Stell Dir vor, Du stapfst über einen Kartoffelacker

Ganzhinterseher

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Jan 6, 2022, 4:09:28 AM1/6/22

to

nach einem Platzregen, dann werden Deine Stiefel schwer vor Schlamm und Dreck. Genau so kleben bei Cantors Nummerierung große Mengen von Brüchen an jedem vergebenen Index. Sollten dessen Stiefel am Ende sauber sein? Oder sollte weniger an jedem Index kleben, wenn man die Zuführung nicht kontrolliert?

Die Mengenlehre basiert auf dieser Regel: Würde man indes unendlich lange da langstapfen (etwa "abzählbar unendlichviele“ Schritte in der Ausdrucksweise des nächsten Paragraphen), so würden die Stiefel sauber. [nach Adolf Fraenkel: "Einleitung in die Mengenlehre" 3. Aufl., Springer, Berlin (1928) p. 24]

Also ist für die Akzeptanz der Mengenlehre vor allem eines wichtig: Bloß nicht nachprüfen!

Gruß, WM

JVR

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Jan 6, 2022, 6:57:58 AM1/6/22

to

Überraschenderweise ist das von Mücke zitierte Buch im GDZ online verfügbar. Dort steht, selbstverständlich, nicht der
vom Prefosser suggerierte Unsinn. Lustigerweise wird auf Seite 23 grafisch erklärt, wieso N <-> N u {0} gleichmächtig sind.
Auf Seite 23 und 24 wird eingehend erklärt, was es mit der Gleichmächtigkeit einer Menge mit einer eigentlichen Teilmenge
auf sich hat.

Überraschenderweise im GDZ, weil das Buch noch nicht im 'public domain' sein sollte, was erst 70 Jahre nach Fraenkels Tod der Fall sein wird. Faenkel ist 1965 gestorben. D.h. dass man mit den 'Nationallizenzen' Fortschritte gemacht hat - eine sehr erfreuliche Entwicklung.

Fritz Feldhase

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Jan 6, 2022, 7:07:07 AM1/6/22

to

On Thursday, January 6, 2022 at 12:57:58 PM UTC+1, JVR wrote:
>
> Überraschenderweise ist das von Mücke zitierte Buch im GDZ online verfügbar. Dort steht, selbstverständlich, nicht der

> vom Prefosser suggerierte Unsinn. Lustigerweise wird auf Seite 23 grafisch erklärt, wieso N [und] N u {0} gleichmächtig sind.

> Auf Seite 23 und 24 wird eingehend erklärt, was es mit der Gleichmächtigkeit einer Menge mit einer eigentlichen Teilmenge
> auf sich hat.
>
> Überraschenderweise im GDZ, weil das Buch noch nicht im 'public domain' sein sollte, was erst 70 Jahre nach Fraenkels Tod der Fall sein wird. Faenkel ist 1965 gestorben. D.h. dass man mit den 'Nationallizenzen' Fortschritte gemacht hat - eine sehr erfreuliche Entwicklung.

Habe mit das Buch sogar gekauft. Sehr ansprechend (wenn man mit dem -aus heutiger Sicht- weitschweifendem Stil zurecht kommt). Mücke ist halt zu dumm für *jede* Form der Mathematik. Da kann man nichts machen.

JVR

unread,

Jan 6, 2022, 7:28:00 AM1/6/22

to

https://www.nationallizenzen.de/
Ich habe bisher immer direkt im GDZ oder Gallica oder Stabi gesucht, ohne zu merken, dass auch Texte, die noch im Copyright sind, greifbar werden. Bei Zeitschriften merkt man es schnell, weil uneinheitlich. Das Fraenkelbuch findet man jetzt direkt über Google, ohne erst im GDZ explizit zu suchen.

Ganzhinterseher

unread,

Jan 6, 2022, 5:27:41 PM1/6/22

to

Fritz Feldhase schrieb am Donnerstag, 6. Januar 2022 um 13:07:07 UTC+1:
> On Thursday, January 6, 2022 at 12:57:58 PM UTC+1, JVR wrote:
> >
> > Überraschenderweise ist das von Mücke zitierte Buch im GDZ online verfügbar. Dort steht, selbstverständlich, nicht der
> > vom Prefosser suggerierte Unsinn. Lustigerweise wird auf Seite 23 grafisch erklärt, wieso N [und] N u {0} gleichmächtig sind.
> > Auf Seite 23 und 24 wird eingehend erklärt, was es mit der Gleichmächtigkeit einer Menge mit einer eigentlichen Teilmenge
> > auf sich hat.
> >
> > Überraschenderweise im GDZ, weil das Buch noch nicht im 'public domain' sein sollte, was erst 70 Jahre nach Fraenkels Tod der Fall sein wird. Faenkel ist 1965 gestorben. D.h. dass man mit den 'Nationallizenzen' Fortschritte gemacht hat - eine sehr erfreuliche Entwicklung.
> Habe mit das Buch sogar gekauft

