Dunkle Zahlen - einfach erklärt

[Ganzhinterseher]

Jede natürliche Zahl hat unendlich viele Nachfolger. Das ist ein allgemein bekannter und anerkannter Satz. Was seltener bedacht wird: Alle diese Nachfolger sind auch natürliche Zahlen. Wenn man aber von der Existenz "aller" überhaupt sprechen kann, muss man die aktuale Unendlichkeit akzeptieren. Das ist nicht zwangsläufig notwendig und kann aus mathematischen Grundlagen (wie dem Abzählen oder der wiederholten Addition von 1) auch nicht bewiesen werden. Es wird in der Mengenlehre nur "per Axiom" behauptet und von vielen damit als bewiesen angesehen. Ein Gesichtspunkt, der diese Annahme unterstützt, ist die Vollständigkeit der reellen Achse. Unter der Annahme potentieller Unendlichkeit existieren zum Beispiel nur endlich viele Punkte, die zu Stammbrüchen gehören. Die meisten Stammbrüche der aktualen Unendlichkeit existieren in einer potentiellen Mathematik nicht und können auch niemals existieren. Wir wollen hier die aktual Unendlichkeit und damit die Vollständigkeit der Menge ℕ der natürlichen Zahlen n voraussetzen.

Die Nachfolger einer natürlichen Zahl bilden zusammen mit der Zahl selbst das Endsegment

E(n) = {n, n+1, n+2, n+3, ...}.

Fast allen Zahlen jedes Endsegmentes können zwar unter ferner liefen "..." zusammengefasst werden, aber sie sind nicht als Individuen wählbar, adressierbar oder definierbar. Sie sind dunkel. Denn es handelt sich um die "Nachfolger", selbst eine aktual unendliche Menge. (Könnten sie nicht unter ferner liefen zusammengefasst werden, wären es keine natürlichen Zahlen.) Sie gehören somit zu ℕ, können aber nicht in einem Anfangsabschnitt {1, 2, 3, ..., n} vorkommen, denn durch einen Anfangsabschnitt werden alle darin enthaltenen Zahlen vermittels ihrer Verbindung zur 1 definiert. Deswegen gilt für jeden Anfangsabschnitt

∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .

*************************************************
Alle lückenlosen aktual unendlichen Untermengen von ℕ besitzen einen unendlichen Schnitt.

Es kann sich hierbei nur um Endsegmente handeln. Solange jedes unendlich ist, was wir voraussetzen, hat es seinen Inhalt mit allen Vorgängern gemeinsam.

∀n ∈ ℕ_def: ∩{E(1), E(2), ..., E(n)} = E(n) /\ |E(n)| = ℵ₀ (*)

Da per Definition in einer Menge unendlicher Endsegmente kein Nachfolger vorhanden ist, für den das nicht gälte, gilt es für alle unendlichen Endsegmente. Nur unendliche Endsegmente sind definierbar. Daraus folgt

∀ n∈ℕ_def ∃ M⊂ℕ: M⊂E(n) ∧ |M| = ℵo (**)

Dem steht das konventionelle Argument gegenüber, dass die unendliche Menge aller Endsegmente einen leeren Schnitt habe, weil jede natürliche Zahle n in den Endsegmenten E(n+1) und folgenden nicht enthalten ist.

Das Argument würde beweisen, dass alle Endsegmente, die in (*) einen unendlichen Schnitt haben, wenn zusammengefasst, einen leeren Schnitt haben. Das Argument ist falsch, denn der Schnitt wird durch die Endsegments beeinflusst, nicht durch ihre Anordnung.

Wie konnte dieser Widerspruch entstehen? Es können nur solche n individuell betrachtet werden, die individuell betrachtbar sind. Damit hat jedes dieser n unendlich viele Nachfolger, die nicht betrachtbar sind. Diese werden allgemein übersehen. Es wird ungerechtfertigt angenommen, dass bei diesen Beweis keine natürlichen Zahlen übrig bleiben.

Erschwerend kommt hinzu, dass, wenn tatsächlich alle natürlichen Zahlen betrachtet werden, tatsächlich keine übrig bleiben. Aber das gilt nicht nur für den Schnitt, sondern auch für die Endsegmente selbst

~∃ M⊂ℕ ∀ n∈ℕ : M⊂E(n) ∧ |M| > 0 . (***)

Werden hier alle natürlichen Zahlen kollektiv betrachtet, so bleibt keine einzige übrig. Mittels

∀k ∈ ℕ: E(k+1) = E(k) \ {k}

verschwinden alle natürlichen Zahlen Schritt für Schritt. Das impliziert endliche Endsegment. Endliche Endsegmente können aber nicht beobachtet werden. Sie sind dunkel.

Aus (**) und (***) folgt, dass die Kollektion ℕ_def der individuell wählbaren natürlichen Zahlen und die Menge ℕ aller natürlichen Zahlen verschieden sind.

**********************************************************

Jede inklusionsmonotone Mengenfolge besitzt nur dann einen leeren Schnitt, wenn ein leere Menge enthalten ist. Dieser Satz gilt überall. Ein einfaches Beispiel ist die Folge der Endsegmente, ein anderes die der Intervalle (0, 1/n]. Bis zu jedem definierbaren Stammbruch enthält der Schnitt ℵo Terme.

|ℕ| = oo + ℵ₀

Erst wenn keiner mehr übrig ist, ist der Schnitt leer.

Möchte man's ein wenig komplizierter ausdrücken, kann man auch die komplexe Ebene und (0, 1/2^n] wählen. Für Quaternionen oder Oktionen gilt der Satz natürlich ebenso.

Die einfachste Erklärung ist aber die Badewanne: Wenn das Wasser ausfließt, so ist der Schnitt über alle Zustände nicht leer, bevor die Wanne leer ist.

Gruß, WM

[Juergen Ilse]

Hllo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Jede natürliche Zahl hat unendlich viele Nachfolger. Das ist ein allgemein bekannter und anerkannter Satz. Was seltener bedacht wird: Alle diese Nachfolger sind auch natürliche Zahlen.

Bis hierher ist alles korrekt (ausser, dass es weniger beachtet wird, dass
der NAchfolger einer natuerlichen wieder eine natuerliche Zahl ist, denn
das besagen eindeutig die Peano Axiome, und foglich wird das von jedem
beachtet, der die Peano Axiome nicht ignoriert).

> Wenn man aber von der Existenz "aller" überhaupt sprechen kann, muss
> man die aktuale Unendlichkeit akzeptieren.

Richtig. Es gibt keine "potentiell unendlichen" Mengen, alle unendlichen
Mengen sind "aktual unendlich" wie sie es nennen.

> Das ist nicht zwangsläufig notwendig

In der Mathematik ist das unwiderlegbar so. Ist das in der Mueckematik anders?

> Die Nachfolger einer natürlichen Zahl bilden zusammen mit der Zahl selbst das Endsegment
>
> E(n) = {n, n+1, n+2, n+3, ...}.

Auch das stimmt auffallend. Und da jede natuerliche Zahl unendlich viele
Nachfolger besitzt (wie SIE weiter oben dargelegt haben), sind alle End-
segmente *unendliche* Mengen.

Und der restliche Muell bzgl. "undefinierbarer Zahlen" und dergleichen
hanebuechener Unfug mehr kann getrost gestrichen werden, weil das Zeugs
nicht eine einzige mathematisch korrekte Aussage enthaelt.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Ganzhinterseher]

Juergen Ilse schrieb am Montag, 15. November 2021 um 14:28:59 UTC+1:
> Und da jede natuerliche Zahl unendlich viele
> Nachfolger besitzt (wie SIE weiter oben dargelegt haben), sind alle End-
> segmente *unendliche* Mengen.

Ob alle das sind, kann später diskutiert werden. Jedenfalls sind unendliche Endsegmente unendliche Mengen, die also nach dem Prinzip "n ist nicht in E(n+1) enthalten" noch nicht aller Zahlen bar sind, sondern im Gegenteil unendlich viele Zahlen, die auch natürliche Zahlen sind, wie Du weiter oben dargelegt hast, enthalten und demzufolge auch keinen leeren Schnitt haben können. Denn das Argument geht ja davon aus, dass alle n verschwunden sind.

>
> Und der restliche Muell bzgl. "undefinierbarer Zahlen" und dergleichen
> hanebuechener Unfug mehr kann getrost gestrichen werden, weil das Zeugs
> nicht eine einzige mathematisch korrekte Aussage enthaelt.

"Wenn das Wasser ausfließt, so ist der Schnitt über alle Zustände nicht leer, bevor die Wanne leer ist." Was ist mathematisch inkorrekt an dieser Aussage?

Gruß, WM

[Juergen Ilse]

Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Juergen Ilse schrieb am Montag, 15. November 2021 um 14:28:59 UTC+1:
>> Und da jede natuerliche Zahl unendlich viele
>> Nachfolger besitzt (wie SIE weiter oben dargelegt haben), sind alle End-
>> segmente *unendliche* Mengen.
>
> Ob alle das sind, kann später diskutiert werden. Jedenfalls sind unendliche Endsegmente unendliche Mengen, die also nach dem Prinzip "n ist nicht in E(n+1) enthalten" noch nicht aller Zahlen bar sind, sondern im Gegenteil unendlich viele Zahlen, die auch natürliche Zahlen sind, wie Du weiter oben dargelegt hast, enthalten und demzufolge auch keinen leeren Schnitt haben können. Denn das Argument geht ja davon aus, dass alle n verschwunden sind.

IHRE "Unedlichkeitsdyskalkulie" ist auf Dauer wirklich unertraeglich.
Es ist doch ganz einfach beweisbar, dass der Schnitt aller (unendlich vielen)
unendlichen Endsegmente dennoch leer ist. Auch wenn SIE zu daemlich sind,
das zu begreifen: das aendert nichts an der Korrektheit des Beweises.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[JVR]

On Monday, November 15, 2021 at 11:10:59 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> "Wenn das Wasser ausfließt, so ist der Schnitt über alle Zustände nicht leer, bevor die Wanne leer ist." Was ist mathematisch inkorrekt an dieser Aussage?

Mathematisch inkorrekt ist
1. Die Extrapolation vom Endlichen ins Unendliche
3. Das 'bevor'. In der Definition der Schnittmenge gibt es kein 'vorher' und 'nachher'

Es sei G eine Menge von Mengen g. Dann gilt x ist in der Schnittmenge aller g in G <=> x in g für jedes g in G.

Ich freue mich, dass ich wiedereinmal Ihre Weiterbildung habe fördern können

[JVR]

On Monday, November 15, 2021 at 11:19:50 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:>
>
> Jede inklusionsmonotone Mengenfolge besitzt nur dann einen leeren Schnitt, wenn ein leere Menge enthalten ist. Dieser Satz gilt überall.

Sonntagsaufgabe: Es sei R_n = {z in C| 0 < |z| < 1/2^n } in der komplexen Ebene, i.e. z = x + i*y, wo x und y reell.
Welche komplexe Zahl ist im Durchschnitt aller R_n enthalten?

[Alfred Flaßhaar]

Es ist beweisbar, daß eine solche Zahl existiert. Sie müßte auch
eindeutig bestimmt sein. Nur die genaue Angabe fehlt noch. Mathcad
rechnet noch. ;-)

[Ganzhinterseher]

Juergen Ilse schrieb am Dienstag, 16. November 2021 um 00:52:02 UTC+1:
> Hallo,
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> > Juergen Ilse schrieb am Montag, 15. November 2021 um 14:28:59 UTC+1:
> >> Und da jede natuerliche Zahl unendlich viele
> >> Nachfolger besitzt (wie SIE weiter oben dargelegt haben), sind alle End-
> >> segmente *unendliche* Mengen.
> >
> > Ob alle das sind, kann später diskutiert werden. Jedenfalls sind unendliche Endsegmente unendliche Mengen, die also nach dem Prinzip "n ist nicht in E(n+1) enthalten" noch nicht aller Zahlen bar sind, sondern im Gegenteil unendlich viele Zahlen, die auch natürliche Zahlen sind, wie Du weiter oben dargelegt hast, enthalten und demzufolge auch keinen leeren Schnitt haben können. Denn das Argument geht ja davon aus, dass alle n verschwunden sind.

> Es ist doch ganz einfach beweisbar, dass der Schnitt aller (unendlich vielen)
> unendlichen Endsegmente dennoch leer ist.

Natürlich ist das beweisbar, weil beweisbar ist, dass keine natürlichen Zahlen übrig bleiben. Jede verschwindet, aber das gilt eben primär für die Endsegmente. Was nicht in einem Endsegment verschwunden ist, das bleibt übrig. Der Schnitt aller ist leer. Unendliche Endsegmente haben einen unendlichen Schnitt.

Hach dem Separationsaxiom ist es möglich, alle Endsegmente E(k) mit der Eigenschaft
∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = E(k) /\ |E(k)| = ℵ₀ (*)
als Menge zusammenzufassen und ihren Schnitt zu bilden:
|∩{E(k) : k ∈ ℕ_def}| = ℵ₀ .
Er ist unendlich, denn daraus sind nicht alle Zahlen verschwunden. In jedem sind per Definition dieser Menge noch unendlich viele erhalten.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Dienstag, 16. November 2021 um 12:12:56 UTC+1:
> On Monday, November 15, 2021 at 11:10:59 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
>
> > "Wenn das Wasser ausfließt, so ist der Schnitt über alle Zustände nicht leer, bevor die Wanne leer ist." Was ist mathematisch inkorrekt an dieser Aussage?
> Mathematisch inkorrekt ist
> 1. Die Extrapolation vom Endlichen ins Unendliche

Wäre das nicht möglich, das könnte keine Aussage über unendliche Mengen gemacht werden. Dann gölte nämlich diese Aussage:

For every row n, the number created by diagonalization differs from all the numbers represented in the table up to that row. [...] proving that d is different from all rows up to row n, for every n  , is not sufficient to prove that the number is different from all rows. [M. Dube]

> 3. Das 'bevor'. In der Definition der Schnittmenge gibt es kein 'vorher' und 'nachher'

In der erzeugenden Funktion der Schnittmenge gibt es wie in jeder Folge ein vorher und nachher für jede adressierbare Zahl k mit uendlich vielen Nachfolgern. Dafür gilt

∀k ∈ ℕ_def: ∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = E(k) /\ |E(k)| = ℵ₀ .

Zusammenfassung zur Menge der unendlichen Endsegmente nach dem Separationsaxiom liefert:

|∩{E(k) : k ∈ ℕ_def}| = ℵ₀ .

> Es sei G eine Menge von Mengen g. Dann gilt x ist in der Schnittmenge aller g in G <=> x in g für jedes g in G.

Die obigen Endsegmente enthalten per Definition unendlich viele Zahlen. Wenn die Zahlen in den Endsegmenten drin sind, so sind sie auch um Schnitt. Natürlich verschwinden alle nach und nach nach der Formel

∀k ∈ ℕ: E(k+1) = E(k) \ {k}.

Aber in der obigen Menge ist das noch nicht der Fall, obwohl man keine Zahl angeben kann, die darin ist. Das liegt daran, dass man nur Zahlen angeben kann, die unendlich viele Nachfolger haben (die man nicht angeben kann - denn sonst könnte man ja welche mit weniger Nachfolgern angeben).

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Keine. R_ω ist leer.

Vorab noch einmal die einfache Erklärung: Im Durchschnitt aller Endsegmente ist nichts enthalten, weil alle Zahlen nach daraus verschwinden. (Merke: aus den Endsegmenten, nicht nur aus ihrem Schnitt.) Eine letzte Zahl (n < ω) kann man dabei nicht fixieren, weil die letzten ℵo Zahlen dunkel und nicht erkennbar angeordnet sind. Deswegen kann man auch kein letztes Endsegment fixieren. Auf einen leeren Schnitt kann man nur schließen, weil nach Voraussetzung alle |ℕ| natürlichen Zahlen nach

∀k ∈ ℕ: E(k+1) = E(k) \ {k}

entfallen. Damit ergibt sich der Grenzwert E(ω) = { }.

Genauso ist es mit den R_n. Bis zu jedem definierbaren n existieren ℵo kleinere Kreisscheiben als R_n. Der Schnitt enthält daher ebenso unendlich viele Kreisscheiben wie der Schnitt definierbarer Endsegmente unendlich viele natürliche Zahlen enthält und ist nicht leer. Leer ist er erst, wenn alle |ℕ| Exponenten verbraucht sind. Diesen Grenzwert kann man berechnen, ohne die ℵo Zwischenschritte zu kennen. Der leere Schnitt ist der Grenzwert
R_ω = {z in C| 0 < |z| < 1/ω} = {z in C| 0 < |z| < 0} = { } .

