Bijektion zwischen zwei Überabzählbaren Mengen?
Jens Müller
gibt es Bijektionen zwischen zwei überabzählbaren Mengen, oder geht das
nur zwischen abzählbaren Mengen?
Danke!
Andreas Barth
> gibt es Bijektionen zwischen zwei überabzählbaren Mengen, oder geht das
> nur zwischen abzählbaren Mengen?
Du meinst eine allgemeine Bijektion, also z.B. x->x+1? Oder sind auch
noch Morphismen gewünscht?
Viele Grüße,
Andi
--
http://home.arcor.de/andreas-barth/
Rainer Willis
Sicher gibt's die. Man kann z.B. alle reelen Zahlen auf das Intervall
[0..1] oder dieses auf auf das kartesische Produkt [0..1] x [0..1]
bijektiv abbilden.
Gruß Rainer
Rainer Willis
> Jens Müller schrieb:
>> Hallo,
>>
>> gibt es Bijektionen zwischen zwei überabzählbaren Mengen, oder geht das
>> nur zwischen abzählbaren Mengen?
>>
>> Danke!
>
> Sicher gibt's die. Man kann z.B. alle reelen Zahlen auf das Intervall
Typo: reellen Zahlen
Detlef Müller
Um ein etwas weniger Trickreiches Beispiel zu nennen:
Bilde die Reellen Zahlen in die Reellen Zahlen ab
mittels der identischen Abbildung.
Gruß,
Detlef
Jens Müller
> zuordnen
> lässt, womit obiges ja schon beantwortet ist. Überlege dir deine
> Frage mal
> genauer.
Ja richtig. Gemeint waren unterschiedliche Mengen, oder gar eine
Bijektive Abbildung zwischen zwei überabzählbaren Mengen A und B, wobei
A Teilmenge von B ist.
Beides scheint laut Rainer möglich zu sein.
Jan Fricke
Alle abzählbaren Mengen sind gleichmächtig, d.h. man findet zu je zwei
abzählbar unendlichen Mengen eine Bijektion zwischen beiden.
Überabzählbar bedeutet nur, dass die Mächtigkeit größer ist als die der
natürlichen Zahlen. Es gibt für überabzählbare Mengen wiederum
Abstufungen in der Mächtigkeit. Insbesondere gibt zu jeder Menge eine
Menge mit größerer Mächtigkeit (z.B. die Potenzmenge), mithin keine
größte Mächtigkeit.
Also: es gibt überabzählbare Mengen, die man bijektiv aufeinander
abbilden kann (wie schon genannt z.B. [0,1] und [0,1]x[0,1]), aber auch
welche, wo es nicht geht (z.B. [0,1] und die Menge aller Funktionen
[0,1]->[0,1]).
Viele Grüße Jan
Jens Voss
> [...] es gibt überabzählbare Mengen, die man bijektiv aufeinander
> abbilden kann (wie schon genannt z.B. [0,1] und [0,1]x[0,1]), aber auch
> welche, wo es nicht geht (z.B. [0,1] und die Menge aller Funktionen
> [0,1]->[0,1]).
Wenn man (wie es ein Prof von mir mal formulierte) so naiv ist, an
das Auswahlaxiom zu glauben, kann man für zwei beliebige Mengen A
und B aber stets entweder eine Injektion A -> B oder eine Injektion
B -> A finden (oder machmal auch beides, woraus dann wiederum die
Existenz einer Bijektion folgt).
Schönen Gruß,
Jens
Holger Walliser
Jens Müller schrieb:
und sogar dafür kann man relativ leicht beispiele angeben:
Der einfache Teil ist:
arc tan : IR -> ( -pi/2, pi/2 )
ist offenbar eine bijektive Abbildung zwischen den reellen Zahlen und einer
Teilmenge davon!
Wenn man etwas vorsichtig ist, kan man auch eine Bijektion zwischen z.B.
[0,1) und [0,1) x [0,1) finden. Aber das ist schon schwieriger. Ich
empfehle dazu z.B.
http://homepages.upb.de/prefect/math/sets-ch.pdf
Da ist auch erklärt wieso die Potenzmenge immer von größerer Mächtigkeit
ist als die Menge selbst (Cantors Diagonalargument)
Viele Grüße von
Holger
Jens Müller
> dass
> macht wenig. Du solltest bitte weiterfragen.
