Neueste Erkenntnisse aus Mückenhausen

[Fritz Feldhase]

"The number of natural numbers is a natural number." (W. Mückenheim, sci.math)

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Donnerstag, 18. August 2022 um 18:08:21 UTC+2:
> "The number of natural numbers is a natural number." (W. Mückenheim, sci.math)

Das bezog sich auf definierbare natürliche Zahlen und ist da auch eindeutig: Wenn n eine definierbare natürliche Zahl ist, so bedeutet das, n ist Endzahl eines endlichen Anfangsabschnittes (1, 2, 3, ..., n). Und da es in der potentiell unendlichen Kollektion nur endlich viele endliche Anfangsabschnitte geben kann, ist die Zahl der Endzahlen endlich, wiewohl nicht fixierbar. Für Cantors Menge gilt das natürlich nicht, denn die ist bekanntlich aktual unendlich.

Gruß, WM

[Stefan Schmitz]

Also ist die Anzahl N_def der definierbaren natürlichen Zahlen selbst
nicht definierbar?

Aber da es ja nur endlich viele definierbare natürliche Zahlen gibt,
gibt es zwangsläufig eine größte definierbare natürliche Zahl n_maxdef.
Es gilt dann n_maxdef >= N_def

Da N_def selbst nicht enthalten sein kann, muss tatsächlich
n_maxdef > N_def sein.
Daraus folgt, dass innerhalb der definierbaren Zahlen Lücken sind. Es
gibt also definierbare Zahlen, deren Nachfolger nicht definierbar ist.
Wie verträgt sich das mit deinem Begriff der Definierbarkeit?

[JVR]

ROFL
Das verträgt sich prima, denn der Begriff 'Definierbarkeit' ist undefinierbar.
Ebenso der Begriff der Undefinierbarkeit und der potentiellen Unendlichkeit.

[Ganzhinterseher]

Stefan Schmitz schrieb am Freitag, 19. August 2022 um 15:23:22 UTC+2:
> Am 19.08.2022 um 14:26 schrieb Ganzhinterseher:
> > Fritz Feldhase schrieb am Donnerstag, 18. August 2022 um 18:08:21 UTC+2:
> >> "The number of natural numbers is a natural number." (W. Mückenheim, sci.math)
> >
> > Das bezog sich auf definierbare natürliche Zahlen und ist da auch eindeutig: Wenn n eine definierbare natürliche Zahl ist, so bedeutet das, n ist Endzahl eines endlichen Anfangsabschnittes (1, 2, 3, ..., n). Und da es in der potentiell unendlichen Kollektion nur endlich viele endliche Anfangsabschnitte geben kann, ist die Zahl der Endzahlen endlich, wiewohl nicht fixierbar. Für Cantors Menge gilt das natürlich nicht, denn die ist bekanntlich aktual unendlich.
> Also ist die Anzahl N_def der definierbaren natürlichen Zahlen selbst
> nicht definierbar?

Potentielle Unendlichkeit ist nicht mit einem exakten Ende versehen.

>
> Aber da es ja nur endlich viele definierbare natürliche Zahlen gibt,
> gibt es zwangsläufig eine größte definierbare natürliche Zahl n_maxdef.
> Es gilt dann n_maxdef >= N_def

Es gibt nur endlich viele, aber die doppelte Menge ist auch definierbar.

>
> Da N_def selbst nicht enthalten sein kann, muss tatsächlich
> n_maxdef > N_def sein.

Nein, ist ein endlicher Anfangsabschnitt. ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

> Daraus folgt, dass innerhalb der definierbaren Zahlen Lücken sind.

Das ist für den MatheRealismus sicher richtig. Beispiel: Taschenrechner. 10^99 ist definierbar, 760876087608760876 nicht.

> Es
> gibt also definierbare Zahlen, deren Nachfolger nicht definierbar ist.

Natürlich. Keine scharfe Grenze. Mit n ist auch n^n^n definierbar.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Freitag, 19. August 2022 um 15:48:43 UTC+2:

> Das verträgt sich prima, denn der Begriff 'Definierbarkeit' ist undefinierbar.
> Ebenso der Begriff der Undefinierbarkeit und der potentiellen Unendlichkeit.

Jede Zahl mit Anfangsabschnitt ist definierbar.

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Friday, August 19, 2022 at 8:58:39 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> JVR schrieb am Freitag, 19. August 2022 um 15:48:43 UTC+2:

> Jede [natürliche] Zahl mit Anfangsabschnitt ist definierbar.

Also sind ALLE natürlichen Zahlen definierbar.

Wie dumm kann man eigentlich sein, Mückenheim? Gibt's dafür ein obere/untere Grenze?

[Ralf Bader]

Was ist denn der Anfangsabschnitt beispielsweise von
10^10^10^10^10^10^10^10^10
was ja laut Ihrem saublöden Gefasel "definierbar" ist? Oder die
Dezimaldarstellung dieser Zahl, deren Existenz ja, wenn ich mich recht
erinnere, auch mal ein Kriteium für "Definierbarkeit" war?

[Fritz Feldhase]

On Friday, August 19, 2022 at 2:26:39 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Donnerstag, 18. August 2022 um 18:08:21 UTC+2:
> >
> > "The number of natural numbers is a natural number." (W. Mückenheim, sci.math)
> >
> Das bezog sich auf definierbare natürliche Zahlen

1. Nein, das ist eine Lüge. Der Kontext waren die natürlichen Zahlen. Konkret haben Sie das als Antwort auf meine Ausage

| "Hint: There are infinitely many natural numbers."

formuliert.

Sie wissen schon, Mückenheim: Lügen haben kurze Beine.

2. Wenn Sie das aber doch so gemeint haben sollten, wie Sie hier/jetzt behaupten, warum haben Sie dann etwas Anderes/Unsinniges geschrieben?

Sie sollten das dann aber KORRIGIEREN, Mückenheim. Denn so wie es jetzt dasteht, ist es halt wieder einmal saudummer Scheißdreck.

