Ein Beweis, den jeder Mathematiker verstehen kann?

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Ganzhinterseher

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Aug 20, 2021, 11:28:12 AMAug 20
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"Wenn zwei wohldefinierte Mannigfaltigkeiten M und N sich eindeutig und vollständig, Element für Element, einander zuordnen lassen (was, wenn es auf eine Art möglich ist, immer auch noch auf viele andere Weisen geschehen kann), so möge für das Folgende die Ausdrucksweise gestattet sein, daß diese Mannigfaltigkeiten gleiche Mächtigkeit haben, oder auch, daß sie äquivalent sind." [Cantor, p. 119]

"Jeder wohldefinierten Menge kommt danach eine bestimmte Mächtigkeit zu, wobei zwei Mengen dieselbe Mächtigkeit zugeschrieben wird, wenn sie sich gegenseitig eindeutig, Element für Element einander zuordnen lassen." [Cantor, p. 167]

"Dabei nenne ich zwei wohlgeordnete Mengen von demselben Typus und schreibe ihnen gleiche Anzahl zu, wenn sie sich unter Wahrung der festgesetzten Rangordnung ihrer Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander abbilden, oder wie man sich gewöhnlich ausdrückt, aufeinander abzählen lassen." [G. Cantor, letter to W. Wundt (5 Oct 1883)]

Solche Mengen sind zum Beispiel die Menge aller natürlichen Zahlen und die Menge aller positiven Rationalzahlen. Das bedeutet:

(1) Alle positiven Rationalzahlen können nummeriert werden.
(2) Das gilt ebenfalls für die Rationalzahlen jedes Einheitsintervalls (n, n+1].
(3) Zur Vervollständigung der Nummerierung der Rationalzahlen eines Intervalls ist mindestens eine natürliche Zahl erforderlich. (Das hat nichts mit einer letzen Zahl zu tun, sondern betrifft nur die Vervollständigung nach Cantors Forderung.)
(4) Da jede natürliche Zahl in ein und nur ein Intervall fällt, sind zur Vervollständigung der Nummerierung der Rationalzahlen aller Intervalle mindestens zwei natürliche Zahl erforderlich. (Das hat nichts mit einer letzen Zahl zu tun, sondern betrifft nur die Vervollständigung nach Cantors Forderung.)
(5) Die Rangordnung dieser beiden Zahlen kann nicht angegeben werden. Also lassen sie sich nicht unter Wahrung irgendeiner Rangordnung abbilden.

Damit ist Cantors Vorstellung ad absurdum geführt.

Gruß, WM

Tom Bola

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Aug 20, 2021, 12:06:00 PMAug 20
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Ganzhinterseher faselt:

> "Wenn zwei wohldefinierte Mannigfaltigkeiten M und N sich eindeutig
> und vollständig, Element für Element, einander zuordnen lassen
> (was, wenn es auf eine Art möglich ist, immer auch noch auf
> viele andere Weisen geschehen kann),

ROFL...

> ... unter Wahrung irgendeiner Rangordnung abbilden.

Alles entsetzlicher Stuss.

> Damit ist Cantors Vorstellung ad absurdum geführt.

Na dann, sags der Welt!

> Gruß, WM

Ja, ja, grüß schön...

Fritz Feldhase

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Aug 20, 2021, 1:28:47 PMAug 20
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On Friday, August 20, 2021 at 5:28:12 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

Auch wenn Du zu blöde bist, das zu verstehen:

Hier geht es um Mächtigkeit/Kardinalzahlen:

> "Wenn zwei wohldefinierte Mannigfaltigkeiten M und N sich eindeutig und vollständig, Element für Element, einander zuordnen lassen (was, wenn es auf eine Art möglich ist, immer auch noch auf viele andere Weisen geschehen kann), so möge für das Folgende die Ausdrucksweise gestattet sein, daß diese Mannigfaltigkeiten gleiche Mächtigkeit haben, oder auch, daß sie äquivalent sind." [Cantor, p. 119]
>
> "Jeder wohldefinierten Menge kommt danach eine bestimmte Mächtigkeit zu, wobei zwei Mengen dieselbe Mächtigkeit zugeschrieben wird, wenn sie sich gegenseitig eindeutig, Element für Element einander zuordnen lassen." [Cantor, p. 167]

Und hier um Ordnungstyp/Ordinalzahlen:

> "Dabei nenne ich zwei wohlgeordnete Mengen von demselben Typus und schreibe ihnen gleiche Anzahl zu, wenn sie sich unter Wahrung der festgesetzten Rangordnung ihrer Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander abbilden, oder wie man sich gewöhnlich ausdrückt, aufeinander abzählen lassen." [G. Cantor, letter to W. Wundt (5 Oct 1883)]

Siehe dazu: https://en.wikipedia.org/wiki/Order_type
Und: https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number

Nur zur Erinnerung: Wenn Cantor in diesem Zusammenhang von "Anzahl" spricht, meint er "Ordinalzahl".

> Solche Mengen sind zum Beispiel die Menge aller natürlichen Zahlen und die Menge aller positiven Rationalzahlen. Das bedeutet: <blubber>

Dummes Gequatsche. Du bist offenbar zu Blöde, um, den Kardinalzahlbegriff vom Ordinalzahlbegriff zu unterscheiden.

> <wirres Gefasel gelöscht>

Fritz Feldhase

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Aug 20, 2021, 1:31:17 PMAug 20
to
On Friday, August 20, 2021 at 6:06:00 PM UTC+2, Tom Bola wrote:
> Ganzhinterseher faselt:
> >
> > "Wenn zwei wohldefinierte Mannigfaltigkeiten M und N sich eindeutig
> > und vollständig, Element für Element, einander zuordnen lassen
> > (was, wenn es auf eine Art möglich ist, immer auch noch auf
> > viele andere Weisen geschehen kann),
> >
> > ... unter Wahrung irgendeiner Rangordnung abbilden.
> >
> Alles entsetzlicher Stuss.

Nun, die zitierten Textstellen von Cantor werde m. E. eher nicht als Stuss angesehen. Dass WM in diesem Zusammenhang nur Unsinn faselt, ist ist ein anderes Thema...

Tom Bola

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Aug 20, 2021, 2:51:24 PMAug 20
to
Fritz Feldhase schrieb:

> On Friday, August 20, 2021 at 6:06:00 PM UTC+2, Tom Bola wrote:
>> Ganzhinterseher faselt:
>>>
>>> "Wenn zwei wohldefinierte Mannigfaltigkeiten M und N sich eindeutig
>>> und vollständig, Element für Element, einander zuordnen lassen
>>> (was, wenn es auf eine Art möglich ist, immer auch noch auf
>>> viele andere Weisen geschehen kann),
>>>
>>> ... unter Wahrung irgendeiner Rangordnung abbilden.
>>>
>> Alles entsetzlicher Stuss.
>
> Nun, die zitierten Textstellen von Cantor werde m. E. eher nicht
> als Stuss angesehen. #

Natürlich, ich haben den Rahmen viel zu umfänglich zitiert, besser wärs so

>>> "Wenn zwei wohldefinierte ...
>>> ... unter Wahrung irgendeiner Rangordnung abbilden.

gewesen.

Gus Gassmann

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Aug 20, 2021, 3:29:57 PMAug 20
to
Wie schon von anderen hier ausgeführt, hast du von Wohlordnungen genau so wenig Ahnung wie von der Unendlichkeit, und eigentlich allen mathematischen Sachverhalten. Bijektionen sind nicht von Wohlordnungen abhängig, obwohl man die Rationalzahlen *nach* der Abbildung wohlordnen kann. (r1 < r2 iff n1 < n2, wo n1 auf r1 und n2 auf r2 abgebildet wurde). Dein Einwand (5) ist deshalb unsinnig.

Ganzhinterseher

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Aug 20, 2021, 4:43:53 PMAug 20
to
Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 20. August 2021 um 19:28:47 UTC+2:

> Hier geht es um Mächtigkeit/Kardinalzahlen:
> Wenn Cantor in diesem Zusammenhang von "Anzahl" spricht, meint er "Ordinalzahl".
> offenbar zu Blöde, um, den Kardinalzahlbegriff vom Ordinalzahlbegriff zu unterscheiden.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

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Aug 20, 2021, 4:45:00 PMAug 20
to
Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 20. August 2021 um 19:31:17 UTC+2:
> On Friday, August 20, 2021 at 6:06:00 PM UTC+2, Tom Bola wrote:
> > Ganzhinterseher faselt:
> > >
> > > "Wenn zwei wohldefinierte Mannigfaltigkeiten M und N sich eindeutig
> > > und vollständig, Element für Element, einander zuordnen lassen
> > > (was, wenn es auf eine Art möglich ist, immer auch noch auf
> > > viele andere Weisen geschehen kann),
> > >
> > > ... unter Wahrung irgendeiner Rangordnung abbilden.
> > >
> > Alles entsetzlicher Stuss.
> Nun, die zitierten Textstellen von Cantor werde m. E. eher nicht als Stuss angesehen.

Wurden im folgenden Teil aber als solcher nachgewiesen.

