Gauss'sche Rechenfehler, die Pallas, die MkQ und der GA
Hermann Kremer
Carl Friedrich Gauß (1777-1855) ist nicht nur als "Princeps mathematicorum"
bekannt, sondern er wird auch als unermüdlicher und ausdauernder Zahlenrechner
gerühmt, der äußerst aufwendige mathematische, astronomische und geodätische
Rechnungen in erstaunlich kurzer Zeit bewältigte. Aber auch er war gegen ganz
elementare Rechenfehler nicht gefeit, wie schon Philipp Maennchen (Gießen),
einer der Bearbeiter des Gauß'schen Nachlasses, 1907 in dem Aufsatz "GAUSS
als Zahlenrechner":
http://134.76.163.65/agora_docs/138891TABLE_OF_CONTENTS.html
--> Kapitel 6, S. 1-76
feststellte:
"... Bei den ausgedehnten Zahlenrechnungen, die GAUSS von früher Jugend
an bis ins hohe Alter ausführte, und zwar meist ohne fremde Hülfe, konnte
es nicht ohne Fehler abgehen, und wir haben bereits an verschiedenen
Stellen angemerkt, dass GAUSS sich verrechnet hat, ..."
"... Dagegen haben sich in seinen späteren Arbeiten, besonders in den
geodätischen und ganz besonders in den astronomischen, s e h r
v i e l e R e c h e n f e h l e r eingeschlichen. ..."
Bei seinen numerischen Rechnungen zeigte Gauß einige Angewohnheiten, die schon
seinen Zeitgenossen als merkwürdig auffielen:
"... Wir sahen auch bereits, dass er [...] keine Kontrollrechnungen
ausgeführt hat, und da er, wie wir noch sehen werden, auch in späteren
Jahren den Kontrollrechnungen aus dem Weg ging, so ist anzunehmen, dass
er sie auch in seiner Jugendzeit nicht besonders bevorzugte. ..."
"... fällt eine Eigentümlichkeit auf, die man bei einem theoretisch
und praktisch so überragenden Manne, der noch dazu mit Arbeit überhäuft
ist, für unmöglich halten sollte. Er rechnet nämlich mit überflüssigen
Dezimalen. Insbesondere gibt er bei kleinen Zahlen im Logarithmus ebenso
viele Stellen hinter dem Komma an wie bei grossen Zahlen, wobei dann
allerdings die Fehler in den letzten Dezimalen nichts ausmachen.
Freilich sind hier die Dezimalen nicht immer bloss in den letzten,
sondern auch manchmal in den wichtigen vorderen Stellen falsch.
Die Werte für die Pallasstörungen [...] hat GAUSS bis zum Betrage von
0,1'' berücksichtigt und auf 0,01'' angegeben. Diese Genauigkeit
ist auch illusorisch, weil die nicht berücksichtigten Störungen höherer
Ordnung wohl bis an die Bogenminute [= 60''] heranreichen können. ..."
"... In seinen geodätischen Arbeiten sind ähnliche Beobachtungen
gemacht worden. [...] Die Zahlenrechnungen von GAUSS sind nicht sehr
sicher, trotz seiner berühmten Rechenkünste. Was den Ansatz überflüssiger
Stellen anlangt, so war mir GAUSS hierin immer ein Rätsel. Das
Unglaublichste hatte er in der Geodäsie dabei geleistet. So z.B. [...]
setzt er log_10(7) und log_3(7) auf 10 Stellen an, wo 2 genügen
würden. Ferner setzt er den Koeffizienten [...], also um 7 Stellen zu
viel. ..."
"... Es ist klar, dass durch solche Umständlichkeit seine ohnehin knapp
bemessene Zeit noch mehr in Anspruch genommen wurde, wenn er dies
auch gelegentich bestreitet ..." .
Ein anscheinend wenig bekanntes Beispiel für ganz gravierende Rechenfehler
von Carl Friedrich Gauß möchte ich hier etwas näher behandeln. Der Anlaß ist
ein Posting in sci.math.num-analysis:
| From: N. Shamsundar <shams...@uh.edu>
| Newsgroups: sci.math.num-analysis
| Subject: A historical problem (C.F. Gauss)
| Date: Sat, 31 Aug 2002 19:49:44 -0500
| Organization: University of Houston
| Message-ID: <3D716428...@uh.edu>
und das Problem betrifft eine Bahnkorrektur des kleinen Planeten (Planetoiden)
Pallas. Da Gauß bei der Entdeckungsgeschichte der vier ersten Planetoiden eine
nicht unwesentliche Rolle spielte, und da außerdem die erste Beobachtung einer
Opposition des Gauß'schen "Lieblings-Planetoiden" Pallas am 30. Juni 2003
ihren 200. Jahrestag feiern kann, möchte ich auch auf die Entdeckungsgeschichte
der kleinen Planeten eingehen, hauptsächlich aber auf die Historie der Gauß'schen
"Methode der kleinsten Quadrate" und die des "Gauß'schen Algorithmus".
Damit das Posting nicht zu einem Mammut-Gebilde ausartet, werde ich es als
Fortsetzungsgeschichte in (vorläufig ;-) sechs Teilen posten:
1) Gauß und die Ceres 1801
2) Gauß und die Pallas 1802
3) Gauß und die "Theoria motus" und die Methode der kleinsten Quadrate 1809
4) Gauß und die "Disquisitio de elementis Palladis" 1811
5) Gauß und der Gauß'sche Algorithmus 1811
6) Gauß und die Rechenfehler .
Grüße
Hermann
Fortsetzung folgt
--
Hermann Kremer
Hallo,
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1) Gauß und die Ceres 1801
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Der erste Planetoid wurde in der Sylvesternacht 1800/1801 von dem italienischen
Astronomen Giuseppe Piazzi in Palermo entdeckt, anfänglich aber für einen
Kometen gehalten.
http://www.astropa.unipa.it/versione_inglese/homeinglese.html
--> Museum and Archive --> A short biography ...
Piazzi konnte das Objekt etwa 6 Wochen lang beobachten, bis eine längere
Schlechtwetterperiode eintrat, und in deren Verlauf wechselte das Objekt vom
Nacht- in den Taghimmel. Als Piazzi nun probeweise eine grobe Bahnberechnung
(kreisförmige Bahn in der Ekliptik-Ebene) durchführte, wurde er plötzlich
stutzig, denn er berechnete einen Sonnenabstand des Objekts von etwa 2.8
Astronomischen Einheiten (A.E. = mittlerer Sonnenabstand der Erde = 149.59787
Mio km), und das war genau die Entfernung, in der schon seit längerem ein
Planet in der Lücke zwischen Mars und Jupiter vermutet wurde.
Die Zahl 2.8 A.E. war dabei aus der sog. Titius-Bode'schen Regel abgeleitet
worden, die 1766 von dem Physiker Johann Daniel Tietz (1729-1796) an der
Universität Wittenberg, der sich der Mode seiner Zeit gemäß Titius nannte,
http://www.wittenberg.de/seiten/personen/titius.html
http://www.portrait-hille.de/kap07/Bild.asp?catnr1=3590&seqnr=3057
als Fußnote in seinem Buch
Betrachtung über die Natur, vom Herrn Karl Bonnet. Leipzig 1766 ,
einer Übersetzung des Buchs von Charles Bonnet:
Contemplations de la Nature. Paris 1764
aufgestellt und 1772 von dem Berliner Astronomen Johann Elert Bode (1747-1826)
in dem Buch
Deutliche Anleitung zur Kenntniß des gestirnten Himmels ...
http://www.friedensblitz.de/sterne/grossvaeter/bode.html
einer breiteren Öffentlichkeit bekannt gemacht wurde.
Die Titius-Bode'sche Regel besagt, daß die mittleren Planetenabstände fast eine
geometrische Folge bilden:
Merkur: 0.38710 ~ 0.4 + 0.3*0 = 0.4
Venus: 0.77233 ~ 0.4 + 0.3*2^0 = 0.7
Erde: 1.00000 ~ 0.4 + 0.3*2^1 = 1.0
Mars: 1.52369 ~ 0.4 + 0.3*2^2 = 1.6
??????: ??????? ~ 0.4 + 0.3*2^3 = 2.8 <---
Jupiter: 5.20483 ~ 0.4 + 0.3*2^4 = 5.2
Saturn: 9.57562 ~ 0.4 + 0.3*2^5 = 10.0
Uranus: 19.28093 ~ 0.4 + 0.3*2^6 = 19.6
Neptun: 30.14180 ~ 0.4 + 0.3*2^7 = 38.8
Pluto: 39.88009 ~ 0.4 + 0.3*2^7 = 38.8
Wie man sieht, paßt der Merkur aber nur mit Gewalt, wenn man nämlich
0 = 2^(-oo) setzt.
Der Neptun paßt überhaupt nicht. Der war aber damals auch noch gar nicht
entdeckt, sondern wurde erst am 23. September 1846 von Johann Gottfried
Galle (1812-1910) und Heinrich Ludwig d'Arrest (1822-1875) in Berlin an fast
exakt der von den Astronomen John Couch Adams (1819-1892) in Cambridge,UK und
Jean-Joseph Urbain Leverrier (1811-1877) in Paris aus Uranus-Störungen
vorausberechneten Position gefunden:
http://www.astronews.com/news/artikel/2003/05/0305-017.shtml
Der Uranus dagegen, der am 13. März 1781 von William Herschel (1738-1822) in
Slough,UK entdeckt worden war, paßte sehr gut, und deshalb appellierte
J. E. Bode auch mehrfach an alle Astronomen, die "Jupiter-Lücke" bei 2.8 A.E.
sehr gut im Auge zu behalten, weil sich dort vermutlich ein bisher noch nicht
entdeckter Planet mit außergewöhnlich geringer Albedo ("schwarzer Planet")
tummeln würde.
Der am 19. Februar 1930 von Clyde William Tombaugh (1906-1997) am
Lowell-Observatory in Flagstaff/Arizona entdeckte Pluto paßt wieder
einigermaßen.
Mehr zur Geschichte der Titius-Bode'schen Regel und ihrer Rolle bei Piazzi's
Entdeckung kann man in
http://www.astropa.unipa.it/versione_inglese/homeinglese.html
--> Museum and Archive --> Bode's Law ...
finden.
Übrigens scheint man sich bis heute noch nicht ganz im Klaren darüber zu sein,
ob hinter der Titius-Bode'schen Regel wirklich ein physikalisches Gesetz steckt
oder ob sie eine reine Zufalls-Folge darstellt, wie z.B Gauß meinte:
http://www.zarm.uni-bremen.de/2forschung/grenzph/ohlhoff/publikat/planet/planet.html
http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~bruhn/BODE.HTM
Nachdem G. Piazzi nicht mehr ausschließen mochte, daß sein Objekt kein Komet,
sondern tatsächlich der gesuchte "Lückenplanet" sein könnte, alarmierte er
sofort brieflich die Sternwarten in Mailand (sein Brief an deren Direktor
Barnaba Oriani ist in http://www.giaweb.it/lai/Pianeti.HTM abgedruckt),
Paris und Berlin und schickte ihnen einen kleinen Teil seiner Daten, und sein
Bericht wurde im Juni 1801 in der von Franz Xaver v. Zach (1754-1832) in Gotha
herausgegebenen Zeitschrift
Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmels-Kunde
unter der eigens dafür eingerichteten Rubrik "Fortgesetze Nachrichten über den
längst vermutheten neuen Haupt-Planeten unseres Sonnen-Systems" veröffentlicht.
In der Juli-Ausgabe dieser Zeitschrift wurden weitere Daten veröffentlicht,
im September-Heft die vollständigen Beobachtungen, und im Oktober-Heft wurde
der inzwischen von G. Piazzi verfaßte Aufsatz
Risultati delle Osservazioni della nuova Stella scoperta il di'
1 Gennajo all' Osservatoria Reale di Palermo 1801
mit einer von ihm berechneten vorläufigen Kreisbahn abgedruckt.
Diese Berichte las auch C. F. Gauß, und er meinte, eine genauere elliptische
Bahn aus den Piazzi'schen Positionsdaten berechnen zu können. Dies war auch
notwendig, denn obwohl nach Piazzi's Rechnung das fragliche Objekt im Oktober
wieder am Nachthimmel erscheinen sollte, konnte man es nicht wiederfinden.
Gauß machte sich also an die Arbeit, und seine im November 1801 an F. X. v.
