0,9 periodisch als Bruch gleich 1?

Cornelia

unread,

Jan 2, 2004, 9:51:27 AM1/2/04

to

Ich besuche die 6. Schulstufe und habe ein Verständnisproblem zur
Unendlichkeit. Da wir gerade Ferien haben, kann ich meinen Lehrer nicht
fragen.

Leider konnte mir bis jetzt niemand verständlich machen, warum 0,9
periodisch gleich 1 ist, das ergibt sich aber, wenn man 0,9 periodisch in
einen Bruch umwandelt.

Ich rechne also zB 0,7 periodisch ist 7/9 und 0,9 periodisch ist 9/9, das 1
ist.

Zwischen 0,9 periodisch und 1 ist doch ein _unendlich_ kleiner
_Unterschied_, oder nicht?

Mein Papa hat mir folgendes erklärt:

x = 0,9 periodisch,
dann ist 10x = 9,9 periodisch.

Dann werden die Gleichungen substrahiert:

10x = 9,9 periodisch
-x = -0,9 periodisch
____________________
9x = 9,0
x = 1

=> 1 = 0,9 periodisch

Wenn ich die Gleichung rechnerisch auch verstehe, verstehe ich trotzdem
gedanklich nicht, warum zwischen 0,9 periodisch und 1 kein Unterschied ist.
Ist in der o.a. Gleichung ein Denkfehler? Wie kann ich mir das besser
vorstellen?

Cornelia

Christian S

unread,

Jan 2, 2004, 2:29:00 PM1/2/04

to

> Leider konnte mir bis jetzt niemand verständlich machen, warum 0,9
> periodisch gleich 1 ist, das ergibt sich aber, wenn man 0,9 periodisch in
> einen Bruch umwandelt.

0.9 periodisch ist gleich 9*10^-1+9*10^-2+9*10^-3+....
Wenn du das unendlich oft fortsetzt bleibt ein unendlich kleiner Rest bis
zur 10, und unendlich kleine Reste sind 0.

Wenn du das schaffts, dir das gedanklich vorzustellen, darfst du dich mit
meiner Erlaubnis in die 9. versetzen lassen (Differential und
Integralrechnung).

Christian

Rainer Rosenthal

unread,

Jan 2, 2004, 2:33:42 PM1/2/04

to

Cornelia schrieb:

> Ich besuche die 6. Schulstufe und habe ein Verständnis-

> problem zur Unendlichkeit. Da wir gerade Ferien haben,
> kann ich meinen Lehrer nicht fragen.
>
> Leider konnte mir bis jetzt niemand verständlich machen,
> warum 0,9 periodisch gleich 1 ist,

Hallo Cornelia,

die Frage "warum" ist gut. Deinen Papa kannst Du schön von
mir grüssen und sagen, dass er Dir prima gezeigt hat, *dass*
es wirklich so ist. Wie weit er Freude daran hat, Deine
Suche nach dem "warum" zu begleiten, weiss ich nicht. Und
selbst beim Lehrer muss das nicht unbedingt klappen, auch
wenn der sich glücklich schätzen dürfte, so eine ernsthafte
Frage beantworten zu dürfen.

Du suchst ja auch nicht eigentlich eine Antwort auf das
Thema "ist 0,999... = 1" sondern, wie Du ja eingangs
geschrieben hast, eine Antwort zum Thema Unendlichkeit.

> Zwischen 0,9 periodisch und 1 ist doch ein _unendlich_ kleiner
> _Unterschied_, oder nicht?

Sagen wir mal so: "0,9 periodisch" ist ein Ausdruck, den
man gerne verwendet und den man z.B. auch beim Multiplizieren
von "0,3 periodisch" mit 3 herausbekommt.

Dabei ist der Ausdruck selbst das eigentliche Geheimnis.
Er bezeichnet nämlich diejenige Zahl (und wir wissen schon,
dass es die 1 ist), der sich die Folge der Zahlen

0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999 0,999999 usw.

annähert. Die Mathematik widmet der Betrachtung von Zahlen-
folgen einen grossen Raum. Das Zauberwort heisst hier:
"konvergente Zahlenfolge". Weil die Zahlenfolge in systematischer
Weise durch die Addition von immer kleineren Zusätzen entsteht:

s_1 = 0,9 s_2 = s_1 + 0,09 s_3 = s_2 + 0,009 usw.

spricht man auch von einer "konvergenten Reihe", die man auch
in Kurzform so geschrieben sieht: 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...
oder 9/10^1 + 9/10^2 + 9/10^3 + ... oder gar mit dem schönen

oo
-----------
\ 9
\
\ ----------------
/
/ k
/ 10
/
------------
k = 1

Summenzeichen, dem man die Grenzen 1 und Unendlich(!) mitgibt.
(In ASCII-Text sieht die liegende Acht des Unendlichzeichens
nicht so toll aus, aber immerhin: da hast Du wieder Dein Unendlich.
Das ist aber nur eine *Schreibweise*, der Index k selbst bleibt
immer schön endlich. Wieder was, was Aberdutzende nicht wahrhaben
wollen, was Du aber sicher gerne verstehen wollen wirst).

Dein Appetit auf "Unendlich" wird eher gestillt dadurch, dass Du
z.B. in der Stadtbibliothek (oder evtl. in der Schulbibliothek)
schaust, was es da an Interessantem gibt, als dass Du Dich stur
auf "0,9 periodisch" versteifst. Nimm' Dein Staunen zum Anlass,
genauer hinzuschauen, aber nimm Dir die Leute als abschreckendes
Beispiel, die seit Jahr und Tag immer von neuem losheulen, dass
sie das nicht gebacken kriegen :-) Die Newsgroups sind voll
von diesem Thema, echt!

Das Standardbeispiel, das viel weiter führt beim Nachdenken über
"Unendlich", ist 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

oo
-----------
\
\ 1
\
/ -------------
/
/ k
/
------------
k = 1

Gott segne Dich
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

Hermann Kremer

unread,

Jan 2, 2004, 2:46:22 PM1/2/04

to

Cornelia schrieb in Nachricht <news:3253394.h...@usenet04.wrgym.uni.cc>...

Hallo Cornelia

>Ich besuche die 6. Schulstufe und habe ein Verständnisproblem zur
>Unendlichkeit. Da wir gerade Ferien haben, kann ich meinen Lehrer nicht
>fragen.
>Leider konnte mir bis jetzt niemand verständlich machen, warum 0,9
>periodisch gleich 1 ist, das ergibt sich aber, wenn man 0,9 periodisch in
>einen Bruch umwandelt.
>Ich rechne also zB 0,7 periodisch ist 7/9 und 0,9 periodisch ist 9/9, das 1
>ist.

Ja, OK

>Zwischen 0,9 periodisch und 1 ist doch ein _unendlich_ kleiner
> _Unterschied_, oder nicht?

Nö, da ist keiner ... wirklich nicht ... oder anders: Der _unendlich kleine_
Unterschied ist exakt gleich Null.

>Mein Papa hat mir folgendes erklärt:
> x = 0,9 periodisch,
>dann ist
> 10x = 9,9 periodisch.
>Dann werden die Gleichungen substrahiert:
> 10x = 9,9 periodisch
> -x = -0,9 periodisch
>___________________

> 9x = 9,0
> x = 1
>
> => 1 = 0,9 periodisch

Ja, OK

>Wenn ich die Gleichung rechnerisch auch verstehe, verstehe ich trotzdem
>gedanklich nicht, warum zwischen 0,9 periodisch und 1 kein Unterschied ist.
>Ist in der o.a. Gleichung ein Denkfehler? Wie kann ich mir das besser
>vorstellen?

Nö, da ist kein Gedankenfehler, die Gleichung ist richtig. Das mit dem Vorstellen
ist aber immer so eine Sache - ich kann mir z.B. _nicht_ vorstellen, daß es
_nicht_ so sein könnte ;-)
Kannst Du Dir vorstellen, daß 0,3 period = 1/3 ist?
Falls ja, dann multipliziere mal beide Seiten dieser Gleichung mit 3 ...

Mathematisch ist 0,9p eine andere Schreibweise für die sog. geometrische
Reihe
s = (9/10)*( 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ..... )
mit unendlich vielen Gliedern, und die Mathematiker bezeichnen die Summation
solcher unendlicher Reihen als Grenzwert-Bildung. Der Grenzwert von
1 + 1/10 + 1/100 + ... ist aber gerade gleich 1/(1 - 1/10) = 1/(9/10) = 10/9,
und damit ist s = (9/10)*(10/9) = 1.

Grüße
Hermann
--

>
>Cornelia

Ulrich Thiel

unread,

Jan 2, 2004, 2:54:00 PM1/2/04

to

> Wenn du das schaffts, dir das gedanklich vorzustellen, darfst du dich mit
> meiner Erlaubnis in die 9. versetzen lassen (Differential und
> Integralrechnung).

Das macht man ab der 9. Klasse? Wieso war ich nicht auf so einer Schule!?
Bei mir kam das ab der 11. erst ;)

Helmut Richter

unread,

Jan 2, 2004, 3:05:25 PM1/2/04

to

In article <3253394.h...@usenet04.wrgym.uni.cc>, Cornelia wrote:

> Ich besuche die 6. Schulstufe und habe ein Verständnisproblem zur
> Unendlichkeit. Da wir gerade Ferien haben, kann ich meinen Lehrer nicht
> fragen.
>
> Leider konnte mir bis jetzt niemand verständlich machen, warum 0,9
> periodisch gleich 1 ist, das ergibt sich aber, wenn man 0,9 periodisch in
> einen Bruch umwandelt.
>
> Ich rechne also zB 0,7 periodisch ist 7/9 und 0,9 periodisch ist 9/9, das 1
> ist.

Das sind doch eine Reihe guter Gründe, und weiter unter kommen noch mehr,
z.B. der vom Papa, den ich der Kürze halber rauslasse. Oder der: 1/3 ist
0,333..., das Dreifache davon ist doch 0,999... .

> Wenn ich die Gleichung rechnerisch auch verstehe, verstehe ich trotzdem
> gedanklich nicht, warum zwischen 0,9 periodisch und 1 kein Unterschied ist.

Jeder unendliche Dezimalbruch ist, auf endlich viele Stellen abgekürzt,
ungenau. 0,11 ist weniger als 1/9, 0,11111 ist weniger als 1/9,
0,11111111111111111 ist weniger als 1/9, erst mit allen unendlich vielen
Stellen, die ich hier nicht alle hinschreibe, ist es 1/9, aber dann auch
wirklich und nicht nur ungefähr. Das scheint niemandem etwas auszumachen.
Aber dieselben Leute, die da keine Probleme damit haben, finden es auf
einmal völlig unverständlich, wenn man ganz genau dasselbe mit der 1
macht: 0,99 ist weniger als 1, 0,99999 ist weniger als 1,
0,99999999999999999 ist weniger als 1, erst mit allen unendlich vielen
Stellen, die ich hier nicht alle hinschreibe, ist es 1, aber dann auch
wirklich und nicht nur ungefähr. Es ist wirklich ganz genau dasselbe.
(Sowas nennt man einen Grenzwert, aber das lernt ihr erst später.)

> Ist in der o.a. Gleichung ein Denkfehler? Wie kann ich mir das besser
> vorstellen?

Richtige Mathematiker würden sagen: auf die Vorstellung kommts nicht an,
sondern auf die Definition. Jeder Mathematiker stellt sich irgend etwas
vor, aber sie haben gelernt, dass man sich auf die Vorstellung nicht
verlassen kann. Kannst du dir vorstellen, dass ein Quadrat genausoviele
Punkte enthält wie eine Strecke? Kann sich eigentlich keiner. Aber man
kann den Begriff "genausoviel" definieren (jedem Punkt des Quadrats wird
ein Punkt der Strecke so zugeordnet, dass alle Punkte der Strecke
verwendet werden, aber keiner mehr als einmal) und sieht dann, dass es
genausoviele sind.

Hier aber spielt einem eigentlich die Vorstellung keinen Streich. Der Wert
des unendlichen Dezimalbruchs ist der Wert, wo sich die abbrechenden
Näherungsbrüche häufen, nicht ein Wert, den einer von ihnen schon
erreicht. Ist doch recht einleuchtend.

> Zwischen 0,9 periodisch und 1 ist doch ein _unendlich_ kleiner
> _Unterschied_, oder nicht?

Hier spielt dir die Vorstellung doch einen Streich. Unter "unendlich" kann
sich keiner so recht etwas vorstellen; deswegen sollte man das Wort nur
ganz vorsichtig verwenden, nachdem man es in einem bestimmten Zusammenhang
definiert hat. Den Wert eines unendlichen Dezimalbruchs kann man
definieren als Grenzwert der abbrechenden endlichen Dezimalbrüche, dann
haben die beiden 1,000... und 0,999... zwar verschiedene Werte der
abbrechenden, aber denselben Grenzwert.

Ein paar andere Unendlichkeitsbegriffe gibt es auch noch: eine Menge ist
als "unendlich groß" definiert, wenn sie eine echte Teilmenge (also eine
Teilmenge außer sich selbst) hat, die genausoviel Elemente hat (im obigen
Sinne) wie sie selbst.

Wer "unendlich" sagt, ohne es zu definieren, verlässt sich auf die
Vorstellung, und die ist sehr trügerisch. Mit deinem "unendlich klein"
machst du das. Andere Leute machen das mit solchen Sätzen wie "parallele
Geraden schneiden sich im Unendlichen": glaube diesen Schwätzern kein
Wort, bis sie dir eine Definition des "Unendlichen" vorlegen können.

Im übrigen ist es *meistens* kein Fehler, sich unter etwas unendlich
Kleinem wirklich etwas vorzustellen, was genau Null ist. Aber das ist nur
eine Vorstellung, die auch trügerisch sein kann, und die dann, wenn sie
wie hier zutrifft, einer ordentlichen Definition bedarf. Mathematik
besteht nicht aus Vorstellungen, sondern aus Sätzen, die aus Definitionen
folgen und bewiesen werden.

Helmut Richter

Uwe Schmitt

unread,

Jan 2, 2004, 3:22:04 PM1/2/04

to

Cornelia <for_...@usenet04.wrgym.uni.cc> wrote:
> Ich besuche die 6. Schulstufe und habe ein Verständnisproblem zur
> Unendlichkeit. Da wir gerade Ferien haben, kann ich meinen Lehrer nicht
> fragen.

> Leider konnte mir bis jetzt niemand verständlich machen, warum 0,9
> periodisch gleich 1 ist, das ergibt sich aber, wenn man 0,9 periodisch in
> einen Bruch umwandelt.

> Ich rechne also zB 0,7 periodisch ist 7/9 und 0,9 periodisch ist 9/9, das 1
> ist.

> Zwischen 0,9 periodisch und 1 ist doch ein _unendlich_ kleiner
> _Unterschied_, oder nicht?

Die Frage ist dann, was ein "unendlich kleiner Unterschied ist".

Wenn wir diese Zahl in den rellen Zahlen suchen, und z.b. als p>0
finden, dann ist doch p/10 > 0 ein "noch kleinerer Unterschied", p/100 > 0
noch kleiner usw. Das heisst ein unendlich kleiner Unterschied
kann gar nicht größer als die Null sein, weil wir ihn immer kleiner
machen können. Bei p<0 gehts genau so. Bleibt also nur noch p=0
uebrig.
O.k., das ist nicht konstruktiv, aber mir hat das bei den rellen
Zahlen bez. Vorstellung geholfen...

Gruß, Uwe.

--
Dr. rer. nat. Uwe Schmitt http://www.procoders.net
sch...@procoders.net "A service to open source is a service to mankind."

Michael Lange

unread,

Jan 2, 2004, 3:41:10 PM1/2/04

to

Hallo Cornelia,

es gab ja schon einige postings, darunter auch wirklich gute (egal für
welche Klassenstufe). Ich würde dennoch gerne insbesondere die Antwort von
Hermann ergänzen.

Du schriebst:

[...]

> Leider konnte mir bis jetzt niemand verständlich machen, warum 0,9
> periodisch gleich 1 ist, das ergibt sich aber, wenn man 0,9 periodisch in
> einen Bruch umwandelt.
>
> Ich rechne also zB 0,7 periodisch ist 7/9 und 0,9 periodisch ist 9/9, das
> 1 ist.
>
> Zwischen 0,9 periodisch und 1 ist doch ein _unendlich_ kleiner
> _Unterschied_, oder nicht?

