Lese-Empfehlungen zum Thema Mengenlehre

[Rainer Rosenthal]

Am 06.04.2023 um 12:41 schrieb Fritz Feldhase:
>
> Halmos' Buch "Naive Mengenlehre" ist zwar recht bekannt, ich fand es
aber nie so besonders.
>
> Mein aktueller Favorit ist ein Buch, das m. E. gar nicht so "bekannt"
ist:
>
> D. Van Dalen, H. C. Doets, H. De Swart: "Sets: Naïve, Axiomatic and
Applied: A Basic Compendium with Exercises for Use in Set Theory for Non
Logicians, Working and Teaching Mathematicians and Students"
>
> Tolles Buch.
https://www.amazon.com/Sets-Axiomatic-Compendium-Exercises-Mathematicians/dp/1483117979
>
> D. van Dalen ist sogar mehr als nur "ein wenig" bekannt. 😄
> https://de.wikipedia.org/wiki/Dirk_van_Dalen

Danke für die Lese-Empfehlung.
Im Vorwort (Seite xi, Mitte) bin ich über einen unvollständigen Satz mit
Schreibfehler gestolpert:
"We will stick to the set theoretical universe cosist of?"

Daraufhin bin ich durch die Zeilen davor mit genauerem Blick gegangen,
um zu schauen, ob ich den Schlüssel zum Verständnis dieser Konstruktion
dort finde. Das war zwar nicht erfolgreich, aber doch interessant, weil
ich mich mit den Begriffen "intensional" und "extensional" etwas
vertraut machen musste.

Die Lösung des Rätsels liegt aber nicht in den Zeilen davor, sondern
kommt kurz danach. Da findet sich nämlich der Satz:
"In other words: what does the set theoretical universe consist of?"
Da ist "consist" richtig geschrieben, und es handelte sich an der Stelle
darüber offenbar um einen Flüchtigkeitsfehler beim abschließenden Editieren.

Natürlich wird WM nicht in dies Buch hineinschauen, aber würde sich
vielleicht freuen, dass der Autor mit Slogans wie "Everything is a set"
nicht glücklich ist. Auch die Verkürzung der Begriffe "Funktion",
"Abbildung", "Zuordnung", "Korrespondenz" zu "Menge der Paare (Argument,
Wert)" gefällt ihm nicht, und er schreibt dazu:
"Through experience we learnt ... it was sufficient to know all pairs
(input, output)! From then on the course of things was reversed: the
correspondence-concept was suppressed and a function was nothing but a
set of ordered pairs (a graph). One can put a label on this phenomenon:
replacement of /intension/ by /extension/."

Gruß,
RR

[Fritz Feldhase]

Ja, über diesen Druckfehler bin ich auch gestolpert. Aber m. E. (im Vorwort des Buchs) nicht weiter schlimm, denke ich (auch wenn es mich gestört hat). Im eigentlichen Text ist mir aber bis jetzt nichts mehr Vergeichbares aufgefallen. (Ein kleiner Lapsus befindet sich allerdings z. B. auf S. 17.)

Ich habe in meinem Exemplar des Werks den Satz jetzt wie folgt "korrigiert":

| "We will stick to a system called ZF."

Unmittelbar davor steht nämlich der Satz:

"| In mathematics, several axiom systems for set theory are in use."

Es heißt dann also bei mir:

| "In mathematics, several axiom systems for set theory are in use. We will stick to a system called ZF."

M. E. legt der Kontext diese Korrektur nahe.

> Natürlich wird WM nicht in dies Buch hineinschauen,

Natürlich nicht.

> aber würde sich vielleicht freuen, dass der Autor mit Slogans wie "Everything is a set"
> nicht glücklich ist.

<Achselzuck> I c h jedenfalls war mit der diesbezüglichen Ansicht des Autors NICHT glücklich - was natürlich den Wert des Buchs in keiner Weise schmälert (denn derartige Ansichten sind für die mathematische Behandlung der /Mengenlehre/ völlig irreleant).

(Aber d a s ist ein anderes Thema.)

> Auch die Verkürzung der Begriffe "Funktion",
> "Abbildung", "Zuordnung", "Korrespondenz" zu "Menge der Paare (Argument,
> Wert)" gefällt ihm nicht, und er schreibt dazu:
>
> "Through experience we learnt ... it was sufficient to know all pairs
> (input, output)! From then on the course of things was reversed: the
> correspondence-concept was suppressed and a function was nothing but a

> set of ordered pairs (a graph). [...]"

Tja, das Leben ist hart. :-P

Aber mal im Ernst: Wenn man es "anders rum" haben möchte, dann sollte man sich einmal mit (der) Kategorientheorie beschäftigen.

[Fritz Feldhase]

On Friday, April 7, 2023 at 2:22:18 AM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:

> Ein kleiner Lapsus befindet sich allerdings z. B. auf S. 17.

Um die Spannung nicht ins Unermessliche wachsen zu lassen: es heißt dort:

| Prove: A - B c= C <-> B - C c= A ,

es müsste aber wohl heißen:

| Prove: A - B c= C <-> A - C c= B .

Wie kann man das zeigen? Man finde ein Gegenbeispiel für A - B c= C <-> B - C c= A und beweise im Gegenzug A - B c= C <-> A - C c= B.

[Jens Kallup]

Hallo Rainer,

ohne jetzt da genauer hingeschaut zu Haben - aber da könnte
doch einmal "consists off" (existiert, besteht aus) aber auch
"coexists off" (beiläufig, nebensächlich).

Also könnten zwei Fehler existieren:

- 1x cosists mit:
- 1x co(ex)sits mit:
- 1x off, und:

- 1x co(n)sits mit:
- 1x off

O: We will stick to the set theoretical universe conexist of ?
O: We will stick to the set theoretical universe consist of ?

T: Können wir diese theoretische Denkweise jemals begreifen können ?
T: Wir werden diesen Gedankengang wohl nicht zu Ende denken können ?
T: Wir werden wahrscheinlich diesen Umstand sicherlich nicht ändern
können ?

Legende:
O = mögliches => (O)riginal.
T = mögliche Übersetzung => (T)ranslate

Jens

--
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[Martin Vaeth]

Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> wrote:
> Am 06.04.2023 um 12:41 schrieb Fritz Feldhase:
> >
> > Mein aktueller Favorit ist ein Buch, das m. E. gar nicht
> > so "bekannt" ist

Das m.E. beste Buch über Mengenlehre:

Thomas J. Jech, Set Theory, 2nd edition, 1997, Springer.

Deckt auf 634 Seiten wirklich alles ab: Von der Einführung (Ordinal-
und Kardinalzahlen), über Gödel's konstruktives Universum (das die
Konsistenz der großen Kontinuumshypotheses und AC beweit), bis hin
zu Forcing und die zugehörigen Modelle, in denen die
Kontinuumshypothese bzw. AC verletzt werden, einschließlich
Solovay's Modell.

> > D. van Dalen ist sogar mehr als nur "ein wenig" bekannt.
> > https://de.wikipedia.org/wiki/Dirk_van_Dalen

Ich kenne ihn nicht, und der Beschreibung nach scheint er ein
Vertreter von Brouwers Intuitionismus zu sein, was ihn nicht
unbedingt zu einem guten Autor eines Buches über Axiomatik
prädestinieren würde. Aber es kann auch sein, dass er nur ein
Kenner (nicht ein Vertreter) des Intuitionismus ist und daher
verschiedene Aspekte in dem Buch erwähnt: Solange verschiedene
Meinungen und Erklärungen klar getrennt sind, kann das sehr
hilfreich sein.

> Natürlich wird WM nicht in dies Buch hineinschauen, aber
> würde sich vielleicht freuen, dass der Autor mit Slogans
> wie "Everything is a set" nicht glücklich ist.

Das scheint meinen obigen Verdacht zu bestätigen, aber wie
gesagt: Wenn Meinungen und Definitionen jeweils klar
erkenntlich sind, kann das durchaus sehr hilfreich sein.

> Auch die Verkürzung der Begriffe "Funktion", "Abbildung",
> "Zuordnung", "Korrespondenz" zu "Menge der Paare (Argument,

> Wert)" gefällt ihm nicht.

Dazu gibt es wirklich viel zu sagen, aber wenn das von
Dir zitierte i.W. alles ist, was er sagt, scheint mir das
Buch extrem einseitig zu sein, indem es die sensationelle
Bedeutung dieses Schritts verkennt:

Selbstverständlich muss man erwähnen, dass man intuitiv
eine Funktion nicht als ihren Graphen (also die Menge
der Punkte des Graphen) versteht, und dass das historisch
auch nicht so war. Es ist eben ein gewaltiger Durchbruch
gewesen, zu erkennen, dass jede gegebene Funktion sich
durch Formalisierung als eine Menge wiederfindet,
und dass sich dementsprechend jeder noch so vage
Funktionsbegriff in der Mengenlehre wiederspiegelt,
ja wiederspiegeln *muss*.

Die Axiomatik der Mengenlehre legt damit eben implizit
fest, welche Funktionen es überhaupt gibt bzw. geben kann.
Die Definition der Funktion *als* ihren Graph ist dann
eben logisch der einzige Schritt, der mögliche Widerprüche
zwischen einer "intuitiven" Funktion und der Axiomatik
beseitigen kann, und ist insofern schon (historisch und
logisch) als Sensation anzusehen.

Die Bedeutung kann man auch heute noch sehen: Man frage
einmal einen (guten) Mathematikstundenten nach der
Definition einer Funktion. *Natürlich* wird er
(falls er nicht vorher die moderne Definition in
einer Vorlesung gehört oder einem Buch gelesen hat)
irgendetwas von "Zuordnung" reden, aber eben nicht
in der Lege sein, eine gute formale Definition zu geben.

Diese historische Leistung herunterzuspielen, steht
einem Buch über Mengenlehre m.E. nicht gut.

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Donnerstag, 6. April 2023 um 23:34:50 UTC+2:
> Am 06.04.2023 um 12:41 schrieb Fritz Feldhase:

> > D. Van Dalen, H. C. Doets, H. De Swart: "Sets: Naïve, Axiomatic and
> Applied: A Basic Compendium with Exercises for Use in Set Theory for Non
> Logicians, Working and Teaching Mathematicians and Students"

> Das war zwar nicht erfolgreich, aber doch interessant, weil
> ich mich mit den Begriffen "intensional" und "extensional" etwas
> vertraut machen musste.

Da ist es kein Wunder, dass Du meine Kritik der Mengenlehre nicht verstehst. Alle natürlichen Zahlen lassen sich intensional anwenden. Man sagt einfach für alle n in |N: f(n) und ist fertig. Extensional muss man sie aufzählen. Und das geht nur für wenige.

> Natürlich wird WM nicht in dies Buch hineinschauen,

Ich hatte mehrfach private Korrespondenz mit Dirk van Dalen, der Dokumente zum Krieg der Frösche und der Mäuse (über die Hilbertsche Misshandlung Brouwers) geliefert hat, z. B. für Kalenderblatt 110314 https://groups.google.com/g/de.sci.mathematik/c/3JjOXikWN9Q/m/K_Le4GbivGkJ

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

1. Zeige A - B c= C <-> A - C c= B.
Ich verwende "n" für die Schnittoperation
und "/" für die Komplementbildung:

Die Differenz der Mengen X und Y ist X - Y = X n /Y.
X ist Teilmenge von Y (X c= Y) genau dann, wenn X n /Y = {}.

A - B c= C ist äquivalent zu A n /B n /C = {}.
A - C c= B ist äquivalent zu A n /C n /B = {}.
Die Klammern konnte ich weglassen wegen der Assoziativität von "n".
Wegen der Transitivität der Äquivalenzrelation und Gleichheit von
A n /B n /C und A n /C n /B (weil "n" kommutativ ist) gilt die
gefragte Äquivalenz A - B c= C <-> A - C c= B.


2. Gegenbeispiel zu A - B c= C <-> B - C c= A.

A = {1}, B = {2,3}, C = {3}.

A - B = { } c= {3} = C ist wahr.
B - C = {2} c= {1} = A ist falsch.

Gruß,
RR

[Rainer Rosenthal]

Am 07.04.2023 um 12:54 schrieb Ganzhinterseher:
>
> Da ist es kein Wunder, dass Du meine Kritik der Mengenlehre nicht verstehst.

Ich verstehe Dich sehr wohl:
[WM5] ℵo = |ℕ| ist zwar richtig, aber gleich sind die beiden nicht.
[WM6] Es gibt nur ein ℵo, aber es hat durchaus verschiedene Größe.

Kritik auf dieser Basis ist leicht zu verstehen: Schwindel und Angeberei.

Gruß,
RR

[Martin Vaeth]

Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> schrieb:

>
> 1. Zeige A - B c= C <-> A - C c= B.
> Ich verwende "n" für die Schnittoperation
> und "/" für die Komplementbildung:

Komplementbildung ist keine wohldefinierte Operation für
allgemeine Mengen. So allgemeine Beziehungen über Mengen
beweist man normalerweise durch Betrachtung der Elemente:

Voraussetzung: A - B Teilmenge C. Behauptung: A - C Teilmenge B.
Beweis der Behauptung: Sei a aus A ohne C. Dann ist a aus A und
nicht in C. Wäre a nicht in B, so wäre a aus A - B, nach
Voraussetzung also in C, ein Widerspruch. Also liegt a in B.

Die umgekehrte Implikation ist die selbe, nur mit vertauschten
Namen B und C.

[Rainer Rosenthal]

Am 07.04.2023 um 16:20 schrieb Martin Vaeth:
>
> Komplementbildung ist keine wohldefinierte Operation für
> allgemeine Mengen. So allgemeine Beziehungen über Mengen
> beweist man normalerweise durch Betrachtung der Elemente:
>

> Sei a aus A ohne C. Dann ist a aus A und nicht in C.

Mit Komplement ist es eleganter.
Nimm "a aus A n /C" für "a ist aus A und nicht in C".
Mir scheint der Hinweis hier so hilfreich wie der Hinweis, dass man beim
Addieren von Geschwindigkeiten relativistische Effekte nicht außer Acht
lassen solle. Und es lässt sich auch prächtig umständlich machen, wenn
ich erst einmal den Komplementoperator definiere, indem ich ihn auf eine
Allmenge ALL beziehe, sie die Vereinigung aller von mir betrachteten
Mengen A, B und C ist. Was ist damit gewonnen?

Fragt
Rainer

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 7. April 2023 um 15:43:40 UTC+2:
> Am 07.04.2023 um 12:54 schrieb Ganzhinterseher:
> >
> > Da ist es kein Wunder, dass Du meine Kritik der Mengenlehre nicht verstehst.
> Ich verstehe Dich sehr wohl:

Nein, Du bist dazu nicht in der Lage. Andernfalls hättest Du meine Bemerkung kritisiert oder akzeptiert und damit verstanden weshalb Abzählbarkeit für unendlichen Mengen ein sinnloser Begriff ist.

> [WM5] ℵo = |ℕ| ist zwar richtig, aber gleich sind die beiden nicht.
> [WM6] Es gibt nur ein ℵo, aber es hat durchaus verschiedene Größe.
>
> Kritik auf dieser Basis ist leicht zu verstehen:

Nicht einmal diesen einfachen Zusammenhang kannst Du verstehen: Zwei Ameisenhaufen mit Populationen von 72499 und 83377 Tieren haben beide viele Tiere. Und zusammen sind es auch viele Tiere.

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Am 07.04.2023 um 16:44 schrieb Ganzhinterseher:
>> [WM5] ℵo = |ℕ| ist zwar richtig, aber gleich sind die beiden nicht.
>> [WM6] Es gibt nur ein ℵo, aber es hat durchaus verschiedene Größe.
>

> Nicht einmal diesen einfachen Zusammenhang kannst Du verstehen: Zwei Ameisenhaufen mit Populationen von 72499 und 83377 Tieren haben beide viele Tiere. Und zusammen sind es auch viele Tiere.
>

Erklärungen sollten so einfach wie möglich sein.
Aber nicht noch einfacher.

Gruß,
RR

[Martin Vaeth]

Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> schrieb:
>
> Mit Komplement ist es eleganter. [...]

> Und es lässt sich auch prächtig umständlich machen, wenn
> ich erst einmal den Komplementoperator definiere, indem ich ihn auf eine
> Allmenge ALL beziehe, sie die Vereinigung aller von mir betrachteten
> Mengen A, B und C ist.

Um diese Argumentation vollständig zu machen, musst Du dann noch
nachweisen, dass diese Definition der Komplementärmenge für den
Beweis ausreicht (insbesondere für die Äquivalenzen, die Du ja
letztlich auch nur ohne Beweis behauptet) - letztlich musst Du diese
wieder elementweise machen, wenn Du den Beweis formal korrekt machen
willst. Natürlich ist das alles trivial, aber das war ja auch schon
die ursprüngliche Behauptung...

> Was ist damit gewonnen?

Ein formaler Beweis in Z, der mit der Komplementärmenge eben nicht
in Z möglich ist.
Wie gesagt: Die ursprüngliche Behauptung "sieht" man ja sowieso,
und es geht in der Aufgabe nur um einen formalen Beweis. Es mit
der Komplementärmenge "noch" plausibler zu machen, ist alleine halt
kein solcher.

[Rainer Rosenthal]

Am 07.04.2023 um 18:56 schrieb Martin Vaeth:

> Wie gesagt: Die ursprüngliche Behauptung "sieht" man ja sowieso,
> und es geht in der Aufgabe nur um einen formalen Beweis.

Das mit dem "sieht man ja sowieso" ist so eine Sache.
Da ich in der Web-Vorschau vom Buch nur das Vorwort und dann bis Seite 2
lesen konnte, fehlte mir die Definition von "A - B" für diese
Übungsaufgaben auf Seite 17. Ich dachte zuerst, es ginge um die
symmetrische Differenz. Entsprechende Beweisversuche haben meine
Hirnwindungen etwas verbogen, bis ich es dann mit der normalen Differenz
"A \ B" probiert habe. Und dann wollte ich natürlich einen Knopf dranmachen.

Beim Versuch, A - B c= C <-> A - C c= B mit der Interpretation
"symmetrische Differenz" kam ich nur bis zum Beweis von

A - B c= C -> A n (A - C) c= B

und merkte dann, dass ich es besser mit der einfachen Differenz
probieren sollte.

Gruß,
RR

[Rainer Rosenthal]

Am 07.04.2023 um 12:54 schrieb Ganzhinterseher:

(unter Weglassung meines Zitats)

"Through experience we learnt ... it was sufficient to know all pairs
(input, output)! From then on the course of things was reversed: the
correspondence-concept was suppressed and a function was nothing but a
set of ordered pairs (a graph). One can put a label on this phenomenon:
replacement of /intension/ by /extension/."

> Alle natürlichen Zahlen lassen sich intensional anwenden. Man sagt einfach für alle n in |N: f(n) und ist fertig. Extensional muss man sie aufzählen. Und das geht nur für wenige.
>

Wieder mal hirnfreier Blödsinn, wie üblich.

Ich habe van Dalens Satz eigentlich als wertfreie Beobachtung
verstanden, vielleicht mit einem kleinen bedauernden Unterton. Ganz im
Gegensatz dazu hat Martin Vaeth diese Wendung in der Betrachtung des
Funktionsbegriffs als großen Schritt nach vorne bezeichnet. Ich finde
das sehr interessant. Was könnte denn Dirk van Dalen gemeint haben, was
ihm da verloren gegangen ist?

> Ich hatte mehrfach private Korrespondenz mit Dirk van Dalen, der Dokumente zum Krieg der Frösche und der Mäuse (über die Hilbertsche Misshandlung Brouwers) geliefert hat.

Schreib' ihm doch nochmal. Er freut sich vielleicht über inhaltliche
Nachfragen statt Nachfragen zu Klatsch und Tratsch. Aber streng Dich ein
bisschen an, damit er Deinen Quatsch (s.o.) nicht gleich in den
SPAM-Ordner kübelt :-)

Gruß,
RR

[Dieter Heidorn]

Rainer Rosenthal schrieb:

Er ist aber nun einmal der Große Simplifikator. Unendliche Mengen und
den Umgang mit ihnen vereinfacht er bekanntlich so, dass alle
Eigenschaften endlicher Mengen auch bei unendlichen Mengen gelten
sollen. Wenn's mal nicht passt, dann werden - schwupp-di-wupp -die
"dunklen Zahlen" aus dem Hut gezaubert, die dann (für ihn) alles passend
machen.

Genauso ist sein Umgang mit ℵ0 zu werten. ℵ0 bedeutet in Mückenhausen
nur so etwas wie "ganz furchtbar schrecklich viel" - und das kann alles
Mögliche bedeuten. Das macht den so aufgeweichten Begriff "ℵ0" dann
nützlich für die Mückematik. Irgendwann meine ich bei ihm gelesen zu
haben, dass er sich dabei auf Cantor beruft - kann jetzt aber keinen
Beleg mehr dafür finden. Wie auch immer: Man kann ja bei Cantor
nachschlagen, was dieser dazu gesagt hat ("Gesammelte Abhandlungen",
S.292ff):

|" $6. Die kleinste transfinite Kardinalzahl Alef-null.
|
| Die Mengen mit endlicher Kardinalzahl heißen 'endliche Mengen', alle
| anderen wollen wir 'transfinite Mengen' und die ihnen zukommende
| Kardinalzahl (§1) 'Alef-null', in Zeichen ℵ0, definieren also
|
| ℵ0 = |ℕ|. (1) [Schreibweise der heutigen angepasst]
|
| Daß ℵ0 eine transfinite Zahl, d.h. keiner endlichen Zahl µ gleich
| ist, folgt aus der einfachen Tatsache, daß, wenn zu der Menge ℕ ein
| neues Element e_0 hinzugefügt wird, die Vereinigungsmange {ℕ,e_0} der
| ursprünglichen ℕ äquivalent ist. Denn es lässt sich zwischen beiden
| die gegenseitig eindeutige Beziehung denken, wonach dem Elemente e_0
| der ersten das Element 1 der zweiten, dem Element ν der ersten das
| Element ν+1 der andern entspricht. Nach $3 haben wir daher
|
| ℵ0 + 1 = ℵ0 . (2)
|
| In §5 wurde aber gezeigt, daß (für endliches µ) µ+1 stets von µ
| verschieden ist, daher ist ℵ0 keiner endlichen Zahl µ gleich.
|
| Die Zahl ℵ0 ist größer als jede endliche Zahl µ:
|
| ℵ0 > µ . (3)
|
| [...] Andrerseits ist ℵ0 die kleinste transfinite Kardinalzahl."

Aber genaue Definitionen haben in der Mückematik bekanntlich nichts zu
suchen...

Dieter Heidorn

[Rainer Rosenthal]

Am 07.04.2023 um 19:58 schrieb Dieter Heidorn:
> Rainer Rosenthal schrieb:

>>
>> Erklärungen sollten so einfach wie möglich sein.
>> Aber nicht noch einfacher.
>
> Er ist aber nun einmal der Große Simplifikator. Unendliche Mengen und

> den Umgang mit ihnen vereinfacht er bekanntlich so, dass ...

Ja, "bekanntlich" trifft es sehr genau.

