Betrag und Norm
Peter Niessen
Ist es richtig oder gebräuchlich das Quadrat des Betrages einer komplexen Zahl als Norm zu
bezeichnen?
Der Unterschied zwischen Norm und Betrag (resp. Metrik) ist mir schon klar, ich will aber die
korrekten Bezeichnungen
in einem Script verwenden.
mfg peter
Klaus-R. Löffler
Lieber Peter,
bei den komplexen Zahlen ist es eigentlich üblich, vom Betrag zu sprechen;
die Standardcharakterisierungen der komplexen Zahl erfolgen über Real- und
Imaginärteil oder über Argument und Betrag; Norm habe ich in diesem
Zusammenhang noch nie gelesen. In den euklidischen Vektorräumen R und C kann
man natürlich auch andere Normen als die durch das Standardskalarprodukt
induzierte betrachten. Wenn man also die Struktur des normierten Vektorraums
betrachtet, mag es berechtigt sein, den Betrag - als eine spezielle Norm -
eben auch als Norm zu bezeichnen. Solange man aber nur Vektorräume
betrachtet, bei denen die Norm eines Vektors durch eine Länge zu
veranschaulichen ist, und hier auch nur die euklidische Norm, legt die
Analogie zu R die Bezeichnung Betrag nahe.
Nebenbei: Im Schulunterricht spreche ich bei der Vektorrechnung im R^n auch
grundsätzlich von der Norm und lasse sie im Unterschied zum Betrag in R oder
C mit Doppelstrichen kennzeichnen, aber das hat weniger mathematische als
pädagogische Gründe, damit deutlicher wird, dass hier in unterschiedlichen
Räumen operiert wird.
Herzliche Grüße und gutes Gelingen beim Script
Klaus-R. Löffler
www.mathema.tor.ms
Hermann Kremer
>Bis lang habe ich es in meiner Formelsammlung (uralt) immer übersehen.
>Ist es richtig oder gebräuchlich das Quadrat des Betrages einer komplexen
>Zahl als Norm zu bezeichnen?
Hallo Peter,
eine Norm hat u.a. die Eigenschaft ||a*z|| = |a|*||z|| , und für das Quadrat
(|x + i*y|)^2 = x^2 + y^2 trifft das ja wohl nicht zu ...
>Der Unterschied zwischen Norm und Betrag (resp. Metrik) ist mir schon klar,
>ich will aber die korrekten Bezeichnungen in einem Script verwenden.
Grüße
Hermann
--
>mfg peter
>
Peter Niessen
"Hermann Kremer" <hermann...@online.de> schrieb
Hallo Hermann und Klaus!
Ich zitiere die Quelle mal genau:
Hans Jochen Bartsch
Mathemathische Formeln
15. Auflage VEB Fachbuchverlag Leipzig 1976
(a bi) sei eine komplexe Zahl
Seite 10:
"a^2+b^2 heisst Norm der komplexen Zahl (a +bi) bzw. (a -bi)"
Wieso soll das eigentlich keine Norm sein?
Erfüllt doch alle Regeln oder?
Ist nur im Zusammenhang eine etwas ungewöhnliche Definition.
mfg peter
Robert Zehn
> (a bi) sei eine komplexe Zahl
> Seite 10:
> "a^2+b^2 heisst Norm der komplexen Zahl (a +bi) bzw. (a -bi)"
Vermutlich ein Druckfehler, da fehlt die Wurzel.
> Wieso soll das eigentlich keine Norm sein?
> Erfüllt doch alle Regeln oder?
Nein.
z=a+bi, k*z=(k*a)+(k*b)*i, obrige "Norm" heiße <>.
<z> = a^2 + b^2
<k*z> = (k*a)^2 + (k*b)^2 = k^2*a^2 + k^2*b^2
= k^2 * (a^2 + b^2) = k^2 * <z>
<> ist keine Norm, denn es müsste <k*z> = |k|*<z>
herauskommen. Das hatte Hermann Kremer aber auch schon
gesagt, oder?
Gruß
Robert
Klaus-R. Löffler
Hallo Peter,
um Bartsch (allerdings nach der Ausgabe von 1985) vollständig zu zitieren:
"Definition
Betrag (Modul) der komplexen Zahl |z| = r = Wurzel(a^2 + b^2) mit a^2+b^2
Norm der komplexen Zahl z bzw z_quer."
