Mal was lustiges : Eine Aufgabe - Zwei Ergebnisse ... Wie geht das ???

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paule32

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Jul 12, 2022, 3:34:30 PMJul 12
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Hallo,

gestellt ist die Aufgabe: 50 (fünfzig) dividiert durch 3 (drei).
Der Taschenrechner-Beftragte (oder die neumodischen, mobilen Sende und
Empfangsstattionen; hier genannte als mobile Telefone) würden gerade
wegen dieser kleinen Aufgabe genau den genannten Apparat verwenden, um
auf das Ergebnis zu kommen.

Da frage ich mich doch (oder sollte doch mal "hinterfragend", als poly-
technisch ausgebildeter Otto Normalverbraucher:

"Stimmt denn eigentlich das Ergebnis, was denn da die Technik den Otto
Normalverbraucher anbietet ?".

Folgende 1. Gleichung:

50 : 3 = 15 Probe: 15 mal 3 ergibt 45, diese -45 unter der 50
-45
=====
50 :3 Wie man hier schon sehenen kann: Periode, denn
-45 = 1.5
====
50 :3
-45 = 0.15 ...

Wir setzen nun also ein: 15 + 1.5 + 0.15 + 0.015 ...
_
ergibt nach meiner Rechnung: 16.55...
also grob gerundet: 16,6

Gebe ich diese Aufgabe in einen Taschenrechner, der zum Beispiel
auch unter Windows zu finden ist,
bekomme ich als Ergebnis:
_
16.66... oder gerundet : 16.67

grob gerechnet ergibt das dann: 16.7 !!!

wo sind denn dann diese 0.1 Einheiten geblieben ?

Ich stelle mal die Frage etwas anders:

50000 km (Kilometer) dividiert durch 300 km = 15.000
- 45000
=======
50000 : 300
- 45000 = 1500
=======
50000 : 300
- 45000 = 150
=======
50000 : 300
- 45000 = 15
...

Wenn ich das dann wieder zusammen addiere:
_
1500 + 150 + 15 = 1555...

oder:

1500
+ 150
+ 15
------
= 1665

Dazu kommen dann noch die schon oben berechnetten:
15000 km - also:

15.000
+ 1.665

dann komme ich auf ein Ergebnis von:

16.665 km (Kilometer).

Frage: "Wo ist dieser "eine" (1) Kilometer geblieben ? Weil:
im Taschenrechner steht ja 1.666667".

Woher weiß der Computer, wo er aufhören muss, um zu checken,
das eine Periode vorliegt.
Also ich finde das echt befremdlich, wenn es darum geht, die
Kreiszahl Pi zu berechen - woher wissen die Leute, das an der
Stelle 1234 kein Rundungsfehler entstanden ist, aber schon
hunderte Stunden Rechenzeit und Stromkosten verbraten wurden ?

Jetzt stellt sich also die weitere Frage:

In der Funktechnik wird ja gesagt, das jeweils, in 300 Meter
(ich gehe mal von einen Ballungsgebiet von einer Stadt aus)

Funkmasten stehen, die dazu genutzt werden, um die mobilen
Telefone zu kontaktieren bzw. ein Kommunikations-Austausch
sicher gewährleistet werden soll.

Wenn man nun diesen "einen" Kilometer - also 100 Meter - mit
den 300 Meter entfernten Masten beobachtet, so hat man also
ein Funkfenster von 3 Metern:

300 dividiert durch 100 gleich 3 Meter.

Vielleicht stellt sich die weitere Frage:
- Zum funken/telefonieren bedarf es ja 2 Leute - der eine ist
der Sender, der andere der Empfänger...

diese 3 Meter ergeben ja in einen digitalen Diagramm ein
Quadrat - wegen der 3 Meter:
Wurzel aus 3 macht dann ungefähr 1,732 ^2 (Quadratmeter).

im analogen Diagram ergeben sich:

1.5 Meter = 180 Grad (entweder stehen sich beide Leute mit den
Rücken, oder mit dem Bauch gegenüber - also sie teilen sich jeweils
die Hälfte des Funkradius (theoretisch)).