> Und im Sinne der Wiederbelebung von news:schule.mathematik werde ich
> ein
> X-Post machen. Keine Sorge! Man liest dort mit, und hat ewige Geduld
> zu
> erklären (die hier nicht unbedingt sein muss)
Gut, es geht konkret um die Wahr/Falsch Fragestellung:
"Es gibt eine Bijektion von { L \subseteq {0,1}* | L ist nicht
regulär } nach { L \subseteq {0,1}* | L ist unentscheidbar}."
Beide Mengen sind überabzählbar, und die zweite Menge müsste in der
ersten enthalten sein.
So kam mir die Frage, wie überhaupt Bijektionen zwischen
überabzählbaren Teilmengen aussehen würden.
> Das eine unendliche Menge U bijektiv auf eine Teilmenge U != U ist,
> gilt
> immer.
Wie kann man das begründen? Aber ok, dann ist die Antwort auf obige
Frage "Wahr".
Jens
Christopher Creutzig
>> Das eine unendliche Menge U bijektiv auf eine Teilmenge U != U ist,
>> gilt
>> immer.
>
> Wie kann man das begründen? Aber ok, dann ist die Antwort auf obige
> Frage "Wahr".
Non sequitur. Was Peter meinte ist, dass es zu jeder unendlichen Menge
U eine echte Teilmenge V von U gibt, die sich bijektiv auf U abbilden
lässt. Das ist die Dedekind-Definition von unendlich. Das bedeutet
selbstverständlich nicht, dass das mit jeder Teilmenge funktioniert. Wie
denn auch, U hat auch endliche Teilmengen.
--
if all this stuff was simple, we'd
probably be doing something else. -- Daniel Lichtblau, s.m.symbolic
Stefan Kirchner
> > Dass dein Wissenstand hier arg mangelhaft ist, ist unübersehbar, aber dass
> > macht wenig. Du solltest bitte weiterfragen.
> > Und im Sinne der Wiederbelebung von news:schule.mathematik werde ich ein
> > X-Post machen. Keine Sorge! Man liest dort mit, und hat ewige Geduld zu
> > erklären (die hier nicht unbedingt sein muss)
>
> Gut, es geht konkret um die Wahr/Falsch Fragestellung:
> "Es gibt eine Bijektion von { L \subseteq {0,1}* | L ist nicht regulär } nach
> { L \subseteq {0,1}* | L ist unentscheidbar}."
OK. Eine Aufabe aus der theoretischen Informatik.
Zunächst besteht die Menge {0,1}* aus allen _endlichen_ 0-1-Folgen. Diese
Menge ist natürlich abzählbar, z.B. durch die Bijektion
0 = 0
1 = 1
00 = 2
01 = 3
10 = 4
11 = 5
000 = 6
....
Jede endliche Folge entspricht bei dieser Abbildung genau einer
natürlichen Zahl und andersherum wird jeder natürlichen Zahl genau eine
endliche 0-1-Folge zugeordnet.
Andere Bijektionen sind natürlich auch möglich. Hier kommt also nichts
überabzählbares vor, wie das Subject zunächst vermuten läßt.
Da die beiden angegebenen Mengen natürlich Teilmengen von {0,1}* sind
und die Menge der natürlichen Zahlen die "kleinste" unendliche Menge
ist, ist damit die *Existenz* einer Bijektion von
{ L \subseteq {0,1}* | L ist nicht regulär } -> {0,1}*
und
{ L \subseteq {0,1}* | L ist unentscheidbar} -> {0,1}*
gesichert. Wie man die Bijektion konkret konstruiert, ist dabei eine
andere Frage.
> Beide Mengen sind überabzählbar, und die zweite Menge müsste in der ersten
> enthalten sein.
Nein, sie sind abzählbar! "{0,1}*" wird erst überabzählbar (und ist
gleichmächtig zu den reellen Zahlen), wenn alle 0-1-Folgen (also
insbesondere die unendlichen Folgen) enthalten sind. Ist übrigens eine
beliebte Übungsaufgabe.
Gruß Stefan
Liane Schulze
> Nein, sie sind abzählbar!
