info
Grupy dyskusyjne Google nie obsługują już nowych postów ani subskrypcji z Usenetu. Treści historyczne nadal będą dostępne.
Dismiss
2 Kreise gegeben, 3. Kreis soll die ersten beiden berühren
94 wyświetlenia
Przejdź do pierwszej nieodczytanej wiadomości
Stephan Gerlach
27 gru 2022, 17:31:0927.12.2022
do
Ausgehend von der hier kürzlich veröffentlichen Aufgabe zum
Malfatti-Kreis (siehe den Faden "Noch etwas Geometrie") einige davon
abgewandelte Aufgaben, die beim Lösungsversuch hätten weiterhelfen
können (was sie aber nicht taten). Wirklich schwer sind die nicht (vor
allem a)), eher Aufgaben für "zwischendurch mal schnell lösen":
Gegeben sind 2 Kreise k1 und k2 (mit i.a. unterschiedlichen Radien r1
und r2), die sich in genau einem Punkt P berühren. Dabei sollen die
Kreise "auseinander" liegen, d.h. kein Kreis ist im anderen Kreis enthalten.
a) Konstruiere eine Gerade, die Tangente an k1 und k2 ist.
(Einfach "Lineal außen an die beiden Kreise anlegen" zählt nicht als
Konstruktion.)
b) Gegeben sei ein (dritter) Radius r3. Konstruiere einen Kreis k3 mit
dem Radius r3, der die ersten beiden Kreise in je genau einem Punkt
berührt. Dabei sollen k1 und k2 nicht in k3 enthalten sein.
c) Man bestimme die Menge aller Punkte, die Mittelpunkte von möglichen
Kreisen k3 (siehe Aufgabe b)) sind.
O.b.d.A. kann dabei ein Koordinatensystem angenommen werden, in dem der
Berührpunkt P(0;0) ist, r1=1, r2=r>1 sowie die Mittelpunkte M1(0;1) und
M2(0;-r); d.h. der größere Kreis liegt unterhalb und der kleinere Kreis
oberhalb der x-Achse.
--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Malfatti-Kreis (siehe den Faden "Noch etwas Geometrie") einige davon
abgewandelte Aufgaben, die beim Lösungsversuch hätten weiterhelfen
können (was sie aber nicht taten). Wirklich schwer sind die nicht (vor
allem a)), eher Aufgaben für "zwischendurch mal schnell lösen":
Gegeben sind 2 Kreise k1 und k2 (mit i.a. unterschiedlichen Radien r1
und r2), die sich in genau einem Punkt P berühren. Dabei sollen die
Kreise "auseinander" liegen, d.h. kein Kreis ist im anderen Kreis enthalten.
a) Konstruiere eine Gerade, die Tangente an k1 und k2 ist.
(Einfach "Lineal außen an die beiden Kreise anlegen" zählt nicht als
Konstruktion.)
b) Gegeben sei ein (dritter) Radius r3. Konstruiere einen Kreis k3 mit
dem Radius r3, der die ersten beiden Kreise in je genau einem Punkt
berührt. Dabei sollen k1 und k2 nicht in k3 enthalten sein.
c) Man bestimme die Menge aller Punkte, die Mittelpunkte von möglichen
Kreisen k3 (siehe Aufgabe b)) sind.
O.b.d.A. kann dabei ein Koordinatensystem angenommen werden, in dem der
Berührpunkt P(0;0) ist, r1=1, r2=r>1 sowie die Mittelpunkte M1(0;1) und
M2(0;-r); d.h. der größere Kreis liegt unterhalb und der kleinere Kreis
oberhalb der x-Achse.
--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Michael Koch
28 gru 2022, 06:14:4928.12.2022
do
Stephan Gerlach schrieb am Dienstag, 27. Dezember 2022 um 23:31:09 UTC+1:
> Gegeben sind 2 Kreise k1 und k2 (mit i.a. unterschiedlichen Radien r1
> und r2), die sich in genau einem Punkt P berühren. Dabei sollen die
> Kreise "auseinander" liegen, d.h. kein Kreis ist im anderen Kreis enthalten.
>
> a) Konstruiere eine Gerade, die Tangente an k1 und k2 ist.
> (Einfach "Lineal außen an die beiden Kreise anlegen" zählt nicht als
> Konstruktion.)
Man zeichnet die Gerade die durch beide Kreismittelpunkte und den Punkt P geht. Die gesuchte Tangente ist rechtwinklig zu dieser Geraden und geht durch Punkt P. Das ist zwar möglicherweise nicht die Tangente die du gemeint hast, aber dann hättest du die Aufgabe genauer stellen müssen.
> Gegeben sind 2 Kreise k1 und k2 (mit i.a. unterschiedlichen Radien r1
> und r2), die sich in genau einem Punkt P berühren. Dabei sollen die
> Kreise "auseinander" liegen, d.h. kein Kreis ist im anderen Kreis enthalten.
>
> a) Konstruiere eine Gerade, die Tangente an k1 und k2 ist.
> (Einfach "Lineal außen an die beiden Kreise anlegen" zählt nicht als
> Konstruktion.)
Gruß
Michael
Michael Koch
28 gru 2022, 07:15:1728.12.2022
do
Stephan Gerlach schrieb am Dienstag, 27. Dezember 2022 um 23:31:09 UTC+1:
> b) Gegeben sei ein (dritter) Radius r3. Konstruiere einen Kreis k3 mit
> dem Radius r3, der die ersten beiden Kreise in je genau einem Punkt
> berührt. Dabei sollen k1 und k2 nicht in k3 enthalten sein.
Auf irgendeiner Geraden misst man mit dem Zirkel die Längen r4 = r1 + r3 und r5 = r2 + r3 ab. Man zeichnet einen Kreis mit Radius r4 um den Mittelpunkt von k1, sowie einen Kreis mit Radius r5 um den Mittelpunkt von k2. Die Schnittpunkte der beiden Kreise sind die Mittelpunkte der gesuchten Kreise k3.
> dem Radius r3, der die ersten beiden Kreise in je genau einem Punkt
> berührt. Dabei sollen k1 und k2 nicht in k3 enthalten sein.
Gruß
Michael
Stephan Gerlach
28 gru 2022, 09:12:1828.12.2022
do
Michael Koch schrieb:
nicht gemeint.
> Das ist zwar möglicherweise nicht die Tangente die du gemeint hast,
> aber dann hättest du die Aufgabe genauer stellen müssen.
Die Tangente soll *nicht* die Tangente im Berührpunkt P der Kreise sein.
Stattdessen sollen die beiden Berührpunkte mit k1 und k2 unterschiedlich
sein.
> Stephan Gerlach schrieb am Dienstag, 27. Dezember 2022 um 23:31:09 UTC+1:
>
>> Gegeben sind 2 Kreise k1 und k2 (mit i.a. unterschiedlichen Radien r1
>> und r2), die sich in genau einem Punkt P berühren. Dabei sollen die
>> Kreise "auseinander" liegen, d.h. kein Kreis ist im anderen Kreis enthalten.
>>
>> a) Konstruiere eine Gerade, die Tangente an k1 und k2 ist.
>> (Einfach "Lineal außen an die beiden Kreise anlegen" zählt nicht als
>> Konstruktion.)
>
> Man zeichnet die Gerade die durch beide Kreismittelpunkte und den Punkt P geht.
> Die gesuchte Tangente ist rechtwinklig zu dieser Geraden und geht durch Punkt P.
An diesen Trivialfall hatte ich tatsächlich nicht gedacht, bzw. das war
>
>> Gegeben sind 2 Kreise k1 und k2 (mit i.a. unterschiedlichen Radien r1
>> und r2), die sich in genau einem Punkt P berühren. Dabei sollen die
>> Kreise "auseinander" liegen, d.h. kein Kreis ist im anderen Kreis enthalten.
>>
>> a) Konstruiere eine Gerade, die Tangente an k1 und k2 ist.
>> (Einfach "Lineal außen an die beiden Kreise anlegen" zählt nicht als
>> Konstruktion.)
>
> Man zeichnet die Gerade die durch beide Kreismittelpunkte und den Punkt P geht.
> Die gesuchte Tangente ist rechtwinklig zu dieser Geraden und geht durch Punkt P.
nicht gemeint.
> Das ist zwar möglicherweise nicht die Tangente die du gemeint hast,
> aber dann hättest du die Aufgabe genauer stellen müssen.
Stattdessen sollen die beiden Berührpunkte mit k1 und k2 unterschiedlich
sein.
Udo
28 gru 2022, 10:25:2628.12.2022
do
Stephan Gerlach schrieb am Dienstag, 27. Dezember 2022 um 23:31:09 UTC+1:
> Gegeben sind 2 Kreise k1 und k2 (mit i.a. unterschiedlichen Radien r1
> und r2), die sich in genau einem Punkt P berühren. Dabei sollen die
> Kreise "auseinander" liegen, d.h. kein Kreis ist im anderen Kreis enthalten.
>
> a) Konstruiere eine Gerade, die Tangente an k1 und k2 ist.
> (Einfach "Lineal außen an die beiden Kreise anlegen" zählt nicht als
> Konstruktion.)
Nette Aufgabe!
> und r2), die sich in genau einem Punkt P berühren. Dabei sollen die
> Kreise "auseinander" liegen, d.h. kein Kreis ist im anderen Kreis enthalten.
>
> a) Konstruiere eine Gerade, die Tangente an k1 und k2 ist.
> (Einfach "Lineal außen an die beiden Kreise anlegen" zählt nicht als
> Konstruktion.)
a) Konstruktion der Tangente(n):
Von einem Punkt S aus gibt es zwei Tangenten, die beide Kreise berühren.
O.b.b.A. legen wir den Mittelpunkt M1 des größeren Kreises (K1) in den Ursprung
eines kartesischen Koordinatensystems.