Wieviel Funkfrequenzen können also dann in einen solchen 1.5 bzw.
1,732 Meter Abstand geteilt werden, wenn man davon ausgeht, das beide
Personen sich auf einer geraden Flächen, jeweils am Boden, beide
eine Abstrahlhöhe von 1,5 Meter bzw. 1,732 Meter befinden, ohne jetzt
die 2. Position (eigentlich sind es ja 2 Positionen) - also jeweils
nur die 1. Position betrachtet wird ?

Für mein Verständnis wird da sicherlich mit Mittelwerten gerrechnet,
wobei: 1,5 + 1,732 : 2 handiert wird, was dann: 3,232 : 2 = 1,616
ergibt.

Wenn man nun diese 1,616 Meter in Menschengröße vergleicht und rundet,
dann könnte ein Mensch, der durchschnittlich 1,62 Meter groß ist,
punktgenau (wir kommen wieder auf den 1 Kilometer zurück...) geordet
werden.

Es ist klar, das es für eine exakte Bestimmung mindestenz 3 Punkte
geben muss, um in einen 3D-Raum, ein Objekt zu orten.

Aber ist das nicht befremdlich, was die moderne Technik heute alles
so schönes schon kann ?

Also Alles hier "ohne Gewähr" - peng peng :-)

Gruß, paule32

Stefan Schmitz

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Jul 12, 2022, 6:53:27 PMJul 12
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Am 12.07.2022 um 21:34 schrieb paule32:
> Hallo,
>
> gestellt ist die Aufgabe:  50 (fünfzig) dividiert durch 3 (drei).
> Der Taschenrechner-Beftragte (oder die neumodischen, mobilen Sende und
> Empfangsstattionen; hier genannte als mobile Telefone) würden gerade
> wegen dieser kleinen Aufgabe genau den genannten Apparat verwenden, um
> auf das Ergebnis zu kommen.
>
> Da frage ich mich doch (oder sollte doch mal "hinterfragend", als poly-
> technisch ausgebildeter Otto Normalverbraucher:
>
> "Stimmt denn eigentlich das Ergebnis, was denn da die Technik den Otto
>  Normalverbraucher anbietet ?".
>
> Folgende 1. Gleichung:
>
>  50 : 3 = 15   Probe: 15 mal 3 ergibt 45, diese -45 unter der 50
> -45
> =====
>   50   :3      Wie man hier schon sehenen kann: Periode, denn
>  -45   = 1.5
>  ====
>    50  :3
>   -45  = 0.15 ...

Warum machst du nicht die *normale* schriftliche Division, sondern lässt
zu große Reste übrig?

> Wir setzen nun also ein:     15 + 1.5 + 0.15 + 0.015 ...
>                                  _
> ergibt nach meiner Rechnung: 16.55...

nach meiner 16.66...

> also grob gerundet: 16,6
>
> Gebe ich diese Aufgabe in einen Taschenrechner, der zum Beispiel
> auch unter Windows zu finden ist,
> bekomme ich als Ergebnis:
>     _
> 16.66...  oder gerundet : 16.67
>
> grob gerechnet ergibt das dann: 16.7  !!!
>
> wo sind denn dann diese 0.1 Einheiten geblieben ?

Die hast du beim falschen Addieren unterschlagen.
Wie du das angestellt hast, verstehe ich allerdings nicht. Schon die
ersten drei Summanden sind zusammen größer als dein Wert. Hättest du
einen davon weggelassen, wäre die Summe kleiner.

Ulrich D i e z

unread,
Jul 12, 2022, 9:50:51 PMJul 12
to
Am 12.07.22 um 21:34 schrieb paule32:

> Hallo,
>
> gestellt ist die Aufgabe:  50 (fünfzig) dividiert durch 3 (drei).
> Der Taschenrechner-Beftragte (oder die neumodischen, mobilen Sende und
> Empfangsstattionen; hier genannte als mobile Telefone) würden gerade
> wegen dieser kleinen Aufgabe genau den genannten Apparat verwenden, um
> auf das Ergebnis zu kommen.

Wie sich die Zeiten doch ändern.
Früher hätte man nach der Divisions-Homepage gegoogelt.

