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Hans-Juergen Schneider

unread,
Jun 24, 2021, 3:45:04 AMJun 24
to
Hallo Leute,

ich möchte gerne, dass mit ausnahmsweise mal jemand eine
Funktionsgleichung anfertigt.
https://hjs.lima-city.de/temp/Kurve.GIF
Ich bin zu dumm für sowas und ein Onlinetool habe ich nicht
gefunden.

MfG
hjs

Michael Koch

unread,
Jun 24, 2021, 6:56:15 AMJun 24
to
Das ist doch nicht schwer. Es sieht aus wie eine Parabel, also versuchen wir es mit der Gleichung
y = a * x^2 + b * x + c

Es gibt drei Unbekannte a, b und c. Also brauchen wir drei Gleichungen. Wir nehmen die beiden Endpunkte der Kurve und den Punkt in der Mitte:

201= a * 100^2 + b * 100 + c
77 = a * 50^2 + b * 50 + c
28 = a * 0^2 + b* 0 + c

Dieses Gleichungssystem musst du jetzt nur noch lösen.

Michael

Leo Baumann

unread,
Jun 24, 2021, 7:16:24 AMJun 24
to
a= 3/200
b=23/100
c=28

:)

Jens Kallup

unread,
Jun 24, 2021, 10:32:11 AMJun 24
to
Am 24.06.2021 um 12:56 schrieb Michael Koch:

> Das ist doch nicht schwer. Es sieht aus wie eine Parabel
huch. :)

Ich hätte auf eine Kombination von quadratischer und Wurzel-
gleichung getippt.

also: x^2 u x^3

Jens

Stephan Gerlach

unread,
Jun 24, 2021, 10:42:41 AMJun 24
to
Michael Koch schrieb:
Um sicherzustellen, daß es tatsächlich eine Parabel war, sollte man mit
den nicht benutzten Punkten hinterher eine Punktprobe machen.

Alternativ (zur "einfachen" Methode mit dem Gleichungssystem) kann man
auch eine quadratische Regression machen, um die quadratische Funktion
noch genauer hinzukriegen. Allerdings liegt dann u.U. gar keiner der
Punkte auf der Parabel.

Oder man nimmt als Ansatz ein Polynom vom Grad 8, aber hier könnte das
Ergebnis "unschön" aussehen.


--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

Alfred Flaßhaar

unread,
Jun 24, 2021, 10:45:40 AMJun 24
to
Am 24.06.2021 um 13:16 schrieb Leo Baumann:
> Am 24.06.2021 um 12:56 schrieb Michael Koch:
>> Hans-Juergen Schneider schrieb am Donnerstag, 24. Juni 2021 um
>> 09:45:04 UTC+2:
(...)
> a= 3/200
> b=23/100
> c=28
>
... und was sagen die Ordinaten in den gegebenen Abszissen?

Mit einem Polynom 8-ten Grades ist als Anpassung/fit eine gute Näherung
zu erreichen.

Koeffizienten für x-Potenzen x^0, x, x^1, ...x^4 sind 0, 0,112, 0,652,
-0,059, 2,386*10^(-3). Alle übrigen bis x^8 sind kleiner als 10^(-5).
Bei Bedarf sende ich sie gern als pm mit Graphik im Anhang.

Gruß, Alfred

Stephan Gerlach

unread,
Jun 24, 2021, 10:49:13 AMJun 24
to
Jens Kallup schrieb:
> Am 24.06.2021 um 12:56 schrieb Michael Koch:
>
>> Das ist doch nicht schwer. Es sieht aus wie eine Parabel
> huch. :)
>
> Ich hätte auf eine Kombination von quadratischer und Wurzel-
> gleichung getippt.

Wenn schon, dann Kombination von quadratischer und Wurzelfunktion: nicht
-gleichung.
(Obwohl das der Graph eher überhaupt nicht hergibt.)

> also: x^2 u x^3

Das hat leider wenig bis gar nichts mit dem vorherigen Satz ("Ich hätte
auf eine Kombination...") zu tun.

