Dunkle Zahlen - einfach erklärt

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Ganzhinterseher

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Nov 15, 2021, 5:19:50 AMNov 15
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Jede natürliche Zahl hat unendlich viele Nachfolger. Das ist ein allgemein bekannter und anerkannter Satz. Was seltener bedacht wird: Alle diese Nachfolger sind auch natürliche Zahlen. Wenn man aber von der Existenz "aller" überhaupt sprechen kann, muss man die aktuale Unendlichkeit akzeptieren. Das ist nicht zwangsläufig notwendig und kann aus mathematischen Grundlagen (wie dem Abzählen oder der wiederholten Addition von 1) auch nicht bewiesen werden. Es wird in der Mengenlehre nur "per Axiom" behauptet und von vielen damit als bewiesen angesehen. Ein Gesichtspunkt, der diese Annahme unterstützt, ist die Vollständigkeit der reellen Achse. Unter der Annahme potentieller Unendlichkeit existieren zum Beispiel nur endlich viele Punkte, die zu Stammbrüchen gehören. Die meisten Stammbrüche der aktualen Unendlichkeit existieren in einer potentiellen Mathematik nicht und können auch niemals existieren. Wir wollen hier die aktual Unendlichkeit und damit die Vollständigkeit der Menge ℕ der natürlichen Zahlen n voraussetzen.

Die Nachfolger einer natürlichen Zahl bilden zusammen mit der Zahl selbst das Endsegment

E(n) = {n, n+1, n+2, n+3, ...}.

Fast allen Zahlen jedes Endsegmentes können zwar unter ferner liefen "..." zusammengefasst werden, aber sie sind nicht als Individuen wählbar, adressierbar oder definierbar. Sie sind dunkel. Denn es handelt sich um die "Nachfolger", selbst eine aktual unendliche Menge. (Könnten sie nicht unter ferner liefen zusammengefasst werden, wären es keine natürlichen Zahlen.) Sie gehören somit zu ℕ, können aber nicht in einem Anfangsabschnitt {1, 2, 3, ..., n} vorkommen, denn durch einen Anfangsabschnitt werden alle darin enthaltenen Zahlen vermittels ihrer Verbindung zur 1 definiert. Deswegen gilt für jeden Anfangsabschnitt

∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .

*************************************************
Alle lückenlosen aktual unendlichen Untermengen von ℕ besitzen einen unendlichen Schnitt.

Es kann sich hierbei nur um Endsegmente handeln. Solange jedes unendlich ist, was wir voraussetzen, hat es seinen Inhalt mit allen Vorgängern gemeinsam.

∀n ∈ ℕ_def: ∩{E(1), E(2), ..., E(n)} = E(n) /\ |E(n)| = ℵ₀ (*)

Da per Definition in einer Menge unendlicher Endsegmente kein Nachfolger vorhanden ist, für den das nicht gälte, gilt es für alle unendlichen Endsegmente. Nur unendliche Endsegmente sind definierbar. Daraus folgt

∀ n∈ℕ_def ∃ M⊂ℕ: M⊂E(n) ∧ |M| = ℵo (**)

Dem steht das konventionelle Argument gegenüber, dass die unendliche Menge aller Endsegmente einen leeren Schnitt habe, weil jede natürliche Zahle n in den Endsegmenten E(n+1) und folgenden nicht enthalten ist.

Das Argument würde beweisen, dass alle Endsegmente, die in (*) einen unendlichen Schnitt haben, wenn zusammengefasst, einen leeren Schnitt haben. Das Argument ist falsch, denn der Schnitt wird durch die Endsegments beeinflusst, nicht durch ihre Anordnung.

Wie konnte dieser Widerspruch entstehen? Es können nur solche n individuell betrachtet werden, die individuell betrachtbar sind. Damit hat jedes dieser n unendlich viele Nachfolger, die nicht betrachtbar sind. Diese werden allgemein übersehen. Es wird ungerechtfertigt angenommen, dass bei diesen Beweis keine natürlichen Zahlen übrig bleiben.

Erschwerend kommt hinzu, dass, wenn tatsächlich alle natürlichen Zahlen betrachtet werden, tatsächlich keine übrig bleiben. Aber das gilt nicht nur für den Schnitt, sondern auch für die Endsegmente selbst

~∃ M⊂ℕ ∀ n∈ℕ : M⊂E(n) ∧ |M| > 0 . (***)

Werden hier alle natürlichen Zahlen kollektiv betrachtet, so bleibt keine einzige übrig. Mittels

∀k ∈ ℕ: E(k+1) = E(k) \ {k}

verschwinden alle natürlichen Zahlen Schritt für Schritt. Das impliziert endliche Endsegment. Endliche Endsegmente können aber nicht beobachtet werden. Sie sind dunkel.

Aus (**) und (***) folgt, dass die Kollektion ℕ_def der individuell wählbaren natürlichen Zahlen und die Menge ℕ aller natürlichen Zahlen verschieden sind.

**********************************************************

Jede inklusionsmonotone Mengenfolge besitzt nur dann einen leeren Schnitt, wenn ein leere Menge enthalten ist. Dieser Satz gilt überall. Ein einfaches Beispiel ist die Folge der Endsegmente, ein anderes die der Intervalle (0, 1/n]. Bis zu jedem definierbaren Stammbruch enthält der Schnitt ℵo Terme.

|ℕ| = oo + ℵ₀

Erst wenn keiner mehr übrig ist, ist der Schnitt leer.

Möchte man's ein wenig komplizierter ausdrücken, kann man auch die komplexe Ebene und (0, 1/2^n] wählen. Für Quaternionen oder Oktionen gilt der Satz natürlich ebenso.

Die einfachste Erklärung ist aber die Badewanne: Wenn das Wasser ausfließt, so ist der Schnitt über alle Zustände nicht leer, bevor die Wanne leer ist.

Gruß, WM

Juergen Ilse

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Nov 15, 2021, 8:28:59 AMNov 15
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Hllo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Jede natürliche Zahl hat unendlich viele Nachfolger. Das ist ein allgemein bekannter und anerkannter Satz. Was seltener bedacht wird: Alle diese Nachfolger sind auch natürliche Zahlen.

Bis hierher ist alles korrekt (ausser, dass es weniger beachtet wird, dass
der NAchfolger einer natuerlichen wieder eine natuerliche Zahl ist, denn
das besagen eindeutig die Peano Axiome, und foglich wird das von jedem
beachtet, der die Peano Axiome nicht ignoriert).

> Wenn man aber von der Existenz "aller" überhaupt sprechen kann, muss
> man die aktuale Unendlichkeit akzeptieren.

Richtig. Es gibt keine "potentiell unendlichen" Mengen, alle unendlichen
Mengen sind "aktual unendlich" wie sie es nennen.

> Das ist nicht zwangsläufig notwendig

In der Mathematik ist das unwiderlegbar so. Ist das in der Mueckematik anders?

> Die Nachfolger einer natürlichen Zahl bilden zusammen mit der Zahl selbst das Endsegment
>
> E(n) = {n, n+1, n+2, n+3, ...}.

Auch das stimmt auffallend. Und da jede natuerliche Zahl unendlich viele
Nachfolger besitzt (wie SIE weiter oben dargelegt haben), sind alle End-
segmente *unendliche* Mengen.

Und der restliche Muell bzgl. "undefinierbarer Zahlen" und dergleichen
hanebuechener Unfug mehr kann getrost gestrichen werden, weil das Zeugs
nicht eine einzige mathematisch korrekte Aussage enthaelt.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Ganzhinterseher

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Nov 15, 2021, 5:10:59 PMNov 15
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Juergen Ilse schrieb am Montag, 15. November 2021 um 14:28:59 UTC+1:
> Und da jede natuerliche Zahl unendlich viele
> Nachfolger besitzt (wie SIE weiter oben dargelegt haben), sind alle End-
> segmente *unendliche* Mengen.

Ob alle das sind, kann später diskutiert werden. Jedenfalls sind unendliche Endsegmente unendliche Mengen, die also nach dem Prinzip "n ist nicht in E(n+1) enthalten" noch nicht aller Zahlen bar sind, sondern im Gegenteil unendlich viele Zahlen, die auch natürliche Zahlen sind, wie Du weiter oben dargelegt hast, enthalten und demzufolge auch keinen leeren Schnitt haben können. Denn das Argument geht ja davon aus, dass alle n verschwunden sind.
>
> Und der restliche Muell bzgl. "undefinierbarer Zahlen" und dergleichen
> hanebuechener Unfug mehr kann getrost gestrichen werden, weil das Zeugs
> nicht eine einzige mathematisch korrekte Aussage enthaelt.

"Wenn das Wasser ausfließt, so ist der Schnitt über alle Zustände nicht leer, bevor die Wanne leer ist." Was ist mathematisch inkorrekt an dieser Aussage?

Gruß, WM


Juergen Ilse

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Nov 15, 2021, 6:52:02 PMNov 15
to
Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Juergen Ilse schrieb am Montag, 15. November 2021 um 14:28:59 UTC+1:
>> Und da jede natuerliche Zahl unendlich viele
>> Nachfolger besitzt (wie SIE weiter oben dargelegt haben), sind alle End-
>> segmente *unendliche* Mengen.
>
> Ob alle das sind, kann später diskutiert werden. Jedenfalls sind unendliche Endsegmente unendliche Mengen, die also nach dem Prinzip "n ist nicht in E(n+1) enthalten" noch nicht aller Zahlen bar sind, sondern im Gegenteil unendlich viele Zahlen, die auch natürliche Zahlen sind, wie Du weiter oben dargelegt hast, enthalten und demzufolge auch keinen leeren Schnitt haben können. Denn das Argument geht ja davon aus, dass alle n verschwunden sind.

IHRE "Unedlichkeitsdyskalkulie" ist auf Dauer wirklich unertraeglich.
Es ist doch ganz einfach beweisbar, dass der Schnitt aller (unendlich vielen)
unendlichen Endsegmente dennoch leer ist. Auch wenn SIE zu daemlich sind,
das zu begreifen: das aendert nichts an der Korrektheit des Beweises.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

JVR

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Nov 16, 2021, 6:12:56 AM (13 days ago) Nov 16
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On Monday, November 15, 2021 at 11:10:59 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> "Wenn das Wasser ausfließt, so ist der Schnitt über alle Zustände nicht leer, bevor die Wanne leer ist." Was ist mathematisch inkorrekt an dieser Aussage?

Mathematisch inkorrekt ist
1. Die Extrapolation vom Endlichen ins Unendliche
3. Das 'bevor'. In der Definition der Schnittmenge gibt es kein 'vorher' und 'nachher'

Es sei G eine Menge von Mengen g. Dann gilt x ist in der Schnittmenge aller g in G <=> x in g für jedes g in G.

Ich freue mich, dass ich wiedereinmal Ihre Weiterbildung habe fördern können

JVR

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Nov 16, 2021, 6:20:53 AM (13 days ago) Nov 16
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On Monday, November 15, 2021 at 11:19:50 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:>
>
> Jede inklusionsmonotone Mengenfolge besitzt nur dann einen leeren Schnitt, wenn ein leere Menge enthalten ist. Dieser Satz gilt überall.

