Funktionentheorie: einfach zusammenhängende Mengen
Bennet Gedan
Hallo liebe Mitleser,
ich hab ein kleines Problem mit einer Argumentation in einer
Musterlösung zu einer Aufgabe. Die Aufgabe lautet:
| B_1 := { t + i*t*sin(2\pi /t): t \in (0,1) } \cup
| {(1/2 + i) + 1/2( cos(2\pi*t) + i sin(2\pi*t): t \in (0,1/2) \cup
| 0 + i[0,1]
|
| mit a+i[b,c]:={a+iy : y \in [b,c]} sei Teilmenge von C.
|
| Ist diese Menge einfach zusammenhängend?
Meine Argumentation war: Es gibt
(mindestens) eine nicht doppelpunktfreie geschlossene Kurve, die in B_1
verläuft.
Wenn B_1 doppelpunktfrei wäre dürfte es eine solche Kurve nicht geben.
Die Kurve von der ich dabei rede ist der Rand von B_1, also eine
entsprechende Parameterdarstellung
{\gamma}_1:[0,1] -> C t -> t+i*t*sin( 2\pi /t) für t \neq 0,
andernfalls 0
usw.
das Kurvenstück mit dem Sinus ist doch nich doppelpunktfrei. Demnach
kann man doch darüber folgern, dass B_1 nicht einfach zusammenhängend
ist, oder?
In der Musterlösung wird auch eine Parametrisierung des Randes von B_1
durchgeführt. Die Argumentation, dass B_1 nicht einfach zusammenhängend
ist, ist abere eine andere:
| Das Innengebiet der Kurve \gamma :[0,4] -> C t-> {\gamma}_j(t) falls t
| \in [j,1+j] gehört nicht zu B_1.
Die Kurven {\gamma}_j sind entsprechende Parametrisierung, wie oben
erwähnt.
Warum gehört das Innengebiet von \gamma (im Prinzip der Rand von B_1)
nicht zu B_1?
Ist meine Argumentation (t*sin(2\pi /t) ist nicht doppelpunktfrei)
richtig?
Vielen Dank für das durchlesen und eventuelle Erläuterungen.
Regards,
Bennet Gedan
--
_/ _/_/ | Bei e-mail bitte irgendwo '***NOSPAM***' in
_/ _/_/ | die Betreffzeile einbauen. Ansonsten geht
_/_/ _/ | die Mail nicht an meinem Filter vorbei.
_/_/ _/ _/ | -- vielen Dank
Bennet Gedan
> Meine Argumentation war: Es gibt
> (mindestens) eine nicht doppelpunktfreie geschlossene Kurve, die in B_1
> verläuft.
> Wenn B_1 doppelpunktfrei wäre dürfte es eine solche Kurve nicht geben.
ich mein natürlich "einfach zusammenhängend", sorry
Florian Schaudel
news:slrncjc1a9.2i...@news.t-online.de:
> Meine Argumentation war: Es gibt
> (mindestens) eine nicht doppelpunktfreie geschlossene Kurve, die in
> B_1 verläuft.
[corrected]
> Wenn B_1 nicht einfach zusammenhängend
> wäre dürfte es eine solche Kurve nicht geben.
Warum sollte das so sein?
Nur mal ganz anschaulich: Wir sind uns hoffentlich einig, dass der
Einheitskreis in R^2 mit der üblichen Topologie einfach zusammenhängend
ist. Jetzt male ich innerhalb dieses Einheitskreises eine beliebige
kleine 8. Voilá, hier hast Du eine nicht Doppelpunktfreie Kurve, in
einer einfach zusammenhängenden Menge.
[...]
> das Kurvenstück mit dem Sinus ist doch nich doppelpunktfrei. Demnach
> kann man doch darüber folgern, dass B_1 nicht einfach zusammenhängend
> ist, oder?
Oder!
Gruss,
Florian
Bennet Gedan
> [Gegenbeispiel]
> Nur mal ganz anschaulich: Wir sind uns hoffentlich einig, dass der
> Einheitskreis in R^2 mit der üblichen Topologie einfach zusammenhängend
> ist. Jetzt male ich innerhalb dieses Einheitskreises eine beliebige
> kleine 8. Voilá, hier hast Du eine nicht Doppelpunktfreie Kurve, in
> einer einfach zusammenhängenden Menge.
Klar, der Einheitskreis ist einfach zusammenhängend; gutes Beispiel,
warum hab ich das nicht selber gesehen.
Ich stehe wohl heute etwas auf dem Schlauch, wie mir
scheint.
> Oder!