Zach geschickten und im Dezember in der "Monatlichen Correspondenz"
veröffentlichten Ergebnisse waren so gut, daß v. Zach das Piazzi'sche Objekt
am 7. Dezember 1801 und Wilhelm Matthias Olbers (1758-1840) in Bremen es
am 1. Januar 1802, genau ein Jahr nach seiner Entdeckung, wiederfinden
konnten. Da inzwischen fast alle Astronomen davon überzeugt waren, daß es
wirklich der gesuchte Planet sei, erhielt es auf Piazzi's Vorschlag den Namen
"Ceres" (ursprünglich "Ceres Ferdinandea" zu Ehren des damaligen Königs der
beiden Sizilien Ferdinand I. de Bourbon) und das Symbol
__
\
|
__/ Ceres (1. 1. 1801, Giuseppe Piazzi, Palermo)
|
-+-
|
[Anmerkung:
Ich gebe die Astro-Symbole für Ceres, Pallas, Juno und Vesta nicht deshalb an,
weil ich heimlicher Anhänger der Astrologie oder eines sonstigen okkulten
Unfugs bin, sondern weil ihre Kenntnis beim Lesen astronomischer Texte aus
jener Zeit unerläßlich ist. Die Astronomen, C. F. Gauß eingeschlossen,
benutzten sie, ebenso wie die Astro-Symbole der übrigen Planeten, sehr häufig
in Tabellen und Mitteilungen in Fachzeitschriften, und zuweilen sogar in
Gleichungen zur Indizierung von Variablen. Übrigens erhielten nur noch die
drei nachfolgend entdeckten Planetoiden Pallas, Juno und Vesta sowie der
Planet Pluto solche Symbole; danach war Schluß :-]
Hermann Kremer
Hallo,
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2) Gauß und die Pallas 1802
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Im Verlauf seiner Ceres-Beobachtungen entdeckte W. M. Olbers am 28. März 1802
ganz in deren Nähe ein zweites verdächtiges Objekt, das sich nach kurzer Zeit
ebenfalls als "Lückenplanet" herausstellte. Um die Reihe der bei den großen
Planeten zu kurz gekommenen antiken Göttinnen fortzusetzen, nannte Olbers das
neue Objekt "Pallas" und gab ihm das Symbol
^
/ \
/ ^ \
(_/|\_) Pallas (28. 3. 1802, Wilhelm M. Olbers, Bremen)
|
-+-
|
Die Pallas ist derjenige Planetoid, um den es im folgenden gehen wird, und
sie war auch in gewissem Sinne der Lieblingsplanet von C. F. Gauß.
Die beiden nächsten Planetoiden wurden kurze Zeit später gefunden, nämlich
die Juno am 1. September 1804 von Karl Ludwig Harding (1765-1834) in Bremen,
\ | /
\ | /
--->|<---
/ | \ Juno (1. 9. 1804, Karl L. Harding, Bremen)
/ | \
|
-+-
|
und die Vesta am 29. März 1807 wiederum von W. M. Olbers in Bremen. Der Vesta
gab übrigens C. F. Gauß ihren Namen, wie der Herausgeber der "Monatlichen
Correspondenz", F. X. v. Zach, dort in Bd. XV, Mai 1807, S. 502-508, schrieb:
"... Sobald ich mit einiger Gewissheit glauben konnte, schreibt uns Dr.
Olbers unterm 22. April [1807], wirklich der erste Entdecker dieses neuen
Planeten zu sein, bat ich unseren unvergleichlichen GAUSS, der sich so
ausnehmende Verdienste um alle diese kleinen Planeten erworben hat, ihm
Namen und Zeichen zu bestimmen. Dr. GAUSS hat meine Bitte erfüllt; `Sie
legen mir', antwortete er, `die Ehre, bei Ihrem Planeten Pathenstelle zu
vertreten, so dringend an's Herz, dass ich mich derselben nicht entziehen
kann, so wenig ich auch Anspruch darauf habe. Es sei also darum; ich
weiss dem Planeten keinen schönern Namen zu geben, als den der Göttin,
die die Völker der alten Zeit zur Schutzgöttin der reinen Sitten, der
makellosen Tugend und des häuslichen Glückes machten. Finden sie also
meine Wahl nicht unschicklich: so heisse Ihr Töchterchen: V e s t a !'.
Ich finde diesen Namen sehr glücklich gewählt. Als Zeichen hat Herr Dr.
GAUSS die symbolische Vorstellung des auf dem Altare der Göttin
brennenden heiligen Feuers
/\
/ \
\ /
___ \/ ___
| \ / |
| \/ | Vesta (29. 3. 1807, Wilhelm M. Olbers, Bremen)
|__________|
bestimmt, und auch dies scheint mir in aller Absicht seinem Endzweck
zu entspechen. [von Zach] ... "
Dann war längere Zeit Pause, bis schließlich mit der am 8. Dezember 1845
von Johannes Franz Encke (1791-1865) in Berlin entdeckten "Astraea" die
Planetoiden-Inflation begann. Diesbezüglich findet man in
http://www.bdl.fr/Granpub/Promenade/pages4/444.html
eine Übersicht über die ersten 6000 der mehr als 60000 bis heute registrierten
Planetoiden, s. auch
http://www.kleinplanetenseite.de/ .
Nachdem zu Anfang des Jahres 1802 die Ceres glücklich wiedergefunden und dabei
ein zusätzlicher Planetoid entdeckt worden war, entstand unter den Astronomen
eine lebhafte und teilweise recht skurrile Diskussion über das Wesen dieser
"Planetchens". Waren es, wie Immanuel Kant bereits 1755 in seiner "Allgemeinen
Naturgeschichte und Theorie des Himmmels" und Pierre Simon Laplace 1796 in
seiner "Exposition du système du monde" postuliert hatten, aus "Urwirbeln"
entstandene autonome Himmelskörper, oder waren es Trümmer eines irgendwie und
irgendwann zerbrochenen "richtigen" Planeten, oder waren es eingefangene
Kometen, oder waren es ehemalige Monde, die einem anderen Planeten entlaufen
waren, oder waren sie etwas ganz anderes?
Geradezu grotesk aber wurde die Diskussion über die neuentdeckten Himmelskörper
von einigen Philosophen geführt. Während manche aus "zwingenden philosophischen
Gründen" ihre Nicht-Existenz "bewiesen", argumentierten andere, wenn sie denn
schon existierten, dann könnten es unmöglich Planeten sein, sondern allenfalls
"sternähnliche Entitäten", und aus diesem Grund heißen sie auch heute noch
"asteroids" auf englisch (offiziell: minor planets). C. F. Gauß, der sich aus
den Diskussionen über das Wesen der Kleinplaneten weitgehend heraushielt und
stattdessen ihre Umlaufbahnen berechnete, bezeichnte später einmal (1842) in
einem Briefwechsel mit dem Astronomen Heinrich Schumacher einen der unsäglichen
philosophischen "Beweise" ihrer Nichtexistenz als "... monumentum insaniae
saeculi decimi noni - Denkmal des Wahnsinns des neunzehnten Jahrhundert ...".
Hermann Kremer
Hallo,
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3) Gauß und die "Theoria motus" und die Methode der kleinsten Quadrate 1809
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Wegen der angenommenen geringen Masse der neuen Planeten war es klar, daß sie
nicht in schönen Ellipsen um die Sonne laufen konnten, sondern auf Bahnen, die
infolge der starken Störungen durch den Mars und insbesondere durch den Jupiter
ziemlich stark "verbeult" sind. Die Berechnung solcher Bahnen erforderte eine
eigene Störungsrechnung, die Gauß in der Folgezeit entwickelte und worüber er
sowohl in zahlreichen Briefen an einige seiner Kollegen als auch durch fast
jährlich neuberechnete und fortlaufend verbessere Bahnelemente der Ceres und
der Pallas berichtete, die unter der Rubrik "Fortgesetzten Mitteilungen ..."
in der "Monatlichen Correspondenz" erschienen.
Die Theorie seiner Störungsrechnung veröffentlichte Gauß niemals in einer
systematischen Form, obwohl er das wohl plante, wie das in zwei Fassungen in
seinem Nachlaß gefundene und vermutlich 1816/1817 auf französisch verfaßte
Manuskript
Exposition d'une nouvelle méthode de calculer les perturbations
planétaires avec l'application au calcul numérique des perturbations
du mouvement de Pallas
zu zeigen scheint; man nimmt an, daß es als Einsendung für eine im Juni 1804
von der französischen Akademie der Wissenschaften ausgeschriebene Preisaufgabe
gedacht war, aber bis zum (mehrfach verlängerten) Abgabetermin am 1. Oktober
1816 nicht fertig wurde, da sich Gauß in der fraglichen Zeit intensiv um den
Bau der neuen Sternwarte in Göttingen kümmern mußte.
Teilweise skizzierte er jedoch die Störungsrechnung in seinem 1809 erschienenen
astronomischen Hauptwerk
Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium
(Theorie der Bewegung von Himmelskörpern in Kegelschnitten um die Sonne.)
Hamburg: Verlag v. Friedrich Perthes & J.H. Besser, 1809.
XII+228 Seiten, 20 Seiten Tabellen, nebst einer Kupfertafel. gr.Quart.
Das komplette Buch ist unter
http://134.76.163.65/agora_docs/137784TABLE_OF_CONTENTS.html
--> S. 1-280
zu finden, und eine deutschsprachige, von Gauß selbst verfaßte Zusammenfassung
("Anzeige") aus den "Göttingischen gelehrten Anzeigen" vom 17. Juni 1809 ist
unter
http://134.76.163.65/agora_docs/137471TABLE_OF_CONTENTS.html
--> S. 53-60
zu finden.
In der "Theoria motus ..." entwickelt Gauß die Rechenverfahren, um
elliptische (für Planeten und Monde) und hyperbolische (für Kometen) Bahnen
aus Beobachtungen zu berechnen; da kurz zuvor eine Arbeit von W. M. Olbers
über die Berechnung parabolischer Kometenbahnen erschienen war, geht er nicht
weiter auf solche ein. Die Algorithmen gibt er auch in Form von "Kochrezepten"
an, da seiner Meinung nach
"... [die bisherigen Untersuchungen] statt eines geschmeidigen, für
die wirkliche Anwendung geformten, Calculus nur einen verworrenen
Haufen von unentwickelten und selbst den unverdrossensten Rechner
zurückschreckenden Formeln aufstellen, ..."
Zu seinen Verfahren bemerkt er in der Anzeige:
"... Zu der schärfern Ausfeilung der Elemente eines Himmelskörpers
hat man [...] so viele [Beobachtungen], als nur zu Gebote stehen,
anzuwenden. Wie man sich dabei zu verhalten habe, lehrt der dritte
Abschnitt [der "Theoria motus"]. Hier war der Ort, die Haupt-Momente
von einer für jede Anwendung der Mathematik auf die Körperwelt
höchst wichtigen Frage zu entwickeln, wie Beobachtungen und Messungen,
die bei der Unvollkommenheit unsrer Sinne und Werkzeuge unvermeidlich
immer mit Fehlern, wenn auch noch so geringen, behaftet sind, am
zweckmässigsten zur Festsetzung von Resultaten zu combiniren sind.
Die Grundsätze, welche hier ausgeführt werden, und welche von dem
Verfasser schon seit 14 Jahren [also seit etwa 1795] angewandt, und
von demselben schon vor geraumer Zeit mehreren seiner astronomischen
Freunde mitgetheilt waren, führen zu derjenigen Methode, welche auch
Legendre in seinem Werke: 'Nouvelles méthodes pour la détermination
des orbites des comètes [avec un supplément contenant divers
perfectionnements de ces méthodes et leur application aux deux
comètes de 1805]', vor einigen Jahren [nämlich 1806] unter dem
Namen 'Méthode des moindres carrés' [d.h. 'Methode der kleinsten
Quadrate'] aufgestellt hat: die Begründung der Methode, welche von
dem Verfasser [Gauß] gegeben wird, ist diesem ganz eigenthümlich.
Eine weitere Ausführung hat man von demselben in der Folge zu
erwarten. ...".
Tatsächlich hat Gauß hier zum erstenmal seine Herleitung der Ausgleichsrechung
zusammenhängend dargestellt, noch nicht jedoch den später nach ihm benannten
"Gauß'schen Algorithmus" zur Lösung der Normalgleichungen; das tat er etwas
später.
Der Hinweis auf "... seit 14 Jahren angewandt ..." erfolgte möglicherweise
auf Drängen des Verlegers F. Perthes, um die Priorität gegenüber Adrien-Marie
Legendre (1752-1833) zu betonen; Perthes verlegte übrigens die ursprünglich
bereits 1807 auf deutsch verfaßte "Theoria motus" auch erst, nachdem sie von
Gauß (der darüber alles andere als begeistert war) ins lateinische übersetzt
worden war.
Der Entwurf der Einleitung zur deutschen Version der "Theoria motus" wurde
im Nachlaß von Gauß gefunden und kann, zusammen mit einigen Bemerkungen zur
Entstehungsgeschichte des Buchs, in
http://134.76.163.65/agora_docs/137978TABLE_OF_CONTENTS.html
--> S. 156-162
nachgelesen werden.
Die praktische Anwendung seiner Rechenverfahren illustrierte Gauß mittels
mehrerer durchgerechneter Beispiele, und diese enthalten eine größere Anzahl
von Rechenfehlern, die sowohl von Gauß selbst als auch von aufmerksamen Lesern
der "Theoria motus" nach und nach entdeckt und korrigiert wurden, siehe
http://134.76.163.65/agora_docs/137784TABLE_OF_CONTENTS.html
--> S. 281-312 ,
und die (zumindest teilweise) auf Fehler in den von Gauß zur Rechnung benützten
Logarithmentafeln zurückgeführt werden konnten.
