etwas von Euch
gelernt.
Jutta schrieb:
>>> Ich habe vor einiger Zeit "Unvergängliche Geometrie" von Coxeter
>>> gelesen (leider ist das Buch nicht mehr leicht zu bekommen). Da
>>> habe ich erfahren, dass es in der hyperbolischen Geometrie
>>> Linien gibt, die von einer Geraden konstanten Abstand haben. Diese
>>> Linien sind keine Geraden!
Und Wolfgang kennt sich damit gut aus:
>>>> Im Kleinschen Modell der ebenen hyperbolischen Geometrie kann
>>>> man diese beiden Punktmengen(=Ortslinien) äquidisdanten
>>>>Abstands sehr leicht angeben. ..
und das tut er auch.
Jutta ist eine von diesen Geometern, die sich nichts vormachen lassen
(Coxeter steht bei mir notiert). "scrutinize" , das macht Wolfgang, er
schraubt die Sache in einen Schraubstock seines Verstands, dass kein
Ausweichen moeglich ist, und dann wird untersucht. Und beide sehen auch
ueber solche Merkwuerdigkeiten nicht hinweg, sie merken sich die und
haben sie dann parat, wenn sie gebraucht werden.
Da habe ich also gelernt:
Man kann in allen drei Geometrien "Geraden" und "Punkt"mengen
("Gesamtheit von Punkten" mit Eigenschaft) unterscheiden, und in zweien
gibt es "Geraden" die "parallel" sind, aber - und da muss einer erst
mal drauf kommen - es gibt auch noch "Punkt"mengen, die zu einer
"Gerade" "parallel" sind.
Waere dies auch ein Beispiel (mit meinen Worten): ein Breitenkreis auf
einer Kugeloberflaeche ist parallel zum Aequator, beides Linien, beides
Kreise, der Aequator eine geodaetische Linie (kuerzeste Verbindung auf
der Oberflaeche). Von diesem Model zu den Axiomen (elliptische
Geometrie) Aequator = "Gerade", Breitenkreis = "Punkt"menge, zu jedem
"Punkt" der "Geraden" gibt es einen Laengenkreis= "senkrechte Gerade",
der zugleich zu dem Breitenkreis="Punkt"menge "senkrecht" ist.
Und Detlef hat ebenfalls eine Merk-Wuerdigkeit fuer uns:
> Natürlich kann man in einem Modell Punktmengen bilden, und wenn
> in dem Modell Geraden auch Punktmengen sind, kann man
> willkürliche Mengen darauf testen, ob sie Geraden sind.
> Aber niemand verlangt, daß Geraden Mengen von Punkten
> sein müssen!
> Es gibt beispielsweise einen Zugang in die Euklidische
> Geometrie über Gruppentheorie (F. Bachmann, "Aufbau der
> Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff")...
Gruesse von
Hero
Jutta Gut
"Hero" <Hero.van...@gmx.de> schrieb
> Da habe ich also gelernt:
> Man kann in allen drei Geometrien "Geraden" und "Punkt"mengen
> ("Gesamtheit von Punkten" mit Eigenschaft) unterscheiden, und in zweien
> gibt es "Geraden" die "parallel" sind, aber - und da muss einer erst
> mal drauf kommen - es gibt auch noch "Punkt"mengen, die zu einer
> "Gerade" "parallel" sind.
> Waere dies auch ein Beispiel (mit meinen Worten): ein Breitenkreis auf
> einer Kugeloberflaeche ist parallel zum Aequator, beides Linien, beides
> Kreise, der Aequator eine geodaetische Linie (kuerzeste Verbindung auf
> der Oberflaeche). Von diesem Model zu den Axiomen (elliptische
> Geometrie) Aequator = "Gerade", Breitenkreis = "Punkt"menge, zu jedem
> "Punkt" der "Geraden" gibt es einen Laengenkreis= "senkrechte Gerade",
> der zugleich zu dem Breitenkreis="Punkt"menge "senkrecht" ist.
Jein. Die Gleichabstandslinien sind eben in der nichteuklidischen Geometrie
nicht "parallel" (nicht einmal in Anführungszeichen), weil "parallel" nur
für Geraden definiert ist. Aber abgesehen davon finde ich das Beispiel gut.
Eine Gerade ist natürlich auch eine Punktmenge, aber in den Axiomen wird sie
zunächst unabhängig davon eingeführt, während man andere Objekte wie den
Kreis oder die "Gleichabstandslinien" nur als Punktmengen definieren kann.
lg
Jutta
Detlef Müller
> Hero schrieb:
>>>Aber da gibt es noch so ein mathematisches Modell...
>>>Es gibt eine Welt, die durchwachsen mathematisch ist und die
>>>unabhaengig von Mathematikern existiert.
> Detlef antwortete:
>>Mit der beschäftigt sich dann die Physik
>>...
>>Eine "Breitenlose Linie" und Sachen "ohne Ausdehnung" wirst
>>Du in der Wirklichkeit(TM) nicht finden.
> Dass die Welt etwas ist, was man anfassen kann, dass sie aus Sachen
> oder Dingen besteht, das ist nur die halbe Wahrheit. Wie breit ist die
> Drehachse der Erdrotation,
Säge mal eine Kugel auf und guck nach!
> wieviel Ausdehnung hat ein Schwerpunkt ?
Auch kein wirkliches Objekt, ein reines
Abstraktum.
> Ach und was man so alles entdecken kann, wenn der Computer mal nicht
> funktioniert: Baumstruktur (z.B. als Apfelbaum materialisiert),
Baumstruktur ist eine abstrakte Klassifizierung.
Kann man die Wirklichkeit überhaupt ernsthaft benennen?
Im Budhismus heißt es dazu:
Nennt man den Stab einen Stab, so lügt man, denn man
verschweigt man seine individuelle Natur.
Nennt man ihn nicht Stab, so lügt man, da er
ja ein Stab ist.
(... und er ward erleuchtet :) )
Klassifizierungen, gedachte Linien und Punkte in die
"Wirklichkeit" tragen zu wollen, ist wie
woodo-Zauberei.
> Winkel als Richtungsunterschied, Zahlenverhaeltnisse, Links- und
> Rechtdrehung bei Eiweiss, dort auch Codierung in RNS und DNS, und so
> etwas existiert unabhanegig von Mathematikern.
>
Alles Modelle, Klassifizierungen, Vereinfachungen.
Krücken aus Büchern für das Denken in Begriffen
und Wörtern.
Aus "der Wirklichkeit" findet sich da kein Stück.
...
> Bahnschienen sind keine Geraden ...
>>Und in wirklich großen Dreiecken ist die Winkelsumme auch
>>nicht 180°.
>>Das ist real messbar
> In diesen Dreiecken sind die drei Ecken nicht durch Geraden verbunden.
> ...
>>>>>Im Kleinschen Modell der ebenen hyperbolischen Geometrie kann
>>>>>man diese beiden Punktmengen(=Ortslinien) äquidisdanten
>>>>>Abstands sehr leicht angeben. ..
> und das tut er auch.
> Jutta ist eine von diesen Geometern, die sich nichts vormachen lassen
> (Coxeter steht bei mir notiert). "scrutinize" , das macht Wolfgang, er
> schraubt die Sache in einen Schraubstock seines Verstands, dass kein
> Ausweichen moeglich ist, und dann wird untersucht. Und beide sehen auch
> ueber solche Merkwuerdigkeiten nicht hinweg, sie merken sich die und
> haben sie dann parat, wenn sie gebraucht werden.
