Chintschin-Konstante, Kettenbrüche

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Alfred Heiligenbrunner

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Sep 4, 2022, 11:50:44 AMSep 4
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Hallo zusammen!

Angeregt durch einen Artikel von Florian Freistetter habe ich mir im Internet Artikel zu Chintschin-Konstante angesehen.
Es geht darum, dass bei _fast allen_ Kettenbruchentwicklungen das geometrische Mittel der Kettenglieder gegen den Wert 2,68... geht.

Auf der englischsprachigen Wikipedia wird ein Sketch of Proof angegeben.
https://en.wikipedia.org/wiki/Khinchin%27s_constant#Sketch_of_proof

Leider verstehe ich nicht alles. Aber mir scheint, dass die Eigenschaft, dass die Folge [a1, a2, ...] aus einem Kettenbruch stammt, nur ganz am Anfang verwendet wird. Nämlich nur, um vom Kettenbruch zu einer unendlichen Folge aus natürlichen Zahlen zu kommen.
Danach wird etwas über beliebige unendliche Folgen von positiven natürlichen Zahlen gezeigt. Oder übersehe ich da was?

Meine Frage: Wird in dem Beweis in Wahrheit sogar gezeigt, dass bei "fast allen" Folgen aus positiven natürlichen Zahlen das geometrische Mittel gegen 2.68... konvergiert?

Danke,
Alfred

Carlo XYZ

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Sep 4, 2022, 12:20:45 PMSep 4
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Alfred Heiligenbrunner schrieb am 04.09.22 um 17:50:

> https://en.wikipedia.org/wiki/Khinchin%27s_constant#Sketch_of_proof
>
> Leider verstehe ich nicht alles. Aber mir scheint, dass die Eigenschaft, dass die Folge [a1, a2, ...] aus einem Kettenbruch stammt, nur ganz am Anfang verwendet wird. Nämlich nur, um vom Kettenbruch zu einer unendlichen Folge aus natürlichen Zahlen zu kommen.
> Danach wird etwas über beliebige unendliche Folgen von positiven natürlichen Zahlen gezeigt. Oder übersehe ich da was?

Vielleicht den kleinen Nebensatz "this is the hard part of the proof"?

> Meine Frage: Wird in dem Beweis in Wahrheit sogar gezeigt, dass bei "fast allen" Folgen aus positiven natürlichen Zahlen das geometrische Mittel gegen 2.68... konvergiert?

Kann ich mir nicht vorstellen. Was, wenn die Folge sehr
stark wächst? (Und davon gibt's mehr als nur "fast keine".)

Nur ein Anfangsverdacht.

Alfred Heiligenbrunner

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Sep 4, 2022, 12:39:27 PMSep 4
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Carlo XYZ schrieb am Sonntag, 4. September 2022 um 18:20:45 UTC+2:
> Alfred Heiligenbrunner schrieb am 04.09.22 um 17:50:
> > https://en.wikipedia.org/wiki/Khinchin%27s_constant#Sketch_of_proof
> >

> > Meine Frage: Wird in dem Beweis in Wahrheit sogar gezeigt, dass bei "fast allen" Folgen aus positiven natürlichen Zahlen das geometrische Mittel gegen 2.68... konvergiert?

> Was, wenn die Folge sehr
> stark wächst? (Und davon gibt's mehr als nur "fast keine".)

Solche Folgen sind ebenfalls äquivalent zu Kettenbruchentwicklungen. Also da sehe ich keine Besonderheit.

>
> Nur ein Anfangsverdacht.
Danke.

LG
Alfred

paule32

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Sep 4, 2022, 1:23:47 PMSep 4
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Am 04.09.2022 um 17:50 schrieb Alfred Heiligenbrunner:
> Meine Frage: Wird in dem Beweis in Wahrheit sogar gezeigt, dass bei "fast allen" Folgen aus positiven natürlichen Zahlen das geometrische Mittel gegen 2.68... konvergiert?

die müssen nicht zwangsläufig positiv miteinander sein.

Alfred Heiligenbrunner

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Sep 4, 2022, 3:15:06 PMSep 4
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a) Das Wort "miteinander" verstehe ich nicht. Ich ignoriere es.
b) Die Kettenbruchentwicklungen von *irrationalen* Zahlen liefern unendliche Folgen positiver Glieder.
Die *rationalen* Zahlen, die eine endliche Folge von Kettengliedern liefern (die man dann mit 0-en ergänzen könnte), sind nur eine Nullmenge und werden nicht weiter behandelt.

