Jede beliebige Ziffernfolge in pi
Bernd Goldschmidt
Habe vor einiger Zeit mal gehört, dasd in der Dezimaldarstellung von pi jede
beliebige Ziffernfolge vorkommen soll, der Beweis dazu aber noch ausstehe.
Fragen dazu:
Wie nennt man eine Zahl mit der genannten Eigenschaft?
Ist man da bzgl. eines Beweises schon weiter?
Danke,
Bernd
Siegfried Neubert
Bernd Goldschmidt <newsg...@biting.de> schrieb in im Newsbeitrag: b869tr$80f$06$1...@news.t-online.com...
> Hallo Wissende.
>
> Habe vor einiger Zeit mal gehört, dasd in der Dezimaldarstellung von pi jede
> beliebige Ziffernfolge vorkommen soll, der Beweis dazu aber noch ausstehe.
Ich denke es muß mindestens heißen
"daß in der Dezimaldarstellung von pi jede _endliche_ beliebige Ziffernfolge vorkommen soll",
denn sonst wäre 10100100010000100000100000010000001... wohl ein Gegenbeispiel!
Ansonsten hätte ich noch die Frage an alle,
wie oft kommt den dann jede endliche beliebige Ziffernfolge in pi vor?
Eventuell auch unendlich oft?!
Sei abc...xyz eine beliebige endliche Ziffernfolge die vorkommt,
dann muß auch abc...xyz1, abc...xyz2, abc...xyz3, ..., abc...xyzN, abc...xyz(N+1), ...
vorkommen! Und damit abc...xyz unendlich oft!!!
Na ja, mit dem Unendlich ist es eben so eine Sache.
Man gut, daß man da soviel Platz hat :o)
Gruß Siggi Neubert
Hermann Kremer
>Hallo Wissende.
>
>Habe vor einiger Zeit mal gehört, dasd in der Dezimaldarstellung von pi jede
Ja
>der Beweis dazu aber noch ausstehe.
Ja
>Fragen dazu:
>Wie nennt man eine Zahl mit der genannten Eigenschaft?
Normal zur Basis 10
>Ist man da bzgl. eines Beweises schon weiter?
http://mathworld.wolfram.com/NormalNumber.html
und die darin zitierten Papers von Bailey & Crandall ...
Wenn Du es selbst mal probieren willst: Hier ist ein Online-Programm,
das nach Mustern in den ersten 4 Milliarden Bits von Pi sucht ...
http://pi.nersc.gov
...und wenn Du herausfinden möchtest, an wievielter
Nachkommastelle von Pi die Ziffernfolge Deines
Geburtstages auftaucht:
http://www.facade.com/legacy/amiinpi/?071086
Hier noch was:
>-----------------------------------------------------
>Mathematik Bild der Wissenschaft 30.07.2001
>
> Wie zufällig ist die Kreiszahl Pi?
>
> Mathematiker sind heute dazu in der Lage, die Kreiszahl
> Pi bis auf einige hundert Billionen Stellen hinter dem
> Komma genau zu bestimmen. Aber sie wissen nicht, ob in
> diesen Nachkommastellen die Ziffern Null bis Neun
> statistisch gleichverteilt sind oder ob bestimmte
> Ziffern bevorzugt werden. David Bailey und Richard
> Crandall haben jetzt entdeckt, dass zwischen diesem
> Problem und einer unbewiesenen Behauptung aus der
> Chaostheorie ein Zusammenhang besteht, wie das Lawrence
> Berkeley National Laboratory meldet.
>
> Die Kreiszahl Pi beschreibt das Verhältnis vom Umfang
> eines Kreises zu seinem Durchmesser. Ihr ungefährer Wert
> ist 3,1416. Als so genannte irrationale Zahl hat Pi
> unendlich viele Stellen hinter dem Komma, die sich nicht
> zyklisch wiederholen – im Gegensatz zu rationalen Zahlen
> wie beispielsweise ein Drittel.
>
> Seit Generationen haben sich Mathematiker mit der Frage
> beschäftigt, ob denn die zehn Ziffern 0 bis 9 in den
> Nachkommastellen statistisch gleichverteilt sind oder ob
> bestimmte Ziffern öfter vorkommen als andere. Anders
> formuliert wollen die Mathematiker wissen, ob Pi
> "normal" ist. Das schließt ein, dass auch jede der
> hundert Folgen aus zwei Ziffern von 00 und 01 bis 98 und
> 99 gleichverteilt ist. Das gleiche muss überdies für
> jede Folge aus beliebig vielen Ziffern gelten.
>
> Zwar vermuten die Mathematiker schon lange, dass Pi
> normal ist, aber ein Beweis dafür ist ihnen bisher weder
> für Pi noch für irgendeine andere irrationale Zahl
> gelungen. 1996 hatte Bailey zusammen mit zwei
> kanadischen Mathematikern zunächst eine Formel gefunden,
> die es erlaubt, jede beliebige Nachkommastelle von Pi
> auszurechnen, ohne die vorhergehenden Nachkommastellen
> zu kennen. Das hielt man bis dahin für unmöglich.
>http://www.stud.enst.fr/~bellard/pi
>
> Gemeinsam mit Crandall hat Bailey nun entdeckt, dass
> diese Formel eine bestimmte Art von Zahlenfolgen
> hervorbringt, die – wie eine unbewiesene Hypothese aus
> der Chaostheorie behauptet – gleichförmig zwischen 0 und
> 1 verteilt sind. Wenn diese Hypothese richtig ist, dann
> würde daraus folgen, dass Pi normal ist.
>
> Bailey betont, dass sie die Normalität von Pi nicht
> bewiesen haben. Er glaubt aber, dass ein möglicher
> Beweis mit ihrem Ergebnis näher gerückt ist: "Wir haben
> ein unzugängliches Problem – nämlich die Frage der
> Normalität von Pi - in ein leichter zu fassendes Problem
> aus der chaotischen Dynamik übersetzt."
>
> Die erste theoretische Berechnung von Pi stammt von
> Archimedes (287-212 v.Chr.).
>http://www.mcs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/contents.html
> Einen historischen Überblick über die Berechnung von
> Pi finden Sie hier.
>http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Pi_chronology.html
>
> Axel Tillemans
> © 2001 bild der wissenschaft
>---------------------------------------------
Grüße
Hermann
--
>Danke,
> Bernd
Klaus Nagel
Hermann Kremer schrieb:
>
>>-----------------------------------------------------
>>Mathematik Bild der Wissenschaft 30.07.2001
>>
>> Wie zufällig ist die Kreiszahl Pi?
>>
>> Mathematiker sind heute dazu in der Lage, die Kreiszahl
>> Pi bis auf einige hundert Billionen Stellen hinter dem
^^^^^^^^^^
Das ist sicher eine falsche Übersetzung aus dem Englischen und sollte Milliarden heißen.
>> Komma genau zu bestimmen. Aber sie wissen nicht, ob in
>> diesen Nachkommastellen die Ziffern Null bis Neun
>> statistisch gleichverteilt sind oder ob bestimmte
>> Ziffern bevorzugt werden. David Bailey und Richard
>> Crandall haben jetzt entdeckt, dass zwischen diesem
>> Problem und einer unbewiesenen Behauptung aus der
Gruß,
Klaus Nagel
Sabine Kläring
"Siegfried Neubert" <neu...@hansenet.de> schrieb im Newsbeitrag news:b86cel$6s8nm$1...@ID-137637.news.dfncis.de...
> Sei abc...xyz eine beliebige endliche Ziffernfolge die vorkommt,
> dann muß auch abc...xyz1, abc...xyz2, abc...xyz3, ..., abc...xyzN, abc...xyz(N+1), ...
> vorkommen! Und damit abc...xyz unendlich oft!!!
Ich denke, es ist so.
Man könnte auch sagen (ohne dass ich es hier beweisen kann):
Für jede endliche Ziffernfolge abc...xyz und jedes Vorkommen
dieser Ziffernfolge gilt: in dem Reststück danach kommt
die Ziffernfolge noch einmal vor.
Eigentlich finde ich diese Aussagen dass jede endl. Ziffernfolge
in Pi vorkommt, nicht überraschend.
Habe die Folge F die Länge L(F).
Und betrachte ich mal nicht Pi sondern eine unendliche zufällige
Folge von Ziffern. Dann gilt für jede beliebige Stelle in dieser Folge,
das F hier mit der Wahrscheinlichkeit 1/10^L(F) erscheint, also eine
definierte Zahl > 0.
Und da diese Chance mit genau dieser Wahrscheinlicxhkeit unendlich oft
besteht, ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgendwo der Passer ist,
'fast sicher'. (hat Wahrscheinlichkeit 1)
Und so muss man sich halt überlegen, inwieweit die Ziffernfolge von Pi mit
einer zufälligen Folge vergleichbar ist.
Und hier wäre IMO ein Ergebnis 'bestimmte Folgen tauchen NICHT auf' weitaus
spektakulärer als die Erkenntnis, dass alle endlichen Folgen irgendwo
auftauchen.
Jens
Sabine Kläring
"Siegfried Neubert" <neu...@hansenet.de> schrieb im Newsbeitrag news:b86cel$6s8nm$1...@ID-137637.news.dfncis.de...
> Sei abc...xyz eine beliebige endliche Ziffernfolge die vorkommt,
> dann muß auch abc...xyz1, abc...xyz2, abc...xyz3, ..., abc...xyzN, abc...xyz(N+1), ...
> vorkommen! Und damit abc...xyz unendlich oft!!!
Ich denke, es ist so.