Hermann Kremer
Hallo,
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4) Gauß und die "Disquisitio de elementis Palladis" 1811
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Die wichtigste der von Gauß angekündigten "weiteren Ausführungen" erschien
bereits knapp zwei Jahre später. Sozusagen als Ergänzung zur "Theoria motus"
veröffentlichte Gauß in der Zeitschrift "Commentationes societatis regiae
scientiarum Gottingensis recentiores (Gelehrte Nachrichten der königlichen
Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, meist kurz als "Göttinger
Nachrichten" bezeichnet) 1811 den Aufsatz
Disquisitio de elementis ellipticis Palladis ex oppositionibus
annorum 1803, 1804, 1805, 1807, 1808, 1809.
(Abhandlung über die elliptischen Elemente der Pallas aus den
Oppositionen der Jahre 1803, 1804, 1805, 1807, 1808, 1809.)
Commentationes societatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores,
Vol. 1, 1811. 21 p.
Dieser Aufsatz ist zusammen mit einer deutschsprachigen Rezension unter
http://134.76.163.65/agora_docs/137471TABLE_OF_CONTENTS.html
--> S. 1-24 und --> S. 61-64
zu finden.
Aus der Rezension:
"... Am 25. November [1810] übergab Herr Prof. GAUSS der königl.
Societät der Wissenschaften [zu Göttingen] eine Vorlesung:
Disquisitio de elementis ellipticis Palladis ex oppositionibus
annorum 1803, 1804, 1805, 1807, 1808, 1809.
Seit drei Jahren hatte der Verfasser keine neue Rechnungen über die
Bahn der Pallas angestellt. Die Beobachtungen vom Jahre 1808 waren
bei der grossen Lichtschwäche des Planeten sehr dürftig und
mangelhaft gewesen, und sind zum Theil erst später bekannt geworden,
daher es nicht der Mühe werth schien, schon damals die Elemente
darnach zu verbessern. Erst nachdem Herr Prof. GAUSS die Beobachtungen
der Pallas von 1809, welche von BOUVARD auf der kaiserl. Sternwarte
in Paris angestellt waren, erhalten hatte, berechnete er nebst der
Opposition von 1809 zugleich die von 1808. ...
Die fernere Discussion aller bisher beobachteten sechs Oppositionen
ergab das Resultat, dass eine elliptische Bahn nicht mehr zureicht,
sie alle genau darzustellen: eine Folge der grossen Störungen, die
dieser Planet von den übrigen, und besonders von dem Jupiter,
erleidet. Herr Prof. GAUSS hat dies auf eine doppelte Art
gezeigt. ..."
In dem Aufsatz gibt Gauß die Formeln zur Berechnung von Bahnelementen für den
Spezialfall an, daß man Beobachtungen eines Planeten an solchen Positionen
seiner Bahn besitzt, die in Opposition zur Sonne stehen, und erläutert sie
durch insgesamt drei vollständige "klassische" Rechnungen, die er als
"... erste Art der Rechnung ..." bezeichnet, sowie durch eine vierte neuartige
"... zweite Art der Rechnung ...", die unser eigentliches Thema ist.
Oppositionen, die übrigens nur bei äußeren Planeten vorkommen, sind deshalb
zur Bahnberechnung besonders gut geeignet, weil dann Sonne, Erde und Planet
(fast) auf einer Geraden liegen, wodurch sich die Gleichungen sehr vereinfachen.
Weiterhin nimmt dann der Abstand des Planeten von der Erde ein lokales Minimum
an, und da auch der Planet während der Nacht sichtbar ist, liegt damit sowohl
eine optimale Beobachtungskonstellation als auch eine besonders einfache
Rechenaufgabe vor. Außerdem ist eine Opposition auffällig, denn in deren
Umgebung bewegt sich der beobachtete Planet rückläufig.
Eine exakt elliptische Bahn eines Planeten (mit der Sonne in einem Brennpunkt
der Ellipse) ist durch sechs Elemente festgelegt:
- Zwei Ellipsen-Bestimmungsstücke, z.B. große und kleine Halbachse, oder
daraus ableitbare Größen, wie Exzentrizität, Perihel- und Aphel-Abstände,
oder (über das dritte Kepler'sche Gesetz mit dem jeweiligen Sonnenabstand
verknüpfte) direkt meßbare Winkelgeschwindigkeiten des Planeten,
- Drei Winkel, die die Lage der Ellipsen-Ebene bezüglich der Ekliptik-Ebene
sowie die Orientierung der Ellipse auf ihrer Ebene festlegen,
- Ein Ort des Planeten auf seiner Umlaufbahn zu einem bekannten Zeitpunkt.
(Die Tatsache, daß Gauß auch gerade sechs Oppositionen betrachtete, ist reiner
Zufall und hat mit den sechs Bahnelementen nichts zu tun; als er seine
Abhandlung schrieb, hatte er eben nur diese sechs Beobachtungen von Pallas-
Oppositionen, die durchschnittlich alle 14.6 Monate auftreten, zur Verfügung).
Da man bei jeder Beobachtung eines Planeten zwei Winkel (in einem von mehreren
möglichen, aber ineinander transformierbaren sphärischen Koordinatensystemen)
mißt und zur Vorgabe von Winkelgeschwindigkeiten die vektoriellen Differenzen
von jeweils zwei Winkelpaaren benötigt, braucht man zur Bestimmung von sechs
Bahnelementen vier Beobachtungen. Die Berechnung der sechs Elemente aus den
vier Beobachtungen ist dann eine klassische Aufgabe, die Gauß dreimal vornahm:
I) Mit den Daten der Oppositionen von 1803, 1804, 1805, 1807
II) Mit den Daten der Oppositionen von 1804, 1805, 1807, 1808
III) Mit den Daten der Oppositionen von 1805, 1807, 1808, 1809 ,
wobei er auch noch einige Vereinfachungen der Rechenvorschriften vornahm:
"... Die Aufgabe, aus vier beobachteten Örtern eines Himmelskörpers
seine Bahn zu bestimmen, war in jenem Werk [Theoria motus] zwar
schon umständlich abgehandelt, ... allein gerade im vorliegenden
Fall, wo die vier Beobachtungen Oppositionen sind, hat Herr Prof.
GAUSS es vortheilhafter gefunden, eine ganz andere Methode zu
gebrauchen, welche in der Abhandlung ausführlich erklärt, und durch
das Beispiel der wirklichen Berechnung des dritten Systems der
Elemente noch mehr erläutert ist. ..."
Da sich die so berechneten drei Sätze von Bahnelementen aber doch merklich
unterscheiden und die Pallas-Bahn somit keine exakte Ellipse ist, schloß Gauß
seine vierte Rechnung an, um die Störungen der einzelnen Bahnelemente
individuell zu bestimmen. Dazu nahm er die in II) berechneten Elemente als
Bezugselemente, die er vorübergehend als Elemente einer mittleren ungestörten
Ellipsenbahn annahm, berechnete daraus als Sollwerte diejenigen Größen, die an
den Oppositionen gemessen worden waren, verglich die berechneten Sollwerte mit
den tatsächlich gemessenen Istwerten und berechnete daraus Korrekturen für die
einzelnen Bahnelemente aus II).
Für uns ist diese vierte Rechnung, die Gauß hier als "... zweite Art der
Rechnung ..." bezeichnete und die eine echte Störungsrechnung darstellt, von
besonderer Bedeutung, da er sie mittels der Methode der kleinsten Quadrate
durchführte. In der Rezension des Aufsatzes wird sie folgendermaßen
charakterisiert:
"... Die zweite Art, wie Herr Prof. GAUSS den Einfluss der Störungen
nachgewiesen hat, besteht in der Berechnung von rein-elliptischen
Elementen, die sich an *alle* sechs Oppositionen *möglichst* genau
anschliessen, und die dessen ungeachtet sich von den einzelnen
beobachteten Örtern bedeutend entfernen. ..."
"... Die Berechnung des vierten Systems von Elementen ist nach den
Grundsätzen geführt, die in dem 3. Abschnitt des 2. Buchs der
"Theoria motus corporum coelestium" entwickelt sind, und die
vorliegende Abhandlung gibt auch hierzu mehrere Zusätze, die
hoffentlich den Astronomen nicht unwillkommen sein werden. ..."
Im Detail reduzierte Gauß bei seiner Störungsrechnung der "zweiten Art" für
jede Opposition der Pallas die gemessenen Winkelpaare auf jeweils dieselben
Positionswinkelpaare, nämlich die heliozentrische Länge alpha und die
geozentrische Breite sigma, und drückte diese dann als Funktionen der sechs
Bahnelemente L, TAU, PI, phi, OMEGA und i sowie der jeweiligen
Beobachtungszeit t aus:
alpha = F(L, TAU, PI, phi, OMEGA, i; t)
sigma = G(L, TAU, PI, phi, OMEGA, i; t) ,
wobei
L Länge der Pallas am 30. Juni 1803, 0:27:32 Göttinger Ortszeit,
TAU Mittlerer während eines tropischen Tags durchlaufener Bahnwinkel,
PI Länge des Perihels (sonnennächster Punkt einer Ellipsen-Bahn),
phi arcsin der Ellipsen-Exzentrizität epsilon,
OMEGA Länge des aufsteigenden Knotens der Pallas-Bahn,
i Neigung der Pallas-Bahnebene gegenüber der Ekliptik-Ebene
bedeuten. Diese sechs Größen sind sämtlich Winkel.
Dann berechnete er mit den aus II) bestimmten Werten dieser sechs Elemente für
alle Beobachtungszeitpunkte jeweils die Sollwerte alpha_gerechnet und
sigma_gerechnet und bestimmte ihre Differenzen zu den tatsächlich gemessenen
Positionen, sodaß er insgesamt sechs Differenzenpaare
Dalpha = alpha_gemessen - alpha_gerechnet ,
Dsigma = sigma_gemessen - sigma_gerechnet
erhält.
Da die Funktionen F und G nichtlinear in den Variablen sind, linearisiert
sie Gauß mittels des vollständigen Differentials:
Dalpha = (dF/dL)*DL + (dF/dTAU)*DTAU + ...
Dsigma = (dG/dL)*DL + (dG/dTAU)*DTAU + ... ,
berechnet für die sechs Beobachtungszeiten jeweils die partiellen Ableitungen
(dF/dL) usw. und gewinnt dadurch 12 lineare Gleichungen zur Berechnung
der sechs Elementstörungen DL, DTAU usw., wobei er die Gleichung für Dsigma
aus der Pallas-Opposition von 1808 wegen zu großer Beobachtungsungenauigkeit
wegläßt; in seiner Liste ist das die 10-te Gleichung:
"... Sed ex his duodecim aequationibus decimam omnino reiiciemus,
quum latitudo geocentrica observata nimis incerta est. ..."
Das verbliebene überbestimmte Gleichungssystem aus 11 Gleichungen löst er
dann mittels der Methode der kleinsten Quadrate.
Hermann Kremer
Hallo,
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5) Gauß und der Gauß'sche Algorithmus 1811
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In der Rezension der "Disquisitio de elementis ellipticis" wird die Lösung des
überbestimmten linearen Gleichungssystems mit 11 Gleichungen für die 6
unbekannten Bahnelemente-Störungen folgendermaßen charakterisiert:
"... Sodann ein eigenes Verfahren, die unbekannten Grössen dem oben
erwähnten Grundsatze gemäss zu bestimmen. Sind nemlich w, w', w''
u.s.w. die vorgegebenen lineären Functionen der unbekannten Grössen
p, q, r u.s.w., und soll das Aggregat w*w + w'*w'+ w''*w'' + etc.
ein Kleinstes werden, so erhält man leicht so viele lineäre
Gleichungen, als unbekannte Grössen sind, aus denen diese durch
Elimination bestimmt werden müssen. Diese Elimination ist aber,
wenn die Anzahl der unbekannten Grössen etwas beträchtlich ist,
eine äusserst beschwerliche Arbeit, und zwar deswegen, weil jede
der Gleichungen alle unbekannten Grössen enthält. Herr Prof. GAUSS
hat diese Arbeit sehr bedeutend abgekürzt; denn obgleich er die
Auflösung auch auf soviele lineäre Gleichungen, als unbekannte
Grössen sind, zurückführt, so sind diese Gleichungen so beschaffen,
dass nur die erste alle unbekannten Grössen enthält, aber die
zweite von p, die dritte von p und q, die vierte von p, q
und r frei ist u.s.w., daher die Bestimmung der unbekannten
Grössen in der umgekehrten Ordnung nur noch wenige Mühe macht.
Ausserdem hat diese Methode noch den Vortheil, dass man den
kleinsten Wert von w*w + w'*w'+ w''*w''+ u.s.w. im voraus angeben,
und so die Vergleichung desselben mit dem nachher berechneten,
wenn in w, w', w'' etc. die für die unbekannten Grössen gefundenen
Werthe substituirt werden, zu einer Controlle der Rechnung benutzt
werden kann. ..."
Was hier so liebevoll umständlich beschrieben wird, ist nun gerade der
G a u ß ' s c h e A l g o r i t h m u s zur Lösung des linearen
Gleichungssystems der Normalgleichungen, der in diesem Aufsatz eher nebenbei
e r s t m a l i g dargestellt wird. Nach heutigen Vorstellungen ist die
von Gauß gegebene Darstellung allerdings eher schwerfällig, da er nicht die
Matrizenschreibweise verwendete (die allerdings auch erst rund 40 Jahre später
von James Joseph Sylvester und Arthur Cayley eingeführt wurde), sondern die
Gleichungen sämtlich einzeln anschrieb, und dabei auch seine Unbekannten und
Koeffizienten nicht indizierte, sondern durch a, a', a'' usw. bezeichnete.