LG
Alfred

Alfred Heiligenbrunner

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Sep 4, 2022, 3:36:12 PMSep 4
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Alfred Heiligenbrunner schrieb am Sonntag, 4. September 2022 um 17:50:44 UTC+2:
> Hallo zusammen!
>
> Es geht darum, dass bei _fast allen_ Kettenbruchentwicklungen das geometrische Mittel der Kettenglieder gegen den Wert 2,68... geht.
>
> Auf der englischsprachigen Wikipedia wird ein Sketch of Proof angegeben.
> https://en.wikipedia.org/wiki/Khinchin%27s_constant#Sketch_of_proof
>
> Meine Frage: Wird in dem Beweis in Wahrheit sogar gezeigt, dass bei "fast allen" Folgen aus positiven natürlichen Zahlen das geometrische Mittel gegen 2.68... konvergiert?
>
Inzwischen glaube ich, ich habe es verstanden.
Es gibt eine 1:1-Beziehung zwischen Kettenbruchentwicklungen irrationaler Zahlen x aus ]0, 1[ und unendlichen Folgen von positiven Ganzzahlen.
Aber um einen Mittelwert zu bilden, kommt es immer darauf an, wie man die einzelnen Regionen gewichtet.

Wenn man x aus ]0, 1[ _gleichverteilt_ wählt, dann bekommt man nämlich nicht jede beliebige Folge mit gleicher Wahrscheinlichket.

In der Hälfte aller Fälle, nämlich wenn x aus ]1/2, 1[ ist, ist die Kettenbruchentwicklung 1/(1+1/(...)), d.h., das erste Kettenglied ist 1.
Für x aus ]1/3, 1/2[ beginnt die Kettenbruchentwicklung mit 1/(2+1/(...)), d.h., das erste Kettenglied ist 2.
Für x aus ]1/4, 1/3[ ist das erste Kettenglied 3.
...
Man bekommt also viel häufiger kleine Werte für das erste Kettenglied als große Werte. (Das ist die wesentliche Erkenntnis!!!)
Für das zweite Kettenglied wird es wohl genauso sein. (Müsste man noch begründen.)

Als arithmetisches Mittel der Kettenglieder kommt dann unendlich heraus (harmonische Reihe).
(Erwartungswert = 1*(1-1/2) + 2*(1/2-1/3) + ... + n*(1/n-1/(n+1)) + ... = Summe(n=1 bis unendlich: 1/(n+1)) = unendlich.)
Aber als geometrisches Mittel bekommt man einen endlichen Wert heraus, nämlich das, was Chintschin berechnet hat.

LG
Alfred

JVR

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Sep 5, 2022, 3:41:42 AMSep 5
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Etwas leichter zu verstehen ist wahrscheinlich die ganz analoge Situation mit der Verteilung der Ziffern
in der Darstellung der reellen Zahlen als Dezimalbruch, wobei Radix 10 nicht das Wesentliche ist.
Die entsprechende Fragestellung wurde schon 1909 von Borel behandelt. Der Begriff einer 'normalen Zahl'
stammt von ihm. Eine Zahl ist normal, wenn jeder mögliche Ziffernblock - oder auch nur jede Ziffer -
gleich häufig aufritt.
Man kann beweisen, dass fast alle Zahlen normal sind, d.h. das Maß der Menge der nicht-normalen ist Null.
Auch hierfür gibt es Beweise, die die Ergodentheorie benutzen.
Siehe
Émile Borel: Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques, in: Rend. Circ. Mat. Palermo 27 (1909), S. 247–271
Und die Wiki-Artikel über normale Zahlen.

paule32

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Sep 5, 2022, 9:58:51 AMSep 5
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Am 04.09.2022 um 21:15 schrieb Alfred Heiligenbrunner:
> a) Das Wort "miteinander" verstehe ich nicht. Ich ignoriere es.
> b) Die Kettenbruchentwicklungen von*irrationalen* Zahlen liefern unendliche Folgen positiver Glieder.
> Die*rationalen* Zahlen, die eine endliche Folge von Kettengliedern liefern (die man dann mit 0-en ergänzen könnte), sind nur eine Nullmenge und werden nicht weiter behandelt.

wir hatten das schonmal hier.

der Zahlenstrahl geht ja nicht in eine Richtung.

