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Dedekinds Beweis, dass Wurzel 2 irrational ist
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Rainer Rosenthal
May 3, 2022, 6:25:18 PM5/3/22
to
Ich bedanke mich herzlich bei JVR und Dieter Heidorn für die Links zu
Dedekinds Schrift "Stetigkeit und irrationale Zahlen"[1][2].
Während es nicht so schwierig, sondern im Gegenteil gefällig zu lesen
war, wie Dedekind die Zahlraum-Erweiterung präsentiert hat, habe ich
dann aber doch ordentlich rechnen müssen, um seinen auf den Seiten 20
und 21 gelieferten Beweis für die Irrationalität der Wurzeln von
Nicht-Quadratzahlen zu verstehen. Ich bin stolz, da durchgestiegen zu
sein, und habe das nicht nur als sportliche Herausforderung empfunden,
sondern ich bin froh und erstaunt, einen Beweis kennengelernt zu haben,
der nicht die eindeutige Zerlegung in Primfaktoren voraussetzt.
Im Titel habe ich plakativ die Zahl D = 2 geschrieben, aber Dedekind hat
für jede positive ganze Zahl D, die keine Quadratzahl ist, bewiesen,
dass es keine ganzen Zahlen t und u gibt mit (t/u)^2 = D.
Gleich mal vorweg: er hat diesen Beweis als wesentlich bezeichnet für
den Nachweis von Schnitten (A1,A2), in denen A1 keine größte und A2
keine kleinste Zahl enthält.
Seite 20, gekürzt wiedergegeben:
"Nimmt man in A2 jede positive ganze Zahl auf, deren Quadrat > D ist, in
A1 aber alle anderen rationalen Zahlen, so bildet diese Einteilung einen
Schnitt (A1,A2), d.h. jedes a1 in A1 ist kleiner als jedes a2 in A2.
Dieser Schnitt wird aber durch keine rationale Zahl hervorgebracht. Um
dies zu zeigen, muss vor Allem gezeigt werden, dass es keine rationale
Zahl gibt, deren Quadrat = D ist."
Und überdies ist er offenbar stolz auf seinen eigenen Beweis für die
zuletzt genannte Behauptung:
"Obgleich dies aus den ersten Elementen der Zahlentheorie bekannt ist,
so mag doch hier der folgende indirekte Beweis Platz finden."
Es folgen einige Zeilen, die (für mich) nicht sofort ersichtlich den
Beweis ergeben. Es ist heute schon spät geworden, und ich will die
Zeilen samt meiner Auffüllung morgen liefern.
Gute Nacht,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
[1] https://archive.org/details/stetigkeitundir00dedegoog/page/n8/mode/2up
[2]
https://publikationsserver.tu-braunschweig.de/servlets/MCRFileNodeServlet/dbbs_derivate_00005740/Aa_2043.pdf
Dedekinds Schrift "Stetigkeit und irrationale Zahlen"[1][2].
Während es nicht so schwierig, sondern im Gegenteil gefällig zu lesen
war, wie Dedekind die Zahlraum-Erweiterung präsentiert hat, habe ich
dann aber doch ordentlich rechnen müssen, um seinen auf den Seiten 20
und 21 gelieferten Beweis für die Irrationalität der Wurzeln von
Nicht-Quadratzahlen zu verstehen. Ich bin stolz, da durchgestiegen zu
sein, und habe das nicht nur als sportliche Herausforderung empfunden,
sondern ich bin froh und erstaunt, einen Beweis kennengelernt zu haben,
der nicht die eindeutige Zerlegung in Primfaktoren voraussetzt.
Im Titel habe ich plakativ die Zahl D = 2 geschrieben, aber Dedekind hat
für jede positive ganze Zahl D, die keine Quadratzahl ist, bewiesen,
dass es keine ganzen Zahlen t und u gibt mit (t/u)^2 = D.
Gleich mal vorweg: er hat diesen Beweis als wesentlich bezeichnet für
den Nachweis von Schnitten (A1,A2), in denen A1 keine größte und A2
keine kleinste Zahl enthält.
Seite 20, gekürzt wiedergegeben:
"Nimmt man in A2 jede positive ganze Zahl auf, deren Quadrat > D ist, in
A1 aber alle anderen rationalen Zahlen, so bildet diese Einteilung einen
Schnitt (A1,A2), d.h. jedes a1 in A1 ist kleiner als jedes a2 in A2.
Dieser Schnitt wird aber durch keine rationale Zahl hervorgebracht. Um
dies zu zeigen, muss vor Allem gezeigt werden, dass es keine rationale
Zahl gibt, deren Quadrat = D ist."
Und überdies ist er offenbar stolz auf seinen eigenen Beweis für die
zuletzt genannte Behauptung:
"Obgleich dies aus den ersten Elementen der Zahlentheorie bekannt ist,
so mag doch hier der folgende indirekte Beweis Platz finden."
Es folgen einige Zeilen, die (für mich) nicht sofort ersichtlich den
Beweis ergeben. Es ist heute schon spät geworden, und ich will die
Zeilen samt meiner Auffüllung morgen liefern.
Gute Nacht,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
[1] https://archive.org/details/stetigkeitundir00dedegoog/page/n8/mode/2up
[2]
https://publikationsserver.tu-braunschweig.de/servlets/MCRFileNodeServlet/dbbs_derivate_00005740/Aa_2043.pdf
JVR
May 4, 2022, 2:29:38 AM5/4/22
to
Dedekinds Stil ist extrem genau und detailliert. Dasselbe gilt für Cantor und viele andere Mathematiker dieser Zeit in Deutschland und Frankreich. Riemann ist in dieser Beziehung eine berühmte Ausnahme.
Klaus-R. Loeffler
May 4, 2022, 8:11:02 AM5/4/22
to
Rainer Rosenthal schrieb am Mittwoch, 4. Mai 2022 um 00:25:18 UTC+2:
>
> ... ich bin froh und erstaunt, einen Beweis kennengelernt zu haben,
Es sei z eine positive ganze Zahl, deren Wurzel nicht ganzzahlig ist. Es wird indirekt bewiesen, dass i*sqrt(z) für kein natürliches i ganzzahlig ist.
Unter der Annahme, es gäbe ein solches i, existiert das Minimum n := min{i in N | i*sqrt(z) in N}.
Weiter sei g := max{i in N | i < sqrt(z)}. Dann ist 0 < sqrt(z) - g < 1 .
Nun ist n*sqrt(z) ganzzahlig, also auch n*sqrt(z) - n*g und man hat
(n*sqrt(z) - n*g)*sqrt(z) = n*z - g*n*sqrt(z).
Da die rechte Seite ganzzahlig ist und links der ganzzahlige Faktor vor sqrt(z) wegen
n*sqrt(z) - n*g = n*(sqrt(z) - g) < n kleiner als n ist, hat man den gewünschten Widerspruch.
Gruß, Klaus-R.
>
> ... ich bin froh und erstaunt, einen Beweis kennengelernt zu haben,
> der nicht die eindeutige Zerlegung in Primfaktoren voraussetzt.
>
Vielleicht interessiert dich dann auch der folgende Beweis mit Ausnutzung der Wohlordnung von N:
>
Es sei z eine positive ganze Zahl, deren Wurzel nicht ganzzahlig ist. Es wird indirekt bewiesen, dass i*sqrt(z) für kein natürliches i ganzzahlig ist.
Unter der Annahme, es gäbe ein solches i, existiert das Minimum n := min{i in N | i*sqrt(z) in N}.
Weiter sei g := max{i in N | i < sqrt(z)}. Dann ist 0 < sqrt(z) - g < 1 .
Nun ist n*sqrt(z) ganzzahlig, also auch n*sqrt(z) - n*g und man hat
(n*sqrt(z) - n*g)*sqrt(z) = n*z - g*n*sqrt(z).
Da die rechte Seite ganzzahlig ist und links der ganzzahlige Faktor vor sqrt(z) wegen
n*sqrt(z) - n*g = n*(sqrt(z) - g) < n kleiner als n ist, hat man den gewünschten Widerspruch.
Gruß, Klaus-R.
Rainer Rosenthal
May 4, 2022, 10:52:05 AM5/4/22
to
von Dedekind mit den für mich notwendig gewesenen Zwischenschritten zu
posten, weil so etwas etwas Zeit zum Reifen braucht. Vom Aha! auf dem
Schmierzettel zu einer ASCII-lesbaren Präsentation brauche ich dann in
meinem fortgeschrittenen Alter doch einige Zeit.
Glücklich bin ich deswegen, weil ich offenbar genügend "drin" in
Dedekinds Beweis war, um sehr schnell zu sehen, dass Dein Beweis
identisch ist zu dem von Dedekind.
Deine Zahlen z, n und g heißen bei Dedekind D, u und lambda.
Dedekind hat genau den von Dir vorgeführten Gedankengang benutzt für
seinen indirekten Beweis, musste allerdings peinlich darauf achten, alle
Schritte so zu formulieren, dass sqrt(z), also bei ihm "Wurzel D",
nirgends vorkommt. Du konntest frisch und frei sqrt(z) schreiben, weil
Du Dich im Raum der reellen Zahlen bewegst. Dedekind aber schreibt den
Beweis mit nur den Mitteln, die im Raum der rationalen Zahlen zur
Verfügung stehen. Der Beweis dient im Buch dem Nachweis der Existenz von
Schnitten (A1,A2), die nicht durch eine rationale Zahl hervorgebracht
werden. Da muss natürlich peinlich jeder Bezug zu Größen vermieden
werden, die erst durch solche Schnitte "erschaffen" werden(*).
Das Tolle an Deinem Beitrag ist, dass Du mir ein Navi an die Hand
gegeben hast, das den Weg durch Dedekinds Beweis zeigt.
Ich habe mich gestern nur erst irgendwie durchgekämpft und mich
vergewissert, dass ich auf legalem Weg von A nach B und dann von B nach
C und schließlich zu Z gekommen war. Das tut ja schon mal gut. Und
offenbar ist da in meinem Unterbewusstsein schon eine innere Landkarte
entstanden, so dass ich jetzt sehen konnte, dass Du die gleiche Route
fährst, nur in einem "anderen Karten-Modus", um im Navi-Bild zu bleiben.
Nochmals besten Dank!
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
(*) Fast nicht zu glauben, aber ganz offensichtlich wahr: es gibt
Leute, die solche Geistesübungen für simpel halten und sich als Simpel
aufführen, indem sie die Geschichte weiter erzählen und dabei regelmäßig
die Pointe versauen :-)
Martin Vaeth
May 4, 2022, 1:33:45 PM5/4/22
to
Klaus-R. Loeffler <mathe...@googlemail.com> schrieb:
gesehen: Statt mit einem Minimum zu argumentieren, wird in der geometrischen
Version irgendeine natürliche Zahl n angenommen, so dass das n-fache der
Strecke sqrt(z) ganzzahlig ist und damit eine natürliche Zahl m < n
konstruiert, so dass das m-fache der Strecke sqrt(z) ebenfalls ganzzahlig
ist. (Das ist ja i.W. das, was der Beweis oben tut.) Da man das Verfahren
dann mit m statt n iterieren kann, usw., erhält man nach endlich vielen
Schritten, dass sqrt(z) selbst ganzzahlig ist.
Diese Absteige-Methode ist irgendwie eleganter, obwohl sie natürlich die
Wohlordnungseigenschaft der natürlichen Zahlen nur anders kleidet (nämlich,
dass die absteigende Kette endlich sein muss...)
Leider habe ich den Link dazu nicht mehr zur Hand. IIRC wurde dort auch
die Irrationalität anderer Größen rein geometrisch bewiesen (u.a. von e,
was auch sehr elegant ging).
>>
> Vielleicht interessiert dich dann auch der folgende Beweis mit Ausnutzung
> der Wohlordnung von N:
> Es sei z eine positive ganze Zahl, deren Wurzel nicht ganzzahlig ist.
> Es wird indirekt bewiesen, dass i*sqrt(z) für kein natürliches i
> ganzzahlig ist.
> Unter der Annahme, es gäbe ein solches i, existiert das Minimum
> n := min{i in N | i*sqrt(z) in N}.
> Weiter sei g := max{i in N | i < sqrt(z)}. Dann ist 0 < sqrt(z) - g < 1 .
> Nun ist n*sqrt(z) ganzzahlig, also auch n*sqrt(z) - n*g und man hat
> (n*sqrt(z) - n*g)*sqrt(z) = n*z - g*n*sqrt(z).
> Da die rechte Seite ganzzahlig ist und links der ganzzahlige Faktor
> vor sqrt(z) wegen > n*sqrt(z) - n*g = n*(sqrt(z) - g) < n kleiner
> als n ist, hat man den gewünschten Widerspruch.
Irgendwo habe ich auch mal eine rein geometrische Version dieses Beweises
> Vielleicht interessiert dich dann auch der folgende Beweis mit Ausnutzung
> der Wohlordnung von N:
> Es sei z eine positive ganze Zahl, deren Wurzel nicht ganzzahlig ist.
> Es wird indirekt bewiesen, dass i*sqrt(z) für kein natürliches i
> ganzzahlig ist.
> Unter der Annahme, es gäbe ein solches i, existiert das Minimum
> n := min{i in N | i*sqrt(z) in N}.
> Weiter sei g := max{i in N | i < sqrt(z)}. Dann ist 0 < sqrt(z) - g < 1 .
> Nun ist n*sqrt(z) ganzzahlig, also auch n*sqrt(z) - n*g und man hat
> (n*sqrt(z) - n*g)*sqrt(z) = n*z - g*n*sqrt(z).
> Da die rechte Seite ganzzahlig ist und links der ganzzahlige Faktor
> vor sqrt(z) wegen > n*sqrt(z) - n*g = n*(sqrt(z) - g) < n kleiner
> als n ist, hat man den gewünschten Widerspruch.
gesehen: Statt mit einem Minimum zu argumentieren, wird in der geometrischen
Version irgendeine natürliche Zahl n angenommen, so dass das n-fache der
Strecke sqrt(z) ganzzahlig ist und damit eine natürliche Zahl m < n
konstruiert, so dass das m-fache der Strecke sqrt(z) ebenfalls ganzzahlig
ist. (Das ist ja i.W. das, was der Beweis oben tut.) Da man das Verfahren
dann mit m statt n iterieren kann, usw., erhält man nach endlich vielen
Schritten, dass sqrt(z) selbst ganzzahlig ist.
Diese Absteige-Methode ist irgendwie eleganter, obwohl sie natürlich die
Wohlordnungseigenschaft der natürlichen Zahlen nur anders kleidet (nämlich,
dass die absteigende Kette endlich sein muss...)
Leider habe ich den Link dazu nicht mehr zur Hand. IIRC wurde dort auch
die Irrationalität anderer Größen rein geometrisch bewiesen (u.a. von e,
was auch sehr elegant ging).
Martin Vaeth
May 4, 2022, 4:29:54 PM5/4/22
to
Martin Vaeth <mar...@mvath.de> schrieb:
von sqrt 2, sqrt 3, sqrt 5:
https://www.cut-the-knot.org/proofs/GraphicalSqRoots.shtml
Die anderen 29 Beweise für die Irrationalität von sqrt 2 sind teilweise
auch sehr nett:
https://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml
Der geometrische Beweis für die Irrationalität von e war doch nicht
von dieser Seite, sondern steht hier: https://arxiv.org/pdf/0704.1282.pdf
>
> Diese Absteige-Methode ist irgendwie eleganter, obwohl sie natürlich die
> Wohlordnungseigenschaft der natürlichen Zahlen nur anders kleidet (nämlich,
> dass die absteigende Kette endlich sein muss...)
>
> Leider habe ich den Link dazu nicht mehr zur Hand.
Hier ist der Link für die geometrischen Beweise für die Irrationalität
> Diese Absteige-Methode ist irgendwie eleganter, obwohl sie natürlich die
> Wohlordnungseigenschaft der natürlichen Zahlen nur anders kleidet (nämlich,
> dass die absteigende Kette endlich sein muss...)
>
> Leider habe ich den Link dazu nicht mehr zur Hand.
von sqrt 2, sqrt 3, sqrt 5:
https://www.cut-the-knot.org/proofs/GraphicalSqRoots.shtml
Die anderen 29 Beweise für die Irrationalität von sqrt 2 sind teilweise
auch sehr nett:
https://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml
Der geometrische Beweis für die Irrationalität von e war doch nicht
von dieser Seite, sondern steht hier: https://arxiv.org/pdf/0704.1282.pdf
Rainer Rosenthal
May 4, 2022, 4:37:27 PM5/4/22
to
Ich war ja ziemlich aus dem Häuschen, als ich den neuen von Dedekind
gelesen hatte, für den Klaus-R. Löffler eine Leseanleitung gegeben hat.
Das radikal Neue fand ich den Verzicht auf Teilbarkeits-Gedanken.
Hst Du die 29+ Beweise mal quergelesen, was da gravierend Neues dabei ist?
Gruß,
Rainer
Martin Vaeth
May 4, 2022, 4:48:39 PM5/4/22
to
Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> schrieb:
(die 1. Bemerkung in https://blog.plover.com/math/sqrt-2-new-2.html
präsentiert noch eine Form davon, die ich auf den ersten Blick nicht
unter den 29 Beweisen gefunden habe).
Aber es gibt auch viele, die ganz andere Techniken benutzen:
Rekursive Folgen, Reihendarstellungen, binomische Formel, ...
Die meisten der Beweise sind schon sehr verschieden.
>
> Hst Du die 29+ Beweise mal quergelesen, was da gravierend Neues dabei ist?