Hier musst Du Dich fragen, ob das stimmt. Wenn es einen Unterschied gibt,
d.h. eine Differenz, die nicht verschwindet, dann musst Du die doch
ausdrücken können. Also sag mal, welche Zahl sich aus 1-0,[9] ergibt (die
eckigen Klamern mögen mal die Periode symbolisieren)!

Du wirst wohl mit mir einer Meinung sein, dass 0,[9] unmöglich größer sein
kann als 1. Ich denke wohl, dass man leicht über die Zahl vor dem Komma
argumentieren kann!
Jetzt kommt das "kleiner sein": Dazu muss man sich wohl fragen, wie groß die
Differenz 1-0,[9] höchstens ist.
Dir sollte klar sein, dass die Differenz HÖCHSTENS 1 ist, mehr geht nicht.
Das wäre im übrigen genau dann der Fall, wenn man von den unendlich vielen
Neunen keine einzige als anwesend betrachtet. Bedenkst Du aber, dass ja
mindestens eine 9 geschrieben steht, kommst Du darauf, dass die Differenz
1-0,[9] "höchstens" 0,1 sein kann.
Nun gut, aber es steht ja nicht nur eine 1 da, sondern mindestens 2.
Betrachtest Du nur zwei, so ist die Differnenz eben 0,01.
Aber eigentlich sind ja noch mehr da. Bei drei Neunen wäre der Unterschied
nur noch 0,001.
Du siehst, dass die Differenz also sehr klein wird sein muss, oder mit
Deinen Worten "unendlich" klein.
Aber wieviel ist unendlich klein?
Mach Dir mal Gedanken darüber, indem Du die Reihe fortsetzt:
1
0,1
0,01
0,001
...
Oft kommt jetzt die Antwort: eine Zahl, die folgendermaßen aufgebaut ist:
Sie fängt mit "0," an, hat unendlich viele Nullen und "am Ende" eine 1.
Da würd ich sagen, Hut ab, hört sich schon gut an. Nur die eine Frage noch:
Wie soll ich denn die 1 "am Ende" finden, wenn doch die eben beschriebene
Zahl gar kein Ende hat, sondern nur "unendlich" viele Nullen nach dem
Komma?

Und jetzt kommt Hermann: Der sagt, der Unterschied sei Null. Kannst Du Dir
das jetzt erklären?

> Mein Papa hat mir folgendes erklärt:
>
> x = 0,9 periodisch,
> dann ist 10x = 9,9 periodisch.
>
> Dann werden die Gleichungen substrahiert:
>
> 10x = 9,9 periodisch
> -x = -0,9 periodisch
> ____________________
> 9x = 9,0
> x = 1
>
> => 1 = 0,9 periodisch
>
> Wenn ich die Gleichung rechnerisch auch verstehe, verstehe ich trotzdem
> gedanklich nicht, warum zwischen 0,9 periodisch und 1 kein Unterschied
> ist. Ist in der o.a. Gleichung ein Denkfehler? Wie kann ich mir das besser
> vorstellen?

Nein. Obwohl da schon mehr Mathematik hintersteckt, als Schüler i.a. in der
Schule lernen.
Bedenke, es gibt mindestens zwei Stufen des Verstehens:
1. Begreifen, wie man etwas macht.
2. Erklären können, warum das auch funktioniert, was man da macht.

Gib Dich nie mit der ersten Stufe zufrieden. Frage immer (!) nach der
zweiten. Gute Lehrer haben auch darauf immer eine Antwort. Manchmal ist die
schwierig zu verstehen, aber wenn DU immer weiter (Dich selbst) nach dem
"Warum?" fragst, wirst Du auch bestimmt die schwierigen Antworten verstehen
lernen!

Übrigens ist die Antwort nach dem "Warum" Deiner Frage keineswegs einfach.
Sie schließt an das Themengebiet an, das Untersucht, welches denn die
nächst größere Zahl nach der Null ist. Und hüte Dich davor, sie mit 0,[0]1
zu betiteln (also diejenige Zahl, die mit "0," beginnt, unendlich viele
Nullen hat, am Ende eine 1). Diese Zahl ist interessanterweise eben gleich
0, sofern es sie gibt.

So, ich hoffe Dich nicht völlig verwirrt zu haben und wünsche (nicht nur
Dir) ein schönnes neues Jahr.

Mfg Michael

Rainer Rosenthal

unread,

Jan 2, 2004, 4:56:39 PM1/2/04

to

Uwe Schmitt wrote

> Die Frage ist dann, was ein "unendlich kleiner Unterschied ist".
>
> Wenn wir diese Zahl in den rellen Zahlen suchen, und z.b. als p>0
> finden, dann ist doch p/10 > 0 ein "noch kleinerer Unterschied", p/100 > 0
> noch kleiner usw. Das heisst ein unendlich kleiner Unterschied
> kann gar nicht größer als die Null sein, weil wir ihn immer kleiner
> machen können. Bei p<0 gehts genau so. Bleibt also nur noch p=0
> uebrig.
> O.k., das ist nicht konstruktiv, aber mir hat das bei den rellen
> Zahlen bez. Vorstellung geholfen...

Na doch, ist insofern konstruktiv, als es zeigt, dass eine
Konstruktion nicht möglich ist. Die genannte Eigenschaft, die
Du zum Beweis heranziehst, ist so wichtig, dass die reellen
Zahlen den Orden "archimedisch angeordnet" angeheftet bekommen
haben. Zu jeder noch so kleinen Zahl a > 0 gibt es eine natürliche
Zahl n, so dass n*a grösser ist als 1. Das heisst also: genügend
viele kleine Etwasse aneinander gelegt geben was Grosses. Der
Name rührt wohl daher, dass dies Eigenschaft die Basis der sog.
Exhaustionsmethode von Archimedes ist, der mit vielen kleinen
Etwassen die grossen Figuren auszumessen in der Lage war.

Solches wäre aber noch Internet-historisch auszufeilen ...
Sollte ich da schon was in meiner Archimedes-Partition auf
der Festplatte haben? Wenn nein, dann freue ich mich schon
darauf: Jutta? Hermann?

Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

Gastfreund aus Korinth

unread,

Jan 2, 2004, 5:48:23 PM1/2/04

to

Die Wahrheit ist also die: 0,999... *ist* nicht 1.
0,99... bezeichnet eine
unendliche Summe, die erst *definiert* werden muß. Und sie ist so
definiert, daß sie 1 ist. Allzu viel Auswahl hat man nicht. Eine andere
Definition würde zu einem Widerspruch führen (d.h. wenn man sagte,
0,99... ergäbe eine andere Zahl aus R) und die einzige andere
Möglichkeit, die man hätte, wäre, die Summe nicht zu definieren. Aber
das wäre aus vielen Gründen unbequem.

GaK

----== Posted via Newsfeed.Com - Unlimited-Uncensored-Secure Usenet News==----
http://www.newsfeed.com The #1 Newsgroup Service in the World! >100,000 Newsgroups
---= 19 East/West-Coast Specialized Servers - Total Privacy via Encryption =---

Rainer Rosenthal

unread,

Jan 2, 2004, 5:58:06 PM1/2/04

to

Gastfreund aus Korinth schrieb:

> Die Wahrheit ist also die: 0,999... *ist* nicht 1.
> 0,99... bezeichnet eine unendliche Summe, die erst
> *definiert* werden muß. Und sie ist so definiert,
> daß sie 1 ist.

Kennt Ihr das Gesetz von Murphy?
Es besagt, dass etwas schief geht, wenn es schief
gehen kann. Als Beispiel wird gerne das Butter-
brot herangezogen, das *natürlich* immer auf die
beschmierte Seite fällt, wenn es runterfällt.

Jetzt hat man festgestellt, dass dass das Gesetz
gar nicht nach Murphy heisst! Sondern lediglich nach
einem anderen Mann gleichen Namens.

unread,

Jan 2, 2004, 6:42:24 PM1/2/04

to

On Sat, 03 Jan 2004 00:42:36 +0100, Michael Lange wrote:

> Welches Thema meinst Du?

Ich meinte das Thema, ob 0,99... = 1 gilt.

Manfred Hauser

unread,

Jan 2, 2004, 8:18:19 PM1/2/04

to

Jedes mal wenn das Problem mit dem 0,[9] = 1 (um mal Deine Schreibweise
zu übernehmen) auftaucht, komm ich wieder ins Grübeln. Prinzipiell
leuchtet mir das schon ein, daß man das so zeigen kann. Mein Problem
bei der Sache ist aber eigentlich, warum stört sich niemand daran, daß
beispielsweise bei folgender Funktion

f(x) = x mit D(x) = [0..1)
// kurz zur Erklärung, D(x) sei der Definitionsbereich
// der zwischen 0 und 1 liegt, einschließlich 0, ausschließlich 1

man zwar unendlich nahe an die 1 "rangehen" kann, die 1 jedoch nie
erreicht, da sie ganz einfach nicht zum Definitionsbereicht gehört?

Wie weit ist man denn noch von der 1 entfernt, wenn man sich unendlich
nahe annähert (erreichen kann man sie ja schon rein der Definition
wegen nicht)?

Ist denn das Problem nicht genau von der selben Art?

Schöne Grüße,
Manfred

Rainer Rosenthal

unread,

Jan 3, 2004, 2:40:22 AM1/3/04

to

Gastfreund aus Korinth

> denn diesen sicherlich sehr feinen und raffinierten
> Vergleich verstehe ich nicht (ich bin ein einfacher Mann).

Ja, es war ein spontaner Einfall, der mir auch jetzt
noch witzig vorkommt. (Ich bin ein verrücktes Huhn.)

> Ich denke, daß man Hinweis in Ordnung war, denn
>
> 1) Die obige Summe ist nicht 1 in dem Sinne wie 1/2 + 1/2 = 1 gilt;

Es gibt meines Wissens genau einen Gleichheitsbegriff.
Das war der mit "wenn A = B und B = C, dann A = C".

Also ist da nicht wirklich ein Unterschied.

> 2) Ein Lehrer, der solche Fragen in der sechsten Klasse
> behandelt, muß wohl den Verstand verloren haben.

Du hast gar nicht zugehört. Die Schülerin ist von selbst
ins Grübeln geraten. Und weil der Lehrer ferienhalber
nicht erreichbar ist, hat sie schon mal praktische und
richtige Antwort von ihrem lieben Papi gekriegt.
Und - o Freude - sie hat Appetit auf mehr. Na ist es
nicht prächtig? Leute in der sechsten Klasse sind
achttausend mal pfiffiger als es ältere Leute je werden
können.

Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

Gerd Thieme

unread,

Jan 3, 2004, 3:22:04 AM1/3/04

to

Gastfreund aus Korinth wrote:

> 1) Die obige Summe ist nicht 1 in dem Sinne wie 1/2 + 1/2 = 1 gilt;

Aber zumindest in dem Sinne wie 0,333... = 1/3 ist.

Wer gemeine Brüche und periodische Dezimalbrüche gleichsetzt, nimmt
*immer* den Grenzwert der genannten unendlichen Summe, nicht nur im
Sonderfall 0,999...

Und wenn ich im Dreiersystem 1/2 + 1/2 rechne, und das als
0,111... + 0,111... = 0,222... schreibe, gilt ebenfalls 0,222... = 1.

Gerd

Klaus Loerke

unread,

Jan 3, 2004, 3:46:09 AM1/3/04

to

> Leute in der sechsten Klasse sind
> achttausend mal pfiffiger als es ältere Leute je werden

^^^^^^^^^^^^ Meinst du damit Lehrer? ACK

> können.

klaus

Jens Hansen

unread,

Jan 3, 2004, 3:56:00 AM1/3/04

to

Manfred Hauser schrieb:

> Jedes mal wenn das Problem mit dem 0,[9] = 1 (um mal Deine Schreibweise
> zu übernehmen) auftaucht, komm ich wieder ins Grübeln. Prinzipiell
> leuchtet mir das schon ein, daß man das so zeigen kann. Mein Problem
> bei der Sache ist aber eigentlich, warum stört sich niemand daran, daß
> beispielsweise bei folgender Funktion
>
> f(x) = x mit D(x) = [0..1)
> // kurz zur Erklärung, D(x) sei der Definitionsbereich
> // der zwischen 0 und 1 liegt, einschließlich 0, ausschließlich 1
>
> man zwar unendlich nahe an die 1 "rangehen" kann, die 1 jedoch nie
> erreicht, da sie ganz einfach nicht zum Definitionsbereicht gehört?

Nein, das kann man nicht. Jeder Funktionswert hat immer einen Abstand
größer 0 von 1.

> Wie weit ist man denn noch von der 1 entfernt, wenn man sich unendlich
> nahe annähert (erreichen kann man sie ja schon rein der Definition
> wegen nicht)?
>
> Ist denn das Problem nicht genau von der selben Art?
>
> Schöne Grüße,
> Manfred

Nein, beim Problem mit 0,[9] geht es ja gerade darum, dass diese Zahl
gleich 1 ist.

Dein Problem ist, dass du schon implizit Konvergenz betrachtest.

Grüsse Jens

Gastfreund aus Korinth

unread,

Jan 3, 2004, 4:13:55 AM1/3/04

to

On Sat, 03 Jan 2004 09:22:04 +0100, Gerd Thieme wrote:

> Aber zumindest in dem Sinne wie 0,333... = 1/3 ist.

Ja. Genau im gleichen Sinne.

Gastfreund aus Korinth

unread,

Jan 3, 2004, 4:27:26 AM1/3/04

to

On Sat, 03 Jan 2004 08:40:22 +0100, Rainer Rosenthal wrote:

> Ja, es war ein spontaner Einfall, der mir auch jetzt noch witzig vorkommt.
> (Ich bin ein verrücktes Huhn.)

Ich würde es anders bezeichnen.

> Es gibt meines Wissens genau einen Gleichheitsbegriff. Das war der mit
> "wenn A = B und B = C, dann A = C".
> Also ist da nicht wirklich ein Unterschied.

Es handelt sich nicht um eine algebraische Summe, wie in meinem Beispiel.
Das Pluszeichen wird quasi überladen. Es ist für einen Anfänger
natürlich sehr verwirrend, wenn jemand sagt, 0,999.. = 1, denn er kann
die beiden Bedeutungen des Pluszeichens nicht trennen. (Trotzdem sagen wir
das so und das mit gutem Grund, denn die Bezeichnungen sind nicht so
gewählt, daß sie für Anfänger verständlich sind. Das ist in der
Mathematik allgemein so.)

>> 2) Ein Lehrer, der solche Fragen in der sechsten Klasse behandelt, muß
>> wohl den Verstand verloren haben.
>
> Du hast gar nicht zugehört. Die Schülerin ist von selbst ins Grübeln
> geraten. Und weil der Lehrer ferienhalber nicht erreichbar ist, hat sie
> schon mal praktische und richtige Antwort von ihrem lieben Papi gekriegt.
> Und - o Freude - sie hat Appetit auf mehr. Na ist es nicht prächtig?

Da Problem war, daß ich genau zugehört habe. Zuerst ist der Ausdruck
"Schulstufe" in Deutschland (oder nur in Bayern?) ungebräuchlich. Wir
sagen Klassenstufe. Unter "Schulstufe" würden wir eher den Schultyp
verstehen. Die Uni wäre dann "tertiär". Es ist aber auch sicher, daß
ein Schüler, und sei er eben Abiturient, nicht so souverän
formulieren kann, wie der OP. (Schüler aus der sechsten Klasse können
das erst recht nicht.) Es ist offensichtlich, daß es sich nicht um eine
Schülerin aus einer sechsten Klasse handeln konnte und somit war die
ganze Geschichte, mit der sie ihre Frage begründete, zweifelhaft. Ich
wußte also, daß jemand aus ganz anderen Gründen fragte und gab eine
richtige Antwort. Für den Fall, daß ein Lehrer wissen wollte, wie man
dieses Problem behandelt, schloß ich mit meinem Hinweis für Lehrer.

(Ich nahm an, der OP war eine Art Troll, aber das spielt keine Rolle. Wie
ein ungarischer König sagte: De Trollen, quae non sunt, nulla fiat
mentio. Man beachte die kunstvolle (deutsche) Deklination des Wortes Troll.)