Wie auch bekannt ist, versuche ich, mich dem Blabla des Hochstaplers WM
rational zu nähern. Seine unterirdische "Begründung" für seine abwegigen
Behauptungen über Aleph_0 mit der zweimal richtig gehenden, wenngleich
stehenden Uhr, oder das "viele"-Gequassel kann man auch ganz freundlich
als "schlicht" oder "einfach" bezeichnen, und dann löst sich der Ärger
auf, weil es dazu ein geistreiches Zitat gibt, das Einstein
zugeschrieben wird. Es passt so prima, dass die Freude über die
Passgenauigkeit den Ärger über das Großmaul kompensiert.

Gruß,
RR

[Fritz Feldhase]

On Friday, April 7, 2023 at 4:58:36 AM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:
>
> Ein kleiner Lapsus befindet sich allerdings z. B. auf S. 17. [...]
>
> Es heißt dort:

>
> | Prove: A - B c= C <-> B - C c= A ,
>
> es müsste aber wohl heißen:
>
> | Prove: A - B c= C <-> A - C c= B .
>
> Wie kann man das zeigen? Man finde ein Gegenbeispiel für A - B c= C <-> B - C c= A und beweise im Gegenzug A - B c= C <-> A - C c= B.

Ok. Ein einfaches Gegenbeispiel liefert A = C = { } und B = {0} (mit 0 := { }).

Dann ist A - B = { } und damit A - B c= C. Andereseits ist B - C = {0} und damit B - C !c= A.

Nun ein Beweis für A - B c= C <-> A - C c= B.

Hier brauchen wir nur "eine Richtung" (der Aquivalenz) zu beweisen, da dann "aus Symmetriegründen" auch die andere Richtung gilt.

Es gelte A - B c= C und a e A - C. Dann gilt (per def vonn -) a e A und a !e C. Angenommen es würde nun a !e B gelten. Dann würde also a e A und a !e B gelten, mithin also (per def von -) a e A - B. Damit gilt wegen der Voraussetzung A - B c= C: a e C. Widerspruch! Es gilt also a e B.

Die nötigen Zwischenschritte und Ergänzungen sind offensichtlich und sollten klar sein. Z. B. dass aus A - B c= C folgt: Ax(x e A - B -> x e C). Und daraus durch Spezialisierung a e A - B -> a e C. Eine Anwendung des Modus Ponens liefert dann aus a e A - B -> a e C und a e A - B: a e C.

[Fritz Feldhase]

On Friday, April 7, 2023 at 12:54:38 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> Rainer Rosenthal schrieb am Donnerstag, 6. April 2023 um 23:34:50 UTC+2:
> >
> > Natürlich wird WM nicht in dies Buch hineinschauen,
> >

> Ich hatte mehrfach private Korrespondenz mit Dirk van Dalen, der Dokumente zum Krieg der Frösche und der Mäuse [...] geliefert hat [...]

Mückenheim, es ging hier nicht darum um Du Dirk van Dalen kennst bzw. mit ihm korrespondiert hast, sondern um die Frage, ob Du das oben erwähnte Buch "gelesen" (bzw. vielmehr "durchgearbeitet") hast. Ich vermute (mit RR) "eher NEIN".

[Fritz Feldhase]

On Friday, April 7, 2023 at 7:37:43 PM UTC+2, Rainer Rosenthal wrote:

> und merkte dann, dass ich es besser mit der einfachen Differenz probieren sollte.

Ja. Besser ist es.

Nachdem das ja nun jetzt was ziemlich Einfaches war ... hätte ich da auch noch etwas "Anspruchsvolleres", das aber gleichwohl sehr _elementar_ ist. Also zur gleichen Kategorie von Aussagen gehört wie die schon erwähnte Aufgabe. Ich fand sowohl den Satz an sich als auch die damit verbundenen Assoziationen/Überlegungen interessant. Am Ende habe ich es dann zwar auch "gesehen" - aber es hat doch ein klein wenig gedauert, bis es bei mir soweit war.

Erst mal die "Pflicht", die "Kür" kommt danach.

Prove: (A u B) n (B u C) n (C u A) = (A n B) u (B n C) u (C n A) .

Auch ziemlich trivial, klar. Aber danach wird es etwas interessanter, finde ich. :-)

[Martin Vaeth]

Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com> schrieb:

>
> Erst mal die "Pflicht", die "Kür" kommt danach.
>
> Prove: (A u B) n (B u C) n (C u A) = (A n B) u (B n C) u (C n A) .

Man beweist das Distributivgesetz (A u B) n C = (A n C) u (B n C)
(oder kennt es bereits) sowie die Kommutativgesetze für u und n und
"multpliziert aus".

In diesem Zusammenhang eine Frage, die mir schon länger im
Hinerkopf herumspukte.

Um die "Richtigkeit" zu überprüfen, kann man alternativ schlicht
ein Venn-Diagramm betrachten. Aber ist das wirklich ein Beweis?

Allgemeiner lautet die naheligende Vermutung:
Um die Richtigkeit einer allgemeinen Aussage
(die auch Implikationen, Teilmengenbeziehungen usw. beinhalten kann)
über n Mengen zu beweisen, genügt es, sie an einem System von
n Beispielmengen zu überprüfen, deren Schnitt nicht leer ist, und
bei denen die 2^n möglichen Schnittkombinationen paarweise
verschieden sind.
(Nennen wir eine solches Beispielsystem von Mengen einmal
"Venn"-System).

Wie beweis man einen solchen Meta-Satz?

Hmmm, jetzt wo ich die Frage aufgeschrieben habe, fällt mir ein:

Von - WIMRE erinnere - Freudenthal gibt es einen verwandten Satz,
dass ein Satz (der Prädikatenlogik 1. Stufe) in der Sprache einer
Booleschen Algebra genau dann für alle Booleschen Algebren gilt,
wenn er für alle Mengenalgebren gilt.

Möglicherweise reduziert der Beweis es gerade auf den Spezialfall
von solchen Venn-Systemen (oder könnte es reduzieren, wenn man ihn
sich genau anschaut), womit der Freudenthalsche Beweis also
verschärft werden könnte zur Aussage:
Ein Satz über Boolesche Algebren ist genau dann allgemeingültig,
wenn er für "Venn"-Systeme gilt. Das beinhaltet natürlich meine
Frage als Spezialfall (und umgekehrt folgt diese Aussagge auch
aus diesem und dem Freudenthalschen Satz).

[Carlos Naplos]

Am 07.04.2023 um 15:29 schrieb Rainer Rosenthal:
>  2. Gegenbeispiel zu A - B c= C <-> B - C c= A.
>
>  A = {1}, B = {2,3}, C = {3}.
>
>  A - B = { } c= {3} = C ist wahr.
>  B - C = {2} c= {1} = A ist falsch.

A - B = {1}

Gruß
CN

[Carlo XYZ]

Martin Vaeth wrote on 08.04.23 07:03:

> Hmmm, jetzt wo ich die Frage aufgeschrieben habe, fällt mir ein:
>
> Von - WIMRE erinnere - Freudenthal gibt es einen verwandten Satz,
> dass ein Satz (der Prädikatenlogik 1. Stufe) in der Sprache einer
> Booleschen Algebra genau dann für alle Booleschen Algebren gilt,
> wenn er für alle Mengenalgebren gilt.

Meinst du den Satz von Stone?

<https://en.wikipedia.org/wiki/Stone%27s_representation_theorem_for_Boolean_algebras>

[Martin Vaeth]

Uups, da habe ich den Satz von Freudenthal irgendwie gedanklich mit
dem Satz von Stone verquickt (der Satz von Freudenthal, den ich
meinte, sagt etwas anderes aus, als ich behauptet habe, aber ich
bekomme es nicht mehr genau zusammen - vielleicht bezog er sich auf
Riesz-Räume und den speziellen Riesz-Raum C([0,1]), o.ä.).

Aber Du hast recht, dass der Beweis des Satzes von Freudenthal
vermutlich irgendwie den Satz von Stone oder einen verwandten
Repräsentations- oder Einbettungssatz benutzt.

Vielleicht kommt man irgendwie mein Einbettungs- und
Isomorphiesätzen über Boolesche Algebren auch zu meiner
ursprünglichen Behauptung, aber ich sehe es nicht, insbesondere
weil ich ja n nicht vergrößern will:

Man kann vermutlich nach Induktion der Satzkomplexität
zeigen, dass es genügt, einen Satz mit n verschiedenen
Variablen für alle endlichen Mengenalgebren von n Mengen
zu zeigen.

Was man leicht per Induktion nach n zeigen kann, ist,
dass je zwei Venn-Systeme mit n Mengen isomorph sind.

Aber i.A. ist eine Mengenalgebra mit n Mengen eben nicht
(als Boolesche Algebra) isomorph zu einem Venn-System mit
n Mengen. Sie ist vermutlich isomorph zu einer Unteralgebra
eines Venn-Systems mit genügend vielen Mengen, aber ich
will ja n nicht vergrößern...

[Martin Vaeth]

Martin Vaeth <mar...@mvath.de> schrieb:

>
> Man kann vermutlich nach Induktion der Satzkomplexität
> zeigen, dass es genügt, einen Satz mit n verschiedenen
> Variablen für alle endlichen Mengenalgebren von n Mengen
> zu zeigen.

Ich meinte: ... für alle (endlichen) Mengenalgebren zu
zeigen, die von n Mengen *generiert* wurden - die
Mächtigkeit der Algebra selbst liegt also irgendwo
zwischen 1 und 2^n. I.A. leider *echt* dazwischen.

> Was man leicht per Induktion nach n zeigen kann, ist,
> dass je zwei Venn-Systeme mit n Mengen isomorph sind.

Auch hier meinte ich wieder, dass sie von n Mengen
*generiert* wurden. Die Mächtigkeit des Venn-Systems
ist also 2^n.

[Martin Vaeth]

Martin Vaeth <mar...@mvath.de> wrote:
>
> Allgemeiner lautet die naheligende Vermutung:
> Um die Richtigkeit einer allgemeinen Aussage
> (die auch Implikationen, Teilmengenbeziehungen usw. beinhalten kann)
> über n Mengen zu beweisen, genügt es, sie an einem System von
> n Beispielmengen zu überprüfen, deren Schnitt nicht leer ist, und
> bei denen die 2^n möglichen Schnittkombinationen paarweise
> verschieden sind.
> (Nennen wir eine solches Beispielsystem von Mengen einmal
> "Venn"-System).

Die Vermutung ist falsch, und das ist sogar ziemlich offensichtlich:

Wenn ich mich nur auf Venn-Systeme beschränke, ist die Aussage
"je zwei verschiedene nichteere Mengen haben einen nichtleeren Schnitt"
wahr, aber sie gilt natürlich nicht allgemein.

Was man hingegen wohl zeigen kann (wie in einem anderen
Posting angedeutet):

Um die Richtigkeit einer allgmeinen Aussage über n Mengen zu beweisen,
genügt es, sie über alle (endlichen) Mengenalgebren zu beweisen, die
von n Mengen erzeugt werden.

Trotzdem scheint intuitiv das Venn-Diagramm den allgemeinen Fall
von 3 Mengen abzudecken (und Venn-Systeme den allgemeinen Fall von
n Mengen)... wie genau die Formulierung des zugehörigen Meta-Theorems
aussehen muss, bin ich aber im Moment überfragt.

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Freitag, 7. April 2023 um 19:51:26 UTC+2:
> Am 07.04.2023 um 12:54 schrieb Ganzhinterseher:
> (unter Weglassung meines Zitats)
> "Through experience we learnt ... it was sufficient to know all pairs
> (input, output)! From then on the course of things was reversed: the
> correspondence-concept was suppressed and a function was nothing but a
> set of ordered pairs (a graph). One can put a label on this phenomenon:
> replacement of /intension/ by /extension/."
> > Alle natürlichen Zahlen lassen sich intensional anwenden. Man sagt einfach für alle n in |N: f(n) und ist fertig. Extensional muss man sie aufzählen. Und das geht nur für wenige.
> >
> Wieder mal hirnfreier Blödsinn, wie üblich.

Es ist das, was Du bisher und offenbar immer noch nicht verstanden hast.

>
> Ich habe van Dalens Satz eigentlich als wertfreie Beobachtung
> verstanden,

> Du hast ihn überhaupt nicht verstanden.

> vielleicht mit einem kleinen bedauernden Unterton. Ganz im
> Gegensatz dazu hat Martin Vaeth diese Wendung in der Betrachtung des
> Funktionsbegriffs als großen Schritt nach vorne bezeichnet.

Unsinn. Die Mengenlehre ist ein Irrweg, der offenbar Jünger, die ihn beschritten haben, verstandesmäßig stranguliert. Wie könnte sonst jemand erkennen, dass es keine zwei *konsekutiven* Mengen {n_1, n_2, n_3, ...} c IN und {m_1, m_2, m_3, ...} c IN gibt, aber trotzdem von unendlich vielen unendlichen Endsegmenten fabulieren?

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Saturday, April 8, 2023 at 1:36:38 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote

dass er nicht verstehen kann

> dass es keine zwei *konsekutiven* [unendlichen] Mengen {n_1, n_2, n_3, ...} c IN und {m_1, m_2, m_3, ...} c IN gibt,
> aber trotzdem [...] unendlich viele unendliche Endsegmente[.]

Ja, das ist bedauerlich. Aber nachdem es im Laufe von mind. 20 Jahren nicht gelungen ist, Dir auch nur die Grundlagen der Mengenlehre nahezubringen, kann man davon ausgehen, dass Du auch das _in diesem Leben_ nicht mehr verstehen wirst.

Nur soviel: Das eine hat mit dem anderen nichts zu tun.

Du laberst halt nur immer irgend einen Schwachsinn daher (da Du die Notwendigkeit von klaren Definitionen und darauf aufbauenden Beweisen nicht verstehst) und wenn etwas Deiner laienhaften (und einigermaßen unmathematischen) Intuition widerspricht, erklärst Du es für "unmöglich", "widersprüchlich", etc. Kurz Du verhältst Dich wie ein kompletter Vollidiot. Da kann man dann wirklich nichts machen. Darauf haben aber auch schon andere hingewiesen:

"[WM’s] conclusions are based on the sloppiness of his notions, his inability of giving precise definitions, his fundamental misunderstanding of elementary mathematical concepts, and sometimes, as the late Dik Winter remarked [...], on nothing at all."

Amen that.

[Tom Bola]

Fritz Feldhase schrieb:

So ist es besser, es genügt ein Hinweis darauf, dass WM Schwachsinn saicht;
Einzelheiten oder gar elaborierte Ausführungen (zu denen du neigst) sind
aus vielen Gründen kontraindiziert (auch "pädagogisch"), und werden auch
für haltlose Gegenargumente missbraucht, indem die Zwischenschritte nie
gewürdigt werden, schon deshalb, weil sie gar nicht begriffen werden
können und auch auf keinen Fall begriffen werden wollen.
Der einzige Weg ist nur möglich über EINZELNE kurze Fragen und
Antworten, wobei die Fragen alle von dem Interessierten ausgehen.
Die Perlen-vor-die-Säue-Methode ist eine widerliche Selbstkasteiung
der ganzen Gemeinschaft, auch wenn dein äuusserst starkes
Mitteilungsbedürfnis dich so dringlich unaufhörlich dazu treibt.

[Fritz Feldhase]

On Saturday, April 8, 2023 at 2:27:05 PM UTC+2, Tom Bola wrote:

> So ist es besser, es genügt <usw.>

Kannst Du hier auch einmal etwas mit _mathematischem Gehalt_ schreiben; also einen Beitrag posten, der NICHT off-topic ist?

[Fritz Feldhase]

On Friday, April 7, 2023 at 9:40:00 AM UTC+2, Martin Vaeth wrote a lot. [...]

Ich finde, dass Du Dich mit Deinen Äußerungen zu einem Buch, das Du nicht kennst (geschweige denn gelesen hast), etwas weit aus dem Fenster lehnst. (Das erinnert mich an "psychologische Ferndiagnosen", wie man sie gelegentlich im Internet liest.) Die paar Bemerkungen RRs reichen m. E. bei weitem nicht aus, um das zu "rechtfertigen". Tatsache ist, dass es sich um ein "ganz normales" (aus meiner Sicht sogar um ein sehr gutes) Lehrbuch zur Mengenlehre handelt. Dass van Dalen im Vorwort ein paar Bemerkungen fallen lässt, die allenfalls dazu angetan sind, ein gewisses "kritisches Bewusstsein" im Hinblick auf "die Mengenlehre" zu wecken, sei ihm unbenommen. (Auch Dir dürfte nicht entgangen sein, dass es auch "alternative Ansätze" zur klasssichen Mathematik gibt, oder?

Siehe: https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_mathematics

In diesem Zusammenhang könnte man z. B. auch auf das Buch
Troelstra, A., van Dalen, D. (1988). Constructivism in Mathematics. Amsterdam: North-Holland.
hinweisen.

[Tom Bola]

Fritz Feldhase schrieb:

> On Saturday, April 8, 2023 at 2:27:05 PM UTC+2, Tom Bola wrote:
>
>> So ist es besser, es genügt <usw.>
>
> Kannst Du hier auch einmal etwas mit _mathematischem Gehalt_ schreiben; also einen Beitrag posten, der NICHT off-topic ist?

Da gibt es ausschliesslich deine widerlichen Lutscher-Threads, gesteuert von WM.

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Samstag, 8. April 2023 um 14:07:18 UTC+2:
> On Saturday, April 8, 2023 at 1:36:38 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote
>
> dass er nicht verstehen kann
>
> > dass es keine zwei *konsekutiven* [unendlichen] Mengen {n_1, n_2, n_3, ...} c IN und {m_1, m_2, m_3, ...} c IN gibt,
> > aber trotzdem [...] unendlich viele unendliche Endsegmente[.]
>
> Ja, das ist bedauerlich.

Bedauerlich ist Deine Inkompetenz, wenn's ums Denken geht. Solange alle Endsegmente unendlich sind, fehlen unendlich viele Indizes. Punkt.

Gruß, WM

[Martin Vaeth]

Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com> schrieb:

> On Friday, April 7, 2023 at 9:40:00 AM UTC+2, Martin Vaeth wrote a lot. [...]
>
> Ich finde, dass Du Dich mit Deinen Äußerungen zu einem Buch,
> das Du nicht kennst (geschweige denn gelesen hast),
> etwas weit aus dem Fenster lehnst.

Ich habe meine Äußerung nicht so empfunden, dass ich eine Meinung
über das Buch geäußert habe. Hauptsächlich habe ich mich nur
auf die Bemerkungen RRs und auf den Wikipedia-Eintrag über
den erstgenannten Autor bezogen.

> Die paar Bemerkungen RRs reichen m. E. bei weitem nicht aus,
> um das zu "rechtfertigen".

*Was* zu rechtfertigen? Wie gesagt habe ich nicht das Gefühl,
eine Meinung über das Buch geäußert zu haben. Zu der von RR
zitierten Bemerkung habe ich zwar eine Meinung geeäußert,
aber diese war doch klar auf diese Bemerkung bezogen
gekennzeichnet.

> Auch Dir dürfte nicht entgangen sein, dass es auch
> "alternative Ansätze" zur klasssichen Mathematik gibt, oder?

Jetzt tust Du plötzlich bewusst so, als hättest Du meinen
Text nicht gelesen: Ich hatte doch geschrieben, dass der
Autor nach Wikipedia-Eintrag (dabei hatte ich insbesondere
auf seine Veröffentlichichungen geachtet) anscheinend
Vertreter oder zumindest Kenner von Brouwers Intuitionismus
ist. Nach RRs Bemerkungen ist klar, dass zumindest an zwei
Stellen auch entsprechende Bemerkungen im Buch stehen.
Aber ich habe ausdrücklich zweimal geschrieben, dass solche
Bemerkungen bei entsprechender Darstellung sogar
*sehr hilfreich* sein können.

[Rainer Rosenthal]

Am 08.04.2023 um 07:45 schrieb Carlos Naplos:
> Am 07.04.2023 um 15:29 schrieb Rainer Rosenthal:
>>   2. Gegenbeispiel zu A - B c= C <-> B - C c= A.
>>
>>   A = {1}, B = {2,3}, C = {3}.
>>

>>   A - B = { } c= ...

>
> A - B = {1}
>

Ups, danke. Das war's dann mit meinem Gegenbeispiel.

A - B = {1} c= {3} = C ist falsch
B - C = {2} c= {1} = A ist falsch,

Also beide falsch, Gegenbeispiel ade.
Das von FF wird sicher richtig sein.

Gruß,
RR

[Fritz Feldhase]

On Saturday, April 8, 2023 at 5:07:29 PM UTC+2, Martin Vaeth labert:

> Ich habe meine Äußerung nicht so empfunden, dass ich eine Meinung
> über das Buch geäußert habe.

Ach, ja?

> > > Ich kenne ihn nicht, und der Beschreibung nach scheint er ein
> > > Vertreter von Brouwers Intuitionismus zu sein, was ihn nicht
> > > unbedingt zu einem guten Autor eines Buches über Axiomatik
> > > prädestinieren würde.

Stimmt. Du hast hier nur (potentiell, aktual?) etwas über den Autor des Buchs gesagt. (<facepalm>)

> > > Diese historische Leistung herunterzuspielen, steht
> > > einem Buch über Mengenlehre m.E. nicht gut.

Ich wiederhole es gerne nochmal (was ich gesagt habe), da Du das Gesagte offebar nicht vertanden hast:

Ich finde, dass Du Dich mit Deinen Äußerungen zu einem Buch, das Du nicht kennst (geschweige denn gelesen hast), etwas weit aus dem Fenster lehnst. (Das erinnert mich an "psychologische Ferndiagnosen", wie man sie gelegentlich im Internet liest.) Die paar Bemerkungen RRs reichen m. E. bei weitem nicht aus, um [Deine diesbezüglichen Äußerungen] zu "rechtfertigen". Tatsache ist, dass es sich um ein "ganz normales" (aus meiner Sicht sogar um ein sehr gutes) Lehrbuch zur Mengenlehre handelt. Dass van Dalen im Vorwort ein paar Bemerkungen fallen lässt, die allenfalls dazu angetan sind, ein gewisses "kritisches Bewusstsein" im Hinblick auf "die Mengenlehre" zu wecken, sei ihm unbenommen. (Auch Dir dürfte nicht entgangen sein, dass es auch "alternative Ansätze" zur klasssichen Mathematik gibt, oder?)

EOD

[Fritz Feldhase]

On Saturday, April 8, 2023 at 4:38:54 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> Solange alle Endsegmente unendlich sind, fehlen unendlich viele Indizes. Punkt.

Ja, Punkt.

Siehe: https://www.merriam-webster.com/dictionary/ex%20cathedra

Andererseits: "[WM’s] conclusions are based on the sloppiness of his notions, his inability of giving precise definitions, his fundamental misunderstanding of elementary mathematical concepts, and sometimes, as the late Dik Winter remarked [...], on nothing at all."

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Samstag, 8. April 2023 um 14:07:18 UTC+2:

> Nur soviel: Das eine hat mit dem anderen nichts zu tun.