Das Problem wäre in diesem Fall jedoch, dass Sie dann immer noch etwas Falsches behaupten würden. Denn:

> [Dass] n eine /definierbare/ natürliche Zahl ist, bedeutet, [dass] n Endzahl eines endlichen Anfangsabschnittes {1, 2, 3, ..., n} [ist].

Daraus folgt nämlich, dass - wegen An e IN: n = max({1, ..., n}) - j e d e natürliche Zahl eine "definierbare" natürliche Zahl ist. Kurz: Sie würden dann immer noch den gleichen Unsinn behaupten.

> Für Cantors Menge <blubber>

Wir sprechen hier über die im Kontext der axiomatischen Mengenlehre (ZFC) z. B. nach Neumann definierte Menge IN der natürlichen Zahlen und deren Elemente (also über die natürlichen Zahlen) - und nicht über "Cantors Menge", Du widerlicher Dummschwätzer.

EOD

[Ganzhinterseher]

Ralf Bader schrieb am Freitag, 19. August 2022 um 21:23:22 UTC+2:
> On 08/19/2022 08:58 PM, Ganzhinterseher wrote:
> > JVR schrieb am Freitag, 19. August 2022 um 15:48:43 UTC+2:
> >
> >> Das verträgt sich prima, denn der Begriff 'Definierbarkeit' ist undefinierbar.
> >> Ebenso der Begriff der Undefinierbarkeit und der potentiellen Unendlichkeit.
> >
> > Jede Zahl mit Anfangsabschnitt ist definierbar.
> >
> > Gruß, WM
> >
> Was ist denn der Anfangsabschnitt beispielsweise von
> 10^10^10^10^10^10^10^10^10

> was ja "definierbar" ist?

Du scheinst zwischen MatheRealismus und klassischer Mathematik zu schwanken. Im MatheRealism hat die Folge der natürlichen Zahlen Lücken. Beispiel Taschenrechner: Dort existiert 10^80, aber nicht 7095694586987569756. In der klassischen Mathematik wird der Anfangsabschnitt einer definierten Zahl (es gibt, wie man oben sieht, auch andere Definitionen, siehe z. B. https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf) als existent angenommen.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 19. August 2022 um 21:14:58 UTC+2:
> On Friday, August 19, 2022 at 8:58:39 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > JVR schrieb am Freitag, 19. August 2022 um 15:48:43 UTC+2:
> > Jede [natürliche] Zahl mit Anfangsabschnitt ist definierbar.
>
> Also sind ALLE natürlichen Zahlen definierbar.

Nein, aber um das zu verstehen, bist Du zu sehr blockiert. Du kannst ja nicht einmal erkennen, dass die inklusionsmonotone Folge der unendlichen Endsegmente einen unendlichen Schnitt besitzt.

>
> Wie dumm kann man eigentlich sein,

Ich glaube nicht, dass Du sehr dumm bist. Du bist nur total blockiert durch das Auswendiglernen von falscher Logik und falschen Sätzen.

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Friday, August 19, 2022 at 10:44:28 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 19. August 2022 um 21:14:58 UTC+2:
> > On Friday, August 19, 2022 at 8:58:39 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > >

> > > Jede [natürliche] Zahl mit Anfangsabschnitt ist definierbar. (*)
> > >
> > Also sind ALLE natürlichen Zahlen definierbar. (**)
> >
> Nein, aber

Schau, Du hirnloser Affe, nach von Neumann sind die natürlichen Zahlen so definiert, dass n+1 ein (endlicher) Anfangsabschnitt mit max(A) = n ist (für jedes n e IN).

Da mit n e IN auch n u {n} = n+1 e IN ist, gibt es zu jedem n e IN einen (endlichen) Angangsabschnitt A (nämlich n+1 e IN), so dass n = max(A) gilt.

Langer Rede kurzer Sinn: Es gilt:

An e IN: Em e IN: endlicherAnfangsabschnitt(m) & n = max(m). (***)

Ein paar Beispiele:

0 e {0} = 1 = 0 + 1
1 e {0, 1} = 2 = 1 + 1
2 e {0, 1, 2} = 3 = 2 + 1
usw.

Allgemein für jedes n e IN:

n e {0, ..., n} = n u {n} = n + 1.

Aus (***) und (*) folgt die Behauptung (**).

EOD

[Tom Bola]

Ganzhinterseher schrieb:
> Fritz Feldhase schrieb:

>>> Jede [natürliche] Zahl mit Anfangsabschnitt ist definierbar.

>> Also sind ALLE natürlichen Zahlen definierbar.

> Nein, aber um das zu verstehen, bist Du zu sehr blockiert.

Ja, den hast du hoffnungslos bis zu seinem Tode in deinem Hamsterrad versklavt.

> Du kannst ja nicht einmal erkennen, dass die inklusionsmonotone Folge
> der unendlichen Endsegmente einen unendlichen Schnitt besitzt.

>> Wie dumm kann man eigentlich sein,
>
> Ich glaube nicht, dass Du sehr dumm bist. Du bist nur total blockiert
> durch das Auswendiglernen von falscher Logik und falschen Sätzen.

Bald wird der die Hirnwäsche des Hasen den in den Wahnsinn getrieben haben.

Aber Vorsicht, der Mann sagt gelegentlich hemmungslos "EOD" - furchtbar!

[Tom Bola]

Fritz Feldhase schrieb:

WM treibt dich langsam und in den Wahnsinn wobei du wehrlos bist.

[Tom Bola]

WM treibt dich langsam und

sicher

[Tom Bola]

WM treibt dich langsam und sicher in den Wahnsinn wobei du wehrlos bist.

Ich sage auch warum Mückenheim das tut:

Weil du böse bist, indem du die Lüge von der Existenz der Menge (aktual)
unendlich vieler natürlicher Zahlen duldest und sogar verbreitest.

