Hilfe bei Cantors 2. Diagonalargument!

Yal el Tanim

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May 6, 2011, 6:04:22 AM5/6/11

to

Hallo liebe Mathematik-Experten!

Auch ich habe ein Verständnisproblem mit Cantors 2. Diagonalargument,
wobei ich im Gegensatz zu manchen anderen hier glaube dass das meinen
limitierten Mathekenntnissen zuzuschreiben ist.
Es ist mir ebenso bewusst, dass es noch andere Beweise fur den
Unterschied zwischen abzählbaren und überabzählbaren Mengen gibt - ich
möchte mich aber hier auf Cantors 2. Diagonalargument beschränken. Ich
wäre für eure Hilfe ungemein dankbar!

Mein Problem resultiert aus Analogie-Überlegungen, wie man eine Cantor-
ähnliche Konstruktion auf die natürlichen Zahlen anwenden würde -
wobei das Ergebnis anders ausfallen sollte.

Hierbei ist es bei zwei beliebigen endlichen Folgen von i Elementen
von reellen / natürlichen Zahlen so, dass man für beide ein bisher
nicht erfasstes Element konstruieren kann. Bei reellen Zahlen erfolgt
dies mittels Cantors Methode, bei natürlichen Zahlen durch Ermittelung
des höchsten Elementes der Folge - dies benötigt eine definierte
Anzahl an Operationen - und dann (bisher nicht erfasstes
Element):=(höchstes Element)+1.

Nun ist das ja bei unendlichen Folgen anscheinend unterschiedlich: Für
natürliche Zahlen soll ein neues Element außerhalb der "schon
abgezählten Elemente" nicht mehr konstruierbar sein, für reelle
hingegen schon.

Also muss meines Erachtens eine vollständige Induktion, mit der man
den Übergang von der Konstruktion eines neuen Elementes aus oben
erwähnten endlichen reellen / natürlichen Folgen zu der Konstruktion
aus unendlichen Folgen durchführt, bei den natürlichen Zahlen
scheitern. Wie das? Bei natürlichen Zahlen scheint mir die
Konstruktion doch immer noch zu funktionieren, egal wie weit ich die
Liste erweitere i+1,i+2,... i+N, N-> unendlich per Induktion? Wieso
scheitert meine Konstruktionsmethode beim induktiven Übergang zu einer
unendlichen Folge in N? Und wieso gleichzeitig Cantors nicht?

Vielen Dank & mit freundlichen Grüßen!
Yal el Tanim

Albrecht

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May 6, 2011, 7:16:59 AM5/6/11

to

Der Grundgedanke bei Cantors zweitem Diagonalargument ist der, dass
ein unendliche Liste (oder Folge) vorliegt (und zwar komplett). Unter
annahme des Axiom of Infinity (AoI) liegen die natuerlichen Zahlen als
unendliche Menge (und damit auch Folge/Liste) vor. Als weitere
Konsequenz des AoI gibt es keine natuerliche Zahl, die nicht in der
unendlichen Liste aller natuerlichen zahlen enthalten sei. Folglich
laesst sich auch auf keiner weise eine weiter natuerliche Zahl
erzeugen, alle sind schon in der Folge 1, 2, 3, ... enthalten.

Cantors Argument geht nun so: egal, welche Liste reeller Zahlen man
heranzieht, man kann immer durch das Diagonalverfahren mindestens eine
weitere reelle Zahl erzeugen die nicht in dieser Liste enthalten sei.
Moeglich ist dies, da reelle Zahlen als Stellenwertzahlen mit
unendlich vielen Stellen nach dem Komma definiert sind. Offenbar sind
die Moeglichkeiten eines unendlichstelligen Stellensystems
unausschoepflich. Konsequenz dieser Logik ist aber wiederum, dass es
(unsagbar viel) mehr reelle Zahlen geben soll als man bennen,
beschreiben, berechnen, konstruieren, kennen, ... kann.

Obiges war Standardmathematik. Hier nun meine Sicht: Die uebliche
Definition der reellen Zahlen ist unsinnig. Verschiedene
Unendlichkeiten (aleph_0, aleph_1, ...) sind einfach nur Quatsch.

Gruss
Albrecht

WM

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May 6, 2011, 7:20:12 AM5/6/11

to

On 6 Mai, 12:04, Yal el Tanim <yal_el_ta...@gmx.de> wrote:

>
> Mein Problem resultiert aus Analogie-Überlegungen, wie man eine Cantor-
> ähnliche Konstruktion auf die natürlichen Zahlen anwenden würde -
> wobei das Ergebnis anders ausfallen sollte.
>
> Hierbei ist es bei zwei beliebigen endlichen Folgen von i Elementen
> von reellen / natürlichen Zahlen so, dass man für beide ein bisher
> nicht erfasstes Element konstruieren kann.

Man konstruiert nicht ein neues Element, sondern man nimmt an, das
alle Elemente existieren - alle natürlichen Zahlen und alle reellen
Zahlen. Dann wird eine Abbildung zwischen beiden Mengen hergestellt,
wobei nach Definition einer Folge alle natürlichen Zahlen verwendet
werden. Cantors Argument zeigt, dass dabei nicht alle reellen Zahlen
verwendet werden.

Geht man umgekehrt vor und definiert die Menge aller reellen Zahlen
(des Einheitsintervalls) als gegeben, z. B. mit Hilfe des Binären
Baums, so kann man schon per Definition keine weitere reelle Zahl
finden, (ebenso, wie man per Definition zu einer vollständigen
unendlichen Folge kein weiteres Folgenglied finden kann).

Mit Hilfe einer anscheinend für viele zu komplizierten Überlegung zur
Konstruktion des Binären Baums mit Hilfe seiner Knoten kann man dann
zeigen, dass das aktual Unendliche jedes beliebige Ergebnis erlaubt
und also nicht Gegenstand der Mathematik ist.

Gruß, WM

Yal el Tanim

unread,

May 6, 2011, 7:44:02 AM5/6/11

to

Vielen Dank für eure Antworten!

Leider habe ich den logischen Knackpunkt noch nicht so ganz gelöst:

> Cantors Argument geht nun so: egal, welche Liste reeller Zahlen man
> heranzieht, man kann immer durch das Diagonalverfahren mindestens eine
> weitere reelle Zahl erzeugen die nicht in dieser Liste enthalten sei.

Ich bin noch etwas skeptisch. Für mich funktioniert Cantors Argument
bei genauerer Darlegung so:
Cantor: "Man kann immer durch mein Diagonalverfahren mindestens eine

weitere reelle Zahl erzeugen die nicht in dieser Liste enthalten sei."

Yal: "Glaube ich jetzt nicht. Gibt es nen Beweis?"
Cantor: "Also gut, bei endlichen Folgen glaubst Du das
Diagonalargument schon?"
Yal: "Da ohne Weiteres."
Cantor: "Dann mach einfach vollständige Induktion mit immer längeren
Folgen, dann glaubst Du es bei einer unendlichen Folge reeller Zahlen
auch!"
Yal: "Hm, und meine Konstruktion funktioniert bei den von mir
erwähnten Folgen in N jetzt nicht?"

Anders zusammengefasst: Es ist mir gar nicht so klar, dass das
Diagonalargument bei einer unendlichen Folge überhaupt gilt (und nicht
nur bei einer endlichen). Zum Beweis - so dachte ich - könne man
sicher doch Induktion anwenden, beginnend von endlichen Folgen her.
Und wie sieht diese Induktion denn aus, dass sie sich bezügl. des
Konstruktionsargumentes von neuen Elementen sich derart anders
verhielte als der Übergang zu einer unendlichen Folge der natürlichen
Zahlen?

Grüße, Yal

Rainer Rosenthal

unread,

May 6, 2011, 8:11:37 AM5/6/11

to

Am 06.05.2011 13:44, schrieb Yal el Tanim:

> Ich bin noch etwas skeptisch. Für mich funktioniert Cantors Argument
> bei genauerer Darlegung so:
> Cantor: "Man kann immer durch mein Diagonalverfahren mindestens eine
> weitere reelle Zahl erzeugen die nicht in dieser Liste enthalten sei."
> Yal: "Glaube ich jetzt nicht. Gibt es nen Beweis?"

Hallo Yal,

das Diagonalverfahren *ist* der Beweis. Bei vorgelegter Liste L
liefert es eine Zahl z. Diese Zahl ist so trickreich konstruiert,
dass sie gar nicht in der Liste liegen kann.
Wäre sie in der Liste, dann wäre sie an sagen wir mal der 1427-ten
Stelle in der Liste. Also wäre die 1427-te Ziffer dieser Zahl z
gleich 5, falls die 1427-te Ziffer dieser 1427-ten Listenzahl eine
5 wäre.

Nach Konstruktion von z ist die 1427-te Ziffer aber gerade *keine* 5.
Folglich ist z nicht auf Platz 1427. Und nach gleicher Überlegung
kann sie auch nicht auf dem Platz 888 oder 478123335 sein.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

Yal el Tanim

unread,

May 6, 2011, 8:15:06 AM5/6/11

to

Lieber WM,

noch ein Wort zu Deiner hilfreichen Antwort:

Sobald die Folge aller natuerlichen Zahlen komplett ist, wird ja
verboten, ein neues Element zu konstruieren - dies sei per
definitionem schon in der unendlichen Folge enthalten. Obwohl ich per
Induktion zeigen kann, dass diese Konstruktion mindestens fuer alle
endlichen Folgen moeglich ist (ich wuerde sogar behaupten wollen fuer
alle Folgen moeglich, vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndige_Induktion)!!

Nehmen wir einmal nur hypthetisch an, die reellen Zahlen waeren
abbildbar auf N. Dann verboete ich jetzt auch Cantors Diagonalargument
mit eben der gleichen Begruendung: Per Definitionem nicht moeglich!

Ich sehe da eine gewisse Ungleichbehandlung gegeben.

Nichtsdestotrotz danke & Viele Gruesse, Yal

Kasi Mir

unread,

May 6, 2011, 8:30:26 AM5/6/11

to

Rainer Rosenthal schrieb:

> das Diagonalverfahren *ist* der Beweis

Das ist Blödsinn.

> Nach Konstruktion von z ist die 1427-te Ziffer aber gerade *keine* 5

Bei EINZIG sinnvoller Wahl eines für das Unendliche logisch passende
Zahlensystems (mit unendlicher Basis) hat jede Zahl nur eine Ziffer
und das "Argument" Cantors entfällt.

Mal ein bisschen weiter denken, man...

Yal el Tanim

unread,

May 6, 2011, 8:43:06 AM5/6/11

to

> Hallo Yal,
>
> das Diagonalverfahren *ist* der Beweis. Bei vorgelegter Liste L
> liefert es eine Zahl z. Diese Zahl ist so trickreich konstruiert,
> dass sie gar nicht in der Liste liegen kann.
> Wäre sie in der Liste, dann wäre sie an sagen wir mal der 1427-ten
> Stelle in der Liste. Also wäre die 1427-te Ziffer dieser Zahl z
> gleich 5, falls die 1427-te Ziffer dieser 1427-ten Listenzahl eine
> 5 wäre.
>
> Nach Konstruktion von z ist die 1427-te Ziffer aber gerade *keine* 5.
> Folglich ist z nicht auf Platz 1427. Und nach gleicher Überlegung
> kann sie auch nicht auf dem Platz 888 oder 478123335 sein.
>
> Gruß,
> Rainer Rosenthal

> r.rosent...@web.de

Hallo Rainer,

Die Plaetze 888, 1427 oder 478123335 gehoeren zu einer endlichen
Liste. Wie funktioniert das bei unendlich vielen reellen Zahlen? Wie
ich darlegte, koennen wir auch fuer endlich viele natuerliche Zahlen
beweisen, dass wir noch nicht alle abgezaehlt haben. Ohne Induktion
glaube ich das fuer die reelle-Zahlenliste nicht, aber die Induktion
funktioniert auch wiederum fuer den analogen "Ups, wir haben doch noch
nicht alle gezaehlt - Beweis" bei natuerlichen Zahlen. Respektive, wo
liegt der Fehler? Zu WM schrieb ich ja bereits, dass das "per
definitionem verboten"-Argument auch gegen Cantor wirksam sein
koennte.

Gruß,
Yal el Tanim

Roland Franzius

unread,

May 6, 2011, 8:52:07 AM5/6/11

to

Auch da hat man gewisse Schwierigkeiten der Eindeutigkeit und der
Anordnung. Aber sicher hast du v. Neumann schon dazu konsultiert und
wirst, wie WM, wissen, worüber du redest. WM hat ja gerade die in der
Physik allseits beliebten, nach vorn und hinterm Komma unendlichen
Stellensysteme entdeckt.

--

Roland Franzius

Rainer Rosenthal

unread,

May 6, 2011, 8:57:07 AM5/6/11

to

Am 06.05.2011 14:43, schrieb Yal el Tanim:

> Die Plaetze 888, 1427 oder 478123335 gehoeren zu einer endlichen
> Liste. Wie funktioniert das bei unendlich vielen reellen Zahlen?

Auch eine unendliche Liste hat die Plätze 888, 1427 usw.
Und - nocht wichtiger - jeder Platz hat eine Nummer, also eine dazu
gehörende natürliche Zahl.

Kommt jemand mit einer unendlichen Liste L und behauptet, sie enthalte
alle reellen Zahlen, dann baut man die Zahl z mittels Diagonalverfahren
und sieht, dass sie keinen Platz in der Liste hat. Das ist gleichbe-
deutend damit, dass sie nicht in der Liste ist. Also fehlt mindestens
eine. Da die Liste angeblich fertig war, darf man jetzt natürlich nicht
noch kommen und sagen: na ja, dann schieben wir die Zahl z halt noch
in die Liste L irgendwo ein.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

Yal el Tanim

unread,

May 6, 2011, 9:13:30 AM5/6/11

to

On 6 Mai, 14:57, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
> Am 06.05.2011 14:43, schrieb Yal el Tanim:
>
> > Die Plaetze 888, 1427 oder 478123335 gehoeren zu einer endlichen
> > Liste. Wie funktioniert das bei unendlich vielen reellen Zahlen?
>

> Auch eine unendliche Liste hat die Pl tze 888, 1427 usw.

> Und - nocht wichtiger - jeder Platz hat eine Nummer, also eine dazu

> geh rende nat rliche Zahl.

>
> Kommt jemand mit einer unendlichen Liste L und behauptet, sie enthalte
> alle reellen Zahlen, dann baut man die Zahl z mittels Diagonalverfahren
> und sieht, dass sie keinen Platz in der Liste hat. Das ist gleichbe-
> deutend damit, dass sie nicht in der Liste ist. Also fehlt mindestens

> eine. Da die Liste angeblich fertig war, darf man jetzt nat rlich nicht

> noch kommen und sagen: na ja, dann schieben wir die Zahl z halt noch
> in die Liste L irgendwo ein.
>

> Gru ,
> Rainer Rosenthal
> r.rosent...@web.de

Japp, soweit klar, aber der von mir angesprochene Punkt ist nicht
geloest. Wie beweist man, dass Cantors Argument auch fuer eine
unendliche Liste gueltig ist - dies wie gesagt ganz besonders
angesichts dessen, dass eine Konstruktion eines weiteren Elements j+1
der Folge natuerlicher Zahlen {Ni}j fuer j--->unendlich _nicht_ mehr
moeglich sein soll, obwohl es fuer alle Folgen moeglich sein muesste.

Was, wenn ich behauptete, dasselbe gelte fuer Cantors Argument: Das es
naemlich nicht mehr geht, wenn wir zum unendlichen uebergehen? Wie
wird da Beweis des "immer-noch-Zutreffens" gefuehrt? Das anschauliche
Zutreffen des Cantorschen Arguments jedenfalls liegt allein im
Endlichen, und jede Induktion fuehrt auch bei N zu der Aussage "tja,
wir finden generell immer noch eine weitere Zahl j+1, egal wie weit
wir das treiben"! Voellig analog zu "wir finden immer noch eine Zahl
mit einer der Stellen {1,...j}, also eine weitere reelle Zahl, die
ungleich ist allen bisherigen. Das gilt auch fuer j--->unendlich".
Warum gilt es hier nicht fuer j--->unendlich, dort schon fuer j---
>unendlich?