Was unterscheidet die unendlichen Mengen, die in allen unendlichen Endsegmenten enthalten sind (es müsste nicht einmal in allen Fällen dieselbe sein, obwohl jeder außer geistesschwachen Matheologen dies erkennen kann), von der Menge {m_1, m_2, m_3, ...}?
Wir haben hier die Aussage/Behauptung, dass es keine zwei Mengen {n_1, n_2, n_3, ...} c IN und {m_1, m_2, m_3, ...} c IN gibt, mit |{n_1, n_2, n_3, ...}| = ℵo und |{m_1, m_2, m_3, ...}| = ℵo, sowie Ai,j e IN: n_i < m_j.

Intuitiv völlig klar und einsichtig. Beweis?

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Samstag, 8. April 2023 um 17:54:14 UTC+2:
> On Saturday, April 8, 2023 at 4:38:54 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
>
> > Solange alle Endsegmente unendlich sind, fehlen unendlich viele Indizes. Punkt.
> Ja, Punkt.

Was ist der Unterschied zwischen unendlichen Endsegmenten und den Mengen m hier: Jedes Element in {m_1, m_2, m_3, ...} ist, wegen Ai,j e IN: n_i < m_j, eine obere Schranke für {n_1, n_2, n_3, ...} c IN. Daher kann {n_1, n_2, n_3, ...} nicht unendlich sein.

Der Beweis der Bijektion zwischen endlichen Anfangsabschnitten unendlicher Endsegmente und den natürlichen Zahlen zeigt nicht die aktuale Unendlichkeit der Menge unendlicher Endsegmente, sondern im Gegenteil die nur potentielle Unendlichkeit definierbarer natürlicher Zahlen.
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
Und wenn diese ℵo Elemente durch Quantorenmagie plötzlich verschwinden, dann sind sie jedenfalls nicht individuell definierbare, sondern: dunkel.

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Am 08.04.2023 um 13:36 schrieb Ganzhinterseher:

>>> Alle natürlichen Zahlen lassen sich intensional anwenden. Man sagt einfach für alle n in |N: f(n) und ist fertig. Extensional muss man sie aufzählen. Und das geht nur für wenige.
>>>

Ich habe mich inzwischen näher mit den interessanten "Stempeln"
/intensional/ und /extensional/ befasst, und kann erfreut feststellen:
So wie Du Assoziativität und Transitivität verwechselt hast, schaffst Du
es auch jetzt wieder, was durcheinander zu bringen.

Immer, wenn's konkret wird, ist Dein Geplapper verwirrt.

Die genannte Verwechslung ist als erster Baustein TH1 in der Sammlung
der Unlogik-Bausteine. Die Verwechslung von "intensional" und
"extensional" ist zwar nicht direkt vergleichbar, passt aber doch gut,
wenn TH1 allgemeiner gefasst wird als "Fremdwörter sind Glücksache".

Du bekommst fairerweise die Gelegenheit, die Dir bekannten Definitionen
von "intensional" und "extensional" zu zeigen und zu erläutern, wie sie
zu Deinen Sätzen oben passen :-)
Es genügen auch aussagekräftige Beispiele von Aussagen, in denen diese
beiden Begriffe verwendet werden.

Gruß,
RR

[Fritz Feldhase]

On Saturday, April 8, 2023 at 5:07:29 PM UTC+2, Martin Vaeth wrote:
> Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com> schrieb:

> [van Dalen ist] anscheinend Vertreter oder zumindest Kenner von Brouwers Intuitionismus ist.

Als VERTRETER des Intuitionismus würde er wohl kaum ein Lehrbuch zur Mengenlehre (ZF) schreiben, sag ich jetzt mal so. Und dass ihn allein schon der Umstand, dass er ein "Kenner von Brouwers Intuitionismus ist", in Deinen Augen als Autor eines Buchs zur Mengelehre "fragwürdig" macht, halte ich für "bedenklich" (to say the least).

> Nach RRs Bemerkungen ist klar, dass zumindest an zwei Stellen auch entsprechende Bemerkungen im Buch stehen.

Keine Ahnung, was Du mit "entsprechenden" Bemerkungen meinst. Du redest hier über etwas, was Du nicht kennst (bzw. selbst gelesen hast).

Außerdem stehen diese Bemerkungen (auf die Du anzuspielen scheinst) nicht im eigentlichen Text des Buchs, sondern lediglich im Vorwort.

__________________________

Von all dem mal abgesehen: Deine Ausführungen zum Funktionsbegriff kann ich durchaus nachvollziehen - und was van Dalen an der Aussage "Everything is a set" (in Kontext von bzw. mit Bezug auf ZF) auzusetzen hat, kann ich - zugegebenermaßen - nicht bzw. nur schwer nachvollziehen. Heißt: van Dalen interpretiert die Bedeutung dieser Aussage völlig anders als ich es tue (und ich dachte immer, dass meine Interpretation eigentlich die naheliegende bzw. allgemein anerkannte/übliche ist).

[Martin Vaeth]

ritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com> wrote:
> On Saturday, April 8, 2023 at 5:07:29 PM UTC+2, Martin Vaeth labert:
>
>> Ich habe meine Äußerung nicht so empfunden, dass ich eine Meinung
>> über das Buch geäußert habe.
>
> Ach, ja?

Ja. Und dass Du Zitate durch Herausreißen aus dem Kontext
verfälschst, bestärkt nicht gerade eine gute Meinung über Dich:

>> > > Ich kenne ihn nicht, und der Beschreibung nach scheint er ein
>> > > Vertreter von Brouwers Intuitionismus zu sein, was ihn nicht
>> > > unbedingt zu einem guten Autor eines Buches über Axiomatik
>> > > prädestinieren würde.

Du hast in meinem Zitat den entscheidenden zweiten Satz mit der
ziemlich komplementären Alternative weggeschnitten.

Zudem heißt "nicht prädestiniert" zu sein, keineswegs, dass man kein
gutes Buch darüber schreiben kann: Ich würde mich selbst als Skeptiker
von AC bezeichnen, und bin von daher auch nicht als guter Autor eines
Buches über Robinsonsche NSA prädestiniert. Aber man kann eine Sache
eben objektiv beschreiben und mit enstprechenden Bemerkungen versehen.
Was das war sinngemäß exakt das, was ich im weggeschnittenen zweiten
Teil geschrieben hatte, den Du sinnententstellend weggelassen hast.

> Stimmt. Du hast hier nur (potentiell, aktual?) etwas über den Autor
> des Buchs gesagt. (<facepalm>)

Ja, dass er Kenner oder gar Vertreter von Brouwers Intuititionismus
ist. Das ist anhand seiner Aktivitäten und Veröffentlichungen laut
Wikipedia offensichtlich. Es würde mich sehr überraschen, wenn der
Autor selbst dem nicht zustimmen würde. RRs Zitat ist damit
ebenfalls kompatibel.

Eine solche nicht-wertende Aussage als *Meinung* über Autor oder
Buch (in positiver oder negativer Art) zu interpretieren, halte
ich nahezu für bösartig.

> Ich wiederhole es gerne nochmal (was ich gesagt habe), da Du
> das Gesagte offebar nicht vertanden hast:

Wohl eher, weil Du gerne provozierst.

> Auch Dir dürfte nicht entgangen sein, dass es auch
> "alternative Ansätze" zur klasssichen Mathematik gibt, oder?

Dass Du diese Provokation nach meiner vorherigen Antwort nochmals
wiederholst, spricht wieder nicht für Dich: Hast Du wirklich immer
noch nicht verstanden, dass Intuitionismus genau ein solcher
alternativer Ansatz ist?

> EOD

++ EOD

[Martin Vaeth]

Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com> schrieb:

> On Saturday, April 8, 2023 at 5:07:29 PM UTC+2, Martin Vaeth wrote:
>
>> [van Dalen ist] anscheinend Vertreter oder zumindest Kenner von
>> Brouwers Intuitionismus ist.
>
> Als VERTRETER des Intuitionismus würde er wohl kaum ein
> Lehrbuch zur Mengenlehre (ZF) schreiben, sag ich jetzt mal so.

Genau das meinte ich mit "nicht prädestiniert" zu sein.

Als Skeptiker von AC würde man wohl auch kaum ein Lehrbuch
über Robinsonsche NSA schreiben (die schon im ersten Schritt
AC wesentlich benötigt), oder?

> Und dass ihn allein schon der Umstand, dass er ein
> "Kenner von Brouwers Intuitionismus ist", in Deinen Augen
> als Autor eines Buchs zur Mengelehre "fragwürdig" macht

Diese Unterstellung von Dir ist eine Unverschämtheit:

Ich schrieb ausdrücklich das *exakte Gegenteil* Deiner
Unterstellung und hatte diesen Satz sogar wiederholt, um
ein solches Missverständnis zu vermeiden. (Und als Antwort
auf Dein Posting hatte ich den Satz noch ein drittes mal
wiederholt.)

>> Nach RRs Bemerkungen ist klar, dass zumindest an
>> zwei Stellen auch entsprechende Bemerkungen im Buch stehen.
>
> Keine Ahnung, was Du mit "entsprechenden" Bemerkungen meinst.

Die Kritik an "Everything is a set" und der Definition der
Funktion als ihren Graph: Dies entspricht Brouwers Kritik,
wenn ich diese richtig verstanden habe (s. unten).

> Von all dem mal abgesehen: Deine Ausführungen zum

> Funktionsbegriff [...] "Everything is a set"
> nicht bzw. nur schwer nachvollziehen. [...]

> und ich dachte immer, dass meine Interpretation eigentlich

> die naheliegende bzw. allgemein anerkannte/übliche ist.

Es ist die anerkannte, aber nicht die intuitionistische:
Die Äußerungen über den Funktionsbegriff und die Kritik
an "Everything is a set" müssen wohl beide zusammen gesehen
werden.
Im Intuitunismus kannst Du von einer (betragsmäßig genügend
kleinen) reellen Zahl eben nicht entscheiden, ob sie größer,
kleiner, oder gleich null ist und daher eben z.B. nicht die
Signum-Funktion definieren. (Vielmehr ist im Intuitionismus
beweisbar, dass alle Funktionen stetig sind.)
Mengentheoretisch (mit Tertium-non-Datur) ist die Definition
der Signum-Funktion jedoch kein Problem. Daher "passt" die
Definition als Graph nicht auf die intuitionistische
Definition einer Funktion, und eine intuitionistische
Funktion muss etwas sein, das keine Menge ist.
(Disclaimer: Ich bin *kein* Kenner des Intuitionismus und
drücke mich daher möglicherweise aus Sicht eines Experten
in diesem Gebiet missverständlich aus; ich fasse nur
zusammen, was ich aus einem Übersichtsartikel über das
Gebiet diesbezüglich verstanden zu haben *glaube*.)

[Ulrich D i e z]

Fritz Feldhase schrieb:

> Aber mal im Ernst: Wenn man es "anders rum" haben möchte, dann sollte man sich einmal mit (der) Kategorientheorie beschäftigen.

Das Stichwort Kategorientheorie erinnert mich an ein kleines Highlight in
meinem tristen Internet-Dasein: ;-)

Ich hatte mal das außerordentliche Privileg, auf TeX - LaTeX Stack Exchange
mit Frau Professor Emily Riehl <https://en.wikipedia.org/wiki/Emily_Riehl>,
<https://emilyriehl.github.io/> in Wechselwirkung treten zu dürfen, wobei
es aber nicht um Mathematik, sondern um das Textsatzsystem LaTeX und das
Paket hyperref ging.

( Ausnahmsweise hatte ich das Gefühl, doch mal nützlich zu sein. ;-)
Jedenfalls war das einer der Momente, die mir das Herz höher schlagen
lassen haben. Man merkt schon, ich bin Fan... )

Damals bin ich auf Category Theory in Context aufmerksam gemacht worden:
<https://math.jhu.edu/~eriehl/context.pdf>

Ich habe noch nicht aufgegeben, aber ich bin langsam, weil ich beim
Lesen viel nachlernen muss, was bei mir leider nicht gerade schnell geht.
(Außerdem kämpfe ich mich nebenher auch noch, ebenfalls in elend elend
langsamem Tempo, durch die gesammelten Abhandlungen von Carl Ludwig Siegel,
eins meiner anderen Idole. Da brauche ich für einen Aufsatz mehrere Monate.)

Von Frau Professor Emily Riehl gibt es auch:

Categorical homotopy theory, <https://math.jhu.edu/~eriehl/cathtpy.pdf>

Elements of ∞-Category Theory, zusammen mit Dominic Verity,
Online Draft unter: <https://math.jhu.edu/~eriehl/elements.pdf>

Im Buchhandel:

Benedict Gross, Joe Harris, Emily Riehl: Fat Chance: Probability from 0 to 1,
<https://www.amazon.com/Fat-Chance-Probability-0-1/dp/1108728189>

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Fritz Feldhase]

On Saturday, April 8, 2023 at 5:41:26 PM UTC+2, Rainer Rosenthal wrote:

> Also beide falsch, Gegenbeispiel ade.

Kann passieren.

> Das von FF wird sicher richtig sein.

Da wäre ich mir nicht so sicher. Aber mit etwas Glück ist es viell. sogar "minimal". :-P

A = B = C = { } liefert ja offensichtlich kein Gegenbeispiel, da dann zum einen A - B = { } und damit A - B c= C ist und zum anderen auch B - C = { } und damit B - C c= A ist.

Die "einfachste" Menge von allen ist wohl { }, die leere Menge. (Vor allem, weil sie selbst keine Elemente enthält.) Wenn jetzt also (genau) eine der Mengen A, B, C nicht leer ist, sondern lediglich die leere Menge enthält, dann ist dieses Gegenbeispiel offenbar "minimal".

Seien z. B. A = C = { } und B = {0} (mit 0 := { }).

Dann ist A - B = { } und damit A - B c= C. Andererseits ist B - C = {0} und damit B - C !c= A.

[Fritz Feldhase]

On Saturday, April 8, 2023 at 9:02:31 PM UTC+2, Martin Vaeth wrote:

> Die Kritik an "Everything is a set" und der Definition der
> Funktion als ihren Graph: Dies entspricht Brouwers Kritik,
> wenn ich diese richtig verstanden habe (s. unten).

<Achselzuck>

Zumindest über (van Dalens Berkungen zu/über) "Everything is a set" sollten wir nochmal reden.

Ich kann mir beim besten Willen kaum jemanden vorstellen, der dieses "Motto" so auffasst, dass tatsächlich alles, was es in der Matematik "gibt" bzw. was mathematisch von Bedeutung ist, eine Menge ist. Selbst ausgewiesene Vertreter der Mengenlehre äußern sich üblicherweise ziemlich vorsichtig, wenn es um "diese Frage" geht. Dass anderseits alles "in" ZF(C) eine Menge ist, ist doch eine Binsenweisheit. (In Zermelos Mengenlehre von 1908 war das noch keineswegs so.) In diesem Zusammenhang spricht man dann ja von "pure set theory".)

Ich lese das daher AUTOMATISCH imme so: "Everything [in ZFC] is a set."

Dass das Motto "Everything is a set" anders aufgefasst, "problematisch" ist, sieht man ja auch schon daran, dass es "Mengenlehren" gibt, wie z. B. MK, in denen es neben den Mengen auch noch "Nicht-Mengen" (also "echte Klassen") gibt. (Quines NF jetzt mal außen vor gelassen...) Außerdem ist meine Kaffeetasse, die vor mir auf dem Tisch steht, mit hoher Wahrscheinlichkeit KEINE Menge.

> (Disclaimer: Ich bin *kein* Kenner des Intuitionismus und
> drücke mich daher möglicherweise aus Sicht eines Experten
> in diesem Gebiet missverständlich aus; ich fasse nur
> zusammen, was ich aus einem Übersichtsartikel über das
> Gebiet diesbezüglich verstanden zu haben *glaube*.)

I see. Ich selbst versuche mich schon seit einiger Zeit, "in das Gebiet einzuarbeiten", allerdings mit - zugegeben - nur bescheidenem Erfolg bisher.

Ich kann Schechter daher nur darin zustimmen:
https://math.vanderbilt.edu/schectex/papers/difficult.html
- vom Intutionismus ganz zu schweigen...

[Martin Vaeth]

Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com> schrieb:

> On Saturday, April 8, 2023 at 9:02:31 PM UTC+2, Martin Vaeth wrote:
>
> Zumindest über (van Dalens Berkungen zu/über) "Everything is a set"
> sollten wir nochmal reden.
>
> Ich kann mir beim besten Willen kaum jemanden vorstellen,
> der dieses "Motto" so auffasst, dass tatsächlich alles,
> was es in der Matematik "gibt" bzw. was mathematisch von
> Bedeutung ist, eine Menge ist.

Doch, das ist durchaus das, was man mit der Mengenlehre versucht:
Die Grundlage der *gesamten* Mathematik zu sein. Das ist auch
fundamental für so Dinge wie Nichstandard-Analysis, die in einem
anderen Setting bei weitem nicht so allgemeingültig wäre.

> Selbst ausgewiesene Vertreter der Mengenlehre äußern sich
> üblicherweise ziemlich vorsichtig, wenn es um "diese Frage" geht

Jein. Bourbaki beispielsweise haben zuerst auch klar alles
auf Mengenlehre aufgebaut, später aber gemeint, dass z.B.
Kategorientheorie eine bessere Grundlage gewesen wäre.
Das ist aber eine Diskussion um Feinheiten, weil man (ähnlich
wie in der Churchschen These) i.W. gleiche Mächtigkeit der
Zugänge hat, und es letztlich nur eine "Geschmacksfrage" ist,
welchen man wählt.

> Dass das Motto "Everything is a set" anders aufgefasst,
> "problematisch" ist, sieht man ja auch schon daran, dass
> es "Mengenlehren" gibt, wie z. B. MK, in denen es neben den
> Mengen auch noch "Nicht-Mengen" (also "echte Klassen") gibt.

Ja, aber z.B. ist MK eben äquikonsitent zu ZF(C) und eine
konservative Erweiterung.

Auch in der Robinsonschen NSA ist nicht alles eine Menge, sondern
es ist wichtig, dass man dort eine Superstruktur mit
Ur-Atomen hat. Aber wie gesagt, das ist eine Diskussion um
Details: Die für die mathematische Dinge entscheidenden
Dinge sind in allen diesen Zugängen letztlich nur die Mengen,
und auch die Atome der Superstrukturen kann man (in einer
externen Sprache) wieder mit Mengen beschreiben.

> Außerdem ist meine Kaffeetasse, die vor mir auf dem Tisch
> steht, mit hoher Wahrscheinlichkeit KEINE Menge.

Sie ist auch kein Gegenstand der Mathematik. Natürlich bezieht
sich "Everything is a set" nur auf die Mathematik und
nicht etwa auf physikalische Modelle oder gar die
"wirkliche" Welt.

> I see. Ich selbst versuche mich schon seit einiger Zeit,
> "in das Gebiet einzuarbeiten"

Mich stört an dem Gebiet, dass es keinen Beweis der
Äquikonsistenz mit ZF zu geben scheint, und damit m.E.
keine Begründung der Konsistenz des Gebiets, zumindest
keine, die mich überzeugt hätte.

Im Konstruktivismus scheint auf den ersten Blick alles
konsistent sein zu *müssen*, weil man sich ja nur auf
konstruktive Beweise verlässt. Aber so Dinge wie die
Unentschiedbarkeit der Trichotomie für (konstruktiv
angebbare) Zahlen zur 0 lassen in mir dann doch
Zweifel an der Konsistenz des gesamten Zugangs
aufkommen, insbesondere an der Konsistenz der Frage,
welche Sätze denn nun zu dem Gebiet gehören:

Je mehr ich über das Gebiet gelernt hatte, desto mehr
erschien es mir plausibel, dass es einerseits einen
konstruktiven Beweis für eine gewisse Aussage A
geben kann und andererseits eine Argumentation, dass sich
diese Aussage A prinzipiell nicht konstruktiv beweisen
lässt. Dies wäre für das Gebiet natürlich der GAU,
aber ich kenne wirklich keine überzeugende Argumentation,
weshalb dieser nicht eintreten könnte (selbst, wenn man
für diese Argumentation z.B. die Konsistenz von ZF o.ä.
voraussetzen müsste).

[Fritz Feldhase]

On Saturday, April 8, 2023 at 11:51:32 PM UTC+2, Martin Vaeth wrote:
> Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com> schrieb:

> >
> > Dass das Motto "Everything is a set" anders aufgefasst,
> > "problematisch" ist, sieht man ja auch schon daran, dass
> > es "Mengenlehren" gibt, wie z. B. MK, in denen es neben den
> > Mengen auch noch "Nicht-Mengen" (also "echte Klassen") gibt.
> >
> Ja, aber z.B. ist MK eben äquikonsitent zu ZF(C) und eine
> konservative Erweiterung.

Nein. Du verwechselts MK (offenbar) mit NBG. MK ist eine stärkere Theorie.

"While von Neumann–Bernays–Gödel set theory is a conservative extension of Zermelo–Fraenkel set theory (ZFC, the canonical set theory) in the sense that a statement in the language of ZFC is provable in NBG if and only if it is provable in ZFC, Morse–Kelley set theory is a proper extension of ZFC." (Wikipedia)

"MK (Morse-Kelley) set theory is a strengthened version of NBG, with a simpler axiom system. It is strictly stronger than NBG, and it is possible that NBG might be consistent but MK inconsistent." (Source: https://foldoc.org/axiomatic+set+theory)

> > Außerdem ist meine Kaffeetasse, die vor mir auf dem Tisch steht, mit hoher Wahrscheinlichkeit KEINE Menge.
> >
> Sie ist auch kein Gegenstand der Mathematik.

Das habe ich auch nicht behauptet.

> Natürlich bezieht sich "Everything is a set" nur auf die Mathematik und
> nicht etwa auf physikalische Modelle oder gar die "wirkliche" Welt.

Das sagt Du so. Ich sehe das noch enger: Ich bezoehe "Everything is a set" nur auf das "Universum" von ZF(C) [und ähnliche Mengenlehren]." [Wie gesagt, es ist in Mengenlehren, in denen echte Klassen "existieren", wie z. B. MK, schon mal nicht richtig. Nein: Im Kontext von MK gilt definitv nicht, dass "alles eine Menge ist".]

Jedenfalls heißt es am Ende des Vorworts des Buchs, um das es hier geht:

"Although the authors do not subscribe to the thesis that "everything is a set" (they are not sets themselves (after A. Mostowski)), they are convinced that the fruitfulness of set theory, as a mathematical discipline, is beyond dispute. So they welcome the reader, with a clear conscience, to Cantor's paradise."

Du wirst es mir also nachsehen (müssen), dass ich ein ähnliches "Argument" anführe wie Mostowski und van Dalen et al.

> Im Konstruktivismus scheint auf den ersten Blick alles
> konsistent sein zu *müssen*, weil man sich ja nur auf
> konstruktive Beweise verlässt. Aber so Dinge wie die
> Unentschiedbarkeit der Trichotomie für (konstruktiv
> angebbare) Zahlen zur 0 lassen in mir dann doch
> Zweifel an der Konsistenz des gesamten Zugangs
> aufkommen, insbesondere an der Konsistenz der Frage,
> welche Sätze denn nun zu dem Gebiet gehören:
>
> Je mehr ich über das Gebiet gelernt hatte, desto mehr
> erschien es mir plausibel, dass es einerseits einen
> konstruktiven Beweis für eine gewisse Aussage A
> geben kann und andererseits eine Argumentation, dass sich
> diese Aussage A prinzipiell nicht konstruktiv beweisen
> lässt. Dies wäre für das Gebiet natürlich der GAU,
> aber ich kenne wirklich keine überzeugende Argumentation,
> weshalb dieser nicht eintreten könnte (selbst, wenn man
> für diese Argumentation z.B. die Konsistenz von ZF o.ä.
> voraussetzen müsste).