Sonntagsaufgabe: Es sei R_n = {z in C| 0 < |z| < 1/2^n } in der komplexen Ebene, i.e. z = x + i*y, wo x und y reell.
Welche komplexe Zahl ist im Durchschnitt aller R_n enthalten?

Alfred Flaßhaar

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Nov 16, 2021, 6:29:18 AM (13 days ago) Nov 16
to
Es ist beweisbar, daß eine solche Zahl existiert. Sie müßte auch
eindeutig bestimmt sein. Nur die genaue Angabe fehlt noch. Mathcad
rechnet noch. ;-)

Ganzhinterseher

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Nov 16, 2021, 9:53:05 AM (13 days ago) Nov 16
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Juergen Ilse schrieb am Dienstag, 16. November 2021 um 00:52:02 UTC+1:
> Hallo,
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> > Juergen Ilse schrieb am Montag, 15. November 2021 um 14:28:59 UTC+1:
> >> Und da jede natuerliche Zahl unendlich viele
> >> Nachfolger besitzt (wie SIE weiter oben dargelegt haben), sind alle End-
> >> segmente *unendliche* Mengen.
> >
> > Ob alle das sind, kann später diskutiert werden. Jedenfalls sind unendliche Endsegmente unendliche Mengen, die also nach dem Prinzip "n ist nicht in E(n+1) enthalten" noch nicht aller Zahlen bar sind, sondern im Gegenteil unendlich viele Zahlen, die auch natürliche Zahlen sind, wie Du weiter oben dargelegt hast, enthalten und demzufolge auch keinen leeren Schnitt haben können. Denn das Argument geht ja davon aus, dass alle n verschwunden sind.

> Es ist doch ganz einfach beweisbar, dass der Schnitt aller (unendlich vielen)
> unendlichen Endsegmente dennoch leer ist.

Natürlich ist das beweisbar, weil beweisbar ist, dass keine natürlichen Zahlen übrig bleiben. Jede verschwindet, aber das gilt eben primär für die Endsegmente. Was nicht in einem Endsegment verschwunden ist, das bleibt übrig. Der Schnitt aller ist leer. Unendliche Endsegmente haben einen unendlichen Schnitt.

Hach dem Separationsaxiom ist es möglich, alle Endsegmente E(k) mit der Eigenschaft
∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = E(k) /\ |E(k)| = ℵ₀ (*)
als Menge zusammenzufassen und ihren Schnitt zu bilden:
|∩{E(k) : k ∈ ℕ_def}| = ℵ₀ .
Er ist unendlich, denn daraus sind nicht alle Zahlen verschwunden. In jedem sind per Definition dieser Menge noch unendlich viele erhalten.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

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Nov 16, 2021, 10:04:17 AM (13 days ago) Nov 16
to
JVR schrieb am Dienstag, 16. November 2021 um 12:12:56 UTC+1:
> On Monday, November 15, 2021 at 11:10:59 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
>
> > "Wenn das Wasser ausfließt, so ist der Schnitt über alle Zustände nicht leer, bevor die Wanne leer ist." Was ist mathematisch inkorrekt an dieser Aussage?
> Mathematisch inkorrekt ist
> 1. Die Extrapolation vom Endlichen ins Unendliche

Wäre das nicht möglich, das könnte keine Aussage über unendliche Mengen gemacht werden. Dann gölte nämlich diese Aussage:

For every row n, the number created by diagonalization differs from all the numbers represented in the table up to that row. [...] proving that d is different from all rows up to row n, for every n  , is not sufficient to prove that the number is different from all rows. [M. Dube]

> 3. Das 'bevor'. In der Definition der Schnittmenge gibt es kein 'vorher' und 'nachher'

In der erzeugenden Funktion der Schnittmenge gibt es wie in jeder Folge ein vorher und nachher für jede adressierbare Zahl k mit uendlich vielen Nachfolgern. Dafür gilt

∀k ∈ ℕ_def: ∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = E(k) /\ |E(k)| = ℵ₀ .

Zusammenfassung zur Menge der unendlichen Endsegmente nach dem Separationsaxiom liefert:

|∩{E(k) : k ∈ ℕ_def}| = ℵ₀ .

> Es sei G eine Menge von Mengen g. Dann gilt x ist in der Schnittmenge aller g in G <=> x in g für jedes g in G.

Die obigen Endsegmente enthalten per Definition unendlich viele Zahlen. Wenn die Zahlen in den Endsegmenten drin sind, so sind sie auch um Schnitt. Natürlich verschwinden alle nach und nach nach der Formel

∀k ∈ ℕ: E(k+1) = E(k) \ {k}.

Aber in der obigen Menge ist das noch nicht der Fall, obwohl man keine Zahl angeben kann, die darin ist. Das liegt daran, dass man nur Zahlen angeben kann, die unendlich viele Nachfolger haben (die man nicht angeben kann - denn sonst könnte man ja welche mit weniger Nachfolgern angeben).

Gruß, WM

Ganzhinterseher

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Nov 16, 2021, 11:48:18 AM (13 days ago) Nov 16
to
Keine. R_ω ist leer.

Vorab noch einmal die einfache Erklärung: Im Durchschnitt aller Endsegmente ist nichts enthalten, weil alle Zahlen nach daraus verschwinden. (Merke: aus den Endsegmenten, nicht nur aus ihrem Schnitt.) Eine letzte Zahl (n < ω) kann man dabei nicht fixieren, weil die letzten ℵo Zahlen dunkel und nicht erkennbar angeordnet sind. Deswegen kann man auch kein letztes Endsegment fixieren. Auf einen leeren Schnitt kann man nur schließen, weil nach Voraussetzung alle |ℕ| natürlichen Zahlen nach
∀k ∈ ℕ: E(k+1) = E(k) \ {k}
entfallen. Damit ergibt sich der Grenzwert E(ω) = { }.

Genauso ist es mit den R_n. Bis zu jedem definierbaren n existieren ℵo kleinere Kreisscheiben als R_n. Der Schnitt enthält daher ebenso unendlich viele Kreisscheiben wie der Schnitt definierbarer Endsegmente unendlich viele natürliche Zahlen enthält und ist nicht leer. Leer ist er erst, wenn alle |ℕ| Exponenten verbraucht sind. Diesen Grenzwert kann man berechnen, ohne die ℵo Zwischenschritte zu kennen. Der leere Schnitt ist der Grenzwert
R_ω = {z in C| 0 < |z| < 1/ω} = {z in C| 0 < |z| < 0} = { } .

Gruß, WM

JVR

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Nov 16, 2021, 12:34:20 PM (13 days ago) Nov 16
to
Es ist hoffnungslos, Mücke. Mathe ist nichts für Sie.

Alfred Flaßhaar

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Nov 16, 2021, 12:48:13 PM (13 days ago) Nov 16
to
Am 16.11.2021 um 18:34 schrieb JVR:
> On Tuesday, November 16, 2021 at 5:48:18 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
>> JVR schrieb am Dienstag, 16. November 2021 um 12:20:53 UTC+1:
>>> On Monday, November 15, 2021 at 11:19:50 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:>
>>>>
(...)
>
> Es ist hoffnungslos, Mücke. Mathe ist nichts für Sie.
>
Blitzmerker ;-)

Ganzhinterseher

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Nov 17, 2021, 3:55:14 AM (12 days ago) Nov 17
to
> Es ist hoffnungslos,

Freut mich aufrichtig, dass Du keine angreifbare Aussage gefunden hast. Allerdings hatte ich das auch nicht erwartet.

Gruß, WM

Rainer Rosenthal

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Nov 17, 2021, 4:23:10 AM (12 days ago) Nov 17
to
Am 17.11.2021 um 09:55 schrieb Ganzhinterseher:
>
> Freut mich aufrichtig, dass Du keine angreifbare Aussage gefunden hast. Allerdings hatte ich das auch nicht erwartet.
>
Und wenn doch, dann hättest Du sie halt nicht weiter kommentiert.
Das ist die einzig wirksame Methode, Deine Ausflüchte zu stoppen.

Siehe
#
# WM: Das in Rede stehende f ist f(n) = n+1.
# WM: Diese Abbildung {1, 2, 3, 4, 5} --> {1, 2, 3, 4}
# ist nicht injektiv
#
im Thread
"Wenn f(n)=n+1, dann ist f:{1,2,3,4,5}->{1,2,3,4} nicht injektiv"
(14.11.2021, 11:45)

Gruß,
RR

Ganzhinterseher

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Nov 17, 2021, 4:24:47 AM (12 days ago) Nov 17
to
Ganzhinterseher schrieb am Mittwoch, 17. November 2021 um 09:55:14 UTC+1:
> JVR schrieb am Dienstag, 16. November 2021 um 18:34:20 UTC+1:
> > On Tuesday, November 16, 2021 at 5:48:18 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > > JVR schrieb am Dienstag, 16. November 2021 um 12:20:53 UTC+1:
> > > > On Monday, November 15, 2021 at 11:19:50 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:>
> > > > >
> > > > > Jede inklusionsmonotone Mengenfolge besitzt nur dann einen leeren Schnitt, wenn ein leere Menge enthalten ist. Dieser Satz gilt überall.
> > > > Sonntagsaufgabe: Es sei R_n = {z in C| 0 < |z| < 1/2^n } in der komplexen Ebene, i.e. z = x + i*y, wo x und y reell.
> > > > Welche komplexe Zahl ist im Durchschnitt aller R_n enthalten?
> > > Keine. R_ω ist leer.
> > >
> > > Vorab noch einmal die einfache Erklärung: Im Durchschnitt aller Endsegmente ist nichts enthalten, weil alle Zahlen daraus verschwinden. (Merke: aus den Endsegmenten, nicht nur aus ihrem Schnitt.) Eine letzte Zahl (n < ω) kann man dabei nicht fixieren, weil die letzten ℵo Zahlen dunkel und nicht erkennbar angeordnet sind. Deswegen kann man auch kein letztes Endsegment fixieren. Auf einen leeren Schnitt kann man nur schließen, weil nach Voraussetzung alle |ℕ| natürlichen Zahlen nach
> > > ∀k ∈ ℕ: E(k+1) = E(k) \ {k}
> > > entfallen. Damit ergibt sich der Grenzwert E(ω) = { }.
> > >
> > > Genauso ist es mit den R_n. Bis zu jedem definierbaren n existieren ℵo kleinere Kreisscheiben als R_n. Der Schnitt enthält daher ebenso unendlich viele Kreisscheiben wie der Schnitt definierbarer Endsegmente unendlich viele natürliche Zahlen enthält und ist nicht leer. Leer ist er erst, wenn alle |ℕ| Exponenten verbraucht sind. Diesen Grenzwert kann man berechnen, ohne die ℵo Zwischenschritte zu kennen. Der leere Schnitt ist der Grenzwert
> > > R_ω = {z in C| 0 < |z| < 1/ω} = {z in C| 0 < |z| < 0} = { } .
> > Es ist hoffnungslos,
>
> Freut mich aufrichtig, dass Du keine angreifbare Aussage gefunden hast. Allerdings hatte ich das auch nicht erwartet.