Viele basieren schon auf verschiedenen Formen der Absteige-Technik
> Hst Du die 29+ Beweise mal quergelesen, was da gravierend Neues dabei ist?
(die 1. Bemerkung in https://blog.plover.com/math/sqrt-2-new-2.html
präsentiert noch eine Form davon, die ich auf den ersten Blick nicht
unter den 29 Beweisen gefunden habe).
Aber es gibt auch viele, die ganz andere Techniken benutzen:
Rekursive Folgen, Reihendarstellungen, binomische Formel, ...
Die meisten der Beweise sind schon sehr verschieden.
Rainer Rosenthal
May 4, 2022, 5:02:53 PM5/4/22
to
Good news.
Gruß,
Rainer
Noel Gugler
Oct 22, 2023, 8:06:31 AM10/22/23
to
Beste Grüsse
Noel
JVR
Oct 22, 2023, 8:54:49 AM10/22/23
to
wenn man den Palaverer nicht zeigt. Falls aber der Palaverer das eigentliche Thema sein sollte,
dann bitte, ohne ständig mit den Händen zu fuchteln.
JVR
Oct 22, 2023, 11:15:03 AM10/22/23
to
On Sunday, October 22, 2023 at 2:06:31 PM UTC+2, Noel Gugler wrote:
unerträglichen Videos ertragen konnte, habe ich noch ein paar Minuten mehr angehört.
Am Anfang ist ein böser Versprecher, dass nämlich bewiesen würde, die natürlichen
Zahlen seien irrational, nicht deren Wurzeln - das kann nur Professor Doktor (quasi-habil.)
Mückenheim beweisen.
Aber wirklich schlimm ist der restliche Salat. Wenn angenommen wird, dass eine natürliche
Zahl N = p/q, wobei p and q ganze Zahlen sind, darfst du ruhig die gemeinsamen Faktoren
kürzen, womit q = 1 wird, und der Beweis ist fertig.
Außerdem: Dass sqrt(p/q), wobei (p,q) = 1, nur rational sein kann, wenn p und q Quadrate
sind, ist genau so zu beweisen, wie die Irrationalität von sqrt(2).
Fritz Feldhase
Oct 22, 2023, 11:30:04 AM10/22/23
to
On Sunday, October 22, 2023 at 5:15:03 PM UTC+2, JVR wrote:
> Am Anfang ist ein böser Versprecher, dass nämlich bewiesen würde, die natürlichen
> Zahlen seien irrational, nicht deren Wurzeln
Ja, stimmt, es müsste heißen: "sondern sogar, dass __die Wurzel jeder___ natürlichen Zahl, die keine Quadratzahl ist, irrational ist."
> Am Anfang ist ein böser Versprecher, dass nämlich bewiesen würde, die natürlichen
> Zahlen seien irrational, nicht deren Wurzeln
> Aber wirklich schlimm ist der restliche Salat. [...]
Ist das so? Viell. kannst Du de erste Schritt des Beweises angeben, der fehlerhaft/nicht korekt oder unsinnig ist?
Fritz Feldhase
Oct 22, 2023, 11:41:40 AM10/22/23
to
On Sunday, October 22, 2023 at 5:30:04 PM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:
> On Sunday, October 22, 2023 at 5:15:03 PM UTC+2, JVR wrote:
> >
> > Am Anfang ist ein böser Versprecher, dass nämlich bewiesen würde, die natürlichen
> > Zahlen seien irrational, nicht deren Wurzeln
> >
> Ja, stimmt, es müsste heißen: "sondern sogar, dass __die Wurzel jeder___ natürlichen Zahl, die keine Quadratzahl ist, irrational ist."
>
> > Aber wirklich schlimm ist der restliche Salat. [...]
>
> Ist das so? Viell. kannst Du den erste Schritt des Beweises angeben, der fehlerhaft/nicht korekt oder unsinnig ist?
> On Sunday, October 22, 2023 at 5:15:03 PM UTC+2, JVR wrote:
> >
> > Am Anfang ist ein böser Versprecher, dass nämlich bewiesen würde, die natürlichen
> > Zahlen seien irrational, nicht deren Wurzeln
> >
> Ja, stimmt, es müsste heißen: "sondern sogar, dass __die Wurzel jeder___ natürlichen Zahl, die keine Quadratzahl ist, irrational ist."
>
> > Aber wirklich schlimm ist der restliche Salat. [...]
>
So weit ich den Beweis verstanden habe, geht man von einer beliebigen Zahl D e IN aus, die keine Quadratzahl ist. D. h. für die es kein n e IN gibt mit n^2 = D. (Damit sind die Zahlen 2, 3, 5, ... "abgedeckt".)
Dann kann man mit etwas hin und her zeigen, dass es eine natürliche Zahl n gibt (im Beweis lambda genannt), so dass n^2 < D < (n+1)^2 gilt.
NUN nimmt man an, dass D das Quadrat einer rationalen Zahl ist. Als D = q^2 mit q e Q und zeigt, dass diese Annahme auf einen Widerspruch führt.
Kurz: sqrt(D) kann also keine rationale Zahl sein, wenn D eine beliebige Nicht-Quadratzahl ist. Insbesondere ist dann sqrt(2) keine rationale Zahl, also irrational.
Fritz Feldhase
Oct 22, 2023, 11:51:57 AM10/22/23
to
JVR
Oct 22, 2023, 12:13:38 PM10/22/23
to
On Sunday, October 22, 2023 at 5:30:04 PM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:
übrige verworrene Argument gespart. Und das ist nicht einmal die einzige Möglichkeit.
Message has been deleted
Fritz Feldhase
Oct 22, 2023, 1:08:10 PM10/22/23
to
On Sunday, October 22, 2023 at 6:13:38 PM UTC+2, JVR wrote:
> On Sunday, October 22, 2023 at 5:30:04 PM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:
> > On Sunday, October 22, 2023 at 5:15:03 PM UTC+2, JVR wrote:
> > >
> > > [...] wirklich schlimm ist der restliche Salat. [...]
> On Sunday, October 22, 2023 at 5:30:04 PM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:
> > On Sunday, October 22, 2023 at 5:15:03 PM UTC+2, JVR wrote:
> > >
> > >
> > Ist das so? Viell. kannst Du den ersten Schritt des Beweises angeben, der fehlerhaft/nicht korekt oder unsinnig ist?
> >
> N = p/q p, q natürliche Zahlen, (p,q) = 1
??? Wo kommt das im Beweis vor? Kann es sein, dass Du ein anderes Video gesehen hast als ich?
Am Anfang wird D = q^2 angenommen,
also D = (t/u)^2 mit t,u e IN. Wobei angenomen wird, dass u die kleinste Zahl ist für die das gilt (also für das es ein t gibt mit D = (t/u)^2).
Wie kommst Du auf N (welches N) = p/q ? --- D a s macht natürlich keinen Sinn...
Das "verworrene Argument" geht übrigens (meines Wissens) auf Dedekind zurück. Man kann es (if so) auch als einen Beweis ansehen, ob nun verworren oder nicht.
Vermutlich steht es im Zusammenhang mit seinen Schnitten, könnte ich mir vorstellen.
Dieter Heidorn
Oct 22, 2023, 1:38:59 PM10/22/23
to
Fritz Feldhase schrieb:
Das trifft zu. Siehe Dedekinds Arbeit:
Stetigkeit und irrationale Zahlen,
§4: Schöpfung der irrationalen Zahlen
http://opera-platonis.de/dedekind/Dedekind_Stetigkeit_2.pdf
Dieter Heidorn
Stetigkeit und irrationale Zahlen,
§4: Schöpfung der irrationalen Zahlen
http://opera-platonis.de/dedekind/Dedekind_Stetigkeit_2.pdf
Dieter Heidorn
JVR
Oct 22, 2023, 1:45:15 PM10/22/23
to
Wenn (t/u)^2 eine ganze Zahl ist, welche Werte kommen für u in Frage?
Das weiß vielleicht sogar der Prefosser.
Message has been deleted
Fritz Feldhase
Oct 22, 2023, 1:56:42 PM10/22/23
to
On Sunday, October 22, 2023 at 7:45:15 PM UTC+2, JVR wrote:
> D = (t/u)^2, mit D, t, u in N.
>
> Wenn (t/u)^2 eine ganze Zahl ist, welche Werte kommen für u in Frage?
Äh, darum geht es ja gerade. lol
> D = (t/u)^2, mit D, t, u in N.
>
> Wenn (t/u)^2 eine ganze Zahl ist, welche Werte kommen für u in Frage?
Du weißt aber noch, was ein Widerspruchsbeweis ist, oder?
Du verstehst (oder auch nicht), MAN NIMMT z. B. AN, dass sqrt(2) eine rationale Zahl ist, dass es also zwei natürliche Zahlen n, m gibt, so dass
sqrt(2) = n/m (*)
gilt. Man fordert in diesem Zusammenhang üblicherweise noch, dass der Bruch n/m vollständig gekürzt sein soll.
Aus (*) folgt:
2 = (n/m)^2
usw,
Mit 2 funktioniert der eher triviale Beweis [über 2 = n^2/m^2 => 2 * m/2 ) n^2 usw. => Widerspruch] recht gut. Mit 3 aber scheitert er schon (iirc). Jedenfalls fehlt im die "Allgemeinheit": Für alle Nicht-Quadratzahlen...
Martin Vaeth
Oct 22, 2023, 2:20:21 PM10/22/23
to
JVR <jrenne...@googlemail.com> schrieb:
jeder natürlichen Zahl ist entweder ganz oder irrational.
> N = p/q; N, p, q natürliche Zahlen, (p,q) = 1, dann ist q = 1.
Dass es ungeführ noch ~20 andere bekannte Beweise für die
Irrationalität von Wurzel 2 gibt, von denen sich vermutlich
viele verallgemeinern lassen, wurde ja schon früher mal
disktutiert.
Ich sehe aber nicht, dass der obige Beweisansatz sehr
einfach ist: Schon der Beweis der Folgerung q = 1 ist (wenn
man ihn sauber führen will) vermutlich nicht ganz trivial:
Man muss umformen zu Nq = p und dann vermutlich die
Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung oder
zumindest das Lemma von Euklid hineinstecken.
(Natürlich könnte man alternativ sagen, dass p/q ein
*echter* Bruch ist, N aber nicht; aber um zu *zeigen*,
dass p/q ein echter Bruch ist, ist man wieder bei einer
Gleichung der Form nq = p mit einer natürlichen Zahl n.)
Das alles "weiß" man zwar aus der Schule, hat es aber
dort vermutlich nie bewiesen.
Damit bist Du aber immer noch nicht fertig, denn um zu zeigen,
dass die k-te Wurzel von N entweder ganz oder irrational ist,
muss man aus N = p^k/q^k mit (p, q) = 1 schließen, dass
q^k = 1 ist. Dies kann man vermutlich genau dann auf obige
Tatsache zurückführen, wenn man
(p, q) = 1 => (p^k, q^k) = 1
beweist. Aber selbst im vorher diskutierten Fall k=2 benötigt
man dazu vermutlich wieder die Eindeutigkeit der
Primfaktorzerlegung oder zumindest das Lemma von Euklid.
> On Sunday, October 22, 2023 at 5:30:04 PM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:
>> Ja, stimmt, es müsste heißen: "sondern sogar, dass __die Wurzel
>> jeder___ natürlichen Zahl, die keine Quadratzahl ist, irrational ist."
Lass uns das gleich mal verallgemeinern zu: Die k-te Wurzel (k=2,3,...)
>> Ja, stimmt, es müsste heißen: "sondern sogar, dass __die Wurzel
>> jeder___ natürlichen Zahl, die keine Quadratzahl ist, irrational ist."
jeder natürlichen Zahl ist entweder ganz oder irrational.
> N = p/q; N, p, q natürliche Zahlen, (p,q) = 1, dann ist q = 1.
Irrationalität von Wurzel 2 gibt, von denen sich vermutlich
viele verallgemeinern lassen, wurde ja schon früher mal
disktutiert.
Ich sehe aber nicht, dass der obige Beweisansatz sehr
einfach ist: Schon der Beweis der Folgerung q = 1 ist (wenn
man ihn sauber führen will) vermutlich nicht ganz trivial:
Man muss umformen zu Nq = p und dann vermutlich die
Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung oder
zumindest das Lemma von Euklid hineinstecken.
(Natürlich könnte man alternativ sagen, dass p/q ein
*echter* Bruch ist, N aber nicht; aber um zu *zeigen*,
dass p/q ein echter Bruch ist, ist man wieder bei einer
Gleichung der Form nq = p mit einer natürlichen Zahl n.)
Das alles "weiß" man zwar aus der Schule, hat es aber
dort vermutlich nie bewiesen.
Damit bist Du aber immer noch nicht fertig, denn um zu zeigen,
dass die k-te Wurzel von N entweder ganz oder irrational ist,
muss man aus N = p^k/q^k mit (p, q) = 1 schließen, dass
q^k = 1 ist. Dies kann man vermutlich genau dann auf obige
Tatsache zurückführen, wenn man
(p, q) = 1 => (p^k, q^k) = 1
beweist. Aber selbst im vorher diskutierten Fall k=2 benötigt
man dazu vermutlich wieder die Eindeutigkeit der
Primfaktorzerlegung oder zumindest das Lemma von Euklid.
Martin Vaeth
Oct 22, 2023, 2:50:26 PM10/22/23
to
Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com> schrieb:
wenn Du den Beweis meinst, den man in den meisten
Lehrbüchern findet, dann liegt dies daran, dass man
für die Primzahl p = 2 das Lemma von Euklid relativ
leicht beweisen kann: Es nimmt in diesem Fall die Form
"Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade" an.
Aber auch dieser Spezialfall ist strenggenommen nicht
vollkommen trivial zu zeigen, weil man vorher beweisen
muss, dass die Gestalt 2n + 1 notwendig und hinreichend
für ungerade Zahlen (> 1) ist.
>
> Mit 2 funktioniert der eher triviale Beweis
> [über 2 = n^2/m^2 => 2 * m/2 ) n^2 usw. => Widerspruch]
> recht gut.
Es ist nicht ganz klar, welchen Beweis Du meinst, aber
> Mit 2 funktioniert der eher triviale Beweis
> [über 2 = n^2/m^2 => 2 * m/2 ) n^2 usw. => Widerspruch]
> recht gut.
wenn Du den Beweis meinst, den man in den meisten
Lehrbüchern findet, dann liegt dies daran, dass man
für die Primzahl p = 2 das Lemma von Euklid relativ
leicht beweisen kann: Es nimmt in diesem Fall die Form
"Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade" an.
Aber auch dieser Spezialfall ist strenggenommen nicht
vollkommen trivial zu zeigen, weil man vorher beweisen
muss, dass die Gestalt 2n + 1 notwendig und hinreichend
für ungerade Zahlen (> 1) ist.
Fritz Feldhase
Oct 22, 2023, 3:09:15 PM10/22/23
to
On Sunday, October 22, 2023 at 8:50:26 PM UTC+2, Martin Vaeth wrote:
> Fritz Feldhase schrieb:
> Aber auch dieser Spezialfall ist strenggenommen nicht
> vollkommen trivial zu zeigen, weil man vorher beweisen
> muss, dass die Gestalt 2n + 1 notwendig und hinreichend
> für ungerade Zahlen (> 1) ist.
Ja, ok, aber ich denke die Sätze [für natürliche Zahlen n]:
n ist gerade genau dann, wenn es eine nat. Zahl k gibt mit n = 2k
n ist ungerade genau dann, wenn es eine nat. Zahl k gibt mit n = 2k + 1
kann man hier wohl voraussetzen, da wir uns schon im Bereich der rationalen Zahlen bewegen (und daher die natürlichen Zahlen inklusive grundlegender Eigenschaften wie der "Parität" eigentlich schon "abgefrühstückt" sein sollten).
Aber zurück zu Dedekinds Beweis: Man sollte den Kontext des Beweises beachten.Dazu hat Dieter Heidorn schon etwas gesagt.
> Fritz Feldhase schrieb:
> >
> > Mit 2 funktioniert der eher triviale Beweis
> > [über 2 = n^2/m^2 => 2 * m/2 = n^2 usw. [<< Typo korrigiert]
> > Mit 2 funktioniert der eher triviale Beweis
> > => Widerspruch] recht gut.
> >
> Es ist nicht ganz klar, welchen Beweis Du meinst, aber
> wenn Du den Beweis meinst, den man in den meisten
> Lehrbüchern findet, dann liegt dies daran, dass man
> für die Primzahl p = 2 das Lemma von Euklid relativ
> leicht beweisen kann: Es nimmt in diesem Fall die Form
> "Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade" an.
Jep. Den meinte ich.
> >
> Es ist nicht ganz klar, welchen Beweis Du meinst, aber
> wenn Du den Beweis meinst, den man in den meisten
> Lehrbüchern findet, dann liegt dies daran, dass man
> für die Primzahl p = 2 das Lemma von Euklid relativ
> leicht beweisen kann: Es nimmt in diesem Fall die Form
> "Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade" an.
> Aber auch dieser Spezialfall ist strenggenommen nicht
> vollkommen trivial zu zeigen, weil man vorher beweisen
> muss, dass die Gestalt 2n + 1 notwendig und hinreichend
> für ungerade Zahlen (> 1) ist.
n ist gerade genau dann, wenn es eine nat. Zahl k gibt mit n = 2k
n ist ungerade genau dann, wenn es eine nat. Zahl k gibt mit n = 2k + 1
kann man hier wohl voraussetzen, da wir uns schon im Bereich der rationalen Zahlen bewegen (und daher die natürlichen Zahlen inklusive grundlegender Eigenschaften wie der "Parität" eigentlich schon "abgefrühstückt" sein sollten).
