2 Funktionen, eine davon asymptotische Annäherung für die andere

[Stephan Gerlach]

Gegeben seien 2 reellwertige Funktionen f und g.
f: R -> R
g: R -> R.
Was bedeuten eigentlich genau die Formulierungen
"f verhält sich asymptotisch wie g" bzw.
"f und g sind asymptotisch äquivalent" bzw.
"f nähert sich g asymptotisch an" bzw.
"f ist eine asymptotische Annäherung für g"?

Bisher war ich immer der Meinung, das bedeute

lim_{x -> unendlich} f(x)/g(x) = 1.

In Worten: Der Quotient geht gegen 1.


Ist evtl. aber manchmal auch gemeint

lim_{x -> unendlich} f(x)-g(x) = 0.

In Worten: Die Differenz geht gegen 0?


Beispiele dazu: Die Funktionen
f(x) = 1/x
g(x) = 1/x^2
wären nach "Quotienten-Asymptotik" *nicht* äquivalent, nach
"Differenz-Asymptotik" aber schon. Anschaulich sieht es tatsächlich so
aus, als würden sich die Funktionsgraphen immer mehr annähern.

Die Funktionen
f(x) = x
g(x) = x+1
wären hingegen nach Quotienten-Asymptotik äquivalent, nach
Differenz-Asymptotik aber wiederum nicht. Anschaulich nähern sich die
Funktionsgraphen nicht so richtig an.


D.h. aus keiner der beiden Asymptotik-Arten folgt die jeweils andere.
Was ist die "übliche" Sichtweise?


JFTR: Es ist klar, daß Variante 1 eine relative Annäherung beschreibt,
während Variante 2 eine absolute Annäherung beschreibt.


--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

[Detlef Müller]

On 14.05.2015 01:46, Stephan Gerlach wrote:
> Gegeben seien 2 reellwertige Funktionen f und g.
> f: R -> R
> g: R -> R.
> Was bedeuten eigentlich genau die Formulierungen
> "f verhält sich asymptotisch wie g" bzw.
> "f und g sind asymptotisch äquivalent" bzw.
> "f nähert sich g asymptotisch an" bzw.
> "f ist eine asymptotische Annäherung für g"?
>
> Bisher war ich immer der Meinung, das bedeute
>
> lim_{x -> unendlich} f(x)/g(x) = 1.
>

Das habe ich nun im Mathe Lexikon nachgeschlagen
("Lexikon der Mathematik Gesamtwerk",
2003 Spektrum Akademischer Verlag GmbH, Heidelberg)

Und dort steht genau dieses als definierende Eigenschaft für
"asymptotisch gleiche Funktionen" ... gut, dass ich
nachgeschaut habe, denn ...


[...]

>
> lim_{x -> unendlich} f(x)-g(x) = 0.
>

... so wird im selben Lexikon "Asymptote" definiert.
Im Wortlaut:
"Kurve, oft eine Gerade, der die
Punkte einer anderen Kurve, die durch eine auf
ganz R definierte Parametergleichung α(t) gegeben
ist, für t → ±∞ beliebig nahe kommen. "
...
Wenn man die Grafen über die x-Werte parametrisiert,
dürfte das eher zur absoluten Sichtweise passen.

>
> D.h. aus keiner der beiden Asymptotik-Arten folgt die jeweils andere.
> Was ist die "übliche" Sichtweise?
>

In der Tat - und ich hätte "Asymptotisch gleich" so verwendet, dass
die Grafen von f und g zueinander Asymptoten im Lexikon-Sinne sind,
weil mir das kohärent scheint mit dem Begriff der Asymptote,
wie ich ihn in der Schule gelernt habe ...

egal, was mir da logisch erscheint: Die relative Definition ist dann
wohl die übliche ("korrekte").

Da muß ich dann wohl ein Skript überarbeiten, in dem ich (wo
Polynomdivision behandelt wird) sinngemäß sage, wegen

(x^3-2x)/(x-1) = x^2+x+1 + 1/(x-1),

ist (da 1/(x-1) --> 0, |x|--> oo)

(x^3-2x)/(x-1) asymptotisch gleich x^2+x+1 ...

das suggeriert ja, daß (x^3-2x)/(x-1) nicht asymptotisch
zu x^2 äquivalent ist (was nach Lexikon-Def der Fall ist).

Die "absolute Äquivalenz" (hier zu x^2+x+1, nicht aber zu x^2)
ist also Äquivalenz bezüglich einer anderen Äquivalenzrelation.

Gruß,
Detlef

[Stephan Gerlach]

Detlef Müller schrieb:

Danke fürs Nachschauen. Demnach ist
"f und g sind asymptotisch gleiche Funktionen"
von
"f ist Asymptote von g"
zu unterscheiden. Das ist begrifflich nicht gerade intuitiv und kann
somit durchaus zu Verwirrung beitragen :-) .

Zumal ja (wie bereits gesagt) keine der beiden Varianten aus der anderen
folgt. Die einzige Gemeinsamkeit ist, daß sich 2 Funktionen (oder Kurven)
"im Unendlichen irgendwie ähnlicher werden"
(sehr schwammig formuliert).