Leo Baumann

unread,
Jun 24, 2021, 10:59:56 AMJun 24
to
Am 24.06.2021 um 16:45 schrieb Alfred Flaßhaar:
> ... und was sagen die Ordinaten in den gegebenen Abszissen?
>
> Mit einem Polynom 8-ten Grades ist als Anpassung/fit eine gute Näherung
> zu erreichen.
>
> Koeffizienten für x-Potenzen x^0, x, x^1, ...x^4 sind 0, 0,112, 0,652,
> -0,059, 2,386*10^(-3). Alle übrigen bis x^8 sind kleiner als 10^(-5).
> Bei Bedarf sende ich sie gern als pm mit Graphik im Anhang.

Ich hoffe Hans-Juergen prüft das ...

:)

Dieter Heidorn

unread,
Jun 24, 2021, 11:04:58 AMJun 24
to
Alfred Flaßhaar schrieb:
> Am 24.06.2021 um 13:16 schrieb Leo Baumann:
>> Am 24.06.2021 um 12:56 schrieb Michael Koch:
>>> Hans-Juergen Schneider schrieb am Donnerstag, 24. Juni 2021 um
>>> 09:45:04 UTC+2:
> (...)
>> a= 3/200
>> b=23/100
>> c=28
>>
> ... und was sagen die Ordinaten in den gegebenen Abszissen?
>

Dies:

x y = f(x) = ax^2 + bx + c
---------------------------------
0 28
12.5 33.21875
25.0 43.125
37.5 57.71875
50.0 77.0
62.5 100.96875
75.0 129.625
87.5 162.96875
100.0 201.0

Passt gut zu den in
https://hjs.lima-city.de/temp/Kurve.GIF
genannen Werten.

Dieter Heidorn

Hans Crauel

unread,
Jun 24, 2021, 2:04:46 PMJun 24
to
Hans-Juergen Schneider schrieb
Erinnert an x -> c exp(ax) für geeignete a und c.

Um a und c zu bestimmen, nimm die Logarithmen der Werte, trage
sie auf und lege mithilfe eines Lineals "die beste Gerade" an.
Geht auch mit Eintragung in einfach logarithmisches Papier.

Oder lass einen Rechner eine Ausgleichsgerade mit den
logarithmierten Werten ausrechnen.

Hans

Leo Baumann

unread,
Jun 24, 2021, 2:56:24 PMJun 24
to
Eine andere Lösung:

www.leobaumann.de/newsgroups/HJ.pdf

:)

Hans-Juergen Schneider

unread,
Jun 24, 2021, 3:37:22 PMJun 24
to
Leo Baumann wrote:
>
> Am 24.06.2021 um 12:56 schrieb Michael Koch:
> > Hans-Juergen Schneider schrieb am Donnerstag, 24. Juni 2021 um 09:45:04 UTC+2:
> >> Hallo Leute,
> >>
> >> ich möchte gerne, dass mir ausnahmsweise mal jemand eine
> >> Funktionsgleichung anfertigt.
> >> https://hjs.lima-city.de/temp/Kurve.GIF
> >> Ich bin zu dumm für sowas und ein Onlinetool habe ich nicht
> >> gefunden.
> >
> > Das ist doch nicht schwer. Es sieht aus wie eine Parabel, also versuchen wir es mit der Gleichung
> > y = a * x^2 + b * x + c
> >
> > Es gibt drei Unbekannte a, b und c. Also brauchen wir drei Gleichungen. Wir nehmen die beiden Endpunkte der Kurve und den Punkt in der Mitte:
> >
> > 201= a * 100^2 + b * 100 + c
> > 77 = a * 50^2 + b * 50 + c
> > 28 = a * 0^2 + b* 0 + c
> >
> > Dieses Gleichungssystem musst du jetzt nur noch lösen.
>
> a= 3/200
> b=23/100
> :)

Passt ziemlich genau. Hätte ich nicht hingekriegt.

MfG
hjs

Leo Baumann

unread,
Jun 24, 2021, 3:40:49 PMJun 24
to
Am 24.06.2021 um 21:37 schrieb Hans-Juergen Schneider:
> Passt ziemlich genau. Hätte ich nicht hingekriegt.

