Wurzel-Trick bei "Wetten, daß...?"

[Thorsten Schmidt]

Lieber Leser!

In "Wetten, daß...?" am Samstag war eine 14-jährige Kandidatin, die
verblüffend
schnell dritte, vierte und fünfte Wurzeln ziehen konnte.
Das Ergebnis war jeweils eine ganze Zahl zwischen 1 und Hundert, die zuvor
entsprechend potentiert wurde.

Die Kandidatin gab zu, daß es sich bei Ihrer Leistung weniger um eine
Gedankenarbeit, sondern vielmehr um einen Trick handeln würde.

Nur welcher ?

Wenn man sich die Liste der Zahlen ansieht, stellt man fest, daß bei der
fünften Potenz jeweils die letzte Stelle die hintere Ziffer der Wurzel ist.
Nur wie gelangt man an die erste Stelle?

Was ist der Trick dabei?

Gruß und dank für eine Antwort

Thorsten

P.S. Anbei besagte Liste der Potenzen:

Zahl
hoch 3
hoch 4
hoch 5

1
1
1
1

2
8
16
32

3
27
81
243

4
64
256
1.024

5
125
625
3.125

6
216
1.296
7.776

7
343
2.401
16.807

8
512
4.096
32.768

9
729
6.561
59.049

10
1.000
10.000
100.000

11
1.331
14.641
161.051

12
1.728
20.736
248.832

13
2.197
28.561
371.293

14
2.744
38.416
537.824

15
3.375
50.625
759.375

16
4.096
65.536
1.048.576

17
4.913
83.521
1.419.857

18
5.832
104.976
1.889.568

19
6.859
130.321
2.476.099

20
8.000
160.000
3.200.000

21
9.261
194.481
4.084.101

22
10.648
234.256
5.153.632

23
12.167
279.841
6.436.343

24
13.824
331.776
7.962.624

25
15.625
390.625
9.765.625

26
17.576
456.976
11.881.376

27
19.683
531.441
14.348.907

28
21.952
614.656
17.210.368

29
24.389
707.281
20.511.149

30
27.000
810.000
24.300.000

31
29.791
923.521
28.629.151

32
32.768
1.048.576
33.554.432

33
35.937
1.185.921
39.135.393

34
39.304
1.336.336
45.435.424

35
42.875
1.500.625
52.521.875

36
46.656
1.679.616
60.466.176

37
50.653
1.874.161
69.343.957

38
54.872
2.085.136
79.235.168

39
59.319
2.313.441
90.224.199

40
64.000
2.560.000
102.400.000

41
68.921
2.825.761
115.856.201

42
74.088
3.111.696
130.691.232

43
79.507
3.418.801
147.008.443

44
85.184
3.748.096
164.916.224

45
91.125
4.100.625
184.528.125

46
97.336
4.477.456
205.962.976

47
103.823
4.879.681
229.345.007

48
110.592
5.308.416
254.803.968

49
117.649
5.764.801
282.475.249

50
125.000
6.250.000
312.500.000

51
132.651
6.765.201
345.025.251

52
140.608
7.311.616
380.204.032

53
148.877
7.890.481
418.195.493

54
157.464
8.503.056
459.165.024

55
166.375
9.150.625
503.284.375

56
175.616
9.834.496
550.731.776

57
185.193
10.556.001
601.692.057

58
195.112
11.316.496
656.356.768

59
205.379
12.117.361
714.924.299

60
216.000
12.960.000
777.600.000

61
226.981
13.845.841
844.596.301

62
238.328
14.776.336
916.132.832

63
250.047
15.752.961
992.436.543

64
262.144
16.777.216
1.073.741.824

65
274.625
17.850.625
1.160.290.625

66
287.496
18.974.736
1.252.332.576

67
300.763
20.151.121
1.350.125.107

68
314.432
21.381.376
1.453.933.568

69
328.509
22.667.121
1.564.031.349

70
343.000
24.010.000
1.680.700.000

71
357.911
25.411.681
1.804.229.351

72
373.248
26.873.856
1.934.917.632

73
389.017
28.398.241
2.073.071.593