Seine ebenfalls in diesem Aufsatz eingeführte Schreibweise des Skalarprodukts
[xy] := sum{k=1..n} x_k*y_k = <x|y>
hat sich als "Gauß'sche Summe" jedoch bis heute gehalten.
Zur Lösung des überbestimmten linearen Gleichungssystems sagt Gauß, daß man die
Existenz einer Lösung, die sämtliche 11 Gleichungen exakt erfüllt, nicht
erwarten könne, und daß er die Aufgabe daher, in moderner Schreibweise, in der
Form
A*x - b = w | x so, daß W := <w|w> = min gilt
formuliere, wobei W = <w|w> die Summe der Residuenquadrate, d.h. das
Skalarprodukt des Residuenvektors w mit sich selbst, bedeutet. Dann schreibt
er lapidar, es sei leicht zu sehen
"... Facile quidem perspicitur, si generaliter functiones lineares
incognitarum ... propositae sint hae ..."
daß die gesuchte Lösung durch die Lösung des Systems der Normalgleichungen
(A^T*A)*x = (A^T*b)
gegeben sei, wobei A^T die Transponierte der Matrix A bedeutet. Offenbar
setzt Gauß stillschweigend voraus, daß der Leser den Beweis dafür entweder aus
seiner eigenen "Theoria motus ..." oder aus der Legendre'schen "Nouvelles
méthodes pour la détermination des orbites des comètes ..." kennt.
Nachdem Gauß bei den Normalgleichungen angelangt ist, gibt er in allgemeiner
Form die Eliminationsvorschrift an, um die Normalgleichungs-Matrix A^T*A auf
obere Dreiecksform zu transformieren, wobei er zwar die Symmetrie von A^T*A
ausnutzt (und seine Vorschrift daher eine gewisse Ähnlichkeit mit derjenigen
des erst um 1924 erfundenen Cholesky-Algorithmus aufweist), aber weder irgend
eine Art von Präkonditionierung der Normalgleichungen noch irgend eine Art von
Pivot-Suche auch nur andeutungsweise erwähnt.
Seine Rechenkontrolle benutzt die Tatsache, daß sich die Summe der
Residuenquadrate W = <w|w> auch in der Form
W = w^T*w = (A*x - b)^T*(A*x - b) =
= (x^T*A^T - b^T)*(A*x - b) =
= b^T*b - b^T*A*x - x^T*(A^T*A*x - A^T*b) =
= b^T*b - b^T*A*x =
= b^T*b - (A^T*b)^T*x ,
also
W = <b|b> - <A^T*b|x>
schreiben läßt, d.h. als Differenz zwischen dem Skalarprodukt der rechten Seite
der Originalgleichungen mit sich selbst und dem Skalarprodukt der rechten Seite
der Normalgleichungen mit dem Lösungsvektor, und der Vergleich der solcherart
berechneten Residuenquadratsumme mit demjenigen Wert, den man durch Einsetzen
des Lösungsvektors in die Originalgleichungen erhält, stellt die oben erwähnte
Rechenkontrolle dar.
Gauß benutzt nun einen Kunstgriff. Multipliziert man nämlich das Originalsystem
A*x - b = w von links mit b^T, so erhält man
b^T*A*x - b^T*b = b^T*w ,
und mit b^T*A*x = (A^T*b)^T*x und Vergleich mit der zuvor hergeleiteten
Beziehung folgt daraus
b^T*w = <b|w> = -W ,
d.h. das Skalarprodukt der rechten Seite der Originalgleichungen mit dem
Residuenvektor ist gleich der negativen Summe der Residuenquadrate.
Gauß nimmt nun zum Normalgleichungssystem die zusätzliche Gleichung
b^T*A*x - b^T*b = b^T*A*x + W = b^T*b
hinzu und löst das solcherart erweiterte Gleichungssystem
[ A^T*A | 0 ] [ x ] [ A^T*b ]
[-------+---] * [---] = [-------]
[ b^T*A | 1 ] [ W ] [ b^T*b ]
mittels des Gauß'schen Algorithmus, und am Ende der Elimination gilt dann
[ U | 0 ] [ x ] [ L^(-1)*A^T*b ]
[-------+---] * [---] = [----------------] ,
[ 0 | 1 ] [ W ] [ b^T*b - b^T*A*x]
wobei L und U die beiden Dreiecksmatrizen der zum Gauß'schen Algorithmus
äquivalenten LU-Zerlegung L*U = A^T*A sind. Man sieht, daß nach der
Elimination das unterste Element der eliminierten rechten Seite gerade die
gesuchte Residuenquadratsumme W enthält, sodaß man die explizite Berechnung
des Ausdrucks <b|b> - <A^T*b|x> gespart hat.
Da diese Kontrollrechnung aber nur bei manueller Rechnung von Bedeutung ist,
nicht jedoch bei Computer-Rechnung, wird sie in heutigen Numerik-Lehrbüchern
meistens stillschweigend weggelassen.
Beim Lesen der Abhandlung ist zu beachten, daß Gauß die Originalgleichungen
bzw. Normalgleichungen nicht in der oben angegebenen Form, sondern in der Form
(-b) + A*x = w
bzw.
A^T*(-b) + A^T*A*x = 0
schreibt, wodurch die Lesbarkeit für den an die heutige Schreibweise gewöhnten
Leser nicht gerade erleichtert wird, und außerdem den Beweis eines nicht ganz
unwesentlichen Details seiner Herleitung der Kürze halber einfach übergeht:
"... brevitatis tamen gratia hanc demonstrationem fusius hic
non exsequor ..." .
Eine englische Übersetzung des mathematischen Teils der Gauß'schen Abhandlung,
die allerdings ziemlich viele Schreibfehler enthält, steht in
http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/gausspallas.pdf .
Rainer Rosenthal
> 2) Gauß und die Pallas 1802
> 3) Gauß und die "Theoria motus" und die Methode der kleinsten Quadrate
1809
> 4) Gauß und die "Disquisitio de elementis Palladis" 1811
> 5) Gauß und der Gauß'sche Algorithmus 1811
> 6) Gauß und die Rechenfehler .
Hallo Hermann,
mit dieser Arbeit hast Du den Lesern von de.sci.mathematik
einmal mehr eine prächtige Freude gemacht. Ich danke Dir,
dass ich schon in der Vorbereitungszeit hineinschauen
durfte und freue mich, das fertige Werk betrachten zu
können.
Mit herzlichem Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Hermann Kremer
Hallo,
=========================
6) Gauß und die Rechenfehler
=========================
Da die englische Übersetzung des für das folgende relevanten Teils der
Gauß'schen Abhandlung aus
http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/gausspallas.pdf
zu viele Schreibfehler enthält, beziehe ich mich bei den Zahlenangaben auf
den Abdruck des lateinischen Texts der "Disquisitio de elementis ..." im
sechsten Band der 12-bändigen Ausgabe der Gauß'schen Werke,
Göttingen 1874-1906
http://134.76.163.65/agora_docs/137471TABLE_OF_CONTENTS.html
--> S. 18-24 .
Gauß gibt dort die Ergebnisse seiner Eliminatiionsrechnung vollständig an,
einschließlich sämtlicher Zwischenergebnisse, wobei er ausdrücklich betont, er
habe die Rechungen mit größter Sorgfalt durchgeführt:
"... Calculo accurate absoluto hosce valores numericos inveni: ..."
Leider macht er aber keine Angaben über die von ihm benutzten Rechenhilfsmittel,
insbesondere nicht über die verwendeten Logarithmentafeln.
Die 11 zu lösenden Gleichungen schreibt Gauß in der Form
a *p + b *q + c *r + d *s + e *t + f *u = -n + w
a'*p + b'*q + c'*r + d'*s + e'*t + f'*u = -n' + w'
a"*p + b"*q + c"*r + d"*s + e"*t + f"*u = -n" + w"
usw. ,
wobei die unbekannten Störungen DL, DTAU usw. durch p, q usw. abgekürzt
sind. Die Koeffizienten der einzelnen Gleichungen werden mit a, b, ..., f
bzw. a', b', ..., f' usw. bezeichnet und die Werte der rechten Seite mit
-n, -n' usw. Die Residuen heißen w, w' usw..
Das Normalgleichungssystem lautet damit
_ _ _ _ _ _
| | | | | |
| [aa] [ab] [ac] [ad] [ae] [af] | | p | | -[an] |
| | | | | |
| [ab] [bb] [bc] [bd] [be] [bf] | | q | | -[bn] |
| | | | | |
| [ac] [bc] [cc] [cd] [ce] [cf] | | r | | -[cn] |
| |*| | = | |
| [ad] [bd] [cd] [dd] [de] [df] | | s | | -[dn] |
| | | | | |
| [ae] [be] [ce] [de] [ee] [ef] | | t | | -[en] |
| | | | | |
| [af] [bf] [cf] [df] [ef] [ff] | | u | | -[fn] |
| | |_ _| | |
|-------------------------------| |-------|
| | | |
| [an] [bn] [cn] [dn] [en] [fn] | | [nn] |
|_ _| |_ _|
wobei [aa], [ab] usw. die Gauß'schen Summen, d.h. die Skalarprodukte der
Koeffizientenvektoren bedeuten.
Zur Rechenkontrolle nimmt Gauß zu den sechs Normalgleichungen noch die
Kontrollgleichung
[an]*p + [bn]*q + [cn]*r + [dn]*s + [en]*t + [fn]*u = [nn] - W
als zusätzliche siebte Gleichung hinzu; nach Abschluß der Elimination enthält
das zusätzliche siebte Element der rechten Seite dann gerade die Summe der
Residuenquadrate W = [ww] .
Die im ersten Eliminationsschritt erhaltenen Koeffizienten bezeichnet Gauß
mit
[bb,1] = [bb] - ([ab]/[aa])*[ab] ,
[bc,1] = [bc] - ([ab]/[aa])*[ac] ,
...,
[bn,1] = [bn] - ([ab]/[aa])*[an] ,
[cc,1] = [cc] - ([ac]/[aa])*[ac] ,
[cd,1] = [cd] - ([ac]/[aa])*[ad] ,
...,
[cn,1] = [cn] - ([ac]/[aa])*[an] ,
usw.,
die im zweiten Schritt erhaltenen Koeffizienten mit
[cc,2] = [cc,1] - ([bc,1]/[bb,1])*[bc,1] ,
[cd,2] = [cd,1] - ([bc,1]/[bb,1])*[bd,1] ,
...
[cn,2] = [cn,1] - ([bc,1]/[bb,1])*[bn,1] ,
usw.,
sodaß nach Abschluß der Elimination das gestaffelte Gleichungssystem
_ _ _ _ _ _
| | | | | |
| [aa] [ab] [ac] [ad] [ae] [af] | | p | | -[an] |
| | | | | |
| 0 [bb,1] [bc,1] [bd,1] [be,1] [bf,1] | | q | | -[bn,1] |
| | | | | |
| 0 0 [cc,2] [cd,2] [ce,2] [cf,2] | | r | | -[cn,2] |
| |*| | = | |
| 0 0 0 [dd,3] [de,3] [df,3] | | s | | -[dn,3] |
| | | | | |
| 0 0 0 0 [ee,4] [ef,4] | | t | | -[en,4] |
| | | | | |
| 0 0 0 0 0 [ff,5] | | u | | -[fn,5] |
| | |_ _| | |
|-----------------------------------------| |---------|
| | | |
| 0 0 0 0 0 0 | | [nn,6] |
|_ _| |_ _|
übrig bleibt, aus dem dann die Unbekannten mittels Rücksubstitution
u = -[fn,5]/[ff,5]
t = (-[en,4] - [ef,4]*u)/[ee,4]
usw.
ausgerechnet werden können. Setzt man die Werte der Unbekannten dann wieder
in die 11 Originalgleichungen ein und berechnet die 11 Residuen w, w',
w" usw., dann muß die Summe von deren Quadraten gleich dem Wert von [nn,6]
sein, wenn man richtig gerechnet hat.
