Dedekinds Beweis, dass Wurzel 2 irrational ist

50 views
Skip to first unread message

Rainer Rosenthal

unread,
May 3, 2022, 6:25:18 PMMay 3
to
Ich bedanke mich herzlich bei JVR und Dieter Heidorn für die Links zu
Dedekinds Schrift "Stetigkeit und irrationale Zahlen"[1][2].

Während es nicht so schwierig, sondern im Gegenteil gefällig zu lesen
war, wie Dedekind die Zahlraum-Erweiterung präsentiert hat, habe ich
dann aber doch ordentlich rechnen müssen, um seinen auf den Seiten 20
und 21 gelieferten Beweis für die Irrationalität der Wurzeln von
Nicht-Quadratzahlen zu verstehen. Ich bin stolz, da durchgestiegen zu
sein, und habe das nicht nur als sportliche Herausforderung empfunden,
sondern ich bin froh und erstaunt, einen Beweis kennengelernt zu haben,
der nicht die eindeutige Zerlegung in Primfaktoren voraussetzt.

Im Titel habe ich plakativ die Zahl D = 2 geschrieben, aber Dedekind hat
für jede positive ganze Zahl D, die keine Quadratzahl ist, bewiesen,
dass es keine ganzen Zahlen t und u gibt mit (t/u)^2 = D.

Gleich mal vorweg: er hat diesen Beweis als wesentlich bezeichnet für
den Nachweis von Schnitten (A1,A2), in denen A1 keine größte und A2
keine kleinste Zahl enthält.

Seite 20, gekürzt wiedergegeben:
"Nimmt man in A2 jede positive ganze Zahl auf, deren Quadrat > D ist, in
A1 aber alle anderen rationalen Zahlen, so bildet diese Einteilung einen
Schnitt (A1,A2), d.h. jedes a1 in A1 ist kleiner als jedes a2 in A2.
Dieser Schnitt wird aber durch keine rationale Zahl hervorgebracht. Um
dies zu zeigen, muss vor Allem gezeigt werden, dass es keine rationale
Zahl gibt, deren Quadrat = D ist."

Und überdies ist er offenbar stolz auf seinen eigenen Beweis für die
zuletzt genannte Behauptung:
"Obgleich dies aus den ersten Elementen der Zahlentheorie bekannt ist,
so mag doch hier der folgende indirekte Beweis Platz finden."

Es folgen einige Zeilen, die (für mich) nicht sofort ersichtlich den
Beweis ergeben. Es ist heute schon spät geworden, und ich will die
Zeilen samt meiner Auffüllung morgen liefern.

Gute Nacht,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de


[1] https://archive.org/details/stetigkeitundir00dedegoog/page/n8/mode/2up
[2]
https://publikationsserver.tu-braunschweig.de/servlets/MCRFileNodeServlet/dbbs_derivate_00005740/Aa_2043.pdf

JVR

unread,
May 4, 2022, 2:29:38 AMMay 4
to
Interessant ist u.a. die Motivation für die Studie; nämlich dass Dedekind in Zürich (ETH Gründung 1855) einführende Vorlesungen über Analysis zu halten hatte und ihm dabei der fehlende logische Unterbau zu schaffen machte. Er bemerkt natürlich, dass dies nicht der geeignete didaktische Zugang ist - dieser sei eher geometrisch. Im Gegensatz dazu werden Zahlen im Mückenbuch völlig unmotiviert formell logisch eingeführt, in einer Form, die nachher garnicht mehr vorkommt. Dabei schreibt Mücke natürlich blind aus anderen Büchern ab.
Dedekinds Stil ist extrem genau und detailliert. Dasselbe gilt für Cantor und viele andere Mathematiker dieser Zeit in Deutschland und Frankreich. Riemann ist in dieser Beziehung eine berühmte Ausnahme.

