Unterschied abzählbar bzw. überabzahlbar unendlich. Was bringt das?

[Jaosch]

Welche mathematischen / physikalischen Erkenntnisse lassen sich daraus *ableiten*?

jaosch

[Rainer Rosenthal]

Am 02.10.2023 um 17:05 schrieb Jaosch:
> Welche mathematischen / physikalischen Erkenntnisse lassen sich daraus *ableiten*?
>

Was hast Du bisher zu dem Thema gelesen, außer Newsgroup-Gezeter?
Wusstest Du, dass 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/n mit wachsendem n
größer werden kann als jede vorgegebene Schranke? Also z.B. größer als 2023?
Was kannst Du daraus ableiten?

Gruß,
RR

[Jaosch]

Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 2. Oktober 2023 um 17:38:14 UTC+2:
> Am 02.10.2023 um 17:05 schrieb Jaosch:
> > Welche mathematischen / physikalischen Erkenntnisse lassen sich daraus *ableiten*?
> >
> Was hast Du bisher zu dem Thema gelesen, außer Newsgroup-Gezeter?

Die Wikis über abzählbar und überabzählbar.

> Wusstest Du, dass 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/n mit wachsendem n
> größer werden kann als jede vorgegebene Schranke? Also z.B. größer als 2023?
> Was kannst Du daraus ableiten?

Ehrlich gesagt nichts, weil das neN (abzählbar) ja auch eR ist (überabzählbar).
Und es gibt ja auch konvergierende Reihen, mit neN.

jaosch

[Rainer Rosenthal]

Hallo Jaosch, danke für die klare Antwort.
Ich halte Vorgespräche dieser Art für wichtig, weil man dann besser
weiß, was im Dialog vorausgesetzt werden kann.

Hilfreich ist es auch, auf Fragen wirklich zu antworten.
Ich hatte gefragt: "Weißt Du, dass ...", aber das hast Du nicht mit Ja
oder Nein beantwortet, was schade ist. Immerhin kommen wir über solch
einen Dialog näher an die Vorstellung von groß - riesig -
googolplexquadrat - unendlich - noch unendlicher ...

Zusatzfrage: ab welcher Zahl n ist die obige Summe wohl größer als 2023?

Gruß,
Rainer

[Jaosch]

Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 2. Oktober 2023 um 18:04:55 UTC+2:
> Am 02.10.2023 um 17:53 schrieb Jaosch:
> > Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 2. Oktober 2023 um 17:38:14 UTC+2:
> >> Am 02.10.2023 um 17:05 schrieb Jaosch:
> >>> Welche mathematischen / physikalischen Erkenntnisse lassen sich daraus *ableiten*?
> >>>
> >> Was hast Du bisher zu dem Thema gelesen, außer Newsgroup-Gezeter?
> > Die Wikis über abzählbar und überabzählbar.
> >
> >> Wusstest Du, dass 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/n mit wachsendem n
> >> größer werden kann als jede vorgegebene Schranke? Also z.B. größer als 2023?
> >> Was kannst Du daraus ableiten?
> > Ehrlich gesagt nichts, weil das neN (abzählbar) ja auch eR ist (überabzählbar).
> > Und es gibt ja auch konvergierende Reihen, mit neN.
> >
> Hallo Jaosch, danke für die klare Antwort.
> Ich halte Vorgespräche dieser Art für wichtig, weil man dann besser
> weiß, was im Dialog vorausgesetzt werden kann.
>

Ja gerne.

> Hilfreich ist es auch, auf Fragen wirklich zu antworten.
> Ich hatte gefragt: "Weißt Du, dass ...", aber das hast Du nicht mit Ja
> oder Nein beantwortet, was schade ist. Immerhin kommen wir über solch
> einen Dialog näher an die Vorstellung von groß - riesig -

Ok verstehe. Vertraute Dir...

> googolplexquadrat - unendlich - noch unendlicher ...
>
> Zusatzfrage: ab welcher Zahl n ist die obige Summe wohl größer als 2023?
>

Hab's ausprobiert, ohne Erolg. Muss wohl sehr groß sein.

Auf die OT-Frage erhoffe ich mir eine Antwort in der Art:

Weil das Argument <blabla> als Element einer überabzählbaren Grundmenge angenommen werdeb kann (im Gegensatz zu Annahme einer abzählbaren Grundmenge), folgt, dass <blablub>......

Verstehst Du mein Anliegen?

jaosch

[Fritz Feldhase]

On Monday, October 2, 2023 at 5:05:27 PM UTC+2, Jaosch wrote:

"Unterschied abzählbar bzw. überabzahlbar unendlich. Was bringt das?"

Die Frage ist leider unklar. Meinst Du die Unterscheidung _zwischen_ abzählbar und überabzählbar unendlich?

Das bringt schon einiges im Kontext der Mathematik/Mengelehre. Insbesondere erlaubt es eine erste/grobe Klassifizierung unendlicher Mengen (eben in die abzählbaren und überabzählbaren).

> Welche mathematischen [...] Erkenntnisse lassen sich daraus *ableiten*?

Eine erste/frühe Erkenntnis war die, dass sich mit Hilfe dieser Begriffe beweisen lässt, dass es sog. transzendente Zahlen _gibt_ (_ja sogar unendlich viele von Ihnen_). Der entsprechende Beweis ist (wenn man einmal bewiesen hat, dass die Menge der algebraischen Zahlen abzählbar, aber die der reellen Zahlen überabzählbar ist) geradezu trivial.

Hier aus dem Wikipedia-Artikel "Transzendente Zahl":

"Joseph Liouville konnte 1844 als Erster die Existenz transzendenter Zahlen beweisen und mittels seiner konstruktiven Beweismethode explizite Beispiele liefern. [...]"

"Im Jahr 1874 konnte Georg Cantor nicht nur abermals die Existenz von transzendenten Zahlen beweisen, sondern sogar zeigen, dass es „mehr“ transzendente als algebraische Zahlen gibt. Im Gegensatz zu Liouville verwendete Cantors Existenzbeweis für transzendente Zahlen keine zahlentheoretischen Eigenschaften der algebraischen Zahlen, sondern ist (aus heutiger Sicht) rein mengentheoretischer Natur. Die mathematisch exakte Formulierung des Begriffs ‚mehr‘ war aber sicherlich das wichtigste Ergebnis von Cantors Arbeit, weil es das Wissen über das reelle Zahlensystem revolutionär vertiefte."

Hier wird ebenfalls auf Deine Frage Bezug genommen. (Siehe auch meine erste sehr allgemein gehaltene Antwort ganz oben.)

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Transzendente_Zahl

[JVR]

Die gesamte Analysis seit Newton und Leibniz, also seit mehr als 3 Jahrhunderten, funktioniert
nur mit kontinuierlichen Veränderlichen. Das betrifft insbesondere die gesamte klassische
theoretische Physik, mit Ausnahme der Thermodynamik. Jedes Kontinuum ist überabzählbar.
Die Physik, die auf diese Art beschrieben wird, ist aber keineswegs kontinuierlich; d.h. die
mathematische Beschreibung ist immer nur eine Näherung.

[Jaosch]

Fritz Feldhase schrieb am Montag, 2. Oktober 2023 um 18:47:42 UTC+2:
> On Monday, October 2, 2023 at 5:05:27 PM UTC+2, Jaosch wrote:
>
> "Unterschied abzählbar bzw. überabzahlbar unendlich. Was bringt das?"
>
> Die Frage ist leider unklar. Meinst Du die Unterscheidung _zwischen_ abzählbar und überabzählbar unendlich?
>

Ich meine "fruchtbare" Konsequenzen dieses Unterschieds. Deine Antworten unten treffen den Punkt (zumindest mathematisch).

> Das bringt schon einiges im Kontext der Mathematik/Mengelehre. Insbesondere erlaubt es eine erste/grobe Klassifizierung unendlicher Mengen (eben in die abzählbaren und überabzählbaren).
>
> > Welche mathematischen [...] Erkenntnisse lassen sich daraus *ableiten*?
>
> Eine erste/frühe Erkenntnis war die, dass sich mit Hilfe dieser Begriffe beweisen lässt, dass es sog. transzendente Zahlen _gibt_ (_ja sogar unendlich viele von Ihnen_). Der entsprechende Beweis ist (wenn man einmal bewiesen hat, dass die Menge der algebraischen Zahlen abzählbar, aber die der reellen Zahlen überabzählbar ist) geradezu trivial.
>
> Hier aus dem Wikipedia-Artikel "Transzendente Zahl":
>
> "Joseph Liouville konnte 1844 als Erster die Existenz transzendenter Zahlen beweisen und mittels seiner konstruktiven Beweismethode explizite Beispiele liefern. [...]"
>
> "Im Jahr 1874 konnte Georg Cantor nicht nur abermals die Existenz von transzendenten Zahlen beweisen, sondern sogar zeigen, dass es „mehr“ transzendente als algebraische Zahlen gibt. Im Gegensatz zu Liouville verwendete Cantors Existenzbeweis für transzendente Zahlen keine zahlentheoretischen Eigenschaften der algebraischen Zahlen, sondern ist (aus heutiger Sicht) rein mengentheoretischer Natur. Die mathematisch exakte Formulierung des Begriffs ‚mehr‘ war aber sicherlich das wichtigste Ergebnis von Cantors Arbeit, weil es das Wissen über das reelle Zahlensystem revolutionär vertiefte."
>
> Hier wird ebenfalls auf Deine Frage Bezug genommen. (Siehe auch meine erste sehr allgemein gehaltene Antwort ganz oben.)
>
> Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Transzendente_Zahl

Danke.
Dass es "mehr" transzendente als algebraische Zahlen gibt, kann einem schon das "Bauchgefühl" sagen. Für mich als Hobbyist sehr beeindruckend ist, dass dies mengentheoretisch beweisbar ist.

jaosch

[Jaosch]

Was dann für den Bereich kleiner Skalen bedeuten würde, dass man "anders" rechnen sollte, oder?
Gibt es dafür Quellen?
Danke auch für den Hinweis auf "Thermodynamik". Muss aber erst lesen.

jaosch

[Dieter Heidorn]

Jaosch schrieb:

Falls du mit den "kleinen Skalen" an Quantenmechanik denken solltest:
Da braucht man nicht "anders" zu rechnen als in der klassischen
Mathematik. Die Mathematik, die zur Beschreibung quantenmechanischer
Systeme benötigt wird, ist in der klassischen Mathematik enthalten.

Was in der QM "anders" ist als in der Newtonschen Mechanik, ist die
physikalische Modellierung der Welt im atomaren Größenbereich (und
darunter). Zur Formulierung dieser Modellierung und zum rechnen darin
bedient man sich dann aber klassischer Mathematik.

> Gibt es dafür Quellen?

Ein guter Überblick ist:

Hans Jürgen Korsch: Mathematik der Quantenmechanik.

Die erste Auflage von 2013 ist online einzusehen:

https://docplayer.org/115329168-Mathematik-quantenmechanik.html

Wirf' einmal einen Blick in das Inhaltsverzeichnis - da steht keine
speziell für kleine Skalen entwickelte "andere" Mathematik, sondern
klassische Mathematik, welche die hier schreibenden Mathematiker
"aus dem Ärmel schütteln" (und wir Physiker uns mühsam "nebenbei"
aneignen müssen...).

Dieter Heidorn

[Ganzhinterseher]

Jaosch schrieb am Montag, 2. Oktober 2023 um 17:05:27 UTC+2:
> Welche mathematischen / physikalischen Erkenntnisse lassen sich daraus *ableiten*?
>

Keine. Die Existenz von abzählbar unendlichen Mengen ist ein längst widerlegter Glaube matheologischer Fanatiker. Also gibt es auch keine Überabzählbarkeit.

Gruß, WM

[Tom Bola]

Der totalverblödete Clown WM saicht seinen abartigen Scheissdreck:

> Die Existenz von abzählbar unendlichen Mengen ist ein längst widerlegter Glaube
> matheologischer Fanatiker. Also gibt es auch keine Überabzählbarkeit.

Du einzelner Vollidiot glaubst fanatisch als einzelner Irrer
du habest irgendetwas widerlegt.

Lass gefälligst mal deine Dauerbesaichung mit den Termini "matheologischer Fanatiker",
du widerliche Drecksau.

[Hans Crauel]

Jaosch schrieb

> Auf die OT-Frage erhoffe ich mir eine Antwort in der Art:
> Weil das Argument <blabla> als Element einer überabzählbaren
> Grundmenge angenommen werdeb kann (im Gegensatz zu Annahme einer
> abzählbaren Grundmenge), folgt, dass <blablub>......

Der Zwischenwertsatz sagt, dass jede auf einem Intervall
definierte Funktion, die stetig ist und die einen positiven
Wert f(a) und einen negativen Wert f(b) annimmt, eine
zwischen a und b liegende Nullstelle hat, dass es also
ein x zwischen a und b mit f(x) = 0 gibt.

Diese Aussage würde nicht zutreffen, wenn die Funktionen
auf einer nur abzählbaren Menge definiert wären. Man muss
voraussetzen, dass sie auf einem Intervall definiert sind,
einer überabzählbaren Grundmenge.

Hans

[Rainer Rosenthal]

Am 02.10.2023 um 18:28 schrieb Jaosch:
>
> Verstehst Du mein Anliegen?
>
Ungefähr.
Du findest diese Unendlichkeitsdebatten interessant und möchtest gerne
mehr darüber wissen. Ich schaue mal zu, wie es Dir bei der Suche geht
und klinke mich ein, wenn ich es für hilfreich halte.

Gruß,
Rainer

[Jaosch]

Dieter Heidorn schrieb am Montag, 2. Oktober 2023 um 20:53:22 UTC+2:
> Jaosch schrieb:
> > JVR schrieb am Montag, 2. Oktober 2023 um 18:51:25 UTC+2:
>
> >> Die gesamte Analysis seit Newton und Leibniz, also seit mehr als 3 Jahrhunderten, funktioniert
> >> nur mit kontinuierlichen Veränderlichen. Das betrifft insbesondere die gesamte klassische
> >> theoretische Physik, mit Ausnahme der Thermodynamik. Jedes Kontinuum ist überabzählbar.
> >> Die Physik, die auf diese Art beschrieben wird, ist aber keineswegs kontinuierlich; d.h. die
> >> mathematische Beschreibung ist immer nur eine Näherung.
> >
> > Was dann für den Bereich kleiner Skalen bedeuten würde, dass man "anders" rechnen sollte, oder?
> Falls du mit den "kleinen Skalen" an Quantenmechanik denken solltest:
> Da braucht man nicht "anders" zu rechnen als in der klassischen
> Mathematik. Die Mathematik, die zur Beschreibung quantenmechanischer
> Systeme benötigt wird, ist in der klassischen Mathematik enthalten.
>

(Wieder mal) das Bauchgefühl könnte einem sagen, dass es einen Unterschied macht, ob man Einzelzusammenhänge über näherungsweise als kontinuierlich betrachtete Größen zusammenfasst und "nur" das Endergebnis "quantisiert", oder - im Gegensatz dazu - man jeden Einzelzusammenhang bereits vor einer Zusammenfassung "quantisiert" (weil es die reale physikalische Welt eigentlich erfordert) .

> Was in der QM "anders" ist als in der Newtonschen Mechanik, ist die
> physikalische Modellierung der Welt im atomaren Größenbereich (und
> darunter). Zur Formulierung dieser Modellierung und zum rechnen darin
> bedient man sich dann aber klassischer Mathematik.
>

Ok, und dass es funktioniert beweist ja die hohe Genauigkeit der Vorhersagen.