Für die aus den sechs Pallas-Oppositionen gewonnenen 12 Störungsgleichungen
gibt Gauß die folgenden Zahlenwerte an
"... Applicando haecce praecepta ad sex oppositiones Palladis ...
sequentes duodecim aequationes obtinemus: ..."
die sämtlich in Bogensekunden gemessene Winkel bezeichnen:
:-----------------------------------------------------------+ +---------+
| | | Dalpha |
| p=DL q=DTAU r=DPI s=Dphi t=DOMEGA u=Di | | Dsigma |
:-----------------------------------------------------------+ +---------+
| 0.79363 143.66 0.39493 0.95920 -0.18856 0.17387 | | 183.93 |
| -0.02658 46.71 0.02658 -0.20858 0.15946 1.25782 | | 6.81 |
:-----------------------------------------------------------+ +---------+
| 0.58880 358.12 0.26208 -0.85234 0.14912 0.17775 | | 0.06 |
| 0.01318 28.39 -0.01318 -0.07861 0.91704 0.54365 | | 3.09 |
:-----------------------------------------------------------+ +---------+
| 1.73436 1846.17 -0.54603 -2.05662 -0.18833 -0.17445 | | 0.02 |
| -0.12606 -227.42 0.12606 -0.38939 0.17176 -1.35441 | | 8.98 |
:-----------------------------------------------------------+ +---------+
| 0.99584 1579.03 0.06456 1.99545 -0.06040 -0.33750 | | 2.31 |
| -0.08089 -67.22 0.08089 -0.09970 -0.46359 1.22803 | | -2.47 |
:-----------------------------------------------------------+ +---------+
| 0.65311 1329.09 0.38994 -0.08439 -0.04305 0.34268 | | -0.01 |
| -0.00218 38.47 0.00218 -0.18710 0.47301 -1.14371 | | -38.12 |(*)
:-----------------------------------------------------------+ +---------+
| 0.69957 1719.32 0.12913 -1.38787 0.17130 -0.08360 | | 317.73 |
| -0.01315 -43.84 0.01315 0.02929 1.02138 -0.27187 | | -117.97 |
:-----------------------------------------------------------+ +---------+
Die durch (*) markierte 10-te Störungsgleichung wird bei der nachfolgenden
Ausgleichsrechnung aber nicht berücksichtigt:
"... Sed ex his duodecim aequationibus decimam omnino reiiciemus,
quum latitudo geocentrica observata nimis incerta sit. ..."
Die von Gauß daraus ausgerechneten Koeffizienten [aa], [ab], ..., [nn] der
Normalgleichungen sind korrekt, wenn man annimmt, daß er die Skalarprodukte
[aa], [ab] usw. mit einer 5-stelligen Logarithmentafel berechnet hat:
--------------------------------------------------------------------+-----------
5.91569 7203.91 -0.09344 -2.28516 -0.34664 -0.18194 | 371.09
7203.91 10834225. -49.06 -3229.77 -198.64 -143.05 | 580104.
-0.09344 -49.06 0.71917 1.13382 0.06400 0.26341 | 113.45
-2.28516 -3229.77 1.13382 12.00340 -0.37137 -0.11762 | -268.53
-0.34664 -198.64 0.06400 -0.37137 2.28215 -0.36136 | -94.26
-0.18194 -143.05 0.26341 -0.11762 -0.36136 5.62456 | 31.81
--------------------------------------------------------------------+-----------
371.09 580104. 113.45 -268.53 -94.26 31.81 | 148848.
--------------------------------------------------------------------+-----------
Zum Vergleich hier die mit ca. 17 Dezimalstellen (Datenformat "double") aus den
11 Störungsgleichungen berechneten Normalgleichungs-Koeffizienten:
--------------------------------------------------------------------+-----------
5.91567 7203.90 -0.09346 -2.28513 -0.34664 -0.18197 | 371.09
7203.90036 10834257.18 -49.06426 -3229.79229 -198.63939 -143.05806 | 580097.03
-0.09346 -49.06 0.71919 1.13384 0.05862 0.26284 | 113.34
-2.28513 -3229.79 1.13384 12.00347 -0.37137 -0.12040 | -268.39
-0.34664 -198.64 0.05862 -0.37137 2.28213 -0.36261 | -94.27
-0.18197 -143.06 0.26284 -0.12040 -0.36261 5.62465 | 31.76
--------------------------------------------------------------------+-----------
371.08942 580097.03 113.33919 -268.39336 -94.27375 31.76411 | 148847.52
--------------------------------------------------------------------+-----------
Gauß eliminiert jetzt unmittelbar seine Normalgleichungen, ohne sie vorher zu
präkonditionieren oder zu äquilibrieren. Nach heutigen Kriterien der Numerik
war das ein schwerer Kunstfehler, denn das Normalgleichungssystem ist mit einer
Konditionszahl von kappa = norm(A^T*A)*norm((A^T*A)^(-1)) ~= 8.7*10^6 so
schlecht konditioniert, daß man mindestens 10 Dezimalstellen benötigt, um
ein auf 3 Dezimalstellen sicheres Ergebnis zu erhalten. Dabei ist eine
Präkonditionierung hier ganz offensichtlich: Man dividiert die zweite Zeile,
d.h. die zweite Gleichung, durch 1000 und ebenso die zweite Spalte, was
einer Substitution der Unbekannten q durch 1000*q entspricht, und erhält
damit das extrem gut konditionierte äquilibrierte Gleichungssystem
-------------------------------------------------------------------+-----------
5.91569 7.20391 -0.09344 -2.28516 -0.34664 -0.18194 | 371.09
7.20391 10.834225 -0.04906 -3.22977 -0.19864 -0.14305 | 580.104
-0.09344 -0.04906 0.71917 1.13382 0.06400 0.26341 | 113.45
-2.28516 -3.22977 1.13382 12.00340 -0.37137 -0.11762 | -268.53
-0.34664 -0.19864 0.06400 -0.37137 2.28215 -0.36136 | -94.26
-0.18194 -0.14305 0.26341 -0.11762 -0.36136 5.62456 | 31.81
-------------------------------------------------------------------+-----------
371.09 580.104 113.45 -268.53 -94.26 31.81 | 148848
-------------------------------------------------------------------+-----------
mit einer Konditionszahl von nur noch kappa ~= 22.
Wegen der sehr schlechten Kondition der unvorbearbeiteten Normalgleichungen
wäre es weiter nicht verwunderlich, wenn die von Gauß ausgerechnete Lösung
relativ ungenau gewesen wäre. Tatsächlich trifft auch nur ein einziger Wert,
nämlich derjenige für die Störung der mittleren täglichen Winkelbewegung
DTAU = q = 0.054335, einigermaßen den korrekten Wert, während die übrigen
fünf Werte mit den korrekten Werten nicht mehr viel zu tun haben. Hier ist
der Vergleich der Ergebnisse:
:---------+-----+-------------------+------------------+---------------+
| Störung | Var | Gauß (fehlerhaft) | Gauß (korrekt) | QR-Zerlegung |
:---------+-----+-------------------+------------------+---------------+
| DL | p | -3.06 | -15.6819 | -15.5884 |
| DTAU | q | 0.054335 | 0.054013 | 0.053992 |
| DPI | r | 166.44 | 219.2003 | 218.4079 |
| Dphi | s | -4.29 | -33.2062 | -33.0915 |
| DOMEGA | t | -34.37 | -51.7639 | -51.1959 |
| Di | u | -3.15 | -7.7637 | -7.6988 |
:---------+-----+-------------------+------------------+---------------+
Die erste Ergebnisspalte zeigt dabei die von Gauß fehlerhaft berechneten
Werte, die zweite Ergebnisspalte die aus den Gauß'schen Normalgleichungen
korrekt berechneten Werte und die dritte Ergebnisspalte die unmittelbar
aus den 11 Gleichungen mittels des QR-Algorithmus berechneten Werte.
Astronomisch bedeuten sämtliche Werte in Bogensekunden gemessene Winkel.
Wie wir später sehen werden, sind die Abweichungen der Gauß'schen Lösung
aber tatsächlich nicht auf die zu erwartenden Rundungsfehler, sondern im
wesentlichen auf eklatante R e c h e n f e h l e r zurückzuführen.
Abschließend setzt Gauß die von ihm berechneten Störungswerte in die 12
ursprünglichen Störungsgleichen wieder ein und berechnet die Residuen w,
w', w'' usw. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle angegeben, und zwar
sowohl für die fehlerhaften Gauß'schen Werte der Störungen als auch für die
korrekten Werte der Störungen:
:-----+---------+-----------+
|Gl-Nr| w_Gauß | w_korrekt |
:-----+---------+-----------+
| 1 | -111.00 | -125.72 |
| 2 | -8.31 | -9.01 |
| 3 | 59.18 | 86.54 |
| 4 | -36.67 | -53.17 |
| 5 | 19.92 | 32.41 |
| 6 | 0.07 | 22.76 |
| 7 | 85.77 | 21.18 |
| 8 | 25.01 | 25.35 |
| 9 | 135.88 | 149.11 |
| 10* | 28.72 | 31.49 | Bei Ausgleichsrechnung weggelassene Gleichung
| 11 | -216.54 | -169.80 |
| 12 | 83.01 | 67.51 |
:-----+---------+-----------+
Spätestens hier hätte Gauß aber bemerken können, daß seine Zahlenrechnung
fehlerhaft war. Hätte er nämlich seine Abneigung gegen Kontrollrechnungen
überwunden und die Summe der Residuenquadrate W = <w|w> aus den Residuen
der 11 bei der Störungsrechnung verwendeten Gleichungen berechnet
<w|w> = 97859
und mit dem von ihm in seiner Elimination berechneten Kontrollwert
[nn,6] = 96364
verglichen, so hätte er sofort gesehen, daß irgend etwas nicht stimmen konnte,
auch bei Berücksichtigung der durch das Runden begangenen numerischen Fehler.
Führt man zum Vergleich die Kontrollrechnung für die korrekten Lösungswerte der
unmittelbar aus den 11 Störungsgleichungen berechneten Normalgleichungen
durch, so erhält man die Werte
<w|w> = 85093.31
[nn,6] = 85094.15 ,
die erwartungsgemäß innerhalb der Rundungsgenauigkeit übereinstimmen.
######################
Der Vollständigkeit halber seien auch noch die korrigierten Bahnelemente der
Pallas angeführt, einmal für die drei von Gauß durchgeführten "klassischen"
Rechnungen I-III und zum anderen für die Ausgleichsrechung IV.
Anstelle des Hilfswinkels phi = arcsin(epsilon) ist dabei die Exzentrizität
epsilon selbst angegeben, und zusätzlich noch der Briggs'sche Logarithmus der
auf den mittleren Erdbahnradius bezogenen (d.h. in Astronomischen Einheiten
gemessenen) großen Halbachse der Pallas-Bahn lg(a).
Die in den ersten vier Zeilen stehenden Zahlen sind im Gradmaß gemessene Winkel,
wobei 221 39 30.4 den Winkel 221 Grad, 39 Minuten, 30.4 Sekunden usw.
bedeutet; die Zahlen der beiden letzten Zeilen sind dimensionslos.
:-------+----------------+----------------+----------------+
|Element| Rechnung I | Rechnung II | Rechnung III |
:-------+----------------+----------------+----------------+
| L | 221 39 30.4 | 221 34 56.7 | 221 23 24.6 |
| TAU | 12 50.2143 | 12 50.4467 | 12 50.9265 |
| PI | 121 3 11.4 | 121 5 22.1 | 120 58 4.8 |
| OMEGA | 172 28 56.9 | 172 28 46.8 | 172 27 52.4 |
| i | 34 37 41.0 | 34 37 31.5 | 34 36 49.4 |
| | | | |
| eps | 0.2450198 | 0.2447624 | 0.2446335 |
| lg(a) | 0.4423149 | 0.4422276 | 0.4420473 |
:-------+----------------+----------------+----------------+
:-------+----------------+----------------+
|Element| R. IV (Gauß) | R. IV (korrekt)|
:-------+----------------+----------------+
| L | 221 34 53.64 | 221 34 41.02 |
| TAU | 12 50.5010 | 12 50.5007 |
| PI | 121 8 8.54 | 121 9 1.30 |
| OMEGA | 172 28 12.43 | 172 27 55.04 |
| i | 34 37 28.35 | 34 37 15.82 |
| | | |
| eps | 0.2447424 | 0.2446058 |
| lg(a) | 0.4422071 | 0.4420209 |
:-------+----------------+----------------+
Aus der mittleren täglichen Winkelbewegung TAU = 2*pi/T und aus lg(a)
kann man jetzt auch die (damals bekannten Werte von) Umlaufzeit und mittlerem
Sonnenabstand der Pallas ausrechnen:
Umlaufzeit: T = 360*3600/(60*12+50.5007) = 1682.0231 Tage = 4.6082 Jahre,
mittl. Abstand: d = a = 10^lg(a) = 2.767243 Astronomische Einheiten,
in guter Übereinstimmung mit dem "magischen" Wert 2.8 aus der
Titius-Bode'schen Regel.
######################
Ein Blick auf alle vier Störungsrechnungen zusammen zeigt, daß weder Gauß
selbst noch irgend ein Leser der Abhandlung rein aus dem Vergleich der
berechneten Störungen auf den Verdacht kommen konnten, die Werte der
Ausgleichsrechnung IV seien fehlerhaft. Man muß also wirklich die Gauß'sche
Rechnung kontrollieren, und das hat damals wohl niemand getan.
Schaut man sich die Rechnung nun etwas genauer an, so stellt man fest, daß
bereits der erste Eliminationsschritt ganz gravierende Rechenfehler enthält.
Für die Koeffizienten [bb,1], ..., [nn,1] der ersten Elimination gibt Gauß
die folgenden Werte an (zwei in der Abhandlung abgedruckte ganz offensichtliche
Vorzeichenfehler sind dabei stillschweigend korrigiert):
------------------------------------------------------------------+------------
5.91569 7203.91 -0.09344 -2.28516 -0.34664 -0.18194 | 371.09
0.00000 2458225. 62.13 -510.58 213.84 73.45 | 138534.
0.00000 62.13 0.71769 1.09773 0.05852 0.26054 | 119.31
0.00000 -510.58 1.09773 11.12064 0.50528 -0.18790 | -125.18
0.00000 213.84 0.05852 -0.50528 2.26185 -0.37202 | -72.52
0.00000 73.75 0.26054 -0.18790 -0.37202 5.61905 | 43.22
------------------------------------------------------------------+------------
0.00000 138534 119.31 -125.18 -72.52 43.22 | 125569.