74
405.224
29.986.576
2.219.006.624

75
421.875
31.640.625
2.373.046.875

76
438.976
33.362.176
2.535.525.376

77
456.533
35.153.041
2.706.784.157

78
474.552
37.015.056
2.887.174.368

79
493.039
38.950.081
3.077.056.399

80
512.000
40.960.000
3.276.800.000

81
531.441
43.046.721
3.486.784.401

82
551.368
45.212.176
3.707.398.432

83
571.787
47.458.321
3.939.040.643

84
592.704
49.787.136
4.182.119.424

85
614.125
52.200.625
4.437.053.125

86
636.056
54.700.816
4.704.270.176

87
658.503
57.289.761
4.984.209.207

88
681.472
59.969.536
5.277.319.168

89
704.969
62.742.241
5.584.059.449

90
729.000
65.610.000
5.904.900.000

91
753.571
68.574.961
6.240.321.451

92
778.688

71.639.296
6.590.815.232

93
804.357
74.805.201
6.956.883.693

94
830.584
78.074.896
7.339.040.224

95
857.375
81.450.625
7.737.809.375

96
884.736
84.934.656
8.153.726.976

97
912.673
88.529.281
8.587.340.257

98
941.192
92.236.816
9.039.207.968

99
970.299
96.059.601
9.509.900.499

100
1.000.000
100.000.000
10.000.000.000

[Gerhard Moschner]

Hallo,

Thorsten Schmidt schrieb ...

>Lieber Leser!
>
>In "Wetten, daß...?" am Samstag war eine 14-jährige Kandidatin, die
>verblüffend
>schnell dritte, vierte und fünfte Wurzeln ziehen konnte.
>Das Ergebnis war jeweils eine ganze Zahl zwischen 1 und Hundert, die zuvor
>entsprechend potentiert wurde.
>
>Die Kandidatin gab zu, daß es sich bei Ihrer Leistung weniger um eine
>Gedankenarbeit, sondern vielmehr um einen Trick handeln würde.
>
>Nur welcher ?

Also das sind 300 Zahlen. Ich denke 300 Zahlen kann man sehr leicht auswendig
lernen. Da braucht man keinen Trick.

Gerhard

Email: gerhard....@bigfoot.com

[Andreas Jung]

Dreihundert bis zu zehnstellige Zahlen auswendig zu lernen,
wuerde ich nicht unbedingt als "leicht" bezeichnen.
Ich jedenfalls wuesste besseres mit meiner Freizeit anzufangen.
Aber es geht ja zum Glueck viel einfacher.

Die Aufgabenstellung besteht darin, zu einer gegebenen
Zahl x^5 die Zahl x zu ermitteln. Wegen x^5=x (mod 10) hat
man die Einerstelle schon mal sicher. Die Zehnerstelle
ergibt sich durch eine ganz einfache Groessenabschaetzung,
fuer die man lediglich die fuenften Potenzen von 1 bis 9
(eigentlich nur angenaeherte Werte davon) im Kopf haben muss,
denn es gilt a^5<=(10a+b)^5/100000<(a+1)^5.
Beispiel: Fuer n=3077056399 ist x=n^(1/5) zu bestimmen.
Die Einerstelle 9 haben wir schon. Wegen 7^5=16807 und
8^5 = 32768 und 16807 <= n/100000 < 32768 lautet die
Zehnerstelle 7, also ist x=79.

Es duerfte klar sein, dass man den Spieler ueberlisten
kann, wenn man ihm eine Zahl vorgibt, die gar keine
reine fuenfte Potenz ist. Er wuerde dies nicht erkennen
und brav ein voellig falsches Ergebnis nennen.

Fuer die dritte Wurzel geht es aehnlich, da auch hier
eine 1:1-Beziehung zwischen den Einerstellen von x und
x^3 gilt (0:0, 1:1, 2:8, 3:7, 4:4, 5:5, 6:6, 7:3, 8:2, 9:9).
Fuer die Groessenabschaetzung merkt man sich die
Werte 0^3 bis 9^3, mit denen man dann auch die
obige Einerstellenkorrespondenz im Kopf hat.