Gruß, WM

Fritz Feldhase

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Aug 20, 2021, 4:52:28 PMAug 20
to
On Friday, August 20, 2021 at 10:43:53 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 20. August 2021 um 19:28:47 UTC+2:
> >
> > Wenn Cantor in diesem Zusammenhang von "Anzahl" spricht, meint er "Ordinalzahl".
> >
> > Du bist aber offenbar zu blöde, um, den Kardinalzahlbegriff vom Ordinalzahlbegriff zu unterscheiden.

Bedauerlich, aber wahr.

Ganzhinterseher

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Aug 20, 2021, 4:53:19 PMAug 20
to
Gus Gassmann schrieb am Freitag, 20. August 2021 um 21:29:57 UTC+2:
> On Friday, 20 August 2021 at 12:28:12 UTC-3, Ganzhinterseher wrote:
> > "Wenn zwei wohldefinierte Mannigfaltigkeiten M und N sich eindeutig und vollständig, Element für Element, einander zuordnen lassen (was, wenn es auf eine Art möglich ist, immer auch noch auf viele andere Weisen geschehen kann), so möge für das Folgende die Ausdrucksweise gestattet sein, daß diese Mannigfaltigkeiten gleiche Mächtigkeit haben, oder auch, daß sie äquivalent sind." [Cantor, p. 119]
> >
> > "Jeder wohldefinierten Menge kommt danach eine bestimmte Mächtigkeit zu, wobei zwei Mengen dieselbe Mächtigkeit zugeschrieben wird, wenn sie sich gegenseitig eindeutig, Element für Element einander zuordnen lassen." [Cantor, p. 167]
> >
> > "Dabei nenne ich zwei wohlgeordnete Mengen von demselben Typus und schreibe ihnen gleiche Anzahl zu, wenn sie sich unter Wahrung der festgesetzten Rangordnung ihrer Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander abbilden, oder wie man sich gewöhnlich ausdrückt, aufeinander abzählen lassen." [G. Cantor, letter to W. Wundt (5 Oct 1883)]
> >
> > Solche Mengen sind zum Beispiel die Menge aller natürlichen Zahlen und die Menge aller positiven Rationalzahlen. Das bedeutet:
> >
> > (1) Alle positiven Rationalzahlen können nummeriert werden.
> > (2) Das gilt ebenfalls für die Rationalzahlen jedes Einheitsintervalls (n, n+1].
> > (3) Zur Vervollständigung der Nummerierung der Rationalzahlen eines Intervalls ist mindestens eine natürliche Zahl erforderlich. (Das hat nichts mit einer letzen Zahl zu tun, sondern betrifft nur die Vervollständigung nach Cantors Forderung.)
> > (4) Da jede natürliche Zahl in ein und nur ein Intervall fällt, sind zur Vervollständigung der Nummerierung der Rationalzahlen aller Intervalle mindestens zwei natürliche Zahl erforderlich. (Das hat nichts mit einer letzen Zahl zu tun, sondern betrifft nur die Vervollständigung nach Cantors Forderung.)
> > (5) Die Rangordnung dieser beiden Zahlen kann nicht angegeben werden. Also lassen sie sich nicht unter Wahrung irgendeiner Rangordnung abbilden.
> >
> > Damit ist Cantors Vorstellung ad absurdum geführt.

> Wie schon von anderen hier ausgeführt

Zwei plappernde Narren haben offenbar den Beifall des dritten. "Ausgeführt hat hier noch niemand etwas.

>Bijektionen sind nicht von Wohlordnungen abhängig,

Sogenannte Abzählungen oder Bijektionen mit |N sind es: "Dabei nenne ich zwei wohlgeordnete Mengen von demselben Typus und schreibe ihnen gleiche Anzahl zu, wenn sie sich unter Wahrung der festgesetzten Rangordnung ihrer Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander abbilden, oder wie man sich gewöhnlich ausdrückt, aufeinander abzählen lassen." [G. Cantor, letter to W. Wundt (5 Oct 1883)]

> obwohl man die Rationalzahlen *nach* der Abbildung wohlordnen kann.

Für die Abzählung muss das bereits vorher geschehen.

> Dein Einwand (5) ist deshalb unsinnig.

Dein Verständnis ist mangehaft und Deine Behauptung daher gegenstandslos. Eine Bijektion mit |N kann nur für eine Menge gleichen Typus existieren. Diesen Typus vertritt omega, die wohlgeordnete Menge der natürlichen Zahlen. Eine Bijektion erfolgt mit der wohlgeordneten Menge der positive rationalen Zahlen. Einwand (5) ist daher stichhaltig.

Gruß, WM

Fritz Feldhase

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Aug 20, 2021, 4:55:25 PMAug 20
to
On Friday, August 20, 2021 at 10:53:19 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> Sogenannte <blubber>

Saudummer Scheißdreck.

Tom Bola

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Aug 20, 2021, 5:03:17 PMAug 20
to
Ganzhinterseher faselt:

>> Nun, die zitierten Textstellen von Cantor werde m. E. eher nicht als Stuss angesehen.
>
> Wurden im folgenden Teil aber als solcher nachgewiesen.

Von dir sicherlich, aber du führst beweihräucherst h i e r
deine Resultate im Rahmen von Selbstgesprächen.

Das ist deine einzige Welt. Erzähl es doch auch dem Rest der Welt,
du Spinner.

Wir wissen hier a l l e dass du einen Riss in der Schüssel hast,
und du erzählst jeden Tag dass einen Fehler in ZFC gefunden hast.

Du kämpfst gegen de.sci.mathematik <- das ist dein Lebensinhalt...

Alle sagen dir jeden Tag, dass du totalverblödet bist und du sagst
jeden Tag "nein, nein, ich bin ein Genie, wirklich Leute".

Jeden Tag, jeden Tag...

Du hast alle Selbstachtung aufgegeben, weil du ignorierst, dass
A L L E hier sagen, dass du ein geisteskranker Irrer bist...

Tom Bola

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Aug 20, 2021, 5:05:29 PMAug 20
to
Ganzhinterseher faselt:

> Dein Verständnis ist mangehaft und Deine Behauptung daher gegenstandslos.

Weshalb erzählst du deinen Stuss dann nicht woanders hin?

Ganzhinterseher

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Aug 20, 2021, 5:11:21 PMAug 20
to
Tom Bola schrieb am Freitag, 20. August 2021 um 23:03:17 UTC+2:

> A L L E hier sagen, dass du ein geisteskranker Irrer bist...

Was soll's? Du hast doch gerade auch Cantor als geisteskrank bezeichnet. Oder drücken ROFL und Stuss Deine Hochachtung aus? Nein, so wie Du sind fast alle hier ohne jede Möglichkeit, objektive Einwände gegen die Mengenlehre zu perzipieren.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Aug 20, 2021, 5:12:39 PMAug 20
to
Erstens ist es kein Stuss. Zweitens gehe ich davon aus, dass nicht ausschließlich Narren hier mitlesen.

Gruß, WM
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Fritz Feldhase

unread,
Aug 20, 2021, 5:15:12 PMAug 20
to
On Friday, August 20, 2021 at 7:28:47 PM UTC+2, Fritz Feldhase wrote:
> On Friday, August 20, 2021 at 5:28:12 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
>
> Auch wenn Du zu blöde bist, das zu verstehen:
>
> Hier geht es um Mächtigkeit/Kardinalzahlen:
> >
> > "Jeder wohldefinierten Menge kommt danach eine bestimmte Mächtigkeit zu, wobei zwei Mengen dieselbe Mächtigkeit zugeschrieben wird, wenn sie sich gegenseitig eindeutig, Element für Element einander zuordnen lassen." [Cantor, p. 167]
> >
> Und hier um Ordnungstyp/Ordinalzahlen:
> >
> > "Dabei nenne ich zwei wohlgeordnete Mengen von demselben Typus und schreibe ihnen gleiche Anzahl zu, wenn sie sich unter Wahrung der festgesetzten Rangordnung ihrer Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander abbilden, oder wie man sich gewöhnlich ausdrückt, aufeinander abzählen lassen." [G. Cantor, letter to W. Wundt (5 Oct 1883)]

Das war Frege (1884) schon klar:

§ 85. Die cantorschen unendlichen Anzahlen; "Mächtigkeit". Abweichung in
der Benennung.