Mit Verlaub, jemandem, der so seine Definitionen notiert, würde ich nur sehr
ungern hinsichtlich seiner Formulierungen Vertrauen schenken.
Wenn man zudem a^2+b^2 als Norm bezeichnet, was hier ja geschieht, schafft
man Paralleldefinitionen mit völlig anderen Bedeutungen, da dies - z.B. im
Sinne des Vektorraums - keine Norm ist: Eine der konstituierenden
Eigenschaften einer Norm ist Norm(rz) = |r|*Norm(z), was hier ja
offensichtlich nicht der Fall ist.
Klaus-R. Löffler
www.mathema.tor.ms
Peter Niessen
"Klaus-R. Löffler" <KlausRL...@t-online.de> schrieb
> Peter Niessen schrieb
> > Mathemathische Formeln
> > 15. Auflage VEB Fachbuchverlag Leipzig 1976
> >
> > (a bi) sei eine komplexe Zahl
> > Seite 10:
> > "a^2+b^2 heisst Norm der komplexen Zahl (a +bi) bzw. (a -bi)"
> >
> > Wieso soll das eigentlich keine Norm sein?
> > Erfüllt doch alle Regeln oder?
> > Ist nur im Zusammenhang eine etwas ungewöhnliche Definition.
> > mfg peter
> >
> Hallo Peter,
>
> um Bartsch (allerdings nach der Ausgabe von 1985) vollständig zu zitieren:
>
> "Definition
> Betrag (Modul) der komplexen Zahl |z| = r = Wurzel(a^2 + b^2) mit a^2+b^2
> Norm der komplexen Zahl z bzw z_quer."
>
> Mit Verlaub, jemandem, der so seine Definitionen notiert, würde ich nur sehr
> ungern hinsichtlich seiner Formulierungen Vertrauen schenken.
> Wenn man zudem a^2+b^2 als Norm bezeichnet, was hier ja geschieht, schafft
> man Paralleldefinitionen mit völlig anderen Bedeutungen, da dies - z.B. im
> Sinne des Vektorraums - keine Norm ist: Eine der konstituierenden
> Eigenschaften einer Norm ist Norm(rz) = |r|*Norm(z), was hier ja
> offensichtlich nicht der Fall ist.
Hm ich habe im Kopf eine Norm bildet genau ein Element des Vektorraums auf
IR+ mit 0 ab, plus noch sowas wie Dreiecksungleichung etc.
Eine Metrik macht das gleiche mit 2 Elementen.
sehe ich das total falsch?
mfg peter
Robert Zehn
> Hm ich habe im Kopf eine Norm bildet genau ein Element des
Vektorraums auf
> IR+ mit 0 ab, plus noch sowas wie Dreiecksungleichung etc.
Norm ||_|| auf einem K-Vektorraum V, k aus K, a,b aus V:
1) positiv definit: ||a|| >= 0, |a|=0 <=> a=0
2) homogen: ||k*a|| = |k| * ||a||
3) Dreiecksungleichung: ||a+b|| <= ||a|| + ||b||
Gruß
Robert
Hermann Kremer
>> Peter Niessen schrieb
>> > Mathemathische Formeln
>> > 15. Auflage VEB Fachbuchverlag Leipzig 1976
>Hm ich habe im Kopf eine Norm bildet genau ein Element des Vektorraums
>auf IR+ mit 0 ab, plus noch sowas wie Dreiecksungleichung etc.
... plus noch sowas ... IIRC heißt das Skalierungstreue: || k*x || = |k| * || x ||
...
>Eine Metrik macht das gleiche mit 2 Elementen.
>sehe ich das total falsch?
Nee ...
Man kann übrigens eine Norm auch als metrischen Abstand eines VR-Elements
vom Null-Element auffassen: || x || = dist(x, 0) .
Peter Niessen
"Robert Zehn" <robo...@gmx.de>
Ja genau so mein ich das auch!
Und wo ist der Fehler bei ||z||= a^2+b^2 als Norm von (a bi)?
Habe Ich Tomaten auf den Augen?
mfg peter
Robert Zehn
> > Norm ||_|| auf einem K-Vektorraum V, k aus K, a,b aus V:
> >
> > 1) positiv definit: ||a|| >= 0, |a|=0 <=> a=0
> > 2) homogen: ||k*a|| = |k| * ||a||
> > 3) Dreiecksungleichung: ||a+b|| <= ||a|| + ||b||
>
> Ja genau so mein ich das auch!