Man könnte auch sagen (ohne dass ich es hier beweisen kann):
Für jede endliche Ziffernfolge abc...xyz und jedes Vorkommen
dieser Ziffernfolge gilt: in dem Reststück danach kommt
die Ziffernfolge noch einmal vor.
Eigentlich finde ich diese Aussagen, dass jede endl. Ziffernfolge
in Pi vorkommt, nicht überraschend:
Habe die Folge F die Länge L(F).
Und betrachte ich mal nicht Pi sondern eine unendliche zufällige
Folge von Ziffern. Dann gilt für jede beliebige Stelle in dieser Folge,
das F hier mit der Wahrscheinlichkeit 1/10^L(F) erscheint, also eine
definierte Zahl > 0.
Und da diese Chance mit genau dieser Wahrscheinlicxhkeit unendlich oft
besteht, ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgendwo der Passer ist,
'fast sicher'. (hat Wahrscheinlichkeit 1)
Und so muss man sich halt überlegen, inwieweit die Ziffernfolge von Pi mit
einer zufälligen Folge vergleichbar ist.
Und hier wäre IMO ein Ergebnis 'bestimmte Folgen tauchen NICHT auf' weitaus
spektakulärer als die Erkenntnis, dass alle endlichen Folgen irgendwo
auftauchen.
Sabine
Rainer Rosenthal
Sabine Kläring wrote
> Und hier wäre IMO ein Ergebnis 'bestimmte Folgen tauchen NICHT auf'
Die Folge 1234123412341234.... taucht nicht auf.
Und das ist nicht spektakulär sondern logo.
Und Wahrscheinlichkeit hat mit Pi überhaupt nichts
zu tun. Ausser dass Pi in den Formeln zur Wahrscheinlich-
keitstheorie eine wichtige Rolle spielt. Und das ist
nicht spektakulär sondern eine feine Sache.
Und ausserdem glaube ich nicht, dass jede Zahlenfolge
(auch nicht jede endliche) in Pi enthalten ist, was ja
genauer lauten sollte: ... in der Dezimalentwicklung
von Pi.
Gezielte Frage: Woher nimmst Du die Weisheit, dass jede
(endliche) Zahlenfolge in der Dezimalbruchentwicklung
von Pi drin sein soll?
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Thomas Nordhaus
>
>Sabine Kläring wrote
>
>Und ausserdem glaube ich nicht, dass jede Zahlenfolge
>(auch nicht jede endliche) in Pi enthalten ist, was ja
Hallo Rainer! "Glauben" ist wohl das richtige Wort. Wenn man glaubt,
dass Pi 10-normal ist, dann muss jede endliche Ziffernfolge sogar
unendlich oft vorkommen (folgt aus der Definition von "normal"). Ich
weiss nicht, wie viele das glauben - aber viele versuchen
herauszufinden ob's stimmt oder nicht.
>genauer lauten sollte: ... in der Dezimalentwicklung
>von Pi.
>
>Gezielte Frage: Woher nimmst Du die Weisheit, dass jede
nicht Weisheit, sondern "Glauben".
>(endliche) Zahlenfolge in der Dezimalbruchentwicklung
>von Pi drin sein soll?
Du glaubst also nicht daran, dass Pi 10-normal ist ;-?
Thomas
P.S. "Glauben" heißt ja "Nicht-Wissen". Wer glaubt, weiß also, dass er
es nicht weiß. Ist doch ein netter Zug! Nicht-Glauben als Negation von
Nicht-Wissen heißt dann also Wissen. Wer also nicht glaubt, dass Pi
normal ist, weiß es demnach - aber woher?
>
>Gruss,
>Rainer Rosenthal
>r.ros...@web.de
>
Rudolf Polzer
> Sabine Kläring wrote
> > Und hier wäre IMO ein Ergebnis 'bestimmte Folgen tauchen NICHT auf'
>
> Die Folge 1234123412341234.... taucht nicht auf.
> Und das ist nicht spektakulär sondern logo.
>
> Und Wahrscheinlichkeit hat mit Pi überhaupt nichts
> zu tun. Ausser dass Pi in den Formeln zur Wahrscheinlich-
> keitstheorie eine wichtige Rolle spielt. Und das ist
> nicht spektakulär sondern eine feine Sache.
>
> Und ausserdem glaube ich nicht, dass jede Zahlenfolge
> (auch nicht jede endliche) in Pi enthalten ist, was ja
> genauer lauten sollte: ... in der Dezimalentwicklung
> von Pi.
Ich finde, da das Zehnersystem nichts wirklich Besonderes ist, wäre
die (stärkere) Frage
Gibt es ein (b, d)-Paar, so dass Pi in der Basis b die Ziffer d nicht
enthält?
interessanter. Aus "Nein" würde sofort folgen, dass jede endliche dezimale
Ziffernfolge in Pi vorkommt. "Ja" fände ich interessant.
--
"Now see here, guy, you're not dealing with any dumb two-bit trigger-
pumping morons with low hairlines and no conversation, we're a couple
of intelligent caring guys that you'd probably quite like if you met
us socially!"
Rainer Rosenthal
Thomas Nordhaus wrote
>
> Du glaubst also nicht daran, dass Pi 10-normal ist ;-?
>
Sagen wir mal so: würde ich *glauben*, dass Pi 10-normal
ist, so kämen mir Zweifel. Um von diesen Zweifeln nicht
geplagt zu werden, glaube ich also lieber nicht daran :-)
>
> P.S. "Glauben" heißt ja "Nicht-Wissen". Wer glaubt, weiß also, dass er
> es nicht weiß. Ist doch ein netter Zug! Nicht-Glauben als Negation von
> Nicht-Wissen heißt dann also Wissen. Wer also nicht glaubt, dass Pi
> normal ist, weiß es demnach - aber woher?
>
Wahrscheinlich sagst Du hier was ähnliches wie das, was ich
oben spontan niedergeschrieben habe. Es ist aber spät und
es lohnt sich vielleicht, diese Aussagen valentinesk zu
verkürzen. Da war doch die Geschichte von dem Menschen, der
sich wunderte, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt just *kein*
Radfahrer an einer bestimmten Stelle vorbeifuhr (oder so
ähnlich). Wenn schon keine Philosophie, dann richtig!
Gruss,
Rainer
-
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Juergen
<hermann...@online.de> wrote:
>...und wenn Du herausfinden möchtest, an wievielter
>Nachkommastelle von Pi die Ziffernfolge Deines
>Geburtstages auftaucht:
>http://www.facade.com/legacy/amiinpi/?071086
Meiner ist nicht drin *heul*:)
Aber eher ist wohl das Programm sch.. als mein Geburztag *122556*
aussergewoehnlich.
J
Juergen
<hermann...@online.de> wrote:
>Bernd Goldschmidt schrieb in Nachricht ...
>>Hallo Wissende.
>>Habe vor einiger Zeit mal gehört, dasd in der Dezimaldarstellung von pi jede
>>beliebige ... endliche ... Ziffernfolge vorkommen soll,
An sich kann es so eine Zahl doch gar nicht geben.
Nimm die Folge
121231234123451234561234567..1234567891011121314123456789101112131415...99910001001100212345...
Diese Art Bildungsgesetz, es wird hoffentlich klar, ist unendlich lang
und enthaelt alles der Art 1234..... Aber enthaelt sicher nicht alle
denkbaren endlichen Folgen. zB 13578 ist gar nicht drin.
Ist das jetzt n Widerspruch *fg*
juergen
Rainer Rosenthal
Juergen wrote
>
> >>Habe vor einiger Zeit mal gehört, dass in der Dezimal-
> >>darstellung von pi jede beliebige ... endliche ...
> >>Ziffernfolge vorkommen soll,
>
> An sich kann es so eine Zahl doch gar nicht geben.
> Nimm die Folge
>
> [...] zB 13578 ist gar nicht drin.
>
> Ist das jetzt n Widerspruch *fg*
Die Art der Argumentation ist fragwürdig. Denn in Kurzfassung
lautet Dein Argument: "So eine Zahl kann es nicht geben, denn
diese Zahl hier klappt ja nicht." Was soll das beweisen?
Jetzt versuche ich mal einen Ansatz:
Solch eine Zahl kann es doch geben.
Und hier baue ich sie zusammen (n-stellig ist mit führenden Nullen
zu verstehen):
0. Ich beginne mit 3.14 (weil es so schön an Pi erinnert.)
1. dahinter klebe ich alle einstelligen Zahlen
Davon gibt es 10 Stück. Eine Möglichkeit von
recht vielen ist: 3.140918273645
2. dahinter klebe ich alle zweistelligen
Davon gibt es 100 Stück. Die Zahl wird also
schon deutlich länger, wenn ich damit die
nächsten 200 Stellen bastele. Bei der Konstruktion
kann ich aus dem Vollen schöpfen. So könnte es also
weitergehen:
3.140918273645009901980297...475248514950
(Nettes Bildungsgesetz: die einstelligen als Paare
mit Summe 9, die zweistelligen als Paare mit Summe 99)
3. dahinter klebe ich alle dreistelligen
Und statt von der gewaltigen Auswahlmöglichkeit Gebrauch
zu machen, fummle ich bescheiden weiter mit ...000999001998...
und gestalte damit die nächsten dreitausend Stellen.
So geht das weiter. Und so wie bis zu dieser Konstruktionsstufe
alle Zahlenfolgen bis zur Länge 3 drin sind, so wird es nach
dem achten Schritt in der dann schon sehr lang gewordenen Zahl
alle bis zu 8 Stellen langen Ziffernfolgen geben.
