Unterschied partielle, totale Ableitung
mario.ruckelshausen
kann mir jemand erklären, was genau der mathematische
Unterschied zwischen der totalen Ableitung und der
partiellen Ableitung einer Funktion mehrerer Variablen
ist, ausser dass das Differentiationssymbol verändert
wird?
zum Beispiel ist doch die totale Ableitung von:
g(x,y)=x*y²+sin[y] nach x
df/dx =y² ,
aber partiell nach x
ergibt sich das gleiche.
Die Differentiationsregeln sehen auch gleich aus.
Wenn es einen Unterschied gibt, ausser einem
kalligraphischen, wie sieht dieser aus, sprich,
man nenne mir eine Funktion, bei der der Unterschied
klar wird.
Danke für Eure Antworten.
mario
Hendrik Belitz
> Hallo,
>
> kann mir jemand erklären, was genau der mathematische
> Unterschied zwischen der totalen Ableitung und der
> partiellen Ableitung einer Funktion mehrerer Variablen
> ist, ausser dass das Differentiationssymbol verändert
> wird?
>
> zum Beispiel ist doch die totale Ableitung von:
>
> g(x,y)=x*y²+sin[y] nach x
>
> df/dx =y² ,
>
Für Funktionen mit mehr als einer Variablen gibt es keine "totale
Ableitung". Das obige ist eben genau die "partielle Ableitung nach x".
Zudem gibt es noch das "vollständige (oder manchmal auch totale)
Differential" einer Funktion (partielle Ableitung nach x sei: g_x):
dg = g_x dx + g_y dy
Und natürlich den Gradienten:
grad g = ( g_x, g_y )
> aber partiell nach x
> ergibt sich das gleiche.
Eben nicht, weil Du bei der partiellen Ableitung alle anderen Variablen
sozusagen als konstant ansiehst. Das tust Du bei der normalen Ableitung
nicht und deshalb kannst du eine Funktion mit mehreren Variablen nicht
normal differenzieren.
PS: Ich entschuldige mich schonmal bei allen Mathematikern für die fehlende
mathematische Strenge dieses Beitrags :-)
--
To get my real email adress, remove the two onkas
--
Dipl.-Inform. Hendrik Belitz
Central Institute of Electronics
Research Center Juelich
Gastfreund aus Korinth
> kann mir jemand erklären, was genau der mathematische
> Unterschied zwischen der totalen Ableitung und der
> partiellen Ableitung einer Funktion mehrerer Variablen
> ist, ausser dass das Differentiationssymbol verändert
> wird?
>
> zum Beispiel ist doch die totale Ableitung von:
>
> g(x,y)=x*y²+sin[y] nach x
>
> df/dx =y² ,
>
> aber partiell nach x
> ergibt sich das gleiche.
Das ist nicht richtig. Die partielle Ableitung der Funktion
g:(x,y) |---> x*y^2+sin(y)
nach x ist wirklich y^2. Aber die totale Ableitung wäre die lineare
Abbildung, deren Matrix
(y^2,2x*y+cos(y)) ist, d.h. es handelt sich um eine lineare Abbildung von
R^2 nach R.
Eine "totale Ableitung nach x" gibt es nicht.
--
GaK
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mario.ruckelshausen
ok, wenn es keine totale ableitung von funktionen mehrerer variablen
gibt, was würde mir denn das totale differential einer funktion df
geteilt durch dx zum beispiel geben? machen darf ich das doch wohl,oder?.
vielleicht eine gleichnug ohne informationsgehalt über das
steigungsverhalten in
x richtung?
aber totale zeitableitungen gibt es doch auch. oder wie oder was oder warum?
grüße
mario
Hendrik Belitz
IMHO nein, denn auch das totale Differential ist wieder eine Funktion zweier
Variablen.
> vielleicht eine gleichnug ohne informationsgehalt über das
> steigungsverhalten in
> x richtung?
Eine Gleichung, die keine Informationen enthält, aber Aussagen über die
Steigung macht? Erkläre mir das bitte näher, das ist mir zu paradox.
> aber totale zeitableitungen gibt es doch auch. oder wie oder was oder
> warum? grüße
Hier nimmst du die räumlichen Variablen als konstant an, differenzierst also
partiell nach t. Wenn ich mich recht an meine "Theoretische
Physik"-Vorlesung zurückerinnere, dann schreibt in der Physik für diese
partielle Ableitung nach der Zeit df/dt. Das ist zwar mathematisch unschön,
sorgt aber dafür, daß man räumliche und zeitliche Ableitungen besser
trennen kann (mag sein das ich mich hier irre, Physiker mögen mich hier
korrigieren). Das alles ist aber eher eine Frage der Nomenklatur, so wie
man in der Physik auch räumliche Ableitungen durch einen Strich (f') und
zeitliche durch einen Punkt über der Funktion kennzeichnet.
