Gibt es komplexe Untervektorräume?
ruke
sorry, wenn ich euch mit einer simplen Frage belästige (wird in
Zukunft wohl öfters vorkommen ;))
Meine Behauptung ist, es gibt keine komplexe Untervektorräume, da ja
für einen Untervektorraum gilt, dass es einen 0-Vektor gibt. Ein 0
Vektor in C ist aber automatisch ein reeller Vektor und somit gäbe es
nur reelle Untervektorräume von C.
Falls meine Behauptung falsch ist, werde ich mal die Aufgabe explizit
hier reinschreiben.
Gruss
Philipp
Thomas Flohr
> Hallo zusammen,
>
> sorry, wenn ich euch mit einer simplen Frage belästige (wird in
> Zukunft wohl öfters vorkommen ;))
dafür gibt es diese Newsgroup ja.
>
> Meine Behauptung ist, es gibt keine komplexe Untervektorräume, da ja
> für einen Untervektorraum gilt, dass es einen 0-Vektor gibt. Ein 0
> Vektor in C ist aber automatisch ein reeller Vektor und somit gäbe es
> nur reelle Untervektorräume von C.
Deine Behauptung ist leider falsch. Nehme einfach als Gegenbeispiel die
komplexe "Gerade":
a * (1 + i)
Dies ist ein Untervektorraum von C. Der Nachweis ist leicht (Übungsaufgabe).
Gruß,
Thomas Flohr
Thiery Balser
Hallo Philipp,
Die Aufgabe kommt ein wenig "schusselig" daher. Es nicht ganz klar, was du
meinst.
Was ist der Vektorraum? C ueber R ? C ueber C?
Was ist in deinen Augen ein "komplexer Untervektorraum"?
Anyway, kann aber sein, dass die Menge { r*(a+ib) | r \in R} mit fixem
a,b\in R (ist dies ein Untervektorraum von C über R?) dir einen Denkanstoss
gibt.
Grüsse,
Thiery
ruke
Thomas Flohr schrieb:
> Hallo,
>
> > Hallo zusammen,
> >
> > sorry, wenn ich euch mit einer simplen Frage belästige (wird in
> > Zukunft wohl öfters vorkommen ;))
>
> dafür gibt es diese Newsgroup ja.
> >
> > Meine Behauptung ist, es gibt keine komplexe Untervektorräume, da ja
> > für einen Untervektorraum gilt, dass es einen 0-Vektor gibt. Ein 0
> > Vektor in C ist aber automatisch ein reeller Vektor und somit gäbe es
> > nur reelle Untervektorräume von C.
>
> Deine Behauptung ist leider falsch. Nehme einfach als Gegenbeispiel die
> komplexe "Gerade":
>
> a * (1 + i)
Ich schreib hier kurz die Definition von einem UVkR hin, die die LinAlg
Assistentin uns so gegeben hat:
Eine Teilmenge U von einem Vektorraum heisst Untervektorraum, falls U
selbst mit +, * auf U eingeschränkt ist.
Dann noch folgendes, das gelten muss:
[*] x,y e U => x+y e U
[*] x e U, a e K => ax e U
[*] 0 e U
[*] x e U => -x e U
e = ist Element von
K sei der Körper, über den der Vektorraum gespannt ist.
Und wenn ich mich recht erinnnere, hat sie auch gesagt, wenn einer der
4 Punkte nicht zutrifft, dann handle es sich nicht um einen UVkR.
Johannes Kloos
> Hallo zusammen,
>
> sorry, wenn ich euch mit einer simplen Frage belästige (wird in
> Zukunft wohl öfters vorkommen ;))
>
> Meine Behauptung ist, es gibt keine komplexe Untervektorräume, da ja
> für einen Untervektorraum gilt, dass es einen 0-Vektor gibt. Ein 0
> Vektor in C ist aber automatisch ein reeller Vektor und somit gäbe es
> nur reelle Untervektorräume von C.
Zugegebenermaßen ist ein C^n isomorph zu einem R^2n, aber meiner Meinung
nach tut das der Sache keinen Abbruch.
Falls du einen Untervektorraum von C = C^1 suchst (so sieht das da oben
aus), gibt es natürlich nur den Nullvektorraum - der ist auch ein
R-Vektorraum, ein Q-Vektorraum, ein F_2-Vektorraum, ...