"Verstehe". Ja, natürlich, man wird wohl auch im Kontext der "konstruktivistischen Mathematik" das Auftreten von Widersprüchen nicht _mit Sicherheit_ ausschließen können. Allerdings kann man wohl auch nicht von der Hand weisen, dass das "Risikio", dass eine (im Kontext der klassischen Mathematik) formulierre Mengenlehre widersprüchlich ist, (zumindest prinzipiell) gegeben ist. Die Mengenlehre ML, wie sie Quine in der 1. Auflage seine Buchs "Mathematical Logic" formuliert hatte, war z. B. inkonsistent.

Das hier könnt einen das Fürchten lehren: https://richardzach.org/2021/06/famous-logicians-and-their-inconsistent-theories/

[Martin Vaeth]

Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com> wrote:
> On Saturday, April 8, 2023 at 11:51:32 PM UTC+2, Martin Vaeth wrote:
>> Ja, aber z.B. ist MK eben äquikonsitent zu ZF(C) und eine
>> konservative Erweiterung.
>
> Nein. Du verwechselts MK (offenbar) mit NBG.
> MK ist eine stärkere Theorie.

War mir nicht bewusst. Aber natürlich kann man auch stärkere
Theorien formulieren: Jedes "big cardinal" axiom ist eine solche,
sogar eine echt konsistenzstärkere.
Aber das ändert das Hauptargument nicht:
Das sind "Luxusprobleme" - wir sind hier halt ziemlich an den Grenzen,
die auf die "normale" Mathematik schon keine praktischen Auswirkungen
mehr hat - die Mengentheoretiker mussten schon lange suchen, um
wenigstens ein paar Beispiele zu finden, die nicht "ganz" so
an den Haaren herbeigezogen scheinen.

>> Je mehr ich über das Gebiet gelernt hatte, desto mehr
>> erschien es mir plausibel, dass es einerseits einen
>> konstruktiven Beweis für eine gewisse Aussage A
>> geben kann und andererseits eine Argumentation, dass sich
>> diese Aussage A prinzipiell nicht konstruktiv beweisen
>> lässt.
>

> "Verstehe". Ja, natürlich, man wird wohl auch im Kontext der
> "konstruktivistischen Mathematik" das Auftreten von Widersprüchen
> nicht _mit Sicherheit_ ausschließen können. Allerdings kann man
> wohl auch nicht von der Hand weisen, dass das "Risikio", dass eine
> (im Kontext der klassischen Mathematik) formulierre Mengenlehre
> widersprüchlich ist, (zumindest prinzipiell) gegeben ist.

Hatte ich nicht sogar erwähnt, dass einige glauben, dass das
uneingeschränkte Replacement Axiom widersprüchlich ist? Das
Axiom ist aus philosophischer Sicht in der Tat problematisch,
weil es - grob gesprochen - alles als Menge definiert, was nicht
"groß genug" ist: Damit ist also "Größe" das einzige, was eine
Nicht-Menge ausmachen kann, was in der Tat problematisch scheint.

Aber auch das erscheint mir eher wie ein "Luxusproblem", das sich
schnell beheben lässt, falls ein Widerspruch gefunden werden sollte,
und das i.W. keine Auswirkungen auf die "normale" Mathematik hat:
Außer zur Einführung der Hierarchie der Ordinalzahlen wird das
Axiom praktisch nicht benötigt, und dafür genügen *sehr*
spezialisierte Varianten des Axioms.

Der Intuitionismus eröffnet jedoch eine ganz neue Welt möglicher
potentieller Widersprüche, für die "normalen" Mathematikern
vollkommen die Intuition fehlt, und der daher m.E. *dringend*
einer logischen Grundlage bedürfte, die er nicht liefert -
zumindest sind mir keine diesbezüglichen Arbeiten bekannt.
Wie gesagt, *könnte* eine solche Grundlage etwa eine Art
Konsistenzbeweis unter der *Annahme* der Konsistenz von ZFC
o.ä. sein. Vielleicht geht es aber auch prinzipiell nicht,
*weil* der Konstruktivismus inkonsistent ist? Mir erschien
Letzteres jedenfalls wie erwähnt immer mehr plausibel, je
mehr ich micht damit beschäftigt hatte, was einer der
beiden Gründe ist, dass er mich nicht mehr wirklich
interessiert. Der andere Grund ist, dass sich praktisch
bedeutsame Aussagen der Mathematik wie Existenz oder
Bifurkation von Lösugen der meisten physikalisch
motivierten Gleichungen nicht damit beweisen lassen,
zumindest nicht in der mathematischen Praxis.

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Samstag, 8. April 2023 um 19:26:45 UTC+2:
> Am 08.04.2023 um 13:36 schrieb Ganzhinterseher:
>
> >>> Alle natürlichen Zahlen lassen sich intensional anwenden. Man sagt einfach für alle n in |N: f(n) und ist fertig. Extensional muss man sie aufzählen. Und das geht nur für wenige.
> >>>
> Ich habe mich inzwischen näher mit den interessanten "Stempeln"
> /intensional/ und /extensional/ befasst, und kann erfreut feststellen:

dass Du wieder nichts verstanden hast.

> Du bekommst fairerweise die Gelegenheit, die Dir bekannten Definitionen
> von "intensional" und "extensional" zu zeigen und zu erläutern, wie sie
> zu Deinen Sätzen oben passen :-)

Vielleicht helfen Dir zwei Beispiele aus Wikipedia:

An extensional definition gives meaning to a term by specifying its extension, that is, every object that falls under the definition of the term in question.

For example, an extensional definition of the term "nation of the world" might be given by listing all of the nations of the world, Für unendliche Mengen ist das nicht möglich.

Beispiel für f(n), Intensional: Everyone who has read Huckleberry Finn knows that Mark Twain wrote it.

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Am 09.04.2023 um 09:23 schrieb Ganzhinterseher:

8.4.23 WM: Alle natürlichen Zahlen lassen sich intensional anwenden. Man

sagt einfach für alle n in |N: f(n) und ist fertig. Extensional muss man
sie aufzählen. Und das geht nur für wenige.

8.4.23 RR: Ich habe mich inzwischen näher mit den interessanten

"Stempeln" /intensional/ und /extensional/ befasst, und kann erfreut

feststellen, dass Du "intensional" und "extensional" verwechselt hast.

Du bekommst fairerweise die Gelegenheit, die Dir bekannten Definitionen
von "intensional" und "extensional" zu zeigen und zu erläutern, wie sie

zu Deinen obigen Sätzen passen.

> Vielleicht helfen Dir zwei Beispiele aus Wikipedia:
> An extensional definition gives meaning to a term by specifying its extension, that is, every object that falls under the definition of the term in question.

Aha, die Definition war Dir also nicht bekannt. Und vorsichtshalber
verwendest Du sie auch nicht, um Deinen mit diesen fremden Federn
geschmückten Unsinn (s.o.) zu rechtfertigen.

Du bekommst aber noch eine zweite Chance(*). Immer wenn's konkret wird,
gibt es was zu lachen.

Gruß,
RR

(*) ... zu erläutern, wie sie zu Deinen obigen Sätzen passen

[Marc Olschok]

On Fri, 07 Apr 2023 19:37:25 Rainer Rosenthal wrote:
> Am 07.04.2023 um 18:56 schrieb Martin Vaeth:
>
>> Wie gesagt: Die ursprüngliche Behauptung "sieht" man ja sowieso,
>> und es geht in der Aufgabe nur um einen formalen Beweis.
>
> Das mit dem "sieht man ja sowieso" ist so eine Sache.
> Da ich in der Web-Vorschau vom Buch nur das Vorwort und dann bis Seite 2
> lesen konnte, fehlte mir die Definition von "A - B" für diese
> Übungsaufgaben auf Seite 17. Ich dachte zuerst, es ginge um die
> symmetrische Differenz. Entsprechende Beweisversuche haben meine
> Hirnwindungen etwas verbogen, bis ich es dann mit der normalen Differenz
> "A \ B" probiert habe. Und dann wollte ich natürlich einen Knopf dranmachen.
>
> Beim Versuch, A - B c= C <-> A - C c= B mit der Interpretation
> "symmetrische Differenz" kam ich nur bis zum Beweis von
>
> A - B c= C -> A n (A - C) c= B
>
> und merkte dann, dass ich es besser mit der einfachen Differenz
> probieren sollte.

Ich kenne das Buch nicht und weiß nicht ob man bereits die Monotonie
der Operation U und \ sowie die Zerlegung A = (A\B) U (A /\ B)
Averwenden kann. In diesem Fall kann man erst
einmal für alle A,B,C die Adjunktionsgleichung

A \ B c= C <==> A c= B U C

zeigen, aus der die eingangs erwähnte Äquivalenz sofort ersichtlich ist.

v.G.
--
M.O.

[Fritz Feldhase]

On Sunday, April 9, 2023 at 6:41:40 PM UTC+2, Marc Olschok wrote:

Z. z. ist A - B c= C <-> A - C c= B

> Ich kenne das Buch nicht und weiß nicht ob man bereits die Monotonie
> der Operation U und \ sowie die Zerlegung A = (A\B) U (A /\ B)

> verwenden kann. In diesem Fall kann man erst
> einmal für alle A,B,C die Adjunktionsgleichung
>

> A \ B c= C <==> A c= B U C (*)

>
> zeigen, aus der die eingangs erwähnte Äquivalenz sofort ersichtlich ist.

In der Tat. (Zur Vereinfachung schreibe ich jetzt überall "c" statt "c=".)

A - B c C <-> A c B u C (*)
________ <-> A c C u B (mit X u Y <-> Y u X)
________ <-> A - C c B (* mit geänderten Bezeichnungen)

________________________________________________________________

Also hat man das Problem jetzt auf den Beweis der "Adjunktionsgleichung" reduziert.

Den von Marc oben angedeuten Weg gehe ich jetzt bewusst nicht, und probiere stattdessen einen eigenen Ansatz.

Zu zeigen ist: A - B c C <-> A c B u C

Wenn man sich das zu Zeigende so ansieht, dann könnte man auf den Gedanken kommen, so vorzugehen:

Es gelte A - B c C. Wenn man "beide Seiten" um "u B" erweitert, dann erhält man (A - B) u B c C u B und damit A c C u B bzw. A c B u C. Toll!
Analog: Es gelte A c B u C bzw. A c C u B. Wenn man "beide Seiten" um "- B" erweitert, dann erhält man A - B c (C u B) - B und damit A - B c C. Toll!

Aber leider: (X - Y) u Y = X und (X u Y) - Y = X sehen zwar schön aus, stimmen aber (im allgemeinen) nicht. :-/

Es gilt (wie man leicht zeigen kann) nur: X c (X - Y) u Y und (X u Y) - Y c X. Ein zweiter Blick auf meinen Beweisversuch zeigt aber, dass das für einen Beweis ausreicht/genügt! :-)

Also: Es gelte A - B c C. Wenn man "beide Seiten" um "u B" erweitert, dann erhält man (A - B) u B c C u B und mit A c (A - B) u B: A c C u B bzw. A c B u C. Toll! (Jetzt aber wirklich.)
Analog: Es gelte A c B u C bzw. A c C u B. Wenn man "beide Seiten" um "- B" erweitert, dann erhält man A - B c (C u B) - B und mit (C u B) - B c C: A - B c C. Toll! (Jetzt aber wirklich.)

Was hier in den Beweis noch eingeht, ist: X c Y -> X u Z c Y u Z sowie X c Y -> X - Z c Y - Z. (Vermutlich das, worauf sich Marc als "Monotonie der Operation U und \" bezieht.) Das müsste man eigentlich erst auch noch zeigen. (Leicht!). Schließlich auch noch: X c Y und Y c Z -> X c Z (Transitivität von c) und auch noch X u Y = Y u X (Kommutativität von u). [Sofern diese Sätze in dem besagten Buch nicht schon vor der Aufgabe, um die es hier geht, bewiesen wurden.]

Schön an diesem Ansatz (Dank an Marc) ist, dass man an keiner Stelle (sofern man über die oben erwähnten Hilfssätze verfügt) bis auf die Elementrelation "runtergehen" muss, sondern alles schön "algebraisch" bleibt.

Zudem eröffnet einem die "Adjunktionsgleichung" ein besseres Verständnis des "Sachverhalts" bzw. warum die zu zeigende Aussage gültig ist. (Jedenfall geht's mir so.)

[Fritz Feldhase]

On Saturday, April 8, 2023 at 7:03:28 AM UTC+2, Martin Vaeth wrote:
> Fritz Feldhase schrieb:
> >
> > Erst mal die "Pflicht", die "Kür" kommt danach.
> >
> > Prove: (A u B) n (B u C) n (C u A) = (A n B) u (B n C) u (C n A) .
> >
> Man beweist das Distributivgesetz (A u B) n C = (A n C) u (B n C)
> (oder kennt es bereits) sowie die Kommutativgesetze für u und n
> und "multpliziert aus".

Ja, an sich sicher der richtige Ansatz. Aber ganz so einfach ist es dann doch nicht (wenn man den Beweis im Detail ausführt).

Nicht zuletzt schreibt hier van Dalen einfach so X n Y n Z bzw. X u Y u Z (wo X, Y, Z Mengentermen sind). Ich bin mir aber nicht sicher, ob er Ausdrücke "dieser Form" überhaupt zuvor definiert hat im Buch - ich glaube (nach einer kurzen Suche) eher nicht. [D a s wäre nun etwas, was verbessungswürdig wäre.] Sicher, man kann z. B. X n Y n Z (bzw. X u Y u Z so definieren: (X n Y) n Z (bzw. so: (X u Y) u Z). Gerechtfertigt ist das nicht zuletzt wegen der Gültigkeit von (X n Y) n Z = X n (Y n Z) (bzw. (X u Y) u Z = X u (Y u Z)), was im Buch gezeigt/bewiesen wird.

Wir wollen daher die Aufgabe - im Hinblick auf den geforderten Beweis - konkret so verstehen/auffassen:

Prove: ((A u B) n (B u C)) n (C u A) = ((A n B) u (B n C)) u (C n A) .

Auf das oben erwähnte Distributivgesetz und die Kommutativgesetze für u und n können wir dabei zurückgreifen.

Also: ((A u B) n (B u C)) n (C u A)
= ((A n (B u C)) u (B n (B u C))) n (C u A) [Distr.]
= ((B u C) n A) u ((B u C) n B)) n (C u A) [Komm. n]
= (((B n A) u (C n A)) u ((B n B) u (C n B))) n (C u A) [Distr.]
= (((B n A) u (C n A)) u (B u (C n B))) n (C u A) [mit X n X = X]
= (((A n B) u (C n A)) u (B u (B n C))) n (C u A) [Komm. n]
= <ab hier wird es langsam mühselig wegen der Klammern>

Mein Vorschlag, wir definieren hier einfach mal:
X_1 u X_2 u X_3 := (X_1 u X_2) u X_3
X_1 u X_2 u X_3 u X_4 := (X_1 u X_2 u X_3) u X_4
usw. also in dieser Weise (beliebig weit) fortschreitend nach dem Schema
X_1 u ... u X_(k+1) := (X_1 u ... u X_k) u X_(k+1).
(Gemeint ist hier mit "X_1 u ... u X_(k+1)" ein Ausdruck, der aus k+1 Termen besteht, die durch k u-Symbole "verbunden" bzw. "getrennt" sind; analoges gilt für den Ausdruck "X_1 u ... u X_k".)

Man kann dann zeigen, dass das oben erwähnte Distributivgesetz auch für diese Ausdrücke gilt, also:
(X_1 u ... u X_k) n Y = (X_1 n Y) u ... u (X_k n Y). Das erleichter die "Rechnung" doch deutlich.

Außerdem kann man zeigen, dass dann beliebig geklammert werden kann, also z. B. X_1 u X_2 u X_3 u X_4 = (X_1 u X_2) u (X_3 u X_4), etc.*)

[Analog für n.]

Wir haben dann also:
= ((A n B) u (C n A) u B u (B n C)) n (C u A)
= (C u A) n ((A n B) u (C n A) u B u (B n C)) [Komm. n]
= (C n ((A n B) u (C n A) u B u (B n C))) u (A n ((A n B) u (C n A) u B u (B n C))) [Distr.]
= (((A n B) u (C n A) u B u (B n C)) n C) u (((A n B) u (C n A) u B u (B n C)) n A) [Komm. n]
= ((A n B n C) u (C n A n C) u (B n C) u (B n C n C)) u ((A n B n A) u (C n A n A) u (B n A) u (B n C n A)) [Distr.]
= (A n B n C) u (C n A) u (B n C) u (B n C) u (A n B) u (C n A) u (A n B) u (A n B n C) [Komm. n, X n X = X]
= (A n B n C) u (A n B) u (B n C) u (C n A) [Komm. u, X u X = X]
= (A n B) u (B n C) u (C n A) [mit (X n Y) u X = X]
= ((A n B) u (B n C)) u (C n A) qed

Unter Verwendung der oben erwähnten Definitionen haben wir also gezeigt:
(A u B) n (B u C) n (C u A) = (A n B) u (B n C) u (C n A) .

Also das "Ausmultiplizieren" hat sich doch noch als ein wenig komplizierter erwiesen als (vielleicht) gedacht.

Neben dem erwähnten (und. "erweiterten") Distributivgesetz und den Kommutativ- und Assoziativgesetzen benötigt man (hier, in meinem Beweis) noch die Idempotenzgesetze sowie eines der Absorptionsgesetze.

Viell. hätte van Dalen diese Aufgabe mit einem * versehen sollen (so wie manche Autoren das bei - im gegebenen Kontext - etwas "anspruchsvolleren" Aufgaben tun.)

_______________________________

*) Das soll in einem späteren Post gezeigt/bewiesen werden.

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, April 12, 2023 at 4:55:56 AM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:
> On Saturday, April 8, 2023 at 7:03:28 AM UTC+2, Martin Vaeth wrote:
> > Fritz Feldhase schrieb:
> > >
> > > Erst mal die "Pflicht", die "Kür" kommt danach.
> > >
> > > Prove: (A u B) n (B u C) n (C u A) = (A n B) u (B n C) u (C n A) .
> > >
> > Man beweist das Distributivgesetz (A u B) n C = (A n C) u (B n C)
> > (oder kennt es bereits) sowie die Kommutativgesetze für u und n
> > und "multpliziert aus".
> >
> Ja, an sich sicher der richtige Ansatz. Aber ganz so einfach ist es dann doch nicht (wenn man den Beweis im Detail ausführt).
>

> [...]

>
> Unter Verwendung der oben erwähnten Definitionen haben wir also gezeigt:
> (A u B) n (B u C) n (C u A) = (A n B) u (B n C) u (C n A) .

Nachdem das nun erledigt ist, hier die angekündigte/versprochene "Kür":

Es heißt da im Buch (vollständig):

| Prove: (A u B) n (B u C) n (C u A) = (A n B) u (B n C) u (C n A) .

| Generalize this result to more than three sets.

Oh!

D a s wäre nun mal eine Aufgabe für unseren Tüftler RR. :-P

[Ehrlich gesagt, erscheint mir diese Erweiterung der Aufgabe als zu anspruchsvoll für einen "Anfänger". Wir sind gerade mal auf Seite 17 des Buchs. Also spätestens jetzt wäre m. E. ein * gerechtfertigt gewesen. Viell. handelt es sich auch nur um eine Art "Test", um "die Spreu vom Weizen zu trennen"? Ich denke jedenfalls nicht, dass einem "Wesentliches" entgeht, wenn man die erweiterte Aufgabe nicht lösen kann; aber interessant und lehrreich ist sie doch.]

[Martin Vaeth]

Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com> schrieb:

>> >
>> > Prove: (A u B) n (B u C) n (C u A) = (A n B) u (B n C) u (C n A) .
>> >
>> Man beweist das Distributivgesetz (A u B) n C = (A n C) u (B n C)
>> (oder kennt es bereits) sowie die Kommutativgesetze für u und n
>> und "multpliziert aus".

Ich stimme Dir zu, dass ich die Assoziativität von u und n
vergessen habe aufzuzählen (sowie natürlich X u X = X), was ich
aber beides für die Mengenalgebra als trivial empfunden habe.

> Aber ganz so einfach ist es dann doch nicht (wenn man den Beweis
> im Detail ausführt).

Nur wäre es unsinnig, ihn im Detail auszuführen, weil man -
wie in der Mathematik üblich - einfach bereits Bekanntes
wiederverwendet. Übrigens spricht man ja nicht umsonst von
"Mengenalgebra" - es ist ja eine Boolesche Algebra.
Mit anderer Notation ist das Ganze glasklar:
Man zeige, dass

(A + B)(B + C)(C + A) = AB + BC + CA (*)

in einem kommutativen Ring mit der Eigenschaft X + X = X.
Alle Eigenschaften des kommutativen Rings wurden für die
Mengenalgebra anscheinend bereits nachgewiesen.
OK, Summa/Produkt für mehr als zwei Summanden kann man noch
ausdrücklich definieren, wobei man das vermutlich in den
meisten Algebra-Büchern auch als "offensichtliche" Definition
nicht extra tut.

> Viell. hätte van Dalen diese Aufgabe mit einem * versehen sollen
> (so wie manche Autoren das bei - im gegebenen Kontext - etwas
>"anspruchsvolleren" Aufgaben tun.)

Ernsthaft? Du empfindest das Ausmultiplizieren in (*) als
"anspruchsvollere" Aufgabe?

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, April 12, 2023 at 8:49:21 AM UTC+2, Martin Vaeth wrote:
> Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com> schrieb:
> >> >
> >> > Prove: (A u B) n (B u C) n (C u A) = (A n B) u (B n C) u (C n A) .
> >> >
> >> Man beweist das Distributivgesetz (A u B) n C = (A n C) u (B n C)
> >> (oder kennt es bereits) sowie die Kommutativgesetze für u und n

> >> und "multipliziert aus".

> > >
> Ich stimme Dir zu, dass ich die Assoziativität von u und n

> vergessen habe aufzuzählen (sowie natürlich X u X = X) [...]

Neben dem (von Dir) erwähnten (und dem von mir "erweiterten") Distributivgesetz und den Kommutativ- und Assoziativgesetzen benötigt man (in meinem Beweis) noch die Idempotenzgesetze _sowie eines der Absorptionsgesetze_. Daher:

> > Aber ganz so einfach ist es dann doch nicht (wenn man den Beweis im Detail ausführt).
> >
> Nur wäre es unsinnig, ihn im Detail auszuführen

Nein, das wäre nicht unsinnig, sondern das ist der der eigentliche Sinn und Zweck der Aufgabe(n) in dem Buch. <Holy shit!>

Vielleicht ist es schon zu lange her, dass Du selbst mal "Anfänger" warst und mit bzw. aus so einem Buch gelernt hast.