Hero, Du sagst einfach, nur die Euklidische Geometrie ist
die wahre.
Damit sind alle anderen falsch.
Was gibt es dann noch zu diskutieren?
Es dürfte ja wohl logisch sein, daß bei andern Axiomen
auch andere Resultate als im klassischen Fall
herauskommen.
Wenn als nicheuklidisches Modell die Erdoberfläche
genommen wird, sagst Du, das wär ja keine Ebene.
Hallo? Ist da wer?
Natürlich ist das keine euklidische Ebene, sonst
wär es ja kein nichteuklidisches Modell!
Aber all die Beispiele sind real existierende Anwendungen
nichteuklidischer Modelle "aus der Wirklichkeit".
Aus Sicht der elliptischen Geometrie ist die klassische
Euklidische Geometrie "falsch" - so what?
Du willst halt nicht auf einer Kugeloberfläche geometrie
betreiben, oder Dich auf andere Modelle einlassen.
Dann lass es.
Ich denke, es gibt da nichts weiter zu sagen.
Gruß,
Detlef
Hero
> Klassifizierungen, gedachte Linien und Punkte in die "Wirklichkeit"
> tragen zu wollen, ist wie woodo-Zauberei.
Tier"klassen", Zebra gehoert dann schon in eine andere "Klasse". Richte
mal eine grosse Glasslinse senkrecht zu den Sonnenstrahlen aus und
halte Deine Hand auf die andere Seite. In einem gewissen Abstand gibt
es da so einen woodo-Punkt. Klar ist ein Punkt ein "Abstraktum", aber
wovon? Oder existieren Punkte erst seitdem die Axiome aus Hilbert's
Kopf uns vermittelt wurden ? Und ich frage auch, wie alle Schueler:
"Wofuer ist das gut ?" Das dazu.
Detlef schreibt:
> Hero, Du sagst einfach, nur die Euklidische Geometrie ist die wahre.
> Damit sind alle anderen falsch. Was gibt es dann noch zu diskutieren?
> ...
> Du willst halt nicht auf einer Kugeloberfläche geometrie
> betreiben, oder Dich auf andere Modelle einlassen.
Eine weitere Merk-wuerdigkeit vom Anfang des Threads. In meinen Worten:
auf der Oberflaeche eines Kegels, Zylinders, sowie eines hyperbolischen
Paraboloids oder eines Hyperboloids gibt es zwei Arten von
geodaetischen Linien, gerade und gekruemmte. Anders ausgedrueckt sind
einige geodaetische Linien auch raeumlich gesehen die kuerzeste
Verbindung zweier Punkte der Oberflaeche, also gerade, und einige
nicht, sie sind nicht gerade (sie sind krumm).
Uebersetze ich in Axiomen-sprache: Geodaetische Linie ="Gerade".
Die angegebenen Oberflaechen, oder mindestens eine davon, kommt als
Modell einer hyperbolischen Geometrie vor. Aber in der hyperbolischen
Geometrie werden die geraden "Geraden" nicht von den krummen "Geraden"
unterschieden.
Ich suche also einen Zugang zum Verstaendnis der nicht-euklidischen
Geometrie. Aussserdem, da es Differenzen gab, muessen wir auch das
Verhaeltnis zur euklidischen betrachten.
Detlef schrieb:
> Die "Euklidische Geometrie" ist für mich ein Satz klarer Axiome,
> wie etwa die Hilbertschen auf dem aufbauend weitere Definitionen
> und Folgerungen eine Wissenschaft für sich bilden.
Und ich moechte auch noch auf etwas eingehen, womit ich total nicht
einverstanden bin:
> Wie dem auch sei, mit der altertümlichen Sprechmathematik
> des Euklid werde ich mich nicht mehr befassen, Seine
> Gedanken wurden bereits erfolgreich in moderne Sprache
> übersetzt.
> Tu Dir den Gefallen, und benutze die Alten Quellen erst, wenn
> Du die Sache an und für sich verstanden hast.
> Es ist hier scheinbar die vollkommen idiotische Sitte
> eingezogen, sich mit altertümlichen Texten zu kasteien,
> obwohl diese längst in klarere, einfachere und
> gleichwertige moderne Begriffswelten übersetzt sind.
> Wir sind hier nicht in der Theologie oder Historie,
> wo Urhebertreue Nähe zur Wahrheit bedeutet, in der
> Mathematik ist es umgekehrt: Durch einen jahrhunderte
> währenden Prozess werden Ungenauigkeiten,
> Missverständlichkeiten und Fehler behoben, nicht verstärkt.
(Axiome in Hinblick auf nichteuklidische Geometrie) Die Axiomatik
Hilbert's faellt nicht vom Himmel, hat eine Geschichte und wie Wolfgang
uns mit guten Hinweisen versorgt hat und Detlef auf Bachmann hinweist
wird sie schon wieder weiterentwickelt. Schon bei Euklid gibt es
gewisse Entwicklungen, die sich aehnlich heute wiederholen. Aristoteles
hatte bereits eine Axiomatik der Logik und Teilen der Mathematik
betrieben, es gab eine hochentwickelte Geometrie und hier auch
mehrere, die "Elemente" verfassten. Plato schreibt (Philebos 51 c):
"Als Schoenheit von Figuren versuche ich jetzt nicht das zu bezeichnen,
was die Menge dafuer nehmen duerfte, wie z.B. die von lebenden Wesen
oder Gemaelden, sondern ich verstehe darunter... Gerade und Kreis und
die von dieser aus durch Zirkel und Lineal und Winkel entstehenden
ebenen und raeumlichen (Figuren)."(Helmuth Gericke, "Mathematik in
Antike, Orient und Abendland" ) Und Euklid folgt Plato hierin und auch
im Vermeiden von Bewegung, alles ist statisch. Das zeigt auch der
Lapsus bei Definition des Kegels, der durch Rotation erzeugt wird ( na
ja, durch Kreis und Gerade koennte man ihn erzeugen, aber nicht mit
Zirkel und Lineal).
Stellen wir ihm Hippias von Elis gegenueber, der schon vor den
"Elementen" eine Kurve durch die Parallelverschiebung einer Geraden im
Schnitt mit Drehung einer anderen Geraden, beides mit konstanter
Geschwindigkeit, erzeugt: die Quadratrix, mit der man etwa auch Winkel
dreiteilen kann.
Neben den 13. Buechern der "Elemente" schrieb Euklid auch vier Buecher
ueber Kegelschnitte, die aber nicht ueberliefert sind. Er behandelt
also selbst ausser Kreis und Gerade andere Linien, nichtgerade Linien.
In den Elementen behandelt er axiomatisch abgesichert von den Linien
nur Geraden und Kreise. Ich vermute mal, dass die Beweise etwa ueber
Kegelschnitte nicht axionmatisch abgesichert gefuehrt wurden. Es gibt
jedoch in der klassischen Geometrie den Ausdruck "Geometrischer Ort von
Punkten" - das sieht so aus, als haette hier jemand einen raffinierten
Dreh gefunden, um bei Zirkel und Lineal bleiben zu koennen. Denn damit
kann man viele (alle ?) Linien punktweise konstruieren.