Den Mittelpunkt M2 des kleineren Kreises (K2) rechts so daneben, dass sich die
beiden Kreise von außen im Punkt P berühren (kissing circles).
Skizze mit Lösung:
https://ibb.co/TkYT6Rz
(1) Zeichne eine beliebige schräge Gerade g1, die durch M1 geht und K1
(z.B. im zweiten Quadranten) in S1 (und S4) schneidet:
g1(M1 ϵ g1) ∩ K1 ==> S1, S4
(2) Zeichne eine Parallele zu g1 urch M2, die K2 in S2 (und S3) schneidet: g2
(g2(M2 ϵ g2) || g1) ∩ K1 ==> S2, S3
(3) Die Gerade durch S1-S2 schneidet die x-Achse in Punkt P. Dier Punkt kann
als Streckzentrum für eine zentrische Streckung betrachtet werden.
h(S1, S2 ϵ h) ∩ (y=0: x-Achse) ==> P (Streckzentrum)
(4) Zeichne Thaleskreis KTh um Mittelpunkt der Strecke M2-S.
Der Schnittpunkt B mit K2 ist der Berührpunkt der Tangente t von S aus
an den Kreis K2.
ThK(M2-S) ∩ K2 ==> B
(5) Gerade S-B ist eine der Tangenten an beide Kreise von S aus.
t(S, B ϵ t1) == Tangente(K1, K2)
Grüße Udo
Udo
28 gru 2022, 11:18:2928.12.2022
do
Stephan Gerlach schrieb am Dienstag, 27. Dezember 2022 um 23:31:09 UTC+1:
...
> Gegeben sind 2 Kreise k1 und k2 (mit i.a. unterschiedlichen Radien r1
> und r2), die sich in genau einem Punkt P berühren. Dabei sollen die
> Kreise "auseinander" liegen, d.h. kein Kreis ist im anderen Kreis enthalten.
> ...
> und r2), die sich in genau einem Punkt P berühren. Dabei sollen die
> Kreise "auseinander" liegen, d.h. kein Kreis ist im anderen Kreis enthalten.
> b) Gegeben sei ein (dritter) Radius r3. Konstruiere einen Kreis k3 mit
> dem Radius r3, der die ersten beiden Kreise in je genau einem Punkt
> berührt. Dabei sollen k1 und k2 nicht in k3 enthalten sein.
Gegegeben:
> dem Radius r3, der die ersten beiden Kreise in je genau einem Punkt
> berührt. Dabei sollen k1 und k2 nicht in k3 enthalten sein.
Kreis K1 mit Radius r1
Kreis K2 mit Radius r2
Radius r3 des dritten Kreises, der die beiden anderen außen berühren soll.
Skizze mit Lösung:
https://ibb.co/h98HffS
Zeichne neuen Kreis KN1 mit Mittelpunkt M1 und Radius (r1 + r3)
Zeichne neuen Kreis KN2 mit Mittelpunkt M2 und Radius (r2 + r3)
Die Schnittpunkte dieser beiden Kreise sind die Mittelpunkte
der zwei möglichen Berührkreise.
KN1 ∩ KN2 ==> M3, M4
Stefan Schmitz
28 gru 2022, 13:22:1928.12.2022
do
Am 28.12.2022 um 16:25 schrieb Udo:
> Stephan Gerlach schrieb am Dienstag, 27. Dezember 2022 um 23:31:09 UTC+1:
>
>> Gegeben sind 2 Kreise k1 und k2 (mit i.a. unterschiedlichen Radien r1
>> und r2), die sich in genau einem Punkt P berühren. Dabei sollen die
>> Kreise "auseinander" liegen, d.h. kein Kreis ist im anderen Kreis enthalten.
>>
>> a) Konstruiere eine Gerade, die Tangente an k1 und k2 ist.
>> (Einfach "Lineal außen an die beiden Kreise anlegen" zählt nicht als
>> Konstruktion.)
>
> Nette Aufgabe!
>
> a) Konstruktion der Tangente(n):
> Von einem Punkt S aus gibt es zwei Tangenten, die beide Kreise berühren.
Aber sicher nicht von jedem Punkt S.
> Stephan Gerlach schrieb am Dienstag, 27. Dezember 2022 um 23:31:09 UTC+1:
>
>> Gegeben sind 2 Kreise k1 und k2 (mit i.a. unterschiedlichen Radien r1
>> und r2), die sich in genau einem Punkt P berühren. Dabei sollen die
>> Kreise "auseinander" liegen, d.h. kein Kreis ist im anderen Kreis enthalten.
>>
>> a) Konstruiere eine Gerade, die Tangente an k1 und k2 ist.
>> (Einfach "Lineal außen an die beiden Kreise anlegen" zählt nicht als
>> Konstruktion.)
>
> Nette Aufgabe!
>
> a) Konstruktion der Tangente(n):
> Von einem Punkt S aus gibt es zwei Tangenten, die beide Kreise berühren.
> O.b.b.A. legen wir den Mittelpunkt M1 des größeren Kreises (K1) in den Ursprung
> eines kartesischen Koordinatensystems.
> Den Mittelpunkt M2 des kleineren Kreises (K2) rechts so daneben, dass sich die
> beiden Kreise von außen im Punkt P berühren (kissing circles).
>
> Skizze mit Lösung:
> https://ibb.co/TkYT6Rz
>
> (1) Zeichne eine beliebige schräge Gerade g1, die durch M1 geht und K1
> (z.B. im zweiten Quadranten) in S1 (und S4) schneidet:
> g1(M1 ϵ g1) ∩ K1 ==> S1, S4
>
> (2) Zeichne eine Parallele zu g1 urch M2, die K2 in S2 (und S3) schneidet: g2
> (g2(M2 ϵ g2) || g1) ∩ K1 ==> S2, S3
>
> (3) Die Gerade durch S1-S2 schneidet die x-Achse in Punkt P. Dier Punkt kann
durch S1-S3. Aber warum ist P ist der Schnittpunkt?
> als Streckzentrum für eine zentrische Streckung betrachtet werden.
> h(S1, S2 ϵ h) ∩ (y=0: x-Achse) ==> P (Streckzentrum)
> (4) Zeichne Thaleskreis KTh um Mittelpunkt der Strecke M2-S.
> Der Schnittpunkt B mit K2 ist der Berührpunkt der Tangente t von S aus
> an den Kreis K2.
> ThK(M2-S) ∩ K2 ==> B
Mitte von M1 und S.
Udo
28 gru 2022, 14:07:4228.12.2022
do
Stefan Schmitz schrieb am Mittwoch, 28. Dezember 2022 um 19:22:19 UTC+1:
> > (3) Die Gerade durch S1-S2 schneidet die x-Achse in Punkt P ...
Die Gerade S1-S2 schneidet die x-Achse in Punkt S, nicht(!!) in Punkt P, wie
in der Eile von mir angegeben.
Damit habe ich das Streckzentrum S der zentrischen Streckung gefunden.
Kostruktion nochmals in Stichworten:
Beliebige Gerade g1 (nicht senkrecht, nicht waagerecht) durch M1,
Schnittpunkt mit dem Kreis K1 liefert Schnittpunkt S1 (und S4).
Parallele zu g1 durch M2, Schnittpunkt mit K2 liefert
Schnittpunkt S2 (und S3).
Die Gerade S1-S2 schneidet die x-Achse bei S (nicht P, wie von mir
oben fäschlicherweise geschrieben), dem Streckzentrum.
Thaleskreis über M2-S wird mit K2 geschnitten, liefert den
Berührpunkt B.
Die Gerade S-B ist die gesuchte Tangente an beide Kreise
(zumindestz eine davon, es gibt unterhalb der x-Achse natürlich
eine weitere Tangente).
Sorry nochmals für den Verwirrung stiftenden Tippfehler.
> > (3) Die Gerade durch S1-S2 schneidet die x-Achse in Punkt P ...
> Das ist auf deiner Skizze aber nicht so. Vermutlich meinst du die Gerade
> durch S1-S3. Aber warum ist P ist der Schnittpunkt?
Ich bitte um Entschuldigung, da hat ein Tipp-Fehler für Verwirrung gesorgt.
> durch S1-S3. Aber warum ist P ist der Schnittpunkt?
Die Gerade S1-S2 schneidet die x-Achse in Punkt S, nicht(!!) in Punkt P, wie
in der Eile von mir angegeben.
Damit habe ich das Streckzentrum S der zentrischen Streckung gefunden.
Kostruktion nochmals in Stichworten:
Beliebige Gerade g1 (nicht senkrecht, nicht waagerecht) durch M1,
Schnittpunkt mit dem Kreis K1 liefert Schnittpunkt S1 (und S4).
Parallele zu g1 durch M2, Schnittpunkt mit K2 liefert
Schnittpunkt S2 (und S3).
Die Gerade S1-S2 schneidet die x-Achse bei S (nicht P, wie von mir
oben fäschlicherweise geschrieben), dem Streckzentrum.
Thaleskreis über M2-S wird mit K2 geschnitten, liefert den
Berührpunkt B.
Die Gerade S-B ist die gesuchte Tangente an beide Kreise
(zumindestz eine davon, es gibt unterhalb der x-Achse natürlich
eine weitere Tangente).
Sorry nochmals für den Verwirrung stiftenden Tippfehler.
Dieter Heidorn
28 gru 2022, 16:07:2828.12.2022
do
Udo schrieb:
wenn man jetzt noch bedenkt, dass der Betrag der Differenz der Abstände
von M3 zu M1 und M2 bzw. M4 zu M1 und M2 konstant ist:
| M3M1 - M3M2 | = | (r1 + r3) - (r2 + r3) | = | r1 - r2 | = const
(für M4 entsprechend)
dann kann auch Stephans dritte Aufgabe:
> c) Man bestimme die Menge aller Punkte, die Mittelpunkte von möglichen Kreisen k3 (siehe Aufgabe b)) sind.
gelöst werden: Es handelt sich um eine Hyperbel mit
a = | r1 - r2 | / 2.