Ein lapidares "wie man leicht zeigen kann", ist hier (als "Lösung" der Aufgabe) NICHT angemessen.

> weil man - wie in der Mathematik üblich - einfach bereits Bekanntes wiederverwendet.

Hier - im Kontext dieses Anfängerbuchs (eine Einführung in die elementare Mengenlehre) - gibt es aber nichts "Bekanntest" auf das Du zurückgreifen könntest - außer den im Buch schon bewiesenen Theoremen bzw. selbst gelösten Aufgaben (vor der Aufgabe um die es hier geht).

Insbesondere gibt es das Konzept der "Mengenalgebra" an dieser Stelle noch nicht. (Hier ist noch alles recht "elementar".)

> Übrigens spricht man ja nicht umsonst von "Mengenalgebra" - es ist ja eine Boolesche Algebra.
> Mit anderer Notation ist das Ganze glasklar: Man zeige, dass
>
> (A + B)(B + C)(C + A) = AB + BC + CA (*)

Das ist ja alles schön und gut. Aber darauf kann der Lernende solange er nur dieses Buch zugrunde legt, nicht zurückgreifen.

Man soll diese Aufgaben mit dem im Buch zur Verfügung gestellten Mitteln lösen. Das ist auch aus den Beispiellösungen (zuvor bewiesener Theoreme) ersichtlich. Es geht hier um elementare Mengenlehre - Konzepte wie "Mengenalgebra" bzw. "Boolesche Algebra" sind an dieser Stelle noch nicht eingeführt/erklärt.

> in einem kommutativen Ring mit der Eigenschaft X + X = X.

Auch der Begriff des kommutativen Rings ist hier noch nicht "bekannt" (im Kontext der Aufgabe in diesem Buch).

Etc. etc.

> Alle Eigenschaften des kommutativen Rings wurden für die
> Mengenalgebra anscheinend bereits nachgewiesen.

Das mag sein, ja, aber eben noch stehen diese Begriffe/Konzepte nicht zur Verfügung. Der Lernende müsste sich das also gegebenenfalls selbst "aus den Fingern saugen".

> OK, Summa/Produkt für mehr als zwei Summanden kann man noch ausdrücklich definieren,

Man MUSS es, das sagte ich doch schon. Mit undefinierten Ausdrücken herum zu hantieren, mag zwar im Kontext der Mückenmatik in Ordnung sein, aber Kontext der Mengenlehre sollte man das nicht tun.

> wobei man das vermutlich in den meisten Algebra-Büchern auch als "offensichtliche" Definition nicht extra tut.

1. Ist das Buch - wie schon einige Male erwähnt - KEIN Algebra-Buch, sonder ein (einführendes) Lehrbuch zur Mengenlehre.

2. Würde ich es auch im Kontext eines Algebra-Buchs als Mangel empfinden, wenn das dort übersprungen wird.

Wenn ich ich recht erinnere findet sich da aber meist ein "Hinweis", dass man wegen der Assoziativität (if so) Klammern weglassen könne, und statt z. B. a * (b * c) (oder (a * b) * c) einfach a * b * c schreiben könne, oder so was.

Nun ist eine entsprechend Definition in der Tat ziemlich einfach, z. B.:

a * b * c := (a * b) * c.

Und es gilt dann (wegen der Assoziativität von *, if so): a * b * c = (a * b) * c = a * ( b * c).

Und natürlich kann man sich eine Kette von Definitionen vorstellen, so dass also ein Ausdruck der Form a_1 * ... * a_n für eine beliebige Anzahl von Termen a_i (mit i = 1, ..., n) definiert ist, aber gilt für all diese Ausdrücke auch, dass beliebig geklammert werden darf, ohne dass sich etwas "am Wert des Ausdrucks" ändert? (Einfach mal so glauben?)

Jedenfalls habe ich auch schon mal in einem Algebrabuch einen Beweis für diese Tatsache gefunden. :-)

> > Viell. hätte van Dalen diese Aufgabe mit einem * versehen sollen
> > (so wie manche Autoren das bei - im gegebenen Kontext - etwas
> >"anspruchsvolleren" Aufgaben tun.)
> >
> Ernsthaft? Du empfindest das Ausmultiplizieren in (*) als "anspruchsvollere" Aufgabe?

Du laberst dummes Zeug daher.

Nein, ich empfinde "ausmultiplizieren" nicht als anspruchsvolle Aufgabe.

Darüber hinaus hatte ich aber doch schon erwähnt, dass es (hier) allein mit dem "Ausmultiplizieren" nicht getan ist - ganz abgesehen davon, dass das der Lernende an dieser Stelle noch nicht "einfach so" machen kann. (Siehe Bemerkungen oben bzw. in meinem letzten Post.)

Ganz offensichtlich hast Du mein letztes Post nicht wirklich aufmerksam (also mit Verstand) durchgelesen. Sei's drum. (Erstaunlicherweise hast Du der vergleichsweise trivialen Aufgabe "Prove: A - B c= C <-> A - C c= B" wesentlich mehr Verständnis entgegengebracht. Aber bei dieser Aufgabe versagst Du diesbezüglich leider total.)

EOD

P.S. Nochmal: Die Aufgabe kommt nicht aus einem Algebra-Buch, sondern aus einem Lehrbuch der (elementaren) Mengenlehre. Die Aufgabe lautet auch nicht "Man zeige: (A + B)(B + C)(C + A) = AB + BC + CA", sondern "Prove: (A u B) n (B u C) n (C u A) = (A n B) u (B n C) u (C n A)". Ausdrücke der Form X u Y u Z ... wurden leider an der Stelle des Buches noch gar nicht definiert und "algebraische Begriffe" (wie "kommutativer Ring", "boolesche Algebra", etc.) wurden (noch?) nicht eingeführt/erklärt. Alles was der Lernende in diesem Kontext "zur Hand" hat sind ein paar elementare Grundtatsachen in Bezug auf Mengen sowie die Definitionen der Begriff u und n (sowie einige Theoreme dazu).

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, April 12, 2023 at 4:26:57 PM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:

> Nun ist eine entsprechend Definition in der Tat ziemlich einfach, z. B.:
>
> a * b * c := (a * b) * c.

oder a * b * c := a * (b * c).

> Und es gilt dann (wegen der Assoziativität von *, if so): a * b * c = (a * b) * c = a * ( b * c).

Natürlich schreiben wir ja schon "von jeher" (weil in der Schule so gelernt) Dinge wie 1 + 2 + 3 + ... + 100 oder 2 * 3 * 5, etc. Dennoch sollte man (im Kontext der Mathematik) auch zumindest einmal über die (konkrete, korrekte) Definition solcher Ausdrücke nachdenken.

Ich könnte mir da 2 verschiedene "Auffassungen" vorstellen, eine a) mehr syntaktische und eine ...b) "inhaltlische" (?).

a) Man fasst einen Ausdruck "a * b * c" nur als eine "Abkürzung" für den Ausdruck "(a * b) * c" auf. ("Definition" als Abkürzung.)

b) Der Ausdruck "a * b * c := (a * b) * c" definiert eine 3-stellige Operation *(., ., .), die man allerdings in "Infixnotation" hinschreibt.

Vernutlich wird in den meisten Büchern da gar nicht so genau differenziert bzw. das auf diese Weise thematisiert. In Logiklehrbüchern findet mal mal die eine Form der "Definition" (erklärt), mal die andere. Im Kontext der Mathematik wird man unter einer Definition aber wohl eher so etwas wie b) verstehen, denke ich.*)

> Und natürlich kann man sich eine Kette von Definitionen vorstellen, so dass also ein Ausdruck der Form a_1 * ... * a_n für eine beliebige Anzahl von Termen a_i (mit i = 1, ..., n) definiert ist, aber gilt für all diese Ausdrücke auch, dass beliebig geklammert werden darf, ohne dass sich etwas "am Wert des Ausdrucks" ändert? (Einfach mal so glauben?)
>
> Jedenfalls habe ich auch schon mal in einem Algebrabuch einen Beweis für diese Tatsache gefunden. :-)

Und auch in diesem Buch: Pavel S. Alexandroff, Einführung in die Gruppentheorie.

______________________

*) Gelegentlich kommt [in älteren Logiklehrbücher] für a) der Ausdruck "=df" zur Anwendung, also sowohl für z. B. 2 =df 1 + 1 als auch P -> Q =df (~P v Q). Während man im Falle von b) hier (insbesondere in der deutschsprachigen Literatur) wohl unterscheiden würde zwischen 2 := 1 + 1 und P -> Q :<-> (~P v Q).

[Jens Kallup]

Am 12.04.2023 um 17:15 schrieb Fritz Feldhase:
> *) Gelegentlich kommt [in älteren Logiklehrbücher] für a) der Ausdruck "=df" zur Anwendung, also sowohl für z. B. 2 =df 1 + 1 als auch P -> Q =df (~P v Q). Während man im Falle von b) hier (insbesondere in der deutschsprachigen Literatur) wohl unterscheiden würde zwischen 2 := 1 + 1 und P -> Q :<-> (~P v Q).

ja !
für mich wirkt das verwirrend, und es anders machen würde - bin aber
kein guter Buchschreiber - nur Quacksalber !

zu Deinen a) und b) => tolle Sache !!!

Jens

--
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www.avast.com

[Stefan Schmitz]

Am 12.04.2023 um 17:15 schrieb Fritz Feldhase:

> On Wednesday, April 12, 2023 at 4:26:57 PM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:
>
>> Nun ist eine entsprechend Definition in der Tat ziemlich einfach, z. B.:
>>
>> a * b * c := (a * b) * c.
>
> oder a * b * c := a * (b * c).
>
>> Und es gilt dann (wegen der Assoziativität von *, if so): a * b * c = (a * b) * c = a * ( b * c).
>
> Natürlich schreiben wir ja schon "von jeher" (weil in der Schule so gelernt) Dinge wie 1 + 2 + 3 + ... + 100 oder 2 * 3 * 5, etc. Dennoch sollte man (im Kontext der Mathematik) auch zumindest einmal über die (konkrete, korrekte) Definition solcher Ausdrücke nachdenken.
>
> Ich könnte mir da 2 verschiedene "Auffassungen" vorstellen, eine a) mehr syntaktische und eine ...b) "inhaltlische" (?).
>
> a) Man fasst einen Ausdruck "a * b * c" nur als eine "Abkürzung" für den Ausdruck "(a * b) * c" auf. ("Definition" als Abkürzung.)
>
> b) Der Ausdruck "a * b * c := (a * b) * c" definiert eine 3-stellige Operation *(., ., .), die man allerdings in "Infixnotation" hinschreibt.
>
> Vernutlich wird in den meisten Büchern da gar nicht so genau differenziert bzw. das auf diese Weise thematisiert. In Logiklehrbüchern findet mal mal die eine Form der "Definition" (erklärt), mal die andere. Im Kontext der Mathematik wird man unter einer Definition aber wohl eher so etwas wie b) verstehen, denke ich.*)

Man könnte auch einfach die beiden * als jeweils zweistellige Operatoren
verstehen. Falls keine Assoziativität vorläge, hinge das Ergebnis davon
ab, welche Operation man zuerst ausführt.
Werden überhaupt je Operatoren mehrfach ohne Klammer verwendet, ohne
dass Assoziativität vorher klar ist?

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, April 12, 2023 at 5:40:09 PM UTC+2, Stefan Schmitz wrote:
> Am 12.04.2023 um 17:15 schrieb Fritz Feldhase:
> > On Wednesday, April 12, 2023 at 4:26:57 PM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:
> >
> >> Nun ist eine entsprechend Definition in der Tat ziemlich einfach, z. B.:
> >>
> >> a * b * c := (a * b) * c.
> >
> > oder a * b * c := a * (b * c).
> >
> >> Und es gilt dann (wegen der Assoziativität von *, if so): a * b * c = (a * b) * c = a * ( b * c).
> >
> > Natürlich schreiben wir ja schon "von jeher" (weil in der Schule so gelernt) Dinge wie 1 + 2 + 3 + ... + 100 oder 2 * 3 * 5, etc. Dennoch sollte man (im Kontext der Mathematik) auch zumindest einmal über die (konkrete, korrekte) Definition solcher Ausdrücke nachdenken.
> >
> > Ich könnte mir da 2 verschiedene "Auffassungen" vorstellen, eine a) mehr syntaktische und eine ...b) "inhaltlische" (?).
> >
> > a) Man fasst einen Ausdruck "a * b * c" nur als eine "Abkürzung" für den Ausdruck "(a * b) * c" auf. ("Definition" als Abkürzung.)
> >
> > b) Der Ausdruck "a * b * c := (a * b) * c" definiert eine 3-stellige Operation *(., ., .), die man allerdings in "Infixnotation" hinschreibt.
> >
> > Vernutlich wird in den meisten Büchern da gar nicht so genau differenziert bzw. das auf diese Weise thematisiert. In Logiklehrbüchern findet mal mal die eine Form der "Definition" (erklärt), mal die andere. Im Kontext der Mathematik wird man unter einer Definition aber wohl eher so etwas wie b) verstehen, denke ich.*)
> >
> Man könnte auch einfach die beiden * als jeweils zweistellige Operatoren verstehen.

Mag sein (wobei ich da jedoch meine Bedenken habe *), aber letztlich muss man dann eben DOCH iw. "angeben" (also definieren), wie der Ausdruck zu lesen/interpretieren ist. Vor allem wenn es um sog. "explizite Definitionen" (in einem semi-formalen Kontext) geht. ("a * b * c ist (a * b) * c oder a * (b * c)" ist jedenfalls keine explizite Definition.)

"Ist wurscht wie" erscheint mir jetzt doch als ein wenig "unbefriedigend" zu sein, im Kontext der Logik und/oder Mathematik. :-P

Man vermischt hierbei auch syntaktische und "semantische" Aspekte, scheint mir. Dass letzlich der Ausdruck "a * b * c" (nach entsprechender Definition und vorliegender Assoziativität) das gleiche "bedeutet" (also das selbe Objekt bezeichnet) wie "(a * b) * c" und "a * (b * c)" ist eine Tatsache, aber eben die sollte man m. E. wohl nicht heranziehen (müssen) bei der expliziten Definition eines Begriffs/Ausdrucks.

_______________________

*) Der Fall liegt ja bei Ausdrücken wie a + b*c anders, da hier "*" (nach einer Vereinbarung/Konvention) stärker "bindet" als +. Anders formuliert, der Ausdruck ist dann so zu lesen: a + (b*c). Dann ist auch klar auf welche Argumente sich die binären Operatoren beziehen).

> Falls keine Assoziativität vorläge, hinge das Ergebnis davon
> ab, welche Operation man zuerst ausführt.
> Werden überhaupt je Operatoren mehrfach ohne Klammer verwendet, ohne
> dass Assoziativität vorher klar ist?

Ja, hier steht etwas Interessantes dazu:
https://de.wikipedia.org/wiki/Operatorassoziativit%C3%A4t

interessant ist auch der Inhaltliche Unterschied zu:
https://en.wikipedia.org/wiki/Operator_associativity

[Martin Vaeth]

Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com> schrieb:

>>
>> Ich stimme Dir zu, dass ich die Assoziativität von u und n
>> vergessen habe aufzuzählen (sowie natürlich X u X = X) [...]
>
> Neben dem (von Dir) erwähnten (und dem von mir "erweiterten")
> Distributivgesetz und den Kommutativ- und Assoziativgesetzen
> benötigt man (in meinem Beweis) noch die Idempotenzgesetze
> _sowie eines der Absorptionsgesetze_

Du hast recht, man braucht X n X = X sowie anstelle des
von mir behaupteten X u X = X das etwas allgemeinere aber
ebenso offensichtliche (und trivial zu beweisende)
(X n Y) u X = X.
Weil ich es nur im Kopf überflogen ausmultipliziert und
dabei zwei Terme vergessen hatte, war mir das tatsächlich entgangen.

> Hier - im Kontext dieses Anfängerbuchs (eine Einführung
> in die elementare Mengenlehre) - gibt es aber nichts
> "Bekanntest" auf das Du zurückgreifen könntest - außer
> den im Buch schon bewiesenen Theoremen bzw. selbst
> gelösten Aufgaben

Und anscheinend wurde alles zur Lösung Notwendige
(Assoziatität und Kommutativität, vermutlich auch
Distributivität) bereits gezeigt.
Das noch ausstehende X n X = X und (X n Y) u X = X
wurde vielleicht ebenfalls schon gezeigt, oder
man muss eine Zeile Beweis dazu hinschreiben.

> Konzepte wie "Mengenalgebra" bzw. "Boolesche Algebra"
> sind an dieser Stelle noch nicht eingeführt/erklärt.

> [...]

> Auch der Begriff des kommutativen Rings ist hier noch nicht
> "bekannt"

Die Terminologie muss man ja dazu nicht kennen. Wenn man
reelle und komplexe Zahlen kennt, sind einem die
Konzepte aber bekannt.

Ja, mir ist schon klar, dass Du Dich auf den rein
formalen Standpunkt stellst. Kannst Du tun, aber das
Problem ist, dass ein solches Buch ein schlechtes Lehrbuch
wäre, weil einfach langweilig.

> Der Lernende müsste sich das also gegebenenfalls selbst
> "aus den Fingern saugen".

Ja, in der Tat, der Leser muss in der Lage sein, triviale
Sachverhalte zu übertragen. Das nennt man üblicherweise
"abstraktes Denken" und ist in der Tat eine Eigenschaft,
über die man verfügen sollte, wenn man ein Mathematikbuch
liest.

>> OK, Summa/Produkt für mehr als zwei Summanden
> kann man noch ausdrücklich definieren,
>
> Man MUSS es, das sagte ich doch schon.

Nein, nicht "ausdrücklich". Eine Bemerkung wie
"Es ist klar, was z.B. A u B u C bedeuten soll" sollte
vollkommen ausreichen, und auch wenn dieser Satz *nicht*
ausdrücklich da steht, sollte es trotzdem ausreichen.

> Mit undefinierten Ausdrücken herum zu hantieren

Nur, weil man etwas nicht *explizit* definiert hat,
heißt es nicht, dass es undefiniert ist. Es heißt nur,
dass es nicht *formal* eingeführt wurde.

Überleg mal: Wie lange hast Du gebraucht, um herauszufinden,
wie die Definition von A u B u C aussehen muss?
Glaubst Du wirklich, es gibt einen Leser, der diese
Definition an dieser Stelle *nicht* selbständig füllen kann?

Oder glaubst Du gar, er würde die Mengenlehre
besser verstehen, wenn Du ihm diese Banalität in
allen Details vorkaust, statt ihm zuzutrauen, die
offensichtliche Lücke auszufüllen?

> Und natürlich kann man sich eine Kette von Definitionen

> vorstelle so dass also ein Ausdruck der Form

> a_1 * ... * a_n für eine beliebige Anzahl von Termen a_i
> (mit i = 1, ..., n) definiert ist

Ich vermute nicht nur, dass man sich das vorstellen kann.
Ich unterstelle sogar, dass *jeder*, der mal eine
Übungsaufgabe zu einer vollständigen Induktion gesehen hat
(und natürlich ein gewisses Grundinteresse an Mathematik hat),
weiß, wie sowas zu machen ist. Das mehr als einmal zu sehen,
ist einfach nur langweilig. Es vorgekaut zu bekommen, ist
sogar *stink*langweilig.
Selbstverständlich darf ein Lehrbuch über Mengenlehre, das
sich an Studenten richtet, solche Grundkenntnisse von seinen
Lesern voraussetzen, ohne die Banalitäten ausführlich zu
wiederholen.

> aber gilt für all diese Ausdrücke auch, dass beliebig
> geklammert werden darf, ohne dass sich etwas
> "am Wert des Ausdrucks" ändert? (Einfach mal so glauben?)

So sehr glauben oder nicht, wie Du es bei reellen Zahlen
glaubst: Weil es ja nichts anderes ist als dort,
zusammen mit der einfache Erkenntnis, dass Du dazu bei
reellen Zahlen nur die Assozativität benutzt.

> Jedenfalls habe ich auch schon mal in einem Algebrabuch
> einen Beweis für diese Tatsache gefunden. :-)

Ein Buch, das ich spätestens da aus Langeweile weggelegt
hätte. Das mal in einer Übungsaufgabe über formale
Sprachen zu sehen, wäre für mich das höchste erträgliche
Maß an Langeweile mit Banalitäten.

>> Ernsthaft? Du empfindest das Ausmultiplizieren
>> in (*) als "anspruchsvollere" Aufgabe?
>
> Du laberst dummes Zeug daher.
>
> Nein, ich empfinde "ausmultiplizieren" nicht als
> anspruchsvolle Aufgabe.

Das ist der einzig anspruchsvolle Teil der Aufgabe,
weil man sich da verrechnen kann, wie es mir passiert
ist.

> Darüber hinaus hatte ich aber doch schon erwähnt,
> dass es (hier) allein mit dem "Ausmultiplizieren"
> nicht getan ist

Ja, man braucht noch die trivialen Zusatzregeln
X n X = X und (X n Y) u X = X.

> ganz abgesehen davon, dass das der Lernende an dieser
> Stelle noch nicht "einfach so" machen kann.

Doch, genau das darf man und *muss* man annehmen,
wenn man den Lernenden nicht nur mit Banalitäten
langweilen will.

Es ist deswegen m.E. eine gute Aufgabe, aber weil sie
eben i.W. nicht mehr als eine triviale Übertragung von
Bekanntem darstellt, keine anspruchsvolle Aufgabe.

> Ganz offensichtlich hast Du mein letztes Post nicht
> wirklich aufmerksam (also mit Verstand) durchgelesen.

Ganz im Gegenteil. Mir ist vollkommen klar, dass Du
darauf hinaus willst, dass für die Aufgabe noch nicht
formal alles im Detail vorgekaut wurde.

Was Du nicht zu verstehen scheinst, ist, dass Mathematik
etwas anderes ist, als reiner Formalismus, und dass der
"Anspruch" einer Aufgabe nichts damit zu tun hat, wie
sehr man an diesem haftet.

Wir sind hier in einer ganz tiefen Grundsatzdiskussion,
bei der mir mal wieder bewusst wird, wie gefährlich der
Bourbakismus in der mathematischen Lehre ist (s. unten),
obwohl ich deren Vertreter aus *mathematischer* Sicht
sehr gut verstehe. Aber das ist eben der Unterschied
zwischen *Mathematik* einerseits und Mathematik*unterricht*
oder einem (mathematischen) *Lehr*buch andererseits.

Wie gesagt: Immer eine Gradwanderung, aber reiner
Bourbakismus ist einfach nur stinklangweilig und geht
am Wesentlichen vorbei - der Erziehung zum *eigenen*
Denken.

> hast Du der vergleichsweise trivialen Aufgabe
> "Prove: A - B c= C <-> A - C c= B" wesentlich mehr
> Verständnis entgegengebracht.

Zu dieser banalen Aufgabe hätte ich nichts geschrieben,
hätte ich nicht eine Aussage von Rainer dazu
richtigstellen wollen.