Klaus-R. Loeffler

unread,
May 4, 2022, 8:11:02 AMMay 4
to
Rainer Rosenthal schrieb am Mittwoch, 4. Mai 2022 um 00:25:18 UTC+2:
>
> ... ich bin froh und erstaunt, einen Beweis kennengelernt zu haben,
> der nicht die eindeutige Zerlegung in Primfaktoren voraussetzt.
>
Vielleicht interessiert dich dann auch der folgende Beweis mit Ausnutzung der Wohlordnung von N:
Es sei z eine positive ganze Zahl, deren Wurzel nicht ganzzahlig ist. Es wird indirekt bewiesen, dass i*sqrt(z) für kein natürliches i ganzzahlig ist.
Unter der Annahme, es gäbe ein solches i, existiert das Minimum n := min{i in N | i*sqrt(z) in N}.
Weiter sei g := max{i in N | i < sqrt(z)}. Dann ist 0 < sqrt(z) - g < 1 .
Nun ist n*sqrt(z) ganzzahlig, also auch n*sqrt(z) - n*g und man hat
(n*sqrt(z) - n*g)*sqrt(z) = n*z - g*n*sqrt(z).
Da die rechte Seite ganzzahlig ist und links der ganzzahlige Faktor vor sqrt(z) wegen
n*sqrt(z) - n*g = n*(sqrt(z) - g) < n kleiner als n ist, hat man den gewünschten Widerspruch.
Gruß, Klaus-R.

Rainer Rosenthal

unread,
May 4, 2022, 10:52:05 AMMay 4
to
Herzlichen Dank, zum Glück bin ich noch nicht dazu gekommen, den Beweis
von Dedekind mit den für mich notwendig gewesenen Zwischenschritten zu
posten, weil so etwas etwas Zeit zum Reifen braucht. Vom Aha! auf dem
Schmierzettel zu einer ASCII-lesbaren Präsentation brauche ich dann in
meinem fortgeschrittenen Alter doch einige Zeit.

Glücklich bin ich deswegen, weil ich offenbar genügend "drin" in
Dedekinds Beweis war, um sehr schnell zu sehen, dass Dein Beweis
identisch ist zu dem von Dedekind.
Deine Zahlen z, n und g heißen bei Dedekind D, u und lambda.

Dedekind hat genau den von Dir vorgeführten Gedankengang benutzt für
seinen indirekten Beweis, musste allerdings peinlich darauf achten, alle
Schritte so zu formulieren, dass sqrt(z), also bei ihm "Wurzel D",
nirgends vorkommt. Du konntest frisch und frei sqrt(z) schreiben, weil
Du Dich im Raum der reellen Zahlen bewegst. Dedekind aber schreibt den
Beweis mit nur den Mitteln, die im Raum der rationalen Zahlen zur
Verfügung stehen. Der Beweis dient im Buch dem Nachweis der Existenz von
Schnitten (A1,A2), die nicht durch eine rationale Zahl hervorgebracht
werden. Da muss natürlich peinlich jeder Bezug zu Größen vermieden
werden, die erst durch solche Schnitte "erschaffen" werden(*).

Das Tolle an Deinem Beitrag ist, dass Du mir ein Navi an die Hand
gegeben hast, das den Weg durch Dedekinds Beweis zeigt.
Ich habe mich gestern nur erst irgendwie durchgekämpft und mich
vergewissert, dass ich auf legalem Weg von A nach B und dann von B nach
C und schließlich zu Z gekommen war. Das tut ja schon mal gut. Und
offenbar ist da in meinem Unterbewusstsein schon eine innere Landkarte
entstanden, so dass ich jetzt sehen konnte, dass Du die gleiche Route
fährst, nur in einem "anderen Karten-Modus", um im Navi-Bild zu bleiben.

Nochmals besten Dank!

Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

(*) Fast nicht zu glauben, aber ganz offensichtlich wahr: es gibt
Leute, die solche Geistesübungen für simpel halten und sich als Simpel
aufführen, indem sie die Geschichte weiter erzählen und dabei regelmäßig
die Pointe versauen :-)