Gruß,
Dieter.
> Stephan Gerlach schrieb am Dienstag, 27. Dezember 2022 um 23:31:09 UTC+1:
> ...
>> Gegeben sind 2 Kreise k1 und k2 (mit i.a. unterschiedlichen Radien r1
>> und r2), die sich in genau einem Punkt P berühren. Dabei sollen die
>> Kreise "auseinander" liegen, d.h. kein Kreis ist im anderen Kreis enthalten.
>> ...
>> b) Gegeben sei ein (dritter) Radius r3. Konstruiere einen Kreis k3 mit
>> dem Radius r3, der die ersten beiden Kreise in je genau einem Punkt
>> berührt. Dabei sollen k1 und k2 nicht in k3 enthalten sein.
>
> Gegegeben:
> Kreis K1 mit Radius r1
> Kreis K2 mit Radius r2
> Radius r3 des dritten Kreises, der die beiden anderen außen berühren soll.
>
> Skizze mit Lösung:
> https://ibb.co/h98HffS
>
> Zeichne neuen Kreis KN1 mit Mittelpunkt M1 und Radius (r1 + r3)
> Zeichne neuen Kreis KN2 mit Mittelpunkt M2 und Radius (r2 + r3)
>
> Die Schnittpunkte dieser beiden Kreise sind die Mittelpunkte
> der zwei möglichen Berührkreise.
> KN1 ∩ KN2 ==> M3, M4
>
Hallo Udo,
> ...
>> Gegeben sind 2 Kreise k1 und k2 (mit i.a. unterschiedlichen Radien r1
>> und r2), die sich in genau einem Punkt P berühren. Dabei sollen die
>> Kreise "auseinander" liegen, d.h. kein Kreis ist im anderen Kreis enthalten.
>> ...
>> b) Gegeben sei ein (dritter) Radius r3. Konstruiere einen Kreis k3 mit
>> dem Radius r3, der die ersten beiden Kreise in je genau einem Punkt
>> berührt. Dabei sollen k1 und k2 nicht in k3 enthalten sein.
>
> Gegegeben:
> Kreis K1 mit Radius r1
> Kreis K2 mit Radius r2
> Radius r3 des dritten Kreises, der die beiden anderen außen berühren soll.
>
> Skizze mit Lösung:
> https://ibb.co/h98HffS
>
> Zeichne neuen Kreis KN1 mit Mittelpunkt M1 und Radius (r1 + r3)
> Zeichne neuen Kreis KN2 mit Mittelpunkt M2 und Radius (r2 + r3)
>
> Die Schnittpunkte dieser beiden Kreise sind die Mittelpunkte
> der zwei möglichen Berührkreise.
> KN1 ∩ KN2 ==> M3, M4
>
wenn man jetzt noch bedenkt, dass der Betrag der Differenz der Abstände
von M3 zu M1 und M2 bzw. M4 zu M1 und M2 konstant ist:
| M3M1 - M3M2 | = | (r1 + r3) - (r2 + r3) | = | r1 - r2 | = const
(für M4 entsprechend)
dann kann auch Stephans dritte Aufgabe:
> c) Man bestimme die Menge aller Punkte, die Mittelpunkte von möglichen Kreisen k3 (siehe Aufgabe b)) sind.
a = | r1 - r2 | / 2.
Gruß,
Dieter.
Stefan Schmitz
28 gru 2022, 16:34:2528.12.2022
do
ist, M2-B der Radius ist und S-B senkrecht dazu ist.
Aber warum ist es auch eine Tangente zu K1?
Udo
28 gru 2022, 17:46:4428.12.2022
do
Stefan Schmitz schrieb am Mittwoch, 28. Dezember 2022 um 22:34:25 UTC+1:
> >
> > Die Gerade S-B ist die gesuchte Tangente an beide Kreise
> > (zumindestz eine davon, es gibt unterhalb der x-Achse natürlich
> > eine weitere Tangente).
> Eine Tangente zu K2 ist es nach Konstruktion, weil B ein Punkt von K2
> ist, M2-B der Radius ist und S-B senkrecht dazu ist.
> Aber warum ist es auch eine Tangente zu K1?
Stichwort: Zentrische Streckung.
> >
> > Die Gerade S-B ist die gesuchte Tangente an beide Kreise
> > (zumindestz eine davon, es gibt unterhalb der x-Achse natürlich
> > eine weitere Tangente).
> Eine Tangente zu K2 ist es nach Konstruktion, weil B ein Punkt von K2
> ist, M2-B der Radius ist und S-B senkrecht dazu ist.
> Aber warum ist es auch eine Tangente zu K1?
Vom Streckzentrum S aus wird der der kleinere Kreis K2 um den Faktor f = r1/r2
gestreckt, also wird der Berührradius M2-B auf einen parallelen Berührradius
M1-B' (den Punkt B' hab ich nicht eingezeichnet) abgebildet.
Wenn ein Radius in K2 ein Berührradius ist, dann muss ein dazu paralleler in K1
ebenfalls ein Berührradius sein, da ja die Punkte von K2 durch zentrische Streckung
auf K1 abgebildet werden.
Roalto
28 gru 2022, 17:47:5028.12.2022
do
Udo schrieb am Mittwoch, 28. Dezember 2022 um 20:07:42 UTC+1:
> Stefan Schmitz schrieb am Mittwoch, 28. Dezember 2022 um 19:22:19 UTC+1:
>
> > > (3) Die Gerade durch S1-S2 schneidet die x-Achse in Punkt P ...
> > Das ist auf deiner Skizze aber nicht so. Vermutlich meinst du die Gerade
> > durch S1-S3. Aber warum ist P ist der Schnittpunkt?
> Ich bitte um Entschuldigung, da hat ein Tipp-Fehler für Verwirrung gesorgt.
>
> Die Gerade S1-S2 schneidet die x-Achse in Punkt S, nicht(!!) in Punkt P, wie
> in der Eile von mir angegeben.
> Damit habe ich das Streckzentrum S der zentrischen Streckung gefunden.
>
> Kostruktion nochmals in Stichworten:
> Beliebige Gerade g1 (nicht senkrecht, nicht waagerecht) durch M1,
senkrecht darf die Gerade ruhig sein.
> Stefan Schmitz schrieb am Mittwoch, 28. Dezember 2022 um 19:22:19 UTC+1:
>
> > > (3) Die Gerade durch S1-S2 schneidet die x-Achse in Punkt P ...
> > Das ist auf deiner Skizze aber nicht so. Vermutlich meinst du die Gerade
> > durch S1-S3. Aber warum ist P ist der Schnittpunkt?
> Ich bitte um Entschuldigung, da hat ein Tipp-Fehler für Verwirrung gesorgt.
>
> Die Gerade S1-S2 schneidet die x-Achse in Punkt S, nicht(!!) in Punkt P, wie
> in der Eile von mir angegeben.
> Damit habe ich das Streckzentrum S der zentrischen Streckung gefunden.
>
> Kostruktion nochmals in Stichworten:
> Beliebige Gerade g1 (nicht senkrecht, nicht waagerecht) durch M1,
> Schnittpunkt mit dem Kreis K1 liefert Schnittpunkt S1 (und S4).
>
> Parallele zu g1 durch M2, Schnittpunkt mit K2 liefert
> Schnittpunkt S2 (und S3).
>
> Die Gerade S1-S2 schneidet die x-Achse bei S (nicht P, wie von mir
> oben fäschlicherweise geschrieben), dem Streckzentrum.
>
> Thaleskreis über M2-S wird mit K2 geschnitten, liefert den
> Berührpunkt B.
>
> Die Gerade S-B ist die gesuchte Tangente an beide Kreise
> (zumindestz eine davon, es gibt unterhalb der x-Achse natürlich
> eine weitere Tangente).
>
> Sorry nochmals für den Verwirrung stiftenden Tippfehler.
Roalto
Udo
28 gru 2022, 17:50:0928.12.2022
do
Dieter Heidorn schrieb am Mittwoch, 28. Dezember 2022 um 22:07:28 UTC+1:
> Hallo Udo,
>
> wenn man jetzt noch bedenkt, dass der Betrag der Differenz der Abstände
> von M3 zu M1 und M2 bzw. M4 zu M1 und M2 konstant ist:
>
> | M3M1 - M3M2 | = | (r1 + r3) - (r2 + r3) | = | r1 - r2 | = const
>
> (für M4 entsprechend)
>
> dann kann auch Stephans dritte Aufgabe:
> > c) Man bestimme die Menge aller Punkte, die Mittelpunkte von möglichen Kreisen k3 (siehe Aufgabe b)) sind.
> gelöst werden: Es handelt sich um eine Hyperbel mit
>
> a = | r1 - r2 | / 2.
Hallo Dieter,
> Hallo Udo,
>
> wenn man jetzt noch bedenkt, dass der Betrag der Differenz der Abstände
> von M3 zu M1 und M2 bzw. M4 zu M1 und M2 konstant ist:
>
> | M3M1 - M3M2 | = | (r1 + r3) - (r2 + r3) | = | r1 - r2 | = const
>
> (für M4 entsprechend)
>
> dann kann auch Stephans dritte Aufgabe:
> > c) Man bestimme die Menge aller Punkte, die Mittelpunkte von möglichen Kreisen k3 (siehe Aufgabe b)) sind.
> gelöst werden: Es handelt sich um eine Hyperbel mit
>
> a = | r1 - r2 | / 2.
wunderbare Erklärung!
An dieser Teilaufgabe hab ich noch geknabbert.
Vielen Dank.
Grüße Udo
>
> Gruß,
> Dieter.