Real oder geistig spielt dabei keine Rolle, weil beides das Denken
der Menschheit in die Irre führt wogegen WM leidenschaftlich kämpft.

Niemand wird WM ändern, man kann das nur beenden.

[Fritz Feldhase]

On Friday, August 19, 2022 at 11:21:07 PM UTC+2, Tom Bola wrote:

> WM treibt dich langsam und sicher in den Wahnsinn wobei du wehrlos bist.

Ach, ist doch nur eine Fleischwunde!

[Fritz Feldhase]

On Friday, August 19, 2022 at 11:29:08 PM UTC+2, Tom Bola wrote:

> Niemand wird WM ändern, man kann das nur beenden.

Jo.

[Fritz Feldhase]

On Friday, August 19, 2022 at 11:18:23 PM UTC+2, Tom Bola wrote:

> WM treibt dich langsam und in den Wahnsinn wobei du wehrlos bist.

Alles halb so wild. Habe gerade wieder angefangen, 2 schöne Bücher über die Mengenlehre zu lesen:

Ulf Friedrichsdorf, Alexander Prestel: Mengenlehre für den Mathematiker (sehr dicht)

und

D. van Dalen, H.C. Doets, H. de Swart: Sets: Naive, Axiomatic and Applied (sehr ausführlich)

WM ist lediglich ein Punchingball...

[Tom Bola]

Fritz Feldhase schrieb:

Das beruhigt...

[Tom Bola]

Fritz Feldhase schrieb:

Wer kennt sie nicht, diese Bücher... aber alter Kram - das hier ist nicht schlecht:

https://file.io/5HfcRqtqTzdM

[Ralf Bader]

Nein, ich schwanke nicht zwischen Scheißdreck und Scheißdreck (also
"MatheRealismus" und Ihren Wahnvorstellungen von klassischer Mathematik,
der Sie offenbar Ihr blödsinniges Geschwafel von "definierbaren Zahlen"
zurechnen)

[Fritz Feldhase]

On Saturday, August 20, 2022 at 12:02:01 AM UTC+2, Tom Bola wrote:
> Fritz Feldhase schrieb:
> > On Friday, August 19, 2022 at 11:18:23 PM UTC+2, Tom Bola wrote:
> >

> > [...] Habe gerade wieder angefangen, 2 schöne Bücher über die Mengenlehre zu lesen:

> >
> > Ulf Friedrichsdorf, Alexander Prestel: Mengenlehre für den Mathematiker (sehr dicht)
> >
> > und
> >
> > D. van Dalen, H.C. Doets, H. de Swart: Sets: Naive, Axiomatic and Applied (sehr ausführlich)
> >
> Wer kennt sie nicht, diese Bücher... aber alter Kram

lol. Also ICH wage zu behaupten, dass Du zumindest

| Ulf Friedrichsdorf, Alexander Prestel: Mengenlehre für den Mathematiker

NICHT kennst. (Komm, überrasche mich und beweise, dass Du kein Dummschwätzer bist!)

Was ist denn das besondere Feature dieses Büchleins, das es von anderen (üblichen) Darstellungen der Mengenlehre abhebt?

Na?

[Fritz Feldhase]

On Saturday, August 20, 2022 at 12:02:01 AM UTC+2, Tom Bola wrote:

> https://file.io/5HfcRqtqTzdM

Link zeigt leider ins Leere. :-)

[JVR]

Das ist vielleicht GanzHintermWald so. Sonst war das gestern

709569458698756975670956945869875697570956945869875697567095694586987569756 * 1234567890123456789709569458698756975123456789012345678970956945869875697566 =
8760116695217677125237801221691511007076882413490483780584760654449452
8266949628979901534536852238460351886139574875823593281846879125792807
1584413896

[Fritz Feldhase]

On Friday, August 19, 2022 at 10:41:14 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> Beispiel Taschenrechner: Dort existiert 10^80, aber nicht 7095694586987569756.

Wann hast Du das letzte Mal den "Taschenechner" (Einstellung: Wissenschaftlich) unter Windows 10 aufgerufen?

Habe da eben 7095694586987569756 eingegeben und auf "+", "1" und "=" geklickt.

Ergebnis: 7.095.694.586.987.569.757.

Du redest wirklich nur saudummen Scheißdreck daher.

[Tom Bola]

Fritz Feldhase schrieb:

> On Saturday, August 20, 2022 at 12:02:01 AM UTC+2, Tom Bola wrote:
>
>> https://file.io/5HfcRqtqTzdM
>
> Link zeigt leider ins Leere. :-)

Seltsam, noch mal: https://file.io/naLY3qWPkrcb

[Tom Bola]

Fritz Feldhase schrieb:

> On Saturday, August 20, 2022 at 12:02:01 AM UTC+2, Tom Bola wrote:
>
>> https://file.io/5HfcRqtqTzdM
>
> Link zeigt leider ins Leere. :-)

Anderer Hoster: https://easyupload.io/tfc0h3

[Tom Bola]

Fritz Feldhase schrieb:

Was meinst du? Vielleicht das, was im Epilog S.91 steht (scheiss Abtipperei):

Wir wollen nun auf Fragen eingehen, die mit der Axiomatik der Mengenlehre
zusammenhangen.

Bei der Formulierung unserer Axiome haben wir im Komprehensionsaxiom (K)
den Begriff der Eigenschaft von Mengen benutzt. Dieser Begriff wurde bisher
nicht weiter prazisiert. Das wollen wir jetzt nachholen. Bei genauer
Durchsicht aller Falle, in denen wir das Komprehensionsaxiom benutzt haben,
zeigt sich namlich, daß man mit Eigenschaften auskommt, die sich in einer
Sprache beschreiben lassen, die wir jetzt vorstellen wollen. Dazu gehen
wir etwas formaler als bisher vor. Wir füren eine künstliche Sprache - eine
formale Sprache - ein, in der wir die uns interessierenden Eigenschaften
exakt beschreiben. Diese formale Sprache wird der mathematischen
Umgangssprache sehr ähnlich sein, so daß die richtige Interpretation
unmittelbar suggeriert wird.
Unsere formale Sprache enthalt als Ausgangsmaterial:
...