Vor Kurzem hat G. Cantor in einer bemerkenswerthen Schrift unendliche
Anzahlen eingeführt. Ich stimme ihm durchaus in der Würdigung der Ansicht
bei, welche überhaupt nur die endlichen Anzahlen als wirklich gelten lassen
will. Sinnlich wahrnehmbar und räumlich sind weder diese noch die Brüche,
noch die negativen, irrationalen und complexen Zahlen; und wenn man
wirklich nennt, was auf die Sinne wirkt, oder was wenigstens Wirkungen hat,
die Sinneswahrnehmungen zur nähern oder entferntern Folge haben können, so
ist freilich keine dieser Zahlen wirklich. Aber wir brauchen auch solche
Wahrnehmungen gar nicht als Beweisgründe für unsere Lehrsätze. Einen Namen
oder ein Zeichen, das logisch einwurfsfrei eingeführt ist, können wir in
unsern Untersuchungen ohne Scheu gebrauchen, und so ist unsere Anzahl oo_1
so gerechtfertigt wie die Zwei oder die Drei.
Indem ich hierin, wie ich glaube, mit Cantor übereinstimme, weiche ich doch
in der Benennung etwas von ihm ab. Meine Anzahl nennt er "Mächtigkeit,"
während sein Begriff der Anzahl auf die Anordnung Bezug nimmt. Für endliche
Anzahlen ergiebt sich freilich doch eine Unabhängigkeit von der
Reihenfolge, dagegen nicht für unendlichgrosse. Nun enthält der
Sprachgebrauch des Wortes "Anzahl" und der Frage "wieviele?" keine
Hinweisung auf eine bestimmte Anordnung. Cantors Anzahl antwortet vielmehr
auf die Frage: "das wievielste Glied in der Succession ist das Endglied?"
Darum scheint mir meine Benennung besser mit dem Sprachgebrauche
übereinzustimmen. Wenn man die Bedeutung eines Wortes erweitert, so wird
man darauf zu achten haben, dass möglichst viele allgemeine Sätze ihre
Geltung behalten und zumal so grundlegende, wie für die Anzahl die
Unabhängigkeit von der Reihenfolge ist. Wir haben gar keine Erweiterung
nöthig gehabt, weil unser Begriff der Anzahl sofort auch unendliche Zahlen
umfasst.

(Gottlob Frege, Grundlagen der Arithmetik, 1884)

Ralf Bader

unread,
Aug 20, 2021, 5:40:21 PMAug 20
to
Mückenheim, Ihre dämliche Bettelei, nochmal und nochmal und nochmal
Ihren immergleichen saudummen Schwachsinn dauerzudiskutieren, können Sie
allmählich steckenlassen.

Gus Gassmann

unread,
Aug 20, 2021, 7:18:42 PMAug 20
to
Du bist sogar zum Scheißen zu blöd. Die Wohlordnung {1, 3, 5, 7, ..., 2, 4, 6, 8, ...} steht in offensichtlicher Bijektion mit IN, hat aber einen anderen Ordnungstypus. Auf der anderen Seite ist die normale Ordnung auf der Menge der positiven Rationalzahlen (die mit IN auch in Bijektion stehen) eben keine Wohlordnung.

Wahrscheinlich bist du sogar zu blöd, um zwischen den (ungeordeneten!) Mengen {rot, weiss, grün} und {VW, Mercedes, Porsche} eine Bijektion herzustellen.


Fritz Feldhase

unread,
Aug 20, 2021, 8:36:56 PMAug 20
to
On Saturday, August 21, 2021 at 1:18:42 AM UTC+2, Gus Gassmann wrote:

> Du bist sogar zum Scheißen zu blöd. Die Wohlordnung <usw.>

Niiiicht aufregen. WM hat offensichtlich den Unterschied zwischen den beiden Begriffsbildungen (A) Mächtigkeit/Kardinalzahl und (B) Ordnungstyp/Ordinalzahl nicht verstanden. (Das ist mir schon vor ein paar Jahren aufgefallen.) Ganz offensichtlich begreift er nicht, dass Cantor hier von 2 verschiedenen "Dingen" spricht:

(A) Mächtigkeit/Kardinalzahlen:

"Wenn zwei wohldefinierte Mannigfaltigkeiten M und N sich eindeutig und vollständig, Element für Element, einander zuordnen lassen (was, wenn es auf eine Art möglich ist, immer auch noch auf viele andere Weisen geschehen kann), so möge für das Folgende die Ausdrucksweise gestattet sein, daß diese Mannigfaltigkeiten gleiche Mächtigkeit haben, oder auch, daß sie äquivalent sind." [Cantor, p. 119]

"Jeder wohldefinierten Menge kommt danach eine bestimmte Mächtigkeit zu, wobei zwei Mengen dieselbe Mächtigkeit zugeschrieben wird, wenn sie sich gegenseitig eindeutig, Element für Element einander zuordnen lassen." [Cantor, p. 167]

(B) Ordnungstyp/Ordinalzahlen:

"Dabei nenne ich zwei wohlgeordnete Mengen von demselben Typus und schreibe ihnen gleiche Anzahl zu, wenn sie sich unter Wahrung der festgesetzten Rangordnung ihrer Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander abbilden, oder wie man sich gewöhnlich ausdrückt, aufeinander abzählen lassen." [G. Cantor, letter to W. Wundt (5 Oct 1883)]

Unabhängig von seiner fortschreitenden Demenz (if so), hat er offenbar viele Begriffsbildungen der "Mengenlehre" nicht verstanden (genausowenig wie moderne Begriffsbildungen der sog. "klassischen Mathematik").

Was mich da schon mehr aufregt, ist, dass so ein Typ (a) an einer Hochschule unterrichten darf und (b) ein namhafter Verlag ein Buch - zum Thema "Mathematik für Studienanfänger" - von ihm verlegt. Das sagt m. E. EINIGES aus über den aktuellen Zustand der ähhh "Bildungslandschaft" in D.

Ganzhinterseher

unread,
Aug 21, 2021, 9:02:40 AMAug 21
to
> Mückenheim, Ihre dämliche Bettelei, nochmal und nochmal und nochmal
> Ihren immergleichen saudummen Schwachsinn dauerzudiskutieren, können Sie
> allmählich steckenlassen.

Es geht nicht darum, mein Ergebnis zu diskutieren, sondern ich erkläre es hier so deutlich, dass geistig gesunde Leser es verstehen können. Wer allerdings Cantor auch glaubt, dass die Dichte der Rationalzahlen im Interval (1000, 1001] mindestens tausendmal kleiner als im Intervall (0, 1] ist, hat dazu keine Chance mehr. Das Niveau dieser Leser erkennt man sehr gut an ihren "Beiträgen" zu diesem Thread.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Aug 21, 2021, 9:03:22 AMAug 21
to
Gus Gassmann schrieb am Samstag, 21. August 2021 um 01:18:42 UTC+2:
> On Friday, 20 August 2021 at 17:53:19 UTC-3, Ganzhinterseher wrote:
> > Gus Gassmann schrieb am Freitag, 20. August 2021 um 21:29:57 UTC+2:
> > > On Friday, 20 August 2021 at 12:28:12 UTC-3, Ganzhinterseher wrote:
> > > > "Wenn zwei wohldefinierte Mannigfaltigkeiten M und N sich eindeutig und vollständig, Element für Element, einander zuordnen lassen (was, wenn es auf eine Art möglich ist, immer auch noch auf viele andere Weisen geschehen kann), so möge für das Folgende die Ausdrucksweise gestattet sein, daß diese Mannigfaltigkeiten gleiche Mächtigkeit haben, oder auch, daß sie äquivalent sind." [Cantor, p. 119]
> > > >
> > > > "Jeder wohldefinierten Menge kommt danach eine bestimmte Mächtigkeit zu, wobei zwei Mengen dieselbe Mächtigkeit zugeschrieben wird, wenn sie sich gegenseitig eindeutig, Element für Element einander zuordnen lassen." [Cantor, p. 167]
> > > >
> > > > "Dabei nenne ich zwei wohlgeordnete Mengen von demselben Typus und schreibe ihnen gleiche Anzahl zu, wenn sie sich unter Wahrung der festgesetzten Rangordnung ihrer Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander abbilden, oder wie man sich gewöhnlich ausdrückt, aufeinander abzählen lassen." [G. Cantor, letter to W. Wundt (5 Oct 1883)]
> > > >
> > > > Solche Mengen sind zum Beispiel die Menge aller natürlichen Zahlen und die Menge aller positiven Rationalzahlen. Das bedeutet:
> > > >
> > > > (1) Alle positiven Rationalzahlen können nummeriert werden.
> > > > (2) Das gilt ebenfalls für die Rationalzahlen jedes Einheitsintervalls (n, n+1].
> > > > (3) Zur Vervollständigung der Nummerierung der Rationalzahlen eines Intervalls ist mindestens eine natürliche Zahl erforderlich. (Das hat nichts mit einer letzen Zahl zu tun, sondern betrifft nur die Vervollständigung nach Cantors Forderung.)
> > > > (4) Da jede natürliche Zahl in ein und nur ein Intervall fällt, sind zur Vervollständigung der Nummerierung der Rationalzahlen aller Intervalle mindestens zwei natürliche Zahl erforderlich. (Das hat nichts mit einer letzen Zahl zu tun, sondern betrifft nur die Vervollständigung nach Cantors Forderung.)
> > > > (5) Die Rangordnung dieser beiden Zahlen kann nicht angegeben werden. Also lassen sie sich nicht unter Wahrung irgendeiner Rangordnung abbilden.
> > > >
> > > > Damit ist Cantors Vorstellung ad absurdum geführt.
> >
> > > Wie schon von anderen hier ausgeführt
> > Zwei plappernde Narren haben offenbar den Beifall des dritten. "Ausgeführt hat hier noch niemand etwas.
> > >Bijektionen sind nicht von Wohlordnungen abhängig,
> > Sogenannte Abzählungen oder Bijektionen mit |N sind es: "Dabei nenne ich zwei wohlgeordnete Mengen von demselben Typus und schreibe ihnen gleiche Anzahl zu, wenn sie sich unter Wahrung der festgesetzten Rangordnung ihrer Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander abbilden, oder wie man sich gewöhnlich ausdrückt, aufeinander abzählen lassen." [G. Cantor, letter to W. Wundt (5 Oct 1883)]
> > > obwohl man die Rationalzahlen *nach* der Abbildung wohlordnen kann.
> > Für die Abzählung muss das bereits vorher geschehen.
> > > Dein Einwand (5) ist deshalb unsinnig.
> > Dein Verständnis ist mangehaft und Deine Behauptung daher gegenstandslos. Eine Bijektion mit |N kann nur für eine Menge gleichen Typus existieren.
> Die Wohlordnung {1, 3, 5, 7, ..., 2, 4, 6, 8, ...} steht in offensichtlicher Bijektion mit IN, hat aber einen anderen Ordnungstypus.

