Stammfunktion von 1/z
Alexander Rieth
Wir stehen hier mit unserer Übungsaufgabe in Mathe für Physiker I wieder
vor einem großen Problem: Wir kommen einfach nicht weiter!
Unsere Aufgabe ist es, zu beweisen, daß
f: IC / {0} ---> IC
z |---> 1/ z keine Stammfunktion besitzt.
Wenn Ihr uns helfen könntet, wären wir sehr dankbar. Unten folgen noch
zwei Ansätze.
Tschau Alexander
Ansatz 1.:
Für die Einschränkung f|{x aus IR | x > 0 } ist die Stammfunktion
eindeutig zu
ln(x) bekannt. Somit muß jede Stammfunktion in IC, wenn sie denn Existieren
würde, auch auf IR+ gültig sein, und somit mit ln(x) identisch sein. Da der
komplexe Logarithmus nicht eindeutig ist, also nur auf Gebieten mit bestimmter
Eigenschaft existiert, kann somit auf IC keine Stammfunktion existieren!
Diese Argumentation ist uns soweit klar, wenn sie denn überhaupt
richtig ist, sie
ist jedoch nur die Notlösung, die wir an sich nicht angeben möchten, da
es kein
Beweis ist.
Ansatz 2.:
Wir entwickeln eine Potenzreihe die der Fkt 1/z entspricht.
* *
---- ----
1 1 1 1 1 \ -- (a-z) -- k \ k - 1 -
k+1 k
f(z)= - = ------- = - * -------- = - * > | ----- | = > (-1) |
- | (z-a)
z a-(a-z) a (a-z) a / -- a -- / - a -
1- ----- ---- ----
a k = 0 k = 0
a: Punkt um den entwickelt wird
Daraus können wir durch gliedweises Integrieren eine
"Pseudo-Stammfunktion" wie
folgt herleiten:
*
-----
\ k - 1 - k+1 1 k+1
F(z) = > (-1) | - | --- (z-a)
/ - a - k+1
-----
k = 0
Aus der Überlegung folgt, daß mit dieser Stammfunktion etwas falsch sein muß.
Konvergiert sie nicht?
| a(n) | 1
mit r = lim | ------ | = --- r: Konvergenzradius
n->* | a(n+1) | |a|
Sie konvergiert also. Unsere nächste Überlegung war, um zwei
verschiedene Punkte die Potenzreihe zu entwickeln, und die Werte, die
diesen "Stammfunktionen" liefern miteinander zu vergleichen, da sie ja
logischer Weise den selben Wert liefern müßte, wenn sie existieren
würde. Tun sie dies nicht haben wir einen Widerspruch gefunden, und die
Nonexistentez ist bewiesen.
Darf man dies machen, oder liegt hier schon ein Fehler?
Wenn beide Ansätze falsch sind, wie lautet der richtige?
Anm.: Heute kamen wir darauf, die Werte eines reelen Punktes, dessen
Wert man ja kennt, mit dem tatsächlichen Wert zu vergleichen, läuft aber
genauso wie oben.
Alexander Rieth
a: Punkt um den entwickelt wird die Formatierung ist
unglücklich geworden:
=> Summ(k=0->unendl) (-1)^k 1/a^(k+1) (z-a)^k
Daraus können wir durch gliedweises Integrieren eine
"Pseudo-Stammfunktion" wie
folgt herleiten:
unend
-----
\ k - 1 - k+1 1 k+1
F(z) = > (-1) | - | --- (z-a) + C <--- hier habe
ich leiter die Integrationskonstante vergessen
Axel Schmitz-Tewes
Alexander Rieth schrieb:
> Unsere Aufgabe ist es, zu beweisen, daß
>
> f: IC / {0} ---> IC
>
> z |---> 1/ z keine Stammfunktion besitzt.
>
Gäbe es eine Stammfunktion, so wäre
Integral 1/z dz= Integral z'/|z|^2 dz
über einen geschlossenen Weg um 0 herum gleich 0.
Wähle Einheitskreis mit üblicher Parametrisierung und rechne aus.
gruß,
axel
Benjamin Bahr
gliedweise:
Angenommen, es gibt eine Funktion F(z) : IC\{0} -> IC mit d/dz (F(z)) = 1/z:
Dann ist F(z) = TaF(z) = C + (k=0 summe bis unendl.) von [ (-1)^k *
(z-a)^(k+1) / ((a^(k+1) * (k+1)) ] für alle z element von U|a| (a).
