Das Kalenderblatt 091218
WM
Galileo Galilei (1564 - 1642) hat in seinem "Dialogo sopra i due
massimi sistemi" [Florenz 1632] die Protagonisten über die Anzahl von
Quadrawurzeln diskutieren lassen und in seinen "Discorsi e
Dimostrazioni Matematiche intorno a due nuove scienze" [1638,
Elsevirii, Leida (ein Verlag mit langer Tradition also)] das Kontinuum
bestehend aus aktual unendlich vielen Unteilbaren, sowohl non vacui
als auch vacui, beschrieben. Deswegen wollen wir die Protagonisten
nochmals zum Thema belauschen.
pipi (zu) lang
oder
Warum findet man pi nicht in Cantors Liste?
Sagredo: Besitzt pi eine Dezimaldarstellung, nennen wir sie pipi, die
sich von jeder anderen Zahl unterscheidet?
Simplicio: Jein. Für jede Zahl gibt es eine Dezimaldarstellung mit
einer Ziffer, die von pipi abweicht, aber es gibt keine Ziffer von
pipi, die von der Dezimaldarstellung jeder anderen Zahl abweicht.
Sagredo: Damit ist meine nächste Frage eigentlich schon beantwortet:
Kann man eine vollständige Dezimaldarstellung pipi, also eine die sich
von der jeder anderen Zahl unterscheidet, für pi hinschreiben?
Simplicio: Nein.
Salviati: Diese Frage wird wohl selten so klar beantwortet, weil sie
so selten gestellt wird. Man kann pipi also nicht in eine Liste
schreiben, weder in eine Zeile, noch in die Diagonale?
Simplicio: So ist es. Trotzdem gibt es die Zahl pi.
Salviati: Das bestreite ich nicht. Doch gibt es keine Möglichkeit, pi
als pipi in eine Zeile zu schreiben oder als Diagonalzahl zu gewinnen.
Das ist die wahre Ursache, weshalb pipi in Cantors Liste niemals
vorkommt. Mit der Häufigkeit von irrationalen Zahlen hat das also
nichts zu tun. Es liegt allein an ihrer esoterischen Existenz, die in
einigen (wenigen) Fällen schon Transzendenz zu nennen wäre.
Simplicio: Falsch! Es sind nicht wenige. Es gibt überabzählbar viele
transzendente Zahlen!
Salviati: Es? Wo gibt es sie denn? Als Ziffernfolgen existieren sie
nicht. Als Definitionen existieren können nur abzählbar viele Zahlen
existieren.
Simplicio: Es gibt sie eben.
Das ist der gegenwärtige Stand im Dialogo sopra i due sistemi di
numerazione
Der dezimale Baum könnte nun die Entscheidung bringen:
Jeder Pfad dort repräsentiert eine Dezimaldarstellung einer reellen
Zahl aus dem Intervall [0, 1]. Gibt es keine Dezimaldarstellung pipi
von pi, dann gibt es auch keinen Pfad für pi. Dann gibt es auch nicht
überabzählbar viele transzendente Zahlen (denn es wird ja die
Überabzählbarkeit der Dezimaldarstellungen behauptet).
Gibt es aber doch einen Pfad pipi für pi, dann ist pipi die
Vereinigung aller seiner endlichen Anfangsabschnitte und wird bei der
Konstruktion des Baums mit unterlaufen - als Grenzpfad der Vereinigung
der Folgenpfade. Doch solche Grenzprozesse sind selten, denn sie
bedürfen extrem langer Vorbereitung. Deswegen sind Grenzpfade niemals
häufiger als Folgenpfade.
Denn wie jeder Mathematiker weiß: Jede konvergente unendliche Folge
muss mindestens ein Folgenglied enthalten und darf höchstens einen
Häufungspunkt besitzen; der wird auch Grenzwert der Folge genannt.
Gruß, WM
Vogel
d9e607...@v30g2000yqm.googlegroups.com:
>
> Warum findet man pi nicht in Cantors Liste?
>
> Sagredo: Besitzt pi eine Dezimaldarstellung, nennen wir sie pipi, ..
>
Andere nennen so etwas eher Kacki.
K�nntest du dein Pipi auch woanders machen?
Wascht du dir hinterher auch immer die H�nde?
Immer sch�n waschen, sonst gibt es �rger mit der Aufsehertante.
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Selber denken macht klug.