------------------------------------------------------------------+------------
während sie bei korrekter Rechnung folgendermaßen aussehen müßten:
------------------------------------------------------------------+------------
5.91569 7203.9100 -0.09344 -2.28516 -0.34664 -0.18194 | 371.0900
0.00000 2061568.0000 64.72780 -446.98609 223.48546 78.50985 | 128204.2281
0.00000 64.7278 0.71769 1.09773 0.05852 0.26054 | 119.3115
0.00000 -446.9861 1.09773 11.12067 -0.50527 -0.18790 | -125.1824
0.00000 223.4855 0.05852 -0.50527 2.26184 -0.37202 | -72.5154
0.00000 78.5099 0.26054 -0.18790 -0.37202 5.61896 | 43.2231
------------------------------------------------------------------+------------
0.00000 128204.2281 119.31147 -125.18239 -72.51535 43.22306 | 125569.6017
------------------------------------------------------------------+------------
Auffällig ist der völlig daneben liegende Wert [bb,1] = 2458225 anstelle von
[bb,1] = 2061568. Dessen Berechnung ist aber völlig unkritisch:
[bb,1] = [bb] - [ab]^2/[aa] =
= 10834225 - (7203.91)^2/5.91569 =
= 10834225 - 8772657 = 2061568 .
Das gilt ebenfalls für logarithmische Rechnung:
Bei Rechnung mit einer gewöhnlichen Tafel 5-stelliger (dekadischer)
Logarithmen und linearer Interpolation erhalte ich den Wert 2060925;
bei Rechnung mit einer 5-stelligen Tafel von Leonelli-Gauß'schen
Additionslogarithmen den Wert 2061300.
Daß Gauß im Jahre 1810 eine von ihm selbst berechnete Tafel solcher, 1802 von
dem französischen Ingenieur Z. Leonelli erfundenen Logarithmen:
Z. Leonelli: Supplément logarithmique. Théorie des logarithmes
additionels et diductifs.
Bordeaux: Brossier, an XI [Jahr 4 des frz. Revolutionskalenders = 1802].
zum eigenen Gebrauch besaß, ist sicher, denn Gauß kannte zumindest die 1806
erschienene deutsche Übersetzung
LEONELLIs logarithmische Supplemente, als ein Beitrag, Mängel
der gewöhnlichen Logarithmentafeln zu ersetzen.
Aus dem Französischen nebst einigen Zusätzen von GOTTFRIED
WILHELM LEONHARDI, Souslieutenant beim kurfürstl. sächsischen
Feldartilleriecorps.
Walther'sche Hofbuchhandlung Dresden, 1806. 88 S. in Octav
des Leonelli'schen Buchs, die er 1808 sehr ausführlich in
LEONELLI, Logarithmische Supplemente.
Allgemeine Literaturzeitung vom Jahre 1808, Nr. 45, Februar 12.,
S. 353-356. Halle-Leipzig 1808.
rezensierte und dabei auch von seiner eigenen Tafel berichtete; die Rezension
kann man in
http://134.76.163.65/agora_docs/136917TABLE_OF_CONTENTS.html
--> S. 121-127
nachlesen.
Seine 5-stellige Tafel veröffentlichte Gauß dann im November 1812 in der
"Monatlichen Correspondenz" in dem Aufsatz
Tafel zur bequemen Berechnung des Logarithmen der Summe oder
Differenz zweier Grössen, welche selbst nur durch ihre
Logarithmen gegeben sind. Von Herrn Prof. GAUSS.
Monatliche Correspondenz, herausg. vom Freih. v. Zach,
No. 26, Nov. 1812, S. 498
dessen Einleitung und Gebrauchsanweisung für die Tafel man in
http://134.76.163.65/agora_docs/137412TABLE_OF_CONTENTS.html
--> S. 244-252
nachlesen kann, aber leider nicht die komplette Tafel, da letztere in dem Buch
Abgekürzte Logarithmisch-Trigonometrische Tafeln, mit neuen
Zusätzen zur Abkürzung und Erleichterung trigonometrischer
Rechnungen, heraugegeben von JOH. PASQUICH, Director der
Königl. Ofner [Budapester] Sternwarte.
Leipzig: In der Weidmannschen Buchhandlung 1817.
XXXII und 228 Seiten in Octav. (Auch mit Lateinischem Titel.)
ungeändert abgedruckt wurde.
Zu den Leonelli-Gauß'schen Additionslogarithmen kann man noch einiges mehr in
news:aklpm9$lo4$1...@news.online.de
news:amo6n2$a4k$1...@news.online.de
news:ansu2c$kc$1...@news.online.de
news:ap4d15$d3u$1...@news.online.de
finden.
Es läßt sich nun nicht ganz ausschließen, daß die von Gauß selber für den
eigenen Gebrauch berechnete Tafel noch Rechenfehler enthielt, die erst bei
der Veröffentlichung in der "Monatlichen Correspondenz" korrigiert wurden.
Da Gauß, falls er die Elimination überhaupt logarithmisch rechnete, mit
ziemlicher Sicherheit Additionslogarithmen benutzte, die für die logarithmisch
geschriebenen Eliminationsbeziehungen
log([xy,s+1]) = log([xy,s] - pivot[xp,s]*[py,s])
ja geradezu prädestiniert sind, könnte eine fehlerhafte Tafel vielleicht seine
Rechenfehler erklären.
Wie Gauß sonst auf seinen Wert [bb,1] = 2458225 kommen konnte, ist mir völlig
unklar.
Da sämtliche Werte der zweiten Zeile fehlerhaft sind, habe ich weiterhin
probeweise angenommen, Gauß habe bei deren Berechnung versehentlich ein
unkorrektes Pivot-Element benutzt, und daher aus den von ihm angegebenen
Koeffizienten der Normalgleichungen und denjenigen der ersten Eliminationsstufe
sämtliche effektiven Pivot-Elemente ausgerechnet. Das Resultat sieht
folgendermaßen aus:
-----------+----------+----------+----------+----------+-----------+----------
korrektes | Von Gauß benutzte effektive Pivot-Elemente in ...
Pivot- +----------+----------+----------+----------+-----------+----------
Element | Spalte 2 | Spalte 3 | Spalte 4 | Spalte 5 | Spalte 6 | Spalte 7
-----------+----------+----------+----------+----------+-----------+----------
********* | ********* ********* ********* ********* ********* | *********
1217.7633 | 1162.7019 1189.9815 1189.9342 1189.9377 1189.9527 | 1189.9270
-0.015795 | -0.015435 -0.015839 -0.015793 -0.015809 -0.015774 | -0.015791
-0.386288 | -0.377460 -0.386237 -0.386301 -0.386309 -0.386281 | -0.386294
-0.058597 | -0.057258 -0.058647 -0.058600 -0.058562 -0.058591 | -0.058584
-0.030755 | -0.030095 -0.030715 -0.030755 -0.030752 -0.030285 | -0.030747
-----------+-------------------------------------------------------+----------
61.729791 | 61.295880 62.714041 62.730837 62.716363 62.712982 | 62.731413
-----------+-------------------------------------------------------+----------
Das obige Ergebnis könnte die Annahme bestätigen; sieht man nämlich von der
zweiten Spalte ab, deren sämtliche Pivot-Elemente aus mir nicht ersichtlichen
Gründen merklich ungenau sind, so könnte Gauß tatsächlich bei der Elimination
der zweiten Gleichung das falsche Pivot-Element 1189.9... anstelle des
korrekten Pivot-Elements 7203.91/5.91569 = 1217.7632702 benutzt haben.
Das ist aber kein einmaliger "Ausrutscher", denn eine weitere Analyse der
Gauß'schen Zahlenwerte zeigt, daß es im dritten Eliminationsschritt mit der
fünften Gleichung und im vierten Eliminationsschritt nochmals mit der siebten
Gleichung, d.h. der Kontrollgleichung, passiert ist.
Ich möchte nun nicht sämtliche Vergleiche hier aufführen, sondern nur noch das
Ergebnis des letzten (sechsten) Eliminationsschritts, und zwar einmal die
von Gauß angegebenen Werte und zum andern die Werte, die bei einer korrekt
durchgeführten Weiterelimination des von Gauß fehlerhaft berechneten ersten
Eliminationsschritts geliefert werden:
-------------------------------------------------------------------------------
Von Gauß fehlerhaft aus erstem fehlerhaftem Gauß'schem Eliminationsschritt
berechneter letzter Eliminationsschritt:
------------------------------------------------------------------+------------
5.91569 7203.91 -0.09344 -2.28516 -0.34664 -0.18194 | 371.09
0.00000 2458225. 62.13 -510.58 213.84 73.45 | 138534.
...............................................................................
0.00000 0.00 0.71612 1.11063 -0.06392 0.25868 | 115.81
0.00000 0.00 0.00000 9.29213 -0.36175 -0.57384 | -25.66
0.00000 0.00 0.00000 0.00000 2.22346 -0.37766 | -75.23
0.00000 0.00 0.00000 0.00000 0.00000 5.42383 | -17.11
------------------------------------------------------------------+------------
0.00000 0.00 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 | 96364.
------------------------------------------------------------------+------------
-------------------------------------------------------------------------------
Korrekt aus erstem fehlerhaftem Gauß'schem Eliminationsschritt berechneter
letzter Eliminationsschritt:
------------------------------------------------------------------+------------
5.91569 7203.91 -0.09344 -2.28516 -0.34664 -0.18194 | 371.09
0.00000 2458225.00 62.13 -510.58 213.84 73.45 | 138534.
...............................................................................
0.00000 0.00 0.71612 1.11063 0.05312 0.25868 | 115.8087
0.00000 0.00 0.00000 9.29210 0.46732 -0.57384 | -276.0145
0.00000 0.00 0.00000 0.00000 2.26663 -0.43114 | -109.2972
0.00000 0.00 0.00000 0.00000 0.00000 5.41783 | -37.5937
------------------------------------------------------------------+------------
0.00000 0.00 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 | 86769.9931
------------------------------------------------------------------+------------
Auffällig sind hier insbesondere die von Gauß kräftig falsch berechneten
Eliminationswerte der rechten Seite des Normalgleichungssystems; der von ihm
schließlich berechnete Kontrollwert [nn,6] = 96364 hat nur noch entfernte
Ähnlichkeit mit dem korrekt berechneten Wert 86779.99 .
Der Vollständigkeit halber sei auch noch der sechste Eliminationsschritt
angegeben, der sich bei korrekter Rechnung (also auch bei korrekt berechnetem
erstem Eliminationsschritt) aus den von Gauß angegebenen Normalgleichungen
ergibt.
-------------------------------------------------------------------------------
Korrekt aus den Gauß'schen Normalgleichungen berechneter letzter
Eliminationsschritt:
------------------------------------------------------------------+------------
5.91569 7203.91 -0.09344 -2.28516 -0.34664 -0.18194 | 371.09
...............................................................................
0.00000 2061568.00 64.72780 -446.98609 223.48546 78.50985 | 128204.2281
0.00000 0.00 0.71566 1.11176 0.05151 0.25807 | 115.2862
0.00000 0.00 0.00000 9.29667 -0.53683 -0.57178 | -276.4790
0.00000 0.00 0.00000 0.00000 2.20290 -0.43212 | -110.6760
0.00000 0.00 0.00000 0.00000 0.00000 5.40298 | -41.9470
------------------------------------------------------------------+------------
0.00000 0.00 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 | 84916.8809
------------------------------------------------------------------+------------
Der korrekte Kontrollwert für die Gauß'schen Normalgleichungen ist also
[nn,6] = 84916.88, in hinreichend guter Übereinstimmung mit dem Kontrollwert
[nn,6] = 85094.15 für die exakt berechneten Normalgleichungen.
Einere weitere Möglichkeit wäre denkbar: Gauß hat die Rechnung zuerst mit allen
12 Störungsgleichungen durchgeführt, sich dann aus welchen Gründen auch immer
entschlossen, die 10-te Gleichung wegzulassen, die Normalgleichungen demgemäß
korrigiert und dann in seinem Aufsatz zwar die korrigierten Normalgleichungen,
aber versehentlich die anfängliche Rechnung angegeben. Eine entsprechende
Rechnung zeigt aber, daß man diese Möglichkeit ausschließen kann, denn der
so berechnete Lösungsvektor ist
-15.4641 0.053956 216.1136 -32.5635 -55.2617 -2.9528
und der Kontrollwert lautet [nn,6] = 85850.83 .
Als Fazit bleibt demnach die Erkenntnis, daß Carl Friedrich Gauß in seiner
Abhandlung
Disquisitio de elementis ellipticis Palladis ex oppositionibus
annorum 1803, 1804, 1805, 1807, 1808, 1809.