Hier geht es um die Nummerierung der rationalen Zahlen durch den Ordnungstypus omega. Also müssen die rationalen Zahlen diesen Ordnungstypus haben. Das hat Cantor ja anfangs auch hingekriegt.

> Auf der anderen Seite ist die normale Ordnung auf der Menge der positiven Rationalzahlen (die mit IN auch in Bijektion stehen) eben keine Wohlordnung.

Sie stehen auch in Cantors Nummerierung nicht mit |N in Bijektion, wie mein Beweis zeigt.

Im Übrigen muss man schon einen ziemlichen Dachschaden haben, wenn man Cantor glauben will, dass die Dichte der Rationalzahlen im Interval (1000, 1001] mindestens tausendmal kleiner als im Intervall (0, 1] ist.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Aug 21, 2021, 9:10:30 AMAug 21
to
Fritz Feldhase schrieb am Samstag, 21. August 2021 um 02:36:56 UTC+2:

> WM hat offensichtlich den Unterschied zwischen den beiden Begriffsbildungen (A) Mächtigkeit/Kardinalzahl und (B) Ordnungstyp/Ordinalzahl nicht verstanden.

Hier wird der Ordungstyp omega verwendet um die Kardinalzahl aleph_0 für die Menge der positiven rationalen Zahlen nachzuweisen. Wie sich zeigt, scheitert das Verfahren. Wer allerdings Cantor auch glaubt, dass die Dichte der Rationalzahlen im Interval (1000, 1001] mindestens tausendmal kleiner als im Intervall (0, 1] ist, hat dazu keine Chance das zu verstehen. Das Niveau dieser Leser erkennt man an Vokabular und gedanklicher Untiefe.

Gruß, WM

Gus Gassmann

unread,
Aug 21, 2021, 11:27:08 AMAug 21
to
On Saturday, 21 August 2021 at 10:02:40 UTC-3, Ganzhinterseher wrote:
[...]
> Es geht nicht darum, mein Ergebnis zu diskutieren, sondern ich erkläre es hier so deutlich, dass geistig gesunde Leser es verstehen können. Wer allerdings Cantor auch glaubt, dass die Dichte der Rationalzahlen im Interval (1000, 1001] mindestens tausendmal kleiner als im Intervall (0, 1] ist, hat dazu keine Chance mehr. Das Niveau dieser Leser erkennt man sehr gut an ihren "Beiträgen" zu diesem Thread.

Der einzige, der glaubt, die Dichte nehme ab, ist doch der geschätzte Herr Professor, dessen Niveau man in der Tat an seinen "Beiträgen" hier erkennt.

Gus Gassmann

unread,
Aug 21, 2021, 11:34:57 AMAug 21
to
On Saturday, 21 August 2021 at 10:03:22 UTC-3, Ganzhinterseher wrote:
> Im Übrigen muss man schon einen ziemlichen Dachschaden haben, wenn man Cantor glauben will, dass die Dichte der Rationalzahlen im Interval (1000, 1001] mindestens tausendmal kleiner als im Intervall (0, 1] ist.

Hätt' ich selber jetzt kaum besser formulieren können. Der einzige, der glaubt, Cantor habe das geschrieben oder gemeint, bist doch du, Mückenheim.

Gus Gassmann

unread,
Aug 21, 2021, 11:36:27 AMAug 21
to
On Saturday, 21 August 2021 at 10:10:30 UTC-3, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Samstag, 21. August 2021 um 02:36:56 UTC+2:
>
> > WM hat offensichtlich den Unterschied zwischen den beiden Begriffsbildungen (A) Mächtigkeit/Kardinalzahl und (B) Ordnungstyp/Ordinalzahl nicht verstanden.
> Hier wird der Ordungstyp omega verwendet um die Kardinalzahl aleph_0 für die Menge der positiven rationalen Zahlen nachzuweisen.

Wie blöd muss man eigentlich sein, um diesen hirnrissigen Nonsens hinzuschreiben und offensichtlich zu glauben?

[..]

> Wer allerdings Cantor auch glaubt, dass die Dichte der Rationalzahlen im Interval (1000, 1001] mindestens tausendmal kleiner als im Intervall (0, 1] ist, hat dazu keine Chance das zu verstehen.

Wer allerdings meint, Cantor habe das geschrieben oder auch nur gedacht, der hat tatsächlich den Verstand verloren.

Tom Bola

unread,
Aug 21, 2021, 12:36:46 PMAug 21
to
Ganzhinterseher faselt:

> dass die Dichte der Rationalzahlen im Interval (1000, 1001]
> mindestens tausendmal kleiner als im Intervall (0, 1] ist

Diese "Dichte" ist nicht nur beliebig gross, sondern

Jedes echte (ungleiche) Intervall in IR ist gleich gross,
nämlich überabzählbar mächtig ("dicht").

So ist das in unserer Mathematik mit der Skalierung
aller echten Intervalle in IR.

Geh in den Sandkasten spielen und wenn du fertig bist, dann versuche
ein Mathelehrbuch wirklich zu verstehen, du geisteskranker Depp.

Und verpiss dich bitte endlich hier.

Ganzhinterseher

unread,
Aug 21, 2021, 1:15:43 PMAug 21
to
Gus Gassmann schrieb am Samstag, 21. August 2021 um 17:27:08 UTC+2:
> On Saturday, 21 August 2021 at 10:02:40 UTC-3, Ganzhinterseher wrote:
> [...]
> > Es geht nicht darum, mein Ergebnis zu diskutieren, sondern ich erkläre es hier so deutlich, dass geistig gesunde Leser es verstehen können. Wer allerdings Cantor auch glaubt, dass die Dichte der Rationalzahlen im Interval (1000, 1001] mindestens tausendmal kleiner als im Intervall (0, 1] ist, hat dazu keine Chance mehr. Das Niveau dieser Leser erkennt man sehr gut an ihren "Beiträgen" zu diesem Thread.
> Der einzige, der glaubt, die Dichte nehme ab, ist doch der geschätzte Herr Professor,

Cantor hat es "bewiesen". Er findet im Intervall (0, 1] mindestens tausendmal mehr rationale Zahlen als im Intervall (1000, 1001]. Diese sehr konservative Abschätzung gilt für jeden Schritt seines Indizierungsprozesses sowie den Grenzwert. Und Cantor behauptet ja schließlich Vollständigkeit. Dass Du das nicht einmal verstehen kannst, zeigt, wie unbrauchbar Dein Cerebrum geworden ist, sofern von kritischen Gedanken zur Mengenlehre die Rede ist.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Aug 21, 2021, 1:25:19 PMAug 21
to
Gus Gassmann schrieb am Samstag, 21. August 2021 um 17:36:27 UTC+2:
> On Saturday, 21 August 2021 at 10:10:30 UTC-3, Ganzhinterseher wrote:

> > Hier wird der Ordungstyp omega verwendet um die Kardinalzahl aleph_0 für die Menge der positiven rationalen Zahlen nachzuweisen.
> Wie blöd muss man eigentlich sein, um diesen hirnrissigen Nonsens hinzuschreiben und offensichtlich zu glauben?

Zwei geordnete Mengen M und N nennen wir "ähnlich", wenn sie sich gegenseitig eindeutig einander so zuordnen lassen, daß wenn m1 und m2 irgend zwei Elemente von M, n1 und n2 die entsprechenden Elemente von N sind, alsdann immer die Rangbeziehung von m1 zu m2 innerhalb M dieselbe ist wie die von n1 zu n2 innerhalb N. Eine solche Zuordnung ähnlicher Mengen nennen wir eine "Abbildung" derselben aufeinander. Dabei entspricht jeder Teilmenge M1 von M (die offenbar auch als geordnete Menge erscheint) eine ihr ähnliche Teilmenge N1 von N.

> Die Wohlordnung {1, 3, 5, 7, ..., 2, 4, 6, 8, ...} steht in offensichtlicher Bijektion mit IN,

Nein, in der Bijektion steht 1, 3, 5, 7, ... und auch 2, 4, 6, 8, ... aber nicht beide gleichzeitig.
>
> [..]
> > Wer allerdings Cantor auch glaubt, dass die Dichte der Rationalzahlen im Interval (1000, 1001] mindestens tausendmal kleiner als im Intervall (0, 1] ist, hat dazu keine Chance das zu verstehen.
> Wer allerdings meint, Cantor habe das geschrieben oder auch nur gedacht, der hat tatsächlich den Verstand verloren.