Das war länglich erklärt aber hoffentlich verständlich. Und es
zeigt, wie gross doch in Wahrheit der Topf dieser als 10-normal
bezeichneten Zahlen ist.
Jetzt habe ich mal eine Frage zum Abschluss, die sich daraus ergibt,
dass meine obige Konstruktion ja ziemlich plump ist:
Wie lang muss eine Ziffernfolge sein, in der alle
bis zu zweistelligen Ziffernfolgen enthalten sind?
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Juergen
<r.ros...@web.de> wrote:
>3. dahinter klebe ich alle dreistelligen
Ja, ich hatte genaus so darueber nachgedacht und mit dem Begriff
"alle" hapere ich...
Alle 3 stelligen und alle nnn.. stelligen kann man sicher
hintereinanderkleben.
10100100010000.... kann man erzeugen aber DA bleibt kein Platz mehr in
der Unendlichkeit für 202002000... weil erstere hört NIE auf.
Wo enden denn die 101001000..? (nie)
Es ist wohl eine Frage der Mächtigkeit.
Ich denk nochmal drüber nach.
Greets
J
Torsten Rönsch
> An sich kann es so eine Zahl doch gar nicht geben.
> Nimm die Folge
> 121231234123451234561234567..1234567891011121314123456789101112131415...99910001001100212345...
>
> Diese Art Bildungsgesetz, es wird hoffentlich klar, ist unendlich lang
> und enthaelt alles der Art 1234..... Aber enthaelt sicher nicht alle
> denkbaren endlichen Folgen. zB 13578 ist gar nicht drin.
Doch, so wie ich Dein Bildungsgesetz verstanden habe, ist 13578 drin,
wie auch jede andere endliche Ziffernfolge. 13578, als nat. Zahl interpre-
tiert, erstmalig am Ende der Teilfolge (1)(2)(3)...(13576)(13577)(13578).
Gruß
Torsten
Thomas Nordhaus
>
>Thomas Nordhaus wrote
>>
>> Du glaubst also nicht daran, dass Pi 10-normal ist ;-?
>>
>
>Sagen wir mal so: würde ich *glauben*, dass Pi 10-normal
>ist, so kämen mir Zweifel. Um von diesen Zweifeln nicht
>geplagt zu werden, glaube ich also lieber nicht daran :-)
>
>>
>> P.S. "Glauben" heißt ja "Nicht-Wissen". Wer glaubt, weiß also, dass er
>> es nicht weiß. Ist doch ein netter Zug! Nicht-Glauben als Negation von
>> Nicht-Wissen heißt dann also Wissen. Wer also nicht glaubt, dass Pi
>> normal ist, weiß es demnach - aber woher?
>>
>
>Wahrscheinlich sagst Du hier was ähnliches wie das, was ich
>oben spontan niedergeschrieben habe.
Da haben wir die gleiche valentineske Ader ;-)
>Es ist aber spät und
>es lohnt sich vielleicht, diese Aussagen valentinesk zu
>verkürzen. Da war doch die Geschichte von dem Menschen, der
>sich wunderte, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt just *kein*
>Radfahrer an einer bestimmten Stelle vorbeifuhr (oder so
>ähnlich). Wenn schon keine Philosophie, dann richtig!
Das ist der Sketch "So ein Zufall". Siehe
http://members.chello.at/irina.mangl/valentin.htm für eine mp3-Datei.
Da gehts darum, was für ein Zufall es doch sei, wenn man sich über
einen Radfahrer unterhält und just in dem Augenblick kommt einer
vorbeigefahren (in der Münchener Kaufinger Straße, in der es vor
Radfahrern nur so wimmelt(e)). Das sollte man mal in nem Thread
anbringen, in dem es um den Zufall geht ;-)
Thomas
>
>Gruss,
>Rainer
Klaus Nagel
Rainer Rosenthal schrieb:
> Wie lang muss eine Ziffernfolge sein, in der alle bis zu
> zweistelligen Ziffernfolgen enthalten sind?
>
Die Folge muß mindestens 101 Ziffern enthalten, aber damit geht es auch:
01436754604193865774532970279522662837256185150312178424480889116873581009823405594713306492076399690
Gruß,
Klaus Nagel
Rainer Rosenthal
Klaus Nagel wrote
Hallo Klaus,
Donnerwetter, das war aber schnell! Hab's schnell mal in Zehnerblöcken
untereinander geschrieben, um's nachzuzählen. Die 101 stimmt. Also
wird wohl auch der Rest stimmen, dass alle bis zu zweistelligen Zahlen
drin sind :-)
War das etwa gar eine interessante Frage? Oder hast Du schon ein
simples Kochrezept entdeckt (für grössere Längen anzuwenden)?
Klaus Nagel
Rainer Rosenthal schrieb:
> Donnerwetter, das war aber schnell!
>
> War das etwa gar eine interessante Frage? Oder hast Du schon ein
> simples Kochrezept entdeckt (für grössere Längen anzuwenden)?
Hallo Rainer,
nein, ich habe es nach dem Motto "Probieren geht über Studieren" mit
Zufallssuche gelöst, um Deine Skepsis gegenüber solchen Methoden zu
zerstreuen. Da den Zepp-Thread wohl nur Eingeweihte lesen, wiederhole
ich zum allgemeinen Verständnis einen Auszug aus Deinem Beitrag von
gestern 07:05:
------------------
> Zur Demonstration des Maschendrahtproblems habe ich einen genetischen
> Algorithmus geschrieben:
>
> http://home.t-online.de/home/nagel.klaus/zaundir/zaun.htm
>
Den "genetischen Algorithmen" stehe ich kulturpessimistisch
gegenüber. Ist das nicht einfach eine Techie-Version von
"Probieren geht über Studieren"?.
------------------
Zu der Folge mit allen Ziffernpaaren sind mir zwei leichte Zusatzfragen
eingefallen:
1. Das Beispiel beginnt und endet mit der gleichen Ziffer. Muß das so
sein für Lösungen minimaler Länge?
2. Gibt es symmetrische, minimale Lösungen? (Von vorn und hinten gleich).
Gruß,
Klaus
Klaus-R. Löffler
> Zu der Folge mit allen Ziffernpaaren sind mir zwei leichte Zusatzfragen
> eingefallen:
>
> 1. Das Beispiel beginnt und endet mit der gleichen Ziffer. Muß das so
> sein für Lösungen minimaler Länge?
>
> 2. Gibt es symmetrische, minimale Lösungen? (Von vorn und hinten gleich).
>
Das Notieren der Ziffernfolge entspricht der Angabe eines Eulerschen Weges
durch einen Graphen mit 10 Knoten (0, 1, 2, ..., 9), mit einer Schleife an
jedem Knoten und mit je genau zwei - entgegengesetzt orientierten - Kanten
zwischen zwei verschiedenen Knoten. Da hierbei jeder Knoten den Grad 20 hat,
wird er insgesamt 10mal passiert. Da die Angabe der Kantenfolge mit dem
"Startknoten" beginnt, besteht die zugehörige Knotenfolge aus 1 + 10*10
Knoten; daher sind 101 Ziffern zu schreiben, die ohne besonderen Algorithmus
fast beliebig abgearbeitet werden. Das Durchlaufen des Graphen bricht
bekanntlich nicht vorzeitig ab, da aufgrund der gleichen Anzahl startender
und endender Kanten in jedem Knoten jeder betretene Knoten auch wieder
verlassen werden kann.
Falls jede Kante genau einmal durchlaufen wird, endet der Weg
notwendigerweise im Startknoten. Also müssen bei minimalen Lösungen Anfangs-
und Endziffer immer gleich sein.
Da die Ziffernfolge sowohl 11 als auch 22 nur je genau einmal enthält, kann
die Lösung nicht symmetrisch sein.
Klaus-R. Löffler
www.mathema.tor.ms
Rainer Rosenthal
Klaus-R. Löffler wrote
> > Rainer Rosenthal fragte
> > Wie lang muss eine Ziffernfolge sein,
> > in der alle bis zu zweistelligen
> > Ziffernfolgen enthalten sind?
>
> dass die minimale Länge 101 ist und liess
> einen genetischen Algorithmus diese Folge finden:
> 01436754604193865774532970279522662837256185150312
> 178424480889116873581009823405594713306492076399690
>
> Das Notieren der Ziffernfolge entspricht der
> Angabe eines Eulerschen Weges durch einen
> Graphen mit 10 Knoten (0, 1, 2, ..., 9),
> mit einer Schleife an jedem Knoten und mit
> je genau zwei - entgegengesetzt orientierten -
> Kanten zwischen zwei verschiedenen Knoten.
> Falls jede Kante genau einmal durchlaufen wird,
> endet der Weg notwendigerweise im Startknoten.
> Also müssen bei minimalen Lösungen Anfangs-
> und Endziffer immer gleich sein.
>
> Da die Ziffernfolge sowohl 11 als auch 22 nur
> je genau einmal enthält, kann die Lösung nicht
> symmetrisch sein.
>
Ja, wunderbar! Ein sehr schönes Stück "Blickschärfung"
diesmal aus dem nicht-geometrischen Bereich.
Auf Anhieb habe ich erst mal bloss Bahnhof verstanden,
aber nach ein paar Strichen auf der Rückseite eines
Briefumschlags war alles sonnenklar.
Und zugleich ein sehr schlagender Beweis für die Wirk-
samkeit der Genetik in diesem Bereich: "Klaus Löffler"
hat schliesslich ein paar Millionen Jahre genetischen
Vorsprung vor dem von Klaus Nagel entworfenen Algorithmus.