Gruß, WM

[JVR]

Es ist hoffnungslos, Mücke. Mathe ist nichts für Sie.

[Alfred Flaßhaar]

Am 16.11.2021 um 18:34 schrieb JVR:
> On Tuesday, November 16, 2021 at 5:48:18 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
>> JVR schrieb am Dienstag, 16. November 2021 um 12:20:53 UTC+1:
>>> On Monday, November 15, 2021 at 11:19:50 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:>
>>>>

(...)

>
> Es ist hoffnungslos, Mücke. Mathe ist nichts für Sie.
>

Blitzmerker ;-)

[Ganzhinterseher]

> Es ist hoffnungslos,

Freut mich aufrichtig, dass Du keine angreifbare Aussage gefunden hast. Allerdings hatte ich das auch nicht erwartet.

Gruß, WM

[Rainer Rosenthal]

Am 17.11.2021 um 09:55 schrieb Ganzhinterseher:
>
> Freut mich aufrichtig, dass Du keine angreifbare Aussage gefunden hast. Allerdings hatte ich das auch nicht erwartet.
>

Und wenn doch, dann hättest Du sie halt nicht weiter kommentiert.
Das ist die einzig wirksame Methode, Deine Ausflüchte zu stoppen.

Siehe
#
# WM: Das in Rede stehende f ist f(n) = n+1.
# WM: Diese Abbildung {1, 2, 3, 4, 5} --> {1, 2, 3, 4}
# ist nicht injektiv
#
im Thread
"Wenn f(n)=n+1, dann ist f:{1,2,3,4,5}->{1,2,3,4} nicht injektiv"
(14.11.2021, 11:45)

Gruß,
RR

[Ganzhinterseher]

Ganzhinterseher schrieb am Mittwoch, 17. November 2021 um 09:55:14 UTC+1:
> JVR schrieb am Dienstag, 16. November 2021 um 18:34:20 UTC+1:
> > On Tuesday, November 16, 2021 at 5:48:18 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > > JVR schrieb am Dienstag, 16. November 2021 um 12:20:53 UTC+1:
> > > > On Monday, November 15, 2021 at 11:19:50 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:>
> > > > >
> > > > > Jede inklusionsmonotone Mengenfolge besitzt nur dann einen leeren Schnitt, wenn ein leere Menge enthalten ist. Dieser Satz gilt überall.
> > > > Sonntagsaufgabe: Es sei R_n = {z in C| 0 < |z| < 1/2^n } in der komplexen Ebene, i.e. z = x + i*y, wo x und y reell.
> > > > Welche komplexe Zahl ist im Durchschnitt aller R_n enthalten?
> > > Keine. R_ω ist leer.
> > >

> > > Vorab noch einmal die einfache Erklärung: Im Durchschnitt aller Endsegmente ist nichts enthalten, weil alle Zahlen daraus verschwinden. (Merke: aus den Endsegmenten, nicht nur aus ihrem Schnitt.) Eine letzte Zahl (n < ω) kann man dabei nicht fixieren, weil die letzten ℵo Zahlen dunkel und nicht erkennbar angeordnet sind. Deswegen kann man auch kein letztes Endsegment fixieren. Auf einen leeren Schnitt kann man nur schließen, weil nach Voraussetzung alle |ℕ| natürlichen Zahlen nach

> > > ∀k ∈ ℕ: E(k+1) = E(k) \ {k}
> > > entfallen. Damit ergibt sich der Grenzwert E(ω) = { }.
> > >
> > > Genauso ist es mit den R_n. Bis zu jedem definierbaren n existieren ℵo kleinere Kreisscheiben als R_n. Der Schnitt enthält daher ebenso unendlich viele Kreisscheiben wie der Schnitt definierbarer Endsegmente unendlich viele natürliche Zahlen enthält und ist nicht leer. Leer ist er erst, wenn alle |ℕ| Exponenten verbraucht sind. Diesen Grenzwert kann man berechnen, ohne die ℵo Zwischenschritte zu kennen. Der leere Schnitt ist der Grenzwert
> > > R_ω = {z in C| 0 < |z| < 1/ω} = {z in C| 0 < |z| < 0} = { } .
> > Es ist hoffnungslos,
>
> Freut mich aufrichtig, dass Du keine angreifbare Aussage gefunden hast. Allerdings hatte ich das auch nicht erwartet.

Aber einen Fehler habe ich doch gemacht. Betrachtet man nämlich die aktual unendlichen Folgen, so enthält (2^n) weniger Terme als die Folge (n):
Die Menge {1/2^n | n ∈ ℕ} enthält weniger Elemente als die Menge ℕ.
Das gilt auch für jeden Startpunkt n_0:
{1/2^n | n ∈ ℕ, n > n_0} enthält weniger Elemente {n | n ∈ ℕ, n > n_0}.
Meine Aussage "Der Schnitt enthält daher ebenso unendlich viele Kreisscheiben wie der Schnitt definierbarer Endsegmente unendlich viele natürliche Zahlen enthält und ist nicht leer" ist also nur im Sinne des elastischen Cantorschen alephs richtig. (Macht der Gewohnheit.)

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Rainer Rosenthal schrieb am Mittwoch, 17. November 2021 um 10:23:10 UTC+1:
> Am 17.11.2021 um 09:55 schrieb Ganzhinterseher:
> >
> > Freut mich aufrichtig, dass Du keine angreifbare Aussage gefunden hast. Allerdings hatte ich das auch nicht erwartet.
> >
> Und wenn doch, dann hättest Du sie halt nicht weiter kommentiert.
> Das ist die einzig wirksame Methode, Deine Ausflüchte zu stoppen.

Du lügst, Rainer. Die Ausflüchte kommen gewöhnlich in Form von Dada-Dichtungen.

>
> Siehe
> #
> # WM: Das in Rede stehende f ist f(n) = n+1.

Ich hatte doch bereits gesagt, dass es keine Abbildung ist: "Ich hätte natürlich im Sinne der modernen Zeit von mutmaßlicher Abbildung sprechen müssen. Mea culpa." Ja, das ist keine Abbildung, ebensowenig wie von {0} U ℕ nach ℕ eine injektive Abbildung existiert. Was erwartest Du noch? Die von Dir geforderte Entschuldigung, dass ich Eulers Fehler genannt habe?

Gruß, WM

[JVR]

Sie verwechseln 'nonsense verse' mit Dada. Der Sinn ist keineswegs derselbe. Und in beiden Fällen steckt Sinn dahinter.
Warum ist Lewis Carrolls schöner Vers

'The time has come,' the Walrus said,
To talk of many things:
Of shoes — and ships — and sealing-wax —
Of cabbages — and kings —
And why the sea is boiling hot —
And whether pigs have wings.'

ein passender Kommentar?

Warum ist es sinnlos mit jemanden über Mathematik
zu reden, der die Definition der natürlichen Zahlen nicht kapieren kann?

Dem die Begriffe der Konvergenz und der Stetigkeit auf ewig schleierhaft bleiben werden?

Jemand der nicht kapieren kann, dass kontinuierliche Modelle, z.B. in der Hydrodynamik und
in der Elektrodynamik, brauchbare Resultate liefern, die man mit diskreten Modellen niemals
erreichen konnte? Warum wohl?

Jemand der in seiner vollkommenen Ignoranz meint, bei
Euler, Hilbert, Cantor und fast jedem bedeutenden Mathematiker elementare Fehler entdeckt zu
haben, die bisher niemandem aufgefallen sind ?

[Jens Kallup]

Am 17.11.2021 um 11:04 schrieb JVR:
> Jemand der in seiner vollkommenen Ignoranz meint, bei
> Euler, Hilbert, Cantor und fast jedem bedeutenden Mathematiker elementare Fehler entdeckt zu
> haben, die bisher niemandem aufgefallen sind ?

naja,
seh's doch mal so: Jeder strebt nach Anerkennung - ob das nun der Ruhm
in Art eines Titels, stückchen Landes, etc. ist -.

Ich wollte auch in meiner Jugend Bäume ausreißen,
wollte der Beste Hacker sein.

Und was war?

Kam ein Anderer, und kammen noch andere, die besser waren.

Daher sage ich dann immer zum Selbschutz, kenn ich nicht, war ich nicht,
... Notlügen sind erlaubt.

Aber IHR habt schon Recht, Eigenbelügung ...

Aber:
Ich habe hier irgendwo noch einen Post abgegeben, das man sich nicht all
zu sehr in Grundlagen, die vor 100 Jahren gemacht werden versteifen
sollte. Es ist viel passiert.

Schaut man sich zum Beispiel A. Einstein an, seine "erklaute" Formel war
schon etwas früher bekannt, aber seit er diese der Öffentlichkeit dar-
geboten hat, sind viele Neue Dinge entstanden:

- Laserdioden, die Blech, und Stahl schneiden können
- CD-Geräte, mit dessen Hilfe man Musik, oder Daten speichern kann.

Das Gleiche kann man sicherlich auch auf die Elementrare Mengen-Lehre
beziehen: Die "Menge" an Erfindungen tendiert ja fast schon zu oo.

Ich kann dazu nur sagen: Japan (Brillen, die Scheibenwischer haben,
um die Brillengläser zu Reiningen, und und und ...)

oder dieser Handgreifer am Handy, den man auf die Rückseite kleben
kann, damit man einen besseren Griff hat ...

Manchmal sind es so die kleinen Dinge.

In meiner Umgebung gibt es einige, kleine Gruppen die mit Piano, Trommel
Gitarre, ... jedes Jahr für "rockt die Bude" veranstalten.

Selbst ich habe mit einer ehm. Bewohner Karaooke gesungen - mit
primitivsten - und was wurde draus ?
Ja: "Ein gelungener, schöner Abend."

Deshalb emfinde ich es so, das man bei einen Spiel (Mathe oder Schach)
auch mal die "kleinen" gewinnen lassen muss, damit das Interesse nicht
verschwindet.

Ist wie bei Katzen: Die suchen ja immer nach Abwechslung, aber werden
dann, wenn immer das Gleiche gespielt wird müde...

Gruß, Jens

[Jens Kallup]

Am 17.11.2021 um 10:24 schrieb Ganzhinterseher:
> Aber einen Fehler habe ich doch gemacht. Betrachtet man nämlich die aktual unendlichen Folgen, so enthält (2^n) weniger Terme als die Folge (n):
> Die Menge {1/2^n | n ∈ ℕ} enthält weniger Elemente als die Menge ℕ.
> Das gilt auch für jeden Startpunkt n_0:

dies stimmt doch *nicht* !

wenn:

n_0 := 0. und
1/2^n := x. ist, dann erhält man Eins (1) !

Probe:

2^0 := 1.

1/2^n := 1 / 1 := 1.

mal was dazu:
Es müssen immer die "untersten" Reihen berechnet werden, um "höhere"
Reihen bekommen zu können.
Diese unteren Reihen sind also die *BASIS* für *ALLES*.

Wenn man dann in den untersten Reihen bleibt, bis man ein gewünschtes
bze. erwatetes Ergebnis hat, dann folgen andere "operative" Anwendungen.
Und dazu gehört auch die Potenzrechnung.

Diese Potenzrechnung ist mit einer der stärksten "operativen"
Anwendungen, dann kommt Division, und dann kommt Multiplikation ...

Da wie in *ALLEN* Gebieten, der Stärkste das Rennen macht, sorgt der
stärkste das der schwächere sondiert und/oder selektiert wird.

Da auf der höheren Ebene sich nur "ein" Objekt befindet, können auch
nur Objekte entstehen, die die Merkmale von der Basis "enthalten".

Quantitativ ist das in der Menge (so denke ich) *immer* von Eins, oder
dem Ganzen betrachtet (aufgeteilt).

Viele nehmen aber nun an, das aus "Eine" Menge, "zwei Neue" Mengen
entstehen, die in der Mächtigkeit "gleich" sind.

Aber das stimmt ja halt nicht.

Diese Mächtigkeiten sind partiell vom Ganzen.

Damit ergibt sich dann, das *NICHTS* verloren oder hinzugefügt werden
kann - es wird *ALLES* nur umgesetzt, nicht aber verbraucht.

Gruß, Jens

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Mittwoch, 17. November 2021 um 11:04:53 UTC+1:

> Warum ist es sinnlos mit jemanden über Mathematik
> zu reden, der die Definition der natürlichen Zahlen nicht kapieren kann?

Ich habe sie verstanden, habe mehrere Definitionen zitiert, die im Gegensatz zu Peanos Fehlversuchen tatsächlich die natürlichen Zahlen definieren. Dagegen hast Du noch immer nicht verstanden, wie dunkle Zahlen zustandekommen, obwohl ich sie nun sehr einfach erklärt habe.

Aber natürlich werde ich keinen Matheologen überzeugen. Ich kann lediglich ihre Narreteien ans licht zerren und noch unverdorbene Studenten davon abhalten, sich in den Strudel der Narretei ziehen zu lassen.

Deswegen sind diese Diskussionen mit Betonköpfen für meine Zwecke sehr nützlich. Zum Beispiel habe ich die folgende Logik offengelegt (ich erwarte natürlich nicht, dass jemand sie nachvollziehen kann, und wenn doch, dass er zugibt sie zu verwenden)

In ZFC gilt
∀ n∈ℕ ∃ M⊂ℕ: M⊂E(n) ∧ |M| > 100 . (*)
Die Menge M ist eine feste Menge, denn besäße ein Endsegment nicht 100 Elemente, so wäre es nicht unendlich.
Die Negation ist eine falsche Aussage
~(∀ n∈ℕ ∃ M⊂ℕ: M⊂E(n) ∧ |M| > 100)
und wegen ~∀ n∈ℕ: P(n) ==> ∃ n∈ℕ: ~P(n) folgt
∃ n∈ℕ ~∃ M⊂ℕ: M⊂E(n) ∧ |M| > 100. (**)
Wir halten fest, die Aussage, es gibt eine natürlichen Zahl mit kleinerem Abstand von ω ist also falsch.

In ZFC gilt außerdem

~∃ M⊂ℕ ∀ n∈ℕ : M⊂E(n) ∧ |M| > 0 .

Es gibt keine nichtleere Untermenge aller Endsegmente, und damit erst recht keine Untermenge M mit |M| > 100 aller Endsegmente:
~∃ M⊂ℕ ∀ n∈ℕ : M⊂E(n) ∧ |M| > 100.

Und nun kommt's: Ich behaupte: wenn die Menge M nicht für alle natürlichen Zahlen existiert, dann gibt es mindestens eine natürliche Zahl mit kleinerem Abstand von ω:
∃ n∈ℕ ~∃ M⊂ℕ: M⊂E(n) ∧ |M| > 100 .
Das ist (**), die Negation von (*).

Der letzte Schritt wird abgelehnt. Das beweist die Anwendung einer pervertierten Logik, etwa so wie bei den "nicht messbaren" Mengen: Fast alle Elemente sind rot und fast alle Elemente sind klein, aber es gibt kein Element, das gleichzeitig rot und klein ist. Man orientiert sich an D.K. Davis: If Cantor's work is invalid, modern mathematics goes up in smoke. The investment is too great – if something's wrong we'll just change logic.

Maybe. But not me.

> Euler, Hilbert, Cantor und fast jedem bedeutenden Mathematiker elementare Fehler entdeckt zu
> haben, die bisher niemandem aufgefallen sind ?

Nun, so elementar ist das Ganze ja auch wieder nicht.

Gruß, WM

[Jens Kallup]

Am 17.11.2021 um 18:27 schrieb Ganzhinterseher:
> Und nun kommt's: Ich behaupte: wenn die Menge M nicht für alle natürlichen Zahlen existiert, dann gibt es mindestens eine natürliche Zahl mit kleinerem Abstand von ω:

> ∃ n∈ℕ ~∃ M⊂ℕ: M⊂E(n) ∧|M| > 100 .

> Das ist (**), die Negation von (*).

ich bin begeistert.

Mein Senf dazu:

0 = 0 oder: leer, oder: nicht definiert => {0} := *NICHTS*

oo = {0} => nicht definiert
w = {w} = {0} => -"-
ww = {ww} = {0} => -"-
www = {www} = {0} => -"-

-3 -2 -1 = 0 = +1 +2 +3 = | 6 |

-oo = oo+ = | oo |

"nicht definiert" läßt mich erkennen, das "nichts" kennbares
ersichtlich oder ergreifbar ist.

