Potentielle Unendlichkeit in der Mückmeatik

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JVR

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Nov 1, 2021, 6:22:02 AMNov 1
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Kürzlich hat Mückenheim den Begriff 'potentielle Unendlichkeit' wie folgt 'definiert'. Ich glaube das ist neu und sollte gebührend gewürdigt werden, trotzdem er in Wirklichkeit nur ein Beispiel angibt.

"Die potentiell unendliche Menge ℕ (wenn auch hier Menge nicht im Sinne der Mengenlehre verwendet wird) ist zum Beispiel hier definiert (Autor mir nicht erinnerlich):
1 ∈ M
n ∈ M ==> n+1 ∈ M
ℕ ist der Durchschnitt aller so definierten Mengen M
oder hier nach Paul Lorenzen:
Man fange mit 1 an.
Ist man zu x gelangt, so füge man noch x 1 an."

Diese Definition besagt also:
Die Menge N = {1}, denn 1 ist das einzige Element, das alle so definierten Mengen M gemeinsam haben.
Einen ähnlichen Fehler macht Mückenheim in seinem Bestseller bei der Definition der natürlichen Zahlen.

Ganzhinterseher

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Nov 1, 2021, 2:14:07 PMNov 1
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JVR schrieb am Montag, 1. November 2021 um 11:22:02 UTC+1:
> Kürzlich hat Mückenheim den Begriff 'potentielle Unendlichkeit' wie folgt 'definiert'. Ich glaube das ist neu und sollte gebührend gewürdigt werden, trotzdem er in Wirklichkeit nur ein Beispiel angibt.
>
> "Die potentiell unendliche Menge ℕ (wenn auch hier Menge nicht im Sinne der Mengenlehre verwendet wird) ist zum Beispiel hier definiert (Autor mir nicht erinnerlich):
> 1 ∈ M
> n ∈ M ==> n+1 ∈ M
> ℕ ist der Durchschnitt aller so definierten Mengen M
> oder hier nach Paul Lorenzen:
> Man fange mit 1 an.
> Ist man zu x gelangt, so füge man noch x 1 an."
>
> Diese Definition besagt also:
> Die Menge N = {1}, denn 1 ist das einzige Element, das alle so definierten Mengen M gemeinsam haben.

Irrtum. Die Bedingung n ∈ M ==> n+1 ∈ M gilt für alle so konstruierten Zahlen, also auch für 1, woraus sich 2 ergibt. Auch dafür gilt es, und so weiter. Grundsätzlich: Jede Zahl, die man angeben kann, hat einen Nachfolger, den man auch angeben kann. Lediglich für sehr große Zahlen nimmt die Leichtigkeit des Konstruierens ab. Ein schönes Beispiel bietet die Konstruktion der Dezimalen von π, auf die Ludolph von Ceulen (Köln) fast seine ganze Freizeit verwandte. Er hat 35 Stellen geschafft. Mein Mathematica Programm braucht wohl weniger als 1 Sekunde für 1000 Stellen. Aber man ist immer noch nicht viel weiter als 62 Billionen Ziffern. Oben wird die Luft dünner. Auch für Peano.

Gruß, WM

JVR

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Nov 2, 2021, 5:54:25 AMNov 2
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Offensichtlich haben Sie keine Ahnung worum es geht, wenn man einen mathematischen Begriff definiert: Sie müssen die das Definiendum charakterisierenden Eigenschaften beschreiben, und diese Beschreibung darf nur eindeutig definierte Begriffe enthalten.

Im vorliegenden Fall ist es ganz sicher so, dass die Unendlichkeit einer Menge nicht von irgendwelchen arithmetischen Eigenschaften ihrer Elemente abhängt.

Sie hätten natürlich zugeben müssen, dass Sie keine Ahnung haben, was dieser wirre Begriff einer 'potentiell unendlichen Menge' genau bedeuten soll. Was stellen Sie sich zB vor unter dem Durchschnitt einer potentiell unendlichen Menge potentiell unendlicher Mengen? Aber mit einem derartigen Eingeständnis fällt Ihr ganzes Kartenhaus in sich zuammen.