[Fritz Feldhase]

On Saturday, August 20, 2022 at 2:36:48 AM UTC+2, Tom Bola wrote:
> Fritz Feldhase schrieb:
> >

> > Ulf Friedrichsdorf, Alexander Prestel: Mengenlehre für den Mathematiker
> >

> > Was ist denn das besondere Feature dieses Büchleins, das es von anderen (üblichen) Darstellungen der Mengenlehre abhebt?
> >
> > Na?
> >

> Was meinst du? Vielleicht das, was im Epilog S.91 steht (scheiss Abtipperei): [...]

Ok, alles gut. Das Internet ist unser Freund, oder?

Wie dem auch sei: Das Besondere an diesem Büchlein ist, dass der Darstellung die Mengenlehre NBG (Neumann-Bernays-Gödel) zugrunde liegt und zwar in der (leicht modifizierten) von Gödel ausgearbeiteten Variante. Üblich ist in derartigen Büchern (eine Variante) von ZFC.

Das ist recht hübsch. Dadurch weicht die Darstellung aber doch etwas/deutlich von anderen Darstellungen "dieser Art" ab (da es in dieser Mengenlehre nicht nur Mengen gibt, sondern auch "echte Klassen" [also Klassen, die keine Mengen sind], unter anderem z. B. die Klasse V = {x : x = x} aller Mengen, oder die Russell-Klasse R = {x : x !e x}.)

Da mir ansonsten kein anderes deutschsprachige Lehrbuch der Mengenlehre bekannt ist, welchem NBG zugrunde liegt, halte ich Deine Bemerkung "alter Kram" für einigemaßen unzutreffend. Du kannst mir aber gerne derartige Lehrbücher der Mengenlehre nennen, die neueren Datums sind.

Selbst im Angelsächsischen sind "textbooks", denen NBG zugrunde liegt, eher rar. Natürlich gibt es da das Buch von Bernays selbst: "Axiomatic Set Theory" (jedoch ist die dort vorgestellte Theorie etwas "eigenwillig") und vor allem:

Mendelson, Elliott (1997), An Introduction to Mathematical Logic (4th ed.), London: Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-0-412-80830-2. - Pp. 225–86 contain the classic textbook treatment of NBG, showing how it does what we expect of set theory, by grounding relations, order theory, ordinal numbers, transfinite numbers, etc.

[Tom Bola]

Fritz Feldhase schrieb:

>> Was meinst du? Vielleicht das, was im Epilog S.91 steht (scheiss Abtipperei): [...]
>
> Ok, alles gut. Das Internet ist unser Freund, oder?

Also das Buch liegt mir vor, soll ich es Filehosten und posten?

[Tom Bola]

Fritz Feldhase schrieb:

> On Saturday, August 20, 2022 at 2:36:48 AM UTC+2, Tom Bola wrote:
>> Fritz Feldhase schrieb:
>>>
>>> Ulf Friedrichsdorf, Alexander Prestel: Mengenlehre für den Mathematiker
>>>
>>> Was ist denn das besondere Feature dieses Büchleins, das es von anderen (üblichen) Darstellungen der Mengenlehre abhebt?
>>>
>>> Na?
>>>
>> Was meinst du? Vielleicht das, was im Epilog S.91 steht (scheiss Abtipperei): [...]
>
> Ok, alles gut. Das Internet ist unser Freund, oder?
>
> Wie dem auch sei: Das Besondere an diesem Büchlein ist, dass der Darstellung die Mengenlehre NBG (Neumann-Bernays-Gödel) zugrunde liegt und zwar in der (leicht modifizierten) von Gödel ausgearbeiteten Variante. Üblich ist in derartigen Büchern (eine Variante) von ZFC.
>
> Das ist recht hübsch. Dadurch weicht die Darstellung aber doch etwas/deutlich von anderen Darstellungen "dieser Art" ab (da es in dieser Mengenlehre nicht nur Mengen gibt, sondern auch "echte Klassen" [also Klassen, die keine Mengen sind], unter anderem z. B. die Klasse V = {x : x = x} aller Mengen, oder die Russell-Klasse R = {x : x !e x}.)
>
> Da mir ansonsten kein anderes deutschsprachige Lehrbuch der Mengenlehre bekannt ist, welchem NBG zugrunde liegt, halte ich Deine Bemerkung "alter Kram" für einigemaßen unzutreffend.

Achso, nein, gemeint sollte sein altbekannter Kram.

> Du kannst mir aber gerne derartige Lehrbücher der Mengenlehre nennen, die neueren Datums sind.

Weiss nicht, aber schau mal hier da könnte was mit drin sein hinten: https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann%E2%80%93Bernays%E2%80%93G%C3%B6del_set_theory

> Selbst im Angelsächsischen sind "textbooks", denen NBG zugrunde liegt, eher rar. Natürlich gibt es da das Buch von Bernays selbst: "Axiomatic Set Theory" (jedoch ist die dort vorgestellte Theorie etwas "eigenwillig") und vor allem:
>
> Mendelson, Elliott (1997), An Introduction to Mathematical Logic (4th ed.), London: Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-0-412-80830-2. - Pp. 225–86 contain the classic textbook treatment of NBG, showing how it does what we expect of set theory, by grounding relations, order theory, ordinal numbers, transfinite numbers, etc.

Aber, Spass beiseite, das Buch hatte ich niemals gesehen oder gelesen und du bist ein ausgewiesener Mengenlehre-Kenner, ich keineswegs! ;)

[Fritz Feldhase]

:-P

Jedenfalls freut's mich, den alten Kram wieder mal rausgekramt zu haben: Man gönnt sich ja SONST nichts!

[Tom Bola]

Genau, aber hast der Klick jetzt funktioniert dafür?