Aber zurück zu Dedekinds Beweis: Man sollte den Kontext des Beweises beachten.Dazu hat Dieter Heidorn schon etwas gesagt.
Fritz Feldhase
Oct 22, 2023, 3:29:47 PM10/22/23
to
On Sunday, October 22, 2023 at 5:15:03 PM UTC+2, JVR wrote:
> Weil ich dachte, dir vielleicht ein Unrecht zu tun, nachdem ich nur den Anfang deines
> unerträglichen Videos ertragen konnte, habe ich noch ein paar Minuten mehr angehört.
Ja, es ist etwas mühsam, sich nicht von dem Gefuchtel mit den Händen ablenken zu lassen. Auch sonst ist mir die Darbietung etwas zu fahrig. Aber viell.werde ich auch langsam alt. :-P
> unerträglichen Videos ertragen konnte, habe ich noch ein paar Minuten mehr angehört.
Ich habe aber schon Schlimmeres gesehen: https://www.youtube.com/watch?v=ymGt7I4Yn3k
Martin Vaeth
Oct 23, 2023, 2:04:28 AM10/23/23
to
Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com> schrieb:
So ist ja gerade Teilbarkeit durch 2 definiert.
> n ist ungerade genau dann, wenn es eine nat. Zahl k gibt mit n = 2k + 1
Das hingegen ist ein Satz, denn man muss erstens beweisen, dass jede
ungerade Zahl so dargestellt werden kann und zweitens, dass keine
solche Zahl gerade ist. Das ist beides nicht extrem schwer (beim
zweiten muss man zur Vermeidung eines Zirkelschlusses aufpassen,
dass man das Lemma von Euklid nicht benutzt), aber trotzdem...
> kann man hier wohl voraussetzen [...] "abgefrühstückt"
Das ist ja kein mathematisches Argument. Du musst schon die
Komplexität des gesamten mathematischen Arguments berücksichtigen.
Und das ist alles zusammen nicht sehr viel weniger als beim
Beweis des Lemmas von Euklid. (Vor allem der Beweis, dass
2k + 1 ungerade ist, ist doch i.W. der Beweis des Lemmas
von Euklids mit Hilfe des Satzes von Bezout, nur dass man
den Satzes von Bezout hier nicht braucht, weil man die
Existenz der gewünschten Darstellung i.W. voraussetzt.)
Letztlich ersparst Du Dir für den skizzierten Beweis von Euklid
für den Fall p = 2 damit insgesamt nur den Beweis des Satzes von
Bezout als Hilfsmittel, brauchst dafür aber viele andere
Argumente...
>
> Ja, ok, aber ich denke die Sätze [für natürliche Zahlen n]:
>
> n ist gerade genau dann, wenn es eine nat. Zahl k gibt mit n = 2k
Das ist kein Satz, sondern die Definition von "gerade":
> Ja, ok, aber ich denke die Sätze [für natürliche Zahlen n]:
>
> n ist gerade genau dann, wenn es eine nat. Zahl k gibt mit n = 2k
So ist ja gerade Teilbarkeit durch 2 definiert.
> n ist ungerade genau dann, wenn es eine nat. Zahl k gibt mit n = 2k + 1
ungerade Zahl so dargestellt werden kann und zweitens, dass keine
solche Zahl gerade ist. Das ist beides nicht extrem schwer (beim
zweiten muss man zur Vermeidung eines Zirkelschlusses aufpassen,
dass man das Lemma von Euklid nicht benutzt), aber trotzdem...
> kann man hier wohl voraussetzen [...] "abgefrühstückt"
Das ist ja kein mathematisches Argument. Du musst schon die
Komplexität des gesamten mathematischen Arguments berücksichtigen.
Und das ist alles zusammen nicht sehr viel weniger als beim
Beweis des Lemmas von Euklid. (Vor allem der Beweis, dass
2k + 1 ungerade ist, ist doch i.W. der Beweis des Lemmas
von Euklids mit Hilfe des Satzes von Bezout, nur dass man
den Satzes von Bezout hier nicht braucht, weil man die
Existenz der gewünschten Darstellung i.W. voraussetzt.)
Letztlich ersparst Du Dir für den skizzierten Beweis von Euklid
für den Fall p = 2 damit insgesamt nur den Beweis des Satzes von
Bezout als Hilfsmittel, brauchst dafür aber viele andere
Argumente...
Fritz Feldhase
Oct 23, 2023, 3:03:19 AM10/23/23
to
On Monday, October 23, 2023 at 8:04:28 AM UTC+2, Martin Vaeth wrote: <bla>
Du bist und bleibst ein Sp*nner. Hat man Dir das schon mal gesagt?
Bist Du Autist? Asperger?
Du bist und bleibst ein Sp*nner. Hat man Dir das schon mal gesagt?
Bist Du Autist? Asperger?
Ralf Goertz
Oct 23, 2023, 3:20:31 AM10/23/23
to
Am Sun, 22 Oct 2023 10:55:41 -0700 (PDT)
schrieb Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com>:
> Du verstehst (oder auch nicht), MAN NIMMT z. B. AN, dass sqrt(2) eine
> rationale Zahl ist, dass es also zwei natürliche Zahlen n, m gibt, so
> dass
>
> sqrt(2) = n/m (*)
>
> gilt. Man fortert in diesem Zusammenhang üblicherweise noch, dass der
insbesondere keine Quadratzahlen): Sei n/m ein gekürzter Bruch mit
p=(n/m)²=n²/m². Dann folgt p*m²=n², folglich ist n² durch p teilbar
(Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung), also n²=p*k, eingesetzt ergibt
das p*m²=(p*k)²=p²*k². Wir dividieren durch p und erhalten m²=p*k², also
ist auch m² durch p teilbar. Wiederum wegen der Eindeutigkeit der
Primzahlzerlegung sind also auch sowohl m als auch n durch p teilbar,
folglich war m/n nicht gekürzt, denn (n,m)≥p. Widerspruch. Ist das
schwerer als der Spezialfall p=2?
> Jedenfalls fehlt im die "Allgemeinheit": Für alle
> Nicht-Quadratzahlen...
Das allerdings.
schrieb Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com>:
> Du verstehst (oder auch nicht), MAN NIMMT z. B. AN, dass sqrt(2) eine
> rationale Zahl ist, dass es also zwei natürliche Zahlen n, m gibt, so
> dass
>
> sqrt(2) = n/m (*)
>
> Bruch n/m vollständig gekürzt sein soll.
>
> Aus (*) folgt:
>
> 2 = (n/m)^2
>
> usw,
>
>
> Aus (*) folgt:
>
> 2 = (n/m)^2
>
> usw,
>
> Mit 2 funktioniert der eher triviale Beweis [über 2 = n^2/m^2 => 2 *
> m/2 ) n^2 usw. => Widerspruch] recht gut. Mit 3 aber scheitert er
> schon (iirc).
Ich dachte, das funktioniert gut für alle Primzahlen p (diese sind
> schon (iirc).
insbesondere keine Quadratzahlen): Sei n/m ein gekürzter Bruch mit
p=(n/m)²=n²/m². Dann folgt p*m²=n², folglich ist n² durch p teilbar
(Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung), also n²=p*k, eingesetzt ergibt
das p*m²=(p*k)²=p²*k². Wir dividieren durch p und erhalten m²=p*k², also
ist auch m² durch p teilbar. Wiederum wegen der Eindeutigkeit der
Primzahlzerlegung sind also auch sowohl m als auch n durch p teilbar,
folglich war m/n nicht gekürzt, denn (n,m)≥p. Widerspruch. Ist das
schwerer als der Spezialfall p=2?
> Jedenfalls fehlt im die "Allgemeinheit": Für alle
> Nicht-Quadratzahlen...
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Ganzhinterseher
Oct 23, 2023, 4:40:26 AM10/23/23
to
Martin Vaeth schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 08:04:28 UTC+2:
> Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com> schrieb:
> >
> > Ja, ok, aber ich denke die Sätze [für natürliche Zahlen n]:
> >
> > n ist gerade genau dann, wenn es eine nat. Zahl k gibt mit n = 2k
> Das ist kein Satz, sondern die Definition von "gerade":
> So ist ja gerade Teilbarkeit durch 2 definiert.
> > n ist ungerade genau dann, wenn es eine nat. Zahl k gibt mit n = 2k + 1
> Das hingegen ist ein Satz, denn man muss erstens beweisen, dass jede
> ungerade Zahl so dargestellt werden kann und zweitens, dass keine
> solche Zahl gerade ist.
Nein, man muss nur beweisen, dass bei Division von 2k +1 durch 2 ein Rest bleibt. Denn die Definition von "gerade" ist gerade, dass kein Rest bleibt. Also zeigt ein Rest, dass die Zahl nicht gerade ist. Das bezeichnet man auch als ungerade.
> Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com> schrieb:
> >
> > Ja, ok, aber ich denke die Sätze [für natürliche Zahlen n]:
> >
> > n ist gerade genau dann, wenn es eine nat. Zahl k gibt mit n = 2k
> Das ist kein Satz, sondern die Definition von "gerade":
> So ist ja gerade Teilbarkeit durch 2 definiert.
> > n ist ungerade genau dann, wenn es eine nat. Zahl k gibt mit n = 2k + 1
> Das hingegen ist ein Satz, denn man muss erstens beweisen, dass jede
> ungerade Zahl so dargestellt werden kann und zweitens, dass keine
> solche Zahl gerade ist.
Gruß, WM
Ganzhinterseher
Oct 23, 2023, 4:59:08 AM10/23/23
to
Fritz Feldhase schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 10:38:21 UTC+2:
> Der schöne an diesem Beweises ist, dass er "ziemlich elementar" ist. Während der, der über die Existenz und Eindeutigkeit der PFZ läuft, den "Hauptsatz der Zahlentheorie" (Existenz und Eindeutigkeit der PFZ) benötigt, der nicht so einfach zu beweisen ist.(Kannst es ja mal versuchen. :-P)
Da empfehle ich den einfachen Beweis von Zermelo, wie er z.B. hier gezeigt wird: W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4. Aufl., DeGruyter, Berlin 2015, S.29 oder W. Mückenheim: "Die Geschichte des Unendlichen", 7. Aufl., Maro-Verlag, Augsburg 2011, S. 24.
> > > Jedenfalls fehlt im die "Allgemeinheit": Für alle Nicht-Quadratzahlen...
> > >
> > Das allerdings.
> Das wiederum kann man recht schön unter Zuhilfenahme des "Hauptsatz der Zahlentheorie" zeigen.
Genau. Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach.
Damit ergibt sich faabbcc...dd = eeffgg...hh.
Gruß, WM
> Der schöne an diesem Beweises ist, dass er "ziemlich elementar" ist. Während der, der über die Existenz und Eindeutigkeit der PFZ läuft, den "Hauptsatz der Zahlentheorie" (Existenz und Eindeutigkeit der PFZ) benötigt, der nicht so einfach zu beweisen ist.(Kannst es ja mal versuchen. :-P)
Da empfehle ich den einfachen Beweis von Zermelo, wie er z.B. hier gezeigt wird: W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4. Aufl., DeGruyter, Berlin 2015, S.29 oder W. Mückenheim: "Die Geschichte des Unendlichen", 7. Aufl., Maro-Verlag, Augsburg 2011, S. 24.
> > > Jedenfalls fehlt im die "Allgemeinheit": Für alle Nicht-Quadratzahlen...
> > >
> > Das allerdings.
Genau. Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach.
Damit ergibt sich faabbcc...dd = eeffgg...hh.
Gruß, WM
Fritz Feldhase
Oct 23, 2023, 5:12:20 AM10/23/23
to
On Monday, October 23, 2023 at 10:59:08 AM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 10:38:21 UTC+2:
> >
> > Das Schöne an diesem Beweis ist, dass er "ziemlich elementar" ist. Während der, der über die Existenz und Eindeutigkeit der PFZ läuft, den "Hauptsatz der Zahlentheorie" (Existenz und Eindeutigkeit der PFZ) benötigt, der nicht so einfach zu beweisen ist.(Kannst es ja mal versuchen. :-P)
> Fritz Feldhase schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 10:38:21 UTC+2:
> >
> >
> Da empfehle ich den einfachen Beweis von Zermelo,
Also _so_ einfach ist der nun auch wieder nicht; aber recht elementar, ja. :-)
> Da empfehle ich den einfachen Beweis von Zermelo,
Immerhin hat es offenbar einen Zermelo gebraucht, um auf den Beweis zu kommen.
Fritz Feldhase
Oct 23, 2023, 5:12:58 AM10/23/23
to
On Monday, October 23, 2023 at 9:20:31 AM UTC+2, Ralf Goertz wrote:
> Am Sun, 22 Oct 2023 10:55:41 -0700 (PDT)
> schrieb Fritz Feldhase:
> Am Sun, 22 Oct 2023 10:55:41 -0700 (PDT)
> >
> > Du verstehst (oder auch nicht), MAN NIMMT z. B. AN, dass sqrt(2) eine
> > rationale Zahl ist, dass es also zwei natürliche Zahlen n, m gibt, so
> > dass
> >
> > sqrt(2) = n/m (*)
> >
> > gilt. Man fortert in diesem Zusammenhang üblicherweise noch, dass der
> > Bruch n/m vollständig gekürzt sein soll.
> >
> > Aus (*) folgt:
> >
> > 2 = (n/m)^2
> >
> > usw,
> >
> > Mit 2 funktioniert der eher triviale Beweis [über 2 = n^2/m^2 => 2 *
> > m/2 ) n^2 usw. => Widerspruch] recht gut. Mit 3 aber scheitert er
> > schon (iirc).
> >
> Ich dachte, das funktioniert gut für alle Primzahlen p (diese sind
> insbesondere keine Quadratzahlen): Sei n/m ein gekürzter Bruch mit
> p=(n/m)²=n²/m². Dann folgt p*m²=n², folglich ist n² durch p teilbar
> (Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung), also n²=p*k, eingesetzt ergibt
> das p*m²=(p*k)²=p²*k². Wir dividieren durch p und erhalten m²=p*k², also
> ist auch m² durch p teilbar. Wiederum wegen der Eindeutigkeit der
> Primzahlzerlegung sind also auch sowohl m als auch n durch p teilbar,
> folglich war m/n nicht gekürzt, denn (n,m)≥p. Widerspruch. Ist das
> schwerer als der Spezialfall p=2?
Nein, an diesen Beweis dachte ich hier nicht.
> > Du verstehst (oder auch nicht), MAN NIMMT z. B. AN, dass sqrt(2) eine
> > rationale Zahl ist, dass es also zwei natürliche Zahlen n, m gibt, so
> > dass
> >
> > sqrt(2) = n/m (*)
> >
> > gilt. Man fortert in diesem Zusammenhang üblicherweise noch, dass der
> > Bruch n/m vollständig gekürzt sein soll.
> >
> > Aus (*) folgt:
> >
> > 2 = (n/m)^2
> >
> > usw,
> >
> > Mit 2 funktioniert der eher triviale Beweis [über 2 = n^2/m^2 => 2 *
> > m/2 ) n^2 usw. => Widerspruch] recht gut. Mit 3 aber scheitert er
> > schon (iirc).
> >
> Ich dachte, das funktioniert gut für alle Primzahlen p (diese sind
> insbesondere keine Quadratzahlen): Sei n/m ein gekürzter Bruch mit
> p=(n/m)²=n²/m². Dann folgt p*m²=n², folglich ist n² durch p teilbar
> (Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung), also n²=p*k, eingesetzt ergibt
> das p*m²=(p*k)²=p²*k². Wir dividieren durch p und erhalten m²=p*k², also
> ist auch m² durch p teilbar. Wiederum wegen der Eindeutigkeit der
> Primzahlzerlegung sind also auch sowohl m als auch n durch p teilbar,
> folglich war m/n nicht gekürzt, denn (n,m)≥p. Widerspruch. Ist das
> schwerer als der Spezialfall p=2?
Der Beweis, den ich meine, geht so:
Sei n/m ein vollständig gekürzter Bruch mit 2=(n/m)²=n²/m². Dann folgt 2m²=n², folglich ist n² eine gerade Zahl. Man kann nun leicht zeigen, dass dann auch n gerade ist. Also n = 2k für eine Zahl k gilt. Also haben wir 2m²=(2k)² und damit 2m²=4k² bzw. m² = 2k². Also ist auch m² und damit m eine gerade Zahl. Damit wären aber n und m beide durch 2 teilbar, der Bruch n/m also nicht vollständig gekürzt. Widerspruch!
Das Schöne an diesem Beweis ist, dass er "ziemlich elementar" ist. Während der, der über die Existenz und Eindeutigkeit der PFZ läuft, den "Hauptsatz der Zahlentheorie" (Existenz und Eindeutigkeit der PFZ) benötigt, der nicht so einfach zu beweisen ist.(Kannst es ja mal versuchen. :-P)
> > Jedenfalls fehlt im die "Allgemeinheit": Für alle Nicht-Quadratzahlen...
> >
> Das allerdings.
> >
> Das allerdings.
Ralf Goertz
Oct 23, 2023, 6:27:28 AM10/23/23
to
Am Mon, 23 Oct 2023 02:12:56 -0700 (PDT)
schrieb Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com>:
> On Monday, October 23, 2023 at 9:20:31 AM UTC+2, Ralf Goertz wrote:
> > Am Sun, 22 Oct 2023 10:55:41 -0700 (PDT)
> > schrieb Fritz Feldhase:
ohne Eindeutigkeit der PFZ? (Siehe unten)
> Also n = 2k für eine Zahl k gilt. Also haben wir 2m²=(2k)² und damit
> 2m²=4k² bzw. m² = 2k². Also ist auch m² und damit m eine gerade Zahl.
