Wozu braucht der Mensch Axiome?

[JVR]

Die schönste Erklärung, die ich kenne, was es auf sich hat mit Definitionen und Axiomen stammt von Oskar Perron, 'Nichteuklidische Geometrie'.

https://drive.google.com/file/d/1S_qOAMxvGhEbb4oLhaubfYYSsBSXLXGf/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1ipSONrOz-Xwx7bW9aILSgFXmBA444Nrp/view?usp=sharing

[Ralf Goertz]

Am Mon, 15 Aug 2022 09:23:13 -0700 (PDT)
schrieb JVR <jrenne...@googlemail.com>:

In der Tat eine schöne Erklärung, danke! Ist es dieses Buch?
<https://www.zvab.com/buch-suchen/titel/nichteuklidische-elementargeometrie-der-ebene/autor/perron/>

[JVR]

Ja - das ist das Buch. Und hier noch ein Link betr. Oskar Perron:
https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/dmvm-1994-0307/html

[Ganzhinterseher]

Danke für diesen Link! Schon der erste Satz in § 3 Punkt und Gerade lohnt die genauere Inhalierung - und die Definition erst recht.

Gruß, WM

[JVR]

Ganz klar wird die Bedeutung der Einsicht, die Perron Hilbert zuschreibt, in Idealfällen, wie zum Beispiel:

"Eine Korrelation einer pappusschen projektiven Ebene
(P, G, I) ist eine inzidenzerhaltende bijektive Abbildung dieses Raumes auf die duale Ebene
(G, P, I^{-1}), wobei P bijektiv auf G, und G bijektiv auf P, abgebildet wird. Punktmenge und
Geradenmenge sind also in der dualen Ebene vertauscht." (Wiki zu Korrelation)

Das bedeutet u.a., dass jeder Satz der Aussagen über Geraden und Punkte macht immer noch gilt, wenn man
Gerade für Punkt und Punkt für Gerade liest. Hilbert ist vielleicht nicht der Erste, der das erkannt hat - aber dass
darin eine wichtige Erkenntnis für die Bedeutung mathematischer Begriffe liegt, das war vielleicht noch nie so
klar gesagt worden. Siehe Hilbert, 'Grundlagen der Geometrie'.

[Fritz Feldhase]

On Tuesday, August 16, 2022 at 3:09:13 PM UTC+2, JVR wrote:

> Das bedeutet u.a., dass jeder Satz der Aussagen über Geraden und Punkte macht immer noch gilt, wenn man
> Gerade für Punkt und Punkt für Gerade liest. Hilbert ist vielleicht nicht der Erste, der das erkannt hat - aber dass
> darin eine wichtige Erkenntnis für die Bedeutung mathematischer Begriffe liegt, das war vielleicht noch nie so
> klar gesagt worden. Siehe Hilbert, 'Grundlagen der Geometrie'.

Herr Mückenheim bemängelt an den Peano-Axiomen gerne, dass die nicht wirklich DIE (also die einzig wahren) natürlichen Zahlen "definieren" würden. Genau das zeigt sein tiefgreifendes Unverständnis in Bezug auf Sinn und zweck von Axiomen. Dass in Bezug auf "die natürlichen Zahlen" (auf diese Weise) nicht mehr drin ist, als sie bis "auf Isomorphie" festzulegen, wird er wohl nie verstehen.

[JVR]

Ja - genau - die Peano Axiome sagen aus, dass jede Liste, die die vorgeschriebene Struktur hat, als Menge der natürlichen Zahlen benutzt werden kann.
Lange Zeit ist Herr Geheimrat Professor Doktor habil.[äq.] Mückenheim auf diesem Thema herumgeritten: "Man kann doch unmöglich the
n-te Zahl 1/n nennen, denn 1/2 + 1/3 ist doch nicht 1/5." Selbstverständlich war es unmöglich, ihm zu erklären, dass diese Axiome nichts
über Addition aussagen und auch nichts über Brüche.

[Ganzhinterseher]

In den von mir verwendeten, nicht erfundenen Axiome ist mehr drin.
Noch besser ist allerdings Lorenzens Ansatz. Auch Zermelos Mengen können als natürliche Zahlen gedeutet werden. Und am besten passt zu Perrons Aussage die Schulmathematik der ersten Klasse: 1, 2, 3, 4, 5, und so weiter bis 10 mal 10, das sind natürliche Zahlen. Dann kommt die +1 Erkenntnis automatisch.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Dienstag, 16. August 2022 um 16:12:07 UTC+2:

> Ja - genau - die Peano Axiome sagen aus, dass jede Liste, die die vorgeschriebene Struktur hat, als Menge der natürlichen Zahlen benutzt werden kann.

> Lange Zeit ist Herr Mückenheim auf diesem Thema herumgeritten: "Man kann doch unmöglich the

> n-te Zahl 1/n nennen, denn 1/2 + 1/3 ist doch nicht 1/5." Selbstverständlich war es unmöglich, ihm zu erklären, dass diese Axiome nichts
> über Addition aussagen und auch nichts über Brüche.

Und leider auch nichts über natürliche Zahlen, denn deren wichtigste Eigenschaft ist, dass die Addition von 1 diese Menge niemals verlässt.

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Tuesday, August 16, 2022 at 4:12:07 PM UTC+2, JVR wrote:

> Lange Zeit ist Herr Geheimrat Professor Doktor habil.[äq.] Mückenheim auf diesem Thema herumgeritten: "Man kann doch unmöglich the

> n-te Zahl 1/n nennen, denn 1/2 + 1/3 ist doch nicht 1/5." [...]

Vermutlich hat er eher gesagt: "Man kann doch unmöglich 1/n die n-te Zahl nennen, denn 1/2 + 1/3 ist doch nicht 1/5." [...]

Doch kann man.

Ich setze jetzt einfach mal fest:

IN* := {1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...} und nenne das die Menge der woken Zahlen.

Des weiteren definiere ich auf IN*:

s*(n) = 1/((1/n)+1).

Dann erfüllt die Struktur <IN*, s*, 1/1> die Peano-Axiome.

Ich kann dann mittels rekursiver Definition auch noch eine Addition auf IN* definieren:

n +* 1 = s*(n)
n +* s*(m) = s*(n +* m).

Auch definiere ich zur Vereinfachung;

1* := 1/1
2* := 1/2
3* := 1/3
usw.

Generell für jedes n e IN:

n* := 1/n.

Dann gilt für alle n, m e IN:

n* +* m* = (n + m)*

Insbesondere also z. B.

2* +* 3* = 5*.

Man kann das weiter treiben, also noch die Multiplikation und andere Operationen (in üblicher Weise) für IN* definieren.

Es zeigt sich dann, dass sämtliche arithmetische Gesetze "erhalten" bleiben, wenn man jeweils die natürlichen Zahlen durch ihre gesternten Pendants austauscht und die üblichen arithmetischen Operationen durch ihre gesternten Pendants.