Commentationes societatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores,
Vol. 1, 1811. 21 p.
erstmalig den zu Recht nach ihm benannten Gauß'schen Eliminationsalgorithmus
vorstellte, sich bei dessen Illustration durch ein damals hochaktuelles
Beispiel aus der praktischen Astronomie aber ganz kräftig verrechnet hat und
anstelle des korrekten Lösungsvektors
-15.6819 0.054013 219.2003 -33.2062 -51.7639 -7.7637
das Ergebnis
-3.06 0.054335 166.44 -4.29 -34.37 -3.15
ausrechnete. Seine Bemerkung
"... Calculo accurate absoluto hosce valores numericos inveni ..."
in dieser Abhandlung bezüglich der Genauigkeit seiner numerischen Rechnung muß
man daher mit einem kleinen Schmunzeln zur Kenntnis nehmen.
== Ende ==
Grüße
Hermann
--
Wolfgang Kirschenhofer
Hallo Hermann !
Obwohl ich obige Beiträge bisher leider nur sehr flüchtig angesehen
habe,schließe ich mich Rainers Freude an.
Hoffentlich liest auch Detlev Bosau Deine Beiträge über Gauß mit Genuß
(siehe auch den unerfreulichen Beitrag news:8o8m3I8zSJB%40Detlef.Bosau
).
Dazu noch:Bisher war ich der Meinung,daß Ernst STEINITZ die klassische
Theorie der Körper 1910 begründet hat.Ich war überaus erstaunt im
"Beitrag" von Detlev Bosau zu lesen,daß es bereits Gauß um Körpertheorie
ging,als er die Frage nach der Konstruierbarkeit der regulären Vielecke
mit Hilfe von Zirkel und Lineal beantwortete.
Oder sehe ich das falsch ?
Herzliche Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer
Hermann Kremer
>... Bisher war ich der Meinung,daß Ernst STEINITZ die klassische
>Theorie der Körper 1910 begründet hat.
Ja. Der Begriff "Körper" (präzise: Zahlenkörper) wurde um 1870 von
Richard Dedekind eingeführt, aber die allgemeine Theorie stammt wohl
von Ernst Steinitz (1871-1928)
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Steinitz.html
Hier die JfM-Rezension des Aufsatzes:
===============================================
Electronic Research Archive for Mathematics Jahrbuch Database
JFM 41.0445.03
Steinitz, E.
Algebraische Theorie der Körper. [J]
J. für Math. 137, 167-309.
Published: (1910)
Als Körper wird ein System von Elementen bezeichnet, für welche zwei
Operationen, Addition und Multiplikation, bestehen, die assoziativ, kommutativ
und durch das distributive Gesetz verbunden sind, die sich ferner eindeutig und
unbeschränkt umkehren lassen, wobei nur die Division durch das Nullelement
auszuschliessen ist. Die Sätze der elementaren Algebra, soweit sie sich nicht
auf die Anordnung nach der Grösse beziehen, beruhen lediglich auf den hier
angegebenen Voraussetzungen. Indem nun hier der Körperbegriff (ebenso wie in
{\it H. Webers} Arbeit ``Zur {\it Galois}schen Gleichungstheorie'') ganz
allgemein gefasst wird, entsteht die Aufgabe, näher zu untersuchen, ob auch die
Gesetze der höheren Algebra, welche die {\it Galois}sche Theorie gibt, sich in
allen Körpern wiederfinden, ferner einen Überblick über sämtliche Körpertypen zu
gewinnen. Dabei heissen zwei Körper ``von gleichem Typus'' oder ``isomorph'',
wenn sie so eineindeutig aufeinander abgebildet werden können, dass der Summe
und dem Produkt irgend zweier Elemente des einen Körpers stets die Summe und das
Produkt der beiden zugeordneten des andern entspricht. Was die erste Aufgabe
anlangt, so zeigt sich, dass die {\it Galois}sche Theorie nicht in allen Körpern
in vollem Umfange gilt (ein Umstand, der bisher nicht bemerkt worden war), und
es werden aus diesem Anlass ``vollkommene'' und ``unvollkommene'' Körper
unterschieden. Es werden einfache Kriterien zur Unterscheidung beider Arten von
Körpern angegeben und die unvollkommenen in ihren von der gewöhnlichen {\it
Galois}schen Theorie abweichenden Eigenschaften näher untersucht. Zu einer
gewissen Übersicht über alle Körpertypen gelängt man auf Grund des Satzes, dass
jede Erweiterung eines Körpers in eine ``rein transzendente'' und eine darauf
folgende ``"algebraische Erweiterung'' zerlegt werden kann. Eine rein
transzendente Erweiterung ist im wesentlichen identisch mit der Einführung der
rationalen Funktionen unabhängiger Unbestimmter, deren Anzahl allerdings
unendlich gross sein kann, wobei aber jede einzelne Funktion immer nur eine
endliche, wenn auch unbeschränkte Anzahl dieser Unbestimmten enthält.
Algebraisch heisst eine Erweiterung, wenn jedes neu hinzukommende Element einer
algebraischen Gleichung genügt, deren Koeffizienten dem ursprünglichen Körper
angehören. Eine wichtige Rolle spielen die sogenannten algebraisch
abgeschlossenen Körper, d. h. solche Körper die, wie der Körper der komplexen
Zahlen, keine algebraische Erweiterung zulassen. Es gilt hier der Satz, dass
sich jeder (nicht abgeschlossene) Körper auf eine und im wesentlichen auch nur
auf eine Weise zu einem algebraisch abgeschlossenen Körper erweitern lässt, der
in bezug auf den gegebenen Körper algebraisch ist. Der Beweis erfordert die
Herbeiziehung der Mengenlehre. Eine ausführlichere Darstellung des Inhalts der
Arbeit enthält die Einleitung, und auf diese mag hier statt weiterer
Ausführungen verwiesen werden.
[ Steinitz, Prof. (Breslau) ]
Subject heading: Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 1. Allgemeines.
Jahrbuch Project: Copyright (c) 2003 European Mathematical Society
===============================================
>Ich war überaus erstaunt
>im Beitrag von Detlev Bosau zu lesen,daß es bereits Gauß um Körpertheorie
>ging, als er die Frage nach der Konstruierbarkeit der regulären Vielecke
>mit Hilfe von Zirkel und Lineal beantwortete.
>Oder sehe ich das falsch ?
Ich werde mal bei Gauß nachschauen, was ich dort finden kann. IIRC steht auch
im Courant-Robbins etwas darüber.
Grüße
Hermann
--
>
>Herzliche Grüße,
>Wolfgang Kirschenhofer
Hermann Kremer
>Hallo Hermann,
>
>mit dieser Arbeit hast Du den Lesern von de.sci.mathematik
>einmal mehr eine prächtige Freude gemacht. Ich danke Dir,
>dass ich schon in der Vorbereitungszeit hineinschauen
>durfte und freue mich, das fertige Werk betrachten zu
>können.
Danke für die Blümchen ;-)
Übrigens habe ich noch zwei hübsche Sachen mit und von C. F. Gauß
in der Schublade (vielleicht auch für de.rec.denksport):
1) Eine Textaufgabe der Art "Jemand kauft für n Gulden x Teile
zum Preis P_x, y Teile ... usw.", aus der Gauß eine wunderhübsche
zahlentheoretische Abhandlung machte,
2) Eine ursprünglich aus dem Buch
Tractatus geometricus, darinnen hundert schöne auserlesene
liebliche Kunstquästiones, durch welche allerley LONGI: PLANI:
und SOLIDImetrische Messung sehr künstlich zu thun und zu
verrichten seyn, mit beygefügten Auflösungen außerhalb der Coß
oder Algebra, von Herrn Sybrand Hanß Rechenmeister zu
Amsterdam niederländisch beschrieben, in Hochdeutsch transferiert
durch SEBASTIANUM CURTIUM. Amsterdam 1617
stammende geometrische Aufgabe, die über den Mathematiker Abraham
Gotthelf Kästner (aka. Kaestner; bei dem hatte übrigens Johann Friedrich
Pfaff promoviert, und bei dem Carl Friedrich Gauß) und den Astronomen
Heinrich Schumacher zu Gauß gelangte, wobei sie von der Geometrie
zur Zahlentheorie mutierte ...
Grüße
Hermann
--
Rainer Rosenthal
Hermann Kremer wrote
> Danke für die Blümchen ;-)
Bitte, hier noch ein weiteres aus de.alt.rec.ascii-art
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> Übrigens habe ich noch zwei hübsche Sachen mit und von C. F. Gauß
> ... und SOLIDImetrische Messung sehr künstlich zu thun und ...
Gar sehr erfreuet solche Kunde, o edle dsm-Durchlaucht.
Die Anfrage von Wolfgang Kirschenhofer ist typisch für jeden, der
auch nur wenige Absätze Deiner liebevoll zusammengetragenen
Abhandlung zu lesen bekommt: Ständig gibt es Ausblicke und Aha-
Effekte und Anlass zum weiteren Nachfragen. Wie muss es Dir erst
beim Erstellen dieser Arbeit ergangen sein? Wie um alles in der
Welt schaffst Du es, bei Deinen verzweigten Recherchen irgendwo
einen Schlussstrich zu ziehen und den Hauptpfad weiter zu verfolgen?
Gut, das muss wohl jeder erfolgreiche Mensch früher oder später
(am besten aber wohl: früher) lernen. Ich jedenfalls habe neulich
nur mal den Bücherschrank etwas aufräumen wollen und blieb prompt
beim dritten Mathebuch hängen: diesem "Triumph der Mathematik" von
Heinrich Dörrie, aus dem dann eine kleine Geometrieaufgabe hier
erschien. Das Aufräumen war damit und mit weiteren ähnlichen
"Entdeckungen im eigenen Schrank" unendlich verlangsamt :-)
Mit besten Grüssen,
Rainer
-
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Hermann Kremer
>Hermann Kremer schrieb in Nachricht ...
Hallo,
> ========================
>2) Gauß und die Pallas 1802
> ========================
[ ... ]
>Dann war längere Zeit Pause, bis schließlich mit der am 8. Dezember 1845
>von Johannes Franz Encke (1791-1865) in Berlin entdeckten "Astraea" die
>Planetoiden-Inflation begann. Diesbezüglich findet man in
>http://www.bdl.fr/Granpub/Promenade/pages4/444.html
>eine Übersicht über die ersten 6000 der mehr als 60000 bis heute registrierten
>Planetoiden, s. auch
>http://www.kleinplanetenseite.de/ .
Noch eine kleine Ergänzung: Die Haupakteure haben mittlerweile natürlich
auch alle ihren Planetoiden:
Nr. 998: Bodea 6. 8. 1923 Heidelberg
Nr. 999: Zachia 9. 8. 1923 Heidelberg
Nr. 1000: Piazzia 12. 8. 1923 Heidelberg
Nr. 1001: Gaussia 8. 8. 1923 Simeis/Krim (Ukraine)
Nr. 1002: Olbersia 15. 8. 1923 Simeis/Krim (Ukraine)
Grüße
Hermann
--
Klaus Nagel
ein großes Lob für diese Serie. Sie war für mich besonders interessant,
weil ich im letzten Jahr selbst die Pallas-Bahn aus eigenen
Beobachtungen berechnet habe. Trotzdem habe ich von Dir noch viel Neues
gelernt.
Gruß,
Klaus Nagel
Hermann Kremer
>Hermann Kremer schrieb in Nachricht ...
>Hallo,
>
> ========================
>2) Gauß und die Pallas 1802
> ========================
[ ... ]
>Geradezu grotesk aber wurde die Diskussion über die neuentdeckten Himmelskörper
>von einigen Philosophen geführt. Während manche aus "zwingenden philosophischen
>Gründen" ihre Nicht-Existenz "bewiesen", argumentierten andere, wenn sie denn
>schon existierten, dann könnten es unmöglich Planeten sein, sondern allenfalls
>"sternähnliche Entitäten", und aus diesem Grund heißen sie auch heute noch
>"asteroids" auf englisch (offiziell: minor planets). C. F. Gauß, der sich aus
>den Diskussionen über das Wesen der Kleinplaneten weitgehend heraushielt und
>stattdessen ihre Umlaufbahnen berechnete, bezeichnte später einmal (1842) in
>einem Briefwechsel mit dem Astronomen Heinrich Schumacher einen der unsäglichen
>philosophischen "Beweise" ihrer Nichtexistenz als "... monumentum insaniae
>saeculi decimi noni - Denkmal des Wahnsinns des neunzehnten Jahrhundert ...".
Dazu habe ich mittlerweile noch etwas mehr gefunden: Der "Beweis" entstammt
der Habilitationsschrift von G.W.F. Hegel (1770-1831) in Jena:
Hegel, Georgius Wilhelmus Fridericus: Dissertatio philosophica de orbitis
planetarum.
Ieanae: Prager et Comp. 1801 ,
und die Bezeichnung "Monumentum insaniae ..." stammt tatsächlich nicht von
C. F. Gauß, sondern von Herzog Ernst von Coburg-Gotha, als er ein Exemplar
davon dem Astronomen F. X. v. Zach in Gotha schickte.
Ein Wissenschaftshistoriker schreibt dazu:
----------------------------------------
Prof. Fred L. Wilson
Rochester Institute of Technology
HISTORY OF SCIENCE
[ ... ]
Georg Wilhelm Friedrich Hegel (1770-1831)
[ ... ]
Hegel's Impact on Science
Many of the details of Schelling's organismic physics had already been
worked out when Hegel joined him in Jena in 1801. The meeting was that of
truly kindred minds as regards at least their concepts of what physics ought
to be.