Und weil ich im Fragen offenbar gar nicht so schlecht bin,
jedenfalls besser als im Antworten, da frage ich also
gleich hinterher, ob diese graphentheoretische
Argumentation auch für die Ausgangsfrage benutzt werden kann,
wenn man "zwei" durch "n" ersetzt:
Wie lang muss eine Ziffernfolge sein,
in der alle bis zu n-stelligen
Ziffernfolgen enthalten sind?
Wie gut, dass es ja angeblich keine dummen Fragen gibt :-)
Ich drücke jetzt auf den Send-Knopf und dann schalte ich das
Hirn ein. Schön wäre es, wenn wieder was für's OEIS dabei
rausspränge.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Klaus Nagel
Rainer Rosenthal schrieb:
>
> Wie lang muss eine Ziffernfolge sein,
> in der alle bis zu n-stelligen
> Ziffernfolgen enthalten sind?
>
Für n = 3 sind mindestens 1002 Ziffern nötig, aber damit geht es auch:
0122425222 5560345316 5661000286 0925086357 4905167013
1280587081 6267960565 2544582936 8932608381 0935200485
2403539214 1820258455 9145047775 8045739102 3395961143
1889475954 7692639467 4659296720 6401634691 7099031514
9154631757 8668503290 9198865834 9789856939 9774568084
6283599124 7245424830 3857663314 8495307629 7322721278
0330146426 1590699579 7500654598 9112166419 6438427722
0543558178 8183754965 1334308747 3563733827 4325185869
6695851118 9526900907 7195097928 8008839867 3791397020
3723052798 2390276147 0053741324 6832876533 6778262705
0192340436 5572956215 2351570752 8479551299 2042918017
2738645107 9332199300 7408904494 3471841420 8550298725
7790806363 0264922927 5190156767 8480981174 8137768120
9517736187 1350671607 1164460249 9632072686 8437158924
3968770622 1041068875 5548734119 3763896201 8617646650
7030407313 8310593113 6662442266 7538884474 2369760461
3061612319 4934217309 4021101153 5882821814 4489710824
1682532378 7948853440 6066010393 8022387819 7443335409
6944171799 4529415536 4783370498 4055213486 2561916983
6003623271 2657564822 8597289998 0785412594 2815057140
01
Gruß,
Klaus Nagel
Klaus-R. Löffler
>>> Rainer Rosenthal fragte
>>> Wie lang muss eine Ziffernfolge sein,
>>> in der alle bis zu zweistelligen
>>> Ziffernfolgen enthalten sind?
>>
>> Klaus Nagel fand heraus,
>> dass die minimale Länge 101 ist und liess
>> einen genetischen Algorithmus diese Folge finden:
>> 01436754604193865774532970279522662837256185150312
>> 178424480889116873581009823405594713306492076399690
>>
>> Das Notieren der Ziffernfolge entspricht der
>> Angabe eines Eulerschen Weges durch einen
>> Graphen mit 10 Knoten (0, 1, 2, ..., 9),
>> mit einer Schleife an jedem Knoten und mit
>> je genau zwei - entgegengesetzt orientierten -
>> Kanten zwischen zwei verschiedenen Knoten.
>> [...]
> [...]
> Und weil ich im Fragen offenbar gar nicht so schlecht bin,
> jedenfalls besser als im Antworten, da frage ich also
> gleich hinterher, ob diese graphentheoretische
> Argumentation auch für die Ausgangsfrage benutzt werden kann,
> wenn man "zwei" durch "n" ersetzt:
>
> Wie lang muss eine Ziffernfolge sein,
> in der alle bis zu n-stelligen
> Ziffernfolgen enthalten sind?
>
Leider nicht, jedenfalls nicht in der Einfachheit, bei der ausgenutzt wird,
dass die Graphen ziemlich unmittelbar als Modell für eine Folge von Ziffern
verwendet werden können, wobei die Kanten die betrachteten Objekte
(Zahlenpaare) darstellen.
Natürlich kann man allgemein jede Aufgabe des obigen Typs oder andere
Ein-Mann-Strategiespiele mit einem Graphen veranschaulichen, bei dem die
Knoten die Spielstellungen und die Kanten die _möglichen_ Übergänge
darstellen. Dann geht es aber nicht mehr um ein Durchlaufen aller Kanten,
was auf die einfachen Fragen Eulerscher Graphen führt, sondern um die
Existenz von Wegen (von der Start- zur Ziel- bzw. einer Gewinnposition) oder
wie im vorliegenden Fall um die Existenz eines Weges, der alle Ecken genau
einmal durchläuft, also um sogenannte Hamiltonsche Wege; und die sind
wesentlich weniger erschlossen als Eulersche Wege.
Konkret: Mit M = {0,1,2,3,...,9} könnte man M^n als Menge der Knoten eines
gerichteten Graphen betrachten, wobei genau dann eine Kante vom Knoten
(a(1),a(2),a(3), ..., a(n)) zum Knoten (b(1),b(2),b(3),...,b(n)) führt, wenn
für i=2,3,4,...,n die Gleichung b(i-1)=a(i) gilt und a verschieden von b
ist.
Von den zehn Knoten, die konstante Folgen repräaentieren, gehen also je neun
Kanten aus, von den anderen Knoten jeweils zehn.
Z.B. führt im Falle n=3 von (1,2,3) je eine Kante zu (2,3,k) für k = 0, 1,
2, ...,9.
Dann entspricht die Auswahl einer n-gliedrigen Startfolge von Ziffern der
Wahl eines Startknotens und das Anängen einer Ziffer dem Übergang zu einem
anderen Knoten längs einer Kante. Beim Durchlaufen aller n^10 Knoten
entsteht also eine Folge von n + n^10 - 1 Ziffern.
Ob allerdings diese untere Schranke wirklich das Minimum ist, lässt sich aus
dieser lediglich veranschaulichenden Darstellung nicht entnehmen; immerhin
für n=3 hat Klaus Nagel ein konkretes Beispiel (ich habs aber nicht
kontrolliert) angegeben.
Vielleicht findet ja jemand einen halbwegs einfachen Algorithmus zur
Generierung einer solchen Folge für den allgemeinen Fall oder zeigt
wenigstens ihre Existenz.
Klaus-R. Löffler
www.mathema.tor.ms
Klaus Nagel
Klaus-R. Löffler schrieb:
> Ob allerdings diese untere Schranke wirklich das Minimum ist, lässt
> sich aus dieser lediglich veranschaulichenden Darstellung nicht
> entnehmen; immerhin für n=3 hat Klaus Nagel ein konkretes Beispiel
> (ich habs aber nicht kontrolliert) angegeben.
>
> Vielleicht findet ja jemand einen halbwegs einfachen Algorithmus zur
Generierung
> einer solchen Folge für den allgemeinen Fall oder zeigt wenigstens
> ihre Existenz.
Für n = 3 und Anzahlen von Elementen b von 2 bis 11 habe ich immer eine
Folge der minimalen Länge (b^3 + 2) gefunden.
Ich vermute, es gibt hierzu schon eine ausführliche Theorie, denn dieses
Problem kommt beim Entwurf von Testverfahren auf, sowohl bei
statistischen Tests, als auch bei Testmustern für Bauelemente.
Gruß,
Klaus Nagel
Rainer Rosenthal
Klaus Nagel wrote
>
> Für n = 3 und Anzahlen von Elementen b von 2 bis 11 habe
> ich immer eine Folge der minimalen Länge (b^3 + 2) gefunden.
> Ich vermute, es gibt hierzu schon eine ausführliche Theorie
"In der Bahn" war nur Zeit für Basis b=2.
Und ich konnte sehen:
1 Element --> minimale Länge = 2^1+0 = 2
2 Elemente --> minimale Länge = 2^2+1 = 5
3 Elemente --> minimale Länge = 2^3+2 = 10
Und schon dachte ich, dass für n=4 alles deutlich komplizierter
wäre (so aus der Ecke "planare Graphen" ...), als ich plötzlich
eine Lösung fand, die die Reihe fortsetzt:
4 Elemente --> minimale Länge = 2^4+3 = 19
Tja, da kann man ja kaum noch an Zufall glauben. Es besteht die
Möglichkeit, dass
n Elemente --> minimale Länge = 2^n + n - 1
gilt, wobei es auch eine Folge (aus b=2 Grundelementen) mit dieser
minimalen Länge gibt, die jede n-elementige Kombination enthält.
Und mit etwas Glück kriegt man schliesslich sogar
n Elemente --> minimale Länge = b^n + n - 1
im Falle von beliebiger Basis b. Die Ergebnisse für b=10 wider-
sprechen dem jedenfalls nicht.
Dieser Fall n=4 ist schon ein richtiges Puzzle, so dass ich es
gleich noch den de.rec.denksportlern vorwerfen werde.
Wenn Klaus Löffler noch etwas tiefer in der Graphentheorie-
Kiste wühlt, wird er sicherlich auch noch ein Zaubertuch dafür
finden :-)
Schönen Abend
Klaus Nagel
Rainer Rosenthal schrieb:
> Und mit etwas Glück kriegt man schliesslich sogar
>
> n Elemente --> minimale Länge = b^n + n - 1
>
> im Falle von beliebiger Basis b. Die Ergebnisse für b=10 wider- sprechen
> dem jedenfalls nicht.
Daß man mindestens soviel Folgenglieder braucht ist klar. Zu zeigen
wäre, daß es damit auch immer hinzubringen ist. Für n = 4 und b=2,3,4,5
habe ich solche Lösungen gefunden, danach braucht man lange Rechenzeiten.