> > Gibt es dafür Quellen?
>
> Ein guter Überblick ist:
>
> Hans Jürgen Korsch: Mathematik der Quantenmechanik.
>
> Die erste Auflage von 2013 ist online einzusehen:
>
> https://docplayer.org/115329168-Mathematik-quantenmechanik.html
>
> Wirf' einmal einen Blick in das Inhaltsverzeichnis - da steht keine
> speziell für kleine Skalen entwickelte "andere" Mathematik, sondern
> klassische Mathematik, welche die hier schreibenden Mathematiker
> "aus dem Ärmel schütteln" (und wir Physiker uns mühsam "nebenbei"
> aneignen müssen...).
>

Wow, toller Link. Danke.

jaosch

[Jaosch]

Existenz?
Glaube?
"Abzählbarkeit" bzw. "Überabzählbarkeit" sind wohl eher *Begriffsdefinitionen* die aus durchaus nachvollziehbaren Betrachtungen resultieren, oder?

jaosch

[Jaosch]

Ja nachvollziehbar.

jaosch

[Jens Kallup]

Am 2023-10-02 um 22:28 schrieb Hans Crauel:
> Der Zwischenwertsatz sagt, dass jede auf einem Intervall definierte
> Funktion, die stetig ist und die einen positiven Wert f(a) und einen
> negativen Wert f(b) annimmt, eine zwischen a und b liegende Nullstelle
> hat, dass es also ein x zwischen a und b mit f(x) = 0 gibt.

Nullstelle würde ich hier anders benennen, weil "Nullstelle"
doch in Verbindung mit Polynomen verwendet werden - oder liege
ich da jetzt falsch ?

Ich würde daher sagen, statt Nullstelle: "... einen Wert, der
Null annimmt ..." (oder so...).

kann mich auch täuschen.

Jens

--
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www.avast.com

[Jens Kallup]

Hallo Jaosch,

laß Dich nicht von WM ins Boxhorn laufen - er ist ein
Semi-Prefosser. Als solches haben diese Leute wie er,
die an einer Fachschule, Hochschule oder Universität
angestellt sind einen "Lehrauftrag".

Und als solches müssen sie die Schule gegenüber der
marktwirtschaftlichen Situation, und (ich sag jetzt
mal naiv) Sponsoren aus der Wirtschaft Erfolge durch
gute Noten und so erbringen.

Sonst ist a) aus die Maus für den Lehrer, und b) dann
ist aus die Maus für den Lehrstuhl, und c) dann ist
aus die Maus der Schule.

Viele sagen auch dazu:
a) Ohne Moos nichts los.
b) Butter bei den Fischen geben.
c) Man beißt nicht der/die fütternde Hand.
etc. pp..

[Stefan Schmitz]

Am 03.10.2023 um 09:43 schrieb Jens Kallup:
> Am 2023-10-02 um 22:28 schrieb Hans Crauel:
>> Der Zwischenwertsatz sagt, dass jede auf einem Intervall definierte
>> Funktion, die stetig ist und die einen positiven Wert f(a) und einen
>> negativen Wert f(b) annimmt, eine zwischen a und b liegende Nullstelle
>> hat, dass es also ein x zwischen a und b mit f(x) = 0 gibt.
>
> Nullstelle würde ich hier anders benennen, weil "Nullstelle"
> doch in Verbindung mit Polynomen verwendet werden - oder liege
> ich da jetzt falsch ?

Eine Nullstelle eines Polynoms ist die, wo ihr Funktionswert 0 ist.
Genau wie oben für allgemeines f erwähnt.

[Rainer Rosenthal]

Wirklich?
Mach mal ein Beispiel für eine stetige Funktion f, die auf einer
abzählbaren Menge definiert ist. Diese Funktion f soll bei a und b (a <
b) die Ungleichungen f(a) > 0 und f(b) < 0 erfüllen, und Du zeigst dann,
dass es kein x mit a < x < b gibt, für das f(x) = 0 ist.

Dann hast Du wirklich nachvollzogen.
Bei mir - ich muss es beschämt gestehen - beginnen die Schwierigkeiten
bereits damit, dass ich stetige Funktionen auf abzählbaren Mengen so
selten gesehen habe, dass ich so ein f nicht auf Anhieb hervorzaubern kann.

Gruß,
RR

[Carlo XYZ]

Hans Crauel schrieb am 02.10.23 um 22:28:

Hängt das nicht - unfairerweise - vom Stetigkeitsbegriff ab?

Ich könnte mir einen auf R vorstellen, so dass der ZW-Satz gilt.

Für Z scheint es jedenfalls relativ einfach zu gehen:

f:Z\to Z heiße stetig, wenn stets |z1-z2|<=1 => |f(z1)-f(z2)|<=1

(Nur ins Unreine gedacht, muss ich zugeben.)

[Hans Crauel]

Rainer Rosenthal schrieb

> Mach mal ein Beispiel für eine stetige Funktion f, die auf einer
> abzählbaren Menge definiert ist.

Nimm einfach eine stetige Funktion von R nach R (oder
sonstwohin) und schränke den Definitionsbereich auf die
rationalen Zahlen Q ein.

Die Einschränkung einer stetigen Funktion auf eine
Teilmenge des Definitionsbereichs ist stetig (bzgl.
der Teilraum-Topologie; bei einem metrischen Raum
kann man sich dazu einfach auf die Einschränkung der
Metrik auf der Teilmenge beziehen).

Und schon hat man eine stetige Funktion, die auf

einer abzählbaren Menge definiert ist.

> Diese Funktion f soll bei a und b (a < b) die
> Ungleichungen f(a) > 0 und f(b) < 0 erfüllen, und
> Du zeigst dann, dass es kein x mit a < x < b gibt,
> für das f(x) = 0 ist.

Dazu nimm etwa die durch f(x) = 2 - x^2 gegebene
Funktion mit a = 0, also f(a) = 2 > 0 sowie b = 2,
also f(b) = -2 < 0.
In Q gibt es jedoch kein x mit f(x) = 2 - x^2 = 0,
weil es keine rationale Zahl q mit q^2 = 2 gibt.

> Dann hast Du wirklich nachvollzogen.
> Bei mir - ich muss es beschämt gestehen - beginnen die Schwierigkeiten
> bereits damit, dass ich stetige Funktionen auf abzählbaren Mengen so
> selten gesehen habe, dass ich so ein f nicht auf Anhieb hervorzaubern kann.

Ein weiteres Beispiel erhält man mit der durch cos
auf Q gegebenen Funktion. Die erste positive
Nullstelle von cos auf R ist pi/2, ebenfalls nicht
rational.
Tatsächlich wird pi damit mathematisch sauber definiert:

Definiere erst die Exponentialfunktion exp auf C über
die Potenzreihe, dann cos(x) als Realteil von exp(ix)
erst auf C, dann auf R. Stelle fest, dass cos(0) = 1
sowie dass cos negative Werte annimmt. Dann nutze den
Zwischenwertsatz, um Existenz einer positiven Nullstelle
zu erhalten. Nimm von diesen die erste und definiere
pi als das Zweifache dieser Nullstelle.

Hans

[Hans Crauel]

Carlo XYZ schrieb

> Hans Crauel schrieb am 02.10.23

>> Der Zwischenwertsatz sagt, dass jede auf einem Intervall
>> definierte Funktion, die stetig ist und die einen positiven
>> Wert f(a) und einen negativen Wert f(b) annimmt, eine
>> zwischen a und b liegende Nullstelle hat, dass es also
>> ein x zwischen a und b mit f(x) = 0 gibt.
>>
>> Diese Aussage würde nicht zutreffen, wenn die Funktionen
>> auf einer nur abzählbaren Menge definiert wären. Man muss
>> voraussetzen, dass sie auf einem Intervall definiert sind,
>> einer überabzählbaren Grundmenge.
>
> Hängt das nicht - unfairerweise - vom Stetigkeitsbegriff ab?

Wenn man beim Stetigkeitsbegriff "Urbilder offener Mengen
sind offen" bleibt, hängt es davon nicht ab. Möglicherweise
allerdings davon, welche Mengen als offen betrachtet werden,
also von der Topologie. Lässt man im Definitionsbereich mehr
offene oder im Bildbereich weniger offene Mengen zu, erhält
man jeweils mehr stetige Funktionen.
Bleibt man bei der üblichen Topologie, gegeben durch die
Abstandsmetrik, so gilt der Zwischensatz.

> Ich könnte mir einen auf R vorstellen, so dass der ZW-Satz gilt.

Da scheint ein "nicht" abhanden gekommen zu sein.

> Für Z scheint es jedenfalls relativ einfach zu gehen:
>
> f:Z\to Z heiße stetig, wenn stets |z1-z2|<=1 => |f(z1)-f(z2)|<=1
>
> (Nur ins Unreine gedacht, muss ich zugeben.)

Nicht ganz. damit wäre f(z) = 2z nicht stetig.
Nimmt man < anstelle von <=, so geht es.
Das liegt eigentlich daran, dass die Einschränkung der R-Topologie
auf Z die Potenzmenge von Z ist, also die größtmögliche Topologie.
Bezüglich dieser Topologie auf dem Definitionsbereich ist jede
Funktion stetig.
Auf Z gilt der Zwischenwertsatz natürlich nicht. Er gilt ja
nicht einmal auf Q.

Hans

[Jens Kallup]

cos(alpha) = sin(beta).

sinus ist der Kehrwert von cosinus ?
cosinus ist der Kehrwert von sinus ?

C == S. assoc.: S == C.

bijektiv ?

[Stefan Schmitz]

Am 03.10.2023 um 13:11 schrieb Jens Kallup:
> cos(alpha) = sin(beta).
>
> sinus ist der Kehrwert von cosinus ?
> cosinus ist der Kehrwert von sinus ?

Weder Kehrwert noch Umkehrfunktion.

cos(alpha) = sin(alpha + pi/2)

> C == S.   assoc.:   S == C.

Was soll das heißen?

> bijektiv ?

Nur mit passender Einschränkung des Definitionsbereichs.

[Carlo XYZ]

Hans Crauel schrieb am 03.10.23 um 13:03:

> Carlo XYZ schrieb
>
>> Hans Crauel schrieb am 02.10.23
>>> Der Zwischenwertsatz sagt, dass jede auf einem Intervall
>>> definierte Funktion, die stetig ist und die einen positiven
>>> Wert f(a) und einen negativen Wert f(b) annimmt, eine
>>> zwischen a und b liegende Nullstelle hat, dass es also
>>> ein x zwischen a und b mit f(x) = 0 gibt.
>>>
>>> Diese Aussage würde nicht zutreffen, wenn die Funktionen
>>> auf einer nur abzählbaren Menge definiert wären. Man muss
>>> voraussetzen, dass sie auf einem Intervall definiert sind,
>>> einer überabzählbaren Grundmenge.
>>
>> Hängt das nicht - unfairerweise - vom Stetigkeitsbegriff ab?
>
> Wenn man beim Stetigkeitsbegriff "Urbilder offener Mengen
> sind offen" bleibt, hängt es davon nicht ab. Möglicherweise
> allerdings davon, welche Mengen als offen betrachtet werden,
> also von der Topologie. Lässt man im Definitionsbereich mehr
> offene oder im Bildbereich weniger offene Mengen zu, erhält
> man jeweils mehr stetige Funktionen.

Klar, that's what I mean. "Unfairerweise".

> Bleibt man bei der üblichen Topologie, gegeben durch die
> Abstandsmetrik, so gilt der Zwischensatz.
>
>> Ich könnte mir einen auf R vorstellen, so dass der ZW-Satz gilt.
>
> Da scheint ein "nicht" abhanden gekommen zu sein.
>
>> Für Z scheint es jedenfalls relativ einfach zu gehen:
>>
>> f:Z\to Z heiße stetig, wenn stets |z1-z2|<=1 => |f(z1)-f(z2)|<=1
>>
>> (Nur ins Unreine gedacht, muss ich zugeben.)
>
> Nicht ganz. damit wäre f(z) = 2z nicht stetig.
> Nimmt man < anstelle von <=, so geht es.

Das ist zu simpel, weil [z1-z2|<1 sofort z1=z2 impliziert.
(Auf Z!)

f(z)=2z ist in der Tat nicht stetig im obigen Sinn. Die
Folgerung des ZW-Satzes gilt zufälligerweise trotzdem, weil
f(z)=0 und f(z)<0 (f(z)>0) nur links (rechts) davon vorkommen kann.
Aber es gibt auch im obigen Sinne nicht-stetige Funktionen, für
die die Folgerung des ZW-Satzes nicht gilt, z.B. f(z)=2z+1.

(Ob man o.g. Begriff in irgendeine Topologie -- auf Z natürlich,
nicht auf R -- verpacken kann, habe ich nicht nachgeprüft.)

> Auf Z gilt der Zwischenwertsatz natürlich nicht. Er gilt ja
> nicht einmal auf Q.

Bitte kopple dich mal kurzzeitig von R ab :-)

[Jens Kallup]

Am 2023-10-03 um 13:29 schrieb Stefan Schmitz:
> Am 03.10.2023 um 13:11 schrieb Jens Kallup:
>> cos(alpha) = sin(beta).

>> C == S.   assoc.:   S == C.

> Was soll das heißen?

dass es die gleichen Bilder/Graphen sind.

>> bijektiv ?
>
> Nur mit passender Einschränkung des Definitionsbereichs.

wieso mit "plus pi/2" ?

irgendwie habe ich das Gefühl, das viele hier zu weit oben
Denken...
Macht doch die Sache nicht komplizierter als es ist.

Beispiel:
---------
DM = f(a) = cos(alpha). oder: DM: f(a) = sin(alpha).
BM = f(b) = sin(beta ). oder: BM: f(b) = cos(beza ).

+ y
|
|\
a | \ c
| *
|___\___ +x

b

a = 5.
b = 5.
c = a ^2 + b ^2.

Winkel alpha = 45 Grad => sin(90) = 1.
- Winkel beta = 45 Grad => sin(90) = 1.
----------------------------------------
= Winkel gamma = 90 Grad => cos(90) = 0.

- Winkel alpha wird nach Winkel beta portiert/umgesetzt
(wir erinnern uns: "Einfallswinkel" (plus) ist gleich dem
"Ausfallwinkel" (minus)) !

einfachste Methodtik - Pythagoras-Satz:
---------------------------------------
= 5 ^2 + 5 ^2 => c
= 25 + 25 => c
= 50 => c
--------------------

- Ali nicht dummni
- Ali nix Taschenrechner
- Ali nix Sinus- oder Cosinus-Satz
- Ali im Kopp gelöst

Euer Schreiberling, Ali, ehm Jens

[Carlo XYZ]

Carlo XYZ schrieb am 03.10.23 um 13:42:

> f(z)=0 und ...
f(0)=0 und ...

[Dieter Heidorn]

Jens Kallup schrieb:

> Am 2023-10-03 um 13:29 schrieb Stefan Schmitz:
>> Am 03.10.2023 um 13:11 schrieb Jens Kallup:
>>> cos(alpha) = sin(beta).
>>> C == S.   assoc.:   S == C.
>
>> Was soll das heißen?
>
> dass es die gleichen Bilder/Graphen sind.
>
>>> bijektiv ?
>>
>> Nur mit passender Einschränkung des Definitionsbereichs.
>
> wieso mit "plus pi/2" ?
>
> irgendwie habe ich das Gefühl, das viele hier zu weit oben
> Denken...
> Macht doch die Sache nicht komplizierter als es ist.

Du darfst sie aber auch nicht einfacher machen wollen als sie ist,
denn dann wird's leider falsch.