> Da frage ich mich doch (oder sollte doch mal "hinterfragend", als poly-
> technisch ausgebildeter Otto Normalverbraucher:
>
> "Stimmt denn eigentlich das Ergebnis, was denn da die Technik den Otto
>  Normalverbraucher anbietet ?".
>
> Folgende 1. Gleichung:
>
>  50 : 3 = 15   Probe: 15 mal 3 ergibt 45, diese -45 unter der 50
> -45
> =====
>   50   :3      Wie man hier schon sehenen kann: Periode, denn
>  -45   = 1.5
>  ====
>    50  :3
>   -45  = 0.15 ...
>
> Wir setzen nun also ein:     15 + 1.5 + 0.15 + 0.015 ...
>                                  _
> ergibt nach meiner Rechnung: 16.55...
> also grob gerundet: 16,6

Das kann ich grade noch:
Du bist beim Addieren mit den Spalten verrutscht:

15 + 1.5 + 0.15 + 0.015 ...
=
15 +
01.5 +
00.15 +
00.015 +
...
=
16.66...
_
= 16.6

> Woher weiß der Computer, wo er aufhören muss, um zu checken,
> das eine Periode vorliegt.

In Deiner Rechnung bleiben immer 5 als Rest übrig.

Wenn, so wie in deinem Beispiel die Zahl 5, beim Berechnen des
Ergebnisses ein Rest auftritt, der irgendwann vorher schon mal da war,
liegt eine Periode vor.

Die Frage nach der Ziffernfolge der Periode und bei welcher Stelle des
Ergebnisses zum erstenmal die Ziffernfolge der Periode beginnt, ist eine
andere Frage als die Frage, ob eine Periode vorliegt.

Du hast da übrigens etwas Nettes gefunden, nämlich eine Darstellung des
Ergebnisses der Division in der Form

lim_{k -> oo}{ Summe_{m=1..k} { 150 * 10^(-m)} }

Also ein Fall einer Darstellung des periodischen Ergebnisses einer
Division in der Form

lim_{k -> oo}{ Summe_{m=1..k} { x * b^(-m)} } ; x, b in N

Spaßfragen:

Beispielsweise ist, wenn ich mich nicht verrechnet habe,
2:5 = 0.4 = lim_{k -> oo}{ Summe_{m=1..k} { 960 * 2401^(-m)} }
= lim_{k -> oo}{ Summe_{m=1..k} { 4 * 11^(-m)} }

- Kann man jedes Divisionsergebnis bzw jede rationale Zahl in dieser Form
darstellen?
- (Wie) Kann man alle Darstellungen eines Divisionsergebnisses/einer rationalen
Zahl in dieser Form berechnen?


Mit freundlichem Gruß

Ulrich

Juergen Ilse

unread,
Jul 12, 2022, 10:21:14 PMJul 12
to
Hallo,

paule32 <paule...@gmail.com> wrote:
> gestellt ist die Aufgabe: 50 (fünfzig) dividiert durch 3 (drei).
> Der Taschenrechner-Beftragte (oder die neumodischen, mobilen Sende und
> Empfangsstattionen; hier genannte als mobile Telefone) würden gerade
> wegen dieser kleinen Aufgabe genau den genannten Apparat verwenden, um
> auf das Ergebnis zu kommen.
>
> Da frage ich mich doch (oder sollte doch mal "hinterfragend", als poly-
> technisch ausgebildeter Otto Normalverbraucher:
>
> "Stimmt denn eigentlich das Ergebnis, was denn da die Technik den Otto
> Normalverbraucher anbietet ?".
>
> Folgende 1. Gleichung:
>
> 50 : 3 = 15 Probe: 15 mal 3 ergibt 45, diese -45 unter der 50

Es sollte 16 ein, denn auch 16*3=48 ist nochh kleinerals 59 ...

> -45
> =====
> 50 :3 Wie man hier schon sehenen kann: Periode, denn
> -45 = 1.5
> ====
> 50 :3
> -45 = 0.15 ...
>
> Wir setzen nun also ein: 15 + 1.5 + 0.15 + 0.015 ...
> _
> ergibt nach meiner Rechnung: 16.55...