Gruesse,
Yal el Tanim

Rainer Rosenthal

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May 6, 2011, 9:36:15 AM5/6/11

to

Am 06.05.2011 15:13, schrieb Yal el Tanim:

> angesichts dessen, dass eine Konstruktion eines weiteren Elements j+1
> der Folge natuerlicher Zahlen {Ni}j fuer j--->unendlich _nicht_ mehr
> moeglich sein soll, obwohl es fuer alle Folgen moeglich sein muesste.

Hier liegt ein Irrtum vor, und zwar ein sehr entscheidender.
Die natürlichen Zahlen lassen stets zu einer Zahl n noch die Zahl n+1
zu. Damit kommt man aber nicht aus den natürlichen Zahlen heraus.
Im Gegenteil: die natürlichen Zahlen sind ja gerade die Zahlen, die
man von 1 aus durch wiederholtes simples "+1" erreicht.

Die reellen Zahlen hingegen lassen sich nicht so schön wie Perlen
hintereinander legen, die man dann nur noch abzählen muss. Natürlich
kann man unendlich lange Perlschnüre (Listen) aus reellen Zahlen machen,
denn davon gibt es wahrlich genug, aber keine dieser unendlich langen
Perlschnüre (Listen) kann *alle* reellen Zahlen enthalten.

Die unendlich lange Perlschnur 1-2-3-4-... enthält aber *alle* natürlichen
Zahlen.

Vielleicht hast Du Dich auch genug mit dem Thema beschäftigt, um schon
zu wissen, dass die Menge aller Bruchzahlen wie 2/3, 78/919 usw. abzählbar
ist? Wenn man diese als Dezimalbrüche schreibt, so wie man es beim
Diagonalbeweis mit den reellen Zahlen macht, dann könnte man ja auch auf
die Idee kommen, dass solch eine Liste unmöglich sein müsse. Der Witz ist aber,
dass die Zahl z, die man zu einer vollständigen Bruchzahlen-Liste bauen kann,
nicht wieder eine Bruchzahl ist. Bruchzahlen sehen nämlich unregelmäßig aus,
sind aber nicht derart regellos wie die reellen Zahlen, sondern sie haben
gewisse Gesetzmäßigkeiten in ihrem Aufbau.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

Yal el Tanim

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May 6, 2011, 9:49:31 AM5/6/11

to

> r.rosent...@web.de

Hallo Rainer,

ich danke Dir dafuer dass Du Dich mit meiner dringlichen Frage
beschaeftigst!
Aber aus meiner Sicht hast Du in diesem Post mit dem Bild von Perlen
Folgerungen aus Cantors Argument aufgefuehrt bzw. bist auf N und Q
eingegangen. Ich jedoch habe Zweifel an Cantors Beweisfuehrung selbst,
auf die Du nicht eingehst. Falls ich meine Kritikpunkte am Beweis
nicht verstaendlich genug dargelegt habe, dann schreibe mir bitte, wo
fuer Dich noch Unklarheiten bestehen.
Unabhaengig davon Danke fuer Deine eingesetzte Muehe.

Gruesse,
Yal el Tanim

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WM

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May 6, 2011, 10:07:41 AM5/6/11

to

> Was, wenn ich behauptete, dasselbe gelte fuer Cantors Argument: Das es
> naemlich nicht mehr geht, wenn wir zum unendlichen uebergehen?

Hallo Yal,

das ist doch gerade der Trick der Cantorianer: Sie vertauschen die
Bedeutungen von "unendlich".
Die Liste
0,0
0,1
0,11
0,111
...
ist zwar unendlich, aber sie enthält in keiner Zeile eine unendliche
Menge von Einsen. Am einfachsten erkennt man das an der Liste
1,1
11,11
111,111
...
Diese Listen sind also bezüglich des Zeileneinhaltes nur potentielle
unendlich. Und in ihnen funktioniert das Diagonalargument nicht. Zum
Beispiel ist die Diagonalzahl der ersten Liste bei Ersetzung von 0
durch 1 in der Liste enthalten.

Erst bei Annahme einer aktual unendlichen Menge von Einsen wie in 1/9
= 0,111... wäre die so erschaffene Diagonalzahl mit keiner Zahl der
ersten Liste identisch, unterschiede sich also von
allen Zahlen der ersten Liste.

Nun erhebt sich natürlich die Frage, durch welche Maßnahmen schafft
sie das? Welche Auszeichnung besitzt sie, um sich von allen Zahlen
gleichzeitig zu unterscheiden? Darauf gibt es keine befriedigende
Antwort, denn da alle Einsen an natürlich indizierten Stellen schon
vergeben sind, käme hier Gott oder das große kleine omega ins Spiel.
Deshalb wird nun wieder die potentielle Unendlichkeit bemüht: 1/9
unterscheidet sich von jeder Zahl der Liste, aber nicht von allen.

Also behauptet man nun nicht mehr, sie habe mehr Einsen als alle
Zahlen der Liste. Demnach behauptet man auch nicht mehr, sie
unterscheide sich von allen Zahlen der Liste? Doch, doch, ... usw.
Man darf zwar unendliche Mengen bilden. Aber den Durchschnitt aller
Unterschiede zwischen den Listenzahlen und der Zahl 0,111... darf man
nicht bilden, bzw. es wird postuliert, dass er leer ist, obwohl alle
Listenzahlen sich von der Zahl 0,111... unterscheiden und solche
Unterscheidungstricks wie bei Tänzern und Tänzerinnen und bei roten
Dreiecken und blauen Kreisen hier nicht stattfinden können.
Es ist ein Lehrstück in Sachen Sophismus und auch in Psychologie (denn
die Leute glauben ihren Humbug ja wohl tatsächlich): was meint man dem
eigenen Geist zumuten zu können, um einen früher einmal - vermutlich
unter großen Strapazen - verstandenen und als schön empfundenen
"Beweis" nicht als das erkennen zu müssen, was er ist?

Gruß, WM

WM

unread,

May 6, 2011, 11:19:39 AM5/6/11

to

On 6 Mai, 15:36, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:

> Die reellen Zahlen hingegen lassen sich nicht so schön wie Perlen
> hintereinander legen, die man dann nur noch abzählen muss.

Aber sie lassen sich schön wie Lametta in einen Baum hängen, alle, und
zwar sind alle reellen Zahlen in abzählbar vielen Momentfotografien
des Baums enthalten (die lassen sich also abzählen), für die man ganz
mathematisch und ohne Intuition zu bemühen beweisen kann, dass keine
der Momentfotografien mehr als eine Zahl mehr als ihr Vorgängerin
enthält und weniger als eine Zahl weniger als ihre Nachfolgerin.

Das führt zu der inzwischen wohl verbreiteten Erkenntnis, dass man
eine abzählbar unendliche Menge nicht vollständig durchgehen kann und
dass Cantors "Beweis" scheitert.

Gruß, WM

Kasi Mir

unread,

May 6, 2011, 11:23:45 AM5/6/11

to

Roland Franzius schrieb:

> Am 06.05.2011 14:30, schrieb Kasi Mir:
>> Rainer Rosenthal schrieb:
>>
>>> das Diagonalverfahren *ist* der Beweis
>>
>> Das ist Blödsinn.
>>
>>> Nach Konstruktion von z ist die 1427-te Ziffer aber gerade *keine* 5
>>
>> Bei EINZIG sinnvoller Wahl eines für das Unendliche logisch passende
>> Zahlensystems (mit unendlicher Basis) hat jede Zahl nur eine Ziffer
>> und das "Argument" Cantors entfällt.
>>
>> Mal ein bisschen weiter denken, man...
>
> Auch da hat man gewisse Schwierigkeiten der Eindeutigkeit und der
> Anordnung.

Sicherlich möchtest du das, was du "hast", genauer sagen, damit
es halt zu irgendetwas wird, z.B. zu einer Information. Oder!?

Roland Franzius

unread,

May 6, 2011, 11:43:05 AM5/6/11

to

Du must einfach weiter hinten anfangen, dann scheiterst du nicht so weit
vorn.

Zum Beispiel die Kettenbruchentwicklung

arctan x = lim_n->oo x / K( k^2 x^2, 2 k +1 , k=0,n)

ist außer für x=0 nicht für ein einziges x rational. Hier muß man
natürlich von oo aus rückwärts zählen, wenn man rationale Näherungen
hinschreiben möchte.

Also passt das Bild der rationalen Zahlengerade unter der atan-Abbildung
zwischen alle rationalen Zahlen in (-pi,pi), ohne mit Ausnahme der Zahl
0 eine einzige zu treffen. Und das ist nur normale Arithmetik der
Geometrie am Kreis, der krumme Hund, der schon die Alten Griechen zur
Verzweiflung und Zenon zu geistigen Höchstleistungen trieb.

Übersetze mal in Dezimalbaum.

--

Roland Franzius

Alois Steindl

unread,

May 6, 2011, 12:06:45 PM5/6/11

to

Roland Franzius <roland....@uos.de> writes:

>
> Zum Beispiel die Kettenbruchentwicklung
>
> arctan x = lim_n->oo x / K( k^2 x^2, 2 k +1 , k=0,n)
>
> ist außer für x=0 nicht für ein einziges x rational. Hier muß man
> natürlich von oo aus rückwärts zählen, wenn man rationale Näherungen
> hinschreiben möchte.
>

Geht's ein bisschen genauer?
x wird (wie aus dem Folgenden ableitbar) als rational vorausgesetzt?

> Also passt das Bild der rationalen Zahlengerade unter der
> atan-Abbildung zwischen alle rationalen Zahlen in (-pi,pi), ohne mit
> Ausnahme der Zahl 0 eine einzige zu treffen.

Alois

Kasi Mir

unread,

May 6, 2011, 12:16:53 PM5/6/11

to

Roland Franzius schrieb:

> Hier muß man natürlich von oo aus rückwärts zählen

Macht übrigens Cantor in seinem "ursprünglichen Beweis der
Überabzählbarkeit der reellen Zahlen" (Deiser) ebenfalls:

Da geht es von xi(0),xi(1),xi(2),xi()... vorwärts --> nach
oo und von da aus wieder <-- zurück xi(),xi(2),xi(1),xi(0).

Weil man wieder zurückkommt ist das wohl nicht so weit.
Aber dafür hat man ja dann noch die ganzen anderen Alefs.

Na ja, wir wissen jetzt jedenfalls, dass die Krone immer "mehr"
findet, wann immer sie will. Auf zum Mars, dort ist mehr Sand.

Jürgen R.

unread,

May 6, 2011, 12:21:41 PM5/6/11

to

>
> Also muss meines Erachtens eine vollständige Induktion, mit der man
> den Übergang von der Konstruktion eines neuen Elementes aus oben
> erwähnten endlichen reellen / natürlichen Folgen zu der Konstruktion
> aus unendlichen Folgen durchführt, bei den natürlichen Zahlen
> scheitern. Wie das? Bei natürlichen Zahlen scheint mir die
> Konstruktion doch immer noch zu funktionieren, egal wie weit ich die
> Liste erweitere i+1,i+2,... i+N, N-> unendlich per Induktion? Wieso
> scheitert meine Konstruktionsmethode beim induktiven Übergang zu einer
> unendlichen Folge in N? Und wieso gleichzeitig Cantors nicht?
>

Die Methode funktioniert in beiden Fällen:
Es wird eine Zahl konstruiert, die sich von der i-ten Zahl der
Liste in der i-ten Stelle unterscheidet.

Im Falle der reellen Zahlen erhält man damit eine
reelle Zahl, die sich von jeder Zahl der Liste unterscheidet.
Also ist die Aufzählung unvollständig.

Im Falle einer Liste natürlicher Zahlen (egal ob diese alle
natürlichen Zahlen enthält oder nicht) tritt die "Diagonalzahl"
ebenfalls nicht in der Liste auf. Darin liegt kein Widerspruch,
denn die Diagonalzahl ist keine natürliche Zahl.

Kasi Mir

unread,

May 6, 2011, 12:33:13 PM5/6/11

to

Jürgen R. schrieb:

> Es wird eine Zahl konstruiert, die sich von der i-ten Zahl der
> Liste in der i-ten Stelle unterscheidet.

Das ist doch bekanntlich Unsinn weil man natürlich zur Darstellung
unendlich vieler Elemente logischerweise geignete Zahlensysteme
verwendet, so dass, jede Zahl genau EINE Ziffer lang ist so dass
keine "Diagonalen" existieren.

Roland Franzius

unread,

May 6, 2011, 12:37:15 PM5/6/11

to

Die unendlich langen Dezimalnamen der Zahlen als Strings sind genau eine
Ziffer lang. Es handelt sich also nur um Selbstbetrug auf Stringebene.

--

Roland Franzius

Kasi Mir

unread,

May 6, 2011, 12:39:41 PM5/6/11

to

Jürgen R. schrieb:

> Im Falle einer Liste natürlicher Zahlen (egal ob diese alle
> natürlichen Zahlen enthält oder nicht) tritt die "Diagonalzahl"
> ebenfalls nicht in der Liste auf. Darin liegt kein Widerspruch,
> denn die Diagonalzahl ist keine natürliche Zahl.

Und das ist ganz erbärmlicher, unwürdiger Bullshit, weil du mit
deiner schwachsinnigen "Aussage" den erst zu treffenden "Beweis"
vorher hineinsteckst: "die Diagonalzahl ist keine natürliche Zahl".

Solcher Stuss ist fast schon Demogagie, der Versuch vorsätzlicher
Verblödung anderer Leute...

Alois Steindl

unread,

May 6, 2011, 12:51:49 PM5/6/11

to

Roland Franzius <roland....@uos.de> writes:

Hallo Roland,
unter dem Pseudonym Kasi Mir steckt unser alter Pöbler "Rudi Menter",
oder wie immer er sich gerade nennt.
Mach DIch auf ein paar unflätige Kommentare gefasst.

Alois

Detlef Müller

unread,

May 6, 2011, 12:52:30 PM5/6/11

to

Am 06.05.2011 14:15, schrieb Yal el Tanim:
> On 6 Mai, 13:20, WM<mueck...@rz.fh-augsburg.de> wrote:
>> On 6 Mai, 12:04, Yal el Tanim<yal_el_ta...@gmx.de> wrote:
>>
>>
>>
>>> Mein Problem resultiert aus Analogie-Überlegungen, wie man eine Cantor-
>>> ähnliche Konstruktion auf die natürlichen Zahlen anwenden würde -
>>> wobei das Ergebnis anders ausfallen sollte.
>>
>>> Hierbei ist es bei zwei beliebigen endlichen Folgen von i Elementen
>>> von reellen / natürlichen Zahlen so, dass man für beide ein bisher
>>> nicht erfasstes Element konstruieren kann.
>>
>> Man konstruiert nicht ein neues Element, sondern man nimmt an, das
>> alle Elemente existieren - alle natürlichen Zahlen und alle reellen
>> Zahlen. Dann wird eine Abbildung zwischen beiden Mengen hergestellt,
>> wobei nach Definition einer Folge alle natürlichen Zahlen verwendet
>> werden. Cantors Argument zeigt, dass dabei nicht alle reellen Zahlen
>> verwendet werden.

>> ...

> noch ein Wort zu Deiner hilfreichen Antwort:
>
> Sobald die Folge aller natuerlichen Zahlen komplett ist, wird ja

> verboten, ein neues Element zu konstruieren - ...
>

Eine Folge ist ein festgelegtes Objekt.

Die Vorstellung, das man da etwas Schrittchen für Schrittchen
baut ist irreführend.

Beispiel:

Durch a(0) = 1 und a(n+1) = a(n)+2 wird Eine Folge von Natürlichen
Zahlen definiert, nämlich a = (1, 3, 5, 7, 9, ...).

Diese Folge a ist aber ein fertiges Objekt, hier kann man
sofort sagen, daß etwa a(100)=201 ist - _ohne_ vorher alle
anderen Folgenglieder zu konstruieren.

Sprich: Die Objekte "Folgen", um die es hier geht, sind nicht
Dinger, die irgendwie wachsen und dann irgendwann "fertig" sind,
sondern von vorn herein fertige und komplette Dinge.

Etwa a ist durch die Vorschrift oben bereits festgelegt.