Mithin könnte also eine Gruppe woker Aktivisten beschließen, ab sofort nur noch woke Zahlen und die auf ihnen definierten woke Operationen zu benutzen, statt wie bisher üblich, die gewöhnliche natürlichen Zahlen und die auf ihnen definierten arithmetischen Operationen. (Auch könnten sie dazu übergehen, nun die woken Zahlen "natürliche Zahlen" zu nennen, weil DIESE dann für für sie ganz natürlich wären. 1/1 könnten sie /eins*/ nennen, 1/2 /zwei*/, 1/3 /drei*/ usw. Sie würden also zählen: 1*, 2*, 3* ...).

Aus mathematischer Sicht wäre das "gehupft wie gesprungen".

[Fritz Feldhase]

On Tuesday, August 16, 2022 at 4:17:27 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 16. August 2022 um 15:54:46 UTC+2:
> >
> > Herr Mückenheim bemängelt an den Peano-Axiomen gerne, dass die nicht wirklich DIE (also die einzig wahren) natürlichen Zahlen "definieren" würden. Genau das zeigt sein tiefgreifendes Unverständnis in Bezug auf Sinn und zweck von Axiomen. Dass in Bezug auf "die natürlichen Zahlen" (auf diese Weise) nicht mehr drin ist, als sie bis "auf Isomorphie" festzulegen, wird er wohl nie verstehen.
> >
> In den von mir verwendeten, nicht erfundenen Axiome ist mehr drin.

Wie ich schon sagte: "Dass in Bezug auf "die natürlichen Zahlen" (auf diese Weise) nicht mehr drin ist, als sie bis "auf Isomorphie" festzulegen, wird er wohl nie verstehen."

> Noch besser ist allerdings Lorenzens Ansatz.

Er ist nicht "noch besser". Sondern VÖLLIG ANDERS, Du Hohlbirne.

> Auch Zermelos Mengen können als natürliche Zahlen gedeutet werden.

*seufz* DAS WURDE VON MIR DOCH GERADE ERST ZUM AUSDRUCK GEBRACHT OBEN.

> Und am besten passt zu Perrons Aussage die Schulmathematik der ersten Klasse: 1, 2, 3, 4, 5, und so weiter bis 10 mal 10, das sind natürliche Zahlen. Dann kommt die +1 Erkenntnis automatisch.

Du hast Perons Erläuterungen offenbar in keinster Weise verstanden, Mückenheim.

Ja, man KÖNNTE in der Tat statt "s(n)" bzw. "n+" etc. die Peano-Axiome auch mit "n + 1" schreiben, wenn man das "+ 1" eben als "Elementaroperation" auffasst, die den Nachfolger der Zahl liefert, auf die sie angewandt wird. Ich hatte kürlich erwähnt, dass Hilbert das schon so gemacht hatte (um gewisse arithmetische Axiome zu formulieren). Einer der Grunde, das in der "höheren Mathematik" NICHT zu machen, besteht darin, dass damit das "+" Symbol schon "verbraucht" wäre, man es aber gerne zur Bezeichnung der BINÄREN Operation der Addition verwenden würde. Wenn wir für letzteres einmal kurz +_2 schreiben, dann gilt aber (nach entsprechender Definition von +_2) An e IN: n + 1 = n +_2 1. Insofern ist es m. E. nicht gar so schlimm, wenn man das "+"-Sysmbol in beiden Fällen verwendet. Aber einem Mathematik-Studenten im ersten Semester würde ich das nicht zumuten wollen.

Sprachlich kann man das (auf Schulniveau) als "die auf n nächstfolgende Zahl" ausdrücken: "Die auf 1 nächstfolgende Zahl ist (die) 2, Die auf 2 nächstfolgende Zahl ist (die) 3, ..." Des weiteren wird den Schülern vermittelt, dass die auf n nächstfolgende Zahl eben auch durch die Addition von 1 erhalten werde kann. Also ist für einen Schüler klar, dass (für jede natürliche Zahl n) die auf n nächstfolgende Zahl gleich der Addition von n mit 1 ist.

SPÄTER wird er lernen, dass ausgehend von den üblichen Peano-Axiomen (und nach Definition der binäre Operation +)

An e IN: s(n) = n + 1

gilt. Genauer: Man DEFINIERT (die binäre Operation) /+/ sogar genau so, DASS das gilt. :-)

[Fritz Feldhase]

On Tuesday, August 16, 2022 at 4:20:16 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> Und leider auch nichts über natürliche Zahlen, denn deren wichtigste Eigenschaft ist, dass die Addition von 1 diese Menge niemals verlässt.

Schauen sie Mückenheim. Wir setzen jetzt einfach mal fest:

IN* := {1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...}

Des weiteren definiere ich auf IN*:

s*(n) = 1/((1/n)+1).

Dann erfüllt die Struktur <IN*, s*, 1/1> die Peano-Axiome. (D. h. in dieser "Form" der "Peano-Axiome" spielt "1/1" die Rolle, die sonst "1" spielt.)

Ich kann dann mittels rekursiver Definition auch noch eine Addition auf IN* definieren:

n +* 1 = s*(n)
n +* s*(m) = s*(n +* m).

Es gilt dann natürlich für alle n e IN*: n +* 1/1 e IN*.

Um Ihnen das Verständnis zu erleichtern, wollen wir noch definieren:

1* := 1/1.

Es gilt dann also für alle n e IN*: n +* 1* e IN*.

Wenn jetzt durch einen Defekt der Druckmaschine in einem Buch nie der * gedruckt werde würde, würde da (im Buch) stehen:

"Es gilt dann also für alle n e IN: n + 1 e IN."

In der Tat.

[Ralf Bader]

Nun ja. Wenn man die durch die Peano-Axiomen definierte Struktur als DPS
(Dedekind-Peano-System) bezeichnet, so daß ein DPS ein Tripel (M,m,s)
aus einer Menge M, einem Element m von M und der Nachfolgerabbildung s
ist, dann hängt es von der daran anschließenden Definition der Addition
ab, ob m die Rolle der 0 oder die der 1 zufällt. Die Nachfolgerabbildung
mit "+1", sprachlich aufzufassen als ein Token, könnte man zwar machen,
aber irgendeinen Sinn oder Vorzug gegenüber der Alternative kann ich
darin nicht erkennen.

[Fritz Feldhase]

On Tuesday, August 16, 2022 at 7:30:28 PM UTC+2, Ralf Bader wrote:
>
> [...] Die Nachfolgerabbildung mit "+1", sprachlich aufzufassen als ein Token,

> könnte man zwar machen, aber irgendeinen Sinn oder Vorzug gegenüber
> der Alternative kann ich darin nicht erkennen.

Ich auch nicht. Obwohl ich das - wie schon erwähnt - bei sogar Hilbert gesehen habe. Sagen wir mal so: Es sieht (auf den ersten Blick) ganz ansprechend aus. Es ist (im gegebenen Kontext) "klar", was gemeint ist.

Die Bezeichnungsweise "n+" (für den NAchfolger von n) ist ja bekannt. Insofern ist es m. E. nicht ganz abwegig, dafür auch "n+1" zu schreiben.