> Damit wären aber n und m beide durch 2 teilbar, der Bruch n/m also
> nicht vollständig gekürzt. Widerspruch!
Denn ansonsten ist es doch 1:1 das, was ich oben beschrieben habe (setze
p=2).
> Das Schöne an diesem Beweis ist, dass er "ziemlich elementar" ist.
> Während der, der über die Existenz und Eindeutigkeit der PFZ läuft,
> den "Hauptsatz der Zahlentheorie" (Existenz und Eindeutigkeit der
> PFZ) benötigt, der nicht so einfach zu beweisen ist.(Kannst es ja mal
> versuchen. :-P)
Unter
<https://de.wikipedia.org/wiki/Beweis_der_Irrationalit%C3%A4t_der_Wurzel_aus_2_bei_Euklid#cite_note-3>
findet sich im Artikel über Euklids Beweis: „Eine ganze Zahl wird gerade
bzw. ungerade genannt, je nachdem ob sie durch 2 teilbar bzw. nicht
teilbar ist. Das heißt: Eine gerade Zahl hat die Form 2m und eine
ungerade Zahl die Form 2m+1, wobei m eine natürliche Zahl 1, 2, 3, …
ist. Da (2m)²=2(2m²) und (2m+1)²=4m²+4m+1=2(2m²+2m)+1 ist, ist das
Quadrat einer ganzen Zahl z genau dann gerade, wenn z selbst gerade
ist.“
Für p=3 kann ich analog argumentieren: Das Quadrat einer durch 3
teilbaren Zahl ist durch 3 teilbar (3m)²=3(3m²). Eine nicht durch 3
teilbare Zahl lässt sich als 3m+k schreiben mit k∈{1,2}. Dann gilt
(3m+k)²=3(3m²+2mk)+k². Für k=1 ist k²=1 also diese Summe nicht durch 3
teilbar. Für k=2 gilt wegen 3(3m²+2mk)+k²=3(3m²+4m+1)+1 gleiches. Es
folgt: Das Quadrat einer ganzen Zahl n ist genau dann durch 3 teilbar,
wenn n durch 3 teilbar ist. Für allgemeines primes p braucht es
vielleicht den kleinen Fermat, aber im Prinzip kann die analoge Aussage
für jedes p elementar überprüft werden. Oder?
schrieb Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com>:
> On Monday, October 23, 2023 at 9:20:31 AM UTC+2, Ralf Goertz wrote:
> > Am Sun, 22 Oct 2023 10:55:41 -0700 (PDT)
> > schrieb Fritz Feldhase:
> > > Mit 2 funktioniert der eher triviale Beweis [über 2 = n^2/m^2 => 2
> > > * m/2 ) n^2 usw. => Widerspruch] recht gut. Mit 3 aber scheitert
> > > er schon (iirc).
> > >
> > Ich dachte, das funktioniert gut für alle Primzahlen p (diese sind
> > insbesondere keine Quadratzahlen): Sei n/m ein gekürzter Bruch mit
> > p=(n/m)²=n²/m². Dann folgt p*m²=n², folglich ist n² durch p teilbar
> > (Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung), also n²=p*k, eingesetzt
> > ergibt das p*m²=(p*k)²=p²*k². Wir dividieren durch p und erhalten
> > m²=p*k², also ist auch m² durch p teilbar. Wiederum wegen der
> > Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung sind also auch sowohl m als
> > auch n durch p teilbar, folglich war m/n nicht gekürzt, denn
> > (n,m)≥p. Widerspruch. Ist das schwerer als der Spezialfall p=2?
>
> Nein, an diesen Beweis dachte ich hier nicht.
>
> Der Beweis, den ich meine, geht so:
>
> Sei n/m ein vollständig gekürzter Bruch mit 2=(n/m)²=n²/m². Dann
> folgt 2m²=n², folglich ist n² eine gerade Zahl.
> Man kann nun leicht zeigen, dass dann auch n gerade ist.
Schade, das wäre doch der springende Punkt. Wie zeigt man das leicht
> > > * m/2 ) n^2 usw. => Widerspruch] recht gut. Mit 3 aber scheitert
> > > er schon (iirc).
> > >
> > Ich dachte, das funktioniert gut für alle Primzahlen p (diese sind
> > insbesondere keine Quadratzahlen): Sei n/m ein gekürzter Bruch mit
> > p=(n/m)²=n²/m². Dann folgt p*m²=n², folglich ist n² durch p teilbar
> > (Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung), also n²=p*k, eingesetzt
> > ergibt das p*m²=(p*k)²=p²*k². Wir dividieren durch p und erhalten
> > m²=p*k², also ist auch m² durch p teilbar. Wiederum wegen der
> > Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung sind also auch sowohl m als
> > auch n durch p teilbar, folglich war m/n nicht gekürzt, denn
> > (n,m)≥p. Widerspruch. Ist das schwerer als der Spezialfall p=2?
>
> Nein, an diesen Beweis dachte ich hier nicht.
>
> Der Beweis, den ich meine, geht so:
>
> Sei n/m ein vollständig gekürzter Bruch mit 2=(n/m)²=n²/m². Dann
> folgt 2m²=n², folglich ist n² eine gerade Zahl.
> Man kann nun leicht zeigen, dass dann auch n gerade ist.
ohne Eindeutigkeit der PFZ? (Siehe unten)
> Also n = 2k für eine Zahl k gilt. Also haben wir 2m²=(2k)² und damit
> 2m²=4k² bzw. m² = 2k². Also ist auch m² und damit m eine gerade Zahl.
> Damit wären aber n und m beide durch 2 teilbar, der Bruch n/m also
> nicht vollständig gekürzt. Widerspruch!
p=2).
> Das Schöne an diesem Beweis ist, dass er "ziemlich elementar" ist.
> Während der, der über die Existenz und Eindeutigkeit der PFZ läuft,
> den "Hauptsatz der Zahlentheorie" (Existenz und Eindeutigkeit der
> PFZ) benötigt, der nicht so einfach zu beweisen ist.(Kannst es ja mal
> versuchen. :-P)
<https://de.wikipedia.org/wiki/Beweis_der_Irrationalit%C3%A4t_der_Wurzel_aus_2_bei_Euklid#cite_note-3>
findet sich im Artikel über Euklids Beweis: „Eine ganze Zahl wird gerade
bzw. ungerade genannt, je nachdem ob sie durch 2 teilbar bzw. nicht
teilbar ist. Das heißt: Eine gerade Zahl hat die Form 2m und eine
ungerade Zahl die Form 2m+1, wobei m eine natürliche Zahl 1, 2, 3, …
ist. Da (2m)²=2(2m²) und (2m+1)²=4m²+4m+1=2(2m²+2m)+1 ist, ist das
Quadrat einer ganzen Zahl z genau dann gerade, wenn z selbst gerade
ist.“
Für p=3 kann ich analog argumentieren: Das Quadrat einer durch 3
teilbaren Zahl ist durch 3 teilbar (3m)²=3(3m²). Eine nicht durch 3
teilbare Zahl lässt sich als 3m+k schreiben mit k∈{1,2}. Dann gilt
(3m+k)²=3(3m²+2mk)+k². Für k=1 ist k²=1 also diese Summe nicht durch 3
teilbar. Für k=2 gilt wegen 3(3m²+2mk)+k²=3(3m²+4m+1)+1 gleiches. Es
folgt: Das Quadrat einer ganzen Zahl n ist genau dann durch 3 teilbar,
wenn n durch 3 teilbar ist. Für allgemeines primes p braucht es
vielleicht den kleinen Fermat, aber im Prinzip kann die analoge Aussage
für jedes p elementar überprüft werden. Oder?
Fritz Feldhase
Oct 23, 2023, 6:55:03 AM10/23/23
to
On Monday, October 23, 2023 at 12:27:28 PM UTC+2, Ralf Goertz wrote:
> Am Mon, 23 Oct 2023 02:12:56 -0700 (PDT)
> schrieb Fritz Feldhase:
> Am Mon, 23 Oct 2023 02:12:56 -0700 (PDT)
> > On Monday, October 23, 2023 at 9:20:31 AM UTC+2, Ralf Goertz wrote:
> > > Am Sun, 22 Oct 2023 10:55:41 -0700 (PDT)
> > > schrieb Fritz Feldhase:
> > > > Mit 2 funktioniert der eher triviale Beweis [über 2 = n^2/m^2 => 2
> > > > * m/2 ) n^2 usw. => Widerspruch] recht gut. Mit 3 aber scheitert
> > > > er schon (iirc).
> > > >
> > > Ich dachte, das funktioniert gut für alle Primzahlen p (diese sind
> > > insbesondere keine Quadratzahlen): Sei n/m ein gekürzter Bruch mit
> > > p=(n/m)²=n²/m². Dann folgt p*m²=n², folglich ist n² durch p teilbar
> > > (Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung), also n²=p*k, eingesetzt
> > > ergibt das p*m²=(p*k)²=p²*k². Wir dividieren durch p und erhalten
> > > m²=p*k², also ist auch m² durch p teilbar. Wiederum wegen der
> > > Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung sind also auch sowohl m als
> > > auch n durch p teilbar, folglich war m/n nicht gekürzt, denn
> > > (n,m)≥p. Widerspruch. Ist das schwerer als der Spezialfall p=2?
> >
> > Nein, an diesen Beweis dachte ich hier nicht.
> >
> > Der Beweis, den ich meine, geht so:
> >
> > Sei n/m ein vollständig gekürzter Bruch mit 2=(n/m)²=n²/m². Dann
> > folgt 2m²=n², folglich ist n² eine gerade Zahl.
> >
> > Man kann nun leicht zeigen, dass dann auch n gerade ist.
> >
> Schade, das wäre doch der springende Punkt. Wie zeigt man das leicht
> ohne Eindeutigkeit der PFZ? (Siehe unten)
Man muss dazu lediglich voraussetzen, dass für jede Zahl n entweder n = 2k oder n = 2k + 1 (für eine Zahl k) gilt.
> > > Am Sun, 22 Oct 2023 10:55:41 -0700 (PDT)
> > > schrieb Fritz Feldhase:
> > > > Mit 2 funktioniert der eher triviale Beweis [über 2 = n^2/m^2 => 2
> > > > * m/2 ) n^2 usw. => Widerspruch] recht gut. Mit 3 aber scheitert
> > > > er schon (iirc).
> > > >
> > > Ich dachte, das funktioniert gut für alle Primzahlen p (diese sind
> > > insbesondere keine Quadratzahlen): Sei n/m ein gekürzter Bruch mit
> > > p=(n/m)²=n²/m². Dann folgt p*m²=n², folglich ist n² durch p teilbar
> > > (Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung), also n²=p*k, eingesetzt
> > > ergibt das p*m²=(p*k)²=p²*k². Wir dividieren durch p und erhalten
> > > m²=p*k², also ist auch m² durch p teilbar. Wiederum wegen der
> > > Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung sind also auch sowohl m als
> > > auch n durch p teilbar, folglich war m/n nicht gekürzt, denn
> > > (n,m)≥p. Widerspruch. Ist das schwerer als der Spezialfall p=2?
> >
> > Nein, an diesen Beweis dachte ich hier nicht.
> >
> > Der Beweis, den ich meine, geht so:
> >
> > Sei n/m ein vollständig gekürzter Bruch mit 2=(n/m)²=n²/m². Dann
> > folgt 2m²=n², folglich ist n² eine gerade Zahl.
> >
> > Man kann nun leicht zeigen, dass dann auch n gerade ist.
> >
> Schade, das wäre doch der springende Punkt. Wie zeigt man das leicht
> ohne Eindeutigkeit der PFZ? (Siehe unten)
Wobei wir sagen, dass n gerade ist, falls es ein k gibt mit n =2k und n ungerade ist, falls es ein ein k gibt mit n = 2k + 1.
Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Parit%C3%A4t_(Mathematik)
Wäre also n = 2k + 1 (für ein k), also ungerade, so wäre n² = (2k + 1)² ^= 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, also ungerade.
n² ist aber gerade, also ist auch n gerade.
> > Also n = 2k für eine Zahl k gilt. Also haben wir 2m²=(2k)² und damit
> > 2m²=4k² bzw. m² = 2k². Also ist auch m² und damit m eine gerade Zahl.
> > Damit wären aber n und m beide durch 2 teilbar, der Bruch n/m also
> > nicht vollständig gekürzt. Widerspruch!
> >
> Denn ansonsten ist es doch 1:1 das, was ich oben beschrieben habe (setze
> p=2).
> > Das Schöne an diesem Beweis ist, dass er "ziemlich elementar" ist.
> > Während der, der über die Existenz und Eindeutigkeit der PFZ läuft,
> > den "Hauptsatz der Zahlentheorie" (Existenz und Eindeutigkeit der
> > PFZ) benötigt, der nicht so einfach zu beweisen ist.(Kannst es ja mal
> > versuchen. :-P)
> Unter
> <https://de.wikipedia.org/wiki/Beweis_der_Irrationalit%C3%A4t_der_Wurzel_aus_2_bei_Euklid#cite_note-3>
> findet sich im Artikel über Euklids Beweis: „Eine ganze Zahl wird gerade
> bzw. ungerade genannt, je nachdem ob sie durch 2 teilbar bzw. nicht
> teilbar ist. Das heißt: Eine gerade Zahl hat die Form 2m und eine
> ungerade Zahl die Form 2m+1, wobei m eine natürliche Zahl 1, 2, 3, …
> ist. Da (2m)²=2(2m²) und (2m+1)²=4m²+4m+1=2(2m²+2m)+1 ist, ist das
> Quadrat einer ganzen Zahl z genau dann gerade, wenn z selbst gerade
> ist.“
> Für p=3 kann ich analog argumentieren: Das Quadrat einer durch 3
> teilbaren Zahl ist durch 3 teilbar (3m)²=3(3m²). Eine nicht durch 3
> teilbare Zahl lässt sich als 3m+k schreiben mit k∈{1,2}. Dann gilt
> (3m+k)²=3(3m²+2mk)+k². Für k=1 ist k²=1 also diese Summe nicht durch 3
> teilbar. Für k=2 gilt wegen 3(3m²+2mk)+k²=3(3m²+4m+1)+1 gleiches. Es
> folgt: Das Quadrat einer ganzen Zahl n ist genau dann durch 3 teilbar,
> wenn n durch 3 teilbar ist. Für allgemeines primes p braucht es
> vielleicht den kleinen Fermat, aber im Prinzip kann die analoge Aussage
> für jedes p elementar überprüft werden. Oder?
JVR
Oct 23, 2023, 6:59:04 AM10/23/23
to
On Monday, October 23, 2023 at 10:59:08 AM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
völlig fehlerlos abgeschrieben!
Leider verdirbt er den guten Eindruck sofort wieder durch eine typische mückmeatische Ungenauigkeit:
"Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach".
Das gilt nämlich auch für Quadratzahlen.
Tom Bola
Oct 23, 2023, 8:36:06 AM10/23/23
to
JVR schrieb:
WM dankt wieder für diese kostenlose Korrektur seines Werkes.
Ganzhinterseher
Oct 23, 2023, 1:19:32 PM10/23/23
to
JVR schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 12:59:04 UTC+2:
> On Monday, October 23, 2023 at 10:59:08 AM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > Fritz Feldhase schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 10:38:21 UTC+2:
> > > Das wiederum kann man recht schön unter Zuhilfenahme des "Hauptsatz der Zahlentheorie" zeigen.
> >
> > Genau. Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach.
> > Damit ergibt sich faabbcc...dd = eeffgg...hh.
> On Monday, October 23, 2023 at 10:59:08 AM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > Fritz Feldhase schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 10:38:21 UTC+2:
> > > Das wiederum kann man recht schön unter Zuhilfenahme des "Hauptsatz der Zahlentheorie" zeigen.
> >
> > Genau. Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach.
> > Damit ergibt sich faabbcc...dd = eeffgg...hh.
> "Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach".
> Das gilt nämlich auch für Quadratzahlen.
Zeig mal eine solche.
> Das gilt nämlich auch für Quadratzahlen.
Gruß, WM
Martin Vaeth
Oct 23, 2023, 4:11:14 PM10/23/23
to
Ralf Goertz <m...@myprovider.invalid> schrieb:
(das Produkt ungerader Zahlen ist ungerade) - wie Du unten
richtig bemerkst, sogar für den Spezialfall gleicher Faktoren.
Dass der Beweis davon - wenn man ihn ganz ausführt - nicht ganz
trivial ist, hatte ich bereits in einem anderen Posting bemerkt.
Aber aus gegebenem Anlass wiederhole ich das Argument nochmal
kurz:
> findet sich im Artikel über Euklids Beweis: „Eine ganze Zahl wird gerade
> bzw. ungerade genannt, je nachdem ob sie durch 2 teilbar bzw. nicht
> teilbar ist. Das heißt: Eine gerade Zahl hat die Form 2m und eine
> ungerade Zahl die Form 2m+1, wobei m eine natürliche Zahl 1, 2, 3, …
> ist.
Das mathematische Problem ist in dem "das heißt" versteckt:
Man muss dazu zeigen, dass ungerade Zahlen diese Form haben
(dazu zeigt man per Induktion, dass jede Zahl entweder die
Gestelt 2k oder 2k+1 hat) *und* man muss zeigen, dass Zahlen
der Gestalt 2k + 1 ungerade sind, wobei man aufpassen sollte,
dabei nicht das Euklidische Lemma für p = 2 zu benutzen.