=> F(a) = TaF(a) => C = F(a), unter der Annahme, dass es F gibt...
sei c = exp (i*pi/4) = cos (pi/4) + i * sin (pi/4)
Dann ist c*a el U|a| (a) (selber beweisen ;-) )
=> F(c*a) = TaF(c* a) = F (a) + (k=0 bis unendl.) von [(-1)^k *
((c-1)^(k+1)) / (k+1) ] Hier gilt die Logharithmusreihe, weil |c-1| < 1 :
=> F (c*a) = F (a) + log (1+ (c -1)) = F (a) + i*pi/4
Nun gilt: c^8 = 1, außerdem (Induktion, selber machen ;-))
F (c^n * a) = F(a) + i*pi*n/4 für alle n aus IN
Also ist F(a) = F(c^8 * a) = F (a) + 2*pi*i Ein schöner Widerspruch
=> Die Annahme, es gäbe eine solche Funktion F hat zu einem Widerspruch
geführt. => Es gibt eine solche Funktion nicht. q.e.d.
Axel Schmitz-Tewes
Benjamin Bahr schrieb:
> F (c^n * a) = F(a) + i*pi*n/4 für alle n aus IN
für n=4 ist c^n=-1 und -a ist ganz sicher nicht mehr im Konvergenzbereich der
Logarithmusreihe!Deine Induktion, die man hier selbst machen soll funktioniert
so einfach nicht.... Selbst überlegen! ;-)
Was Du vielleicht machen willst, ist die analytische Fortsetzung der Taylorreihe
um den Nullpunkt. Ich denke, wenn man Deine Argumente etwas verfeinert, so daß
wir eventuell schon eine bis c^n*a fortgesetzte Taylorreihe in
c^(n+1)*ausrechnen könnte es klappen.
gruß,
axel
Benjamin Bahr
TaF(c^(n-1) * a)! Die Integradtion verläuft stückweise:
F(c^(n+1) * a) = TaF (c * (c^n*a)), weil c*a element von U|a|(a) ist,
unabhängig von a el. IC \ {0} (also auch, wenn a = c^n * b, wobei b nun halt
unser Anfangswert ist). :
|c^(n+1) * a - c^n *a| = |c^n*a| * | c - 1| < |c^n*a|, was ja unsere
Bedingung für das Funktionieren der Talorreihe und der Logharithmusreihe
ist.
(mit |c-1| = sqrt(2-sqrt(2)) < 1! )
bis denne,
Benni
Axel Schmitz-Tewes
Benjamin Bahr schrieb:
> Ich weiß schon, was Du meinst, aber c^n * a ist im Konvergenzkreis von
> TaF(c^(n-1) * a)!
Ich glaube auch zu wissen, was Du hier meinen könntest, aber sicherlich nicht
TaF(c^(n-1)*a), denn das ist nach eigener Definition keine Potenzreihe, sondern
für den Fall, daß c^(n-1)*a im Konvergenzradius von TaF(z) liegt, eine komplexe
Zahl. (insbesondere ist natürlich c^4*a=-a nicht im Konvergenzbereich!)
Ich glaube, Du fällst hier ein wenig auf Deine eigene Notation herein. Sprechen
wir vielleicht von einer Funktion in 2 Variablen TaF(z,a)?
Dann beweist Du Deine Formel für beliebiges a, und setzt dann bei der Induktion
ein geeignetes a'=c^(n-1)*a ein.
gruß,
axel
Benjamin Bahr
F (c^(n+1) * a) = F (c * (c^n*a))
=T(c^n*a)F(c * (c^n*a)) = F(c^n*a) + i*pi/4
Natürlich ist die Potenzreihe um den Punkt c^n*a, und nicht um den Punkt a
gemeint. Trotzdem stimmt's:
Die Formel TaF(c*a) = F(a) + i*pi/4 gilt für alle a el. IC \ {0}, stimmt
nach wie vor, was Induktionsschritt und -anfang sind:
Also gilt F (c^n * a) = F (a) + n*i*pi/4 für alle a el. IC \{0}, alle n el.
IN
Aber bis auf diesen Notationsfehler ist alles OK.
sollte jetzt richtig sein.
CU
Benni
Axel Schmitz-Tewes
> Aber bis auf diesen Notationsfehler ist alles OK.
Soweit ich das sehe, hast Du den Beweis verstanden. Aber eine
fehlerhafte Notation finde ich keineswegs nebensächlich, und wenn man
dann an einigen Stellen vergißt, die genauen Voraussetzungen
aufzuschreiben, läßt Du eigentlich nur noch denjenigen eine Chance, die
sowieso wissen, wie man das beweist. ;-)
gruß,
axel
Benjamin Bahr
Newsgroup gesegnet hast, dass er unter DEInen kritischen Augen Bestand hat.
Ich krieche vor DIR im Staub und buege mich DEInem Beschluss.
Denn DEIn sei der Vektorraum/
und die Algebra/
und die Analysis/
in Ewigkeit.