Aber DAVON mal abgesehen, ich denke, Mückenheim hat das einfach von seiner Vorlage übernommen, wo das "+" die auf den reellen Zahlen definierte Addition bezeichnet hat und "1" die reelle Zahl x, für die "Ay e IR: x * y = y"gilt. Nix mit "Elementaroperation".

[Tom Bola]

Fritz Feldhase schrieb:

> Einer der Grunde, das in der "höheren Mathematik" NICHT zu machen, besteht darin, dass damit das "+" Symbol schon "verbraucht" wäre, man es aber gerne zur Bezeichnung der BINÄREN Operation der Addition verwenden würde.

Daneben ist auch in der Definition s(n) <=> n{"plus"}1 die Zahl Eins
Bestandteil der Definition -- was ein fundamentaler Unterschied ist.

[Fritz Feldhase]

On Tuesday, August 16, 2022 at 9:16:21 PM UTC+2, Tom Bola wrote:
> Fritz Feldnase schrieb:
> >
> > Einer der Grunde, das in der "höheren Mathematik" NICHT so zu machen, besteht darin, dass damit das "+"-Symbol schon "verbraucht" wäre
> > [indem es als Bestandteil im Symbol "+ 1" auftritt], man es aber gerne zur Bezeichnung der BINÄREN Operation der Addition verwenden würde.

> >
> Daneben ist auch in der Definition s(n) <=> n{"plus"}1 die Zahl Eins Bestandteil der Definition -- was ein fundamentaler Unterschied ist.

Nein. Du darfst nicht die Zahl 1 (die Zahl Eins) mit dem Zahlzeichen "1" verwechseln (so wie Mückenheim das gerne macht).

In der Bezeichnung "+1" der Nachfolgeroperation kommt also nicht die /Zahl/ 1 vor, sondern nur (als eines Ihrer Bestandteile) das Zahlzeichen "1". DAS ist unproblematisch. Das Symbol "+1" ist nur eine Zeichenfolge in dem die beiden Zeichen "+" und "1" vorkommen (auftreten). Kein Problem.

Aber eben: Einem Mathematik-Studenten im ersten Semester möchte ich das nicht erklären müssen. Ich niemanden, der Mathe NICHT studiert hat. :-P

Es kann leicht zu Missveständnissen führen - ich glaube darin sind wir uns (abgesehen von Mückenheim) alle einig.

[Tom Bola]

Fritz Feldhase schrieb:

Bei der Definition s(n): n+1 steckt die Information drin, dass 1 die kleinst
mögliche Zahl (und kleinst mögliche Mächtigkeit einer nichtleeren Teilmenge)
ist, und das in eine fundamentale Definition <unnötigerweise> mit hinein zu
stecken ist strukturelle Verschwendung bei Ablehnung der möglichen Option auf
Anwendung des logischen Grundsatzes in fundamentale Definitionen nur die minimal
nötige Menge an Information zu stecken ;)

[Tom Bola]

Fritz Feldhase schrieb:

Aber das muss man dazusagen bei Wahl der Definition s(n): n+1 was eben nicht
einer Funktion, (zunächst der Injektion -> { s(n),s(s(n)),s(s(s(n))),...} )
entspricht, sondern einer Operation mit der Konstanten 1. Kein Mensch kommt
auf die Idee, die Symbolik "n+1" anders zu verstehen, wenn er nicht bereits
bestens mit der Thematik vertraut ist!

[Tom Bola]

Fritz Feldhase schrieb:

> ... Die Bezeichnungsweise "n+" (für den Nachfolger von n) ist ja bekannt.

Eben, (mit expliziten, nicht verhandelbarem Vorsatz) ohne die 1.

[Fritz Feldhase]

On Tuesday, August 16, 2022 at 9:56:12 PM UTC+2, Tom Bola wrote:
> Fritz Feldhase schrieb:
> >
> > ... Die Bezeichnungsweise "n+" (für den Nachfolger von n) ist ja bekannt.
> >

> Eben, [...] ohne die 1.

So ist es.

Aber _darüber_ solltest Du mit Hilbert oder Mückenheim sprechen, auf meinem Mist ist das nicht gewachsen.

[Fritz Feldhase]

On Tuesday, August 16, 2022 at 9:52:31 PM UTC+2, Tom Bola wrote:
> Fritz Feldhase schrieb:

> >
> > Es kann leicht zu Missveständnissen führen - ich glaube darin sind wir uns (abgesehen von Mückenheim) alle einig.
> >

> Aber das muss man dazusagen [...]. Kein Mensch kommt auf die Idee, die Symbolik "n+1" anders zu verstehen,
> [als NICHT als addition von n mit 1] wenn er nicht bereits bestens mit der Thematik vertraut ist!

Jo. Sehe ich auch so. Ich glaube ich hatte auch schon mal erwähnt, dass ich das einem Studenten im 1. Semester nicht zumuten wollte.

In WMs Amsatz bedeutet das "+" vermutlich die auf IR "gegebene" Addition. Er hat das beim Abschreiben aber wohl unterschlagen. So, dass sich hier "n + 1" wirklich auf die Addition von n mit 1 bezieht. Nix "Elementaroperation".

[Tom Bola]

Fritz Feldhase schrieb:

Sicherlich, und ich wollte das auch nur erwähnen, lieber Amicus! Das alles
sollte keinen ein Vorwurf enthalten (ich will eben auch mal was posten ;)...

[Tom Bola]

Fritz Feldhase schrieb:

> On Tuesday, August 16, 2022 at 9:52:31 PM UTC+2, Tom Bola wrote:
>> Fritz Feldhase schrieb:
>>>
>>> Es kann leicht zu Missveständnissen führen - ich glaube darin sind wir uns (abgesehen von Mückenheim) alle einig.
>>>
>> Aber das muss man dazusagen [...]. Kein Mensch kommt auf die Idee, die Symbolik "n+1" anders zu verstehen,
>> [als NICHT als addition von n mit 1] wenn er nicht bereits bestens mit der Thematik vertraut ist!
>
> Jo. Sehe ich auch so. Ich glaube ich hatte auch schon mal erwähnt, dass ich das einem Studenten im 1. Semester nicht zumuten wollte.
>
> In WMs Amsatz bedeutet das "+" vermutlich die auf IR "gegebene" Addition.

Na klar.

> Er hat das beim Abschreiben aber wohl unterschlagen. So, dass sich hier "n + 1" wirklich auf die Addition von n mit 1 bezieht. Nix "Elementaroperation".

Wäre auch keine "elementare" Schande das so zu sehen, oder, wer "empfindet" die Nachfolgerfunktion schon "wirklich rekursiv"! Das sind dann wohl eher diejenigen, die sich auch mühelos vier und mehr Dimensionen "wirklich vorstellen können", tja.
Aber den strukturell-logischen Unterschied darf man eben auch nicht "unterschlagen", wenn man fachlich darüber spricht. Das WM ist ohnehin ein ekliges, dämliches Arschloch, das von diesen Dingen keinerlei Ahnung hat und haben kann, letzteres, weil es eben nun mal wegen
angeborener Hirnmißbildung manifest-permanent unterbelichtet ist...