Das ist zwar nicht sehr schwer (wäre 2k + 1 = 2n, so wäre
2(n - k) = 1, die linke Seite gerade, die rechte ungerade),
aber:
Diese Argumentation ist schon nahezu die des üblichen
Beweises des Euklidischen Lemmas mit Hilfe des Satzes von
Bezout (nur, dass man letzteren Satz hier vermieden hat,
aber dafür mehrere andere Hilsbehauptungen benötigte.)
> Für p=3 kann ich analog argumentieren
Allgemeiner kann man mit dieser Methode sogar für jede
gegebene Primzahl p das Lemma von Euklid auf eine
Verifikation von endlich vielen Fällen zurückführen:
Man braucht dazu "Division mit Rest", also dass jede Zahl
eine Darstellung der Form pm + k mit k = 0, ...., p - 1
hat, und dass diese Zahl nur im Fall k = 0 durch p
teilbar (beides kann man analog oben zeigen).
Dann rechnet man in dieser Darstellung
(pm + k)(pn + j) = pN + (kj mod p)
mit einer natürlichen Zahl N. Man muss also "nur noch"
verifizieren, dass kj nicht durch p teilbar ist, wenn
k,j = 1, ..., p - 1.
Dies ist zwar formal ein Spezialfall des Euklidischen
Lemmas selbst, aber durch die Größenbeschränkung braucht
man für gegebenes p nur endlich viele Fälle zu
verifizieren.
Leider taugt der Ansatz scheinbar nicht als "voller"
Alternativbeweis zum Euklidischen Lemma, denn es
scheint keinen Beweis dieses Spezialfalls zu geben,
der nicht schon das allgemeine Euklidische Lemma
beweist.
Oder sieht jemand einen?
Du hast vom kleinen Fermat gesprochen. Ich sehe nicht,
wie der hier hilft, selbst nicht im Spezialfall j = k,
der ja für die Quadratwurzel einer Primzahl ausreicht.
>> folglich ist n² eine gerade Zahl.
>
>> Man kann nun leicht zeigen, dass dann auch n gerade ist.
>
> Schade, das wäre doch der springende Punkt. Wie zeigt man das leicht
> ohne Eindeutigkeit der PFZ? (Siehe unten)
Genaugenommen genügt eben das Euklidische Lemma für p = 2
>
>> Man kann nun leicht zeigen, dass dann auch n gerade ist.
>
> Schade, das wäre doch der springende Punkt. Wie zeigt man das leicht
> ohne Eindeutigkeit der PFZ? (Siehe unten)
(das Produkt ungerader Zahlen ist ungerade) - wie Du unten
richtig bemerkst, sogar für den Spezialfall gleicher Faktoren.
Dass der Beweis davon - wenn man ihn ganz ausführt - nicht ganz
trivial ist, hatte ich bereits in einem anderen Posting bemerkt.
Aber aus gegebenem Anlass wiederhole ich das Argument nochmal
kurz:
> findet sich im Artikel über Euklids Beweis: „Eine ganze Zahl wird gerade
> bzw. ungerade genannt, je nachdem ob sie durch 2 teilbar bzw. nicht
> teilbar ist. Das heißt: Eine gerade Zahl hat die Form 2m und eine
> ungerade Zahl die Form 2m+1, wobei m eine natürliche Zahl 1, 2, 3, …
> ist.
Man muss dazu zeigen, dass ungerade Zahlen diese Form haben
(dazu zeigt man per Induktion, dass jede Zahl entweder die
Gestelt 2k oder 2k+1 hat) *und* man muss zeigen, dass Zahlen
der Gestalt 2k + 1 ungerade sind, wobei man aufpassen sollte,
dabei nicht das Euklidische Lemma für p = 2 zu benutzen.
Das ist zwar nicht sehr schwer (wäre 2k + 1 = 2n, so wäre
2(n - k) = 1, die linke Seite gerade, die rechte ungerade),
aber:
Diese Argumentation ist schon nahezu die des üblichen
Beweises des Euklidischen Lemmas mit Hilfe des Satzes von
Bezout (nur, dass man letzteren Satz hier vermieden hat,
aber dafür mehrere andere Hilsbehauptungen benötigte.)
> Für p=3 kann ich analog argumentieren
gegebene Primzahl p das Lemma von Euklid auf eine
Verifikation von endlich vielen Fällen zurückführen:
Man braucht dazu "Division mit Rest", also dass jede Zahl
eine Darstellung der Form pm + k mit k = 0, ...., p - 1
hat, und dass diese Zahl nur im Fall k = 0 durch p
teilbar (beides kann man analog oben zeigen).
Dann rechnet man in dieser Darstellung
(pm + k)(pn + j) = pN + (kj mod p)
mit einer natürlichen Zahl N. Man muss also "nur noch"
verifizieren, dass kj nicht durch p teilbar ist, wenn
k,j = 1, ..., p - 1.
Dies ist zwar formal ein Spezialfall des Euklidischen
Lemmas selbst, aber durch die Größenbeschränkung braucht
man für gegebenes p nur endlich viele Fälle zu
verifizieren.
Leider taugt der Ansatz scheinbar nicht als "voller"
Alternativbeweis zum Euklidischen Lemma, denn es
scheint keinen Beweis dieses Spezialfalls zu geben,
der nicht schon das allgemeine Euklidische Lemma
beweist.
Oder sieht jemand einen?
Du hast vom kleinen Fermat gesprochen. Ich sehe nicht,
wie der hier hilft, selbst nicht im Spezialfall j = k,
der ja für die Quadratwurzel einer Primzahl ausreicht.
Martin Vaeth
Oct 23, 2023, 4:27:06 PM10/23/23
to
Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com>
[wurde schon wieder ausfallend auf ein rein mathematisches Posting]
Haben Sie Narzissmus oder Schreib-Tourette oder beides?
Jedenfalls haben Sie jetzt mindestens einen Leser weniger.
Adjusting score ... PLATSCH
[wurde schon wieder ausfallend auf ein rein mathematisches Posting]
Haben Sie Narzissmus oder Schreib-Tourette oder beides?
Jedenfalls haben Sie jetzt mindestens einen Leser weniger.
Adjusting score ... PLATSCH
Fritz Feldhase
Oct 23, 2023, 4:48:06 PM10/23/23
to
On Monday, October 23, 2023 at 10:27:06 PM UTC+2, Martin Vaeth wrote:
> Adjusting score ... PLATSCH
Ich Danke Dir.
> Adjusting score ... PLATSCH
Ich Danke Dir.
Ganzhinterseher
Oct 23, 2023, 5:22:50 PM10/23/23
to
Martin Vaeth schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 22:11:14 UTC+2:
>
> Das mathematische Problem ist in dem "das heißt" versteckt:
> Man muss dazu zeigen, dass ungerade Zahlen diese Form haben
Nein, es geht hier nur um Zahlen dieser Form. Wenn jemand noch andere ungerade Zahlen vermutet, dann soll er sie suchen. Für unser Problem sind sie irrelevant.
>
> Das mathematische Problem ist in dem "das heißt" versteckt:
> Man muss dazu zeigen, dass ungerade Zahlen diese Form haben
> (dazu zeigt man per Induktion, dass jede Zahl entweder die
> Gestelt 2k oder 2k+1 hat) *und* man muss zeigen, dass Zahlen
> der Gestalt 2k + 1 ungerade sind,
Gruß, WM
Martin Vaeth
Oct 23, 2023, 6:16:51 PM10/23/23
to
Ganzhinterseher <askas...@gmail.com> schrieb:
dass das Produkt zweier solcher immer ungerade ist.
> Wenn jemand noch andere ungerade Zahlen vermutet,
> dann soll er sie suchen.
Was hat solcher Nonsense in einem Beweis zu suchen?
> Für unser Problem sind sie irrelevant.
Nein, denn der Beweis beruht darauf, dass man
die beiden ungeraden Zahlen in der Form 2k + 1
schreiben darf, um sie danach auszumultiplizieren.
Nach dem Ausmultiplizieren braucht man dann für
den Beweis die umgekehrte Implikation:
>> *und* man muss zeigen, dass Zahlen
>> der Gestalt 2k + 1 ungerade sind,
>
> Nein, das ist so per Definition von gerade
Nein. Die Definition von gerade besagt (wenn man
sie ausformuliert) dass gerade Zahlen genau die
von der Form 2n sind. Sie besagt nichts über
Zahlen der Gestalt 2k + 1. Man muss *beweisen*, dass
diese *nicht* von der Form 2n sind. Einen Beweis dazu
habe ich angegeben. Er ist nicht schwer, aber die
Beweisidee ist praktisch die selbe wie für den
üblichen Beweis von Euklids Lemma mit dem Satz
von Bezout.
> Martin Vaeth schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 22:11:14 UTC+2:
>
>> Das mathematische Problem ist in dem "das heißt" versteckt:
>> Man muss dazu zeigen, dass ungerade Zahlen diese Form haben
>
> Nein, es geht hier nur um Zahlen dieser Form.
Nein. Es geht um ungerade Zahlen, und man will zeigen,
>
>> Das mathematische Problem ist in dem "das heißt" versteckt:
>> Man muss dazu zeigen, dass ungerade Zahlen diese Form haben
>
> Nein, es geht hier nur um Zahlen dieser Form.
dass das Produkt zweier solcher immer ungerade ist.
> Wenn jemand noch andere ungerade Zahlen vermutet,
> dann soll er sie suchen.
> Für unser Problem sind sie irrelevant.
die beiden ungeraden Zahlen in der Form 2k + 1
schreiben darf, um sie danach auszumultiplizieren.
Nach dem Ausmultiplizieren braucht man dann für
den Beweis die umgekehrte Implikation:
>> *und* man muss zeigen, dass Zahlen
>> der Gestalt 2k + 1 ungerade sind,
>
> Nein, das ist so per Definition von gerade
sie ausformuliert) dass gerade Zahlen genau die
von der Form 2n sind. Sie besagt nichts über
Zahlen der Gestalt 2k + 1. Man muss *beweisen*, dass
diese *nicht* von der Form 2n sind. Einen Beweis dazu
habe ich angegeben. Er ist nicht schwer, aber die
Beweisidee ist praktisch die selbe wie für den
üblichen Beweis von Euklids Lemma mit dem Satz
von Bezout.
Ralf Goertz
Oct 24, 2023, 3:38:33 AM10/24/23
to
Am 23 Oct 2023 20:11:11 GMT
schrieb Martin Vaeth <mar...@mvath.de>:
Ja genau, das habe ich gemeint, als ich schrieb, dass der Beweis gut für
alle Primzahlen p funktioniere, natürlich sind mit größer werdendem p
immer mehr Reste zu betrachten.
> Leider taugt der Ansatz scheinbar nicht als "voller"
> Alternativbeweis zum Euklidischen Lemma, denn es
> scheint keinen Beweis dieses Spezialfalls zu geben,
> der nicht schon das allgemeine Euklidische Lemma
> beweist.
>
> Oder sieht jemand einen?
>
> Du hast vom kleinen Fermat gesprochen. Ich sehe nicht,
> wie der hier hilft, selbst nicht im Spezialfall j = k,
> der ja für die Quadratwurzel einer Primzahl ausreicht.
Ich hatte im Sinn, aus (k²)^(p-1) ≡ 1 (mod p) und daraus folgend
(k²)^(p-1) - 1 = a*p^l (mit (a,p)=1)
zu schließen, dass k² nicht als Produkt b*p^j (j≥1, (b,p)=1) geschrieben
werden kann, denn in
b^p*p^((j-1)*p) - 1 = a*p^l
ist die rechte Seite durch p teilbar, die linke aber nicht. Das hilft
aber nicht, weil diese Form des kleinen Fermat ja nur für zu p
teilerfremde k² gilt, was ich ja erst zeigen will. Bliebe also
tatsächlich nur der Weg über die Reste. Mein Punkt war nur, dass das
im Fall p=2 natürlich einfacher ist als für p>2, aber am Prinzip des
Beweises sich nichts ändert, während FF ja meinte, dass die Beweisidee
schon für p=3 scheitern würde (falls er sich richtig erinnert).
Aber mal anders gefragt, ist denn die Nullteilerfreiheit von ℤ/pℤ nicht
ohne die Eigenschaft von ℤ, ein faktorieller Ring zu sein, beweisbar?
(Schließlich sind faktorielle Ringe ja nur eine Teilmenge der
Integritätsringe.) Daraus würde doch k²≡0 <=> k≡0 (mod p) folgen.
Reicht das nicht?
schrieb Martin Vaeth <mar...@mvath.de>:
alle Primzahlen p funktioniere, natürlich sind mit größer werdendem p
immer mehr Reste zu betrachten.
> Leider taugt der Ansatz scheinbar nicht als "voller"
> Alternativbeweis zum Euklidischen Lemma, denn es
> scheint keinen Beweis dieses Spezialfalls zu geben,
> der nicht schon das allgemeine Euklidische Lemma
> beweist.
>
> Oder sieht jemand einen?
>
> Du hast vom kleinen Fermat gesprochen. Ich sehe nicht,
> wie der hier hilft, selbst nicht im Spezialfall j = k,
> der ja für die Quadratwurzel einer Primzahl ausreicht.
(k²)^(p-1) - 1 = a*p^l (mit (a,p)=1)
zu schließen, dass k² nicht als Produkt b*p^j (j≥1, (b,p)=1) geschrieben
werden kann, denn in
b^p*p^((j-1)*p) - 1 = a*p^l
ist die rechte Seite durch p teilbar, die linke aber nicht. Das hilft
aber nicht, weil diese Form des kleinen Fermat ja nur für zu p
teilerfremde k² gilt, was ich ja erst zeigen will. Bliebe also
tatsächlich nur der Weg über die Reste. Mein Punkt war nur, dass das
im Fall p=2 natürlich einfacher ist als für p>2, aber am Prinzip des
Beweises sich nichts ändert, während FF ja meinte, dass die Beweisidee
schon für p=3 scheitern würde (falls er sich richtig erinnert).
Aber mal anders gefragt, ist denn die Nullteilerfreiheit von ℤ/pℤ nicht
ohne die Eigenschaft von ℤ, ein faktorieller Ring zu sein, beweisbar?
(Schließlich sind faktorielle Ringe ja nur eine Teilmenge der
Integritätsringe.) Daraus würde doch k²≡0 <=> k≡0 (mod p) folgen.
Reicht das nicht?
Ganzhinterseher
Oct 24, 2023, 5:07:31 AM10/24/23
to
Martin Vaeth schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 00:16:51 UTC+2:
> Die Definition von gerade besagt (wenn man
> sie ausformuliert) dass gerade Zahlen genau die
> von der Form 2n sind.
"Genau die". Das ist also eine Äquivalenz. Zahlen, die nicht von der Form 2n sind, sind also nicht gerade.
> Die Definition von gerade besagt (wenn man
> sie ausformuliert) dass gerade Zahlen genau die
> von der Form 2n sind.
> Sie besagt nichts über
> Zahlen der Gestalt 2k + 1. Man muss *beweisen*, dass
> diese *nicht* von der Form 2n sind.
Gruß, WM
Ganzhinterseher
Oct 24, 2023, 5:09:30 AM10/24/23
to
JVR schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 12:59:04 UTC+2:
> "Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach".
> Das gilt nämlich auch für Quadratzahlen.
Hast Du schon eine solche gefunden? Oder suchst Du noch?
> "Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach".
> Das gilt nämlich auch für Quadratzahlen.
Gruß, WM
JVR
Oct 24, 2023, 6:52:46 AM10/24/23
to
das einzusehen: 36 = 6x6.
Die Quadratzahl 36 hat den Faktor 9 "nur einfach". Das ergibt sich
aus der Tatsache, dass 36 = 4x9 ist aber (4,9) = 1.
Ihre Anstrengungen, im hohen Alter doch noch Rechnen zu lernen,
sind lobenswert und verdienen die Unterstützung aller.
Rainer Rosenthal
Oct 24, 2023, 7:44:01 AM10/24/23
to
Hast Du schon eine Antwort, oder suchst Du noch?
Gruß,
RR
Ganzhinterseher
Oct 24, 2023, 7:46:38 AM10/24/23
to
JVR schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 12:52:46 UTC+2:
> On Tuesday, October 24, 2023 at 11:09:30 AM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > JVR schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 12:59:04 UTC+2:
> >
> > > "Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach".
> > > Das gilt nämlich auch für Quadratzahlen.
> > Hast Du schon eine solche gefunden? Oder suchst Du noch?
> On Tuesday, October 24, 2023 at 11:09:30 AM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > JVR schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 12:59:04 UTC+2:
> >
> > > "Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach".
> > > Das gilt nämlich auch für Quadratzahlen.
> > Hast Du schon eine solche gefunden? Oder suchst Du noch?
> Die Quadratzahl 36 hat den Faktor 9 "nur einfach".
Du hast den Kontext gar nicht mitbekommen?
Das wiederum kann man recht schön unter Zuhilfenahme des "Hauptsatz der Zahlentheorie" zeigen.
Genau. Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach.
Damit ergibt sich faabbcc...dd = eeffgg...hh.
Gruß, WM
Ganzhinterseher
Oct 24, 2023, 7:49:59 AM10/24/23
to
Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 13:44:01 UTC+2:
> Am 24.10.2023 um 11:09 schrieb Ganzhinterseher:
> > JVR schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 12:59:04 UTC+2:
> >
> >> "Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach".