Martin Vaeth

unread,
May 4, 2022, 1:33:45 PMMay 4
to
Klaus-R. Loeffler <mathe...@googlemail.com> schrieb:
>>
> Vielleicht interessiert dich dann auch der folgende Beweis mit Ausnutzung
> der Wohlordnung von N:
> Es sei z eine positive ganze Zahl, deren Wurzel nicht ganzzahlig ist.
> Es wird indirekt bewiesen, dass i*sqrt(z) für kein natürliches i
> ganzzahlig ist.
> Unter der Annahme, es gäbe ein solches i, existiert das Minimum
> n := min{i in N | i*sqrt(z) in N}.
> Weiter sei g := max{i in N | i < sqrt(z)}. Dann ist 0 < sqrt(z) - g < 1 .
> Nun ist n*sqrt(z) ganzzahlig, also auch n*sqrt(z) - n*g und man hat
> (n*sqrt(z) - n*g)*sqrt(z) = n*z - g*n*sqrt(z).
> Da die rechte Seite ganzzahlig ist und links der ganzzahlige Faktor
> vor sqrt(z) wegen > n*sqrt(z) - n*g = n*(sqrt(z) - g) < n kleiner
> als n ist, hat man den gewünschten Widerspruch.

Irgendwo habe ich auch mal eine rein geometrische Version dieses Beweises
gesehen: Statt mit einem Minimum zu argumentieren, wird in der geometrischen
Version irgendeine natürliche Zahl n angenommen, so dass das n-fache der
Strecke sqrt(z) ganzzahlig ist und damit eine natürliche Zahl m < n
konstruiert, so dass das m-fache der Strecke sqrt(z) ebenfalls ganzzahlig
ist. (Das ist ja i.W. das, was der Beweis oben tut.) Da man das Verfahren
dann mit m statt n iterieren kann, usw., erhält man nach endlich vielen
Schritten, dass sqrt(z) selbst ganzzahlig ist.

Diese Absteige-Methode ist irgendwie eleganter, obwohl sie natürlich die
Wohlordnungseigenschaft der natürlichen Zahlen nur anders kleidet (nämlich,
dass die absteigende Kette endlich sein muss...)

Leider habe ich den Link dazu nicht mehr zur Hand. IIRC wurde dort auch
die Irrationalität anderer Größen rein geometrisch bewiesen (u.a. von e,
was auch sehr elegant ging).

Martin Vaeth

unread,
May 4, 2022, 4:29:54 PMMay 4
to
Martin Vaeth <mar...@mvath.de> schrieb:
>
> Diese Absteige-Methode ist irgendwie eleganter, obwohl sie natürlich die
> Wohlordnungseigenschaft der natürlichen Zahlen nur anders kleidet (nämlich,
> dass die absteigende Kette endlich sein muss...)
>
> Leider habe ich den Link dazu nicht mehr zur Hand.

Hier ist der Link für die geometrischen Beweise für die Irrationalität
von sqrt 2, sqrt 3, sqrt 5:
https://www.cut-the-knot.org/proofs/GraphicalSqRoots.shtml

Die anderen 29 Beweise für die Irrationalität von sqrt 2 sind teilweise
auch sehr nett:
https://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml

Der geometrische Beweis für die Irrationalität von e war doch nicht
von dieser Seite, sondern steht hier: https://arxiv.org/pdf/0704.1282.pdf

Rainer Rosenthal

unread,
May 4, 2022, 4:37:27 PMMay 4
to
Uff, danke für die Fleißarebeit beim Sammeln.

Ich war ja ziemlich aus dem Häuschen, als ich den neuen von Dedekind
gelesen hatte, für den Klaus-R. Löffler eine Leseanleitung gegeben hat.
Das radikal Neue fand ich den Verzicht auf Teilbarkeits-Gedanken.

Hst Du die 29+ Beweise mal quergelesen, was da gravierend Neues dabei ist?

Gruß,
Rainer


Martin Vaeth

unread,
May 4, 2022, 4:48:39 PMMay 4
to
Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> schrieb:
>
> Hst Du die 29+ Beweise mal quergelesen, was da gravierend Neues dabei ist?

Viele basieren schon auf verschiedenen Formen der Absteige-Technik
(die 1. Bemerkung in https://blog.plover.com/math/sqrt-2-new-2.html
präsentiert noch eine Form davon, die ich auf den ersten Blick nicht
unter den 29 Beweisen gefunden habe).
Aber es gibt auch viele, die ganz andere Techniken benutzen:
Rekursive Folgen, Reihendarstellungen, binomische Formel, ...
Die meisten der Beweise sind schon sehr verschieden.

Rainer Rosenthal

unread,
May 4, 2022, 5:02:53 PMMay 4
to
Toll, danke.
Good news.

Gruß,
Rainer

Reply all
Reply to author
Forward
0 new messages