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, August 17, 2022 at 12:01:41 AM UTC+2, Tom Bola wrote:
> Fritz Feldhase schrieb:
> > On Tuesday, August 16, 2022 at 9:56:12 PM UTC+2, Tom Bola wrote:
> >> Fritz Feldhase schrieb:
> >>>
> >>> ... Die Bezeichnungsweise "n+" (für den Nachfolger von n) ist ja bekannt.
> >>>
> >> Eben, [...] ohne die 1.
> >>
> > So ist es.
> >
> > Aber _darüber_ solltest Du mit Hilbert oder Mückenheim sprechen, auf meinem Mist ist das nicht gewachsen.
> >
> Sicherlich, und ich wollte das auch nur erwähnen, lieber Amicus! Das alles
> sollte keinen ein Vorwurf enthalten (ich will eben auch mal was posten ;)...

Alles gut. Sind ja auch viel interessantere Themen als Mückes saudummer Scheißdreck.

D e r weiß es ja besser als Cantor, Dedekind, Peano und Konsorten (natürlich auch besser als Franz Lemmermeyer). Warum sollten gestandene/professionelle Mathematiker auch mehr von Mathematik verstehen als ein Physiker und Hobbymathematiker?

Siehe: https://de.m.wikipedia.org/wiki/Franz_Lemmermeyer

Apropos Verleumder, Mücke bezeichnet Lemmermeyer gerne als "gescheiterten Mathematiker", weiß der Himmel warum: "Am 24. Mai 2016 wurde Franz Lemmermeyer von der Carl-Friedrich-Gauß-Fakultät der Technischen Universität Carolo-Wilhelmina in Braunschweig die Ehrendoktorwürde verliehen." (Wikipedia)

Sollte sich stattdessen geehrt fühlen, dass sich so jemand überhaupt seines "Lehbuchs" annimmt.

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, August 17, 2022 at 12:10:23 AM UTC+2, Tom Bola wrote:
> Fritz Feldhase schrieb:
> > On Tuesday, August 16, 2022 at 9:52:31 PM UTC+2, Tom Bola wrote:
> >> Fritz Feldhase schrieb:
> >>>

> >>> Es kann leicht zu Missverständnissen führen - ich glaube darin sind wir uns (abgesehen von Mückenheim) alle einig.

> >>>
> >> Aber das muss man dazusagen [...]. Kein Mensch kommt auf die Idee, die Symbolik "n+1" anders zu verstehen,
> >> [als NICHT als addition von n mit 1] wenn er nicht bereits bestens mit der Thematik vertraut ist!
> >
> > Jo. Sehe ich auch so. Ich glaube ich hatte auch schon mal erwähnt, dass ich das einem Studenten im 1. Semester nicht zumuten wollte.
> >

> > In WMs Ansatz bedeutet das "+" vermutlich die auf IR "gegebene" Addition.

> >
> Na klar.
> >
> > Er hat das beim Abschreiben aber wohl unterschlagen. So, dass sich hier "n + 1" wirklich auf die Addition von n mit 1 bezieht. Nix "Elementaroperation".
> >
> Wäre auch keine "elementare" Schande das so zu sehen, oder, wer "empfindet" die Nachfolgerfunktion schon "wirklich rekursiv"!

Die Addition meinst Du bestimmt.

Nun, das ist ja das Schöne am Dedekindschen Rekursionssatzes: Die "Definition" der Addition erfolgt zwar "rekursiv", also unter Angabe einer Rekursionsformel, aber der Satz garantiert die _Existenz_ einer _Funktion_, da ist dann nix mehr "rekursiv".

Natürlich kann man das Ergebnis einer Addition auch rekursiv "berechnen".

Daher wäre meine Antwort auf Deine Frage: Informatiker (und Mathematiker natürlich).

> Das sind dann wohl eher diejenigen, die sich auch mühelos vier und mehr Dimensionen "wirklich vorstellen können", tja.
>
> Aber den strukturell-logischen Unterschied darf man eben auch nicht "unterschlagen", wenn man fachlich darüber spricht

Ja. Aber so schlimm ist es nun auch wieder nicht. Der Weg über die reellen Zahlen ist natürlich nett, wenn man diese schon zur Verfügung hat. Andernfalls muss man genau umgekehrt vorgehen.

Siehe: E. Landau, Grundlagen der Analysis, 1930.

Ein (heute noch) empfehlenswertes Büchlein. (Mücke hat es wohl nie gelesen.)

[Tom Bola]

Fritz Feldhase schrieb:

> On Wednesday, August 17, 2022 at 12:10:23 AM UTC+2, Tom Bola wrote:
>> Fritz Feldhase schrieb:
>>> On Tuesday, August 16, 2022 at 9:52:31 PM UTC+2, Tom Bola wrote:
>>>> Fritz Feldhase schrieb:
>>>>>
>>>>> Es kann leicht zu Missverständnissen führen - ich glaube darin sind wir uns (abgesehen von Mückenheim) alle einig.
>>>>>
>>>> Aber das muss man dazusagen [...]. Kein Mensch kommt auf die Idee, die Symbolik "n+1" anders zu verstehen,
>>>> [als NICHT als addition von n mit 1] wenn er nicht bereits bestens mit der Thematik vertraut ist!
>>>
>>> Jo. Sehe ich auch so. Ich glaube ich hatte auch schon mal erwähnt, dass ich das einem Studenten im 1. Semester nicht zumuten wollte.
>>>
>>> In WMs Ansatz bedeutet das "+" vermutlich die auf IR "gegebene" Addition.
>>>
>> Na klar.
>>>
>>> Er hat das beim Abschreiben aber wohl unterschlagen. So, dass sich hier "n + 1" wirklich auf die Addition von n mit 1 bezieht. Nix "Elementaroperation".
>>>
>> Wäre auch keine "elementare" Schande das so zu sehen, oder, wer "empfindet" die Nachfolgerfunktion schon "wirklich rekursiv"!
>
> Die Addition meinst Du bestimmt.

Schrieb ich gerade, was ich meinte:

Die (zunächst) Injektion {1,2,3,...} -> { s(n),s(s(n)),s(s(s(n))),...}

> Nun, das ist ja das Schöne am Dedekindschen Rekursionssatzes: Die "Definition" der Addition erfolgt zwar "rekursiv", also unter Angabe einer Rekursionsformel, aber der Satz garantiert die _Existenz_ einer _Funktion_, da ist dann nix mehr "rekursiv".

Haha.

> Natürlich kann man das Ergebnis einer Addition auch rekursiv "berechnen".
>
> Daher wäre meine Antwort auf Deine Frage: Informatiker (und Mathematiker natürlich).
>
>> Das sind dann wohl eher diejenigen, die sich auch mühelos vier und mehr Dimensionen "wirklich vorstellen können", tja.
>>
>> Aber den strukturell-logischen Unterschied darf man eben auch nicht "unterschlagen", wenn man fachlich darüber spricht
>
> Ja. Aber so schlimm ist es nun auch wieder nicht. Der Weg über die reellen Zahlen ist natürlich nett, wenn man diese schon zur Verfügung hat. Andernfalls muss man genau umgekehrt vorgehen.