Nein, das ergibt16,666666...
Beachte, dass 16,5+0,15=16.65; 16.65+0.015=16,665; ...
Gesamtergebnis also 16.66666666...

> also grob gerundet: 16,6

Nein, 16,7

> Gebe ich diese Aufgabe in einen Taschenrechner, der zum Beispiel
> auch unter Windows zu finden ist,
> bekomme ich als Ergebnis:
> _
> 16.66... oder gerundet : 16.67
>
> grob gerechnet ergibt das dann: 16.7 !!!

DerTaschenrechner haat recht.

> wo sind denn dann diese 0.1 Einheiten geblieben ?

Du hast dich verrechnet.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Ulrich D i e z

unread,
Jul 13, 2022, 3:14:47 AMJul 13
to
Juergen Ilse schrieb:

> paule32 <paule...@gmail.com> wrote:
>> gestellt ist die Aufgabe: 50 (fünfzig) dividiert durch 3 (drei).
>> Der Taschenrechner-Beftragte (oder die neumodischen, mobilen Sende und
>> Empfangsstattionen; hier genannte als mobile Telefone) würden gerade
>> wegen dieser kleinen Aufgabe genau den genannten Apparat verwenden, um
>> auf das Ergebnis zu kommen.
>>
>> Da frage ich mich doch (oder sollte doch mal "hinterfragend", als poly-
>> technisch ausgebildeter Otto Normalverbraucher:
>>
>> "Stimmt denn eigentlich das Ergebnis, was denn da die Technik den Otto
>> Normalverbraucher anbietet ?".
>>
>> Folgende 1. Gleichung:
>>
>> 50 : 3 = 15 Probe: 15 mal 3 ergibt 45, diese -45 unter der 50
>
> Es sollte 16 ein, denn auch 16*3=48 ist nochh kleinerals 59 ...

Wenn man nicht Stellen des Ergebnisses direkt hinschreiben will, wie man
es in der Schule lernt, sondern ganzzahlige und nicht-ganzzahlige Vielfache
des Dividenden aufsummieren, muss man nicht mit dem größen Vielfachen des
Dividenden anfangen, das kleiner als der Divisor ist.

Im Prinzip ist das dann das selbe wie das folgende:

50:3 =
(45 + 5):3 =
45:3 + 5:3 =
15 + 5:3 =
15 + (50:3):10

Lässt man die Zwischenschritte weg, sticht eine Art Rekursion ins Auge:

50:3 = 15 + (50:3):10

Der Term der linken Seite steht auch auf der rechten Seite, kann also
rekursiv in sich selbst eingesetzt werden:

50:3 = 15 + (50:3):10
= 15 + (15 + (50:3):10):10 =
= 15 + 1.5 + (50:3):100 =
= 15 + 1.5 + (15 + (50:3):10):100 =
= 15 + 1.5 + 0.15 + (50:3):1000 =
= 15 + 1.5 + 0.15 + 0.015 + (50:3):10000
= ...

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

Ulrich D i e z

unread,
Jul 13, 2022, 3:22:11 AMJul 13
to
Ich schrieb:

> Wenn man nicht Stellen des Ergebnisses direkt hinschreiben will, wie man
> es in der Schule lernt, sondern ganzzahlige und nicht-ganzzahlige Vielfache
> des Dividenden aufsummieren, muss man nicht mit dem größen Vielfachen des
> Dividenden anfangen, das kleiner als der Divisor ist.

Jetzt hab ich es natürlich geschafft, Divisor und Dividend zu verwechseln:

Wenn man nicht Stellen des Ergebnisses direkt hinschreiben will, wie man
es in der Schule lernt, sondern ganzzahlige und nicht-ganzzahlige Vielfache
des Divisors aufsummieren, muss man nicht mit dem größen Vielfachen des
Divisors anfangen, das kleiner als der Dividend ist, sondern kann auch
mit kleineren Vielfachen des Divisors anfangen, das kleiner als der
Dividend sind.