In diesem Beispiel kann man sich überlegen, daß man mit
a(n)=2*n+1 sofort für jede Stelle n angeben kann, was a(n)
ist.

Bei komplizierteren Konstruktionen wie b(0)=7, b(n+1)=3*n+1 für n
ungerade und b(n+1)=n/2 für n gerade hat man eine Folge, die
man eventuell erst Schritt für Schritt entdecken muß.
Dennoch ist b mit obiger Vorschrift bereits fertig
definiert (Wenn man fleißig rechnet, erkennt man übrigens
auch eine Möglichkeit, b(n) als Formel anzugeben, weil man
"weiter hinten" eine Regelmäßigkeit entdeckt).

Sprich: Das Wort "Sobald ..." verkennt, was unter einer
Folge verstanden wird.
Folgen sind stets fertige Objekte - da läuft oder hüpft
nichts und es kommt auch nichts hinzu oder weg.
Das mag beim Prozess der Definition einer Folge über
irgendwelche Hilfskonstrukte der Fall sein - etwa
wenn ich definiere: c(0):=3, c(n+1):= (c(0)+...+c(n))/c(n).

Die Folge c ist nichts desto trotz ein Fertiges Objekt,
die Teilfolgen (c(0), ... , c(n)) sind andere Objekte, die
etwas mit c zu tun haben, aber nicht als "Versionen" von
c in einer Zeitlichen Abfolge zu sehen sind.

> dies sei per
> definitionem schon in der unendlichen Folge enthalten. Obwohl ich per
> Induktion zeigen kann, dass diese Konstruktion mindestens fuer alle
> endlichen Folgen moeglich ist

Cantors Argument betrachtet _eine_ Folge.

Eine einzige.

Ich sehe Deine Analogie nicht, da Du _mehrere_ Folgen betrachtest.

Im Diagonalargument wird für _eine_ gegebene Folge f reeller Zahlen
_eine einzige_ reelle Zahl konstruiert,
die nirgends in der Folge f vorkommen kann.

Das ist etwas völlig anderes, als für mehrere Folgen mehrere
Zahlen zu konstruieren.

Gruß,
Detlef

Kasi Mir

unread,

May 6, 2011, 12:52:39 PM5/6/11

to

Roland Franzius schrieb:

Bitte sieh doch mal das, lieber Roland: diese Zahlen enthalten
einfach keine "Eizelteile", vulgo Ziffern, die sie darstellen,
sondern es IEDERHOLT sich NICHTS und basta *). Auch das darf
Mathematik, und nicht immer nur Zifferchen malen, weil man das
andauernd in der ENDLICHEN Grundschule macht. "Leider" geht eben
bei einem solchen simplen Gedanken Cantors DA2 drauf...

*) Nichts in der Axiomatik der Mengenlehre legt fest, dass Elemente von
endlichen oder unendlichen Mengen aus Wiederholungen von irgendwelchen
"Einzelteilen" zu bestehen haben. Und zu solchen Mengen kann und darf man
eben auch den Binärbaum in Bijektion stellen.

Christopher Creutzig

unread,

May 6, 2011, 12:53:55 PM5/6/11

to

On 5/6/11 12:04 PM, Yal el Tanim wrote:

> Hierbei ist es bei zwei beliebigen endlichen Folgen von i Elementen
> von reellen / natürlichen Zahlen so, dass man für beide ein bisher

> nicht erfasstes Element konstruieren kann. Bei reellen Zahlen erfolgt

Natürlich. Das hat aber mit Cantors Argument nichts zu tun.

> Nun ist das ja bei unendlichen Folgen anscheinend unterschiedlich: Für
> natürliche Zahlen soll ein neues Element außerhalb der "schon
> abgezählten Elemente" nicht mehr konstruierbar sein, für reelle
> hingegen schon.

>
> Also muss meines Erachtens eine vollständige Induktion, mit der man

Vollständige Induktion beweist etwas für jede beliebige endliche Zahl
n, nicht für eine unendliche solche (nur halt für unendlich viele). Dass
es zu jedem endlichen n eine natürliche Zahl gibt, die in der endlichen
Menge {1, ..., n} nicht enthalten ist, ist kein sonderlich
tiefgreifender Satz, und der Beweis braucht auch nicht wirklich
vollständige Induktion.

> Liste erweitere i+1,i+2,... i+N, N-> unendlich per Induktion? Wieso
> scheitert meine Konstruktionsmethode beim induktiven Übergang zu einer
> unendlichen Folge in N? Und wieso gleichzeitig Cantors nicht?

Cantors Argument enthält keine Induktion. Der Kern beginnt mit der
Annahme, es gebe eine vollständige (notwendigerweise unendliche) Liste
aller reellen Zahlen. Auch die explizit angegebene dort nicht enthaltene
Zahl ist keine Konstruktionsvorschrift im Sinne einer imperativen
Programmiersprache, sondern deklarativ: Sie besagt nicht, dass irgend
etwas abgearbeitet werden soll, sondern ist eine Zustandsbeschreibung
eines (wie üblich statischen) Objekts.

Nur so als Hinweis: Wenn Du weiter untem im Thread noch wichtige Punkte
angesprochen hast, sehe ich die nicht. Alles, was an Texten von WM oder
Albrecht dranhängt, lasse ich mir gar nicht mehr anzeigen.
Erfahrungsgemäß lohnt es einfach den Zeitaufwand nicht.

--
Geht die Sonne auf im Westen, musst du deinen Kompass testen.

Kasi Mir

unread,

May 6, 2011, 12:55:23 PM5/6/11

to

Roland Franzius schrieb:

Bitte sieh doch mal das, lieber Roland: diese Zahlen enthalten
einfach keine "Einzelteile", vulgo Ziffern, die sie darstellen,
sondern es WIEDERHOLT sich NICHTS und basta *). Auch das darf

Roland Franzius

unread,

May 6, 2011, 1:03:07 PM5/6/11

to

Nichts in der Axiomatik der Mengenlehre legt irgendwas über Zahlen fest.
Wir konstruieren aus dem Hut und machen beweisbare Aussagen über diese
Konstruktionen.

Das Prinzip, eigene Konstruktionen ohne beweisbare Aussagen zu machen,
bleibt davon völlig unberührt.

Auch ein Zahlensystem mit nur einem individuellen Bezeichner pro Zahl
besitzt den Links- und Rechtsshift für Nachfolger und Vorgänger, und
über die Eigenschaften dieser Zeichenalgebra machen die axiomatischen
Systeme Aussagen, nicht über Darstellungen dazu.

--

Roland Franzius

Kasi Mir

unread,

May 6, 2011, 1:03:52 PM5/6/11

to

Christopher Creutzig schrieb:

> Cantors Argument enthält keine Induktion. Der Kern beginnt mit der
> Annahme, es gebe eine vollständige (notwendigerweise unendliche) Liste
> aller reellen Zahlen. Auch die explizit angegebene dort nicht enthaltene
> Zahl ist keine Konstruktionsvorschrift im Sinne einer imperativen
> Programmiersprache, sondern deklarativ: Sie besagt nicht, dass irgend
> etwas abgearbeitet werden soll, sondern ist eine Zustandsbeschreibung
> eines (wie üblich statischen) Objekts.

Also klappt dann die Indierung mit reellen Zahlen, z.B.

Z.B.

0,1 -> 0,987690060...
0,11 -> 0,98777979890060...
0,111 -> 0,987690060...
0,1111 -> 0,09979089079...
0,11111 -> 0,6547898998...
...

Oder ist vielleicht die ganze Idee der "Liste" dumm?

Kasi Mir

unread,

May 6, 2011, 1:09:14 PM5/6/11

to

Roland Franzius schrieb:

> Am 06.05.2011 18:52, schrieb Kasi Mir:
>> Roland Franzius schrieb:
>>
>>> Am 06.05.2011 18:33, schrieb Kasi Mir:
>>>> Jürgen R. schrieb:
>>>>
>>>>> Es wird eine Zahl konstruiert, die sich von der i-ten Zahl der
>>>>> Liste in der i-ten Stelle unterscheidet.
>>>>
>>>> Das ist doch bekanntlich Unsinn weil man natürlich zur Darstellung
>>>> unendlich vieler Elemente logischerweise geignete Zahlensysteme
>>>> verwendet, so dass, jede Zahl genau EINE Ziffer lang ist so dass
>>>> keine "Diagonalen" existieren.
>>>
>>> Die unendlich langen Dezimalnamen der Zahlen als Strings sind genau eine
>>> Ziffer lang. Es handelt sich also nur um Selbstbetrug auf Stringebene.
>>
>> Bitte sieh doch mal das, lieber Roland: diese Zahlen enthalten

>> einfach keine "Einzelteile", vulgo Ziffern, die sie darstellen,
>> sondern es WIEDERHOLT sich NICHTS und basta *). Auch das darf

>> Mathematik, und nicht immer nur Zifferchen malen, weil man das
>> andauernd in der ENDLICHEN Grundschule macht. "Leider" geht eben
>> bei einem solchen simplen Gedanken Cantors DA2 drauf...
>>
>> *) Nichts in der Axiomatik der Mengenlehre legt fest, dass Elemente von
>> endlichen oder unendlichen Mengen aus Wiederholungen von irgendwelchen
>> "Einzelteilen" zu bestehen haben. Und zu solchen Mengen kann und darf man
>> eben auch den Binärbaum in Bijektion stellen.
>
> Nichts in der Axiomatik der Mengenlehre legt irgendwas über Zahlen fest.
> Wir konstruieren aus dem Hut und machen beweisbare Aussagen über diese
> Konstruktionen.
>
> Das Prinzip, eigene Konstruktionen ohne beweisbare Aussagen zu machen,
> bleibt davon völlig unberührt.
>
> Auch ein Zahlensystem mit nur einem individuellen Bezeichner pro Zahl
> besitzt den Links- und Rechtsshift für Nachfolger und Vorgänger, und
> über die Eigenschaften dieser Zeichenalgebra machen die axiomatischen
> Systeme Aussagen, nicht über Darstellungen dazu.

Exakt. Und deshalb muss ein Beweis für alle Zahlensysteme gelten, nicht
nur für Cantors Variante, und damit ist Cantors Argument "DA2" für immer
falsch und widerlegt (wenn man Ziffern benutzt, die keine wiederholten
Elemente haben, was man nach deinem obigen Votum ja natürlich darf.)

Roland Franzius

unread,

May 6, 2011, 1:22:12 PM5/6/11

to

Da hast du nur mal wieder den Darstellungssatz auf den Kopf gestellt.
Körper der Charakteristik 2 sind auch kein Gegenbeispiel gegen
irgendwas, als nur dagegen, dass man keine Verallgemeinerungen machen
soll, ohne vorher Sonderfälle zu prüfen.

Es geht bei der Listenabzählung nicht darum, ob man eine darstellbare
Eigenschaft der Listenstrukurdefinitonen auf chinesisch verdecken kann,
sondern ob sie in wenigstens einem lateinisch-arabisch-Leibnizschem
Modell realisierbar ist.

--

Roland Franzius

Kasi Mir

unread,

May 6, 2011, 1:54:50 PM5/6/11

to

Roland Franzius schrieb:

Es wird nichts verdeckt, sondern das Moiree-Muster von Ziffern als
wesentliche Mengen-Eigenschaft entdeckt.

Sieh es bitte mal so, unter Cantors Bijektion unendlicher Mengen:

(0) alle Elemente jeder Menge unterscheiden sich trivialerweise

(1) N existiert, R ebenfalls

(2) Trivial lässt sich N entweder durch Elemente, Zahlen, darstellen,
die keine gemeinsamen Elemente enthalten (Ziffern), ODER wahlweise
lässt sich eine solche Menge finden, die in Bijektion dazu steht.

(3) Cantors DA2 funktioniert mit z.B. dem Dezimalsystem (die Bijektion
einer Dezimal-Representation von R zu N wird dann durch Diagonalen
widerlegt), das Argument muss aber ebenfalls mit JEDEM anderen System
oder mit jeder anderen Menge funktionieren, die in Bijektion zu N
steht, wenn es sich nicht NUR um eine Eigenschaft der gewählten
Representation von R handelt, sondern es eine Mengen-Eigenschaft ist.

(4) Bei Wahl eines geeigneten Mengen- oder Zahlensystem ohne wiederholte
Ziffern oder Elemente gibt es trivialerweise keine Diagonalen, weshalb
Cantors DA2 NICHT allgemein gilt, da wegen SEINER Bijektion im oo UND
(0) solche Repräsentationen trivial existieren müssen.

Cantors DA2 ist unter den "bekannten" Axiomierungen nicht allgmeingültig,
denn Diagonalen sind darstellungsabhängig und können beseitigt werden.

WM

unread,

May 6, 2011, 4:16:40 PM5/6/11

to

On 6 Mai, 17:43, Roland Franzius <roland.franz...@uos.de> wrote:

> Du must einfach weiter hinten anfangen, dann scheiterst du nicht so weit
> vorn.
>

Wir kennen nur endlich viele Primzahlen, aber Euklid bewies und wir
glauben: ES gibt unendlich viele.

Wir können nur abzählbar viele reelle Zahlen konstruieren, aber Cantor
bewies und viele glauben: ES gibt überabzählbar viele.

Wir können keine Zahl aus dem Schnitt aller Mengen a_n der Form
a_n = {|N \ {1, 2, 3, ..., n}
angeben, aber wir wissen, es gibt unendliche viele, denn jeder Schnitt
der ersten n Mengen enthält unendlich viele Elemente, seine
Kardinalzahl ist aleph_0.

Oder sollte die Kardinalzahl einer Menge für die Anzahl ihrer Elemente
gar nichts bedeuten? Dann brauchen wir auch keine vollständige Menge |
N mit aleph_0 Elementen, die keine natürlichen Zahlen sind.

Gruß, WM

WM

unread,

May 6, 2011, 4:22:28 PM5/6/11

to

On 6 Mai, 18:52, Detlef Müller <lef...@arcor.de> wrote:

> Cantors Argument betrachtet _eine_ Folge.
>
> Eine einzige.

So ähnlich wie diese?

_________________
B_0 =

K_0
_________________
B_1 =

K_0
/
K_1
_________________
B_2 =

K_0
/ \
K_1 K_2
_________________
B_3 =

K_0
/ \
K_1 K_2
/
K_3
_________________

B_4 =

K_0
/ \
K_1 K_2
/ \
K_3 K_4
_________________
...
_________________
B_j =

K_0
/ \
K_1 K_2
/ \
K_3 K_4 ...
...
... K_j
_________________
...
_________________

Cantor betrachtet natürlich auch noch den Grenzwert (und hält ihn für
eine reelle Zahl). ich betrachte auch den Grenzwert und halte ihn für
viele reelle Zahlen - für alle reellen Zahlen aus dem Intervall [0, 1]
sogar. Nur fragt sich, wie eine Folge mehrere Grenzwerte besitzen
kann.

Gruß, WM

WM

unread,

May 7, 2011, 4:26:14 AM5/7/11

to

On 6 Mai, 18:21, Jürgen R. <jurg...@web.de> wrote:
> > Also muss meines Erachtens eine vollständige Induktion, mit der man
> > den Übergang von der Konstruktion eines neuen Elementes aus oben
> > erwähnten endlichen reellen / natürlichen Folgen zu der Konstruktion
> > aus unendlichen Folgen durchführt, bei den natürlichen Zahlen
> > scheitern. Wie das? Bei natürlichen Zahlen scheint mir die
> > Konstruktion doch immer noch zu funktionieren, egal wie weit ich die
> > Liste erweitere i+1,i+2,... i+N, N-> unendlich per Induktion? Wieso
> > scheitert meine Konstruktionsmethode beim induktiven Übergang zu einer
> > unendlichen Folge in N? Und wieso gleichzeitig Cantors nicht?

Der Trick liegt in der unendlichen Folge aller endlichen Zahlen.
Die Annahme von aktual unendlich vielen natürlichen Zahlen ist ein
Widerspruch.

Steht jede Zahl an einer endlichen Stelle, so ist die Folge bis zu
jeder Stelle eine endliche Folge. Also ist die Folge keine aktual
unendliche Folge.

>
> Die Methode funktioniert in beiden Fällen:
> Es wird eine Zahl konstruiert, die sich von der i-ten Zahl der
> Liste in der i-ten Stelle unterscheidet.