Zur Umgehung der ("volksnahen") korrekten rekursiven Vorstellung genügt natürlich auch eine Integeraddition von Eins! Die hat man eben einfach zur Verfügung, sogar als Piraha ( <-- interessant übrigens, das... ).

> Siehe: E. Landau, Grundlagen der Analysis, 1930.
>
> Ein (heute noch) empfehlenswertes Büchlein. (Mücke hat es wohl nie gelesen.)

Wer kennt es nicht...

[Ralf Goertz]

Am Tue, 16 Aug 2022 15:23:25 -0700 (PDT)
schrieb Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com>:

> Alles gut. Sind ja auch viel interessantere Themen als Mückes
> saudummer Scheißdreck.
>
> D e r weiß es ja besser als Cantor, Dedekind, Peano und Konsorten
> (natürlich auch besser als Franz Lemmermeyer). Warum sollten
> gestandene/professionelle Mathematiker auch mehr von Mathematik
> verstehen als ein Physiker und Hobbymathematiker?
>
> Siehe: https://de.m.wikipedia.org/wiki/Franz_Lemmermeyer
>
> Apropos Verleumder, Mücke bezeichnet Lemmermeyer gerne als
> "gescheiterten Mathematiker", weiß der Himmel warum: "Am 24. Mai 2016
> wurde Franz Lemmermeyer von der Carl-Friedrich-Gauß-Fakultät der
> Technischen Universität Carolo-Wilhelmina in Braunschweig die
> Ehrendoktorwürde verliehen." (Wikipedia)

Auch hat er selbst ein Buch geschrieben, das zwar nicht für die ersten
Sylvester geeignet ist, aber dafür viel tiefgreifende Mathematik
enthält: https://doi.org/10.1007/978-3-662-12893-0 Interessant wäre es,
eine Rezension von Mückenheim zu lesen. (Ne lieber nicht.)

> Sollte sich stattdessen geehrt fühlen, dass sich so jemand überhaupt
> seines "Lehbuchs" annimmt.

Allerdings.

[JVR]

On Tuesday, August 16, 2022 at 4:17:27 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

Das war natürlich vorhersehbar, dass Sie den Standpunkt von Perron und Hilbert nicht verstehen würden.

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Mittwoch, 17. August 2022 um 13:23:12 UTC+2:

> Das war natürlich vorhersehbar, dass Sie den Standpunkt von Perron und Hilbert nicht verstehen würden.

Das mag ketzerisch klingen; aber tatsächlich ist es so. Warum sollte er seinen Standpunkt als ketzerisch bezeichnen, wenn er im Mainstream schwämme?

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 16. August 2022 um 17:16:07 UTC+2:
> On Tuesday, August 16, 2022 at 4:17:27 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> > Und am besten passt zu Perrons Aussage die Schulmathematik der ersten Klasse: 1, 2, 3, 4, 5, und so weiter bis 10 mal 10, das sind natürliche Zahlen. Dann kommt die +1 Erkenntnis automatisch.
> Du hast Perons Erläuterungen offenbar in keinster Weise verstanden

Ich habe verstanden, was er zu Beispielen sagte. Wäre er Deiner Meinung, so hätte er seine Ansicht nicht als ketzerisch bezeichnet.

>
> Ja, man KÖNNTE in der Tat statt "s(n)" bzw. "n+" etc. die Peano-Axiome auch mit "n + 1" schreiben, wenn man das "+ 1" eben als "Elementaroperation" auffasst, die den Nachfolger der Zahl liefert,

Nein, es ist die Addition, die mit 1 ebenso wie mit jeder so erreichbaren Zahl erfolgen kann.

> dass damit das "+" Symbol schon "verbraucht" wäre, man es aber gerne zur Bezeichnung der BINÄREN Operation der Addition verwenden würde.

n +1 ist eine Binäre Operation ebenso wie n + 2.

>
> Also ist für einen Schüler klar, dass (für jede natürliche Zahl n) die auf n nächstfolgende Zahl gleich der Addition von n mit 1 ist.

Bingo! Und mehr bedarfs nicht.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Ralf Bader schrieb am Dienstag, 16. August 2022 um 19:30:28 UTC+2:
> Die Nachfolgerabbildung
> mit "+1", sprachlich aufzufassen als ein Token, könnte man zwar machen,
> aber irgendeinen Sinn oder Vorzug gegenüber der Alternative kann ich
> darin nicht erkennen.

Damit hätte man die natürlichen Zahlen und könnte gleich viele Beispiel verwenden. Der Abstand zweier natürlicher Zahlen ist nämlich 1.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 16. August 2022 um 22:12:25 UTC+2:

> In WMs Amsatz bedeutet das "+" vermutlich die auf IR "gegebene" Addition.

Nein!

Was soll denn |R hier? Wenn es überhaupt keine irrationalen Zahlen gäbe, so gäbe es trotzdem die Addition. Sollte die dann nur auf den rationalen Zahlen definiert werden können? Wen es die auch nicht gäbe, so gäbe es trotzdem die Addition. Also Deine Verirrung mit |R ist absolut unverständlich und ärgerlich. Du hast es vielleicht so gelernt. Es gibt aber keinen Grund das für jeden vorzuschreiben. Die Addition wird auf den natürlichen Zahlen definiert (in der Elementarschule als Elementaroperation geübt: unum et unum duo, duo et duo quattuor, immer wieder, bis es sitzt), lange bevor andere Zahlenmengen bekannt sind.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Ralf Goertz schrieb am Mittwoch, 17. August 2022 um 09:33:57 UTC+2:
> Am Tue, 16 Aug 2022 15:23:25 -0700 (PDT)
> schrieb Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com>:

> > Sollte sich stattdessen geehrt fühlen, dass sich so jemand überhaupt
> > seines "Lehbuchs" annimmt.
> Allerdings.

So? In welchem Punkt hat er denn die Wahrheit gesagt?

“Mathematik für die ersten Semester” enthält den Teil der Mathematik, der für ein Studium technischer Fächer ausreicht: etwas elementare Geometrie, lineare Algebra, Infinitesimalrechnung, sowie die Anfangsgründe der Vektoranalysis und der Differentialgleichungen. Die Darstellung geht für ein Buch dieser Art im großen und ganzen in Ordnung, und zahlreichen Übungsaufgaben runden es ab. Hätte der Autor es dabei belassen, wäre außer einigen größeren und kleineren Fehlern nicht viel zu bemängeln gewesen.

Der Satz trifft genau den Kern dieser "Rezension".

Unglücklicherweise setzt der Autor aber seinen Feldzug gegen die moderne Mathematik (dazu zählen die Errungenschaften der letzten 2500 Jahre: die Existenz von Geraden, Kreisen, oder der Primfaktorzerlegung einiger natürlicher Zahlen wird ebenso bestritten wie die von irrationalen Zahlen) auch in diesem “Lehrbuch” fort.