> Aber bei dieser Aufgabe versagst Du diesbezüglich
> leider total

Im Gegenteil. Ich verstehe Deinen rein formalen
Standpunkt sehr gut - aus *mathematischer* Sicht.
Aber in einem *Lehr*buch ist er eben vollkommen fehl
am Platze, und die Anwesenheit oder Abwesenheit
von Formalismus hat nichts mit der Schwierigkeit einer
Aufgabe zu tun.

Genau damit zeigst Du, wie gefährlich der Bourbakismus
ist: Mit eigenem Denken - Transfer von aus R bekanntem -
ist die Aufgabe trivial, aber wenn man nur voll
formalisierte Schlüsse erlaubt, erscheint die
Trivialität auf einmal als etwas Schwieriges und
Komplexes. Das einfache Fazit der Aufgabe ist, dass
man den Formalismus eben nicht über die Intuition
stellen darf: Er ist immer nur ein Hilfsmittel,
wenn auch *theoretisch* das einzig verfügbare:
Wir reden - grob gesprochen - über den Unterschied
zwischen Theorie und (mathematischer) Praxis.

[Martin Vaeth]

Martin Vaeth <mar...@mvath.de> wrote:
> Wie gesagt: Immer eine Gradwanderung, aber reiner

Was'n übler Typo. Natürlich meinte ich die Gratwanderung.

[Jens Kallup]

Am 12.04.2023 um 23:15 schrieb Martin Vaeth:
> Überleg mal: Wie lange hast Du gebraucht, um herauszufinden,
> wie die Definition von A u B u C aussehen muss?
> Glaubst Du wirklich, es gibt einen Leser, der diese

> Definition an dieser Stelle*nicht* selbständig füllen kann?

>
> Oder glaubst Du gar, er würde die Mengenlehre
> besser verstehen, wenn Du ihm diese Banalität in
> allen Details vorkaust, statt ihm zuzutrauen, die
> offensichtliche Lücke auszufüllen?

jetzt lehnt sich aber einer voll aus dem Fenster heraus...

woher soll ein Schüler wissen, was man mit A u B u C machen
soll ?
Ich würde sagen, dass da erstmal geklärt werden müsste, was
u als Symbol zu bedeuten hat ...

Es ist ja so, das andere Länder, andere Sitten habenm und
davon auszugehen, das immer der gleiche Symbol-Vokabular
verwendet wird, das mag ich nicht einschätzen zu können an
dieser Stelle.

Soweit hast Du aber Recht, wenn Du schreibst, dass, wenn
man sich vorher auf die Symbolik(bedeutung) einigt das Lesen
einer Formel oder eines Buches durchaus mehr sinn macht,
wenn man eine Legende (sofern vorhanden) am Anfang des buches
platziert.

Ich werde doch auch ein Warnhinweis auf meine Eingangstür zim
Hof eine Notiz anbringen, wenn ich genau weiß, das mein Hund
den Einbrecher ins Bein beißen wird, sobald dieser den Hof
betriett ... weil ich ja genau weiß, das der Einbrecher, so
doof das auch hier klingen mag, mich anzeigen kann, weil mein
Wachhund Körperverletzung begangen hat, und dadurch der Halter
des Tieres (also ich) dafür belangt werden kann.

[Fritz Feldhase]

On Thursday, April 13, 2023 at 1:24:37 AM UTC+2, Jens Kallup wrote:
> Am 12.04.2023 um 23:15 schrieb Martin Vaeth:
> >
> > Überleg mal: Wie lange hast Du gebraucht, um herauszufinden,
> > wie die Definition von A u B u C aussehen muss?
> > Glaubst Du wirklich, es gibt einen Leser, der diese

> > Definition an dieser Stelle *nicht* selbständig füllen kann?

Ja, das glaube ich. :-) (Mückenheim comes to mind.)

> > Oder glaubst Du gar, er würde die Mengenlehre

> > besser verstehen, wenn Du ihm diese[n Sachverhalt] in

> > allen Details vorkaust, statt ihm zuzutrauen, die

> > [...] Lücke auszufüllen?

Ja, das glaube ich. Immerhin handelt es sich in der Tat um eine Lücke.

Auch wenn hier Herr Martin glaubt, sich als dümmlicher Ignorant gerieren zu müssen, so geht z. B. der Autor P. S. Alexandroff in seinem Buch "Einführung in die Gruppentheorie" sehr wohl auf diesen Sachverhalt ein. Offenbar ist *er* der Meinung, dass dem Leser damit gedient ist, ihm das "in allen Details" vorzukauen.

Dabei stellt sich mir gerade die Frage: Wer war eigentlich P. S. Alexandroff? (Muss im Vergleich zu Herrn Martin ja eine ziemlich trübe Tasse gewesen sein.) Hmmm...

Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Pawel_Sergejewitsch_Alexandrow

Werke:
- Einführung in die Gruppentheorie. 11. Auflage. Harri Deutsch, 2001.
- Lehrbuch der Mengenlehre. 7. Auflage. Harri Deutsch, 2001.
- Abschnitt Einfachste Grundbegriffe der Topologie in David Hilbert, Stephan Cohn-Vossen: Anschauliche Geometrie. 2. Auflage. Springer Verlag, 1996.
- Herausgeber und Mitautor Enzyklopädie der Elementarmathematik, 4 Bde., Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (Ost), 1977–1980
- Herausgeber und Mitautor; Hannelore Bernhardt, Walter Purkert (Red. der deutschen Ausgabe): Die Hilbertschen Probleme, Verlag Harri Deutsch (Ostwalds Klassiker Bd. 252) 1998, zuerst 1971
- mit Heinz Hopf Topologie, Bd. 1, Springer, 1935, neu 1974

Hmmm... Das hat nichts zu bedeuten!

Der Dödel hat sogar ein Lehrbuch zur Mengenlehre geschrieben! <Tz tz...> Ein Rezensient auf Amazon schreibt dazu:

"*Hervorragendes Buch von einem Meister*

Das Buch behandelt die sogenannte Naive Mengenlehre (die alles andere als "naiv" ist) gutverstaendlich und auf hohem Nivau (eine seltene Kombination bei Lehrbuechern). Was dieses Buch gegenueber anderen auszeichnet ist, dass Alexandroff (selbst ein bedeutender Mathematiker) sich auf das Wesentliche beschraenkt, dabei aber einen sehr breiten Bogen der Mengenlehre spannt. Daher kann er die Mengenlehre auf 90 Seiten, ohne dabei eingeengt zu wirken, behandeln. Das schafft er, indem er die Begriffe, Definitionen und Notationen minimal einfuehrt (was leider bei vielen anderen Buechern nicht der Fall ist, dort muss man einen ganzen Sack voll Begriffe etc. mit sich herrumschleppen, bei manchen so extrem, dass man am Ende nicht mehr weis, wo man steht). Die Beweise sind klar und einfach nachvollziehbar, dabei elegant und praezise. Obwohl das Buch als "Lehrbuch der Mengenlehre" betitelt ist, behandelt es weitaus mehr Themen, wie z.B. Metrische Raeume, Topologie und Reelle Funktionen. Wie Galois mal gesagt haben soll: "man muss nur die Meister lesen"

Also wirklich! <Kopfschüttel>

> jetzt lehnt sich aber einer voll aus dem Fenster heraus...

Finde ich auch. Herr Martin schein ein ziemlicher Schwätzer zu sein.

> woher soll ein Schüler wissen, was man mit A u B u C machen soll ?

So ist es.

> Ich würde sagen, dass da erstmal geklärt werden müsste, was u als Symbol zu bedeuten hat ...

Das ist in van Dalens Buch (im Abschnitt, der sich vor der Aufgabe, um die es hier geht, befindet) schon geschehen. Man weiß also schon, was A u B bedeutet. Insbesondere wird dabei "u" als binäre Operation eingeführt. Aber damit ist der Ausdruck "A u B u C" eben noch nicht erklärt.

Herr Martin scheint es da ein wenig wie Herr Mückenheim zu halten. Präzise Definitionen sind (ihm) offenbar nicht so wichtig. ("Der Leser wird sich schon irgendwas dabei denken.")

[Martin Vaeth]

Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com> schrieb:

>> Am 12.04.2023 um 23:15 schrieb Martin Vaeth:
>> > Glaubst Du wirklich, es gibt einen Leser, der diese
>> > Definition an dieser Stelle *nicht* selbständig füllen kann?
>
> Ja, das glaube ich. :-) (Mückenheim comes to mind.)

Mückenheim ist ein Leser des Buches, der versucht, es
zu verstehen?

>> > Oder glaubst Du gar, er würde die Mengenlehre

>> > besser verstehen [...]
>
> Ja, das glaube ich.

Aha: Wenn Du Mückenheim ein unwesentliches technisches
Detail ausführlich erklärst, wird er alles besser verstehen.
Ja, das glaube ich, dass das Deine Ansicht ist, denn Du tust
es ja seit Jahren. Und? Hat Dir der Erfolg recht gegeben?

> Auch wenn hier Herr Martin glaubt, sich als dümmlicher
> Ignorant gerieren zu müssen

Du hast keines meiner Argumente verstanden - oder genauer:
Du tust so, weil sie Dir nicht gefallen - und wirst deswegen
beleidigend. Nur deswegen noch nicht EOD, weil ich will
dass alle den Argumenten folgen können.

> P. S. Alexandroff [ist anscheinend Bourbakist und trotzdem
> guter Mathematiker]

Das entspricht dem, was ich gesagt habe. Es geht in der
Diskussion um die *Lehre* von einer *Einführung* in ein
mathematisches Gebiet.

Grob gesprochen: Zieht man sich zur Erklärung auf den rein
formalen Standpunkt zurück (der natürlich *mathematisch*
gesehen der einzig mögliche ist, und der unbedingt in einer
ersten Vorlesung für *Mathematiker* auch eingeübt werden
muss), oder erklärt man lieber vieles anschaulich und erwartet,
dass der Leser oder Zuhörer selbst denkt und Trivialitäten
eines Formalismus selbständig füllen kann, nachdem er es
*einmal* in einer mathematischen Veranstaltung gelernt hat?

Ein Streit, den es seit Bourbaki gibt, und von dem es
prominente Vertreter auf allen Seiten gibt (ein bedeutender
"Feind" des Bourbakismus ist beispielsweise der großartige
https://de.wikipedia.org/wiki/Wladimir_Igorewitsch_Arnold,
der in Frankreich die negativen Auswirkungen erlebte).

In der Praxis ist ein gesunder Mittelweg am gesündesten.
Ich war bisher "eher" ein Vertreter der Bourbaki-Seite,
weil ich deren Bücher einfach sehr lesenswert empfand,
aber in diesem Thread sehe ich eben die Auswirkungen, wenn
man das hemmungslos übertreibt (was anscheinend in
Frankreich auch lange praktiziert wurde):

Plötzlich erscheint eine Aufgabe als "fortgeschritten",
nur weil sie nicht eine "straightforward"-Anwendung des
Formalismus ist, nur weil sie eine leichten Analogschluss
von Wohlbekanntem erfordert, dessen präzise Formalisierung
nicht ganz trivial ist.

[Martin Vaeth]

Jens Kallup <kallu...@web.de> schrieb:

>
> woher soll ein Schüler wissen, was man mit A u B u C machen
> soll ?
> Ich würde sagen, dass da erstmal geklärt werden müsste, was
> u als Symbol zu bedeuten hat ...

Da gibt es wohl ein Missverständnis: Es ist in dem Buch
selbstverständlich bereits geklärt worden, was "A u B"
bedeutet. Und es ist ebenso selbstverständlich bereits
geklärt worden, dass
(A u B) u C = A u (B u C)
gilt. Es geht nur um die Frage, ob der "Schüler" daraus
*selbständig* schließen können soll, dass man deswegen in
der Notation auf die Klammern verzichtet (auch bei noch
mehr Mengen als drei Stück), oder ob der Transfer dieser
wohlbekannten Tatsache - man hat das normalerweise bereits
für a + b + c und abc in der Schule gelernt und
normalerweise auch formaler in einer
Einführungsveranstaltung für Mathematik, dort vermutlich
für Gruppen - eine so "große" geistige Leistung ist, dass
eine Aufgabe, in der das offenbar "nebenbei" erkannt werden
soll - bereits als "anspruchsvoll" zu bezeichnen ist.

Übrigens geht es wohl auch nicht um "Schüler", sondern
um Mathematiker, die Details der Mengenlehre kennenlernen
wollen: So verstand ich zumindest das Buch.
Wenn die Zielgruppe des Buches tatsächlich Schüler sein
sollten oder Leute, die noch nie etwas von Mathematik
gehört haben, gilt natürlich anderes.

Wohlgemerkt habe ich auch nicht behauptet, dass der
Beweis der Formalisierung der Behauptung, dass man die
Klammern in allgemeinen Ausdrücken immer weglassen kann,
trivial sei.

Aber ich behaupte, dass der Sachverhalt *wohlbekannt* ist,
und der formale Beweis dafür höchstens dort etwas zu suchen
hat, wo er thematisch hingehört: In ein Lehrbuch über formale
Sprachen. Es ist eben ausschließlich der Vorgang der
Formalisierung der allgemeinen Behauptung selbst, die
diesbezüglich den formalen Beweis "schwierig" macht. In
einem Lehrbuch über Mengenlehre hat das nichts verloren.

[Michael Klemm]

In manchen Vorlesungsausarbeitungen der Analysis oder linearen Algebra wird schon erklärt, was man unter einer sinnvollen Klammerung des Ausdrucks a_1a_2...a_n bei der "Multiplikation" unter der Voraussetzung des Assoziativgesetzes a(bc)=(ab)c versteht.

Gruß Michael

[Stefan Schmitz]

Am 13.04.2023 um 09:39 schrieb Michael Klemm:

> In manchen Vorlesungsausarbeitungen der Analysis oder linearen Algebra wird schon erklärt, was man unter einer sinnvollen Klammerung des Ausdrucks a_1a_2...a_n bei der "Multiplikation" unter der Voraussetzung des Assoziativgesetzes a(bc)=(ab)c versteht.

Nämlich?

[Jens Kallup]

Am 13.04.2023 um 08:19 schrieb Martin Vaeth:
> Plötzlich erscheint eine Aufgabe als "fortgeschritten",
> nur weil sie nicht eine "straightforward"-Anwendung des
> Formalismus ist, nur weil sie eine leichten Analogschluss
> von Wohlbekanntem erfordert, dessen präzise Formalisierung
> nicht ganz trivial ist.

hat da nicht Einer geschrieben, dass das Alles trival ist ?

[Jens Kallup]

Am 13.04.2023 um 08:49 schrieb Martin Vaeth:
> Wohlgemerkt habe ich auch nicht behauptet, dass der
> Beweis der Formalisierung der Behauptung, dass man die
> Klammern in allgemeinen Ausdrücken immer weglassen kann,
> trivial sei.

okay, dann sehe mein erstes Posting von Heute (weiter oben)
als Gegenstandslos an ...

> Aber ich behaupte, dass der Sachverhalt*wohlbekannt* ist,

> und der formale Beweis dafür höchstens dort etwas zu suchen
> hat, wo er thematisch hingehört: In ein Lehrbuch über formale
> Sprachen. Es ist eben ausschließlich der Vorgang der
> Formalisierung der allgemeinen Behauptung selbst, die
> diesbezüglich den formalen Beweis "schwierig" macht. In
> einem Lehrbuch über Mengenlehre hat das nichts verloren.

... und deshalb mag ich die Veranstaltungen und Videos von dem
Edmund, die er auf YouTube veröffentlicht hat.
Er spricht erst den Stoff, und anschließend prüft er ab, ob
seine "Schüler" das gesagte auch verstanden haben ...

Dabei spricht er auch vielmals an den verschiedenen Stellen
davon, das sich seine "Schüler" bei Bedarf das fehlende Wissen
selbst aneignen sollten, und das keiner die Absicht hat, die
künftigen Fachkräfte einfach so durch die Prüfung fallen zu
lassen.

Sprich, er gibt viel Spielraum.

Aber wenn man dann Videos schaut, die in Österreich oder der
Schweiz aufgezeichnet wurden - weiß jetzt nicht den genauen
Ort, aber dort wird gezeigt, das die Hochschule eine Wärme-
kamera hinter den Saal/Tafel hat, mit der erkannt werden kann,
wie interessiert die "Schüler" die Vorlesung verfolgen...

In einer der Videos, so kann ich sagen, das eine Person die
ganze Lesung geschlafen hat, und es ihr sicherlich am Ende
recht unangenehm vorkamm, als sie davon erfuhr (also wo der
Dozent das Geheimnis der Tafel preisgegeben hat), und die
anderen "Schüler" darauf ein auf diese Person begannen zu
lachen.

Und ich weiß jetzt nicht, ob das die richtigen Maßnahmen sind,
den Unterricht zu gestallten, an Hand vom Interesse der
"Schüler".

Du hast Recht, wenn man sagt, daß ein gewisses Vor-Verständnis
vorhanden sein sollte...

Aber ist dies wirklich so, in der Realität, oder empfinden
viel "Schüler" nach dem Abitur den einen oder anderen Lehrstuhl
als einfach ?

Der Edmund sagt ja auch immer: "Vergessen Sie alles, was Sie
in der Schule gelernt haben..!".

[Michael Klemm]

"Die Produktbildung in einer Gruppe G ist unabhängig von der Beklammerung; genauer gesagt: Für irgendwelche Elemente a_1,...,a_k von G definieren wir die Teilmengen P_k(a_1,...,a_k) rekursiv durch P_1(a_1), P_2(a_1,a_2)={a_1a_2} und P_k(a_1,..,a_k)=P_k(a_1,..., a_k) = {xy | x e P_m(a_1,...,a_m),
x e P_m(a_1,...,a_m), y e P_n(a_(m+1),...,a_(m+n)), k=m+n}.
(Die Elemente aus P_k(a_1,...,a_m) sind also gerade die Produkte a_1...a_k mit sinnvoller Beklammerung.) Wir behaupten: Für jedes k enthält P_k(a_1,...,a_k) genau ein Element. Dieses bezeichnen wir mit a_1...a_k. Beweis...".
Gruß Michael

[Stefan Schmitz]

Da steht "sinnvolle Klammerung" nur für die Zweiteilung des Produkts.
Für mich ist das keine Erklärung, was sinnvolle Klammerung sein soll.

[Michael Klemm]

Das ist eine rekursive Beschreibung.
Beispiel: a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7a_8a_9 = (a_1a_2a_3)(a_4a_5a_6a_7a_8a_9)=[(a_1a_2)a_3][(a_4a_5)(a_6a_7a_8a_9)] =
{[(a_1a_2)a_3][(a_4a_5)(a_6a_7)]}{a_8a_9}.
Unabhängig davon kann man auch rekursiv a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7a_8a_9 = (a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7a_8)a_9 definieren.
Gruß Michael

[Fritz Feldhase]

Vielleicht hast Du das Wort "rekursiv" überlesen, oder (noch) nicht verstanden, "was damit verbunden ist".

Ganz schön heavy, was da aufgefahren wird, um ein (scheinbar) "einfache Sache" formal sauber "hinzubekommen". Kein Mückenheim (oder Martin) nicht. (Dieses "Versteht sich doch von selbst", ist eines Mathematiker wirklich nicht würdig! Denn das tut es eben NICHT.)

Dank an Michael für diesen/seinen Beitrag.

[Fritz Feldhase]

On Thursday, April 13, 2023 at 9:39:55 AM UTC+2, Michael Klemm wrote:
> Martin Vaeth schrieb am Donnerstag, 13. April 2023 um 08:49:28 UTC+2:
> >
> > Aber ich behaupte, dass der Sachverhalt *wohlbekannt* ist,
> > und der formale Beweis dafür höchstens dort etwas zu suchen

> > hat, wo er thematisch hingehört: [...]

> > In einem Lehrbuch über Mengenlehre hat das nichts verloren.

Ja, der Meinung kann ich mich durchaus anschließen. Allerdings wäre m. E. in so einem Fall dennoch (auch und gerade in einem Lehrbuch der _axiomatischen Mengenlehre_) eine saubere Definition der Ausdrücke der Form a_1 u ... u a_k bzw. a_1 n ... n a_k geboten. (Ich hatte dazu ja schon einen Vorschlag gemacht.) Danach würde wohl ein Hinweis darauf genügen, _dass man zeigen kann_, dass dann dieser Ausdruck _wegen der Assoziativität von u bzw. n_ "beliebig geklammert werden kann" (ohne dass sich etwas an der "Bedeutung" des Ausdrucks ändert).

> In manchen Vorlesungsausarbeitungen der Analysis oder linearen Algebra wird schon erklärt, was man unter einer sinnvollen Klammerung des Ausdrucks a_1a_2...a_n bei der "Multiplikation" unter der Voraussetzung des Assoziativgesetzes a(bc)=(ab)c versteht.

> > Wohlgemerkt habe ich auch nicht behauptet, dass der
> > Beweis der Formalisierung der Behauptung, dass man die
> > Klammern in allgemeinen Ausdrücken immer weglassen kann,
> > trivial sei.

Ich hatte dazu auch schon einmal etwas (samt Beweis per Induktion) im Einleitungsteil eines Buches zur linearen Algebra gesehen (kann mich aber weder an Titel noch Autor erinnern). Keine große Sache, aber zweifellos sehr hilfreich, da auf diese Weise eine m. E. nicht unwesentliche Lücke in der Darstellung (im Hauptteil des Buchs) geschlossen wird.

Auch hier wird das Thema behandelt: P. S. Alexandroff, Einführung in die Gruppentheorie.

Man könnte also in einem Lehrbuch zur axiomatischen Mengenlehre im Zusammenhang mit dem oben erwähnten Hinweis zumindest eine Fußnote anbringen, die auf einen Text verweist, wo das ausführlich behandelt wird. [Warum selbst das schon "zuviel" sein soll, erschließt sich mir nun wirklich nicht. Es geht dabei ja nicht um Mücken-, sondern Mathematik.]

[Jens Kallup]

Am 13.04.2023 um 15:05 schrieb Fritz Feldhase:
> Man könnte also in einem Lehrbuch zur axiomatischen Mengenlehre im Zusammenhang mit dem oben erwähnten Hinweis zumindest eine Fußnote anbringen, die auf einen Text verweist, wo das ausführlich behandelt wird. [Warum selbst das schon "zuviel" sein soll, erschließt sich mir nun wirklich nicht. Es geht dabei ja nicht um Mücken-, sondern Mathematik.]

da Stimme ich Dir zu !

[Martin Vaeth]

Jens Kallup <kallu...@web.de> wrote:
> Am 13.04.2023 um 08:19 schrieb Martin Vaeth:
>> Plötzlich erscheint eine Aufgabe als "fortgeschritten",
>> nur weil sie nicht eine "straightforward"-Anwendung des
>> Formalismus ist, nur weil sie eine leichten Analogschluss
>> von Wohlbekanntem erfordert, dessen präzise Formalisierung
>> nicht ganz trivial ist.
>
> hat da nicht Einer geschrieben, dass das Alles trival ist ?

Die Formalisierung nicht; der Sachverhalt schon. Genau um
diesen Unterschied geht es: Wenn man sich auf einen Formalismus
versteift, sieht man oft den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Genauer: Man sieht die zugrundeliegenden Ideen nicht, wenn sie
in einem algebraischen Wust von Rechnungen, Definitionen, und
Präzisierungen untergehen. Andererseits gehört Letzteres aber
dazu.