Schau 'mal unten bei 20.56 Uhr das Posting von mir. Die Lösung ist perfekt.

Hans-Juergen Schneider

unread,
Jun 24, 2021, 3:47:12 PMJun 24
to
Alfred Flaßhaar wrote:
>
> Am 24.06.2021 um 13:16 schrieb Leo Baumann:
> > Am 24.06.2021 um 12:56 schrieb Michael Koch:
> >> Hans-Juergen Schneider schrieb am Donnerstag, 24. Juni 2021 um
> >> 09:45:04 UTC+2:
> (...)
> > a= 3/200
> > b=23/100
> > c=28
> >
> ... und was sagen die Ordinaten in den gegebenen Abszissen?
>
> Mit einem Polynom 8-ten Grades ist als Anpassung/fit eine gute Näherung
> zu erreichen.
>
> Koeffizienten für x-Potenzen x^0, x, x^1, ...x^4 sind 0, 0,112, 0,652,
> -0,059, 2,386*10^(-3). Alle Übrigen bis x^8 sind kleiner als 10^(-5).
> Bei Bedarf sende ich sie gern als pm mit Graphik im Anhang.

Bitte sende mir nur die Lösung. Also: Y=[ausdruck].

Ansonsten wöllte ich wissen, welcher Wert für n = n-te Wurzel aus n
das Maximum ergibt.
Aber das sind so Sachen, die meine Praktiken nicht mal peripher
tangieren.

MfG
hjs

Hans-Juergen Schneider

unread,
Jun 24, 2021, 3:54:22 PMJun 24
to
Stephan Gerlach wrote:
>
> Michael Koch schrieb:
> > Hans-Juergen Schneider schrieb am Donnerstag, 24. Juni 2021 um 09:45:04 UTC+2:
> >> Hallo Leute,
> >>
> >> ich möchte gerne, dass mit ausnahmsweise mal jemand eine
> >> Funktionsgleichung anfertigt.
> >> https://hjs.lima-city.de/temp/Kurve.GIF
> >> Ich bin zu dumm für sowas und ein Onlinetool habe ich nicht
> >> gefunden.
> >
> > Das ist doch nicht schwer. Es sieht aus wie eine Parabel, also versuchen wir es mit der Gleichung
> > y = a * x^2 + b * x + c
> >
> > Es gibt drei Unbekannte a, b und c. Also brauchen wir drei Gleichungen. Wir nehmen die beiden Endpunkte der Kurve und den Punkt in der Mitte:
> >
> > 201= a * 100^2 + b * 100 + c
> > 77 = a * 50^2 + b * 50 + c
> > 28 = a * 0^2 + b* 0 + c
> >
> > Dieses Gleichungssystem musst du jetzt nur noch lösen.
>
> Um sicherzustellen, dass es tatsächlich eine Parabel war, sollte man mit
> den nicht benutzten Punkten hinterher eine Punktprobe machen.

Geht so. Ein paar Prozent Toleranz sind drin.

> Oder man nimmt als Ansatz ein Polynom vom Grad 8, aber hier könnte das
> Ergebnis "unschön" aussehen.

In den böhmischen Dörfern kenne ich mich aufgrund meiner Heimat
tatsächlich besser aus.

MfG
hjs

Dieter Heidorn

unread,
Jun 24, 2021, 4:10:23 PMJun 24
to
Hans Crauel schrieb:
> Hans-Juergen Schneider schrieb
>
>> ich möchte gerne, dass mit ausnahmsweise mal jemand eine
>> Funktionsgleichung anfertigt.
>> https://hjs.lima-city.de/temp/Kurve.GIF
>
> Erinnert an x -> c exp(ax) für geeignete a und c.
>

Das ist richtig.