Weil aber i immer eine endliche Zahl ist, erhält man so niemals eine
aktual unendlich lange Ziffernfolge.

>
> Im Falle der reellen Zahlen erhält man damit eine
> reelle Zahl, die sich von jeder Zahl der Liste unterscheidet.
> Also ist die Aufzählung unvollständig.

Die reelle Zahl unterscheidet sich lediglich an jeder endlich
indizierten Stelle von den Zahlen der Liste, also unterscheidet sie
sich auch nur /bis/ zu jeder endlich indizierten Stelle von den Zahlen
der Liste, also unterscheidet sie sich nur von jedem endlichen
Anfangsabschnitt der Liste, aber nicht von allen Zahlen der
unendlichen Liste - wenn das mehr sind als alle endlichen
Anfangsabschnitte

>
> Im Falle einer Liste natürlicher Zahlen (egal ob diese alle
> natürlichen Zahlen enthält oder nicht) tritt die "Diagonalzahl"
> ebenfalls nicht in der Liste auf. Darin liegt kein Widerspruch,
> denn die Diagonalzahl ist keine natürliche Zahl.

Das ist nun der Clou. Eine Zahl, die nur endlich indizierte Stellen
enthält, ist keine natürliche Zahl? Bis zu jeder ihrer Stellen ist die
Zahl natürlich natürlich. Aber außerdem muss die Diagonalzahl wohl
noch etwas besitzen, was sie über die natürlichen Zahlen hinaushebt -
nicht über alle freilich, aber über jede. Im Falle der einfachen
Zahlen
1
11
111
...
muss das etwas sein, das nur die Länge betrifft, denn blaue Kreise und
polygame Tänzerinnen sind hier fehl am Platze. Es müsste schon etwas
sein, das über jede endliche Länge hinausragt, um hier das Interesse
von polygamen Tänzerinnen zu erregen, eine omegate Stelle oder auch
mehrere. Aber die dürfte dann auch in der reellen Zahl 0,111... nicht
fehlen, womit diese Zahl nicht mehr ganz so reell wäre, wie zu sein
sie vorgibt.

Gruß, WM

Jutta Gut

unread,

May 7, 2011, 2:48:01 PM5/7/11

to

"Roland Franzius" <roland....@uos.de> schrieb

> Zum Beispiel die Kettenbruchentwicklung
>
> arctan x = lim_n->oo x / K( k^2 x^2, 2 k +1 , k=0,n)
>
> ist außer für x=0 nicht für ein einziges x rational. Hier muß man
> natürlich von oo aus rückwärts zählen, wenn man rationale Näherungen
> hinschreiben möchte.

Was heißt K( k^2 x^2, 2 k +1 , k=0,n)?

Grüße
Jutta

Albrecht

unread,

May 7, 2011, 3:14:53 PM5/7/11

to

123423
672845
354322

Diagonalzahl: 174 bzw Antidiag bspw. 211. Was soll daran nicht
natürlich sein?

Aber Spass beiseite. Der Schmuh lebt von der angeblichen Existenz
aller unendlichstelligen Kombinationen von Ziffern, von denen aber
effektiv kein Bruchteil vorgezeigt werden kann. Tatsaechlich gibt es
keine einzige Zahl die durch einen unendlichstelligen, zB,
Dezimalbruch festgelgt wird. Es sind immer nur endliche Angaben
moeglich. Unendliche Information ist keine vollstaendige Information
da sie nicht zum Ende kommt.

AS

Roland Franzius

unread,

May 7, 2011, 4:34:02 PM5/7/11

to

1/(1 + z^2/(3 + (2 z)^2/ (5 + (3 z)^2 /... ).. )

Man gibt beim Standardkettenbruch den Nenner n-ter Stufe in der Form a_n
+ b_n/... an.

siehe zB ArcTan auf der Mathematica Website

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ArcTan/10/

Der Beweis von Euler ist ein umwerfend interessantes Kapitel heute
vergessener früher Künste von Hilbertraummathematik.

--

Roland Franzius

unread,

May 7, 2011, 4:36:57 PM5/7/11

to

Du kannst nur keine einzige Quelle für deine Weisheit angeben, außer dem
bekannten Beweis durch Mangel an Vorstellungskraft. Das killt schon bei
kleinen Zahlen die vierte Dimension.

--

Roland Franzius

Hermann Jurksch

unread,

May 7, 2011, 6:13:00 PM5/7/11

to

yal_el...@gmx.de wrote:

> Hallo liebe Mathematik-Experten!

Schon erstaunlich, erstmalig und zeitgleich mit "Kasi mir" in dieser
Gruppe, insgesamt sieht es so aus, als ob einer unserer geliebten
Forentrolle seine multiplen Persönlichkeiten auslebt.

MfG
Hermann

Christopher Creutzig

unread,

May 8, 2011, 2:05:40 AM5/8/11

to

On 5/6/11 7:03 PM, Kasi Mir wrote:

> Also klappt dann die Indierung mit reellen Zahlen, z.B.
>
> Z.B.
>
> 0,1 -> 0,987690060...
> 0,11 -> 0,98777979890060...

Die reellen Zahlen lassen sich bijektiv auf die reellen Zahlen
abbilden, ja. (Das ist irgendwie nicht so richtig überraschend.)

> Oder ist vielleicht die ganze Idee der "Liste" dumm?

Nicht alles, was Du nicht verstanden hast, muss „dumm“ sein.

--
Macht nichts, irgendwann erfindet jemand eine geeignete Therapie, dass
auch Leute wie Du lesen lernen können. (Heinz Georg)

WM

unread,

May 8, 2011, 2:43:41 AM5/8/11

to

Völlig richtig. Jede der folgenden Dezimalzahlen enthält Information:
1,1
11,11
111,111
...

Die Dezimalzahl 0,111..., würde man sie beim Wort nehmen, enthielte
keine Information, denn dies schließt die Übernahme einer extern
vorhandenen Information in einen internen Speicher ein. Nun ist
bekanntlich die sukzessive Abarbeitung der natürlichen Zahlen nicht
vollständig möglich. Deswegen kann der Abarbeiter im vorliegenden
Beispiel niemals sicher sein, dass auch die folgende Ziffer eine 1
ist. Er kann diese Gewissheit nur durch die endliche Bezeichnung 1/9
oder "0,111..." gewinnen.

Es ist mir unverständlich, wie Leute, die sich für intelligent halten
und das oft auch sind, bei dieser einfachen Überlegung versagen -
diese einfache Überlegung sich versagen. Aber die Erklärung liegt in
der Pyschologie. Die Menge aller endlichen Wörter ist abzählbar. Und
instinktiv oder durch Nachdenken wissen diese Leute, dass ihr Weltbild
zusammenbrechen würde, wenn sie diesem Argument folgen würden.

>
> Du kannst nur keine einzige Quelle für deine Weisheit angeben, außer dem
> bekannten Beweis durch Mangel an Vorstellungskraft.

Für die Weisheit, dass eine nicht beendbare Folge niemals beendet ist,
bedarf es keiner Quelle. Oder anders gesagt, die Quelle dieser
Weisheit sollte jeder in seinem Kopfe mit sich tragen.

> Das killt schon bei
> kleinen Zahlen die vierte Dimension.

Na, wer sich die nicht vorstellen kann, sollte nicht gerade Physiker
werden wollen - und das möchtest Du doch? Schon allein die
Basiseinheiten spannen 7 Dimensionen auf, und jede Friseuse kann sich
die Farbdimension vorstellen, weil sie das in der Berufsschule,
spätestens, gelernt hat.

In
W. Mückenheim: "Die Geschichte des Unendlichen", 130 Seiten, Maro-
Verlag, Augsburg 2011. ISBN: 978-3-87512-156-8
https://www.maroverlag.de/book.php?PHPSESSID=fbb441452ed6f9749456c68c6bf88c2c&id=243
findest Du sogar Abbildung eines vierdimensionalen Würfels.

Aber wie gesagt, das hat nichts mit unvollendbaren Objekten zu tun und
ist deshalb keine Zauberei.

Gruß, WM

Kasi Mir

unread,

May 8, 2011, 7:50:23 AM5/8/11

to

Christopher Creutzig erzählt:

>> Also klappt dann die Indierung mit reellen Zahlen, z.B.

>> 0,1 -> 0,987690060...
>> 0,11 -> 0,98777979890060...

> Die reellen Zahlen lassen sich bijektiv auf die reellen Zahlen
> abbilden, ja.

Ja, und nun noch alle "0," weg und die Überlegung ist fertig.

> (Das ist irgendwie nicht so richtig überraschend.)

Ach du machst Mathe "wegen Überraschung"...

Albrecht

unread,

May 9, 2011, 2:04:46 AM5/9/11

to

On 7 Mai, 22:36, Roland Franzius <roland.franz...@uos.de> wrote:

"Meine Weisheiten" muessen nicht mit Quellen belegt werden, da sie mit
einfachsten Ueberlegungen von jedem selbststaendig nachvollzogen
werden koennen. Jede Ziffer des Dezimalbruchs von Pi ist berechnbar?
Ja. Aber sind deshablb _alle_ berechnebar? Nein. Denn "alle" umfasst
ein Ganzes, etwas vollstaendiges, etwas vollendbares. Im Umfeld des
Begriffs "Unendlich" versagt unsere uebliche Begrifflichkeit von
"jedes" und "alle".

Bleib Du ruhig in Deinem schwachsinnigen Paradies, da wird Dich doch
keiner herausholen koennen.

AS

Yal el Tanim

unread,

May 9, 2011, 4:09:41 AM5/9/11

to

Ok, ich habe mich hier durchgelesen und das Gefuehl (ihr duerft mich
gerne korrigieren), dass die pro<--> contra Cantor Diskussion jetzt
mit ganz anderen Argumenten gefuehrt wird, aber meine
Verstaendnisluecke in den Hintergrund geriet.

Ich will sie daher nochmal anders formulieren, auf das jemand meinen
Gedankengang verstehe und mir meinen Denkfehler ggf. erlaeutere.

1) Ich sehe Cantor als die Konstruktion eines neuen Elementes an.
Dieses Element wird aus einer Folge konstruiert. Bei endlichen Folgen
kein Problem. Aber bei unendlichen Folgen muss man zur Konstruktion
unendlich viele Operationen durchfuehren (unendlich oft irgendwelche
Ziffern veraendern).

2) Punkt 1 kann bei Anwendung auf unendlich lange Folgen entweder
moeglich oder unmoeglich sein. Ich gehe jetzt mal von Ersterem aus,
sonst scheitert Cantors 2.DA ja auch.

3) Nun will ich zur Validation ueberpruefen, ob Cantor nicht auch in N
funktioniert. Ich ordne die Folge aller schon abgezaehlten Zahlen so
um, dass ich das hoechste Element herausfinde. Dann konstruiere ich
ein neues Element mit n_neu=n_max+1. Das geht wie bei Cantor auch auf
jeden Fall fuer endliche Folgen. Bei unendlichen brauche ich unendlich
viele Operationen dazu. Wenn Punkt 1 moeglich sein soll, warum ist
dann Punkt 3 angeblich nicht moeglich?

4) Da ich auch fuer die natuerlichen Zahlen ein "ausserhalb der
bisherigen Liste" liegendes Element konstruieren kann, kann Cantors 2.
DA irgendwo nicht stimmen.

- Gedankengang Ende -

und Vielen Dank fuer eure Geduld mit mir!

Yal

Roland Franzius

unread,

May 9, 2011, 4:29:52 AM5/9/11

to

Cantors Diagonalelement für die natürlichen Zahlen schreibt jede Zahl
als unendliche Reihe mit steigenden statt fallenden Zehnerpotenzen. Die
Liste enthält also nach links vor der führenden Ziffer unendlich viele
Nullen. Die Diagonalzahl enthält dann unendlich viele Ziffern ungleich
null und liegt damit nicht in N. das kann man hier eindeutig
konstatieren, weil Konvergenz in Norm ausgeschlossen ist, während man
bei den Dezimalbrüchen noch ausschließen muss, dass sie periodisch ist.

Kein Beinbruch, man kann sowas untersuchen und stellt fest, dass es sich
im algebraischen Sinn um den Unterschied zwischen direkter Summe (nur
endlich viele Elemente !=0) und direktem Produkt (keine Beschränkung der
Länge) handelt, der bei endlichen Folgen keine Rolle spielt.

Die meisten Eindeutigkeitssätze gelten in unendlichen Produkten nicht,
so dass man damit nur umgehen kann, wenn man wiederum Klassen bilden
kann, die identifizerbare Vertreter besitzen. Formale Polynome mit
unendlich vielen von 0 verschiedenen Koeffizienten sind per ia. eben
keine Funktionen, fast alle als Potenzreiehn den Konvergenzradius 0.

Solche algebraischen Konstruktionen kommen ganz natürlich als
Funktionskeime in vielen Gebieten der Analysis vor. Für den Physiker
bilden sie in abzählbar und überabzählbar unendlichen Tensorprodukten
abzählbar-unendlich-dimensionaler Hilberträume den Gegenstand der
algebraischen Feldtheorie mit unendlich vielen Teilchen und bilden den
mathematischen Teppich für die weitläufigen Spekulationen in der
Elementarteilchenphysik.

--

Roland Franzius

Yal el Tanim

unread,

May 9, 2011, 4:42:42 AM5/9/11

to

>
> Cantors Diagonalelement f r die nat rlichen Zahlen schreibt jede Zahl

> als unendliche Reihe mit steigenden statt fallenden Zehnerpotenzen. Die

> Liste enth lt also nach links vor der f hrenden Ziffer unendlich viele
> Nullen. Die Diagonalzahl enth lt dann unendlich viele Ziffern ungleich

> null und liegt damit nicht in N. das kann man hier eindeutig

> konstatieren, weil Konvergenz in Norm ausgeschlossen ist, w hrend man
> bei den Dezimalbr chen noch ausschlie en muss, dass sie periodisch ist.

>
> Kein Beinbruch, man kann sowas untersuchen und stellt fest, dass es sich
> im algebraischen Sinn um den Unterschied zwischen direkter Summe (nur

> endlich viele Elemente !=0) und direktem Produkt (keine Beschr nkung der
> L nge) handelt, der bei endlichen Folgen keine Rolle spielt.
>
> Die meisten Eindeutigkeitss tze gelten in unendlichen Produkten nicht,

> so dass man damit nur umgehen kann, wenn man wiederum Klassen bilden
> kann, die identifizerbare Vertreter besitzen. Formale Polynome mit
> unendlich vielen von 0 verschiedenen Koeffizienten sind per ia. eben
> keine Funktionen, fast alle als Potenzreiehn den Konvergenzradius 0.
>

> Solche algebraischen Konstruktionen kommen ganz nat rlich als
> Funktionskeime in vielen Gebieten der Analysis vor. F r den Physiker
> bilden sie in abz hlbar und berabz hlbar unendlichen Tensorprodukten
> abz hlbar-unendlich-dimensionaler Hilbertr ume den Gegenstand der

> algebraischen Feldtheorie mit unendlich vielen Teilchen und bilden den

> mathematischen Teppich f r die weitl ufigen Spekulationen in der
> Elementarteilchenphysik.
>
> --
>
> Roland Franzius

Lieber Roland,

ich wende das Diagonalargument auf die natuerlichen Zahlen an keiner
Stelle an und in keinem meiner Beitraege. Stattdessen benutze ich eine
andere Methode zur Konstruktion eines neuen Elementes in N. Aber
dennoch danke (ich muss wohl annehmen, dass ich mich missverstaendlich
ausdruecke?)

Yal

Yal el Tanim

unread,

May 9, 2011, 4:46:44 AM5/9/11

to

Ich folgere: Entweder sind beide Konstruktionen moeglich: die von
n_neu und die von r_neu, oder keine von beiden.

Albrecht

unread,

May 9, 2011, 6:10:10 AM5/9/11

to

Hallo Yal,

mir ist Dein Problem nicht richtig klar, versuche aber trotzdem
nocheinmal zu klaeren:

Reden wir mal ganz im Allgemeinen von Verfahren, mit denen aus Listen
von Zahlen neue Zahlen gewonnen werden. Hier muessen wir zwei Arten
von solchen Verfahren unterscheiden:

(1) Verfahren, die aus einer Liste von Zahlen "gleichartige" Zahlen
gewinnen (aus einer Liste von natuerlichen Zahlen natuerliche Zahlen,
aus einer Liste rationaler Zahlen rationale Zahlen, ...)