Jens

[Ganzhinterseher]

kallu...@web.de schrieb am Mittwoch, 17. November 2021 um 19:03:43 UTC+1:
> Am 17.11.2021 um 18:27 schrieb Ganzhinterseher:
> > Und nun kommt's: Ich behaupte: wenn die Menge M nicht für alle natürlichen Zahlen existiert, dann gibt es mindestens eine natürliche Zahl mit kleinerem Abstand von ω:
> > ∃ n∈ℕ ~∃ M⊂ℕ: M⊂E(n) ∧|M| > 100 .
> > Das ist (**), die Negation von (*).
> ich bin begeistert.
>
> Mein Senf dazu:

Versuche einmal, das wirklich zu verstehen. Dazu bedarf es keiner gelehrten Vorbildung in der neueren Mathematik; dieselbe kann dazu sogar hinderlich sein. Ich habe jedenfalls noch keinen normalen Menschen getroffen, alle meine Studenten eingeschlossen, der es nicht verstehen könnte:
Man behauptet, dass jede natürliche Zahl einen unendlichen Abstand von ω hat. Cantor hat das schon bemerkt: ω - n = ω.
Formal schreibt man das so
∀ n∈ℕ ∃ M⊂ℕ: M⊂E(n) ∧ |M| = ℵo .
Man behauptet aber gleichzeitig, dass keine Menge M existiert, nicht einmal eine mit nur einem Element, die zwischen alle natürlichen Zahlen und ω passt:

~∃ M⊂ℕ ∀ n∈ℕ : M⊂E(n) ∧ |M| > 0

Ich folgere daraus, dass natürliche Zahlen existieren, die näher an ω liegen, also nicht unendlich weit entfernt sind. Kannst Du das verstehen?

Gruß, WM

[Jens Kallup]

Hallo Wolfgang,

Also ich verstehe das so:

w - n = w => w - w = {0}.

Eine Menge mit der Mächtigkeit eines "leeren" Elements - irgendwas muss
ja existieren (auch wenn man das *NICHTS* nennt), in dem etwas passieren
"könnte".

Egal welches |N Objekt für n betrachtet, es endet wieder im w oder {0},
weil:

w := undefiniert
n := 1000^1000^1000 ...

den Schritt, etwas "konkretes", als n in w aufzunehmen läßt es nur zu,
wenn das *NICHTS* auf n aufgeteilt wird, sprich:

50 % - 50 % = 0 % => {0}

jetzt hat man also schon wieder zwei (2) {0} rechts und links, und
beide heben sich dadurch auf, werden *EINS* und somit bleibt wieder
nur {0} übrig.

Es nur eine Frage der Zeit, wenn sich *ALLES* wieder zusammen fügt.

Aber wie gesagt: da wird nix rein- oder rausinjektiert.
Und das "Unendliche" gibt es nicht - das ist nur eine von Menschen
erdachtes "Gedankenspiel".

Dazu habe ich folgenden Spruch:
---
Denke nicht die Gedanken, denn das
Denken der Gedanken, ist gedankenloses
Denken.
---

[Andreas Leitgeb]

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Formal schreibt man das so

> ∀ n∈ℕ ∃ M⊂ℕ: M⊂E(n) ∧ |M| > ℵo .

Das ">" sollte wohl ein "=" sein... Tippfehler können passieren.

Tatsächlich ist hier das M abhängig von n wählbar, was den eigentlichen
Unterschied zum nächsten Absatz darstellt: unten wäre "one M fits all n"
gefragt, und das geht eben nicht.

> Man behauptet aber gleichzeitig, dass keine Menge M existiert, nicht
> einmal eine mit nur einem Element, die zwischen alle natürlichen Zahlen
> und ω passt:

> ~∃ M⊂ℕ ∀ n∈ℕ : M⊂E(n) ∧ |M| > 0

Das ist richtig. Für die Nicht-existenz ist es hier nicht einmal
notwendig, ein unendlich großes M (so wie oben) zu fordern. Es
reicht hier schon die angegebene schwächere Bedingung, also
lediglich, dass M nicht leer sei, um die Existenz eines solchen
M (mit cE(n)) ausschließen zu können.

> Ich folgere daraus, [hanebüchenen Stuss geschnippt]

[JVR]

Erzählen Sie uns doch bitte, oh großer Experte, wie Sie Ihren Begriff 'Abstand' definieren. Besonders da diese 'Abstände' unendlich werden können.
Ist es eine Norm? Ist es eine Metrik? Hat es Eigenschaften, die man in Worten beschreiben kann? Oder sind die Eigenschaften so nebulös wie die der durchsichtigen Zahlen? Gibt es sowas nur in Mückenhausen oder auch in Ganzhinterwalden?
Gab es das schon im 19. Jahrhundert? Hat Pythagoras es erfunden?

[Ganzhinterseher]

Andreas Leitgeb schrieb am Donnerstag, 18. November 2021 um 14:52:19 UTC+1:
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> > Formal schreibt man das so
> > ∀ n∈ℕ ∃ M⊂ℕ: M⊂E(n) ∧ |M| > ℵo .
>
> Das ">" sollte wohl ein "=" sein... Tippfehler können passieren.

Habe ich sofort gelöscht.

>
> Tatsächlich ist hier das M abhängig von n wählbar, was den eigentlichen
> Unterschied zum nächsten Absatz darstellt: unten wäre "one M fits all n"
> gefragt, und das geht eben nicht.

Alle unendlichen Endsegmente enthalten ein und dieselbe Menge M. Um das zu widerlegen, müsstest Du ein unendlichen Endsegmente finden, in dem diese Menge nicht vorhanden ist. Das ist wegen Inklusionsmonotonie nicht möglich. Falls Dir ℵo zu groß erscheint, wähle M mit 100 Elementen. Wer behauptet, alle Endsegmente wären unendlich, enthielten aber nicht 100 gemeinsame Elemente, der widerspricht der einfachsten Mathematik. Solange ein Endsegment unendlich viele Zahlen enthält, enthält es 100 Zahlen mit allen Vorgängern gemeinsam.

> > Man behauptet aber gleichzeitig, dass keine Menge M existiert, nicht
> > einmal eine mit nur einem Element, die zwischen alle natürlichen Zahlen
> > und ω passt:
> > ~∃ M⊂ℕ ∀ n∈ℕ : M⊂E(n) ∧ |M| > 0
> Das ist richtig.

Das ist Unsinn. Es kann beim Schnitt nur um Zahlen gehen, die *nachweislich* verschwinden, also um definierbare Zahlen. Da die übrigen ℵo nicht aus den Endsegmenten verschwinden, können sie auch nicht auch ihrem Schnitt verschwinden.
Warum sollte eine Zahl wohl aus dem Schnitt aber nicht aus den Endsegmenten verschwinden? Für alle unendlichen Endsegmente gilt

∀k ∈ ℕ: ∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = E(k) /\ |E(k)| = ℵ₀ .

Man kann die Menge dieser Endsegmente bilden (Separationsaxiom). Für sie gilt:

|∩{E(k) : k ∈ ℕ_def}| = ℵ₀ .

Der Schnitt ist das kleinste Endsegmente. Sind alle unendlich, so auch der Schnitt.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Donnerstag, 18. November 2021 um 17:50:47 UTC+1:
> On Thursday, November 18, 2021 at 1:58:09 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > kallu...@web.de schrieb am Mittwoch, 17. November 2021 um 19:03:43 UTC+1:
> > > Am 17.11.2021 um 18:27 schrieb Ganzhinterseher:
> > > > Und nun kommt's: Ich behaupte: wenn die Menge M nicht für alle natürlichen Zahlen existiert, dann gibt es mindestens eine natürliche Zahl mit kleinerem Abstand von ω:
> > > > ∃ n∈ℕ ~∃ M⊂ℕ: M⊂E(n) ∧|M| > 100 .
> > > > Das ist (**), die Negation von (*).
> > > ich bin begeistert.
> > >
> > > Mein Senf dazu:
> > Versuche einmal, das wirklich zu verstehen. Dazu bedarf es keiner gelehrten Vorbildung in der neueren Mathematik; dieselbe kann dazu sogar hinderlich sein. Ich habe jedenfalls noch keinen normalen Menschen getroffen, alle meine Studenten eingeschlossen, der es nicht verstehen könnte:
> > Man behauptet, dass jede natürliche Zahl einen unendlichen Abstand von ω hat. Cantor hat das schon bemerkt: ω - n = ω.
> > Formal schreibt man das so
> > ∀ n∈ℕ ∃ M⊂ℕ: M⊂E(n) ∧ |M| = ℵo .
> > Man behauptet aber gleichzeitig, dass keine Menge M existiert, nicht einmal eine mit nur einem Element, die zwischen alle natürlichen Zahlen und ω passt:
> > ~∃ M⊂ℕ ∀ n∈ℕ : M⊂E(n) ∧ |M| > 0
> > Ich folgere daraus, dass natürliche Zahlen existieren, die näher an ω liegen, also nicht unendlich weit entfernt sind. Kannst Du das verstehen?

> Erzählen Sie uns doch bitte wie Sie Ihren Begriff 'Abstand' definieren.

Der Abstand zwischen jeder definierbaren Zahl n und ω ist die Größe des Endsegmentes E(n), also die Anzahl seiner Elemente.

> Besonders da diese 'Abstände' unendlich werden können.

Sie sind für jede definierbare Zahl unendlich und können daher nur mit dem etwas diffusen aleph angegeben werden.

> Ist es eine Norm? Ist es eine Metrik? Hat es Eigenschaften, die man in Worten beschreiben kann?

Etwas ungenau hat Cantor das schon getan. Er sagte ω - n = ω.

Ich halte ω für |ℕ|, eine ganz präzise Zahl. Deswegen verwendet ich für den unendlichen Abstand ω - n lieber ℵo, die bekanntlich äußerst dehnbare aktuale Unendlichkeit.

Gruß, WM

[JVR]

Ein Schein von Tiefe entsteht oft dadurch,
daß ein Flachkopf zugleich ein Wirrkopf ist.
-- Karl Kraus

[Juergen Ilse]

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:

> JVR schrieb am Mittwoch, 17. November 2021 um 11:04:53 UTC+1:
>
>> Warum ist es sinnlos mit jemanden über Mathematik
>> zu reden, der die Definition der natürlichen Zahlen nicht kapieren kann?
>

> Ich habe sie verstanden, habe mehrere Definitionen zitiert,

Wenn man fuer ein und denselben Sachverhalt (hier die natuerlichen Zahlen)
*verschiedene* Definitionen praesentiert, muss man normalerweise aufzeigen,
dass alle vorgebrachten Definitionen aequivalent sind. So etwas haben SIE
aber noch nie fertiggebracht (das praesentieren verschiedener Definitionen
fuer die gleiche Sache schon, den BEweis der Aequivalenz der verschiedenen
Definitionen aber *noch* *nie*).

> die im Gegensatz zu Peanos Fehlversuchen

Untauglich war nicht der Versuch Peanos, untauglich war der Schrott von
Ihnen, indem sie die Eigenschaften der Addition der natuerlichen Zahlen
zu verwenden versuchten, um die Peano Axiome zu formulieren.

> Dagegen hast Du noch immer nicht verstanden, wie dunkle Zahlen zustandekommen,

Das ist doch ganz einfach: ueberhaupt nicht. Und wenn es sie tatsaehlich
gaebe, koennten sie keine Elemente der natuerlichen Zahlen sein, denn die
"dunklen Zahlen" (von denen man ja IHREN Ausfuehrungen nach von keiner
einen eindeutigen "Nachfolger" bestimmen kann) wuerdn *nichts* zur Eigen-
schaft der "Induktivitaet" der natuerlichen Zahlen beitragen, und da die
natuerlichen Zahlen eine minimale induktive Menge sind, koennten die
"dunklen Zahlen" nicht darin enthalten sein, denn |N ohne die dunklen
Zahlen waere ja dann ebenfalls induktiv, was der Eigenschaft der minimalen
induktiven Menge widersprechen wuerde (ausser wenn die Menge der "dunkllen
Zahlen" leer waere).

> obwohl ich sie nun sehr einfach erklärt habe.

... und alle peinlichen Erklaerungsversuche sich als der selbe unbrauchbare
Schrott erwiesen ...

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Juergen Ilse]

Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Man kann die Menge dieser Endsegmente bilden (Separationsaxiom). Für sie gilt:
>
> |∩{E(k) : k ∈ ℕ_def}| = ℵ₀ .
>
> Der Schnitt ist das kleinste Endsegmente.

Unter eundlich vielen Endsegmenten gibt es kein "kleinstes" (minimales) ...

> Sind alle unendlich, so auch der Schnitt.

... und deswegen ist diese Schlussfolgerung nonsens. Sie gilt eben nur dann,
wenn es auch ein minimales Endsegment gibt, was aber bei unendlich vielen
*nicht* der Fall ist.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Ganzhinterseher]

kallu...@web.de schrieb am Donnerstag, 18. November 2021 um 14:35:57 UTC+1:

> Also ich verstehe das so:
>
> w - n = w

Das hat Cantor so gesagt.

> => w - w = {0}.

Ja, aber n kann niemals so weit wachsen, dass es w erreicht. Also liegt zwischen allen definierbaren Zahlen n und w ein unendliche Menge dunkler Zahlen.

> Und das "Unendliche" gibt es nicht - das ist nur eine von Menschen
> erdachtes "Gedankenspiel".

Das ist die Frage. Wahrscheinlich hast Du recht. Es wäre nur für die Stetigkeit der reellen Achse erforderlich. Aber unter diesem Gesichtspunkt fallen alle dunklen Zahlen weg, und auch Endsegmente sind keine Mengen.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Juergen Ilse schrieb am Freitag, 19. November 2021 um 01:28:04 UTC+1:

> Wenn man fuer ein und denselben Sachverhalt (hier die natuerlichen Zahlen)
> *verschiedene* Definitionen praesentiert, muss man normalerweise aufzeigen,
> dass alle vorgebrachten Definitionen aequivalent sind.

Das kann man tun, wenn man sich näher damit beschäftigen möchte. Ich habe nicht die Absicht. Das Ergebnis von Lorenzen und NN ist in beiden Fällen die potentiell unendliche Menge |N.

> > Dagegen hast Du noch immer nicht verstanden, wie dunkle Zahlen zustandekommen,
> Das ist doch ganz einfach: ueberhaupt nicht.

Ganz einfach: Alle natürlichen Zahlen verschwinden nach dem Muster n ist nicht in E(n+1) enthalten. Unendlich viele natürliche Zahlen bleiben in allen Endsegmenten enthalten.

> und da die
> natuerlichen Zahlen eine minimale induktive Menge sind, koennten die
> "dunklen Zahlen" nicht darin enthalten sein, denn |N ohne die dunklen
> Zahlen waere ja dann ebenfalls induktiv,

Für die induktive Menge gilt, dass alle ihre Elemente n von Endsegmenten eliminiert werden. Die trotzdem in allen Endsegmenten noch verbleibenden Zahlen sind dunkle.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Juergen Ilse schrieb am Freitag, 19. November 2021 um 01:44:08 UTC+1:
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> > Man kann die Menge dieser Endsegmente bilden (Separationsaxiom). Für sie gilt:
> >
> > |∩{E(k) : k ∈ ℕ_def}| = ℵ₀ .
> >
> > Der Schnitt ist das kleinste Endsegmente.
> Unter eundlich vielen Endsegmenten gibt es kein "kleinstes" (minimales) ...

Unter den Mengen der Brüche der Intervalle (0, 1+1/n) gibt es eine kleinste mit unendlich vielen Brüchen. Unter den unendlichen Endsegmenten ist das kleinste zwar nicht bekannt, aber jedenfalls unendlich.

Der Schnitt ist unabhängig von der Reihenfolge und der Anzahl der Endsegmente.

> > Sind alle unendlich, so auch der Schnitt.
> ... und deswegen ist diese Schlussfolgerung nonsens. Sie gilt eben nur dann,
> wenn es auch ein minimales Endsegment gibt, was aber bei unendlich vielen
> *nicht* der Fall ist.
>

Es genügt zu wissen, dass alle unendlich sind. Inklusionsmonotonie!

Gruß, WM

[Juergen Ilse]

Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Juergen Ilse schrieb am Freitag, 19. November 2021 um 01:44:08 UTC+1:
>> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
>> > Man kann die Menge dieser Endsegmente bilden (Separationsaxiom). Für sie gilt:
>> >
>> > |∩{E(k) : k ∈ ℕ_def}| = ℵ₀ .
>> >
>> > Der Schnitt ist das kleinste Endsegmente.
>> Unter eundlich vielen Endsegmenten gibt es kein "kleinstes" (minimales) ...
>
> Unter den Mengen der Brüche der Intervalle (0, 1+1/n) gibt es eine kleinste mit unendlich vielen Brüchen.