Gastfreund aus Korinth

unread,

Jan 3, 2004, 4:32:26 AM1/3/04

to

On Sat, 03 Jan 2004 02:18:19 +0100, Manfred Hauser wrote:

> Jedes mal wenn das Problem mit dem 0,[9] = 1 (um mal Deine Schreibweise zu
> übernehmen) auftaucht, komm ich wieder ins Grübeln. Prinzipiell leuchtet
> mir das schon ein, daß man das so zeigen kann. Mein Problem bei der Sache
> ist aber eigentlich, warum stört sich niemand daran, daß beispielsweise
> bei folgender Funktion
>
> f(x) = x mit D(x) = [0..1)
> // kurz zur Erklärung, D(x) sei der Definitionsbereich // der zwischen 0
> und 1 liegt, einschließlich 0, ausschließlich 1
>
> man zwar unendlich nahe an die 1 "rangehen" kann, die 1 jedoch nie
> erreicht, da sie ganz einfach nicht zum Definitionsbereicht gehört?

Man kann nicht "unendlich nah" ran gehen, sondern *beliebig* *nah*. Das
kann man technisch fassen. Ist e > 0 eine (belibig kleine) reelle Zahl, so
gibt es ein x aus D mit 1-x < e. (Die Bezeichnung D(x) ist unglücklich,
denn D hängt nicht von x ab.)

> Wie weit ist man denn noch von der 1 entfernt, wenn man sich unendlich
> nahe annähert (erreichen kann man sie ja schon rein der Definition wegen
> nicht)?
>
> Ist denn das Problem nicht genau von der selben Art?

Nein. Das Problem war mathematisch gesehen, was der Grenzwert einer
gegebenen Reihe ist. Dein Problem ist, ob man lim(x->x0)f(x) definieren
kann für einen Punkt x0, der nicht im Definitionsbereich von f liegt.

Manfred Hauser

unread,

Jan 3, 2004, 4:34:39 AM1/3/04

to

Jens Hansen schrieb:

> > man zwar unendlich nahe an die 1 "rangehen" kann, die 1 jedoch nie
> > erreicht, da sie ganz einfach nicht zum Definitionsbereicht gehört?
>
> Nein, das kann man nicht. Jeder Funktionswert hat immer einen Abstand
> größer 0 von 1.

ja, natürlich ist der Abstand immer Größer als 0, aber um mit den
Worten von Michael zu argumentieren

>> Michael Lange schrieb:

>> Hier musst Du Dich fragen, ob das stimmt. Wenn es einen Unterschied
>> gibt, d.h. eine Differenz, die nicht verschwindet, dann musst Du die
>> doch ausdrücken können.

> Nein, beim Problem mit 0,[9] geht es ja gerade darum, dass diese Zahl

> gleich 1 ist.
>
> Dein Problem ist, dass du schon implizit Konvergenz betrachtest.

das Argument laß ich jetzt mal nicht gelten, denn z.B. Rainer Rosenthal
bringt ein sehr schönes Beispiel über konvergente Reihen, da hast Du ja
auch kein Problem damit, daß wenn man das unendlich fortsetzt (also das
Beispiel 0,9+0,09+...) auf 1 kommt, obwohl man sich im Grunde nur immer
weiter annähert. Genau dasselbe führe ich mit meiner gegebenen Funktion
durch, ich addier auf den "aktuellen" Funktionswert immer einen der
Summanden aus der oben genannten konvergenten Reihe drauf (Du darfst
Dir sogar jedes mal aussuchen, welchen Du möchtest, aber bitte jeden
nur einmal ;).

Schöne Grüße,
Manfred

Michael Lange

unread,

Jan 3, 2004, 5:16:21 AM1/3/04

to

Hallo Manfred,

Manfred Hauser schrieb:

> Jens Hansen schrieb:
>
>> > man zwar unendlich nahe an die 1 "rangehen" kann, die 1 jedoch nie
>> > erreicht, da sie ganz einfach nicht zum Definitionsbereicht gehört?
>>
>> Nein, das kann man nicht. Jeder Funktionswert hat immer einen Abstand
>> größer 0 von 1.
>
> ja, natürlich ist der Abstand immer Größer als 0, aber um mit den
> Worten von Michael zu argumentieren
>
>>> Michael Lange schrieb:
>>> Hier musst Du Dich fragen, ob das stimmt. Wenn es einen Unterschied
>>> gibt, d.h. eine Differenz, die nicht verschwindet, dann musst Du die
>>> doch ausdrücken können.

[...]

Da Du mich ausdrücklich zitierst, möchte ich Dir den mathematischen Teil
noch einmal vor Augen führen. Gemeinsam ist tatsächlich beiden, dass man
das ganze mit Grenzwertbetrachtung angehen kann.
Unterschiedlich ist bei beiden, dass man es bei 0,[9] = 1 nicht "muss". Mein
Argument ist recht einfach, ich "beweise", dass in "jeder" eps-Umgebung von
1 auch die 0,[9] liegt. In Jeder, egal wie klein das eps > 0 gewählt wurde.
Generalisierung drüber: Der Abstand ist kleiner als jedes positive eps,
muss also das Infimum eben all dieser positiven eps sein, und das ist Null.
Jetzt ein bisschen Topologie: Hat x von der Menge A den Abstand 0, so liegt
x auf dem Rand von A. Da A={1] in diesem Fall selbst nur aus isolierten
Punkten besteht, kann x=0,[9] nur ein Element von A sein, daraus folgt die
Gleichheit von 1 und 0,[9].
Du beweist, dass in "jeder" eps-Umgebung von 1 sich ein Funktionswert von f
befindet. Ja und? Was soll mir das sagen? Gehe ich mal wieder mit der
gleichen Argumentation drüber wie oben, so kann ich damit nur feststellen,
dass 1 auf dem Rand von [0;1) liegt. Ah ja, ich glaube das stimmt sogar.

Mfg Michael

Florian Schaudel

unread,

Jan 3, 2004, 6:02:20 AM1/3/04

to

Cornelia <for_...@usenet04.wrgym.uni.cc> wrote in
news:3253394.h...@usenet04.wrgym.uni.cc:

Hallo Cornelia,

zunächst einmal möchte ich Dir zu Deinem Papa (zumindest in
mathematischer Hinsicht ;-)) beglückwünschen. Das was er Dir erklärt hat
ist nicht nur vollkommen richtig, sondern es hätten wahrscheinlich 50%
der Mathematikstudenten und 75% der Mathematiklehrer probleme, es so
klar und einfach aus dem Stehgreif hinzuschreiben.

Deine Frage bezieht sich aber auf ein tieferes Verständnis des Warum?

> Wenn ich die Gleichung rechnerisch auch verstehe, verstehe ich
> trotzdem gedanklich nicht, warum zwischen 0,9 periodisch und 1 kein
> Unterschied ist. Ist in der o.a. Gleichung ein Denkfehler?

Die Gleichung ist vollkommen richtig. Sie stellt das dar, was
Mathematiker einen "Beweis" nennen: Durch Anwendung richtiger
Rechenoperationen oder Vorschriften stückweise von einer Aussage zu
einer anderen kommen.
Ist die Anfangsaussage formal richtig und die einzelnen Rechenschritte
auch, dann muss automatisch auch die Endaussage richtig sein - selbst
dann, wenn diese Endaussage nicht anschaulich verständlich ist.

> Wie kann
> ich mir das besser vorstellen?

Die Vorstellung hier ist in der Tat schwierig, da unendlich halt so eine
furchtbar große Zahl ist. Aber vielleicht hilft es Dir, über ein paar
andere Fragen nachzudenken:

- Wie bist Du eigentlich auf die 0,9999999... gekommen?

Du könntest Dir ja zum Beispiel überlegt haben "Es gibt 0,3 periodisch
(=1/3), es gibt 0,6 periodisch (=2/3) also muss es doch auch 0,9
periodisch geben (=?)". Eine andere Überlegung wäre "Was ist eigentlich
0,3... + 0,6... ? Wenn ich die normalen Rechnenregeln anwende, dann
komme ich auf 0,9..."
In beiden Fällen hast Du eigentlich genau dasselbe gemacht, was Dein
Papa auch gemacht hat: Du hast gewisse formale Regeln, die Dir aus dem
Rechnen mit endlichen Kommazahlen bekannt waren einfach auf periodische
Zahlen übertragen (was übrigens vollkommen richtig ist). Da es sich aber
nur noch um die Übertragung formaler Regeln handelt, ist das Ergebnis
dieser Übertragung schwer vorstellbar.

- Sind Dir schon andere Bereiche der Mathematik begegnet, wo Du etwas
ähnliches gemacht hast?

Ich z.B. hatte in Deinem Alter ziemliche Probleme damit, mir "paralelle
Geraden" vorzustellen. Natürlich wusste ich, wass das ist und kannte
ihre Eigenschaften, aber immer wenn ich sie mir vorstellen wollte habe
ich das Biuld von zwei Eisenbahnschienen im Kopf, die sich in der ferne
eben doch berühren ...

- Was würde es "schaden", wenn man 0,9... einfach verbieten würde? Gäbe
es Rechnungen, die sich dann nicht mehr ausführen liessen?

Viel Spass bei Deinen weiteren Entdeckungen im Reich der Mathematik - Du
bist auf dem richtigen Weg um viel Freude damit zu haben.

Florian

Klaus Loerke

unread,

Jan 3, 2004, 6:16:31 AM1/3/04

to

> Die Vorstellung hier ist in der Tat schwierig, da unendlich halt so eine
> furchtbar große Zahl ist.

Diese Vorstellung ist leider nicht nur falsch, sondern auch 'schädlich'.
Unendlich ist keine Zahl. Nicht mal eine furchtbar große. Hier sollte man
'unendlich' besser ganz wörtlich verstehen. Die Ziffernfolge 0.99... ist
unendlich, d. h. sie endet nicht.

klaus

Helmut Richter

unread,

Jan 3, 2004, 6:39:31 AM1/3/04

to

In article <bt5rki$3h9eu$1...@ID-54909.news.uni-berlin.de>, Rainer Rosenthal wrote:

> Es gibt meines Wissens genau einen Gleichheitsbegriff.
> Das war der mit "wenn A = B und B = C, dann A = C".

Häh? Das ist Transitivität und würde für "<" genauso gelten. Und wenn das
für dich nur ein Drittel der Definition ist, weil du Symmetrie und
Reflexivität auch noch meintest und nur der Kürze halber nicht
hinschriebest, hättest du Äquivalenz, aber immer noch keine Gleichheit.
Die geht anders, und so weit ich weiß nicht mit endlich vielen Formeln.

> Also ist da nicht wirklich ein Unterschied.

Doch: Wenn man die Brüche schon hat und die Rechenregeln dazu, dann kann
man beweisen, dass 1/2+1/2=1. Solange man noch dabei ist, die unendlichen
Dezimalbrüche zu definieren, hat man noch die Freiheit, festzulegen, ob
0,999... = 1,000... werden soll. Dabei wird sich herausstellen, dass es
zwei Möglichkeiten gibt:

a) 0,999... = 1,000 und man muss sich damit abfinden, dass es ein paar
Zahlen gibt, die sich auf mehr als eine Weise als Dezimalbruch
darstellen lassen, nämlich genau die Brüche, deren Nenner keinen Teiler
außer 2 und 5 haben. Na und? Bei der Definition der negativen Zahlen
findet man sich ja auch damit ab, dass die 0 keine eindeutige
Darstellung hat, sondern als +0 oder als -0 geschrieben werden kann.

b) 0,999... != 1,000 (soll heißen ungleich) und man muss sich damit
abfinden, dass das so Definierte keinerlei irgendwie brauchbaren
Rechengesetzen gehorcht; z.B. ist 1/3*3 nicht 1. Auch zu sonst
irgendetwas ist es nicht gut - jedenfalls hat noch keiner eine
Anwendung dafür gefunden.

Mna hat sich selbstverständlich für (a) entschieden, aber eine
Entscheidung war es doch. (Vielleicht war sie so selbstverständlich, dass
es keiner gemerkt hat, dass es eine war.)

Helmut Richter

Manfred Hauser

unread,

Jan 3, 2004, 7:59:08 AM1/3/04

to

Michael Lange schrieb:

> Da Du mich ausdrücklich zitierst, möchte ich Dir den mathematischen
> Teil noch einmal vor Augen führen.

klar, warum nicht, ist ja schließlich ne Newsgroup, da darf jeder
mitmachen :)

> "muss". Mein Argument ist recht einfach, ich "beweise", dass in
> "jeder" eps-Umgebung von 1 auch die 0,[9] liegt. In Jeder, egal wie
> klein das eps > 0 gewählt wurde. Generalisierung drüber: Der Abstand

auch ich kann zeigen, daß egal wie weit ich mich der 1 auf ein eps > 0
annähern, der gewählte Funktionswert nach wie vor im Definitionsbereich
liegt. Der Unterschied liegt nur darin, daß ich ganz leicht zeigen
kann, daß die 1 niemals erreicht wird, da sie ja schlichtweg nicht im
Definitionsbereich liegt. Wende ich jedoch Deine Argumentationsweise
an, müßte sie aber drin liegen.

> folgt die Gleichheit von 1 und 0,[9]. Du beweist, dass in "jeder"
> eps-Umgebung von 1 sich ein Funktionswert von f befindet. Ja und?
> Was soll mir das sagen?

Was Dir das sagt, weis ich nicht, mir sagt es, daß Du scheinbar Deine
eigenen Argumente nur manchmal gelten läßt?!

Schöne Grüße,
Manfred

Hero Wunders

unread,

Jan 3, 2004, 8:54:55 AM1/3/04

to

Hallo!

Die anderen haben ja schon so einiges geschrieben.
Ich habe noch eine kleine Ergänzung zum Rechnen.

> x = 0,9 periodisch,
> dann ist 10x = 9,9 periodisch.
> Dann werden die Gleichungen substrahiert:
>
> 10x = 9,9 periodisch

> - x = -0,9 periodisch

> ____________________
> 9x = 9,0
> x = 1
>
> => 1 = 0,9 periodisch

Hier noch ein paar weitere Beispiele.

1x = 0.[123]
1000x = 123.[123]

1000x
- 1x
------
= 999x = 123.[123] -0.[123] = 123

999x = 123
x = 123/999

1y = 15.[1542]
10000y = 151542.[1542]

10000y
- 1y
--------
= 9999y = 151542.[1542] - 15.[1542] = 151527

9999y = 151527
y = 151527/9999

1z = 21.45[37]
100z = 2145.[37]
10000z = 214537.[37]

10000z
- 100z
-------
= 9900z = 214537.[37] - 2145.[37] = 212392

9900z = 212392
z = 212392/9900

Also immer so multiplizieren, dass hinter dem Komma nur noch die Periode
steht und dann subtrahieren.

Vielleicht hilfts..
herojoker

Michael Lange

unread,

Jan 3, 2004, 9:15:10 AM1/3/04

to

Hallo Manfred,

noch eiunmal langsam:

Ich denke, Du stimmst mir zu, dass "wir beide" zeigen können, dass der
Abstand von 1 zu einer gegebenen Menge jeweils beliebig klein ist.
Deine Menge ist dabei [0;1), meine Menge ist {0,[9]}.

Ich schließe weiter:
d(x,A)=0 bedeutet nichts anderes als: x e dA (Rand von A).

Nun kommt der wichtige Unterschied:
Der Rand meiner Menge besteht nur aus einem Element, nämlich 0,[9]. Damit
ist die Gleichheit 1=0,[9] gezeigt.

Dein Rand besteht aus zwei Elementen, nämlich 0 und 1, wobei 1 nicht zur
Menge A gehört. Übrigens 0,[9] gehört auch nicht zur Menge.

Die Frage ist also weiter, wie möchtest Du argumentieren. Verstehe mich
bitte nicht falsch, einige Dinge habe ich in der Antwort an OP abgekürzt,
weil sie nicht angemessen waren. Nun schmücke ich Dir gegenüber die Details
aus.

Ich erkenne die Parallele, kann aber keinen Widerspruch erkennen, den ich
aber (so habe ich Dein posting verstanden) sehen müsste.

Also, wo ist das Problem?

Mfg Michael

Al Bogner

unread,

Jan 3, 2004, 9:49:40 AM1/3/04

to

Gastfreund aus Korinth wrote:

So, jetzt antworte ich dir mal als Papa, der sich gerade über
Unterstellungen ärgert.

> Da Problem war, daß ich genau zugehört habe.

Das hast du nicht. Du vermutest!

> Zuerst ist der
> Ausdruck "Schulstufe" in Deutschland (oder nur in Bayern?)
> ungebräuchlich.