Archimedes "On Spirals" (nach Henrietta Midonick):
"If a straight line of which one extremity remains fixed be made to
revolve at a uniform rate in a plane until it returns to the position
from which it started, and if, at the same time as the straight line
revolves, a point move at uniform rate along the straight line,
starting from the fixed extremity, the point will describe a spiral in
the plane." Das ist eine andere Art von Geometrie (nicht notwendig
widersprechende Geometrie), die Bewegung eines Punkts erzeugt eine
Linie. Das geht ueber Zirkel und Lineal hinaus. Und das erfordert auch
eine Begruendung fuer den Zusammenhang von Punkten auf einer Linie, die
eben mehr ist ist als nur ein "Geometrischer Ort von Punkten". Und
dafuer liefert Archimedes ein "Lemma":
"And here, too, as in the books preciously published, I assume the
following lemma, that, if there be (two) unequal lines or (two)
uneaqual areas, the excess by which the greater exceeds the less, can,
by being [continually] added to itself, be made to exceed any given
magnitude among those which are comparable with [it and with] one
another."
(und dies bezieht sich nicht nur auf Geraden, "lines" etwa auch in
"Proposition 4
Given two unequal lines, viz. a straight line and the circumference of
a circle...")
Dies Lemma gibt also so etwas wie Zusammenhang, Stetigkeit,
Verbindung der Punkte untereinander.
Und von Archimedes soll auch der Satz stammen, dass die Gerade die
kuerzeste Verbindung zweier Punkte ist (dazu habe ich leider keine
Quelle, Hermann hilf). Dies ist ja in 3D immer wahr, eine geodaetische
Linie zwischen zwei Punkten auf einer Oberflaeche ist immer laenger
oder gleich der Laenge eines Geradenabschnitts, des direkten Wegs durch
den Raum.
Und Euklid's Theoreme und Axiome verbieten nicht die Erweiterung von
geometrischer Ort von Punkten auf (zusammenhaengende) Linien und auch
nicht, Geraden und Kreise wiederum als Linien zu betrachten
Die Geometrie entwickelt sich im Wechselspiel mit ihrer Axiomatik, und
die Axiomatik so auch - aber auch im Wechselspiel mit anderen
Einfluessen.
Hilbert nun ist platonischer als Euklid und Plato (in meinen Augen ein
bedauernswertes armes
Mensch)
* wie Euklid keine Bewegung
* Das 3. Postulat (Kreis) nimmt er aus den Axiomen raus, (es wird auch
nicht aus den anderen bewiesen, der Kreis wird einfach definiert als
"Gesamtheit von Punkten", nicht als axiomatisch abgesichertes Objekt).
* den "geometrischer Oertern von Punkten" entsprechen bei ihm die
"Gesamtheiten von Punkten", also fehlt hier auch erstmal der
Zusammenhang, Stetigkeit.
Er benennt zwar ein Axiom mit Stetigkeit und Archimedes, aber dies ist
nicht das Lemma (siehe oben) sondern eher eine Folgerung davon und vor
allem, mir scheint, er bezieht dies nur auf Geraden und nicht auf
"Gesamtheiten von Punkten" im Unterschied zu Archimedes.
(Ich denke hier auch an die Topologie (Kuratowski), die eine Gerade als
Paar zweier Mengen, einer Menge von Punkten und einer Menge von
Intervallen (Menge von Mengen von Punkten) zwischen den Punkten
betrachtet. Dies auf Linien erweitert)
* Paralleleaxiom nicht Euclid (wurde schon zitiert) sondern eher von
Proklos (410-485 n.Chr.):
"Wenn a eine Parallele zu g durch den Punkt P ist, so gibt es keine
zweite von a verschiedene Prallele zu g durch diesen Punkt P."(nach
Colerus)
wobei Hilbert sogar noch "hoechstens eine Parallele" sieht.
* Geraden brauchen keine "Punkt"Gesamtheiten sein (nach David)
* Hilbert's "Euklidische Geometrie" kommt mit zwei Geschwistern zur
Welt, den beiden nicht-euklidschen Geometrien.
David schrieb so schoen ueber die "moeglichen Welten" , in denen die
Axiome "lebendig" werden. Und ich bin auf der Suche nach Axiomen, die
in einer Welt leben, in der wir auch leben. Einen guten Tipp habt ihr
ja schon gegeben: die Entwicklung nach Hilbert brachte Axiome mit
Veraenderung und Bewegung in der Form von Spiegelungen, und der
Hintereinanderausfuehrung mehrerer Spiegelungen (dies wird sogar mit
>Bewegung< benannt). Diese Entwicklung geht wohl auf Felix Klein zurueck.
Aber ich verstehe Bewegung noch mehr im Sinne Archimedes: Linien durch
(stetige) Bewegung von Punkten erzeugt (auch 3D-Linien), Flaechen durch
Veraenderung von Linien, z.B. auch Regelflaechen wie Hyperboloide
durch Bewegung von Geraden, Koerper durch Flaechen, Linien vielleicht
auch als Verformung von Geraden, axiomatisch abgesicherte
veraenderliche Grooessen, Differentation und Integration.
Gibt es sowas, oder kann man all dies etwa aus Bachmann's Axiomen
bereits herleiten?
Schoen waere es auch, wenn man gerade Geraden als kuerzeste Verbindung
im Raum axiomatisch haette. Und Winkel werden vielfach durch zwei
Geraden definiert, dies entspricht einem Richtungsunterschied. Wie
kommt man von hier aus zur Rotation, etwa einer Umdrehung von 450 Grad?
Ja und dann mal wieder Kurs auf die nichteuklidischen.
Viel Spass
Hero
Hero
> Hilbert nun ...
Eine Ergaenzung zu Hilberts Axiomatik der "Euklidischen Geometrie":
* er laesst auch das 4. Postulat Euklids weg ("Gefordert soll sein:...
4. Dass alle rechten Winkel einander gleich sind," ).
Frage an die Experten, tauchen die rechten Winkel gar nicht mehr auf
bzw. wie werden die beschrieben ?
Da ist es doch erstaunlich, dass einige in der Mathematik nicht nur
eine Mathe-fiction sehen, sondern auch behaupten, sie habe nichts mit
der Realitaet, mit der Wirklichkeit und unserem Lebensraum zu tun,
denn:
"Analog entwickelte Leonard Euler die Affine Geometrie durch
Auslassung des 3. und 4. Axioms, welche in der speziellen
Relativitaetstheorie (Minkowskiraum) wichtig ist "(wiki, Euklidische
Geometrie) Minkowski 1907
"Eine wichtige Anwendung der hyperbolischen Geometrie ist die
Beschreibung der Geometrie des Raumes in der Allgemeinen
Relativitatetstheorie."(wiki nichteuklidische Geometrie)
1915 entdeckte Hilbert die Feldgleichungen der Allgemeinen
Relativitaetstheorie fast zeitgleich mit Einstein.
David schrieb:
> Die Physiker können machen, was sie wollen. Und vieles aus der
> Physik hat dann wieder Eingang in die Mathematik. Aber die Zeit, wo
> beides das selbe war, ist wohl erstmal vorüber.
Die "nichteuklidische Geometrie" bzw einige ihrer Modelle werden in der
Relativitaetstheorie verwendet.
"Man merkt die Absicht und ist verstimmt..." heisst es in einem
schoenen Gedicht, dessen Autor mir leider gerade nicht einfaellt.
Zweidimensionale Flaechen wie eine Ebene und eine Kugeloberflaeche kann
man schneiden. Da eine gekruemmt ist braucht man dazu eine Dimension
mehr.