Das ist falsch. Ich bestreite weder die Existenz von irrationalen Zahlen noch die von Geraden, Kreisen usw. Die Menge der reellen Zahlen besteht aus allen rationalen und allen irrationalen Zahlen (S. 36). Man stelle die Menge der Punkte eines Kreises um den Ursprung (0 | 0) in kartesischen Koordinaten dar (S. 49). Was ich bestreite ist die Existenz einer vollendeten Unendlichkeit. Diese Mathematik ist 2500 Jahre ohne aktual unendliche Mengen ausgekommen.

Das beginnt mit dem unsäglichen Vorwort, in dem den Lesern erklärt wird, dass praktisch alle Sätze, die in diesem Buch bewiesen werden (oder auch nicht), falsch sind; in den Worten des Autors: sie “leiden Ausnahmen”.

Dieser Satz ist ein bekanntes Zitat von Abel zu Sätzen Cauchys. Mein Satz bezieht sich darauf, dass es unmöglich ist und für immer bleiben wird, Irrationalzahlen wie 2 oder  mit einem relativen Fehler < 1/210100 ihres Wertes darzustellen. An dieser Tatsache bin ich unschuldig. Ihre Erkenntnis sollte nicht verdrängt oder bestraft werden.

Das Problem liegt in den Augen des Autors daran, dass z.B. die Funktion f(x) = x2−2 stetig ist und das Vorzeichen wechselt, aber mangels der Existenz von 2 keine Nullstelle hat.

Selbstverständlich existieren irrationale Zahlen, aber nicht ihre vollständigen Dezimaldarstellungen. Das sollte ein Mathematiker zu unterscheiden wissen.

Diese Schlampigkeit im Großen setzt sich im Kleinen fort: Funktionen f: X  Y werden ordentlich erklärt (mit Hilfe der vom Autor abgelehnten Mengenlehre),

Ich lehne die Mengenlehre nicht ab. Ich lehne ihre transfiniten Teile ab. Auch das sollte ein Mathematiker zu unterscheiden wissen.

doch dann erscheint auf S. 20 aus heiterem Himmel folgende Definition: “Sei eine reelle Zahl. Eine lineare Abbildung f ist eine Abbildung mit den Eigenschaften f(x1 + x2) = f(x1)+f(x2) und f(x) = f(x).” Bei dieser Definition ist so ziemlich alles falsch, was man falsch machen kann: reelle Zahlen wurden noch nicht eingeführt;

Die Zahlenmengen einschließlich der natürlichen, ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen werden auf S. 8 eingeführt - übrigens in allen drei Auflagen.

Definitionsbereich und Bildbereich der Abbildung sind nicht festgelegt, wodurch die Addition x1+x2, die der Bilder oder die Multiplikation mit  keinen Sinn macht;

Auf S. 19 ist definiert: Abbildungen von Zahlenmengen auf Zahlenmengen bezeichnet man meist als Funktionen. Alle Folgen und alle Funktionen sind also Abbildungen. Danach folgen Beispiele für Relationen mit Zahlen. Offensichtlich sind die Objekte aus Definitionsbereich und Bildbereich solche, für die Addition und Multiplikation definiert sind. Es kann nicht erwartet werden, dass alle relevanten Definitionen auf jeder Seite wiederholt werden.

Gruß, WM

[Ralf Goertz]

Am Wed, 17 Aug 2022 06:17:37 -0700 (PDT)
schrieb Ganzhinterseher <askas...@gmail.com>:

> Ralf Goertz schrieb am Mittwoch, 17. August 2022 um 09:33:57 UTC+2:
> > Am Tue, 16 Aug 2022 15:23:25 -0700 (PDT)
> > schrieb Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com>:
>
> > > Sollte sich stattdessen geehrt fühlen, dass sich so jemand
> > > überhaupt seines "Lehbuchs" annimmt.
> > Allerdings.
>
> So? In welchem Punkt hat er denn die Wahrheit gesagt?

Du kannst deine hilflose Replik auf seine Kritik heute gegen 15 Uhr
posten und auch gern 12 Stunden später gegen 27 Uhr. Das ändert nichts
an der Korrektheit seiner Einschätzung deines Machwerks.

[Ganzhinterseher]

Ralf Goertz schrieb am Mittwoch, 17. August 2022 um 16:01:24 UTC+2:
> Am Wed, 17 Aug 2022 06:17:37 -0700 (PDT)
> schrieb Ganzhinterseher <askas...@gmail.com>:
> > Ralf Goertz schrieb am Mittwoch, 17. August 2022 um 09:33:57 UTC+2:
> > > Am Tue, 16 Aug 2022 15:23:25 -0700 (PDT)
> > > schrieb Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com>:
> >
> > > > Sollte sich stattdessen geehrt fühlen, dass sich so jemand

> > > > überhaupt seines "Lehrbuchs" annimmt.

> > > Allerdings.
> >
> > So? In welchem Punkt hat er denn die Wahrheit gesagt?
> Du kannst deine hilflose Replik auf seine Kritik heute gegen 15 Uhr
> posten und auch gern 12 Stunden später gegen 27 Uhr. Das ändert nichts
> an der Korrektheit seiner Einschätzung deines Machwerks.

Wenn Du nichts zu Themen der höheren Mathematik und transfiniten Mengenlehre zu sagen verstehst, dann verstehe ich das. Aber simple mathematischen Fragen, die man sogar jederzeit in meinem Buch W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015) nachsehen kann, scheinen auch außerhalb Deines Horizontes zu liegen. Das hört sich eher nach Hilflosigkeit an.

Schau, Lemmermeyer hat grundsätzlich eine zu scharfe Zunge, wie man an vielen seiner Veröffentlichungen sehen kann, die mitunter sogar recht unterhaltsam zu lesen sind, zum Beispiel diese: http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/publ/tor.pdf, aber Du kannst nur stur und anödend ohne den Anflug eines Argumentes auf Deinem Standpunkt (Horizont vom Radius 0) beharren. Das ist langweilig.

Gruß, WM

[Ralf Goertz]

Am Wed, 17 Aug 2022 08:14:51 -0700 (PDT)

schrieb Ganzhinterseher <askas...@gmail.com>:

> Ralf Goertz schrieb am Mittwoch, 17. August 2022 um 16:01:24 UTC+2:
> > Am Wed, 17 Aug 2022 06:17:37 -0700 (PDT)
> > schrieb Ganzhinterseher <askas...@gmail.com>:
> > > Ralf Goertz schrieb am Mittwoch, 17. August 2022 um 09:33:57
> > > UTC+2:
> > > > Am Tue, 16 Aug 2022 15:23:25 -0700 (PDT)
> > > > schrieb Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com>:
> > >
> > > > > Sollte sich stattdessen geehrt fühlen, dass sich so jemand
> > > > > überhaupt seines "Lehrbuchs" annimmt.
> > > > Allerdings.
> > >
> > > So? In welchem Punkt hat er denn die Wahrheit gesagt?
> > Du kannst deine hilflose Replik auf seine Kritik heute gegen 15 Uhr
> > posten und auch gern 12 Stunden später gegen 27 Uhr. Das ändert
> > nichts an der Korrektheit seiner Einschätzung deines Machwerks.
>
> Wenn Du nichts zu Themen der höheren Mathematik und transfiniten
> Mengenlehre zu sagen verstehst, dann verstehe ich das.