Horst Kraemer
> kann mir jemand erklären, was genau der mathematische
> Unterschied zwischen der totalen Ableitung und der
> partiellen Ableitung einer Funktion mehrerer Variablen
> ist, ausser dass das Differentiationssymbol verändert
> wird?
>
> zum Beispiel ist doch die totale Ableitung von:
>
> g(x,y)=x*y²+sin[y] nach x
>
> df/dx =y² ,
>
> aber partiell nach x
> ergibt sich das gleiche.
Der Begriff "totale Ableitung einer Funktion von mehreren Variablen
nach einer Variablen" ist eine Erfindung von Physikern, und ich
weigere mich, ihn hier zu erklären, weil sich mir dabei die
Zehennaegel aufrollen. In der Mathematik sind nur die Begriffe
Totale Ableitung (totales Differential) einer Funktion von
mehreren Variablen
und
Partielle Ableitung einer Funktion von mehreren Variablen
nach einer bestimmten Variablen
bekannt. Die totale Ableitung einer Funktion f von zwei Variablen x,y
and der Stelle (x0,y0) ist eine bestimmte lineare Funktion
(h1,h2) -> a*h1 + b*h2
die die Tangentialebene an den Graphen der Funktion an der Stelle
(x0,y0) beschreibt. Die Tangentialebene hat die Darstellung
t(x,y) = f(x0,y0) + a*(x-x0) + b*(y-y0)
bzw.
t(x0+h1,y0+h2) = f(x0,y0) + a*h1 + b*h2
Wenn diese Tangentialebene existiert, dann sind a und b die partiellen
Ableitungen von f nach x bzw. y an der Stelle (x0,y0), so dass man
auch sagen kann. Die totale Ableitung von f an der Stelle x0 ist die
Abbildung
(h1,h2) -> f_x(x0,y0)*h1 + f_y(x0,y0)*h2
Haeufig repraesentiert man sie durch den Zeilenvektor
(f_x,f_y)
den man auch als "Gradienten" der Funktion f bezeichnet.
--
Horst
Lukas-Fabian Moser
On Tue, 09 Mar 2004 13:23:28 +0000, "mario.ruckelshausen"
<mario.ruc...@web.de> wrote:
>kann mir jemand erklären, was genau der mathematische
>Unterschied zwischen der totalen Ableitung und der
>partiellen Ableitung einer Funktion mehrerer Variablen
>ist, ausser dass das Differentiationssymbol verändert
>wird?
Als Ergänzung zu den ausführlichen mathematischen Erklärungen der
anderen: in den Physikvorlesungen, die ich gehört habe, ist mir
tatsächlich manchmal ein Begriff wie "die totale Ableitung der
Feldstärke nach der Zeit" begegnet, wobei die Feldstärke eine Funktion
war, die von Ort und Zeit abhing, also F(x, t). Gemeint war dann
eigentlich immer, daß eine - aus dem Kontext hervorgehende -
Abhängigkeit des Ortes von der Zeit (vulgo: eine Bahnkurve) gamma(t)
verwendet und die Zeitableitung der Funktion t |-> F(gamma(t), t)
berechnet wurde.
Grüße, Lukas
mario.ruckelshausen
> Hier nimmst du die räumlichen Variablen als konstant an, differenzierst
> also partiell nach t. Wenn ich mich recht an meine "Theoretische
> Physik"-Vorlesung zurückerinnere, dann schreibt in der Physik für diese
> partielle Ableitung nach der Zeit df/dt. Das ist zwar mathematisch
> unschön, sorgt aber dafür, daß man räumliche und zeitliche Ableitungen
> besser trennen kann (mag sein das ich mich hier irre, Physiker mögen mich
> hier korrigieren). Das alles ist aber eher eine Frage der Nomenklatur, so
> wie man in der Physik auch räumliche Ableitungen durch einen Strich (f')
> und zeitliche durch einen Punkt über der Funktion kennzeichnet.
>
das würde mich interessieren, ob das wirklich so ist.
ob df(x,y)/dt wirklich eine notation ist und man damit
eigentlich die partielle ableitung nach t meint.
vielleicht kann das jemand bestätigen.
gruß
mario
Gastfreund aus Korinth
> das würde mich interessieren, ob das wirklich so ist.
> ob df(x,y)/dt wirklich eine notation ist und man damit
> eigentlich die partielle ableitung nach t meint.
> vielleicht kann das jemand bestätigen.
Mit df(x,y)/dt würde man die Ableitung der Funktion
t |---> f(x(t),y(t))
meinen.