Franka Miriam Brückler (auth.) - Geschichte der Mathematik kompakt
_Das Wichtigste aus Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie,
angewandter Mathematik, Topologie und Mengenlehre
-Springer Spektrum (2018).pdf

[Fritz Feldhase]

On Saturday, August 20, 2022 at 3:31:51 AM UTC+2, Tom Bola wrote:

> Franka Miriam Brückler (auth.) - Geschichte der Mathematik kompakt
> _Das Wichtigste aus Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie,
> angewandter Mathematik, Topologie und Mengenlehre
> -Springer Spektrum (2018)

Das Buch schließt mit dem Satz:

"Wir verabschieden uns hier von unseren Leserinnen und Lesern mit dem Lieblingszitat
der Autorin:

Das Wesen der Mathematik liegt in ihrer Freiheit. (G. Cantor)"

:-)

[Carlo XYZ]

Fritz Feldhase schrieb am 20.08.22 um 03:07:

> Da mir ansonsten kein anderes deutschsprachige Lehrbuch der Mengenlehre bekannt ist, welchem NBG zugrunde liegt, ...

<https://www.booklooker.de/Bücher/Jürgen-Schmidt+Mengenlehre-1-Einführung-in-die-axiomatische-Mengenlehre-Band-1-Grundgegriffe/id/A02bQknH01ZZo>

[Fritz Feldhase]

Ah, ja, an das hatte ich tatsächlich nicht gedacht.

Nur, wird darin nicht doch eher MK beschrieben? Oder bilde ich mir das nur ein?

Jedenfalls: "Monk (1980) and Rubin (1967) are set theory texts built around MK; Rubin's ontology includes urelements. These authors and Mendelson (1997: 287) submit that MK does what is expected of a set theory while being less cumbersome than ZFC and NBG."

Source: https://en.wikipedia.org/wiki/Morse%E2%80%93Kelley_set_theory

Bedauerlicherweise gibt es offenbar nicht einmal eine deutschsprachige Wikipedia-Seite zu Mengenlehre MK.

[Tom Bola]

Fritz Feldhase schrieb:

> ...

> Source: https://en.wikipedia.org/wiki/Morse%E2%80%93Kelley_set_theory
>
> Bedauerlicherweise gibt es offenbar nicht einmal eine deutschsprachige Wikipedia-Seite zu Mengenlehre MK.

... ein Ableger:
https://wiki.edu.vn/wiki13/2020/12/11/morse-kelley-mengenlehre-wikipedia/

[Fritz Feldhase]

Und warum ZUM TEUFEL gibt's das nicht als eigene (deutschsprachige) Wikipedia-Seite?!

Auf der (deutschsprachigen) Wikipedia-Seite zu John L. Kelley muss man lesen:

"Kelley befasste sich mit allgemeiner Topologie und Funktionalanalysis. Sein Buch General Topology von 1955 gilt als Klassiker. Im Anhang des Buches stellt er eine von ihm und Anthony Morse entwickelte Variante der mengentheoretischen Axiome (Morse-Kelley-Mengenlehre) dar."

Aber - natürlich - "Morse-Kelley-Mengenlehre" ohne Link. :-(

[Carlo XYZ]

Fritz Feldhase schrieb am 20.08.22 um 17:22:

>> <https://www.booklooker.de/Bücher/Jürgen-Schmidt+Mengenlehre-1-Einführung-in-die-axiomatische-Mengenlehre-Band-1-Grundgegriffe/id/A02bQknH01ZZo>

Auch
<https://www.zvab.com/buch-suchen/titel/mengenlehre-1/autor/juergen-schmidt/>

Billig für so ein gutes Buch.

> Nur, wird darin nicht doch eher MK beschrieben?

Nein.

> Oder bilde ich mir das nur ein?

Ja.

[Fritz Feldhase]

On Saturday, August 20, 2022 at 7:35:13 PM UTC+2, Carlo XYZ wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am 20.08.22 um 17:22:
>

> Auch
> <https://www.zvab.com/buch-suchen/titel/mengenlehre-1/autor/juergen-schmidt/>
>
> Billig für so ein gutes Buch.
> > Nur, wird darin nicht doch eher MK beschrieben?
> Nein.
> > Oder bilde ich mir das nur ein?
> Ja.

Keine Sorge, ich besitze das Buch schon. Habe es nur seit vielen Jahren nicht mehr in der Hand gehabt.

Ich werde das prüfen. :-P

Dann gäbe es also mind. 2 deutschsprachige ML-Bücher, der Darstellung NBG zugrunde liegt. Schade, dass Schmidt nie den/einen 2. Band publiziert hat. (Ähnliches Schicksal wie mit Gödels berühmter Arbeit und Churchs Klassiker zur mathematischen Logik.)

[JVR]

Kelley's 'General Topology' steht bei mir seit mindestens 6 Jahrzehnten auf dem Regal. Ich habe nachgeschaut, ob es wirklich noch vorhanden ist,
denn es ist lange her, dass ich zuletzt daran gedacht habe.
Ich habe aus diesem Buch mit Sicherheit nichts gelernt. Es ist in einem derart pedantisch formalistischen Stil geschrieben, dass ich dabei einschlafe.
Dies ist ein Buch über Topologie und auf Seite 85 wird Stetigkeit definiert - übrigens auf die übliche Art: The pre-image of each open set is open.
Es hat einen umfangreichen Anhang: 'Elementary Set Theory', über den alternativen Formalismus. Der Text selber basiert aber auf traditioneller Mengenlehre.
Also eindeutig ein Buch für jemand mit kompatiblem Geschmack und Interesse.

[JVR]

Es gibt einfach sehr wenige, die sich ernsthaft mit diesen Themen befassen. Das ist auch ganz natürlich.

[Fritz Feldhase]

Ich hab's mir _nur_ d e s w e g e n angeschafft. :-)

Der Anhang ist m. E. ziemlich "cool"! :-P

> Also eindeutig ein Buch für jemand mit kompatiblem Geschmack und Interesse.