Du verstehst, dass es keinen Sinn ergibt, mit dir über Mathematik zu
diskutieren? Gratulation!

> Aber simple mathematischen Fragen, die man sogar jederzeit in meinem
> Buch W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De
> Gruyter, Berlin (2015) nachsehen kann,

Gut, dass du das nochmal genau erwähnt hast. Falls jemand es dringend
kaufen möchte. (Ich nicht.)

> scheinen auch außerhalb Deines Horizontes zu liegen. Das hört sich
> eher nach Hilflosigkeit an.

Ja genau, ich stehe hilflos vor so viel mit unerträglicher Arroganz
gepaarter Inkompetenz.

> Schau, Lemmermeyer hat grundsätzlich eine zu scharfe Zunge, wie man
> an vielen seiner Veröffentlichungen sehen kann, die mitunter sogar
> recht unterhaltsam zu lesen sind, zum Beispiel diese:
> http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/publ/tor.pdf

Danke, das ist tatsächlich amüsant.

> aber Du kannst nur stur und anödend ohne den Anflug eines Argumentes
> auf Deinem Standpunkt (Horizont vom Radius 0) beharren.

Jedes Argument dient dem Wortsinn nach der Erhellung. Du möchtest es
aber lieber dunkel. Von daher beharre ich tatsächlich auf meinem
Standpunkt, dass es keinen Sinn ergibt, mit dir über Mathematik zu
diskutieren. Um das zu erkennen, ist der Radius 0 völlig ausreichend.

> Das ist langweilig.

Ja, ist es. Deshalb halte ich mich ab jetzt wieder zurück.

[Ralf Bader]

Soso, d"er Abstand zweier natürlicher Zahlen ist nämlich 1."
Immerhin sind Sie fähig, das konstant vollverblödete Niveau Ihres
Gefasels konsequent aufrechtzuerhalten.

[Ganzhinterseher]

Ralf Bader schrieb am Donnerstag, 18. August 2022 um 01:23:49 UTC+2:
> On 08/17/2022 03:02 PM, Ganzhinterseher wrote:
> > Ralf Bader schrieb am Dienstag, 16. August 2022 um 19:30:28 UTC+2:
> >> Die Nachfolgerabbildung mit "+1", sprachlich aufzufassen als ein
> >> Token, könnte man zwar machen, aber irgendeinen Sinn oder Vorzug
> >> gegenüber der Alternative kann ich darin nicht erkennen.
> >
> > Damit hätte man die natürlichen Zahlen und könnte gleich viele
> > Beispiel verwenden. Der Abstand zweier natürlicher Zahlen ist nämlich
> > 1.

> Soso, d"er Abstand zweier natürlicher Zahlen ist nämlich 1."

Ja, so ist es. Findest Du eine natürliche Zahl, die einen anderen Abstand zu ihren Nachbarn hat?

> Immerhin sind Sie fähig, das konstant vollverblödete Niveau Ihres
> Gefasels konsequent aufrechtzuerhalten.

Du würdest Dich sehr gut als Zweitkorrektor für Franz Lemmermeyer eignen.

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Thursday, August 18, 2022 at 1:32:12 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> Ralf Bader schrieb am Donnerstag, 18. August 2022 um 01:23:49 UTC+2:
> > On 08/17/2022 03:02 PM, Ganzhinterseher wrote:
> > >
> > > Der Abstand zweier natürlicher Zahlen ist nämlich 1.

Also z. B. der Abstand zwischen 4 und 10?

> > Soso, "der Abstand zweier natürlicher Zahlen ist nämlich 1."

> >
> Ja, so ist es. Findest Du eine natürliche Zahl, die einen anderen Abstand zu ihren Nachbarn hat?

Von "Nachbarn" war bisher nicht die Rede.

> > Immerhin sind Sie fähig, das konstant vollverblödete Niveau Ihres
> > Gefasels konsequent aufrechtzuerhalten.

Wohl wahr.

[Ralf Bader]

Es gibt Unterschiede zwischen epischem Nichtverstehen,
Flüchtigkeitsfehlern und dümmlichen Marotten. Das Bestreben, zwischen
ersterem und zweiterem keine Verwechslungen aufkommen zu lassen, ist,
wie schon häufig migeteilt, einer der Gründe, Ihre Darbietungen als
Scheißdreck zu bezeichnen.

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Donnerstag, 18. August 2022 um 18:18:09 UTC+2:
> On Thursday, August 18, 2022 at 1:32:12 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> > > > Der Abstand zweier natürlicher Zahlen ist nämlich 1.
> Also z. B. der Abstand zwischen 4 und 10?

Du solltest Dich auch bei Lemmermeyer als Zweitkorrektor bewerben.

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

Warum? Du hast einfach Scheiße formuliert; außerdem bist Du kein Schulmädchen mehr, oder?

Ich nehme also an, dass Du sagen WOLLTEST: "Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist nämlich 1."

Das ist wahr. Wobei zu berücksichtigen ist, dass üblicherweise der "Abstand" d so definiert ist, dass d(x, y) = d(y, x) ist. Im Kontext der natürlichen Zahlen müssen wir also etwas vorsichtig sein. Wir könnten definieren:

d(n, m) = n - m, wenn n > m und m - n andernfalls.
"der Abstand zwischen n und m"

Deine Aussage wäre dann in Zeichen:

An e IN: d(s(n), n) = 1 [ bzw. An e IN: d(n, s(n)) = 1 ].

Und jetzt? Mit der üblichen Definition der Addition im Kontext der Peano-Axiome gilt nämlich

n + 1 = s(n) für alle n e IN.

Und mit der üblichen Defintion von n - m (für n >= m) gilt dann in der Tat:

An e IN: d(n + 1, n) = (n + 1) - n = 1.

Wo genau siehst Du hier ein Problem, Du Spinner?

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Samstag, 20. August 2022 um 01:09:40 UTC+2:
> On Friday, August 19, 2022 at 3:25:33 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > Fritz Feldhase schrieb am Donnerstag, 18. August 2022 um 18:18:09 UTC+2:
> > > On Thursday, August 18, 2022 at 1:32:12 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > > >
> > > > Der Abstand zweier natürlicher Zahlen ist nämlich 1.
> > > >
> > > Also z. B. der Abstand zwischen 4 und 10?
> > >
> > Du solltest Dich auch bei Lemmermeyer als Zweitkorrektor bewerben.
> Warum?
>

> Ich nehme also an, dass Du sagen WOLLTEST: "Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist nämlich 1."
>
> Das ist wahr.