Aber einen Fehler habe ich doch gemacht. Betrachtet man nämlich die aktual unendlichen Folgen, so enthält (2^n) weniger Terme als die Folge (n):
Die Menge {1/2^n | n ∈ ℕ} enthält weniger Elemente als die Menge ℕ.
Das gilt auch für jeden Startpunkt n_0:
{1/2^n | n ∈ ℕ, n > n_0} enthält weniger Elemente {n | n ∈ ℕ, n > n_0}.
Meine Aussage "Der Schnitt enthält daher ebenso unendlich viele Kreisscheiben wie der Schnitt definierbarer Endsegmente unendlich viele natürliche Zahlen enthält und ist nicht leer" ist also nur im Sinne des elastischen Cantorschen alephs richtig. (Macht der Gewohnheit.)

Gruß, WM

Ganzhinterseher

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Nov 17, 2021, 4:31:57 AM (12 days ago) Nov 17
to
Rainer Rosenthal schrieb am Mittwoch, 17. November 2021 um 10:23:10 UTC+1:
> Am 17.11.2021 um 09:55 schrieb Ganzhinterseher:
> >
> > Freut mich aufrichtig, dass Du keine angreifbare Aussage gefunden hast. Allerdings hatte ich das auch nicht erwartet.
> >
> Und wenn doch, dann hättest Du sie halt nicht weiter kommentiert.
> Das ist die einzig wirksame Methode, Deine Ausflüchte zu stoppen.

Du lügst, Rainer. Die Ausflüchte kommen gewöhnlich in Form von Dada-Dichtungen.
>
> Siehe
> #
> # WM: Das in Rede stehende f ist f(n) = n+1.

Ich hatte doch bereits gesagt, dass es keine Abbildung ist: "Ich hätte natürlich im Sinne der modernen Zeit von mutmaßlicher Abbildung sprechen müssen. Mea culpa." Ja, das ist keine Abbildung, ebensowenig wie von {0} U ℕ nach ℕ eine injektive Abbildung existiert. Was erwartest Du noch? Die von Dir geforderte Entschuldigung, dass ich Eulers Fehler genannt habe?

Gruß, WM


JVR

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Nov 17, 2021, 5:04:53 AM (12 days ago) Nov 17
to
Sie verwechseln 'nonsense verse' mit Dada. Der Sinn ist keineswegs derselbe. Und in beiden Fällen steckt Sinn dahinter.
Warum ist Lewis Carrolls schöner Vers

'The time has come,' the Walrus said,
To talk of many things:
Of shoes — and ships — and sealing-wax —
Of cabbages — and kings —
And why the sea is boiling hot —
And whether pigs have wings.'

ein passender Kommentar?

Warum ist es sinnlos mit jemanden über Mathematik
zu reden, der die Definition der natürlichen Zahlen nicht kapieren kann?

Dem die Begriffe der Konvergenz und der Stetigkeit auf ewig schleierhaft bleiben werden?

Jemand der nicht kapieren kann, dass kontinuierliche Modelle, z.B. in der Hydrodynamik und
in der Elektrodynamik, brauchbare Resultate liefern, die man mit diskreten Modellen niemals
erreichen konnte? Warum wohl?

Jemand der in seiner vollkommenen Ignoranz meint, bei
Euler, Hilbert, Cantor und fast jedem bedeutenden Mathematiker elementare Fehler entdeckt zu
haben, die bisher niemandem aufgefallen sind ?

Jens Kallup

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Nov 17, 2021, 6:19:31 AM (12 days ago) Nov 17
to
Am 17.11.2021 um 11:04 schrieb JVR:
> Jemand der in seiner vollkommenen Ignoranz meint, bei
> Euler, Hilbert, Cantor und fast jedem bedeutenden Mathematiker elementare Fehler entdeckt zu
> haben, die bisher niemandem aufgefallen sind ?

naja,
seh's doch mal so: Jeder strebt nach Anerkennung - ob das nun der Ruhm
in Art eines Titels, stückchen Landes, etc. ist -.

Ich wollte auch in meiner Jugend Bäume ausreißen,
wollte der Beste Hacker sein.

Und was war?

Kam ein Anderer, und kammen noch andere, die besser waren.

Daher sage ich dann immer zum Selbschutz, kenn ich nicht, war ich nicht,
... Notlügen sind erlaubt.

Aber IHR habt schon Recht, Eigenbelügung ...

Aber:
Ich habe hier irgendwo noch einen Post abgegeben, das man sich nicht all
zu sehr in Grundlagen, die vor 100 Jahren gemacht werden versteifen
sollte. Es ist viel passiert.

Schaut man sich zum Beispiel A. Einstein an, seine "erklaute" Formel war
schon etwas früher bekannt, aber seit er diese der Öffentlichkeit dar-
geboten hat, sind viele Neue Dinge entstanden:

- Laserdioden, die Blech, und Stahl schneiden können
- CD-Geräte, mit dessen Hilfe man Musik, oder Daten speichern kann.

Das Gleiche kann man sicherlich auch auf die Elementrare Mengen-Lehre
beziehen: Die "Menge" an Erfindungen tendiert ja fast schon zu oo.

Ich kann dazu nur sagen: Japan (Brillen, die Scheibenwischer haben,
um die Brillengläser zu Reiningen, und und und ...)

oder dieser Handgreifer am Handy, den man auf die Rückseite kleben
kann, damit man einen besseren Griff hat ...

Manchmal sind es so die kleinen Dinge.

In meiner Umgebung gibt es einige, kleine Gruppen die mit Piano, Trommel
Gitarre, ... jedes Jahr für "rockt die Bude" veranstalten.

Selbst ich habe mit einer ehm. Bewohner Karaooke gesungen - mit
primitivsten - und was wurde draus ?
Ja: "Ein gelungener, schöner Abend."

Deshalb emfinde ich es so, das man bei einen Spiel (Mathe oder Schach)
auch mal die "kleinen" gewinnen lassen muss, damit das Interesse nicht
verschwindet.

Ist wie bei Katzen: Die suchen ja immer nach Abwechslung, aber werden
dann, wenn immer das Gleiche gespielt wird müde...

Gruß, Jens

Jens Kallup

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Nov 17, 2021, 6:33:04 AM (12 days ago) Nov 17
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Am 17.11.2021 um 10:24 schrieb Ganzhinterseher:
> Aber einen Fehler habe ich doch gemacht. Betrachtet man nämlich die aktual unendlichen Folgen, so enthält (2^n) weniger Terme als die Folge (n):
> Die Menge {1/2^n | n ∈ ℕ} enthält weniger Elemente als die Menge ℕ.
> Das gilt auch für jeden Startpunkt n_0:

dies stimmt doch *nicht* !

wenn:

n_0 := 0. und
1/2^n := x. ist, dann erhält man Eins (1) !

Probe:

2^0 := 1.

1/2^n := 1 / 1 := 1.

mal was dazu:
Es müssen immer die "untersten" Reihen berechnet werden, um "höhere"
Reihen bekommen zu können.
Diese unteren Reihen sind also die *BASIS* für *ALLES*.

Wenn man dann in den untersten Reihen bleibt, bis man ein gewünschtes
bze. erwatetes Ergebnis hat, dann folgen andere "operative" Anwendungen.
Und dazu gehört auch die Potenzrechnung.

Diese Potenzrechnung ist mit einer der stärksten "operativen"
Anwendungen, dann kommt Division, und dann kommt Multiplikation ...

Da wie in *ALLEN* Gebieten, der Stärkste das Rennen macht, sorgt der
stärkste das der schwächere sondiert und/oder selektiert wird.

Da auf der höheren Ebene sich nur "ein" Objekt befindet, können auch
nur Objekte entstehen, die die Merkmale von der Basis "enthalten".

Quantitativ ist das in der Menge (so denke ich) *immer* von Eins, oder
dem Ganzen betrachtet (aufgeteilt).

Viele nehmen aber nun an, das aus "Eine" Menge, "zwei Neue" Mengen
entstehen, die in der Mächtigkeit "gleich" sind.

Aber das stimmt ja halt nicht.

Diese Mächtigkeiten sind partiell vom Ganzen.

Damit ergibt sich dann, das *NICHTS* verloren oder hinzugefügt werden
kann - es wird *ALLES* nur umgesetzt, nicht aber verbraucht.

Gruß, Jens
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Ganzhinterseher

unread,
Nov 17, 2021, 12:47:23 PM (12 days ago) Nov 17
to
JVR schrieb am Mittwoch, 17. November 2021 um 11:04:53 UTC+1:

> Warum ist es sinnlos mit jemanden über Mathematik
> zu reden, der die Definition der natürlichen Zahlen nicht kapieren kann?

Ich habe sie verstanden, habe mehrere Definitionen zitiert, die im Gegensatz zu Peanos Fehlversuchen tatsächlich die natürlichen Zahlen definieren. Dagegen hast Du noch immer nicht verstanden, wie dunkle Zahlen zustandekommen, obwohl ich sie nun sehr einfach erklärt habe.

Aber natürlich werde ich keinen Matheologen überzeugen. Ich kann lediglich ihre Narreteien ans licht zerren und noch unverdorbene Studenten davon abhalten, sich in den Strudel der Narretei ziehen zu lassen.

Deswegen sind diese Diskussionen mit Betonköpfen für meine Zwecke sehr nützlich. Zum Beispiel habe ich die folgende Logik offengelegt (ich erwarte natürlich nicht, dass jemand sie nachvollziehen kann, und wenn doch, dass er zugibt sie zu verwenden)

In ZFC gilt
∀ n∈ℕ ∃ M⊂ℕ: M⊂E(n) ∧ |M| > 100 . (*)
Die Menge M ist eine feste Menge, denn besäße ein Endsegment nicht 100 Elemente, so wäre es nicht unendlich.
Die Negation ist eine falsche Aussage
~(∀ n∈ℕ ∃ M⊂ℕ: M⊂E(n) ∧ |M| > 100)
und wegen ~∀ n∈ℕ: P(n) ==> ∃ n∈ℕ: ~P(n) folgt
∃ n∈ℕ ~∃ M⊂ℕ: M⊂E(n) ∧ |M| > 100. (**)
Wir halten fest, die Aussage, es gibt eine natürlichen Zahl mit kleinerem Abstand von ω ist also falsch.

In ZFC gilt außerdem
~∃ M⊂ℕ ∀ n∈ℕ : M⊂E(n) ∧ |M| > 0 .
Es gibt keine nichtleere Untermenge aller Endsegmente, und damit erst recht keine Untermenge M mit |M| > 100 aller Endsegmente:
~∃ M⊂ℕ ∀ n∈ℕ : M⊂E(n) ∧ |M| > 100.

Und nun kommt's: Ich behaupte: wenn die Menge M nicht für alle natürlichen Zahlen existiert, dann gibt es mindestens eine natürliche Zahl mit kleinerem Abstand von ω:
∃ n∈ℕ ~∃ M⊂ℕ: M⊂E(n) ∧ |M| > 100 .
Das ist (**), die Negation von (*).

Der letzte Schritt wird abgelehnt. Das beweist die Anwendung einer pervertierten Logik, etwa so wie bei den "nicht messbaren" Mengen: Fast alle Elemente sind rot und fast alle Elemente sind klein, aber es gibt kein Element, das gleichzeitig rot und klein ist. Man orientiert sich an D.K. Davis: If Cantor's work is invalid, modern mathematics goes up in smoke. The investment is too great – if something's wrong we'll just change logic.

Maybe. But not me.

> Euler, Hilbert, Cantor und fast jedem bedeutenden Mathematiker elementare Fehler entdeckt zu
> haben, die bisher niemandem aufgefallen sind ?