- Epsilon
Ganz im Ernst:
(a) Dieser Notationsfehler, der sich in die Newsgroup eingeschlichen
hat, taucht in meinem eigentlichen Beweis nicht auf. Er ist nichtmal
wichtig, da die Formel für alle a aus IC\{0} gilt, was man nur einmal
beweisen muss. Wenn ich es mehrere Male benutze und mich dabei vertippe,
dann tut das dem Beweis keinen Abbruch. Darüberhinaus bin ich der Ansicht,
dass es
(b) ein ausgesprochenes Armutszeugnis ist, wenn es einem Menschen Spaß
macht, auf Nebensächlichkeiten herumzureiten, und auf Krampf einen Punkt im
mathematischen Gedankengang zu suchen, der angreifbar ist (auch wenn der nur
auf Tippfehlern beruht), und demjenigen dann mit herablassender Gnädigkeit
mitzuteilen, dass er der Ansicht sei, der andere habe 'jetzt wohl den Beweis
verstanden'.
Ich weiß nicht, welcher Minderwertigkeitskomplex Dich dazu veranlaßt,
Dich in einer derart schnippischen und von-oben-herab-kommenden Art Leuten
mitzuteilen und ihnen verstehen zu geben, dass sie im Grunde keine Ahnung
haben oder mit dem Formalismus einfach nicht so gut zurechtkommen wie Du.
Wenn es sich machen lässt, dann möchte ich in Zukunft nur noch dann eine
Antwort von Dir auf meine Artikel haben, wenn es sich um richtige, am Stoff
orientierte Kritik handelt. Danke.
CU? Hope, I won't!
Benni
Axel Schmitz-Tewes
Benjamin Bahr schrieb:
> Ich danke DIR, o Guru, dass DU meinen bescheidenen Beitrag zu dieser
> Newsgroup gesegnet hast, dass er unter DEInen kritischen Augen Bestand hat.
> Ich krieche vor DIR im Staub und buege mich DEInem Beschluss.
>
> Denn DEIn sei der Vektorraum/
> und die Algebra/
> und die Analysis/
> in Ewigkeit.
>
> - Epsilon
> Ganz im Ernst:
das bedeutet wohl, daß ich den Teil vorher nicht ernst zu nehmen brauche. ok.
> (a) Dieser Notationsfehler, der sich in die Newsgroup eingeschlichen
> hat, taucht in meinem eigentlichen Beweis nicht auf. Er ist nichtmal
> wichtig, da die Formel für alle a aus IC\{0} gilt, was man nur einmal
> beweisen muss.
er ist insofern wichtig, als er den Unterschied zwischen einer konstantanten und
einer Variablen ausmacht, was bei mir am Anfang verhindert hat, daß ich Deinen
Beweis auch nur von der Logik her verstanden habe.
> Wenn ich es mehrere Male benutze und mich dabei vertippe,
> dann tut das dem Beweis keinen Abbruch.
wenn Dein Vertippen zu inhaltlichen Falschaussagen führt?
> Darüberhinaus bin ich der Ansicht,
> dass es
>
> (b) ein ausgesprochenes Armutszeugnis ist, wenn es einem Menschen Spaß
> macht, auf Nebensächlichkeiten herumzureiten, und auf Krampf einen Punkt im
> mathematischen Gedankengang zu suchen, der angreifbar ist (auch wenn der nur
> auf Tippfehlern beruht), und demjenigen dann mit herablassender Gnädigkeit
> mitzuteilen, dass er der Ansicht sei, der andere habe 'jetzt wohl den Beweis
> verstanden'.
Wenn Du bitte geruhen würdest Deine eigene Zeilen dazu zu lesen, fällt Dir
sicher auf, daß Du mir gerade mitgeteilt hast, daß mein Verständnisproblem an
Deinem Beweis mein Problem sei und Dein Beweis eigentlich ok.
> Ich weiß nicht, welcher Minderwertigkeitskomplex Dich dazu veranlaßt,
> Dich in einer derart schnippischen und von-oben-herab-kommenden Art Leuten
> mitzuteilen und ihnen verstehen zu geben, dass sie im Grunde keine Ahnung
> haben oder mit dem Formalismus einfach nicht so gut zurechtkommen wie Du.
Ich sehe nicht woher Du diese Aussagen dem Text entnimmst.
> Wenn es sich machen lässt, dann möchte ich in Zukunft nur noch dann eine
> Antwort von Dir auf meine Artikel haben, wenn es sich um richtige, am Stoff
> orientierte Kritik handelt.
Solang Du Dir Beurteilung, was wichtig ist und was nicht, mir überläßt bei
meinen eigenen Postings, war es nie anders.
gruß,
axel