Du hast in Geografie nicht aufgepasst. In Geografie lernt man
normalerweise, dass nicht nur in Deutschland Deutsch gesprochen
wird.

> Wir sagen Klassenstufe. Unter "Schulstufe" würden
> wir eher den Schultyp verstehen. Die Uni wäre dann "tertiär". Es
> ist aber auch sicher, daß ein Schüler, und sei er eben Abiturient,
> nicht so souverän formulieren kann, wie der OP. (Schüler aus der
> sechsten Klasse können das erst recht nicht.)

Wenn du dir schon die Zeit nimmst, Dinge zu _unterstellen_, dann
empfehle ich dir vorher etwas zu recherchieren.

Wenn es mich interessiert, weiß ich in < 1 Sekunde den
NNTP-Posting-Host und wenn der als IP-Adresse angegeben ist, dann
hilft "man whois" [1]

Der Schluß, dass die Schule auch in dem Land ist, aus dem gesendet
wurde, ist nicht gerade unwahrscheinlich. Ein Blick auf die
email-Adresse verrät dir mit ein bißchen Fantasie noch mehr.

Es postet ja nicht jeder mit gefälschtem Absender. Bist du Stefan
Busse oder von Stefan Busse autorisiert die Domain nirgendwo.de zu
benutzen? Wenn nicht, tust du Illegales und dann mach dir mal
darüber Gedanken, dass es auch andere Wege gibt, emails bouncen zu
lassen. (zB "man" blackhole)

Danke für das Kompliment bzgl. der Formulierung, da wird sie sich
morgen freuen, wenn wir das Thema weiter besprechen. Natürlich
schrieb sie das Posting nicht so nebenbei und wurde letztlich von
mir kontrolliert. Ich finde aber, dass Kinder lernen sollen, wie
man das Internet, speziell das Usenet, nützt und daher riet ich ihr
zu diesem Posting. Bei den Antworten waren aus meiner Sicht für
Kinder ganz verständliche Ansätze dabei. Ein Feedback von ihr wird
folgen.

Es fing eigentlich ganz harmlos an. Sie rechnete periodische Zahlen
in Brüche um und formulierte selbst Beispiele und da war dann 0,9
periodisch dabei und dann ging die Fragerei los, bis ich nicht mehr
weiter wußte.

Nun habe ich eben keine Erfahrung als Mathematilehrer und kann
eventuell dem Alter entsprechend nicht gut genug erklären.

Eines aber verlange ich bei ihr bei Fragen, man muß eine Frage
möglichst genau formulieren und vorher intensiv darüber nachdenken,
was man versteht und was man nicht versteht. "Ich kenne mich nicht
aus" gilt nicht als Frage und daher wurde die Problematik dann
offensichtlich nach der _ausführlichen_ Diskussion mit mir ganz gut
formuliert. Ich verheimliche aber nicht, dass sie es trotzdem immer
wieder probiert, eine Antwort auf "ich kenn mich nicht aus" zu
erhalten. IMO ist das ein schönes Beispiel für ein Kind, um zu
zeigen, dass Mathematik mehr ist also nur "doofes" Rechnen, dass
ein PC/Taschenrechner sowieso besser und schneller kann.

> offensichtlich,

definiere offensichtlich

> daß es sich nicht um eine Schülerin aus einer
> sechsten Klasse handeln konnte und somit war die ganze Geschichte,
> mit der sie ihre Frage begründete, zweifelhaft.

Trugschluß.

> Ich wußte also,
> daß jemand aus ganz anderen Gründen fragte und gab eine richtige
> Antwort. Für den Fall, daß ein Lehrer wissen wollte, wie man
> dieses Problem behandelt, schloß ich mit meinem Hinweis für
> Lehrer.

Nochmals danke für das Kompliment, ihr das Niveau eines
Mathematiklehrers zu unterstellen.

> (Ich nahm an, der OP war eine Art Troll,

Bitte definiere Troll kurz und prägnant für ein Kind, sonst komme
ich vielleicht wieder in Erklärungsnot.

Al

[1] zur Erklärung für die Windows-Nutzer:
http://www.rt.com/man/whois.1.html

Michael Lange

unread,

Jan 3, 2004, 10:17:37 AM1/3/04

to

Hallo Al,

Al Bogner schrieb:

[...]

> Danke für das Kompliment bzgl. der Formulierung, da wird sie sich
> morgen freuen, wenn wir das Thema weiter besprechen. Natürlich
> schrieb sie das Posting nicht so nebenbei und wurde letztlich von
> mir kontrolliert. Ich finde aber, dass Kinder lernen sollen, wie
> man das Internet, speziell das Usenet, nützt und daher riet ich ihr
> zu diesem Posting. Bei den Antworten waren aus meiner Sicht für
> Kinder ganz verständliche Ansätze dabei. Ein Feedback von ihr wird
> folgen.

Find ich gut! Es ist selten, dass man Eltern (hoffentlich kein Trugschluss)
findet, die so denken.

> Es fing eigentlich ganz harmlos an. Sie rechnete periodische Zahlen
> in Brüche um und formulierte selbst Beispiele und da war dann 0,9
> periodisch dabei und dann ging die Fragerei los, bis ich nicht mehr
> weiter wußte.

Um so besser. Ich finde, dass ruhig auch einmal Eltern überfordert
sein/spielen dürfen. Damit wird vielleicht das Bild zurecht gerückt, dass
die Mathematik auf alles stets DIE richtige Antwort hat. Je früher ein Kind
lernt, dass jeder Mensch mathematische Grenzen hat, desto einfacher wird es
für sie, die ihre zu akzeptieren und nicht daran zu verzweifeln.

> Nun habe ich eben keine Erfahrung als Mathematilehrer und kann
> eventuell dem Alter entsprechend nicht gut genug erklären.
>
> Eines aber verlange ich bei ihr bei Fragen, man muß eine Frage
> möglichst genau formulieren und vorher intensiv darüber nachdenken,
> was man versteht und was man nicht versteht. "Ich kenne mich nicht
> aus" gilt nicht als Frage und daher wurde die Problematik dann
> offensichtlich nach der _ausführlichen_ Diskussion mit mir ganz gut
> formuliert. Ich verheimliche aber nicht, dass sie es trotzdem immer
> wieder probiert, eine Antwort auf "ich kenn mich nicht aus" zu
> erhalten. IMO ist das ein schönes Beispiel für ein Kind, um zu
> zeigen, dass Mathematik mehr ist also nur "doofes" Rechnen, dass
> ein PC/Taschenrechner sowieso besser und schneller kann.

Also, ich muss schon sagen. Du tust Deinem Kinde den größten Gefallen, den
Du Dir denken könntest. Respekt. Hauptsache, Deine Einstellung führt nicht
dazu, dass ihre Neugier nachlässt.

Mfg Michael (der demnächst wieder in dieser Klassenstufe unterrichten wird)

Lars Kasper

unread,

Jan 3, 2004, 11:03:46 AM1/3/04

to

Christian S schrieb:

> Wenn du das schaffts, dir das gedanklich vorzustellen, darfst du dich mit
> meiner Erlaubnis in die 9. versetzen lassen (Differential und
> Integralrechnung).

Auf welchem Planeten?

Bei mir (NRW) gab's das damals erst in den Jahrgangsstufen 12 und 13.

Jakob Creutzig

unread,

Jan 3, 2004, 12:00:16 PM1/3/04

to

"Christian S" <hierb...@t-online.de> writes:

> > Leider konnte mir bis jetzt niemand verständlich machen, warum 0,9
> > periodisch gleich 1 ist, das ergibt sich aber, wenn man 0,9 periodisch in
> > einen Bruch umwandelt.
>
> 0.9 periodisch ist gleich 9*10^-1+9*10^-2+9*10^-3+....
> Wenn du das unendlich oft fortsetzt bleibt ein unendlich kleiner Rest bis
> zur 10, und unendlich kleine Reste sind 0.

Der Gedankensprung ist eher erstmal die Einsicht, dass die
im Unterricht (meist nicht wirklich :() definierte Zuordnung

|N \times {0,...,9}^|N \to \RR,

(d, x_1, x_2, x_3, ...)_{k \in \ZZ} |-> 10^d * 0.x_1x_2x_3..

mit

0.x_1x_2x_3.. := lim_{n \to \oo} 0.x_1x_2..x_n

zwar wohldefiniert ist und auch surjektiv, aber nicht
injektiv sein muss, und es auch tatsaechlich nicht ist.
Meist wird ja auch von "der Zahl 0.x_1x_2.." gesprochen,
was dieses Missverstaendnis unterstuetzt.

> Wenn du das schaffts, dir das gedanklich vorzustellen, darfst du dich mit
> meiner Erlaubnis in die 9. versetzen lassen (Differential und
> Integralrechnung).

Nu hat das aber reichlich wenig mit Diff/Intrechnung zu tun,
sondern mit Grenzwerten von Folgen und der Vollstaendigkeit
der reellen Zahlen (ohne die man die Wohldefiniertheit wohl
nicht beweisen kann, es sei denn, man nimmt obiges als Definition
der reellen Zahlen).

Best,
Jakob

Gastfreund aus Korinth

unread,

Jan 3, 2004, 5:04:31 PM1/3/04

to

On Sat, 03 Jan 2004 15:49:40 +0100, Al Bogner wrote:

> Danke für das Kompliment bzgl. der Formulierung, da wird sie sich morgen
> freuen, wenn wir das Thema weiter besprechen. Natürlich schrieb sie das
> Posting nicht so nebenbei und wurde letztlich von mir kontrolliert.

Natürlich. Ich gehe jetzt davon aus, daß "sechste Schulstufe" sechte
Klasse bedeutet, d.h. ein Kind im Alter von 12 jahren. Ich habe eine
reichhaltige Unterrichtserfahrung und bin *sicher*, daß das OP nicht von
einem zwölfjährigen Kind stammt. Danach habe ich vermutet, daß sich
jemand, der diese NG kennt, sich einen Spaß erlaubt hatte. Auch das wäre
nicht schlecht und ich konnte das in der Tat nur vermuten. Ich habe nicht
gesagt, daß ich mir da sicher war, denn genau so gut kann die Geschichte
auch wahr sein (nur daß der Vater das OP schrieb).

> Ich
> finde aber, dass Kinder lernen sollen, wie man das Internet, speziell das
> Usenet, nützt und daher riet ich ihr zu diesem Posting.

Ich denke, daß das nicht richtig war, aber da Du der Vater bist, ist das
Deine Sache.

> Bei den Antworten
> waren aus meiner Sicht für Kinder ganz verständliche Ansätze dabei. Ein
> Feedback von ihr wird folgen.

Das Thema ist für ein zwölfjähriges Kind, das nicht gerade ein Genius
ist (wörtlich gemeint, sehr gut reicht nicht) zu abstrakt und
kompliziert. Eine einigermaßen korrekte Erklärung kann nur auf der Basis
der Theorie der reellen Zahlen und der Grenzwerte gegeben werden. Die
"Verständlichkeit" eines Ansatzes besagt nichts über ihren
mathematischen Wert aus oder darüber, ob sie nach heutigen Standards
korrekt ist. Der Ansatz

x = 0,999...
10x = 9,99...
usw.

ist mathematisch nicht korrekt, obwohl es zum richtigen Ergebnis führt.
Nicht korrekt bedeutet, daß man begründen müßte, warum die
vorgenommenen Manipulationen mit unendlichen Reihen richtig sind. Wenn nun
dieser Ansatz an sich nützlich wäre, wäre nichts dagegen einzuwenden.
Aber die Umrechnung von 0,777... in 7/9 besitzt keine Anwendung. Trotzdem
kann man sie machen, aber aus ihr folgt zunächst mal in mathematisch
strengem Sinne nichts.

> Es fing eigentlich ganz harmlos an. Sie rechnete periodische Zahlen in
> Brüche um und formulierte selbst Beispiele und da war dann 0,9 periodisch
> dabei und dann ging die Fragerei los, bis ich nicht mehr weiter wußte.

Das ist der Nachteil, wenn man solche Rechnungen durchführt. Was macht
man in einer solchen Situation? Entweder gibt man eine unvollständige
oder inkorrekte Antwort oder aber sagt, "warte bis Du mathematisch reifer
bist", was auch eine sehr schlechte Lösung ist.

> Nun habe ich eben keine Erfahrung als Mathematilehrer und kann eventuell
> dem Alter entsprechend nicht gut genug erklären.

Das kann einem zwölfjährigen Kind niemand erklären.

> Eines aber verlange ich bei ihr bei Fragen,

Du verlangst? Aber auch das ist Deine Sache.

> man muß eine Frage möglichst
> genau formulieren und vorher intensiv darüber nachdenken, was man
> versteht und was man nicht versteht. "Ich kenne mich nicht aus" gilt nicht
> als Frage und daher wurde die Problematik dann offensichtlich nach der
> _ausführlichen_ Diskussion mit mir ganz gut formuliert. Ich verheimliche
> aber nicht, dass sie es trotzdem immer wieder probiert, eine Antwort auf
> "ich kenn mich nicht aus" zu erhalten. IMO ist das ein schönes Beispiel
> für ein Kind, um zu zeigen, dass Mathematik mehr ist also nur "doofes"
> Rechnen, dass ein PC/Taschenrechner sowieso besser und schneller kann.

Wer viel will, erreicht nur wenig.Kinder in diesem Alter sollen wirklich
rechnen können. Rechnen ist nicht an sich doof, sondern sehr notwendig.
Kinder sollen also rechnen können und etwas Prozentrechnung uns
Dreisatzrechnungen beherrschen (in dieser Klassenstufe). Wenn man zu viel
will, verunsichert man die Kinder und sie werden auch die einfachen Dinge
nicht mehr wissenm die sie einst verstanden. Ich glaube, das nennt man in
der Pädagogik Regression. (ich hatte die Gelgenheit, vier
aufeinanderfolgende Lehrpläne in Bayern zu betrachten und sah, wie sie
immer mehr Schwachsinn eliminiert haben, aber es bleibt immer noch genug.
(Ich erinnere mich, daß man früher die Geometrie in der 9. Klasse mit
"inkommensurablen Strecken" anfing, was immer das sei. Das war so herrlich
wissechsftlich!

>> offensichtlich,
>
> definiere offensichtlich
>
>> daß es sich nicht um eine Schülerin aus einer sechsten Klasse handeln
>> konnte und somit war die ganze Geschichte, mit der sie ihre Frage
>> begründete, zweifelhaft.
>
> Trugschluß.
>
>> Ich wußte also,
>> daß jemand aus ganz anderen Gründen fragte und gab eine richtige
>> Antwort. Für den Fall, daß ein Lehrer wissen wollte, wie man dieses
>> Problem behandelt, schloß ich mit meinem Hinweis für Lehrer.
>
> Nochmals danke für das Kompliment, ihr das Niveau eines Mathematiklehrers
> zu unterstellen.

Da hast Du Recht. Ich war ungenau. Die Geschichte könnte stimmen, nur das
OP stammt nicht von einem Kind. Wenn das Posting von Dir aufgesetzt wurde,
ist das an sich in Ordnung. (Auch für einen Erwachsenen hast Du klar und
gut formuliert. Ich vermute, daß Du einen tertiären Schulabschluß hast.)

Gastfreund aus Korinth

unread,

Jan 3, 2004, 5:22:16 PM1/3/04

to

On Sat, 03 Jan 2004 15:15:10 +0100, Michael Lange wrote:

> Ich schließe weiter:
> d(x,A)=0 bedeutet nichts anderes als: x e dA (Rand von A).

Das ist falsch.

Michael Lange

unread,

Jan 3, 2004, 5:52:57 PM1/3/04

to

Hallo Gastfreund,

Gastfreund aus Korinth schrieb:

> On Sat, 03 Jan 2004 15:15:10 +0100, Michael Lange wrote:

>
>> Ich schließe weiter:
>> d(x,A)=0 bedeutet nichts anderes als: x e dA (Rand von A).
>
> Das ist falsch.

[...]

Danke, da fehlt ein "A u".

Das ändert aber an der Argumetation nicht viel, oder?

Mfg Michael

Gastfreund aus Korinth

unread,

Jan 3, 2004, 6:19:33 PM1/3/04

to

On Sat, 03 Jan 2004 23:52:57 +0100, Michael Lange wrote:

> Danke, da fehlt ein "A u".
>
> Das ändert aber an der Argumetation nicht viel, oder?

Ich verstehe die Argumentation nicht, weil ich die Bezeichungen nicht
verstehe.