> Falls meine Behauptung falsch ist, werde ich mal die Aufgabe explizit
> hier reinschreiben.
Deine Behauptung ist eher als unklar zu bezeichnen.
-- Johannes
ruke
Sei C^2 = {(z1,z2) | z1, z2 e C}. Seien z1 = x1 + i*y1, z2 = x2 + i*y2
mit x1, x2, y1, y2 e R. Welche der folgenden Teilmengen sind komplexe
Untervektorräume von C^2?
a) Die Punkte (z1, z2), so dass x1,x2 beliebig sind und y1 = y2 = 0,
b) Die Punkte (z1, z2), so dass x1,y1 beliebig sind und x2 = y2 = 0.
Thiery Balser
Bene.
Und wo liegt genau das Problem?
Hast du dich bereits an den Aufgaben versucht?
Was sind deine Lösungen?
Und, um auf deine ursprüngliche Fragen zurückzukommen:
c) Die Punkte (z1,z2), so dass y1,y2 beliebig und x1=x2=0.
Was ist damit?
Thiery
ruke
Thiery Balser schrieb:
zu a) hab ich mir gedacht, dass ja Im(z) = 0 ist und das i*0 = 0 ist.
somit fällt ja in meinen augen der komplexe teil der zahl weg. daraus
hab ich geschlossen, dass a einen reellen untervektorraum von C
darstellt. müsste denn ein komplexer untervektorraum nicht aus
komplexen elementen bestehen?
und ich entschuldige mich für all die schwammigen
formulierungen/aussagen. bin gerade in der 3. woche meines mathematik
studiums und werde momentan mit begriffen und definitionen überhäuft
:)
ich versuche morgen nochmals über das ganze nachzudenken und werde
dann nochmals hier posten.
danke schon mal für die hilfe und geduld
eine schöne nacht wünscht,
philipp
Florian Schmidt
Es gibt eine 0 in C.. naemlich (0 + 0i). Warum die rein reell sein sollte
leuchtet nicht ein.
Flo
--
Palimm Palimm!
http://tapas.affenbande.org
Hendrik van Hees
> Eine Teilmenge U von einem Vektorraum heisst Untervektorraum, falls U
> selbst mit +, * auf U eingeschränkt ist.
Ich verstehe nicht, worin das Problem besteht. Als Untervektorraum von
C^2, kannst Du z.B. die Menge aller Vektoren nehmen, für die die zweite
Komponente 0 ist, also
v=z (1,0) mit z \in C.
Diese Vektoren bilden sicher einen UVR, den man kurz auch als
span[{(1,0)}] bezeichnet.
--
Hendrik van Hees Texas A&M University
Phone: +1 979/845-1411 Cyclotron Institute, MS-3366
Fax: +1 979/845-1899 College Station, TX 77843-3366
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq mailto:he...@comp.tamu.edu
Carsten
ruke schrieb:
> zu a) hab ich mir gedacht, dass ja Im(z) = 0 ist und das i*0 = 0 ist.
> somit fällt ja in meinen augen der komplexe teil der zahl weg. daraus
> hab ich geschlossen, dass a einen reellen untervektorraum von C
> darstellt. müsste denn ein komplexer untervektorraum nicht aus
> komplexen elementen bestehen?
Ich glaube Dein eigentliches Problem ist, dass Du nicht richtig
verstanden hast,
was komplexe Zahlen eigentlich sind!
Am einfachsten stelle Dir einfach vor, dass das Zahlen der Form a + i*b
sind (mit a und b
reelle Zahlen) - dann wird Dir auch klar, dass natürlich auch a + 0*i
eine komplexe Zahl ist
(Du verwechselst das hier wahrscheinlich mit "imaginär" oder so..)
Also nochmal: natürlich sind auch alle reellen Zahlen komplex (oder
zumindestens in die
komplexen Zahlen "eingebettet") - sonst wäre IC noch nicht mal ein
Körper (z.B. wäre ja
i - i keine komplexe Zahl mehr :argh: )
> und ich entschuldige mich für all die schwammigen
> formulierungen/aussagen. bin gerade in der 3. woche meines mathematik
> studiums und werde momentan mit begriffen und definitionen überhäuft
> :)
Ja, das kenne ich :-)
Gruß,
Carsten
kilian heckrodt
komplexe Zahl ist. Jede reelle Zahl (und damot auch 0) ist ebenfalls
eine komplexe Zahl. Beispiele für komplexe Unterräume sind ja
in den anderen Postings gegeben.