The rapidly produced Habilitationschrift of Hegel, Dissertatio philosophica
de orbitis planetarum , [Note 21]. gave a fair sample of what was to follow.
There Hegel defended the profound Kepler (the mystic of course) against the
superficial Newton and inveighed against Bode's postulating a planet between
Mars and Jupiter.
Nature, as Hegel contended, could not follow an accidental sequence of
numbers such as given by Bode's Law. The spacing of planets could mirror
only the pure creation of human mind, that is, a rational sequence of
numbers, an example of which was for Hegel the so-called Pythagorean
Series:
1, 2, 3, 4 (2 squared), 9 (3 squared), 8 (2 cubed), 27 (3 cubed). This
series not only limits the number of planets to seven, but also retains
between the fourth and fifth planet the large distance which by its
incongruity prompted astronomers all over Europe to look for a planet
between Mars and Jupiter.
Their search was ridiculed by Hegel, however, as something contrary to
reason, although in a signal lack of rational consistency Hegel did not
disdain to substitute 16 for 8 as the relative distance of the sixth planet,
Saturn, from the Sun. More consistent with the facts was the acid remark of
Duke Ernest of Gotha, who sent Hegel's work to the astronomer Zach with the
superscription: "Monumentum insaniae saeculi decimi noni". [Note 22].
Neither the discovery of Ceres nor the sighting of Pallas, Juno, and Vesta,
which came within seven years, could give Hegel second thoughts on the
matter. While acknowledging the existence of all four of the then known
asteroids, and even admitting some merit in Bode's Law, the author of the
Naturphilosophie (1816) refused to capitulate. His stubbornness trapped him
once more. This time the still unknown satellites of Mars made fun of him.
Abandoning his Pythagorean Series, Hegel claimed that all that could be
known about the laws underlying the actual outlay of planets was their
falling into three groups. The four inner planets with no satellites or with
only one, Earth, formed the first group, the asteroids the second, while the
third group was formed by the three outer planets, all of which have many
satellites or rings like Saturn.
This was a specious classification that could hardly conceal its
artificiality. Such were the systematizations Hegel wanted to dominate
physics and astronomy, for his was a firm belief that "the time will come
when these sciences will be governed by the constructs of mind." [Note 23].
The future course of events could hardly be less propitious for Hegel. In
1877, only forty-six years after Hegel's death, Asaph Hall sighted two
satellites of Mars. Spared this shock, Hegel could cling all his life to his
tenet that astronomers should consult the philosophers if they wanted to
know the law of planetary distances. This was indeed the only course for him
to take if he were to remain faithful to his premises, for he viewed the
wholeness of existence as the unfolding of the Conscious Spirit, and for
details he consulted his introspective reflection. What he found there was
the immediateness of a personality and the organic coordination of all
mental processes in the center of self-awareness.
[ ... ]
Notes
[ ... ]
[21] Hegel, Werke, 1 12.
[22] Wolf, 1877, p. 685.
[23] Hegel, System der Philosophie. Zweiter Teil, Die Naturphilosophie,
in Werke I, p. 150
[ ... ]
http://www.rit.edu/~flwstv/goethe.html
----------------------------------------
Grüße
Hermann
--
Klaus Nagel
Planetenbahnberechnung aus drei Beobachtungen ins Netz gestellt.
Man findet es auf meiner Homepage
http://home.t-online.de/home/nagel.klaus/
unter Astronomie und Theoria Motus oder direkt unter
http://home.t-online.de/home/nagel.klaus/astdir/jausdir/AAA.htm
Gruß,
Klaus Nagel
Hermann Kremer
>Hermann Kremer schrieb in Nachricht ...
Wenn die Herrn Wilhelm Matthias Olbers, Karl Ludwig Harding und
Carl Friedrich Gauß die folgenden Links noch hätten sehen können ...
[ ... ]
>Die beiden nächsten Planetoiden wurden kurze Zeit später gefunden, nämlich
>die Juno am 1. September 1804 von Karl Ludwig Harding (1765-1834) in Bremen,
>
>
> \ | /
> \ | /
> --->|<---
> / | \ Juno (1. 9. 1804, Karl L. Harding, Bremen)
> / | \
> |
> -+-
> |
http://www.wissenschaft.de/wissen/news/drucken/225685
http://cfa-www.harvard.edu/press/Junolores.jpg
>und die Vesta am 29. März 1807 wiederum von W. M. Olbers in Bremen.
http://nssdc.gsfc.nasa.gov/photo_gallery/photogallery-asteroids.html#vesta
http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap970908.html
http://www.solarviews.com/cap/meteor/vestamet.htm
Grüße
Hermann
--
Ralf Muschall
> Wegen der angenommenen geringen Masse der neuen Planeten war es
> klar, daß sie nicht in schönen Ellipsen um die Sonne laufen konnten,
> sondern auf Bahnen, die infolge der starken Störungen durch den Mars
> und insbesondere durch den Jupiter ziemlich stark "verbeult"
Woher kommt diese Behauptung eigentlich? Ein Krümel[1] wird exakt
genauso abgelenkt wie ein Jupiter. Bestenfalls wirft letzterer den
Störer aus dem Sonnensystem, aber das ist ein kleiner Effekt höherer
Ordnung.
[1] Amara Graps hat das IIRC für geladene Staubkörnchen aus dem
Jupiterring gerechnet, die im ganzen Sonnensystem umherfliegen (und
zusätzlich noch an Magnetfeldern abgelenkt werden).
Ralf
--
GS d->? s:++>+++ a+ C++++$ UL+++$ UH+ P++ L++ E+++ W- N++ o-- K- w--- !O M- V-
PS+>++ PE Y+>++ PGP+ !t !5 !X !R !tv b+++ DI+++ D? G+ e++++ h+ r? y?
Klaus Nagel
Ralf Muschall wrote:
>>Wegen der angenommenen geringen Masse der neuen Planeten war es
>>klar, daß sie nicht in schönen Ellipsen um die Sonne laufen konnten,
>>sondern auf Bahnen, die infolge der starken Störungen durch den Mars
>>und insbesondere durch den Jupiter ziemlich stark "verbeult"
>>
>
> Woher kommt diese Behauptung eigentlich? Ein Krümel[1] wird exakt
> genauso abgelenkt wie ein Jupiter. Bestenfalls wirft letzterer den
> Störer aus dem Sonnensystem, aber das ist ein kleiner Effekt höherer
> Ordnung.
Die großen Planeten haben einen großen Störer weniger, sich selbst. Das
verschönert sicher die Ellipse der Jupiterbahn.
>
> [1] Amara Graps hat das IIRC für geladene Staubkörnchen aus dem
> Jupiterring gerechnet, die im ganzen Sonnensystem umherfliegen (und
> zusätzlich noch an Magnetfeldern abgelenkt werden).
Ich habe lange darüber nachgedacht, was "das IIRC eines geladenen
Staubkörnchens" sein könnte. Diese Abkürzungen machen mir immer
Schwierigkeiten:
Bei SCNR denke ich an die französische Eisenbahn und bei AFAIK denke
ich, da wollte ein Legastheniker AFRIKA schreiben. Wer von seiner
bescheidenen Meinung sprach, galt schon in meiner Jugend als antiquiert,
und durch Übersetzen und Abkürzen wird das IMHO nicht vernünftiger.
Gruß,
Klaus Nagel
--
Statt angenommen sagte er immer Agamemnon, so sehr hatte er der Homer
gelesen. (Lichtenberg)
Boudewijn Moonen
>
> Ich habe lange darüber nachgedacht, was "das IIRC eines geladenen
> Staubkörnchens" sein könnte.
>
IIRC heisst, glaube ich IDIOTEN IDIOM RECYCLED...
>
> Diese Abkürzungen machen mir immer
> Schwierigkeiten:
> Bei SCNR denke ich an die französische Eisenbahn und bei AFAIK denke
> ich, da wollte ein Legastheniker AFRIKA schreiben. Wer von seiner
> bescheidenen Meinung sprach, galt schon in meiner Jugend als antiquiert,
> und durch Übersetzen und Abkürzen wird das IMHO nicht vernünftiger.
>
ACK!!!!!!!!!!!!!!!!!! Und woran ich dabei denke, sage ich lieber
nicht....
Gruss Boudewijn
Christopher Creutzig
> Ich habe lange darüber nachgedacht, was "das IIRC eines geladenen
> Staubkörnchens" sein könnte. Diese Abkürzungen machen mir immer
> Schwierigkeiten:
"Wenn ich mich recht erinnere"
> ich, da wollte ein Legastheniker AFRIKA schreiben. Wer von seiner
> bescheidenen Meinung sprach, galt schon in meiner Jugend als
> antiquiert, und durch Übersetzen und Abkürzen wird das IMHO nicht
> vernünftiger.
Ich halte es für absolut sinnvoll, auf irgendeine Art und Weise
auszudrücken, wie sicher man sich ist und in wie weit man meint, die
Meinung solle allgemein gültig sein. Ein "m.E." oder "imho" ist in
diesem Medium m.E. eine gute Methode dafür.
--
+--+
+--+|
|+-|+ Christopher Creutzig (c...@mupad.de)
+--+ Tel.: 05251-60-5525
Klaus Nagel
Christopher Creutzig schrieb:
> Klaus Nagel <nagel...@t-online.de> writes:
>
>
>>Ich habe lange darüber nachgedacht, was "das IIRC eines geladenen
>>Staubkörnchens" sein könnte. Diese Abkürzungen machen mir immer
>>Schwierigkeiten:
>>
>
> "Wenn ich mich recht erinnere"
>
Das hatte ich nach längerer Zeit selbst erraten, wie aus dem Rest meines
Beitrags hervorgeht. Anfangs bin ich aber wirklich über diesen Satz
gestolpert und hatte geglaubt, das IIRC sei irgendetwas Physikalisches.
>
>>Wer von seiner
>>bescheidenen Meinung sprach, galt schon in meiner Jugend als
>>antiquiert, und durch Übersetzen und Abkürzen wird das IMHO nicht
>>vernünftiger.
>>
>
> Ich halte es für absolut sinnvoll, auf irgendeine Art und Weise
> auszudrücken, wie sicher man sich ist und in wie weit man meint, die
> Meinung solle allgemein gültig sein. Ein "m.E." oder "imho" ist in
> diesem Medium m.E. eine gute Methode dafür.
Wer etwas schreibt, möchte gelesen werden. Im eigenen Interesse sollte
er es dem Leser darum leicht machen. Abkürzungen und Phrasen wie IMHO
und ähnliche stören den Lesefluß und erschweren das Verständnis. In den
meisten Fällen kann man solche Phrasen weglassen, ohne den Sinn zu
beeinträchtigen. Sollten sie wirklich einmal nötig sein, dann kann man
sie auch ausschreiben und somit die Sprache weniger verhunzdeutschen.
Ich kann mir auch gut vorstellen, daß ein ausländischer Mitleser
verzweifelt im Wörterbuch nach den deutschen Wort "imho" sucht.
Gruß,
Klaus Nagel
Rainer Rosenthal
Klaus Nagel wrote
> Ich habe lange darüber nachgedacht, was "das IIRC eines geladenen
> Staubkörnchens" sein könnte.
> Wer von seiner bescheidenen Meinung sprach, galt schon in meiner
> Jugend als antiquiert, und durch Übersetzen und Abkürzen wird das
> IMHO nicht vernünftiger.
>
Das mit dem IIRC an der Stelle war mir auch einen Moment lang
nicht klar. Das mit der "bescheidenen Meinung" ist aber IIRC
das IMHO, wohingegen das IIRC IMHO mit "if I remember correctly"
zu "verdeutschen" ist.
Um mal WWD (was weniger Dussliges) zu schreiben: In de.rec.denksport
ist die neue Ladung von Gerhard Wöginger angekommen. Die Wurzeln
und die 2000 Zahlen sind für die Hitze schon fast zuviel, oder?
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Hermann Kremer
>"Hermann Kremer" <hermann...@online.de> writes:
>
>> Wegen der angenommenen geringen Masse der neuen Planeten war es
>> klar, daß sie nicht in schönen Ellipsen um die Sonne laufen konnten,
>> sondern auf Bahnen, die infolge der starken Störungen durch den Mars
>> und insbesondere durch den Jupiter ziemlich stark "verbeult"
>
... z.B. aus den von Io-Vulkanen erzeugten "Jovian Dust streams" ...
http://www.jpl.nasa.gov/releases/2000/jovianduststream.html
http://www.amara.com/
http://www.mpi-hd.mpg.de/dustgroup/~graps/
>wird exakt
>genauso abgelenkt wie ein Jupiter. Bestenfalls wirft letzterer den
>Störer aus dem Sonnensystem, aber das ist ein kleiner Effekt höherer
>Ordnung.
Sämtliche Planeten stören sich natürlich gegenseitig, siehe z.B. die Story
der Neptun-Entdeckung
http://www.astronews.com/news/artikel/2003/05/0305-017.shtml
und der Jupiter ist dabei der weitaus größte Störer ... aber der stört sich
nicht selber ...
>[1] Amara Graps hat das IIRC für geladene Staubkörnchen aus dem
>Jupiterring gerechnet, die im ganzen Sonnensystem umherfliegen (und
>zusätzlich noch an Magnetfeldern abgelenkt werden).
Grüße
Hermann
--