Auf jeden Fall.

[Fritz Feldhase]

Warum? Sehe ich nicht so.

Jedenfalls ist es m. E. bedauerlich, das _solche_ Leute Deutschland verlassen, um anderswo (z. B. den USA) zu lehren. (-> brain drain)

Siehe: https://de.m.wikipedia.org/wiki/J%C3%BCrgen_Schmidt_(Mathematiker)

[JVR]

Das ist ein selbst-regulierendes System; da spielt sowohl Tradition, Geschmack und Mode eine Rolle;
Nutzen auch, kommt aber nicht an erster Stelle. Es ist ein sehr anspruchsvolles Gebiet mit wenig Status
und wenig Aussicht auf Forschungserfolg.

[Fritz Feldhase]

Ja.

[Martin Vaeth]

JVR <jrenne...@googlemail.com> schrieb:
>
> Kelley's 'General Topology' [...]
> Es ist in einem derart pedantisch formalistischen Stil geschrieben [...]

Das kann ich nicht bestätigen. Das Problem scheint mir eher das Alter
des Buches zu sein: *Mittlerweile* kennt man all diese Begriffe in- und
auswendig, so dass man höchstens in irgendeiner Randbemerkung einmal
etwas inhaltlich Neues findet.

Die Hauptmotivation für die spezielle Form der Mengenlehre für dieses
Buch scheint zu sein, dass Kelley das Komplement einer Menge definieren
kann (obwohl er gleich anschließend die Mengendifferenz als
"relatives Komplement" definiert). wenn man allgemeine Topologie macht,
ist das schon praktisch, wenngleich sich der Nutzen der Notation nach
heutiger Sicht eher in Grenzen hält.

> Dies ist ein Buch über Topologie und auf Seite 85 wird Stetigkeit definiert

Es ist ein Buch über allgemeine Topologie und nicht über algebraische.
Dass er vor Funktionen die Topologie einführt und bereits Grenzbegriffe
diskutiert (über Netze) und erst später Funktionen (und deren Stetigkeit)
einführt ist insofern eigentlich angemessen. Das macht man ja eigentlich
auch heute noch so in der Analysis, dass man erst Folgen und Reihen und
dann erst Funktionen betrachtet: Der Begriff der Folgenkonvergenz scheint
leichter zu erfassen zu sein als der der Stetigkeit.

> übrigens auf die übliche Art: The pre-image of each open set is open.

Er formuliert allerdings gleich darauf dann den Satz, dass dies
äquivalent dazu ist, dass Urbilder von Umgebungen Umgebungen sind und
benutzt diesen zur Definition der punktweisen Stetigkeit, wobei er
in einer Fussnote erwähnt, was dabei für Funktionen zu beachten ist,
die nur auf einer Teilmenge des Raums definiert sind. Mit Sicherheit
findet sich später auch ein Satz für diesen Fall mit der
Relativtopologie. Sicher ist das alles trivial, aber wie gesagt:
Eigentlich ist aufgrund des Alters des Buches der gesamte Inhalt
inzwischen trivial.

[JVR]

Ernsthaft mit der Topologie wurde ich konfrontiert in der Vorlesung von R.H.Bing
auf dem 'first year graduate' Niveau. Das war ein wirklich kurioses Erlebnis:

Bing war ein Schüler von R.L. Moore, von dem er seine Lehrmethode übernommen haben
soll. Es gab kein Lehrbuch und er trug auch nicht vor. Es gab nur eine Liste von Aufgaben.
Der Ablauf einer Vorlesungsstunde war immer so, dass ein Student vortrug und Bing
kommentierte. - Es gibt Leute, die können auf diese Art lernen, andere nicht. Ich suchte
nach einem Lehrbuch und schaffte das von Kelley an, ohne zu wissen, dass der auch so
seine Macken hatte. Es gelang mir natürlich nicht zwischen Kelley's idiosynkratischer
Darstellung und Bings noch idiosynkratischerer eine Koinzidenz zu entdecken. Kurioserweise
lernte ich dabei aber allerlei.

https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00029890.1974.11993516
http://www.nasonline.org/publications/biographical-memoirs/memoir-pdfs/bing-r-h.pdf

Wenn ich schon mal dran bin Kuriositäten zu erzählen:
Ganz zufällig gab es damals an der U. of Wisconsin außer Bing noch jemand aus Moore's
Schule. Das war Mary Ellen Rudin, Walter Rudins Frau. Weil Walter Rudin an der U.W. Professor war,
durfte seine Frau nicht gleichzeitig angestellt werden - das war damals die Regel. Jahre später wurde
sie ebenfalls Professorin und soll eine ganz wunderbare Lehrerin gewesen sein. Ihr Gebiet was
ebenfalls 'point set topology'. Ihre Aussage zu Moore's Methodik:

"His way of teaching was to present you with things that had not yet been proved, and with all kinds
of things which might turn out to have a counterexample, and sometimes unsolved problems - that is,
unsolved by anyone, not only unsolved by you. So you had some idea of what it meant to be a
mathematician - more than the average undergraduate does today."
Und:
"I wouldn't for anything have let my children go to school with Moore! That is, I think that he
was destructive to anyone who didn't fit exactly into his pattern, he did not succeed in giving
the people that worked with him an education. It's a mistake to go to school under those
circumstances in general."

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Rudin/
https://www.ams.org/notices/201506/rnoti-p617.pdf

Mary Ellen Rudin stammte aus Texas. Walter Rudin war als junger Mann aus dem tausendjährigen
Reich geflüchtet. Er hat eine lesenswerte Autobiographie geschrieben:
https://www.amazon.com/Way-Remember-History-Mathematics-V/dp/0821806335

[paule32]

was ist unter "idiosynkratischer" zu Verstehen ?

paule32

[JVR]

On Sunday, August 21, 2022 at 10:48:29 AM UTC+2, paule32 wrote:
> was ist unter "idiosynkratischer" zu Verstehen ?
>
> paule32

"Eigenwillig" - nicht unbedingt negativ zu verstehen.