Ganzhinterseher

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Nov 2, 2021, 3:26:14 PMNov 2
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JVR schrieb am Dienstag, 2. November 2021 um 10:54:25 UTC+1:
> On Monday, November 1, 2021 at 7:14:07 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > JVR schrieb am Montag, 1. November 2021 um 11:22:02 UTC+1:
> > > Kürzlich hat Mückenheim den Begriff 'potentielle Unendlichkeit' wie folgt 'definiert'. Ich glaube das ist neu und sollte gebührend gewürdigt werden, trotzdem er in Wirklichkeit nur ein Beispiel angibt.
> > >
> > > "Die potentiell unendliche Menge ℕ (wenn auch hier Menge nicht im Sinne der Mengenlehre verwendet wird) ist zum Beispiel hier definiert (Autor mir nicht erinnerlich):
> > > 1 ∈ M
> > > n ∈ M ==> n+1 ∈ M
> > > ℕ ist der Durchschnitt aller so definierten Mengen M
> > > oder hier nach Paul Lorenzen:
> > > Man fange mit 1 an.
> > > Ist man zu x gelangt, so füge man noch x 1 an."
> > >
> > > Diese Definition besagt also:
> > > Die Menge N = {1}, denn 1 ist das einzige Element, das alle so definierten Mengen M gemeinsam haben.
> > Irrtum. Die Bedingung n ∈ M ==> n+1 ∈ M gilt für alle so konstruierten Zahlen, also auch für 1, woraus sich 2 ergibt.

> Offensichtlich haben Sie keine Ahnung worum es geht, wenn man einen mathematischen Begriff definiert: Sie müssen die das Definiendum charakterisierenden Eigenschaften beschreiben, und diese Beschreibung darf nur eindeutig definierte Begriffe enthalten.

Das ist schon eine nicht eindeutig definierte Eigenschaft, weil nicht alle Leser dieselben Begriffe kennen und eindeutig definierte Begriffe nicht allgemeinverbindlich definiert sind.
>
> Sie hätten natürlich zugeben müssen, dass Sie keine Ahnung haben, was dieser wirre Begriff einer 'potentiell unendlichen Menge' genau bedeuten soll.

Wenn ich so wenig Wissen wie Du darüber hätte, dann würde ich mehr zu erwerben trachten. Ich kann da nur Cantor empfehlen, der die Unendlichkeiten so scharf unterschieden hat, dass ein mäßig intelligenter Leser seine Aussagen sofort versteht. Und wer es nicht auf Anhieb versteht, muss versuchen, sein Bild aus den einzelnen Facetten zusammenzusetzen. Das ist so in der Wissenschaft.

"By the actual infinite we have to understand a quantity that on the one hand is not variable but fixed and definite in all its parts, a real constant, but at the same time, on the other hand, exceeds every finite size of the same kind by size. As an example I mention the totality, the embodiment of all finite positive integers; this set is a self-contained thing and forms, apart from the natural sequence of its numbers, a fixed, definite quantity, an , which we obviously have to call larger than every finite number." [G. Cantor, letter to A. Eulenburg (28 Feb 1886)]

"It is even allowed to comprehend the newly created number  as a limit which the numbers  converge to, if thereby nothing else is seen but that  is the first whole number following upon all numbers , i.e., which has to be called greater than each of the numbers ." [Cantor, p. 195]

"Here  is the number following by magnitude next upon all numbers." [Cantor, p. 331]

Therefore Cantor condemned Gauß' rejection of the actual infinite in several places:
"The erroneous in Gauss' letter consists in his sentence that the finished infinite could not become an object of mathematical consideration. [...] The finished infinite can be found, in a sense, in the numbers ,  + 1, ..., , ..." [G. Cantor, letter to R. Lipschitz (19 Nov 1883)]
"My opposition to Gauss consists in the fact that Gauss rejects as inconsistent (I mean he does so unconsciously, i.e., without knowing this notion) all multitudes with exception of the finite and therefore categorically and basically discards the actual infinite which I call transfinitum, and together with this he declares the transfinite numbers as impossible, the existence of which I have established." [G. Cantor, letter to D. Hilbert (27 Jan 1900)]
"it seems that the ancients haven't had any clue of the transfinite, the possibility of which is even strongly rejected by Aristotle and his school like in newer times by d'Alembert, Lagrange, Gauss, Cauchy, and their adherents." [G. Cantor, letter to G. Peano (21 Sep 1895)]