Deswegen sollte man den Binären Baum betrachten. Er kann ebenso (mit
dem gleichen Unrecht) als fertig betrachtet werden wie die typische
Cantorsche Folge. Im BB sind alle reellen Zahlen enthalten, und kein
Anfangsabschnitt des Binären Baums enthält weniger als eine reelle
Zahl weniger als sein Nachfolger. Damit ist alles klar.

Gruß, WM

Rainer Rosenthal

unread,

May 9, 2011, 7:27:50 AM5/9/11

to

Am 09.05.2011 08:04, schrieb Albrecht:

> Jede Ziffer des Dezimalbruchs von Pi ist berechnbar?
> Ja. Aber sind deshablb _alle_ berechnebar? Nein. Denn "alle" umfasst
> ein Ganzes, etwas vollstaendiges, etwas vollendbares.

Dieses Ganze ist eben dieses Pi. Zu ihm gehören "alle"
Stellen seiner Dezimalentwicklung. Ändere eine davon und schon
ist es nicht mehr diejenige von Pi. Pi ist nämlich etwas
Vollendetes, Ganzes und Vollständiges - das Verhältnis von
Kreisumfang zum Durchmesser.
Mit endlich vielen Stellen kann die Dezimalentwicklung nicht
geschrieben werden und folglich hat sie unendlich viele Stellen.
Zum Glück braucht man aber nicht überabzählbar viele Stellen :-)

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

Albrecht

unread,

May 9, 2011, 7:28:42 AM5/9/11

to

On 9 Mai, 05:44, Andreas Most <Andreas.M...@nospam.invalid> wrote:

Das laesst sich aber auch anders machen:

Nehmen wir einfacher halber unitaere Zahlendarstellung, also eine
Liste der natuerlichen zahlen der Art zB
1
1111
11111111
111111
..

Folgende Vorschrift (hat glaube ich Russell Easterly schon sci.math
beschrieben ) erzeugt eine "Antidiagonale" A einer Liste natuerlicher
Zahlen, sprich, eine natuerliche Zahl, die nicht in der Liste
enthalten sein kann:

(1) Lies die erste Zahl a in der Liste
(2) A := a+1
(3) lies die naechste Zahl a der Liste
(4) Vergleiche A mit a; wenn a =< A gehe zu (3) sonst (2)

Albrecht

unread,

May 9, 2011, 7:32:20 AM5/9/11

to

Ehrlich gesagt, nein. Bitte versuche praezieser zu sein. Wann sprichst
Du von einer Antidiagonalen einer Liste natuerlicher, wann einer Liste
reller Zahlen? Was genau ist ein Cantor-Element? ...

Gruss
Albrecht

Torn Rumero DeBrak

unread,

May 9, 2011, 8:02:37 AM5/9/11

to

Hahaha, der Witz ist gut.

Wo stoppt denn der Algorithmus, d.h., wann ist er mit der Berechnung von
A fertig?

Der Algorithmus lässt A nur natürlichen Zahlen durchlaufen und
findet nichts neues.

Detlef Müller

unread,

May 9, 2011, 9:11:39 AM5/9/11

to

Am 09.05.2011 10:09, schrieb Yal el Tanim:

> Ok, ich habe mich hier durchgelesen und das Gefuehl (ihr duerft mich
> gerne korrigieren), dass die pro<--> contra Cantor Diskussion jetzt
> mit ganz anderen Argumenten gefuehrt wird, aber meine
> Verstaendnisluecke in den Hintergrund geriet.
>

Ich bin mir nicht sicher, ob Deine Verständnislücke da
ist, wo Du sie vermutest.

Ist Dir klar, was eine reelle Zahl ist?

Es gibt verschiedene Methoden die reellen aus den
Rationalen Zahlen zu konstruieren.

In der Schule wird gern die "Intervallschachtlung" verwendet,
die schon ein Bild davon vermittelt, daß eine reelle Zahl
mit einer konvergenten Folge identifiziert wird.

Später im Studium wird dies ausgebaut - denn genau
genommen ist "Eine reelle Zahl ist der Grenzwert einer
Folge von rationalen Zahlen" ja nicht wirklich eine
Definition - sollte so ein Grenzwert nämlich gar keine
Rationale Zahl sein hat man das Ding, was der Grenzwert
sein soll, ja noch gar nicht.

Der Trick ist: Die Folgen von Rationalen Zahlen selbst
werden Betrachtet - und zwar (im Sinne von Cauchy) konvergente
Folgen.

Eine reelle Zahl _ist_ in gewissem Sinne bereits eine unendliche
Folge (wobei zwei Folgen, deren Differenz gegen 0 konvergiert
als gleiche Zahl betrachtet werden).

Eine konvergente Folge anzugeben heißt also eine
reelle Zahl zu definieren.

> Ich will sie daher nochmal anders formulieren, auf das jemand meinen
> Gedankengang verstehe und mir meinen Denkfehler ggf. erlaeutere.
>
> 1) Ich sehe Cantor als die Konstruktion eines neuen Elementes an.
> Dieses Element wird aus einer Folge konstruiert. Bei endlichen Folgen
> kein Problem. Aber bei unendlichen Folgen muss man zur Konstruktion
> unendlich viele Operationen durchfuehren (unendlich oft irgendwelche
> Ziffern veraendern).
>

Aber indem eine Methode angegeben wird, für jede Position n die
n-te Ziffer zu bestimmen, wird doch eine Folge rationaler Zahlen
q = (qn) definiert (wenn auch nicht vollständig hingeschrieben),
wobei die Zahl qn der abbrechende Dezimalbruch mit den abgeänderten
Dezimalstellen bis n ist.
Für jedes endliche (und jede natürliche Zahl ist endlich) n ist qn
definiert - also definiert das Diagonalverfahren eine Folge q von
rationalen Zahlen, Einverstanden?

Diese _Folge_ q ist im obigen Sinne eine reelle Zahl (ja, man
muß noch zeigen, daß es eine Cauchyfolge ist, geht aber).

Wenn Du ablehnst, mit Folgen (bzw. Zahlen) zu rechnen, die sich
nicht komplett ausgerechnet aufschreiben lassen, endet hier für
Dich die Mathematik und Du musst Dich mit endlichem begnügen.

> 2) Punkt 1 kann bei Anwendung auf unendlich lange Folgen entweder
> moeglich oder unmoeglich sein. Ich gehe jetzt mal von Ersterem aus,
> sonst scheitert Cantors 2.DA ja auch.
>
> 3) Nun will ich zur Validation ueberpruefen, ob Cantor nicht auch in N
> funktioniert. Ich ordne die Folge aller schon abgezaehlten Zahlen so
> um, dass ich das hoechste Element herausfinde. Dann konstruiere ich
> ein neues Element mit n_neu=n_max+1. Das geht wie bei Cantor auch auf
> jeden Fall fuer endliche Folgen.
>

Damit erzeugst Du nun analog eine Folge von natürlichen
Zahlen.

> Bei unendlichen brauche ich unendlich
> viele Operationen dazu. Wenn Punkt 1 moeglich sein soll, warum ist
> dann Punkt 3 angeblich nicht moeglich?
>

Doch, bis jetzt hast Du also eine Folge r = (rn) natürlicher
Zahlen konstruiert. Das ist möglich.

> 4) Da ich auch fuer die natuerlichen Zahlen ein "ausserhalb der
> bisherigen Liste" liegendes Element konstruieren kann, kann Cantors 2.
> DA irgendwo nicht stimmen.
>

Doch was nun?

Im Fall der reellen Zahlen definiert die gewonnene Folge
q eine reelle Zahl, von welcher gezeigt werden kann, daß
sie nicht in der ursprünglichen Liste enthalten ist.

Die Folge r, Die Du konstruiert hast definiert aber im
Gegensatz dazu _keine natürliche Zahl_.

Selbst wenn Du diese Folge als neues Ding betrachtest,
welches offensichtlich _keine natürliche Zahl ist_, hast
Du ja auch gar nichts gezeigt:
immerhin gibt es gar keinen Widerspruch dazu, daß in
der Liste alle Natürlichen Zahlen stehen, wenn Du aus
dieser Liste ein Ding konstruierst, was keine natürliche
Zahl ist und auch nicht in der Liste steht.

Zu einer Liste reeller Zahlen wird mit dem Diagonalverfahren
hingegen eine _reelle Zahl_ konstruiert, die nicht in der
Liste Auftaucht ... und hier ist das ein Widerspruch zu dem
Anspruch, alle reellen Zahlen aufgezählt zu haben.

Gruß,
Detlef

Yal el Tanim

unread,

May 9, 2011, 10:25:15 AM5/9/11

to

Ok, also ich antworte mal auf ein paar eurer Posts.

Andreas Most

"Die Annahme, die Folge der natürlichen Zahlen enthalte ein maximales
Element, ist falsch, denn mit n ist auch n+1 eine natürliche Zahl und
folglich ist mit n auch n+1 ein Folgenglied.

@Andreas.

Ok, und was ist mit: Die Annahme, die abzaehlbare Folge der reellen
Zahlen enthalte nicht alle Elemente, ist falsch, denn das neue Element
r_neu ist eine reelle Zahl und folglich an der Stelle n+1 in der Folge
ein Folgenglied.
Was Du sagst, ist eine Art Beweis durch Axiom (das neu konstruierte
Element ist per definitionem schon in der Folge), und das gleiche kann
ich genauso gut fuer die Liste der reellen Zahlen sagen. Es gibt eben
per Axiom kein neu konstruierbares Element. Basta. Sonst muesstest Du
meine Konstruktion einer "neuen" natuerlichen Zahl meines Erachtens
auch anerkennen, denn sie ist prinzipiell nicht unterschiedlich wie
Cantor: Man benoetigt unendlich viele Operationen: Ob das moeglich
ist, kann man sich ja streiten. Aber bitte nicht hier hue, und dort
hott!

@Bert Ram

Ich sehe da immer noch das gleiche Problem:
Du sagst, N sei fertig, daher scheitere jegliche Konstruktion eines
neuen Elements. Ok, aber ich sage: "R ist fertig. Daher scheitert
jegliche Konstruktion eines anderen Elementes."
Damit ich Cantor anerkenne, sollte es einen prinzipiellen Unterschied
von meiner Methode und seiner geben. Den sehe ich aber nicht. Meine
Methode klappt fuer endliche Folgen, Cantors auch. Ob sie fuer die
unendliche Folge aller Zahlen aus N / R gilt, kann ich nur anhand
vollstaendiger Induktion ermessen (die einen sagen: Das geht, dann
geht es eben bei beiden Folgen. Die anderen hier sagen: Induktion
scheitert im Unendlichen, dann scheitert sie auch bei beiden
Methoden). Oder wie machst Du sonst den Grenzuebergang und beweist,
dass Cantor wirklich im Unendlichen funktioniert?

@ Torn Romero deBrak

"Wo stoppt denn der Algorithmus, d.h., wann ist er mit der Berechnung
von
A fertig?

Der Algorithmus lässt A nur natürlichen Zahlen durchlaufen und
findet nichts neues. "

Das macht Cantor genauso. Er findet auch nur eine reelle Zahl, also
mit Deinen Worten "nichts neues".

@ Detlef Mueller

"Im Fall der reellen Zahlen definiert die gewonnene Folge
q eine reelle Zahl, von welcher gezeigt werden kann, daß
sie nicht in der ursprünglichen Liste enthalten ist."

Dass das gezeigt werden kann, sehe ich sofort ein fuer endliche
Folgen. Wie zeigst Du mir, dass das auch fuer unsere unendliche Folge
gilt? Die Induktion dazu (oder ein anderes Verfahren) moechte ich
bitte erklaert haben, dann ist mein Problem geloest!

WM

unread,

May 9, 2011, 10:29:49 AM5/9/11

to

On 9 Mai, 13:27, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:

> Mit endlich vielen Stellen kann die Dezimalentwicklung nicht
> geschrieben werden und folglich hat sie unendlich viele Stellen.

Merkwürdiger Schluss. Kurzschluss?

Gruß, WM

Yal el Tanim

unread,

May 9, 2011, 10:35:05 AM5/9/11

to

@Detlef,

sorry, ich vergass Folgendes, noch kurz zu Deinem Einwand: "Die Folge

r, Die Du konstruiert hast definiert aber im
Gegensatz dazu _keine natürliche Zahl_. "

Ich nannte meine Folge natuerlicher Zahlen n, und sie konstruiert
immer eine natuerliche Zahl.

Veranschaulichung:
Folge: Mein neu konstruiertes Element
ausserhalb der Folge:
1,2,3 4
1,2,3,4 5
1,2,3,4.....k k+1
Nun k---> unendlich und... voila! Ich habe eine natuerliche Zahl
ausserhalb meiner Liste.

Nun gibt es wie gesagt zwei Varianten:
1) Manche sagen: Das geht nicht, denn n_neu=k+1 liegt per definitionem
in N
Dann sagt Mr. Mephisto: Cantors 2.DA geht auch nicht, denn r_neu liegt
per definitionem in R unter der a priori Annahme, dass R abzaehlbar
ist. Und bisher weiss ich ja noch nicht, dass R nicht abzaehlbar ist.
In diesem Fall (R abzaehlbar) duerfte Cantor also genau wie die k+1
Konstruktion nicht angewandt werden.
2) oder es geht eben, dann geht die Konstruktion eines neuen Elementes
auch bei natuerlichen Zahlen und Cantor kann kein valides Argument
sein

Liebe Gruesse,
Yal

WM

unread,

May 9, 2011, 10:36:12 AM5/9/11

to

Der Algorithmus, der die Pfade im Binären Baum durchläuft, findet auch
nichts Neues. Trotzdem wurde er hier - sogar von einem Mathematiker -
als Gegenargument angegeben.

Wann ist denn Cantors Algorithmus fertig?
Wann ist den die Dingonalzahl der Liste

0,0
0,1
0,11
...
fertig?

Gruß, WM

Gus Gassmann

unread,

May 9, 2011, 10:41:29 AM5/9/11

to

On May 9, 11:25 am, Yal el Tanim <yal_el_ta...@gmx.de> wrote:
> Ok, also ich antworte mal auf ein paar eurer Posts.

[...]

> @ Detlef Mueller
>
> "Im Fall der reellen Zahlen definiert die gewonnene Folge
> q eine reelle Zahl, von welcher gezeigt werden kann, daß
> sie nicht in der ursprünglichen Liste enthalten ist."
>
> Dass das gezeigt werden kann, sehe ich sofort ein fuer endliche
> Folgen. Wie zeigst Du mir, dass das auch fuer unsere unendliche Folge
> gilt? Die Induktion dazu (oder ein anderes Verfahren) moechte ich
> bitte erklaert haben, dann ist mein Problem geloest!

Normalerweise wendet man das Diagonalverfahren nur auf reelle Zahlen
im Intervall [0,1] an. Dann ist die konstruierte Folge offensichtlich
eine Cauchy-Folge, die auf Grund der Vollständigkeit der reellen
Zahlen eine reelle Zahl darstellt. Diese reelle Zahl kommt aber nach
Konstruktion nicht in der Liste vor.

WM

unread,

May 9, 2011, 10:58:40 AM5/9/11

to

On 9 Mai, 16:41, Gus Gassmann <horand.gassm...@googlemail.com> wrote:

> Normalerweise wendet man das Diagonalverfahren nur auf reelle Zahlen
> im Intervall [0,1] an. Dann ist die konstruierte Folge offensichtlich
> eine Cauchy-Folge, die auf Grund der Vollständigkeit der reellen
> Zahlen eine reelle Zahl darstellt. Diese reelle Zahl kommt aber nach
> Konstruktion nicht in der Liste vor.

Kommt sie im Binären Baum vor, der mit abzählbar vielen Schritten
konstruiert worden ist bzw. (bei Ablehnung von unendlichen
Konstruktionen) in abzählbar viele Konfigurationen zerfällt, deren
jede sich um höchstens 2 reelle Zahlen von ihrer Vorgängerin
unterscheidet?