Richtig ist, das 0 keine imaginäre Zahl ist und entsprechend kann man
sagen, das es keinen Unterraum gibt, der nur aus imaginären Zahlen
besteht (da er 0 enthält und 0 keine imaginäre Zahl ist).
Jutta Gut
"kilian heckrodt" <kilianh...@yahoo.com> schrieb
> Richtig ist, das 0 keine imaginäre Zahl ist und entsprechend kann man
> sagen, das es keinen Unterraum gibt, der nur aus imaginären Zahlen besteht
> (da er 0 enthält und 0 keine imaginäre Zahl ist).
Da wäre ich mir auch nicht sicher, denn eine imaginäre Zahl ist doch von der
Form b*i. Was ist mit b = 0?
Grüße
Jutta
Stephan Lukits
> Thomas Flohr schrieb:
>
>> Hallo,
>>
>>> Hallo zusammen,
>>>
>>> sorry, wenn ich euch mit einer simplen Frage belästige (wird in
>>> Zukunft wohl öfters vorkommen ;))
>> dafür gibt es diese Newsgroup ja.
>>> Meine Behauptung ist, es gibt keine komplexe Untervektorräume, da ja
>>> für einen Untervektorraum gilt, dass es einen 0-Vektor gibt. Ein 0
>>> Vektor in C ist aber automatisch ein reeller Vektor und somit gäbe es
>>> nur reelle Untervektorräume von C.
>> Deine Behauptung ist leider falsch. Nehme einfach als Gegenbeispiel die
>> komplexe "Gerade":
>>
>> a * (1 + i)
>
> Ich schreib hier kurz die Definition von einem UVkR hin, die die LinAlg
> Assistentin uns so gegeben hat:
>
> Eine Teilmenge U von einem Vektorraum heisst Untervektorraum, falls U
> selbst mit +, * auf U eingeschränkt ist.
Das ist m.E. nicht ganz korrekt richtig muss es heißen eine "nichtleere
Teilmenge U"
>
> Dann noch folgendes, das gelten muss:
>
Das sind die Axiome
[*] U =/= {}
> [*] x,y e U => x+y e U
> [*] x e U, a e K => ax e U
Das sind Folgerungen aus den Axiomen
> [*] 0 e U
> [*] x e U => -x e U
>
> Und wenn ich mich recht erinnnere, hat sie auch gesagt, wenn einer der
> 4 Punkte nicht zutrifft, dann handle es sich nicht um einen UVkR.
[5]
Klar, das hat aber nichts mit Unterräumen sondern mit Logik zu tun.
Gruß
Stephan
Stephan Lukits
> Hallo zusammen,
>
> sorry, wenn ich euch mit einer simplen Frage belästige (wird in
> Zukunft wohl öfters vorkommen ;))
>
> Meine Behauptung ist, es gibt keine komplexe Untervektorräume, da ja
> für einen Untervektorraum gilt, dass es einen 0-Vektor gibt. Ein 0
> Vektor in C ist aber automatisch ein reeller Vektor und somit gäbe es
> nur reelle Untervektorräume von C.
Diese Argumentation ist falsch. Folgst Du dieser Argumentation gibt es
kein neutrales Element der Addition in den komplexen Zahlen, da dies ja
die Null wäre, welche nach deiner Argumentation nicht komplex ist, damit
lässt sich auf den komplexen Zahlen keine Gruppe bezüglich der Addition
definieren, womit sich dann auch kein Körper auf ihnen definieren lässt.
Das neutrale Element der komplexen Zahlen bezüglich der Addition
existiert und wird in der Paar-Schreibweise für gewöhnlich mit (0, 0)
bezeichnet. Möchte man die reellen Zahlen in die Komplexen einbetten,
dann kann man (mit welcher Berechtigung sollte in deinem Skriptum
stehen) das neutrale Element der Addition der reellen Zahlen i.d.R. mit
0 bezeichnet als das neutrale Element der komplexen Addition (0,0)
/interpretieren/.
Man definiert für gewöhnlich für alle Element a aus den reellen Zahlen
a:=(a, 0). Man führt also eine Interpretation der reellen Zahlen als
komplexe Zahlen ein, so dass sich die Beziehung IR c IC formulieren lässt.