Am schwierigsten ist die vierte Wurzel, da (x^4) mod 10
nur die Werte {0,1,5,6} annehmen kann und die Beziehung
zwischen den Einerstellen von x und x^4 nicht mehr
eindeutig ist (0:0, 1/3/7/9:1, 2/4/6/8:6, 5:5).
Man koennte sich vielleicht die Zehnerlogarithmen von
1 bis 9 auf hinreichend viele Stellen merken
(vier duerften reichen) und mit ihrer Hilfe die vierte
Wurzel auf altbewaehrte Art schaetzen (Kopfdivision
durch 4 und Interpolation). Den genauen Wert fuer die
Einerstelle erhaelt man dann durch die obige Korrespondenz.
Aber es geht sicherlich noch viel einfacher.

Jedenfalls braucht man sich nur in etwa 30 Zahlen zu merken,
die schlimmstenfalls fuenfstellig sind.
Interessanterweise ist das Wurzelziehen unter den gegebenen
Voraussetzungen wesentlich einfacher als das Potenzieren,
und die fuenfte Wurzel ist am leichtesten zu ziehen.
Die Faszination fuer den Aussenstehenden besteht darin,
dass er die Schwierigkeit im allgemeinen genau
andersherum einschaetzen wuerde.

MfG,
Andreas Jung.
--
Andreas Gisbert Jung DL9AAI Tel:0381/498-3364 Fax:0381/498-3366
Theoretische Informatik mailto:aj...@informatik.uni-rostock.de
Universitaet Rostock http://www.informatik.uni-rostock.de/~ajung/
PGP fingerprint = 8A 0B 05 CA EE AB 7B 01 D9 07 6A D0 84 38 BB 82

[Andre Poenitz]

Thorsten Schmidt (Thorsten...@rz.ruhr-uni-bochum.de) wrote:
: Was ist der Trick dabei?

Die erste Ziffer bekommst Du doch schon durch 'n guten Ueberschlag raus.

Andre'

--
Andre' Poenitz, TU Chemnitz-Zwickau, Fakultaet fuer Mathematik
poe...@mathematik.tu-chemnitz.de .......... +49 3727 58 1381

[Johannes Grimm]

TS> In "Wetten, daß...?" am Samstag war eine 14-jährige Kandidatin, die
TS> verblüffend schnell dritte, vierte und fünfte Wurzeln ziehen konnte.

Ich habe von der Wurzelzieherin nur noch den Schluß mitbekommen und
dachte, das darf doch nicht wahr sein! Mit sowas Einfachem kommt man zu
"Wetten daß...?" (Haben die da keinen Mathematiker, der sie berät?)
Ich selbst verwundere meine Schüler immer damit, daß ich dritte Wurzeln
ziehen kann. Das Ganze ist absolut simpel, ich erkläre es mal für dritte
Wurzeln:

Die Einerstelle hat man sofort, denn es ist offenbar:

0 -> 0
1 -> 1
2 -> 8
3 -> 7
4 -> 4
5 -> 5
6 -> 6
7 -> 3
8 -> 2
9 -> 9

Die Zehnerstelle wird ganz einfach ABGESCHÄTZT. Dafür braucht man nur die
Potenzen von 0 bis 10 zu wissen (0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729,
1000). Von der Zahl, aus welcher die Wurzel zu ziehen ist, denkt man sich
die drei hinteren Stellen weg und betrachtet, was übriggeblieben ist.
Beispiel:

103823

Die Einerstelle ist eine 3, unsere Wurzel endet also auf 7. Denkt man sich
die letzten drei Stellen weg, bleibt 103.
103 liegt zwischen 64 (also 4^3) und 125 (5^3), somit muß die Zehnerstelle
4 lauten. Die dritte Wurzel aus 103823 ist also 47.
Pipi-einfach!
Genauso (nämlich durch Abschätzen) funktioniert es bei höheren Potenzen
bzw. Wurzeln. Schließlich hatte die Kandidatin nur Zahlen zu knacken,
deren Wurzel eine natürliche Zahl war (wenn ich nicht irre). D.h.: je
höher die Potenzen, desto leichter fällt das Abschätzen!