Nun, so elementar ist das Ganze ja auch wieder nicht.

Gruß, WM

Jens Kallup

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Nov 17, 2021, 1:03:43 PM (12 days ago) Nov 17
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Am 17.11.2021 um 18:27 schrieb Ganzhinterseher:
> Und nun kommt's: Ich behaupte: wenn die Menge M nicht für alle natürlichen Zahlen existiert, dann gibt es mindestens eine natürliche Zahl mit kleinerem Abstand von ω:
> ∃ n∈ℕ ~∃ M⊂ℕ: M⊂E(n) ∧|M| > 100 .
> Das ist (**), die Negation von (*).

ich bin begeistert.

Mein Senf dazu:

0 = 0 oder: leer, oder: nicht definiert => {0} := *NICHTS*

oo = {0} => nicht definiert
w = {w} = {0} => -"-
ww = {ww} = {0} => -"-
www = {www} = {0} => -"-

-3 -2 -1 = 0 = +1 +2 +3 = | 6 |

-oo = oo+ = | oo |

"nicht definiert" läßt mich erkennen, das "nichts" kennbares
ersichtlich oder ergreifbar ist.

Jens
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Ganzhinterseher

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Nov 18, 2021, 7:58:09 AM (11 days ago) Nov 18
to
kallu...@web.de schrieb am Mittwoch, 17. November 2021 um 19:03:43 UTC+1:
> Am 17.11.2021 um 18:27 schrieb Ganzhinterseher:
> > Und nun kommt's: Ich behaupte: wenn die Menge M nicht für alle natürlichen Zahlen existiert, dann gibt es mindestens eine natürliche Zahl mit kleinerem Abstand von ω:
> > ∃ n∈ℕ ~∃ M⊂ℕ: M⊂E(n) ∧|M| > 100 .
> > Das ist (**), die Negation von (*).
> ich bin begeistert.
>
> Mein Senf dazu:

Versuche einmal, das wirklich zu verstehen. Dazu bedarf es keiner gelehrten Vorbildung in der neueren Mathematik; dieselbe kann dazu sogar hinderlich sein. Ich habe jedenfalls noch keinen normalen Menschen getroffen, alle meine Studenten eingeschlossen, der es nicht verstehen könnte:
Man behauptet, dass jede natürliche Zahl einen unendlichen Abstand von ω hat. Cantor hat das schon bemerkt: ω - n = ω.
Formal schreibt man das so
∀ n∈ℕ ∃ M⊂ℕ: M⊂E(n) ∧ |M| = ℵo .
Man behauptet aber gleichzeitig, dass keine Menge M existiert, nicht einmal eine mit nur einem Element, die zwischen alle natürlichen Zahlen und ω passt:
~∃ M⊂ℕ ∀ n∈ℕ : M⊂E(n) ∧ |M| > 0
Ich folgere daraus, dass natürliche Zahlen existieren, die näher an ω liegen, also nicht unendlich weit entfernt sind. Kannst Du das verstehen?

Gruß, WM

Jens Kallup

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Nov 18, 2021, 8:35:57 AM (11 days ago) Nov 18
to
Hallo Wolfgang,

Also ich verstehe das so:

w - n = w => w - w = {0}.

Eine Menge mit der Mächtigkeit eines "leeren" Elements - irgendwas muss
ja existieren (auch wenn man das *NICHTS* nennt), in dem etwas passieren
"könnte".

Egal welches |N Objekt für n betrachtet, es endet wieder im w oder {0},
weil:

w := undefiniert
n := 1000^1000^1000 ...

den Schritt, etwas "konkretes", als n in w aufzunehmen läßt es nur zu,
wenn das *NICHTS* auf n aufgeteilt wird, sprich:

50 % - 50 % = 0 % => {0}

jetzt hat man also schon wieder zwei (2) {0} rechts und links, und
beide heben sich dadurch auf, werden *EINS* und somit bleibt wieder
nur {0} übrig.

Es nur eine Frage der Zeit, wenn sich *ALLES* wieder zusammen fügt.

Aber wie gesagt: da wird nix rein- oder rausinjektiert.
Und das "Unendliche" gibt es nicht - das ist nur eine von Menschen
erdachtes "Gedankenspiel".

Dazu habe ich folgenden Spruch:
---
Denke nicht die Gedanken, denn das
Denken der Gedanken, ist gedankenloses
Denken.
---

Andreas Leitgeb

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Nov 18, 2021, 8:52:19 AM (11 days ago) Nov 18
to
Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Formal schreibt man das so
> ∀ n∈ℕ ∃ M⊂ℕ: M⊂E(n) ∧ |M| > ℵo .

Das ">" sollte wohl ein "=" sein... Tippfehler können passieren.

Tatsächlich ist hier das M abhängig von n wählbar, was den eigentlichen
Unterschied zum nächsten Absatz darstellt: unten wäre "one M fits all n"
gefragt, und das geht eben nicht.

> Man behauptet aber gleichzeitig, dass keine Menge M existiert, nicht
> einmal eine mit nur einem Element, die zwischen alle natürlichen Zahlen
> und ω passt:
> ~∃ M⊂ℕ ∀ n∈ℕ : M⊂E(n) ∧ |M| > 0

Das ist richtig. Für die Nicht-existenz ist es hier nicht einmal
notwendig, ein unendlich großes M (so wie oben) zu fordern. Es
reicht hier schon die angegebene schwächere Bedingung, also
lediglich, dass M nicht leer sei, um die Existenz eines solchen
M (mit cE(n)) ausschließen zu können.

> Ich folgere daraus, [hanebüchenen Stuss geschnippt]

JVR

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Nov 18, 2021, 11:50:47 AM (11 days ago) Nov 18
to
Erzählen Sie uns doch bitte, oh großer Experte, wie Sie Ihren Begriff 'Abstand' definieren. Besonders da diese 'Abstände' unendlich werden können.
Ist es eine Norm? Ist es eine Metrik? Hat es Eigenschaften, die man in Worten beschreiben kann? Oder sind die Eigenschaften so nebulös wie die der durchsichtigen Zahlen? Gibt es sowas nur in Mückenhausen oder auch in Ganzhinterwalden?
Gab es das schon im 19. Jahrhundert? Hat Pythagoras es erfunden?

Ganzhinterseher

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Nov 18, 2021, 4:36:31 PM (11 days ago) Nov 18
to
Andreas Leitgeb schrieb am Donnerstag, 18. November 2021 um 14:52:19 UTC+1:
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> > Formal schreibt man das so
> > ∀ n∈ℕ ∃ M⊂ℕ: M⊂E(n) ∧ |M| > ℵo .
>
> Das ">" sollte wohl ein "=" sein... Tippfehler können passieren.

Habe ich sofort gelöscht.
>
> Tatsächlich ist hier das M abhängig von n wählbar, was den eigentlichen
> Unterschied zum nächsten Absatz darstellt: unten wäre "one M fits all n"
> gefragt, und das geht eben nicht.

Alle unendlichen Endsegmente enthalten ein und dieselbe Menge M. Um das zu widerlegen, müsstest Du ein unendlichen Endsegmente finden, in dem diese Menge nicht vorhanden ist. Das ist wegen Inklusionsmonotonie nicht möglich. Falls Dir ℵo zu groß erscheint, wähle M mit 100 Elementen. Wer behauptet, alle Endsegmente wären unendlich, enthielten aber nicht 100 gemeinsame Elemente, der widerspricht der einfachsten Mathematik. Solange ein Endsegment unendlich viele Zahlen enthält, enthält es 100 Zahlen mit allen Vorgängern gemeinsam.

> > Man behauptet aber gleichzeitig, dass keine Menge M existiert, nicht
> > einmal eine mit nur einem Element, die zwischen alle natürlichen Zahlen
> > und ω passt:
> > ~∃ M⊂ℕ ∀ n∈ℕ : M⊂E(n) ∧ |M| > 0
> Das ist richtig.

Das ist Unsinn. Es kann beim Schnitt nur um Zahlen gehen, die *nachweislich* verschwinden, also um definierbare Zahlen. Da die übrigen ℵo nicht aus den Endsegmenten verschwinden, können sie auch nicht auch ihrem Schnitt verschwinden.
Warum sollte eine Zahl wohl aus dem Schnitt aber nicht aus den Endsegmenten verschwinden? Für alle unendlichen Endsegmente gilt

∀k ∈ ℕ: ∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = E(k) /\ |E(k)| = ℵ₀ .

Man kann die Menge dieser Endsegmente bilden (Separationsaxiom). Für sie gilt:

|∩{E(k) : k ∈ ℕ_def}| = ℵ₀ .

Der Schnitt ist das kleinste Endsegmente. Sind alle unendlich, so auch der Schnitt.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

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Nov 18, 2021, 4:43:12 PM (11 days ago) Nov 18
to
JVR schrieb am Donnerstag, 18. November 2021 um 17:50:47 UTC+1:
> On Thursday, November 18, 2021 at 1:58:09 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > kallu...@web.de schrieb am Mittwoch, 17. November 2021 um 19:03:43 UTC+1:
> > > Am 17.11.2021 um 18:27 schrieb Ganzhinterseher:
> > > > Und nun kommt's: Ich behaupte: wenn die Menge M nicht für alle natürlichen Zahlen existiert, dann gibt es mindestens eine natürliche Zahl mit kleinerem Abstand von ω:
> > > > ∃ n∈ℕ ~∃ M⊂ℕ: M⊂E(n) ∧|M| > 100 .
> > > > Das ist (**), die Negation von (*).
> > > ich bin begeistert.
> > >
> > > Mein Senf dazu:
> > Versuche einmal, das wirklich zu verstehen. Dazu bedarf es keiner gelehrten Vorbildung in der neueren Mathematik; dieselbe kann dazu sogar hinderlich sein. Ich habe jedenfalls noch keinen normalen Menschen getroffen, alle meine Studenten eingeschlossen, der es nicht verstehen könnte:
> > Man behauptet, dass jede natürliche Zahl einen unendlichen Abstand von ω hat. Cantor hat das schon bemerkt: ω - n = ω.
> > Formal schreibt man das so
> > ∀ n∈ℕ ∃ M⊂ℕ: M⊂E(n) ∧ |M| = ℵo .
> > Man behauptet aber gleichzeitig, dass keine Menge M existiert, nicht einmal eine mit nur einem Element, die zwischen alle natürlichen Zahlen und ω passt:
> > ~∃ M⊂ℕ ∀ n∈ℕ : M⊂E(n) ∧ |M| > 0
> > Ich folgere daraus, dass natürliche Zahlen existieren, die näher an ω liegen, also nicht unendlich weit entfernt sind. Kannst Du das verstehen?

> Erzählen Sie uns doch bitte wie Sie Ihren Begriff 'Abstand' definieren.

Der Abstand zwischen jeder definierbaren Zahl n und ω ist die Größe des Endsegmentes E(n), also die Anzahl seiner Elemente.

> Besonders da diese 'Abstände' unendlich werden können.

Sie sind für jede definierbare Zahl unendlich und können daher nur mit dem etwas diffusen aleph angegeben werden.

> Ist es eine Norm? Ist es eine Metrik? Hat es Eigenschaften, die man in Worten beschreiben kann?