Wenn hier "fuer alle n element |N" gemeint ist, ist das falsch.
Genauso, wie es keine groesste natuerliche Zahl geben kann (jede natuerliche
Zahl n hat einen Nachfolger, der selbst wieder eine natuerliche Zahl und
groesser als n ist), existiert auch kein "kleinster Stammbruch", da es zu
jedem Stammbruch 1/n noch einen Stammbruch 1/Nachfolger(n) gibt, der
*kleiner* als 1/n ist. Folglich kann es keinen kleinsten geben, und damit
auch kein minimales Intervall der Form (0; 1+1/n) mit n element |N.

> Unter den unendlichen Endsegmenten ist das kleinste zwar nicht bekannt,

Es ist nicht existent.

> Der Schnitt ist unabhängig von der Reihenfolge und der Anzahl der Endsegmente.

Unabhaengig von der Reihenfolge, richtig. Wenn SIE aufmerksam gelesen
haetten, hat auch *niemand* ausser vielleicht IHNEN eine "Reihenfolge"
postuliert, im Gegenteil: ausser IHNEN ist nahezu jeder der Meinung,
dass die Schnittbildung eine "atomare Operation" auf der Menge der zu
schneidenden Mengen ist (und Mengen haben "von sich aus" erst einmal
keienrlei Ordnung).

>> > Sind alle unendlich, so auch der Schnitt.
>> ... und deswegen ist diese Schlussfolgerung nonsens. Sie gilt eben nur dann,
>> wenn es auch ein minimales Endsegment gibt, was aber bei unendlich vielen
>> *nicht* der Fall ist.
>>
> Es genügt zu wissen, dass alle unendlich sind. Inklusionsmonotonie!

<seufz/> SIE kommen von IHREM eigenen Unfug nicht los ...

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Juergen Ilse]

Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Für die induktive Menge [der natuerlichen Zahlen] gilt, dass alle ihre Elemente n von Endsegmenten eliminiert werden. Die trotzdem in allen Endsegmenten noch verbleibenden Zahlen sind dunkle.

Da die natuerlichen Zahlen eine minimale induktive Menge sind, koennen
die "dunklen Zahlen" (so es sie denn gaebe) dass sie nicht in einer
minimalen induktiven Menge (den natuerlichen Zahlen) enthalten sein
koennen. Damit haben SIE gerade zugegeben, dass es keine dunklen
natuerlichen Zahlen gibt.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Ganzhinterseher]

Juergen Ilse schrieb am Freitag, 19. November 2021 um 11:13:41 UTC+1:
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> > Für die induktive Menge [der natuerlichen Zahlen] gilt, dass alle ihre Elemente n von Endsegmenten eliminiert werden. Die trotzdem in allen Endsegmenten noch verbleibenden Zahlen sind dunkle.
>
> Da die natuerlichen Zahlen eine minimale induktive Menge sind, koennen
> die "dunklen Zahlen" (so es sie denn gaebe) dass sie nicht in einer
> minimalen induktiven Menge (den natuerlichen Zahlen) enthalten sein
> koennen.

Nein, sie bilden den dunklen, mit Induktion nicht überbrückbaren Raum zwischen ℕ_def und ω. Zu jeder natürlichen Zahl gibt es unendlich viele größere. Diese Aussage ist selbstverständlich im Falle potentieller Unendlichkeit, aber sie ist unsinnig im Falle einer vollständigen Menge, wenn diese linear geordnet ist, denn da impliziert Vollständigkeit eine letzte Zahl. Die gibt es bekanntlich nicht. Vollständigkeit wird aber vorausgesetzt, wenn Endsegmente existieren und in der Kette der Endsegmente sogar alle natürlichen Zahlen verschwinden können. Der einzige Ausweg besteht in dunklen Zahlen, die keine erkennbare Ordnung haben. Das anschaulichste und beste Beispiel ist die Menge der Stammbrüche. Wenn alle da und linear geordnet sind, dann existiert ein letzter (den der Cursor überstreicht, wenn er von 1 nach 0 läuft). Da ein letzter nicht erkennbar ist, muss er zu einer dunklen Menge gehören. Wie jeder erkennbare Stammbruch zeigt, ist diese dunkle Menge aktual unendlich.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Juergen Ilse schrieb am Freitag, 19. November 2021 um 11:08:31 UTC+1:
> Hallo,
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> > Juergen Ilse schrieb am Freitag, 19. November 2021 um 01:44:08 UTC+1:
> >> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> >> > Man kann die Menge dieser Endsegmente bilden (Separationsaxiom). Für sie gilt:
> >> >
> >> > |∩{E(k) : k ∈ ℕ_def}| = ℵ₀ .
> >> >
> >> > Der Schnitt ist das kleinste Endsegmente.
> >> Unter eundlich vielen Endsegmenten gibt es kein "kleinstes" (minimales) ...
> >
> > Unter den Mengen der Brüche der Intervalle (0, 1+1/n) gibt es eine kleinste mit unendlich vielen Brüchen.
> Wenn hier "fuer alle n element |N" gemeint ist, ist das falsch.
> Genauso, wie es keine groesste natuerliche Zahl geben kann (jede natuerliche
> Zahl n hat einen Nachfolger, der selbst wieder eine natuerliche Zahl und
> groesser als n ist), existiert auch kein "kleinster Stammbruch", da es zu
> jedem Stammbruch 1/n noch einen Stammbruch 1/Nachfolger(n) gibt, der
> *kleiner* als 1/n ist. Folglich kann es keinen kleinsten geben, und damit
> auch kein minimales Intervall der Form (0; 1+1/n) mit n element |N.

Hier meinte ich den Grenzfall n --> oo.
Für jede natürliche Zahl, die man angeben kann, ist die Menge der Brüche unendlich und der Schnitt dieser Mengen ebenfalls.

> > Unter den unendlichen Endsegmenten ist das kleinste zwar nicht bekannt,
> Es ist nicht existent.

Der Schnitt unendlicher Endsegmente ist genau so unendlidch wie der Schnitt der obigen Mengen von Brüchen.

> > Der Schnitt ist unabhängig von der Reihenfolge und der Anzahl der Endsegmente.
> Unabhaengig von der Reihenfolge, richtig.

> > Es genügt zu wissen, dass alle unendlich sind. Inklusionsmonotonie!
> <seufz/> SIE kommen von IHREM eigenen Unfug nicht los ...

Warum sollte ich eine grundlegende Wahrheit verleugnen? Alle Endsegmente, die diese Aussage erfüllen

∀k ∈ ℕ: ∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = E(k) /\ |E(k)| = ℵ₀

können nach dem Separationsaxiom zu einer Menge zusammengefasst werden, die nur Endsegmente enthält, die unendlich viele Zahlen nicht eliminieren. Deswegen hat die Menge dieser speziellen Endsegmente den Schnitt

|∩{E(k) : k ∈ ℕ_def}| = ℵ₀ .

Andernfalls wäre der Schnitt von der Anordnung abhängig. Das ist er aber nicht.

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Friday, November 19, 2021 at 12:36:42 PM UTC+1, Ganzhinterseher behauptet:

> |∩{E(k) : k ∈ ℕ_def}| = ℵ₀ .

Unter der Voraussetzung, dass ℕ_def c IN gilt, folgt daraus, dass ℕ_def endlich ist.

[Ganzhinterseher]

Natürlich ist die Menge aller unendlichen Endsegmente endlich, denn es gibt in der natürlichen Ordnung von ℕ nicht zwei konsekutive Mengen der Mächtigkeit ℵ₀. Falls Du das bestreitest, finde einfach die erste Zahl, die in einem unendlichen Endsegment enthalten ist, aber nicht als Index eines der unendlich vielen Endsegmente auftritt.

Die unendliche Menge der Endsegmente lässt keine natürliche Zahl übrig. Alle werden als Indizes verwendet. Also können nicht noch unendlich viele in allen Endsegmenten enthalten sein. Das wäre aber erforderlich, wenn alle unendlich vielen Endsegmente unendliche Mengen wären.

ℕ_def ist endlich, aber nicht fixiert. Das nennet man potentiell unendlich. Sowas gibt es. Die konstruktivistische Mathematik kennt nur das potentiell Unendliche. Die meisten Matheologen sind leider zu verbohrt, um dies anzuerkennen. Ich zeige, wie man beides vereinen kann: ℕ_def ist eine potentiell unendliche Menge.

|ℕ| = oo + ℵ₀.

Gruß, WM

[Jens Kallup]

Hallo,
also in diesem Zusammenhang:
Die Neanderthaler oder waren es die Numeriker, also diese Art
von Menschen, die vor den Griechen, und vor den Römern existierten,
haben ja zum erstenmal Schrifttafeln angefertigt, die sogenannte
Keilschrifft entstand...
Sie kannten, wie die Römer, keine Kommazahlen.
Alles war Eins - oder Zwei - oder Drei ...

und diese Eins, Zwei, Drei sind in |N vorhanden.
sie finden sich auch in |R wieder, mit der Ausnahme, das sich die
reellen Brüche wie 1/2 (einhalb) befinden.

Aber damals hatte man ein (ich sags mal so: Verständnisproblem)
Ihr kennt doch sicherlich diesen Witz oder die Aufgabe mit den drei
Brüdern, die vom Pappa jeweils ein/zwei/drei Kamele erben sollten.
Dem dritten Sohn stand ersteinmal nur 1/2 Kamele zu ...

Aber wie teilt man ein "lebendes" Kamel, das dann durch die Wüste
trabben soll, um Wasser zu Holen, jedoch nur zur Hälfte besteht ?

Also ich kann mir das schwer vorstellen, ein Kamel so einzuteilen,
das es nicht stirbt...

Daher hatte man ja früh damit angefangen:
"Du gibts mir ein Huhn, gegen einen Napf mit 3 Erbsen".

Und genau das sind die Zwischenräume (1/2 ...
mathematisch kann man dies freilich bin ins nicht Endlichen treiben,
aber man sollte auch mal über den Tellerrand sehen, und den Fakt mit
Aufnehmen sollte, das "gradiente" - Also Farbübergänge irgendwann
eine kritische Menge erreichen, an dem dann nichts mehr vorwärts,
sondern rückwärts "überschwappt".

Ok, die Wissenschaften werden vielleicht immer kleinere Atome und
Quarkse fnden - wer weiß, ich bin da ganz zuversichtlich.

aber in der Mathematik gibt es eigentlich kein Endlich - das ist
aber ein anderes Thema.

Jens

[Ganzhinterseher]

kallu...@web.de schrieb am Samstag, 20. November 2021 um 17:01:33 UTC+1:

> Ok, die Wissenschaften werden vielleicht immer kleinere Atome und
> Quarkse fnden - wer weiß, ich bin da ganz zuversichtlich.

Das werden sie nicht. Wenn man alle Materie des Weltalls in ein einziges Photon umwandeln würde, dann wäre dessen Wellenlänge 10^-96 m. Kleiner geht's nicht.

Gruß, WM

[Jens Kallup]

Am 19.11.2021 um 15:05 schrieb Fritz Feldhase:
> Unter der Voraussetzung, dass ℕ_def c IN gilt, folgt daraus, dass ℕ_def endlich ist.

super !!!

[Juergen Ilse]

Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 19. November 2021 um 15:05:21 UTC+1:
>> On Friday, November 19, 2021 at 12:36:42 PM UTC+1, Ganzhinterseher behauptet:
>> > |∩{E(k) : k ∈ ℕ_def}| = ℵ₀ .
>> Unter der Voraussetzung, dass ℕ_def c IN gilt, folgt daraus, dass ℕ_def endlich ist.
>
> Natürlich ist die Menge aller unendlichen Endsegmente endlich,

Unfug. Es mangelt bei IHNEN wwieder einmal an IHRER Unfaehigkeit zu
akzeptieren, dass es *unendlich* *viele* nautuerliche Zahlen gibt,
die (jede fuer sich allein betrachtet) jeweils nur endlich sind.

Das liegt daran, dass keine groesste natuerliche Zahl existiert, denn
der Nachfolger einer natuerlichen Zahl ist einerseits wiederum eine
natuerliche Zahl, andererseits aber auch *groesser* als ihre Vorgaenger.
Und ja, dass gilt fuer *JEDE* natuerliche Zahl. Es folgt aus den Peano-
Axiomen sowie der Kostruktion der "kanonischen Ordnungsrelation" ">"
mittels der "Nachfolger" Funktion der Peano Axiome.

> denn es gibt in der natürlichen Ordnung von ℕ nicht zwei konsekutive Mengen der Mächtigkeit ℵ₀. Falls Du das bestreitest, finde einfach die erste Zahl, die in einem unendlichen Endsegment enthalten ist, aber nicht als Index eines der unendlich vielen Endsegmente auftritt.

Dummes Geschwafel.

> Die unendliche Menge der Endsegmente lässt keine natürliche Zahl übrig. Alle werden als Indizes verwendet. Also können nicht noch unendlich viele in allen Endsegmenten enthalten sein. Das wäre aber erforderlich, wenn alle unendlich vielen Endsegmente unendliche Mengen wären.

Noch mehr dummes Geschwafel. Es gibt zu *JEDER* natuerlichen Zahl n element |N
ein Endsegment der natuerlichen Zahlen, dass n nicht enthaelt. Folglich kann
*keine* natuerliche Zahl im Sch itt *aller* Endsegmente liegen (voellig unab-
haengig von irgendwelchen Unendlichkeitsbetrachtungen)a, auch wenn SIE zu
daemlich zu sein scheinen, um das zu begreifen. SIE sind eben *voellig*
*unfaehig* zum verstehen mathematischerBEweise (geschweige denn selbst
einen korrekten mathematischen Beweis zu fuehren).

> ℕ_def ist endlich, aber nicht fixiert.

Unfug. Es gibtin der modernen (axiomatischen) Mathematik keine "Mengen"
oder "Kollektionen" oder "Klassen", die "endlich aber nicht fixiert"
waeren (also "dynamisch bei Bedarf beliebig anwachsen, ohne ihre Endlich-
keit zu verliereen). Das ist hanebuechener Unsinn, der *niemals* Wider-
spruchsfrei in ein bestehendesAiomensystem integriert werden kann (und
IE werden es auch *niemals*hinbekommen, ein widerspruchsfreies Axxiomen-
system zu formulieren, dass IHRE Whnvorstellungen zulaesst).

> Das nennet man potentiell unendlich.

In der moodernen (axiomatischen) Mathematik existiert kein Bedarf mehr
fuer "potentielle Unendlichkeit". Das war ein Hilfskonstrukt, solange
die axiomatische Mengenlehre und die klare Definition und Vorstellung
von Unedlichkeit fehlte.

> Sowas gibt es.

... nicht.

> Die konstruktivistische Mathematik kennt nur das potentiell Unendliche.

Die ist seit mindestens 100 Jahren ueberholt.

> Die meisten Matheologen sind leider zu verbohrt, um dies anzuerkennen.

Auch in Mathematik undNaturwissenschaften gilt: das bessere ist der Feind
des guten. In der modernen Mathematik koennen SIE sich ihre "potentielle
Unendlichkeit" getrost dorthin steccken, wo die Sonne nicht hinscheint.

> Ich zeige, wie man beides vereinen kann: ℕ_def ist eine potentiell unendliche Menge.

Es gibt keine "potentiell unendliche Mengen". Jede Menge ist bestimmt durch
ihre Elemente. Punkt. Da gibt es kein "dynamisches wachsen" oder "endlich
aber unebschraenkt" oder aehnlichen Unfug. Diesen Quatsch gibt es nur in
IHREN Wahnvorstellungen.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Juergen Ilse]

Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Juergen Ilse schrieb am Freitag, 19. November 2021 um 11:13:41 UTC+1:
>> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
>> > Für die induktive Menge [der natuerlichen Zahlen] gilt, dass alle ihre Elemente n von Endsegmenten eliminiert werden. Die trotzdem in allen Endsegmenten noch verbleibenden Zahlen sind dunkle.
>>
>> Da die natuerlichen Zahlen eine minimale induktive Menge sind, koennen
>> die "dunklen Zahlen" (so es sie denn gaebe) dass sie nicht in einer
>> minimalen induktiven Menge (den natuerlichen Zahlen) enthalten sein
>> koennen.
>
> Nein, sie bilden den dunklen, mit Induktion nicht überbrückbaren Raum zwischen ℕ_def und ω.