Schau' dir erst einmal die Definition der Winkelfunktionen Sinus,
Cosinus und Tangens an:

https://studyflix.de/mathematik/winkelfunktionen-2060

Mehr über die Eigenschaften dieser Funktionen (die man auch unter dem
Begriff "trigonometrische Funktionen" zusammenfasst) findest du hier:

https://studyflix.de/mathematik/sinusfunktion-1986

https://studyflix.de/mathematik/trigonometrische-funktionen-2034

Dieter Heidorn

[Rainer Rosenthal]

Am 03.10.2023 um 12:44 schrieb Jaosch, inspiriert von Hans Crauel:
> Rainer Rosenthal schrieb
>
>> Mach mal ein Beispiel für eine stetige Funktion f, die auf einer
>> abzählbaren Menge definiert ist.
>
> Nimm einfach eine stetige Funktion von R nach R (oder
> sonstwohin) und schränke den Definitionsbereich auf die
> rationalen Zahlen Q ein.

> Und schon hat man eine stetige Funktion, die auf
> einer abzählbaren Menge definiert ist.

Hallo Jaosch, das ist schon mal ein sehr guter Start.
Bin gespannt, welche Funktion Du nun als Beispiel geben wirst.

>> Diese Funktion f soll bei a und b (a < b) die
>> Ungleichungen f(a) > 0 und f(b) < 0 erfüllen, und
>> Du zeigst dann, dass es kein x mit a < x < b gibt,
>> für das f(x) = 0 ist.
>
> Dazu nimm etwa die durch f(x) = 2 - x^2 gegebene
> Funktion mit a = 0, also f(a) = 2 > 0 sowie b = 2,
> also f(b) = -2 < 0.

Perfekte Fortsetzung. Wenn Du jetzt noch zeigst, dass zwischen a = 0 und
b = 2 kein Punkt x des nur noch abzählbaren Definitionsbereichs liegt,
für den f(x) = 0 ist, dann hast Du die gestellte Übungsaufgabe
hervorragend gemeistert, chapeau!

> In Q gibt es jedoch kein x mit f(x) = 2 - x^2 = 0,
> weil es keine rationale Zahl q mit q^2 = 2 gibt.
>

Wow, exakt! Das war der Schlussstein auf einem Beweisgebäude der guten
Art. Weiter so! Eine erste Antwort auf "was bringt das?" hast Du damit
bereits gegeben: es bringt "AHA"-Erlebnisse.

>> Dann hast Du wirklich nachvollzogen.

So ist es.
Alles Gute weiterhin.

Gruß,
Rainer

[Carlo XYZ]

PS, erst gar nicht gesehen:

Hans Crauel schrieb am 03.10.23 um 13:03:

> Carlo XYZ schrieb

>> Ich könnte mir einen auf R vorstellen, so dass der ZW-Satz gilt.
>
> Da scheint ein "nicht" abhanden gekommen zu sein.

Nein, das R sollte ein Q sein. (*sigh* & sorry)

[Jaosch]

Rainer Rosenthal schrieb am Dienstag, 3. Oktober 2023 um 15:39:39 UTC+2:
> Am 03.10.2023 um 12:44 schrieb Jaosch, inspiriert von Hans Crauel:

...
Was soll das? Das Beispiel stammt nicht von mir.
Aber es freut mich, dass Du ein AHA-Erlebnis hattest.
Trotzdem, alles, alles Gute Dir auch.

jaosch

[Rainer Rosenthal]

Hallo Jaosch,

ich hatte Dich gebeten, ein Beispiel zu nennen, nachdem Du
"Ja nachvollziehbar" geschrieben hattest (03.10.2023 um 07:03).
Was Du da als nachvollziehbar bezeichnet hattest (*), war keinesfalls
trivial, und mit meiner skeptischen Frage "Wirklich?" wollte ich mit Dir
weiter ins Gespräch kommen, um Dich dazu zu bringen, nicht einfach nur
zustimmende Kommentare zu geben, sondern nachzufragen.
Da hat dann aber Hans Crauel dazwischen gegrätscht, und ich habe seinen
sauber formulierten Gedankengang noch einmal zitiert, wobei ich zum Spaß
("inspiriert von Hans Crauel") so getan habe, als hättest Du das
geschrieben. Falls Du Dir die Mühe machst, nun nochmal zu lesen, dann
könntest Du ein AHA gewinnen, oder doch zumindest weitere Fragen
stellen, statt von "Bauchgefühl" zu reden, was in diesem Zusammenhang
eher nichts zu suchen hat. In Mathematik bauen die Erkenntnisse
aufeinander auf, weshalb es sehr empfehlenswert ist, die
Grundvorlesungen mit Übungen zu besuchen. Ohne passende Sprache und
Notation bleibt es bei Bauchgefühl und Bla-Bla bis hin zu Augsburger
Sektierertum.

Gruß,
RR

(*)

[Jaosch]

...
Wow, wie kämpferisch!
Leider stösst mich Dein "Spaß" extrem ab und daher ist mir der Rest auch vollkommen wurscht.
EOD

[Hans Crauel]

Carlo XYZ schrieb

>>> Für Z scheint es jedenfalls relativ einfach zu gehen:
>>> f:Z\to Z heiße stetig, wenn stets |z1-z2|<=1 => |f(z1)-f(z2)|<=1

Das hat aber mit der üblichen "echten" Definition von Stetigkeit
im allgemeinen Fall nahezu nichts zu tun.
Bei dieser wird "für jedes eps > 0 gibt es ein delta > 0"
gefordert, wohingegen dein Vorschlag "für eps = 1 tut es delta = 1"
lautet.
Speziell im Fall f:Z\to Z läuft es auf Lipschitz-stetig mit
L-Konstante 1 hinaus (mit Einbringung der Dreiecksungleichung
und bezüglich der Abstandsmetrik).

[zu "<" anstelle von "<="]

>
> Das ist zu simpel, weil [z1-z2|<1 sofort z1=z2 impliziert.
> (Auf Z!)

Ja. Und für z ungleich v impliziert |z-v|<=1 sofort |z-v|=1,
also v=z+1 oder v=z-1.

> f(z)=2z ist in der Tat nicht stetig im obigen Sinn. Die
> Folgerung des ZW-Satzes gilt zufälligerweise trotzdem, weil
> f(z)=0 und f(z)<0 (f(z)>0) nur links (rechts) davon vorkommen kann.
> Aber es gibt auch im obigen Sinne nicht-stetige Funktionen, für
> die die Folgerung des ZW-Satzes nicht gilt, z.B. f(z)=2z+1.

Auch f(0) = 1, f(z) = sign(z) für z ungleich 0, tut es,
ebenso wie auch g(z) = f(z-z0) für ein beliebiges z0.

> (Ob man o.g. Begriff in irgendeine Topologie -- auf Z natürlich,
> nicht auf R -- verpacken kann, habe ich nicht nachgeprüft.)

Jedenfalls nicht mit Topologien, so dass die Multiplikation
(von Z x Z nach Z) stetig ist. Bei "echter Stetigkeit" müsste
das Produkt zweier stetiger Funktionen dann wieder stetig
sein. Das Produkt von f(z) = z, welches deiner Bedingung genügt,
mit sich selbst gibt z -> z^2, welches der Bedingung jedoch
nicht genügt. Es kann also eine derartige Topologie auf Z
nicht geben.

Wobei bezüglich der Topologie, die Z von R erhält, sowieso
alle Funktionen stetig sind, insbesondere also auch die, die
deiner Bedingung genügen (die bezüglich der Abstandsmetrik
überdies Lipschitz sind).

Hans

[Ganzhinterseher]

Ja, deswegen sind sie auch so weit verbreitet. Habe ich früher auch gelernt und gelehrt. Inzwischen weiß ich, dass die Voraussetzung der Abzählung aller Brüche auf die Frage reduziert werden kann, ob man durch Hinundherschieben der X in der Matrix

XO
XO

alle Felder mit X bedecken kann. Denn wenn man die Matrix aller positiven Brüche hernimmt

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ...
...

und die Ganzzahlbrüche X zur Indizierung aller Brüche verwendet

XOOO...
XOOO...
XOOO...
XOOO...
...

dann müsste genau dies erfolgen - jedenfalls wenn die Matrix von Anfang an fest und vollständig ist.

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Tuesday, October 3, 2023 at 9:39:57 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> Inzwischen weiß ich, dass die Voraussetzung der Abzählung aller Brüche auf die Frage reduziert werden kann, ob man durch Hinundherschieben der X in der Matrix
>
> XO
> XO
>
> alle Felder mit X bedecken kann. Denn wenn man die Matrix aller positiven Brüche hernimmt
>
> 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
> 2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
> 3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
> 4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
> 5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ...
> ...
>
> und die Ganzzahlbrüche X zur Indizierung aller Brüche verwendet
>
> XOOO...
> XOOO...
> XOOO...
> XOOO...
> ...
>
> dann müsste genau dies erfolgen - jedenfalls wenn die Matrix von Anfang an fest und vollständig ist.

Nein, Mückenheim, es genügt dazu eine Matrix zu betrachten, die die Ganzahlbrüche (und nur diese) in einer anderen "Anordnung" enthält als Deine Matrix oben (da muss man nichts "hinundherschieben"):

1/1, 2/1, 4/1, ...
3/1, 5/1, 8/1, ...
6/1, 9/1, 13/1, ...
...

Offensichtlich sind nun die Brüche in Deiner Matrix den Ganzzahlbrüchen ein-eindeutig zugeordnet (und auf diese Weise die Brüche in Deiner Matrix "indiziert").

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 3. Oktober 2023 um 22:04:35 UTC+2:
> On Tuesday, October 3, 2023 at 9:39:57 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
>
> > Inzwischen weiß ich, dass die Voraussetzung der Abzählung aller Brüche auf die Frage reduziert werden kann, ob man durch Hinundherschieben der X in der Matrix
> >
> > XO
> > XO
> >
> > alle Felder mit X bedecken kann. Denn wenn man die Matrix aller positiven Brüche hernimmt
> >
> > 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
> > 2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
> > 3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
> > 4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
> > 5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ...
> > ...
> >
> > und die Ganzzahlbrüche X zur Indizierung aller Brüche verwendet
> >
> > XOOO...
> > XOOO...
> > XOOO...
> > XOOO...
> > ...
> >
> > dann müsste genau dies erfolgen - jedenfalls wenn die Matrix von Anfang an fest und vollständig ist.
> Nein, Mückenheim, es genügt dazu eine Matrix zu betrachten, die die Ganzahlbrüche (und nur diese) in einer anderen "Anordnung" enthält als Deine Matrix oben (da muss man nichts "hinundherschieben"):

Die Betrachtung führt in die Irre. Wenn die Cantorsche Behauptung richtig wäre, dass eine Bijektion zwischen Brüchen und Ganzzahlbrüchen zustandegebracht werden kann, dann würde genau diese Matrix

>
> 1/1, 2/1, 4/1, ...
> 3/1, 5/1, 8/1, ...
> 6/1, 9/1, 13/1, ...
> ...
>

durch das Hinundherschieben produzierbar sein. Und in der Tat ist das ja auch möglich. Nur vergisst Du bei Einrichtung dieser Anordnung, dass die Ganzzahlbrüche ja irgendwo entnommen werden, nämlich aus der ersten Spalte.

Es ist aber klar, dass die erste Spalte nicht länger als die anderen Spalten ist. Also werden die Ganzzahlbrüche nicht ausreichen. Sie reichen lediglich hin, einen kleinen Klecks ähnlich der Beuysschen Fettecke zu erzeugen, die geeignet ist, den Blick zu trüben. In jedem Falle wird die Nebendiagonale der Matrix niemals erreicht, also werden nicht alle Brüche indiziert.

> Offensichtlich sind nun die Brüche in Deiner Matrix den Ganzzahlbrüchen ein-eindeutig zugeordnet (und auf diese Weise die Brüche in Deiner Matrix "indiziert").

Soweit sichtbar, ja. Du könntest mit dieser Methode aber auch nur die erste Zeile bedecken, oder irgendeine andere Spalte, und auch dort, wenn Du wolltest, nur jede 10^10^100te Zahl, und trotzdem würdest Du an eine Bijektion glauben.

Nein, dieser Glaube verlangt, dass einmal alles in eine Spalte passt, ein andermal alle Spalten überdeckt. Er ist zu dumm, um an ihm festzuhalten.

Und außerdem verlangt er, dass inklusionsmonotone Folgen unendlicher Mengen einen leeren Schnitt haben können und dass unendlich viele Stammbrüche vor jedem positiven x liegen und dass im Binären Baum mehr Pfade als Knoten existieren und dass Dagobert Duck Pleite geht. Es wird Zeit, die Mathematik wieder zu versachlichen.

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Tuesday, October 3, 2023 at 10:04:35 PM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:

> [...] es genügt dazu eine Matrix zu betrachten, die die Ganzahlbrüche (und nur diese) in einer anderen "Anordnung" enthält als Deine Matrix oben (da muss man nichts "hinundherschieben"):

>
> 1/1, 2/1, 4/1, ...
> 3/1, 5/1, 8/1, ...
> 6/1, 9/1, 13/1, ...
> ...

Dies lässt sich in mathematisch sauberer/korrekter Weise ganz einfach als die "Matrix" (m_i,j)_(i,j e IN) mit m_i,j = i + ((i + j − 1) (i + j − 2))/2 (für alle i, j e IN) definieren.

„Es hat nämlich die Funktion μ + ((μ + ν − 1) (μ + ν − 2))/2, wie leicht zu zeigen, die bemerkenswerte Eigenschaft, dass sie alle positiven ganzen Zahlen und jede nur einmal darstellt, wenn in ihr μ und ν unabhängig voneinander ebenfalls jeden positiven, ganzzahligen Wert erhalten.“ (G. Cantor).

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 3. Oktober 2023 um 22:37:45 UTC+2:
> On Tuesday, October 3, 2023 at 10:04:35 PM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:
>
> > [...] es genügt dazu eine Matrix zu betrachten, die die Ganzahlbrüche (und nur diese) in einer anderen "Anordnung" enthält als Deine Matrix oben (da muss man nichts "hinundherschieben"):
> >
> > 1/1, 2/1, 4/1, ...
> > 3/1, 5/1, 8/1, ...
> > 6/1, 9/1, 13/1, ...
> > ...
> Dies lässt sich in mathematisch sauberer/korrekter Weise ganz einfach als die "Matrix" (m_i,j)_(i,j e IN) mit m_i,j = i + ((i + j − 1) (i + j − 2))/2 (für alle i, j e IN) definieren.

Würde das Verfahren alle Felder füllen, so könnte man jeden einzelnen Zug verfolgen. Würden Matheologen ehrlich sein, so würden sie dies zulassen (und merken, dass es nicht funktionieren kann).

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Am 03.10.2023 um 17:33 schrieb Jaosch:

> EOD

Tschüss

[Fritz Feldhase]

On Tuesday, October 3, 2023 at 10:28:45 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> Wenn die Cantorsche Behauptung richtig wäre, dass eine Bijektion zwischen Brüchen und Ganzzahlbrüchen [existiert], dann würde genau diese Matrix

> >
> > 1/1, 2/1, 4/1, ...
> > 3/1, 5/1, 8/1, ...
> > 6/1, 9/1, 13/1, ...
> > ...
> >

> durch das Hinundherschieben [- genauer Paarverauchungen - aus der usprünglichen Matrix] produzierbar sein.

Nein, die Behauptung ist (wie man leicht zeigen kann) falsch.

> Und in der Tat ist das ja auch möglich.

Nein, das ist nicht möglich. Hinweis: Keine Matrix in Deier Folge wird je O-frei sein.

> [Du] vergisst [...] dass die Ganzzahlbrüche ja irgendwo entnommen werden, nämlich aus der ersten Spalte.

Nein, die werden da nicht "entnommen". Allerdings kann man sagen, dass sie in der ersten Spalte Deiner Matrix "stehen". Während sie in _meiner_ Matrix die (sämtliche) Elemente der Matrix sind ("bilden"). (Meine Güte: "entnommen" <facepalm>!)