Gruß, WM

Detlef Müller

unread,

May 9, 2011, 11:11:51 AM5/9/11

to

Am 09.05.2011 16:25, schrieb Yal el Tanim:
> Ok, also ich antworte mal auf ein paar eurer Posts.
>

> ...

>
> @ Detlef Mueller
>
> "Im Fall der reellen Zahlen definiert die gewonnene Folge
> q eine reelle Zahl, von welcher gezeigt werden kann, daß
> sie nicht in der ursprünglichen Liste enthalten ist."
>
> Dass das gezeigt werden kann, sehe ich sofort ein fuer endliche
> Folgen. Wie zeigst Du mir, dass das auch fuer unsere unendliche Folge
> gilt? Die Induktion dazu (oder ein anderes Verfahren) moechte ich
> bitte erklaert haben, dann ist mein Problem geloest!
>

Dazu braucht man keine Induktion, das geht am Besten
über Widerspruch.

Eine Technische Bemerkung zuvor:
Bei der Darstellung von Zahlen x mit
0<x<=1 als Dezimalbruch sollen im folgenden
abbrechende Dezimalbrüche verboten werden, daß
heißt 0.5 werde durch 0.4999... dargestellt.
Das braucht man, um die Eindeutigkeit der Darstellung zu
erzwingen.
Mit dieser Darstellung kann man reellen Zahlen dann genau
einen Dezimalbruch zuordnen. Dann sind zwei reelle Zahlen
aus [0,1] genau dann verschieden, wenn es eine Dezimalstelle
gibt, an der sie sich unterscheiden.

Nun zum Beweis, daß sich die konstruierte Zahl q nicht
in der ursprünglichen Liste befinden kann.

Angenommen unsere Zahl q befände sich in der Liste.

Dann wäre sie gleich einer der Zahlen
l_1, l_2, l_3, ...
in unserer Liste und hätte somit eine Stelle n, an der
sie in der Liste steht, es gibt also eine Natürliche Zahl
n mit

q = l_n

(denn, wie gesagt: gäbe es so ein n nicht, fände sich
unser q nicht in der Liste wieder).

q stimmt nun mit der Zahl l_n bis zur n-1 - ten Dezimale
überein, aber nicht mehr in der n-ten Dezimale - denn so
wurde q konstruiert.

Da aber q in der n-ten Dezimale nicht mit l_n überein stimmt,
kann q=l_n nicht stimmen. Widerspruch.

Die Annahme, q sei in der Liste kann daher nicht stimmen.

Gruß,
Detlef

--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

WM

unread,

May 9, 2011, 11:47:11 AM5/9/11

to

On 9 Mai, 17:11, Detlef Müller <lef...@arcor.de> wrote:

> Da aber q in der n-ten Dezimale nicht mit l_n überein stimmt,
> kann q=l_n nicht stimmen. Widerspruch.
>
> Die Annahme, q sei in der Liste kann daher nicht stimmen.

Kann sie im Binären (oder meinetwegen auch dezimalen) Baum sein, der

Bert Ramm

unread,

May 9, 2011, 12:05:30 PM5/9/11

to

Yal el Tanim schrieb:

> @Bert Ram
>
> Ich sehe da immer noch das gleiche Problem:
> Du sagst, N sei fertig, daher scheitere jegliche Konstruktion eines
> neuen Elements.

Da scheitert nichts, sondern es sind ja schon ALLE Elemente in der Menge N.

> Ok, aber ich sage: "R ist fertig. Daher scheitert
> jegliche Konstruktion eines anderen Elementes."

Da scheitert nichts, sondern es sind ja schon ALLE Elemente in der Menge R.

Cantor hat eine Bijektion zwischen den 'fertigen' R und N untersucht.

> Oder wie machst Du sonst den Grenzuebergang und beweist,
> dass Cantor wirklich im Unendlichen funktioniert?

Du kannst nur den Formalismus beweisen. Die Voraussetzungen dafür sind
wirklich Unendlichkeitsaxiome, die vorsätzlich sind, wie alle Mathe.
(Das, was in der Mathematik bewiesen wird, ist immer die Konsistenz
der festgelegten Voraussetzungen.)

Unendlichkeitsaxiome sind prädikatenlogische Sätze, die erfüllbar sind,
aber keine endlichen Modelle haben, z.B. kann dieser Satz nicht endlich
erfüllt werden: 'In der Menge X existiert für alle x ein y mit x < y'.

Wenn du eine Menge willst, in der jedes Element einen Nachfolger hat,
dann kannst du eben z.B. keine grösste Zahl n aus N angeben, sondern
musst und kannst nur ein Objekt definieren, das eine Art Grenzwert für
alle Elemente ist, bei N ist das omega, ω: = {0 < 1 < 2 < 3 < ...}.

Schau dir statt Rekursion auch mal die Transfinite R. an, steht hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Transfinite_Induktion

Klaus Loeffler

unread,

May 9, 2011, 12:08:27 PM5/9/11

to

Na, der strukturelle Unterschied von 1 und 2 ist doch gar nicht so groß:

Beides sind indirekte Beweise.

Bei 1) nimmst du an, dass die Menge N endlich ist, nennst ihr (dann
existierendes) Maximum k und konstruierst ein Element (nämlich k+1),
das nicht in der Menge liegt; damit hast du den gewünschten Widerspruch:
N ist also nicht endlich.

Bei 2) nimmst du an, dass R abzählbar ist, also erst recht die
unendliche Teilmenge [0; 1] als Wertemenge einer unendlichen Folge
darstellbar ist. Du konstruierst dann ein Element, dass zwar in [0;1]
liegt, aber kein Glied der Folge ist; damit hast du den gewünschten
Widerspruch: R ist also nicht abzählbar.

Klaus-R.

Bert Ramm

unread,

May 9, 2011, 12:14:01 PM5/9/11

to

Yal el Tanim schrieb:

> 1) Manche sagen: Das geht nicht, denn n_neu=k+1 liegt per definitionem
> in N

Ja.

> Dann sagt Mr. Mephisto: Cantors 2.DA geht auch nicht, denn r_neu liegt
> per definitionem in R unter der a priori Annahme, dass R abzaehlbar ist.

Nein!

Es ist doch nicht die Frage, dass die Diagonalzahl in R liegt, sondern
ob eine Bijektion zwischen R und N (oder Teilmengen von R und N) vorliegt.

> Und bisher weiss ich ja noch nicht, dass R nicht abzaehlbar ist.

Darum geht es ja auch noch gar nicht, sondern um eine Bijektion!

Detlef Müller

unread,

May 9, 2011, 12:22:23 PM5/9/11

to

Am 09.05.2011 16:35, schrieb Yal el Tanim:
> @Detlef,
>
> sorry, ich vergass Folgendes, noch kurz zu Deinem Einwand: "Die Folge
> r, Die Du konstruiert hast definiert aber im
> Gegensatz dazu _keine natürliche Zahl_. "
>
> Ich nannte meine Folge natuerlicher Zahlen n, und sie konstruiert
> immer eine natuerliche Zahl.
>

Wie, aus der Folge bastelst Du eine natürliche Zahl?
mal sehen, wie das geht ...

> Veranschaulichung:
> Folge: Mein neu konstruiertes Element
> ausserhalb der Folge:
> 1,2,3 4
> 1,2,3,4 5
> 1,2,3,4.....k k+1
> Nun k---> unendlich und... voila! Ich habe eine natuerliche Zahl
> ausserhalb meiner Liste.
>

nö.
Du hast nacheinander die Zahlen
2, 3, 4, 5, 6, ...
konstruiert.

Das ist eine Folge von Zahlen und zwar die Folge
(n_k) mit n_k = k+1.

Eine Folge repräsentiert selbst keine Natürliche Zahl.

Im Gegensatz kann man eine (Cauchy-)Folge sehr wohl
als Reelle Zahl auffassen.

Die von Dir konstruierte Folge ist aber nicht einmal eine
Cauchyfolge und kann daher nicht einmal als reelle Zahl
aufgefasst werden.

k --> unendlich macht keinen Sinn und definiert insbesondere
keine natürliche Zahl.

> Nun gibt es wie gesagt zwei Varianten:
> 1) Manche sagen: Das geht nicht, denn n_neu=k+1 liegt per definitionem
> in N

Das Kind ist oben schon in den Brunnen gefallen,
Dein "k" ist einfach überhaupt kein definiertes Objekt.
Genau so wenig Sinn macht es dann von "k+1" zu reden.

> Dann sagt Mr. Mephisto: Cantors 2.DA geht auch nicht, denn r_neu liegt
> per definitionem in R unter der a priori Annahme, dass R abzaehlbar
> ist.
> Und bisher weiss ich ja noch nicht, dass R nicht abzaehlbar ist.
> In diesem Fall (R abzaehlbar) duerfte Cantor also genau wie die k+1
> Konstruktion nicht angewandt werden.

Dann Hat Mr. Mephisto nicht verstanden, wie ein Beweis über
Widerspruch funktioniert.

Wenn ich dem Klempner sage:

"Angenommen, die Reparatur war erfolgreich. Dann müsste ja
jetzt Wasser aus dem Hahn kommen - es passiert aber nichts,
also haben sie es nicht geschafft."

Entspräche Mr. Mephistos Argument der Antwort:

'So können Sie mir nicht kommen. Sie haben ja selbst
angenommen, meine Reparatur war erfolgreich.
Dann kommt ja per Definition Wasser aus dem Hahn.
Ihre "Beweisführung" ist also Murks.'

Wenn die Reparatur erfolgreich gewesen wäre
(Beh.: R abzählbar, also: es gibt eine Liste L aller reellen Zahlen),
Könnte mein Beweis, Hahn aufdrehen, nichts kommt (Diagonal-Argument
zeigt: Es fehlt eine reelle Zahl), nicht funktionieren.

In der Tat. Nun zeigt das Argument aber, daß die Liste nicht
vollständig war (Analogie: Dreh am Hahn, nichts kommt).
Nun zu sagen, dann ist das Argument unzulässig ist, weil es die
Annahme der Abzählbarkeit widerlegt, ist wie wenn
der Klempner sagt: "Dann Durften Sie gar nicht am Hahn
drehen".

> 2) oder es geht eben, dann geht die Konstruktion eines neuen Elementes
> auch bei natuerlichen Zahlen und Cantor kann kein valides Argument
> sein
>

Du hast oben, wie gesagt, überhaupt nichts konstruiert.

Eine Folge definiert eben keine Natürliche Zahl,
während genau dieser Zusammenhang bei den betrachteten
Folgen rationaler Zahlen eben gegeben ist:

Die betrachtete Folge rationaler Zahlen im Diagonalargument
definiert in der Tat eine Reelle Zahl, mit der man dann Sachen
anstellen kann und insbesondere zeigen kann, daß sie in
der gegebenen Liste nicht vorkommt.

In der Tat ist es eine Grundeigenschaft der Natürlichen
Zahlen, daß eine Menge, die
- die erste natürliche Zahl 1 enthält und
- mit jeder Zahl auch ihren Nachfolger enthält und
- keine Elemente enthält, die nicht durch endlich oft den
Nachfolger bilden aus 1 entstehen.
Automatisch schon die Menge der Natürlichen Zahlen selbst
ist.

So gesehen ist die Vollständigkeit der Liste {1,2,3,4,...} in den
Eigenschaften der Natürlichen Zahlen begründet.

Für die Reellen Zahlen gibt es so eine Eigenschaft nicht.

Gruß,
Detlef

WM

unread,

May 9, 2011, 12:25:15 PM5/9/11

to

On 9 Mai, 18:05, Bert Ramm <n...@spam.com> wrote:

> (Das, was in der Mathematik bewiesen wird, ist immer die Konsistenz
> der festgelegten Voraussetzungen.)

Bisweilen ist es auch deren Inkonsistenz.

Gruß, WM

Yal el Tanim

unread,

May 9, 2011, 12:40:20 PM5/9/11

to

@Detlef

Nun zum Beweis, daß sich die konstruierte Zahl n_neu nicht
in der ursprünglichen Liste aller natürlichen Zahlen befinden kann.

Angenommen unsere Zahl n_neu befände sich in der Liste.

Dann wäre sie gleich einer der Zahlen
l_1, l_2, l_3, ...

in unserer Liste; es gibt also eine Natürliche Zahl

n mit

n_neu = l_n

(denn, wie gesagt: gäbe es so ein n nicht, fände sich

unser n_neu nicht in der Liste wieder).

n stimmt nun mit der Zahl l_n aber nicht überein, denn
a) I_n ist das höchste Element der Liste. n wurde konstruiert als
n_neu=I_n+1 ungleich I_n
b) I_n ist ein niedrigeres Element. I_n<max(I)<n_neu nach Konstruktion

Da aber n_neu nicht mit l_n überein stimmt,
kann n_neu=l_n nicht stimmen. Widerspruch.

Die Annahme, n_neu sei in der Liste kann daher nicht stimmen.

----------------------

Ich verwende fast genau Deine Worte, um die Analogie zu verdeutlichen,
die ich sehe!
Nochmal für die Zweifler:
Ich habe hier eine Konstruktionsvorschrift, die funktioniert für alle
Listen aus natürlichen Zahlen. Nun sagen aber manche, sie konstruiere
ein Element, dass schon in der Liste enthalten sei. Dies ist genau
dann so, wenn das neue Cantor-Element auch schon in der abgezählten
Liste vorkommt. Ich finde es einfach unlogisch, dass man für die
natürlichen Zahlen sagt, die Konstruktionsvorschrift könne nicht
funktionieren (mit dem Argument dass die neue Zahl doch schon in der
Liste vorkomme), Cantor jedoch könne gleichzeitig funktionieren (wo
bleibt das Argument dass die neue Zahl doch schon in der Liste
vorkommt?).

Anders ausgedrückt: Ihr mögt einwenden, dass meine neu konstruierte
Zahl n_neu einen Schritt später in einer Liste der natürlichen Zahlen
wieder vorkommt. Aber wer sagt uns dass das nicht für die Cantor-
Konstruierte Zahl ebenso gilt. In beiden Fällen nutze ich eine
Konstruktionsvorschrift, die für alle endlichen Folgen funktioniert.
Warum macht ihr auf einmal den Unterschied, dass die eine Vorschrift
im Unendlichen nicht mehr möglich sein soll, die andere schon?

@ Bert Ramm

"Wenn du eine Menge willst, in der jedes Element einen Nachfolger hat,
dann kannst du eben z.B. keine grösste Zahl n aus N angeben, sondern
musst und kannst nur ein Objekt definieren, das eine Art Grenzwert für
alle Elemente ist, bei N ist das omega, ω: = {0 < 1 < 2 < 3 < ...}. "

Genau meine Rede: Wenn ich eine Menge will, in der jedes Element einen
Nachfolger hat, kann ich keine Diagonalzahl angeben, da diese
Diagonalzahl ja ein Nachfolger innerhalb meiner abzählbar unendlichen
Folge wäre. Gleiches Recht für beide Konstruktionsmethoden. (mit
Deinem Argument musst du doch beide Methoden ablehnen)

@Klaus-R.

Ich will aber 1) bis ins Unendliche treiben. Wenn das nicht geht,
warum sollte dann die Konstruktion nach Cantor im Unendlichen gehen?
Ich kann doch konkret mit Cantor nur zeigen, dass Ziffern an einer
_endlichen_ Stelle abweichen! Im Unendlichen glaube ich das einfach
nicht ohne irgendeinen weiteren Beweisschritt, z.B. Induktion. Ich
dachte, dass nicht wenige Mathematiker mir da zustimmen würden, das
noch etwas fehlt (und hoffentlich einige auch den fehlenden
Beweisschritt kennen).

Yal el Tanim

unread,

May 9, 2011, 12:57:46 PM5/9/11

to

Ok jetzt melde ich mich mal noch zumPost von Detlef von 6:22

> Das ist eine Folge von Zahlen und zwar die Folge
> (n_k) mit n_k = k+1.

Du hast mich falsch verstanden, meine angegeben Folgen waren jeweils
Beispielfolgen und das neu konstruierte Element stand daneben. Die
Elemente untereinander waren sonst nicht logisch verknüpft.

> k --> unendlich macht keinen Sinn und definiert insbesondere

> keine nat rliche Zahl.