> Um a und c zu bestimmen, nimm die Logarithmen der Werte, trage
> sie auf und lege mithilfe eines Lineals "die beste Gerade" an.
> Geht auch mit Eintragung in einfach logarithmisches Papier.
>
> Oder lass einen Rechner eine Ausgleichsgerade mit den
> logarithmierten Werten ausrechnen.
>

Das ergibt:

c = 26,82167303
a = 0,0206157658

Die damit berechneten Werte

y = c*exp(a*x)

stimmen nicht so gut mit den "Messwerten" überein, wie die Werte einer
angepassten quadratischen Funktion.

Für eine "optimale Lösung" müsste man wohl überlegen, ob den
"Messpunkten" eine Gesetzmäßigkeit zugrunde liegt - und wenn ja: welche.

Dieter Heidorn


Dieter Heidorn

unread,
Jun 24, 2021, 4:13:11 PMJun 24
to
Leo Baumann schrieb:
> Am 24.06.2021 um 09:45 schrieb Hans-Juergen Schneider:
>> Hallo Leute,
>>
>> ich möchte gerne, dass mit ausnahmsweise mal jemand eine
>> Funktionsgleichung anfertigt.
>> https://hjs.lima-city.de/temp/Kurve.GIF
>
> Eine andere Lösung:
>
> www.leobaumann.de/newsgroups/HJ.pdf
>

Und was "macht" die Funktion

f = Fit[data, {1, x, x ^ 2}, x] ?

Dieter Heidorn


Leo Baumann

unread,
Jun 24, 2021, 4:20:33 PMJun 24
to
Am 24.06.2021 um 22:13 schrieb Dieter Heidorn:
> Und was "macht" die Funktion
>
>    f = Fit[data, {1, x, x ^ 2}, x]   ?

Die entwickelt eine hier quadratische Gleichung aus allen Werten data.
Also das was Michael Koch für 3 Werte gemacht hat, Mathematika nimmt
eben alle Werte.

Gruß

Dieter Heidorn

unread,
Jun 24, 2021, 4:27:16 PMJun 24
to
Leo Baumann schrieb:
Danke für die Auskunft.

Man muss also den "Typ" der anzupassenden Funktion vorgeben. Dazu wäre
es natürlich nützlich zu wissen, ob den "Messwerten" eine bekannte
Gestzmäßigkeit zugrunde liegt - und wenn ja, welche.

Dieter Heidorn


Leo Baumann

unread,
Jun 24, 2021, 4:30:03 PMJun 24
to
f = Fit[data, {"1, x, x ^ 2"}, x] ist für die quadratische Gleichung.
Man kann auch andere angeben, z.B. eine Gerade oder ein Polynom 8. Grades.

Eine Gerade wäre:
f = Fit[data, {1, x}, x]

Leo Baumann

unread,
Jun 24, 2021, 4:58:53 PMJun 24
to
Am 24.06.2021 um 22:30 schrieb Leo Baumann:
>> Man muss also den "Typ" der anzupassenden Funktion vorgeben. Dazu wäre
>> es natürlich nützlich zu wissen, ob den "Messwerten" eine bekannte
>> Gestzmäßigkeit zugrunde liegt - und wenn ja, welche.
>
> f = Fit[data, {"1, x, x ^ 2"}, x] ist für die quadratische Gleichung.
> Man kann auch andere angeben, z.B. eine Gerade oder ein Polynom 8. Grades.
>
> Eine Gerade wäre:
> f = Fit[data, {1, x}, x]

www.leobaumann.de/newsgroups/HJ1.pdf

Mathematica "fitted" die gewünschte Funktion in die Datenmenge ein.

Gruß

Hans Crauel

unread,
Jun 24, 2021, 4:59:33 PMJun 24
to
Dieter Heidorn schrieb

> Hans Crauel schrieb:
>> Erinnert an x -> c exp(ax) für geeignete a und c.

> Das ergibt:
>
> c = 26,82167303
> a = 0,0206157658
>
> Die damit berechneten Werte
>
> y = c*exp(a*x)
>
> stimmen nicht so gut mit den "Messwerten" überein, wie die Werte einer
> angepassten quadratischen Funktion.

Danke für konkrete Berechnung und Überprüfung.

> Für eine "optimale Lösung" müsste man wohl überlegen, ob den
> "Messpunkten" eine Gesetzmäßigkeit zugrunde liegt - und wenn ja: welche.