> Es ist aber klar, dass die erste Spalte nicht länger als die anderen Spalten ist.

Hat das jemand behauptet?

> Also werden die Ganzzahlbrüche nicht ausreichen.

Wie, was?

Doch, doch sie reichen wunderbar aus, denn es gibt aleph_0 Ganzzahlbrüche (natürliche Zahlen) und, wie Cantors Beweis zeigt, auch (nur) aleph_0 Brüche (insgesamt).

> In jedem Falle wird die Nebendiagonale der Matrix niemals erreicht,

Welche "Nebendiagonale"?! Wo soll die denn sein?! Hinweis: Diese "Matrix" HAT KEINE "Nebendiagonale", Du Depp. [Nebelkerze?]

> also werden nicht alle Brüche indiziert.

ich hatte es eben schon gesagt: Ex falso quodlibet.

In Deinem Fall müsste es aber eher heißen: Ex "nonsense" quodlibet.

Dein Geschwafel spottet wirklich JEDER Beschreibung. Ich frage mich immer wieder: Kann ein geistig gesunder Mensch, so eine Scheiße daherlaber. Meine Antwort auf diese Frage ist immer die gleiche: /nein/.

> > Offensichtlich sind nun die Brüche in Deiner Matrix den Ganzzahlbrüchen ein-eindeutig zugeordnet (und auf diese Weise die Brüche in Deiner Matrix "indiziert").
> >
> Soweit sichtbar, ja.

WTF?!

Mathematik basiert nicht auf "Sichtbarem", Du Spinner.

> Du könntest mit dieser Methode aber auch nur die erste Zeile bedecken, oder irgendeine andere Spalte, und auch dort, wenn Du wolltest, nur jede 10^10^100te Zahl, und

[hättest auf diese Weise eine Bijektion zwischen IN und dern Menge der Element in der ersten Zeile, irgendeine andere Spalte, etc. hergestellt --FF].

Ja und? Das ist ja auch richtig so.

Du scheinst es wirlich nicht zu verstehen. Damit bleibst Du sogar noch hinter BOLZANO zurück.

"One wonders by what the author would like to replace the mathematics created in the last 2500 years; if one takes Prof. Mückenheim seriously, then a fitting picture for the last page of this book ["Die Mathematik des Unendlichen"] would be the Ishango bone." (Franz Lemmermeyer)

> Nein, dieser <blubber>

Dein Polemisieren hat weder mit Deinem sog. "Beweis" zu tun, noch mit meinen Darlegungen im letzten Beitrag.

> Und außerdem

Was auch immer, Mückenheim.

Jedenfalls beweist Dein sog. "Beweis" genau GAR NICHTS; außer vielleicht Deine exorbitante Blödheit.

[Fritz Feldhase]

On Tuesday, October 3, 2023 at 10:45:27 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> Würde das Verfahren alle Felder füllen

??? Wir "füllen" hier nichts (insbesondere keine Badewannen), Mückenheim.

Ähnlich füllen wir auch IN nicht, indem wir erst mal 1 reinpacken und dann für jedes n, das schon drin ist, auch noch n+1 hineinpacken (bis IN voll ist).

> so könnte man jeden einzelnen Zug verfolgen.

Nein, niemand (außer Chuck Norris) kann "jeden Zug verfolgen", wenn es z. B. um die Menge IN geht für die (u. a.) gilt: 1 e IN und für jedes n e IN: n+ 1 e IN.

Bei der der von Cantor angegebenen Bijektion (die sog. Cantorsche Paarungsfunktion) geht es auch nicht um "Verfolgbarkeit" (Schritt für Schritt, für alle Schritte), sondern lediglich um _Beweisbarkeit_. (Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Cantorsche_Paarungsfunktion)

Offenbar hast Du (weil Du die ersten Mathe-Vorlesungen verpasst hast), nie mitbekommen, dass es einen Unterschied gibt zwischen einem BEWEIS und EMPIRISCHER BESTÄTIGUNG.

In der Mathematik setzt man auf ersteres, in einer Naturwissenschaft (wie z. B. der Physik) eher auf letzteres.

[Tom Bola]

Fritz Feldhase schrieb:

Auch du bist "exorbitant" blöde bezüglich deiner Handlungsbahnen...

Du musst nicht "scheissen gehen" wie du unermüdlich billig daherfaselst,
sondern lieber dir regelmässig einen runterholen - vielleicht hat das ja
einen Einfluss auf deinen "exorbitant" idiotisch-kranken Mitteilungszwang.

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, October 4, 2023 at 12:09:28 AM UTC+2, Tom Bola wrote: [irgendwas]

Ah ja.

[Tom Bola]

Fritz Feldhase schrieb:

> On Wednesday, October 4, 2023 at 12:09:28 AM UTC+2, Tom Bola wrote:

> [irgendwas]

Das hier

> Jedenfalls beweist Dein sog. "Beweis" genau GAR NICHTS; außer vielleicht Deine exorbitante Blödheit.

Auch du bist "exorbitant" blöde bezüglich deiner Handlungsbahnen...

Du musst nicht "scheissen gehen" wie du unermüdlich billig daherfaselst,
sondern lieber dir regelmässig einen runterholen - vielleicht hat das ja
einen Einfluss auf deinen "exorbitant" idiotisch-kranken Mitteilungszwang.

> Ah ja.

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, October 4, 2023 at 12:22:27 AM UTC+2, Tom Bola wrote: [schon wieder was]

Ah ja.

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, October 4, 2023 at 12:26:10 AM UTC+2, Fritz Feldhase wrote: Ah ja.

> On Wednesday, October 4, 2023 at 12:22:27 AM UTC+2, Tom Bola wrote: [schon wieder was]

Nachtrag:

Wie wäre es, wenn Du [TB] auch mal etwas im Sinne der Gruppen-Charta schreiben würdest? Irgendwas.

[Tom Bola]

Fritz Feldhase schrieb:

Du bist ein Idiot.

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, October 4, 2023 at 12:29:45 AM UTC+2, Tom Bola wrote:
> Fritz Feldhase schrieb:

> >
> > Nachtrag:
> >
> > Wie wäre es, wenn Du [TB] auch mal etwas im Sinne der Gruppen-Charta schreiben würdest? Irgendwas.
> >
> Du bist ein Idiot.

Das ist weiterhin nicht im Sinne der Gruppen-Charta! (Wirklich nicht!)

[Tom Bola]

Fritz Feldhase schrieb:

Nimm das einfach hin wie der idiotischer Mann der du bist.

[Stephan Herrmann]

Jaosch <pl81...@gmail.com> writes:

> Welche mathematischen / physikalischen Erkenntnisse lassen sich daraus *ableiten*?
>

Hallo,

vielleicht könnte folgendes Buch für dich instruktiv sein;

Aeneas Rooch: "Die Entdeckung der Unendlichkeit. Das Jahrhundert, in dem
die Mathematik sich neu erfand. 1870 - 1970". München: Heyne Verlag, 2022

--
Stephan

[Fritz Feldhase]

Was ist denn jetzt mit der perfekten Erklärung eines Schnittes (einer Vereinigung) über abzählbar unendlich viele Mengen als einer abzählbar unendlich-oft angewendeten binären Operation? (Dies soll angeblich durch "rekursive Definition" möglich sein.)

Kannst Du nicht endlich AUCH EINMAL etwas dazu sagen, nachdem der Typ, der diese Behauptung ursprünglich aufgestellt hat, sich seither in Schwiegen hüllt? ("Feige Sau" fällt mir dazu nur ein. Nein, nicht Du.)

Zählt "intellektuelle Aufrichtigkeit" in diesem Forum überhaupt noch etwas?

P. S. Das hat noch nicht einmal etwas mit der Definition A u B := U{A, B} zu tun (die für Dich offenbar neu war), sondern mit der Frage, ob man wirklich von

An e IN: U{A_1, ..., A_n} = A_1 u A_2 ... u A_n (für alle n e IN)

auf

U{A_1, A_2, A-3, ...} = A_1 u A_2 u A_3 u ...

schließen kann.

Hinweis: Dazu müsste man erst einmal definieren, was der Ausdruck "A_1 u A_2 u A_3 u ..." überhaupt bedeuten soll.

Im Prinzip ist es ganz einfach: A_1 u A_2 u A_3 u ... := U{A_1, A_2, A_3, ...}. Dann ist in der Tat U{A_1, A_2, A_3, ...} = A_1 u A_2 u A_3 u ...

Nur hat das NICHTS mit einer abzählbar unendlich-oft angewendeten binären Operation /u/ zu tun.

Es ist klar, welche Menge wir mit dem Ausdruck "A_1 u A_2 u A_3 u ..." bezeichnen *wollen*: offenbar ist das genau die Menge U{A_1, A_2, A_3, ...}. Hinweis: x e U{A_1, A_2, A_3, ...} gdw. es ein n e IN gibt mit x e A_n.

[Fritz Feldhase]

On Monday, October 2, 2023 at 6:28:24 PM UTC+2, Jaosch wrote:
> Rainer Rosenthal schrieb am Montag, 2. Oktober 2023 um 18:04:55 UTC+2:
> >
> > Zusatzfrage: ab welcher Zahl n ist die Summe 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/n wohl größer als 2023?
> >
> Hab's ausprobiert, ohne Erfolg. Muss wohl sehr groß sein.

In der Tat. Die Folge (S_n) mit S_n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/n wächst nur sehr langsam.

In etwa so wie log(n). D.h. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/(e^2023) müsste so ~ 2023 sein.

e^2023 ist wirklich ZIEMLICH groß. :-P

Nämlich ~ 3,782133813277530024959934688662... e+878.

> Auf die OT-Frage erhoffe ich mir eine Antwort in der Art: [...]
>
> Verstehst Du mein Anliegen?

Offenbar nicht so ganz. Man muss ihm das nachsehen, er konzentriert sich momentan zu sehr auf WMs saudummen Scheißdreck.

P. S. Ich verstehe selbst nicht, was RRs Frage oben mit Deinem Anliegen zu tun hat.

[Fritz Feldhase]

On Monday, October 2, 2023 at 5:05:27 PM UTC+2, Jaosch wrote:

> Welche mathematischen [...] Erkenntnisse lassen sich daraus *ableiten*?

Ein gewisser Kamke hat vor vielen, vielen Jahren ein kleines Lehrbuch zur Mengenlehre geschrieben, darin findet sich folgendes schöne Beispiel:

Theorem 3. Every function f(x) which is monotonic in an interval a <= x <= b is discontinuous at an at most enumberable number of points of this interval.

Das kann man sich auch "anschaulich" bis zu einem gewissen Grad klar machen, wenn man versucht, die Aussage des Satzes anhand von Zeichnungen "zu verstehen".

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, October 4, 2023 at 3:36:56 AM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:

> P. S. Ich verstehe selbst nicht, was RRs Frage oben mit Deinem Anliegen zu tun hat.

RRs Beispiel zielt m. E. mehr auf den Unterschied zwischen endlich (egal wie groß) und unendlich als auf den Unterschied zwischen abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich ab.

[Rainer Rosenthal]

Am 04.10.2023 um 03:19 schrieb Fritz Feldhase:
> On Tuesday, October 3, 2023 at 10:51:04 PM UTC+2, Rainer Rosenthal wrote:
>> Am 03.10.2023 um 17:33 schrieb Jaosch:

...

>
> Was ist denn jetzt mit der perfekten Erklärung eines Schnittes (einer Vereinigung) über abzählbar unendlich viele Mengen als einer abzählbar unendlich-oft angewendeten binären Operation? (Dies soll angeblich durch "rekursive Definition" möglich sein.)
>

> Kannst Du nicht endlich AUCH EINMAL etwas dazu sagen, nachdem der Typ, der diese Behauptung ursprünglich aufgestellt hat, sich seither in Schwiegen hüllt? [ Weitere Erläuterungen zu A u B = U{A,B} etc.]


Fast(*) alles richtig, was Du da schreibst und im Folgenden erläutert
hattest. Mit "perfekte Erklärung" habe ich den knappen Hinweis auf den
Unterschied zwischen endlich und unendlich vielen Schnitten gelobt.

Dass man das "sukzessive Schneiden" formalisieren kann, scheint mir
durchaus möglich, aber so richtig interessant finde ich das nicht,
sorry. Stichwort: Topologie auf Mengen, wobei gleich aufzupassen ist,
den Raum sauber zu definieren, weil die Menge aller Mengen nicht
existiert. Da tappe ich all zu schnell in Fettnäpfchen, ohne dass am
Ende irgendetwas für mich Wesentliches gewonnen wäre. Ich nehme für mich
aus der Diskussion mit, dass es sehr gut ist, SCHNITT{M_i:i€I} zu haben,
weil darin keine Ordnung bemüht wird. Im Gegensatz dazu ruft die
Schreibweise SCHNITT{M_i,i=1,2,...} (bei mir) diese Assoziation hervor:
SCHNITT{M_i:i=1,2,...} = lim_{n->oo} SCHNITT{M_i:i=1..n} mit
SCHNITT{M_i:i=1..n} = M_1 für n = 1
und
SCHNITT{M_i:i=1..n} = SCHNITT{M_i:i=1..n-1} \schnitt M_n für n > 1.

Gruß,
RR

(*) Es war Stefan Schmitz, dem ich am 20.09.2023, 00:05, im Thread
"Können ℵo Stammbrüche auf eine Strecke von weniger als ℵo*2^ℵo Punkten
komprimiert werden?" gratuliert hatte.
Dieser Jaosch ist ein gutes Beispiel für oberflächliches Mitschwätzen.
Auf die konkrete Frage nach dem ersten n mit 1 + 1/2 + ... + 1/n > 2023
kam lediglich "ganz schön groß". Dabei wären wir mit n ~ 0.5*10^879 in
die Regionen gekommen, bei denen in Augsburg die Grenze zum Unendlichen
bereits überschritten ist. Auch das "Bauchgefühl", das ihm sagte, dass
es nur abzählbar viele algebraische Zahlen gibt, war ein Warnsignal :-)

[Ulrich D i e z]

Am 03.10.23 um 17:33 schrieb Jaosch:

> Leider stösst mich Dein "Spaß" extrem ab und daher ist mir der Rest auch vollkommen wurscht.
> EOD

Ja nachvollziehbar.

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[JVR]

Der schöne Satz ist überraschend leicht zu beweisen, weil die Anzahl der Sprungstellen, die größer als irgendein beliebig kleiner Wert sind, endlich sein muss.

[Rainer Rosenthal]

Am 04.10.2023 um 09:51 schrieb Ulrich D i e z:
> Am 03.10.23 um 17:33 schrieb Jaosch:
>
>> Leider stösst mich Dein "Spaß" extrem ab und daher ist mir der Rest auch vollkommen wurscht.
>> EOD
>
> Ja nachvollziehbar.
>

Ja, tatsächlich ist das nachvollziehbar. Jaosch glaubte, Mathematik
ließe sich so nebenbei erlernen. Wäre er auf meine Bitte eingegangen,
eine stetige Funktion auf einer abzählbaren Menge zu finden, für die der
Zwischenwertsatz nicht gilt, hätte er was lernen können. Wollte er aber
nicht.

Hans Crauel hat sich Mühe gegeben, ihm vorzusagen, und mein Spaß hätte
Jaosch helfen können, das ihm Vorgesagte noch einmal mit Verständnis zu
lesen. Ich habe ja die Ausführung von Hans Crauel in Abschnitte gegliedert.