Hendrik Belitz
Hmm, wenn ich's nochmal überdenke, dann hat man es bei solchen Ableitungen
ja meistens mit parametrisierten Bahnkurven F=( x(t), y(t), z(t) ) zu tun.
In diesem Falle hat man also nur eine Variable (nämlich t), da wäre dF/dt
also richtig. Wenn man tatsächlich räumliche und zeitliche Variablen hat
(z.B. Wellengleichung), dann schreibt man auch die zeitliche Ableitung als
partielle Ableitung (siehe z.B
http://de.wikipedia.org/wiki/Wellengleichung).
mario.ruckelshausen
> On Tue, 09 Mar 2004 16:37:54 +0000, mario.ruckelshausen wrote:
>
>> das würde mich interessieren, ob das wirklich so ist.
>> ob df(x,y)/dt wirklich eine notation ist und man damit
>> eigentlich die partielle ableitung nach t meint.
>> vielleicht kann das jemand bestätigen.
>
> Mit df(x,y)/dt würde man die Ableitung der Funktion
>
> t |---> f(x(t),y(t))
>
> meinen.
>
und da es keine totale ableitung von funktionen
mehrerer variablen gibt, das hab ich mittlerweile
auch begriffen, meint die "totale zeitableitung"
doch die partielle, oder?
gruß
mario
Gastfreund aus Korinth
> und da es keine totale ableitung von funktionen
> mehrerer variablen gibt, das hab ich mittlerweile
> auch begriffen,
Das hast Du aber nicht verstanden. Es *gibt* eine totale Ableitung von
Funktionen in mehreren Veränderlichen (und eigentlich nur dort, denn für
eine Variable ist der Begriff sinnlos, auch wenn formal die übliche
Ableitung, die Du aus der Schule kennst, die totale ist).
> meint die "totale zeitableitung" doch die partielle, oder?
Nein. Du leitest ja eine FUnktion in *einer* Variablen ist, nämlich die
Funktion
t |---> f(x(t),y(t)),
die nur von der reellen Variablen t abhängt.
Tobias Fritz
Die Nomenklatur der Physiker ist:
sei zB die Funktion f( x(t), y(t), t) gegeben.
Dann ist
- die totale Zeitableitung: df/dt, es wird berücksichtigt dass x und y von t
abhängen, man hat also eine Funktion t |---> f( x(t), y(t), t) die man
ableitet. Statt df/dt schreibt man auch oft f-(mit Punkt oben drüber).
- die partielle Ableitung: Mangels des korrekten Symbols kürze ich \partial
mit $ ab. Dann ist $f/$t einfach die partielle Ableitung von f nach der
dritten Variablen t, wobei x und y als konstant angesehen werden.
Die Beziehung zwischen den beiden Möglichkeiten ist
df/dt = $f/$t + ($f/$x)*(dx/dt) + ($f/$y)*(dy/dt)
Die erste Möglichkeit ist zu unterscheiden von dem "totalen Differential".
--
I'm on warm milk and laxatives
Cherry-flavored antacids
reverse my forename for mail! - saibot
Rolf Albinger
>Der Begriff "totale Ableitung einer Funktion von mehreren Variablen
>nach einer Variablen" ist eine Erfindung von Physikern, und ich
>weigere mich, ihn hier zu erklären, weil sich mir dabei die
>Zehennaegel aufrollen. In der Mathematik sind nur die Begriffe
implizite und explizite Abhaengigkeiten beruecksichtigt.
Die rechnen doch nicht falsch!
>[Snip]
/Humor ein
Provokanterweise koennte ich sagen, bei dem was Du schriebst rollen
sich mir die Zehnaegel hoch.
/aus
Das (totale) Differential ( oder aeussere Ableitung ) einer Funktion
f ist die Pfaffsche Form (1 Form) df=f_xdx+f_ydy
angewandt auf einen Vektor ( 1 Tensor ) h=h1$dx+h2$dy
df(h)=f_x*h1+f_y*h2
Der Gradient einer Funktion f ist eine 1-Form mit
den Komponenten f_x, f_y (natuerlich im 2 Raum)
Viel Spass weiterhin
Rolf
Oliver Vogel
<rolf-a...@onlinehome.de> wrote:
> Die rechnen doch nicht falsch!
Hmm, ich hab schon mehrfach mitgekriegt, daß Physiker Dinge tun, die
einfach "falsch" sind.
Das blöde (naja oder auch nicht so blöd) ist nur, es kommt meistens doch
das richtige raus.
Die guten Physiker sind dann die, die erklären können, warum der
"falsche" Weg in dem Fall doch richtig ist ;)
In diesem Sinne,
Oliver.
--
BOFH excuse #102:
Power company testing new voltage spike (creation) equipment