Es ist sinnvoll, dieses Problem zyklisch zu machen, dann würde die
(vermutete) minimale Länge b^n.
Gruß,
Klaus Nagel
Rainer Willis
[...]
>
> Das ist sicher eine falsche Übersetzung aus dem Englischen und sollte Milliarden heißen.
>
Hallo Klaus,
das ist etwas, was mich auch immer ganz furchtbar ärgert. Wieso
begreifen die Leute nicht, dass die Amerikaner schlicht eine andere
Notation haben?
Übrigens: die Engländer haben auch eine andere Notation.
Deutsch Englisch Amerikanisch
Million million million
Milliarde milliard billion
Billion billion trillion
Billiarde one thousand billion quadrillion
Na, und so weiter ...
Gruß, Rainer
Sabine Kläring
"Rainer Rosenthal" <r.ros...@web.de> schrieb im Newsbeitrag news:b8bm32$885mn$1...@ID-54909.news.dfncis.de...
> > Und hier wäre IMO ein Ergebnis 'bestimmte Folgen tauchen NICHT auf'
>
> Die Folge 1234123412341234.... taucht nicht auf.
> Und das ist nicht spektakulär sondern logo.
Loriot würde sagen "Achwas!"
Es war von endlichen Folgen die Rede.
Man meint (und ggf. ist es inzwischen auch bewiesen), dass jede endliche
Ziffernfolge irgendwo in Pi auftritt.
Z.B.:
1234123412341234
oder
1234123412341234123412341234123412341234123412341234123412341234
oder
0000000000000000
0000088888800000
0000800000080000
0008088008808000
0008000880008000
0008000880008000
0008080000808000
0000808888080000
0000080000800000
0000008888000000
0000000000000000
(sorry, ein besserer Smily ist mir auf dis Schnelle nicht gelungen.)
oder auch jene 4000000stellige Zahl, die die heute größte
bekannte Primzahl ist.
Jede dieser Ziffernfolgen kommt vor (oder soll vorkommen).
> Und Wahrscheinlichkeit hat mit Pi überhaupt nichts
> zu tun.
Das ist zunächst mal richtig, die Ziffern von Pi
sind ja nicht durch einen Zufallsprozess bestimmt.
Trotzdem gibt es gewisse Ähnlichkeiten zwischen
Pi und einer zufälligen Folge von Ziffern.
Vermutlich würdest du die meisten Aussagen von
Monte-Carlo-Experimenten genauso herausgefunden haben,
wenn du nicht Zufallsfolgen sondern die Ziffern von
Pi benutzt hättest.
> Und ausserdem glaube ich nicht, dass jede Zahlenfolge
> (auch nicht jede endliche) in Pi enthalten ist, was ja
> genauer lauten sollte: ... in der Dezimalentwicklung
> von Pi.
(Klar, Dezimalentwicklung,da bediente ich mich wie andere
auch einer einfacheren Sprechweise)
Kanst du diese IMO wirklich spaktakuläre Ansicht begründen?
> Gezielte Frage: Woher nimmst Du die Weisheit, dass jede
> (endliche) Zahlenfolge in der Dezimalbruchentwicklung
> von Pi drin sein soll?
Weisheit? Ich schrieb, dass ich es nicht weiß! (Lies bitte nach)
Ich sagte, dass ich denke, dass es so ist
(ohne es beweisen zu können, auch das schrieb ich).
Und ich führte die Analogie zur Zufallsfolge auf.
Es gilt (und diese Weisheit habe ich schon):
Für jede endliche Folge N von Ziffern n(1),n(2),...,n(m) und
für jede unendliche Folge F von zufälligen Ziffern (müsste noch
genauer definiert werden, OK) gilt: es gibt mit Wahrscheinlichkeit 1
eine Position i in F, an der N steht.
Ich vermute einfach, dass Pi hier ähnliche Eigenschaften mitbringt.
(Und ob dies inzwischen sogar bewiesen wurde, war eine der Fragen
dieses Threads)
Natürlich weiß ich, dass diese These vielleicht auch doch falsch sein kann,
dass mglw. irgendjemand eine Ziffernfolge präsentiert und beweisen
kann, dass gerade diese Folge nicht in Pi vorkommt.
Darum schrieb ich auch nur "ich denke, dass es so ist, ich kann es aber
nicht beweisen."
Sabine
Sabine Kläring
"Juergen" <jue...@gmx.com> schrieb im Newsbeitrag news:pagjav455g2eebvj6...@4ax.com...
> An sich kann es so eine Zahl doch gar nicht geben.
> Nimm die Folge
> 121231234123451234561234567..1234567891011121314123456789101112131415...99910001001100212345...
>
> Diese Art Bildungsgesetz, es wird hoffentlich klar, ist unendlich lang
> und enthaelt alles der Art 1234..... Aber enthaelt sicher nicht alle
> denkbaren endlichen Folgen. zB 13578 ist gar nicht drin.
>
> Ist das jetzt n Widerspruch *fg*
Wozu soll das ein Widerspruch sein?
Diese (spezielle) Folge enthält nicht alle endlichen Folgen. OK.
Lass (mal so schön theoretisch) einen Zufallsgenerator eine
unendliche Folge ausspucken. Dann gilt für jede (noch so lange)
endliche Folge, dass sie mit Wahrscheinlichkeit 1 irgendwo in
der unendliche Folge auftaucht.
Und die letztlich noch nicht geklärte Frage ist, ob die Konstruktion
von Pi wirklich etwas beinhaltet, was bestimmt endliche Folgen ausschließt,
(so wie deine Folge) oder ob sie sich 'darum nicht kümmert', und dann mehr
so wie die Zufallsfolge 'funktioniert'.
Sabine
Torsten Rönsch
> "Juergen" <jue...@gmx.com> schrieb im Newsbeitrag news:pagjav455g2eebvj6...@4ax.com...
>
>
>>An sich kann es so eine Zahl doch gar nicht geben.
>>Nimm die Folge
>>121231234123451234561234567..1234567891011121314123456789101112131415...99910001001100212345...
>>
>>Diese Art Bildungsgesetz, es wird hoffentlich klar, ist unendlich lang
>>und enthaelt alles der Art 1234..... Aber enthaelt sicher nicht alle
>>denkbaren endlichen Folgen. zB 13578 ist gar nicht drin.
>>
>>Ist das jetzt n Widerspruch *fg*
>
>
> Wozu soll das ein Widerspruch sein?
> Diese (spezielle) Folge enthält nicht alle endlichen Folgen. OK.
Doch! Wie ich oben schon schrieb, enthält sogar diese Zahl alle endlichen Ziffernfolgen!
Denn jede endliche Ziffernfolge ist ja als natürliche Zahl interpretierbar, und jede
natürliche Zahl ist enthalten, q.e.d.
Gruß
Torsten
Rainer Rosenthal
Sabine Kläring
> 0000000000000000
> 0000088888800000
> 0000800000080000
> 0008088008808000
> 0008000880008000
> 0008000880008000
> 0008080000808000
> 0000808888080000
> 0000080000800000
> 0000008888000000
> 0000000000000000
> (sorry, ein besserer Smily ist mir auf dis Schnelle nicht gelungen.)
Hallo Sabine,
entschuldige bitte den Tonfall inklusive der Nichtbeachtung
von "endliche" in "endliche Zahlenfolge".
>
> Es gilt (und diese Weisheit habe ich schon):
> Für jede endliche Folge N von Ziffern n(1),n(2),...,n(m) und
> für jede unendliche Folge F von zufälligen Ziffern (müsste noch
> genauer definiert werden, OK) gilt: es gibt mit Wahrscheinlichkeit 1
> eine Position i in F, an der N steht.
>
Hier liegt höchstwahrscheinlich ein Zirkelschluss vor:
Denn wenn man über eine Folge F irgendeine Aussage machen könnte,
die sie von anderen unterscheidet, so wäre ihr Zufallscharakter
automatisch dahin. Oder ?
Und im übrigen muss gemeinerweise auch bei Wahrscheinlichkeit 1
im Falle unendlicher Grundmenge das entsprechende Einzelereignis
NICHT eintreten. (Ohne Masstheorie ist hier wohl eh bloss noch
Gefasel drin :-)
Da ich kein Experte auf diesem Gebiet bin, will ich mich auch ganz
leise davonstehlen. Es wäre mir eine riesige Überraschung, wenn
tatsächlich ein solcher Zufälligkeits-Nachweis für die Pi-Entwicklung
gefunden würde.
Was mir sehr gut gefallen hat, ist die beiläufig gefundene Puzzle-
Aufgabe mit den endlichen Folgen, in denen alle kurzen Folgen enthalten
sind.
Nochmals: Der hochnäsige Ton war offenbar Absicht und tut mir leid.
Gruss,
Rainer Rosenthal
Klaus Nagel wrote
>
> Rainer Rosenthal schrieb:
> > Und mit etwas Glück kriegt man schliesslich sogar
> > n Elemente --> minimale Länge = b^n + n - 1
>
> wäre, daß es damit auch immer hinzubringen ist. Für n = 4 und b=2,3,4,5
> habe ich solche Lösungen gefunden, danach braucht man lange Rechenzeiten.
Über meine In-der-Bahn-Lösung zu n=4, b=2 hatte ich ja schon stolz
berichtet. Ich glaube hier aber an die Magie der Mathematik und
es wird ganz gewiss ein graphentheoretisches Zaubertuch geben!
(Mit Wahscheinlichkeit 1 - was ja noch nicht heisst, dass es auch
einer oder eine findet *g*)
> Es ist sinnvoll, dieses Problem zyklisch zu machen, dann würde die
> (vermutete) minimale Länge b^n.