Wenn Jaosch sagt "der Rest auch vollkommen wurscht", dann galt das im
Grunde schon bei seinem ersten Posting. Er hält sich für einen
Überflieger, der mit Bauchgefühl über algebraische Zahlen schwadronieren
kann, aber schon bei der harmonischen Reihe nur noch Bahnhof versteht.

Zum Glück haben wir in diesem Thread etwas richtige Mathematik zu sehen
bekommen mit FFs Hinweis auf die Kardinalität der Sprungstellen einer
monotonen reellwertigen Funktion auf einem Intervall [a,b] und dem
Beweis-Hinweis von JVR.

Die Testfrage nach n mit 1 + 1/2 + ... + 1/n > 2023 hatte ich einfach so
formuliert, um mit Jaosch ins Gespräch über groß/größer/am größten zu
kommen, und ich war jetzt selbst überrascht, was für eine schön große
Zahl da herauskommt (n ~ 0.5*10^879).

Gruß,
RR

[Rainer Rosenthal]

Am 04.10.2023 um 03:36 schrieb Fritz Feldhase:
>
> In der Tat. Die Folge (S_n) mit S_n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/n wächst nur sehr langsam.
>
> In etwa so wie log(n). D.h. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/(e^2023) müsste so ~ 2023 sein.
>
> e^2023 ist wirklich ZIEMLICH groß. :-P
>
> Nämlich ~ 3,782133813277530024959934688662... e+878.
>

Leg mal noch ne Schippe drauf und verwende die in
https://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe stehende Näherung für
die Harmonische Reihe H_n. Damit kommt noch der Faktor e^gamma ins Spiel.
Die vielen Dezimalstellen sind bei der groben Abschätzung sinnlos.
Eine bessere Abschätzung ist exp(2023+gamma) ~ 6.7 e+878
(Meine bisher genannte Zahl mit dem Faktor 2 war ein Flüchtigkeitsfehler.)

>> Auf die OT-Frage erhoffe ich mir eine Antwort in der Art: [...]
>>
>> Verstehst Du mein Anliegen?
>
> Offenbar nicht so ganz. Man muss ihm das nachsehen, er konzentriert sich momentan zu sehr auf WMs saudummen Scheißdreck.
>
> P. S. Ich verstehe selbst nicht, was RRs Frage oben mit Deinem Anliegen zu tun hat.

Ich hatte es erläutert. Ich wollte mit ihm über "groß" sprechen, bevor
ich mit ihm über das Thema "unendlich" spreche. Unversehens ist mir
dabei dieses 2023-Rätsel eingefallen, mit dem wir sogar die Augsburger
Unendlichkeits-Barriere überschritten haben. (Die mit dem Universum usw.)

Jaoschs Anliegen ist inzwischen klar geworden: er wollte halt auch mal
mitreden und sein Bauchgefühl bestätigt bekommen. Weil es hätte sein
können, dass er an Mathe interessiert ist, habe ich mir etwas Mühe in
meinen Antworten an ihn gegeben. Hat aber auch Spaß gemacht, alles gut.

Gruß,
RR

[Carlo XYZ]

Hans Crauel schrieb am 03.10.23 um 19:04:

> Carlo XYZ schrieb
>
>>>> Für Z scheint es jedenfalls relativ einfach zu gehen:
>>>> f:Z\to Z heiße stetig, wenn stets |z1-z2|<=1 => |f(z1)-f(z2)|<=1

>> (Ob man o.g. Begriff in irgendeine Topologie -- auf Z natürlich,
>> nicht auf R -- verpacken kann, habe ich nicht nachgeprüft.)
>
> Jedenfalls nicht mit Topologien, so dass die Multiplikation
> (von Z x Z nach Z) stetig ist.

Mit überhaupt keiner, denke ich. Auf Z sehe ich außer der
diskreten und der indiskreten überhaupt keine Topologien,
und die tun's beide nicht. Auf Q mag das anders aussehen.
Trotzdem mag ich nicht weiter drüber nachdenken, wollte
nur an deinem "überabzählbar, denn sonst kein ZW-Satz"
ein kleines "?" anbringen, vielleicht ungerechtfertigt.

[Carlo XYZ]

Ulrich D i e z schrieb am 04.10.23 um 09:51:

> Am 03.10.23 um 17:33 schrieb Jaosch:
>
>> Leider stösst mich Dein "Spaß" extrem ab und daher ist mir der Rest auch vollkommen wurscht.
>> EOD
>
> Ja nachvollziehbar.

+1

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 3. Oktober 2023 um 23:04:26 UTC+2:
> On Tuesday, October 3, 2023 at 10:28:45 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
>
> > Wenn die Cantorsche Behauptung richtig wäre, dass eine Bijektion zwischen Brüchen und Ganzzahlbrüchen [existiert], dann würde genau diese Matrix
> > >
> > > 1/1, 2/1, 4/1, ...
> > > 3/1, 5/1, 8/1, ...
> > > 6/1, 9/1, 13/1, ...
> > > ...
> > >

> > durch das Hinundherschieben [- genauer Paarverauschungen - aus der usprünglichen Matrix] produzierbar sein.

>
> Nein, die Behauptung ist (wie man leicht zeigen kann) falsch.

Deswegen funktioniert die Abzählung nicht.

> > Und in der Tat ist das ja auch möglich.

> Nein, das ist nicht möglich. Hinweis: Keine Matrix in Deiner Folge wird je O-frei sein.

Und wie kommt dann Deine vollständige Überdeckung zustande? Bis zu jedem definierbaren Ganzzahlbruch besteht übrigens keine Abweichung zwischen Deiner Behauptung und meiner Konstruktion. Deswegen ist meine Konstruktion durch Deine Behauptung gerechtfertigt. Du kannst keinen Schritt angeben, der davon abweicht.

>
> > Es ist aber klar, dass die erste Spalte nicht länger als die anderen Spalten ist.
> Hat das jemand behauptet?

Wer behauptet, dass die Eleemnte der ersten Spalte die gesamte Matrix bedecken können, behauptet genau das.

> > Also werden die Ganzzahlbrüche nicht ausreichen.
> Wie, was?

Kein Grund, hier weiterzudiskutieren. Wer wie Du behauptet, dass die Ganzzahlbrüche die gesamte Matrix bedecken können, dass man das aber nicht einzeln nachvollziehen kann indem man sie verschiebt, der lügt.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 3. Oktober 2023 um 23:14:41 UTC+2:
> On Tuesday, October 3, 2023 at 10:45:27 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
>
> > Würde das Verfahren alle Felder füllen

> Ähnlich füllen wir auch IN nicht, indem wir erst mal 1 reinpacken und dann für jedes n, das schon drin ist, auch noch n+1 hineinpacken (bis IN voll ist).

Genau! Deswegen ist auch die Peanosche Methode auf die potentiell unendliche Kollektion der definierbaren Zahlen beschränkt
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .
Voll wird ℕ erst durch die dunklen Zahlen:

> > so könnte man jeden einzelnen Zug verfolgen.
> Nein, niemand (außer Chuck Norris) kann "jeden Zug verfolgen", wenn es z. B. um die Menge IN geht für die (u. a.) gilt: 1 e IN und für jedes n e IN: n+ 1 e IN.

Diese ist natürlich soweit verfolgbar, dass man beweisen kann, dass in keinem Schritt
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
falsch wird.

>
> Bei der der von Cantor angegebenen Bijektion (die sog. Cantorsche Paarungsfunktion) geht es auch nicht um "Verfolgbarkeit" (Schritt für Schritt, für alle Schritte), sondern lediglich um _Beweisbarkeit_. (Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Cantorsche_Paarungsfunktion)

Beweisbar ist sie in jedem Schritt, den auch meine Matrizen beschreiben. Alles danach wird durch den Kardinalfehler "erzielt", den unendlichen Rest
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
einfach als "wird schon werden" zu glauben.

Gruß, WM

[Jens Kallup]

Am 2023-10-04 um 09:32 schrieb Rainer Rosenthal:
> Dieser Jaosch ist ein gutes Beispiel für oberflächliches Mitschwätzen.

ich wollte dazu eigentlich nichts schreiben, aber da hast Du Recht !

Ihr macht Euch die Mühe für einen Schüler und zeigt Beispiele, und
dann kommt so einer.

Ich wollte nicht schreiben, das, was Ihr mit Janosch geschrieben havt
für die Katz war.

Aber so ist das halt heute ...

Die jungen Menschen lieben scheinbar bunti klicki Forums, mit Augen-
krebs fördernde Werbung ...
Aber Ansichtssache.

Jens

--
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www.avast.com

[Ulrich D i e z]

Am 04.10.23 um 11:10 schrieb Rainer Rosenthal:

> Am 04.10.2023 um 09:51 schrieb Ulrich D i e z:
>> Am 03.10.23 um 17:33 schrieb Jaosch:
>>
>>> Leider stösst mich Dein "Spaß" extrem ab und daher ist mir der Rest auch vollkommen wurscht.
>>> EOD
>>
>> Ja nachvollziehbar.
>>
>
> Ja, tatsächlich ist das nachvollziehbar. Jaosch glaubte, Mathematik ließe sich so nebenbei erlernen.

Ich weiß nicht, was Jaosch glaubt, geschweige denn, was bzw. wer er ist.

Was du mit "nebenbei" meinst, ist mir auch nicht klar.
Ich jedenfalls kann das Mathematiklernen nicht zu meiner Hauptbeschäftigung
machen. Aber wenn ich mich der Mathematik widme, konzentriere ich mich voll
darauf.

> Er hält sich für einen Überflieger,

Das könnte einem bekannt vorkommen.

> Die Testfrage nach n mit 1 + 1/2 + ... + 1/n > 2023 hatte ich einfach so formuliert, um mit Jaosch ins Gespräch über groß/größer/am größten zu kommen, und ich war jetzt selbst überrascht, was für eine schön große Zahl da herauskommt (n ~ 0.5*10^879).

Dass 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/n mit wachsendem n größer
wird als jede vorgegebene Schranke, ist sogar mir klar, und
ich bin kein Mathe-Profi.

Für 1 <= l <= k ist 1/(k+l) >= 1/(2k) und damit ist

1/(k+1) + 1/(k+2) + ... + (1/2k) >= (1/2k) + (1/2k) + ... + (1/2k).

Auf der linken Seite hat man Summanden, bei denen der Zähler von (k+1)
bis 2k hochgezählt wird, also k Summanden. Auf der rechten Seite hat
man die alle jeweils durch einen Summanden ersetzt, der kleiner
oder gleich dem ersetzten Summanden ist, und von dem somit auch k
Stück da sind, also:

1/(k+1) + 1/(k+2) + ... + (1/2k) >= k*(1/2k)

1/(k+1) + 1/(k+2) + ... + (1/2k) >= 1/2

bzw.

Summe_{l=1}^{l=k}{1/(k+l)} >= 1/2 .

Betrachtung des Falls k=2^m ergibt:

Summe_{l=1}^{l=2^m}{1/((2^m)+l)} >= 1/2 .

Die Summe 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/n kann man für n
gegen unendlich einteilen in unendlich viele solche Summen:


1
+ (1/2) // - hier ist k = 2^0 bzw. m=0
+ (1/3 + 1/4) // - hier ist k = 2^1 bzw. m=1
+ (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) // - hier ist k = 2^2 bzw. m=2
+ (1/9 + 1/10 + ... + 1/16) // - hier ist k = 2^3 bzw. m=3
+ ...

Bzw.

für n -> oo geht 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/n
also wohl gegen das selbe wie
1 + Summe_{m=0}^{m=n}{ Summe_{l=1}^{l=2^m}{1/((2^m)+l)} }

Jeder "äußere Summand" dieser Summe ist größer oder gleich 1/2.

Da der Index der "äußeren Summe" von 0 nach n läuft, hat man also
n+1 "äußere Summanden", von denen jeder größer oder gleich 1/2 ist.

Und wenn n gegen unendlich geht, sind das unendlich viele Summanden,
von denen jeder größer oder gleich 1/2 ist.

Also divergiert das wohl.



Mit dieser fulminanten Erkenntnis kann man wenigstens schon mal ein n
nennen, für das

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/n mit Sicherheit größer ist als 2023.

Wenn die Summe in eine Summe aus 1 und lauter Teilsummen eingeteilt denkt,
ist klar, dass, wenn 2*2022=4044 solche Teilsummen betrachtet werden, die
Summe größer ist als 2023.

4044 solche Teilsummen bedeutet m=4043.

Die Summanden der letzten Teilsumme gehen also von 1/(2^4043 + 1) runter
bis 1/(2^4044), also bis n=2^4044.

n = 2^4044 = (10^(10_log(2)))^4044 = 10^( (10_log{2}) * 4044 ) ~ 10^1218,



Was mich jetzt sehr interessiert, ist, wie du darauf gekommen bist, dass
die Sache auch schon für n = 0.5*10^879 größer als 2023 ist.

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Jens Kallup]

Am 2023-10-04 um 04:00 schrieb Fritz Feldhase:
> RRs Beispiel zielt m. E. mehr auf den Unterschied zwischen endlich (egal
> wie groß) und unendlich als auf den Unterschied zwischen abzählbar
> unendlich und überabzählbar unendlich ab.

ich meine ja auch, das man bei Betrachtung von Mengen und Funktionen,
die sich der Winkelberechnung bedienen, also letzendends Kreise be-
rechnen, nur die Hälfte der ganzen Menge benötigt wird.

Oder habt Ihr mal ein Kugelförmiges CD-ROM Laufwerk gesehen ?
Da wird doch auch nur die Hälfte des Kreises (also bei Berechnungen
benötigt, und die (ich sags mal so doof) Tiefen (Töne) nicht von
Bedeutung sind (also die negativen Werte).

Was dann die Betrachtung der minus Werte in Betrag gesetzt wird.

Bei Ellipsen scheint das dann anders zu sein.
Aber dann eiert ja das Laufwerk bzw. die CD. und das macht dann eine
Unwucht bei den schnellen Bewegungen.

Was dann bedeutet, das die CD geschreddert wird.

Aber wieder zurück:

- Bei modernen Quantencomputern, die 2 ^5 Werte berechnen können,
dann ist die Betrachtung durchaus kugelförmig.
Weil Quanten ja eine runde Umlaufbahn besitzen - so ähnlich wie die
Atome auf deren Orbitalen.
- Das Problem hierbei ist aber, das man immer nur 1 Wert messen kann,
obgleich 2 Werte zur Verfügung stehen.
Denn wenn man sich in einen kugelförmigen Raum befindet, dann kann
die Z-Achse nach vorn und nach hinten zeigen.
- Diesen Umstand macht man sich zu Nutzen, das man zwar noch keine
wirtschaftlichen Anwendungen mit ein solchen Quanten-Computer
programmieren kann.
Was man aber derzeit machen kann, Werte innerhalb eines bestimmten,
kugelförmigen Quanten messen - wie gesagt, hier leider immer nur einen
Diese Punkte, wenn ich die mal als Lichtpunkte bezeichnen kann (bitte
jetzt nicht mit Steinen werfen), treffen dann an die Hülle des Quanten
und können, sofern die Beobachtung auf diesen bestimmten Punkt ist,
gemessen werden.
- Das macht dann natürlich viel Rechenaufwand, denn wenn die Leute unter
Euch (oder den Mitlesern) Wissen, wie man Listener programmiert, das
System ziemlich langsam machen.
Listener sind eine Art "Warte-Positionen" auf der Quanten-Hülle, die
darauf warten "sensorisch" erfaßt zu werden, und zusätzlich mit der
Höhe der Energie bestimmte Aufgaben/Funktionen ausführen.

Man stelle sich also die Anzahl der Listener vor - ich sage mal so:
1024 hoch 2 (dividiert durch zwei minus den Spannungsverlust beim
messen).

Als 512 ^2 minus (ich sag jetzt einfach mal) 112 - dann sind das immer
noch 400 ^2 Listener.