Um es noch einmal deutlich zu sagen: Aus mathematischer
Sicht ist der Formalismus keineswegs nur Beiwerk, sondern
wesentlich, um präzise Beweis führen zu können.
Aber um die Ideen für die Beweis zu haben - sobald es
über triviale Sachverhalte zum Formalismus hinausgeht -
muss man stets über dem Formalismus stehen. Das ist ein
schwerer Spagat, sowohl in der Forschung als auch erst
recht eben in der Lehre.

Je fortgeschrittener die Mathematik ist, die man betreibt,
desto mehr werden die Scheuklappen eines Formalismus zum
Hindernis für das tiefere Verständnis. Es bedarf schon eines
sehr freien Geistes - und wie die Praxis zeigt, eines Lehrbuchs,
das geschrieben wurde, *bevor* der zugrundeliegende moderne
(und theoretisch mächtigere) Formalismus ganz ausgearbeitet
war - um *wirklich* die Bedeutung von Objekten aus der (z.B.)
algebraischen Topologie zu verstehen (auch in anderen Gebieten
wie Differentialgeometrie oder algebraische Geometrie habe ich
selbst oder andere meist analoge Erfahrungen gemacht).

Nur Professoren mit *sehr* viel Erfahrung - die diese meistens
noch aus Zeiten von vor der vollen Entwicklung des
Formalismus haben - sind in der Lage, sowohl den Formalismus
als auch die zugrundeliegenden Ideen gleichzeitig zu vermitteln.
(Ich hatte noch das Glück, einige solche zu kennen, wenngleich
viele von ihnen leider schon verstorben sind.)
Meistens beisst sich das zu sehr. Beide Extreme sind natürlich
gefährlich, und es kommt immer auf den richtigen Mittelweg an.
Nur den Formalismus zu lehren, ist für den Lehrer aber immer
psychologisch deutlich bequemer (wenn er ihn sicher
beherrscht, was normalerweise der Fall ist), und deshalb
argumentiere ich so stark gegen diese Gefahr.

[Martin Vaeth]

Michael Klemm <michael...@gmail.com> schrieb:

>>
>> Aber ich behaupte, dass der Sachverhalt *wohlbekannt* ist,
>> und der formale Beweis dafür höchstens dort etwas zu suchen
>> hat, wo er thematisch hingehört: In ein Lehrbuch über formale
>> Sprachen. Es ist eben ausschließlich der Vorgang der
>> Formalisierung der allgemeinen Behauptung selbst, die
>> diesbezüglich den formalen Beweis "schwierig" macht. In
>> einem Lehrbuch über Mengenlehre hat das nichts verloren
>

> In manchen Vorlesungsausarbeitungen der Analysis oder linearen
> Algebra wird schon erklärt, was man unter einer sinnvollen
> Klammerung des Ausdrucks a_1a_2...a_n bei der "Multiplikation"
> unter der Voraussetzung des Assoziativgesetzes a(bc)=(ab)c
> versteht.

Eine "Ausarbeitung" - einverstanden; das bedeutet wohl, dass
interessierte Stundenten es bei Interesse nachlesen können.
Gerade im 1. Semester kommen solche Sachen gut an, wenn
Studenten merken (und lernen sollen), dass eine formale
Präzisierung schwerer sein kann, als man glaubt.
Da ist das *als ein Beispiel* nicht schlecht. Man muss als
Preis dafür dann halt auf andere Beispiele verzichten.

Je nach Vorlesung kann man so etwas (oder einen Teil)
auch einmal in eine Übungsaufgabe packen. Aber
beispielsweise eine ganze wertvolle Doppelstunde nur mit
dem Vorführen des Beweises ohne Studentenbeteiligung als
Übungsaufgabe zu verbringen, dürfte man nur selten sehen.
Was natürlcih nicht ausschließt, dass das vorkommt: Manchmal
haben Dozenten kuriose didaktische Vorstellungen...

[Fritz Feldhase]

On Thursday, April 13, 2023 at 8:49:28 AM UTC+2, Martin Vaeth wrote:

> [...] Es geht nur um die Frage, ob der [Lernende] daraus

> *selbständig* schließen können soll, dass man deswegen in
> der Notation auf die Klammern verzichtet (auch bei noch

> mehr Mengen als drei Stück), oder ob [etc.]

Erfreulicherweise haben van Dalen et al. diese Frage dahingehend beantwortet, dass die Autoren in Ihrem Lehrbuch explizit auf das Thema eingehen (wie ich gerade gesehen habe). Auch d a s bestärkt mich in dem überaus positiven Eindruck, den ich von dem Buch gewonnen habe:

7. UNIONS AND INTERSECTIONS OF FAMILIES

Although, up to now, we have introduced the notions of union and intersections only for pairs of sets, the extension of these notions to a finite collection of sets does not present any problem.

In elementary algebra there is an analogous phenomenon. Although the sum a + b is defined for pairs a,b, one invariably writes a+b+c, a+b+c+d, etc. This custom is justified by the fact that addition is associative, i.e. a+(b+c) = (a+b)+c. So, no matter how we restore the parentheses in a+b+c, the outcome will be the same. Formulated in a slightly pedantic way: we have introduced a ternary operation <a,b,c> |-> a+b+c.

In exactly the same way we can introduce A u B u C, A n B n C, etc., that is to say we can define finite unions and intersections by iterating the ordinary union and intersection.

Dieser Abschnitt befindet sich auf S. 21. Zwar für die Aufgabe auf S. 17 zu spät, aber immerhin.

Viell. lässt die Bemerkung "up to now, we have introduced the notions of union and intersections only for pairs of sets" und die abschließende Erklärung "In exactly the same way we can introduce A u B u C, A n B n C, etc." mein Posting zur Aufgabe auf S. 17 (!) in einem etwas anderem Licht erscheinen:

======================= repost =======================

On Saturday, April 8, 2023 at 7:03:28 AM UTC+2, Martin Vaeth wrote:
> Fritz Feldhase schrieb:

> >
> > Prove: (A u B) n (B u C) n (C u A) = (A n B) u (B n C) u (C n A) .
> >
> Man beweist das Distributivgesetz (A u B) n C = (A n C) u (B n C)
> (oder kennt es bereits) sowie die Kommutativgesetze für u und n

> und "multpliziert aus".

Ja, an sich sicher der richtige Ansatz. Aber __ganz so einfach__ ist es dann doch nicht (wenn man den Beweis im Detail ausführt [was man natürlich soll]).

Nicht zuletzt schreibt hier van Dalen einfach so X n Y n Z bzw. X u Y u Z (wo X, Y, Z Mengentermen sind). Ich bin mir aber nicht sicher, ob er Ausdrücke "dieser Form" überhaupt zuvor definiert hat im Buch - ich glaube (nach einer kurzen Suche) eher nicht. [D a s wäre nun etwas, was verbessungswürdig wäre.] Sicher, man kann z. B. X n Y n Z (bzw. X u Y u Z so definieren: (X n Y) n Z (bzw. so: (X u Y) u Z). Gerechtfertigt ist das nicht zuletzt wegen der Gültigkeit von (X n Y) n Z = X n (Y n Z) (bzw. (X u Y) u Z = X u (Y u Z)), was im Buch gezeigt/bewiesen wird.

Wir wollen daher die Aufgabe - im Hinblick auf den geforderten Beweis - konkret so verstehen/auffassen:

Prove: ((A u B) n (B u C)) n (C u A) = ((A n B) u (B n C)) u (C n A) .

Auf das oben erwähnte Distributivgesetz und die Kommutativgesetze für u und n können wir dabei zurückgreifen.

Also: ((A u B) n (B u C)) n (C u A)
= ((A n (B u C)) u (B n (B u C))) n (C u A) [Distr.]
= ((B u C) n A) u ((B u C) n B)) n (C u A) [Komm. n]
= (((B n A) u (C n A)) u ((B n B) u (C n B))) n (C u A) [Distr.]
= (((B n A) u (C n A)) u (B u (C n B))) n (C u A) [mit X n X = X]
= (((A n B) u (C n A)) u (B u (B n C))) n (C u A) [Komm. n]
= <ab hier wird es langsam mühselig wegen der Klammern>

Mein Vorschlag: wir definieren hier einfach mal:

X_1 u X_2 u X_3 := (X_1 u X_2) u X_3
X_1 u X_2 u X_3 u X_4 := (X_1 u X_2 u X_3) u X_4
usw. also in dieser Weise (beliebig weit) fortschreitend nach dem Schema
X_1 u ... u X_(k+1) := (X_1 u ... u X_k) u X_(k+1).
(Gemeint ist hier mit "X_1 u ... u X_(k+1)" ein Ausdruck, der aus k+1 Mengen-Termen besteht, die durch k u-Symbole "verbunden" bzw. "getrennt" sind; analoges gilt für den Ausdruck "X_1 u ... u X_k".)

Man kann dann zeigen, dass das oben erwähnte Distributivgesetz auch für diese Ausdrücke gilt, also:
(X_1 u ... u X_k) n Y = (X_1 n Y) u ... u (X_k n Y). Das erleichtert die "Rechnung" doch deutlich.

Außerdem kann man zeigen*), dass dann beliebig geklammert werden kann, also z. B. X_1 u X_2 u X_3 u X_4 = (X_1 u X_2) u (X_3 u X_4), etc.

[Analog für n.]

Wir haben dann also:
= ((A n B) u (C n A) u B u (B n C)) n (C u A)
= (C u A) n ((A n B) u (C n A) u B u (B n C)) [Komm. n]
= (C n ((A n B) u (C n A) u B u (B n C))) u (A n ((A n B) u (C n A) u B u (B n C))) [Distr.]
= (((A n B) u (C n A) u B u (B n C)) n C) u (((A n B) u (C n A) u B u (B n C)) n A) [Komm. n]
= ((A n B n C) u (C n A n C) u (B n C) u (B n C n C)) u ((A n B n A) u (C n A n A) u (B n A) u (B n C n A)) [Distr.]
= (A n B n C) u (C n A) u (B n C) u (B n C) u (A n B) u (C n A) u (A n B) u (A n B n C) [Komm. n, X n X = X]
= (A n B n C) u (A n B) u (B n C) u (C n A) [Komm. u, X u X = X]
= (A n B) u (B n C) u (C n A) [mit (X n Y) u X = X]
= ((A n B) u (B n C)) u (C n A) qed

Unter Verwendung der oben erwähnten Definitionen haben wir also gezeigt:

(A u B) n (B u C) n (C u A) = (A n B) u (B n C) u (C n A) .

Das "Ausmultiplizieren" hat sich doch noch als ein wenig komplizierter erwiesen als (vielleicht) gedacht.

Neben dem erwähnten (und. "erweiterten") Distributivgesetz und den Kommutativ- und Assoziativgesetzen benötigt man (hier, in meinem Beweis) noch die Idempotenzgesetze __sowie eines der Absorptionsgesetze__.

Viell. hätte van Dalen diese Aufgabe mit einem * versehen sollen (so wie manche Autoren das bei - im gegebenen Kontext - etwas "anspruchsvolleren" Aufgaben tun.)

_______________________________

*) Das soll in einem späteren Post gezeigt/bewiesen werden.

[Fritz Feldhase]

On Thursday, April 13, 2023 at 3:08:02 PM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:

> Man könnte also in einem Lehrbuch zur axiomatischen Mengenlehre im Zusammenhang mit dem oben erwähnten Hinweis zumindest eine Fußnote anbringen, die auf einen Text verweist, wo das Thema ausführlich[er] behandelt wird.

In dem schon mehrfach erwähnten Büchlein "Einführung in die Gruppentheorie" (151Seiten) von P. S. Alexandroff ist das der Fall:

===============================================================================

1.4. Einfache Sätze über Gruppen

1.4.1. Die Multiplikation beliebig, aber endlich vieler Gruppenelemente. Die erste Regel für die Auflösung von Klammern

Das Assoziativitätsaxiomhat in der Gruppentheorie und damit auch in der gesamten Algebra sehr große Bedeutung: Dadurch kann man nicht nur das Produkt zweier, sondern auch das Produkt dreier und allgemein beliebig, aber endlich vieler Gruppenelemente definieren und zur Berechnung dieser Produkte die üblichen Regeln für die Auflösung von Klammern anwenden.

Sind beispielsweise drei Elemente a, b, c gegeben, so wissen wir vorläufig noch nicht, was die Multiplikation dieser drei Elemente bedeutet; denn die Gruppenaxiome sprechen nur vom Produkt zweier Faktoren, und Ausdrücke der Form a * b * c sind noch nicht definiert. Nun besagt aber die Bedingung der Assoziativität: Multiplizieren wir einerseits die Elemente

a und b * c,

und andererseits die Elemente

a * b und c,

so erhalten wir /ein und dasselbe Element als ihr Produkt/. Also läßt sich das Element, welches das Produkt der beiden Elemente a und b * c und ebenso das Produkt der beiden Elemente a * b und c ist, eindeutig als Produkt der Elemente a, b, c (in der eben angegebenen Reihenfolge) /definieren/ und wird deshalb einfach mit a * b * c bezeichnet. Daher kann die Gleichung

a * b * c = a * (b * c) [oder die Gleichung a * b * c = (a * b) * c --FF]

als Definition des Ausdrucks abc für das Produkt der drei Elemente a, b, c ansehen (Das Produktzeichen lassen wir also gelegentlich weg).

Entsprechend kann man das Produkt der vier Elemente a, b, c, d beispielsweise als a * (bcd) definieren. Wir beweisen, daß dabei

a(bcd) = (ab)(cd) = (abc)d

gilt. Nach dem eben Gesagten hat man zunächst

a(bcd) = a[b(cd)].

Für die drei Elemente a, b, c * d gilt aber

a[b(cd)] = (ab)(cd).

Andererseits gilt auch für die drei Elemente a * b, c, d

(ab)(cd) = [(ab)c]d = (abc)d,

was zu beweisen war.

Wir setze nun voraus, das Produkt von je n - 1 Faktoren sei bereits definiert; dann definieren wir das Produkt der n Faktoren a_1, a_2, ..., a_n als a_1(a_2...a_n) und können damit den Ausdruck a_1a_2...a_n nach der Methode der vollständige Induktion für beliebige n als definiert ansehen.

S a t z. Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für jede natürliche Zahl m <= n gilt die Identität

(a_1a_2...a_m)*(a_{m+1}...a_n) = a_1a_2...a_n.

B e w e i s. [...]

[Fritz Feldhase]

On Thursday, April 13, 2023 at 8:38:53 PM UTC+2, Martin Vaeth wrote:

> Je fortgeschrittener die Mathematik ist, die man betreibt,
> desto mehr werden die Scheuklappen eines Formalismus zum
> Hindernis für das tiefere Verständnis. Es bedarf schon eines
> sehr freien Geistes - und wie die Praxis zeigt, eines Lehrbuchs,
> das geschrieben wurde, *bevor* der zugrundeliegende moderne
> (und theoretisch mächtigere) Formalismus ganz ausgearbeitet
> war - um *wirklich* die Bedeutung von Objekten aus der (z.B.)

> algebraischen Topologie zu verstehen [...].

Hübscher Zufall, dass Du hier ausgerechnet die algebraischen Topologie erwähnst.

"Alexandrow arbeitete zunächst in allgemeiner Topologie und Mengenlehre, ist aber vor allem als Pionier der algebraischen Topologie bekannt, wobei er wichtige Anregungen für eine abstrakte gruppentheoretische Behandlung von Emmy Noether empfing. Mit Heinz Hopf schrieb er 1935 das Buch „Topologie“, eines der ersten Lehrbücher über dieses Gebiet." (Wikipedia)

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, April 12, 2023 at 4:26:57 PM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:

> On Wednesday, April 12, 2023 at 8:49:21 AM UTC+2, Martin Vaeth wrote:
> > Fritz Feldhase schrieb:
> > >> >
> > >> > Prove: (A u B) n (B u C) n (C u A) = (A n B) u (B n C) u (C n A) .
> > >> >
> > >> Man beweist das Distributivgesetz (A u B) n C = (A n C) u (B n C)
> > >> (oder kennt es bereits) sowie die Kommutativgesetze für u und n

> > >> und "multipliziert aus".
> > >
> > > Ja, an sich sicher der richtige Ansatz. Aber [...]

> > >
> > Ich stimme Dir zu, dass ich die Assoziativität von u und n
> > vergessen habe aufzuzählen (sowie natürlich X u X = X)

und noch ein paar andere "Dinge":

> Neben dem (von Dir) erwähnten (und dem von mir "erweiterten") Distributivgesetz und den Kommutativ- und Assoziativgesetzen benötigt man (in meinem Beweis) noch die Idempotenzgesetze _sowie eines der Absorptionsgesetze_.

Wie dem auch sei, "ausmultiplizieren" _klingt_ erst mal gut:

> > > Ja, an sich sicher der richtige Ansatz. Aber __ganz so einfach__ ist es dann doch nicht (wenn man den Beweis im Detail ausführt).
> > >
> > Nur wäre es unsinnig, ihn im Detail auszuführen.
> >
> Nein, das wäre nicht unsinnig, sondern das ist der der eigentliche Sinn und Zweck der Aufgabe(n) [exercises] in dem Buch. <Holy shit!>

Nachtrag dazu - aus der Introduction des Buchs:

/Problems./ The book contains a number of exercises of various degrees of difficulty. We do not claim any originality for the exercises. Some problems are really minor theorems and since they are quite often very useful, we strongly advice the reader to pay attention to them. Although it may seem superfluous we want to remind him that without solving problems (i.e. proving theorems) he himself will probably not get beyond the stage of collecting keywords.

Also ohne jetzt irgend jemandem zu nahe treten zu wollen: "ausmultiplizieren" scheint mir (in diesem Kontext) so ein keyword zu sein. (Natürlich merkt man das erst, wenn man versucht, die Aufgabe _konkret_ zu lösen, ohne lediglich irgendwelche buzzwords in den Raum zu werfen.)

___________________________

Sebstverständlich habe ich die Aufgabe im ersten Anlauf auch nicht anders gelöst als auf dem oben von Martin vorgeschlagenen Lösungsweg. Aber wie heißt es doch so schön: "The devil lies in the detail".

https://www.amazon.de/devil-lies-detail-Lehrreiches-Lieblingsfremdsprache/dp/3462047035

[Martin Vaeth]

Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com> schrieb:

> On Thursday, April 13, 2023 at 8:38:53 PM UTC+2, Martin Vaeth wrote:
>
>> Je fortgeschrittener die Mathematik ist, die man betreibt,
>> desto mehr werden die Scheuklappen eines Formalismus zum
>> Hindernis für das tiefere Verständnis. Es bedarf schon eines
>> sehr freien Geistes - und wie die Praxis zeigt, eines Lehrbuchs,
>> das geschrieben wurde, *bevor* der zugrundeliegende moderne
>> (und theoretisch mächtigere) Formalismus ganz ausgearbeitet
>> war - um *wirklich* die Bedeutung von Objekten aus der (z.B.)
>> algebraischen Topologie zu verstehen [...].
>
> Hübscher Zufall, dass Du hier ausgerechnet die algebraischen
> Topologie erwähnst.

Kein Zufall. Gerade moderne Bücher der algebraischen Topologie
sind meist sehr ermüdend - und das meine ich wörtlich. Den
Gehalt - also die eigentliche topologische Idee - hinter dem
Formalismus zu erkennen, ist ohne einen gut erklärenden Lehrer
extrem schwer.

> "Alexandrow arbeitete zunächst in allgemeiner Topologie [...]
> Mit Heinz Hopf schrieb er 1935 das Buch „Topologie“ [...]"

Alexandrow-Hopf ist eines der Bücher, die ich meinte, als
ich sagte, dass sie noch relativ gut zugänglich sind, eben
weil seinerzeit der Formalismus noch nicht ganz ausgearbeitet
war und man eben verstand, dass die Einführung weiterer einer
guten Motivation und Erklärung bedarf. Leider haben sich dann
die Schüler des Gebiets immer weiter auf den Formalismus
konzentriert - was sicherlich mit der Vermittlung des Faches
über viele Jahre hinweg zu tun hatte - so dass die jüngeren
Arbeiten extrem schwer zugänglich sind und sich ziemlich oft
bei genauer Betrachtung als inhaltlich nahezu leer entpuppen.
Was natürlich nicht heißt, dass es nicht auch großartige
Arbeiten gibt, aber diese im Formalismus zu entdecken, kann
fast nur noch die älteste Generation, die eben *ohne* diesen
gelernt hat. Nur ganz wenige extrem hochbegabte Jüngere
schaffen es halt, *trotz* des Formalismus den topologischen
Inhalt zu sehen.

[Martin Vaeth]

Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com> schrieb:

>> > Ich stimme Dir zu, dass ich die Assoziativität von u und n
>> > vergessen habe aufzuzählen (sowie natürlich X u X = X)
>
> und noch ein paar andere "Dinge":

Du hast bewusst nicht mein Posting aufgezählt, in dem
ich mich korrigiert hatte (X n X = X und (X n Y) u X = X
statt X u X = X).
Ist aber auch ziemlich egel, ob man jetzt diese ohne
jene Trivialität beim Rechnen benötigt.

> "ausmultiplizieren" scheint mir (in diesem Kontext) so
> ein keyword zu sein.

Ganz im Gegenteil: Das fasst die *Idee* des Beweises
zusammen. Das Durchzuführen ist langweiliges Rechnen
auf dem Niveau der 5. Klasse, das ich mir lieber spare.

> (Natürlich merkt man das erst, wenn man versucht,
> die Aufgabe _konkret_ zu lösen

Ja, erst nach dem vollen Ausmultiplizieren kann man
die zusätzlich benötigten Trivialitäten exakt
benennen, und man kommt auf weniger Trivialitäten,
wenn man einen Term vergisst (was mir passiert war,
weil mir das exakte Aufschreiben die Zeit nicht wert
war). Und? Habe ich etwas wichtiges verpasst? Ja,
in einer überflüssigen Diskussion habe ich zunächst
die falsche Trivialität benannt.

[JVR]

Heinz Hopf war der beste Lehrer, den ich je gehört habe. Das war im
Jahr 1962 oder 1963 als er an der ETH eine Vorlesung über sein
Lieblingsthema, Differentialgeometrie im Großen, hielt.

Als Hopf 1964 pensioniert wurde - ich glaube die Professoren wurden dort
damals zwangs-emeritiert - jedenfalls war der Nachfolger, Konrad Voss,
schon im Amt - hielt er die traditionelle 'letzte Vorlesung' im voll
besetzten Audimax der ETH. Dabei erzählte er lange von seinem Freund
Paul Alexandrov und wie es zu diesem Buch kam, von dem es den
ersten, aber keinen zweiten Band gibt, und warum das so ist. Das
war ein ganz ungewöhnlich sympathischer Mensch.

