Summe aller Werte x_i bei i gegen unendlich

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Marcus Gloeder

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Dec 19, 2021, 7:00:14 AM12/19/21
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Hallo alle zusammen,

da wir hier häufig darüber diskutieren, wie sich Mengen mit (abzählbar)
unendlich vielen Elementen verhalten, habe ich mal darüber nachgedacht, was
eigentlich passiert, wenn abzählbar unendlich viele Werte $x_{i}$ summiert
werden.

Solange ich Mengen mit endlich vielen Werten habe, ergibt sich jeweils ein
großer Unterschied für die Summe aller Werte, je nachdem, wie diese Werte
jetzt aussehen. Nehmen wir an, wir haben n=10 und folgende beiden der Größe
nach sortierten Urlisten:

A:={1,1,2,3,5,8,13,21,34,55}
B:={2,4,8,16,32,64,128,255,512,1024}

Anmerkung: Mir ist nicht ganz klar, ob sich solche sortierten Urlisten
eigentlich als Mengen schreiben lassen. Immerhin gibt es bei der Urliste A
den Wert 1 zweimal. Das kommt bei empirischen Befragungen häufig vor, zum
Beispiel wenn in einer Schulklasse das Alter der Schülerinnen und Schüler
erfasst wird.

Dann ist $\sum_{i=1} ^{n} {x_{i}}$ für Menge A gleich 143 und für Menge B
gleich 2045 (jeweils nach Taschenrechner). Unter der Annahme, dass es sich
bei Menge A um die ersten 10 Stellen der Fibunacci-Reihe handelt und bei
Menge B um die Werte der Funktion $f(i)=2^i$ für i=1 bis 10, dann ist es
auch so, dass mit zunehmendem n die Summe der Menge B(n) viel schneller
wächst als die Summe der Menge A(n) (wird das so geschrieben?).

Wenn ich aber n gegen unendlich laufen lasse, dann ist es völlig
gleichgültig, welche Werte $x_{i}$ ich für i gleich 1 bis n habe, die Summe
ist immer unendlich. Also:

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} x_{i}=\infty
$$

(Ist das so richtig geschrieben?)

Für das Beispiel heißt das, dass die Summe von B(n) gleich der Summe von
A(n) wird, wenn n gegen unendlich läuft.

Für Aussagen über alle n (hier eine Summenbildung) ist es also durchaus ein
Unterschied, ob n eine beliebig hohe, aber endliche Anzahl ist oder ob n
gegen unendlich läuft.

Ist das so richtig?

Viele Grüße
Marcus

--
PMs an: m.gl...@gmx.de

Stefan Schmitz

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Dec 19, 2021, 9:25:41 AM12/19/21
to
Am 19.12.2021 um 13:00 schrieb Marcus Gloeder:
> Hallo alle zusammen,
>
> da wir hier häufig darüber diskutieren, wie sich Mengen mit (abzählbar)
> unendlich vielen Elementen verhalten, habe ich mal darüber nachgedacht, was
> eigentlich  passiert, wenn abzählbar unendlich viele Werte $x_{i}$ summiert
> werden.
>
> Solange ich Mengen mit endlich vielen Werten habe, ergibt sich jeweils ein
> großer Unterschied für die Summe aller Werte, je nachdem, wie diese Werte
> jetzt aussehen. Nehmen wir an, wir haben n=10 und folgende beiden der Größe
> nach sortierten Urlisten:
>
> A:={1,1,2,3,5,8,13,21,34,55}
> B:={2,4,8,16,32,64,128,255,512,1024}
>
> Anmerkung: Mir ist nicht ganz klar, ob sich solche sortierten Urlisten
> eigentlich als Mengen schreiben lassen. Immerhin gibt es bei der Urliste A
> den Wert 1 zweimal. Das kommt bei empirischen Befragungen häufig vor, zum
> Beispiel wenn in einer Schulklasse das Alter der Schülerinnen und Schüler
> erfasst wird.

Nein, das schreibt man nicht als Mengen.
Solche "Urlisten" nennt man *Folge* und schreibt sie mit runden Klammern.