Alles ist abzählbar, die 'Idee' daß
'unendliche Teilmengen unendlicher Mengen' bijektiv abbildbar sind...
ist eine andere Art um auszudrücken 'Unendlichkeit ist weder faßbar
noch quantitativ beschreibbar', mithin eine besonders ausgeklügelte
Weise der weiteren Verblödung seiner selbst sowie der 'Mitmenschen'.
Das Unendliche hat unendliche Teilmengen, na also.
Christopher Creutzig
> Alles ist abzählbar, die 'Idee' daß
Nicht mit der in der Mathematik üblichen Bedeutung des Wortes
„abzählbar“, nein. Das ist übrigens auch keine Glaubensfrage, sondern
ein trivial beweisbarer Satz. Beweis: card(P(N)) > card(N), also
existiert eine Menge A mit card(A) > card(N). QED.
Jens Müller
IMHO nein!
Natürlich ist {0,1}* abzählbar.
Wenn du schaust geht es jedoch um die Mengen aller Teilmengen von
{0,1}*, die dann noch eine bestimmte Bedingung erfüllen.
{ L \subseteq {0,1}* | L ist nicht regulär }
Es gibt überabzählbar viele Sprachen. Wenn du jetzt die abzählbar
unendlichen regulären Sprachen rausnimmst, bleiben noch überabzählbar
viele übrig.
Jens
Karl Engl
>> Alles ist abzählbar, die 'Idee' daß
>
> Nicht mit der in der Mathematik üblichen Bedeutung des Wortes
> „abzählbar“, nein. Das ist übrigens auch keine Glaubensfrage, sondern
> ein trivial beweisbarer Satz. Beweis: card(P(N)) > card(N), also
> existiert eine Menge A mit card(A) > card(N). QED.
Das macht uns ja auch so glücklich, daß wir nun Bescheid wissen!
Wir definieren nun, daß unendliche Mengen unendlich viele unendlich mächtige
Teilmengene enthalten, die alle bijektiv aufeinander abbildbar sind.
Damit ist die Unendlichkeit umfassend beschrieben, und wir freuen uns
darüber.
Danke lieber Cantor...
Robin Koch
>> Dass dein Wissenstand hier arg mangelhaft ist, ist unübersehbar, aber
>> dass
>> macht wenig. [...]
>
> Gut, es geht konkret um die Wahr/Falsch Fragestellung:
[...]
>> Das eine unendliche Menge U bijektiv auf eine Teilmenge U != U ist, gilt
>> immer.
>
> Wie kann man das begründen? Aber ok, dann ist die Antwort auf obige
> Frage "Wahr".
Wen zum Teufel zitierst Du hier?
--
Robin Koch
np: Sting (with Cheb Mami) - Desert Rose
"[Der Idiot] geht auf der falschen Seite durch die Drehtür."
- "Wie macht er das?" - "Er schafft das. Drum ist er ja ein Idiot."
(Umberto Eco)
Karl Engl
> Das ist übrigens auch keine Glaubensfrage, sondern ein trivial
> beweisbarer Satz.
Um Gottes willen! Nichts geht über Symbolmanipulation:
> Beweis: card(P(N)) > card(N), also
> existiert eine Menge A mit card(A) > card(N). QED.
Bei dieser denkwürdigen Gelegenheit und immensen Bereicherung
des Hirninhaltes sei gleich mal daran erinnert, was Penrose feststellt:
"With regard to the size of the infinities that have found value, it is
rather striking that almost none of physical theory seems to need our
going beyond C(= 2^N0), the cardinality of the real-number system R."
wobei sich dann herausstellt, daß er mit almost none genau 'keine' meint.
Cantors geistige Ergüsse des transfiniten unendlichen Zahlensystems ist
also, wie es jemand nannte, 'Hirnwichserei'. Dennoch allen weiterhin
fröhliches Bijektionieren!
_ _
Aus einer Reportage des ÖRR (3SAT) - wiederholte Sendung, Uganda:
dann sagten die Rebellen den 8-10 Jährigen Mädchen, sie sollen mich
zerschneiden, oder sie selbst würden in Stücke geschnitten werden,
die Mädchen schnitten mir dann Ohren, Nase und Lippen ab, bevor
sie begannen, mir alle Finger einzeln abzutrennen. Meine Bitte, mir eine
Hand zum Leben zu lassen übergingen sie...(die Kamera, die vorher
den Kopf des 15 jährigen Jungen mit fehlenden Ohren, Nase und Lippen
zeigte, 'glitt' kurz auf die Stummel der minutiös abgeschnitten Hände).