While normally numbers are created by the first creation principle, namely addition of 1, "the logical function which has supplied the two numbers  and 2 does obviously differ from the first creation principle. Therefore I call it the second creation principle of whole real numbers and define it more closely as follows: If there is a definite succession of defined whole numbers, none of which is the greatest, then, based on the second creation principle, a new number is created which can be understood as the limit of those numbers, i.e., defined as the next greater number to all of them." [Cantor, p. 196]

"The notion of , for example, contains nothing shaky, nothing indefinite, nothing varying, nothing potential, it is not an  but an , and the same is true for all other transfinite numbers. [...] Wundt's treatise shows that he has no clear grasp of the fundamental difference of 'improper infinite = variable finite = syncategorematice infinitum ()', and 'proper infinite = transfinitum = completed infinite = being infinite = categorematice infinitum ()'. Otherwise he would not call the former as well as the latter a limit; limit is always something fixed, invariable. Therefore of the two notions of infinity only the transfinitum can be thought of as being and in certain circumstances and in some sense as a fixed limit. [...]
There is no further justification necessary when I in the 'Grundlagen', just at the beginning, distinguish two notions toto genere different from each other, which I call the improper-infinite and the proper-infinite; they need not be considered as in any way compatible with or related to each other. The often, at all times, admitted union or confusion of these two completely disparate notions causes, to my firm conviction, innumerable errors; in particular I see herein the reason why the transfinite numbers have not been discovered before.
To exclude this confusion from the outset, I denote the smallest transfinite number by the symbol  which differs from the ordinary symbol corresponding to the improper-infinite .
Indeed  can be considered, so to speak, as the limit which the variable integer  converges to beyond all limits, albeit only in the sense that  is the smallest transfinite ordinal number, i.e., the smallest firmly determined number which is greater than all finite numbers ; just as 2 is the limit of certain variable, growing rational numbers. But here we have in addition that the difference of 2 and the approximating fractions gets arbitrarily small, whereas  -  is always equal to ; but this difference does not change the fact that  is just as determined and completed as 2, and it does not change the fact that  carries as little traces of the converging numbers  as 2 carries anything of the rational approximating fractions." [G. Cantor, letter to K. Laßwitz (15 Feb 1884). Cantor, pp. 390f & 395. (The sources differ in many places.)]

"On account of the matter I would like to add that in conventional mathematics, in particular in differential- and integral calculus, you can gain little or no information about the transfinite because here the potential infinite plays the important role, I don't say the only role but the role emerging to surface (which most mathematicians are readily satisfied with). Even Leibniz with whom I don't harmonize in many other respects too, has [...] fallen into most spectacular contradictions with respect to the actual infinite." [G. Cantor, letter to A. Schmid (26 Mar 1887)]

"Allow me to remark that the reality and the absolute principles of the integers appear to be much stronger than those of the world of sensations. And this fact has precisely one very simple reason, namely that the integers separately as well as in their actually infinite totality exist as eternal ideas in intellectu Divino in the highest degree of reality." [G. Cantor, letter to C. Hermite (30 Nov 1895)]

"Nevertheless the transfinite cannot be considered a subsection of what is usually called 'potentially infinite'. Because the latter is not (like every individual transfinite and in general everything due to an 'idea divina') determined in itself, fixed, and unchangeable, but a finite in the process of change, having in each of its current states a finite size; like, for instance, the temporal duration since the beginning of the world, which, when measured in some time-unit, for instance a year, is finite in every moment, but always growing beyond all finite limits, without ever becoming really infinitely large." [G. Cantor, letter to I. Jeiler (13 Oct 1895)]

It remains true for transfinite ordinal numbers too that every subset (') – Cantor did not add the phrase "non-empty" – has a smallest element: "Among the numbers of the set (') there is always a smallest one. In particular, if we have a sequence of numbers {{of the second number class}} 1, 2, ..., , ..., which continuously decrease in magnitude (such that  > ' if' > ), then the sequence will necessarily terminate after a finite number of terms and finish with the smallest of the numbers. The sequence cannot be infinite." [Cantor, p. 200]

"That in every set (') of transfinite numbers there is a smallest one, can be shown as follows." [Cantor, p. 208, footnote by E. Zermelo] Also Zermelo did not add the phrase "non-empty".