Weder hat Cantor es bemerkt, noch einer seiner Jünger. Es würde mich höchlichst wundern, wenn diese Tatsache in der Literatur schon einmal erwähnt worden wäre. Hätte es allerdings jemand bemerkt, dann wäre bestimmt eine "Erklärung" erfolgt, denn jeder intelligente Student hätte doch verwundert die Frage gestellt, weshalb hier die allgemein akzeptierte Translationsinvarianz verletzt ist.

Gruß, WM

Tom Bola

unread,
Aug 21, 2021, 2:00:49 PMAug 21
to
Ganzhinterseher schrieb:

> Er findet im Intervall (0, 1] mindestens tausendmal mehr
> rationale Zahlen als im Intervall (1000, 1001].

Wo genau steht das?


Tom Bola

unread,
Aug 21, 2021, 2:05:00 PMAug 21
to
Ganzhinterseher schrieb:

>> Die Wohlordnung {1, 3, 5, 7, ..., 2, 4, 6, 8, ...} steht in offensichtlicher Bijektion mit IN,
>
> Nein, in der Bijektion steht 1, 3, 5, 7, ... und auch 2, 4, 6, 8, ... aber nicht beide gleichzeitig.

Doch, doch! weshalb denn nicht? Mengen (also: "{...}") sind nicht geordnet.

Eine Bijektion bildet ein jedes Element auf genau ein jedes Element "zwischen"
beiden Mengen ab - es ist dabei keinerlei Ordnung der Elemente im Spiel.

Fritz Feldhase

unread,
Aug 21, 2021, 2:33:44 PMAug 21
to
On Saturday, August 21, 2021 at 7:25:19 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> Weder hat Cantor es bemerkt, noch einer seiner Jünger. [...]

Ich plädiere dafür, den Thread umzubenennen in:

Ein Beweis, den kein Mathematiker verstehen kann.

Ralf Bader

unread,
Aug 21, 2021, 2:48:18 PMAug 21
to
On 08/21/2021 07:25 PM, Ganzhinterseher wrote:
> Gus Gassmann schrieb am Samstag, 21. August 2021 um 17:36:27 UTC+2:

>> Die Wohlordnung {1, 3, 5, 7, ..., 2, 4, 6, 8, ...} steht in
>> offensichtlicher Bijektion mit IN,
>
> Nein, in der Bijektion steht 1, 3, 5, 7, ... und auch 2, 4, 6, 8, ...
> aber nicht beide gleichzeitig.

Die Relation < auf der Menge M, gegeben durch die Bedingungen:
- ist a ungerade und b gerade, so ist a<b
- sind a und b ungerade und gibt es eine natürliche Zahl k mit a+k=b, so
ist a<b
- sind a und b gerade und gibt es eine natürliche Zahl k mit a+k=b, so
ist a<b
ist eine Wohlordnung von IN.

Ihr Geschwafel erweckt den Eindruck, daß Sie bereits zu doof und zu
blöde sind, um nach Jahrzehnten des Befaselns dieser Dinge wenigstens
diese Banalität zu kapieren.

Ganzhinterseher

unread,
Aug 21, 2021, 4:51:55 PMAug 21
to
Es ergibt sich aus seiner Indizierung der positiven rationalen Zahlen. Es steht zum Beispiel hier https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf und hier https://mathoverflow.net/questions/362791/what-fraction-of-fractions-does-cantors-famous-sequence-enumerate.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Aug 21, 2021, 4:55:17 PMAug 21
to
Tom Bola schrieb am Samstag, 21. August 2021 um 20:05:00 UTC+2:
> Ganzhinterseher schrieb:
> >> Die Wohlordnung {1, 3, 5, 7, ..., 2, 4, 6, 8, ...} steht in offensichtlicher Bijektion mit IN,
> >
> > Nein, in der Bijektion steht 1, 3, 5, 7, ... und auch 2, 4, 6, 8, ... aber nicht beide gleichzeitig.
> Doch, doch! weshalb denn nicht? Mengen (also: "{...}") sind nicht geordnet.

Hier wird aber offenbar trotzdem eine Ordnung angedeutet, von jemand, der die Nichtordnung vergessen hat. Er spricht ja sogar von Wohlordnung. Darauf bezog sich mein Einwand.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,
Aug 21, 2021, 4:58:44 PMAug 21
to
Ralf Bader schrieb am Samstag, 21. August 2021 um 20:48:18 UTC+2:
> On 08/21/2021 07:25 PM, Ganzhinterseher wrote:
> > Gus Gassmann schrieb am Samstag, 21. August 2021 um 17:36:27 UTC+2:
>
> >> Die Wohlordnung {1, 3, 5, 7, ..., 2, 4, 6, 8, ...} steht in
> >> offensichtlicher Bijektion mit IN,
> >
> > Nein, in der Bijektion steht 1, 3, 5, 7, ... und auch 2, 4, 6, 8, ...
> > aber nicht beide gleichzeitig.
> Die Relation < auf der Menge M, gegeben durch die Bedingungen:
> - ist a ungerade und b gerade, so ist a<b

Hier wurde die Wohlordnung omega*2 angegeben. Diese Mengen stehen einzeln in Bijektion mit omega, als omega*2 aber nicht.

Gruß, WM

Tom Bola

unread,
Aug 21, 2021, 5:00:51 PMAug 21
to
Ganzhinterseher schrieb:
Ich meine das Zitat, wo genau steht das Zitat, wonach
"im Intervall (0, 1] mindestens tausendmal mehr
rationale Zahlen als im Intervall (1000, 1001]"
sind?

Tom Bola

unread,
Aug 21, 2021, 5:14:40 PMAug 21
to
Ganzhinterseher schrieb:
Eine Ordnung braucht man, um eine konkrete Zuordnung anzugeben, bei (unendlich)
vielen Zahlen benötigt man eine "analytische" Zuordnung da man nicht alle
Element-Paarungen einzeln aufschreiben kann, aber das ändert nichts am Prinzip,
dass eine Bijektion für alle möglichen Permutationen eine Bijektion bleibt,
die Reihenfolge der Zuordnung also nichts daran ändert dass von beiden Mengen
aus Injetivität und Surjektivität vorliegt. Man kann nur ohne (Wohl-)Ordnung
keine konkrete Bijektion angeben wenn man unendlich viele Elemente zuordnen
will. (Und für bestimmte Fälle benötigt man dafür auch noch das Auswahlaxiom.)

Tom Bola

unread,
Aug 21, 2021, 5:15:55 PMAug 21
to
Ganzhinterseher schrieb:

> Hier wurde die Wohlordnung omega*2 angegeben

Wo steht "omega * 2"?

Ralf Bader

unread,
Aug 21, 2021, 6:01:23 PMAug 21
to
Hier wurden zwei Wohlordnungen der Menge IN angegeben. Mückenheim, Sie
sind wirklich zu blöd für diese Dinge.



Tom Bola

unread,
Aug 21, 2021, 6:17:09 PMAug 21
to
Ganzhinterseher schrieb:

> Hier wurde die Wohlordnung omega*2 angegeben

Unendliche Mengen sind nicht wie endliche Mengen definiert. Unendliche
Mengen sind unerschöpflich, es gibt da kein Ende. Du aber suchst nach
dem Ende von unendlichen Mengen was nicht existiert.
Es gibt keine in der Natur realisierte unendliche Menge, die man als
Vorbild nehmen könnte oder als Kriterium für die Angemessenheit einer
möglichen Definition.
Du hast dich entschieden, dass du "unendliche Mengen mit einem Ende"
als einzig richtiges Konstrukt akzeptierst und unsere auf Cantor zurück
gehenden Definitionen ablehnst.

Nun hat es heutzutage keinen Sinn mehr in der Definition von ZFC nach
banalen Widersprüchen zu suchen, die zustandekommen, weil du KEIN Ende
findest - das aber macht genau unsere Unendlichkeitsdefinition aus.

Es wäre sinnvoller für dich, einer alternative Mengenlehre zu folgen
oder dir eine eigene ML zu schaffen (was zu schwierig sein dürfte),
aber das was du hier machst bedeutet, dass du gegen Windmühlen anrennst
und deine Lebenszeit unsinnig vergeudest. Denk mal darüber nach...

Ralf Bader

unread,
Aug 21, 2021, 6:22:09 PMAug 21
to
On 08/21/2021 11:14 PM, Tom Bola wrote:
> Ganzhinterseher schrieb:
>
>> Tom Bola schrieb am Samstag, 21. August 2021 um 20:05:00 UTC+2:
>>> Ganzhinterseher schrieb:
>>>>> Die Wohlordnung {1, 3, 5, 7, ..., 2, 4, 6, 8, ...} steht in offensichtlicher Bijektion mit IN,
>>>>
>>>> Nein, in der Bijektion steht 1, 3, 5, 7, ... und auch 2, 4, 6, 8, ... aber nicht beide gleichzeitig.
>>> Doch, doch! weshalb denn nicht? Mengen (also: "{...}") sind nicht geordnet.
>>
>> Hier wird aber offenbar trotzdem eine Ordnung angedeutet, von jemand, der die Nichtordnung vergessen hat. Er spricht ja sogar von Wohlordnung. Darauf bezog sich mein Einwand.
>
> Eine Ordnung braucht man, um eine konkrete Zuordnung anzugeben,

ist x |-> x^3 (oder e^x) als Zuordnung konkret genug? Wo braucht man da
eine Ordnung?

