W-Theorie: Erwartungswert des Maximums
Ingo Spoerl
ich habe eine Frage zur Berechnung eines Erwartungswertes. Die Aufgabe
ist aus dem Projektmanagementumfeld PERT/CPM:
Angenommen ich habe zwei Zufallsprozesse X,Y mit bekannter Verteilung:
Kann ich den Erwartungswert E(max(X,Y)) aus den jeweiligen
Verteilungsfunktionen (Dichte) bestimmen ?
Gibt es Sonderfälle, bei denen dies möglich ist (z.B. wenn beide
Variablen die gleiche Verteilung haben, vielleicht zusätzlich spezielle
Verteilungsfunktion,...) ?
Als Abschätzung könnte ich mir E(max(X,Y)) >= max(E(X), E(X))
vorstellen, aber die Herleitung ist mir nicht klar.
Wie sieht die Verteilungsfunktion (Dichte) der Zufallsvariable max(X,Y)
aus ?
Für einen Literaturhinweis, eine einfache Herleitung oder
Negativauskunft bedanke ich mich schon im Voraus,
Ingo.
Thomas Schmelter
Hallo Ingo
Ingo Spoerl <isp...@debis.com> writes:
>
> Angenommen ich habe zwei Zufallsprozesse X,Y mit bekannter Verteilung:
>
> Kann ich den Erwartungswert E(max(X,Y)) aus den jeweiligen
> Verteilungsfunktionen (Dichte) bestimmen ?
>
> Gibt es Sonderfälle, bei denen dies möglich ist (z.B. wenn beide
> Variablen die gleiche Verteilung haben, vielleicht zusätzlich spezielle
> Verteilungsfunktion,...) ?
Seien F, G die Verteilungsfunktionen von X bzw. Y. und H die
Verteilungsfunktion von max(X,Y).
Dann gilt zunächst ganz allgemein:
H(t) = P(max(X,Y)<= t) = P(X <= t, Y <= t)
Wenn X und Y unabhängig sind gilt dann ganz einfach
weiter
= P(X <= t) * P(Y <= t) = F(t)G(t)
Bei Abhänigkeit/Korrelation brauchst Du dann natuerlich Angaben zur
gemeinsamen Verteilung.
> Als Abschätzung könnte ich mir E(max(X,Y)) >= max(E(X), E(X))
> vorstellen, aber die Herleitung ist mir nicht klar.
Das kann man sich recht schnell klar machen:
max(X, Y) >= X
Dann gilt E(max(X,Y)) = \int (max(X,Y) dP <= \int X dP = EX ,
Für Y analog. Also auch für das Maximum.
Thomas
--
Thomas Schmelter ** ts...@sdhs.de **
Horst Kraemer
wrote:
> ich habe eine Frage zur Berechnung eines Erwartungswertes. Die Aufgabe
> ist aus dem Projektmanagementumfeld PERT/CPM:
>
> Angenommen ich habe zwei Zufallsprozesse X,Y mit bekannter Verteilung:
>
> Kann ich den Erwartungswert E(max(X,Y)) aus den jeweiligen
> Verteilungsfunktionen (Dichte) bestimmen ?
Sicher. Wenn X und Y unabhaengig sind mit Vf F bzw. G sind, dann
lautet die Vf von M:=Max(X,Y) schlicht
H(x) = F(x)*G(x)
Dies folgt aus der Identitaet
P(max(X,Y)<=t) = P(X<=t und Y<=t), was im Falle der Unabhaengigkeit
gleich P(X<=t)*P(Y<=t) ist.
Wen X und Y unabhaengig und identisch verteilt sind, ist die Vf von
Max(XY) dann H(x) = F(x)^2.
Deinem vorgeschlagener Schaetzwert ist ziemlich vertlos, da der
Erwartungswert bei positiven X,Y immer groesser als Max(E(X),E(Y) ist.
Bei zwei Gleichverteilungen auf [0,1] ist der Erwartungswert des
Maximums beispielsweise 2/3 und allgemein bei n identischen
Gleichverteilungen n/(n+1), da die entsprechende Vf H(x) = F(x)^n ist,
und die Vf der Gleichverteilung im Intervall [0,1] F(x)=x lautet
MfG
Horst