Das ist schon eine ganze Menge.

Wenn ich mich nicht irre, hat Deutschland auch einen Quantencomputer
irgendwo stehen, der sowas kann - alos 1024 QuBits.

Die Japaner, so habe ich in der Vergangenheit gelesen sollen bei
4096 QuBit's liegen - den schnellsten Quantencomputer der Welt also.

Für dieses Thema empfehle ich den YouTube-Kanal vom Edmund.

Aber eigentlich gings mir hier nur darum, das es bald Zeit wird, das
dann auch die negativen Werte berücksichtigt werden (müssen).
Denn die Entwicklung ist fast nicht mehr rückgängig zu machen, und wir
schon heute damit beginnen sollten, wie die Zukunft solcher (ich sag
mal Programmierer) ausschauen wird.

Ich denke nicht, das es dann Schüler, die nur über einen Hauptschul-
abschluß verfügen, einfach Haben werden, in einer Umwelt, die nur noch
daraus besteht, Informationen zu verarbeiten (Handy, Werbung, Einkauf)
um nur wenige Beispiele zu nennen.

Es gibt natürlich viel viel mehr.
Aber ich will mir erstmal nicht wieder den Mund verbrennen.

Sonst heißt es ja wieder: der hat das gesagt, dann muss das auch so
gemacht werden. Ne das finde ich dann nicht mehr für lustig.

In diesem Sinne
Euer Schreiberling, Jens

[Ganzhinterseher]

Ulrich D i e z schrieb am Mittwoch, 4. Oktober 2023 um 16:42:53 UTC+2:

> Was mich jetzt sehr interessiert, ist, wie du darauf gekommen bist, dass
> die Sache auch schon für n = 0.5*10^879 größer als 2023 ist.
>

Vielleicht hilft Dir https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/GU/GU02.PPT, Folie 7-9, es selbst zu berechnen.

Gruß, WM

[Jaosch]

Jaosch schrieb am Dienstag, 3. Oktober 2023 um 07:03:49 UTC+2:
> Hans Crauel schrieb am Montag, 2. Oktober 2023 um 22:28:51 UTC+2:
> > Jaosch schrieb

> > > Auf die OT-Frage erhoffe ich mir eine Antwort in der Art:

> > > Weil das Argument <blabla> als Element einer überabzählbaren
> > > Grundmenge angenommen werdeb kann (im Gegensatz zu Annahme einer
> > > abzählbaren Grundmenge), folgt, dass <blablub>......
> > Der Zwischenwertsatz sagt, dass jede auf einem Intervall
> > definierte Funktion, die stetig ist und die einen positiven
> > Wert f(a) und einen negativen Wert f(b) annimmt, eine
> > zwischen a und b liegende Nullstelle hat, dass es also
> > ein x zwischen a und b mit f(x) = 0 gibt.
> >
> > Diese Aussage würde nicht zutreffen, wenn die Funktionen
> > auf einer nur abzählbaren Menge definiert wären. Man muss
> > voraussetzen, dass sie auf einem Intervall definiert sind,
> > einer überabzählbaren Grundmenge.
> >
> Ja nachvollziehbar.
>
> jaosch

Dass es bei einem - im Kontext R lückenbehaftetem D=Q - zwei benachbarte x geben *kann*, zwischen deren y - trotz "Stetigkeit" - der Wert 0 fällt, ist für mich nachvollziehbar.
Falls dieser Gedanke falsch sein sollte, bitte ich um Korrektur.
Keinesfalls soll das despektierlich ggüber denjenigen sein, die das mathematisch vollständig und korrekt beweisen können.

jaosch

[Jaosch]

Jaosch schrieb am Montag, 2. Oktober 2023 um 19:32:54 UTC+2:

> Fritz Feldhase schrieb am Montag, 2. Oktober 2023 um 18:47:42 UTC+2:
> > On Monday, October 2, 2023 at 5:05:27 PM UTC+2, Jaosch wrote:
> >

> > "Unterschied abzählbar bzw. überabzahlbar unendlich. Was bringt das?"
> >
> > Die Frage ist leider unklar. Meinst Du die Unterscheidung _zwischen_ abzählbar und überabzählbar unendlich?
> >
> Ich meine "fruchtbare" Konsequenzen dieses Unterschieds. Deine Antworten unten treffen den Punkt (zumindest mathematisch).
> > Das bringt schon einiges im Kontext der Mathematik/Mengelehre. Insbesondere erlaubt es eine erste/grobe Klassifizierung unendlicher Mengen (eben in die abzählbaren und überabzählbaren).

> >
> > > Welche mathematischen [...] Erkenntnisse lassen sich daraus *ableiten*?
> >

> > Eine erste/frühe Erkenntnis war die, dass sich mit Hilfe dieser Begriffe beweisen lässt, dass es sog. transzendente Zahlen _gibt_ (_ja sogar unendlich viele von Ihnen_). Der entsprechende Beweis ist (wenn man einmal bewiesen hat, dass die Menge der algebraischen Zahlen abzählbar, aber die der reellen Zahlen überabzählbar ist) geradezu trivial.
> >
> > Hier aus dem Wikipedia-Artikel "Transzendente Zahl":
> >
> > "Joseph Liouville konnte 1844 als Erster die Existenz transzendenter Zahlen beweisen und mittels seiner konstruktiven Beweismethode explizite Beispiele liefern. [...]"
> >
> > "Im Jahr 1874 konnte Georg Cantor nicht nur abermals die Existenz von transzendenten Zahlen beweisen, sondern sogar zeigen, dass es „mehr“ transzendente als algebraische Zahlen gibt. Im Gegensatz zu Liouville verwendete Cantors Existenzbeweis für transzendente Zahlen keine zahlentheoretischen Eigenschaften der algebraischen Zahlen, sondern ist (aus heutiger Sicht) rein mengentheoretischer Natur. Die mathematisch exakte Formulierung des Begriffs ‚mehr‘ war aber sicherlich das wichtigste Ergebnis von Cantors Arbeit, weil es das Wissen über das reelle Zahlensystem revolutionär vertiefte."
> >
> > Hier wird ebenfalls auf Deine Frage Bezug genommen. (Siehe auch meine erste sehr allgemein gehaltene Antwort ganz oben.)
> >
> > Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Transzendente_Zahl
> Danke.
> Dass es "mehr" transzendente als algebraische Zahlen gibt, kann einem schon das "Bauchgefühl" sagen. Für mich als Hobbyist sehr beeindruckend ist, dass dies mengentheoretisch beweisbar ist.
>
> jaosch

Das "Bauchgefühl" erzeugt die Tatsache, dass algebraische Zahlen per Def. *Lösungen* sein müssen. Das betrachte ich als eine *Einschränkung*.
Die Annahme, R bestünde hauptsächlich aus n-ten Wurzeln von Elementen aus Q, erscheint mir zu gewagt...

jaosch

[Hans Crauel]

Carlo XYZ schrieb

> Hans Crauel schrieb am 03.10.23

>> Carlo XYZ schrieb

>>> (Ob man o.g. Begriff in irgendeine Topologie -- auf Z natürlich,
>>> nicht auf R -- verpacken kann, habe ich nicht nachgeprüft.)
>>
>> Jedenfalls nicht mit Topologien, so dass die Multiplikation
>> (von Z x Z nach Z) stetig ist.
>
> Mit überhaupt keiner, denke ich. Auf Z sehe ich außer der
> diskreten und der indiskreten überhaupt keine Topologien,
> und die tun's beide nicht.

Oh, da gibt es durchaus noch weitere. Schon auf einer
9-elementigen Menge gibt es mehr als 63 Millionen
Topologien (genauer: 63.260.289.423), siehe Horst
Herrlich mit Walter Tholen,

<https://www.fernuni-hagen.de/mi/studium/module/pdf/Leseprobe-komplett_01354.pdf>

Beispiel 1.1.2 (3), Seiten 18-19.
Auf Z gibt es des weiteren genausoviele Topologien wie in
der Potenzmenge der (ohnehin schon überabzählbaren)
Potenzmenge von N. Ob da nicht die eine oder andere dabei
ist, bezüglich derer die Multiplikation nicht stetig ist,
sehe ich nicht.

> Auf Q mag das anders aussehen.

Q und Z unterscheiden sich hinsichtlich der Anzahl möglicher
Topologien nicht, hinsichtlich der Forderung nach Stetigkeit
der Multiplikation aber möglicherweise schon. Auf Q scheint
das eine einschränkendere Bedingung zu sein.

> Trotzdem mag ich nicht weiter drüber nachdenken, wollte
> nur an deinem "überabzählbar, denn sonst kein ZW-Satz"
> ein kleines "?" anbringen, vielleicht ungerechtfertigt.

Hinsichtlich des "nicht weiter drüber nachdenken" können
wir uns einigen.

Hans

[Ulrich D i e z]

Ganzhinterseher schrieb:

Muss ich noch eine Weile nachdenken.

Ich bin sowieso hinten dran. ;-)

Ich bin z.B. auch immer noch nicht durch mit dem "Weihnachtsgruß" vom Dezember.
Die Sache mit 2^n = x^2 + 7*y^2 in natürlichen Zahlen und mt n >= 3.

Ich hab mich da mit Ach und Krach hingehangelt zu

x = (2^(n/2))(cos((n-2)*tan^(-1)(sqrt(7))))
und
y = ((2^(n/2))/sqrt(7)) * sin((n-2)*tan^(-1)(sqrt(7)))

, aber ich weiß immer noch nicht, ob man damit alle ganzzahligen Lösungen
kriegt.

Und die Aufgabe von Rainer Rosenthal interessiert mich auch deswegen, weil
ich im Moment den Eindruck habe, dass die harmonische Reihe mich da
weiterbringen könnte.

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Jens Kallup]

WM und T läßt grüßen ...

wisster Bescheid... näää

[Ralf Bader]

On 10/04/2023 12:41 PM, Carlo XYZ wrote:
> Hans Crauel schrieb am 03.10.23 um 19:04:
>
>> Carlo XYZ schrieb
>>
>>>>> Für Z scheint es jedenfalls relativ einfach zu gehen:
>>>>> f:Z\to Z heiße stetig, wenn stets |z1-z2|<=1 => |f(z1)-f(z2)|<=1
>
>>> (Ob man o.g. Begriff in irgendeine Topologie -- auf Z natürlich,
>>> nicht auf R -- verpacken kann, habe ich nicht nachgeprüft.)
>>
>> Jedenfalls nicht mit Topologien, so dass die Multiplikation
>> (von Z x Z nach Z) stetig ist.
>
> Mit überhaupt keiner, denke ich. Auf Z sehe ich außer der
> diskreten und der indiskreten überhaupt keine Topologien,

Das mag sein, liegt aber an Dir und nicht an den Topologien.
Siehe beispielsweise
https://en.wikipedia.org/wiki/Furstenberg%27s_proof_of_the_infinitude_of_primes
Abgesehen davon, daß aufgrund der Existenz von Bijektionen zwischen Z
und Q jede Topologie auf Q nach Z transportiert werden kann.

[Carlo XYZ]

Hans Crauel schrieb am 04.10.23 um 18:54:
> Carlo XYZ schrieb

>> ... Auf Z sehe ich außer der

>> diskreten und der indiskreten überhaupt keine Topologien,
>> und die tun's beide nicht.
>
> Oh, da gibt es durchaus noch weitere. Schon auf einer
> 9-elementigen Menge gibt es mehr als 63 Millionen
> Topologien (genauer: 63.260.289.423), siehe Horst
> Herrlich mit Walter Tholen,
>
> <https://www.fernuni-hagen.de/mi/studium/module/pdf/Leseprobe-komplett_01354.pdf>
>
> Beispiel 1.1.2 (3), Seiten 18-19.

Sehr schöner Tipp, danke.

> Auf Z gibt es des weiteren genausoviele Topologien wie in
> der Potenzmenge der (ohnehin schon überabzählbaren)
> Potenzmenge von N. Ob da nicht die eine oder andere dabei
> ist, bezüglich derer die Multiplikation nicht stetig ist,
> sehe ich nicht.

Ja. Hätte ich gegoogelt und nicht nur Intervalle überlegt,
wäre ich vielleicht auch auf das konkrete Beispiel

<https://en.wikipedia.org/wiki/Furstenberg%27s_proof_of_the_infinitude_of_primes>

gestoßen. Googlen hilft weiter: Der diskrete "ZW-Satz", den
ich vermutet hatte, ist dem Herrn hier auch aufgefallen:

<https://anuragbishnoi.wordpress.com/2015/06/25/discrete-version-of-the-intermediate-value-theorem/>

(Eigentlich nur ein kleines Sätzchen.)

[Carlo XYZ]

Ralf Bader schrieb am 04.10.23 um 20:07:

> On 10/04/2023 12:41 PM, Carlo XYZ wrote:

>> Mit überhaupt keiner, denke ich. Auf Z sehe ich außer der
>> diskreten und der indiskreten überhaupt keine Topologien,
>
> Das mag sein, liegt aber an Dir und nicht an den Topologien.
> Siehe beispielsweise
> https://en.wikipedia.org/wiki/Furstenberg%27s_proof_of_the_infinitude_of_primes

Ja, googlen habe ich inzwischen auch im Schnellkurs
erlernt, wie man am Parallelposting sehen kann.

[Carlo XYZ]

Ralf Bader schrieb am 04.10.23 um 20:07:

> On 10/04/2023 12:41 PM, Carlo XYZ wrote:
>> Hans Crauel schrieb am 03.10.23 um 19:04:
>>
>>> Carlo XYZ schrieb
>>>
>>>>>> Für Z scheint es jedenfalls relativ einfach zu gehen:
>>>>>> f:Z\to Z heiße stetig, wenn stets |z1-z2|<=1 => |f(z1)-f(z2)|<=1
>>
>>>> (Ob man o.g. Begriff in irgendeine Topologie -- auf Z natürlich,
>>>> nicht auf R -- verpacken kann, habe ich nicht nachgeprüft.)
>>>
>>> Jedenfalls nicht mit Topologien, so dass die Multiplikation
>>> (von Z x Z nach Z) stetig ist.
>>
>> Mit überhaupt keiner, denke ich. Auf Z sehe ich außer der
>> diskreten und der indiskreten überhaupt keine Topologien,
>
> Das mag sein, liegt aber an Dir und nicht an den Topologien.

Ach ja, und die Folgefrage für <wer es interessant findet>:

f:Z\to Z heiße eng, wenn stets |z1-z2|<=1 => |f(z1)-f(z2)|<=1

Gibt es eine Topologie auf Z, so dass enge Funktionen stetig
(im Sinn dieser Topologie) sind?

[Martin Vaeth]

Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de> schrieb:

> Am 04.10.2023 um 03:36 schrieb Fritz Feldhase:
>>
>> Nämlich ~ 3,782133813277530024959934688662... e+878.
>>
> Leg mal noch ne Schippe drauf und verwende die in
> https://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe stehende Näherung für
> die Harmonische Reihe H_n. Damit kommt noch der Faktor e^gamma ins Spiel.
> Die vielen Dezimalstellen sind bei der groben Abschätzung sinnlos.
> Eine bessere Abschätzung ist exp(2023+gamma) ~ 6.7 e+878

Meinst Du nicht exp(2023 - gamma)?
Nicht, dass der Unterschied beim relativen Fehler viel ausmachen würde.

Und ob die Abschätzung wirklich besser ist, weiß man bei asymptotischen
Entwicklungen auch nie so genau: WIMRE *divergiert* die formale
asymptotische Entwicklung für H_n für jedes n, wenn man die Anzahl der
Summanden gegen unendlich gehen lässt (weil da die Bernoulli-Zahlen
als Faktoren auftauchen, die exponentiell wachsen).
Andererseits ist n hier aber auch schon wirklich gewaltig groß...