> >> Das gilt nämlich auch für Quadratzahlen.
> >
> > Hast Du schon eine solche gefunden? Oder suchst Du noch?
> >
> Er hat tatsächlich eine gefunden, falls Du 36 als Quadratzahl akzeptierst.
Er hat in der Tat eine Quadratzahl gefunden, keine große zwar, aber immerhin eine, die den Faktor 3 zweimal besitzt. Für Leser, die den Kontext nicht kennen: Es ging um Primfaktoren, Hauptsatz und so.
> Am 24.10.2023 um 11:09 schrieb Ganzhinterseher:
> > JVR schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 12:59:04 UTC+2:
> >
> >> "Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach".
> >> Das gilt nämlich auch für Quadratzahlen.
> >
> > Hast Du schon eine solche gefunden? Oder suchst Du noch?
> >
> Er hat tatsächlich eine gefunden, falls Du 36 als Quadratzahl akzeptierst.
Gruß, WM
JVR
Oct 24, 2023, 1:11:03 PM10/24/23
to
Wenn Herr Professor Doktor (quasi-habil.) Mückenheim Primfaktoren Faktoren nennt,
wie nennt er dann Faktoren?
Aber die Falle war raffinierter, denn auch die Aussage
"Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Primfaktor f nur einfach" ist falsch.
Findet Herr Professor Doktor (quasi-habil.) Mückenheim selber ein Beispiel?
Oder braucht er wieder Hilfe?
(Nicht weitersagen: probiers mal mit 27.)
Rainer Rosenthal
Oct 24, 2023, 1:12:37 PM10/24/23
to
Am 24.10.2023 um 13:49 schrieb Ganzhinterseher:
>Für Leser, die den Kontext nicht kennen: Es ging um Primfaktoren, Hauptsatz und so.
>
Ja, das ist immer wichtig, den Kontext zu kennen. Dann kann man z.B.
>Für Leser, die den Kontext nicht kennen: Es ging um Primfaktoren, Hauptsatz und so.
>
raten, dass Du Assoziativität meinst, wenn Du Transitivität schreibst,
und dass es dunkle Zahlen gibt, weil Du ein bisschen blind bist.
Selbstverständlich sind Primfaktoren das Gleiche wie Faktoren, nur ein
bisschen anders. Hängt halt vom Kontext ab, wie so Vieles in dieser
Welt. Und wenn Dein Text nichts hergibt als unzusammenhändes Zeug, dann
muss man auf den Kontext achten.
Hier geht's (eigentlich) um Mathematik, Definitionen und so.
Gruß,
RR
Anmerkung: Im Titel ist der Verweis auf "TH7 zirkuläre Definitionen"
angegeben, um Deine Kunstfertigkeit ins rechte Licht zu rücken.
Wurzel 2 als Schnitt der Mangen A und B zu definieren, die die
rationalen Zahlen kleiner bzw. größer als Wurzel 2 enthalten, ist ein
Augsburger Schildbürgerstreich sondergleichen. Die Ernsthaftigkeit, mit
der versucht wird, das als Extrakt Dedekindscher Schriften zu verkaufen,
ist lustig. Dann noch zu behaupten, Dedekind sei ein wenig deppert
gewesen, weil er die Mengen A und B so umständlich definiert hätte,
indem er die Quadrate der rationalen Zahlen mit der Zahl 2 verglichen
hätte, ist bescheuert. Für Leser, die den Kontext nicht kennen: Seite 37
und so.
Fritz Feldhase
Oct 24, 2023, 1:30:56 PM10/24/23
to
On Tuesday, October 24, 2023 at 1:46:38 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> JVR schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 12:52:46 UTC+2:
> > On Tuesday, October 24, 2023 at 11:09:30 AM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > > JVR schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 12:59:04 UTC+2:
> > > >
> > > > "Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach".
Das müsstest Du wirlich mal erklären. Was Du damit eigentlich meinst.
> JVR schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 12:52:46 UTC+2:
> > On Tuesday, October 24, 2023 at 11:09:30 AM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > > JVR schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 12:59:04 UTC+2:
> > > >
> > > > "Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach".
> Tip: Es ging um Primfaktoren.
8 = 2 * 2 * 2 ist eine Nicht-Quadratzahl, welches ist denn der Primfaktor, den sie "nur einfach" besitzt?
Falls Du "2" sagen zu beabsichtigst:
Und wie steht es mit
72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3
? Welchen Primfaktor besitzt sie "nur einfach"?
Ich glaube, Du fasst die ganze Sache falsch an.
Es ist in diesem Zusammenhang wohl sinnvoller von der sog. "kanonische Primfaktorzerlegung" und den Primzahalpotenzen (also den "Vielfachheiten" der PZ) zu sprechen (wie sie in der kanonische Primfaktorzerlegung) auftreten. [...]
Fritz Feldhase
Oct 24, 2023, 1:34:29 PM10/24/23
to
On Tuesday, October 24, 2023 at 7:12:37 PM UTC+2, Rainer Rosenthal wrote:
> Anmerkung: Im Titel ist der Verweis auf "TH7 zirkuläre Definitionen"
> angegeben, um Deine Kunstfertigkeit ins rechte Licht zu rücken.
> Wurzel 2 als Schnitt der Mangen A und B zu definieren, die die
> rationalen Zahlen kleiner bzw. größer als Wurzel 2 enthalten, ist ein
> Augsburger Schildbürgerstreich sondergleichen. Die Ernsthaftigkeit, mit
> der versucht wird, das als Extrakt Dedekindscher Schriften zu verkaufen,
> ist lustig. Dann noch zu behaupten, Dedekind sei ein wenig deppert
> gewesen, weil er die Mengen A und B so umständlich definiert hätte,
> indem er die Quadrate der rationalen Zahlen mit der Zahl 2 verglichen
> hätte, ist bescheuert. Für Leser, die den Kontext nicht kennen: Seite 37
> und so.
Mal off topic. Ich möchte auf die folgende sehr konkrete Aussage WMs hinweisen:
> Anmerkung: Im Titel ist der Verweis auf "TH7 zirkuläre Definitionen"
> angegeben, um Deine Kunstfertigkeit ins rechte Licht zu rücken.
> Wurzel 2 als Schnitt der Mangen A und B zu definieren, die die
> rationalen Zahlen kleiner bzw. größer als Wurzel 2 enthalten, ist ein
> Augsburger Schildbürgerstreich sondergleichen. Die Ernsthaftigkeit, mit
> der versucht wird, das als Extrakt Dedekindscher Schriften zu verkaufen,
> ist lustig. Dann noch zu behaupten, Dedekind sei ein wenig deppert
> gewesen, weil er die Mengen A und B so umständlich definiert hätte,
> indem er die Quadrate der rationalen Zahlen mit der Zahl 2 verglichen
> hätte, ist bescheuert. Für Leser, die den Kontext nicht kennen: Seite 37
> und so.
"{pi * x : x e [0, 1]} =/= [0, pi]".
Das sind ganz neue Erkenntnisse. Die Analysis ist wohl auch eher nichts für Mückenheim.
Rainer Rosenthal
Oct 24, 2023, 1:35:20 PM10/24/23
to
Am 24.10.2023 um 19:11 schrieb JVR:
#
# WM: Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach.
#
# JVR: Es gibt auch Quadratzahlen mit dieser Eigenschaft.
#
# WM: Hast Du schon eine solche gefunden? Oder suchst Du noch?
#
# JVR: 36.
#
# WM: Ja, das ist eine, aber es ging um Primfaktoren.
#
# JVR: Reingefallen! Denn sogar das ist falsch:
#
# WM: Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Primfaktor f nur
einfach.
#
# JVR: probier mal aus: 27.
#
Sehr hübscher Dialog zum Thema "rationale Näherung".
Mal schauen, wie der Pudding weiter durch die Nägel wabbelt.
Gruß,
RR
Anmerkung: TH7 im Titel erwähnt, weil WM sich als Dedekind-Kenner
ausgibt und damit Seite 37 seines Anfängerbuchs verziert hat.
#
# WM: Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach.
#
# JVR: Es gibt auch Quadratzahlen mit dieser Eigenschaft.
#
# WM: Hast Du schon eine solche gefunden? Oder suchst Du noch?
#
# JVR: 36.
#
# WM: Ja, das ist eine, aber es ging um Primfaktoren.
#
# JVR: Reingefallen! Denn sogar das ist falsch:
#
# WM: Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Primfaktor f nur
einfach.
#
# JVR: probier mal aus: 27.
#
Sehr hübscher Dialog zum Thema "rationale Näherung".
Mal schauen, wie der Pudding weiter durch die Nägel wabbelt.
Gruß,
RR
Anmerkung: TH7 im Titel erwähnt, weil WM sich als Dedekind-Kenner
ausgibt und damit Seite 37 seines Anfängerbuchs verziert hat.
Fritz Feldhase
Oct 24, 2023, 1:41:38 PM10/24/23
to
On Tuesday, October 24, 2023 at 7:34:29 PM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:
> Mal off topic. Ich möchte auf die folgende sehr konkrete Aussage WMs hinweisen:
>
> "{pi * x : x e [0, 1]} =/= [0, pi]".
Ich habe das mal auf folgende Weise (elementar) gezeigt:
> Mal off topic. Ich möchte auf die folgende sehr konkrete Aussage WMs hinweisen:
>
> "{pi * x : x e [0, 1]} =/= [0, pi]".
Statt {pi * x : x e [0, 1]} schreiben wir {f(x) : x e [0, 1]}, mit der durch x |-> pi *x auf [0, 1] definierten Funktion f.
Zu zeigen ist nun also, dass der Bildbereich dieser Funktion, also {f(x) : x e [0, 1]}, gleich [0, pi] ist. Bzw. dass die so definerte Funktion f: [0, 1] --> [0, pi] surjektiv ist.
Sei also y_0 e [0, pi]. Zu zeigen ist, dass es dann ein x e [0, 1] gibt mit f(x) = y_0.
Wir setzen x_0 = y_0/pi, es gilt dann f(x_0) = pi * y_0 /pi = y_0.
Es bleibt nur noch zu zeigen, dass x_0 e [0, 1] ist. Das aber ist ziemlich einfach. Wir betrachten dazu die Funktion g: [0, pi] --> [0, 1] definiert durch g(y) = y/pi für alle y e [0, pi]. Die Funktion g ist offenbar monoton wachsend auf [0, pi]. Sie hat daher bei 0 ihr Minimum, g(0) = 0, und bei pi ihr Maximum, g(pi) = 1. Alle anderen Funtionswerte sind also dazwischen. Mit anderen Worten: Ay e [0, pi]: 0 <= y/pi <= 1. Also speziell 0 <= y_0/pi <= 1 bzw. 0 <= x_0 <= 1 und damit x_0 e [0, 1]. Das war zu zeigen.
________________________________________________
Geht bestimmt auch einfacher. :-P (Den Zwischenwertsatz wollte ich hier aber nicht verwenden. :-P)
Martin Vaeth
Oct 24, 2023, 3:02:11 PM10/24/23
to
Ganzhinterseher <askas...@gmail.com> wrote:
> Martin Vaeth schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 00:16:51 UTC+2:
>> Die Definition von gerade besagt (wenn man
>> sie ausformuliert) dass gerade Zahlen genau die
>> von der Form 2n sind.
>
> "Genau die". Das ist also eine Äquivalenz.
> Zahlen, die nicht von der Form 2n sind, sind also nicht gerade.
Genau. Deswegen genügt es ja zu zeigen
> Martin Vaeth schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 00:16:51 UTC+2:
>> Die Definition von gerade besagt (wenn man
>> sie ausformuliert) dass gerade Zahlen genau die
>> von der Form 2n sind.
>
> "Genau die". Das ist also eine Äquivalenz.
> Zahlen, die nicht von der Form 2n sind, sind also nicht gerade.
"... dass die Zahlen der Gestalt 2k + 1 *nicht* von der
Form 2n sind":
>> Sie besagt nichts über
>> Zahlen der Gestalt 2k + 1. Man muss *beweisen*, dass
>> diese *nicht* von der Form 2n sind.
>
> Das tut man am besten, indem man k durch n ersetzt.
Dies nur für den Spezialfall n = k zu zeigen, genügt
natürlich nicht. Wie gesagt ist der Beweis nicht
schwer, aber trotzdem trickreicher, als nur 2k + 1 != 2k
zu bemerken.
Martin Vaeth
Oct 24, 2023, 3:22:04 PM10/24/23
to
Ralf Goertz <m...@myprovider.invalid> schrieb:
größere Klasse als Hauptidealringe beweisen kann?
>
> Aber mal anders gefragt, ist denn die Nullteilerfreiheit von ℤ/pℤ nicht
> ohne die Eigenschaft von ℤ, ein faktorieller Ring zu sein, beweisbar?
Worauf willst Du hinaus? Dass man das Lemma von Euklid für eine
> Aber mal anders gefragt, ist denn die Nullteilerfreiheit von ℤ/pℤ nicht
> ohne die Eigenschaft von ℤ, ein faktorieller Ring zu sein, beweisbar?
größere Klasse als Hauptidealringe beweisen kann?
Fritz Feldhase
Oct 24, 2023, 4:47:14 PM10/24/23
to
On Tuesday, October 24, 2023 at 7:30:56 PM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:
> Es ist in diesem Zusammenhang wohl sinnvoller von der sog. "kanonische Primfaktorzerlegung" und den Primzahalpotenzen (also den "Vielfachheiten" der PZ) zu sprechen (wie sie in der kanonische Primfaktorzerlegung) auftreten. [...]
Um diesen trivialen Scheiß noch etwas auszuführen: Das Entschiedende ist, dass eine Nicht-Quadratzahl mind. einen Primfaktor in der kanonischen Primfaktorzerlegung besitzt, der eine ungerade Potenz hat (andernfalls wäre es keine Nicht-Quadratzahl). Andererseits besitzen alle PF in der kanonischen PFZ einer quadrierten Zahl gerade Potenzen.
> Es ist in diesem Zusammenhang wohl sinnvoller von der sog. "kanonische Primfaktorzerlegung" und den Primzahalpotenzen (also den "Vielfachheiten" der PZ) zu sprechen (wie sie in der kanonische Primfaktorzerlegung) auftreten. [...]
Wenn als
<Nicht-Quadratzahl> = (n/m)^2 = n^2/m^2
gelten würde, dann würde auch
<Nicht-Quadratzahl> * m^2 = n^2
gelten, also:
<mind. ein PF in ungerader Potenz> * <alle PF in gerader Potenz> = <alle PF in gerader Potenz>
Das aber führt (unter Zuhilfenahme des "Hauptsatzes der Zahlentheorie") zu einem Widerpruch.
(Denn <gerade> + <ungerade> = <ungerade>.)
Denn Zusammenhang zu "Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach" (WM) sehe ich da nicht.
Ganzhinterseher
Oct 24, 2023, 4:57:06 PM10/24/23
to
Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 19:30:56 UTC+2:
> On Tuesday, October 24, 2023 at 1:46:38 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > JVR schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 12:52:46 UTC+2:
> > > On Tuesday, October 24, 2023 at 11:09:30 AM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > > > JVR schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 12:59:04 UTC+2:
> > > > >
> > > > > "Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach".
> Das müsstest Du wirlich mal erklären. Was Du damit eigentlich meinst.
Das habe ich doch bereits weiter oben getan:
> On Tuesday, October 24, 2023 at 1:46:38 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > JVR schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 12:52:46 UTC+2:
> > > On Tuesday, October 24, 2023 at 11:09:30 AM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > > > JVR schrieb am Montag, 23. Oktober 2023 um 12:59:04 UTC+2:
> > > > >
> > > > > "Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach".
> Das müsstest Du wirlich mal erklären. Was Du damit eigentlich meinst.
Damit ergibt sich faabbcc...dd = eeffgg...hh.
> > Tip: Es ging um Primfaktoren.
> Hmmm... Also sollte das obe heißen: ""Eine Nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Primfaktor f nur einfach".
Ja, denn es ging schließlich um Primfaktoren.
> Hmmm... Also sollte das obe heißen: ""Eine Nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Primfaktor f nur einfach".
>
> 8 = 2 * 2 * 2 ist eine Nicht-Quadratzahl, welches ist denn der Primfaktor, den sie "nur einfach" besitzt?
In dem Falle würden zwei Faktoren 2 wie oben auf einer Seite auftreten, der dritte aber einfach auftreten, der die Ungleichheit beider Seiten beweist:
> 8 = 2 * 2 * 2 ist eine Nicht-Quadratzahl, welches ist denn der Primfaktor, den sie "nur einfach" besitzt?
2aabbcc...22...dd = eeffgg...hh.
> Falls Du "2" sagen zu beabsichtigst:
>
> Und wie steht es mit
>
> 72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3
>
> ? Welchen Primfaktor besitzt sie "nur einfach"?
Ebenfalls die 2.
> Und wie steht es mit
>
> 72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3
>
> ? Welchen Primfaktor besitzt sie "nur einfach"?
Gruß, WM
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Ganzhinterseher
Oct 24, 2023, 5:01:12 PM10/24/23
to
Martin Vaeth schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 21:02:11 UTC+2:
> Ganzhinterseher <askas...@gmail.com> wrote:
> > Martin Vaeth schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 00:16:51 UTC+2:
> >> Die Definition von gerade besagt (wenn man
> >> sie ausformuliert) dass gerade Zahlen genau die
> >> von der Form 2n sind.
> >
> > "Genau die". Das ist also eine Äquivalenz.
> > Zahlen, die nicht von der Form 2n sind, sind also nicht gerade.