Gekruemmte 3D-"Raeume" gibt es in mathe-fiction, sie befinden sich in
einem 4D Hyperraum. Es gibt aber dort doch wohl auch nicht-gekruemmte
3D- "Raeume". Werden die auch in Zusammenhang untereinander untersucht,
etwa der Schnitt beider ? Warum nennt sich das Ganze nicht
4D-Geometrie, sondern wird es in drei axiomatisch getrennte Theorien
untergebracht, in "Euklidisch", "Elliptisch" und "Hyperbolisch" ?
Viel Spass
Hero
PS. David, hast Du Dein Posting vom 21.9. zurueckgezogen ?
Es taucht in meinem Newsreader (Google-groups) nicht mehr auf.
Wolfgang Kirschenhofer
Hero wrote:
> Hilbert nun ...
Eine Ergaenzung zu Hilberts Axiomatik der "Euklidischen Geometrie":
* er laesst auch das 4. Postulat Euklids weg ("Gefordert soll sein:...
4. Dass alle rechten Winkel einander gleich sind," ).
Frage an die Experten, tauchen die rechten Winkel gar nicht mehr auf
bzw. wie werden die beschrieben ?
Hilbert definiert:
Ein Winkel, welcher einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, heißt "rechter
Winkel".(Vorher wird natürlich definiert, was ein Nebenwinkel ist.)
Diese Definition stimmt mit Definition 10 bei Euklid überein.
Aus den Kongruenzaxiomen Hilberts folgt dann
1.) der Satz: Es existieren rechte Winkel.
und
2.) der Satz: Alle rechten Winkel sind einander kongruent.
Hilbert beweist beide Sätze in seinen "Grundlagen der Geometrie" und zwar
den 1. auf Seite 17 unten und Seite 18 oben und den 2. Satz auf Seite 23
(Satz 21 bei Hilbert).
Das 4. Postulat Euklids ist also bei Hilbert ein beweisbarer Satz, der aus
seinen Kongruenzaxiomen folgt.
Abschließend möchte ich Dir einen netten Spruch ans Herz legen:
"Die (heutigen) Mathematiker sind an Werktagen Platoniker und an Sonntagen
Formalisten".
Vielleicht kann Dir dieser Spruch ein wenig helfen.
Herzliche Grüße,
Wolfgang
Hero
Wolfgang Kirschenhofer wrote:
.....
Ich geh mal davon aus, dass sich Hilbert's nichteuklidische von seiner
euklidischen nur im Parallelenaxiom unterscheiden, dass also Winkel als
Paare von "Geraden" definiert und der rechte "Winkel" ueber den
"Nebenwinkel". Stimmt das ?
Damit Hilbert mehrere Parallelen zu einer Geraden durch einen Punkt
ausserhalb bekommen kann, reduziert er Geraden als kuerzeste
Raumverbindung ihrer Punkte auf Kuerzeste Verbindung auf einer
Oberflaeche, auf Geodaete. Und Parallelen reduziert er auf "Geraden",
die sich nicht schneiden. Damit fallen die anderen Eigenschaften
paralleler Geraden weg, sie haben ueberall gleichen Abstand (und im
Abstand steckt auch der rechte Winkel), zwei Parallelen haben eine
gemeinsame Senkrechte usw.
> Abschließend möchte ich Dir einen netten Spruch ans Herz legen:
>
> "Die (heutigen) Mathematiker sind an Werktagen Platoniker und an Sonntagen
> Formalisten".
>
> Vielleicht kann Dir dieser Spruch ein wenig helfen.
Das ist ein netter Spruch, Wolfgang. Erstmal interpretiere ich ihn so,
dass man nicht dogmatisch sein soll. Ich hatte dies ja auch dadurch
angedeutet, dass Axiome geschichtlichen Wandel unterliegen. Ich finde
es auch gut, dass wir nicht alle gleich sind, sonst waers auch
stinklangweilig. Gut, dass wir unterschiedliche Meinungen haben und
gerade deswegen sich Mathe entwickelt. Und ich erlaube mir durchaus
gefuehlsbetont auf Hilbert zu reagieren, man sollte bloss nicht
gehaessig argumentieren.
Darum bin ich aber noch laengst nicht bereit einer Hilbertschen Predigt
an Sonntagen zuzustimmen, auf sein Verwirrspiel mit "Geraden"
hereinzufallen. Fuer mich war heute im Krankenhaus auch Werktag und
keiner unserer Aerzte hat heute eine Beckenschiefstellung bei
paralleler Beinstellung nach Hilbert beurteilt, naja- ist doch wohl
besser statisch nach Euklid. Und die sind mathematisch-geometrisch
clever, an Knochenoberflaechen gibt es weit mehr als Hyperboloide und
dies steht auch noch im Zusammenhang mit der Knochenstruktur durch
Zug-/Druck-Belastung und darueber hinaus werden Knochen vor allem
dynamisch als Teil des Bewegungsapparats betrachtet.
Soll Sonntags hypothetische Mathematik realistisch sein, weil sie in
physikalischen "Gedankenexperimenten" benutzt wird und dort umgekehrt
als Untermauerung, als Beweis dient? Und daraus folgert man dann in
schoenster Sonntags-Logik, dass unsere Welt endlich ist.
===================
Jetzt habe ich endlich mal "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie
zu Grunde liegen." von
Bernhard Riemann, 1867
http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Geom/Geom.html
gelesen. Das ist Mathe-fiction vom Feinsten. (Eine mathematische Quelle
fuer vielerlei sci.fi-Litaeratur ? Scheint mir so. Und es ist auch
nicht etwa in der theologischer Absicht geschrieben, zu beweisen, dass
die Welt endlich ist. ) Das lohnt sich doch Mathe-Geschichte
auszugraben, das blaest Hilbert glatt vom Hocker. Und vielen Dank an
David R. Wilkins, der auch andere gut lesbare Quellen fuer uns ins Netz
stellt, etwa auch Hamilton's geordnete Paare oder Riemann's
Dissertation von 1851 ueber komplexe veraenderliche Groessen, ganz ohne
imaginaere Achse, simpel im x-y-Koordinatensystem.
Vektoren als geordnete Paare usw sind da noch keine 35 Jahre alt.
(Hamilton darf man im Zeitalter des Nationalstolzes wohl nicht
erwaehnen). Vieles ist noch neu: "...dass die Orte der
Sinnengegenstände und die Farben wohl die einzigen einfachen Begriffe
sind, deren Bestimmungsweisen eine mehrfach ausgedehnte
Mannigfaltigkeit bilden".
"mehrfach ausgedehnte Mannigfaltigkeit" entspricht hier wohl n-tupel
Vektoren.
Man kann eine Ebene 2D darstellen, einen Raum 3D. Warum soll nun nicht
der 3D-Raum auch eine Kruemmung haben, wenn man eine 2D-Flaeche im
3D-Raum kruemmen kann? Dann muesste man eine vierte Raumdimension
voraussetzen ? Nicht unbedingt, Riemann weist die Kruemmung einer
Flaeche "intrinsisch" nach, also aus den Eigenschaften der gekruemmten
Flaeche selbst, ohne Zugriff auf den Raum, in dem sie gekruemmt ist.
