Gewinnstrategie "Maexchen"
Peter Berlich
Ich habe letztens mit Freunden ein Wuerfelspiel namens "Schummeln"
gespielt. Landschaftlich verschieden ist es wohl auch unter dem
Namen "Maexchen" bekannt.
Ich habe eigentlich wenig (also gut: keine) Ahnung von Spieltheorie. Ich
habe mich aber beim Spielen gefragt, wie eine Gewinnstrategie fuer dieses
an sich recht einfache Spiel aussehen koennte.
Die Regeln sind, wie folgt:
- Gespielt wird mit zwei Wuerfeln. Jeder Mitspieler wuerfelt reihum.
- Die geworfenen Punkte der beiden Wuerfel werden zu einer zweistelligen
Dezimalzahl angeordnet, sodass die hoehere der beiden Zahlen vorne steht.
Also z. B. 3 und 5 = 53. (Man beachte, dass die Zahl "35" oder jede andere,
bei der die zweite Ziffer groesser ist, als die erste, nicht erhalten werden
kann.) Diese Zahl ist das Ergebnis des Wurfes.
- Die Wurfergebnisse zaehlen entsprechend ihrem Zahlenwert, also 42 mehr
als 32, allerdings mit folgenden Abweichungen: Paschs zaehlen mehr, als
alle anderen Wuerfe. 21 ("Maexchen") zaehlt mehr als alle Paschs.
Die (insgesamt 21) moeglichen Ergebnisse stehen also in der Rangfolge
31, 32, 41, 42, 43, 51, 52, 53, 54, 61, 62, 63, 64, 65, 11, 22, 33, 44,
55, 66, 21.
Anmerkung: Diese Zahlen fallen *nicht* gleichwahrscheinlich. Die Zahlen
mit zwei verschiedenen Ziffern sind doppelt so wahrscheinlich, wie die
mit zwei gleichen Ziffern, wie man anhand des folgenden Diagramms leicht
selber ueberpruefen kann:
1 2 3 4 5 6 (Wuerfel 1)
1 11 21 31 41 51 61
2 21 22 32 42 52 62
3 31 32 33 43 53 63
4 41 42 43 44 54 64
5 51 52 53 54 55 65
6 61 62 63 64 65 66
(Wuerfel 2)
- Der erste Spieler wuerfelt irgendeine Zahl. Er sagt diese laut an,
reicht die Wuerfel aber *verdeckt* an seinen Nebenmann weiter.
Dieser muss nun eine hoehere Zahl (im Sinne der oben beschriebenen Rangfolge)
wuerfeln. Er wuerfelt also, sieht das Ergebnis an, reicht die Wuerfel
wieder weiter, und sagt dazu sein Ergebnis laut an.
- Statt das wahre Ergebnis zu sagen, kann ein Spieler auch luegen, wenn
er in Wirklichkeit weniger gewuerfelt hat, als sein Vorgaenger.
- Wer die Wuerfel von seinem Vorgaenger annimmt, kann ihm entweder glauben,
oder ihm nicht glauben, und die Wuerfel aufdecken.
- Ein Spieler erhaelt einen Verlustpunkt, wenn er
- weniger gewuerfelt hat, als sein Vorgaenger
- von seinem Nachfolger beim Luegen ertappt wird
- die Wuerfel seines Vorgaengers aufdeckt, und dessen Angaben gestimmt haben,
er also nicht gelogen hat.
- Wer einen Verlustpunkt erhaelt, startet die Runde von neuem mit einem
beliebigen Wurf.
- Nach mehreren Runden werden die Verlustpunkte zusammengezaehlt. Der
Spieler mit den wenigsten Verlustpunkten hat gewonnen.
(Uebrigens: Welche Variationen zu diesen Regeln sind der werten Runde bekannt?
Schliesslich lerne ich immer gerne neue Spiele kennen...)
Ich fasse die Regeln jetzt in Formelsprache nochmals zusammen:
R1: Die Grundmenge der Werte eines Wurfes besteht aus einundzwanzig
angeordneten Elementen E0..E21.
Der Einfachheit halber nehmen wir hierfuer statt der Wuerfelaugen
die Zahlen 1..21, also E element {1..21}. (Diese fallen mit den
Wahrscheinlichkeiten p1..p14 = 1/18; p15..p20 = 1/36; p21 = 1/18.)