Gruß ...
Johannes

[Johannes Grimm]

AJ> Dreihundert bis zu zehnstellige Zahlen auswendig zu lernen,
AJ> wuerde ich nicht unbedingt als "leicht" bezeichnen.
Für dich und mich sicher nicht, aber wenn man will, ist das kein Problem.

AJ> ... durch eine ganz einfache Groessenabschaetzung ...
Eben!

AJ> Es duerfte klar sein, dass man den Spieler ueberlisten
AJ> kann, wenn man ihm eine Zahl vorgibt, die gar keine
AJ> reine fuenfte Potenz ist. Er wuerde dies nicht erkennen
AJ> und brav ein voellig falsches Ergebnis nennen.
Ja!

AJ> Jedenfalls braucht man sich nur in etwa 30 Zahlen zu merken,
AJ> die schlimmstenfalls fuenfstellig sind.
Ja, und es ist mir immer noch schleierhaft, wie so etwas Banales bei
"Wetten daß ...?" auflaufen konnte!

Gruß ...
Johannes

[Florian Dennert]

Johannes Grimm <auen...@seerose.kristall.de> schrieb im Beitrag
<6p6zU...@auenland.seerose.kristall.de>...

> Ich habe von der Wurzelzieherin nur noch den Schluß mitbekommen und
> dachte, das darf doch nicht wahr sein! Mit sowas Einfachem kommt man zu
> "Wetten daß...?" (Haben die da keinen Mathematiker, der sie berät?)
> Ich selbst verwundere meine Schüler immer damit, daß ich dritte Wurzeln
> ziehen kann. Das Ganze ist absolut simpel, ich erkläre es mal für dritte

> Wurzeln:
>
> Die Einerstelle hat man sofort, denn es ist offenbar:
>
> 0 -> 0
> 1 -> 1
> 2 -> 8
> 3 -> 7
> 4 -> 4
> 5 -> 5
> 6 -> 6
> 7 -> 3
> 8 -> 2
> 9 -> 9

...
> Gruß ...
> Johannes

Das mit der Einerstelle geht ja bei dritten Potenzen vielleicht noch, bei
vierten Potenzen gibt es aber schon für z.B. die 1 mehrere Möglichkeiten
(1, 3, 7, 9), die Abschätzung dürfte daher wohl etwas mehr Schwierigkeiten
machen...

MfG, Florian

[Achim Stahlberger]

Johannes Grimm (auen...@seerose.kristall.de) wrote:
> Ja, und es ist mir immer noch schleierhaft, wie so etwas Banales bei
> "Wetten daß ...?" auflaufen konnte!

Bei "Wetten dass..." geht doch alles durch, sogar Leute die Farben am
Geschmack erkennen. Da muss man sich doch nicht wundern. Eine einfache
Anfrage beim Hersteller haette bestimmt schon ergeben, dass die Buntstifte
alle gleich schmecken. Aber die Leute vom Fernsehen wollen halt nur
ihre Quoten. Gier frisst Hirn.

--
Achim Stahlberger sta...@ira.uka.de

[Thomas Hofmeister]

Ist das nicht eine Herausforderung fuer die Leser
dieser NG, sich eine Wette auszudenken, die fuer die
D***koeppe bei "Wetten dass" schwierig aussieht, aber
in Wirklichkeit total trivial ist?

Ich wette, dass ich zu jeder vorgegebenen 100stelligen
Zahl entscheiden kann, ob ihre 11te Potenz durch 5 teilbar
ist ? ;-)

Sie hatten ja auch wohl schon einmal eine andere dumme Wette,
naemlich ungefaehr so: "Ich wette, dass ich, wenn man mir
ein Feld des Schachbretts vorgibt, ich einen Springerweg
angeben kann, der in diesem Feld startet und alle anderen
Felder abgrast."
Zur Erlaeuterung:
Zum Gewinn dieser Wette muss man sich gerade mal 64 Kombinationen
merken, naemlich einen Springer*kreis*....und wenn der dann auch
noch symmetrisch ist....