Das kann man sogar eigentlich umdrehen : waere die Winkelsumme vieler
Dreiecke in verschiedenen Lagen im 3D-Raum ungleich zwei rechten, so
koennte man daraus auf eine Kruemmung dieses Raums schliessen und somit
muesste eine vierte Dimension existieren. (Dann sind uebrigens, so
schreibt Riemann, ebene Flaechen letztlich Kugeloberflaechen "also
endlich".)
"Ausser dieser Unabhängigkeit der Flächenstücke vom Ort findet bei
der Fläche mit dem Krümmungsmass Null auch eine Unabhängigkeit der
Richtung vom Ort statt, welche bei den übrigen Flächen nicht
stattfindet".
Der Mann weiss was! Auf der Kugel ist die Richtung West vom Ort
abhaengig (raeumlich gesehen) . Da steckt noch was drin :
Unabhaengigkeit der Richtung vom Ort! (Und dazu faellt mir noch eine
Eigenschaft der Geraden aus dem Schulunterricht ein: neben der
zwei-Punkte-Form gibt es auch die Punkt-Richtungs-Form und parallele
Geraden haben gleiche Raumrichtung)
Und noch mehr:
Bei positiver Kruemmung
"dass die Flächenstücke auch ohne Biegung beliebig bewegt werden
können,"
bei negativer nicht, und auch Faelle, wo "ohne Dehnung beweglich"
(Hallo Hilbert, Bewegung von Flaechenstuecken, was meinst Du dazu ?)
Hier mal diese Teile einfach im Zusammenhang:
"Zur geometrischen Erläuterung kann die Betrachtung der Flächen mit
constantem Krümmungsmass dienen. Es ist leicht zu sehen, dass sich die
Flächen, deren Krümmungsmass positiv ist, immer auf eine Kugel, deren
Radius gleich 1 dividirt durch die Wurzel aus dem Krümmungsmass ist,
wickeln lassen werden; um aber die ganze Mannigfaltigkeit dieser
Flächen zu übersehen, gebe man einer derselben die Gestalt einer
Kugel und den übrigen die Gestalt von Umdrehungsflächen, welche sie
im Aequator berühren. Die Flächen mit grösserem Krümmungsmass, als
diese Kugel, werden dann die Kugel von innen berühren und eine Gestalt
annehmen, wie der äussere der Axe abgewandte Theil der Oberfläche
eines Ringes; sie würden sich auf Zonen von Kugeln mit kleinerem
Halbmesser wickeln lassen, aber mehr als einmal herumreichen. Die
Flächen mit kleinerem positiven Krümmungsmass wird man erhalten, wenn
man aus Kugelflächen mit grösserem Radius ein von zwei grössten
Halbkreisen begrenztes Stück ausschneidet und die Schnittlinien
zusammenfügt. Die Fläche mit dem Krümmungsmass Null wird eine auf
dem Aequator stehende Cylinderfläche sein; die Flächen mit negativem
Krümmungsmass aber werden diesen Cylinder von aussen berühren und wie
der innere der Axe zugewandte Theil der Oberfläche eines Ringes
geformt sein. Denkt man sich diese Fläche als Ort für in ihnen
bewegliche Flächenstücke, wie den Raum als Ort für Körper, so sind
in allen diesen Flächen die Flächenstücke ohne Dehnung beweglich.
Die Flächen mit positivem Krümmungsmass lassen sich stets so formen,
dass die Flächenstücke auch ohne Biegung beliebig bewegt werden
können, nämlich zu Kugelflächen, die mit negativem aber nicht.
Ausser dieser Unabhängigkeit der Flächenstücke vom Ort findet bei
der Fläche mit dem Krümmungsmass Null auch eine Unabhängigkeit der
Richtung vom Ort statt, welche bei den übrigen Flächen nicht
stattfindet. "
Also unbedingt empfehlenswert. Und hier ist mathematische Spekulation
und Durchspielen von Hypothesen durchaus ehrlich. Und Ergebnisse gibt's
auch, und selbst wenn es bloss uber den 3D-Raum ist/waere.
Sie haben soeben "Das Wort zum Sonntag" gelesen von
Hero
Hero
...
Parallelen treffen sich durch Abbildung in der Projektiven Geometrie
ploetzlich doch in einem Punkt. Dieser Fluchtpunkt kommt aber neu zu
den Geraden hinzu, er selbst ist also kein Abbild eines Geradenpunkts.
Ein Punkt verwandelt unendliches in endliches.
Aehnlich passiert in der Kartografie, wenn man etwa stereografisch die
Erde vom Nordpol aus abbildet auf eine Ebene, die normal zur Erdachse
steht und die den Suedpol enthaelt : der Nordpol faellt raus, etwas
Kompaktes wird entkompaktifiziert, (aehnlich einem abgeschlossenem
Intervall, das offen oder halboffen wird, wenn man einen oder zwei
Punkte klaut).
(Die Umkehrung heisst Riemansche Zahlenkugel).
Die Ebene hat die Kruemmung Null, eine Kugel eine positive. Die Flaeche
einer Ebene uebersteigt jedes Mass, die Kugeloberflaeche ist stets
endlich, etwa in Quadratcentimeter zu messen.
Also wie kann man eine (unendliche) Ebene in eine Kugel ( mit endlicher
Oberflaeche) verwandeln?
In den "Hypothesen, welche.." hat Riemann noch eine zweite Moeglichkeit
bedacht: man kann Flaechen aufwickeln. Also man startet mit der
(unendlichen) Ebene und biegt sie, veraendert die Kruemmung von Null zu
positiven Werten. Irgendwann ueberlappen sich die Enden und man kommt
zu einer Kugel auf der dieselbe Flaeche unendlich oft vorkommt, wie
Blaetter eines Buchs, ("Mannichfaltigkeit" als viele Falten). Aber
irgendwie ist dies falsch. Ich weiss nicht, ob er es noch
weiterverfolgt hat
In 3D sind Flaechen eben, nicht gekruemmt oder sie sind gekruemmt,
positiv, negativ. Man kann sie in drei Schubladen stecken: Ebene
Geometrie, sphaerische Geometrie, Geometrie auf anderen Oberflaechen.
Man kann aber die Schubladen auch wieder aufmachen und alles unter dem
Oberbegriff 3D-Geometrie zusammenfuegen und zusaetzlich hier den
Zusammenhang der drei untersuchen. Ebenso in 4D mit vier gleichartigen
D's. Dort ist nicht der 4D gekruemmt, sondern die 3D's : positiv,
negativ oder null. Und man sollte solche Unterscheidungen wie zwischen
Geraden von Geodaeten nicht aufgeben, sondern eher sorgfaeltig
benennen.
Auf geht's in die vierte Dimension, ab in die Geisterbahn.
Punkt, Gerade, Ebene, Raum - 0, 1, 2, 3 Dimensionen, mathematisch mit
4-tupeln fortsetzbar. Ist die vierte Dimension den anderen qualitativ
gleich, dann kann man aus den dreien extrapolierend fortsetzen. Auf
der Geraden hat's keine Kruemmung, in der Ebene ist etwa der Kreis
einfach gekruemmt, im Raum die Kugel zweifach, der Zylinder einfach.
Aber was gilt nun : In 4D ist die Hoechstzahl der Kruemmungen dann
4-1=3, oder zu jedem moeglichen Paar von Dimensionen eine, dann waeren
es 6 Kruemmungen?