R2: Zwischen S Spielern wird reihum gewuerfelt. Die Zuege wollen wir mit
i numerieren. Der Spieler s(i), der gerade dran ist, ist also innerhalb
einer Runde s(i) = mod(i,S) + s(1) - 1.
(n(1) ist der Spieler, der eine Runde beginnt, s(i) element {1,S})
R3: Jeder Spieler s(i) bekommt von seinem Vorgaenger s(i-1) eine Zahl
ZG(i-1) gesagt.
Dann passiert entweder:
Spieler s(i) wuerfelt eine Zahl ZW(i) und sagt seinem Nachfolger
s(i+1) eine Zahl ZG(i).
Dabei gilt:
ZG(i) > ZG(i-1) (mit ZG(0) = 0)
Ist ZG(i) =< ZG(i-1), verliert Spieler s(i), d. h. ist ZG(i-1) = 21,
und Spieler s(i) wuerfelt, kann er nur verlieren.
Oder:
Spieler s(i) prueft, ob ZW(i-1) = ZG(i-1). Falls ja, erhoeht sich
sein Verlustkonto
V(s(i)) = V(s(i)) + 1,
falls nein, erhoeht sich das Verlustkonto seines Vorgaengers
V(s(i-1)) = V(s(i-1)) + 1
In jedem Fall ist die Runde zu Ende, und der Verlierer beginnt eine
neue Runde (i = 0).
R4: Nach J Spielen werden die Verlustkonten V(s(1))..V(s(S)) verglichen.
Der Spieler mit dem geringsten Verlustkontostand gewinnt.
Wie sieht jetzt eine Gewinnstrategie G fuer dieses Spiel aus?
Und, gibt es nur eine, oder moeglicherweise mehrere Strategien?
ZIEL ist die Minimierung des persoenlichen Verlustkontostandes V.
SPIELZUEGE, die der Spieler machen kann, wenn er an der Reihe ist, sind
nach Regel R3:
S1: Entscheide, ob Ueberpruefung U des Vorgaengerwertes ZG(i-1)
ja (U = 1) oder nein (U = 0).
S2: Falls keine Ueberpruefung (also U = 0), eine Zahl ZW(i) wuerfeln und
dann eine Zahl ZG(i) > ZG(i-1) ansagen.
GESUCHT werden also:
Z1 = ZG(i-1)(U = 0 -> U = 1), d. h. der Vorgaengerwurf, ab dem es sich lohnt,
den Wurf des Vorgaengers zu ueberpruefen.
Z2 = ZG(i), d. h. die Augenzahl, die man dem Nachfolger ansagt, falls die
Runde nicht durch Ueberpruefen der Augenzahl des Vorgaengers
abgebrochen wurde.
Es gibt zwei triviale Faelle, die ich vorwegnehme:
1) Man ist der erste Spieler. Dann wuerde man sich selber schaden, wenn
man etwas anderes, als die Wahrheit sagt, es sei denn, die Anzahl der
Spieler ist (analog der unten beschriebenen Strategie G2) so, dass man
durch Luegen vermeiden kann, ein zweites Mal in einer Runde an die Reihe
zu kommen, *und* man kennt die Strategie des naechsten Spielers moeglichst
genau genug, um abzuschaetzen, bis zu welchem Wert (z. B. Z1 = 9) er
ein gelogenes Ergebnis noch "schluckt".
2) Der vorherige Spieler hat "Maexchen" (ZG(i-1) = 21) angesagt. In diesem
Fall ist die einzige Chance, einen Punktverlust zu vermeiden, dass dieser
gelogen hat.
Ich will einmal im folgenden ins Unreine drei moegliche Gewinnstrategien
skizzieren. Die (meiner Ansicht nach) optimale, vierte Strategie kommt zum
Schluss.
Gesucht wird ein G, bei dem im Mittel ueber eine "grosse" (in einer Nacht
kommt man dem Wert unendlich schon recht nahe... :-) ) Zahl von Runden die
Anzahl der eigenen Verlustpunkte moeglichst gering bleibt.
