Basis der stetigen Funktionen
Stefan Göttlinger
Kann mir jemand eine Basis der stetigen Funktionen nennen?
Gibt es eine allgemeine Basis für den Gesamtraum der stetigen
Funktionen, oder
muss man den Raum einschränken, um eine Basis angeben zu können?
Ein paar Gedanken von mir:
Dadurch, dass sich stetige Funktionen durch Taylorreihen annähern
lassen, die aus Potenz- /Polynomfunktionen bestehen, wären doch die
stetigen Polynomfunktionen eine Basis der stetigen Funktionen.
Mit freundlichen Grüßen,
Stefan
Lukas-Fabian Moser
On 7 Mar 2003 08:12:10 -0800, Stefan_Go...@arcor.de (Stefan
Göttlinger) wrote:
>Kann mir jemand eine Basis der stetigen Funktionen nennen?
>Gibt es eine allgemeine Basis für den Gesamtraum der stetigen
>Funktionen, oder
>muss man den Raum einschränken, um eine Basis angeben zu können?
>Ein paar Gedanken von mir:
>Dadurch, dass sich stetige Funktionen durch Taylorreihen annähern
>lassen, die aus Potenz- /Polynomfunktionen bestehen, wären doch die
>stetigen Polynomfunktionen eine Basis der stetigen Funktionen.
Es läßt sich wohl eher nicht jede stetige Funktion als Taylorreihe
darstellen, aber das ist hier nicht das Hauptproblem. Das Problem ist,
daß eine Basis im Sinne der linearen Algebra zwar ein unendliches
System sein darf, zur Darstellung eines Vektorraumelements aber immer
endlich viele Basiselemente nötig sein dürfen. (Man hat auf einem
allgemeinen Vektorraum ja nicht einmal einen Normbegriff, über den man
definieren könnte, was eine unendliche Summe bedeuten könnte.)
Es ist hier dasselbe Phänomen wie bei einer Basis von R als
Q-Vektorraum: nach dem Lemma von Zorn, das äquivalent ist zum
Auswahlaxiom, muß es eine Basis geben. Zeigen kann sie Dir aber
niemand.
Grüße, Lukas
Joachim Pense
GMT):
> Hallo Mitglieder,
>
> Kann mir jemand eine Basis der stetigen Funktionen nennen?
> Gibt es eine allgemeine Basis für den Gesamtraum der stetigen
> Funktionen, oder
> muss man den Raum einschränken, um eine Basis angeben zu können?
Wenn unendliche Summen zugelassen sind, dann kommt man unter der
Überschrift "Fourierreihen" weiter.
Joachim
Frank Roeser
man kann eine stetige Funktion auf einem Kompaktum beliebig gut durch ein
Polynom approximieren (Weierstraßscher Approximationssatz)
Der Raum der stetigen Funktionen auf einem beliebigen Kompaktum ist ein
Banachraum unter der Supremumsnorm.
Man kann also sinnvoll unendliche Reihen einführen...
dann gibt es Systeme von einfachen Grundfunktionen (Hutfunktionen und
dilatierte und translierte davon) mit der man eine stetige Funktion
approximieren bzw. exakt darstellen kann
(also als unendliche Summe)
Hoffe das stimmt so
=o) Frank
Jakob Creutzig
> Hallo Mitglieder,
>
> Kann mir jemand eine Basis der stetigen Funktionen nennen?
Ich nehme an, ueber [0,1] oder sowas einfachem, ja?
Algebraische Basen gibt es zwar, wenn man an CHOICE glaubt,
aber ich kenne keine explizite Darstellung. Das scheint
auch vernuenftig, denn wenn man CHOICE bemuehen muss,
klappt's ja wohl mit einem konstruktiven Beweis nicht.
Topologische Basen (d.h. unendliche Summen sind zugelassen)
gibt es hingegen haufenweise. Die beliebtesten, wie
die Schauderbasis (das sind "Huetchenfunktionen") oder
die trigonometrische Basis stammen meist aus der Familie
der Wavelets, das sind verschobene und dilatierte
Versionen einer Grundfunktion. Allgemeine Fragen zum
Thema Basen von Banachraeumen werden in
Lindenstrauss/Tzafriri sehr schoen behandelt, zur Theorie
von Wavelets fe lt mir jetzt irgendwie eine gute Referenz
fuer den Einstieg.
HTH, Best,
Jakob