> Dann ist $\sum_{i=1} ^{n} {x_{i}}$ für Menge A gleich 143 und für Menge B
> gleich 2045 (jeweils nach Taschenrechner). Unter der Annahme, dass es sich
> bei Menge A um die ersten 10 Stellen der Fibunacci-Reihe handelt und bei
> Menge B um die Werte der Funktion $f(i)=2^i$ für i=1 bis 10, dann ist  es
> auch so, dass mit zunehmendem n die Summe der Menge B(n) viel schneller
> wächst als die Summe der Menge A(n) (wird das so geschrieben?).

Die Summen der ersten n Folgenglieder nennt man *Reihe*.

> Wenn ich aber n gegen unendlich laufen lasse, dann ist es völlig
> gleichgültig, welche Werte $x_{i}$ ich für i gleich 1 bis n habe, die Summe
> ist immer unendlich. Also:
>
> $$
> \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} x_{i}=\infty
> $$
>
> (Ist das so richtig geschrieben?)

Wenn die Summe unendlich wäre, sagt man, dass die Reihe *nicht
konvergiert* oder *divergiert*. Der Limes existiert dann nicht und es
gibt dann auch keine Gleichung.

> Für das Beispiel heißt das, dass die Summe von B(n) gleich der Summe von
> A(n) wird, wenn n gegen unendlich läuft.

Beide Folgen und die zugehörigen Reihen divergieren.

> Für Aussagen über alle n (hier eine Summenbildung) ist es also durchaus ein
> Unterschied, ob n eine beliebig hohe, aber endliche Anzahl ist oder ob n
> gegen unendlich läuft.

Allerdings. Solange es endlich bleibt, stellt sich die Frage nach
Konvergenz nicht. Erst bei unendlichen Folgen und Reihen wird es
interessant.

Eine Reihe kann übrigens nur konvergieren, wenn die Folge gegen 0
konvergiert. Das ist eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung.

Marcus Gloeder

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Dec 19, 2021, 9:35:10 AM12/19/21
to
Am 19.12.21 15:25, schrieb Stefan Schmitz:
> […]

Hallo alle zusammen, hallo Stefan,

vielen Dank für die Erklärungen. :-)

Juergen Ilse

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Dec 23, 2021, 11:06:28 AM12/23/21
to
Hallo,

Marcus Gloeder <m.gl...@gmx.de> wrote:
> da wir hier häufig darüber diskutieren, wie sich Mengen mit (abzählbar)
> unendlich vielen Elementen verhalten, habe ich mal darüber nachgedacht, was
> eigentlich passiert, wenn abzählbar unendlich viele Werte $x_{i}$ summiert
> werden.

Bei einer unendlichen Reihe darf man die Summanden nicht unbedingt
"umsortieren", wenn sich das Ergebnis nicht aendern soll. Wenn man z.B.
eine konvergente Reihe mit alternierenden Vorzeichen hat, koennte eine
"Umsortierung" bei der unendliche viele Elemente den Platz tauschen
sogar zu einer divergenten Reihe fuehren ...

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Ganzhinterseher

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Dec 23, 2021, 12:09:46 PM12/23/21
to
Juergen Ilse schrieb am Donnerstag, 23. Dezember 2021 um 17:06:28 UTC+1:

> Bei einer unendlichen Reihe darf man die Summanden nicht unbedingt
> "umsortieren", wenn sich das Ergebnis nicht aendern soll.

Richtig! Würden aber lediglich alle Terme addiert, so könnte eine Umordnung nichts verändern. Was da ist, kann beliebig durchgeschüttelt werden. Es geht nicht weg und ändert nichts. Auch hier sehen wir wieder, dass die "Reihensumme" keine wirkliche Summe, sondern lediglich ein Grenzwert ist, der aus dem Anfangsabschnitt der Partialsummenfolge bzw. der erzeugenden Formel berechnet wird.

Gruß, WM

Stefan Schmitz

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Dec 23, 2021, 12:20:10 PM12/23/21
to
Ändert sich eigentlich der Grenzwert, wenn man die Summanden mit "nicht
definierbarem" n weglässt?
Wenn nein, warum nicht? Wenn ja, wie kann man diese Summanden überhaupt
berechnen?

JVR

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Dec 23, 2021, 12:41:03 PM12/23/21
to
Nein. Die Summe über nicht definierbare n-Werte ist immer undefinierbar.
Übrigens kann man bei potentiell unendlicher Summe beliebig umsortieren,
da man ja immer nur mit einer unbestimmten endlichen Anzahl Summanden zu tun hat.
Und endliche Summanden kann man immer umsortieren, außer evtl. in Mückenhausen am Sonntag.