"Every embodiment of different numbers of the first and the second number class has a smallest number, a minimum." [Cantor, p. 332]

"Here we use again and again the theorem [...] that every embodiment of numbers, i.e., every partial multitude of  has a minimum, a smallest number." [Cantor, p. 445]

Gruß, WM

JVR

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Nov 2, 2021, 4:34:37 PMNov 2
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Immernoch keine Definition, wie zu erwarten war, wie schon seit Jahren.

Was stellen Sie sich vor unter dem Durchschnitt einer potentiell unendlichen Menge potentiell unendlicher Mengen?

Ganzhinterseher

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Nov 2, 2021, 5:01:31 PMNov 2
to
> Immernoch keine Definition, wie zu erwarten war, wie schon seit Jahren.
>
> Was stellen Sie sich vor unter dem Durchschnitt einer potentiell unendlichen Menge potentiell unendlicher Mengen?

Der Durchschnitt enthält alle Elemente, die in allen diesen Mengen enthalten sind. Das erste ist die 1, das zweite die 2 und so weiter. Es gibt zwar für kleine Systeme (Taschenrechner) ein letztes Element, aber für reale Systeme wie z.B. die ganze Menschheit mit ihren technischen Möglichkeiten gibt es kein letztes, jedenfalls kein erkennbares letztes Elemente, da jedes reale System in der Lage ist, zu einer vermeintlich größten Zahl, eine größere zu konstruieren. Es geht also beim Schnitt nur darum, nicht natürliche Zahlen auszuschließen.

Gruß, WM

Juergen Ilse

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Nov 2, 2021, 7:14:06 PMNov 2
to
Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> JVR schrieb am Dienstag, 2. November 2021 um 21:34:37 UTC+1:
>> Immernoch keine Definition, wie zu erwarten war, wie schon seit Jahren.
>>
>> Was stellen Sie sich vor unter dem Durchschnitt einer potentiell unendlichen Menge potentiell unendlicher Mengen?
>
> Der Durchschnitt enthält alle Elemente, die in allen diesen Mengen enthalten sind.

Was soll denn in einer "potentiell unendlichen Menge" enthalten sein
und was nicht? SIE haben noch nicht einmal definiert, was denn eine
"potentiell unendliche Menge" eigentlich sein soll, und ebensowenig,
was denn "in einer pootentiell unendlichen Menge enthalten" sein soll.
Alles nur nichtssagendes Geschwurbel, aber nichts wirklich substanti-
elles ...

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

JVR

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Nov 3, 2021, 4:08:16 AMNov 3
to
Mückenheim, Sie sind verwirrt. Wir reden hier von unendlichen Mengen, nicht von Taschenrechnern. Sie behaupten, der mathematisch saubere Begriff sei die 'potentiell unendliche Menge' und der Cantor'sche Begriff der 'aktual unendlichen Menge' führe zu Widersprüchen.
Sie sind sehr weit davon entfernt, diese Behauptung beweisen zu können; u.a. weil Ihre Begriffsbildungen verschwommen sind.

Ganzhinterseher

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Nov 3, 2021, 1:06:18 PMNov 3
to
Juergen Ilse schrieb am Mittwoch, 3. November 2021 um 00:14:06 UTC+1:

> Was soll denn in einer "potentiell unendlichen Menge" enthalten sein
> und was nicht?

Es geht zunächst nur um die potentiell unendliche Menge der definierbaren natürlichen Zahlen. Hier sind zwei Definitionen.
1 ∈ M
n ∈ M ==> n+1 ∈ M
ℕ ist der Durchschnitt aller so definierten Mengen M
Autor mir nicht erinnerlich, oder hier nach Paul Lorenzen:
Man fange mit 1 an.
Ist man zu x gelangt, so füge man noch x 1 an."

Gruß, WM

Ganzhinterseher

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Nov 3, 2021, 1:18:33 PMNov 3
to
JVR schrieb am Mittwoch, 3. November 2021 um 09:08:16 UTC+1:
> Wir reden hier von unendlichen Mengen, nicht von Taschenrechnern. Sie behaupten, der mathematisch saubere Begriff sei die 'potentiell unendliche Menge' und der Cantor'sche Begriff der 'aktual unendlichen Menge' führe zu Widersprüchen.

Nein, ich behaupte, dass die Behandlung einer aktual unendlichen Menge als potentiell unendliche Menge zu Fehlern führt.