Da triffst Du einen sehr sehr sehr sehr sehr interessanten Punkt.
Denn diese Art der Aufgaben stellung kommt mir dann wieder
sehr bekannt vor: Der Zahlenkreis lässt grüssen.
Da war es auch so, dass man die Zahlen so anordnen sollte, dass
die Teilfolgen von k=3 Elementen eine gewisse Bedingung zu erfüllen
hatten.
Tja, damals ...
Gruss,
Klaus Nagel
Rainer Rosenthal schrieb:
> Klaus Nagel wrote
>
>>Rainer Rosenthal schrieb:
>> > Und mit etwas Glück kriegt man schliesslich sogar
>> > n Elemente --> minimale Länge = b^n + n - 1
>>
>>Daß man mindestens soviel Folgenglieder braucht ist klar. Zu zeigen
>>wäre, daß es damit auch immer hinzubringen ist. Für n = 4 und b=2,3,4,5
>>habe ich solche Lösungen gefunden, danach braucht man lange Rechenzeiten.
>>
>
> Über meine In-der-Bahn-Lösung zu n=4, b=2 hatte ich ja schon stolz
> berichtet. Ich glaube hier aber an die Magie der Mathematik und
> es wird ganz gewiss ein graphentheoretisches Zaubertuch geben!
Hier ist eine graphentheoretische Formulierung für das zyklische
Problem: Der Folge x1,x2, .. xn von n Gliedern wird der Knoten
K[x1*b^(n-1) + x2*b^(n-2) + .. + xn] zugeordnet. Vom Knoten K[x] führen
b gerichtete Kanten zu den Knoten K[b*x + j (mod b^n)], j=0,1,2..,b-1.
Gesucht ist ein geschlossener Weg durch alle Knoten.
Beispiel: b=10, n = 3.
Es gibt die 1000 Knoten K[000],K[001]...K[999]. Vom Knoten K[294] führen
Kanten zu K[940],K[941],...K[949].
Gerade kommt mir eine andere Idee:
Die Aufgabe erinnert an rückgekoppelte Schieberegister, wie sie zum
Erzeugen von Zufallszahlen oder Prüfsummen benutzt werden. Vielleicht
läßt sich mit irreduziblen Polynomen vom Grad n über dem Restklassenring
modulo b etwas machen?
Gruß,
Klaus Nagel
Thomas Nordhaus
> Wieso
>begreifen die Leute nicht, dass die Amerikaner schlicht eine andere
>Notation haben?
>Übrigens: die Engländer haben auch eine andere Notation.
>
>Deutsch Englisch Amerikanisch
>
>Million million million
>Milliarde milliard billion
>Billion billion trillion
>Billiarde one thousand billion quadrillion
Die Amis lieben halt gigantische Zahlen, siehe Dagobert Duck...
Thomas [SCNR]
Thomas Nordhaus
>
>Doch! Wie ich oben schon schrieb, enthält sogar diese Zahl alle endlichen Ziffernfolgen!
>Denn jede endliche Ziffernfolge ist ja als natürliche Zahl interpretierbar,
Nicht ganz - aber jede endliche Ziffernfolge in den Symbolen "0" bis
"9" ist in der (kanonischen) Dezimaldarstellung einer natürlichen Zahl
enthalten (Beispiel: "0000101" ist u.a. in der Dezimaldarstellung der
Zahl 90000101 enthalten) und das reicht natürlich.
Thomas
P.S. Noch einfacher ist die Zahl 0,1234567891011...99910001001...
Die heisst Champernowne-Konstante und ist tatsächlich normal zur Basis
10, d.h. jede endliche Ziffernfolge der Länge n kommt mit der
Häufigkeit 10^(-n) vor.
Stefan Kirchner
Rainer Rosenthal schrieb:
> Klaus Nagel wrote
> >
> > Für n = 3 und Anzahlen von Elementen b von 2 bis 11 habe
> > ich immer eine Folge der minimalen Länge (b^3 + 2) gefunden.
> > Ich vermute, es gibt hierzu schon eine ausführliche Theorie
>
> "In der Bahn" war nur Zeit für Basis b=2.
>
> Und ich konnte sehen:
>
> 1 Element --> minimale Länge = 2^1+0 = 2
> 2 Elemente --> minimale Länge = 2^2+1 = 5
> 3 Elemente --> minimale Länge = 2^3+2 = 10
>
> Und schon dachte ich, dass für n=4 alles deutlich komplizierter
> wäre (so aus der Ecke "planare Graphen" ...), als ich plötzlich
> eine Lösung fand, die die Reihe fortsetzt:
>
> 4 Elemente --> minimale Länge = 2^4+3 = 19
>
> Tja, da kann man ja kaum noch an Zufall glauben. Es besteht die
> Möglichkeit, dass
>
> n Elemente --> minimale Länge = 2^n + n - 1
Ja, so ist es.
> gilt, wobei es auch eine Folge (aus b=2 Grundelementen) mit dieser
> minimalen Länge gibt, die jede n-elementige Kombination enthält.
>
> Und mit etwas Glück kriegt man schliesslich sogar
>
> n Elemente --> minimale Länge = b^n + n - 1
Wenn Du das "Glueck" nennen willst...
> im Falle von beliebiger Basis b. Die Ergebnisse für b=10 wider-
> sprechen dem jedenfalls nicht.
>
> Dieser Fall n=4 ist schon ein richtiges Puzzle, so dass ich es
> gleich noch den de.rec.denksportlern vorwerfen werde.
>
> Wenn Klaus Löffler noch etwas tiefer in der Graphentheorie-
> Kiste wühlt, wird er sicherlich auch noch ein Zaubertuch dafür
> finden :-)
Ich heisse nicht zwar Klaus Löffler, aber ich hoffe, dass ich trotzdem
als Graphentheoriefan mitreden darf. Ausserdem haben sowohl Klaus und
Rainer einiges an Vorarbeit geleistet:
Klaus mit seinem Hinweis auf Eulergraphen und Rainer in zweierlei
Hinsicht:
- zum einen erhaeltst Du solche schoenen Threads am Leben
- zum anderen hast Du mich ueberzeugt, dass es Sinn macht, in der Bahn
ueber solche Probleme nachzudenken, anstatt die Berliner Zeitung zu
lesen.
Hier also meine Ergebnisse aus der Bahn, anfangen in Adlershof und
beendet kurz vor Friedrichstrasse:
Da Hamiltongraphen wie schon bemerkt wesentlich unhandlicher sind,
reduziere ich das Problem auf Eulergraphen.
Betrachte den Graphen G, wobei die Knoten alle Woerter mit der Laenge
n-1 aus dem Alphabet S={a1,...,a_b} seien. Von x geht eine mit x_n
gewichtete und gerichtete Kante nach y, falls x=x_1...x_{n-1} und
y=x_2...x_n (x_i \in S).
Dieser Graph hat b^(n-1) Knoten und von jedem Knoten gehen b Kanten aus
und kommen b Kanten hinein. Da der Graph zusaetzlich (schwach)
zusammenhaengend ist, existiert eine Eulertour.
Behauptung: Die Kantengewichtsfolge einer Eulertour im Graphen G bildet
einen gesuchten Ring (b,n), indem jedes Wort der Laenge n genau einmal
vorkommt.
Beweis: Da die Eulertour genau aus b^n Kanten besteht, reicht es zu
zeigen, daß jedes Wort der Laenge n in dieser Folge vorkommt.
Betrachte ein beliebiges Wort x_1...x_n (x_i \in S). Da eine Eulertour
existiert, wird auch die Kante {x_1...x_{n-1}, x_2...x_n} durchlaufen.
Diese ist nach Konstruktion mit x_n beschriftet. Also kommt die Folge
x_n vor. Jetzt kann man das Argument rueckwaerts weiter aufdroeseln. Die
Kante in der Eulertour davor geht von einem Knoten {v,x_2...x_{n-1}} aus
(v\in S) und ist mit x_{n-1} beschriftet. Damit kommt das Wort
x_{n-1}x_n vor. Dieses Argument wiederholt man jetzt n-2mal, und damit
kommt auch das Wort x_1...x_n vor. qed
Fuer den Spezialfall n=2 erhaelt man also genau die Eulertour, die Klaus
Loeffler am Samstag beschrieben hat.
Der Beweis ist also konstruktiv, der Graph kann in O(b^n) erzeugt werden
und benötigt auch so viel Speicher. Eulertouren finden man ebenfalls
mittels geschickter Tiefensuche in linerarer Zeit bezueglich der Groesse
eines Graphens. Da der Graph jedoch sehr schnell sehr gross wird, bleibt
noch die Frage zu beantworten, ob auch ein logarithmischer Anteil (also
O(n*ln(b)) an Speicher ausreicht, um daraus einen Zahlenkreis zu
basteln.
Warte gespannt auf Kommentare.
Gute Nacht und viele Gruesse,
Stefan
Klaus-R. Löffler
> Betrachte den Graphen G, wobei die Knoten alle Woerter mit der Laenge
> n-1 aus dem Alphabet S={a1,...,a_b} seien. Von x geht eine mit x_n
> gewichtete und gerichtete Kante nach y, falls x=x_1...x_{n-1} und
> y=x_2...x_n (x_i \in S).
>
> Dieser Graph hat b^(n-1) Knoten und von jedem Knoten gehen b Kanten aus
> und kommen b Kanten hinein. Da der Graph zusaetzlich (schwach)
> zusammenhaengend ist, existiert eine Eulertour.