Und da der Abstand zwischen nicht aufeinanderfolgenden Zahlen größer als 1 ist, mir und allen meinen Lesern das aber mit Sicherheit bekannt ist, kann mein Satz nur so verstanden werden, wie Du "annimmst". Deine Anmerkungen sind also genau so penetrant dummerhaft wie die des Zweitkorrektors, an den Dr. Dr. hc Franz Lemmermeyer seinen erfrischenden Text gerichtet hat. "Sehen Sie: es gibt Konventionen in der Mathematik, die es einem erlauben, sich manchmal etwas kürzer auszudrücken. Diese Sache funktioniert gut, solange es nicht Leute gibt, die sich bemühen, alles misszuverstehen, was man missverstehen kann." http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/publ/tor.pdf

> Und jetzt? Mit der üblichen Definition der Addition im Kontext der Peano-Axiome gilt nämlich
>
> n + 1 = s(n) für alle n e IN.

Diese Definition ist aber in den Axiomen nicht niedergelegt.

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

Na und? Deshalb spricht man in diesem Zusammenhang ja auch von einer Definition und nicht von einem Axiom.

Die Axiome - zusammen mit den in meinem Post erwähnten Definitionen - erlauben einem allerdings den Satz

An e IN: d(n + 1, n) = 1

zu beweisen. Was genau verstehst Du daran nicht?

Hinweis: Man kann bzw. will nicht alles in den Axiomen niederlegen. Die Peano-Axiom enthalten 3 undefinierte "Grundbegriffe" nämlich IN, s() und 0. Alle anderen einschlägigen Begriffe, wie z. B. +, ×, ^; <, <=, ..., oder eben auch d(), werden - ausgehend von den Grundbegriffen - _definiert_. Anschließend kann man auf dieser Basis Sätze beweisen, die unter Benutzung der zuvor definierten Begriffe formuliert wurden.

Ach ja, ich vergaß, diese Vorgehensweise ist Dir natürlich fremd, denn:

"[WM’s] conclusions are based on the sloppiness of his notions, his inability of giving precise definitions, his fundamental misunderstanding of elementary mathematical concepts, and sometimes, as the late Dik Winter remarked [...], on nothing at all." (Dr. Dr. hc Franz Lemmermeyer)

[Fritz Feldhase]

On Saturday, August 20, 2022 at 10:21:07 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> Deine Anmerkungen sind also genau so penetrant dummerhaft wie die des Zweitkorrektors, an den Dr. Dr. hc Franz Lemmermeyer seinen erfrischenden Text gerichtet hat.

Aber, Mückenheim, das können SIE - anders als Herr Lemmermeyer - als mathematischer Laie doch gar nicht beurteilen/einschätzen.

Herr Lemmermayers Bemerkung ist übrigens kein Freibrief für ungenaue, schlampige, ja fehlerhafte Formulierungen, Mückenheim.

Sicher erinnern Sie Sich noch daran, dass Herr Lemmermayer eben diese _Schlampereien_ bei Ihnen schon mehrfach angemahnt hat:

(1) "[WM’s] conclusions are based on the sloppiness of his notions, his inability of giving precise definitions, his fundamental misunderstanding of elementary mathematical concepts, and sometimes, as the late Dik Winter remarked [...], on nothing at all."

(2) "Diese Schlampigkeit im Großen setzt sich im Kleinen fort [...]."

Ansonsten schließe ich mich hier der Meinung von Ralf Goertz an, "dass es keinen Sinn ergibt, mit dir über Mathematik zu diskutieren". Man kann den Scheißdreck, den Du hier verzapfst allenfalls richtig stellen bzw. entsprechend kommetieren. Die Chance, dass Du das verstehst, besteht jedoch nicht.

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Sonntag, 21. August 2022 um 00:15:51 UTC+2:
> On Saturday, August 20, 2022 at 10:21:07 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > Fritz Feldhase schrieb am Samstag, 20. August 2022 um 01:09:40 UTC+2:
> > >
> > > Und jetzt? Mit der üblichen Definition der Addition im Kontext der Peano-Axiome gilt nämlich
> > >
> > > n + 1 = s(n) für alle n e IN.
> > >
> > Diese Definition ist aber in den Axiomen nicht niedergelegt.
> Na und? Deshalb spricht man in diesem Zusammenhang ja auch von einer Definition und nicht von einem Axiom.

Es wird behauptet, dass die Peano Axiome die natürlichen Zahlen erzeugen. Das ist falsch.

>
> Die Axiome - zusammen mit den in meinem Post erwähnten Definitionen

Die in meinem Buch verwendeten Axiome brauchen keine weiteren Definitionen, sind also zweckmäßiger.

> Hinweis: Man kann bzw. will nicht alles in den Axiomen niederlegen.

Man kann nicht!

> Die Peano-Axiom enthalten 3 undefinierte "Grundbegriffe" nämlich IN, s() und 0. Alle anderen einschlägigen Begriffe, wie z. B. +, ×, ^; <, <=, ..., oder eben auch d(), werden - ausgehend von den Grundbegriffen - _definiert_.

Die von mir verwendeten Axiome enthalten nur zwei: +1 und Untermenge, wobei man auch darauf verzichten könnte, allerdings auf Kosten der Verständlichkeit, in dem man sagt: |N ist in allen so definierten Mengen enthalten.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Sonntag, 21. August 2022 um 00:37:06 UTC+2:
> On Saturday, August 20, 2022 at 10:21:07 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > Deine Anmerkungen sind also genau so penetrant dummerhaft wie die des Zweitkorrektors, an den Dr. Dr. hc Franz Lemmermeyer seinen erfrischenden Text gerichtet hat.

> Herr Lemmermayers Bemerkung ist übrigens kein Freibrief für ungenaue, schlampige, ja fehlerhafte Formulierungen, Mückenheim.
>
> Sicher erinnern Sie Sich noch daran, dass Herr Lemmermayer eben diese _Schlampereien_ bei Ihnen schon mehrfach angemahnt hat:

Er hat schlampigerweise einige Punkte moniert, die bezeichnenderweise bisher noch von keinem Leser hier kommentiert wurden. Wie wäre es denn, wenn Du einmal anfingest, zum Beispiel hier?

Unglücklicherweise setzt der Autor aber seinen Feldzug gegen die moderne Mathematik (dazu zählen die Errungenschaften der letzten 2500 Jahre: die Existenz von Geraden, Kreisen, oder der Primfaktorzerlegung einiger natürlicher Zahlen wird ebenso bestritten wie die von irrationalen Zahlen) auch in diesem “Lehrbuch” fort.

Das ist falsch. Ich bestreite weder die Existenz von irrationalen Zahlen noch die von Geraden, Kreisen usw. Die Menge der reellen Zahlen besteht aus allen rationalen und allen irrationalen Zahlen (S. 36). Man stelle die Menge der Punkte eines Kreises um den Ursprung (0 | 0) in kartesischen Koordinaten dar (S. 49). Was ich bestreite ist die Existenz einer vollendeten Unendlichkeit. Diese Mathematik ist 2500 Jahre ohne aktual unendliche Mengen ausgekommen.

Gruß, WM