Nebenbei bemerkt - wenn jemand von euch wirklich unterhaltsames
Lesematerial sucht: Lecture Notes in Mathematics (LNM, volume 1000),
Heinz Hopf, "Differential Geometrie in the Large", Seminar Lectures
New York University 1946 and Stanford University 1956.
Es handelt sich um Themen, die man verstehen kann, ohne auf
Differentialgeometrie spezialisiert zu sein.
Beachtlich ist dabei außerdem das Datum. Courant war damals schon
an der NYU, aus Göttingen geflüchtet, und hatte Hopf eingeladen.

[Jens Kallup]

Am 14.04.2023 um 08:35 schrieb Martin Vaeth:
> Ja, erst nach dem vollen Ausmultiplizieren kann man
> die zusätzlich benötigten Trivialitäten exakt
> benennen, und man kommt auf weniger Trivialitäten,
> wenn man einen Term vergisst (was mir passiert war,
> weil mir das exakte Aufschreiben die Zeit nicht wert
> war). Und? Habe ich etwas wichtiges verpasst? Ja,
> in einer überflüssigen Diskussion habe ich zunächst
> die falsche Trivialität benannt.

ich finde ja die deutsche Mentalität sehr erschreckend !

1. *AlleS mitnehmen, aber nix zahle" ...
2. "kein-Bock" => ist mir zu schwer, muss man drüber nachdenken,
aber nachdenken bedeutet wieder "Arbeit" und: "Arbeiten will
keiner..." ... dann kommt schnell Covid im Raum ...
3. "kein Interesse am Anderen" => schließt 2. ein und startet bei 4.
4. "ist mir schnuppe - eh zu schwer - braucht kein Mensch" ...

Irgendwie frage ich mich, ob der Martin hier nicht selbst ein Ei
ins Nest gelegen hat - das Kuckuckus-Ei ...

Jens

[Fritz Feldhase]

On Friday, April 14, 2023 at 12:06:06 PM UTC+2, Jens Kallup wrote:
> Am 14.04.2023 um 08:35 schrieb Martin Vaeth:
> >
> > Ja, erst nach dem vollen Ausmultiplizieren kann man
> > die zusätzlich benötigten Trivialitäten exakt
> > benennen, und man kommt auf weniger Trivialitäten,
> > wenn man einen Term vergisst (was mir passiert war,
> > weil mir das exakte Aufschreiben die Zeit nicht wert
> > war). Und? Habe ich etwas wichtiges verpasst? Ja,
> > in einer überflüssigen Diskussion habe ich zunächst
> > die falsche Trivialität benannt.
> >
> ich finde ja die deutsche Mentalität sehr erschreckend !

Ja, sehe ich auch so. Statt die Aufgabe einfach zu bearbeiten/lösen nur dümmliches Gelaber.

Iw. peinlich und geradezu kindisch m. E.

Überflüssig (um das Wort aufzugreifen) ist hier m. E. vor allem sein Gelaber.

> 1. *AlleS mitnehmen, aber nix zahle" ...
> 2. "kein-Bock" => ist mir zu schwer, muss man drüber nachdenken,
> aber nachdenken bedeutet wieder "Arbeit" und: "Arbeiten will

> keiner..." [...]

> 3. "kein Interesse am Anderen" => schließt 2. ein und startet bei 4.
> 4. "ist mir schnuppe - eh zu schwer - braucht kein Mensch" ...
>
> Irgendwie frage ich mich, ob der Martin hier nicht selbst ein Ei
> ins Nest gelegen hat - das Kuckuckus-Ei ...

100% ACK!

[Martin Vaeth]

JVR <jrenne...@googlemail.com> schrieb:

>
> Heinz Hopf war der beste Lehrer, den ich je gehört habe.

Das glaube ich gerne. Wobei man bei solchen Leuten mit
Superlativen sehr vorsichtig sein muss: Ich habe mich
auch schon erwischt, dass ich eine ähnliche Aussage
über einen der für mich besten machen wollte, dann aber
feststellen musste, dass ich doch mindestens noch zwei
andere gleichermaßen nennen müsste.

Hopf war leider - ebenso wie Borsuk - lange vor meiner
Zeit.

> Differentialgeometrie im Großen

Für mich ist Hopf vor allem unsterblich mit dem
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Hopf
verbunden. Mit Differentialgeometrie hat das nicht
*offensichtlich* viel zu tun.
Ebensowenig wie sein (m.W. erstes) Beispiel, dass
die Homotopiegruppe pi_n(S^m) auch für m ungleich n
nichttrivial sein kann; heutzutage bekannt als
https://de.wikipedia.org/wiki/Hopf-Faserung

Wenn man sich dann aber Hopfs Argumente ansieht,
steht dahinter letztlich Differentialgeometrie.

Es gehörte eben schon ein ganz Großer dazu, diese tiefen
Zusammenhänge zwischen den Gebieten zu erkennen.
Heutzutage "überraschen" diese Zusammenhänge natürlich
niemanden mehr - außer vielleicht Studenten, die
Hopfs Beweise das erste mal sehen.

> Differential Geometrie in the Large

Was das "im Großen" heißt, ist mir noch unklar,
aber vermutlich geht es hier gerade um die
Topologie? Das ist sicher ein interessantes Buch.

[Fritz Feldhase]

On Saturday, April 8, 2023 at 11:51:32 PM UTC+2, Martin Vaeth wrote:
> Fritz Feldhase schrieb:
> > On Saturday, April 8, 2023 at 9:02:31 PM UTC+2, Martin Vaeth wrote:
> >
> > Zumindest über (van Dalens Berkungen zu/über) "Everything is a set"
> > sollten wir nochmal reden.
> >
> > Ich kann mir beim besten Willen kaum jemanden vorstellen,
> > der dieses "Motto" so auffasst, dass tatsächlich alles,
> > was es in der Matematik "gibt" bzw. was mathematisch von
> > Bedeutung ist, eine Menge ist.

Jedenfalls sind mir namhafte (zeitgenössische) Mathematiker bekannt, die das nicht so sehen.

> Doch, das ist durchaus das, was man mit der Mengenlehre versucht:
> Die Grundlage der *gesamten* Mathematik zu sein. [...]

Du hast offenbar nicht verstanden, was ich oben gemeint habe, oder erst gar nicht erst gelesen, was ich geschrieben hatte.

Wie dem auch sei, mir ging es um folgendes:

/Set-theoretic reductionism/ is the view that all the abstract
objects that are talked about in mathematics can be represented
as sets. These representations are called the /set-theoretic
surrogates/ for the mathematical objects in question. Perhaps
the best-known example would be taking the /finite von Neumann
ordinals/ as the set-theoretic surrogates for the natural
numbers. (...) When, however, one persists in thinking or
talking about mathematical objects without conceiving of them
as their set-theoretic surrogates, one is said to be thinking
or talking about those objects /sui generis/."

(Neil Tennant, A brief account of the fundamentals of set theory)

Ganz offensichtlich wollen die Autoren des Buch, um das es hier geht, auch nur ihre Vorbehalte gegenüber einem set-theoretic reductionism zum Ausdruck bringen (aus welchen Gründen auch immer):

"Although the authors do not subscribe to the thesis that "everything is a set" (they are not sets themselves (after A. Mostowski)), they are convinced that the fruitfulness of set theory, as a mathematical discipline, is beyond dispute. So they welcome the reader, with a clear conscience, to Cantor's paradise."

[Fritz Feldhase]

On Friday, April 14, 2023 at 8:23:26 PM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:
> On Saturday, April 8, 2023 at 11:51:32 PM UTC+2, Martin Vaeth wrote:
> > Fritz Feldhase schrieb:
> > > On Saturday, April 8, 2023 at 9:02:31 PM UTC+2, Martin Vaeth wrote:
> > >
> > > Zumindest über (van Dalens Berkungen zu/über) "Everything is a set"
> > > sollten wir nochmal reden.
> > >
> > > Ich kann mir beim besten Willen kaum jemanden vorstellen,
> > > der dieses "Motto" so auffasst, dass tatsächlich alles,
> > > was es in der Matematik "gibt" bzw. was mathematisch von
> > > Bedeutung ist, eine Menge ist.
> > >
> Jedenfalls sind mir namhafte (zeitgenössische) Mathematiker bekannt, die das nicht so sehen.

So schreibt z. B. Terence Tao in seinem Buch Analysis I:

"Strictly speaking, functions are not sets, and sets are not functions; it does not make sense to ask wether an object x is an element of a function f [...]" (Terence Tao, Analysis I, Remark 3.3.6)

> Wie dem auch sei, mir ging es um folgendes:
>
> /Set-theoretic reductionism/ is the view that all the abstract
> objects that are talked about in mathematics can be represented
> as sets. These representations are called the /set-theoretic
> surrogates/ for the mathematical objects in question. Perhaps
> the best-known example would be taking the /finite von Neumann
> ordinals/ as the set-theoretic surrogates for the natural
> numbers. (...) When, however, one persists in thinking or
> talking about mathematical objects without conceiving of them
> as their set-theoretic surrogates, one is said to be thinking
> or talking about those objects /sui generis/."
>
> (Neil Tennant, A brief account of the fundamentals of set theory)
>
> Ganz offensichtlich wollen die Autoren des Buch, um das es hier geht, auch nur ihre Vorbehalte gegenüber einem set-theoretic reductionism zum Ausdruck bringen (aus welchen Gründen auch immer):
>
> "Although the authors do not subscribe to the thesis that "everything is a set" (they are not sets themselves (after A. Mostowski)), they are convinced that the fruitfulness of set theory, as a mathematical discipline, is beyond dispute. So they welcome the reader, with a clear conscience, to Cantor's paradise."

Wenn man Taos Äußerung so liest, könnte man beinahe auf die Idee kommen, that he too does not subscribe to the thesis that "everything is a set". (Aber wer ist Tao schon?)

Da wir gerade bei Tao sind. Dieser geht in seinem Buch sehr wohl (kurz) auf die Problematik von Ausdrücken wie A u B u C ein (mehr muss es ja in so einem Rahmen nicht sein):

"Because of the above lemma [(A u B) u C = A u (B u C) --FF] we do not need to use parentheses to denote multiple unions, thus for instance we can write A u B u C instead of (A u B) u C or A u (B u C). Similarly for unions of four sets A u B u C u D etc."

[Martin Vaeth]

Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com> schrieb:

> On Saturday, April 8, 2023 at 11:51:32 PM UTC+2, Martin Vaeth wrote:
>> Fritz Feldhase schrieb:
>> >

>> > [...] "Everything is a set" [...]

>> > dass tatsächlich alles, was es in der Matematik "gibt"
>> > bzw. was mathematisch von Bedeutung ist, eine Menge ist.

> [...]

>> Doch, das ist durchaus das, was man mit der Mengenlehre versucht:
>> Die Grundlage der *gesamten* Mathematik zu sein. [...]
>

> Du hast offenbar nicht verstanden, was ich oben gemeint habe [...]

> Wie dem auch sei, mir ging es um folgendes:

Anscheinend hast Du meine Aussage falsch interpretiert,
denn genau das folgende hatte ich ebenfalls gemeint:

> [...] the view that all the abstract objects that are talked
> about in mathematics can be represented as sets. [...]

Und genau deswegen ist die Mengenlehre eben in der Lage, als
Grundlage der *gesamten* Mathematik aufgefasst werden zu können.
Denn wenn es mathematische Objekte gäbe, die keine
Repräsentation als Menge hätten, ginge dies
selbstverständlich nicht.

Wie erwähnt ist das nicht nur ein philosophischer Disput,
sondern hat inzwischen auch große praktische Bedeutung
durch Modelltheorie und ihre Anwendungen (wie NSA).

Wie ebenfalls erwähnt, ist das auch der ursprüngliche
Bourbakische Zugang (obwohl später von Bourbaki selbst
später andere Zugänge präferiert wurden, die aber letztlich
nie die oben erwähnte praktische Bedeutung bekamen.
Vielleicht, weil Modelltheorie für Mengenmodelle halt
"einfacher" geht als für andere Zugänge. Vielleicht aber
auch nur deshalb, weil sich der grundlagentheoretische
Zugang durch Mengenlehre halt schon lange etabliert hat.

> Ganz offensichtlich wollen die Autoren des Buch, um das
> es hier geht, auch nur ihre Vorbehalte gegenüber einem
> set-theoretic reductionism zum Ausdruck bringen

So habe ich das auch verstanden. Wie erwähnt beißt sich
dieser Reduktionismus eben mit Brouwers Intuitionismus,
was vermutlich der Grund für die Vorbehalte ist.
Das "sich beißen" ist ja auch klar: Wenn man im
Intuitionismus schon "sehr kleine" Zahlen wie für die
Definition der Signum-Funktion benötigt nicht wirklich
akzeptiert (weil man dort letztlich Unendlichkeit
ausschließt), so kann man natürlich erst recht nicht die
Infinitesimalen der NSA akzeptieren, die man in ZF(C) mit
Modelltheorie erhält.

[Martin Vaeth]

Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com> schrieb:
>> > > [...] Berkungen zu/über) "Everything is a set"
>> > > sollten wir nochmal reden. [...]

>> > >
>> Jedenfalls sind mir namhafte (zeitgenössische) Mathematiker
>> bekannt, die das nicht so sehen.
>
> So schreibt z. B. Terence Tao in seinem Buch Analysis I:
>
> "Strictly speaking, functions are not sets, and sets are
> not functions; it does not make sense to ask wether an
> object x is an element of a function f [...]"

Ich denke, da misinterpretierst Du Tao. Der wesentliche
Punkt ist hier "strictly speaking":

In der Interpretation eines mathematischen Objekts als Menge
liegt natürlich immer eine gewisse Willkür, und natürlich will
man sich in der Praxis nicht an *eine* Interpretation binden.
Beispielsweise kann man ja eine Funktion auch als Tripel
(von Graph, Definitions- und Wertebereich) definieren, aber
auch bei dieser Definition wir man sich nicht auf den
spitzfindigen Standpunkt stellen, dass (obwohl rein
formal dann "wahr"), z.B. der Definitionsbereich ein
*Element* der Funktion ist.

Vielleicht ein besseres Beispiel als Funktionen:
So Aussagen wie 1 element 3 sind sinnfrei, auch wenn sie
in der Neumannschen Definition der natürlichen Zahlen
wahr sind.

Man würde aber keine Mathematik betreiben wollen, in der
diese Aussage wesentlich benutzt wird, also in der Aussagen
über natürliche Zahlen *nur* für die Neumannsche Definition
der natürlichen Zahlen gelten.

Deshalb ist es auch wichtig, dass man Isomorphiesätze über
verschiedene Modelle der natürlichen Zahlen hat.

Aber wenn man diese hat (und *weil* man diese hat),
*definiert* man eben die natürlichen Zahlen nach Neumann,
auch wenn man "strictly speaking" eben z.B. in der
Zahlentheorie die Beziehung "1 element 3" doch nicht
benutzt. Wenngleich man es benutzt, um z.B. das Prinzip
der vollständigen Induktion in der Mengenlehre zu
*beweisen*.

Und Analoges gilt eben für alle Objekte, auf die man in
der Mathematik so stößt:

Das ist eben der im anderen Thread angesprochene Punkt,
dass man *nur* durch die Auffassung "everything is a set"
auch tatsächlich die Mengenlehre als Grundlage der
Mathematik betrachten kann, auch wenn man sich in der
Praxis ("strictly speaking") dann eben nicht an eine
konkrete Interpretation der Objekte als Mengen nachdenkt;
in einigen Fällen (z.B. in der Modelltheorie) *muss* man
dies dann aber doch wieder tun.

> Dieser geht in seinem Buch sehr wohl (kurz) auf die
> Problematik von Ausdrücken wie A u B u C ein
> (mehr muss es ja in so einem Rahmen nicht sein)

Du änderst Deine Meinung schneller als Deine Weste:
Ein paar Postings vorher hast Du noch darauf bestanden,
dass man in allen Details einen formalen Beweis dafür
vorkauen muss, dass man bei beliebig vielen Mengen jede
Klammerung in jede andere ohne Änderung des Werts
überführen kann, auch wenn man das von R und C schon
so kennt, und hast meinen Einwand weggewischt, dass
das ein Buch nur langatmig macht ohne praktischen Nutzen.

[Tom Bola]

Fritz Feldhase schrieb:

> So schreibt z. B. Terence Tao in seinem Buch Analysis I:
>
> "Strictly speaking, functions are not sets, and sets are not functions;

Strikt gesagt, sind Funktionen eine Teilmenge von D x W.

Diese Teilmenge hat aber keinen Sinn als Funktion ohne D und W.

> it does not make sense to ask wether an object x is an element
> of a function f [...]" (Terence Tao, Analysis I, Remark 3.3.6)

Das aber schon, oder? Man kann doch sagen, dass 0 zu f=sin(x)
gehört, und 10 dagegen nicht.

>> Wie dem auch sei, mir ging es um folgendes:
>>
>> /Set-theoretic reductionism/ is the view that all the abstract
>> objects that are talked about in mathematics can be represented
>> as sets. These representations are called the /set-theoretic
>> surrogates/ for the mathematical objects in question. Perhaps
>> the best-known example would be taking the /finite von Neumann
>> ordinals/ as the set-theoretic surrogates for the natural
>> numbers. (...) When, however, one persists in thinking or
>> talking about mathematical objects without conceiving of them
>> as their set-theoretic surrogates, one is said to be thinking
>> or talking about those objects /sui generis/."
>>
>> (Neil Tennant, A brief account of the fundamentals of set theory)
>>
>> Ganz offensichtlich wollen die Autoren des Buch, um das es hier geht, auch nur ihre Vorbehalte gegenüber einem set-theoretic reductionism zum Ausdruck bringen (aus welchen Gründen auch immer):
>>
>> "Although the authors do not subscribe to the thesis that "everything is a set" (they are not sets themselves (after A. Mostowski)), they are convinced that the fruitfulness of set theory, as a mathematical discipline, is beyond dispute. So they welcome the reader, with a clear conscience, to Cantor's paradise."
>
> Wenn man Taos Äußerung so liest, könnte man beinahe auf die Idee kommen,
> that he too does not subscribe to the thesis that "everything is a set".
> (Aber wer ist Tao schon?)

Das trifft zu in obigen Sinne, weil eine Funktion mehr ist als die
Menge der Funktionswerte: es kommt die Relation mit D und W dazu.

> Da wir gerade bei Tao sind. Dieser geht in seinem Buch sehr wohl (kurz)
> auf die Problematik von Ausdrücken wie A u B u C ein (mehr muss es ja
> in so einem Rahmen nicht sein):
>
> "Because of the above lemma [(A u B) u C = A u (B u C) --FF] we do
> not need to use parentheses to denote multiple unions, thus for instance
> we can write A u B u C instead of (A u B) u C or A u (B u C). Similarly
> for unions of four sets A u B u C u D etc."

Tja, alles muss raus bei manche Leute!

[Tom Bola]

Martin Vaeth schrieb:

> In der Interpretation eines mathematischen Objekts als Menge
> liegt natürlich immer eine gewisse Willkür

Man darf auf keinen Fall irgendeine der sonstigen definierenden
Eigenschaften weglassen, zur Lösungsmenge einer Funktion etwa
D und W.

Obwohl das absolut trivial ist, gehört es eben zur beschriebenen
Menge immer dazu!

[Fritz Feldhase]

On Friday, April 14, 2023 at 10:53:50 PM UTC+2, Tom Bola wrote:
> Fritz Feldhase schrieb:
> > So schreibt z. B. Terence Tao in seinem Buch Analysis I:
> >
> > "Strictly speaking, functions are not sets, and sets are not functions;
> >
> Strikt gesagt, sind Funktionen eine Teilmenge von D x W.

Ja, ich verstehe: Tao sagt ~A und Du musst ihm da einfach widersprechen und sagst A. Du kennst Dich da einfach besser aus als dieser seltsame Chinese!

(Mal unter uns: Im Zweifelsfalle würde ich es aber doch eher mit Tao halten.)

Selbstverständlich weißt Du, wer Tao ist, oder? Doch, doch, da bin ich mir sicher.

Falls nicht: He is widely regarded as one of the greatest living mathematicians and has been referred to as the "Mozart of mathematics". (Wikipedia)

Es scheint in letzter Zeit einige Anwärter auf die Mückenheim-Nachfolge in dieser NG zu geben: Tom Balla Balla, Herr Martin, Jens Kallup, usw.

[Fritz Feldhase]

On Friday, April 14, 2023 at 9:19:44 PM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:

> Da wir gerade bei Tao sind. Dieser geht in seinem Buch sehr wohl (kurz) auf die Problematik von Ausdrücken wie A u B u C ein (mehr muss es ja in so einem Rahmen nicht sein):
>
> "Because of the above lemma [(A u B) u C = A u (B u C) --FF] we do not need to use parentheses to denote multiple unions, thus for instance we can write A u B u C instead of (A u B) u C or A u (B u C). Similarly for unions of four sets A u B u C u D etc."

Weil Herr Martin offenbar schwer von Begriff ist, hier noch ein kurzer Nachtrag dazu:

1. van Dalen et al. bringen in ihrem Buch (auf Seite 21) eine ganz ähnlich (ja noch wesentlich ausführlichere) Erklärung:

______________________________________

UNIONS AND INTERSECTIONS OF FAMILIES

Although, up to now, we have introduced the notions of union and intersections only for pairs of sets, the extension of these notions to a finite collection of sets does not present any problem.

In elementary algebra there is an analogous phenomenon. Although the sum a + b is defined for pairs a,b, one invariably writes a+b+c, a+b+c+d, etc. This custom is justified by the fact that addition is associative, i.e. a+(b+c) = (a+b)+c. So, no matter how we restore the parentheses in a+b+c, the outcome will be the same. Formulated in a slightly pedantic way: we have introduced a ternary operation <a,b,c> |-> a+b+c.

In exactly the same way we can introduce A u B u C, A n B n C, etc., that is to say we can define finite unions and intersections by iterating the ordinary union and intersection.

______________________________________

2. ABER diese Erklärung hätte schon VOR der Verwendung von Ausdrücken wie A u B u B (also VOR der Übungsaufgabe [auf S. 17] über die wir hier die ganze Zeit reden) kommen sollen ja müssen). Tao hat das in seinem Buch berücksichtigt.

Wie ich schon sagte: "Nicht zuletzt schreibt hier van Dalen einfach so X n Y n Z bzw. X u Y u Z (wo X, Y, Z Mengentermen sind). Ich bin mir aber nicht sicher, ob er Ausdrücke "dieser Form" überhaupt zuvor definiert hat im Buch - ich glaube (nach einer kurzen Suche) eher nicht. [D a s wäre nun etwas, was verbessungswürdig wäre.] Sicher, man kann z. B. X n Y n Z (bzw. X u Y u Z so definieren: (X n Y) n Z (bzw. so: (X u Y) u Z). Gerechtfertigt ist das nicht zuletzt wegen der Gültigkeit von (X n Y) n Z = X n (Y n Z) (bzw. (X u Y) u Z = X u (Y u Z)), was im Buch gezeigt/bewiesen wird."

Tao: "Because of the above lemma [(A u B) u C = A u (B u C) --FF] we do not need to use parentheses to denote multiple unions, thus for instance we can write A u B u C instead of (A u B) u C or A u (B u C). Similarly for unions of four sets A u B u C u D etc."

Keine Ahnung, warum sich hier Herr Martin wie Mückenheim aufführt, aber er wird schon seine Gründe haben.