Es gibt kweinen solchen "dunklen Raum", und die natuerlichen Zahlen sind
per Definition eine "minimale induktive Menge". Deswegen laesst sich ja
ueberhaupt das Beweisverfahren der vollstaendigen Induktion anwenden:
Man beweist eine Behauptung fuer eine (beliebige) induktive Menge.
Damit hat man gezwigt, dass diese Behauptung auch fuer jede Teilmenge
dieser induktiven Menge gilt, also insbesondere fuer die "minimale
induktivwe Menge", die die natuerlichen Zahlen per Definition sind.

> Zu jeder natürlichen Zahl gibt es unendlich viele größere. Diese Aussage ist selbstverständlich im Falle potentieller Unendlichkeit, aber sie ist unsinnig im Falle einer vollständigen Menge,

Nur weil SIE zu beschraenkt sind, um einen Sachverhalt zu begreifen, heisst
dass noch lange nicht, dass der entsprechende Sachverhalt falsch waere. SIE
ueberschaetzen sich masslos, wenn SIE das wirklich glauben ...

Tsschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Ganzhinterseher]

Juergen Ilse schrieb am Sonntag, 21. November 2021 um 17:34:02 UTC+1:

> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:

> > Die konstruktivistische Mathematik kennt nur das potentiell Unendliche.
> Die ist seit mindestens 100 Jahren ueberholt.

Du bist leider wieder einmal desinformiert.

> > Die meisten Matheologen sind leider zu verbohrt, um dies anzuerkennen.

> Auch in Mathematik und Naturwissenschaften gilt: das bessere ist der Feind
> des guten.

Deswegen ...

From his point of view, classical mathematics is a jumble of myth and reality. He prefers to do without the myth. From his point of view, it is classical mathematics that appears as an aberration; constructivism is just the refusal to participate in the acceptance of a myth. [P.J. Davis, R. Hersh, E.A. Marchisotto: "The mathematical experience", Birkhäuser, Boston (1995) p. 416]

It is first argued that the reasons for being skeptical towards actual infinity are so strong that mathematics should not be based on it; it is much more unclear what is in the "Cantorian paradise" than normally assumed, and supertasks (including a new one presented here) imply absurd consequences of actual infinity. Instead we will have to make do with mental constructions and potential infinity. [C.S. Hansen: "Constructivism without verificationism", Doctoral Thesis, University of Aberdeen (2014) p. V]

Can an investigation of the foundations of mathematics tell us something about thinking? I am of the opinion – and I share this opinion with the other so-called "constructivists" among the mathematicians – that the science of pure mathematics in the last part of the 19th century has been caught in a certain intellectual trap Gabriel Stolzenberg: "Kann die Untersuchung der Grundlagen der Mathematik uns etwas über das Denken sagen?" in P. Watzlawick (ed.): "Die erfundene Wirklichkeit. Wie wissen wir, was wir zu wissen glauben?", Piper, München (1985)]

A constructivist version of a mathematical theory is adequate for all the applications to be made of the theory within natural science: [N. Tennant: "Logic, mathematics, and the natural sciences", ResearchGate (2007)]

The constructivistic foundational critic has found the following faults: First it is not allowed to start with the assumption that the collection of real numbers is a set. [...] This contradiction sheds as much doubt on the assumption of the existence of the set of all binary sequences as on the assumption of their countability. [C. Thiel: "Philosophie und Mathematik", Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt (1995) p. 197f]

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Juergen Ilse schrieb am Sonntag, 21. November 2021 um 17:42:07 UTC+1:

> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:

> > Nein, sie bilden den dunklen, mit Induktion nicht überbrückbaren Raum zwischen ℕ_def und ω.
> Es gibt kweinen solchen "dunklen Raum", und die natuerlichen Zahlen sind
> per Definition eine "minimale induktive Menge".

Jede natürliche Zahl hat einen unendlichen Abstand von ω.

> Deswegen laesst sich ja
> ueberhaupt das Beweisverfahren der vollstaendigen Induktion anwenden:
> Man beweist eine Behauptung fuer eine (beliebige) induktive Menge.
> Damit hat man gezwigt, dass diese Behauptung auch fuer jede Teilmenge
> dieser induktiven Menge gilt, also insbesondere fuer die "minimale
> induktivwe Menge", die die natuerlichen Zahlen per Definition sind.

Die definierbaren natürlichen Zahlen. Aber jede hat den Abstand ℵo zu ω. Wären ℵo definierbare Zahl vorhanden, so gäbe es zwei konsekutive unendlich ℵo Mengen in ℕ. Das ist ausgeschlossen.

Gruß, WM

[JVR]

Zweiter Versuch:
Ich erlaube mir, nachzufragen, wie der geleerte Herr Professor den Begriff 'Abstand' zu definieren geruht.
In der Mathematik gibt es die Begriffe 'Norm' und die 'Metrik', deren Eigenschaften - Dreiecksungleichung usw -
Ihnen vielleicht sogar bekannt sind.
Welche Eigenschaften schreiben Sie dem mückmeatischen Begriff 'Abstand' zu?

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Montag, 22. November 2021 um 13:58:50 UTC+1:
> On Monday, November 22, 2021 at 10:35:20 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> > Die definierbaren natürlichen Zahlen. Aber jede hat den Abstand ℵo zu ω. Wären ℵo definierbare Zahl vorhanden, so gäbe es zwei konsekutive unendlich ℵo Mengen in ℕ. Das ist ausgeschlossen.

> Zweiter Versuch:
> Ich erlaube mir, nachzufragen, wie der geleerte Herr Professor den Begriff 'Abstand' zu definieren geruht.

Ich habe es bereits beantwortet. Aber gern noch einmal: Der Abstand zwischen der natürlichen Zahl n und ω ist die Anzahl der Elemente des Endsegmentes (genau genommen ohne die Zahl selbst). Für jedes definierbare n ist er, wie schon Cantor wusste, ℵo.

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Monday, November 22, 2021 at 3:03:53 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> Ich habe es bereits beantwortet. Aber gern noch einmal: Der Abstand zwischen der natürlichen Zahl n und ω ist die Anzahl der Elemente des Endsegmentes (genau genommen ohne die Zahl selbst). Für jedes definierbare n ist er, wie schon Cantor wusste, ℵo.

Wie kommt man darauf in der Mückenmatik?

Für n = 1 ist card({m e IN : m >= n}) = card(E(1)) = card(IN) = aleph_0.

Wie aber kommt man in der Mückenmatik zu den Aussagen

card(E(2)) = aleph_0 (für n = 2)
card(E(3)) = aleph_0 (für n = 3)
usw.?

In der Mathematik zeigt man das so, dass es Bijektionen zwischen IN und E(2), zwischen IN und E(3), usw. gibt.

In der Mückenmatik ist das ja bekanntlich ausgeschlossen.

Wieso also behauptest Du dann, dass card(E(2)) = card(E(3)) = ... = aleph_0 gilt?

Ja, sicher: CANTOR wusste das. Du aber bist nachweislich zu blöde dafür.

[Ralf Bader]

On 11/21/2021 05:34 PM, Juergen Ilse wrote:

>> Die konstruktivistische Mathematik kennt nur das potentiell
>> Unendliche.
>
> Die ist seit mindestens 100 Jahren ueberholt.

Du verzapfst Blödsinn.

[Klaus Pommerening]

Ganzhinterseher kommt aus Versehen zur Vernunft:
> ... Der Abstand zwischen der natürlichen Zahl n und ω ist

> die Anzahl der Elemente des Endsegmentes (genau genommen > ohne die Zahl selbst). Für jedes definierbare n ist er,> wie schon
Cantor wusste, ℵo.

Und damit hast du bewiesen, dass es zwischen je zwei beliebigen
Endsegmenten eine bijektive Abbildung gibt. Und auch zwischen
einem beliebigen Endsegment und der Menge der natürlichen Zahlen.

Bravo! Weiter so!
--
Klaus Pommerening
Es gibt kein CoViD-19! Reißt den Simulanten die Beatmungsschläuche aus
dem verlogenen Hals!!

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Montag, 22. November 2021 um 16:17:33 UTC+1:
> On Monday, November 22, 2021 at 3:03:53 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
>
> > Ich habe es bereits beantwortet. Aber gern noch einmal: Der Abstand zwischen der natürlichen Zahl n und ω ist die Anzahl der Elemente des Endsegmentes (genau genommen ohne die Zahl selbst). Für jedes definierbare n ist er, wie schon Cantor wusste, ℵo.

> Wie aber kommt man zu den Aussagen

>
> card(E(2)) = aleph_0 (für n = 2)
> card(E(3)) = aleph_0 (für n = 3)
> usw.?
>
> In der Mathematik zeigt man das so, dass es Bijektionen zwischen IN und E(2), zwischen IN und E(3), usw. gibt.
>

> Wieso also behauptest Du dann, dass card(E(2)) = card(E(3)) = ... = aleph_0 gilt?

Endlich einmal eine konstruktive Frage.

Ich benutze ℵo als Symbol für die elastische Unendlichkeit, quasi als Variable. Es ist die aktuale Unendlichkeit, der ein paar Elemente fehlen. Natürlich könnte man auch
|E(1)| = |ℕ|, |E(2)| = |ℕ| -1, |E(3)| = |ℕ| -2 schreiben. Aber die in allen unendlichen Endsegmenten noch enthaltenen Zahlen kann man nur mit ℵo angeben, weil die Anzahl der definierbaren Endsegmente nicht fest ist, sondern nur mit oo bezeichnet werden kann:
|ℕ| = oo + ℵo.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Klaus Pommerening schrieb am Montag, 22. November 2021 um 21:15:30 UTC+1:
> Ganzhinterseher kommt aus Versehen zur Vernunft:
> > ... Der Abstand zwischen der natürlichen Zahl n und ω ist
> > die Anzahl der Elemente des Endsegmentes (genau genommen > ohne die Zahl selbst). Für jedes definierbare n ist er,> wie schon
> Cantor wusste, ℵo.
> Und damit hast du bewiesen, dass es zwischen je zwei beliebigen
> Endsegmenten eine bijektive Abbildung gibt.

Nein, eine solche Abbildung kann es nicht geben, denn jedes abgebildete Element hat ℵo Nachfolger. Ich benutze ℵo als Symbol für die elastische aktuale Unendlichkeit. In einer Abbildung werden oo Zahlen abgebildet, aber ℵo bleiben übrig. Es ist die aktuale Unendlichkeit, der ein paar Elemente fehlen. Natürlich könnte man auch

[Juergen Ilse]

Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Endlich einmal eine konstruktive Frage.
>
> Ich benutze ℵo als Symbol für die elastische Unendlichkeit, quasi als Variable. Es ist die aktuale Unendlichkeit, der ein paar Elemente fehlen. Natürlich könnte man auch
> |E(1)| = |ℕ|, |E(2)| = |ℕ| -1, |E(3)| = |ℕ| -2 schreiben. Aber die in allen unendlichen Endsegmenten noch enthaltenen Zahlen kann man nur mit ℵo angeben, weil die Anzahl der definierbaren Endsegmente nicht fest ist, sondern nur mit oo bezeichnet werden kann:
> |ℕ| = oo + ℵo.

IHRE "elastische Unendlichkeit" ist genauso ein hanebuechener Unfug wie
IHRE dunklen Zahlen.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Fritz Feldhase]

On Tuesday, November 23, 2021 at 12:28:34 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Montag, 22. November 2021 um 16:17:33 UTC+1:
> > On Monday, November 22, 2021 at 3:03:53 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > >

> > > [...] Der Abstand zwischen der natürlichen Zahl n und ω ist die Anzahl der Elemente des Endsegmentes (genau

> > > genommen ohne die Zahl selbst). Für jedes definierbare n ist er, wie schon Cantor wusste, ℵo.
> > >

> > Wie kommt man darauf in der Mückenmatik?
> >
> > Für n = 1 ist card({m e IN : m >= n}) = card(E(1)) = card(IN) = aleph_0.
> >

> > Wie aber kommt man in der Mückenmatik zu den Aussagen (*)

> >
> > card(E(2)) = aleph_0 (für n = 2)
> > card(E(3)) = aleph_0 (für n = 3)
> > usw.?
> >

> > In der Mathematik zeigt man dazu, dass es Bijektionen zwischen IN und E(2), zwischen IN und E(3), usw. gibt.
> >
> > In der Mückenmatik ist das nicht möglich, da dort derartige Bijektionen ja bekanntlich ausgeschlossen sind.

> >
> > Wieso also behauptest Du dann, dass card(E(2)) = card(E(3)) = ... = aleph_0 gilt?
> >
> Endlich einmal eine konstruktive Frage.

Ja, toll. Gibt es auch eine Antwort auf diese Frage?

> Ich benutze ℵo als Symbol für <blubber>

Ich habe Sie nicht danach gefragt, wofür Sie das Symbol ℵo _benutzen_, sondern danach, wie man in der Mückenmatik auf die Aussagen card(E(2)) = aleph_0, card(E(3)) = aleph_0, etc. kommt.

> Natürlich könnte man auch |E(1)| = |ℕ|, |E(2)| = |ℕ| - 1, |E(3)| = |ℕ| - 2 schreiben.

DANACH habe ich aber nicht gefragt.

Hinweis: Warum die Aussagen (*) im Kontext der Mathematik/Mengenlehre gelten, weiß ich. Die Frage war, wie sie im Kontext der Mückenmatik begründet werden können.

[JVR]

Du bist doch nicht neu hier. In der Mückmeatik gibt es nur Behauptumgen und keine Axiome, Definitionen und Begründungen.
Aber bald kommt der Weihnachtsmann. Dann ist es Zeit für Mückenheims Fehlüberlegungen zum Binären Baum, die Version mit Lametta.
Freut Euch, Oh Mückenheit.

[Ganzhinterseher]

Juergen Ilse schrieb am Dienstag, 23. November 2021 um 23:52:32 UTC+1:

> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:

> > |E(1)| = |ℕ|, |E(2)| = |ℕ| -1, |E(3)| = |ℕ| -2 schreiben. Aber die in allen unendlichen Endsegmenten noch enthaltenen Zahlen kann man nur mit ℵo angeben, weil die Anzahl der definierbaren Endsegmente nicht fest ist, sondern nur mit oo bezeichnet werden kann:
> > |ℕ| = oo + ℵo.
> IHRE "elastische Unendlichkeit" ist genauso ein hanebuechener Unfug

ℵo = |ℕ| = |Q| stammt nicht von mir und lässt wohl bezüglich Elastizität keine Wünsche offen.

> wie
> IHRE dunklen Zahlen.

Alle definierbaren Zahlen haben eine unendlichen Abstand von ω, ℕ hat aber keinen Abstand von ω. Das zeigt, dass ℕ undefinierbare Zahlen enthält.

Gruß, WM

[JVR]

Das ist wie wenn der Weihnachtsmann nur pechschwarze Kohle - und natürlich eine Rute - im Sack hat. Weil
eben der Weihnachtsmann niemals mit einem leeren Sack kommen kann.

[Transfinity]

Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 24. November 2021 um 04:27:26 UTC+1:
> On Tuesday, November 23, 2021 at 12:28:34 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> > > Wieso also behauptest Du dann, dass card(E(2)) = card(E(3)) = ... = aleph_0 gilt?
> > >
> > Endlich einmal eine konstruktive Frage.
> Ja, toll. Gibt es auch eine Antwort auf diese Frage?
>

> > Ich benutze ℵo als Symbol für die elastische Unendlichkeit, quasi als Variable.
>

> Ich habe Sie nicht danach gefragt, wofür Sie das Symbol ℵo _benutzen_, sondern danach, wie man auf die Aussagen card(E(2)) = aleph_0, card(E(3)) = aleph_0, etc. kommt.

Jede aktual unendlich Menge besitzt per Definition ℵo Elemente. Deswegen kann man ℵo für alle Zahlen wie |ℕ|, |ℕ| -1, |Q| usw. einsetzen. Das ist insbesondere dann sehr nützlich, wenn man über die Zahl nichts Genaueres weiß. Man darf auch schreiben ℵo = oo + ℵo. Also ℵo heißt bei mir einfach aktual unendlich. Die Null könnte man auch weglassen, aber das hat sich in den letzten 100 Jahren so eingespielt und zeigt überdies an, dass keine größeren Unendlichkeiten vorkommen.

Gruß, WM

[Andreas Leitgeb]

Transfinity <transf...@gmail.com> wrote:
> Jede aktual unendlich Menge besitzt per Definition ℵo Elemente.

Wer sollte das so definiert haben?