Etwas ungenau hat Cantor das schon getan. Er sagte ω - n = ω.

Ich halte ω für |ℕ|, eine ganz präzise Zahl. Deswegen verwendet ich für den unendlichen Abstand ω - n lieber ℵo, die bekanntlich äußerst dehnbare aktuale Unendlichkeit.

Gruß, WM

JVR

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Nov 18, 2021, 4:56:58 PM (11 days ago) Nov 18
to
Ein Schein von Tiefe entsteht oft dadurch,
daß ein Flachkopf zugleich ein Wirrkopf ist.
-- Karl Kraus

Juergen Ilse

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Nov 18, 2021, 7:28:04 PM (11 days ago) Nov 18
to
Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> JVR schrieb am Mittwoch, 17. November 2021 um 11:04:53 UTC+1:
>
>> Warum ist es sinnlos mit jemanden über Mathematik
>> zu reden, der die Definition der natürlichen Zahlen nicht kapieren kann?
>
> Ich habe sie verstanden, habe mehrere Definitionen zitiert,

Wenn man fuer ein und denselben Sachverhalt (hier die natuerlichen Zahlen)
*verschiedene* Definitionen praesentiert, muss man normalerweise aufzeigen,
dass alle vorgebrachten Definitionen aequivalent sind. So etwas haben SIE
aber noch nie fertiggebracht (das praesentieren verschiedener Definitionen
fuer die gleiche Sache schon, den BEweis der Aequivalenz der verschiedenen
Definitionen aber *noch* *nie*).

> die im Gegensatz zu Peanos Fehlversuchen

Untauglich war nicht der Versuch Peanos, untauglich war der Schrott von
Ihnen, indem sie die Eigenschaften der Addition der natuerlichen Zahlen
zu verwenden versuchten, um die Peano Axiome zu formulieren.

> Dagegen hast Du noch immer nicht verstanden, wie dunkle Zahlen zustandekommen,

Das ist doch ganz einfach: ueberhaupt nicht. Und wenn es sie tatsaehlich
gaebe, koennten sie keine Elemente der natuerlichen Zahlen sein, denn die
"dunklen Zahlen" (von denen man ja IHREN Ausfuehrungen nach von keiner
einen eindeutigen "Nachfolger" bestimmen kann) wuerdn *nichts* zur Eigen-
schaft der "Induktivitaet" der natuerlichen Zahlen beitragen, und da die
natuerlichen Zahlen eine minimale induktive Menge sind, koennten die
"dunklen Zahlen" nicht darin enthalten sein, denn |N ohne die dunklen
Zahlen waere ja dann ebenfalls induktiv, was der Eigenschaft der minimalen
induktiven Menge widersprechen wuerde (ausser wenn die Menge der "dunkllen
Zahlen" leer waere).

> obwohl ich sie nun sehr einfach erklärt habe.

... und alle peinlichen Erklaerungsversuche sich als der selbe unbrauchbare
Schrott erwiesen ...

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Juergen Ilse

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Nov 18, 2021, 7:44:08 PM (11 days ago) Nov 18
to
Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Man kann die Menge dieser Endsegmente bilden (Separationsaxiom). Für sie gilt:
>
> |∩{E(k) : k ∈ ℕ_def}| = ℵ₀ .
>
> Der Schnitt ist das kleinste Endsegmente.

Unter eundlich vielen Endsegmenten gibt es kein "kleinstes" (minimales) ...

> Sind alle unendlich, so auch der Schnitt.

... und deswegen ist diese Schlussfolgerung nonsens. Sie gilt eben nur dann,
wenn es auch ein minimales Endsegment gibt, was aber bei unendlich vielen
*nicht* der Fall ist.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Ganzhinterseher

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Nov 19, 2021, 4:43:56 AM (10 days ago) Nov 19
to
kallu...@web.de schrieb am Donnerstag, 18. November 2021 um 14:35:57 UTC+1:

> Also ich verstehe das so:
>
> w - n = w

Das hat Cantor so gesagt.

> => w - w = {0}.

Ja, aber n kann niemals so weit wachsen, dass es w erreicht. Also liegt zwischen allen definierbaren Zahlen n und w ein unendliche Menge dunkler Zahlen.

> Und das "Unendliche" gibt es nicht - das ist nur eine von Menschen
> erdachtes "Gedankenspiel".

Das ist die Frage. Wahrscheinlich hast Du recht. Es wäre nur für die Stetigkeit der reellen Achse erforderlich. Aber unter diesem Gesichtspunkt fallen alle dunklen Zahlen weg, und auch Endsegmente sind keine Mengen.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

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Nov 19, 2021, 4:47:40 AM (10 days ago) Nov 19
to
Juergen Ilse schrieb am Freitag, 19. November 2021 um 01:28:04 UTC+1:

> Wenn man fuer ein und denselben Sachverhalt (hier die natuerlichen Zahlen)
> *verschiedene* Definitionen praesentiert, muss man normalerweise aufzeigen,
> dass alle vorgebrachten Definitionen aequivalent sind.

Das kann man tun, wenn man sich näher damit beschäftigen möchte. Ich habe nicht die Absicht. Das Ergebnis von Lorenzen und NN ist in beiden Fällen die potentiell unendliche Menge |N.

> > Dagegen hast Du noch immer nicht verstanden, wie dunkle Zahlen zustandekommen,
> Das ist doch ganz einfach: ueberhaupt nicht.

Ganz einfach: Alle natürlichen Zahlen verschwinden nach dem Muster n ist nicht in E(n+1) enthalten. Unendlich viele natürliche Zahlen bleiben in allen Endsegmenten enthalten.

> und da die
> natuerlichen Zahlen eine minimale induktive Menge sind, koennten die
> "dunklen Zahlen" nicht darin enthalten sein, denn |N ohne die dunklen
> Zahlen waere ja dann ebenfalls induktiv,

Für die induktive Menge gilt, dass alle ihre Elemente n von Endsegmenten eliminiert werden. Die trotzdem in allen Endsegmenten noch verbleibenden Zahlen sind dunkle.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

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Nov 19, 2021, 4:49:37 AM (10 days ago) Nov 19
to
Juergen Ilse schrieb am Freitag, 19. November 2021 um 01:44:08 UTC+1:
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> > Man kann die Menge dieser Endsegmente bilden (Separationsaxiom). Für sie gilt:
> >
> > |∩{E(k) : k ∈ ℕ_def}| = ℵ₀ .
> >
> > Der Schnitt ist das kleinste Endsegmente.
> Unter eundlich vielen Endsegmenten gibt es kein "kleinstes" (minimales) ...

Unter den Mengen der Brüche der Intervalle (0, 1+1/n) gibt es eine kleinste mit unendlich vielen Brüchen. Unter den unendlichen Endsegmenten ist das kleinste zwar nicht bekannt, aber jedenfalls unendlich.

Der Schnitt ist unabhängig von der Reihenfolge und der Anzahl der Endsegmente.

> > Sind alle unendlich, so auch der Schnitt.
> ... und deswegen ist diese Schlussfolgerung nonsens. Sie gilt eben nur dann,
> wenn es auch ein minimales Endsegment gibt, was aber bei unendlich vielen
> *nicht* der Fall ist.
>
Es genügt zu wissen, dass alle unendlich sind. Inklusionsmonotonie!

Gruß, WM

Juergen Ilse

unread,
Nov 19, 2021, 5:08:31 AM (10 days ago) Nov 19
to
Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Juergen Ilse schrieb am Freitag, 19. November 2021 um 01:44:08 UTC+1:
>> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
>> > Man kann die Menge dieser Endsegmente bilden (Separationsaxiom). Für sie gilt:
>> >
>> > |∩{E(k) : k ∈ ℕ_def}| = ℵ₀ .
>> >
>> > Der Schnitt ist das kleinste Endsegmente.
>> Unter eundlich vielen Endsegmenten gibt es kein "kleinstes" (minimales) ...
>
> Unter den Mengen der Brüche der Intervalle (0, 1+1/n) gibt es eine kleinste mit unendlich vielen Brüchen.

Wenn hier "fuer alle n element |N" gemeint ist, ist das falsch.
Genauso, wie es keine groesste natuerliche Zahl geben kann (jede natuerliche
Zahl n hat einen Nachfolger, der selbst wieder eine natuerliche Zahl und
groesser als n ist), existiert auch kein "kleinster Stammbruch", da es zu
jedem Stammbruch 1/n noch einen Stammbruch 1/Nachfolger(n) gibt, der
*kleiner* als 1/n ist. Folglich kann es keinen kleinsten geben, und damit
auch kein minimales Intervall der Form (0; 1+1/n) mit n element |N.

> Unter den unendlichen Endsegmenten ist das kleinste zwar nicht bekannt,

Es ist nicht existent.

> Der Schnitt ist unabhängig von der Reihenfolge und der Anzahl der Endsegmente.
Unabhaengig von der Reihenfolge, richtig. Wenn SIE aufmerksam gelesen
haetten, hat auch *niemand* ausser vielleicht IHNEN eine "Reihenfolge"
postuliert, im Gegenteil: ausser IHNEN ist nahezu jeder der Meinung,
dass die Schnittbildung eine "atomare Operation" auf der Menge der zu
schneidenden Mengen ist (und Mengen haben "von sich aus" erst einmal
keienrlei Ordnung).

>> > Sind alle unendlich, so auch der Schnitt.
>> ... und deswegen ist diese Schlussfolgerung nonsens. Sie gilt eben nur dann,
>> wenn es auch ein minimales Endsegment gibt, was aber bei unendlich vielen
>> *nicht* der Fall ist.
>>
> Es genügt zu wissen, dass alle unendlich sind. Inklusionsmonotonie!

<seufz/> SIE kommen von IHREM eigenen Unfug nicht los ...

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Juergen Ilse

unread,
Nov 19, 2021, 5:13:41 AM (10 days ago) Nov 19
to
Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Für die induktive Menge [der natuerlichen Zahlen] gilt, dass alle ihre Elemente n von Endsegmenten eliminiert werden. Die trotzdem in allen Endsegmenten noch verbleibenden Zahlen sind dunkle.

Da die natuerlichen Zahlen eine minimale induktive Menge sind, koennen
die "dunklen Zahlen" (so es sie denn gaebe) dass sie nicht in einer
minimalen induktiven Menge (den natuerlichen Zahlen) enthalten sein
koennen. Damit haben SIE gerade zugegeben, dass es keine dunklen
natuerlichen Zahlen gibt.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Ganzhinterseher

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Nov 19, 2021, 6:29:06 AM (10 days ago) Nov 19
to
Juergen Ilse schrieb am Freitag, 19. November 2021 um 11:13:41 UTC+1:
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> > Für die induktive Menge [der natuerlichen Zahlen] gilt, dass alle ihre Elemente n von Endsegmenten eliminiert werden. Die trotzdem in allen Endsegmenten noch verbleibenden Zahlen sind dunkle.
>
> Da die natuerlichen Zahlen eine minimale induktive Menge sind, koennen
> die "dunklen Zahlen" (so es sie denn gaebe) dass sie nicht in einer
> minimalen induktiven Menge (den natuerlichen Zahlen) enthalten sein
> koennen.