Paul Holbach

unread,

Jan 4, 2004, 3:33:16 AM1/4/04

to

> Gastfreund aus Korinth <ke...@nirgendwo.de> wrote in message news:<
> pan.2004.01.02....@nirgendwo.de>...

> Die Wahrheit ist also die: 0,999... *ist* nicht 1.

Das ist falsch!

"ist" bedeutet hier "ist identisch mit", d.h. derjenige mathematische
Gegenstand, auf den sich "0,999..." bezieht, ist identisch mit
demjenigen, auf den sich "1" bezieht: Die Zahl 1.

0,999... und 1 'sind' (der Plural ist bei *einem* Gegenstand
eigentlich unangebracht) in jeder Hinsicht ein und dieselbe Zahl!

Besser gesagt, "0,999..." und "1" sind verschiedene Namen von ein und
derselben Zahl, nämlich, der Zahl 1!

Gruss
PH

Michael Lange

unread,

Jan 4, 2004, 3:17:31 AM1/4/04

to

Hallo Gastfreund,

"u" möge die mengentheoretische Vereinigung stehen.

Mfg Michael

Gastfreund aus Korinth

unread,

Jan 4, 2004, 5:16:30 AM1/4/04

to

On Sun, 04 Jan 2004 00:33:16 -0800, Paul Holbach wrote:

>> Gastfreund aus Korinth <ke...@nirgendwo.de> wrote in message news:<
>> pan.2004.01.02....@nirgendwo.de>...
>
>> Die Wahrheit ist also die: 0,999... *ist* nicht 1.
>
>
> Das ist falsch!
>
> "ist" bedeutet hier "ist identisch mit", d.h. derjenige mathematische
> Gegenstand, auf den sich "0,999..." bezieht, ist identisch mit demjenigen,
> auf den sich "1" bezieht: Die Zahl 1.

Meine Formulierung war nicht absolut genau. Was ich gemeint habe, war:
0,99... wird so *definiert*, daß sie 1 ist. Zunächst ist 0,99... eine
(konvergente) Reihe, deren Grenzwert eben 1 ist. Man kann vereinbaren,
daß in der Schreibweise 0,999... nicht die Reihe, sondern der
Grenzwert gemeint ist.

Timo Schneider

unread,

Jan 4, 2004, 6:40:13 AM1/4/04

to

Manfred Hauser <GCSLFH...@spammotel.com> schrieb in im Newsbeitrag:
bt558r$uh5$05$1...@news.t-online.com...

> f(x) = x mit D(x) = [0..1)

> man zwar unendlich nahe an die 1 "rangehen" kann, die 1 jedoch nie
> erreicht, da sie ganz einfach nicht zum Definitionsbereicht gehört?

> Ist denn das Problem nicht genau von der selben Art?

Hallo

Also ich versuche _mir_ das so zu erklären:

1.) 0,999.. ist nicht dasselbe wie 1
2.) 0,999... kann man auch schreiben als \sum{\frac{9}{10^{k}}}{n}{k=1} *
3.) lim n->oo des obigen Ausdrucks ist 1
4.) Da lim n->oo \sum{9/10^{k}}{n}{k=1} = 1 soviel zu schreiben ist,
schreibt man dafür kurz 0,\overline{9}.

Ich denke das selbe gilt für deine Funktion, nur das es hier keinen Schritt
4 gibt.

Achtung! Ich behaupte keinesfalls, dass obiges irgendeine math. Wahrheit
enthält. Für _mich_ (Jgst. 13) tut es das aber bisher0 als Erklärung ganz
gut. Vielleicht hilft es auch anderen.

Über Kommentare zu mathematischen Richtigkeit meiner Aussagen würde ich mich
freuen.

Grüße,
Timo

__________
* leider habe ich hier grad kein LaTeX um zu kontrollieren ob der Befehl
richtig ist, aber ich denke man kann sich gut vorstellen was ich meine. Herr
Rosenthal hat wohl zeichnerisch etwas mehr drauf als ich, bei im sieht das
ganze dann so aus:

oo
-----------
\ 9
\
\ ----------------
/
/ k
/ 10
/
------------
k = 1

Klaus Loerke

unread,

Jan 4, 2004, 7:37:24 AM1/4/04

unread,

Jan 4, 2004, 9:03:20 AM1/4/04

to

Georg Wilckens schrieb:

Oder anders ausgedrückt: Wenn die Differenz zweier Zahlen Null ist, so lässt
sich keine dazwischen finden!

Ich denke, die beiden Ansätze sind sich zu ähnlich, um das eine ignorieren
zu können!

Mfg Michael

Roland Klug

unread,

Jan 4, 2004, 9:31:47 AM1/4/04

to

Cornelia schrieb:

> Leider konnte mir bis jetzt niemand verständlich machen,
> warum 0,9 periodisch gleich 1 ist, das ergibt sich aber,
> wenn man 0,9 periodisch in einen Bruch umwandelt.

Ich würde sagen es ist einfach Definitionssache. Wahrscheinlich bringt es
dir jetzt nicht soviel, aber es hat mit der g-adischen Entwicklung zu tun.
Also einfach mit der Definition einer Dezimalzahl zur Basis g in unserem
Fall also g = 10. Eine Bruchzahl a kann man mit Hilfe einer Folge
darstellen. Weiterhin kann man dann zeigen (beweisen), dass es genau eine
Folge (zn) gibt, für die gilt:

z0 + z1/g + z2/g² ... + zn/g^n <= a < z0 + z1/g + z2/g² ... + zn/g^n + 1/g^n

a = Summe(n=0 bis oo) zn/g^n

Und man hat sich auf die Schreibweise a = z0, z1 z2 z3...zn zu schreiben.

Nach dieser Definition bekommt man zum Beispiel für den Bruch a= 1/2 die
Dezimalzahl 0,5000000.... raus.

Man kann aber auch zeigen, dass es genau eine Folge z'n gibt für gilt:

z0 + z1/g + z2/g² ... + zn/g^n < a <= z0 + z1/g + z2/g² ... + zn/g^n + 1/g^n

Diese Definition liefert beispielsweise für den Bruch a=1/2 die Dezimalzahl
0,499999999...

Gruß Roland

Christian Kortes

unread,

Jan 4, 2004, 9:44:51 AM1/4/04

to

* "Timo Schneider" <timomarti...@gmx.de> schrieb:
> Christian Kortes <kor...@uni-muenster.de> schrieb:
>> * "Timo Schneider" <timomarti...@gmx.de> schrieb:
>
>>> 1.) 0,999.. ist nicht dasselbe wie 1
>> Doch!
>
> Also hier bin ich mir aber relativ sicher dass meine Aussage stimmt: Egal
> wieviele 9er ich hinter das Komma schreibe (ich kann ja nur endlich viele
> schreiben, weil Stifte, Papier etc. endlich sind) und diese Zahl von 1
> abziehe bleibt immer eine Differenz > 0. Also können die beiden Zahlen nicht
> gleich sein.

Ich dachte, du meinst "0, Periode 9".

> Doch vielleicht liegt mein Fehler ja schon in der Unterscheidung zwischen
> 0,999... und 0,\overline{9}? Dann hättest du natürlich Recht. Aber für mich
> heißt ''periodisch'' dass man es so (0,\overline{9}) schreiben muss.

"0,999..." ohne Angabe wie viele Neunen folgen, heißt für mich
"0, Periode 9".

>> Lies mal: Otto Forster, Analysis 1, §5 b-adische Brüche.
> Danke für die Empfehlung, werde mal in der Bücherei und bei google danach
> stöbern. Oder kennst du zufällig einen Link wo man das runterladen kann?

Das Buch runterladen? Das musst du schon kaufen. Wenn du später Mathe oder
Informatik studieren willst, ist das Buch sowieso angebracht.

MfG,
Christian

Rainer Rosenthal

unread,

Jan 4, 2004, 10:07:20 AM1/4/04

to

Helmut Richter

> Rainer Rosenthal wrote:
>
> > Es gibt meines Wissens genau einen Gleichheitsbegriff.
> > Das war der mit "wenn A = B und B = C, dann A = C".
>
> Häh? Das ist Transitivität und würde für "<" genauso gelten.

Es war einfach die formelmässige Darstellung des wunder-
schön fliessenden Satzes

Sind zwei Grössen einer dritten gleich,
dann sind sie untereinander gleich.

Ein Klassiker! Hermann Kremer wüsste bestimmt auch frühe
Quellen.

So einen Thread wie diesen hatten wir bisher, glaube ich,
noch nicht. Ich finde es prima, dass der Vater seine
Tochter ermuntert hat, weiter nachzufragen bei Leuten,
die sich auskennen sollten.

Die Antworten von GaK sind mir so unglaublich zuwider wie
seinerzeit die von JB. Ist wahrscheinlich kein Zufall ...
Auch der Grüne Bettvorleger fällt mir da gerade noch ein.
Ich habe in keine Header oder was geschaut. Ich mutmasse
da nur nach Gefühl.

Hier ist noch so 'ne (selbst erlebte) Lehrer-Story:

Wir mussten Logarithmen immer mit einem Punkt schreiben,
im Unterschied zu den "richtigen Zahlen", die mit einem
Komma zu schreiben waren. Ja: Wir haben GELERNT, dass
Logarithmen eben keine richtigen Zahlen seien. *grusel*

Gruss und auf hoffentlich gedeihliches Miteinander in 2004
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

Joern Ahrens

unread,

Jan 4, 2004, 10:52:17 AM1/4/04

to

Moin!

Georg Wilckens <dura...@nfinity.de> schrieb:

Jo, meine Zustimmung. Ist find ich auch das einleuchtendste, obwohl bei
der Begründung nur auf eine Definition verwiesen wird.
Aber: Zwischen zwei rationalen Zahlen befinden sich wieder *unendlich*
viele rationale Zahlen. Ist für 1 und 0,9periode aber egal.. Da wird
man nicht mal eine Zahl finden ;-)

Gruß,
Jörn

--
E-Mail: jahr...@gmx.de | PGP-ID: 0x216C1D08
http://stud.fh-wedel.de/~ii4820/ | http://www.joernahrens.de.vu
Jabber: <jo...@amessage.de> | ICQ: 97822080

Paul Holbach

unread,

Jan 4, 2004, 1:48:31 PM1/4/04

to

> Gastfreund aus Korinth <ke...@nirgendwo.de> wrote in message news:<

> pan.2004.01.04...@nirgendwo.de>...

> Meine Formulierung war nicht absolut genau. Was ich gemeint habe, war:
> 0,99... wird so *definiert*, daß sie 1 ist. Zunächst ist 0,99... eine
> (konvergente) Reihe, deren Grenzwert eben 1 ist. Man kann vereinbaren,
> daß in der Schreibweise 0,999... nicht die Reihe, sondern der
> Grenzwert gemeint ist.

Ist es nicht so, dass (konvergente) Folgen einen Grenzwert haben,
während man bei (konvergenten) Reihen von einem Summenwert spricht,
der sich mit dem Grenzwert der entsprechenden Folge der Partialsummen
deckt?!

Das heisst, der Grenzwert der Folge der Partialsummen

{0,9; 0,99; 0,999; ...}

ist 1,

und der Summenwert der Reihe

0,9 + 0,09 + 0,009 + ...

beträgt ebenfalls 1.

Gruss
PH

Paul Holbach

unread,

Jan 4, 2004, 7:54:55 PM1/4/04

to

> Gastfreund aus Korinth <ke...@nirgendwo.de> wrote in message news:<

> pan.2004.01.02....@nirgendwo.de>...

> 1) Die obige Summe ist nicht 1 in dem Sinne wie 1/2 + 1/2 = 1 gilt;

Es gibt keine unterschiedlichen Weisen des Mit-etwas-Identischseins.
Das "="-Zeichen hat eine einzige, glasklare Bedeutung.

0,999... = 1
1 = 1/2 + 1/2
ergo:
0,999... = 1/2 + 1/2

Gruss
PH

Jan Bruns

unread,

Jan 5, 2004, 1:32:40 AM1/5/04

to

"Cornelia":
> Zwischen 0,9 periodisch und 1 ist doch ein _unendlich_ kleiner
> _Unterschied_, oder nicht?

Ja, also wenn man's krampfhaft genau nehmen will, schon,
vermute ich.
0,9... könnte man auch schreiben als 0,9..9,
denn wir hatten ja festgelegt, daß nach dem Komma nur noch 9en folgen
sollen, also ist auch die letzte Ziffer eine 9.

Das bedeutet dann auch, daß 0,0..1 mehr als nichts wäre.

> 10x = 9,9 periodisch
> -x = -0,9 periodisch

> Wenn ich die Gleichung rechnerisch auch verstehe, verstehe ich trotzdem
> gedanklich nicht, warum zwischen 0,9 periodisch und 1 kein Unterschied ist.
> Ist in der o.a. Gleichung ein Denkfehler? Wie kann ich mir das besser
> vorstellen?

Die beiden Punkte in "0,9..9" stehen ja für eine Wiederholung von Ziffern.
Nennen wir die Anzahl der Wiederholungen n.
Das zehnfache von "0,9..9" schreiben wir als "9,9..9", wobei allerdings
die beiden Punkte nun nicht mehr für n Wiederholungen der Ziffer 9 stehen,
sondern eben nur n-1 Wiederholungen.

Gibt es ein n, so daß gilt n=n-1 ?

Gruss

Jan Bruns

--
Folgende Botschaft wird Ihnen mittels eines Microsoft Betriebssystems zusätzlich
übermittelt: "Geht es jedoch an die Ausführung der von Ihnen geschriebenen
Programme, so muss jeder Befehl von ihrem Commodore 64 erst interpretiert werden,
d.h., in entsprechende, von ihm ausführbare Einzelschritte übertragen werden."

Jens Voss

unread,

Jan 5, 2004, 3:25:01 AM1/5/04

to

"Gastfreund aus Korinth" wrote:

> [...]

>
> Das Thema ist für ein zwölfjähriges Kind, das nicht gerade ein Genius
> ist (wörtlich gemeint, sehr gut reicht nicht) zu abstrakt und
> kompliziert.

Unsinn. Ich bin sicherlich kein Mathe-Genie gewesen, habe aber die
Tatsache 0,999... = 1 (die ich übrigens ebenfalls in der 6. Klasse
(Niedersachsen, Orientierungsstufe) beigebracht bekommen habe), für
sehr wichtig gehalten für das Verständnis über Gleichheiten und
Ungleichheiten von Zahlen. Was mir damals sehr geholfen hat, war
die Anmerkung des Referendars, dass es für eine Zahl mehrere
Notationen geben kann, so wie z.B. auch 1/2 = 3/6 ist. Die
Konsequenz, dass die Darstellung reeller Zahlen durch unendliche
Dezimalbrüche nicht eindeutig ist, habe ich erst dadurch richtig
verinnerlicht.

Schönen Gruß,
Jens

Benno Hartwig

unread,

Jan 5, 2004, 3:36:34 AM1/5/04

to

"Gastfreund aus Korinth" <ke...@nirgendwo.de> schrieb

> 0,99... bezeichnet eine
> unendliche Summe, die erst *definiert* werden muß. Und sie ist so
> definiert, daß sie 1 ist.

Damit dieses dauernde 'Definieren' nicht missverstanden wird:

Man definierte, was eine Reihe ist.
Und 0,99999... kann man als Reihe auffassen.

Man definierte, was man unter einer konvergenten Reihe versteht.
Und man kann zeigen (nicht definieren), dass 0,99999... konvergiert.

Und man definierte, was man unter dem Grenzwert einer konvergenten
Reihe versteht.
Und man kann zeigen (nicht definieren), dass der Grenzwert
der Reihe 0,9999... eben gleich 1 ist.

Benno

Benno Hartwig

unread,

Jan 5, 2004, 3:46:07 AM1/5/04

to

"Georg Wilckens" <dura...@nfinity.de> schrieb

> ...Dir ist bekannt dass man bei den rationalen Zahlen

> zwischen zwei verschiedenen Zahlen immer noch eine dazwischen finden
> kann. Wenn 1 und 0.9periode verschieden sind, welche Zahl liegt
> dazwischen?

Wie argumentierst du belastbar, dass 0.periode9 eine
rationale Zahl ist?
Ist das nicht eigetnlich erst in dem Moment klar,
da du weißt, dass das gleich 1 ist?

