Hilbert's Hotel in Action.

[Fritz Feldhase]

Man soll zeigen, dass [0, 1] ~ IR gilt.

Einfache Übung, würde man meinen.

Wir definieren z. B. f: ]0, 1[ --> IR durch f(x) = tan((x - 1/2) * pi) für alle x e ]0, 1[. (Also: f := {(x, tan((x - 1/2) * pi)) : x e ]0, 1[}.) Dann ist f eine Bijektion von ]0, 1[ auf IR.

Hmmm... passt _beinahe_, aber die Randpunkt 0 und 1 sind leider nicht mit dabei? Was nun?

Irgendwie müssten wir die beiden Randpunkte des Intervalls (also 0 und 1) auch noch mit in den Definitionsbereich "der Funktion" aufnehmen.

Aber wie?

:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:

Hier kann man sich die Idee, wie man einen zusätzlichen Gast in Hilberts Hotel unterbringt, zunutze machen. (In unserem Fall sind es halt 2 zusätzliche Gäste und ein vollständig belegtes "Hotel" mit überabzählbar vielen "Gästen" und "Zimmern". Es genügt aber, sich auf abzählbar viele "Gäste" und "Zimmer" zu beschränken, so dass der Fall letztlich doch ganz ähnlich liegt wie bei "Hilberts Hotel".)

Wir "eliminieren" zuerst von der ursprünglichen Funktion f ausgehend die Argument-Werte-Paare der Form (..., n) mit n e {-1, -2, -3, ...} und die Argument-Werte-Wertepaare der Form (..., -n) mit n e {1, 2, 3, ...}:

f* := f \ {(f^-1(n), n)) : n e {-1, -2, -3, ...}} \ {(f^-1(n), n)) : n e {1, 2, 3, ...}}.

Nun definieren wir:

f** := f* u {0, -1) u {(f^-1(n), n-1)) : n e {-1, -2, -3, ...}} u (1, 1) u {(f^-1(n), n+1)) : n e {1, 2, 3, ...}}.

f** ist dann eine Bijektion von [0, 1] auf IR. (f*(x) stimmt für alle x e ]0, 1[ \ {-1, -2, -3, ...} \ {1, 2, 3, ...} mit f(x) überein.)

[Natürlich könnte man das auch in einem statt 2 Schritten machen.]