Koeffizientenvergleich, Potenzreihen, Binomialkoeffizienten

[Björn Hanson]

Hey Leute!

Ich hab da ein DRINGENDES Problem. Bei der Vorbereitung auf eine wichtige
Matheklausur bin ich auf folgende 3 Probleme gestoßen:

1. Koeffizientenvergleich:

Wie funktioniert das??? Ich hab' hier eine Gleichung:
x=A*(A(x-1)^3+B*(x-1)^2+C*(x-1)+D
Wie komm ich da an A,B,C,D ran??? Blöde Partialbruchzerlegung!!! Da die
Nullstellen alle 1 sind, kann ich diese nicht einsetzen, sondern muss mit
Koeffizientenvergleich da ran gehen!

2. Summenformel:

Sn= Summe von k=0 bis n (-1)^k* (n+1 "über" k)

Man soll da die Werte für n=0,1,2,3 berechnen. Wie geht das??? Und man soll
vermuten, welchen Wert Sn für einen beliebigen Wert von n hat! Keine Ahnung
wie ich da rangehen soll!!!
Als Erinnerung steht drunter:

(n "über" k) = n!/(k!*(n-k)!) hmmm????

3. Potenzreihe:

Summe von k=0 bis unendlich x^k/(1+2^k)

für welche x konvergiert die Potenzreihe? Auch hier keine AHnung, wie man da
rangehen soll!!!

Ich hoffe, Ihr könnt mir ein wenig bei meinen "Problemen" helfen! Denn so
langsam wächst die Verzweiflung in mir an!!!

In diesem Sinne
Björn

[Frank Roeser]

Hi Björn!

 

i)

Ich denke mal Du meinst x=A*(x-1)^3+B*(x-1)^2+C*(x-1)+D

 

Ausmultiplizieren ergibt:

 

x= -A+B-C+D+3Ax-2Bx+Cx-3Ax^2+Bx^2+Ax^3

 

und durch Vergleich der Koeffizienten vor den x^n n=0,1,2,3,...

erhäst Du:

 

0 =-A+B-C+D

1=3A-2B+C

0=-3A+B

0=A

Damit erhält man A=0,B=0,C=1,D=1

 

ii)

für n = 0: (-1)^0 (1,0) = 1

für n =1 : (-1)^0 (2,0)+(-1)^1 (2,1) = 1-2=-1

für n =2 : (-1)^0 (3,0)+(-1)^1 (3,1)+(-1)^2 (3,2) = 1-3+3=1

für n =3 : (-1)^0 (4,0)+(-1)^1 (4,1)+(-1)^2 (4,2)+(-1)^2 (4,2) = 1-4+6-4=-1

 

Wobei (n+1,k) für n+1 über k stehen soll.

 

Wenn Du dir mal das Pascalsche Dreieck ansiehst:

                 1

               121

              1331

             14641

           15101051

             .......        usw.

mit (n+1,k) = (n,k)+(n,k-1)

und das alternierende Vorzeichen (-1)^k berücksichtigst

 

lautet der allg. Fall Sum_{k=0} ^{n} (-1)^k (n+1,k) = (-1)^n

 

oder (binomischer Satz)

 

(1-1)^n = 0 = (-1)^n(n,n) - Sum_{k=0} ^{n-1} (-1)^k (n,k) = (-1)^n

und damit (-1)^n = Sum_{k=0} ^{n} (-1)^k (n+1,k)

 

(mit vollständiger Induktion wird es etwas schwieriger)

 

iii)

Wende das Quotientenkriterium an.

Der Konvergenzradius ist 2!

 

da (1+2^k)/(1+2^(k+1))--> 1/2 konvergiert mit k gegen unendlich.

 

Ich hoffe ich konnte etwas helfen!

 

;o) Frank

[Björn Hanson]

Hey, danke für Deine HILFE!!! Das rettet mir einige Punkte in der Klausur! Vielen Dank!

Eine Frage noch:

Bei dem Koeffizientenvergleich: links vom Gleichzeichen, warum steht da eine 1 und sonst nur 0 ???

Morgen ist schon diese Klausur, vielleicht finde ich bis morgen früh ja noch eine Antwort von Dir! Wenn nicht, auch nicht weiter schlimm, bin schon um einiges schlauer durch Deine Hilfe geworden

Dabei ist das doch so einfach, wenn man die Lösung vor der Nase hat!!!

 

CU
Björn

""Frank Roeser"" <fr.r...@cityweb.de> schrieb im Newsbeitrag news:000601c0afe4$266c2600$1500a8c0@NEO...

[U.Stenner]

Bei einem Koeffizientenvergleich ordnet man nach Potenzen von x und vergleicht die "Vorfaktoren" (koeffizienten eben),

bei Deinem Beispiel ist der Koeffizient vor x^1 eine "1" und vor x^0,x^2,x^3 eine "0", so dass

 

Koeffizient vor x^0 :: 0 =-A+B-C+D

Koeffizient vor x^1 :: 1=3A-2B+C

Koeffizient vor x^2 :: 0=-3A+B

Koeffizient vor x^3 :: 0=A

da nur hier x in der "ersten" potenz vorkommt

                       I      I      I

x=-A+B-C+D+3Ax-2Bx+Cx-3Ax^2+Bx^2+Ax^3

 

Ich es ist alles klar und viel Glück bei der Klausur!!

 

;o) Frank

 

 

Man muss mehr Unreal Tournament spielen!!!!!!!!!!!

[Hermann Kremer]

Björn Hanson schrieb in Nachricht <9939hm$d02$00$1...@news.t-online.com>...

<Hey, danke für Deine HILFE!!! Das rettet mir einige Punkte in der
Klausur! Vielen <Dank!
<Eine Frage noch:
<Bei dem Koeffizientenvergleich: links vom Gleichzeichen, warum steht da
eine 1 und <sonst nur 0 ???

Beim Koeffizientenvergleich müssen die Ausdrücke links und rechts vom
Gleichheitszeichen _identisch_ sein, d.h. sie müssen für _alle_ Werte
der Argumente gelten ... und zwei Polynome sind dann und nur dann
identisch, wenn ihre entsprechenden Koeffizienten gleich sind ...

<Morgen ist schon diese Klausur, vielleicht finde ich bis morgen früh ja
noch eine <Antwort von Dir! Wenn nicht, auch nicht weiter schlimm, bin schon
um einiges <schlauer durch Deine Hilfe geworden
<Dabei ist das doch so einfach, wenn man die Lösung vor der Nase hat!!!

Wünsche nachträglich Erfolg gehabt zu haben ...

Gruß
Hermann
--

CU
Björn