> bei (unendlich)
> vielen Zahlen benötigt man eine "analytische" Zuordnung da man nicht alle
> Element-Paarungen einzeln aufschreiben kann, aber das ändert nichts am Prinzip,
> dass eine Bijektion für alle möglichen Permutationen eine Bijektion bleibt,
> die Reihenfolge der Zuordnung also nichts daran ändert dass von beiden Mengen
> aus Injetivität und Surjektivität vorliegt. Man kann nur ohne (Wohl-)Ordnung
> keine konkrete Bijektion angeben wenn man unendlich viele Elemente zuordnen
> will. (Und für bestimmte Fälle benötigt man dafür auch noch das Auswahlaxiom.)

Ich weiß nicht, was soll es bedeuten


Tom Bola

unread,
Aug 21, 2021, 6:52:23 PMAug 21
to
Ralf Bader schrieb:

>> Eine Ordnung braucht man, um eine konkrete Zuordnung anzugeben,
>
> ist x |-> x^3 (oder e^x) als Zuordnung konkret genug? Wo braucht man da
> eine Ordnung?

In komplizierteren Zuordnungen schreibt man "..." und bezieht sich damit
zBl auf eine (Nachfolger-) Ordnung - man kann manchmal eben nicht immer
alles einzeln exakt aufschreiben.

Gus Gassmann

unread,
Aug 21, 2021, 7:26:11 PMAug 21
to
On Saturday, 21 August 2021 at 14:25:19 UTC-3, Ganzhinterseher wrote:
> Gus Gassmann schrieb am Samstag, 21. August 2021 um 17:36:27 UTC+2:
> > On Saturday, 21 August 2021 at 10:10:30 UTC-3, Ganzhinterseher wrote:
>
> > > Hier wird der Ordungstyp omega verwendet um die Kardinalzahl aleph_0 für die Menge der positiven rationalen Zahlen nachzuweisen.
> > Wie blöd muss man eigentlich sein, um diesen hirnrissigen Nonsens hinzuschreiben und offensichtlich zu glauben?
> Zwei geordnete Mengen M und N nennen wir "ähnlich",
^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^

Mückenheim, du bist mittlerweile wirklich zu blöd, auch nur die einfachsten *Lese*übungen erfolgreich durchzuziehen. Nirgendwo hat irgendwer irgendwo gefordert, dass IN und Q (oder {1, 2, 3, 4, ...} und {1, 3, 5, ..., 2, 4, 6, ...}) einander *ähnlich* sein sollten. Bijektionen haben mit Ordnung (fast) gar nichts zu tun.

Deshalb ist dieser Senf:

> wenn sie sich gegenseitig eindeutig einander so zuordnen lassen, daß wenn m1 und m2 irgend zwei Elemente von M, n1 und n2 die entsprechenden Elemente von N sind, alsdann immer die Rangbeziehung von m1 zu m2 innerhalb M dieselbe ist wie die von n1 zu n2 innerhalb N. Eine solche Zuordnung ähnlicher Mengen nennen wir eine "Abbildung" derselben aufeinander. Dabei entspricht jeder Teilmenge M1 von M (die offenbar auch als geordnete Menge erscheint) eine ihr ähnliche Teilmenge N1 von N.

hier absolut unangebracht. Cantor stellt die Menge der natürlichen Zahlen in Bijektion mit der Menge der positiven rationalen Zahlen, selbstverständlich ohne eine Ordnung vorauszusetzen, und ohne zu behaupten, die Mengen seien einander "ähnlich". Du raffst wirklich *GAR* nichts mehr.

Gus Gassmann

unread,
Aug 21, 2021, 7:53:04 PMAug 21
to
Ein "Beweis", den kein Mathematiker verstehen kann.

Gus Gassmann

unread,
Aug 21, 2021, 8:05:01 PMAug 21
to
Hirnrissiges Gefasel. Du kannst ja nicht einmeal mehr korrekt *lesen*! Mein Einwand bezog sich auf die völlig falsche Bemerkung, dass nur "ähnliche" Mengen miteinander in Bijektion sein könnten.

Aber gut, mach jetzt deinen Rückzieher.

Die Wohlordnung {1, 3, 5, 7, ..., 2, 4, 6, 8, ...} steht in Bijektion mit IN, und IN steht in Bijektion mit den positiven rationalen Zahlen, und obwohl alle Mengen geordnet sind, sind sie nicht "ähnlich" (im Sinne von Cantor). Natürlich musste ich mich auf Ordnungen beziehen, um deinem blödsinnigen Gefasel zu widersprechen.

Ralf Bader

unread,
Aug 21, 2021, 10:02:58 PMAug 21
to
In Deinem vorherhenden Beitrag ging es um "Zuordnungen", nicht um
kompliziertere. Die Behauptung, die hier oben noch steht, war, man
brauche eine Ordnung, um eine "konkrete Zuordnung" anzugeben. Jetzt
scheint die Behauptung zu sein, man brauche die Ordnung, weil man zu
faul ist, die Zuordnung anzugeben.

Fängst Du jetzt an, Deinem Vorbild Mückenheim nachzueifern?

Juergen Ilse

unread,
Aug 22, 2021, 4:37:45 AMAug 22
to
Hallo,

Tom Bola <T...@bolamail.etc> wrote:
> Ganzhinterseher schrieb:
>
>>> Die Wohlordnung {1, 3, 5, 7, ..., 2, 4, 6, 8, ...} steht in offensichtlicher Bijektion mit IN,

Die Formulierung ist schon sehr kumm ...
Eindeutig korrekt formuliert waere: Es existiert eine Bijektion zwischen den
Mengen. Alleings sind beide Wohlordnungen nicht "aehnlich", da keine "die
Ordnung erhaltende Bijektion" zwischen beiden Wohlordnungen exxistiert.

>> Nein, in der Bijektion steht 1, 3, 5, 7, ... und auch 2, 4, 6, 8, ... aber nicht beide gleichzeitig.

Der "vonganzhintengarnixversteher" hat Unendlichkeit noch immer nicht
einmal annaehernd begriffen ...

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Juergen Ilse

unread,
Aug 22, 2021, 4:41:04 AMAug 22
to
Hallo,
Wenn Cantor von "Gleichmaechtigkeitvon Mengen" einerseits und "Aehnlichkeit
von Wohlordnungen" andererseitsschreibt, schreibt er dabei von *unterschied-
lichen* Dingen.

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Juergen Ilse

unread,
Aug 22, 2021, 4:46:32 AMAug 22
to
Hallo,

Tom Bola <T...@bolamail.etc> wrote:
Die Existenz einer Abbildung ist unabhaengig davon, ob man sie vollstaendig
notieren kann. Das ist insbesondere dann wichtig, wenn man einen Existenz-
Beweis einer Abbildung fuehren moechte. Da muss man nicht unbedingt immer
eine konkrete Abbildung angeben, um die Existenz zu beweisen.
Das ist allerdings etwas, was WM auch nie begriffen hat. Fuer ihn eistiert
nur, was man vollstaendig aufschreiben kann, allesandere ist nur "halb-
existent" sprich dunkel ...

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

Tom Bola

unread,
Aug 22, 2021, 5:00:52 AMAug 22
to
Ralf Bader schrieb:

> On 08/22/2021 12:52 AM, Tom Bola wrote:
>> Ralf Bader schrieb:
>> ...
> ..
> In Deinem vorherhenden Beitrag ging es um "Zuordnungen", nicht um
> kompliziertere. Die Behauptung, die hier oben noch steht, war, man
> brauche eine Ordnung, um eine "konkrete Zuordnung" anzugeben. Jetzt
> scheint die Behauptung zu sein, man brauche die Ordnung, weil man zu
> faul ist, die Zuordnung anzugeben.

Ja, ich hatte leider zunächst angenommen, dass Vorschriften wie
{1, 3, 5, 7, ..., 2, 4, 6, 8, ...} in der Mengenklammer eine
Ordnung implizierten...

> Fängst Du jetzt an, Deinem Vorbild Mückenheim nachzueifern?

Langsam bitte ... auch das Genie Cantor musste in die Klappse
und vielleicht bist auch du bald soweit... ;)

Fritz Feldhase

unread,
Aug 22, 2021, 9:07:16 AMAug 22
to
On Saturday, August 21, 2021 at 11:14:40 PM UTC+2, Tom Bola wrote:

> Eine Ordnung braucht man, um eine konkrete Zuordnung anzugeben,

Ist das so?

> bei (unendlich)
> vielen Zahlen benötigt man eine "analytische" Zuordnung da man nicht alle
> Element-Paarungen einzeln aufschreiben kann,

Jep. Aber dazu muss man man keine Ordnungsstruktur voraussetzen, eine algebraische tut es gegebenenfalls auch schon:

x |-> 2*x :-P

Im Grenzfall braucht es nicht einmal das: x |-> x. :-P

Insofern verstehe ich Ralfs Aufschrei schon. Denn auch Mückenheim wurde das schon einige Male gesagt...