[Hans Crauel]

Carlo XYZ schrieb

> Ach ja, und die Folgefrage für <wer es interessant findet>:
>
> f:Z\to Z heiße eng, wenn stets |z1-z2|<=1 => |f(z1)-f(z2)|<=1
>
> Gibt es eine Topologie auf Z, so dass enge Funktionen stetig
> (im Sinn dieser Topologie) sind?

Die recht banale Antwort: Ja, die Potenzmenge (auf Z
als Definitionsbereich, auf Z als Bildbereich beliebig).

Die etwas weniger banale Antwort: Ja. Nimm den Durchschnitt
über alle Topologien, jeweils sowohl auf Definitions- als
auch auf Bildbereich, bezüglich derer alle engen f : Z\to Z
stetig sind. Da es mindestens eine gibt (siehe oben) und da
der Durchschnitt über eine beliebige Menge von Topologien
wieder eine Topologie ist, bekommt man damit die minimale
Topologie, bezüglich derer alle engen Funktionen stetig sind.

Bleibt als offene Frage: Ist diese Topologie kleiner als
die Potenzmenge?

Hans

[Jens Kallup]

Am 2023-10-04 um 17:45 schrieb Jaosch:
> Die Annahme, R bestünde hauptsächlich aus n-ten Wurzeln von Elementen
> aus Q, erscheint mir zu gewagt...

x ^ -6 => -6. Wurzel(x) => -6. Wurzel aus (( -32 * 2) + 1) => -65
x ^ -5 => -5. Wurzel(x) => -5. Wurzel aus (( -16 * 2) + 1) => -33
x ^ -4 => -4. Wurzel(x) => -4. Wurzel aus (( - 8 * 2) + 1) => -17
x ^ -3 => -3. Wurzel(x) => -3. Wurzel aus (( - 4 * 2) + 1) => - 9
x ^ -2 => -2. Wurzel(x) => -2. Wurzel aus (( - 2 * 2) + 1) => - 5
x ^ -1 => -1. Wurzel(x) => -1. Wurzel aus (( - 1 * 2) + 1) => - 3

x ^ 0 => 0. Wurzel(x) => 0. Wurzel aus (( 0 * 0) + 1) => 1

x ^ 1 => 1. Wurzel(x) => 1. Wurzel aus (( 1 * 2) + 1) => 3
x ^ 2 => 2. Wurzel(x) => 2. Wurzel aus (( 2 * 2) + 1) => 5
x ^ 3 => 3. Wurzel(x) => 3. Wurzel aus (( 4 * 2) + 1) => 9
x ^ 4 => 4. Wurzel(x) => 4. Wurzel aus (( 8 * 2) + 1) => 17
x ^ 5 => 5. Wurzel(x) => 5. Wurzel aus (( 16 * 2) + 2) => 33
x ^ 6 => 6. Wurzel(x) => 6. Wurzel aus (( 32 * 2) + 1) => 65
...

man kann schön den Logarythmus erkennen.
WM Bitte melden !!!

ich habe einen dunklen Zwischenraum gefunden, der sich zwischen -1 und 1
befindet. Zwischen -1 und 1 liegt die 0.

0 ist weder dunkel, und weder hell - Revolution:

Völker ALLER Länder: steht auf, und versammelt Euch - Ihr könnt nichts
verlieren, außer Eure Langeweile !!!

Also dann: oooo zapft esss ...

wo ist die Null (0) geblieben ?

Die Menge IN umfaßt aber auch die Null, laut Def. IN.

Skandal ....

Und wenn wir bei den IN bleiben, wo ist sind die:
2,4,6,7,8,10,11,12,13,14,15,16,... hingelaufen ?

REVOLUTION !!!

dunkle Zahlen sind auf dem Vormarsch - Leute, kauft Butter und helle
Zahlen ein, denn wer weiß, wer sonst noch dunkle Zahlen findet ....

2,4,6,7,8,10,11,12,13,14,15,16 sind es schonmal nicht mehr - die habe
ich ja gesehen, und Euch vorgeworfen - Euch gemeines Pack !!

- ne Spaß, nicht gemein !!!

und wenn man das jetzt noch weiter spinnerle wollte, dann könnte man
ja sowie so die Zahlen:

1,3,5,9, ...

in Betrag setzen, weil ja die negative (dunkle) Seite das gleiche
darstellt - nur mit den kleinen minus Wurmfurtz-Satz...

Also so:

| -1, -3, -5, -9 |.

höchst interessante Sachen bemerke ich.

Man stelle weiter fest, das die "hellen" Zahlen:
| -3, -5, -17 |. Primzahlen sind !!!

Man stelle weiter fest, das die "dunklen" Zahlen:
2,5,7,8,11,13. keine Primzahlen sind.

Man stelle nun fest, das:

4,6,10,12,14,... dunkel bleiben (wenn man die Betrachtung auf

"hell" => Primzahl und:
"dunkel" => keine Primzahl

legt.

REVOLUTION !!!

Was können wir mit diesen, nun "hell" gewordenen, ehemals
"übrigen dunklen" Zahlen machen ?

Es gibt noch vielmehr zu sehen ... trallalalllaaaa....

Euer Schreiberling, Jens

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, October 4, 2023 at 1:02:59 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> Kein Grund, hier weiterzudiskutieren.

Ja, das kommt bei Dir immer, wenn Du in der Defensive bist und Dir nichts mehr einfällt, um den hirnrissigen Unsinn zu "verteidigen", den Du da von Dir gibst.

> Wer wie Du behauptet, dass die Ganzzahlbrüche die gesamte Matrix bedecken können,

Die "Matrix" (m_i,j)_(i,j e IN) mit m_i,j = i + ((i + j − 1) (i + j − 2))/2 (für alle i, j e IN) ist so eine Matrix.

„Es hat nämlich die Funktion μ + ((μ + ν − 1) (μ + ν − 2))/2, wie leicht zu zeigen, die bemerkenswerte Eigenschaft, dass sie alle positiven ganzen Zahlen und jede nur einmal darstellt, wenn in ihr μ und ν unabhängig voneinander ebenfalls jeden positiven, ganzzahligen Wert erhalten.“ (G. Cantor).

> dass man das aber nicht einzeln nachvollziehen kann indem man sie verschiebt, der lügt.

Nein, er spricht eine triviale Wahrheit aus.

Auch wenn Du es schon vergessen zu haben scheinst: Kein Term Deiner Folge von Matrizen wird je O-frei sein; und es gibt auch nicht den geringsten Grund, warum das anders sein sollte. Es können ja durch Paarvertauschung nicht plötzlich Brüche aus den Matrizen verschwinden. :-)

Btw. Man kann auch die beiden "Matrizen" [1, 2, 3, ...] und [2, 4, 6, ...] "übereinanderlegen" und "sieht" sofort, dass es eine Bijektion zwischen den Mengen {1, 2, 3, ...} und {2, 4, 6, ...} gibt.

Auch hier ist es so, dass z. B. die Folge

[1, 2, 3, 4, ...], [2, 1, 3, 4, ...], [2, 4, 3, 1, ...], ...

(die sich durch Paarvertauschungen ergibt) natürlich keinen Term [2, 4, 6, ...] enthält; und es gibt auch nicht den geringstens Grund dafür, warum das anders sein sollte.

Insbesondere impliziert dieser Umstand nicht die Nichtexistenz der Matrix [2, 4, 6, ...].

Ja, Mückenheim, die "mathematische Welt" ist leider nicht so, wie Du Sie Dir vorstellt bzw. gerne hättest; und schon gar nicht richtet sie sich nach Deinem Willen.

[Carlo XYZ]

Hans Crauel schrieb am 04.10.23 um 21:25:

> Carlo XYZ schrieb
>
>> Ach ja, und die Folgefrage für <wer es interessant findet>:
>>
>> f:Z\to Z heiße eng, wenn stets |z1-z2|<=1 => |f(z1)-f(z2)|<=1
>>
>> Gibt es eine Topologie auf Z, so dass enge Funktionen stetig
>> (im Sinn dieser Topologie) sind?
>
> Die recht banale Antwort: Ja, die Potenzmenge (auf Z
> als Definitionsbereich, auf Z als Bildbereich beliebig).

Also die diskrete? Dann sind allerdings alle Funktionen
f:Z\to Z stetig, und das war nicht gemeint, denn viele
davon erfüllen nicht die Folgerung des ZW-Satzes.

Hm. Ungenaue Frage. Gemeint war: ... dass die engen Funktionen
genau die stetigen sind.

> Die etwas weniger banale Antwort: Ja. Nimm den Durchschnitt
> über alle Topologien, jeweils sowohl auf Definitions- als
> auch auf Bildbereich, bezüglich derer alle engen f : Z\to Z
> stetig sind. Da es mindestens eine gibt (siehe oben) und da
> der Durchschnitt über eine beliebige Menge von Topologien
> wieder eine Topologie ist, bekommt man damit die minimale
> Topologie, bezüglich derer alle engen Funktionen stetig sind.

Das klingt schon eher danach.

> Bleibt als offene Frage: Ist diese Topologie kleiner als
> die Potenzmenge?

Folgt das nicht bereits aus deinen Gegenbeispielen mit
der Multiplikation, bzw. aus der Existenz von f(z)=2z+1?

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, October 4, 2023 at 1:09:05 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> >
> > Ähnlich füllen wir auch IN nicht, indem wir erst mal 1 reinpacken und dann für jedes n, das schon drin ist, auch noch n+1 hineinpacken (bis IN voll ist).
> >
> Genau! Deswegen ist auch die Peanosche Methode

Es gibt keine "Peanosche Methode", Du Spinner.

Du scheinst die Peano-Axiome mit dem konstruktivistischen Ansatz von Lorenzen zu verwechseln.

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 4. Oktober 2023 um 22:11:31 UTC+2:

> Auch wenn Du es schon vergessen zu haben scheinst: Kein Term Deiner Folge von Matrizen wird je O-frei sein; und es gibt auch nicht den geringsten Grund, warum das anders sein sollte.

Es gibt auch nicht den geringsten Grund zu glauben, dass natürliche Zahlen verfügbar sind, um alle Brüche zu indizieren. Alle als Indizes zur Verfügung stehenden Zahlen werden nach meiner Methode genau so verteilt wie Cantor es vorschreibt. Mehr sind nicht vorhanden.

> Es können ja durch Paarvertauschung nicht plötzlich Brüche aus den Matrizen verschwinden. :-)

Richtig. Das behauptet zwar Jim Burns, aber es ist genau solcher Unsinn wie Deine Behauptung.

>
> Btw. Man kann auch die beiden "Matrizen" [1, 2, 3, ...] und [2, 4, 6, ...] "übereinanderlegen" und "sieht" sofort, dass es eine Bijektion zwischen den Mengen {1, 2, 3, ...} und {2, 4, 6, ...} gibt.

Das ist auch falsch, aber nicht so eklatant wie bei den Matrizen.

>
> Auch hier ist es so, dass z. B. die Folge
>
> [1, 2, 3, 4, ...], [2, 1, 3, 4, ...], [2, 4, 3, 1, ...], ...
>
> (die sich durch Paarvertauschungen ergibt) natürlich keinen Term [2, 4, 6, ...] enthält; und es gibt auch nicht den geringstens Grund dafür, warum das anders sein sollte.
>
> Insbesondere impliziert dieser Umstand nicht die Nichtexistenz der Matrix [2, 4, 6, ...].

Die Frage ist nicht die nach der Existenz der Matrix, sondern nach der Indizierung.

Die Matrix

1/1, 2/1, 4/1, ...
3/1, 5/1, 8/1, ...
6/1, 9/1, 13/1, ...
...

ist eben viel kleiner als die Matrix aller positiven Brüche. Beweis: Die O verschwinden niemals. Und mehr ist zur Indizierung nicht vorhanden.

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, October 4, 2023 at 11:03:00 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> Die Frage ist nicht die nach der Existenz der Matrix, sondern nach der Indizierung.

*sigh* Mückenheim, das läuft in diese Fall auf das gleiche hinaus.

> Die Matrix
> 1/1, 2/1, 4/1, ...
> 3/1, 5/1, 8/1, ...
> 6/1, 9/1, 13/1, ...
> ...

existiert also. Gut. Sie hat die von Cantor (in einem anderen Zusammenhang) erwähnte Eigenschaft": Sie enthält alle natürlichen Zahlen als Elemente (und sonst nichts) und alle nur einmal.

Damit sind alle "Positionen" der Matrix indiziert. Zu Deinem besseren Verständnis:

m_1,1 <-> 1
m_1,2 <-> 2
etc.

> ist eben viel kleiner als die Matrix aller positiven Brüche.

Nein, ist sie nicht. Beide haben aleph_0 Spalten und aleph_0 Zeilen.

Sie enthält auch nicht "weniger" Elemente als die Matrix aller pos. Brüche: beide enthalten aleph_0 Elemente.

Allerdings ist die Menge der Stammbrüche in der Tat eine echte Teilmenge der Menge aller pos. Brüche. :-)

Und denn dennoch gibt es eine Bijektion zwischen diesen Beiden Mengen. (->Cantor)

Dieser Sachverhalt (dass so etwas bei unendlichen Mengen möglich ist) war aber schon Bolzano aufgefallen. Siehe Pargr. 20.

[Stefan Schmitz]

Mit Nachbarschaft kann man in Q nicht argumentieren. Da gibt es keinen
nächsten Nachbarn. Zwischen zwei verschiedenen (reellen oder rationalen)
Zahlen x1 < x2 gibt es immer eine rationale Zahl q mit x1 < q < x2.

[Rainer Rosenthal]

Am 04.10.2023 um 16:42 schrieb Ulrich D i e z:
>
> Dass 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/n mit wachsendem n größer
> wird als jede vorgegebene Schranke, ist sogar mir klar, und
> ich bin kein Mathe-Profi.
>

Hier hatte ich erst kurz geschluckt und vermutet, es käme gleich wieder
ein Bauchgefühl-Beweis.
Aber nein, Kompliment! Du hast die schöne Beweisidee mit den immer
länger gewählten Teilsummen-Paketen prima dargestellt.
Es wird Dich sicher interessieren, dass man die Reihe noch einmal
kräftig ausdünnen kann, und dass die ausgedünnte Reihe immer noch
divergiert! Lasse alle zusammengesetzten Zahlen n weg und summiere nur
über die Primzahlinversen:
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + ...

Hier kenne ich keinen Trick und könnte das aus dem Stand nicht beweisen,
aber ich weiß, dass ich mal einen Beweis so lange durchgelesen habe, bis
ich ihn verstanden habe. Es kann sogar sein, dass wir das nach
entsprechender Vorbereitung in der Zahlentheorie-Vorlesung als
Übungsaufgabe lösen durften. Ich will nur darauf hinaus, dass es hier
wirklich zauberhaft interessant wird.

> ...

> Und wenn n gegen unendlich geht, sind das unendlich viele Summanden,
> von denen jeder größer oder gleich 1/2 ist.
>
> Also divergiert das wohl.
>

"wohl" darfst Du weglassen. Das war ein Beweis, darum darfst Du
schreiben: "Also divergiert 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n", oder mit dem
schönen Namen dieser Reihe: die harmonische Reihe divergiert, q.e.d.

>
> Mit dieser fulminanten Erkenntnis kann man wenigstens schon mal ein n
> nennen, für das
>
> 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/n mit Sicherheit größer ist als 2023.

> ...