Allgemein musst Du darauf acht geben, dass Du Dich von gleichen Formalen
Bezeichnungen für verschiedene Objekte nicht verwirren lässt.
Gruß
Stephan
kilian heckrodt
Naja, da müsste man jetzt über die exakte Definition einer imaginären
Zahl streiten. Wenn man 0 zulässt hätte man genau man mit der imaginären
Achse und {0} 2 imaginäre Unterräume.
Die Wikipediadefinition schliesst die 0 mit ein:
http://en.wikipedia.org/wiki/Imaginary_numbers
Allerdings funktioniert die "Idee" des Originalposters eben nur, wenn
man die 0 ausschliesst, d.h. indem man sagt eine imaginäre Zahl. ist
eine Zahl deren Quadrat eine negative reelle Zahl ist.
Peter Niessen
> Naja, da müsste man jetzt über die exakte Definition einer imaginären
> Zahl streiten. Wenn man 0 zulässt hätte man genau man mit der imaginären
> Achse und {0} 2 imaginäre Unterräume.
Was heisst: Exakte Definition? Es führen ja viele Wege nach Rom. Egal wie
du es anstellst: Sobald die Axiome erfüllt sind dass die komplexen Zahlen.
Der wohl einsichtigste Weg geht über Paare (a;b) reeller Zahlen mit denen
man die Körperaxiome definiert. Dann ist die so neu geschaffene Null das
Paar (0;0). Durch nachrechnen überzeugt man sich leicht: Stimmt!
Anstatt Null sollte man hier direkt und besser sagen: (0;0) ist das
neutrale Element der additiven Gruppe. Man mache sich klar das ja keine
Null gefordert wird sondern ein neutrales Element. Sobald das klar ist
nennt man es halt der Gewohnheit folgend schlicht Null. Das neutrale
Element der Multiplikation (1;0) heisst dann auch simpel Eins.
Ein bisschen Tradition darf ja sein :-)
--
Mit freundlichen Grüssen
Peter Nießen
Hero
> ruke schrieb:
> > Meine Behauptung ist, es gibt keine komplexe Untervektorräume, da ja
> > für einen Untervektorraum gilt, dass es einen 0-Vektor gibt. Ein 0
> > Vektor in C ist aber automatisch ein reeller Vektor und somit gäbe es
> > nur reelle Untervektorräume von C.
>
> Diese Argumentation ist falsch. Folgst Du dieser Argumentation gibt es
> kein neutrales Element der Addition in den komplexen Zahlen, da dies ja
> die Null wäre, welche nach deiner Argumentation nicht komplex ist, damit
> lässt sich auf den komplexen Zahlen keine Gruppe bezüglich der Addition
> definieren, womit sich dann auch kein Körper auf ihnen definieren lässt.
Stephan, wie Du siehst, belästigst Du keinen.
Folge ich Deinen Sätzen, dann gilt natürlich auch, dass der C eine
Null hat. "Ein 0 Vektor in C ist aber automatisch ein reeller Vektor"
und somit müsste dann für ihn genauso gelten, wie Du für die
Untervektorräume folgerst, dass C reell sein müsste.
Mathe machte scharfe Unterschiede, jetzt mal ohne Benennung mit Worten
tauchen hier folgende Elementbeziehungen auf
k Element von C
l Element von C / R ( also, wenn z = a + i * b , dann hier b =|= 0 )
m Element von R
n Element von { n | n Element von C und wenn n = a + i * b , dann hier
b = 0 }
p Neutralelement von (R, +)
q Neutralelement von ( C, + )
r Element von {q | q = s * (a + i * b) und s Element R und a =|=0 und
b =|= 0 }
Jetzt musst Du also Deine Bezeichnungen von komplex und nicht komplex
hierdrin unterbringen, möglichst sinnvoll und möglichst in Einklang
mit gängigen Bezeichnungen.
Ein Vergleich noch.
Manchmal spricht man von Hühnern auf dem Hühnerhof, schliesst aber
die Hähne mit ein.
Mit freundlichen Grüssen
Hero
Hero
Hero schrieb:
> Stephan, wie Du siehst, belästigst Du keinen.
Stephan, Entschuldigung!!!