Beispiel: Die aktual unendliche Menge aller Stammbrüche im Intervall (0, 1] ist vollständig in dem Sinne, dass man zur Bijektion f(n) = 1/n kein einziges Element hinzufügen kann, ohne die Bijektion zu zerstören, denn es sind genau |ℕ| Elemente vorhanden.

Die potentiell unendliche Menge oder Kollektion ℕ_def aller definierbaren natürlichen Zahlen oder Anfangsabschnitte dagegen besteht aus solchen natürlichen Zahlen, für die gilt
|ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .
Das obere Ende ist verschwommen. Deshalb ist f(n) = n bijektiv und f(n) = n+1 injektiv und Hilberts Hotel möglich.

> Sie sind sehr weit davon entfernt, diese Behauptung beweisen zu können; u.a. weil Ihre Begriffsbildungen verschwommen sind.

Die potentiell unendliche Menge ist in gewissem Sinne verschwommen. Das ist nicht meine Schuld.

Gruß, WM

JVR

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Nov 3, 2021, 2:06:13 PMNov 3
to
Das ist also die Mückmeatik - in gewissem Sinne verschwommen, d.h. dummes Geschwätz.

Gus Gassmann

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Nov 3, 2021, 2:10:50 PMNov 3
to
On Wednesday, 3 November 2021 at 15:06:13 UTC-3, JVR wrote:
> Das ist also die Mückmeatik - in gewissem Sinne verschwommen, d.h. dummes Geschwätz.

Und schuld an diesem dummen Gewäsch ist irgend jemand, aber mit Sicherheit nicht unser verkanntes Genie. Was ein Rindvieh!

Juergen Ilse

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Nov 3, 2021, 7:09:52 PMNov 3
to
Hallo,
Es ist doch unfair Rindviecher mit diesem Vergleich zu beleidigen, die
koennen ssich doch kaum wehren ...

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Gus Gassmann

unread,
Nov 3, 2021, 10:19:45 PMNov 3
to
On Wednesday, 3 November 2021 at 20:09:52 UTC-3, Juergen Ilse wrote:
> Hallo,
> Gus Gassmann <horand....@gmail.com> wrote:
> > On Wednesday, 3 November 2021 at 15:06:13 UTC-3, JVR wrote:
> >> Das ist also die Mückmeatik - in gewissem Sinne verschwommen, d.h. dummes Geschwätz.
> >
> > Und schuld an diesem dummen Gewäsch ist irgend jemand, aber mit Sicherheit nicht unser verkanntes Genie. Was ein Rindvieh!
> Es ist doch unfair Rindviecher mit diesem Vergleich zu beleidigen, die
> koennen ssich doch kaum wehren ...

Touche'. Ich möchte mich hiermit bei allen vierbeinigen Rindviechern von Herzen entschuldigen. Sie mit WM zu vergleichen, war für die vierbeinigen Rindviecher höchst beleidigend. So eine Entgleisung wird hoffentlich nicht wieder vorkommen.

Ganzhinterseher

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Nov 5, 2021, 7:41:15 AMNov 5
to
JVR schrieb am Mittwoch, 3. November 2021 um 19:06:13 UTC+1:
> On Wednesday, November 3, 2021 at 6:18:33 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> > Die potentiell unendliche Menge ist in gewissem Sinne verschwommen. Das ist nicht meine Schuld.
> >
> Das ist also die Mückmeatik - in gewissem Sinne verschwommen, d.h. dummes Geschwätz.

Nein, es ist nur etwas schwieriger zu analysieren als die primitive Mengenlehre. Deswegen wird es wohl von manchen als unleidlich abgelehnt. Aber die Erkenntnis lässt sich nicht verdrängen --- jedenfalls nicht auf Dauer. Es werden immer mehr Interessierte aufhorchen.

Ein einfaches Beispiel: Die Endsegment E(n) = (n, n+1, n+2, ...) der natürlichen Zahlen sind alle unendlich

∀n ∈ ℕ: |(n, n+1, n+2, ...)| = ℵo ,

haben aber einen leeren Schnitt

∩{(n, n+1, n+2, ...) | n ∈ ℕ} = { } .

Woraus bestehen die in allen Endsegmenten residierenden unendlich vielen natürlichen Zahlen? Niemand kann sie beschreiben, definieren oder gar darstellen. Denn alle beschreibbaren Zahlen verschwinden ja. Sonst wäre der Schnitt nicht leer. Das sind leider Tatsachen.

Gruß, WM
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