G1: Die 'konservative' Strategie
Z1(i) = 9, d. h. Z1 ist das 50%-Quantil der 21 moeglichen Werte (normiert
mit den Wahrscheinlichkeiten der unterschiedlichen Wuerfe). (9
entspraeche dem Augenwert "54", d. h. "5" und "4", oder "4" und
"5", das nur am Rande.)
Fuer alle ZG(i-1) darueber ist die Wahrscheinlichkeit, eine
darueberliegende Zahl *tatsaechlich* zu wuerfeln, und somit
ein Entlarvtwerden im Zug des Nachfolgers *sicher* zu vermeiden,
kleiner als 50%.
Z2(i) = max(ZW(i),ZG(i-1)+1), d. h. man sagt die Wahrheit, oder luegt gerade
eben so viel, wie man unbedingt muss.
Bewertung: Diese Strategie ist wahrscheinlich suboptimal, denn sie laesst
die moegliche Strategie des Vorgaengers voellig ausser Betracht.
Die Wahl von Z2 ist konservativ, sie vermeidet ein eigenes Risiko,
so weit moeglich.
G2: Die 'aggressive' Strategie
Z1(i) = 9 (wie in G1)
Z2(i) = max(ZW(i),ZG(i-1)+1,9), d. h. es wird versucht, den Nachfolger
in die Ecke zu draengen. Vorausgesetzt, er verfolgt die gleiche
oder eine aehnliche Strategie (Z1 = 9), fuehrt das gerade eben
noch nicht dazu, dass er den moeglicherweise gelogenen, eigenen
Wurf ueberprueft.
Bewertung: Das "In die Ecke draengen" des Nachfolgers ergibt bei einer
grossen Anzahl von Spielern keinen Sinn, da es ja lediglich
darauf ankommt, eigene Verluste zu vermeiden. Es koennte allenfalls
dann sinnvoll sein, wenn die Runde klein ist, denn die eigenen
Chancen verschlechtern sich, wenn man in einer Runde zum zweiten
(oder gar dritten) Mal an die Reihe kommt.
G3: Die 'variierende' Strategie
Z1(i) = Gauss(9,sigma1), d. h. die Grenze zum Ueberpruefen wird variiert,
um die eigene Gewinnstrategie zu verschleiern.
Z2(i) = max(ZW(i),ZG(i-1)), d. h. wie in Strategie G1.
Bewertung: Das Verschleiern der eigenen Strategie wird wahrscheinlich den
Spieler, der in der Runde immer vor mir an die Reihe kommt, dazu
veranlassen, moeglichst konservativ zu spielen, da er zunaechst
(er braucht laenger, um eine brauchbare Statistik zu sammeln, die
die Korrelation zwischen seinen Wuerfen und meinen erkennen laesst)
keine klare Strategie ausmachen kann. Damit stellt sie aber ver-
mutlich trotzdem keine sinnvolle Alternative zur unten beschriebenen
Strategie G4 dar, jedenfalls nicht, wenn die in G1 bis G3 beschrie-
bene Wahl von Z2 tatsaechlich sowieso die optimale Wahl fuer jeden
Spieler ist.
Die Wahl von Z2 ist mit der Variante aus Strategie G1 - d. h. die Wahrheit
sagen oder nur so viel luegen, wie notwendig ist, um dem Nachfolger keinen
Anreiz zu liefern, die eigenen Wuerfel zu ueberpruefen - (fuer mich) intuitiv
am vernuenftigsten gewaehlt. Damit bleibt nur die Frage nach der Wahl von Z1.
Hierfuer ist aber nur ein Parameter ausschlaggebend: Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit p, dass der Vorgaenger gelogen hat?
Nun, wenn wir davon ausgehen, dass auch unser Vorgaenger sein Z2 auch ratio-
nal, also nach der Strategie G1 waehlt, dann wissen wir, dass sein
Z2(i-1) = max(ZW(i-1),ZG(i-2)+1)
Damit wird die Frage einfach zu beantworten. Die Wahrscheinlichkeit, dass
der Vorgaenger luegt, ist p = p(ZW(i-1) > ZG(i-2)+1). Da wir ZW(i-1) nicht
kennen (der Vorgaenger hat ja seine Wuerfel verdeckt gehalten), reduziert
sich das Problem nunmehr tatsaechlich auf die Frage nach dem Quantil.
