Am 24.06.21 um 21:47 schrieb Hans-Juergen Schneider:
> Alfred Flaßhaar wrote:
...
> Ansonsten wöllte ich wissen, welcher Wert für n = n-te Wurzel aus n
> das Maximum ergibt.
Auf die Gefahr hin, hier auf eine Jux-Frage zu antworten :)
Also f: IR_+--> IR_+, f(x) = x^(1/x) maximieren ...
geht wie damals in der Schule: Ableiten und Null setzen,
wobei man hier den Trick
a^b = e^(b*ln(a))
verwendet um einen Ausdruck mit Funktionen, von denen man die
Ableitung kennt zu erhalten:
f(x) = x^(1/x) = e^(1/x * ln(x))
und somit (Kettenregel: "Innere mal äußere Ableitung"):
f'(x) = (1/x * ln(x))' * e^(1/x * ln(x)),
Da die äußere Ableitung e^(1/x * ln(x)) stets >0 ist und wir uns
nur für Nullstellen interessieren, können wir diesen Faktor weg
lassen und bestimmen mit der Produktregel
(1/x * ln(x))' = (1/x)' * (ln(x)) + (1/x) * (ln(x))'
= -1/(x^2) * ln(x)+ (1/x) * 1/x
= 1/(x^2) * ( -ln(x) +1)
auch der Faktor 1/(x^2) trägt nichts zu Nullstellen und Vorzeichen
bei und wir sehen, dass f' für ln(x)=1 eine Nullstelle mit
Vorzeichenwechsel von "+" nach "-" hat,
also hat f(x)=x^(1/x) genau ein Maximum auf (0, "unendlich") und
das liegt bei x=e.
Gruß,
Detlef