Benno

Michael Hoppe

unread,

Jan 5, 2004, 3:44:17 AM1/5/04

to

Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> wrote:

> > > Es gibt meines Wissens genau einen Gleichheitsbegriff.
> > > Das war der mit "wenn A = B und B = C, dann A = C".
> >
> > Häh? Das ist Transitivität und würde für "<" genauso gelten.
>
> Es war einfach die formelmässige Darstellung des wunder-
> schön fliessenden Satzes
>
> Sind zwei Grössen einer dritten gleich,
> dann sind sie untereinander gleich.

Nein. "Wenn A = B und B = C, dann A = C" nennt man Transitivität. Der
von Dir zitierte Satz heißt Drittengleicheit:

Wenn A = C und B = C, dann A = B.

> Ein Klassiker! Hermann Kremer wüsste bestimmt auch frühe
> Quellen.

Leibniz.

Michael

Georg Wilckens

unread,

Jan 5, 2004, 3:51:40 AM1/5/04

to

Benno Hartwig <bhar...@gmx.de> wrote:

> Wie argumentierst du belastbar, dass 0.periode9 eine
> rationale Zahl ist?

Jede periodische Zahl lässt sich mit einer einfachen Vorschrift in
eine Bruchzahl überführen, ist also rational.

> Ist das nicht eigetnlich erst in dem Moment klar,
> da du weißt, dass das gleich 1 ist?

Yep. Mit der Definition der rationalen Zahlen und der Vereinbarung der
periodischen Schreibweise klar. Mathematisch bringt diese Überlegung
also nichts Neues. Zur Veranschaulichung ist sie aber doch noch ganz
brauchbar.

Gruss,
Georg

Gastfreund aus Korinth

unread,

Jan 5, 2004, 4:12:20 AM1/5/04

to

On Sun, 04 Jan 2004 16:54:55 -0800, Paul Holbach wrote:

> Es gibt keine unterschiedlichen Weisen des Mit-etwas-Identischseins. Das
> "="-Zeichen hat eine einzige, glasklare Bedeutung.

Das "=" Zeichen hat in der Mathematik mindestens drei Bedeutungen:
1) Gleich im Sinne von identisch
2) In einer Gleichung
3) "Wird definiert als"
Oft schreibt man für die dritte Bedetung := und für die erste schrieb
man früher oft ein anderes Zeichen mit drei Strichen

unread,

Jan 5, 2004, 7:21:16 AM1/5/04

to

On Mon, 05 Jan 2004 12:53:03 +0100, Christopher Creutzig wrote:

> Ganz im Gegenteil. 1/2=3/6 und 0,99...=1 sind beides Gleichheiten,
> die durch das Bilden von Äquivalenzklassen und anschließendes
> Ausklammern der Äquivalenzrelation entstehen.

Jetzt bin ich doch neugierieg. Zudem ich nicht weiß, wie man eine
Äquivalenzrelation ausklammert.
Wie wird also begründet, daß 0.99... = 1 ist?

Michael Lange

unread,

Jan 5, 2004, 7:38:28 AM1/5/04

to

Hallo Jan,

Jan Bruns schrieb:

[...]

> 0,9... könnte man auch schreiben als 0,9..9,
> denn wir hatten ja festgelegt, daß nach dem Komma nur noch 9en folgen
> sollen, also ist auch die letzte Ziffer eine 9.

Naja, wenn Du mit 0,9... eben "0,Periode 9" meinst, so hat der
Nachkommabereich keine letzte Stelle. Genausowenig, wie die Erde einen Rand
hat (schlechter Vergleich), von dem man fallen könnte.

> Das bedeutet dann auch, daß 0,0..1 mehr als nichts wäre.

Gleicher Fehler, gleiches Argument.

>> 10x = 9,9 periodisch
>> -x = -0,9 periodisch
>
>> Wenn ich die Gleichung rechnerisch auch verstehe, verstehe ich trotzdem
>> gedanklich nicht, warum zwischen 0,9 periodisch und 1 kein Unterschied
>> ist. Ist in der o.a. Gleichung ein Denkfehler? Wie kann ich mir das
>> besser vorstellen?
>
> Die beiden Punkte in "0,9..9" stehen ja für eine Wiederholung von Ziffern.
> Nennen wir die Anzahl der Wiederholungen n.
> Das zehnfache von "0,9..9" schreiben wir als "9,9..9", wobei allerdings
> die beiden Punkte nun nicht mehr für n Wiederholungen der Ziffer 9 stehen,
> sondern eben nur n-1 Wiederholungen.

Du gehst ja konkret von einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen aus
(zumindest habe ich das jetzt so verstanden). Damit machst Du natürlich
einen entscheidenden Fehler. Auch wenn es nur um eine grenzwertliche
Betrachtung geht, kann man ein Relationszeichen eben nicht aufrecht
erghalten: Beispiel: a_n:=1/n (für n e IN°*). Dann gilt stets a_n>0, aber
der Grenzwert ist GLEICH Null.

Ich glaube, dass dieses Beispiel zum Verständnis beitragen kann. Es ist
allerdings nicht für alle Schüler des Alters geeignet. Letztlich liegt das
Verständnisproblem eben im Erfassen des Unendlichen. Da hilft einem auch
ein Analogisieren zum Endlichen im manchen Fällen nicht viel, denn genau im
Benutzen dieser Methode liegt eine große Fehlerquelle.

> Gibt es ein n, so daß gilt n=n-1 ?

Nein. Zumindest keine Zahl (es reicht da ein Element einer Gruppe zu sein,
in der 1=!=0 gilt). Denn dann kannst Du die Gleichung äquivalent umformen
zu 1=0. #+

Mfg Michael

Gerd Thieme

unread,

Jan 5, 2004, 8:47:38 AM1/5/04

to

Gastfreund aus Korinth wrote:

> Aber hier geht es nicht um das Gleichheitszeichen, sondern um das
> Pluszeichen. Dieses Zeichen ist überladen, d.h.
>
> 1/2+1/2=1 im algebatischen Sinne
> aber
> 0,9+0,09+0,009+... = 1,
> nachdem man einiges definiert hat (siehe ein neues Posting oben).

Alternativ kannst Du auch die periodischen Dezimalbrüche anders
definieren (nämlich als ein bloßes Symbol für einen gemeinen Bruch mit
einem Nenner der Form 10^n-1). Dann kommst Du ganz ohne Unendlichkeiten
und ohne Grenzübergänge aus, und das Additionssymbol bleibt ohne
Nebenbedeutung.

Gerd

Gastfreund aus Korinth

unread,

Jan 5, 2004, 10:51:54 AM1/5/04

to

On Mon, 05 Jan 2004 14:47:38 +0100, Gerd Thieme wrote:

> Alternativ kannst Du auch die periodischen Dezimalbrüche anders
> definieren (nämlich als ein bloßes Symbol für einen gemeinen Bruch mit
> einem Nenner der Form 10^n-1). Dann kommst Du ganz ohne Unendlichkeiten
> und ohne Grenzübergänge aus, und das Additionssymbol bleibt ohne
> Nebenbedeutung.

Das könnte man, aber aus guten Gründen macht man das dann doch nicht.
(Wahrscheinlich wären unter diesen Umständen periodische Dezimalbrüche
sinnlos.)

Cornelia

unread,

Jan 5, 2004, 12:34:18 PM1/5/04

to

Cornelia wrote:

Danke für die vielen Antworten. Die meisten habe ich aber nicht verstanden.
Doch einge halfen mir doch, dass es nun etwas klarer ist.

> Zwischen 0,9 periodisch und 1 ist doch ein _unendlich_ kleiner
> _Unterschied_, oder nicht?

Das brachte mich sehr zum Überlegen:

Hermann Kremer:
"Nö, da ist keiner ... wirklich nicht ... oder anders: Der _unendlich
kleine_Unterschied ist exakt gleich Null."

Ich kann mir sehr schwer eine Zahl vorstellen, die aus unendlich vielen
Ziffern besteht. Es fällt mir aber leichter mir eine ganz kleine Zahl
vorzustellen. Mein Papa erklärte mir aber dann, dass ich mir einen kleinen
_Unterschied_ vorstellen muss, weil es auch negative Zahlen gibt, die ich
noch nicht kenne.

Wenn der Unterschied zwischen 0,9 periodisch und 1 gleich ist, dann muss der
Unterschied irgendwann 0 werden, je mehr Stellen man mit 1 - 0,9....
rechnet. Der Unterschied wird dann 0, wenn die Differenz nicht mehr kleiner
werden kann und das ist am "Ende" der Uendlichkeit erreicht.

Wenn das ganz falsch ist, dann bitte ich um eine einfache Antwort.

Cornelia

unread,

Jan 5, 2004, 4:13:36 PM1/5/04

to

On Mon, 05 Jan 2004 20:48:33 +0100, Gerd Thieme wrote:

> Was Du zum Verständnis brauchst, ist der Begriff des Grenzwerts.
> Vereinfachen läßt sich nicht viel. Ich versuch's mal so: Eine
> (unendliche) Folge konvergiert dann gegen einen Grenzwert g, wenn man
> einen beliebigen positiven Abstand wählen kann, so klein man will, nur
> eben größer Null, und immer liegt fast die ganze Folge, mit endlich
> vielen Ausnahmen, dichter als dieser Abstand beim Grenzwert g (endlich
> viele Ausnahmen fallen bei einer unendlichen Folge nicht ins Gewicht).
>
> Such Dir also einen beliebigen Abstand d. Zähle in d die Nullen nach dem
> Komma. Das ist eine endliche Anzahl n. Dann sind alle endlichen
> Dezimalbrüche der Form 0,999...9, die mehr als n Neunen haben, dichter am
> Grenzwert 1 dran als der gewählte Abstand d. Nur die *endlich vielen*
> kürzeren Brüche sind weiter weg.
>
> Mit anderen Worten, wenn Du den Dezimalbruch lang genug wählst, kannst Du
> jeden, noch so kleinen Abstand unterbieten, es paßt nichts, aber auch gar
> nichts zwischen die Folge und ihren Grenzwert.
>
> So sind die reellen Zahlen konstruiert, sie sind allesamt Grenzwerte. Es
> geht auch anders. John Conway hat als Nebenprodukt der Spieltheorie
> surreale Zahlen erfunden, die sich durchaus in die Lücke zwischen einer
> reellen Folge und ihrem Grenzwert quetschen können, aber das hat mit
> Schulmathematik nichts mehr zu tun und nimmt ihr auch nicht ihre
> Richtigkeit.

Man sieht es wieder: Wir Lehrer sind Kleingeister. Wenn man die Sache
richtig erklärt, kann man also einem zwölfjährigen Kind mühelos
klarmachen, was Grenzwerte sind. Nebenbei kommen noch andere interessante
Objete, wie reelle Zahlen und surreale Zahlen vor.

Jetzt müßten wir nur noch die Verantwortlichen überzeugen, damit diese
Gegenstände Einzug in die Lehrpläne halten. (In der achten Klasse
könnten wir dann bereits affine Zusammenhänge behandeln.) Das alles geht
nur deshalb nicht, weil wir Lehrer so schlecht sind.

Axel Schwenke

unread,

Jan 5, 2004, 5:01:54 PM1/5/04

to

Gastfreund aus Korinth <ke...@nirgendwo.de> wrote:
> On Mon, 05 Jan 2004 14:47:38 +0100, Gerd Thieme wrote:
>
>> Alternativ kannst Du auch die periodischen Dezimalbrüche anders
>> definieren (nämlich als ein bloßes Symbol für einen gemeinen Bruch mit
>> einem Nenner der Form 10^n-1). Dann kommst Du ganz ohne Unendlichkeiten
>> und ohne Grenzübergänge aus, und das Additionssymbol bleibt ohne
>> Nebenbedeutung.
>
> Das könnte man, aber aus guten Gründen macht man das dann doch nicht.

*das* solltest du etwas näher ausführen. Insbesondere würden mich die
"guten Gründe" interessieren.

> (Wahrscheinlich wären unter diesen Umständen periodische Dezimalbrüche
> sinnlos.)

Sie sind eine abkürzende Schreibweise. Und nebenher unheimlich
praktisch, wenn man zwei davon miteinander vergleichen will.
Oder rein mechanisch (mit einem Computer) damit rechnen.

Für verschiedene Aufgaben sind verschiedene Notationen manchmal
sehr nützlich. Kettenbrüche z.B. sind eine weitere Variante.

XL
--
Das ist halt der Unterschied: Unix ist ein Betriebssystem mit Tradition,
die anderen sind einfach von sich aus unlogisch. -- Anselm Lingnau

Rainer Rosenthal

unread,

Jan 5, 2004, 5:30:40 PM1/5/04

to

Gastfreund aus Korinth wrote

> Man sieht es wieder: Wir Lehrer sind Kleingeister.

Na, ich hoffe doch, nicht alle.
Was unheimlich schade ist: Du scheinst überhaupt
keinen Spass an Mathematik zu haben.

Wieso trollst Du Dich eigentlich nach des Tages Müh'
und Plag' mit dieser faden Materie abends noch in einer
Gruppe rum, in der Leute mit Spass und Interesse an
diesem Thema miteinander diskutieren?

*PLONK*

Rainer Rosenthal

unread,

Jan 5, 2004, 5:56:43 PM1/5/04

to

Gerd Thieme wrote

>
> So sind die reellen Zahlen konstruiert, sie sind
> allesamt Grenzwerte. Es geht auch anders. John
> Conway hat als Nebenprodukt der Spieltheorie
> surreale Zahlen erfunden, die sich durchaus in
> die Lücke zwischen einer reellen Folge und ihrem
> Grenzwert quetschen können, aber das hat mit
> Schulmathematik nichts mehr zu tun und nimmt ihr
> auch nicht ihre Richtigkeit.

Hallo Gerd,

just in diesen Tagen ist auch in sci.math mal wieder
ein langer Thread mit dem Titel "0.999... = 1", in
dessen Teilzweig "Rucker on Infinitesimals" der wirklich
gute "regular" der Gruppe, G. A. Edgar, schreibt:

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
In article <881c8779.04010...@posting.google.com>,
Paul Holbach <paulholba...@freenet.de> wrote:

> 1 - 1/omega

There is another system, besides Robinson's hyperreals,
namely Conway's surreals, in which such infinitesimal
calculations are common.

--
G. A. Edgar http://www.math.ohio-state.edu/~edgar/
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Ich möchte für Heranwachsende und nicht allzu Erwachsene das
Buch von Don Knuth über die "Surrealen Zahlen" empfehlen.

Hier ist ein Link mit kurzer Einführung und Beschreibung.
http://wikipedia.t-st.de/data/Surreale_Zahl
Es scheint, als gebe es das Buch bisher immer noch erst auf
Englisch. Das ist natürlich schade. Es liest sich nämlich sehr
gut, weil es als (allerdings ziemlich konstruierte) Story
aufgebaut ist.

Halt, nein, Kommando zurück! Hier ist es auf Deutsch:
German translation by Brigitte and Karl Kunisch, Insel der Zahlen,
(Braunschweig: Friedrich Vieweg & Sohn, 1979), 124pp.

Das habe ich gefunden bei:
http://www-cs-staff.stanford.edu/~uno/sn.html

Es könnte vielleicht dem Papa der OP gefallen.

Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

Jutta Gut

unread,

Jan 5, 2004, 5:59:13 PM1/5/04

to

"Michael Hoppe" <m...@michael-hoppe.de> schrieb

> >
> > Es war einfach die formelmässige Darstellung des wunder-
> > schön fliessenden Satzes
> >
> > Sind zwei Grössen einer dritten gleich,
> > dann sind sie untereinander gleich.
>
> Nein. "Wenn A = B und B = C, dann A = C" nennt man Transitivität. Der
> von Dir zitierte Satz heißt Drittengleicheit:
>
> Wenn A = C und B = C, dann A = B.
>
> > Ein Klassiker! Hermann Kremer wüsste bestimmt auch frühe
> > Quellen.
>
> Leibniz.

Viel früher:
Euklid, Elemente, 1. Buch, Axiom 1: "Was demselben gleich ist, ist auch
einander gleich."

Gruß
Jutta

Rainer Rosenthal

unread,

Jan 5, 2004, 6:18:25 PM1/5/04

to

Jutta Gut wrote
> > Rainer Rosenthal:

> > > Es war einfach die formelmässige Darstellung des wunder-
> > > schön fliessenden Satzes
> > >
> > > Sind zwei Grössen einer dritten gleich,
> > > dann sind sie untereinander gleich.