> n = 2^4044 = (10^(10_log(2)))^4044 = 10^( (10_log{2}) * 4044 ) ~ 10^1218,
>

Herzliche Gratulation! Du hast ein n gefunden, für das die Reihensumme
beweisbar größer ist als 2023. Und selbst gefunden!
Natürlich ist dann der Ehrgeiz bzw. die Neugier geweckt, kleinere n zu
finden mit dieser Eigenschaft. Auf Englisch heißt solch eine Schranke
"bound", in diesem Falle "upper bound", weil Deine Suche mit dieser
Giganto-Zahl nach oben beschränkt ist.

Mir war hierbei eingefallen, dass ich den Spruch "a bound is a bound"
kürzlich in einer OEIS-Diskussion gelesen hatte [1], und ich habe mich
jetzt aus Neugier vergewissert, dass es tatsächlich Don Knuth in seinem
Werk "Concrete Mathematics" geschrieben hat, und zwar am Ende von
Kapitel 4.4 [2].

>
> Was mich jetzt sehr interessiert, ist, wie du darauf gekommen bist, dass
> die Sache auch schon für n = 0.5*10^879 größer als 2023 ist.
>

Ich habe die z.B. in der Wikipedia-Referenz [3] zu findende Abschätzung
H_n = 1 + 1/2 + ... + 1/n ~ log(n) + gamma (mit gamma = Eulers Konstante
0.577) hergenommen und falsch weitergerechnet (worauf Martin Vaeth mich
bereits aufmerksam gemacht hat, danke). Richtig rechnend würde man nun
log(n) ~ H_n - gamma schreiben und H_n durch den gesuchten Wert 2023
ersetzen, um mittels Exponentiation n = exp(log(n)) ~ exp(2023-gamma) zu
berechnen. Mein uraltes Maple 5 rechnet sowas mit links:
n = 0.21 * 10^879.

Der Faktor 0.5 war ein Flüchtigkeitsfehler, denn ich hatte
exp(2023+gamma) gerechnet, sorry.

Mit freundlichen Grüßen,
Rainer Rosenthal

[1] Diskussion in "history" zur Folge https://oeis.org/A077773,
Kommentar von Peter Luschny am 30. Juli.

Peter Luschny: I'll put on the moderator's hat. I think it is Knuth who
occasionally writes: "Well, a bound is a bound...". If I understand him
correctly, what he's saying is that he knows the bound isn't very good,
but that doesn't matter in the context, all that matters is that such a
bound exists. In that respect I agree with Rainer.

[2]
http://cslabcms.nju.edu.cn/problem_solving/images/0/06/Concrete_Mathematics_-_R._Graham%2C_D._Knuth%2C_O._Patashnik.pdf

[3] https://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe

[Fritz Feldhase]

On Thursday, October 5, 2023 at 1:05:29 AM UTC+2, Rainer Rosenthal wrote:
> Am 04.10.2023 um 16:42 schrieb Ulrich D i e z:

> n = 0.21 * 10^879.

Also n = 2.1 * 10^878. (Die 1 ist "aufgerundet", oder?)

Da liege ich doch mit meiner Abschätzung

| Die Folge (S_n) mit S_n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/n wächst nur sehr langsam.
|
| In etwa so wie log(n). D. h. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/(e^2023) müsste so ~ 2023 sein.
|
| e^2023 ist wirklich ZIEMLICH groß. :-P
|
| Nämlich ~ 3,78... e+878.

gar nicht so falsch. Also ist z. B. S_(3,79 * 10^878) gewiss größer als 2023.

A bound is a bound.

Krasser Fall: Die Schnirelman-Konstante.

"1930 bewies Lew Genrichowitsch Schnirelman, dass jede natürliche Zahl die Summe von weniger als C Primzahlen ist, wobei C eine Konstante ist [...]"

From Schnirelmann's work it was known C is less than 800,000. By 1976 Klimov had reduced this to 55 and Vaughan to 27. In 1983 Riesel and Vaughan reduced it further to 19 and finally in 1995, Ramare showed C is at most 6. In 2014, Terrence Tao reduced this to 5.

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, October 4, 2023 at 4:42:53 PM UTC+2, Ulrich D i e z wrote:

> Dass 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/n mit wachsendem n größer

> wird als jede vorgegebene Schranke, ist sogar mir klar [...]

Ich habe das, was Du hier sehr detailliert beschrieben hast, mal in einer "Rechenübung" verkürzt so dargestellt:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... = 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + ... >= 1 + 1/2 + 2*1/4 + 4*1/8 + ... [weil 1/3 + 1/4 > 1/4 + 1/4, 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8, usw.] = 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ...

Die zuletzt hingeschriebene Reihe ist offensichtlich divergent, daher auch die Reihe, um die uns hier geht. [ ]

Das ist natürlich nur eine Beweisidee, aber der Dozent war damit zufrieden. :-)

Was mir dazu noch einfällt. Nach Mückeheim kann die Harmonische Reihe nicht divergieren, da es bekanntlich einen kleinsten Stammbruch gibt. Klarerweise kann daher mein "Beweis" oben nicht funktionieren - ich hatte das seinerzeit aber noch nicht bedacht und auch der Dozent hat diesen Fehler nicht bemerkt!

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, October 4, 2023 at 11:22:34 PM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:
> On Wednesday, October 4, 2023 at 11:03:00 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> >
> > Die Matrix
> >
> > 1/1, 2/1, 4/1, ...
> > 3/1, 5/1, 8/1, ...
> > 6/1, 9/1, 13/1, ...
> > ...
> >

> > ist eben viel kleiner als die Matrix aller positiven Brüche.
> >
> Nein, ist sie nicht. Beide haben aleph_0 Spalten und aleph_0 Zeilen.
>
> Sie enthält auch nicht "weniger" Elemente als die Matrix aller pos. Brüche: beide enthalten aleph_0 Elemente.
>
> Allerdings ist die Menge der Stammbrüche in der Tat eine echte Teilmenge der Menge aller pos. Brüche. :-)

Cantor hat diesen mögl. Sachverhalt sehr gut an einem konkreten Beispiel erklärt:

Sei M die Gesamtheit (nü) aller endlichen Zahlen nü, M' die
Gesamtheit (2nü) aller geraden Zahlen 2nü. Hier ist unbedingt richtig, daß
M seiner Entität nach /reicher/ ist, als M'; enthält doch M außer den
geraden Zahlen, aus welchen M' besteht, noch außerdem alle ungeraden
Zahlen M''. Andererseits ist ebenso unbedingt richtig, daß den beiden
Mengen M und M' nach Nr. 2 und 3 /dieselbe/ Kardinalzahl zukommt. Beides
ist sicher und keines steht dem andern im Wege, wenn man nur auf die
Distinktion von /Realität/ und /Zahl/ achtet. Man muß also sagen: /die
Menge M hat mehr Realität wie M', weil sie M' und außerdem M'' als
Bestandteile enthält; die den beiden Mengen M und M' zukommenden
Kardinalzahlen sind aber gleich/. Wann endlich werden alle Denker
diese so einfachen und einleuchtenden Wahrheiten (gewiß nicht zu ihrem
Nachteile) anerkennen?" (G. Cantor)

[Ralf Bader]

On 10/04/2023 09:32 AM, Rainer Rosenthal wrote:
> Am 04.10.2023 um 03:19 schrieb Fritz Feldhase:
>> On Tuesday, October 3, 2023 at 10:51:04 PM UTC+2, Rainer Rosenthal wrote:
>>> Am 03.10.2023 um 17:33 schrieb Jaosch:
> ...
>>
>> Was ist denn jetzt mit der perfekten Erklärung eines Schnittes (einer
>> Vereinigung) über abzählbar unendlich viele Mengen als einer abzählbar
>> unendlich-oft angewendeten binären Operation? (Dies soll angeblich
>> durch "rekursive Definition" möglich sein.)
>>
>> Kannst Du nicht endlich AUCH EINMAL etwas dazu sagen, nachdem der Typ,
>> der diese Behauptung ursprünglich aufgestellt hat, sich seither in
>> Schwiegen hüllt? [ Weitere Erläuterungen zu A u B = U{A,B} etc.]
>
>
> Fast(*) alles richtig, was Du da schreibst und im Folgenden erläutert
> hattest. Mit "perfekte Erklärung" habe ich den knappen Hinweis auf den
> Unterschied zwischen endlich und unendlich vielen Schnitten gelobt.
>
> Dass man das "sukzessive Schneiden" formalisieren kann, scheint mir
> durchaus möglich, aber so richtig interessant finde ich das nicht,
> sorry. Stichwort: Topologie auf Mengen, wobei gleich aufzupassen ist,

Die Vorstellung, daß das möglich sei und in der Mengentheorie enthalten
wäre, ist ja auch nur einer der Dreh- und Angelpunkte des
Mückenheimschen Schwachsinns. Weshalb sollte man sich also durch eine
fundierte Befassung damit (Stichwort: transfinite Rekursion) in der
immergleichen Dauerdiskussion des Mückenheimschen saublöden Krampfs
stören lassen?

[Fritz Feldhase]

On Thursday, October 5, 2023 at 2:54:28 AM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:
> On Wednesday, October 4, 2023 at 11:22:34 PM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:
> > On Wednesday, October 4, 2023 at 11:03:00 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> > >
> > > Die Matrix
> > >
> > > 1/1, 2/1, 4/1, ...
> > > 3/1, 5/1, 8/1, ...
> > > 6/1, 9/1, 13/1, ...
> > > ...
> > >
> > > ist eben viel kleiner als die Matrix aller positiven Brüche.
> > >
> > Nein, ist sie nicht. Beide haben aleph_0 Spalten und aleph_0 Zeilen.

Du scheinst vergessen zu haben, wie diese "Matrizen" definiert sind. Die Indexmenge für den Spalten- und Zeilenindex ist in allen Fällen die Menge IN. Diese "Matrix" KANN also gar NICHT "kleiner" sein als die Matrizen in der Folge der Matrizen die Du betrachtest; insbesondere also auch nicht als die "Ausgangsmatrize" in Deinem "Beweis" (von nichts).

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, October 4, 2023 at 11:22:34 PM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:

> Allerdings ist die Menge der Stammbrüche in der Tat eine echte Teilmenge der Menge aller pos. Brüche. :-)
>

> Und dennoch gibt es eine Bijektion zwischen diesen beiden Mengen. (->Cantor)
>
> Dieser Sachverhalt (dass so etwas bei unendlichen Mengen möglich ist) war aber schon Bolzano aufgefallen:

§ 20.
[Gehen] wir nun zur Betrachtung einer höchst merkwürdigen Eigenheit [über],
die in dem Verhältnisse zweier Mengen /wenn beide unendlich sind/,
vorkommen kann, ja eigentlich immer vorkommt, die man aber bisher zum
Nachteil für die Erkenntnis mancher wichtigen Wahrheiten der Metaphysik
und Mathematik übersehen hat, und die man wohl auch jetzt, indem ich sie
aussprechen werde, in einem solchen Grade paradox finden wird, dass es
sehr nötig sein dürfte, bei ihrer Betrachtung uns etwas länger zu verweilen.

[Ende der Einleitung. Nun aber:]

Ich behaupte nämlich: zwei Mengen, die beide unendlich sind,
können in einem solchen Verhältnisse zueinander stehen, dass es
/einerseits/ möglich ist, jedes der einen Menge gehörige Ding mit einem
der anderen zu einem Paare zu verbinden mit dem Erfolge, dass kein
einziges Ding in beiden Mengen ohne Verbindung zu einem Paare bleibt,
und auch kein einziges in zwei oder mehreren Paaren vorkommt;

[In heutiger Terminologie: es kann eine Bijektion zwischen zwei unendlichen Mengen existieren, Mückenheim,]

und dabei ist es doch /andererseits/ möglich, dass die eine dieser Mengen die
andere als einen bloßen Teil in sich fasst [...]

[obwohl eine der Menge eine echte Teilmenge der anderen ist.]

Den Beweis dieser Behauptung werde ich durch zwei Beispiele führen, in
welchen das Gesagte unwidersprechlich stattfindet. [...]

Nur im Mückenhausen hat man den Schuß offenbar noch nicht gehört.

[Jaosch]

Das sehe ich ein, aber zwischen zwei verschiedenen (rationalen) Zahlen q1 < q2 gibt es wohl auch immer eine irrationale Zahl r neD mit q1 < r < q2, und es könnte gelten f(r)=0

jaosch

[Fritz Feldhase]

On Thursday, October 5, 2023 at 5:34:23 AM UTC+2, Jaosch wrote:
> Stefan Schmitz schrieb am Donnerstag, 5. Oktober 2023 um 00:32:16 UTC+2:
> > Am 04.10.2023 um 17:31 schrieb Jaosch:
> > > Jaosch schrieb am Dienstag, 3. Oktober 2023 um 07:03:49 UTC+2:
> > >> Hans Crauel schrieb am Montag, 2. Oktober 2023 um 22:28:51 UTC+2:
> > >>> Jaosch schrieb
> > >>>> Auf die OT-Frage erhoffe ich mir eine Antwort in der Art:
> > >>>> Weil das Argument <blabla> als Element einer überabzählbaren

> > >>>> Grundmenge angenommen werden kann (im Gegensatz zu Annahme einer

> > >>>> abzählbaren Grundmenge), folgt, dass <blablub>......
> > >>> Der Zwischenwertsatz sagt, dass jede auf einem Intervall
> > >>> definierte Funktion, die stetig ist und die einen positiven
> > >>> Wert f(a) und einen negativen Wert f(b) annimmt, eine
> > >>> zwischen a und b liegende Nullstelle hat, dass es also
> > >>> ein x zwischen a und b mit f(x) = 0 gibt.
> > >>>
> > >>> Diese Aussage würde nicht zutreffen, wenn die Funktionen
> > >>> auf einer nur abzählbaren Menge definiert wären. Man muss
> > >>> voraussetzen, dass sie auf einem Intervall definiert sind,
> > >>> einer überabzählbaren Grundmenge.
> > >>>
> > >> Ja nachvollziehbar.
> > >>
> > >> jaosch
> > >
> > > Dass es bei einem - im Kontext R lückenbehaftetem D=Q - zwei benachbarte x geben *kann*, zwischen deren y - trotz "Stetigkeit" - der Wert 0 fällt, ist für mich nachvollziehbar.
> > > Falls dieser Gedanke falsch sein sollte, bitte ich um Korrektur.

Leider habe ich den Gedanken nicht verstanden. Natürlich hat z. B. die Funktion f : Q --> Q, q |-> q im Punkt 0 eine Nullstelle.

> > Mit Nachbarschaft kann man in Q nicht argumentieren. Da gibt es keinen
> > nächsten Nachbarn. Zwischen zwei verschiedenen (reellen oder rationalen)
> > Zahlen x1 < x2 gibt es immer eine rationale Zahl q mit x1 < q < x2.
> >

> Das sehe ich ein, aber zwischen zwei verschiedenen (rationalen) Zahlen q1 < q2 gibt es wohl auch immer eine irrationale Zahl r [...] mit q1 < r < q2, und es könnte gelten f(r)=0

Nein, nicht wenn der Definitionsbereich der Funktion f Q ist. Denn bekanntlich gibt es in Q keine irrationalen Zahlen, also auch kein irrationales r mit f(r) = 0. (Für ein x !e Q als Argument ist f gar nicht definiert, so dass es keinen Sinn macht, über f(x) mit irrationalem x zu reden.)

Wie gesagt f : [0, 2] n Q --> IR definiert durch f(x) = x^2 - 2 (für alle x e [0, 2] n Q) ist ein gutes Beispiel.

f(0) = -2, f(2) = 2. Es gibt aber kein x in D(f) = [0, 2] n Q mit f(x) = 0. Denn für so ein x müsste gelten: x^2 - 2 = 0, also x^2 = 2. So ein x gibt es bekanntlich in Q nicht, also auch nicht in [0, 2] n Q.