Das wäre in der Tat das sinnvollste Vorgehen.
Die Achsenbeschriftung, wonach "Soll" in Abhängigkeit vom "Haben"
zunimmt - und das deutlich überproportional -, legt da allerdings
erstmal keinen Ansatz nahe.

Hans

Hans-Juergen Schneider

unread,
Jun 25, 2021, 4:34:48 AMJun 25
to
Ja, hab ich gesehen. Aber Deine Werte von 13:16 sind praxisorientiert.
So kann ich das rechnen.

Natürlich hatte ich versucht, selber dahinter zu kommen. Erstmal zwei
Gleichungen nach a umgestellt und dann gleichgesetzt:
(49-b*50)/50^2 = (173-b*100)/100^2
Das hab ich dann an so ein Onlinetool verfüttert, mit der Bitte, es
nach b aufzulösen. Als Resultat wurde mir stolz eine leere Seite
präsentiert.

MfG
hjs

Michael Koch

unread,
Jun 25, 2021, 5:24:52 AMJun 25
to
Hans-Juergen Schneider schrieb am Freitag, 25. Juni 2021 um 10:34:48 UTC+2:

> Natürlich hatte ich versucht, selber dahinter zu kommen. Erstmal zwei
> Gleichungen nach a umgestellt und dann gleichgesetzt:
> (49-b*50)/50^2 = (173-b*100)/100^2
> Das hab ich dann an so ein Onlinetool verfüttert, mit der Bitte, es
> nach b aufzulösen. Als Resultat wurde mir stolz eine leere Seite
> präsentiert.

Du solltest dich von dem Gedanken lösen, sowas mit irgendwelchen Tools lösen zu wollen. Weil es schneller mit Papier und Bleistift geht. Kleiner Hinweis: Erst mal beide Seiten mit 10000 multiplizieren.

Michael

Leo Baumann

unread,
Jun 25, 2021, 6:09:52 AMJun 25
to
Am 25.06.2021 um 11:24 schrieb Michael Koch:
> Du solltest dich von dem Gedanken lösen, sowas mit irgendwelchen Tools lösen zu wollen. Weil es schneller mit Papier und Bleistift geht. Kleiner Hinweis: Erst mal beide Seiten mit 10000 multiplizieren.

Du bist kein Ingenieur, Du bist nicht faul!

Detlef Müller

unread,
Jun 25, 2021, 8:57:25 AMJun 25
to
Am 24.06.21 um 21:47 schrieb Hans-Juergen Schneider:
> Alfred Flaßhaar wrote:
...

> Ansonsten wöllte ich wissen, welcher Wert für n = n-te Wurzel aus n
> das Maximum ergibt.
Auf die Gefahr hin, hier auf eine Jux-Frage zu antworten :)

Also f: IR_+--> IR_+, f(x) = x^(1/x) maximieren ...
geht wie damals in der Schule: Ableiten und Null setzen,
wobei man hier den Trick
a^b = e^(b*ln(a))
verwendet um einen Ausdruck mit Funktionen, von denen man die
Ableitung kennt zu erhalten:

f(x) = x^(1/x) = e^(1/x * ln(x))

und somit (Kettenregel: "Innere mal äußere Ableitung"):

f'(x) = (1/x * ln(x))' * e^(1/x * ln(x)),

Da die äußere Ableitung e^(1/x * ln(x)) stets >0 ist und wir uns
nur für Nullstellen interessieren, können wir diesen Faktor weg
lassen und bestimmen mit der Produktregel

(1/x * ln(x))' = (1/x)' * (ln(x)) + (1/x) * (ln(x))'
= -1/(x^2) * ln(x)+ (1/x) * 1/x
= 1/(x^2) * ( -ln(x) +1)
auch der Faktor 1/(x^2) trägt nichts zu Nullstellen und Vorzeichen
bei und wir sehen, dass f' für ln(x)=1 eine Nullstelle mit
Vorzeichenwechsel von "+" nach "-" hat,
also hat f(x)=x^(1/x) genau ein Maximum auf (0, "unendlich") und
das liegt bei x=e.

