e^(x^2) nicht integrierbar?!
Torben Wagner
ich stieß heute in der Abiturvorbereitung auf die Funktion f(x)=e^(x^2). Mir
und meinen Freunden war es leider nicht möglich, diese eigentlich simpel
wirkende Funktion [e hoch xquadrat] zu integrieren! Es dies etwa nicht
möglich? Uns bekannte Verfahren sind Produktintegration (partielle Int.) und
Integration durch Substitution. Oder gibt es eine Möglichkeit, e^(x^2) so
umzuschreiben, daß es integrierbar wird?
Hoffe auf schnelle Antwort!!!
MfG
Torben
Frederic
> Hoffe auf schnelle Antwort!!!
Warum, schreibst du morgen auch eine LK Arbeit über den Mist? :-)
Frank Klinker
diese genannte funktion ist zwar integrierbar (denn sie ist ja
offensichtrlich stetig), aber die stammfunktion laesst sich nicht durch
elementare funktionen darstellen.
man kann aber natuerlich durch numerische verfahren das integral ueber
beliebige intervalle ausfuehren.
also nicht weiter probieren durch die herkoemmlichen verfahren zu einer
stammfunktion zu gelangen!
gruss frank
Torben Wagner schrieb in Nachricht <7d66mo$p8i$1...@black.news.nacamar.net>...
Marcus Hebel
>
>ich stieß heute in der Abiturvorbereitung auf die Funktion f(x)=e^(x^2).
Mir
>und meinen Freunden war es leider nicht möglich, diese eigentlich simpel
>wirkende Funktion [e hoch xquadrat] zu integrieren! Es dies etwa nicht
>möglich? Uns bekannte Verfahren sind Produktintegration (partielle Int.)
und
>Integration durch Substitution. Oder gibt es eine Möglichkeit, e^(x^2) so
>umzuschreiben, daß es integrierbar wird?
>
Hallo,
Man kann für die Funktion f(x)=exp(x*x) keine Stammfunktion angeben, die
sich aus irgendwelchen elementaren Funktionen zusammensetzt. Da du dich fürs
Abitur vorbereitest: Schau dir doch mal die Standardnormalverteilung an
(10-DM-Kurve). Hier taucht im Prinzip auch e^(x^2) auf. Die zugehörige
Verteilungsfunktion (Stammfunktion) wird immer in Tabellen angegeben. Das
heisst allerdings nicht, dass e^(x^2) nicht integrierbar wäre. Du könntest
z.B. definieren torben(x):= int(exp(y*y),y=0..x) und schon hast du eine
Stammfunktion.
Gruss
Marcus
Johannes Pietsch
e^(-1/2x^2): Integrierbar ja, aber nicht mit elementaren Funktionen. Integriert
werden kann z.B. mit Reihenentwicklung oder komplett numerisch. Tip:
Nachschlagen im Brondstein, "Taschenbuch der Mathematik", Teubner-Verlag, da
steht 'ne Menge zu Integration von solchen Funktionen drin.
CU Johannes Pietsch
Frank Klinker
die verteilung der normalverteilung lautet aber e^(-x^2), und hat somit ein
gaenzlich anderes aussehen als e^(x^2), die hier gemeint war. aber sonsts
hast du natuerlich recht.
gruss frank
Marcus Hebel schrieb in Nachricht <7d6bi2$sfm$1...@sun.rhrk.uni-kl.de>...
Frank Mahler
>
> Für e^(x^2) gilt im Prinzip das gleiche wie für die Gaussche Verteilungsfunktion
> e^(-1/2x^2): Integrierbar ja, aber nicht mit elementaren Funktionen. Integriert
> werden kann z.B. mit Reihenentwicklung oder komplett numerisch. Tip:
Leider gibt es für solche Funktionen häufig noch nicht mal
Umkehrfunktionen... Ich hätte z. B. gern eine für x^2 * exp(-x^2).
Dieser Term kommt in der Maxwell-Boltzmann-Verteilung vor...
Gruß,
Frank
--
"After 49.7 days of continuous operation, your Windows 95-based
computer may stop responding (hang)."
(see support.microsoft.com)
Horst Kraemer
<nhch...@rrzn-user.uni-hannover.de> wrote:
> Johannes Pietsch wrote:
> >
> > Für e^(x^2) gilt im Prinzip das gleiche wie für die Gaussche Verteilungsfunktion
> > e^(-1/2x^2): Integrierbar ja, aber nicht mit elementaren Funktionen. Integriert
> > werden kann z.B. mit Reihenentwicklung oder komplett numerisch. Tip:
>
> Leider gibt es für solche Funktionen häufig noch nicht mal
> Umkehrfunktionen... Ich hätte z. B. gern eine für x^2 * exp(-x^2).
> Dieser Term kommt in der Maxwell-Boltzmann-Verteilung vor...
Ich glaube, Du suchtest nicht eine Umkehrfunktion von x^2*exp(-x^2),
sondern eine fuer
x
F(x) = const * Integral t^2 exp(-t^2) dt
-oo
o.ae. weil Du diese Verteilung simulieren wolltest, wozu man
normalerweise die Umkehrfunkton der _Verteilungsfunktion_ braucht. Die
Umkehrfunktion der Dichte - falls die Dichte zufaellig umkehrbar sein
sollte, weil sie streng monoton ist - nuetzt Dir dazu herzlich wenig.