aber die Fehler wohl nicht gefunden? Wenn gleichzeitig mit jeder Indexvergabe an einen einzigen Bruch ℵo Brüche hinzukommen, so kann eine vollständige Nummerierung keinesfalls erfolgen. Da ist auch mit dem (unbegründeten und willkürlichen) limcard =/= cardlim nichts zu reparieren. Die einzige Reparaturmöglichkeit besteht im Wegsehen. Die sofortige vollständige Füllung der Bildmenge ändert jedenfalls nichts gegenüber der schrittweisen Füllung - außer dass sie das Wegsehen erleichtert.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,

Jan 6, 2022, 5:27:44 PM1/6/22

to

JVR schrieb am Donnerstag, 6. Januar 2022 um 12:57:58 UTC+1:
> On Thursday, January 6, 2022 at 10:09:28 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > nach einem Platzregen, dann werden Deine Stiefel schwer vor Schlamm und Dreck. Genau so kleben bei Cantors Nummerierung große Mengen von Brüchen an jedem vergebenen Index. Sollten dessen Stiefel am Ende sauber sein? Oder sollte weniger an jedem Index kleben, wenn man die Zuführung nicht kontrolliert?
> >
> > Die Mengenlehre basiert auf dieser Regel: Würde man indes unendlich lange da langstapfen (etwa "abzählbar unendlichviele“ Schritte in der Ausdrucksweise des nächsten Paragraphen), so würden die Stiefel sauber. [nach Adolf Fraenkel: "Einleitung in die Mengenlehre" 3. Aufl., Springer, Berlin (1928) p. 24]
> >
> > Also ist für die Akzeptanz der Mengenlehre vor allem eines wichtig: Bloß nicht nachprüfen!
> >

> Lustigerweise wird auf Seite 23 grafisch erklärt, wieso N <-> N u {0} gleichmächtig sind.

Das ist trotzdem falsch, aber bitte nicht ablenken. Wenn gleichzeitig mit jeder Indexvergabe an einen einzigen Bruch ℵo Brüche hinzukommen, so kann eine vollständige Nummerierung keinesfalls erfolgen. Da ist auch mit dem (unbegründeten und willkürlichen) limcard =/= cardlim nichts zu reparieren. Die einzige Reparaturmöglichkeit besteht im Wegsehen. Die sofortige vollständige Füllung der Bildmenge ändert jedenfalls nichts gegenüber der schrittweisen Füllung - außer dass sie das Wegsehen erleichtert.

Gruß, WM

JVR

unread,

Jan 6, 2022, 6:22:48 PM1/6/22

to

Lassen Sie die dümmliche Polemik und beweisen Sie Ihre Behauptungen.
Im konkreten Fall müssen Sie nur eine rationale Zahl angeben - eine einzige -
die bei der expliziten Cantor'schen Zuordnung keiner natürlichen Zahl entspricht.

Was hindert Sie daran? Sie behaupten doch, es gäbe unendlich viele.
Es hindert Sie die einfache Tatsache, dass es keine solchen Zahlen gibt.

Ganzhinterseher

unread,

Jan 7, 2022, 3:26:37 AM1/7/22

to

JVR schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 00:22:48 UTC+1:
> On Thursday, January 6, 2022 at 11:27:44 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > Wenn gleichzeitig mit jeder Indexvergabe an einen einzigen Bruch ℵo Brüche hinzukommen, so kann eine vollständige Nummerierung keinesfalls erfolgen. Da ist auch mit dem (unbegründeten und willkürlichen) limcard =/= cardlim nichts zu reparieren. Die einzige Reparaturmöglichkeit besteht im Wegsehen. Die sofortige vollständige Füllung der Bildmenge ändert jedenfalls nichts gegenüber der schrittweisen Füllung - außer dass sie das Wegsehen erleichtert.
> >

> Lassen Sie die dümmliche Polemik und beweisen Sie Ihre Behauptungen.

"1 raus, ℵo rein" ist ein unwiderleglicher Beweis.

> Im konkreten Fall müssen Sie nur eine rationale Zahl angeben - eine einzige -
> die bei der expliziten Cantor'schen Zuordnung keiner natürlichen Zahl entspricht.

In der potentiellen Unendlichkeit gibt es keine solche Zahl. Aber da gibt es auch keine Vollständigkeit. Die erfordert wiederum nicht angebbare Zahlen.

Man kann ja nichteinmal eine Zahl angeben, die mehr Vorgänger als Nachfolger besitzt. Diese Nachfolger sind trotzdem alle natürliche Zahlen, denn man kann sie manipulieren, allerdings nur kollektiv.