> Michael Hoppe:

> >
> > Nein. "Wenn A = B und B = C, dann A = C" nennt man Transitivität.

>

> Euklid, Elemente, 1. Buch, Axiom 1:
> "Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich."

Danke!

Wenn A=B und B=C, dann sind ja A und C "demselben gleich", nämlich B.
Also sind sie "auch einander gleich", d.h. es gilt A=C.

Michael Hoppe hatte geschrieben:

> > Der von Dir zitierte Satz heißt Drittengleicheit:
> >
> > Wenn A = C und B = C, dann A = B.

Ich möchte fast einen Inkreisradius wetten, dass sich so ein Satz
bei Euklid nicht extra ausgewiesen findet. Wenn man die Kommutativität
voraussetzt, ist ja "Drittengleichheit" äquivalent zur "Transitivität".

Gibt es ein ausdrückliches Statement von Euklid zur Kommutativität?
Hmmm... Weihnachten ist vorbei. Schade. Ein kleiner Euklid hätte
noch Platz in meinem Schrank, denke ich. Braucht jemand seinen nicht
mehr? Ich nehme ihn gern.

Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

Lukas-Fabian Moser

unread,

Jan 5, 2004, 7:21:19 PM1/5/04

to

Hallo,

Ich versuche es auch einmal, aber gleich vorweg: was du hier
ansprichst, ist ein ziemlich schwieriges Problem, das in letzter
Konsequenz zur Frage führt, was denn eigentlich eine Zahl ist, und
welche Arten von Zahlen es geben kann. Im Schulunterricht wird deine
Frage wohl nie völlig beantwortet werden, denn das sind reichlich
abstrakte Fragestellungen. Aber mal schauen.

>Ich kann mir sehr schwer eine Zahl vorstellen, die aus unendlich vielen
>Ziffern besteht.

Sehr gut, das ist ganz genau der Punkt. An eine Zahl mit, sagen wir,
fünf Stellen nach dem Komma konntest du dich anscheinend gewöhnen; das
ist halt etwas, das herauskommen soll, wenn man gerne 132634 durch
100000 teilen würde. Oder, wenn man lieber mit Brüchen rechnet:
"1.32634" ist nur eine andere Art und Weise, den Bruch 132634/100000
aufzuschreiben.

Jetzt gehen wir einmal einen großen Schritt: kannst du dir etwas unter
einer Zahl vorstellen, die unendlich viele Stellen vor dem Komma haben
soll? - Ich jedenfalls nicht, und ich wüßte auch nicht, daß ein
solches Etwas irgendwo auftauchen würde. Ganz genauso kann ich mir
auch nicht so gut vorstellen, was eine Zahl mit unendlich vielen
Stellen NACH dem Komma sein soll: nur, daß es in diesem Fall eine
Definition gibt, eine Vereinbarung, in der die Leute miteinander
ausgemacht haben, was sie sich alle gemeinsam darunter vorstellen
wollen.

Der wohl wichtigste Schritt ist der Folgende: es gibt einen Grund, daß
man so etwas wie "unendlich viele Stellen nach dem Komma" gerne hätte,
weil man nämlich feststellt, daß man nicht jede Zahl, mit der man
gerne umgehen würde - und nicht einmal jeden Bruch - in der Form
"ganze Zahlen + ein Komma + ein paar [endlich viele] weitere Ziffern"
schreiben kann. Beispielsweise gibt es einen Bruch, der, mit 3
multipliziert, 1 ergibt - kein Problem, das ist 1/3 -, aber man stellt
fest, daß es keine Zahl mit endlich vielen Nachkommastellen mit dieser
Eigenschaft gibt. Wir würden aber gerne wirklich jeden Bruch in dieser
Kommaschreibweise aufschreiben können.

Jetzt probieren wir mal ein wenig: die Zahl 0,3 - die macht ja kein
Problem, das ist ja nur eine einzige popelige Stelle nach dem Komma -
mit drei multipliziert, das gibt 0,9. Das ist nicht ganz 1, da fehlen
noch 0,1. Hm, vielleicht kriegen wir es besser hin, wenn wir nicht
eine, sondern zwei Nachkommastellen nehmen. 0,32 mal 3 ist 0,96, das
ist schon besser, da fehlen nur 0,04. Oder 0,34 mal 3, das ist 1,02,
das ist noch besser, da fehlen nur 0,02. Oder 0,33 mal 3, das ist
0,99, da fehlt nur 0,01. Und man kann sich überlegen, daß das die
"beste Näherung" ist, die man mit nur zwei Stellen nach dem Komma
hinbekommen kann.

Das kann man jetzt fortsetzen: die Zahlen 0,3, 0,33, 0,333, 0,3333
usw. werden sozusagen immer besser darin, mit drei multipliziert "fast
genau 1" zu ergeben. Deshalb *vereinbaren* wir, daß wir von nun an
unter der "Zahl" 0,3333.... mit unendlich vielen Stellen nach dem
Komma eben genau den Bruch 1/3 verstehen wollen.

Und nun kommt ein weiterer Schritt: bislang haben wir ja nur einen
einzigen, ganz speziellen Fall betrachtet. Wir werden nun eine andere
Erklärung dafür geben, was man unter einer Zahl mit unendlich vielen
Stellen nach dem Komma versteht. Für 0,3333... muß da natürlich
dasselbe bei herauskommen wie bei unserer Festlegung "es soll einfach
genau 1/3 sein".

Und zwar beobachten wir das Folgende: es ist nicht nur 3*0,333 "nahe
bei 1", sondern auch 0,333 "nahe bei" 1/3. Denn 0,333 können wir ja
auch als Schreibweise für den Bruch 333/1000 auffassen. Die Differenz
von 0,333 und 1/3 können wir dann aber ausrechnen: das ist

1/3 - 333/1000 = 1000/3000 - 999/3000 = 1/3000,

also ein Dreitausendstel, das ist schon ziemlich klein. Und genau wie
vorhin schon stellt man nun fest, daß die Zahlen 0,3, 0,33, 0,333,
0,333 "immer näher" bei 1/3 liegen, denn die Abstände zu 1/3 sind
1/30, 1/300, 1/3000, 1/30000 usw.

Angenommen, wir hätten eine "Zahl" mit unendlich vielen Stellen nach
dem Komma. (Was auch immer das sein soll.) Und zwar sollen die Stellen
nach dem Komma "periodisch" sein, d.h. sie sollen sich immer nach
einer gewissen Anzahl von Ziffern wiederholen. Zum Beispiel so etwas:

5,483483483483483... oder 112,155551555515555... oder auch
0,99999999...

Nehmen wir einmal die erste dieser Zahlen, 5,483483483483483.... Sie
besteht also aus "5", einem Komma und lauter Wiederholungen von "483".
Jetzt betrachten wir die Zahlen

5
5,483
5,483483
5,483483483
.
.
.

Jetzt kommen etwas, das man eigentlich streng "beweisen" müßte, aber
das erspare ich dir natürlich: jetzt gibt es IMMER einen Bruch - und
zwar genau einen, also nie zwei verschiedene Bruchzahlen -, an den
sich diese Zahlen genau so annähern, wie sich oben 0,3, 0,33, 0,333,
... an 1/3 angenähert haben, und zwar ist das der Bruch 5 + 483/999.

Deshalb vereinbaren wir: unter einer Zahl mit unendlich vielen Stellen
nach dem Komma, die periodisch sind, also einer Zahl der Form
a,bbbbbbbb (wobei b ein Block von Ziffern ist, also bei uns b=483),
verstehen wir den Bruch a + b/999..9, wobei 999..9 die Zahl ist, die
aus sovielen Neunern besteht, wie b Ziffern hat. Wir vereinbaren also,
unter

112,155551555515555... den Bruch 112 + 15555/99999

und unter

0,9999999999999 den Bruch 0 + 9/9 = 1

zu verstehen.

Nochmal, ganz wichtig: wir wußten vorher nur, was Zahlen mit endlich
vielen Stellen nach dem Komma sind, und alles andere war nur eine
Anhäufung von Ziffern, unter der wir uns nichts vorstellen konnten.
Jetzt aber haben wir (zumindest im speziellen Fall, daß die Ziffern
nach dem Komma periodisch sind) *vereinbart*, was wir uns von nun an
darunter vorstellen wollen: und zwar etwas, was wir schon lange
kennen, nämlich einen Bruch.

Man kann sich nun natürlich noch fragen, was wir uns unter einer Zahl
mit unendlich vielen Stellen nach dem Komma vorstellen wollen, die
nach dem Komma nicht periodisch ist. Da gibt es nun zwei Fälle: der
einfachere Fall ist, daß am Anfang nach dem Komma "irgendwas"
passiert, aber die Zahl dann doch irgendwann noch periodisch wird. Zum
Beispiel so etwas: 3,154289898989898989..., also 3.1542 und dann immer
wieder 89. Nun, das ist nicht so schwer, da legen wir einfach fest,
das soll das Gleiche sein wie 31542,89898989898989... (das kennen wir,
denn das ist periodisch) geteilt durch 10000. Das war's schon.

Der andere Fall ist, daß die Stellen nach dem Komma sich nie als
ganzes wiederholen, also zum Beispiel so etwas:
0,10110111011110111110... oder etwas völlig chaotisches wie
3,141592654... Und da kann ich dir wohl nur das Folgende verraten: es
ist möglich, auch da eine sinnvolle Vereinbarung zu treffen, was wir
uns darunter vorstellen wollen. Aber es ist in diesem Fall niemals
möglich, diese merkwürdigen "Zahlen" einfach als Brüche aufzufassen,
sondern sie sind etwas wirklich Neues. Trotzdem wird man relativ
natürlich auf solche Zahlen, man nennt sie "irrational", geführt,
beispielsweise wenn man den Umfang eines Kreises ausrechnen will oder
die Seitenlänge eines Quadrates, das zwei Quadratmeter Fläche haben
soll. Aber das ist alles noch ein wenig komplizierter, und sogar der
berühmte griechische Mathematiker Pythagoras soll bei seiner
Entdeckung, daß es Zahlen geben muß, die man nicht als Brüche
schreiben kann, damit sehr zu kämpfen gehabt haben.

Grüße, Lukas

Gastfreund aus Korinth

unread,

Jan 5, 2004, 8:09:01 PM1/5/04

to

On Mon, 05 Jan 2004 23:01:54 +0100, Axel Schwenke wrote:

>> Das könnte man, aber aus guten Gründen macht man das dann doch nicht.
>
> *das* solltest du etwas näher ausführen. Insbesondere würden mich die
> "guten Gründe" interessieren.
>
>> (Wahrscheinlich wären unter diesen Umständen periodische
>> Dezimalbrüche sinnlos.)
>
> Sie sind eine abkürzende Schreibweise.

Ist 0,777... eine abkürzende Schreibweise für 1/7? Immerhin besteht 1/7
aus drei Zeichen, 0,777... mindestens aus vier.

> Und nebenher unheimlich praktisch,
> wenn man zwei davon miteinander vergleichen will.

Wenn man zwei Brüche vergleichen will, bringt man sie auf den gleichen
Nenner. Es wäre sehr ungewöhnlich, vorher ihre Dezimalbruchdarstellungen
zu berechnen, aber man könnte das auch tun. Ob das praktisch ist, sollte
jeder für sich selber entscheiden.

> Oder rein mechanisch
> mit einem Computer) damit rechnen.

Klar könnte man (ziemlich leicht) ein Programm schreiben, das mit
periodischen Dezimalbrüchen rechnet. Aber wozu? (Die gängigen
CAS können das wohl nicht.) Computer können sehr einfach mit wirklichen
Brüchen rechnen und manche Programmiersprachen bieten das sogar als
standard an (z.B. CL).

> Für verschiedene Aufgaben sind verschiedene Notationen manchmal sehr
> nützlich. Kettenbrüche z.B. sind eine weitere Variante.

Kettenbrüche sind wohl wirklich nützlich und vermitteln schöne
Einsichten (obwohl ich mich nicht mit ihnen auskenne) aber
formal-periodische Dezimalbrüche (um mal eine neue Benennung zu erfinden)
scheinen mir nichts zu bringen. Ich habe so etwas auch in der Literatur
noch nie gesehen. Aber es ist klar, das man das machen kann.

Benno Hartwig

unread,

Jan 6, 2004, 2:47:40 AM1/6/04

to

"Cornelia" <for-...@fit-for-spam-04.wrgym.uni.cc> schrieb

> Ich kann mir sehr schwer eine Zahl vorstellen, die aus unendlich vielen
> Ziffern besteht.

Mann muss sich eben überlegen, was eine so geschrieben Zahl 'ist',
was diese Schreibweise eigentlich bedeuten soll.
(besser: welche reelle Zahl so dargestellt wird)
Und das ist eindeutig festgelegt.
Man bildet die entsprechende konvergierende Reihe. Und der Grenzwert
dieser Reihe _ist_ die Zahl, die durch diese Schreibweise (oder bei
unendlich vielen Stellen: Denkweise) beschrieben wird.
(Wenn's dir so nicht gefällt, dann versuche dich doch bitte selbst
mal an einer Definition für 0,periode9 oder besser: auch jede andere
unendliche Folge von Nachkommastellen.

Und der Grenzwert von 0,periode9 _ist_ eben 1.
Da beißt kein
"aber wenn ich nur weniger Neunen nehme, dann ist es doch nicht 1"
den Faden ab.

Benno

Jakob Creutzig

unread,

Jan 6, 2004, 4:15:03 AM1/6/04

to

Cornelia <for-...@fit-for-spam-04.wrgym.uni.cc> writes:
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Wie bist Du denn an die e-mail-Adresse gekommen?

> Ich kann mir sehr schwer eine Zahl vorstellen, die aus unendlich vielen
> Ziffern besteht.

Da bist Du nicht alleine mit. Mir faellt das auch schwer.

> Es fällt mir aber leichter mir eine ganz kleine Zahl
> vorzustellen.

Ja, aber eine _unendlich_ kleine Zahl? Man kann Mathematik mit
sogenannten 'infinetisemalen' (das ist vornehm fuer 'unendlich
klein') Zahlen treiben, aber das wird in der Schule nicht
gemacht, dort wird nur mit den reellen Zahlen hantiert, und in
reellen Zahlen gibt es so etwas tatsaechlich nicht.

> Wenn der Unterschied zwischen 0,9 periodisch und 1 gleich ist, dann muss der
> Unterschied irgendwann 0 werden, je mehr Stellen man mit 1 - 0,9....
> rechnet. Der Unterschied wird dann 0, wenn die Differenz nicht mehr kleiner
> werden kann und das ist am "Ende" der Uendlichkeit erreicht.

Das ist eine sehr schoene anschauliche Erklaerung, vermutlich
das Beste, was man ohne Grenzwerte formulieren kann.
(Der 'Gastfreund aus Korinth' scheint ein ganz anderes Problem
mit den Dezimalbruechen zu haben als Du, das sollte Dich nicht
verwirren.)

Sobald man den Begriff des Grenzwertes einfuehrt, kann man auch
(endlich) exakt formulieren, was ein Dezimalbruch eigentlich sein
soll, und dann kann man obige Erlaeuterung zu einem mathematischen
Beweis dafuer, dass 0.99.. = 1 ist, ausbauen.

Best,
Jakob

Benno Hartwig

unread,

Jan 6, 2004, 5:15:49 AM1/6/04

to

"Jakob Creutzig" <creu...@mathematik.tu-darmstadt.de> schrieb

> ...aber das wird in der Schule nicht

> gemacht, dort wird nur mit den reellen Zahlen hantiert, und in
> reellen Zahlen gibt es so etwas tatsaechlich nicht.

Überlege bitte kurz, was deiner Meinung nach denn reelle Zahlen sind.
Natürlich kann man sich ihnen nähern mit
"Rationale Zahlen, und dazu sowas wie Wurzel(2) und Pi und e und..."

Definiert sind sie aber formal z.B. als

"...Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen..."^
http://de.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahlen

oder anschaulicher und dafür nicht ganz exakt
als Menge der 'Grenzwerte' von Cauchy-Folgen.
Und der Grenzwert der Folge der Partialsummen von
0 + 9/10 + 9/100 + 9/1000 + 9/10000 + 9/100000 + 9/1000000 + 9/10000000...
ist eben 1
Und diese Folge wird kurz geschrieben als 0,99999999...