> Genau. Deswegen genügt es ja zu zeigen
> "... dass die Zahlen der Gestalt 2k + 1 *nicht* von der
> Form 2n sind":
> >> Sie besagt nichts über
> >> Zahlen der Gestalt 2k + 1. Man muss *beweisen*, dass
> >> diese *nicht* von der Form 2n sind.
> >
> > Das tut man am besten, indem man k durch n ersetzt.
> Nein. Man muss 2k + 1 != 2n für *alle* n (und k) zeigen.
> Dies nur für den Spezialfall n = k zu zeigen, genügt
> natürlich nicht.
Da das kein Spezialfall ist, genügt es vollkommen. Man kann n für jedes k einsetzen. "Für alle n" ist hier eine unsinnige Forderung, denn n steht schon für jede beliebige natürliche Zahl.
> Ganzhinterseher <askas...@gmail.com> wrote:
> > Martin Vaeth schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 00:16:51 UTC+2:
> >> Die Definition von gerade besagt (wenn man
> >> sie ausformuliert) dass gerade Zahlen genau die
> >> von der Form 2n sind.
> >
> > "Genau die". Das ist also eine Äquivalenz.
> > Zahlen, die nicht von der Form 2n sind, sind also nicht gerade.
> Genau. Deswegen genügt es ja zu zeigen
> "... dass die Zahlen der Gestalt 2k + 1 *nicht* von der
> Form 2n sind":
> >> Sie besagt nichts über
> >> Zahlen der Gestalt 2k + 1. Man muss *beweisen*, dass
> >> diese *nicht* von der Form 2n sind.
> >
> > Das tut man am besten, indem man k durch n ersetzt.
> Nein. Man muss 2k + 1 != 2n für *alle* n (und k) zeigen.
> Dies nur für den Spezialfall n = k zu zeigen, genügt
> natürlich nicht.
Gruß, WM
Fritz Feldhase
Oct 24, 2023, 5:02:12 PM10/24/23
to
On Tuesday, October 24, 2023 at 7:34:29 PM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:
> Mal off topic. (!) Ich möchte auf die folgende sehr konkrete Aussage WMs hinweisen:
>
> WM> {pi * x : x e [0, 1]} =/= [0, pi]
{m*x : x e [0, 1]} = [0, m] .
Mückenheim scheint das nicht so klar zu sein.
Vielleicht weiß er auch nicht mehr, was eine Geradengleichung (z. B. y = m*x) ist. Und/oder er meint, dass eine Gerade "nicht zusammenhängend" (WM) ist, also "Lücken" aufweist. Irgend sowas.
> Mal off topic. (!) Ich möchte auf die folgende sehr konkrete Aussage WMs hinweisen:
>
> WM> {pi * x : x e [0, 1]} =/= [0, pi]
>
> Das sind ganz neue Erkenntnisse. Die Analysis ist wohl auch eher nichts für Mückenheim.
Generell würde man ja meinen, dass für _jede_ reelle Zahl m gilt:
> Das sind ganz neue Erkenntnisse. Die Analysis ist wohl auch eher nichts für Mückenheim.
{m*x : x e [0, 1]} = [0, m] .
Mückenheim scheint das nicht so klar zu sein.
Vielleicht weiß er auch nicht mehr, was eine Geradengleichung (z. B. y = m*x) ist. Und/oder er meint, dass eine Gerade "nicht zusammenhängend" (WM) ist, also "Lücken" aufweist. Irgend sowas.
Fritz Feldhase
Oct 24, 2023, 5:06:58 PM10/24/23
to
Waren Sie schon beim Psychiater?
JVR
Oct 24, 2023, 6:20:53 PM10/24/23
to
durch Formeln auszudrücken, wie das in der Mathematik üblich ist, erinnert mich
immer wieder an Valentins Radfahrer.
Da ist doch eine unverkennbare Ähnlichkeit zwischen 2aabbcc...22...dd = eeffgg...hh.
und Wrdlbrmpfd. Meinen Sie nicht auch?
Schutzmann: Warum haben Sie dann die schweren Steine an Ihr Rad gebunden?
Karl Valentin: Damit ich bei Gegenwind leichter fahre, gestern in der Frühe z. B. ist so ein starker Wind gegangen, da hab ich die Steine nicht dabei gehabt, ich wollt nach Sendling nauf fahren, daweil bin ich nach Schwabing nunter kommen.
Schutzmann: Wie heißen Sie denn?
Karl Valentin: Wrdlbrmpfd.
Schutzmann: Wie?
Karl Valentin: Wrdlbrmpfd –
Schutzmann: Wadlstrumpf?
Karl Valentin: Wr – dl – brmpfd!
Schutzmann: Reden S' doch deutlich, brummen S' nicht immer in Ihren Bart hinein.
Karl Valentin zieht den Bart herunter: Wrdlbrmpfd.
Schutzmann: So ein saublöder Name! – Schaun S' jetzt, daß Sie weiterkommen.
Karl Valentin fährt weg – kehrt aber nochmal um und sagt zum Schutzmann: Sie, Herr Schutzmann – – –
Schutzmann: Was wollen Sie denn noch?
Karl Valentin: An schönen Gruß soll ich Ihnen ausrichten von meiner Schwester.
Schutzmann: Danke – ich kenne ja Ihre Schwester gar nicht.
Karl Valentin: So eine kleine stumpferte – die kennen Sie nicht? Nein, ich habe mich falsch ausgedrückt, ich mein, ob ich meiner Schwester von Ihnen einen schönen Gruß ausrichten soll?
Schutzmann: Aber ich kenne doch Ihre Schwester gar nicht – wie heißt denn Ihre Schwester?
Karl Valentin: Die heißt auch Wrdlbrmpfd – – –
Das hätte auch in Mückenhausen ganz hinterm Wald sein können, nicht wahr?
Martin Vaeth
Oct 25, 2023, 2:41:16 AM10/25/23
to
Ganzhinterseher <askas...@gmail.com> schrieb:
Ich habe jetzt lange genug kostenlos Nachhilfe in elementarsten
Dingen gegeben. Die ganzen Fehler dieser Antwort zu erklären,
ist mir meine Zeit nun wirklich zu schade. EOD.
Dingen gegeben. Die ganzen Fehler dieser Antwort zu erklären,
ist mir meine Zeit nun wirklich zu schade. EOD.
Ganzhinterseher
Oct 25, 2023, 3:14:45 AM10/25/23
to
Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 23:06:58 UTC+2:
> Und/oder er meint, dass eine Gerade "nicht zusammenhängend" (WM) ist, also "Lücken" aufweist. Irgend sowas.
> @Mückenheim: Haben die gerade den Zwischenwertsatz der Analysis, mithin die Analysis selbst, widerlegt?
Der Zwischenwertsatz ist in der real anwendbaren Mathematik, dem MatheRealismus, falsch, weil Zahlen mit einer Ziffernkomplexität von 10^50 (in unserem System, 10^80 im gesamten zugänglichen Universum) und mehr nicht darstellbar sind.
> Und/oder er meint, dass eine Gerade "nicht zusammenhängend" (WM) ist, also "Lücken" aufweist. Irgend sowas.
> @Mückenheim: Haben die gerade den Zwischenwertsatz der Analysis, mithin die Analysis selbst, widerlegt?
die Zahlenachse weist Lücken auf; die Stetigkeitsannahme, der Konvergenzbegriff und andere Grundpfeiler der Infinitesimalrechnung werden problematisch; schon der Zwischenwertsatz oder der Fundamentalsatz der Algebra „leiden Ausnahmen“. Das kann niemand ändern! Die Mathematik steht nicht außerhalb der Wirklichkeit. [W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", A4, DeGruyter, Berlin 2015.]
Der Zwischenwertsatz kann in der idealen Mathematik aber als richtig angenommen werden, weil jeder gesuchte Punkt beliebig genau mit reellen Zahlen approximiert werden kann.
Gruß, WM
Ganzhinterseher
Oct 25, 2023, 3:23:36 AM10/25/23
to
Gruß, WM
Ganzhinterseher
Oct 25, 2023, 3:30:33 AM10/25/23
to
JVR schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 00:20:53 UTC+2:
> On Tuesday, October 24, 2023 at 10:57:06 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 19:30:56 UTC+2:
> > > > > > > "Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach".
> > > Das müsstest Du wirlich mal erklären. Was Du damit eigentlich meinst.
> > Das habe ich doch bereits weiter oben getan:
> > Damit ergibt sich faabbcc...dd = eeffgg...hh.
> On Tuesday, October 24, 2023 at 10:57:06 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 19:30:56 UTC+2:
> > > > > > > "Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach".
> > > Das müsstest Du wirlich mal erklären. Was Du damit eigentlich meinst.
> > Das habe ich doch bereits weiter oben getan:
> > Damit ergibt sich faabbcc...dd = eeffgg...hh.
> > > 8 = 2 * 2 * 2 ist eine Nicht-Quadratzahl, welches ist denn der Primfaktor, den sie "nur einfach" besitzt?
> > In dem Falle würden zwei Faktoren 2 wie oben auf einer Seite auftreten, der dritte aber einfach auftreten, der die Ungleichheit beider Seiten beweist:
> >
> > 2aabbcc...22...dd = eeffgg...hh.
> > > Falls Du "2" sagen zu beabsichtigst:
> > Natürlich.
> > In dem Falle würden zwei Faktoren 2 wie oben auf einer Seite auftreten, der dritte aber einfach auftreten, der die Ungleichheit beider Seiten beweist:
> >
> > 2aabbcc...22...dd = eeffgg...hh.
> > > Falls Du "2" sagen zu beabsichtigst:
> > Natürlich.
> Ich weiß auch nicht warum, aber Ihre Unfähigkeit Ihre tiefsinnigen Entdeckungen
> durch Formeln auszudrücken, wie das in der Mathematik üblich ist,
Es geht wohl eher um Deine Lesefähigkeit oder das Verständnis, denn erstens steht oben keine tiefsinnige Entdeckung und zweitens ist die Formel
> durch Formeln auszudrücken, wie das in der Mathematik üblich ist,
2aabbcc...22...dd = eeffgg...hh.
in der Mathematik üblich. Nur sollte man die 22 als 2*2 interpretieren.
Gruß, WM
Fritz Feldhase
Oct 25, 2023, 5:51:25 AM10/25/23
to
On Tuesday, October 24, 2023 at 10:57:06 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 19:30:56 UTC+2:
> >
> > Also sollte das oben heißen: "Eine Nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Primfaktor f nur einfach".
> >
> >
> Ja, denn es ging schließlich um Primfaktoren.
> >
> > 8 = 2 * 2 * 2 ist eine Nicht-Quadratzahl, welches ist denn der Primfaktor, den sie "nur einfach" besitzt?
> >
> In dem Falle würden zwei Faktoren 2 wie oben auf einer Seite [???] auftreten, der dritte aber einfach auftreten,
> Ja, denn es ging schließlich um Primfaktoren.
> >
> > 8 = 2 * 2 * 2 ist eine Nicht-Quadratzahl, welches ist denn der Primfaktor, den sie "nur einfach" besitzt?
> >
>
> 2aabbcc...22...dd = [...]
Ah ja, Aber dann "besitzt auch eine Quadratzahl mindestens einen Primfaktor f nur einfach".
Z. B. 16 = 2 * 2 * 2 * 2
2aabbcc...222...dd = [...]
> > Falls Du "2" sagen zu beabsichtigst:
> >
> Natürlich.
> > Und wie steht es mit
> >
> > 72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3
> >
> > ? Welchen Primfaktor besitzt sie "nur einfach"?
> >
> Ebenfalls die 2.
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Fritz Feldhase
Oct 25, 2023, 6:46:39 AM10/25/23
to
On Wednesday, October 25, 2023 at 9:30:33 AM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> JVR schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 00:20:53 UTC+2:
> > On Tuesday, October 24, 2023 at 10:57:06 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > hase schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 19:30:56 UTC+2:
> > > > > > > >
> > > > > > > > "Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach".
> > > > > > > >
> > > > Das müsstest Du wirlich mal erklären. Was Du damit eigentlich meinst.
> > >
> > > Das habe ich doch bereits weiter oben getan:
Nein, hast Du nicht.
> JVR schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 00:20:53 UTC+2:
> > On Tuesday, October 24, 2023 at 10:57:06 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > hase schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 19:30:56 UTC+2:
> > > > > > > >
> > > > > > > > "Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach".
> > > > > > > >
> > > > Das müsstest Du wirlich mal erklären. Was Du damit eigentlich meinst.
> > >
> > > Das habe ich doch bereits weiter oben getan:
1. Meinst Du offenbar Primfaktoren.
2. Macht Deine Aussage (oben) auch dann kaum Sinn.
> > > Damit ergibt sich faabbcc...dd = eeffgg...hh.
8 = 2 * 2 * 2 ist eine Nicht-Quadratzahl,
Also 8 = fff
Das passt einfach nicht mit Deiner Aussage "Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Primfaktor f nur einfach" zusammen.
Wie gesagt. Es geht hier eigentlich um Primzahlpotenzen und /gerade vs ungerade/, nicht um "einfach besitzen" oder nicht.
JVR
Oct 25, 2023, 8:00:03 AM10/25/23
to
1. Er kann seine Fehler nicht eingestehen
2. Er hat sprachlich große Defizite: er kann sich nicht präzise ausdrücken
3. Er kann nicht logisch denken: er ist sehr dumm
4. Er leidet an einer bekannten Persönlichkeitsstörung
"Menschen, die von einer narzisstischen Persönlichkeitsstörung betroffen sind, zeigen ein tiefgreifendes Muster von Großartigkeit, ein durchgehendes Bedürfnis nach Bewunderung und ein Mangel an Einfühlungsvermögen in andere. Personen mit dieser Störung legen ein übertriebenes Selbstwertgefühl an den Tag."
Summa summarum: Er ist hier, im moribunden Usenet, genau am richtigen Ort.
Hier kann er sich ausleben, ohne Schaden anzurichten.
Ralf Goertz
Oct 25, 2023, 11:09:36 AM10/25/23
to
Am 24 Oct 2023 19:21:59 GMT
schrieb Martin Vaeth <mar...@mvath.de>:
Ich wollte darauf hinaus, dass ich (wohl fälschlicherweise) dachte, dass
aus der Nullteilerfreiheit von ℤ/pℤ sofort k² | p <=> k | p folgen
müsste, dass ich also auf die Eindeutigkeit der PFZ verzichten kann.
schrieb Martin Vaeth <mar...@mvath.de>:
aus der Nullteilerfreiheit von ℤ/pℤ sofort k² | p <=> k | p folgen
müsste, dass ich also auf die Eindeutigkeit der PFZ verzichten kann.
Ganzhinterseher
Oct 25, 2023, 11:11:11 AM10/25/23
to
Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 11:51:25 UTC+2:
> On Tuesday, October 24, 2023 at 10:57:06 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 19:30:56 UTC+2:
> > >
> > > Also sollte das oben heißen: "Eine Nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Primfaktor f nur einfach".
> > >
> > Ja, denn es ging schließlich um Primfaktoren.
> > >
> > > 8 = 2 * 2 * 2 ist eine Nicht-Quadratzahl, welches ist denn der Primfaktor, den sie "nur einfach" besitzt?
> > >
> > In dem Falle würden zwei Faktoren 2 wie oben auf einer Seite [???] auftreten, der dritte aber einfach auftreten,
Was sollen die Fragezeichen? Warum löschst Du wonach Du fragst? Dies stand dort:
> On Tuesday, October 24, 2023 at 10:57:06 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 19:30:56 UTC+2:
> > >
> > > Also sollte das oben heißen: "Eine Nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Primfaktor f nur einfach".
> > >
> > Ja, denn es ging schließlich um Primfaktoren.
> > >
> > > 8 = 2 * 2 * 2 ist eine Nicht-Quadratzahl, welches ist denn der Primfaktor, den sie "nur einfach" besitzt?
> > >
> > In dem Falle würden zwei Faktoren 2 wie oben auf einer Seite [???] auftreten, der dritte aber einfach auftreten,
===============================================
Das habe ich doch bereits weiter oben getan:
Damit ergibt sich faabbcc...dd = eeffgg...hh.
> > Tip: Es ging um Primfaktoren.
> Hmmm... Also sollte das obe heißen: ""Eine Nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Primfaktor f nur einfach".
Damit ergibt sich faabbcc...dd = eeffgg...hh.
> > Tip: Es ging um Primfaktoren.
Ja, denn es ging schließlich um Primfaktoren.
>
> 8 = 2 * 2 * 2 ist eine Nicht-Quadratzahl, welches ist denn der Primfaktor, den sie "nur einfach" besitzt?
In dem Falle würden zwei Faktoren 2 wie oben auf einer Seite auftreten, der dritte aber einfach auftreten, der die Ungleichheit beider Seiten beweist:
2aabbcc...22...dd = eeffgg...hh.
==========================================================
2aabbcc...22...dd = eeffgg...hh.
> >
> > 2aabbcc...22...dd = [...]
>
> Ah ja, Aber dann "besitzt auch eine Quadratzahl mindestens einen Primfaktor f nur einfach".
>
> Z. B. 16 = 2 * 2 * 2 * 2
>
> 2aabbcc...222...dd = [...]
Du solltest eigentlich bemerkt haben, dass, wo möglich, stets Paare abgeteilt werden, denn nur einzelne Faktoren können die Rationalität widerlegen.
> > 2aabbcc...22...dd = [...]
>
> Ah ja, Aber dann "besitzt auch eine Quadratzahl mindestens einen Primfaktor f nur einfach".