Udo
28 gru 2022, 17:57:0728.12.2022
do
Roalto schrieb am Mittwoch, 28. Dezember 2022 um 23:47:50 UTC+1:
...
Grüße Udo
> Viel Spass weiterhin
> Roalto
...
> senkrecht darf die Gerade ruhig sein.
Du hast recht.
Grüße Udo
> Viel Spass weiterhin
> Roalto
Stefan Schmitz
28 gru 2022, 18:26:5728.12.2022
do
Am 28.12.2022 um 23:46 schrieb Udo:
> Stefan Schmitz schrieb am Mittwoch, 28. Dezember 2022 um 22:34:25 UTC+1:
>
>>>
>>> Die Gerade S-B ist die gesuchte Tangente an beide Kreise
>>> (zumindestz eine davon, es gibt unterhalb der x-Achse natürlich
>>> eine weitere Tangente).
>> Eine Tangente zu K2 ist es nach Konstruktion, weil B ein Punkt von K2
>> ist, M2-B der Radius ist und S-B senkrecht dazu ist.
>> Aber warum ist es auch eine Tangente zu K1?
>
> Stichwort: Zentrische Streckung.
> Vom Streckzentrum S aus wird der der kleinere Kreis K2 um den Faktor f = r1/r2
> gestreckt,
Warum ist denn K1 eine Streckung von K2? Er ist doch einfach nur als
> Stefan Schmitz schrieb am Mittwoch, 28. Dezember 2022 um 22:34:25 UTC+1:
>
>>>
>>> Die Gerade S-B ist die gesuchte Tangente an beide Kreise
>>> (zumindestz eine davon, es gibt unterhalb der x-Achse natürlich
>>> eine weitere Tangente).
>> Eine Tangente zu K2 ist es nach Konstruktion, weil B ein Punkt von K2
>> ist, M2-B der Radius ist und S-B senkrecht dazu ist.
>> Aber warum ist es auch eine Tangente zu K1?
>
> Stichwort: Zentrische Streckung.
> Vom Streckzentrum S aus wird der der kleinere Kreis K2 um den Faktor f = r1/r2
> gestreckt,
Kreis mit Radius r1 definiert. Dadurch dass du S als Streckzentrum
definierst, wird K1 noch nicht zum Ergebnis der Streckung. Der um diesen
Faktor gestreckte Kreis könnte auch woanders liegen.
Streckungsfaktor müsste das Verhältnis der Abstände von M1 bzw. M2 zu S
sein. Das ist nicht offensichtlich gleich dem Verhältnis der Radien.
Stefan Schmitz
29 gru 2022, 04:33:1029.12.2022
do
Am 29.12.2022 um 00:26 schrieb Stefan Schmitz:
> Am 28.12.2022 um 23:46 schrieb Udo:
>> Stefan Schmitz schrieb am Mittwoch, 28. Dezember 2022 um 22:34:25 UTC+1:
>>>>
>>>> Die Gerade S-B ist die gesuchte Tangente an beide Kreise
>>>> (zumindestz eine davon, es gibt unterhalb der x-Achse natürlich
>>>> eine weitere Tangente).
>>> Eine Tangente zu K2 ist es nach Konstruktion, weil B ein Punkt von K2
>>> ist, M2-B der Radius ist und S-B senkrecht dazu ist.
>>> Aber warum ist es auch eine Tangente zu K1?
>>
>> Stichwort: Zentrische Streckung.
>> Vom Streckzentrum S aus wird der der kleinere Kreis K2 um den Faktor f
>> = r1/r2
>> gestreckt,
>
> Warum ist denn K1 eine Streckung von K2? Er ist doch einfach nur als
> Kreis mit Radius r1 definiert. Dadurch dass du S als Streckzentrum
> definierst, wird K1 noch nicht zum Ergebnis der Streckung. Der um diesen
> Faktor gestreckte Kreis könnte auch woanders liegen.
>
> Streckungsfaktor müsste das Verhältnis der Abstände von M1 bzw. M2 zu S
> sein. Das ist nicht offensichtlich gleich dem Verhältnis der Radien.
Nicht offensichtlich, aber aufgrund der Konstruktion von S. Die Strecken
> Am 28.12.2022 um 23:46 schrieb Udo:
>> Stefan Schmitz schrieb am Mittwoch, 28. Dezember 2022 um 22:34:25 UTC+1:
>>>>
>>>> Die Gerade S-B ist die gesuchte Tangente an beide Kreise
>>>> (zumindestz eine davon, es gibt unterhalb der x-Achse natürlich
>>>> eine weitere Tangente).
>>> Eine Tangente zu K2 ist es nach Konstruktion, weil B ein Punkt von K2
>>> ist, M2-B der Radius ist und S-B senkrecht dazu ist.
>>> Aber warum ist es auch eine Tangente zu K1?
>>
>> Stichwort: Zentrische Streckung.
>> Vom Streckzentrum S aus wird der der kleinere Kreis K2 um den Faktor f
>> = r1/r2
>> gestreckt,
>
> Warum ist denn K1 eine Streckung von K2? Er ist doch einfach nur als
> Kreis mit Radius r1 definiert. Dadurch dass du S als Streckzentrum
> definierst, wird K1 noch nicht zum Ergebnis der Streckung. Der um diesen
> Faktor gestreckte Kreis könnte auch woanders liegen.
>
> Streckungsfaktor müsste das Verhältnis der Abstände von M1 bzw. M2 zu S
> sein. Das ist nicht offensichtlich gleich dem Verhältnis der Radien.
M1-S1 und M2-S2 sind gerade die Radien. Und nach Strahlensatz ist ihr
Verhältnis das gleiche wie von M1-S zu M2-S.
Alfred Flaßhaar
29 gru 2022, 04:36:4029.12.2022
do
Am 28.12.2022 um 23:50 schrieb Udo:
> Dieter Heidorn schrieb am Mittwoch, 28. Dezember 2022 um 22:07:28 UTC+1:
>
>> Hallo Udo,
>>
>> wenn man jetzt noch bedenkt, dass der Betrag der Differenz der Abstände
>> von M3 zu M1 und M2 bzw. M4 zu M1 und M2 konstant ist:
>>
>> | M3M1 - M3M2 | = | (r1 + r3) - (r2 + r3) | = | r1 - r2 | = const
>>
>> (für M4 entsprechend)
>>
>> dann kann auch Stephans dritte Aufgabe:
>>> c) Man bestimme die Menge aller Punkte, die Mittelpunkte von möglichen Kreisen k3 (siehe Aufgabe b)) sind.
>> gelöst werden: Es handelt sich um eine Hyperbel mit
>>
>> a = | r1 - r2 | / 2.
..., denn das ist die klassische Definition der Hyperbel. Für
> Dieter Heidorn schrieb am Mittwoch, 28. Dezember 2022 um 22:07:28 UTC+1:
>
>> Hallo Udo,
>>
>> wenn man jetzt noch bedenkt, dass der Betrag der Differenz der Abstände
>> von M3 zu M1 und M2 bzw. M4 zu M1 und M2 konstant ist:
>>
>> | M3M1 - M3M2 | = | (r1 + r3) - (r2 + r3) | = | r1 - r2 | = const
>>
>> (für M4 entsprechend)
>>
>> dann kann auch Stephans dritte Aufgabe:
>>> c) Man bestimme die Menge aller Punkte, die Mittelpunkte von möglichen Kreisen k3 (siehe Aufgabe b)) sind.
>> gelöst werden: Es handelt sich um eine Hyperbel mit
>>
>> a = | r1 - r2 | / 2.
naheliegende Ergänzung sind auch
https://de.wikipedia.org/wiki/Soddy-Kreis und
https://de.wikipedia.org/wiki/Formel_von_W._K._B._Holz
interessant.
>
> Hallo Dieter,
> wunderbare Erklärung!
Jawoll, einfache Lösung und Volltreffer :-).
Gruß, Alfred
Udo
29 gru 2022, 05:45:2829.12.2022
do
Stefan Schmitz schrieb am Donnerstag, 29. Dezember 2022 um 10:33:10 UTC+1:
> Am 29.12.2022 um 00:26 schrieb Stefan Schmitz:
...
> Am 29.12.2022 um 00:26 schrieb Stefan Schmitz:
> > Streckungsfaktor müsste das Verhältnis der Abstände von M1 bzw. M2 zu S
> > sein. Das ist nicht offensichtlich gleich dem Verhältnis der Radien.
> Nicht offensichtlich, aber aufgrund der Konstruktion von S. Die Strecken
> M1-S1 und M2-S2 sind gerade die Radien. Und nach Strahlensatz ist ihr
> Verhältnis das gleiche wie von M1-S zu M2-S.
So sehe ich das auch.
> > sein. Das ist nicht offensichtlich gleich dem Verhältnis der Radien.
> Nicht offensichtlich, aber aufgrund der Konstruktion von S. Die Strecken
> M1-S1 und M2-S2 sind gerade die Radien. Und nach Strahlensatz ist ihr
> Verhältnis das gleiche wie von M1-S zu M2-S.
Strahlensatz und zentrische Streckung sind zwei Seiten derselben Medaille.
Für die Zentrische Streckung Z wählt man einen Fixpunkt (das Streckzentrum, bei uns
der Punkt S) und einen Streckungsfaktor f.
Z(S; f).
Beides haben wir durch die Konstruktionsvorschrift bestimmt.
Alle Punkte des kleineren Kreises K2 werden auf K1 abgebildet, auch die
Berührpunkte mit den Tangenten. Deshalb ist die Konstruktion richtig.
Ich find die Betrachtung über die zentrische Streckung interessanter
als mit dem Strahlensatz zu arbeiten. Die zentrische Streckung ist ja eine
Abbildung, und ich kann mal versuchsweise mit dem Streckungsfaktor f
ein bischen rumspielen (nachdem ich die Konstruktionsaufgabe gelöst habe :-)
OK, negativer Streckungsfaktor ist jetzt noch nix Gewaltiges, aber was wird,
wenn der Streckungsfaktor f=0 wird?