Gruß,
Detlef


Message has been deleted

neu...@tuhh.de

unread,
Jun 25, 2021, 11:19:26 AMJun 25
to
Hans-Juergen Schneider schrieb am Donnerstag, 24. Juni 2021 um 09:45:04 UTC+2:
> Hallo Leute,
>
> ich möchte gerne, dass mit ausnahmsweise mal jemand eine
> Funktionsgleichung anfertigt.
> https://hjs.lima-city.de/temp/Kurve.GIF
> Ich bin zu dumm für sowas und ein Onlinetool habe ich nicht
> gefunden.
>
> MfG
> hjs


Moin.
Die 2. dividierten Differenzen sind bei den gegebenen Werten nahezu konstant.
Ein Gauß-Fit (Approximation in der L²-Norm) für eine quadratisches Polynom sollte ein gutes Ergebnis liefern!

Ein Ansatz y= a+b*e^x bringt offenbar keinen besseren Ansatz als y(x)= 28 +0,23x +0,015x²

Es muß nach dem Alternanten-Satz (Approximation in L¹-Norm) aber noch eine besseres quadratisches Polynom geben,
den die Fehlerfunktion hätte 4 alternierende Maxima und speziell an den Intervallenden!

Wenn es wichtig ist empfehle ich den Gauß-Fit und Vergleich mit y(x)= 28 +0,23x +0,015x²,
die Approximation in L¹ ist nicht ganz so einfach!

Gruß Siggi N.

Hans-Juergen Schneider

unread,
Jun 25, 2021, 12:13:18 PMJun 25
to
Detlef Müller wrote:
>
> Am 24.06.21 um 21:47 schrieb Hans-Juergen Schneider:
> > Alfred Flaßhaar wrote:
> ...
>
> > Ansonsten wöllte ich wissen, welcher Wert für n = n-te Wurzel aus n
> > das Maximum ergibt.

> Auf die Gefahr hin, hier auf eine Jux-Frage zu antworten :)

Ja, doch, das war der Plan. Und der Alfred hat das wohl
genauso gesehen.

Hintergrund ist ein Erlebnis: Da hat einer einen ziemlichen
Berg an Zetteln bekritzelt, um diese Aufgabe zu lösen.
Zwei Tage, drei Bleistifte und vier Radiergummis später
war der dann endlich zufrieden. Seitdem ist diese Aufgabe
für mich der Inbegriff an Unfassbarkeit. Zumal ich da selber
überhaupt nicht mithalten kann.
Was Du hier geliefert hast, kannst Du aus meiner Sicht als
Alleinstellungsmerkmal verbuchen.

MfG
hjs

Hans Crauel

unread,
Jun 25, 2021, 1:49:54 PMJun 25
to
Detlef Müller schrieb

> Am 24.06.21 um 21:47 schrieb Hans-Juergen Schneider:
>> Ansonsten wöllte ich wissen, welcher Wert für n = n-te Wurzel aus n
>> das Maximum ergibt.

> Also f: IR_+--> IR_+, f(x) = x^(1/x) maximieren [...]
> also hat f(x)=x^(1/x) genau ein Maximum auf (0, "unendlich") und
> das liegt bei x=e.

Völlig richtig und sauber. Aber: Mal unterstellend, dass n eine
natürliche Zahl sein soll (oBdA eine helle), muss man einwenden:
e ist kein n.

Das braucht dann doch noch eine kleine Überlegung. Hat man
die gemacht, kann man schließlich ganz ohne Zahlenauswertung
auskommen:

8 < 9, also sqrt 8 = sqrt(2^3) < sqrt 9 = 3,
also (sqrt(2^3))^(1/3) = 2^(1/2) < 3^(1/3).

Somit: n = 3 tut es.

Hans

neu...@tuhh.de

unread,
Jun 25, 2021, 2:51:23 PMJun 25
to
Nachtrag:

27,836 +0,237x +0,015x² Ist eine L²-Approximation der Daten und in diesem Sinn besser als 28 +0,23x +0,015x².

VG S.N.


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