> aber das ändert nichts am Prinzip,
> dass eine Bijektion für alle möglichen Permutationen eine Bijektion bleibt,

Insbesondere wohl auch deshalb, weil Mengen ja "an sich" nicht geordnet sind... :-P

{$, §, !} = {!, $, §} = ... usw. :-P

> die Reihenfolge der Zuordnung also nichts daran ändert, dass von beiden Mengen
> aus Injektivität und Surjektivität vorliegt.

Dazu müsste man der Zuordnung u.U. erst mal eine "Reihenfolge" _geben_. :-)

> Man kann nur ohne (Wohl-)Ordnung keine konkrete Bijektion angeben, wenn man unendlich viele Elemente
> zuordnen will.

Oppps... Sei A eine beliebige unendliche Menge und f die durch x |-> x gegebene Abbildung von A auf A, dann ist f keine konkrete Bijektion? Oder ordnet f nicht unendlich viele Elemente einander zu?

Sei C die Menge der komplexen Zahlen und f die durch (Re(z), Im(z)) |-> (Re(z), -Im(z)) gegebene Abbildung von C auf C, dann ist f keine konkrete Bijektion? Oder ordnet f nicht unendlich viele Elemente einander zu? (Ich weiß aber mit Gewissheit, dass C "defaultmäßig" nicht wohlgeordnet ist.)

Fritz Feldhase

unread,
Aug 22, 2021, 9:23:20 AMAug 22
to
On Sunday, August 22, 2021 at 12:52:23 AM UTC+2, Tom Bola wrote:

> In komplizierteren Zuordnungen schreibt man "..." und bezieht sich damit
> zBl auf eine (Nachfolger-)Ordnung - man kann manchmal eben nicht immer
> alles einzeln exakt aufschreiben.

Es ist aber so, dass man im Kontext der ZFC niemals auf die Notation "..." zurückgreifen muss. Alles was man im lockeren Austausch mithilfe von "..." hinschreibt, kann auch ohne Verwendung von "..." ausgedrückt werden. Mehr noch die durch diese Schreibweise "implizit" angedeutete Ordnung ist keinesfalls immer "nötig" für das, was man konkret aussagt/ausdrückt.

Beispiel: Wenn wir statt "IN" oftmals "{1, 2, 3, ...}" oder "{0, 1, 2, 3, ...}" schreiben., ist das zwar bequem, weil wir so gleich auch mit ausdrücken können, ob die 0 in IN "Mit dabei ist" oder nicht. Aber die hier "implizit" zum Ausdruck gebrachte Ordnung ist oftmals "überflüssig" (nicht relevant):

So gilt z. B. n + n = 2*n für alle n e {1, 2, 3, ...} ohne dass hier die "Ordnung" auf IN irgendeine Rolle spielen würde. Es gilt z. B. auch z + z = 2*z für alle z e C. Wir bringen hier einen "algebraischen Sachverhalt" zum Ausdruck, der nichts mit irgend einer Ordnung auf der betrachteten Menge zu tun hat.

Fritz Feldhase

unread,
Aug 22, 2021, 9:41:51 AMAug 22
to
On Sunday, August 22, 2021 at 10:41:04 AM UTC+2, Juergen Ilse wrote:
> Ganzhinterseher wrote:
> >
> > Hier wird aber offenbar trotzdem eine Ordnung angedeutet, von jemand, der die Nichtordnung vergessen hat. Er spricht ja sogar von Wohlordnung. Darauf <bla>
> >
> Wenn Cantor von "Gleichmaechtigkeit von Mengen" einerseits und "Aehnlichkeit
> von Wohlordnungen" andererseits schreibt, schreibt er dabei von *unterschied-
> lichen* Dingen.

Hat man Mückenheim schon zig mal gesagt/erklärt. Es ist aber offenbar einfach zu blöde dafür, das zu verstehen.

<quote>

Hier geht es um Mächtigkeit/Kardinalzahlen:

> "Wenn zwei wohldefinierte Mannigfaltigkeiten M und N sich eindeutig und vollständig, Element für Element, einander zuordnen lassen (was, wenn es auf eine Art möglich ist, immer auch noch auf viele andere Weisen geschehen kann), so möge für das Folgende die Ausdrucksweise gestattet sein, daß diese Mannigfaltigkeiten gleiche Mächtigkeit haben, oder auch, daß sie äquivalent sind." [Cantor, p. 119]
>
> "Jeder wohldefinierten Menge kommt danach eine bestimmte Mächtigkeit zu, wobei zwei Mengen dieselbe Mächtigkeit zugeschrieben wird, wenn sie sich gegenseitig eindeutig, Element für Element einander zuordnen lassen." [Cantor, p. 167]

Und hier um Ordnungstyp/Ordinalzahlen:

> "Dabei nenne ich zwei wohlgeordnete Mengen von demselben Typus und schreibe ihnen gleiche Anzahl zu, wenn sie sich unter Wahrung der festgesetzten Rangordnung ihrer Elemente gegenseitig eindeutig aufeinander abbilden, oder wie man sich gewöhnlich ausdrückt, aufeinander abzählen lassen." [G. Cantor, letter to W. Wundt (5 Oct 1883)]

Siehe dazu: https://en.wikipedia.org/wiki/Order_type
Und: https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number

Nur zur Erinnerung: Wenn Cantor in diesem Zusammenhang von "Anzahl" spricht, meint er "Ordinalzahl".

</quote>

Tom Bola

unread,
Aug 22, 2021, 9:55:34 AMAug 22
to
Fritz Feldhase schrieb:

> On Saturday, August 21, 2021 at 11:14:40 PM UTC+2, Tom Bola wrote:
>
>> Eine Ordnung braucht man, um eine konkrete Zuordnung anzugeben,
>
> Ist das so?

Nein, wenn man alle Elemente konkret benennt, benötigt man keine Ordnung.

>> bei (unendlich)
>> vielen Zahlen benötigt man eine "analytische" Zuordnung da man nicht alle
>> Element-Paarungen einzeln aufschreiben kann,
>
> Jep. Aber dazu muss man man keine Ordnungsstruktur voraussetzen,
> eine algebraische tut es gegebenenfalls auch schon:
>
> x |-> 2*x :-P
>
> Im Grenzfall braucht es nicht einmal das: x |-> x. :-P

Selbstverständlich, aber nun stell dir mal etwas Unendliches vor, zu der
man schlecht in einer geschlossenen, analytischen (algebraischen) Struktur
angeben kann, dann kann man mit der Ellipse ... weiterhelfen, meinte ich...

Im übrigen war mein Einwand die falsche Annahme, dass Vorschriften wie
{1, 3, 5, 7, ..., 2, 4, 6, 8, ...} in der Mengenklammer eine Ordnung
implizierten, schliesslich geht man ja davon ua. aus dass ... monoton
um 1 steigt bis St. Nimmerlein.

Tom Bola

unread,
Aug 22, 2021, 9:56:38 AMAug 22
to
Fritz Feldhase schrieb:

> On Sunday, August 22, 2021 at 12:52:23 AM UTC+2, Tom Bola wrote:
>
>> In komplizierteren Zuordnungen schreibt man "..." und bezieht sich damit
>> zBl auf eine (Nachfolger-)Ordnung - man kann manchmal eben nicht immer
>> alles einzeln exakt aufschreiben.
>
> Es ist aber so, dass man im Kontext der ZFC niemals auf die Notation "..."
> zurückgreifen muss. Alles was man im lockeren Austausch mithilfe von "..."
> hinschreibt, kann auch ohne Verwendung von "..." ausgedrückt werden.

Und das war dann meine falsche Annahme.

Fritz Feldhase

unread,
Aug 22, 2021, 10:17:29 AMAug 22
to
On Sunday, August 22, 2021 at 3:55:34 PM UTC+2, Tom Bola wrote:

> Im übrigen war mein Einwand die falsche Annahme, dass Vorschriften wie
> {1, 3, 5, 7, ..., 2, 4, 6, 8, ...} in der Mengenklammer eine Ordnung implizierten

Ja, schon klar, Gus hat in diesem Zusammenhang auch explizit von einer Wohlordnung gesprochen. Hier ist das natürlich schon mit angedeutet (m. E.).

Also ich würde hier NICHT sagen, dass Du von einer falschen Annahme ausgegangen bist. Tatsächlich ist im Zusammenhang mit "geordneten Mengen" Terminologie und Notation m. E. durchaus etwas verwirrend (und sie wird/sie werden auch nicht einheitlich gehandhabt).

Rein Formal ist es klar, dass eine geordnete Menge ein Tupel aus einer Menge und einer auf der Menge definierten Ordnung ist, z. B. (M, <=). Dennoch spricht man üblicherweise dann einfach von "der geordneten Menge M". Allerdings ist die Ordnung (die auf IN definiert ist) weiterhin "<=".