Ich meinte natürlich:
Ruke, wie Du siehst, belästigst Du keinen.
Tut mir leid.
Hero
kilian heckrodt
Es ging nicht um komplexe, sondern _imaginäre_ Zahlen, die im übrigen
keinen Körper bilden.
Michael Hoppe
> Deine Behauptung ist leider falsch. Nehme einfach als Gegenbeispiel die
> komplexe "Gerade":
>
> a * (1 + i)
Die Menge M := {a(1 + i) | a ist eine reelle Zahl} ist kein
C-Untervektorraum von C (denn 1 + i ist aus M, aber nicht i(1 + i)),
aber offensichtlich ein R-Untervektorraum von C.
> Dies ist ein Untervektorraum von C.
Hmm, sofern man {a(1 + i) | a ist eine komplexe Zahl} betrachtet, ja,
und dieser C-Untervektorraum von C stimmt mit C überein. Denn für jeden
nicht-trivialen C-Untervektorraum U von C gilt ja, daß dim_C(U) = 1, da
ja {z}, sofern z eine von 0 verschiedene komplexe Zahl ist, eine C-Basis
für C ist.
Genug Trivialitäten gekloppt,
Michael
Stephan Lukits
> Hallo zusammen,
>
> sorry, wenn ich euch mit einer simplen Frage belästige (wird in
> Zukunft wohl öfters vorkommen ;))
>
> Meine Behauptung ist, es gibt keine komplexe Untervektorräume,
Zeigen bitte, dass auf jeder Menge auf der sich eine Körpersturktur
definieren lässt(, also insbesondere auf den komplexen Zahlen), sich
ebenfalls ein Vektorraum( über einen Körper) definieren lässt.
Zeige weiter, dass für jeden Vektorraum |V :=(V, +, *) gilt, dass sich
auf den Mengen {neutrales Element der vektoriellen Addition des
Vektorraums |V} und V ein Unterraum definieren lässt. Diese Unterräume
nennt man die trivialen Unterräume.
Folgere aus diesen beiden Sätzen, dass die Behauptung
> Meine Behauptung ist, es gibt keine komplexe Untervektorräume,
Falsch ist.
Gruß
Stephan
Hendrik van Hees
> Zeigen bitte, dass auf jeder Menge auf der sich eine Körpersturktur
> definieren lässt(, also insbesondere auf den komplexen Zahlen), sich
> ebenfalls ein Vektorraum( über einen Körper) definieren lässt.
Es reicht doch als Skalarenraum gar ein Ring, nur heißt das
entsprechende Konstrukt dann nicht Vektorraum, sondern Modul ;-)).
Stephan Lukits
> Stephan Lukits wrote:
>
>
>
>>Zeigen bitte, dass auf jeder Menge auf der sich eine Körpersturktur
>>definieren lässt(, also insbesondere auf den komplexen Zahlen), sich
>>ebenfalls ein Vektorraum( über einen Körper) definieren lässt.
>
>
> Es reicht doch als Skalarenraum gar ein Ring, nur heißt das
> entsprechende Konstrukt dann nicht Vektorraum, sondern Modul ;-)).
>
Ja, und wir hätten vor lauter Selbstdarstellung übersehen, dass wir mit
dieser algebraischen Darstellung dem OP, der schreibt:
"und ich entschuldige mich für all die schwammigen
formulierungen/aussagen. bin gerade in der 3. woche meines mathematik
studiums und werde momentan mit begriffen und definitionen überhäuft"
kein bisschen geholfen hätten. Denn offenbar beschäftigt er sich zu
Beginn seines Studiums mit Vektorräumen über Körper und nicht mit Moduln
über Ringe.
Gruß
Stephan
Marc Olschok
So offensichtlich ist das im allgemainen bei einem Mathematikstudium nicht
unbedingt: es ist gar nicht selten, dass in der LA I Ringe und Moduln
zuerst eingeführt werden, auch wenn man dabei nicht so sehr in die Tiefe
geht und recht schnell die einfacheren Gefilde der Vektorräume aufsucht.
Im vorliegenden Fall teile ich aber Deine Vermutung; ebenfalls finde ich
es hilfreicher, möglichst nahe an dem zu argumentieren, was ein
Anfänger bereits kennt. Drang yur Selbstdarstellung ist da eher hinderlich.
Marc