Die Anhänger der Mengenlehre a la ZF sicher nicht, denn die wissen,
dass es auch Mengen mit einer Mächtigkeit größer als ℵ₀ gibt. So ist
etwa (zumindest unter Mathematikern) bekannt, dass: |ℝ| = ℵ₁ > ℵ₀.
Und du selber zweifelst ja die Existenz "aktual unendlicher Mengen"
an, wirst also wohl kaum Definitionen in diesem Bereich der Mathematik
machen... wo doch Definitionen ohnehin nicht so dein Ding sind.

Wem also schiebst du diesen obigen Unsinn diesmal in die Schuhe?

[Fritz Feldhase]

On Wednesday, November 24, 2021 at 12:28:36 PM UTC+1, Transfinity wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 24. November 2021 um 04:27:26 UTC+1:
> >
> > Ich habe Sie nicht danach gefragt, wofür Sie das Symbol ℵo _benutzen_, sondern danach, wie man auf die Aussagen card(E(2)) = aleph_0, card(E(3)) = aleph_0, etc. kommt.
> >

> Jede [...] unendlich Menge besitzt per Definition ℵo Elemente.

Ist das ein mückenmatisches Dogma?

Also im Kontext der Mathematik/Mengenlehre ist das nicht so.

> Deswegen kann man ℵo für alle Zahlen wie |ℕ|, |ℕ| -1, |Q| usw. einsetzen.

Wie bestimmt man in der Mückenmatik die "Zahlen" |ℕ|, |ℕ| -1, |Q|, etc?

Ist das auch einfach per Dogma so: |ℕ| = |ℕ| -1 = |Q| = ... = ℵo.

Also im Sinne eines Glaubensbekenntnisses?

> Das ist insbesondere dann sehr nützlich, wenn man über die Zahl nichts Genaueres weiß.

Zweifelsohne. Statt "Unsicherheit" Gewissheit. Das ist das Schöne an dogmatischen Glaubenssystemen!

> Man darf auch schreiben ℵo = oo + ℵo.

Und zweifellos auch wieder aus dem oben genannten Grund. :-)

Wenn der Prophet der Mückenmatik das _sagt_, dann *ist* das so! :-)

> ℵo heißt bei mir [also in der Mückenmatik] einfach aktual unendlich.

Wie lässt sich das aber mit dem Umstand vereinbaren, dass sie die Existenz unendlicher Mengen verneinen?

Mehr noch:

On Wednesday, November 24, 2021 at 9:46:36 AM UTC+1, WM wrote:
> William schrieb am Dienstag, 23. November 2021 um 18:18:46 UTC+1:
> >
> > The [...] set of natural numbers
> >
> is not actually infinite. It does not contain ℵo elements.

Wir wollen hier einmal festhalten, dass das in DIREKTEM Widerspruch steht zu ihrer Behauptung hier:

> Jede [...] unendlich Menge besitzt per Definition ℵo Elemente. Deswegen kann man ℵo für [...] Zahlen wie |ℕ| [...] einsetzen.
> ℵo heißt bei mir [also in der Mückenmatik] einfach aktual unendlich.

Mithin besagt also die Aussage |IN| = ℵo, dass IN "aktuall" unendlich viele, bzw. ℵo Elemente enthält.

Entweder haben wir Sie also wieder einmal beim Lügen ertappt, oder Sie wissen einfach nicht mehr, was sie im Laufe eines Tages alles so daherfabulieren.

> Die Null <usw.>

Ja, ja, irgend so was.

Mückenheim, Sie labern nur noch wirre Scheiße daher.

[Ganzhinterseher]

Andreas Leitgeb schrieb am Mittwoch, 24. November 2021 um 20:06:40 UTC+1:
> Transfinity <transf...@gmail.com> wrote:
> > Jede aktual unendlich Menge besitzt per Definition ℵo Elemente.
> Wer sollte das so definiert haben?

Cantor hat es für abzählbare Mengen definiert, und inzwischen wurde bewiesen, dass es andere unendliche Mengen nicht gibt (und die Abzählung auch versagt).

>
> Die Anhänger der Mengenlehre a la ZF sicher nicht, denn die wissen,
> dass es auch Mengen mit einer Mächtigkeit größer als ℵ₀ gibt.

Sie können das nicht wissen, sondern es allenfalls fälschlicherweise immer noch glauben.

> So ist
> etwa (zumindest unter Mathematikern) bekannt, dass: |ℝ| = ℵ₁ > ℵ₀.

Inzwischen ist Mathematikern bekannt, dass dunkle Zahlen existieren, die nicht in Abbildungen oder Abzählungen vulgo Cantor-Listen verwendbar sind.

Matheologen behaupten zwar immer noch, die für alle definierbaren Zahlen n richtige Aussage |ω - n| = ℵo würde keine unendliche Menge undefinierbarer Zahlen zwischen allen n und ω beweisen, aber das ist falsch. Wenn niemand eine natürliche Zahl n mit |ω - n| < ℵo angeben kann, dann sind diese unendlich vielen Zahlen eben nicht angebbar und damit das, was ich dunkel nenne.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Donnerstag, 25. November 2021 um 02:28:57 UTC+1:
> On Wednesday, November 24, 2021 at 12:28:36 PM UTC+1, Transfinity wrote:
> > Fritz Feldhase schrieb am Mittwoch, 24. November 2021 um 04:27:26 UTC+1:
> > >

> > Jede [...] unendlich Menge besitzt per Definition ℵo Elemente.
>

> Also im Kontext der Mathematik/Mengenlehre ist das nicht so.

Die früheren Vorstellungen sind überholt.

> > Deswegen kann man ℵo für alle Zahlen wie |ℕ|, |ℕ| -1, |Q| usw. einsetzen.

> Wie bestimmt man die "Zahlen" |ℕ|, |ℕ| -1, |Q|, etc?

>
> Ist das auch einfach per Dogma so: |ℕ| = |ℕ| -1 = |Q| = ... = ℵo.

Ja.

>
> Also im Sinne eines Glaubensbekenntnisses?

Mehr oder weniger, ja.

> > Das ist insbesondere dann sehr nützlich, wenn man über die Zahl nichts Genaueres weiß.

> > Man darf auch schreiben ℵo = oo + ℵo.
> Und zweifellos auch wieder aus dem oben genannten Grund. :-)
>

> Wenn der Prophet das _sagt_, dann *ist* das so! :-)

Die Benennung stammt von Cantor.
>
> > ℵo heißt bei mir einfach aktual unendlich.

>
> Wie lässt sich das aber mit dem Umstand vereinbaren, dass sie die Existenz unendlicher Mengen verneinen?

Ich habe sie verneint, als ich noch nicht wusste, wie man sie mit mathematischen Grundsätzen vereinbaren kann. Im übrigen ist es tatsächlich mehr oder weniger Glaubenssache.
>
> Mehr noch:
>
> > > The Peano set of natural numbers does not contain "dark" elements.

> > >
> > is not actually infinite. It does not contain ℵo elements.

Hier ging es um definierbare Zahlen.

>
> Wir wollen hier einmal festhalten, dass das in DIREKTEM Widerspruch steht zu ihrer Behauptung hier:

Nein, das von Dir veränderte Zitat erschien so. Es war bewusst gekürzt, so wie die Emser Depesche.

Gruß, WM

[JVR]

On Thursday, November 25, 2021 at 12:14:01 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> > Wir wollen hier einmal festhalten, dass das in DIREKTEM Widerspruch steht zu ihrer Behauptung hier:
> Nein, das von Dir veränderte Zitat erschien so. Es war bewusst gekürzt, so wie die Emser Depesche.
>
> Gruß, WM

Jetzt ist die letzte Sicherung durchgebrannt: Jetzt meint er schon, er sei der Kaiser Wilhelm.
In der Augsburger 'University of Whatever' ist es ja schlimmer als in Dürrenmatts Irrenhaus!

[Juergen Ilse]

Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Andreas Leitgeb schrieb am Mittwoch, 24. November 2021 um 20:06:40 UTC+1:
>> Transfinity <transf...@gmail.com> wrote:
>> > Jede aktual unendlich Menge besitzt per Definition ℵo Elemente.
>> Wer sollte das so definiert haben?
>
> Cantor hat es für abzählbare Mengen definiert,

Nein. Cantor nannte Mengen, die gleichmaechtig zur Menge der natuerlichen
Zahlen sind, "abzaehlbar unendlich". Die Maechtigkeit (Kardinalzahl) von
abzaehlbar unendlichen Mengen wurde die Bezeichnung "aleph0" gegeben.

Cantor hat darueber hinaus bewiesen, dass die Menge der rationalen Zahlen
und die Menge der natuerlichen Zahlen gleichmaechtig sind (dass also auch
die Menge der rationalen Zahlen "abzaehlbar unendlich" ist). Und er hat
hezeigt, dass das fuer die Menge der reellen Zahlen nicht gilt (es laessst
sich auch trivial zeigen, dass die Potenzmenge einer abzaehlbar unendlichen
Menge *nicht* abzaehlbar unendlich ist sondern eine *groessere* Maechtig-
keit besitzt. Also selbst, wenn man Cantors zweites Diagonalargument nicht
akzeptieren wuerde, ist das "Potenzmengenargument" ein Beweis, dass es
ueberabzaehlbare Mengen gibt (z.B. die Potenzmenge der natuerlichen Zahlen).

> Inzwischen ist Mathematikern bekannt, dass dunkle Zahlen existieren, die nicht in Abbildungen oder Abzählungen vulgo Cantor-Listen verwendbar sind.

Davon sind nur "Mueckematiker" ueberzeugt, und ich weiss bis heute nicht,
ob es davon mehr als den einen gibt, der hier immer seinen Unfug verklappt ...

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Fritz Feldhase]

On Thursday, November 25, 2021 at 12:14:01 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> Hier ging es um definierbare Zahlen.

Ein "Konzept", das überflüssig ist, wie ein Kropf. Man kann es auch einfach als Unsinn bezeichnen.

Wenn wir Aussagen treffen wie

An e IN: n + n = 2*n ,

dann wird damit ausgesagt, dass n + n = 2*n FÜR ALLE natürlichen Zahlen n gilt, nicht nur für getüpfelte oder gezwirbelte oder mückenfizierte.

DIESE ART von Aussagen können in der Mathematik bewiesen werden - auch wenn Sie offenbar zu blöde sind, das zu kapieren.

Man kann z. B. auch beweisen, dass

An e IN: n !e SCHNITT {E(n) : n e IN}

gilt. Und nein, dabei geht es nicht nur um alle getüpfelten oder gezwirbelten oder mückenfizierten natürliche Zahlen, sondern um ALLE natürlichen Zahlen.

Die Aussage ist äquivalent zur Aussage

~En e IN: n e SCHNITT {E(n) : n e IN}
"Es gibt keine natürliche Zahl, die in der Menge SCHNITT {E(n) : n e IN} als Element enthalten ist."

bzw. (wegen SCHNITT {E(n) : n e IN} c IN) mit

SCHNITT {E(n) : n e IN} = {}
"Die Menge SCHNITT {E(n) : n e IN} ist leer."

NIEMAND interessiert sich dabei auch nur im Geringsten für getüpfelte oder gezwirbelte, mückenfizierte oder "definierbare" natürliche Zahlen.

-----------------------------------------------

In der besagten Diskussion in sci.math ging es genau um die Menge IN - also die Menge aller natürlichen Zahlen - und nichts anderes. Jemand sagte dort:

| The [...] set of natural numbers does not contain "dark" elements.

Worauf Du nur blöde zu antworten wusstes:

WM> It is not actually infinite. It does not contain ℵo elements.

Nein, Mückenheim, die Menge IN ist in der Mathematik unendlich und die ihr zukommende Kardinalzahl ist gleich aleph_0. Wenn man also "aleph_0" zur Angabe der "Anzahl der Elemente" einer abzählbar unendlichen Menge verwenden will, dann kann man wohl sagen, dass IN "aleph_0 Elemente enthält".

-----------------------------------------------

Sie quasseln wirklich meistens nur saudummen Scheißdreck daher, Mückenheim.

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Donnerstag, 25. November 2021 um 14:27:44 UTC+1:
> On Thursday, November 25, 2021 at 12:14:01 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
>
> > > Wir wollen hier einmal festhalten, dass das in DIREKTEM Widerspruch steht zu ihrer Behauptung hier:
> > Nein, das von Dir veränderte Zitat erschien so. Es war bewusst gekürzt, so wie die Emser Depesche.
> >

> > Jetzt meint er schon, er sei der Kaiser Wilhelm.

Ich habe lediglich die direkte Bezeichnung Lüge vermeiden wollen. Natürlich liegt es mir fern, Franz Fritsche in den intellektuellen Rang eines Bismarck zu erheben.
Die Depesche wurde übrigens nicht vom (damaligen König) Wilhelm, sondern von einem Mitarbeiter Bismarcks geschrieben. Du solltest Deine Allgemeinbildung etwas verbessern bevor Du Dich zu solchen Themen äußerst.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Juergen Ilse schrieb am Donnerstag, 25. November 2021 um 18:00:50 UTC+1:
> Hallo,
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> > Andreas Leitgeb schrieb am Mittwoch, 24. November 2021 um 20:06:40 UTC+1:
> >> Transfinity <transf...@gmail.com> wrote:
> >> > Jede aktual unendlich Menge besitzt per Definition ℵo Elemente.
> >> Wer sollte das so definiert haben?
> >
> > Cantor hat es für abzählbare Mengen definiert,

> Cantor hat darueber hinaus bewiesen, dass die Menge der rationalen Zahlen
> und die Menge der natuerlichen Zahlen gleichmaechtig sind (dass also auch
> die Menge der rationalen Zahlen "abzaehlbar unendlich" ist).

Das wird immer noch von ein paar denkfaulen oder denkunfähigen Mathematikern geglaubt. Es ist inzwischen als falsch nachgewiesen, da dunkle Zahlen existieren, die nicht in Abbildungen oder Abzählungen vulgo Cantor-Listen verwendbar sind.

Matheologen behaupten zwar immer noch, die für alle definierbaren Zahlen n richtige Aussage |ω - n| = ℵo würde keine unendliche Menge undefinierbarer Zahlen zwischen allen n und ω beweisen, aber das ist falsch. Da niemand eine natürliche Zahl n mit |ω - n| < ℵo angeben kann, sind diese unendlich vielen Zahlen eben nicht angebbar und damit das, was ich dunkel nenne.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 26. November 2021 um 00:42:42 UTC+1:
> On Thursday, November 25, 2021 at 12:14:01 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > Hier ging es um definierbare Zahlen.
> Ein "Konzept", das überflüssig ist, wie ein Kropf. Man kann es auch einfach als Unsinn bezeichnen.
>

> DIESE ART von Aussagen können in der Mathematik bewiesen werden

> "Es gibt keine natürliche Zahl, die in der Menge SCHNITT {E(n) : n e IN} als Element enthalten ist."

Trotzdem enthält jedes Endsegment unendlich viele natürliche Zahlen. Da sie im Schnitt nicht auftauchen, sind sie offenbar dunkel.

>
> In der besagten Diskussion in sci.math ging es genau um die Menge IN - also die Menge aller natürlichen Zahlen - und nichts anderes. Jemand sagte dort:
>
> | The [...] set of natural numbers does not contain "dark" elements.
>

> Du lügst also schon wieder! Die Aussage war:

The Peano set of natural numbers does not contain "dark" elements.

>
> WM> It is not actually infinite. It does not contain ℵo elements.
>
> Nein,

Doch! Bis zu jeder nach Peano definierbaren Zahl ist die Menge endlich, worauf aleph_0 dunkle Zahlen folgen.

> die Menge IN ist in der Mathematik unendlich und die ihr zukommende Kardinalzahl ist gleich aleph_0.

Ja, aber eben nicht die Menge der nach Peano definierbaren Zahlen.

Inzwischen ist Mathematikern bekannt, dass dunkle Zahlen existieren, die nicht in Abbildungen oder Abzählungen vulgo Cantor-Listen verwendbar sind.

Matheologen behaupten zwar immer noch, die für alle definierbaren Zahlen n richtige Aussage |ω - n| = ℵo würde keine unendliche Menge undefinierbarer Zahlen zwischen allen n und ω beweisen, aber das ist falsch. Wenn niemand eine natürliche Zahl n mit |ω - n| < ℵo angeben kann, dann sind diese unendlich vielen Zahlen eben nicht angebbar und damit das, was ich dunkel nenne.