Schneidet man eine Ebene mit einer Kugeloberflaeche erhaelt man einen
Kreis, dessen Inneres wohl auf der Ebene liegt, aber nichts mit der
Kugeloberflaeche gemein hat. Schneidet man nun einen nicht gekruemmten
3D-Raum mit einem ueberall positiv gekruemmten 3D-Raum erhaelt man eine
Kugeloberflaeche. Hat das Innere der Kugel nun etwas mit dem
gekruemmten 3D-Raum gemein ? (ich meine nicht)
f(z) ist ein Super-Computerprogramm von Martin Lapidus, vor allem fuer
komplexe Zahlen:
http://www.lascauxsoftware.com
In der kostenlosen Demo-version, die fuer mich mehr als ausreichend
ist,
hat er auch 4D-Beispiele, die veraenderbar sind. Die sehe ich mir
manchmal an, und ....
Und auf dem Bodensee dsm-Treffen gab es einige, die koennen auf einem
2D Bild eines 4D-Objekts dies erkennen und Dir andere Ansichten davon
skizzieren. Also, ich bekomme davon Gehirnwindungsverschlingung.
Ich suchte nach einem Zugang zur nichteuklidische Geometrie. Die ist
doch wohl in 3D eine Geometrie auf gekruemmten Oberflaechen, schon weit
vor Lobatschewsky, Bolyai untersucht und in 4D, da werde ich wohl nie
reinkommen, das kann ich mir nicht vorstellen.
Viel bemerkenswerter als eine vierte Dimension, den drei
raumdimensionen gleichartig, ist fuer mich jeder Punkt, und jeder hat
Null Dimension ! Und doch ist er da.
Und ich wollte jetzt eigentlich einen neuen Thread anfangen, ueber
diesen Punkt, der etwa die Ebene abschliessen und endlich machen kann.
Da hatte ich doch albrecht widersprochen, als er meinte, eine Gerade
koenne als Kreis mit unendlich grossem Radius aufgefasst werden.
"Wieviel Ecken hat der Kreis? oder Cantus finitus" (9.Juli 05)
Er zog dies zurueck und sonst ging da keiner drauf ein. Wie ich nun
aber nach dieser Geraden per Suchmaschine suchte, fand ich dies,
einen dsm.Thread: "Eine Gerade ist ein Kreis..."(beginnend 4.7.04)
Und dort wurde schon alles gesagt, was ich mir so ausgedacht hatte, und
noch viel mehr. Mein Standpunkt wurde uebrigens von Hero Wanders super
dargestellt und da es auch ueber 3D hinausging, schrieb Paul
> [1] Ich habe immer Probleme mit
> höherdimensionalen gekrümmten Räumen ...
Na, da bin ich ja nicht der einzigste.
Viel Spass
Hero
Hero
.....
Hilbert war nicht nur Mathematiker, sondern beschaeftigte sich auch mit
der Relativitaets-Theorie. 1915 entdeckte Hilbert die Feldgleichungen
der Allgemeinen Relativitaetstheorie, mit Einstein fast zeitgleich
(was in dieser Theorie uebrigens gar nicht existiert, ich meine
"zeitgleich").
"Eine wichtige Anwendung der hyperbolischen Geometrie ist die
Beschreibung der Geometrie des Raumes in der Allgemeinen
Hilbert's nichteuklidische Geometrie ist diesen Zwecken angepasst und
darueber hinaus veraendert er auch noch die Geometrie Euklids in eine
eigene "euklidische Geometrie", der er auch Archimedes' Lemma der
Stetigkeit hinzufuegt, aber auch veraendert. Seine Geometrien sind
total statisch (soweit dies ueberhaupt geht) und alles was an Bewegung
erinnert, ist verbannt.
Nun geht es in der Relativitaets-Theorie aber bekanntlich nicht um die
"Geometrie des Raumes", wie der wiki-Autor es beschreibt, sondern um
die ZEIT, als auch um ihren Zusammenhang mit Bewegungen und Raum.
Punkt, Gerade, Ebene, Parallele - um diese Begriffe geht es am Anfang
bei Gauss (und wohl auch Lobatschewsky und Bolyai) und Riemann. Sie
brachte viele neue Ergebnisse, beispielsweise ueber die Kruemmung von
Flaechen. Teilweise unter Verwendung von bereits bekannten Tatsachen
etwa der sphaerischen Geometrie, wie ueber Grosskreise, wurden Linien
wie Geodaeten, kuerzeste Verbinungen auf Oberflaechen, untersucht.
Meines Erachtens konnte aber kein Widerspruch zu der bekannten Tatsache
gefunden werden, dass es zu einer Geraden, als kuerzester Verbindung
ihrer Punkte im Raum, durch einen Punkt ausserhalb genau eine Parallele
gibt, wobei der Abstand des Punkts von der Geraden den Abstaenden aller
anderen Punkte der Parallelen von der Geraden gleich ist.
Hilbert veraendert den definierten Sinn der Begriffe Gerade, Ebene und
Parallele, verlaesst die klare Ausdrucksweise etwa von Gauss. In seinen
Geometrien hat er jetzt keine, eine oder mehrere "Parallelen" zu einer
"Geraden" durch einem "Punkt" ausserhalb. Dies fuehrt zu einigen
unagenehmen Tatsachen : auf der Kugeloberflaeche, eins seiner Modelle,
schneiden sich zwei Grosskreise in zwei Punkten und durch diese gehen
sogar sehr viele Grosskreise. Benennt man jetzt Grosskreise mit dem
Wort "Gerade"...Ebenso gibt es zu einer "Geraden" hier eine
Gleiche-Abstandslinie (man denke an die Breitenkreise), die aber keine
"Gerade" ist. Auf einem anderen Modell, dem parabolischen Hyperboloid
(was uebrigens eine Flaeche und kein Koerper ist) gibt es gerade
Geodaete und gekruemmte, Hilbert unterscheidet aber nicht gerade und
krumm bei seinen "Geraden". Auf der Hyperboloid-Flaeche gibt es zu
jeder Geraden eine Parallele und mehrere Geodaeten, die sich nicht mit
der Geraden schneiden - fuer Hilbert alles "Parallele", die er eben
auch nicht in parallele und nicht-parallele unterscheidet.
Bei Riemann fand ich den Satz: "Ausser dieser Unabhängigkeit der
Flächenstücke vom Ort findet bei der Fläche mit dem Krümmungsmass
Null auch eine Unabhängigkeit der Richtung vom Ort statt, welche bei
den übrigen Flächen nicht stattfindet. "
"Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen." von
Bernhard Riemann, 1867
http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Geom/Geom.html
Der Begriff der "Richtung" oder der verwandte Begriff der "Lage"
geometrischer Objekte steht am Anfang der Vektor-Geometrie, von Caspar
Wessel begonnen.
Mich interessiert wirklich, wie Hilbert damit umgeht.
In der Schule lernte ich, dass ich eine Gerade in Punkt-Richtungs-Form
raeumlich beschreiben kann und Parallelen Geraden gleicher Richtung
sind. Mit dem Begriff der "Lage" hat man aber sofort auch den
Unterschied von Lagen und leicht die Lageveraenderung, etwas , was man
umgangssprachlich mit Bewegung benennt. Und mit Vektoren und Richtungen
kommt man schnell zu Verschiebungen (Translationen) und Rotationen
(Drehbewegungen).(((Interessant ist nebenbei, dass in der affinen
Geometrie allein aus Spiegelungen Translation und Rotation erzeugt
werden kann, insbesondere, wenn man dies mit dem dauernden
Richtungswechsel der elektrischen und magnetischen Wirkung etwa des
Lichts verbindet.)))