>
> Behauptung: Die Kantengewichtsfolge einer Eulertour im Graphen G bildet
> einen gesuchten Ring (b,n), indem jedes Wort der Laenge n genau einmal
> vorkommt.
>
> Beweis: [...]
> Warte gespannt auf Kommentare.
> Gute Nacht und viele Gruesse,
> Stefan
Problem vollständig erschlagen! Danke Stefan, für die sehr
zufriedenstellende und alle Fragen (einschließlich der nach der
Geschlossenheit des Weges) beantwortenden Lösung.
Was soll man an einer perfekten Lösung noch kommentieren? Hier allenfalls
die Bestätigung der Lehre: Man sollte bei einer Problemerweiterung doch
länger versuchen, ein im Spezialfall leistungsfähiges Modell zu
verallgemeinern als gleich zu einem neuen Modell überzugehen.
Klaus-R. Löffler
www.mathema.tor.ms
Stefan Kirchner
> Stefan Kirchner schrieb
>
> > Betrachte den Graphen G, wobei die Knoten alle Woerter mit der Laenge
> > n-1 aus dem Alphabet S={a1,...,a_b} seien. Von x geht eine mit x_n
> > gewichtete und gerichtete Kante nach y, falls x=x_1...x_{n-1} und
> > y=x_2...x_n (x_i \in S).
> >
> > Dieser Graph hat b^(n-1) Knoten und von jedem Knoten gehen b Kanten aus
> > und kommen b Kanten hinein. Da der Graph zusaetzlich (schwach)
> > zusammenhaengend ist, existiert eine Eulertour.
> >
> > Behauptung: Die Kantengewichtsfolge einer Eulertour im Graphen G bildet
> > einen gesuchten Ring (b,n), indem jedes Wort der Laenge n genau einmal
> > vorkommt.
> >
> > Beweis: [...]
> > Warte gespannt auf Kommentare.
> > Gute Nacht und viele Gruesse,
> > Stefan
>
> Problem vollständig erschlagen! Danke Stefan, für die sehr
> zufriedenstellende und alle Fragen (einschließlich der nach der
> Geschlossenheit des Weges) beantwortenden Lösung.
>
> Was soll man an einer perfekten Lösung noch kommentieren?
Es hat sich noch ein kleiner (unwesentlichen) Fehler eingeschlichen. Damit
der Graph Eulersch ist, muss der Graph (neben der Gradbedingung) natuerlich
stark (und nicht schwach) zusammenhaengend sein. Das ist aber auch gegeben.
[Ein Graph heisst schwach zshgd., wenn er zshgd. ist, nachdem man gerichtete
in ungerichtete Kanten verwandelt hat. Ein Graph heisst stark zshgd., wenn er
aus genau einer Aequivalenzklasse bezueglich der Relation xRy <=> von x
fuehrt ein gerichteter Weg nach y besteht.]
> Hier allenfalls
> die Bestätigung der Lehre: Man sollte bei einer Problemerweiterung doch
> länger versuchen, ein im Spezialfall leistungsfähiges Modell zu
> verallgemeinern als gleich zu einem neuen Modell überzugehen.
Ja, das sehe ich genauso.
Gruss Stefan
Klaus Nagel
Stefan Kirchner schrieb:
> Der Beweis ist also konstruktiv, der Graph kann in O(b^n) erzeugt werden
> und benötigt auch so viel Speicher. Eulertouren finden man ebenfalls
> mittels geschickter Tiefensuche in linerarer Zeit bezueglich der Groesse
> eines Graphens. Da der Graph jedoch sehr schnell sehr gross wird, bleibt
> noch die Frage zu beantworten, ob auch ein logarithmischer Anteil (also
> O(n*ln(b)) an Speicher ausreicht, um daraus einen Zahlenkreis zu
> basteln.
>
Hallo Stefan,
ich verstehe leider nichts von Graphentheorie, kann den Beweis darum
nicht nachvollziehen und recht würdigen. Durchläuft eine Hamiltontour
alle Kanten, eine Eulertour alle Knoten? Weicht dieser Graph wesentlich
von dem ab, den ich gestern (18:28) genannt hatte?
Mit der Idee über rückgekoppelte Schieberegister habe ich ein wenig
experimentiert. Für Primzahlen b erhält man Folgen der Länge b^n-1, wenn
man geeignete Rekursionen der Art
F[k] = a[1]*F[k-n+1] + a[2]*F[k-n+2] + ... + a[n-1]*F[k-1] (mod b)
anwendet. Es fehlt nur das aus n Nullen bestehende Muster, denn das
würde in sich selbst übergehen. Dieses darf daher auch nicht als
Anfangsmuster genommen werden. Man erhält es aber, indem man das Muster
von n-1 Nullen um eine Null erweitert.
Hier sind geeignete Werte für n=4 und 5 und einige Primzahlen:
n=4
b a[1] a[2] a[3] a[4] Periode
---------------------------------
2 1 1 0 0 15
3 1 1 0 0 80
5 2 1 1 0 624
7 4 1 1 9 2400
11 9 1 0 0 14640
13 6 2 1 0 28560
17 6 1 0 0 83520
19 4 2 0 0 130320
23 12 1 0 0 279840
29 3 1 0 0 707280
31 9 2 0 0 923520
n=4
b a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] Periode
-------------------------------------
2 1 0 1 0 0 31
3 2 1 0 0 0 242
5 2 1 0 0 0 3124
7 3 1 0 0 0 16806
11 2 0 1 0 0 161050
13 6 2 0 0 0 371292
Um zusammengesetzte b müßten sich die Algebraiker kümmern.
Gruß,
Klaus Nagel
Stefan Kirchner
> Stefan Kirchner schrieb:
>
> > Der Beweis ist also konstruktiv, der Graph kann in O(b^n) erzeugt werden
> > und benötigt auch so viel Speicher. Eulertouren finden man ebenfalls
> > mittels geschickter Tiefensuche in linerarer Zeit bezueglich der Groesse
> > eines Graphens. Da der Graph jedoch sehr schnell sehr gross wird, bleibt
> > noch die Frage zu beantworten, ob auch ein logarithmischer Anteil (also
> > O(n*ln(b)) an Speicher ausreicht, um daraus einen Zahlenkreis zu
> > basteln.
> >
> Hallo Stefan,
>
> ich verstehe leider nichts von Graphentheorie, kann den Beweis darum
> nicht nachvollziehen und recht würdigen. Durchläuft eine Hamiltontour
> alle Kanten, eine Eulertour alle Knoten?
Hallo Klaus,
nein, das ist genau anders herum. Fuer die Existenz von Eulertouren kennt man
einfache hinreichende und notwendige Bedingungen, fuer Hamiltontouren kennt
man keine hinreichenden und notwendigen Bedingungen, die einfach zu pruefen
sind.
Bis jetzt hatten wir nur Graphen mit der Eigenschaft konstruiert: man erhaelt
eine Ringfolge gdw. der Graph hamiltonisch ist. Ich habe einen anderen
Graphen konstruiert, bei dem man eine Ringfolge erhaelt, gdw. der Graph
eulersch ist. Dass mein Graph eulersch ist, laesst sich leicht nachpruefen.
Ansonsten sage, an welcher Stelle Dir etwas unklar ist. Ist Dir die
Konstruktion des Graphens klar? Ich denke, der Beweis muesste auch mit sehr
wenigen Kenntnissen in der Graphentheorie zu verstehen sein.
> Weicht dieser Graph wesentlich
> von dem ab, den ich gestern (18:28) genannt hatte?
Ich komme leider an Deine Nachricht gerade nicht dran. Ich schaue sie mir
heute abend noch einmal an. Aber wenn ich es richtig in Erinnerung habe,
suchst Du weiterhin nach einer Hamiltontour. Eventuell kann man aber beide
Graphen ineinander ueberfuehren.
Gruss Stefan
Sabine Kläring
"Rainer Rosenthal" <r.ros...@web.de> schrieb im Newsbeitrag news:b8jgqd$ahm20$1...@ID-54909.news.dfncis.de...
> > Es gilt (und diese Weisheit habe ich schon):
> > Für jede endliche Folge N von Ziffern n(1),n(2),...,n(m) und
> > für jede unendliche Folge F von zufälligen Ziffern (müsste noch
> > genauer definiert werden, OK) gilt: es gibt mit Wahrscheinlichkeit 1
> > eine Position i in F, an der N steht.
> >
>
> Hier liegt höchstwahrscheinlich ein Zirkelschluss vor:
> Denn wenn man über eine Folge F irgendeine Aussage machen könnte,
> die sie von anderen unterscheidet, so wäre ihr Zufallscharakter
> automatisch dahin. Oder ?
Ja, ein wenig lax habe ich da formuliert. Sonst wäre es aber noch
gestelzter. Ein Zirkelschluss ist es IMO nicht.
Man fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Zufalls-
experiment eine bestimmtes Ereignis eintritt.
Sei N eine endl. Folge wie oben.
Das Experiment ist hier nun die (theoretische) Erzeugung einer
unendlichen Folge von Zufallsziffern.
Und das Ereignis tritt ein, wenn diese Folge irgendwo in den
Ziffern der Folge auftritt.
Die Wahrscheinlichkeit für dieses Eintreten ist dann doch 1.
> Und im übrigen muss gemeinerweise auch bei Wahrscheinlichkeit 1
> im Falle unendlicher Grundmenge das entsprechende Einzelereignis
> NICHT eintreten. (Ohne Masstheorie ist hier wohl eh bloss noch
> Gefasel drin :-)
Klar.
