On Friday, August 20, 2021 at 7:28:47 PM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:
> On Friday, August 20, 2021 at 5:28:12 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
>
> Auch wenn Du zu blöde bist, das zu verstehen:
>
> Hier geht es um Mächtigkeit/Kardinalzahlen:
> >
> > "Jeder wohldefinierten Menge kommt danach eine bestimmte Mächtigkeit zu, wobei zwei Mengen dieselbe Mächtigkeit zugeschrieben wird, wenn sie sich gegenseitig eindeutig, Element für Element einander zuordnen lassen." [Cantor, p. 167]
> >
> Und hier um Ordnungstyp/Ordinalzahlen:
> >
> > "Dabei nenne ich zwei wohlgeordnete Mengen von demselben Typus und schreibe ihnen gleiche Anzahl zu, wenn sie sich unter Wahrung der festgesetzten Rangordnung ihrer Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander abbilden, oder wie man sich gewöhnlich ausdrückt, aufeinander abzählen lassen." [G. Cantor, letter to W. Wundt (5 Oct 1883)]
Das war Frege (1884) schon klar:
§ 85. Die cantorschen unendlichen Anzahlen; "Mächtigkeit". Abweichung in
der Benennung.
Vor Kurzem hat G. Cantor in einer bemerkenswerthen Schrift unendliche
Anzahlen eingeführt. Ich stimme ihm durchaus in der Würdigung der Ansicht
bei, welche überhaupt nur die endlichen Anzahlen als wirklich gelten lassen
will. Sinnlich wahrnehmbar und räumlich sind weder diese noch die Brüche,
noch die negativen, irrationalen und complexen Zahlen; und wenn man
wirklich nennt, was auf die Sinne wirkt, oder was wenigstens Wirkungen hat,
die Sinneswahrnehmungen zur nähern oder entferntern Folge haben können, so
ist freilich keine dieser Zahlen wirklich. Aber wir brauchen auch solche
Wahrnehmungen gar nicht als Beweisgründe für unsere Lehrsätze. Einen Namen
oder ein Zeichen, das logisch einwurfsfrei eingeführt ist, können wir in
unsern Untersuchungen ohne Scheu gebrauchen, und so ist unsere Anzahl oo_1
so gerechtfertigt wie die Zwei oder die Drei.
Indem ich hierin, wie ich glaube, mit Cantor übereinstimme, weiche ich doch
in der Benennung etwas von ihm ab. Meine Anzahl nennt er "Mächtigkeit,"
während sein Begriff der Anzahl auf die Anordnung Bezug nimmt. Für endliche
Anzahlen ergiebt sich freilich doch eine Unabhängigkeit von der
Reihenfolge, dagegen nicht für unendlichgrosse. Nun enthält der
Sprachgebrauch des Wortes "Anzahl" und der Frage "wieviele?" keine
Hinweisung auf eine bestimmte Anordnung. Cantors Anzahl antwortet vielmehr
auf die Frage: "das wievielste Glied in der Succession ist das Endglied?"
Darum scheint mir meine Benennung besser mit dem Sprachgebrauche
übereinzustimmen. Wenn man die Bedeutung eines Wortes erweitert, so wird
man darauf zu achten haben, dass möglichst viele allgemeine Sätze ihre
Geltung behalten und zumal so grundlegende, wie für die Anzahl die
Unabhängigkeit von der Reihenfolge ist. Wir haben gar keine Erweiterung
nöthig gehabt, weil unser Begriff der Anzahl sofort auch unendliche Zahlen
umfasst.
(Gottlob Frege, Grundlagen der Arithmetik, 1884)