> Und wo ist der Fehler bei ||z||= a^2+b^2 als Norm von (a bi)?
> Habe Ich Tomaten auf den Augen?
Ich hab's doch in meinem Posting von eben geschrieben: Bei
z=a+bi und <z>=a^2+b^2 ist Punkt 2 nicht erfüllt, weil
<k*z> = k^2 * <z> != |k| * <z>.
Gruß
Robert
Peter Niessen
"Robert Zehn" <robo...@gmx.de> schrieb
Ok man sollte genau hinschauen :-(
Asche auf mein Haupt!
Aber wieso der Autor (Bartsch) dann überhaupt so eine Definition liefert,
ist mir dann völlig unklar. Oder wird (wurde) die Definition nicht einheintlich gehandhabt?
mfg peter
Paul Ebermann
Ich kenne eigentlich (aus meinen Vorlesungen) auch
nur die von Robert genannte Definition für Norm:
| Norm ||_|| auf einem K-Vektorraum V, k aus K, a,b aus V:
|
| 1) positiv definit: ||a|| >= 0, |a|=0 <=> a=0
| 2) homogen: ||k*a|| = |k| * ||a||
| 3) Dreiecksungleichung: ||a+b|| <= ||a|| + ||b||
Ich habe hier aber ein Buch ausgegraben[1], wo
auch deine Bezeichnung verwendet wird.
: Weltbild Kolleg: Abiturwissen Mathematik
: Rudolf Brauner, Fritz Geiß
Im Kapitel über vektorielle analytische
Geometrie findet man (nach dem ziemlich viel
über allgemeine 3-dimensionale Vektorräume V^3
gesprochen und bewiesen wurde) folgendes:
| Metrische Axiome - Norm und Skalarprodukt - Betrag von Vektoren
|
| Wir formulieren jetzt die metrischen Axiome:
|
| V',0: Jedem Vektor v in V^3 ist eine nichtnegative
| reelle Zahl v^2 in R, die Norm des Vektors,
| zugeordnet (v -> v^2)
|
| V',1: Für alle v in V^3 und alle a in R gilt:
|
| (a*v)^2 = a^2 * v^2
|
| VI',0: Jedem Paar von Vektoren v, w in V^3 ist eine
| reelle Zahl v*w in R, das Skalarprodukt der
| beiden Vektoren, zugeordnet (v;w) -> v * w
|
| Für alle u,v,w in V^3 und alle a in R gilt:
|
| VI',1: v*w = w*v
| VI',2: u*(v+w) = u*v + v*w
| VI',3: (av)*w = a(v*w)
| VI',4: v*v = v^2
|
| Definition: Ein Vektor v hat die Länge oder
| den Betrag |v| = sqrt(v^2) (v^2 = Norm von v).
|
| Definition: Ein Vektor v mit v^2=1 heißt
| Einheitsvektor.
Dabei sind v,w,u jeweils mit Pfeil -> drüber
zu lesen.
Das ist also eine nicht nur auf dein Buch
beschränkte Verwendung von "Norm".
Ich würde trotzdem lieber bei der
"Standard"-Definition bleiben.
Paul
[1] Ausgraben heißt hier, dass ich den
Arm ausstrecken musste - das Buch steht
über dem Schreibtisch in einem Regal.
Peter Niessen
"Paul Ebermann" <Paul-E...@gmx.de> schrieb
Danke für den Hinweis!
Aber ich bin in den Grundlagen der Mathematik Axiome usw.
nicht so fit um so ohne weiteres die Schwächen resp Stärken einer solchen
Herangehensweise zu sehen. Ingenieure sind halt Opportunisten :-)
die biegen sich das passend.
mfg peter
Joachim Mohr
Peter Niessen wrote:
> Hm ich habe im Kopf eine Norm bildet genau ein Element des
Vektorraums auf
> IR+ mit 0 ab, plus noch sowas wie Dreiecksungleichung etc.
> Eine Metrik macht das gleiche mit 2 Elementen.
> sehe ich das total falsch?
Das ist eine Frage der Abstraktion. Nach N. Bourbaki:
Zuerst kommt der topologische Raum (mit stetige Funktionen),
dann der uniforme Raum (mit gleichmäßig stetigen Funktionen),
dann der metrische Raum (mit der Abstandsmessung) und
schließlich der normieret Raum (mit einer mit der Stetigkeit
veträglichen Vektorraumstruktur).