Diese Äquivalenzklasse, die der reellen 1 entspricht, wird z.B.
repräsentiert durch die Cauchy-Folge 1;1;1;1;1;1;1;1...
aber auch durch die Cauchy-Folge 0; 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; 0,99999;...
und natürlich auch durch 0; 0,8; 0,98; 0,998; 0,9998; 0,99998;
und durch viele andere Folgen.
Jede reelle Zahl wird also durch diverse Folgen repräsentiert.
In unserem Dezimalsystem werden (bloß!) einige solche Folgen
durch Ziffernfolgen ausgedrückt.
Die erste Folge wird durch 1 bzw. 1,000000000... ausgedrückt.
Die zweite Folge wird durch 0,periode9 bzw. 0,99999999... ausgedrückt
Und für die dritte Folge und viele andere gibt es keine direkte
Darstellung als ein String im Dezimalsystem.

Dass euch diese Denkweise noch suspekt vorkam, rührt eigentlich daher,
dass ihr noch nicht recht wisst, was reelle Zahlen eigentlich sind.
AFAIK wird das in der Schule auch noch gar nicht gemacht. Da wird
einfach schon korrekt festgestellt, dass es neben den rationalen
Zahlen noch mehr gibt. Was die reellen Zahlen aber eigentlich sind,
wird AFAIR nichteinmal gestriffen. (Oder ist das heute anders?)

Benno

Gastfreund aus Korinth

unread,

Jan 6, 2004, 5:32:07 AM1/6/04

to

On Tue, 06 Jan 2004 10:15:03 +0100, Jakob Creutzig wrote:

>> Wenn der Unterschied zwischen 0,9 periodisch und 1 gleich ist, dann muss
>> der Unterschied irgendwann 0 werden, je mehr Stellen man mit 1 - 0,9....
>> rechnet. Der Unterschied wird dann 0, wenn die Differenz nicht mehr
>> kleiner werden kann und das ist am "Ende" der Uendlichkeit erreicht.
>
> Das ist eine sehr schoene anschauliche Erklaerung, vermutlich das Beste,
> was man ohne Grenzwerte formulieren kann. (Der 'Gastfreund aus Korinth'
> scheint ein ganz anderes Problem mit den Dezimalbruechen zu haben als Du,
> das sollte Dich nicht verwirren.)

Ich habe kein großes Problem mit Dezimalbrüchen. Aber schaue Dir nur
diesen Thread an, wie lang er bereits ist. In dem Bestreben, die Sache
einer Schülerin von zwölf Jahren (wenn die Story stimmt) zu erklären,
wurden hier reelle Zahlen (kommt zuerst in der neunten Klasse und
eigentlich erst in der zehnten Klasse, wo man beginnen soll, auf
Grenzprozesse hinzuweisen), Surreale Zahlen und Hyperreelle Zahlen
benutzt. Ich habe nur gewartet, daß jemand ihr den Begriff "Ultrafilter"
erklärt...
Was die Erklärung der Schülerin angeht, bin ich mir tatsächlich nicht
ganz sicher, wie man in solchen Fällen vorgehen soll. Natürlich hat eine
Aussage wie "Wenn der Unterschied zwischen 0,9 periodisch und 1 gleich
ist" keine Bedeutung, denn eine Größe kann nicht gleich sein, nur zwei
Größen können das. Auch die Erklärung mit der Ende der Unendlichkeit
ist an sich fragwürdig, denn das "Ende der Unendlichkeit" wird eben
niemals erreicht. Soll man also einen Schüler loben, nur aus
pädagogischen Gründen?

Man kann diese Dinge einer Schülerin mit zwölf Jahren eben nicht gut
erklären und normalerweise versteht sie auch ein Abiturient nicht. (Ich
kann ganz andere Dinge nicht erklären, wie z.B. daß aus (x+1)/x^2=0
nicht x+1 = x^2 folgt, usw. Die vier Lehrer, die die Schüler vor mir
hatten, konnten das auch nicht und nun sind es Abiturienten. Man lernt als
Lehrer schnell mathematische Bescheidenheit.)

Ich denke, die meisten Lehrer können dies bestätigen.

Michael Klemm

unread,

Jan 6, 2004, 5:29:09 AM1/6/04

to

Hallo Cornelia
.................

> Wenn der Unterschied zwischen 0,9 periodisch und 1 gleich ist, dann muss
der
> Unterschied irgendwann 0 werden, je mehr Stellen man mit 1 - 0,9....
> rechnet. Der Unterschied wird dann 0, wenn die Differenz nicht mehr
kleiner

> werden kann und das ist am "Ende" der Unendlichkeit erreicht.

Es wurde hier schon gesagt, dass man 1 auf verschiedene Weisen schreiben
kann, z.B als 3 Drittel. Nun interessiere ich mich mal für die kleinste
Zahl,
die größer ist als jede der Zahlen 0.9, 0.99, 0.999 usw.
Diese Zahl bezeichne ich mit Z.

1 ist größer als jede der genannten Zahlen, aber ich weiß
noch nicht, ob ich die Zahl 1 noch unterbieten kann. Daher schreibe
ich vorsichtshalber Z <= 1. Dann kann ich mal versuchsweise
Z = 0.abcde.... hinschreiben und stelle durch Vergleich mit meiner
Zahlenreihe fest, dass a = b = c = d = e = .... = 9 sein muss, und dass
das Ganze auch nur für Z = 1 geht. So komme ich zu der Schreibweise
1 = 0.99999..... = 0.periode(9).

Bei 1 - 0.periode(9) gehe ich ähnlich vor. Das ist jetzt die größte
Zahl, die kleiner ist als jede der Zahlen 0.1, 0.01, 0.001 usw.
Hier gibt es nur die 0, die in Frage kommt.

Gruß
Michael

Michael Lange

unread,

Jan 6, 2004, 5:56:27 AM1/6/04

to

Hallo Benno,

[...]

> "...Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen..."^
> http://de.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahlen
>
> oder anschaulicher und dafür nicht ganz exakt
> als Menge der 'Grenzwerte' von Cauchy-Folgen.
> Und der Grenzwert der Folge der Partialsummen von
> 0 + 9/10 + 9/100 + 9/1000 + 9/10000 + 9/100000 + 9/1000000 + 9/10000000...
> ist eben 1
> Und diese Folge wird kurz geschrieben als 0,99999999...
>
> Diese Äquivalenzklasse, die der reellen 1 entspricht, wird z.B.
> repräsentiert durch die Cauchy-Folge 1;1;1;1;1;1;1;1...
> aber auch durch die Cauchy-Folge 0; 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; 0,99999;...
> und natürlich auch durch 0; 0,8; 0,98; 0,998; 0,9998; 0,99998;
> und durch viele andere Folgen.
> Jede reelle Zahl wird also durch diverse Folgen repräsentiert.

[...]

Man sollte vielleicht auch erwähnen, dass eine andere Vervollständigung (die
auf das gleiche hinausführt) möglich ist: Dedekindsche Schnitte. Der Ansatz
ist dort über die "<="-Relation gelöst.

Mfg Michael

Axel Schwenke

unread,

Jan 6, 2004, 6:03:06 AM1/6/04

to

Gastfreund aus Korinth <ke...@nirgendwo.de> wrote:

> On Mon, 05 Jan 2004 23:01:54 +0100, Axel Schwenke wrote:
>
>>> Das könnte man, aber aus guten Gründen macht man das dann doch nicht.
>>
>> *das* solltest du etwas näher ausführen. Insbesondere würden mich die
>> "guten Gründe" interessieren.
>>
>>> (Wahrscheinlich wären unter diesen Umständen periodische
>>> Dezimalbrüche sinnlos.)
>>
>> Sie sind eine abkürzende Schreibweise.
>
> Ist 0,777... eine abkürzende Schreibweise für 1/7? Immerhin besteht 1/7
> aus drei Zeichen, 0,777... mindestens aus vier.

Du stellst dich dumm, oder?

Der Dezimalbruch
_________
0.abc...xyz (Periodenlänge sei n)

ist eine abkürzende Schreibweise für

abc...xyz
---------
10^n - 1

>> Und nebenher unheimlich praktisch,
>> wenn man zwei davon miteinander vergleichen will.
>
> Wenn man zwei Brüche vergleichen will, bringt man sie auf den gleichen
> Nenner. Es wäre sehr ungewöhnlich, vorher ihre Dezimalbruchdarstellungen
> zu berechnen, aber man könnte das auch tun.

Du stellst dich dumm, oder?

Wenn man zwei periodische Dezimalbrüche hat, ist es einfacher sie
Stelle für Stelle zu vergleichen, statt sie in obige Form zu überführen
und dann auf den Hauptnenner zu bringen.

Auch sonst: Dezimalbruch, gemeiner Bruch, Kettenbruch sind lediglich
verschiedene Darstellungen der selben Objekte (rationale Zahlen,
Kettenbrüche können auch irrationale Zahlen darstellen). Welche
Darstellung man wählt, hängt von der zu lösenden Aufgabe ab.

Oliver Jennrich

unread,

Jan 6, 2004, 6:15:18 AM1/6/04

to

* Gastfreund aus Korinth writes:

> (Ich kann ganz andere Dinge nicht erklären, wie z.B. daß aus

> (x+1)/x^2=0 nicht x+1 = x^2 folgt, usw. ... )

Was gibt es da zu erklären? Ein Gegenbeispiel sollte auch den
hartnäckigsten Zweifeler überzeugen: x=-1 erfüllt die erste Gleichung
aber nicht die zweite.

Solltest du (x+1)/x^2 = 1 meinen, so folgt daraus selbstverständlich
für alle x<>0 x+1=x^2.

--
Space - the final frontier

Gastfreund aus Korinth

unread,

Jan 6, 2004, 6:26:11 AM1/6/04

to

On Tue, 06 Jan 2004 12:15:18 +0100, Oliver Jennrich wrote:

> Was gibt es da zu erklären? Ein Gegenbeispiel sollte auch den
> hartnäckigsten Zweifeler überzeugen: x=-1 erfüllt die erste Gleichung
> aber nicht die zweite.

Ich meine schon "=0". Wenn ich das "erkläre", werden die Schüler
ehrfürchtig nicken und weiter x+1=x^2 schreiben bei der nächsten
Aufgabe. Es wird ihnen schon seit der achten Klasse immer wieder
"erklärt", aber ohne Erfolg. (Das bedeutet natürlich nicht, daß kein
Schüler das versteht, sondern das eine signifikante Anzahl das nicht
versteht.)
Übrigens wäre Deine Erklärung sehr abstrakt und wissenschaftlich. Als
Lehrer würde man das so erklären, daß x^2*0 = 0 ist und nicht x^2.

Gastfreund aus Korinth

unread,

Jan 6, 2004, 6:32:31 AM1/6/04

to

On Tue, 06 Jan 2004 11:15:49 +0100, Benno Hartwig wrote:

> Was die reellen Zahlen aber eigentlich sind, wird AFAIR nichteinmal
> gestriffen. (Oder ist das heute anders?)

Formal werden die reellen Zahlen als Äquivalenzklassen von
Intervallschachtelungen in den Lhrbüchern eingeführt. Dann werden die
Grundrechenarten für die Äquivalenzklasse definiert, usw. Aber kein
Lehrer mach dat (oder zumindest kein guter), weil das hoffnungslos ist.

Man hat in der neunten Klasse andere Probleme, die viel wichtiger sind,
und zwar der Satz des Pythagoras, der Begriff der Ähnlichkeit, Wurzeln
und quadratische Gleichungen.

unread,

Jan 6, 2004, 7:52:26 AM1/6/04

to

On Tue, 06 Jan 2004 13:35:02 +0100, Al Bogner wrote:

> Interessant, dass das angesprochen wird. Ich habe in meinem mathematischen
> Leichtsinn die reelle Existenz von aperiodischen Brüchen als möglich
> erachtet.

Aperiodische Dezimalbrüche existieren wirklich. Z.B. ist
0,10110111011110... ein solcher. Nachdem alles richtig definiert ist,
stellt dieser Dezimalbruch auch eine reelle Zahl dar, wie man das sagt.
Das bedeutet, daß die zughörige Reihe einen Grenzwert in R besitzt.
nämclih die dargestellte sein. Was eine "virtuelle Existenz" ist, weiß
ich nicht, daß ist kein mathematischer Begriff.

> Auch diese "harmlose" Frage kam von meiner Tochter aufgrund
> einiger Beispiele im Mathematikbuch, die zu lösen waren, wo sie meinte,
> ich kann ja nicht ewig rechnen um zu sehen, ob da irgendwann eine Periode
> entsteht. Nicht einmal mit einer Standard-Tabellenkalkulation ist zB
> erkennbar, ob zB 1/161 periodisch ist.

Die Dezimalbruchentwicklung von 1/161 ist periodisch, weil 1/161 rational
ist. (Wenn Du Division mit Rest durchführst, entstehen Reste, aber alle
reste müssen kleiner sein als 161, so daß nur endlich viele solche reste
existieren können. Nach endlich vielen Schritten wird sich also ein Rest
wiederholen und die Periode setzt ein.)

> Meine Empfehlung war dann pragmatisch, dass sie einfach 5 Nachkommastellen
> berechnen soll und dann hoffen, dass das Beispiel nicht zu schwer war.

Die Art Pragmatik ist in der Mathematik ungebräuchlich.

> Das
> ist eine nicht so tolle Antwort, aber irgendwo gibt es bei mathematischen
> Erklärungen eine altersbezogene Grenze, sonst wird das Hauptziel, das ja
> nicht mathematische Beweise sind, verfehlt.
>
> Ich bin echt überrascht, welche tiefen mathematischen Betrachtungen
> hinter einfachen Fragen stehen können.

So einfach war diese Frage nicht.

Gastfreund aus Korinth

unread,

Jan 6, 2004, 7:57:17 AM1/6/04

to

On Tue, 06 Jan 2004 13:48:38 +0100, Oliver Jennrich wrote:

> Da kommt mir ein ehemaliger Nachhilfeschüler in den Sinn, der ähnlichen
> Unsinn produzierte. Es stellte sich letztlich nach mühevoller
> Ursachenforschung heraus, daß er seine Lehrerin "den Nenner stellen wir
> jetzt auf die andere Seite" sehr wörtlich genommen hatte und die
> Umformung nicht mit einer Multiplikation verband sondern mit einer Art
> graphischen Regel "von da unten nach da oben". Der Bub kürzte auch gerne
> aus Summen. Ebenfalls graphisch: Oben eine "2", unten eine "2" und aus
> (a+2)/(b+2) wird flugs a/b.

Der "schönste" Fall, den ich je erlebt habe, war dies: Es wird in der
elften Klasse bewiesen, daß lim (x->0) sin(x)/x = 1 gilt. Früher (als
junger Lehrer) habe ich das problematisiert und nichtsahnend die
"Übungsaufgaben" aus dem Buch gerechnte. Eine der Aufgaben ging so:

Bestimme lim(x->0) sin(x)/{n*x}. Auf mein Drängen, er möge diesen Term
algebraisch manipulieren (er sollte den Faktor 1/n nach forne bringen)
kürzte nun der Schüler massiv und wurde wirklich den Bruch los.

Jakob Creutzig

unread,

Jan 6, 2004, 8:04:19 AM1/6/04

to

Gastfreund aus Korinth <ke...@nirgendwo.de> writes:

> On Tue, 06 Jan 2004 12:15:18 +0100, Oliver Jennrich wrote:
>
> > Was gibt es da zu erklären? Ein Gegenbeispiel sollte auch den
> > hartnäckigsten Zweifeler überzeugen: x=-1 erfüllt die erste Gleichung
> > aber nicht die zweite.
>
> Ich meine schon "=0". Wenn ich das "erkläre", werden die Schüler
> ehrfürchtig nicken und weiter x+1=x^2 schreiben bei der nächsten
> Aufgabe. Es wird ihnen schon seit der achten Klasse immer wieder
> "erklärt", aber ohne Erfolg. (Das bedeutet natürlich nicht, daß kein
> Schüler das versteht, sondern das eine signifikante Anzahl das nicht
> versteht.)

Versagen der Schule also. Ob das daran liegt, dass der Unterrichtsinhalt
nicht schultauglich ist, oder die Art und Weise der Vermittlung ueberarbeitet
werden muss, muesste man laenger diskutieren.

> Übrigens wäre Deine Erklärung sehr abstrakt und wissenschaftlich. Als
> Lehrer würde man das so erklären, daß x^2*0 = 0 ist und nicht x^2.

Das ist keine Erklaerung, das ist eine Behauptung.

Best,
Jakob