>
> Z. B. 16 = 2 * 2 * 2 * 2
>
> 2aabbcc...222...dd = [...]
Ich würde schon gern Dein Niveau berücksichtigen, wenn es nicht überbordend viel Arbeit machte, immer wieder von Adam und Eva anzufangen.
Gruß, WM
Message has been deleted
Fritz Feldhase
Oct 25, 2023, 12:02:17 PM10/25/23
to
On Wednesday, October 25, 2023 at 5:11:11 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 11:51:25 UTC+2:
> >
> > 8 = 2 * 2 * 2 ist eine Nicht-Quadratzahl, welches ist denn der Primfaktor, den sie "nur einfach" besitzt?
> >
> In dem Falle würden zwei Faktoren 2 wie oben auf einer Seite auftreten, der dritte aber einfach auftreten, der die Ungleichheit beider Seiten beweist:
>
> 2aabbcc...22...dd = eeffgg...hh.
Mückenheim, sie labern wirklich viel wirres Zeug daher.
> Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 11:51:25 UTC+2:
> >
> > 8 = 2 * 2 * 2 ist eine Nicht-Quadratzahl, welches ist denn der Primfaktor, den sie "nur einfach" besitzt?
> >
> In dem Falle würden zwei Faktoren 2 wie oben auf einer Seite auftreten, der dritte aber einfach auftreten, der die Ungleichheit beider Seiten beweist:
>
> 2aabbcc...22...dd = eeffgg...hh.
Also:
> > Aber dann "besitzt auch eine Quadratzahl mindestens einen Primfaktor f nur einfach".
> >
> > Z. B. 16 = 2 * 2 * 2 * 2
> >
> 2aabbcc...222...dd = [...]
Meine Fresse, was soll denn der Unsinn?
Also besitzen sowohl Quadratzahlen als auch Nicht-Quadratzahlen "einen Primfaktor f nur einfach".
DARAUF wollte ich ja hinaus.
> Du solltest eigentlich bemerkt haben, dass, wo möglich, stets Paare abgeteilt werden, denn [blubber]
Was hat das mit Deiner unverständlichen/unklaren/falschen Behauptung:
| "Eine Nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen [Prim]Faktor f nur einfach".
zu tun? Die Nicht-Quadratzahl 8 = 2 * 2 * 2 besitzt offenbar den Primfaktor f=2 mehr als "einfach".
Nochmal Mückenheim: Es geht hier eigentlich um Primzahlpotenzen und /gerade vs ungerade/, nicht um "einfach besitzen" oder nicht.
Hinweis: Dingen, die in gerade Anzahl vorliegen, von kann man "in Paare abteilen", Dinge, die in ungerader Anzahl vorliegen, nicht. Wenn man letztere versucht "in Paar abzuteilen", bleibt immer ein Ding ungepaart. Das bedeutet aber leider immer noch nicht, dass "eine Nicht-Quadratzahl mindestens einen Primfaktor f nur einfach besitzt."
Du verstehst, es gilt zwar 8 = 2 * (2 * 2), das bedeutet aber nicht, dass 8 den Primfaktor 2 "nur einfach besitzt."
Bei 6 = 2 * 3 oder 18 = 2 * 3 * 3, etc. würde ich Dir schon eher zustimmen. :-)
Message has been deleted
Ganzhinterseher
Oct 25, 2023, 2:49:06 PM10/25/23
to
Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 18:02:17 UTC+2:
> Dingen, die in gerade Anzahl vorliegen, von kann man "in Paare abteilen", Dinge, die in ungerader Anzahl vorliegen, nicht. Wenn man letztere versucht "in Paar abzuteilen", bleibt immer ein Ding ungepaart.
Na endlich! Ich glaub jetzt hat er's.
> Dingen, die in gerade Anzahl vorliegen, von kann man "in Paare abteilen", Dinge, die in ungerader Anzahl vorliegen, nicht. Wenn man letztere versucht "in Paar abzuteilen", bleibt immer ein Ding ungepaart.
> Das bedeutet aber leider immer noch nicht, dass "eine Nicht-Quadratzahl mindestens einen Primfaktor f nur einfach besitzt."
faabbcc...dd = eeffgg...hh.
Gruß, WM
Fritz Feldhase
Oct 25, 2023, 3:05:57 PM10/25/23
to
On Wednesday, October 25, 2023 at 8:49:06 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 18:02:17 UTC+2:
> >
> > Dingen, die in gerade Anzahl vorliegen, von kann man "in Paare abteilen", Dinge, die in ungerader Anzahl vorliegen, nicht. Wenn man letztere versucht "in Paare abzuteilen", bleibt immer ein Ding ungepaart.
> Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 18:02:17 UTC+2:
> >
> >
> > Das bedeutet aber leider immer noch nicht, dass "eine Nicht-Quadratzahl mindestens einen Primfaktor f nur einfach besitzt."
> >
> Genau das bedeutet es in der
Nein, das bedeutet es nicht.
> > Das bedeutet aber leider immer noch nicht, dass "eine Nicht-Quadratzahl mindestens einen Primfaktor f nur einfach besitzt."
> >
> Genau das bedeutet es in der
Fritz Feldhase
Oct 25, 2023, 3:36:53 PM10/25/23
to
On Wednesday, October 25, 2023 at 8:49:06 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> Ich glaub [blubber]
Mückenheim, haben SIE denn nun schon begriffen, dass gilt:
(a) {m*x : x e [0, 1]} = [0, m] für jedee reelle Zahl m.
(b) {2*n : n e IN} ... die Menge der gerade Zahlen.
Wobei man für IN ja auch gerne {1, 2, 3, ...} und für die Menge der geraden Zahlen {2, 4, 6, ...} schreibt.
Also: {2*n : n e {1, 2, 3, ...}} = {2, 4, 6, ...} ... die Menge der gerade Zahlen.
Ich hatte Ihn das alles schon genau erklärt, aber offenbar sind sie zu dumm, um es zu verstehen.
> Ich glaub [blubber]
Mückenheim, haben SIE denn nun schon begriffen, dass gilt:
(a) {m*x : x e [0, 1]} = [0, m] für jedee reelle Zahl m.
(b) {2*n : n e IN} ... die Menge der gerade Zahlen.
Wobei man für IN ja auch gerne {1, 2, 3, ...} und für die Menge der geraden Zahlen {2, 4, 6, ...} schreibt.
Also: {2*n : n e {1, 2, 3, ...}} = {2, 4, 6, ...} ... die Menge der gerade Zahlen.
Ich hatte Ihn das alles schon genau erklärt, aber offenbar sind sie zu dumm, um es zu verstehen.
Fritz Feldhase
Oct 25, 2023, 3:57:18 PM10/25/23
to
On Wednesday, October 25, 2023 at 9:36:53 PM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:
> Mückenheim, haben SIE denn nun schon begriffen, dass gilt:
>
> (a) {m*x : x e [0, 1]} = [0, m] für jedee reelle Zahl m.
>
> (b) {2*n : n e IN} ... die Menge der gerade Zahlen.
>
> Wobei man für IN ja auch gerne {1, 2, 3, ...} und für die Menge der geraden Zahlen {2, 4, 6, ...} schreibt.
>
> Also: {2*n : n e {1, 2, 3, ...}} = {2, 4, 6, ...} ... die Menge der gerade Zahlen.
>
> Ich hatte Ihn das alles schon genau erklärt, aber offenbar sind sie zu dumm, um es zu verstehen.
Hier nochmal etwas zu (b):
> Mückenheim, haben SIE denn nun schon begriffen, dass gilt:
>
> (a) {m*x : x e [0, 1]} = [0, m] für jedee reelle Zahl m.
>
> (b) {2*n : n e IN} ... die Menge der gerade Zahlen.
>
> Wobei man für IN ja auch gerne {1, 2, 3, ...} und für die Menge der geraden Zahlen {2, 4, 6, ...} schreibt.
>
> Also: {2*n : n e {1, 2, 3, ...}} = {2, 4, 6, ...} ... die Menge der gerade Zahlen.
>
> Ich hatte Ihn das alles schon genau erklärt, aber offenbar sind sie zu dumm, um es zu verstehen.
| Kleiner Exkurs: Wenn wir G als Menge der geraden (natürlichen) Zahlen ansehen, dann wäre, streng formal G = {n e IN : n gerade}.
| In diesem Thread haben wir aber gerade gelernt, dass "n gerade" bedeutet: "Es gibt eine natürliche Zahl k, so dass n = 2k gilt."
| Wenn wir das für "n gerade" in den Mengenausdruck einsetzen, erhalten wir: {n e IN : es gibt eine natürliche Zahl k, so dass n = 2k gilt}.
| Symbolisch: {n e IN : Ek e IN: n = 2k}. Letzteres schreibt man üblicherweise auch so: {2k : k e IN}, oder auch wieder so: {2n : n e IN}.
| Also haben wir gezeigt: G = {n e IN : n gerade} = {2*n : n e IN}. Üblicherweise schreibt man (daher) für G auch {2, 4, 6, ...}.
Ralf Bader
Oct 25, 2023, 4:11:13 PM10/25/23
to
k=n ein, und dieser ist extrem einfach (auf dem Niveau von Ihnen
dauerwiederholter Trivialitäten). Hinsichtlich der Gesamtbehauptung
führt das aber nicht weiter, und es führt auch nicht weiter,
offensichtlich zutreffende Spezialfälle in der Formulierung der zu
beweisenden Behauptung auszunehmen, sondern das macht die Dinge nur
unnötig verworrener. Verworrenheit haben Sie auch noch mit so
idiotischen Sentenzen wie " "Für alle n" ist hier eine unsinnige
Forderung, denn n steht schon für jede beliebige natürliche
Zahl." zusätzlich befördert.
Mit anderen Worten, Ihr Gefasel ist ein unfaßbar saublödes. Die
Befassung mit Ihrem idiotischen Scheißdreck ist ein echtes Hobby für
Lebenszeitverschwender.
Rainer Rosenthal
Oct 25, 2023, 4:46:52 PM10/25/23
to
Am 25.10.2023 um 22:11 schrieb Ralf Bader:
> On 10/25/2023 09:23 AM, Ganzhinterseher wrote:
> [ ... irgendwas, was er für Mathematik hält ...]
> On 10/25/2023 09:23 AM, Ganzhinterseher wrote:
> Mit anderen Worten, Ihr Gefasel ist ein unfaßbar saublödes. Die
> Befassung mit Ihrem idiotischen Scheißdreck ist ein echtes Hobby für
> Lebenszeitverschwender.
die mit viel ermüdender Detailarbeit verbunden ist, und vor der ich mich
seit Wochen immer drücken wollte. Da kam mir das saublöde Gefasel gerade
recht, weil es so mühelos zu behandeln ist und bei aller Eintönigkeit
doch auch immer neue Wendungen bietet. Neuerdings kommt sogar die EU ins
Spiel:
"Siehe die Charta: Keine Abweichungen vom Thema und keine
Fehlinformationen. Die EU will ja in Zukunft auch ganz streng dagegen
vorgehen. Dann wirst Du von Brüssel aus überwacht, gemeldet und
kaltgestellt." (WM)
Ich höre da Töne einer AfM (Alternative für Mathematik) heraus, die sich
ja auch tapfer gegen die Cantor-Verschwörung wehrt.
Die politische Dimension interessiert mich allerdings wirklich gar
nicht, sondern die logischen Purzelbäume und das bizarre Gebrabbel
"faabbcc...dd = eeffgg...hh" finde ich witzig.
Bei allem mathematischen Unverstand besitzt WM doch auch ein feines
Gespür dafür, wo er besser nicht weiter antwortet. Jüngstes Beispiel:
JVR hat bei der ausnahmsweise konkreten WM-Aussage
"Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach"
nachgehakt, bis WM die Flucht ergriffen hat.
War also nix mit meinem Hobby-Wunsch":
Mal schauen, wie der Pudding weiter durch die Nägel wabbelt.
Gruß,
RR
Ganzhinterseher
Oct 25, 2023, 4:54:29 PM10/25/23
to
Ralf Bader schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 22:11:13 UTC+2:
> On 10/25/2023 09:23 AM, Ganzhinterseher wrote:
> > Martin Vaeth schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 08:41:16
> > UTC+2:
> >> Ganzhinterseher <askas...@gmail.com> schrieb:
> >>> Martin Vaeth schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 21:02:11
> >>> UTC+2:
> >>>>>
> >>>>> Das tut man am besten, indem man k durch n ersetzt.
> >>>> Nein. Man muss 2k + 1 != 2n für *alle* n (und k) zeigen.
> On 10/25/2023 09:23 AM, Ganzhinterseher wrote:
> > Martin Vaeth schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 08:41:16
> > UTC+2:
> >> Ganzhinterseher <askas...@gmail.com> schrieb:
> >>> Martin Vaeth schrieb am Dienstag, 24. Oktober 2023 um 21:02:11
> >>> UTC+2:
> >>>>>
> >>>>> Das tut man am besten, indem man k durch n ersetzt.
> >>>> Nein. Man muss 2k + 1 != 2n für *alle* n (und k) zeigen.
> Ja, zu zeigen, daß 2k + 1 != 2n für *alle* n (und k) schließt den Fall
> k=n ein, und dieser ist extrem einfach
> k=n ein, und dieser ist extrem einfach
>Hinsichtlich der Gesamtbehauptung
> führt das aber nicht weiter,
Deshalb habe ich den Fall verallgemeinert und zunächst alle k durch n ersetzt. Und nun frage ich, wie man 2n + 1 =/= 2n für *alle* n beweist. Statt wie immer unmathematisch zu schäumen und Dein offensichtlich unbeherrschbares Tourette-Syndrom auszuleben, solltest Du nun erklären, was man an 2n + 1 =/= 2n für *alle* n zu beweisen hat und wie man dazu vorgehen sollte - wenn man überzeugt ist, dass da etwas zu beweisen wäre. Wahlweise kannst Du natürlich auch den völlig anders gelagerten komplementären Fall 2k + 1 =/= 2k behandeln.
> führt das aber nicht weiter,
> Verworrenheit haben Sie auch noch mit so
> idiotischen Sentenzen wie " "Für alle n" ist hier eine unsinnige
> Forderung, denn n steht schon für jede beliebige natürliche
> Zahl." zusätzlich befördert.
Gruß, WM
Ganzhinterseher
Oct 25, 2023, 5:06:03 PM10/25/23
to
Gruß, WM
Fritz Feldhase
Oct 25, 2023, 5:36:37 PM10/25/23
to
On Wednesday, October 25, 2023 at 11:06:03 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 21:05:57 UTC+2:
> > On Wednesday, October 25, 2023 at 8:49:06 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > > Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 18:02:17 UTC+2:
> > > >
> > > > Dingen, die in gerade Anzahl vorliegen, von kann man "in Paare abteilen", Dinge, die in ungerader Anzahl vorliegen, nicht. Wenn man letztere versucht "in Paare abzuteilen", bleibt immer ein Ding ungepaart.
> > > >
> > > > Das bedeutet aber leider immer noch nicht, dass "eine Nicht-Quadratzahl mindestens einen Primfaktor f nur einfach besitzt."
> > > >
> > > Genau das bedeutet es in der
> > Nein, das bedeutet es nicht.
> Doch
Nein, die Aussage
> Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 21:05:57 UTC+2:
> > On Wednesday, October 25, 2023 at 8:49:06 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > > Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 18:02:17 UTC+2:
> > > >
> > > > Dingen, die in gerade Anzahl vorliegen, von kann man "in Paare abteilen", Dinge, die in ungerader Anzahl vorliegen, nicht. Wenn man letztere versucht "in Paare abzuteilen", bleibt immer ein Ding ungepaart.
> > > >
> > > > Das bedeutet aber leider immer noch nicht, dass "eine Nicht-Quadratzahl mindestens einen Primfaktor f nur einfach besitzt."
> > > >
> > > Genau das bedeutet es in der
> > Nein, das bedeutet es nicht.
> Doch
"Eine Nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen [Prim]Faktor f nur einfach".
Die Nicht-Quadratzahl 8 = 2 * 2 * 2 "besitzt" offenbar den Primfaktor 2 nicht nur "einfach". Deine Behauptung ist einfach falsch (oder unsinnig).
EOD
Ganzhinterseher
Oct 26, 2023, 6:15:03 AM10/26/23
to
Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 23:36:37 UTC+2:
> Nein, die Aussage
> "Eine Nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen [Prim]Faktor f nur einfach".
> nimmt nicht auf irgendwelche Bildchen und "Abteilungen" bezug.
Doch. Lies es nochmal im Original nach:
> Nein, die Aussage
> "Eine Nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen [Prim]Faktor f nur einfach".
> nimmt nicht auf irgendwelche Bildchen und "Abteilungen" bezug.
FF: Das wiederum kann man recht schön unter Zuhilfenahme des "Hauptsatz der Zahlentheorie" zeigen.
WM: Genau. Eine nicht-Quadratzahl besitzt mindestens einen Faktor f nur einfach.
Damit ergibt sich faabbcc...dd = eeffgg...hh.
Gruß, WM
Fritz Feldhase
Oct 26, 2023, 6:19:17 AM10/26/23
to
On Thursday, October 26, 2023 at 12:15:03 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 23:36:37 UTC+2:
> FF: "Das wiederum kann man recht schön unter Zuhilfenahme des "Hauptsatzes der Zahlentheorie" zeigen."
> Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 25. Oktober 2023 um 23:36:37 UTC+2:
>
> WM: Genau. <Schwachsinn gelöscht>
Ja, Mückenheim, MAN kann es zeigen, nur DU nicht.
EOD
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