Darum habe ich auch stets von Wahrscheinlichkeit 1 und nicht von 'sicher'
geschrieben. Ich erinnere mich dunkel: nennt man das nicht 'fast sicher'?
So wie Wahrscheinlichkeit 0 mit 'fast unmöglich' bezeichnet wird?
> Da ich kein Experte auf diesem Gebiet bin, will ich mich auch ganz
> leise davonstehlen.
Rainer, 90% der Postings kommen von Nicht-Experten.
(Meine eingeschlossen)
Die sollen sich doch nicht wirklich alle davonstehlen.
> Nochmals: Der hochnäsige Ton war offenbar Absicht und tut mir leid.
:-D
Sabine
Klaus Nagel
Stefan Kirchner schrieb:
> nein, das ist genau anders herum. Fuer die Existenz von Eulertouren kennt man
> einfache hinreichende und notwendige Bedingungen, fuer Hamiltontouren kennt
> man keine hinreichenden und notwendigen Bedingungen, die einfach zu pruefen
> sind.
> Bis jetzt hatten wir nur Graphen mit der Eigenschaft konstruiert: man erhaelt
> eine Ringfolge gdw. der Graph hamiltonisch ist. Ich habe einen anderen
> Graphen konstruiert, bei dem man eine Ringfolge erhaelt, gdw. der Graph
> eulersch ist. Dass mein Graph eulersch ist, laesst sich leicht nachpruefen.
> Ansonsten sage, an welcher Stelle Dir etwas unklar ist. Ist Dir die
> Konstruktion des Graphens klar? Ich denke, der Beweis muesste auch mit sehr
> wenigen Kenntnissen in der Graphentheorie zu verstehen sein.
>
>
Hallo Stephan,
ich habe niemals Graphentheorie gehört und kenne daher die Begriffe
nicht. Nach Deiner Erklärung leuchtet es mir ein. Wenn man bei meinem
Graphen die b Nachfolgerknoten zu einem Knoten zusammenfaßt, die b
Kanten aber beibehält, dann kommt man zu Deinem.
Alles, was ich bisher an Graphentheorie gesehen habe, schien mir eine
Mischung aus gesundem Menschenverstand und etwas Kombinatorik und die
Probleme ließen sich aus einem Punkte kurieren: Ein geschlossener Weg
durch alle Kanten muß jeden Knoten genau so oft verlassen wie betreten.
Gruß,
Klaus Nagel
Rainer Rosenthal
Stefan Kirchner wrote
> ... und Rainer in zweierlei Hinsicht:
> - zum einen erhaeltst Du solche schoenen Threads am Leben
> - zum anderen hast Du mich ueberzeugt, dass es Sinn macht, in der Bahn
> ueber solche Probleme nachzudenken, anstatt die Berliner Zeitung zu
> lesen.
*freu*
Mir geht es in Bezug auf Graphentheorie ähnlich wie Klaus Nagel,
wobei aber gerade dieser Thread die Chance bietet, anhand des
konkreten Problems die Denk- und Bezeichnungsweise der Graphen-
theorie aus der Nähe kennenzulernen - sie "bei der Arbeit" zu
beobachten. Also werde ich das ausdrucken und gemütlich lesen.
Wenn meine Bahnfahrt nicht nur ein Stück am schönen Bodensee
lang ginge sondern bis Adlershorst, dann wären noch mehr Puzzle
zu schaffen :-)
In wesentlich kürzerer Zeit an einem kleinen ruhigen Ort konnte
ich heute den Fall Basis=2 Länge=5 mit Papier und Bleistift
erknobeln, wobei sich auch die Methode für andere Längen ergab.
Ich habe das in de.rec.denksport ganz stolz verkündet und will
es auch hier zum Besten geben, weil es ganz untheoretisch billig
darstellbar ist.
Ich bin dann gestartet mit der Folge
0000011111 (1)
und habe folgendes Bildungsgesetz für die Fortsetzung
nach rechts angewendet:
1. Schreibe eine "1", wenn dadurch ein
*neues* Muster entsteht.
2. Sonst schreibe "0".
Offenbar muss (1) mit "0" fortgesetzt werden, weil ja
sonst die kurze Folge 11111 doppelt wäre. Danach ist die
"1" möglich usw. So schnurrt das los und ergibt
000001111101110011010110001010010000
mit der Länge 36. Das ist die erwartete Länge 2^5+5-1.
Danke für die freundlichen Worte und den interessanten
Beitrag.
Gruss,
Paul Ebermann
> Bernd Goldschmidt schrieb in Nachricht ...
> >Hallo Wissende.
> >
> >Habe vor einiger Zeit mal gehört, dasd in der Dezimaldarstellung von pi jede
> >beliebige ... endliche ... Ziffernfolge vorkommen soll,
> [...]
> >Fragen dazu:
> >Wie nennt man eine Zahl mit der genannten Eigenschaft?
>
> Normal zur Basis 10
Ich dachte, für Normalität ist auch noch eine
gewisse Gleichverteilung der Folgen notwendig.
D.h. jede Folge der Länge k kommt mit der
relativen Häufigkeit 10^-k vor (wenn wir
die gesamt-Zahl in k-Blöcke unterteilen
und diese einzeln untersuchen) - das ganze
natürlich in Grenzwert für ein Anfangsstück,
dessen Länge gegen oo geht.
Das sollte nicht äquivalent sein, wie folgende
Ziffernfolge zeigt:
0.1020030004000050000060000007000000080000000090000000001000000000001100000000000...
Hier kommt jede endliche Ziffernfolge (beliebig oft) vor,
aber nur mit verschwindend geringer Häufigkeit (außer
den endlichen 0-Folgen).
Paul
--
Nun ludas: Team' - Letero de Vincento (Van Gog') (http://www.radio-esperanto.com)
Mark Piffer
<Sa...@gmx.de> wrote:
>
>"Rainer Rosenthal" <r.ros...@web.de> schrieb im Newsbeitrag news:b8jgqd$ahm20$1...@ID-54909.news.dfncis.de...
>Und das Ereignis tritt ein, wenn diese Folge irgendwo in den
>Ziffern der Folge auftritt.
>Die Wahrscheinlichkeit für dieses Eintreten ist dann doch 1.
>
>> Und im übrigen muss gemeinerweise auch bei Wahrscheinlichkeit 1
>> im Falle unendlicher Grundmenge das entsprechende Einzelereignis
>> NICHT eintreten. (Ohne Masstheorie ist hier wohl eh bloss noch
>> Gefasel drin :-)
>
>Klar.
>Darum habe ich auch stets von Wahrscheinlichkeit 1 und nicht von 'sicher'
>geschrieben. Ich erinnere mich dunkel: nennt man das nicht 'fast sicher'?
>So wie Wahrscheinlichkeit 0 mit 'fast unmöglich' bezeichnet wird?
>
>> Da ich kein Experte auf diesem Gebiet bin, will ich mich auch ganz
>> leise davonstehlen.
>
>Rainer, 90% der Postings kommen von Nicht-Experten.
>(Meine eingeschlossen)
>Die sollen sich doch nicht wirklich alle davonstehlen.
>
>Sabine
Noch ein komplett unnoetiger Nicht-Experten-Beitrag: wenn man anstatt
der Dezimalfolge eine binaere Basis nimmt, die sich leicht in
RGB-Farbwerte interpretieren laesst, findet man in Pi (so es denn
"normal genug" ist) alle bisher und noch in Zukunft zu drehenden
Kinofilme (zumindest die 2D-Varianten). Noch leichter vorzustellen ist
die incredible movie-machine: ein 640x480 Pixel ueberdeckendes
Zaehlerregister, das man einfach von 0 bis 0xFFFFFF..... hochzaehlen
laesst; auch hier sind alle Filme in hinreichender Aufloesung zu
finden (allerdings ungeordnet). Man findet auch die nicht-gedrehten
Filme: Jennifer Lopez laesst Ben Affleck fallen und zieht zu Rainer
Rosenthal um mit ihm ein Romanze zu beginnen (sogar die Version mit
malayischen Untertiteln ist da zu haben) ;) Dummerweise sind auch alle
Ausgaenge der Story drin: Ben Affleck tritt naechtens mit Schrotflinte
ins Rosenthalsche Gemach und...
Mark
PS: ich will hier niemandem zu nahe treten (sorry Rainer)....aber den
Film mit der Koenigin von England besoffen am Oktoberfest auf dem
Tisch tanzend haette ich doch gerne....aber lassen wir das 8)
--
Mark Piffer
MCU and DSP programming & software design
For replying please read the address and do what a human can do but a spambot not:
mark....@chello.deletethis.at (Sorry for the inconvenience!)
Holger Walliser
Ich weiß nicht ob das die richtige Stelle ist um in diesen thread einzugreifen aber ich versuche es einmal:
1. Meines Wissens ist es eine unbewiesene Vermutung, daß Pi normal ist zur Basis 10 - und das bedeutet genau, daß
die Ziffern der Dezimaldarstellung zufällig verteilt sind!
2. Dazu ist es selbstverständlich notwendig, daß jede endliche Ziffernfolge auch tatsächlich in der
Dezimaldarstellung von Pi auftaucht - aber IMO ist nicht einmal das bewiesen - da ja sonst ein Ereignis mit einer
erwarteten Wahrscheinlichkeit p>0 Die Häufigkeit h=0 hätte, was meines Erachtens einer zufälligen Verteilung der
Ziffern widersprechen würde.
Auch ich bin höchstens Halbwissender und hoffe hier jetzt keinen Müll verzapft zu haben.
Viele Grüße von
Holger