Die Umkehrfunktion der Dichte der Normalverteilung
u(y) = sqrt(-2*log(const*y))
nuetzt Dir auch nichts, wenn Du die Umkehrfunktion der
Normalverteilung ermitteln willst.
MfG
Horst
David Werner
..
>diese genannte funktion ist zwar integrierbar (denn sie ist ja
>offensichtrlich stetig), aber die stammfunktion laesst sich nicht durch
>elementare funktionen darstellen.
..
>gruss frank
Hallo,
Gibt es eine allgemeine Theorie, die abhandelt:
welche aus elementaren Funktionen aufgebaute Funktionen
Stammfunktionen haben, die ebenfalls elementar aufgebaut sind?
Wo muesste ich nachschauen, um ueber solche Fragen mehr
zu erfahren?
Ciao,
David
Andreas Slateff
<7e5nia$iuc$1...@rzcomm2.rz.tu-bs.de>...
> Hallo,
> Gibt es eine allgemeine Theorie, die abhandelt:
> welche aus elementaren Funktionen aufgebaute Funktionen
> Stammfunktionen haben, die ebenfalls elementar aufgebaut sind?
> Wo muesste ich nachschauen, um ueber solche Fragen mehr
> zu erfahren?
Gibt es. Braucht man fuer symbolische Integration (zB. Integratoren in
mathematica oder maple...). Der gaengige Algorithmus ist von Risch.
Die Theorie dahinter ist im weitesten Sinne Differentialalgebra (Ritt,
Kolchin), im engeren Sinne Differential Galois Theory (Schlagwort:
Liouvill'scher Erweiterungskoerper, Picard-Vessiot-Erweiterung). Es geht dabei
darum, zu entscheiden ob Polynome ueber einem gegebenen
Differential-(Funktionen-)Koerper (zB. Polynomfunktionen, Exponentialfunktion,
trigonometrische etc.) sich als Loesung der Gleichung y'=f anbieten oder nicht.
Dafuer werden die Beziehungen von Galoisgruppen bestimmter Koerpererweiterungen
studiert.
Eine Einfuehrung in Differential Galois Theorie gibt beispielsweise:
Magid, A.: "Lectures on Differential Galois Theory", erschienen bei AMS, Univ.
Lecture Series Vol. 7
Standardwerke fuer Differentialalgebra sind die Originalartikel von Joseph Ritt
(30-50-er Jahre) und das Buch
Kolchin: Differential Algebra and Algebraic Groups.
MfG
Andreas
MfG
Andreas
Andreas Slateff
<01be7e9f$a74b91c0$0100007f@andreass>...
(Liouvill'scher Erweiterungskoerper, Picard-Vessiot-Erweiterung)
> Es geht dabei
> darum, zu entscheiden ob Polynome ueber einem gegebenen
> Differential-(Funktionen-)Koerper (zB. Polynomfunktionen,
Exponentialfunktion,
> trigonometrische etc.) sich als Loesung der Gleichung y'=f anbieten oder
nicht.
Damit keine Missverstaendnisse auftreten: Natuerlich bilden die Polynome i.
Allg. nur einen Ring und keinen Koerper. Es wird dann aber zumindest der
Quotientenkoerper genommen, und die restlichen Elemente wie exp oder sin werden
adjungiert, bzw., der Erweiterungskoerper wird betrachtet.
Die Galois-Methoden sind anwendbar, da es jeweils einen universellen Koerper U
gibt, ueber dem alle polynomialen Diff-Gleichungen mit Koeffizienten aus U
Loesungen in U haben. Bei einem gegebenen System ueber einem Diff-Koerper
reicht aber oft schon ein kleinerer Erweiterungskoerper, Zwischenkoerper. Die
Verhaeltnisse dieser Koerper und deren Erweiterungen, sowie die Polynomalgebren
darueber, werden schliesslich studiert.
MfG
Andreas
David Werner
[..]
>Eine Einfuehrung in Differential Galois Theorie gibt beispielsweise:
>Magid, A.: "Lectures on Differential Galois Theory", erschienen bei AMS, Univ.
>Lecture Series Vol. 7
>Standardwerke fuer Differentialalgebra sind die Originalartikel von Joseph Ritt
>(30-50-er Jahre) und das Buch
>Kolchin: Differential Algebra and Algebraic Groups.
Vielen Dank fuer die genaue Auskunft, auch wenn mein mathematisches
Niveau derzeit wahrscheinlich wenig dazu taugt sich jetzt
direkt damit zu beschaeftigen. So bleibt es doch ein Ziel sich
weiterhin etwas mit Algebra zu beschaeftigen.
Jedenfalls befriedigt es mich schon etwas mehr als die banale
Auskunft: "laesst sich nicht geschlossen loesen" ohne Hinweis
auf Quellen.
Viele Gruesse,
David
>MfG
>Andreas