Alle Punkte der Ebene "verschwinden" plötzlich im Streckzentrum S bzw. werden
darauf abgebildet.
Das Streckzentrum ist quasi das "Schwarze Loch" der Ebene, wenn f=0 wird.
Eine Einsicht, die mir der Strahlensatz nicht liefert.
Mir gefällt diese Vorstellung, vor allem, wenn man sie auf den
dreidimensionalen Raum ausdehnt.
Und dass die Ortslinie der Mittelpunkte des dritten Kreises eine Hyperbel
ist, wie Dieter erkannt hat, finde ich auch erstaunlich.
Grüße und Danke für die schöne Aufgabe.
Udo
Stefan Schmitz
29 gru 2022, 05:55:0829.12.2022
do
Am 29.12.2022 um 11:45 schrieb Udo:
> Stefan Schmitz schrieb am Donnerstag, 29. Dezember 2022 um 10:33:10 UTC+1:
>> Am 29.12.2022 um 00:26 schrieb Stefan Schmitz:
> ...
>>> Streckungsfaktor müsste das Verhältnis der Abstände von M1 bzw. M2 zu S
>>> sein. Das ist nicht offensichtlich gleich dem Verhältnis der Radien.
>> Nicht offensichtlich, aber aufgrund der Konstruktion von S. Die Strecken
>> M1-S1 und M2-S2 sind gerade die Radien. Und nach Strahlensatz ist ihr
>> Verhältnis das gleiche wie von M1-S zu M2-S.
>
> So sehe ich das auch.
> Strahlensatz und zentrische Streckung sind zwei Seiten derselben Medaille.
> Für die Zentrische Streckung Z wählt man einen Fixpunkt (das Streckzentrum, bei uns
> der Punkt S) und einen Streckungsfaktor f.
> Z(S; f).
> Beides haben wir durch die Konstruktionsvorschrift bestimmt.
> Alle Punkte des kleineren Kreises K2 werden auf K1 abgebildet, auch die
> Berührpunkte mit den Tangenten. Deshalb ist die Konstruktion richtig.
>
> Ich find die Betrachtung über die zentrische Streckung interessanter
> als mit dem Strahlensatz zu arbeiten.
Ohne Strahlensatz fehlt mir aber ein Argument, warum bei der
> Stefan Schmitz schrieb am Donnerstag, 29. Dezember 2022 um 10:33:10 UTC+1:
>> Am 29.12.2022 um 00:26 schrieb Stefan Schmitz:
> ...
>>> Streckungsfaktor müsste das Verhältnis der Abstände von M1 bzw. M2 zu S
>>> sein. Das ist nicht offensichtlich gleich dem Verhältnis der Radien.
>> Nicht offensichtlich, aber aufgrund der Konstruktion von S. Die Strecken
>> M1-S1 und M2-S2 sind gerade die Radien. Und nach Strahlensatz ist ihr
>> Verhältnis das gleiche wie von M1-S zu M2-S.
>
> So sehe ich das auch.
> Strahlensatz und zentrische Streckung sind zwei Seiten derselben Medaille.
> Für die Zentrische Streckung Z wählt man einen Fixpunkt (das Streckzentrum, bei uns
> der Punkt S) und einen Streckungsfaktor f.
> Z(S; f).
> Beides haben wir durch die Konstruktionsvorschrift bestimmt.
> Alle Punkte des kleineren Kreises K2 werden auf K1 abgebildet, auch die
> Berührpunkte mit den Tangenten. Deshalb ist die Konstruktion richtig.
>
> Ich find die Betrachtung über die zentrische Streckung interessanter
> als mit dem Strahlensatz zu arbeiten.
Konstruktion die zentrische Streckung gerade den kleinen auf den
größeren Kreis abbildet.
Roalto
29 gru 2022, 06:43:2129.12.2022
do
Es gibt noch eine andere Art die Tangenten zu konstruieren, ohne zentrische Streckung,
mit einem Hilfskreis.
Seien k1,M1,r1 bzw. k2,M2,r2 die Kreise.
Zeichne eine Radius in k1, der k1 in H schneidet.
Setze von H Richtung M1 den Radius r2 ab, Schnittpunkt mit Radius H1.
Um M1 schlage Kreis durch H1. Das ist Hilfskreis h.
Über Strecke M1M2 Thaleskreis mit Schnittpunkt P1 auf h.
Verbinde M1 mit P1 über P1 hinaus zu k1. Schnittpunkt T1.
Lege Gerade (g1) durch P1,M2, das ist Tangente an h.
Parallelverschiebe g1 in den Punkt T1, das ist eine Tangente an die Kreise.
Entsprechendes auf der Unterseite ergibt die andere äußere Tangente.
Viel Spass weiterhin
Roalto
mit einem Hilfskreis.
Seien k1,M1,r1 bzw. k2,M2,r2 die Kreise.
Zeichne eine Radius in k1, der k1 in H schneidet.
Setze von H Richtung M1 den Radius r2 ab, Schnittpunkt mit Radius H1.
Um M1 schlage Kreis durch H1. Das ist Hilfskreis h.
Über Strecke M1M2 Thaleskreis mit Schnittpunkt P1 auf h.
Verbinde M1 mit P1 über P1 hinaus zu k1. Schnittpunkt T1.
Lege Gerade (g1) durch P1,M2, das ist Tangente an h.
Parallelverschiebe g1 in den Punkt T1, das ist eine Tangente an die Kreise.
Entsprechendes auf der Unterseite ergibt die andere äußere Tangente.
Viel Spass weiterhin
Roalto
Roalto
29 gru 2022, 06:49:3629.12.2022
do
r1+r3 bzw. r2+r3
Die Differenz ist (r1+r3 - (r2+r3)), r3 fällt weg, r1-r2 ist konstant,
dann ist es eine Hyperbel.
> Grüße und Danke für die schöne Aufgabe.
> Udo
Roalto
Martin Vaeth
29 gru 2022, 08:23:5729.12.2022
do
Stephan Gerlach <mam9...@t-online.de> schrieb:
(eine davon durch den Berührpunkt, die trivial zu konstruieren ist).
Ich würde empfehlen, den allgemeineren Fall zu betrachten:
In dem gibt es 4 Tangenten.
Der natürliche Weg geht über Drehungen (Winkel abtragen);
sehr schön erklärt hier:
https://www.math.uni-bielefeld.de/~zink/Vorlesung21.pdf
In dem Zusammenhang möchte ich auf eine sehr berühmte Aufgabe
(wegen ihrer Lösung) aufmerksam machen:
Gegeben seien 3 disjunkte Kreise mit paarweise verschiedenem
Radius; die Mittelpunkte seien genügend nicht ko-linear (s. unten).
Für jedes Paar der Kreise schneiden sich die gemeinsamen
Außentangenten natürlich in einem Punkt. Man zeige, dass diese
drei Punkte auf einer Geraden liegen.
Mit "genügend nicht ko-linear" ist gemeint, dass keiner der
Tangentenschnittpunkte innerhalb der konvexen Hülle des
jeweils anderen Kreises und eines anderen Tangentenschnittpunkts
liegen soll.
> a) Konstruiere eine Gerade, die Tangente an k1 und k2 ist.
Da sich die Kreise berühren, gibt es nur 3 gemeinsame Tangenten
(eine davon durch den Berührpunkt, die trivial zu konstruieren ist).
Ich würde empfehlen, den allgemeineren Fall zu betrachten:
In dem gibt es 4 Tangenten.
Der natürliche Weg geht über Drehungen (Winkel abtragen);
sehr schön erklärt hier:
https://www.math.uni-bielefeld.de/~zink/Vorlesung21.pdf
In dem Zusammenhang möchte ich auf eine sehr berühmte Aufgabe
(wegen ihrer Lösung) aufmerksam machen:
Gegeben seien 3 disjunkte Kreise mit paarweise verschiedenem
Radius; die Mittelpunkte seien genügend nicht ko-linear (s. unten).
Für jedes Paar der Kreise schneiden sich die gemeinsamen
Außentangenten natürlich in einem Punkt. Man zeige, dass diese
drei Punkte auf einer Geraden liegen.
Mit "genügend nicht ko-linear" ist gemeint, dass keiner der
Tangentenschnittpunkte innerhalb der konvexen Hülle des
jeweils anderen Kreises und eines anderen Tangentenschnittpunkts
liegen soll.
Stephan Gerlach
4 sty 2023, 19:15:154.01.2023
do
Michael Koch schrieb:
Sollte soweit stimmen :-) .
Wobei es ausreicht, keine komplett neuen Kreise mit Radien r4 bzw. r5 zu
zeichnen, sondern lediglich "kleine" Kreisbögen (wie bei vielen
Geometrie-Konstruktionen), so daß die "neuen" Mittelpunkte von k3
zustande kommen.
Wobei es ausreicht, keine komplett neuen Kreise mit Radien r4 bzw. r5 zu
zeichnen, sondern lediglich "kleine" Kreisbögen (wie bei vielen
Geometrie-Konstruktionen), so daß die "neuen" Mittelpunkte von k3
zustande kommen.
Stephan Gerlach
23 sty 2023, 14:25:3023.01.2023
do
Roalto schrieb:
Ist hier irgendein beliebiger Radius in k1 gemeint, und k1 liegt auf der
Peripherie (Kreislinie) von k1?
Wenn ich das richtig verstehe, wird hier einfach ein Radius von M1 zu
(irgendeinem?) Punkt H auf der Peripherie von k1 gezeichnet. Ich bin
aber nicht sicher, ob das so gemeint war, da das Folgende nicht wirklich
Sinn ergibt:
> Setze von H Richtung M1 den Radius r2 ab, Schnittpunkt mit Radius H1.