Ganzhinterseher

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Dec 23, 2021, 1:05:13 PM12/23/21
to
Stefan Schmitz schrieb am Donnerstag, 23. Dezember 2021 um 18:20:10 UTC+1:
> Am 23.12.2021 um 18:09 schrieb Ganzhinterseher:
> > Juergen Ilse schrieb am Donnerstag, 23. Dezember 2021 um 17:06:28 UTC+1:
> >
> >> Bei einer unendlichen Reihe darf man die Summanden nicht unbedingt
> >> "umsortieren", wenn sich das Ergebnis nicht aendern soll.
> >
> > Richtig! Würden aber lediglich alle Terme addiert, so könnte eine Umordnung nichts verändern. Was da ist, kann beliebig durchgeschüttelt werden. Es geht nicht weg und ändert nichts. Auch hier sehen wir wieder, dass die "Reihensumme" keine wirkliche Summe, sondern lediglich ein Grenzwert ist, der aus dem Anfangsabschnitt der Partialsummenfolge bzw. der erzeugenden Formel berechnet wird.
> Ändert sich eigentlich der Grenzwert, wenn man die Summanden mit "nicht
> definierbarem" n weglässt?

Summanden mit nicht (individuell) definierbarem n kann man nur kollektiv behandeln.

> Wenn nein, warum nicht? Wenn ja, wie kann man diese Summanden überhaupt
> berechnen?

Ja. Man kann zwar fast alle Summanden einer beliebigen Reihe nicht individuell verwenden, aber man kann sie z.B. in der geometrischen Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2 kollektiv verwenden, durch "immer so weiter". Immer näher mein Grenzwert zu dir. Ganz besonders einfach ist der Grenzwert für die Reihe 0,999... zu berechnen, genau so einfach wie für das Komplement, die Folge 1/10^n.

Ein bekanntes Beispiel ist die alternierende harmonische Reihe:1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +-... = ln2. Das findet man aus der Taylorentwicklung, aus der man das allgemeine Glied berechnen kann. Natürlich muss man dann durch "immer so weiter" die unendlich vielen Folgeglieder kollektiv verwenden. Es wird doch wohl jeder einsehen, dass selbst der akribischste Rechner irgendwann aufhört, individuelle Zahlen einzusetzen.

Da man weiß, dass unendlich viele Terme zu Verfügung stehen (und die harmonische Reihe positiv wie negativ divergiert), kann man nach jedem Term erstmal genügend viele positive Terme vorziehen, dass ihre Summe 100 ausmacht, und dann den nächsten negativen Term folgen lassen. Zwar braucht man irre viele Terme um immer wieder 100 zusammenzukriegen, aber es gibt ja unendlich viele. Also kann man das potentiell unendlich oft machen. Schon hat man eine stark divergierende Reihe. Deren Grenzwert kann man überschlagsmäßig aus 100 + 100 + 100 + ... berechnen: Uneigentliche Divergenz gegen oo.

Gruß, WM

Stefan Schmitz

unread,
Dec 23, 2021, 3:28:40 PM12/23/21
to
Am 23.12.2021 um 19:05 schrieb Ganzhinterseher:
> Stefan Schmitz schrieb am Donnerstag, 23. Dezember 2021 um 18:20:10 UTC+1:
>> Am 23.12.2021 um 18:09 schrieb Ganzhinterseher:
>>> Juergen Ilse schrieb am Donnerstag, 23. Dezember 2021 um 17:06:28 UTC+1:
>>>
>>>> Bei einer unendlichen Reihe darf man die Summanden nicht unbedingt
>>>> "umsortieren", wenn sich das Ergebnis nicht aendern soll.
>>>
>>> Richtig! Würden aber lediglich alle Terme addiert, so könnte eine Umordnung nichts verändern. Was da ist, kann beliebig durchgeschüttelt werden. Es geht nicht weg und ändert nichts. Auch hier sehen wir wieder, dass die "Reihensumme" keine wirkliche Summe, sondern lediglich ein Grenzwert ist, der aus dem Anfangsabschnitt der Partialsummenfolge bzw. der erzeugenden Formel berechnet wird.
>> Ändert sich eigentlich der Grenzwert, wenn man die Summanden mit "nicht
>> definierbarem" n weglässt?
>
> Summanden mit nicht (individuell) definierbarem n kann man nur kollektiv behandeln.
>
>> Wenn nein, warum nicht? Wenn ja, wie kann man diese Summanden überhaupt
>> berechnen?
>
> Ja. Man kann zwar fast alle Summanden einer beliebigen Reihe nicht individuell verwenden, aber man kann sie z.B. in der geometrischen Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2 kollektiv verwenden, durch "immer so weiter".