Stefan Kirchner
Sorry, Du hast natürlich recht, ich hätte aufmerksamer lesen sollen.
Für die Menge { L \subseteq {0,1}* | L ist unentscheidbar} gilt dann das
gleiche, schließlich sind auch die entscheidbaren Sprachen abzählbar.
Entfernst Du aus einer überabzählbaren Menge eine abzählbare Menge, so
ändert sich die Mächtigkeit dieser Menge nicht. Damit sind dann auch die
beiden betrachteten Mengen gleichmächtig.
Gruß Stefan
Joachim Mohr
> 'unendliche Teilmengen unendlicher Mengen' bijektiv abbildbar sind...
> ist eine andere Art um auszudrücken 'Unendlichkeit ist weder faßbar
> noch quantitativ beschreibbar'
Mengenlehre, wie sie Mathematiker beschreiben,
ist syntaktischer Natur.
Siehe Definition der "Unendlichkeit" einer Menge:
"M ist unendlich <=> Es gibt eine Bijektion von M
auf eine echte Teilmenge von M".
Darauf kann man eine deduktive Theorie entwickeln.
Du meinst nun: "Das hat was zu bedeuten!" und "wenn ja,
dann ist es Blödsinn".
Es ist wie beim Schachspiel (die Idee stammt von
Ludwig Wittgenstein). Zu wissen, wie eine Definition
gebraucht wird, ist so, wie zu wissen, wie man eine
Schachfigur bewegen kann.
Mehr nicht!!
Laß die Semantik (die Lehre von den Bedeutungen)
bitte aus dem Spiel und damit auch deine Polemik!
"Worüber man nicht reden kann, darüber muß man
schweigen."
MFG Joachim
--
Joachim Mohr Tübingen
http://www.joachimmohr.de/neu.html
Karl Engl
> "M ist unendlich <=> Es gibt eine Bijektion von M
> auf eine echte Teilmenge von M".
M ist unendlich wenn M unendlich viele unendlich mächtige Teilmengen
enthält.
Ihr dürft mir nun die Fields-Medaille verleihen und diesen Satz per
Raumsonde in das Zentrum unserer schönen Heimatgalaxis schicken.
papahuhn
> Siehe Definition der "Unendlichkeit" einer Menge:
>
> "M ist unendlich <=> Es gibt eine Bijektion von M
> auf eine echte Teilmenge von M".
Wie "schwierig" ist es, basierend auf dieser Definition, zu zeigen, dass
jede überabzählbare Menge auch unendlich ist? Mir fällt im Augenblick
nur eine Methode ein, die den Wohlordnungsatz und somit das Auswahlaxiom
benutzt. Gehts eventuell auch ohne?
Rainer Willis
Gern geschehen!
Georg
Rainer Willis
> Christopher Creutzig schrieb:
>
>> Das ist übrigens auch keine Glaubensfrage, sondern ein trivial
>> beweisbarer Satz.
>
> Um Gottes willen! Nichts geht über Symbolmanipulation:
>
>> Beweis: card(P(N)) > card(N), also
>> existiert eine Menge A mit card(A) > card(N). QED.
>
> Bei dieser denkwürdigen Gelegenheit und immensen Bereicherung
> des Hirninhaltes sei gleich mal daran erinnert, was Penrose feststellt:
>
> "With regard to the size of the infinities that have found value, it is
> rather striking that almost none of physical theory seems to need our
> going beyond C(= 2^N0), the cardinality of the real-number system R."
>
> wobei sich dann herausstellt, daß er mit almost none genau 'keine' meint.
Und? Was soll Mathematik denn mit der Wirklichkeit zu tun haben? Genau:
nichts. Warum sie darauf anwendbar ist, versteh ich auch nicht.
Mathematiker sind Spielkinder, die mit ihren Bauklötzen herumhantieren.
Kein Physiker ist z.B. auf die Idee gekommen, mit komplexen Zahlen zu
arbeiten, und heute reden sie wie selbstverständlich von imaginären Massen.
Ich vertseh auch das zitierte Argument von Penrose nicht. Wen
interessiert es, dass "almost none of physical theory seems to need our
going beyond C(= 2^N0)" (noch) keine physikalische Bedeutung hat?