Wenn ich von H in Richtung M1 den Radius r2 abtrage, dann erhalte ich
(wenn r2>r1 ist) einfach eine "Verlängerung" des Radius r1 über M1
hinaus. Also insbesondere keinen Schnittpunkt(?) H1.
> Um M1 schlage Kreis durch H1. Das ist Hilfskreis h.
> Über Strecke M1M2 Thaleskreis mit Schnittpunkt P1 auf h.
Hier werden offenbar 2 zusätzliche(?) Kreise verwendet: Der Hilfskreis h
sowie der Thaleskreis. Man kommt BTW insgesamt mit einem Hilfskreis (nur
Thaleskreis) aus.
> Verbinde M1 mit P1 über P1 hinaus zu k1. Schnittpunkt T1.
> Lege Gerade (g1) durch P1,M2, das ist Tangente an h.
> Parallelverschiebe g1 in den Punkt T1, das ist eine Tangente an die Kreise.
> Entsprechendes auf der Unterseite ergibt die andere äußere Tangente.
Das ist klar; wenn man eine Tangente konstruieren kann, dann auch
(trivialerweise) diejenige auf der anderen Seite. Unabhängig von der
konkreten Konstruktions-Methode.
--
> Es gibt noch eine andere Art die Tangenten zu konstruieren, ohne zentrische Streckung,
> mit einem Hilfskreis.
> Seien k1,M1,r1 bzw. k2,M2,r2 die Kreise.
> Zeichne eine Radius in k1, der k1 in H schneidet.
Wo kommt der Punkt H her?
> mit einem Hilfskreis.
> Seien k1,M1,r1 bzw. k2,M2,r2 die Kreise.
> Zeichne eine Radius in k1, der k1 in H schneidet.
Ist hier irgendein beliebiger Radius in k1 gemeint, und k1 liegt auf der
Peripherie (Kreislinie) von k1?
Wenn ich das richtig verstehe, wird hier einfach ein Radius von M1 zu
(irgendeinem?) Punkt H auf der Peripherie von k1 gezeichnet. Ich bin
aber nicht sicher, ob das so gemeint war, da das Folgende nicht wirklich
Sinn ergibt:
> Setze von H Richtung M1 den Radius r2 ab, Schnittpunkt mit Radius H1.
(wenn r2>r1 ist) einfach eine "Verlängerung" des Radius r1 über M1
hinaus. Also insbesondere keinen Schnittpunkt(?) H1.
> Um M1 schlage Kreis durch H1. Das ist Hilfskreis h.
> Über Strecke M1M2 Thaleskreis mit Schnittpunkt P1 auf h.
sowie der Thaleskreis. Man kommt BTW insgesamt mit einem Hilfskreis (nur
Thaleskreis) aus.
> Verbinde M1 mit P1 über P1 hinaus zu k1. Schnittpunkt T1.
> Lege Gerade (g1) durch P1,M2, das ist Tangente an h.
> Parallelverschiebe g1 in den Punkt T1, das ist eine Tangente an die Kreise.
> Entsprechendes auf der Unterseite ergibt die andere äußere Tangente.
(trivialerweise) diejenige auf der anderen Seite. Unabhängig von der
konkreten Konstruktions-Methode.
--
Roalto
25 sty 2023, 08:34:5425.01.2023
do
Stephan Gerlach schrieb am Montag, 23. Januar 2023 um 20:25:30 UTC+1:
> Roalto schrieb:
> > Es gibt noch eine andere Art die Tangenten zu konstruieren, ohne zentrische Streckung,
> > mit einem Hilfskreis.
> > Seien k1,M1,r1 bzw. k2,M2,r2 die Kreise.
> > Zeichne eine Radius in k1, der k1 in H schneidet.
> Wo kommt der Punkt H her?
> Ist hier irgendein beliebiger Radius in k1 gemeint, und k1 liegt auf der
> Peripherie (Kreislinie) von k1?
> Wenn ich das richtig verstehe, wird hier einfach ein Radius von M1 zu
> (irgendeinem?) Punkt H auf der Peripherie von k1 gezeichnet. Ich bin
> aber nicht sicher, ob das so gemeint war, da das Folgende nicht wirklich
> Sinn ergibt:
> > Setze von H Richtung M1 den Radius r2 ab, Schnittpunkt mit Radius H1.
> Wenn ich von H in Richtung M1 den Radius r2 abtrage, dann erhalte ich
> (wenn r2>r1 ist) einfach eine "Verlängerung" des Radius r1 über M1
> hinaus. Also insbesondere keinen Schnittpunkt(?) H1.
> > Um M1 schlage Kreis durch H1. Das ist Hilfskreis h.
> > Über Strecke M1M2 Thaleskreis mit Schnittpunkt P1 auf h.
> Hier werden offenbar 2 zusätzliche(?) Kreise verwendet: Der Hilfskreis h
> sowie der Thaleskreis. Man kommt BTW insgesamt mit einem Hilfskreis (nur
> Thaleskreis) aus.
Sorry, wüsste nicht wie.
> Roalto schrieb:
> > Es gibt noch eine andere Art die Tangenten zu konstruieren, ohne zentrische Streckung,
> > mit einem Hilfskreis.
> > Seien k1,M1,r1 bzw. k2,M2,r2 die Kreise.
> > Zeichne eine Radius in k1, der k1 in H schneidet.
> Wo kommt der Punkt H her?
> Ist hier irgendein beliebiger Radius in k1 gemeint, und k1 liegt auf der
> Peripherie (Kreislinie) von k1?
> Wenn ich das richtig verstehe, wird hier einfach ein Radius von M1 zu
> (irgendeinem?) Punkt H auf der Peripherie von k1 gezeichnet. Ich bin
> aber nicht sicher, ob das so gemeint war, da das Folgende nicht wirklich
> Sinn ergibt:
> > Setze von H Richtung M1 den Radius r2 ab, Schnittpunkt mit Radius H1.
> Wenn ich von H in Richtung M1 den Radius r2 abtrage, dann erhalte ich
> (wenn r2>r1 ist) einfach eine "Verlängerung" des Radius r1 über M1
> hinaus. Also insbesondere keinen Schnittpunkt(?) H1.
> > Um M1 schlage Kreis durch H1. Das ist Hilfskreis h.
> > Über Strecke M1M2 Thaleskreis mit Schnittpunkt P1 auf h.
> Hier werden offenbar 2 zusätzliche(?) Kreise verwendet: Der Hilfskreis h
> sowie der Thaleskreis. Man kommt BTW insgesamt mit einem Hilfskreis (nur
> Thaleskreis) aus.
> > Verbinde M1 mit P1 über P1 hinaus zu k1. Schnittpunkt T1.
> > Lege Gerade (g1) durch P1,M2, das ist Tangente an h.
> > Parallelverschiebe g1 in den Punkt T1, das ist eine Tangente an die Kreise.
> > Entsprechendes auf der Unterseite ergibt die andere äußere Tangente.
> Das ist klar; wenn man eine Tangente konstruieren kann, dann auch
> (trivialerweise) diejenige auf der anderen Seite. Unabhängig von der
> konkreten Konstruktions-Methode.
>
>
> --
> > Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
> gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
> (...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Voraussetzung: r1>r2, wenn nicht: alles umbenennen
Um M1 einen Kreis (h) mit Radius r1-r2 zeichnen, dann Thaleskreis von M1M2 zeichnen.
Dieser trifft Kreis h im Punkt P1. Dann M2 mit P1 verbinden, gibt gerade g1.
Dann g1 parallel um r1 verschieben.
Viel Spass weiterhin
Roalto
Roalto
25 sty 2023, 11:33:1025.01.2023
do
Stephan Gerlach schrieb am Montag, 23. Januar 2023 um 20:25:30 UTC+1:
> Roalto schrieb:
> > Es gibt noch eine andere Art die Tangenten zu konstruieren, ohne zentrische Streckung,
> > mit einem Hilfskreis.
> > Seien k1,M1,r1 bzw. k2,M2,r2 die Kreise.
> > Zeichne eine Radius in k1, der k1 in H schneidet.
> Wo kommt der Punkt H her?
Ein beliebiger Radius wird in k1 eingezeichnet. Der Schnittpunkt mit k1 ist Punkt H.
> > Es gibt noch eine andere Art die Tangenten zu konstruieren, ohne zentrische Streckung,
> > mit einem Hilfskreis.
> > Seien k1,M1,r1 bzw. k2,M2,r2 die Kreise.
> > Zeichne eine Radius in k1, der k1 in H schneidet.
> Wo kommt der Punkt H her?
Von H aus in Richtung M1 wird r2 abgetragen -> Punkt H1.
Nun Kreis um M1 durch H1 schlagen.
Dies dient nur dazu den Kreis mit Radius r1-r2 nur mit Zirkel und Lineal zu zeichnen, ohne r1-r2 zu berechnen.
Laut Ursprungsangabe war r1>r2
. Der Schnittpunkt > Ist hier irgendein beliebiger Radius in k1 gemeint, und k1 liegt auf der
> Peripherie (Kreislinie) von k1?
> Wenn ich das richtig verstehe, wird hier einfach ein Radius von M1 zu
> (irgendeinem?) Punkt H auf der Peripherie von k1 gezeichnet. Ich bin
> aber nicht sicher, ob das so gemeint war, da das Folgende nicht wirklich
> Sinn ergibt:
> > Setze von H Richtung M1 den Radius r2 ab, Schnittpunkt mit Radius H1.
> Wenn ich von H in Richtung M1 den Radius r2 abtrage, dann erhalte ich
> (wenn r2>r1 ist) einfach eine "Verlängerung" des Radius r1 über M1
> hinaus. Also insbesondere keinen Schnittpunkt(?) H1.