Stefan Schmitz

unread,
Jul 13, 2022, 3:45:12 AMJul 13
to
Am 13.07.2022 um 03:52 schrieb Ulrich D i e z:

> Du hast da übrigens etwas Nettes gefunden, nämlich eine Darstellung des
> Ergebnisses der Division in der Form
>
> lim_{k -> oo}{ Summe_{m=1..k} { 150 * 10^(-m)} }
>
> Also ein Fall einer Darstellung des periodischen Ergebnisses einer
> Division in der Form
>
> lim_{k -> oo}{ Summe_{m=1..k} { x * b^(-m)} } ; x, b in N
>
> Spaßfragen:
>
> Beispielsweise ist, wenn ich mich nicht verrechnet habe,
> 2:5 = 0.4 = lim_{k -> oo}{ Summe_{m=1..k} { 960 * 2401^(-m)} }
> = lim_{k -> oo}{ Summe_{m=1..k} { 4 * 11^(-m)} }

Das sind geometrische Reihen, bei denen das erste Glied fehlt.

> - Kann man jedes Divisionsergebnis bzw jede rationale Zahl in dieser Form
> darstellen?

Ja. Es ist für ganze Zahlen a und b
Summe_{m=1..oo} { a * b^(-m)} }
= a * Summe_{m=1..oo} { (1/b)^(m)} }
= a * [ Summe_{m=0..oo} { (1/b)^(m)} } - 1]
(die geometrische Reihe konvergiert, weil |1/b|<1)
= a * [ ( 1 / ( 1 - 1/b ) ) - 1]
= a * [ (b / (b-1) ) - 1 ]
= a * [ (b/(b-1)) - ((b-1)/(b-1))]
= a * [1 / (b-1)]

Damit kannst du jeden Bruch c/d darstellen als
c/d = Summe_{m=1..oo} { c * (d+1)^(-m)} }

> - (Wie) Kann man alle Darstellungen eines Divisionsergebnisses/einer rationalen
> Zahl in dieser Form berechnen?

Mit Erweitern (und evtl. Kürzen) des Bruches kannst du beliebig viele
andere Darstellungen ereichen. Deine Beispiele nutzen aus, dass 2:5 =
4:10 = 960:2400

paule32

unread,
Jul 13, 2022, 6:27:23 AMJul 13
to
Hallo,

großes Dankeschön an Alle !

paule32

Ulrich D i e z

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Jul 13, 2022, 1:35:46 PMJul 13
to
Stefan Schmitz schrieb:
Der Diskussionsfaden hat mich an meine Schulzeit erinnert.

Zu Schulzeiten wurde im Matheunterricht in Zusammenhang mit geometrischen
Reihen mal die Sache mit den periodischen Darstellungen nochmal aufgegriffen,
und damals wurde gefragt, ob sich zu jedem Bruch, der sich nicht zu einer
ganzen Zahl kürzen lässt, Stellenwertsysteme finden lassen, in denen
seine Darstellung ab der ersten Stelle hinter dem Komma mit der selben
Ziffer periodisch ist.

Ich habe damals - abgesehen davon, dass ich die Variablen anders benannt
hatte - argumentiert, dass jeder solche Bruch sich als die (ggfs mit -1
multiplizierte) Summe einer ganzen Zahl und eines Bruchs der Form c/d mit
c,d in N und c < d darstellen lässt, und dass wiederum die Darstellung eines
Bruchs c/d mit c,d in N und c < d im Stellenwertsystem zur Basis (d+1) ab
dem Stellenwertkomma mit der von 0 verschiedenen Ziffer c periodisch ist...

Für die Begründung des Letzteren habe ich damals ein wenig verschwurbelter
im Prinzip das hingeschrieben, was Du in Deiner Antwort geschrieben hast. ;-)



Eine vielleicht lustigere Frage wäre damals gewesen, wie sich ggfs zu einem
Bruch Stellenwertsysteme finden lassen, in denen seine Darstellung, _inklusive_
dem Ganzzahl-Anteil, aus einer sich periodisch wiederholdenden Ziffersequenz
besteht.
__
Also etwa {64/5}_{10} = {12.8}_{10} = {30.30}_{4}

Mit Dank und freundlichem Gruß

Ulrich
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