Mich nicht.
Gruß Rainer
Thomas Nordhaus
>
> Ich vertseh auch das zitierte Argument von Penrose nicht. Wen
> interessiert es, dass "almost none of physical theory seems to need our
> going beyond C(= 2^N0)" (noch) keine physikalische Bedeutung hat?
>
> Mich nicht.
:) :applaus:
--
Thomas Nordhaus
N. H.
> Ich vertseh
Mich schon.
Ihr dürft natürlich in weiterhin in traumwandlerischer
Selbst- und Fremdverblödung umherwandeln bevor
auch eure Hinrninhalte den Weg der ewigen Verwandlung
gehen. Immerhin bekommen viele ihre systematische
Selbstverblödung vorher bezahlt. Ist ja aber auch Wurst.
N. H.
> Wen interessiert es
Immerhin waren die meisten der führenden Mathe-Spinner
ALLESAMT ein Fall für die Klappse: verblödete Idioten,
sie sich meist oder oft selbst umgebracht haben um den
entsetzlichen Grad ihrer Verblödung anzuzeigen.
Aber so lange das von der Obrigkeit gut bezahlt wird, ist
Verständnis natürlich kontraproduktiv.
Es ist solange auch ein Affront, zu fragen, ob etwas Sinn macht oder nicht.
Fröhliche weitere Selbstverblödung wünscht euer Jesus.
Rainer Willis
> Rainer Willis
>
>> Ich vertseh
>
> Mich schon.
Du verstehst dich? Das ist immerhin ein Anfang.
> Ihr dürft natürlich in weiterhin in traumwandlerischer
> Selbst- und Fremdverblödung umherwandeln bevor
> auch eure Hinrninhalte den Weg der ewigen Verwandlung
Ewige Verdammnis? Das ergäbe Sinn. Wie lang sind eigentlich die
Grillzeiten in der Hölle?
> gehen. Immerhin bekommen viele ihre systematische
> Selbstverblödung vorher bezahlt.
Das Geld brauchen wir auch ...
> Ist ja aber auch Wurst.
... um uns ausreichend mit Fleischprodukten zu versorgen.
Gruß Rainer
Herbert Kurze
> Das Geld brauchen wir auch ...
Stell dir einfach eine Bijektion einer Teilmenge einer unendlich mächtigen
Menge
auf diese Menge selbst vor, dann erlebst du echte Genialität, besser als
Geld.
Karl Heinze
<rainer...@web.de> wrote:
>>
>> "With regard to the size of the infinities that have found value, it is
>> rather striking that almost none of physical theory seems to need our
>> going beyond c (= 2^N_0), the cardinality of the real-number system R."
>>
> Ich vertseh auch das zitierte Argument von Penrose nicht. [...]
>
Nun, man wird den Gedanken (der ja offenbar so falsch nicht ist)
zumindest _aussprechen_ dürfen, meinst Du nicht auch?
Immerhin kann man anmerken, dass die Mengenlehre (also die mathem.
Theorie, in der auf natürliche Weise (Mengen mit) Mächtigkeiten größer
also c auftreten) einen wesentlichen Beitrag leistet zur "Begründung"
der klassischen Analysis (also auch der reellen Zahlen).
K. H.
--
E-mail: info<at>simple-line<Punkt>de
Karl Heinze
wrote:
Typo...
>
> Immerhin kann man anmerken, dass die Mengenlehre (also die mathem.
> Theorie, in der auf natürliche Weise (Mengen mit) Mächtigkeiten größer
> als c auftreten) einen wesentlichen Beitrag leistet zur "Begründung"
> ~~~~~
Christopher Creutzig
> Stell dir einfach eine Bijektion einer Teilmenge einer unendlich mächtigen
> Menge
> auf diese Menge selbst vor, dann erlebst du echte Genialität, besser als
> Geld.
So etwa n -> n/2 als Bijektion der geraden auf die ganzen Zahlen? Was
ist daran genial?
Rainer Willis
Nö, wenn ich das mit Geld machen könnte...
http://www.mathematik.hu-berlin.de/~neukirch/Banach_Tarski.pdf
...würd ich nur noch Geldscheine zerschnippeln und wär bald ziemlich reich.
Gruß Rainer