Gibt es das nun nur inerhalb der Mathematik, diese "Unabhängigkeit der
Richtung vom Ort " ?
1850 fuehrte Foucault sein Pendel vor (Vorlaeufer 1661 V. Viviani) und
die netten Leute vom Science Museum in London verrieten mir in der Zeit
vor dem Internet ihr Geheimnis: Wuerden wir das Pendel zum Nord- oder
Suedpol bringen, dann wuerde die Erde sich einmal taeglich unter dem
Pendel drehen. Aber wie lang ist dieser Tag, in Uhrzeit ausgedrueckt ?
Er ist mehr oder weniger etwa 4 Minuten kuerzer als 24 Stunden.
Daraus schliesse ich, dass es Raumrichtungen gibt und die Beobachtung
der "Fix"Sterne uns einen Eindruck davon vermitteln kann. Sie sind so
weit von uns entfernt, dass ihre und unsere Bewegung dies nicht gross
beeinflusst. Dies Pendel ist ein hervorragendes Beispiel einer
Orientierung unabhaengig vom Licht (Light independent orientation
)(Lio) .
http://obelix.physik.uni-osnabrueck.de/~schnack/foucault/node1.html#SECTION00010000000000000000
Fuer denselben Zweck werden in Raumschiffen Gyroscope benutzt, haeufig
auf einer cardanisch aufgehaengten Plattform zusammen mit
Beschleunigungsmessern. Damit haben wir gleiche Richtungen,
Parallelitaet, doch immerhin schon durchs halbe Sonensystem beobachtet.
Dies ist ein Grund fuer die phantastischen Ergebnisse der Voyager
Missionen ( der andere die Abstandsmessung durch Zaehlen von
Lichtschwingungen, deren Praezision vom Abstand fast unabhanegig ist).
Zusammen fuehrte es ja bekantlich zum GPS- Orientierungssystem.
Richtung, Lage ist bei naeherem Hinsehen ohne Gegenueberstellung zur
Zeit nicht zu verstehen: Beim Pendel bleibt die Schwingungsebene und
normal dazu die Achsrichtung im Verlauf der Zeit unveraendert. (Es ist
kein Zufall, dass Viviani's Freund Galileo das Pendel als Taktgeber zur
Uhr verwendete,
http://brunelleschi.imss.fi.it/catalogo/genappr.asp?appl=SIM&xsl=approfondimento&lingua=ENG&chiave=100326
Zeit wird gezaehlt, und zwar mit einer moeglichst regelmaessigen
Bewegung.)
Vektorpfeile in 3D kann man auch als eingefrorene Zeit auffassen, wie
das Bild einer Sternschnuppe vor Fixsternen in unseren Augen oder das
Foto eines verwischten Rennwagens vor scharfen Hintergrund.
Damit sind wir auf einem anderen Weg auch zur Zeit gekommen. Und die
stand auch am Anfang 1834 als William R. Hamilton
"Algebraic Couples, and Algebra as the Science of Pure Time"
schrieb, was man hier nachlesen kann.
http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/PureTime
Es ist hoechste Zeit, dass die Mathematiker sich mal wieder ihr
zuwenden, meint
Hero
Hero
> Hilbert war nicht nur Mathematiker, sondern beschaeftigte sich auch mit
> der Relativitaets-Theorie. ....
Ein Nachtrag: ich hab noch mal bei Einstein nachgelesen. Er betreibt
nicht die Kunst Krummes "Gerade" zu nennen, nein, er spricht von
Geodaeten und von Gauss'schen gekruemmten Koordinaten.
Viel Spass
PS Wer sich einen gemuetlichen Sonntag-Nachmittag machen will, kann ja
mal uber die Bradley-Aberration, von Jean Picard 1680 entdeckt, im
Zusammenhang mit dem Relativitaets-Prinzip nachdenken (was Einstein
nicht tat). Immerhin ist diese unabhaengig von der Geschwindigkeit der
Lichtquelle und beweist die Geschwindigkeitsaenderung eines Beobachters
zusammen mit der Erde, bei der Bewegung um die Sonne. Und wer lieber
surft, der kann ja mal lesen, was Paul Marmet dazu schreibt:
http://www.newtonphysics.on.ca/Aberration/Aberration.html
Wegen solcher unorthodoxer Gedanken flog er von der Uni. Hoffentlich
leben wir jetzt in einem besseren Jahrtausend.
Hero
"Die hier abgeleitete Fundamentaleigenschaft der kürzesten Linie, die
darin besteht, dass ihre Hauptnormale überall mit der Flächennormale
zusammenfällt, ist zuerst von Euler gefunden [~Methodus inveniendi
lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes( etc., Lausannae
1744"
Und alle Euler-Texte finden sich hier:
http://www.eulerarchive.com
Gruss
Hero
Hero
diesmal ueber "Nichteuklidische Geometrie"
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/newsletter/newsletter11.htm
Ich bin gleich am Anfang haengen geblieben , bei dem Bild einer Flaeche
mit konstanter negativer Kruemmung, der Pseodosphaere (Das ist ja noch
3D, hoeher komm ich doch nie). Und da sitz ich schon geraume Zeit, seh
mir diese Trompete an und frag mich, da doch durch jeden Punkt in jede
Richtung eine geodaetische Linie gehen soll, wie die geodaetische Linie
nun aussieht, die von irgendeinem Punkt im 45 Grad Winkel zu den
Koordinatenlinien (Kreis und Traktrix) weggeht.
Mal sehen, wer von Jutta's Trompete wach wird.
Gruss, vor allem auch an Jutta
Hero
Hero
koennt Ihr einiges im Thread "Kruemmung" lesen, mit Links auf
Gauss'-Texte. Von daher die Frage :
Da es von allen Lehrstuehlen nun mal heisst, dass unser 4D-Raum-Zeit
Universum gekruemmt ist, wie ist nach der Mathematik, die die
Relativitaetstheorie ja benutzt, die mathematische Definition dieser
Kruemmung ?
Hero
Jutta Gut
"Hero" <Hero.van...@gmx.de> schrieb
> Da es von allen Lehrstuehlen nun mal heisst, dass unser 4D-Raum-Zeit
> Universum gekruemmt ist, wie ist nach der Mathematik, die die
> Relativitaetstheorie ja benutzt, die mathematische Definition dieser
> Kruemmung ?
Auf der Homepage von Franz Embacher (der auch mathe online macht) gibt es
eine Einführung in die Relativitätstheorie für Nicht-Physiker:
http://homepage.univie.ac.at/Franz.Embacher/SRT/
Der Abschnitt "Die Geometrie der Raumzeit" beantwortet vielleicht deine
Frage. Die Idee ist, dass man die Raumzeit mit einer Metrik versieht, analog
zu einer gekrümmten Fläche.
Grüße
Jutta
Hero
sie dieselbe wie in der allgemeinen Relativitaetstheorie ? Und wie
bekommt man daraus ein Kruemmungsmass und wie ist dies definiert ?