Im Unterschied zu Strategie G1 ist jetzt allerdings nicht mehr nach ZG(i-1)
gefragt, sondern nach ZG(i-2)! Normiert auf die unterschiedlichen Wahr-
scheinlichkeiten der Werte 1-21 (p1..p14 = 1/18; p15..p20 = 1/36;p21 = 1/18)
ist es also vernuenftig, die Wuerfel des Vorgaengers aufzudecken, wenn
*dessen* Vorgaenger einen Wurf von 9 (in Augen: "54") oder mehr hatte.
Also stellen wir auf:
G4: Die 'Gewinnstrategie'
Z1 hat keine Bedeutung mehr. Dafuer fuehren wir Z1' ein:
Z1' = ZG(i-2)(U = 0 -> U = 1), d. h. der Vorvorgaengerwurf, ab dem es sich
lohnt, den Wurf des Vorgaengers zu ueberpruefen.
Und damit finden wir:
Z1' = 9 (oder in Augen: "54")
Z2 = max(ZW(i),ZG(i-1)+1)
Allerdings hat die Sache einen Haken. Nachdem dieser Artikel uebers Netz
gegangen ist, werden natuerlich alle anfangen, nach meiner umwerfenden
Strategie zu spielen. Damit sind aber die Chancen wieder genau gleichverteilt.
Oder faellt jemand *noch* was besseres ein?
Ich bin neugierig...
Peter
--
"Es war ein Fehler, zu promovieren." Holger "Der Fahrraddoktor" Kuest
(ku...@frmeh1.physik.uni-freiburg.de) eine halbe Stunde nach Bestehen
der Doktorpruefung.
Joerg Eisfeld
On 29 Mar 1997, Peter Berlich wrote:
> Die Wahl von Z2 ist mit der Variante aus Strategie G1 - d. h. die Wahrheit
> sagen oder nur so viel luegen, wie notwendig ist, um dem Nachfolger keinen
> Anreiz zu liefern, die eigenen Wuerfel zu ueberpruefen - (fuer mich) intuitiv
> am vernuenftigsten gewaehlt.
Das geht aber ziemlich leicht daneben, falls man dieses Prinzip
radikal durchhaelt und die anderen es durchschauen.
In diesem Fall weiss der Nachfolger naemlich:
- falls ZG(i)>ZG(i-1)+1, so ist der Wurf garantiert okay, so dass es
besser ist zu wuerfeln
- falls ZG(i)=ZG(i-1)+1, so ist es sehr wahrscheinlich, dass dieses
Phaenomen durch Luege zustande kam.
Insbesondere Punkt 2 kann sich toedlich auswirken.
> Oder faellt jemand *noch* was besseres ein?
Ich denke, es macht wenig Sinn, eine Strategie zu entwickeln,
die die Strategien der anderen nicht beruecksichtigt.
Soweit ich ueber Spieltheorie informiert bin, wird in einer Strategie,
die sich "optimal" schimpfen kann, ziemlich viel Zufall mit reinkommen.
Allerdings haben solche Stragegien den Nachteil, dass sie nicht in
der Lage sind, "Dummheiten" der anderen auszunutzen. Sie sind gut,
wenn die Gegner gute Strategien haben, aber sie sehen klaeglich aus
im Kampf gegen dumme Strategien.
Uebrigens hat "Maexchen" noch das Phaenomen, dass das eigene Ergebnis
sehr stark von dem Spielverhalten von Vorgaenger und Nachfolger
gepraegt wird. Die beiden koennen einen hoffnungslos reinreissen,
auch wenn man eine noch so tolle Strategie hat...
Ciao
Joerg
--
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Joerg Eisfeld Mathematisches Institut Arndtstr.2 D-35392 Giessen
e-mail: Joerg....@math.uni-giessen.de Tel: 0641-99-32083
http://www.uni-giessen.de/~gc66/
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Volker Kraska
ber...@ruhpb.physik.uni-freiburg.de (Peter Berlich) writes:
>
> - Wer die Wuerfel von seinem Vorgaenger annimmt, kann ihm entweder glauben,
> oder ihm nicht glauben, und die Wuerfel aufdecken.