Ok, wenn Du das sagst, kann ich damit leben. Aber warum macht die
Diagonalzahl dann mehr Sinn? In welchem Sinne ist die neu konstruierte
reelle Zahl definiert? Ich sehe es nicht, dass sie besser definiert
wäre als mein n_neu. Ich kann nur von endlichen Folgen her kommen und
dort sehen, ob eine Konstruktion funktioniert. Dann meinetwegen einen
Übergang ins Unendliche machen und sehen, ob das etwas ändert oder
nicht. Wie zeigt man diesen Übergang für die Diagonalzahl? Warum
funktioniert der Übergang für die Diagonalzahl, nicht aber für meine
"überhöchste Zahl". Ich muss doch für die Diagonalzahl auch eine
endliche Stelle angeben beim validen Vergleich mit einer anderen
reellen Zahl der Liste. Wie geht das im Unendlichen? Ich schlug ja
Induktion vor, aber die zeigt mir auch, dass n_neu _nie_ in der Folge
der natürlichen Zahlen enthalten sein wird, egal wie weit ich die
Folge treibe!
Das Argument aber "n_neu ist bei den Natürlichen Zahlen doch
enthalten" wäre genauso anwendbar als "Diagonalzahl r_neu ist doch in
meiner abzählbaren Liste R doch enthalten". Kein Unterschied...

Bert Ramm

unread,

May 9, 2011, 1:05:45 PM5/9/11

to

Yal el Tanim schrieb:

> Ich habe hier eine Konstruktionsvorschrift, die funktioniert für alle
> Listen aus natürlichen Zahlen. Nun sagen aber manche, sie konstruiere
> ein Element, dass schon in der Liste enthalten sei.

Wenn eine Liste ENDLICH ist, dann und nur dann kannst du alle
Elementen benennen.

> Dies ist genau dann so, wenn das neue Cantor-Element auch schon
> in der abgezählten Liste vorkommt. Ich finde es einfach unlogisch,
> dass man für die natürlichen Zahlen sagt, die Konstruktionsvorschrift
> könne nicht funktionieren (mit dem Argument dass die neue Zahl doch
> schon in der Liste vorkomme)

Du kannst eben bei UNENDLICHEN Mengen nicht sagen, welche Elemente
im Einzelnen vorkommen! DAS ist der Unterschied, mit dem man leben
muss, wenn man das Symbolmanipulation (also formale Mathe) unter
Einbeziehung unendlich grosser Mengen macht.

Es wird Zeit, dass du dir das mal aktiv verdeutlichst.

> Cantor jedoch könne gleichzeitig funktionieren (wo
> bleibt das Argument dass die neue Zahl doch schon in der Liste
> vorkommt?).

Das ist wie schon gesagt simpel: ALLE N werden vollständig als
Zeilennummer genommen und NUR DANN ist die Liste der R unvollständig,
und deshalb kann man logischerweise die Diagonalzahl noch hinzufügen
(also weil die Liste der R, nicht die der N, unvollständig ist).

Nochmal, mehr musst du am DA2 gar nicht verstehen: Es geht um Bijektion.

> Anders ausgedrückt: Ihr mögt einwenden, dass meine neu konstruierte
> Zahl n_neu einen Schritt später in einer Liste der natürlichen Zahlen
> wieder vorkommt.

n_neu gibt es gar nicht, denn ALLE Zeilennummern stehen untereinander.

Wenn du eine solche Abstraktion nicht leisten kannst, dann...

> Aber wer sagt uns dass das nicht für die Cantor-
> Konstruierte Zahl ebenso gilt. In beiden Fällen nutze ich eine
> Konstruktionsvorschrift,

Nein, tust du nicht, denn ALLE N stehen als Zeilennummern da und
es ist vollkommen beliebig, welche r aus in der Liste stehen.

> die für alle endlichen Folgen funktioniert.
> Warum macht ihr auf einmal den Unterschied, dass die eine Vorschrift
> im Unendlichen nicht mehr möglich sein soll, die andere schon?

Das stimmt eben nicht, sondern du bringst das nur durcheinandern.

Es ist auch (nur am Anfang) nicht so leicht. Wenn du kannst, versuch
mal deine ganze bisherige Sichtweise zu vergessen und irgendeine andere
Sichtweise (z.B. aus dem web) nachzuvollziehen (unvoreingenommen).

> @ Bert Ramm
>
> "Wenn du eine Menge willst, in der jedes Element einen Nachfolger hat,
> dann kannst du eben z.B. keine grösste Zahl n aus N angeben, sondern
> musst und kannst nur ein Objekt definieren, das eine Art Grenzwert für
> alle Elemente ist, bei N ist das omega, ω: = {0 < 1 < 2 < 3 < ...}. "
>
> Genau meine Rede: Wenn ich eine Menge will, in der jedes Element einen
> Nachfolger hat, kann ich keine Diagonalzahl angeben,

Das bezieht sich auf LINKS, auf die Zeilennummern, das vollständige N.

> da diese Diagonalzahl ja ein Nachfolger

Nein, nein, nein! Die Diagonalzahl ist KEIN Nachfolger!

Du hast dich offenbar an einer fixen Idee festgefressen...

Yal el Tanim

unread,

May 9, 2011, 1:18:30 PM5/9/11

to

> Du kannst eben bei UNENDLICHEN Mengen nicht sagen, welche Elemente
> im Einzelnen vorkommen!

Das brauche ich auch keinesfalls. Ich habe oben meine
Konstruktionsvorschrift bereits abstrakt vorgestellt durch Umordnung
und auch gezeigt, dass dies N+1 Operationen benötigt. Dazu behandle
ich die Elemente genauso abstrakt, wie Ziffern bei Cantor abstrakt
behandelt werden.

> Nein, nein, nein! Die Diagonalzahl ist KEIN Nachfolger!

Warum nicht? Ich frage doch schon die ganze Zeit nach dem Unterschied
zu meiner Konstruktion einer neuen Zahl n_neu. Das einzige Argument
bisher war "n_neu kommt per definitionem schon vor." und dieses
Argument kann man völlig analog auch auf r_neu anwenden. Die Tatsache,
dass uns keine konkrete abzählbare Ordnung der reellen Zahlen bekannt
ist, heißt ja nicht, dass eine solche nicht existieren könnte und
r_neu darin ("per definitionem" auch) vorkäme. Wie gesagt, können wir
ohne Induktion Cantor ja nicht auf unendliche Folgen anwenden, es sei
denn, wir erkennen vollständige Induktion an. Die wiederum
funktioniert auch um das "Draußensein aus der Liste" von n_neu zu
beweisen.

Kurzes Fazit: Cantor ist eine Konstruktionsvorschrift für neue reelle
Zahlen, damit kann man die Abzählung fortführen. Im abzählbar
Unendlichen jedoch ist die Aufzählung "beendet", weswegen Cantor per
definitionem nicht mehr funktioniert. Wenn ihr nicht damit
einverstanden seid, seid so gut und zeigt mir bitte den Unterschied
zur n_neu Konstruktion.

Bert Ramm

unread,

May 9, 2011, 1:24:20 PM5/9/11

to

Yal el Tanim schrieb:

> In welchem Sinne ist die neu konstruierte reelle Zahl definiert?

Sie ist eine Zahl in R, die nicht in der Liste steht.

> Ich sehe es nicht, dass sie besser definiert wäre als mein n_neu.

Auch wenn du konstruieren willst und endlos neue Listenzeilen
hinzufügst, wirst du die Diagonalzahl nicht los.

> Ich kann nur von endlichen Folgen her kommen und
> dort sehen, ob eine Konstruktion funktioniert. Dann meinetwegen einen
> Übergang ins Unendliche machen und sehen, ob das etwas ändert oder
> nicht.

Was soll sich denn ändern an n_neu := n + 1? Dann bekommt die
Diagonalzahl einfach eine neue Stelle!

> Wie zeigt man diesen Übergang für die Diagonalzahl?

Es gibt keinen Übergang, und DAS ist es ja eben, was man denkt, das es
erlaubt, Aussagen im Unendlichen zu machen!

> Warum funktioniert der Übergang für die Diagonalzahl

Welcher "Übergang", um Himmels willen!

> nicht aber für meine "überhöchste Zahl".

Welcher "Übergang"...

> Ich muss doch für die Diagonalzahl auch eine
> endliche Stelle angeben beim validen Vergleich mit einer anderen
> reellen Zahl der Liste.

Nein, sondern zu zeigst, dass, egal, wie lang die Liste ist, sich
NICHTS ändert: man wird die Diagonalzahl nicht los.

> Wie geht das im Unendlichen? Ich schlug ja
> Induktion vor, aber die zeigt mir auch, dass n_neu _nie_ in der Folge
> der natürlichen Zahlen enthalten sein wird, egal wie weit ich die
> Folge treibe!

Das ist keine Folge und "es" hat nichts mit alledem zu tun. Sieh das ein.

> Das Argument aber "n_neu ist bei den Natürlichen Zahlen doch
> enthalten" wäre genauso anwendbar als "Diagonalzahl r_neu ist doch in
> meiner abzählbaren Liste R doch enthalten". Kein Unterschied...

Du brauchst kein "n_neu", denn die gesuchte Bijektion funktioniert
NICHT mit 2 Zeilen und auch nicht mit beliebig (!) vielen Zeilen,
z.B. N Stück (d.h. also omega Stück).

Bert Ramm

unread,

May 9, 2011, 1:42:10 PM5/9/11

to

Yal el Tanim schrieb:

>> Du kannst eben bei UNENDLICHEN Mengen nicht sagen, welche Elemente
>> im Einzelnen vorkommen!
>
> Das brauche ich auch keinesfalls. Ich habe oben meine
> Konstruktionsvorschrift bereits abstrakt vorgestellt durch Umordnung
> und auch gezeigt, dass dies N+1 Operationen benötigt.

Du brauchst nichts zu konstruieren da es nichts zu konstruieren gibt.

*)
Wenn du konstruieren willst, dann konstruierst du eben unendlich viele
Zeilennummern und siehst, dass die Diagonalzahl nie verschwinden kann.

Das ist alles.

> Dazu behandle
> ich die Elemente genauso abstrakt, wie Ziffern bei Cantor abstrakt
> behandelt werden.

Du redest Unsinn.

>> Nein, nein, nein! Die Diagonalzahl ist KEIN Nachfolger!
>
> Warum nicht?

Reelle Zahlen haben keine Nachfolger. Keine einzige hat so was.

> Ich frage doch schon die ganze Zeit nach dem Unterschied
> zu meiner Konstruktion einer neuen Zahl n_neu.

Diese Frage kann man nicht verstehen, weil auf Unsinn beruht
(nicht "böse" gemeint), den nur du "kennst" oder "verstehst"...

Also: es wird bei alledem NIE ein r aus R konstruiert, sondern es ist
VOLLKOMMEN FREI, welche reelle Zahl r aus R du in die nächste Zeile tust!

> Das einzige Argument bisher war "n_neu kommt per definitionem schon vor."

Ist doch alles egal! Siehe *)

> und dieses Argument kann man völlig analog auch auf r_neu anwenden.

Welches Argument!

Stell dir bitte mal die Frage, welches "Argument" du vertrittst!

Sag dein Argument in einem kurzen Satz: _______________________.

> Die Tatsache,
> dass uns keine konkrete abzählbare Ordnung der reellen Zahlen bekannt
> ist, heißt ja nicht, dass eine solche nicht existieren könnte und
> r_neu darin ("per definitionem" auch) vorkäme.

Wir brauchen für DA2 aber keine. Und wir wollen auch keine, weil
wir sonst kein Kontinuum mehr hätten!

> Wie gesagt, können wir
> ohne Induktion Cantor ja nicht auf unendliche Folgen anwenden,

Dieser Gedanke ist ein Beispiel für Stuss: "Cantor auf unendliche
Folgen anwenden".

> es sei
> denn, wir erkennen vollständige Induktion an. Die wiederum
> funktioniert auch um das "Draußensein aus der Liste" von n_neu zu
> beweisen.

Kapier doch jetzt mal: DA2 funktioniert mit JEDER ANZAHL von Zeilen!

> Kurzes Fazit: Cantor ist eine Konstruktionsvorschrift für neue reelle
> Zahlen, damit kann man die Abzählung fortführen.

Unsinn. DA2 funktioniert mit JEDER ANZAHL von Zeilen.

> Im abzählbar
> Unendlichen jedoch ist die Aufzählung "beendet", weswegen Cantor per
> definitionem nicht mehr funktioniert.

Du kapierst das also wirklich nicht!
Wenn die Aufzählung von N zuende ist UND nicht alle R in der Liste
sind, dann nennen wir das DA2! Denn DAS IST das qed!

> Wenn ihr nicht damit
> einverstanden seid, seid so gut und zeigt mir bitte den Unterschied
> zur n_neu Konstruktion.

Du hast dich in Unsinn reingesteigert oder bist nicht fähig für Mathe.

Klaus Loeffler

unread,

May 9, 2011, 1:44:19 PM5/9/11

to

Yal el Tanim <yal_el...@gmx.de> wrote:

> @Klaus-R.
>
> Ich will aber 1) bis ins Unendliche treiben. Wenn das nicht geht,
> warum sollte dann die Konstruktion nach Cantor im Unendlichen gehen?
> Ich kann doch konkret mit Cantor nur zeigen, dass Ziffern an einer
> _endlichen_ Stelle abweichen! Im Unendlichen glaube ich das einfach
> nicht ohne irgendeinen weiteren Beweisschritt, z.B. Induktion. Ich
> dachte, dass nicht wenige Mathematiker mir da zustimmen würden, das
> noch etwas fehlt (und hoffentlich einige auch den fehlenden
> Beweisschritt kennen).

Möglicherweise hast du vom Unendlichen eine über die definierten
Eigenschaften hinausgehende Vorstellung.

Von den möglichen Darstellungen der reellen Zahlen werden für den
besprochenen Beweis die Darstellungen als Grenzwerte unendlicher Reihen
betrachtet, deren i-ter Summand die Form a_i * 10^i hat, wobei a_i eine
Dezimalziffer ist und abbrechende Dezimalbrüche periodisch dargestellt
werden. Dann hat jede reelle Zahl eine eindeutige Darstellung und zwei
Zahlen unterscheiden sich genau dann, wenn sie sich an einer Stelle (und
das ist immer im Endlichen) unterscheiden.

Wenn man also bei deiner Überlegung 1) feststellen will, ob dein zu
einer natürlichen Zahl k konstruierte k+1 in der Liste steht, braucht
man nur in der (sinnvollerweise in der natürlichen Anordnung stehenden)
Liste das k zu suchen, das (bei klassischem Starten mit 1) dann an k_ter
Stelle steht, und findet tatsächlich an der folgenden Listenposition
(aufgrund der Konstruktion der natürlichen Zahlen) dein k+1. Die
Annahme, dass die natürlichen Zahlen abzählbar sind, wurde also nicht
widerlegt.

Bei 2) ist die Suche etwas komplizierter, da keine "natürliche
Anordnung" vorliegt und auch die Konstruktion des Kandidaten nicht so
simpel ist. Aber in diesem Fall kann die konstruierte Zahl nicht schon
in der Liste stehen, denn:
Stände sie schon in der Liste, hätte sie dort eine Platznummer k; die
Zahl an der Stelle k weicht aber von der konstruierten Zahl an der
Stelle k ab und - wie oben ausgeführt - ist sie damit von der k-ten Zahl
der Liste verschieden. Es gibt also keine abzählbare Menge, die alle
Zahlen aus [0; 1] enthält.

Im Gegensatz zur Poesie bleibt in der Mathematik auch beim Umgang mit
"Unendlich" der Blick ins Endliche gerichtet.

Mein alter Professor Dörge in Köln erklärte in seiner Anfangsvorlesung
Analysis immer, dass er die Einführung der reellen Zahlen vertage, weil
das entsprechende Verständnis im ersten Semester noch nicht vorhanden
sei. Würde man allerdings in de.sci.mathematik ein Kolleg über die
Bedeutung der Quantorenreihenfolge, den Existenzbegriff in der
Mathematik oder den Unterschied zwischen mathematischen Objekten und
ihren Darstellungen vorschreiben, wäre diese Newsgroup um viele
verblüffende Beiträge ärmer geblieben.

