Einen Streifen der Kugeloberfläche über Integration berechnen

[Joachim Zink]

Hallo,
in einer Wissenschaftssendung (Arte) wurde ein Exoplanet vorgestellt, der
seinem Zentralgestirn beim Umlauf immer die gleiche Seite zuwendet.
Im Übergangsbereich zwischen heißer Tages- und kalter Nachtseite gibt
es einen Dämmer-Streifen, wo die Temperatur gemäßigt ist und evtl.
flüssiges Wasser vorhanden ist.

Wie groß ist die Fläche dieses Übergangsstreifens, wenn der Radius der
Kugel (des Exoplaneten) r beträgt und die Übergangszone die Breite d
hat?

Der Ehrgeiz besteht darin, dies über eine Integration zu berechnen.

Ich habe zur Übung versucht, erstmal die Oberfläche der gesamten Kugel
zu berechnen mit folgender Überlegung:

Gegeben der positive Halbkreis von -r bis +r : y = sqrt(r^2 - x^2)

Ich betrachte eine Stelle x im Intervall [-r, r].
An dieser Stelle kann ich einen infinitesimalen "Ring" mit der
Oberfläche dA = 2*Pi*f(x) erkennen, wobei f(x) gerade der Radius dieser
kleinen Kreisscheibe ist.
Wenn ich jetzt über x von -r bis +r integriere, müsste ich die Oberfläche
der Kugel erhalten.
Wieso ist diese Überlegung falsch?

Zur Oberflächenberechnung finde ich, dass jedes Oberflächenproblem auf
ein Zweifachintegral zurückzuführen ist (mit Mehrfachintegralen muss ich
mich erst wieder vertraut machen).

Wo liegt der Denkfehler?

Danke uund Grüße
Joachim

[Dieter Heidorn]

Joachim Zink schrieb:

> Gegeben der positive Halbkreis von -r bis +r : y = sqrt(r^2 - x^2)
>
> Ich betrachte eine Stelle x im Intervall [-r, r].
> An dieser Stelle kann ich einen infinitesimalen "Ring" mit der
> Oberfläche dA = 2*Pi*f(x) erkennen, wobei f(x) gerade der Radius dieser
> kleinen Kreisscheibe ist.
> Wenn ich jetzt über x von -r bis +r integriere, müsste ich die Oberfläche
> der Kugel erhalten.
> Wieso ist diese Überlegung falsch?
>

Physikalisch gesprochen: y = f(x) steht für eine Länge, also kann

dA = 2 pi f(x)

keine Fläche sein.

Du musst zwei Stellen x_i und x_{i+1} mit den zugehörigen Ordinaten
y_i = f(x_i) und y_i+1 = f(x_{i+1}) betrachten. Das gesuchte Ober-
flächenelement entspricht dann dem Mantel des Kegelstumpfes, der bei
Drehung um die x-Achse entsteht. Dafür gilt:

delta A_i = pi * delta s_i * (y_i + y_{i+1})

= pi*sqrt[1 + (delta y_i/delta x_i)^2]*delta x_i*
(y_i + y_{i+1})

Für delta x_i --> 0 ergibt sich daraus:

dA = pi * sqrt(1 + y'^2)*y dx.

Die Ableitung von y = f(x) = sqrt(r^2 - x^2) ist:

y'(x) = -x/sqrt(r^2 - x^2)

Damit wird der Wurzelterm in dA:

sqrt(1 + y'^2) = sqrt[1 + x^2/(r^2 - x^2)]

= sqrt[r^2 / (r^2 - x^2)]

= r / sqrt(r^2 - x^2)

Multipliziert mit y = sqrt(r^2 - x^2) ergibt sich:

sqrt(1 + y'^2)*y = r

Oberfläche:

dA = pi * r dx

Integriert:

r
A = pi * Int r dx
-r

A = 2 pi r^2.

Dieter Heidorn

[Dieter Heidorn]

Dieter Heidorn schrieb:

> Joachim Zink schrieb:
>
>> Gegeben der positive Halbkreis von -r bis +r : y = sqrt(r^2 - x^2)
>>
>> Ich betrachte eine Stelle x im Intervall [-r, r].
>> An dieser Stelle kann ich einen infinitesimalen "Ring" mit der
>> Oberfläche dA = 2*Pi*f(x) erkennen, wobei f(x) gerade der Radius dieser
>> kleinen Kreisscheibe ist.
>> Wenn ich jetzt über x von -r bis +r integriere, müsste ich die Oberfläche
>> der Kugel erhalten.
>> Wieso ist diese Überlegung falsch?
>>
>
> Physikalisch gesprochen: y = f(x) steht für eine Länge, also kann
>
>    dA = 2 pi f(x)
>
> keine Fläche sein.
>
> Du musst zwei Stellen x_i und x_{i+1} mit den zugehörigen Ordinaten
> y_i = f(x_i) und y_i+1 = f(x_{i+1}) betrachten. Das gesuchte Ober-
> flächenelement entspricht dann dem Mantel des Kegelstumpfes, der bei
> Drehung um die x-Achse entsteht. Dafür gilt:
>
>    delta A_i = pi * delta s_i * (y_i + y_{i+1})
>
>              = pi*sqrt[1 + (delta y_i/delta x_i)^2]*delta x_i*
>                                                     (y_i + y_{i+1})
>
> Für delta x_i --> 0 ergibt sich daraus:
>
>    dA = pi * sqrt(1 + y'^2)*y dx.

^
|
Da fehlt leider eine "2".

[...]

Oberfläche:

dA = 2 pi * r dx

Integriert:

r
A = 2 pi * Int r dx
-r

A = 4 pi r^2.

Dieter Heidorn

[Joachim Zink]

Dieter Heidorn schrieb am Montag, 25. April 2022 um 21:47:27 UTC+2:

> Physikalisch gesprochen: y = f(x) steht für eine Länge, also kann
>
> dA = 2 pi f(x)
>
> keine Fläche sein.

Genau das war mein Fehler.
Vielen Dank für diese prägnante Richtigstellung.

> Du musst zwei Stellen x_i und x_{i+1} mit den zugehörigen Ordinaten
> y_i = f(x_i) und y_i+1 = f(x_{i+1}) betrachten. Das gesuchte Ober-
> flächenelement entspricht dann dem Mantel des Kegelstumpfes, der bei
> Drehung um die x-Achse entsteht. Dafür gilt:

> ...
Verstanden.
Großen Dank für Deine Hilfestellung.
Die Rechnung ist klar und für mich total gut nachvollziehbar.

Kleine Frage noch nebenbei, die wir uns auch gestellt haben:
Lässt sich so eine "Streifenfläche" auf der Kugel auch ohne Integral-
rechnung bestimmen?

Danke und Grüße
Joachim

> Dieter Heidorn

[Dieter Heidorn]

Joachim Zink schrieb:

Ja, das geht - Stichwort "Kugelschicht":

https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelschicht

Dieter Heidorn

[neu...@tuhh.de]

Unter der Annahme, daß der Streifen sehr schmal ist (gegenüber dem Umfang),
was hier zumindest näherungsweise gelten dürfte,
dann liegt der Streifen mit der Breite h symmetrisch zu einem Umkreis
U= 2Pi*r mit der (0ten-)Näherungsfläche F~ U*h
(oder eben Dieter!)

Siggi N.