> Wenn man also "aleph_0" zur Angabe der "Anzahl der Elemente" einer abzählbar unendlichen Menge verwenden will, dann kann man wohl sagen, dass IN "aleph_0 Elemente enthält".

Ja. Man kann die Anzahl sogar genauer angeben, nämlich mit |ℕ|. ℵo bezeichnet dagegen die Anzahl der Elemente jeder unendlichen Menge.

Gruß, WM

[JVR]

Ach Mückelein, armes Schwein, heutzutage kann jedermann solches Zeugs im Internet nachlesen. Die 'Emser Depesche' ist ein an Bismarck
gerichtetes Telegramm des Königs. Bismarcks Mitteilung an die Presse war eine Umformulierung des Inhalts; die kam nicht aus Ems und war auch keine
Depesche, wird aber manchmal ebenfalls als 'Emser Depesche' bezeichnet.

Jedenfalls sind Sie der König der mathematischen Usenet-Spinner. Keiner hat über längere Zeit mehr Unsinn gepostet. Sie haben vermutlich
sogar James Harris und Atomicus überholt. Eine beachtliche Leistung.

[Fritz Feldhase]

On Friday, November 26, 2021 at 8:49:19 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 26. November 2021 um 00:42:42 UTC+1:
> >

> > Das folgende kann in der Mathematik BEWIESEN werden:

> >
> > "Es gibt keine natürliche Zahl, die in der Menge SCHNITT {E(n) : n e IN} als Element enthalten ist."
> >
> Trotzdem enthält jedes Endsegment unendlich viele natürliche Zahlen.

Ja, ja. Trotzdem ist der Himmel (manchmal) blau. Und trotzdem ist x^2 >= 0 für alle x e IR.

> > Da sie im Schnitt nicht auftauchen [...]

...muss es für JEDE natürliche Zahl n eine Endsegment E(m) (mit m e IN) geben, so dass n !e E(m) ist. Und das IST AUCH so, denn für JEDE natürliche Zahl n gilt, dass n !e E(n+1) ist. Mit anderen Worten, KEINE natürliche Zahl ist in ALLEN Endsegmenten (als Element) enthalten. AUS DIESEM GRUND ist auch KEINE natürliche Zahl in der SCHNITTMENGE über alle Endsegmente enthalten.

Wie schwer kann es sein, diesen TRIVIALEN mengentheoretischen Sachverhalt zu verstehen?

> > In der besagten Diskussion in sci.math ging es genau um die Menge IN - also die Menge aller natürlichen Zahlen - und nichts anderes. Jemand sagte dort:
> >
> > | The [...] set of natural numbers does not contain "dark" elements.

Dass IN (die Menge aller natürlichen Zahlen) eine "Peano-Menge" ist, in dem Sinne, dass <IN, s, 0> ein Peano-Struktur ist, ist SELBSTVERSTÄNDLICH klar.

Jedenfalls fällt Dir nichts besseres dazu ein, als blöde

| It ["the set of natural numbers, IN --FF] is not actually infinite. It does not contain ℵo elements.

zu blöken.

Und nein, das ist natürlich wieder einmal saudummer Scheißdreck, den Sie da daher labern, Mückenheim.

| IN ist eine unendliche Menge und es gilt card(IN) = aleph_0.

Mit anderen Worten,

> > die Menge IN ist in der Mathematik unendlich und die ihr zukommende Kardinalzahl ist gleich aleph_0.
> >

> Ja, aber <blubber>

Nein, KEIN ABER.

Manche Leute sind einfach selbst zum Scheißen zu blöde, Mückenheim.

Hinweis: Die Peano-Axiome beziehen sich auf die Menge IN der natürlichen Zahlen.

Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axiome#Urspr%C3%BCngliche_Formalisierung

IN DIESER FORM können sie als Sätze im Kontext der Mengenlehre (ZFC) bewiesen werden. (Wobei IN in diesem Fall üblicherweise nach von Neumann definiert ist und n' := n u {n} sowie 0 := {} ist.)

> > Wenn man also "aleph_0" als Bezeichnung für die "Anzahl der Elemente" einer abzählbar unendlichen Menge verwenden will, dann kann man wohl sagen, dass IN "aleph_0 Elemente enthält".

In Zeichen: card(IN) = aleph_0.

> ℵo bezeichnet [...] die Anzahl der Elemente jeder unendlichen Menge.

Nö. Jedenfalls nicht in der Mathematik.

Hinweis: card(IR) =/= aleph_0.

Ihr Mückenscheißdreck interessiert hier niemanden, außer allenfalls Rainer R.

EOD

(Da Sie bekanntermaßen zu blöde sind, Richtigstellungen als solche zu begreifen.)

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 26. November 2021 um 11:19:09 UTC+1:
> On Friday, November 26, 2021 at 8:49:19 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> > Trotzdem enthält jedes Endsegment unendlich viele natürliche Zahlen.

> > > Da sie im Schnitt nicht auftauchen [...]
>
> ...muss es für JEDE natürliche Zahl n eine Endsegment E(m) (mit m e IN) geben, so dass n !e E(m) ist. Und das IST AUCH so, denn für JEDE natürliche Zahl n gilt, dass n !e E(n+1) ist. Mit anderen Worten, KEINE natürliche Zahl ist in ALLEN Endsegmenten (als Element) enthalten.

Das behauptet auch niemand.

> AUS DIESEM GRUND ist auch KEINE natürliche Zahl in der SCHNITTMENGE über alle Endsegmente enthalten.

Das behauptet auch niemand.

In allen *unendlichen* Endsegmenten sind aber unendlich viele Zahlen, und zwar mit vernachlässigbaren Ausnahmen in allen dieselben, da im Laufe der Folge (E(n)) keine hinzukommen.

>
> Wie schwer kann es sein, diesen TRIVIALEN mengentheoretischen Sachverhalt zu verstehen?

Für Matheologen offenbar zu schwer.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Freitag, 26. November 2021 um 09:37:47 UTC+1:

> Die 'Emser Depesche' ist ein an Bismarck
> gerichtetes Telegramm des Königs.

Die Emser Depesche kam von einem Mitarbeiter Bismarcks. Seinen Namen kannst Du in Wikipedia oder auch anderswo nachlesen.

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Friday, November 26, 2021 at 12:55:37 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 26. November 2021 um 11:19:09 UTC+1:
> >

> > Für JEDE natürliche Zahl n gibt es eine Endsegment E(m) (mit m e IN), so dass n !e E(m) ist. In der Tat, denn für JEDE natürliche Zahl n gilt, dass n !e E(n+1) ist. Mit anderen Worten, KEINE natürliche Zahl ist in ALLEN Endsegmenten (als Element) enthalten.
> >
> Das [Gegenteil --FF] behauptet auch niemand.

Das ist erfreulich.

> > AUS DIESEM GRUND ist auch KEINE natürliche Zahl in der SCHNITTMENGE über alle Endsegmente enthalten.
> >

> Das [Gegenteil --FF] behauptet auch niemand.

Sehr schön.

> In allen [...] Endsegmenten sind aber unendlich viele Zahlen

Na und?

> und zwar [...] in allen dieselben, da <blubber>

Nö. Keine 2 verschiedenen Endsegmente enthalten DIESELBEN natürlichen Zahlen (denn dann wären sie nicht verschieden, sondern gleich).

Zudem ist Menge der natürlichen Zahlen, die in ALLEN Endsegmenten (als Elemente) enthalten sind, -wie oben gezeigt- leer.

> > Wie schwer kann es sein, diesen TRIVIALEN mengentheoretischen Sachverhalt zu verstehen?

Der Beweis dafür, dass _alle_ Endsegmente unendlich sind, ist ziemlich trivial. Sie werden ihn aber ebensowenig verstehen können, wie den trivialen Sachverhalt, um den es oben ging (sie sind offenbar einfach zu blöde für JEDE Art von Mathematik).

Beweis (durch Induktion): n = 1: E(1) = IN ist unendlich. n |-> n+1: Wenn E(n) unendlich ist, dann ist auch E(n+1) = E(n) \ {n} unendlich. Also gilt für alle k e IN, dass E(k) unendlich ist. Mit anderen Worten, alle Endsegmente sind unendlich. qed

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 26. November 2021 um 20:01:05 UTC+1:

> Beweis (durch Induktion): n = 1: E(1) = IN ist unendlich. n |-> n+1: Wenn E(n) unendlich ist, dann ist auch E(n+1) = E(n) \ {n} unendlich. Also gilt für alle k e IN, dass E(k) unendlich ist. Mit anderen Worten, alle Endsegmente sind unendlich. qed

Das gilt für alle k, die unendlich viele Nachfolger besitzen. Es gilt aber nicht für alle Nachfolger. Zwischen |N und omega existiert nichts. Die unendlich vielen Nachfolger jeder definierbaren natürlichen Zahl kann niemand individuell adressieren. Die sind aber aufgrund von Inklusionsmonotonie im Schnitt enthalten, solange alle Endsegmente unendlich sind.

Gruß, WM

[Fritz Feldhase]

On Friday, November 26, 2021 at 8:55:12 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 26. November 2021 um 20:01:05 UTC+1:
> >

> > Der Beweis dafür, dass _alle_ Endsegmente unendlich sind, ist ziemlich trivial. Sie werden ihn aber ebensowenig verstehen können, wie den trivialen Sachverhalt, um den es oben ging (Sie sind offenbar einfach zu blöde für JEDE Art von Mathematik).

> >
> > Beweis (durch Induktion): n = 1: E(1) = IN ist unendlich. n |-> n+1: Wenn E(n) unendlich ist, dann ist auch E(n+1) = E(n) \ {n} unendlich. Also gilt für alle k e IN, dass E(k) unendlich ist. Mit anderen Worten, alle Endsegmente sind unendlich. qed
> >

> Das gilt für <blubber>

Wenn man _nichts_ zu sagen hat, EINFACH MAL DIE KLAPPE HALTEN, Mückenheim.

Andererseits haben Sie mit Ihrer Einlassung nur das von mir schon im Vorfeld Gesagte BESTÄTIGT: "Sie werden [den Beweis] aber ebensowenig verstehen können, wie den trivialen Sachverhalt, um den es [weiter] oben ging (Sie sind offenbar einfach zu blöde für JEDE Art von Mathematik)."

Jetzt scheitern Sie auch schon an trivialen Beweisen mittel Induktion. Was kommt als Nächstes? "IN enthält weniger als 3 Zahlen" (weil Sie nicht mehr bis 3 zählen können)?

[Fritz Feldhase]

On Friday, November 26, 2021 at 9:09:32 PM UTC+1, Fritz Feldhase wrote:

> Wenn man _nichts_ zu sagen hat, EINFACH MAL DIE KLAPPE HALTEN, Mückenheim.

Warum erklären Sie nicht einmal in Ihrer Vorlesung den armen Schw äh ich meine den Studierenden, dass es Ihrer Meinung nach eine natürliche Zahl gibt, auf die nicht noch UNENDLICHE VIELE natürliche Zahlen folgen?

Denn so eine Zahl MUSS es geben, wenn ein Endsegment endlich sein soll. :-)

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 26. November 2021 um 21:09:32 UTC+1:
> On Friday, November 26, 2021 at 8:55:12 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 26. November 2021 um 20:01:05 UTC+1:
> > >
> > > Der Beweis dafür, dass _alle_ Endsegmente unendlich sind, ist ziemlich trivial.

Da die Zahlen, die in allen Endsegmenten enthalten sind, obwohl der Schnitt leer ist, nicht angegeben werden können, sind sie nicht angebbar. Das ist einfach erkennbar.

> > > Beweis (durch Induktion): n = 1: E(1) = IN ist unendlich. n |-> n+1: Wenn E(n) unendlich ist, dann ist auch E(n+1) = E(n) \ {n} unendlich. Also gilt für alle k e IN, dass E(k) unendlich ist. Mit anderen Worten, alle Endsegmente sind unendlich. qed
> > >

[Ganzhinterseher]

Solche Zahl muss es geben, und zwar unendlich viele, wenn Endsegmente überhaupt existieren, d.h., wenn eine aktual unendliche Menge von natürlichen Zahlen existiert. Ob das der Fall ist, würde ich in der Analysis meinen Mathematik-Studenten aber nicht mitteilen, denn das wäre zum einen verwirrend und außerdem für die Analysis belanglos. Es ist eine reine Vermutung. Aber für den Glauben an das aktual Unendliche spielt es eine wesentliche Rolle. Die Bijektionen und Abzählungen, vulgo Canto-Liste, erfordern nämlich Vollständigkeit. Da dürfen nicht unendlich viele Zahlen fehlen, sondern keine einzige.

Hast Du wirklich noch nie darüber nachgedacht, wie eine Diagonalzahl eindeutig sein soll, wenn auf jede definierbare Ziffer noch fast alle folgen?

Gruß, WM

[JVR]

Sagen Sie mal, Mücke, denken Sie überhaupt nicht nach, bevor Sie solchen Unsinn schreiben?
'Die Diagonalzahl' ist nicht nur nicht eindeutig, sondern es gibt überabzählbar viele mögliche Diagonalzahlen
zu jeder expliziten Liste reeller Zahlen.
Mücke is dooof. Auf jede seiner Dummheiten folgen unendlich viele weitere.

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Samstag, 27. November 2021 um 10:48:01 UTC+1:
> On Friday, November 26, 2021 at 10:36:15 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 26. November 2021 um 21:21:53 UTC+1:
> > > On Friday, November 26, 2021 at 9:09:32 PM UTC+1, Fritz Feldhase wrote:
> > >
> > > Warum erklären Sie nicht einmal in Ihrer Vorlesung den armen Schw äh ich meine den Studierenden, dass es Ihrer Meinung nach eine natürliche Zahl gibt, auf die nicht noch UNENDLICHE VIELE natürliche Zahlen folgen?
> > >
> > > Denn so eine Zahl MUSS es geben, wenn ein Endsegment endlich sein soll. :-)
> > Solche Zahl muss es geben, und zwar unendlich viele, wenn Endsegmente überhaupt existieren, d.h., wenn eine aktual unendliche Menge von natürlichen Zahlen existiert. Ob das der Fall ist, würde ich in der Analysis meinen Mathematik-Studenten aber nicht mitteilen, denn das wäre zum einen verwirrend und außerdem für die Analysis belanglos. Es ist eine reine Vermutung. Aber für den Glauben an das aktual Unendliche spielt es eine wesentliche Rolle. Die Bijektionen und Abzählungen, vulgo Canto-Liste, erfordern nämlich Vollständigkeit. Da dürfen nicht unendlich viele Zahlen fehlen, sondern keine einzige.
> >
> > Hast Du wirklich noch nie darüber nachgedacht, wie eine Diagonalzahl eindeutig sein soll, wenn auf jede definierbare Ziffer noch fast alle folgen?
> >

> 'Die Diagonalzahl' ist nicht nur nicht eindeutig,

Bei einer gegebenen Liste und Ersetzungsvorschrift sollte sie die Darstellung einer reellen Zahl und damit eindeutig sein.

> sondern es gibt überabzählbar viele mögliche Diagonalzahlen

Das ist falsch, denn der Begriff der Abzählbarkeit ist bereits verfehlt. Die stets gleiche Zahl von Elementen unendlicher Mengen ist ganz simpel das Ergebnis einer potentiell unendlichen Bijektion.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

JVR schrieb am Samstag, 27. November 2021 um 10:48:01 UTC+1:

> 'Die Diagonalzahl' ist nicht nur nicht eindeutig, sondern es gibt überabzählbar viele mögliche Diagonalzahlen
> zu jeder expliziten Liste reeller Zahlen.

Es gibt endlich viele Ersetzungsvorschriften und damit nur endlich viele Diagonalzahlen zu jeder expliziten Liste reelle Zahlen.

Gruß, WM

[JVR]

[Juergen Ilse]

Hallo,

Aber in der Mueckematik beweist doch die vollstaendige Induktion nichts
ueber die "dunklen Zahlen". Und dass dan die dunklen Zahlen keine Elemente
von |N sein koennen (weil |N eine minimale induktive Menge ist) ist in
der Mueckematik doch auch nicht zutreffend ...

Wir sind anscheinend fuer die Mueckematik alle zu "unfaehig".
;-)

Ich persoenlich halte mich lieber an die Mathematik als an die Mueckematik,
und deshalb stimme ich (im Gegensatz zu WM) deinem Beweis auch zu und lehne
statt dessen WMs wirre Phantasteeien von "potentiell unendlichen, sprich
*variablen* Mengen, die bei Bedarf "automagisch wachsen", ab.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Juergen Ilse]

Hallo,

Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> Das ist falsch, denn der Begriff der Abzählbarkeit ist bereits verfehlt. Die stets gleiche Zahl von Elementen unendlicher Mengen ist ganz simpel das Ergebnis einer potentiell unendlichen Bijektion.