Dabei ist es allerdings bloed, wenn zwei aufeinanderfolgende Spieler
glauben koennen. Besser ist, dass man ein genanntes Ergebnis nur jeweils einmal
glauben darf. Wenn der naechste Spieler dann die geglaubten Wuerfel erhaelt,
muss er entweder aufdecken oder ueberbieten, daf aber nicht mehr glauben !
Viel Spass damit
Volker
--
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Jan Vitense
Reply auf ber...@ruhpb.physik.uni-freiburg.de zum Thema Gewinnstrategie "Maexchen"
> - Ein Spieler erhaelt einen Verlustpunkt, wenn er
> - weniger gewuerfelt hat, als sein Vorgaenger
> - von seinem Nachfolger beim Luegen ertappt wird
> - die Wuerfel seines Vorgaengers aufdeckt, und dessen Angaben gestimmt
> haben, er also nicht gelogen hat.
> - Wer einen Verlustpunkt erhaelt, startet die Runde von neuem mit einem
> beliebigen Wurf.
> - Nach mehreren Runden werden die Verlustpunkte zusammengezaehlt. Der
> Spieler mit den wenigsten Verlustpunkten hat gewonnen.
>
> (Uebrigens: Welche Variationen zu diesen Regeln sind der werten Runde
> bekannt? Schliesslich lerne ich immer gerne neue Spiele kennen...)
Bei uns heißt das Spiel Meyer. Man darf auch ungestraft etwas NIEDRIGERES
ansagen, als man gewürfelt hat. (Das ist dann ganz lustig, wenn z. B.
einen 4er-Pasch hat und einen 1er ansagt. Dann kann der nächste -ohne
drunterzugucken und neu zu würfeln- einen 2er ansagen usw., bis
irgendjemand nichts mehr glaubt... ;)
Außerdem darf man seine gewürfelte Zahl auf biegen und brechen nur EIN
EINZIGES MAL ansagen.
Und ein Verlustpunkt (schönes Wort) heißt bei uns: Einen trinken! :-]
In diesem Sinne: Prost!
CU
JAn
--
O tempora, o mores
Volker Moell
Jan Vitense wrote:
>
> Reply auf ber...@ruhpb.physik.uni-freiburg.de zum Thema Gewinnstrategie "Maexchen"
>
> > bekannt? Schliesslich lerne ich immer gerne neue Spiele kennen...)
> ansagen, als man gewürfelt hat. (Das ist dann ganz lustig, wenn z. B.
> einen 4er-Pasch hat und einen 1er ansagt. Dann kann der nächste -ohne
> drunterzugucken und neu zu würfeln- einen 2er ansagen usw., bis
> irgendjemand nichts mehr glaubt... ;)
beim standard-maexchen von vornerein verloren hat, wenn man nicht
luegen kann (wie ich). im gegensatz dazu habe ich beim "untertreiben"
schon des oefteren gewonnen...
ausserdem kann man so auch versuchen, gezielt bestimmte personen (z.b.
die mit den wenigsten "verlustpunkten") reinzureissen. klappt des
oefteren ziemlich gut. ;-)
> Außerdem darf man seine gewürfelte Zahl auf biegen und brechen nur EIN
> EINZIGES MAL ansagen.
was heisst'n das?!
> Und ein Verlustpunkt (schönes Wort) heißt bei uns: Einen trinken! :-]
<g>
-volker
,,,
(o o)
-----------------------------------------oOO--(_)--OOo------------
Volker Moell mailto:mo...@mathematik.uni-kl.de
Uni Kaiserslautern http://www.student.uni-kl.de/~vmoell
Dieser Text wurde maschinell erstellt und ist ohne Unterschrift gueltig!
Sven Roos
> > (Uebrigens: Welche Variationen zu diesen Regeln sind der werten Runde
> > bekannt? Schliesslich lerne ich immer gerne neue Spiele kennen...)
> ansagen, als man gewürfelt hat. (Das ist dann ganz lustig, wenn z. B.
> einen 4er-Pasch hat und einen 1er ansagt. Dann kann der nächste -ohne
> drunterzugucken und neu zu würfeln- einen 2er ansagen usw., bis
> irgendjemand nichts mehr glaubt... ;)
> EINZIGES MAL ansagen.