Nein, sie bilden den dunklen, mit Induktion nicht überbrückbaren Raum zwischen ℕ_def und ω. Zu jeder natürlichen Zahl gibt es unendlich viele größere. Diese Aussage ist selbstverständlich im Falle potentieller Unendlichkeit, aber sie ist unsinnig im Falle einer vollständigen Menge, wenn diese linear geordnet ist, denn da impliziert Vollständigkeit eine letzte Zahl. Die gibt es bekanntlich nicht. Vollständigkeit wird aber vorausgesetzt, wenn Endsegmente existieren und in der Kette der Endsegmente sogar alle natürlichen Zahlen verschwinden können. Der einzige Ausweg besteht in dunklen Zahlen, die keine erkennbare Ordnung haben. Das anschaulichste und beste Beispiel ist die Menge der Stammbrüche. Wenn alle da und linear geordnet sind, dann existiert ein letzter (den der Cursor überstreicht, wenn er von 1 nach 0 läuft). Da ein letzter nicht erkennbar ist, muss er zu einer dunklen Menge gehören. Wie jeder erkennbare Stammbruch zeigt, ist diese dunkle Menge aktual unendlich.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

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Nov 19, 2021, 6:36:42 AM (10 days ago) Nov 19
to
Juergen Ilse schrieb am Freitag, 19. November 2021 um 11:08:31 UTC+1:
> Hallo,
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> > Juergen Ilse schrieb am Freitag, 19. November 2021 um 01:44:08 UTC+1:
> >> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> >> > Man kann die Menge dieser Endsegmente bilden (Separationsaxiom). Für sie gilt:
> >> >
> >> > |∩{E(k) : k ∈ ℕ_def}| = ℵ₀ .
> >> >
> >> > Der Schnitt ist das kleinste Endsegmente.
> >> Unter eundlich vielen Endsegmenten gibt es kein "kleinstes" (minimales) ...
> >
> > Unter den Mengen der Brüche der Intervalle (0, 1+1/n) gibt es eine kleinste mit unendlich vielen Brüchen.
> Wenn hier "fuer alle n element |N" gemeint ist, ist das falsch.
> Genauso, wie es keine groesste natuerliche Zahl geben kann (jede natuerliche
> Zahl n hat einen Nachfolger, der selbst wieder eine natuerliche Zahl und
> groesser als n ist), existiert auch kein "kleinster Stammbruch", da es zu
> jedem Stammbruch 1/n noch einen Stammbruch 1/Nachfolger(n) gibt, der
> *kleiner* als 1/n ist. Folglich kann es keinen kleinsten geben, und damit
> auch kein minimales Intervall der Form (0; 1+1/n) mit n element |N.

Hier meinte ich den Grenzfall n --> oo.
Für jede natürliche Zahl, die man angeben kann, ist die Menge der Brüche unendlich und der Schnitt dieser Mengen ebenfalls.

> > Unter den unendlichen Endsegmenten ist das kleinste zwar nicht bekannt,
> Es ist nicht existent.

Der Schnitt unendlicher Endsegmente ist genau so unendlidch wie der Schnitt der obigen Mengen von Brüchen.

> > Der Schnitt ist unabhängig von der Reihenfolge und der Anzahl der Endsegmente.
> Unabhaengig von der Reihenfolge, richtig.

> > Es genügt zu wissen, dass alle unendlich sind. Inklusionsmonotonie!
> <seufz/> SIE kommen von IHREM eigenen Unfug nicht los ...

Warum sollte ich eine grundlegende Wahrheit verleugnen? Alle Endsegmente, die diese Aussage erfüllen
∀k ∈ ℕ: ∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = E(k) /\ |E(k)| = ℵ₀
können nach dem Separationsaxiom zu einer Menge zusammengefasst werden, die nur Endsegmente enthält, die unendlich viele Zahlen nicht eliminieren. Deswegen hat die Menge dieser speziellen Endsegmente den Schnitt
|∩{E(k) : k ∈ ℕ_def}| = ℵ₀ .

Andernfalls wäre der Schnitt von der Anordnung abhängig. Das ist er aber nicht.

Gruß, WM

Fritz Feldhase

unread,
Nov 19, 2021, 9:05:21 AM (10 days ago) Nov 19
to
On Friday, November 19, 2021 at 12:36:42 PM UTC+1, Ganzhinterseher behauptet:

> |∩{E(k) : k ∈ ℕ_def}| = ℵ₀ .

Unter der Voraussetzung, dass ℕ_def c IN gilt, folgt daraus, dass ℕ_def endlich ist.

Ganzhinterseher

unread,
Nov 20, 2021, 9:39:43 AM (9 days ago) Nov 20
to
Natürlich ist die Menge aller unendlichen Endsegmente endlich, denn es gibt in der natürlichen Ordnung von ℕ nicht zwei konsekutive Mengen der Mächtigkeit ℵ₀. Falls Du das bestreitest, finde einfach die erste Zahl, die in einem unendlichen Endsegment enthalten ist, aber nicht als Index eines der unendlich vielen Endsegmente auftritt.

Die unendliche Menge der Endsegmente lässt keine natürliche Zahl übrig. Alle werden als Indizes verwendet. Also können nicht noch unendlich viele in allen Endsegmenten enthalten sein. Das wäre aber erforderlich, wenn alle unendlich vielen Endsegmente unendliche Mengen wären.

ℕ_def ist endlich, aber nicht fixiert. Das nennet man potentiell unendlich. Sowas gibt es. Die konstruktivistische Mathematik kennt nur das potentiell Unendliche. Die meisten Matheologen sind leider zu verbohrt, um dies anzuerkennen. Ich zeige, wie man beides vereinen kann: ℕ_def ist eine potentiell unendliche Menge.

|ℕ| = oo + ℵ₀.

Gruß, WM

Jens Kallup

unread,
Nov 20, 2021, 11:01:33 AM (9 days ago) Nov 20
to
Hallo,
also in diesem Zusammenhang:
Die Neanderthaler oder waren es die Numeriker, also diese Art
von Menschen, die vor den Griechen, und vor den Römern existierten,
haben ja zum erstenmal Schrifttafeln angefertigt, die sogenannte
Keilschrifft entstand...
Sie kannten, wie die Römer, keine Kommazahlen.
Alles war Eins - oder Zwei - oder Drei ...

und diese Eins, Zwei, Drei sind in |N vorhanden.
sie finden sich auch in |R wieder, mit der Ausnahme, das sich die
reellen Brüche wie 1/2 (einhalb) befinden.

Aber damals hatte man ein (ich sags mal so: Verständnisproblem)
Ihr kennt doch sicherlich diesen Witz oder die Aufgabe mit den drei
Brüdern, die vom Pappa jeweils ein/zwei/drei Kamele erben sollten.
Dem dritten Sohn stand ersteinmal nur 1/2 Kamele zu ...

Aber wie teilt man ein "lebendes" Kamel, das dann durch die Wüste
trabben soll, um Wasser zu Holen, jedoch nur zur Hälfte besteht ?

Also ich kann mir das schwer vorstellen, ein Kamel so einzuteilen,
das es nicht stirbt...

Daher hatte man ja früh damit angefangen:
"Du gibts mir ein Huhn, gegen einen Napf mit 3 Erbsen".

Und genau das sind die Zwischenräume (1/2 ...
mathematisch kann man dies freilich bin ins nicht Endlichen treiben,
aber man sollte auch mal über den Tellerrand sehen, und den Fakt mit
Aufnehmen sollte, das "gradiente" - Also Farbübergänge irgendwann
eine kritische Menge erreichen, an dem dann nichts mehr vorwärts,
sondern rückwärts "überschwappt".

Ok, die Wissenschaften werden vielleicht immer kleinere Atome und
Quarkse fnden - wer weiß, ich bin da ganz zuversichtlich.

aber in der Mathematik gibt es eigentlich kein Endlich - das ist
aber ein anderes Thema.

Jens

Ganzhinterseher

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Nov 20, 2021, 11:14:04 AM (9 days ago) Nov 20
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kallu...@web.de schrieb am Samstag, 20. November 2021 um 17:01:33 UTC+1:

> Ok, die Wissenschaften werden vielleicht immer kleinere Atome und
> Quarkse fnden - wer weiß, ich bin da ganz zuversichtlich.

Das werden sie nicht. Wenn man alle Materie des Weltalls in ein einziges Photon umwandeln würde, dann wäre dessen Wellenlänge 10^-96 m. Kleiner geht's nicht.

Gruß, WM

Jens Kallup

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Nov 20, 2021, 11:18:15 AM (9 days ago) Nov 20
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Am 19.11.2021 um 15:05 schrieb Fritz Feldhase:
> Unter der Voraussetzung, dass ℕ_def c IN gilt, folgt daraus, dass ℕ_def endlich ist.

super !!!

Juergen Ilse

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Nov 21, 2021, 11:34:02 AM (8 days ago) Nov 21
to
Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 19. November 2021 um 15:05:21 UTC+1:
>> On Friday, November 19, 2021 at 12:36:42 PM UTC+1, Ganzhinterseher behauptet:
>> > |∩{E(k) : k ∈ ℕ_def}| = ℵ₀ .
>> Unter der Voraussetzung, dass ℕ_def c IN gilt, folgt daraus, dass ℕ_def endlich ist.
>
> Natürlich ist die Menge aller unendlichen Endsegmente endlich,

Unfug. Es mangelt bei IHNEN wwieder einmal an IHRER Unfaehigkeit zu
akzeptieren, dass es *unendlich* *viele* nautuerliche Zahlen gibt,
die (jede fuer sich allein betrachtet) jeweils nur endlich sind.

Das liegt daran, dass keine groesste natuerliche Zahl existiert, denn
der Nachfolger einer natuerlichen Zahl ist einerseits wiederum eine
natuerliche Zahl, andererseits aber auch *groesser* als ihre Vorgaenger.
Und ja, dass gilt fuer *JEDE* natuerliche Zahl. Es folgt aus den Peano-
Axiomen sowie der Kostruktion der "kanonischen Ordnungsrelation" ">"
mittels der "Nachfolger" Funktion der Peano Axiome.

> denn es gibt in der natürlichen Ordnung von ℕ nicht zwei konsekutive Mengen der Mächtigkeit ℵ₀. Falls Du das bestreitest, finde einfach die erste Zahl, die in einem unendlichen Endsegment enthalten ist, aber nicht als Index eines der unendlich vielen Endsegmente auftritt.

Dummes Geschwafel.

> Die unendliche Menge der Endsegmente lässt keine natürliche Zahl übrig. Alle werden als Indizes verwendet. Also können nicht noch unendlich viele in allen Endsegmenten enthalten sein. Das wäre aber erforderlich, wenn alle unendlich vielen Endsegmente unendliche Mengen wären.

Noch mehr dummes Geschwafel. Es gibt zu *JEDER* natuerlichen Zahl n element |N
ein Endsegment der natuerlichen Zahlen, dass n nicht enthaelt. Folglich kann
*keine* natuerliche Zahl im Sch itt *aller* Endsegmente liegen (voellig unab-
haengig von irgendwelchen Unendlichkeitsbetrachtungen)a, auch wenn SIE zu
daemlich zu sein scheinen, um das zu begreifen. SIE sind eben *voellig*
*unfaehig* zum verstehen mathematischerBEweise (geschweige denn selbst
einen korrekten mathematischen Beweis zu fuehren).

> ℕ_def ist endlich, aber nicht fixiert.