1. Es gibt keine "potentiell unendlichen Bijektionen" (was soll dieser Mist
auch sein?)

2. Nicht alle unendlichen Mengen sind abzaehlbar. Wenn SIE schon zu daemlich
sind, um Cantors Beweiszu akzeptieren, dass die reellen Zahlen ueberabzaehlbar
sind, dann betrachten SIE doch einfach die Potenzmenge der natuerlichen Zahlen
(die Menge aller Teilmengen der natuerlichen Zahlen). Gaebe es eine Bijektion
zwischen den natuerlichen Zahlen und ihrer Potenzmenge, so koennte man auch
die Teilmenge der Potenzmenge der natuerlichen Zahlen bilden, die *nicht*
in ihrem Bild enthalten sind. Bei einer bijektiven Abbildung muesste auch
diesse Menge (da sie eine Teilmenge der natuerlichen Zahlen ist) ein Urbild
besitzen. Ist dieses Urbild element dieser Menge? NAch Definition der Menge:
Ja, denn diese Menge enthaelt nach Konstruktion ja alle natuerlichen Zahlen,
die *nicht* element ihres Bildes sind. Andererseits waere diese Urbild aber
*nicht* element dieser Menge, weil die Menge ja nur Zahlen enthaelt (nach
Konstruktion), die *nicht* element ihres Bildes sind. Da auf das Urbild
dieser Menge aber nicht *beides* zutreffen kann, muss die Annahme einer
Bijektion zwischen natuerlichen Zahlen und der Potenzmenge der natuerlichen
Zahlen falsch gewesen sein. Sprich die Menge der natuerlichen Zahlen und
die Potenzmenge der Menge der natuerlichen Zahlen sind nicht gleichmaechtig,
weil die Annahme, es gaebe eine Bijektion zwischen beiden auf einen Wider-
spruch fuehrt.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Fritz Feldhase]

On Tuesday, November 30, 2021 at 4:43:07 PM UTC+1, Juergen Ilse wrote:
> Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com> wrote:
> >
> > Der Beweis dafür, dass _alle_ Endsegmente unendlich sind, ist ziemlich trivial. [...]

> >
> > Beweis (durch Induktion): n = 1: E(1) = IN ist unendlich. n |-> n+1: Wenn E(n) unendlich ist, dann ist auch E(n+1) = E(n) \ {n} unendlich. Also gilt für alle k e IN, dass E(k) unendlich ist. Mit anderen Worten, alle Endsegmente sind unendlich. qed
> >

> [...]

>
> Ich persoenlich halte mich lieber an die Mathematik als an die Mueckematik,

> und deshalb stimme ich (im Gegensatz zu WM) deinem Beweis auch zu [...]

Natürlich gibt es da auch einige "Lücken" bzw. "Sprünge" in dem Beweis, z. B. müsste man eigentlich "Wenn E(n) unendlich ist, dann ist auch E(n+1) = E(n) \ {n} unendlich." noch etwas genauer begründen, aber es ist (intuitiv) klar, dass das richtig ist.

Hier ein alternativer Beweis:

Sei n eine beliebige nat. Zahl. Dann ist f_n: E(n) --> E(n) \ {n} mit f_n(k) = k + 1 für alle k e E(n) eine bijektive Funktion von E(n) auf eine echte Teilmenge von E(n), nämlich E(n) \ {n}. Mithin ist E(n) unendlich. Also gilt für alle k e IN, dass E(k) unendlich ist. Mit anderen Worten, alle Endsegmente sind unendlich. qed

Hier wird benutzt, dass die Folge der Endsegmente (E_n) wie folgt definiert ist: E(n) = {m e IN : m >= n} für jedes n e IN.

Die Frage ist, gibt es eigentlich IRGENDEINEN mathematischen Sachverhalt, der unendliche Mengen betrifft, den WM versteht? Aufgrund der Tatsache, dass er offenbar zu blöde ist, mathematische Beweise zu verstehen, ist das eher unwahrscheinlich. [Da er schon die Beweise selbst nicht versteht, versteht er auch nicht Sinn und Zweck mathematischer Beweise im Kontext der Mathematik. Von Definitionen gar nicht erst zu reden...]

[Jens Kallup]

Am 30.11.2021 um 16:43 schrieb Juergen Ilse:
> Ich persoenlich halte mich lieber an die Mathematik als an die Mueckematik,
> und deshalb stimme ich (im Gegensatz zu WM) deinem Beweis auch zu und lehne
> statt dessen WMs wirre Phantasteeien von "potentiell unendlichen, sprich
> *variablen* Mengen, die bei Bedarf "automagisch wachsen", ab.

mein Senf dazu:

- vielleicht könnt Ihr Euch das so vorstellen:
im Universum gibt es Materie, die von einen oder mehreren
schwarzen Löchern angezogen werden soll - ob das nun so ist, das
mag jeder für sich entscheiden ...
- diese schwarzen Löcher werden immer größer, je "mehr" Material in
diese gesaugt werden.
- paralell dagegen, nimmt aber auch die Größe der schwarzen Löcher zu.
wobei ich aber dazu schreiben sollte, das dieses "Material" in den
Löchern "komprimiert" wird...

somit nimmt Herr WM sicherlich an, dass, wenn man sagt: "Das Universum
ist 'nicht' endlich.",
der Eindruck entsteht, das die Verteilung der Masse oder "Materials",
das einst vor dem Loch war, größer sein musste als danach, nachdem es
in das Loch gesaugt wurde.

In dieser Hinsicht kann ich da auch zustimmen.
Aber ich sollte auch sagen, das dies eine minimale Zahl ergeben würde,
die bei der Betrachtung des Ganzen Universums pille palle ist.

Aber wie gesagt: dies ist noch dunkler "schon" überbrüter Kaffee, oder
sollte ich schreiben, schon ein gebrütteste Ei ... ???

heheh

in diesen Sinn,

Euer Schreiberling, Jens

[Ganzhinterseher]

Fritz Feldhase schrieb am Dienstag, 30. November 2021 um 18:59:05 UTC+1:
> On Tuesday, November 30, 2021 at 4:43:07 PM UTC+1, Juergen Ilse wrote:
> > Fritz Feldhase <franz.fri...@gmail.com> wrote:
> > >
> > > Der Beweis dafür, dass _alle_ Endsegmente unendlich sind, ist ziemlich trivial. [...]
> > >
> > > Beweis (durch Induktion): n = 1: E(1) = IN ist unendlich. n |-> n+1: Wenn E(n) unendlich ist, dann ist auch E(n+1) = E(n) \ {n} unendlich. Also gilt für alle k e IN, dass E(k) unendlich ist. Mit anderen Worten, alle Endsegmente sind unendlich. qed
> > >
> > [...]
> >
> > Ich persoenlich halte mich lieber an die Mathematik als an die Mueckematik,
> > und deshalb stimme ich (im Gegensatz zu WM) deinem Beweis auch zu [...]
>
> Natürlich gibt es da auch einige "Lücken" bzw. "Sprünge" in dem Beweis, z. B. müsste man eigentlich "Wenn E(n) unendlich ist, dann ist auch E(n+1) = E(n) \ {n} unendlich." noch etwas genauer begründen, aber es ist (intuitiv) klar, dass das richtig ist.
>
> Hier ein alternativer Beweis:
>
> Sei n eine beliebige nat. Zahl. Dann ist f_n: E(n) --> E(n) \ {n} mit f_n(k) = k + 1 für alle k e E(n) eine bijektive Funktion von E(n) auf eine echte Teilmenge von E(n), nämlich E(n) \ {n}. Mithin ist E(n) unendlich. Also gilt für alle k e IN, dass E(k) unendlich ist. Mit anderen Worten, alle Endsegmente sind unendlich. qed

Wenn alle Endsegmente unendlich sind, so werden für den Inhalt unendlich viele natürliche Zahlen benötigt. Also bleiben nur endlich viele als Indizes übrig.

Wenn alle Endsegmente unendlich sind, so gehen nicht alle Zahlen verloren.

Wenn alle Endsegmente unendlich sind, so ist der Schnitt unendlich. Inklusionsmonotonie.

Resumé: Wenn Dein Beweis richtig ist, dann gibt es dunkle Zahlen und in diesem Bereich endliche Endsegmente.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Juergen Ilse schrieb am Dienstag, 30. November 2021 um 17:03:35 UTC+1:
> Ganzhinterseher <wolfgang.m...@hs-augsburg.de> wrote:
> > Das ist falsch, denn der Begriff der Abzählbarkeit ist bereits verfehlt. Die stets gleiche Zahl von Elementen unendlicher Mengen ist ganz simpel das Ergebnis einer potentiell unendlichen Bijektion.
> 1. Es gibt keine "potentiell unendlichen Bijektionen" (was soll dieser Mist
> auch sein?)

Hilberts Hotel, Dedekind-Unendlichkeit, alle "Beweise" Cantors.

Gruß, WM

[Jens Kallup]

Am 01.12.2021 um 12:24 schrieb Ganzhinterseher:
> Resumé: Wenn Dein Beweis richtig ist, dann gibt es dunkle Zahlen und in diesem Bereich endliche Endsegmente.

jaja, ist schon gut, ruhig brauner !!!
Deine "dunklen" Zahlen ist einfach nur Raum mit Ether versetzt.
Wenn man sich die Faktorisierung von Primzahlen anschaut, so
kann man, je höher oder weiter voranschreitet "Lücken" erkennen.

Diese Lücken sind aber keine Zahlen, sondern halt eine "viele"
Anzahl von {0}.

Primzahlen haben die Angewohnheit sehr weit auseinander zu ver-
laufen, so dass Du dann nicht Jede |N wieder finden kannst,
weil einfach der Raum "nicht" definiert ist.

Wie würdest Du diesen Raum nennen ?
- dunkler Raum ?
Beachte:
Auch wenn dieser Raum auf Grund der Primespanne wird durch
die Sonne erhellt - man kann ihn nur nicht sehen, weil man
dafür keine Definition hat.
Hat man eine Definition gefunden, dann ist das ein Gesichts-
punkt des Betrachters...
Das dann so wie mit dieser Zombie-Katze:
erst durch "Beobachtung" werden Zustände sichtbar - aber der
eigentlich Raum ist ja schon da - er ist nur außerhalb der
Betrachtung, und daher für Menschen "nicht" definiert.
Hast Du mal versucht, von der Erde aus, "über" einen Schwarz-
schild zu schauen - ich denke mal, das wird nicht nur Dir,
sondern auch alle anderen nicht gelingen, da bin ich mir aber
sicher ...

Jens

[Marcus Gloeder]

Hallo alle zusammen,

am 19.11.21 12:29, schrieb Ganzhinterseher:
> Zu jeder natürlichen Zahl gibt es unendlich viele größere.

Richtig.

> Diese Aussage [...] ist unsinnig im Falle einer vollständigen Menge, wenn diese linear geordnet ist, denn da impliziert Vollständigkeit eine letzte Zahl.

Quatsch. Die einzige Implikation ist, dass es einen Algorithmus gibt, der
die Menge der natürlichen Zahlen in dem Sinne »vollständig« erzeugen kann,
dass jede beliebige natürliche Zahl erzeugt wird, wie groß sie auch sein
mag, wenn die Ausführung des Programms nicht abgebrochen wird. Zum Beispiel
definiert das folgende kleine Programm in C64-Basic die Menge der
natürlichen Zahlen ohne Null:

10 I:=1
20 PRINT I
30 I:=I+1
40 GOTO 20

Wie leicht zu erkennen ist, gibt es in dem Programm eine Endlosschleife.
Zeile 40 verweist auf Zeile 20 zurück. Dennoch wird jede beliebige
natürliche Zahl erzeugt, wenn ich den C64 nicht ausschalte oder er
verglüht, weil die Sonne zum roten Riesen wird. Dafür sorgt Zeie 30.

Mit anderen Worten: die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null ist abzählbar
unendlich. Dunkel ist da nichts.

Quod erat demonstrandum.

>Gruß, WM

Grüße
Marcus

--
PMs an: m.gl...@gmx.de

[Marcus Gloeder]

Am 20.11.21 17:14, schrieb Ganzhinterseher:

>Wenn man alle Materie des Weltalls in ein einziges Photon umwandeln würde, dann wäre dessen Wellenlänge 10^-96 m. Kleiner geht's nicht.

Jetzt vermute ich mal, dass Du das Plancksche Wirkungsquantum meinst. Das
ist aber Physik und nicht Mathematik.

_Mathematisch_ möglich (also denkmöglich, im Unterschied zu real möglich)
wäre auch ein Würfel mit einer Kantenlänge von $10^(-97)$ m.

>Gruß, WM

Viele Grüße

[Fritz Feldhase]

On Sunday, December 5, 2021 at 6:26:08 PM UTC+1, Marcus Gloeder wrote:

> _Mathematisch_ möglich (also denkmöglich, im Unterschied zu real möglich)

> wäre auch ein Würfel mit einer Kantenlänge von 10^(-97) m.

Jep, oder eine Menge mit 10^10^10^10^100 Elementen. WEN interessiert dabei die "physikalische Realität"?

In der (klassischen) Mathematik interessiert allein das (widerspruchsfrei) Denkmögliche. [1]

Cantor: „Das Wesen der Mathematik liegt in ihrer Freiheit.“

___________________________

[1] Es gibt neuerdings sogar logische Ansätze, die auch Widersprüche zulassen.

Siehe: https://en.wikipedia.org/wiki/Paraconsistent_logic

Allerdings spielt das für die sog. klassische Mathematik bislang (noch?) keine Rolle.

[Fritz Feldhase]

On Sunday, December 5, 2021 at 5:54:23 PM UTC+1, Marcus Gloeder wrote:
> am 19.11.21 12:29, schrieb Ganzhinterseher:

> im Falle einer vollständigen Menge, wenn diese linear geordnet ist, [...] impliziert Vollständigkeit eine letzte Zahl.
>
> Quatsch.

Ja, das ist Quatsch.

Herr Mückenheim behauptet gerne Dinge, die "rein intuitiv" schon Quatsch sind (R. Bader spricht in diesem Zusammenhang auch von "saudummem Scheißdreck") und sich auch im Kontext der üblichen/gebräuchlichen Mengenlehren nicht beweisen lassen bzw. dort sogar widerlegbar sind.

> [...]

>
> Mit anderen Worten: die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null ist abzählbar unendlich. Dunkel ist da nichts.

Jo.

[Dieter Heidorn]

Marcus Gloeder schrieb:

> Am 20.11.21 17:14, schrieb Ganzhinterseher:
>
>> Wenn man alle Materie des Weltalls in ein einziges Photon umwandeln
>> würde, dann wäre dessen Wellenlänge 10^-96 m. Kleiner geht's nicht.
>
> Jetzt vermute ich mal, dass Du das Plancksche Wirkungsquantum meinst. Das
> ist aber Physik und nicht Mathematik.
>

Richtig. Was er macht ist Folgendes: Er setzt die Energie-Impuls-
Beziehung des Photons E = pc und den Photon-Impuls p = h/lambda zusammen
und verwendet für E die Energie E = mc^2, wobei m die Masse von ~ 1e80
Protonen ist, die das Universum haben soll:

E = pc

mc^2 = hc/lambda

lambda = h/mc ~ 1e-96 m

> _Mathematisch_ möglich (also denkmöglich, im Unterschied zu real möglich)
> wäre auch ein Würfel mit einer Kantenlänge von $10^(-97)$ m.
>

Natürlich. WM schreibt aber nicht über Mathematik, sondern über seine
ultrafinitistischen Auffassungen dazu.

Dieter Heidorn

[Jens Kallup]

ich glaube diese ^80 hat was mit der modernen CPU
Architektur zu tun.
Die meisten 32-bitter konnten nur Fließkommaberechnungen
bis zu einem Grade von 2 ^80 - also nach-Kommastellungen
berechnen.
Das war dann in meinen Wissen von Pascal, vorzeichenlos.
wie das nun mit 64-bitter CPU's ausschaut, habe ich mich
noch nicht grundlegend beschäftigt.

Jens

[Dieter Heidorn]

Jens Kallup schrieb:

> ich glaube diese ^80 hat was mit der modernen CPU
> Architektur zu tun.

Nein. Sie stammen aus einer Abschätzung der Masse des Universums,
die in Anzahl von Protonen umgerechnet wurde.

Dieter Heidorn