Ich kenne bei dem feucht-fröhlichen Meyer noch etwas anderes:
Wenn man gewürfelt hat, und etwas Niedrigeres als sein Vorgänger hat, kann
man nicht lügen, sondern noch einmal würfeln, die Würfel aber nicht
angucekn, sondern verdeckt an den Nächsten weitergeben mit der Angabe
"Höher".
Dieser macht dann so weiter, als ob der Vorgänger eine Zahl höher hat, als
dessen Vorgänger hatte, also glauben oder aufdecken.
Hat einen Vorteil für Mitspieler, die nicht lügen könen, sei es aus
"charakterlichen" oder auch alkoholischen Gründen. Klappt auch erstaunlich
oft.
Im übrigen gilt bei Meyer, also 21, folgende Regel: Wenn der Vorgänger
Meyer ansagt, dann kann der Nochfolger glauben oder aufdecken (klar).
Glaubt er, so bekommt er einen Verlustpunkt, und beginnt von neuem. Deckt
er auf, und es ist tatsächlich ein Meyer, so bekommt er zwei Verlustpunkte.
Ist es kein Meier so erhält der Ansager einen Punkt. (Der Verlustpunkt ist
natürlich wieder ein "Kurzer").
Ansonsten gibt es noch diverseste Abwandlungen, die jedoch nur den Sinn
haben, schnell zu verlieren :-))))))) .
So, hoffentlich sind alle Klarheiten beseitigt.
Sven
Klaus Peukert
Am 29 Mar 1997 15:37:42 GMT, ber...@ruhpb.physik.uni-freiburg.de
(Peter Berlich) schrieb:
>Ich habe letztens mit Freunden ein Wuerfelspiel namens "Schummeln"
>gespielt. Landschaftlich verschieden ist es wohl auch unter dem
>Namen "Maexchen" bekannt.
>
<schnipp>
>
>(Uebrigens: Welche Variationen zu diesen Regeln sind der werten Runde bekannt?
>Schliesslich lerne ich immer gerne neue Spiele kennen...)
>
Ich kenne das Spiel als "SchwindelMax", in zwei Variationen, einmal
MIT anschauen der Würfel ("offen") und einmal OHNE die Würfel
anzuschauen.("zu")
Ein Spieler erhält einen "Verlustpunkt",
-wenn der Nachfolger "kontrolliert" und das Ergebnis niedriger als die
gesagte Zahl ist (offen/zu)
Ein Spieler erhält _zwei_ Verlustpunkte, wenn
- er seinen Vorgänger kontrolliert, und dessen Ansage stimmt(offen)
- die Punktzahl besser oder gleich der Ansage ist. (zu)
Mit 6 Verlustpunkten "schwimmt" man, mit jedem weiteren Verlustpunkt
hat man verloren.
Mich würde nun interessieren, ab welcher Zahl man seinen Vorgänger
kontrollieren sollte, insbesondere bei der "geschlossenen" Variante,
da bei dem offenem Spiel die Fähigkeit zu schwindeln IMHO eine weitaus
höhere Rolle spielt als die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für die
angesagte Punktzahl.
Außerdem spielt bei diesen beiden Varianten aine große Rolle, daß man
2 Minuspunkte bekommt, wenn die Ansage des Vorgängers stimmt, aber nur
einen, wenn man dem Vorgänger Glauben schenkt(insb. bei "offen") und
lieber nur einen Punkt kassiert, wenn man den Wurf nicht übertrifft.
Also genug geredet, ab wann sollte man bei der geschlossenen Variante
den Vorgänger kontrollieren und ab wann nicht. Ach ja, ich muß noch
hinzufügen, daß der "Einstiegswert" bei der praktischen Ausübung des
Spielchens bei 61,62,63 liegt, und daß trotz der hohen
Wahrscheinlichkeit, daß die Ansage falsch ist, man mit Mitnehmen sehr
oft weitaus besser bedient ist, als wenn man kontrolliert("zu").
auf Antwort hoffend
Klaus Peukert
mai9...@studserv.uni-leipzig.de
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Glücklich ist, wer vergißt,
was doch nicht zu ändern ist :-)