Unfug. Es gibtin der modernen (axiomatischen) Mathematik keine "Mengen"
oder "Kollektionen" oder "Klassen", die "endlich aber nicht fixiert"
waeren (also "dynamisch bei Bedarf beliebig anwachsen, ohne ihre Endlich-
keit zu verliereen). Das ist hanebuechener Unsinn, der *niemals* Wider-
spruchsfrei in ein bestehendesAiomensystem integriert werden kann (und
IE werden es auch *niemals*hinbekommen, ein widerspruchsfreies Axxiomen-
system zu formulieren, dass IHRE Whnvorstellungen zulaesst).

> Das nennet man potentiell unendlich.

In der moodernen (axiomatischen) Mathematik existiert kein Bedarf mehr
fuer "potentielle Unendlichkeit". Das war ein Hilfskonstrukt, solange
die axiomatische Mengenlehre und die klare Definition und Vorstellung
von Unedlichkeit fehlte.

> Sowas gibt es.

... nicht.

> Die konstruktivistische Mathematik kennt nur das potentiell Unendliche.

Die ist seit mindestens 100 Jahren ueberholt.

> Die meisten Matheologen sind leider zu verbohrt, um dies anzuerkennen.

Auch in Mathematik undNaturwissenschaften gilt: das bessere ist der Feind
des guten. In der modernen Mathematik koennen SIE sich ihre "potentielle
Unendlichkeit" getrost dorthin steccken, wo die Sonne nicht hinscheint.

> Ich zeige, wie man beides vereinen kann: ℕ_def ist eine potentiell unendliche Menge.

Es gibt keine "potentiell unendliche Mengen". Jede Menge ist bestimmt durch
ihre Elemente. Punkt. Da gibt es kein "dynamisches wachsen" oder "endlich
aber unebschraenkt" oder aehnlichen Unfug. Diesen Quatsch gibt es nur in
IHREN Wahnvorstellungen.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Juergen Ilse

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Nov 21, 2021, 11:42:07 AM (8 days ago) Nov 21
to
Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Juergen Ilse schrieb am Freitag, 19. November 2021 um 11:13:41 UTC+1:
>> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
>> > Für die induktive Menge [der natuerlichen Zahlen] gilt, dass alle ihre Elemente n von Endsegmenten eliminiert werden. Die trotzdem in allen Endsegmenten noch verbleibenden Zahlen sind dunkle.
>>
>> Da die natuerlichen Zahlen eine minimale induktive Menge sind, koennen
>> die "dunklen Zahlen" (so es sie denn gaebe) dass sie nicht in einer
>> minimalen induktiven Menge (den natuerlichen Zahlen) enthalten sein
>> koennen.
>
> Nein, sie bilden den dunklen, mit Induktion nicht überbrückbaren Raum zwischen ℕ_def und ω.

Es gibt kweinen solchen "dunklen Raum", und die natuerlichen Zahlen sind
per Definition eine "minimale induktive Menge". Deswegen laesst sich ja
ueberhaupt das Beweisverfahren der vollstaendigen Induktion anwenden:
Man beweist eine Behauptung fuer eine (beliebige) induktive Menge.
Damit hat man gezwigt, dass diese Behauptung auch fuer jede Teilmenge
dieser induktiven Menge gilt, also insbesondere fuer die "minimale
induktivwe Menge", die die natuerlichen Zahlen per Definition sind.

> Zu jeder natürlichen Zahl gibt es unendlich viele größere. Diese Aussage ist selbstverständlich im Falle potentieller Unendlichkeit, aber sie ist unsinnig im Falle einer vollständigen Menge,

Nur weil SIE zu beschraenkt sind, um einen Sachverhalt zu begreifen, heisst
dass noch lange nicht, dass der entsprechende Sachverhalt falsch waere. SIE
ueberschaetzen sich masslos, wenn SIE das wirklich glauben ...

Tsschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Ganzhinterseher

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Nov 22, 2021, 4:30:01 AM (7 days ago) Nov 22
to
Juergen Ilse schrieb am Sonntag, 21. November 2021 um 17:34:02 UTC+1:
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:

> > Die konstruktivistische Mathematik kennt nur das potentiell Unendliche.
> Die ist seit mindestens 100 Jahren ueberholt.

Du bist leider wieder einmal desinformiert.

> > Die meisten Matheologen sind leider zu verbohrt, um dies anzuerkennen.
> Auch in Mathematik und Naturwissenschaften gilt: das bessere ist der Feind
> des guten.

Deswegen ...

From his point of view, classical mathematics is a jumble of myth and reality. He prefers to do without the myth. From his point of view, it is classical mathematics that appears as an aberration; constructivism is just the refusal to participate in the acceptance of a myth. [P.J. Davis, R. Hersh, E.A. Marchisotto: "The mathematical experience", Birkhäuser, Boston (1995) p. 416]

It is first argued that the reasons for being skeptical towards actual infinity are so strong that mathematics should not be based on it; it is much more unclear what is in the "Cantorian paradise" than normally assumed, and supertasks (including a new one presented here) imply absurd consequences of actual infinity. Instead we will have to make do with mental constructions and potential infinity. [C.S. Hansen: "Constructivism without verificationism", Doctoral Thesis, University of Aberdeen (2014) p. V]

Can an investigation of the foundations of mathematics tell us something about thinking? I am of the opinion – and I share this opinion with the other so-called "constructivists" among the mathematicians – that the science of pure mathematics in the last part of the 19th century has been caught in a certain intellectual trap Gabriel Stolzenberg: "Kann die Untersuchung der Grundlagen der Mathematik uns etwas über das Denken sagen?" in P. Watzlawick (ed.): "Die erfundene Wirklichkeit. Wie wissen wir, was wir zu wissen glauben?", Piper, München (1985)]

A constructivist version of a mathematical theory is adequate for all the applications to be made of the theory within natural science: [N. Tennant: "Logic, mathematics, and the natural sciences", ResearchGate (2007)]

The constructivistic foundational critic has found the following faults: First it is not allowed to start with the assumption that the collection of real numbers is a set. [...] This contradiction sheds as much doubt on the assumption of the existence of the set of all binary sequences as on the assumption of their countability. [C. Thiel: "Philosophie und Mathematik", Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt (1995) p. 197f]

Gruß, WM

Ganzhinterseher

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Nov 22, 2021, 4:35:20 AM (7 days ago) Nov 22
to
Juergen Ilse schrieb am Sonntag, 21. November 2021 um 17:42:07 UTC+1:
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:

> > Nein, sie bilden den dunklen, mit Induktion nicht überbrückbaren Raum zwischen ℕ_def und ω.
> Es gibt kweinen solchen "dunklen Raum", und die natuerlichen Zahlen sind
> per Definition eine "minimale induktive Menge".

Jede natürliche Zahl hat einen unendlichen Abstand von ω.

> Deswegen laesst sich ja
> ueberhaupt das Beweisverfahren der vollstaendigen Induktion anwenden:
> Man beweist eine Behauptung fuer eine (beliebige) induktive Menge.
> Damit hat man gezwigt, dass diese Behauptung auch fuer jede Teilmenge
> dieser induktiven Menge gilt, also insbesondere fuer die "minimale
> induktivwe Menge", die die natuerlichen Zahlen per Definition sind.

Die definierbaren natürlichen Zahlen. Aber jede hat den Abstand ℵo zu ω. Wären ℵo definierbare Zahl vorhanden, so gäbe es zwei konsekutive unendlich ℵo Mengen in ℕ. Das ist ausgeschlossen.

Gruß, WM

JVR

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Nov 22, 2021, 7:58:50 AM (7 days ago) Nov 22
to
Zweiter Versuch:
Ich erlaube mir, nachzufragen, wie der geleerte Herr Professor den Begriff 'Abstand' zu definieren geruht.
In der Mathematik gibt es die Begriffe 'Norm' und die 'Metrik', deren Eigenschaften - Dreiecksungleichung usw -
Ihnen vielleicht sogar bekannt sind.
Welche Eigenschaften schreiben Sie dem mückmeatischen Begriff 'Abstand' zu?

Ganzhinterseher

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Nov 22, 2021, 9:03:53 AM (7 days ago) Nov 22
to
JVR schrieb am Montag, 22. November 2021 um 13:58:50 UTC+1:
> On Monday, November 22, 2021 at 10:35:20 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> > Die definierbaren natürlichen Zahlen. Aber jede hat den Abstand ℵo zu ω. Wären ℵo definierbare Zahl vorhanden, so gäbe es zwei konsekutive unendlich ℵo Mengen in ℕ. Das ist ausgeschlossen.

> Zweiter Versuch:
> Ich erlaube mir, nachzufragen, wie der geleerte Herr Professor den Begriff 'Abstand' zu definieren geruht.

Ich habe es bereits beantwortet. Aber gern noch einmal: Der Abstand zwischen der natürlichen Zahl n und ω ist die Anzahl der Elemente des Endsegmentes (genau genommen ohne die Zahl selbst). Für jedes definierbare n ist er, wie schon Cantor wusste, ℵo.

Gruß, WM

Fritz Feldhase

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Nov 22, 2021, 10:17:33 AM (7 days ago) Nov 22
to
On Monday, November 22, 2021 at 3:03:53 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> Ich habe es bereits beantwortet. Aber gern noch einmal: Der Abstand zwischen der natürlichen Zahl n und ω ist die Anzahl der Elemente des Endsegmentes (genau genommen ohne die Zahl selbst). Für jedes definierbare n ist er, wie schon Cantor wusste, ℵo.

Wie kommt man darauf in der Mückenmatik?

Für n = 1 ist card({m e IN : m >= n}) = card(E(1)) = card(IN) = aleph_0.

Wie aber kommt man in der Mückenmatik zu den Aussagen

card(E(2)) = aleph_0 (für n = 2)
card(E(3)) = aleph_0 (für n = 3)
usw.?

In der Mathematik zeigt man das so, dass es Bijektionen zwischen IN und E(2), zwischen IN und E(3), usw. gibt.

In der Mückenmatik ist das ja bekanntlich ausgeschlossen.

Wieso also behauptest Du dann, dass card(E(2)) = card(E(3)) = ... = aleph_0 gilt?

Ja, sicher: CANTOR wusste das. Du aber bist nachweislich zu blöde dafür.

Ralf Bader

unread,
Nov 22, 2021, 12:29:15 PM (7 days ago) Nov 22
to
On 11/21/2021 05:34 PM, Juergen Ilse wrote:

>> Die konstruktivistische Mathematik kennt nur das potentiell
>> Unendliche.
>
> Die ist seit mindestens 100 Jahren ueberholt.

Du verzapfst Blödsinn.

Klaus Pommerening

unread,
Nov 22, 2021, 3:15:30 PM (7 days ago) Nov 22
to
Ganzhinterseher kommt aus Versehen zur Vernunft:
> ... Der Abstand zwischen der natürlichen Zahl n und ω ist
> die Anzahl der Elemente des Endsegmentes (genau genommen > ohne die Zahl selbst). Für jedes definierbare n ist er,> wie schon
Cantor wusste, ℵo.

Und damit hast du bewiesen, dass es zwischen je zwei beliebigen
Endsegmenten eine bijektive Abbildung gibt. Und auch zwischen
einem beliebigen Endsegment und der Menge der natürlichen Zahlen.

