Polynome - Nullstellen

[Alfred Flaßhaar]

Hallo in die Runde,

sei p(x) ein Polynom mit reellen Koeffizienten und auschließlich reellen
Nullstellen. Mich interessieren für Nullstellen solcher Polynome
Intervalle, in denen deren Nullstellen liegen. Altbekannt sind Verfahren
zur Bestimmung der Anzahl von Nullstellen, z. B. Sturmsche Kette.

Auf https://de.wikipedia.org/wiki/Nullstelle

ist unter 3.4 ein Intervall angegeben, das alle Nullstellen enthält. Die
Herleitung kenne ich nicht und wäre für einen Quellenhinweis dankbar.
Anscheinend ist es eine recht grobe Abschätzung aus einer einhüllenden
quadratischen Parabel für p(x). In "Über die Auflösung von Gleichungen
höheren Grades" von I. R. Schafarewitsch ist ein völlig anderes aber
plausibles Verfahren angegeben, das Maxima aus Konstrukten der
Polynomkoeffizienten als Intervallgrenzen ansetzt.

Meine Frage:

Sind während der letzten 50 Jahre genauere Abschätzungen bekannt
geworden? Die Klassiker von Zurmühl und Collatz sind mir bekannt.

Freundliche Grüße, Alfred Flaßhaar

[Klaus Pommerening]

Alfred Flaßhaar sucht Schranken für Nullstellen:

> [...]

> Auf https://de.wikipedia.org/wiki/Nullstelle
> ist unter 3.4 ein Intervall angegeben, das alle Nullstellen enthält. Die
> Herleitung kenne ich nicht und wäre für einen Quellenhinweis dankbar.

Diese Formel ist mir nicht bekannt, und ich habe auch keinen
Quellenhinweis. Die Abschätzung scheint aber sehr stark zu
sein. Leider sind die Literaturangaben zum Artikel sehr dürftig,
auf der zugehörigen Diskussionsseite ist aber Näheres zu finden:

https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Nullstelle

mit Verweis auf die englischsprachige Seite
"Geometrical properties of polynomial roots".

> [...]

> Meine Frage:
> Sind während der letzten 50 Jahre genauere Abschätzungen bekannt
> geworden? Die Klassiker von Zurmühl und Collatz sind mir bekannt.

Vielleicht hilft der Artikel "Real-root isolation" in der
englischsprachigen Wikipedia weiter? Da geht es zwar um die
Separation von Nullstellen, aber das ist ein eng verwandtes Problem,
und der Artikel hat reichlich Literaturangaben.

HTH, wenigstens ein bisschen.
--
Klaus Pommerening
Auch für primitive Mathematik braucht es Mathematiker, weil alle
anderen so ahnungslos sind. (Kim Stanley Robinson)

[Alfred Flaßhaar]

Am 01.12.2022 um 15:48 schrieb Klaus Pommerening:
> Alfred Flaßhaar sucht Schranken für Nullstellen:
>

(...)
Danke für die Hinweise. Die Herleitung der quadratischen Gleichung,
deren Nullstellen die Grenzen sind, mit Hilfe Lagrange-Ansatz ist als
Extremwertaufgabe unter Nebenbedingungen klar. Es ist aber eben nur eine
notwendige Bedingung und erscheint mir recht willkürlich/künstlich.
Warum werden bei Gleichheit aller Nullstellen im Extremfall nicht
weitere der elementarsymmetrischen Polynome höheren Grades auch genutzt?
Und so einigermaß scharf ist die Einschränkung des Nullstellenintervalls
auch nicht, wie Beispielrechnungen zeigen.

Zum Hintergrund meiner Frage:

Zur Zeit interessiere ich mich für etwas Mathematikgeschichte und stieß
in einem Buch von Franz Lemmermeyer auf ein Polynom vom Grad 45. Es
wurde zur Nullstellenbestimmung in provokanter Weise anno 1594 von Aaron
van Roomen zur Nullsstellensuche konstruiert. F. Vieta hat angeblich
nach scharfem Hinsehen die Nullstellen schnell ermittelt.

Um wenigstens andeutungsweise ein Bauchgefühl für solche zielführenden
Denkweisen zu erlangen, habe ich nach Kontrolle der Polynomkoeffizienten
in verschiedenen Quellen einfach brutal gerechnet. Ein enges Intervall
für die Nullstellen wurde offensichtlich. Und da ich während des
Studiums mehr Interesse an Funktionalanalysis und weniger an Numerik
hatte, entstand Nachholebedarf. Mein Ziel ist es aber, die
Polynomkoeffizienten nachzuvollziehen. Anscheinend hängt das mit der
Summenentwicklung u. a. von sin(45*x) in Potenzen ausschließlich von
sin(x) zusammen. So ein Additionstheorem kenne ich nicht und im
Ryshik/Gradstein steht auch nur ein Produkt, an dem sich Mathcad bei der
Summenentwicklung die Zähne ausbeißt.

Viele Grüße, Alfred

[Martin Vaeth]

Alfred Flaßhaar <Alfred.F...@gmx.de> schrieb:

> Anscheinend hängt das mit der Summenentwicklung u. a.
> von sin(45*x) in Potenzen ausschließlich von sin(x) zusammen.

Ist das nicht das 45. Tschebyscheff-Polynom? Ach nein, da geht es
um den cos; ist das mit dem sin aber nicht das gleiche in Grün?

[Martin Vaeth]

Ich denke, das kann man zurecht das gleiche in Grün nennen:
Für ungerade n scheint

T_n(x) = cos(n arccos x) = (-1)^{(n-1)/2} sin(n arcsin x)

zu sein (ev. habe ich mich mit dem Vorzeichen vertan): für n = 5,7,9
manuell mit Maple überprüft.

Für gerades n besteht vermutlich ein Zusammenhang mit den
Tschebyschow-Polynomen zweiter Art, wenn man durch sqrt(1-x^2)
dividiert, aber das habe ich nur ”optisch” für n = 6 überprüft.

[Alfred Flaßhaar]

Am 01.12.2022 um 18:01 schrieb Alfred Flaßhaar:
> Am 01.12.2022 um 15:48 schrieb Klaus Pommerening:
>> Alfred Flaßhaar sucht Schranken für Nullstellen:
>>
> (...)

> Anscheinend hängt das mit der
> Summenentwicklung u. a. von sin(45*x) in Potenzen ausschließlich von
> sin(x) zusammen.

Inzwischen habe ich Genaueres gefunden und durchgerechnet. Mit Hilfe CAS
ist die Funktion 2*sin(45*arcsin(x/2)) nach Potenzen von x entwickelbar.
Das ist dann das berühmte Polynom.

Bei Interesse kann ich per pm etwas *.html dazu anbieten.

Viele Grüße, Alfred