^^^^^^das ist irgendwie kein vollständiger Satz ;)
Ich hab mir die Def. nochmal genau angeschaut und gemerkt, was ich
falsch interpretiert habe:
| ... einfach zusammenhängend, wenn mit jeder ganz in M verlaufenden
| doppelpunktfreien, geschlossenen Kurve auch deren Innengebiet zu
| M gehört
Daraus kann man natürlich _nicht_ schliessen, dass eine nicht
doppelpunktfreie geschlossene Kurve, die in M verläuft und deren
Innengebiet zu M gehört bedeutet, dass die Menge nicht einfach
zusammenhängend ist.
Danke für den Hinweis!
Ich hab sowieso einen Fehler gemacht, da das Kurvenstück mit dem Sinus
doppelpunktfrei ist!
Eines ist mir aber immer noch nicht ganz klar:
Wenn ich die Menge wie im OP angegeben anschaue und eine geschlossene
doppelpunktfreie Kurve, wie folgt, wähle:
{\gamma}_1 :[0,1] -> C t-> t+i*t sin (2 pi / t)
{\gamma}_3 :[2,3] -> C t->(1/2 + i) + (1/2)(cos(2pi(t-2))+
i sin(2pi(t-2))
{\gamma}_2 :[1,2] -> C t->1+i(t-1)
{\gamma}_4 :[3,4] -> C t-> i+i(t-3)
warum liegt das Innengebiet von
\gamma :[0,4]-> C t-> {\gamma}(t)_j falls t \in [j,j+1]
nicht vollständig in B_1?
Die so beschriebene Kurve entspricht doch gerade dem Rand der im OP
beschriebenen Menge; Das Innengebiet des Randes sollte doch ganz in der
zugehörigen Menge liegen oder nicht? (Wie gesagt, ich bin irgendwie
nicht voll bei der Sache)
Nochmal Danke für den Hinweis und vielen, vielen Dank für eventuelle weitere
Hinweise
Thomas Nordhaus
>Bennet Gedan <news....@gedan.net> wrote in
>news:slrncjc1a9.2i...@news.t-online.de:
>
>> Meine Argumentation war: Es gibt
>> (mindestens) eine nicht doppelpunktfreie geschlossene Kurve, die in
>> B_1 verläuft.
>[corrected]
>> Wenn B_1 nicht einfach zusammenhängend
>> wäre dürfte es eine solche Kurve nicht geben.
>
>Warum sollte das so sein?
>Nur mal ganz anschaulich: Wir sind uns hoffentlich einig, dass der
>Einheitskreis in R^2 mit der üblichen Topologie einfach zusammenhängend
>ist.
Hmm. Du meinst wohl eher die Kreisscheibe. Der Einheitskreis ist eher
*nicht* einfach zusammenhängend. Im Englischen ist es da einfacher
auseinander zu halten: "circle" und "disk".
Thomas
Bennet Gedan
> Florian Schaudel <HierMei...@Schaudel.com> schrieb:
>>Warum sollte das so sein?
>>Nur mal ganz anschaulich: Wir sind uns hoffentlich einig, dass der
>>Einheitskreis in R^2 mit der üblichen Topologie einfach zusammenhängend
>>ist.
>
> Hmm. Du meinst wohl eher die Kreisscheibe. Der Einheitskreis ist eher
> *nicht* einfach zusammenhängend. Im Englischen ist es da einfacher
> auseinander zu halten: "circle" und "disk".
Naja gut, da hat er sich wohl verschrieben (ist mir gar nicht
aufgefallen). Es ergibt sich ja auch im Kontext.
Was ist am englischen "circle" und "disk" besser auseinanderzuhalten als
am deutschen "Kreis" und "Scheibe", versteh' ich nicht so ganz
Thomas Nordhaus
>* Thomas Nordhaus <thnor...@yahoo.de>:
>> Florian Schaudel <HierMei...@Schaudel.com> schrieb:
>>>Warum sollte das so sein?
>>>Nur mal ganz anschaulich: Wir sind uns hoffentlich einig, dass der
>>>Einheitskreis in R^2 mit der üblichen Topologie einfach zusammenhängend
>>>ist.
>>
>> Hmm. Du meinst wohl eher die Kreisscheibe. Der Einheitskreis ist eher
>> *nicht* einfach zusammenhängend. Im Englischen ist es da einfacher
>> auseinander zu halten: "circle" und "disk".
>
>Naja gut, da hat er sich wohl verschrieben (ist mir gar nicht
>aufgefallen). Es ergibt sich ja auch im Kontext.
>
>Was ist am englischen "circle" und "disk" besser auseinanderzuhalten als
>am deutschen "Kreis" und "Scheibe", versteh' ich nicht so ganz
Weil man eben nicht "Scheibe" sondern "Kreisscheibe" sagt.
Thomas
>
>Regards,
> Bennet Gedan