Bravo! Weiter so!
--
Klaus Pommerening
Es gibt kein CoViD-19! Reißt den Simulanten die Beatmungsschläuche aus
dem verlogenen Hals!!

Ganzhinterseher

unread,
Nov 23, 2021, 6:28:34 AM (6 days ago) Nov 23
to
Fritz Feldhase schrieb am Montag, 22. November 2021 um 16:17:33 UTC+1:
> On Monday, November 22, 2021 at 3:03:53 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
>
> > Ich habe es bereits beantwortet. Aber gern noch einmal: Der Abstand zwischen der natürlichen Zahl n und ω ist die Anzahl der Elemente des Endsegmentes (genau genommen ohne die Zahl selbst). Für jedes definierbare n ist er, wie schon Cantor wusste, ℵo.

> Wie aber kommt man zu den Aussagen
>
> card(E(2)) = aleph_0 (für n = 2)
> card(E(3)) = aleph_0 (für n = 3)
> usw.?
>
> In der Mathematik zeigt man das so, dass es Bijektionen zwischen IN und E(2), zwischen IN und E(3), usw. gibt.
>
> Wieso also behauptest Du dann, dass card(E(2)) = card(E(3)) = ... = aleph_0 gilt?

Endlich einmal eine konstruktive Frage.

Ich benutze ℵo als Symbol für die elastische Unendlichkeit, quasi als Variable. Es ist die aktuale Unendlichkeit, der ein paar Elemente fehlen. Natürlich könnte man auch
|E(1)| = |ℕ|, |E(2)| = |ℕ| -1, |E(3)| = |ℕ| -2 schreiben. Aber die in allen unendlichen Endsegmenten noch enthaltenen Zahlen kann man nur mit ℵo angeben, weil die Anzahl der definierbaren Endsegmente nicht fest ist, sondern nur mit oo bezeichnet werden kann:
|ℕ| = oo + ℵo.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Nov 23, 2021, 6:36:00 AM (6 days ago) Nov 23
to
Klaus Pommerening schrieb am Montag, 22. November 2021 um 21:15:30 UTC+1:
> Ganzhinterseher kommt aus Versehen zur Vernunft:
> > ... Der Abstand zwischen der natürlichen Zahl n und ω ist
> > die Anzahl der Elemente des Endsegmentes (genau genommen > ohne die Zahl selbst). Für jedes definierbare n ist er,> wie schon
> Cantor wusste, ℵo.
> Und damit hast du bewiesen, dass es zwischen je zwei beliebigen
> Endsegmenten eine bijektive Abbildung gibt.

Nein, eine solche Abbildung kann es nicht geben, denn jedes abgebildete Element hat ℵo Nachfolger. Ich benutze ℵo als Symbol für die elastische aktuale Unendlichkeit. In einer Abbildung werden oo Zahlen abgebildet, aber ℵo bleiben übrig. Es ist die aktuale Unendlichkeit, der ein paar Elemente fehlen. Natürlich könnte man auch

Juergen Ilse

unread,
Nov 23, 2021, 5:52:32 PM (6 days ago) Nov 23
to
Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Endlich einmal eine konstruktive Frage.
>
> Ich benutze ℵo als Symbol für die elastische Unendlichkeit, quasi als Variable. Es ist die aktuale Unendlichkeit, der ein paar Elemente fehlen. Natürlich könnte man auch
> |E(1)| = |ℕ|, |E(2)| = |ℕ| -1, |E(3)| = |ℕ| -2 schreiben. Aber die in allen unendlichen Endsegmenten noch enthaltenen Zahlen kann man nur mit ℵo angeben, weil die Anzahl der definierbaren Endsegmente nicht fest ist, sondern nur mit oo bezeichnet werden kann:
> |ℕ| = oo + ℵo.

IHRE "elastische Unendlichkeit" ist genauso ein hanebuechener Unfug wie
IHRE dunklen Zahlen.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Fritz Feldhase

unread,
Nov 23, 2021, 10:27:26 PM (5 days ago) Nov 23
to
On Tuesday, November 23, 2021 at 12:28:34 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Montag, 22. November 2021 um 16:17:33 UTC+1:
> > On Monday, November 22, 2021 at 3:03:53 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > >
> > > [...] Der Abstand zwischen der natürlichen Zahl n und ω ist die Anzahl der Elemente des Endsegmentes (genau
> > > genommen ohne die Zahl selbst). Für jedes definierbare n ist er, wie schon Cantor wusste, ℵo.
> > >
> > Wie kommt man darauf in der Mückenmatik?
> >
> > Für n = 1 ist card({m e IN : m >= n}) = card(E(1)) = card(IN) = aleph_0.
> >
> > Wie aber kommt man in der Mückenmatik zu den Aussagen (*)
> >
> > card(E(2)) = aleph_0 (für n = 2)
> > card(E(3)) = aleph_0 (für n = 3)
> > usw.?
> >
> > In der Mathematik zeigt man dazu, dass es Bijektionen zwischen IN und E(2), zwischen IN und E(3), usw. gibt.
> >
> > In der Mückenmatik ist das nicht möglich, da dort derartige Bijektionen ja bekanntlich ausgeschlossen sind.
> >
> > Wieso also behauptest Du dann, dass card(E(2)) = card(E(3)) = ... = aleph_0 gilt?
> >
> Endlich einmal eine konstruktive Frage.

Ja, toll. Gibt es auch eine Antwort auf diese Frage?

> Ich benutze ℵo als Symbol für <blubber>

Ich habe Sie nicht danach gefragt, wofür Sie das Symbol ℵo _benutzen_, sondern danach, wie man in der Mückenmatik auf die Aussagen card(E(2)) = aleph_0, card(E(3)) = aleph_0, etc. kommt.

> Natürlich könnte man auch |E(1)| = |ℕ|, |E(2)| = |ℕ| - 1, |E(3)| = |ℕ| - 2 schreiben.

DANACH habe ich aber nicht gefragt.

Hinweis: Warum die Aussagen (*) im Kontext der Mathematik/Mengenlehre gelten, weiß ich. Die Frage war, wie sie im Kontext der Mückenmatik begründet werden können.

JVR

unread,
Nov 24, 2021, 5:32:01 AM (5 days ago) Nov 24
to
Du bist doch nicht neu hier. In der Mückmeatik gibt es nur Behauptumgen und keine Axiome, Definitionen und Begründungen.
Aber bald kommt der Weihnachtsmann. Dann ist es Zeit für Mückenheims Fehlüberlegungen zum Binären Baum, die Version mit Lametta.
Freut Euch, Oh Mückenheit.

Ganzhinterseher

unread,
Nov 24, 2021, 5:48:25 AM (5 days ago) Nov 24
to
Juergen Ilse schrieb am Dienstag, 23. November 2021 um 23:52:32 UTC+1:
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:

> > |E(1)| = |ℕ|, |E(2)| = |ℕ| -1, |E(3)| = |ℕ| -2 schreiben. Aber die in allen unendlichen Endsegmenten noch enthaltenen Zahlen kann man nur mit ℵo angeben, weil die Anzahl der definierbaren Endsegmente nicht fest ist, sondern nur mit oo bezeichnet werden kann:
> > |ℕ| = oo + ℵo.
> IHRE "elastische Unendlichkeit" ist genauso ein hanebuechener Unfug

ℵo = |ℕ| = |Q| stammt nicht von mir und lässt wohl bezüglich Elastizität keine Wünsche offen.

> wie
> IHRE dunklen Zahlen.

Alle definierbaren Zahlen haben eine unendlichen Abstand von ω, ℕ hat aber keinen Abstand von ω. Das zeigt, dass ℕ undefinierbare Zahlen enthält.

Gruß, WM

JVR

unread,
Nov 24, 2021, 5:57:44 AM (5 days ago) Nov 24
to
Das ist wie wenn der Weihnachtsmann nur pechschwarze Kohle - und natürlich eine Rute - im Sack hat. Weil
eben der Weihnachtsmann niemals mit einem leeren Sack kommen kann.

Transfinity

unread,
Nov 24, 2021, 6:28:36 AM (5 days ago) Nov 24
to
Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 24. November 2021 um 04:27:26 UTC+1:
> On Tuesday, November 23, 2021 at 12:28:34 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> > > Wieso also behauptest Du dann, dass card(E(2)) = card(E(3)) = ... = aleph_0 gilt?
> > >
> > Endlich einmal eine konstruktive Frage.
> Ja, toll. Gibt es auch eine Antwort auf diese Frage?
>
> > Ich benutze ℵo als Symbol für die elastische Unendlichkeit, quasi als Variable.
>
> Ich habe Sie nicht danach gefragt, wofür Sie das Symbol ℵo _benutzen_, sondern danach, wie man auf die Aussagen card(E(2)) = aleph_0, card(E(3)) = aleph_0, etc. kommt.

Jede aktual unendlich Menge besitzt per Definition ℵo Elemente. Deswegen kann man ℵo für alle Zahlen wie |ℕ|, |ℕ| -1, |Q| usw. einsetzen. Das ist insbesondere dann sehr nützlich, wenn man über die Zahl nichts Genaueres weiß. Man darf auch schreiben ℵo = oo + ℵo. Also ℵo heißt bei mir einfach aktual unendlich. Die Null könnte man auch weglassen, aber das hat sich in den letzten 100 Jahren so eingespielt und zeigt überdies an, dass keine größeren Unendlichkeiten vorkommen.

Gruß, WM

Andreas Leitgeb

unread,
Nov 24, 2021, 2:06:40 PM (5 days ago) Nov 24
to
Transfinity <transf...@gmail.com> wrote:
> Jede aktual unendlich Menge besitzt per Definition ℵo Elemente.

Wer sollte das so definiert haben?

Die Anhänger der Mengenlehre a la ZF sicher nicht, denn die wissen,
dass es auch Mengen mit einer Mächtigkeit größer als ℵ₀ gibt. So ist
etwa (zumindest unter Mathematikern) bekannt, dass: |ℝ| = ℵ₁ > ℵ₀.
Und du selber zweifelst ja die Existenz "aktual unendlicher Mengen"
an, wirst also wohl kaum Definitionen in diesem Bereich der Mathematik
machen... wo doch Definitionen ohnehin nicht so dein Ding sind.

Wem also schiebst du diesen obigen Unsinn diesmal in die Schuhe?

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Fritz Feldhase

unread,
Nov 24, 2021, 8:28:57 PM (4 days ago) Nov 24
to
On Wednesday, November 24, 2021 at 12:28:36 PM UTC+1, Transfinity wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 24. November 2021 um 04:27:26 UTC+1:
> >
> > Ich habe Sie nicht danach gefragt, wofür Sie das Symbol ℵo _benutzen_, sondern danach, wie man auf die Aussagen card(E(2)) = aleph_0, card(E(3)) = aleph_0, etc. kommt.
> >
> Jede [...] unendlich Menge besitzt per Definition ℵo Elemente.

Ist das ein mückenmatisches Dogma?

Also im Kontext der Mathematik/Mengenlehre ist das nicht so.

> Deswegen kann man ℵo für alle Zahlen wie |ℕ|, |ℕ| -1, |Q| usw. einsetzen.

Wie bestimmt man in der Mückenmatik die "Zahlen" |ℕ|, |ℕ| -1,