Es gilt: Jeder normierter Raum ist metrischer Raum,
jeder metrische Raum ist ein uniformer Raum,
jeder uniforme Raum ist ein topologischer.
Aber nicht umgekehrt.
Nach meiner Erfahrung: Im R^n ist kann man mit der Metrik am besten
topologische Fragen (Kompaktheit etc.) am besten bewältigen.
MFG Joachim
--
e-mail: j...@chim.mohr.rottenburg@t-online.de
(Bitte erstes "@" durch "a" ersetzten!)
homepage:http://delphi.zsg-rottenburg.de
Hendrik van Hees
> Hallo Hermann und Klaus!
> Ich zitiere die Quelle mal genau:
>
> Hans Jochen Bartsch
> Mathemathische Formeln
> 15. Auflage VEB Fachbuchverlag Leipzig 1976
In der Mathematik ist der Verweis auf irgendwelche (vermeintlichen)
Autoritäten keine gute Argumentation.
>
> (a bi) sei eine komplexe Zahl
> Seite 10:
> "a^2+b^2 heisst Norm der komplexen Zahl (a +bi) bzw. (a -bi)"
Da haben die volkseigenen Setzer wohl die Wurzel vergessen. Abgesehen davon
handelt es sich um einen Betrag (weil C ein Körper ist und |z|=sqrt(Re
z^2+Im z^2) verträglich mit der Körpermultiplikation ist, also |z1 z2|=|z1|
|z2| gilt und nicht bloß mit der Multiplikation mit reellen Zahlen, wenn
man C als 2-dim Vektorraum über R auffaßt).
--
Hendrik van Hees Fakultät für Physik
Phone: +49 521/106-6221 Universität Bielefeld
Fax: +49 521/106-2961 Universitätsstraße
http://theory.gsi.de/~vanhees/ D-33615 Bielefeld
Peter Niessen
"Hendrik van Hees" <he...@physik.uni-bielefeld.de> schrieb
> Peter Niessen wrote:
>
>
> > Hallo Hermann und Klaus!
> > Ich zitiere die Quelle mal genau:
> >
> > Hans Jochen Bartsch
> > Mathemathische Formeln
> > 15. Auflage VEB Fachbuchverlag Leipzig 1976
>
> In der Mathematik ist der Verweis auf irgendwelche (vermeintlichen)
> Autoritäten keine gute Argumentation.
> >
> > (a bi) sei eine komplexe Zahl
> > Seite 10:
> > "a^2+b^2 heisst Norm der komplexen Zahl (a +bi) bzw. (a -bi)"
>
> Da haben die volkseigenen Setzer wohl die Wurzel vergessen.
Haben sie nicht! Das ist Absicht, der Betrag wird auch noch definiert.
siehe auch den Beitrag von Klaus (der hat eine Ausgabe von 1985) ua.
> Abgesehen davon handelt es sich um einen Betrag
> (weil C ein Körper ist und |z|=sqrt(Re z^2+Im z^2)
> verträglich mit der Körpermultiplikation ist, also |z1 z2|=|z1|
> |z2| gilt und nicht bloß mit der Multiplikation mit reellen Zahlen, wenn
> man C als 2-dim Vektorraum über R auffaßt).
Klaro, Ich war nur etwas über die Jungs vom VEB irritiert.
mfg peter
Stefan Wehmeier
> Bis lang habe ich es in meiner Formelsammlung (uralt) immer übersehen.
> Ist es richtig oder gebräuchlich das Quadrat des Betrages einer komplexen
> Zahl als Norm zu bezeichnen?
Ja, das waere eine "Norm" im algebraischen Sinn (Norm = Produkt aller
Konjugierten). Hierbei ist es aber wichtig, genau anzugeben, welchen
Koerper und welchen Grundkoerper man betrachtet. N(z) = |z|^2 gilt
fuer C ueber R; demnach waere N(1+sqrt(2)) = (1+sqrt(2))^2.
Betrachtet man Q(sqrt(2)), gilt hingegen
N(1+sqrt(2)) = (1+sqrt(2))*(1-sqrt(2)) .
Gruss,
--
Stefan Wehmeier
ste...@mupad.de