Klaus-R.

Yal el Tanim

unread,

May 9, 2011, 1:49:19 PM5/9/11

to

> Wie zeigt man diesen bergang f r die Diagonalzahl?

Es geht hier nicht um die Diagonalzahl. Es geht darum, dass mein
Element n_neu nicht in der Folge der natürlichen Zahlen enthalten ist.

> Es gibt keinen bergang, und DAS ist es ja eben, was man denkt, das es

> erlaubt, Aussagen im Unendlichen zu machen!

Das heißt, ich finde ich immer eine neue natürliche Zahl n_neu, die
nicht in meiner Liste der natürlichen Zahlen enthalten ist.

>Nein, sondern zu zeigst, dass, egal, wie lang die Liste ist, sich

>NICHTS ndert: man wird die Diagonalzahl nicht los.

Man wird aber - und das war ja mein Argument - auch n_neu nicht los.
Wenn ich aber immer eine neue natürliche Zahl konstruieren kann, die
ich noch nicht abgezählt habe, sollte dies auch für reelle Zahlen
gelten dürfen in Verträglichkeit zu ihrer vollständigen Abzählbarkeit.

> Welcher " bergang", um Himmels willen!

Ich meine genau den Übergang, der die Konstruktion von n_neu angeblich
unmöglich macht, wenn die Folge n vollständig ist (also alle
natürlichen Zahlen enthält). Hier ändert sich die Eigenschaft meiner
Konstruktion laut den Teilnehmern des Forums komplett. Sie soll nicht
mehr möglich sein. Warum ändert sich nichts am Vorhandensein der
Diagonalzahl für die Folge der r, wenn ich alle reellen Zahlen
abzählbar komplett habe?

Dabei kann ich folgendes zeigen. Ich konstruiere nun eine Folge von
Folgen.
Jede Folge enthält natürliche Zahlen in "guter" Ordnung
Folge n_neu:=n+1
1. Folge 1 2
2. Folge 1,2 3
3. Folge 1,2,3 4
...
n.Folge 1,2,3....i......n n+1
Da die Folge in guter Ordnung ist, definiere ich n_neu:=n+1
Nun ist n+1 nie Bestandteil der Folge. Was passiert für die (n
+1).Folge und die Folge danach und die Folge danach? n_neu ist immer
noch nicht Bestandteil der Folge. Bis ins Unendliche.
Ich kann hier also Induktion anwenden, und Du wirst mir zustimmen,
dass mein n_neu immer außerhalb der Folge ist.
Dies ist für alle Folgen so. Analog zum Diagonalargument.
Offensichtlich ist eine Eigenschaft von Folgen natürlicher Zahlen und
eine Eigenschaft von Folgen reeller Zahlen, dass man immer ein neues
Element der entsprechenden Menge außerhalb der Folge findet.

Was passiert jetzt also für n--->unendlich? Diagonalargument und n_neu
nicht mehr konstruierbar? Oder doch? Wie zeigt man mathematisch, was
hier jeweils passiert und warum dies ggf. unterschiedlich ist?

Yal el Tanim

unread,

May 9, 2011, 1:57:17 PM5/9/11

to

"Bei 2) ist die Suche etwas komplizierter, da keine "nat rliche

Anordnung" vorliegt und auch die Konstruktion des Kandidaten nicht so
simpel ist. Aber in diesem Fall kann die konstruierte Zahl nicht schon
in der Liste stehen, denn:

St nde sie schon in der Liste, h tte sie dort eine Platznummer k; die

Zahl an der Stelle k weicht aber von der konstruierten Zahl an der

Stelle k ab und - wie oben ausgef hrt - ist sie damit von der k-ten
Zahl
der Liste verschieden. Es gibt also keine abz hlbare Menge, die alle
Zahlen aus [0; 1] enth lt. " - Klaus-R.

Ok, stünde meine neue Zahl n_neu schon in der Liste der abgezählten
natürlichen Zahlen, hätte sie Betrag k und Platz i; k weicht aber -
wie oben ausgeführt - per constructionem von n_neu ab und n_neu ist
damit von der i-ten Zahl der Liste verschieden. Es gibt also immer ein
zusätzliches Element auch der abzählbaren natürlichen Zahlen und
Cantor ist kein Widerspruchsbeweis. Du glaubst nicht, dass natürliche
Zahl i den Betrag k hat? Alle natürlichen Zahlen ohne Ausnahme haben
einen Betrag! Also das was du hier ausführtest ist eine
Konkretisierung die ich genauso in N machen kann.

Detlef Müller

unread,

May 9, 2011, 2:08:57 PM5/9/11

to

Am 09.05.2011 18:57, schrieb Yal el Tanim:
> Ok jetzt melde ich mich mal noch zumPost von Detlef von 6:22
>
>> Das ist eine Folge von Zahlen und zwar die Folge
>> (n_k) mit n_k = k+1.
>
> Du hast mich falsch verstanden, meine angegeben Folgen waren jeweils
> Beispielfolgen und das neu konstruierte Element stand daneben. Die
> Elemente untereinander waren sonst nicht logisch verknüpft.
>

dennoch Definiert Deine Konstruktion eine Folge Natürlicher
Zahlen.

Mit Deinem Vorgehen definierst Du die Folge
(k+1) bzw. (2,3,4,5,6,7,...)

Nun kann man nicht behaupten, das sei eine natürliche
Zahl, deshalb wahrscheinlich Deine Idee mit k --> unendlich.

>> k --> unendlich macht keinen Sinn und definiert insbesondere
>> keine nat rliche Zahl.
>
> Ok, wenn Du das sagst, kann ich damit leben. Aber warum macht die
> Diagonalzahl dann mehr Sinn?

Weil eine (konvergente) Folge (q_n) von Rationalen Zahlen
sehr wohl eine reelle Zahl darstellt.

Hiezu kannst Du Dich z.B. in

http://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Analysis_I/Kapitel_I:_Das_System_der_reellen_und_komplexen_Zahlen/Definition_der_reellen_Zahlen_%28%C2%A72%29

Bis "Definition 7" vorarbeiten.

> In welchem Sinne ist die neu konstruierte
> reelle Zahl definiert?

In dem, daß die Definition der Reellen Zahlen
beinhaltet, daß Cauchyfolgen rationaler Zahlen
(und eine solche definiert das Diagonalverfahren)
genau eine Reelle Zahl darstellen.

Dazu, wie reelle Zahlen über Cauchy Folgen definiert
werden informiere Dich bitte selber, vielleicht macht
das auch jemand anders hier.

Der Link oben ist ziemlich trocken, wenn gleich mit
einigen Beispielen, vielleicht hilft er Dir.

Eventuell weiß noch jemand anders eine bessere Quelle,
ich empfehle jedenfalls die Konstruktion über Äquivalenzklassen
von Cauchyfolgen modulo Nullfolgen zu wählen, die auch im
angegebenen Link gewählt wurde.

Es gibt andere Zugänge (z.B. Dedekind-Schnitte), aber
dieser ist für unsere Zwecke am günstigsten.

Wenn Dir klar ist, warum eine Cauchyfolge rationaler
Zahlen eine Reelle Zahl definiert,
können wir in der Sache weiter reden.

Bert Ramm

unread,

May 9, 2011, 2:16:39 PM5/9/11

to

Yal el Tanim schrieb:

>> Wie zeigt man diesen bergang f r die Diagonalzahl?
>
> Es geht hier nicht um die Diagonalzahl. Es geht darum, dass mein
> Element n_neu nicht in der Folge der natürlichen Zahlen enthalten ist.

Du irrst.

Wenn immer zu einer natürlichen Zahl n eins hinzuzählst, bleibst du in N.

Verstehst du das?

> Das heißt, ich finde ich immer eine neue natürliche Zahl n_neu, die
> nicht in meiner Liste der natürlichen Zahlen enthalten ist.

Du irrst.

Wenn immer zu einer Zahl n eins hinzuzählst, bleibst du in N.

Verstehst du das?

> Man wird aber - und das war ja mein Argument - auch n_neu nicht los.

Doch, omega, ω: = {0 < 1 < 2 < 3 < ...}.

Aber "wichtiger" - egal wie viele Zeilen die Liste hat, wirst du die
Diagonalzahl nicht los und das heisst:

Sei N noch auch so gross - R ist grösser.

Verstehst du das?

unread,

May 9, 2011, 3:37:36 PM5/9/11

to

WM faselt:

>> Aber "wichtiger" - egal wie viele Zeilen die Liste hat, wirst du die
>> Diagonalzahl nicht los und das heisst:
>>

>> Sei N auch noch so gross - R ist grösser.

> Das ...

Fass dich an deine weiche Birne, du lästig-dummfrech-natudooofer Spinner.

WM

unread,

May 9, 2011, 3:44:36 PM5/9/11

to

On 9 Mai, 19:42, Bert Ramm <n...@spam.com> wrote:

> Wenn du konstruieren willst, dann konstruierst du eben unendlich viele
> Zeilennummern und siehst, dass die Diagonalzahl nie verschwinden kann.
>
> Das ist alles.

Richtig.

Wenn Du in der Liste

0,0
0,1
0,11
0,111
...

immer die Diagonalziffer 0 durch 1 ersetzt, dann siehst Du, dass die
Diagonalzahl sich nicht von allen Listenzahlen unterscheidet.

Gruß, WM

Bert Ramm

unread,

May 9, 2011, 3:44:56 PM5/9/11

to

WM seicht:

> 0,0
> 0,1
> 0,11
> 0,111
> ...
> die reelle Zahl 1/9 dar.

> Warum ist dann die Diagonalzahl 1/9 nicht in der Liste?

Du faselst schon wieder unerträglich dämlichen Stuss.

Bist du wirklich so total verblödet? Ja... offensichtlich.

Die Diagonale ist hier 0,11111111111111... und JEDE der unzähligen
davon an irgendeiner Stelle abweichenden Zahlen *) ist NICHT in der
obigen Liste, so dass die unterstellte Bijektion scheitert, qed.

*) Z.B.
0,51111111111...
0,151111111111...
0,1151111111111...
0,11151111111111...
0,111151111111111...
0,1111151111111111...
0,11111151111111111...
0,111111151111111111...
0,1111111151111111111...
0,11111111151111111111...
0,111111111151111111111...
0,1111111111151111111111...
...

Bert Ramm

unread,

May 9, 2011, 3:48:32 PM5/9/11

to

WM faselt:

> Wenn Du in der Liste

Du Irrer hast noch nicht mal den Unterschied zw. Diagonale und
daraus (N*N vielen) entstehenden Diagaonalzahlen jemals verstanden.

Unglaublich...

WM

unread,

May 9, 2011, 3:53:17 PM5/9/11

to

On 9 Mai, 19:44, mathema...@web.de (Klaus Loeffler) wrote:

> Möglicherweise hast du vom Unendlichen eine über die definierten
> Eigenschaften hinausgehende Vorstellung.

Leider gibt es zwei verschiedene Vorstellungen:
1) das potentiell Unendliche, wie es in der Folge
0,1
0,11
0,111
...
ausgedrückt wird, und
2) das aktual-Unendliche von Zahlen wie 0,111...

Leider wird beides nur zu leicht verwechselt.

>
> Von den möglichen Darstellungen der reellen Zahlen werden für den
> besprochenen Beweis die Darstellungen als Grenzwerte unendlicher Reihen
> betrachtet, deren i-ter Summand die Form a_i * 10^i hat, wobei a_i eine
> Dezimalziffer ist und abbrechende Dezimalbrüche periodisch dargestellt
> werden. Dann hat jede reelle Zahl eine eindeutige Darstellung und zwei
> Zahlen unterscheiden sich genau dann, wenn sie sich an einer Stelle (und
> das ist immer im Endlichen) unterscheiden.

Alle Zahlen, deren Zifferndarstellungen sich bis zu einer endlichen
Stelle voneinander unterscheiden, gehören zu einer abzählbaren Menge.
(s. obige Liste.)

>
> Wenn man also bei deiner Überlegung 1) feststellen will, ob dein zu
> einer natürlichen Zahl k konstruierte k+1 in der Liste steht, braucht
> man nur in der (sinnvollerweise in der natürlichen Anordnung stehenden)
> Liste das k zu suchen, das (bei klassischem Starten mit 1) dann an k_ter
> Stelle steht, und findet tatsächlich an der folgenden Listenposition
> (aufgrund der Konstruktion der natürlichen Zahlen) dein k+1. Die
> Annahme, dass die natürlichen Zahlen abzählbar sind, wurde also nicht
> widerlegt.
>
> Bei 2) ist die Suche etwas komplizierter, da keine "natürliche
> Anordnung" vorliegt und auch die Konstruktion des Kandidaten nicht so
> simpel ist. Aber in diesem Fall kann die konstruierte Zahl nicht schon
> in der Liste stehen, denn:
> Stände sie schon in der Liste, hätte sie dort eine Platznummer k; die
> Zahl an der Stelle k weicht aber von der konstruierten Zahl an der
> Stelle k ab und - wie oben ausgeführt - ist sie damit von der k-ten Zahl
> der Liste verschieden. Es gibt also keine abzählbare Menge, die alle
> Zahlen aus [0; 1] enthält.

Dann betrachten wir den Spezialfall der Liste

0,0
0,1
0,11
0,111
...

und die Ersetzung der Diagonalziffer 0 durch 1.
Hier kann keine Diagonalzahl gebildet werden, die nicht in der Liste
ist.

>
> Im Gegensatz zur Poesie bleibt in der Mathematik auch beim Umgang mit
> "Unendlich" der Blick ins Endliche gerichtet.

Das genügt nicht. Sie die gerade vorgestellte Liste.

>
> Mein alter Professor Dörge in Köln erklärte in seiner Anfangsvorlesung
> Analysis immer, dass er die Einführung der reellen Zahlen vertage, weil
> das entsprechende Verständnis im ersten Semester noch nicht vorhanden
> sei. Würde man allerdings in de.sci.mathematik ein Kolleg über die
> Bedeutung der Quantorenreihenfolge, den Existenzbegriff in der
> Mathematik oder den Unterschied zwischen mathematischen Objekten und
> ihren Darstellungen vorschreiben, wäre diese Newsgroup um viele
> verblüffende Beiträge ärmer geblieben.

Dann gib doch einmal den Unterschied zwischen der Folge
0,1
0,11
0,111
...
und der Zahl 1/9 = 0,111... an.
Ist die Zahl 1/9 in der Folge oder unterscheidet sie sich von allen
Gliedern der Folge? Wenn ja, wo? Wenn nein, durch welche Ziffer wird
der Unterschied zu allen Gliedern ausgedrückt. (Dezimalzahlen
unterscheiden sich durch Ziffern, nicht durch fehlende Enden oder
Quantoren. Fehlende Enden oder Quantoren kommen in Cantors
Diagonalargument nicht vor.)

Gruß, WM

Bert Ramm

unread,

May 9, 2011, 4:03:14 PM5/9/11

to

WM' spastischer Mitteilungszwang lallt:

> Dann gib doch einmal den Unterschied zwischen der Folge
> 0,1
> 0,11
> 0,111
> ...

Kapier doch einfach mal:

1 0,1
2 0,11
3 0,111
...

Abwärts stehen alle Zahlen n in N und die Zeilen sollen
alle r aus R enthalten, das wäre die unterstellte Bijektion,
so dass R und N gleichmächtig sind.

Nun sieht aber jeder, dass bei Fortsetzung deines kranken Beispiels
jedes r, das andere Ziffern als alles eine 1 enthält, in der Liste
FEHLT, so dass die unterstellte Bijektion SCHEITERT, qed.

(Hier braucht man noch nicht mal eine Diagonale, sondern jede Zahl
aus R tut es, die etwas anderes als eine 1 enthält.)

WM

unread,

May 9, 2011, 4:07:13 PM5/9/11

to

On 9 Mai, 21:48, Bert Ramm <n...@spam.com> wrote:

> hast noch nicht mal den Unterschied zw. Diagonale und
> daraus (N*N vielen) entstehenden Diagaonalzahlen jemals verstanden.
>
> Unglaublich...

Vielleicht nimmt Du einfach mal zur Kenntnis, was Du leider nicht
verstanden zu haben scheinst: N*N = N.

Gruß, WM