"Immer so weiter" ist doch individuell bestimmbar. Wenn es das nicht
wäre, könnte man nichts kollektiv zusammenfassen.

> Immer näher mein Grenzwert zu dir. Ganz besonders einfach ist der Grenzwert für die Reihe 0,999... zu berechnen, genau so einfach wie für das Komplement, die Folge 1/10^n.

Der müsste bei dir ja echt kleiner als 1 sein, da du nur endlich viele
Stellen angeben kannst.

Ganzhinterseher

unread,
Dec 23, 2021, 5:04:06 PM12/23/21
to
Stefan Schmitz schrieb am Donnerstag, 23. Dezember 2021 um 21:28:40 UTC+1:
> Am 23.12.2021 um 19:05 schrieb Ganzhinterseher:
> > Stefan Schmitz schrieb am Donnerstag, 23. Dezember 2021 um 18:20:10 UTC+1:
> >> Am 23.12.2021 um 18:09 schrieb Ganzhinterseher:
> >>> Juergen Ilse schrieb am Donnerstag, 23. Dezember 2021 um 17:06:28 UTC+1:
> >>>
> >>>> Bei einer unendlichen Reihe darf man die Summanden nicht unbedingt
> >>>> "umsortieren", wenn sich das Ergebnis nicht aendern soll.
> >>>
> >>> Richtig! Würden aber lediglich alle Terme addiert, so könnte eine Umordnung nichts verändern. Was da ist, kann beliebig durchgeschüttelt werden. Es geht nicht weg und ändert nichts. Auch hier sehen wir wieder, dass die "Reihensumme" keine wirkliche Summe, sondern lediglich ein Grenzwert ist, der aus dem Anfangsabschnitt der Partialsummenfolge bzw. der erzeugenden Formel berechnet wird.
> >> Ändert sich eigentlich der Grenzwert, wenn man die Summanden mit "nicht
> >> definierbarem" n weglässt?
> >
> > Summanden mit nicht (individuell) definierbarem n kann man nur kollektiv behandeln.
> >
> >> Wenn nein, warum nicht? Wenn ja, wie kann man diese Summanden überhaupt
> >> berechnen?
> >
> > Ja. Man kann zwar fast alle Summanden einer beliebigen Reihe nicht individuell verwenden, aber man kann sie z.B. in der geometrischen Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2 kollektiv verwenden, durch "immer so weiter".
> "Immer so weiter" ist doch individuell bestimmbar. Wenn es das nicht
> wäre, könnte man nichts kollektiv zusammenfassen.

Du hast das Argument noch nicht verstanden? Oder kannst Du es nur noch "nicht fassen"?
Jeder der unendlich vielen endlichen Anfangsabschnitte (1, 2, 3, ..., n), den man von ℕ subtrahiert, belässt fast alle Zahlen in ℕ (wenn es ℕ gibt). Die Behauptung, man könne trotzdem jede natürliche Zahl kennen, nennen, als Individuum verwenden, ist falsch.


> > Immer näher mein Grenzwert zu dir. Ganz besonders einfach ist der Grenzwert für die Reihe 0,999... zu berechnen, genau so einfach wie für das Komplement, die Folge 1/10^n.
> Der müsste bei dir ja echt kleiner als 1 sein, da du nur endlich viele
> Stellen angeben kannst.

Der Grenzwert hängt nicht von der Zahl der angegebenen Stellen ab, sondern von der erzeugenden Formel wie zum Beispiel dieser aus acht Zeichen bestehenden: "0,999...", die eine gegen 1 konvergierende Reihe angibt. Dabei ist keine Partialsumme 1, auch nicht "im Unendlichen"! Nur wird die Differenz so klein, dass sie den meisten nicht auffällt.

Gruß, WM
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