> > Um M1 schlage Kreis durch H1. Das ist Hilfskreis h.
> > Über Strecke M1M2 Thaleskreis mit Schnittpunkt P1 auf h.
Wichtig ist hier der Schnittpunkt mit Kreis h, nicht der mit k1
> Wenn ich das richtig verstehe, wird hier einfach ein Radius von M1 zu
> (irgendeinem?) Punkt H auf der Peripherie von k1 gezeichnet. Ich bin
> aber nicht sicher, ob das so gemeint war, da das Folgende nicht wirklich
> Sinn ergibt:
> > Setze von H Richtung M1 den Radius r2 ab, Schnittpunkt mit Radius H1.
> Wenn ich von H in Richtung M1 den Radius r2 abtrage, dann erhalte ich
> (wenn r2>r1 ist) einfach eine "Verlängerung" des Radius r1 über M1
> hinaus. Also insbesondere keinen Schnittpunkt(?) H1.
> > Um M1 schlage Kreis durch H1. Das ist Hilfskreis h.
> > Über Strecke M1M2 Thaleskreis mit Schnittpunkt P1 auf h.
> Hier werden offenbar 2 zusätzliche(?) Kreise verwendet: Der Hilfskreis h
> sowie der Thaleskreis. Man kommt BTW insgesamt mit einem Hilfskreis (nur
> Thaleskreis) aus.
> > Verbinde M1 mit P1 über P1 hinaus zu k1. Schnittpunkt T1.
> > Lege Gerade (g1) durch P1,M2, das ist Tangente an h.
> > Parallelverschiebe g1 in den Punkt T1, das ist eine Tangente an die Kreise.
> > Entsprechendes auf der Unterseite ergibt die andere äußere Tangente.
> Das ist klar; wenn man eine Tangente konstruieren kann, dann auch
> (trivialerweise) diejenige auf der anderen Seite. Unabhängig von der
> konkreten Konstruktions-Methode.
>
Eine Konstruktion für die inneren Tangenten geht entsprechend über einen
Hilfskreis mit Radius r1+r2.
> --
> > Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
> gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
> (...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Viel Spass weiterhin
> > Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
> gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
> (...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Roalto
Roalto
25 sty 2023, 11:36:4225.01.2023
do
Roalto schrieb am Mittwoch, 25. Januar 2023 um 14:34:54 UTC+1:
>Skip
> Viel Spass weiterhin
> Roalto
>Skip
> Dann g1 parallel um r1 verschieben.
Sorry, muss um r2 verschoben werden
> Viel Spass weiterhin
> Roalto
Stephan Gerlach
26 sty 2023, 13:53:4126.01.2023
do
Roalto schrieb:
Antwort hier).
>>> Verbinde M1 mit P1 über P1 hinaus zu k1. Schnittpunkt T1.
>>> Lege Gerade (g1) durch P1,M2, das ist Tangente an h.
>>> Parallelverschiebe g1 in den Punkt T1, das ist eine Tangente an die Kreise.
>>> Entsprechendes auf der Unterseite ergibt die andere äußere Tangente.
>> Das ist klar; wenn man eine Tangente konstruieren kann, dann auch
>> (trivialerweise) diejenige auf der anderen Seite. Unabhängig von der
>> konkreten Konstruktions-Methode.
>>
>>
>> --
>>> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
>> gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
>> (...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
>
> Ja, das ist immer blöde ohne Zeichnung.
> Voraussetzung: r1>r2, wenn nicht: alles umbenennen
> Um M1 einen Kreis (h) mit Radius r1-r2 zeichnen, dann Thaleskreis von M1M2 zeichnen.
> Dieser trifft Kreis h im Punkt P1. Dann M2 mit P1 verbinden, gibt gerade g1.
> Dann g1 parallel um r1 verschieben.
... um r2, nicht um r1 (wie du selbst berichtigtest). Wenn ich das
richtig überblicke, scheint das "meiner" Methode aber sehr ähnlich zu
sein, bloß daß ich nicht direkt mit dem Kreis h argumentiere, sondern
einfach die Differenz der Radien "direkt" abtrage.
> Stephan Gerlach schrieb am Montag, 23. Januar 2023 um 20:25:30 UTC+1:
>> Roalto schrieb:
>>> Es gibt noch eine andere Art die Tangenten zu konstruieren, ohne zentrische Streckung,
>>> mit einem Hilfskreis.
>>> Seien k1,M1,r1 bzw. k2,M2,r2 die Kreise.
>>> Zeichne eine Radius in k1, der k1 in H schneidet.
>> Wo kommt der Punkt H her?
>> Ist hier irgendein beliebiger Radius in k1 gemeint, und k1 liegt auf der
>> Peripherie (Kreislinie) von k1?
>> Wenn ich das richtig verstehe, wird hier einfach ein Radius von M1 zu
>> (irgendeinem?) Punkt H auf der Peripherie von k1 gezeichnet. Ich bin
>> aber nicht sicher, ob das so gemeint war, da das Folgende nicht wirklich
>> Sinn ergibt:
>>> Setze von H Richtung M1 den Radius r2 ab, Schnittpunkt mit Radius H1.
>> Wenn ich von H in Richtung M1 den Radius r2 abtrage, dann erhalte ich
>> (wenn r2>r1 ist) einfach eine "Verlängerung" des Radius r1 über M1
>> hinaus. Also insbesondere keinen Schnittpunkt(?) H1.
>>> Um M1 schlage Kreis durch H1. Das ist Hilfskreis h.
>>> Über Strecke M1M2 Thaleskreis mit Schnittpunkt P1 auf h.
>> Hier werden offenbar 2 zusätzliche(?) Kreise verwendet: Der Hilfskreis h
>> sowie der Thaleskreis. Man kommt BTW insgesamt mit einem Hilfskreis (nur
>> Thaleskreis) aus.
>
> Sorry, wüsste nicht wie.
Siehe eine meiner andere Antworten (folgt in Kürze), später als diese
>> Roalto schrieb:
>>> Es gibt noch eine andere Art die Tangenten zu konstruieren, ohne zentrische Streckung,
>>> mit einem Hilfskreis.
>>> Seien k1,M1,r1 bzw. k2,M2,r2 die Kreise.
>>> Zeichne eine Radius in k1, der k1 in H schneidet.
>> Wo kommt der Punkt H her?
>> Ist hier irgendein beliebiger Radius in k1 gemeint, und k1 liegt auf der
>> Peripherie (Kreislinie) von k1?
>> Wenn ich das richtig verstehe, wird hier einfach ein Radius von M1 zu
>> (irgendeinem?) Punkt H auf der Peripherie von k1 gezeichnet. Ich bin
>> aber nicht sicher, ob das so gemeint war, da das Folgende nicht wirklich
>> Sinn ergibt:
>>> Setze von H Richtung M1 den Radius r2 ab, Schnittpunkt mit Radius H1.
>> Wenn ich von H in Richtung M1 den Radius r2 abtrage, dann erhalte ich
>> (wenn r2>r1 ist) einfach eine "Verlängerung" des Radius r1 über M1
>> hinaus. Also insbesondere keinen Schnittpunkt(?) H1.
>>> Um M1 schlage Kreis durch H1. Das ist Hilfskreis h.
>>> Über Strecke M1M2 Thaleskreis mit Schnittpunkt P1 auf h.
>> Hier werden offenbar 2 zusätzliche(?) Kreise verwendet: Der Hilfskreis h
>> sowie der Thaleskreis. Man kommt BTW insgesamt mit einem Hilfskreis (nur
>> Thaleskreis) aus.
>
> Sorry, wüsste nicht wie.
Antwort hier).
>>> Verbinde M1 mit P1 über P1 hinaus zu k1. Schnittpunkt T1.
>>> Lege Gerade (g1) durch P1,M2, das ist Tangente an h.
>>> Parallelverschiebe g1 in den Punkt T1, das ist eine Tangente an die Kreise.
>>> Entsprechendes auf der Unterseite ergibt die andere äußere Tangente.
>> Das ist klar; wenn man eine Tangente konstruieren kann, dann auch
>> (trivialerweise) diejenige auf der anderen Seite. Unabhängig von der
>> konkreten Konstruktions-Methode.
>>
>>
>> --
>>> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
>> gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
>> (...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
>
> Ja, das ist immer blöde ohne Zeichnung.
> Voraussetzung: r1>r2, wenn nicht: alles umbenennen
> Um M1 einen Kreis (h) mit Radius r1-r2 zeichnen, dann Thaleskreis von M1M2 zeichnen.
> Dieser trifft Kreis h im Punkt P1. Dann M2 mit P1 verbinden, gibt gerade g1.
> Dann g1 parallel um r1 verschieben.
richtig überblicke, scheint das "meiner" Methode aber sehr ähnlich zu
sein, bloß daß ich nicht direkt mit dem Kreis h argumentiere, sondern
einfach die Differenz der Radien "direkt" abtrage.
Stephan Gerlach
26 sty 2023, 14:05:0126.01.2023
do
Dieter Heidorn schrieb:
[...]
Koordinaten); damit kommt man mit Koordinaten x und y für die Punkte auf
der gesuchten Kurve mit
(y+(r2-r1)/2)^2 / ((r2-r1)/2)^2 - x^2 / (r1*r2) = 1. [2]
Bzw. genauer: Auch wenn man *nicht* weiß, daß eine Hyperbel rauskommen
muß, kann man auf obige Formel [2] kommen, und zwar mit der Substitution
bzw. Koordinatentransformation
y=y'-(r2-r1)/2,
die quasi nur eine Verschiebung der y-Achse darstellt.
Damit erreicht man, daß die y'-Achse genau in der Mitte der beiden
(Kreis-)Mittelpunkte M1 und M2 liegt.
[...]