Je nach Betrachtung ins negative. (minus)
Je nach Betrachtung ins positive. (plus )

Je nach Anwendung der Operatoren und/oder Algorythmen:

minus mal minus = plus
minus mal plus = minus
plus mal minus = minus
plus mal plus = plus

Beispiel an Mengen:
- dort setzt man eigentlich (fast Alles) in Betrag, weil man damit
dann die negativen _und_ positiven Zahlen mit einen Schlag zusammen
hat. Beispiel:

| -4 | => ist das gleiche wie
| 4 | => ist (fast) das gleiche wie
4 => um eine Entscheidung zu treffen gibt es ja dann IN und IR.

- weil dann IN eine Untermenge von IR ist.
- die Schnittmenge jeweils die hälfte der beiden betrachteten "Objekt-
bereiche ist.
Beispiel 1:

-1,5 und 1,5 => Schnittmenge = 0

=> 0 wird auch als leere Menge betrachtet.

Beispiel 2:
-4 und -2 => Schnittmenge = 2

Die Schnittmenge ist dann immer "ein" Element, welches weder minus
noch plus oder gleich null sein muss.

Weil, man kann ja bei Schnittmengen, wieder Schnittmengen bilden,
die != 0 => <> 0 => -1 > 0 < +1 sind.

- bei der Darstellung von IN und IR wird auch nochmal unterschieden,
ob die Betrachtung mit oder ohne 0 erfolgt.
- die einen sagen sich, die Zählung beginnt bei eins, eins deswegen,
weil "ein" Objekt existiert, welches man betrachten kann.
- die einen sagen, das die Zählung bei null beginnt.
Aber:
0 betrachten viele als neutrales, leeres Objekt, und im technischen
Bereich gibt es dann nur 0 - Strom aus, 1 - Strom an.
- man kann da verschieden viele Dinge aufzählen und wird deshalb nicht
fertig und/oder schlauer (unbedingt)

paule32

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Sep 5, 2022, 10:12:32 AMSep 5
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Am 04.09.2022 um 21:36 schrieb Alfred Heiligenbrunner:
> In der Hälfte aller Fälle, nämlich wenn x aus ]1/2, 1[ ist, ist die Kettenbruchentwicklung 1/(1+1/(...)), d.h., das erste Kettenglied ist 1.
> Für x aus ]1/3, 1/2[ beginnt die Kettenbruchentwicklung mit 1/(2+1/(...)), d.h., das erste Kettenglied ist 2.
> Für x aus ]1/4, 1/3[ ist das erste Kettenglied 3.

Du darfst bei Mengenbetrachtungen nicht einfach mit 2 dividieren.
Das wäre dann der algebraische Durchschnitt, so wie Du ihn sicherlich
noch aus der Schule kennst.

Die Durchschnitts"menge" von kann ein oder mehrere gleiche Objekte
beinhalten, die eine "Beziehung", eine "Definition" zueinander haben
müssen, um sie zu "ordnen" oder aber auch sie zueinander zuordbar
mach zu können.

Beispiel aus der Schule:

- Du kennst die Objekte: 1,2,3,4,5,6,7,8,9, und 0
= das sind alles Zahlen (in höheren Reihen auch Objekte genannt).
= sie sind alle zueinander "gleich", also von gleichen Stamm her.
= da sie "gleich" sind, kannst Du, wenn du zum Beispiel:
7 plus 7 = 14 hast, und den Durschnitts"wert" berechnen, kannst
Du hier 14 dividiert durch die Anzahl "aller" Werte (in diesen
Zusammenhang sind das zwei (7 und 7 = 2 siebene).
= 14 durch 2 ergibt spaßeshalber wieder 2

- in der höheren Mathematik allerdings, ist die Durchschnitts"menge"
zwischen 7 + 7 (das Pluszeichen wird hier auch als AND/UND
Verknüpfung angesehen nicht étwa 2, sondern 0.

Ich weiß, das ist erstmal alles ungewohnt für Dich.
Dafür aber sagt man auch nicht aus guten Grund, das die theoretische
Diskussion des Mathebegriffes eine Geisteswissenschaft ist.

Gruß, paule32


paule32

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Sep 5, 2022, 4:03:41 PMSep 5
to
Am 05.09.2022 um 16:12 schrieb paule32:
> = 14 durch 2 ergibt spaßeshalber wieder 2

das natürlich Mist.
14 dividiert durch 2 ergibt 7.

Bitte steinigt mich jetzt nicht - der Mensch ist halt nicht
Fehlerfrei : )

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