Was aber ist dann {1, 3, 5, 7, ..., 2, 4, 6, 8, ...} eigentlich für ein Objekt? IN --- oder gar ein Ausdruck für die auf IN definierten Ordnung? Dann aber wäre 1 e {1, 3, 5, 7, ..., 2, 4, 6, 8, ...} falsch, ebenso wie {1, 3, 5, 7, ..., 2, 4, 6, 8, ...} = IN, etc. *seufz*

In der PRAXIS macht das alles aber offenbar keine Probleme, da die Leute diese Begriffe letztlich doch richtig "handhaben" - anders als Mückenheim.

Ganzhinterseher

unread,
Aug 22, 2021, 10:25:04 AMAug 22
to
Das Zitat in MO wurde verändert, die Antwort von Burse gelöscht. Aber es war eh nur eine Abschätzung. Du kannst selbst eine machen: Der Bruch 1/n kommt frühestens nach n Schritten dran, usw. Außerdem gibt es in Stack Exchange die Antwort noch.

Gruß, WM

Fritz Feldhase

unread,
Aug 22, 2021, 10:25:54 AMAug 22
to
On Sunday, August 22, 2021 at 3:55:34 PM UTC+2, Tom Bola wrote:

> schliesslich geht man ja davon ua. aus dass ... monoton um 1 steigt bis St. Nimmerlein.

Nicht immer. Beispiel: {1, ..., n} :-P

Ich habe mal von einem Informatiker gehört, der mit Bezug auf eben diesen Unterschied statt z. B. "{1, ..., n}" "{1, .., n}" schreibt (mit n e IN). Wäre m. E. eigentlich eine gute Praxis!

Auch schreibt man durchaus oftmals so etwas hin wie

{0, 2, 4, ...}

oder

{1, 3, 5, ...} .

Es hilft nichts, man muss die Bedeutung von "..." aus dem "Kontext" entnehmen. Meist geht das ja auch problemlos. Und falls das nicht der Fall ist, sollte man natürlich besser ganz auf die Verwendung von "..." verzichten.

Beispiel:

{4, 76, 3, 1, 99, 104, 23, 65, ...}

WTF?!

Gus Gassmann

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Aug 22, 2021, 10:29:01 AMAug 22
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On Sunday, 22 August 2021 at 10:55:34 UTC-3, Tom Bola wrote:
[...]
> Im übrigen war mein Einwand die falsche Annahme, dass Vorschriften wie
> {1, 3, 5, 7, ..., 2, 4, 6, 8, ...} in der Mengenklammer eine Ordnung
> implizierten,

Vielleicht sollte ich mich doch zu Wort melden, weil das mein ursprünglicher Einwand zu Mückenheims Vermischung von Mächtigkeiten und Ordungstypen war. (Die Quelle des Zitats wurde schon früh abgeschnitten...) Das Beispiel sollte durchaus eine Wohlordnung implizieren, aber um zu zeigen, dass man verschiedene Ordnungstypen eben /doch/ bijektiv aufeinander abbilden kann. (Mückenheim blickt das offensichtlich nicht.) Ich hatte bei diesem Beispiel die identische Abbildung von IN auf IN im Sinn, aber man kann natürlich auch beliebig viele andere Abbildungen verwenden.

Fritz Feldhase

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Aug 22, 2021, 10:32:22 AMAug 22
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On Sunday, August 22, 2021 at 3:56:38 PM UTC+2, Tom Bola wrote:

Jedenfalls können wir uns wohl (sic!) auf folgendes einigen, denke ich:

> > Es ist aber so, dass man im Kontext der ZFC niemals auf die Notation "..."
> > zurückgreifen muss. Alles was man [in diesem Kontext] im lockeren Aus-
> > tausch mithilfe von "..." hinschreibt, kann auch ohne Verwendung von "..."
> > ausgedrückt werden.
> >
> Und das war dann meine falsche Annahme.

Wie dem auch sei, Gus hat sich offenbar -wie auch immer- auf die folgende Wohlordnung oder wohlgeordnete Menge beziehen wollen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Wohlordnung#Einfache_Beispiele_und_Gegenbeispiele

Fritz Feldhase

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Aug 22, 2021, 10:39:53 AMAug 22
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On Sunday, August 22, 2021 at 4:25:04 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

> Der Bruch 1/n kommt frühestens nach n Schritten dran, usw.

Mückenheim, auch wenn Sie zu blöde sind, das zu verstehen: Die asymptotische Dichte und der Mächtigkeitsbegriff haben NICHTS miteinander zu tun.

So ist z. B. die asymptotische Dichte aller Quadratzahlen = 0. (Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Asymptotische_Dichte)

Dennoch gibt es eine Bijektion zwischen IN und {n^2 : n e IN} und daher ist card({n^2 : n e IN}) = aleph_0.

Ganzhinterseher

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Aug 22, 2021, 10:51:44 AMAug 22
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Fritz Feldhase schrieb am Sonntag, 22. August 2021 um 16:39:53 UTC+2:
> On Sunday, August 22, 2021 at 4:25:04 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
>
> > Der Bruch 1/n kommt frühestens nach n Schritten dran, usw.
> Die asymptotische Dichte und der Mächtigkeitsbegriff haben NICHTS miteinander zu tun.

Das ist klar. Die sogenannte "Mächtigkeit" zeigt die für alle unendlichen Mengen gleiche potentiell unendliche Menge von definierbaren Elementen. Das ergibt sich sofort daraus, dass alle unendlichen Mengen dieselbe Mächtigkeit besitzen: Alle Brüche im Intervall (0, 10^-1000], alle Brüche im Intervall (-oo, oo), alle Primzahlen, alle algebraischen Zahlen und natürlich alle unterscheidbaren reellen oder komplexen Zahlen und Funktionen zeigen das. Ein Denker im Vollbesitz seiner geistigen Kräfte kann das nicht übersehen, nachdem er darauf hingewiesen wurde. Nur einen wirklich total blockierten Matheologen ficht das nicht an.

Gruß, WM

Tom Bola

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Aug 22, 2021, 10:53:03 AMAug 22
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Fritz Feldhase schrieb:
Danke für die aufschlussreiche Analyse...

Tom Bola

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Aug 22, 2021, 10:56:58 AMAug 22
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Ganzhinterseher schrieb:

Ganzhinterseher

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Aug 22, 2021, 11:04:51 AMAug 22
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Tom Bola schrieb am Sonntag, 22. August 2021 um 15:55:34 UTC+2:

> Im übrigen war mein Einwand die falsche Annahme, dass Vorschriften wie
> {1, 3, 5, 7, ..., 2, 4, 6, 8, ...} in der Mengenklammer eine Ordnung
> implizierten,

Diese falsche Annahme hat der Autor offensichtlich auch gemacht, sonst hätte er nicht diese besondere Aufzählung gewählt. Aber offenbar sind alle hier versammelten Matheologen nicht in der Lage zu erkennen, dass hier die Bijektion mit den natürlichen Zahlen versagt, weil in der Ordnung omega kein ... vorkommen kann, sondern nur am Ende.

Aus 1, 3, 5, 7, ..., 2, 4, 6, 8, ... kann man schließen, dass die ungeraden Zahlen die Mächtigkeit |omega| besitzen und die geraden auch.

Gruß, WM

Tom Bola

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Aug 22, 2021, 11:12:51 AMAug 22
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Ganzhinterseher schrieb:
Aber Ralf hat doch schon eine analytische Form der Sache angegeben!

In Message-ID: <sfrhpg$o79$1...@news-1.m-online.net>
Zitat:

Die Relation < auf der Menge M, gegeben durch die Bedingungen:
- ist a ungerade und b gerade, so ist a<b
- sind a und b ungerade und gibt es eine natürliche Zahl k mit a+k=b, so
ist a<b
- sind a und b gerade und gibt es eine natürliche Zahl k mit a+k=b, so
ist a<b
ist eine Wohlordnung von IN.

Ganzhinterseher

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Aug 22, 2021, 11:13:04 AMAug 22
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Juergen Ilse schrieb am Sonntag, 22. August 2021 um 10:41:04 UTC+2:

> > Hier wird aber offenbar trotzdem eine Ordnung angedeutet, von jemand, der die Nichtordnung vergessen hat. Er spricht ja sogar von Wohlordnung. Darauf bezog sich mein Einwand.
> Wenn Cantor von "Gleichmaechtigkeitvon Mengen" einerseits und "Aehnlichkeit
> von Wohlordnungen" andererseitsschreibt, schreibt er dabei von *unterschied-
> lichen* Dingen.

Ja, hier kannst Du das genauer lernen:

Eine einfache Überlegung zeigt, daß zwei geordnete Mengen dann und nur dann denselben Ordnungstypus haben, wenn sie ähnlich sind,
Abstrahiert man an einem Ordnungstypus M auch noch von der Rangordnung der Elemente, so erhält man (§ 1) die Kardinalzahl |M| der geordneten Menge M, welche zugleich Kardinalzahl des Ordnungstypus M ist.
geordnete Mengen von gleichem Typus haben immer dieselbe Mächtigkeit oder Kardinalzahl; die Ähnlichkeit geordneter Mengen begründet stets ihre Äquivalenz. Hingegen können zwei geordnete Mengen äquivalent sein, ohne ähnlich zu sein. [Cantor]

Das eine bedingt also das andere. Und die Ordnung omega*2 ist nicht ähnlich der Ordnung omega.

Gruß, WM