Die Wirkung Ist im Wissenschaftsbetrieb und in der Pädagogik aber
meistens negativ, weil es den Zugang erschwert und zur Sektenbildung einlädt.

[Martin Vaeth]

JVR <jrenne...@googlemail.com> schrieb:

>
> Es gab kein Lehrbuch und er trug auch nicht vor.

Ersteres halte ich für normal, zweiteres für problematisch:
Als Student braucht man m.E. erst einemal handfeste Definitionen und
die wichtigsten daraus abgeleiteten Sätze, um dann später ein Gefühl
entwickeln zu können, was gilt.

> Das war Mary Ellen Rudin, Walter Rudins Frau.

Ah ja: Ein kurzer und verständlicher Beweis des Satzes von Stone
(alle metrischen Räume sind parakompakt); und das erste Beispiel
eines Dowker-Raums (ein normaler Raum mit nicht-normalem
Produkt mit [0,1]). Inzwischen gibt es für letztere Kuriosität wohl
einfachere Beispiele, für ersteres leider keinen besseren Beweis
(etwa ohne AC).

> "His way of teaching was to present you with things that had
> not yet been proved, and with all kinds of things which might

> turn out to have a counterexample, and sometimes unsolved problems..."

Manche lernen fast nur aus Vortragen, andere nur, wenn sie die Dinge
exakt nachlesen können.
Ich gehöre eindeutig zur zweiten Gruppe: Insbesondere passiert es
mir häufig, dass ich über eine Sache nachdenke und dadurch das
Nächste nicht mitbekomme und den Anschluss verliere.
Aber einige der besten Mathematiker, die ich kenne, gehören zur
ersten: Insbesondere können diese mitten in einem Vortrag kommen,
der nicht aus ihrem engsten Gebiet ist, und haben danach i.W.
trotzdem noch alles verstanden.

[JVR]

On Sunday, August 21, 2022 at 10:48:29 AM UTC+2, paule32 wrote:

> was ist unter "idiosynkratischer" zu Verstehen ?
>
> paule32

Zum Buch von Kelley kann ich im übrigen nichts sagen.
Ich habe damit nichts anfangen können, das muss gar nichts bedeuten.

[Tom Bola]

JVR schrieb:

Ein, je nach Geschmack womöglich "kurioses", Detail: in dem Buch kommt nicht
ein einziges Mal das Wort "infinity" vor und genau fünf Mal das Wortfragment
"infinit" und zwar auf den Seiten
103 infinite (series)
159 infinite (cardinals)
167 infinitely (many rational numbers)
172 infinite (length, [curve of ~])
190 infinite (volume)

[Ralf Goertz]

Am Sun, 21 Aug 2022 02:13:18 -0700 (PDT)
schrieb JVR <jrenne...@googlemail.com>:

> On Sunday, August 21, 2022 at 10:48:29 AM UTC+2, paule32 wrote:
> > was ist unter "idiosynkratischer" zu Verstehen ?
> >
> > paule32
>
> "Eigenwillig" - nicht unbedingt negativ zu verstehen.

Dieses Wort hat mir schon immer Rätsel aufgegeben. Ich hatte als
Erklärung als erstes die Bedeutung „unerträgliche Abneigung“ gefunden,
als zweites Überempfindlichkeit. (Auf duden.de ist die Reihenfolge
allerdings vertauscht:
<https://www.duden.de/rechtschreibung/Idiosynkrasie>, die Bedeutung
des Adjektivs ist aber entsprechend.) Jedenfalls passte nie eine der
beiden Bedeutungen zu dem Kontext, in dem ich das Wort gelesen oder
gehört hatte (so wie auch in deinem Post). Tatsächlich finde ich aber
auf leo.de, dass alle Übersetzungen für das englische Wort idiosnycratic
(natürlich bis auf „idiosynkratisch“ selbst) mehr oder weniger synonym
zu „eigenwillig“ sind, dessen erste Rückübersetzung ins Englische ist
„peculiar“, was ich selbst auch eher für dafür verwenden würde. Da du ja
nach eigener Aussage hier (IIRC) native Englischkenntnisse hast, wird
„idiosyncratic“ je im Sinne von „unerträglich abgeneigt“ oder
„überempfindlich“ gebraucht? Das Substantiv scheint die Bedeutungen ja
noch zu haben, obwohl auch da „Eigenart“ und Co an erster Stelle

stehen.

> Die Wirkung Ist im Wissenschaftsbetrieb und in der Pädagogik aber
> meistens negativ, weil es den Zugang erschwert und zur Sektenbildung
> einlädt.

Das passt natürlich zu „abgeneigt“.

[JVR]

Der Normalfall ist natürlich, dass ein topologischer Raum unendlich ist.
Stetigkeit und Konvergenz sind im diskreten Raum nicht sehr interessant.

[Carlo XYZ]

Ralf Goertz schrieb am 21.08.22 um 12:10:

> Dieses Wort hat mir schon immer Rätsel aufgegeben. Ich hatte als
> Erklärung als erstes die Bedeutung „unerträgliche Abneigung“ gefunden,
> als zweites Überempfindlichkeit. (Auf duden.de ist die Reihenfolge
> allerdings vertauscht:
> <https://www.duden.de/rechtschreibung/Idiosynkrasie>, die Bedeutung
> des Adjektivs ist aber entsprechend.) Jedenfalls passte nie eine der
> beiden Bedeutungen zu dem Kontext, in dem ich das Wort gelesen oder
> gehört hatte (so wie auch in deinem Post). Tatsächlich finde ich aber
> auf leo.de, dass alle Übersetzungen für das englische Wort idiosnycratic
> (natürlich bis auf „idiosynkratisch“ selbst) mehr oder weniger synonym
> zu „eigenwillig“ sind, dessen erste Rückübersetzung ins Englische ist
> „peculiar“, was ich selbst auch eher für dafür verwenden würde. Da du ja
> nach eigener Aussage hier (IIRC) native Englischkenntnisse hast, wird
> „idiosyncratic“ je im Sinne von „unerträglich abgeneigt“ oder
> „überempfindlich“ gebraucht? Das Substantiv scheint die Bedeutungen ja
> noch zu haben, obwohl auch da „Eigenart“ und Co an erster Stelle
> stehen.