> wenn man jetzt noch bedenkt, dass der Betrag der Differenz der Abstände
> von M3 zu M1 und M2 bzw. M4 zu M1 und M2 konstant ist:
>
> | M3M1 - M3M2 | = | (r1 + r3) - (r2 + r3) | = | r1 - r2 | = const
>
> (für M4 entsprechend)
>
> dann kann auch Stephans dritte Aufgabe:
>
>> c) Man bestimme die Menge aller Punkte, die Mittelpunkte von möglichen
>> Kreisen k3 (siehe Aufgabe b)) sind.
>
> gelöst werden: Es handelt sich um eine Hyperbel mit
>
> a = | r1 - r2 | / 2.
Das ist sogar noch besser als meine "gedachte" Lösung (Gleichung mit
> von M3 zu M1 und M2 bzw. M4 zu M1 und M2 konstant ist:
>
> | M3M1 - M3M2 | = | (r1 + r3) - (r2 + r3) | = | r1 - r2 | = const
>
> (für M4 entsprechend)
>
> dann kann auch Stephans dritte Aufgabe:
>
>> c) Man bestimme die Menge aller Punkte, die Mittelpunkte von möglichen
>> Kreisen k3 (siehe Aufgabe b)) sind.
>
> gelöst werden: Es handelt sich um eine Hyperbel mit
>
> a = | r1 - r2 | / 2.
Koordinaten); damit kommt man mit Koordinaten x und y für die Punkte auf
der gesuchten Kurve mit
(y+(r2-r1)/2)^2 / ((r2-r1)/2)^2 - x^2 / (r1*r2) = 1. [2]
Bzw. genauer: Auch wenn man *nicht* weiß, daß eine Hyperbel rauskommen
muß, kann man auf obige Formel [2] kommen, und zwar mit der Substitution
bzw. Koordinatentransformation
y=y'-(r2-r1)/2,
die quasi nur eine Verschiebung der y-Achse darstellt.
Damit erreicht man, daß die y'-Achse genau in der Mitte der beiden
(Kreis-)Mittelpunkte M1 und M2 liegt.
Stephan Gerlach
27 sty 2023, 13:01:5927.01.2023
do
Martin Vaeth schrieb:
Sache. Das kam daher, daß ich "von der Malfatti-Kreis-Aufgabe kam".
> Der natürliche Weg geht über Drehungen (Winkel abtragen);
> sehr schön erklärt hier:
> https://www.math.uni-bielefeld.de/~zink/Vorlesung21.pdf
Erstaunlich, daß sich so die Aufgabe quasi in gewisser Weise
"standardisieren" läßt. Man muß quasi "nur" rausfinden, um welchen
Winkel man was drehen muß.
Meine Lösung hätte übrigens so ausgesehen:
O.B.d.A sei r1>r2.
1.) Strecke M1M2 (von einem Kreismittelpunkt zum anderen) und den
Mittelpunkt M zwischen M1 und M2 konstruieren.
2.) Thaleskreis k mit Mittelpunkt M und Durchmesser M1M2 konstruieren
(Kreis geht durch M1 und M2).
3.) Radiusdifferenz r2-r1 konstruieren (das "wie" setze ich hier als
trivial voraus).
4.) Radiusdifferenz r2-r1 von M2 aus als Kathete eines "Thales-Dreiecks"
abtragen, dessen Eckpunkt C auf dem Thaleskreis k liegt.
Insgesamt ergibt sich durch Schritt 4 ein rechtwinkliges
"Thales-Dreieck" M1M2C mit Hypotenuse M1M2 und Katheten M1C und M2C.
5.) Kathete M2C über C hinaus (als Gerade) verlängern, bis diese Gerade
k2 schneidet; sei P der Schnittpunkt.
6.) Strecke M1M2 parallel in P verschieben, verlängern --> fertig.
Die in P parallel verschobene und beidseitig verlängerte Strecke M1M2
ist dann eine Tangente an beide Kreise k1 und k2.
Diese Lösung funktioniert auch für den Fall, daß sich die Kreise nicht
berühren, sondern auseinander liegen.
Die Tangente "auf der anderen Seite" wird na
> In dem Zusammenhang möchte ich auf eine sehr berühmte Aufgabe
> (wegen ihrer Lösung) aufmerksam machen:
>
> Gegeben seien 3 disjunkte Kreise mit paarweise verschiedenem
> Radius; die Mittelpunkte seien genügend nicht ko-linear (s. unten).
> Für jedes Paar der Kreise schneiden sich die gemeinsamen
> Außentangenten natürlich in einem Punkt. Man zeige, dass diese
> drei Punkte auf einer Geraden liegen.
>
> Mit "genügend nicht ko-linear" ist gemeint, dass keiner der
> Tangentenschnittpunkte innerhalb der konvexen Hülle des
> jeweils anderen Kreises und eines anderen Tangentenschnittpunkts
> liegen soll.
Die Aufgabe kenne bzw. kannte ich trotz ihrer Berühmtheit bisher nicht.
Ich hatte versucht, das rechnerisch/algebraisch zu lösen in dem Sinne:
Stelle eine Geradengleichung durch 2 der 3 Punkte auf. Prüfe
anschließend, ob der 3. Punkt auf dieser Gerade liegt.
Möglicherweise funktioniert das irgendwie, aber artet offenbar aus(?)
und deswegen hatte ich das erstmal abgebrochen.
Evtl. kann man alles vereinfachen, wenn man einige "o.B.d.A"-Annahmen
macht, z.B. daß 2 der Kreismittelpunkte M1(0;0) und M2(0;1) sind.
Vermutlich geht das Ganze sowieso viel einfacher; ohne ausufernden
Rechenaufwand.
> Stephan Gerlach <mam9...@t-online.de> schrieb:
>> a) Konstruiere eine Gerade, die Tangente an k1 und k2 ist.
>
> Da sich die Kreise berühren, gibt es nur 3 gemeinsame Tangenten
> (eine davon durch den Berührpunkt, die trivial zu konstruieren ist).
>
> Ich würde empfehlen, den allgemeineren Fall zu betrachten:
> In dem gibt es 4 Tangenten.
Das stimmt; daß sich die Kreise berühren, tut eigentlich nichts zur
>> a) Konstruiere eine Gerade, die Tangente an k1 und k2 ist.
>
> Da sich die Kreise berühren, gibt es nur 3 gemeinsame Tangenten
> (eine davon durch den Berührpunkt, die trivial zu konstruieren ist).
>
> Ich würde empfehlen, den allgemeineren Fall zu betrachten:
> In dem gibt es 4 Tangenten.
Sache. Das kam daher, daß ich "von der Malfatti-Kreis-Aufgabe kam".
> Der natürliche Weg geht über Drehungen (Winkel abtragen);
> sehr schön erklärt hier:
> https://www.math.uni-bielefeld.de/~zink/Vorlesung21.pdf
"standardisieren" läßt. Man muß quasi "nur" rausfinden, um welchen
Winkel man was drehen muß.
Meine Lösung hätte übrigens so ausgesehen:
O.B.d.A sei r1>r2.
1.) Strecke M1M2 (von einem Kreismittelpunkt zum anderen) und den
Mittelpunkt M zwischen M1 und M2 konstruieren.
2.) Thaleskreis k mit Mittelpunkt M und Durchmesser M1M2 konstruieren
(Kreis geht durch M1 und M2).
3.) Radiusdifferenz r2-r1 konstruieren (das "wie" setze ich hier als
trivial voraus).
4.) Radiusdifferenz r2-r1 von M2 aus als Kathete eines "Thales-Dreiecks"
abtragen, dessen Eckpunkt C auf dem Thaleskreis k liegt.
Insgesamt ergibt sich durch Schritt 4 ein rechtwinkliges
"Thales-Dreieck" M1M2C mit Hypotenuse M1M2 und Katheten M1C und M2C.
5.) Kathete M2C über C hinaus (als Gerade) verlängern, bis diese Gerade
k2 schneidet; sei P der Schnittpunkt.
6.) Strecke M1M2 parallel in P verschieben, verlängern --> fertig.
Die in P parallel verschobene und beidseitig verlängerte Strecke M1M2
ist dann eine Tangente an beide Kreise k1 und k2.
Diese Lösung funktioniert auch für den Fall, daß sich die Kreise nicht
berühren, sondern auseinander liegen.
Die Tangente "auf der anderen Seite" wird na
> In dem Zusammenhang möchte ich auf eine sehr berühmte Aufgabe
> (wegen ihrer Lösung) aufmerksam machen:
>
> Gegeben seien 3 disjunkte Kreise mit paarweise verschiedenem
> Radius; die Mittelpunkte seien genügend nicht ko-linear (s. unten).
> Für jedes Paar der Kreise schneiden sich die gemeinsamen
> Außentangenten natürlich in einem Punkt. Man zeige, dass diese
> drei Punkte auf einer Geraden liegen.
>
> Mit "genügend nicht ko-linear" ist gemeint, dass keiner der
> Tangentenschnittpunkte innerhalb der konvexen Hülle des
> jeweils anderen Kreises und eines anderen Tangentenschnittpunkts
> liegen soll.
Ich hatte versucht, das rechnerisch/algebraisch zu lösen in dem Sinne:
Stelle eine Geradengleichung durch 2 der 3 Punkte auf. Prüfe
anschließend, ob der 3. Punkt auf dieser Gerade liegt.
Möglicherweise funktioniert das irgendwie, aber artet offenbar aus(?)
und deswegen hatte ich das erstmal abgebrochen.
Evtl. kann man alles vereinfachen, wenn man einige "o.B.d.A"-Annahmen
macht, z.B. daß 2 der Kreismittelpunkte M1(0;0) und M2(0;1) sind.
Vermutlich geht das Ganze sowieso viel einfacher; ohne ausufernden
Rechenaufwand.
Nowe wiadomości: 0