Gruss
Hero
Hero
> Taerae, Taerae, Jutta hat einen neuen Mathe-Newsletter fuer uns,
> diesmal ueber "Nichteuklidische Geometrie"
> http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/newsletter/newsletter11.htm
> Ich bin gleich am Anfang haengen geblieben , bei dem Bild einer Flaeche
> mit konstanter negativer Kruemmung, der Pseodosphaere (Das ist ja noch
> 3D, hoeher komm ich doch nie). Und da sitz ich schon geraume Zeit, seh
Und in dem Thread "Kruemmung" kamen wir auch auf dies Modell einer
hyperbolischen Ebene zu sprechen, worauf dann Jutta in dem Thread
schrieb:
> Die Pseudosphäre ist kein perfektes Modell der hyperbolischen Ebene,
> eben weil sie einen Knick hat. Man kann sie nur auf einen Teil der
> hyperbolischen Ebene abbilden. Aber für lokale Betrachtungen reicht
> das.
Es klappt nie voellig mit der Nicht-euklidischen Ebene im 3D, mal kann
man nur lokal betrachten, mal ueberlappt sich ein Flaechenstueck, wenn
man einen Automorphismus drauf anwendet oder mal veraendert sich die
Form der Flaechenstuecke, und wenn sie starr sind zerbroeseln sie.
Warum eigentlich eine Nichteuklidische Ebene betrachten, es geht doch
um einen 3D-Raum, der irgendwie durch Hinzunahme einer vierten
Dimension eine Kruemmung aufweist? Nun, diese Spekulation ist eine
Herausforderung. Und da kann man fragen, wenn beispielsweise eine
Flaeche gekruemmt ist, also 3D, und ich schneide sie mit einer Ebene,
dann ist die Schnittlinie 2D auf der Ebene zu sehen, - - also, wenn ein
"gekruemmter 3D-Raum" mit dem bekannten 3D-Raum Euklids geschnitten
wird, erhaelt man doch eine gekruemmte Schnittflaeche, oder? Und das
waere dann eine "elliptische Ebene" von positiver Gauss-Kruemmung, eine
Kugel oder ein Ellipsoid, aber die sind ja nur endlich gross. Oder eine
mit negativer Kruemmung, eben die hyperbolische Ebene und damit
klappt's auch nicht.
Kann man das eleganter formulieren, als wie Evelyn Sander:
"However, a result due to Hilbert says that it is impossible to
smoothly embed the hyperbolic plane in Euclidean three-space using the
usual Euclidean geometry. (Technical note: In fact it is possible to
have a C^1 embedding into R^3, according to a 1955 construction of
Nicolaas Kuiper, but according to William Thurston, the result would be
"incredibly unwieldy, and pretty much useless in the study of the
surface's intrinsic geometry."[William Thurston, "Three Dimensional
Geometry and Topology," Geometry Center Preprint, 1991, p.43.]))Since
there is no such smooth embedding, any model of the hyperbolic plane
has to use a different geometry. In other words, we must redefine words
like point, line, distance, and angle in order to have a surface in
which the parallel postulate fails, but which still satisfies Euclid's
postulates 1-4 (stated in the previous article). Here are brief
descriptions of three models:"
http://www.geom.uiuc.edu/docs/forum/hype/model.html
Es kann jeder herauslesen, was ihm zusagt, und doch sagt die Frau die
Wahrheit.
Einem Staedter kann schon passieren, dass er alle Rinder als Kuehe
bezeichnet, dann wird's schwierig Stiere von Kuehen zu unterscheiden.
Bei Hilbert war es Absicht. Geodaetischen Linien werden zu "Geraden",
gekruemmte Flaechen zu "Ebenen" - weil nun mal im 3D zu einer Geraden
nur eine Parallele durch einen anderen Punkt geht. Euklid, Archimedes
und viele andere waren ja nicht bloed.
Viel Spass
Hero
Thomas Mautsch
> Hero wrote:
[ ... ]
> Kann man das eleganter formulieren, als Evelyn Sander:
> "However, a result due to Hilbert says that it is impossible to
> smoothly embed the hyperbolic plane in Euclidean three-space using the
> usual Euclidean geometry.
> there is no such smooth embedding, any model of the hyperbolic plane
> has to use a different geometry. In other words, we must redefine words
> like point, line, distance, and angle in order to have a surface in
> which the parallel postulate fails, but which still satisfies Euclid's
> postulates 1-4 (stated in the previous article).
> http://www.geom.uiuc.edu/docs/forum/hype/model.html
> Es kann jeder herauslesen, was ihm zusagt, und doch sagt die Frau die
> Wahrheit.
[ ... ]
Leider nicht, glaube ich,
denn ihre Argumentation steht irgendwie im Widerspruch dazu,
dass sich die hyperbolische Ebene isometrisch in einen
hoeherdimensionalen Euklidischen Raum einbetten laesst
(Dimension 6 z.B., wenn ich nicht irre).
Hero
> > Kann man das eleganter formulieren, als Evelyn Sander:
> > Es kann jeder herauslesen, was ihm zusagt, und doch sagt die Frau
> > die Wahrheit.
> Leider nicht, glaube ich,
> denn ihre Argumentation steht irgendwie im Widerspruch dazu,
> dass sich die hyperbolische Ebene isometrisch in einen
> hoeherdimensionalen Euklidischen Raum einbetten laesst
> (Dimension 6 z.B., wenn ich nicht irre).
Du schreibst ja dazu auch Interessantes in "Noch einmal Kruemmung".
Lass mich mal die Begriffe klaeren. Die Wissenschaftler goennen uns ja
wenigstens im Kleinen und angenaehert noch einen 3D- Raum und eine
Zeit, den Raum und die Zeit von Euklid, Archimedes.
Dann gibt es mathematische Dimensionen, die Wetterdatenuebermittlung
hat einen sagen wir mal mindestens 10-dimensionalen Vektor:
(Temperatur, Luftfeuchte abs., Luftfeuchte rel, Luftdruck,
Windrichtung,....), Wenn man mit solcher Art oder aehnlichen Vektoren
rechnen kann und gewisse Gesetze befolgt, sind solche Vektoren Elemente
eines Vektorraums.
Und wenn ich in diesem Vektorraum zusaetzlich ein Skalarprodukt zum
rechnen habe ( oder gleichwertig eine Metrik d = sqrt ( x1² + x2²
+x3²+ x4² + x5²+..) dann nennt man diesen Vektorraum euklidisch.
Man muss also unterscheiden zwischen dem Raum von Euklid 3D und einem
Vektorraum RxRxR. Und so haben die Wettervektoren auch nur wenig mit
Euklid 3D zu tun, vielleicht die Windrichtung.
Einen mathematischen Vektorraum der Dimension 6 stelle ich mir nun so
vor. Bewegt sich ein Hochdruckgebiet, kann ich jedem 3D-Raumpunkt die
Windgeschwindigkeit mit Richtung zuordnen - einen 3D-Vektor also.
Differenziere ich jede Komponente dieses Vektors partiell nach jeder
Richtung, erhalte ich eine Matrize mit 3x3 Komponenten, ein Element
eines 9D-Vektorraums. Wenn sich jetzt etwa ergibt, dass die partielle
Ableitung der Komponente in die x-Richtung nach der z-Richtung gleich
der partiellen Ableitung der Komponente in die z-Richtung nach der
x-Richtung ist, und das gleiche fuer x und y, sowie y und z gilt, habe
ich stets eine symmetrische Matrix. Die bilden nun einen 6D-Vektorraum.
Kann man auf so eine Art die "hyperbolische Ebene" und sein "Bett",
einen 6D Vektorraum mit Skalarprodukt beschreiben ?
Freundliche Gruesse
Hero