An idiosyncratic lecture ist eine, die "zu der - evtl. sonderlichen -
Persönlichkeit des Vortragenden passt". "Eigenwillig" trifft das ganz
gut. Man erwartet, dass es den üblichen Stil des Sprechers betrifft.
"Idiosyncrasy" ist in der Regel eine eine Person betreffende
Eigenschaft, an der man ggfs. sogar die Person erkennen könnte.

A peculiar lecture ist eher ein "sonderbarer Vortrag". Das könnte viele
verschiedene Gründe haben und muss sich nicht regelmäßig wiederholen.

[JVR]

Ich war auch überrascht, dass der Duden dem Wort ausschließlich negative
Bedeutungen zuschreibt - der ältere gedruckte Duden ebenfalls. Im Englischen
wird es bestimmt nicht so gebraucht und die Duden-Leute kennen die deutsche
Sprache besser als ich.
In England wird 'eccentric' als Charaktereigenschaft oft positiv gewertet und
'idiosyncratic' bedeutet ungefähr dasselbe.

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Samstag, 20. August 2022 um 00:44:33 UTC+2:
> On Friday, August 19, 2022 at 10:41:14 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> > Du scheinst zwischen MatheRealismus und klassischer Mathematik zu schwanken. Im MatheRealism hat die Folge der natürlichen Zahlen Lücken. Beispiel Taschenrechner: Dort existiert 10^80, aber nicht 7095694586987569756. In der klassischen Mathematik wird der Anfangsabschnitt einer definierten Zahl (es gibt, wie man oben sieht, auch andere Definitionen, siehe z. B. https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf) als existent angenommen.

> Das ist vielleicht GanzHintermWald so. Sonst war das gestern
>
Übliche Taschenrechner haben ein zehnstelliges Display.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Samstag, 20. August 2022 um 00:50:23 UTC+2:
> On Friday, August 19, 2022 at 10:41:14 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > Beispiel Taschenrechner: Dort existiert 10^80, aber nicht 7095694586987569756.

> Wann hast Du das letzte Mal den "Taschenechner" (Einstellung: Wissenschaftlich) unter Windows 10 aufgerufen?

Ich meine einen Taschenrechner, den man in die Tasche stecken kann. Falls Du sowas nicht mehr kennst: Es gab sie vor ca. 20 Jahren noch.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 19. August 2022 um 23:09:54 UTC+2:
> On Friday, August 19, 2022 at 10:44:28 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 19. August 2022 um 21:14:58 UTC+2:
> > > On Friday, August 19, 2022 at 8:58:39 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > > >
> > > > Jede [natürliche] Zahl mit Anfangsabschnitt ist definierbar. (*)
> > > >
> > > Also sind ALLE natürlichen Zahlen definierbar. (**)
> > >
> > Nein,

> nach von Neumann sind die natürlichen Zahlen so definiert, dass n+1 ein (endlicher) Anfangsabschnitt mit max(A) = n ist (für jedes n e IN).
>
> Da mit n e IN auch n u {n} = n+1 e IN ist, gibt es zu jedem n e IN einen (endlichen) Angangsabschnitt A (nämlich n+1 e IN), so dass n = max(A) gilt.
>
> Langer Rede kurzer Sinn: Es gilt:
>
> An e IN: Em e IN: endlicherAnfangsabschnitt(m) & n = max(m). (***)
>
> Ein paar Beispiele:
>
> 0 e {0} = 1 = 0 + 1
> 1 e {0, 1} = 2 = 1 + 1
> 2 e {0, 1, 2} = 3 = 2 + 1
> usw.

Es gibt keine definierbare natürliche Zahl, die jenseits dieser Leiter liegt, also größer als alle von-Neumann-Zahlen wäre. Trotzdem liegen fast alle natürlichen Zahlen jenseits dieser Leiter.

Beweis: Deine Röhre, die niemals leer wird, also in allen Zuständen etwas aus dem ersten Zustand enthält. Wer das bestreitet ist ein Orthodochse.

Gruß, WM

[paule32]

Am 21.08.2022 um 11:16 schrieb Martin Vaeth:

> Manche lernen fast nur aus Vortragen, andere nur, wenn sie die Dinge
> exakt nachlesen können.
> Ich gehöre eindeutig zur zweiten Gruppe: Insbesondere passiert es
> mir häufig, dass ich über eine Sache nachdenke und dadurch das
> Nächste nicht mitbekomme und den Anschluss verliere.
> Aber einige der besten Mathematiker, die ich kenne, gehören zur
> ersten: Insbesondere können diese mitten in einem Vortrag kommen,
> der nicht aus ihrem engsten Gebiet ist, und haben danach i.W.
> trotzdem noch alles verstanden.

hehe, da bin ich einer von.
Von meinen ersten Compiler (Lesestoff) aus dem Drachenbuch, was nicht
mehr gedruckt wird, wurden auch immer erst Einführungen und Praktiken
aufgezeigt.

Leider kam es mir so vor, als hätten die Authoren schon Erfahrung in
diesen Gebiet und wussten, was denn nun kommen sollte.

Ein armer Student, der beides - also duale Ausbildung, so wie ich sie
genossen habe, ist fester, und besser erlernbar.

Man bekommt Begriffe und Techniken angehäuft, und in mehrere kleinen
Happen wurde dann das praktische erlernt.

Das war dann etwa 40 zu 40, Rest war Kreativität.

Das fand ich eigentlich recht unterhaltsam - weil man nicht (wie immer)
erstmal ALLES lesen musste...

Gruß, paule32