Hier ist der Beweis: Für alle angebbaren natürlichen Zahlen gilt
∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Für alle natürlichen Zahlen dagegen gilt:
{0, 1, 2, 3, ..., ω} \ ℕ = {0, ω}.

Es bleiben also bei kollektiver Manipulation nicht ℵo übrig. Dieser Unterschied ist der, um den es geht.

> Was hindert Sie daran? Sie behaupten doch, es gäbe unendlich viele.

"∀q ∈ Q: 1 raus, ℵo rein" ist der Beweis für die Existenz von mehr Brüchen als nummeriert werden können. Was kann man dagegen sagen? Es geht ja hier nicht um limcard oder ähnliche Scherze, sondern um die Tatsache, dass unmittelbar mit *jeder* Indizierung unendlich viele Brüche dazukommen. Und wie bereits bemerkt wurde, benutze ich haargenau Cantors Abbildung --- mit dem einzigen Unterschied, dass man bei mir etwas genauer hinsehen kann.

> Es hindert Sie die einfache Tatsache, dass es keine solchen Zahlen gibt.

Im Gegenteil, dieses Beispiel ist ein weiterer Beweis für die Existenz dunkler Zahlen, einer der besten sogar.

Gruß, WM

JVR

unread,

Jan 7, 2022, 4:48:53 AM1/7/22

to

Vermutlich werden Sie diesen Unsinn bis zum letzten Atemzug repetieren. Macht nichts - es hört, gottlob, fast niemand zu.

Marcus Gloeder

unread,

Jan 7, 2022, 4:57:56 AM1/7/22

to

Hallo alle zusammen,

am 06.01.22 10:09, schrieb Ganzhinterseher:

>nach einem Platzregen, dann werden Deine Stiefel schwer vor Schlamm und Dreck.

Na und?

> Genau so [...]

Nur weil hier »genau so« steht, heißt das noch nicht, dass der Katoffelacker
irgendetwas mit dem nun folgenden Satz zu tun hat.

Denkexperimente sind natürlich erlaubt (so wie Hilberts Hotel). Dann
allerdings sollten sie etwas mit dem behandelten Thema zu tun haben. In
meiner Eigenschaft als mathematischer Laie kann ich aber noch nicht einmal
erkennen, worum es an dieser Stelle überhaupt gehen soll.

Mir jedenfalls wäre eine klare und eindeutige Formulierung des abstrakten
theoretischen Problems wesentlich lieber als so ein konkretistischer Unfug
wie der Kartoffelacker. Dass der Unfug ist ist auch für jeden Laien (wie
mich) sofort erkennbar.

>Gruß, WM

Viele Grüße
Marcus

--
PMs an: m.gl...@gmx.de

Fritz Feldhase

unread,

Jan 7, 2022, 6:48:39 AM1/7/22

to

On Friday, January 7, 2022 at 9:26:37 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

Wir wollen zu Beginn einmal Ihre Einsichten festhalten, Mückenheim.

Sei N_def c IN, dann gilt:

> ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Unglaublich!

Ok, das folgt unmittelbar (nach Modus BARBARA) aus

∀n ∈ ℕ: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Aber das tut dieser grandiosen Einsicht keinen Abbruch!

Außerdem haben Sie entdeckt, dass folgendes gilt:

> {0, 1, 2, 3, ..., ω} \ ℕ = {0, ω}.

Dies wiederum gilt, da 0 !e IN und ω !e IN ist.

Man kann diesen Satz also verallgemeinern:

Sie A eine beliebiege Menge mit A n IN = {}. (D. h. A und IN sind disjunkte Mengen.)

Dann gilt: (A u IN) \ IN = A .

> Es bleiben also bei kollektiver Manipulation nicht ℵo übrig.

??? Nehmen Sie doch A = {ω, ω+1, ω+2, ω+3, ...}, dann gilt card((A u IN) \ IN) = card(A) = ℵo.

> Dieser Unterschied ist der, um den es geht.

Welcher Unterschied?

Ja, wie es scheint, reden Sie von verschiedenen Dingen. Da gibt es dann "einen Unterschied". :-)

> "∀q ∈ Q: 1 raus, ℵo rein" ist der Beweis für die Existenz von mehr Brüchen als nummeriert werden können. Was kann man dagegen sagen?

Hmmm... Man kann "dagegen" sagen, dass das absurder Quatsch ist, den Sie da hingeschrieben haben. Oder, wie es Herr Bader gerne ausdrückt: saudummer Scheißdreck!

> > Im konkreten Fall müssen Sie nur eine rationale Zahl angeben - eine einzige -
> > die bei der expliziten Cantor'schen Zuordnung keiner natürlichen Zahl entspricht.

> > Was hindert Sie daran? Sie behaupten doch, es gäbe unendlich viele.

> > Es hindert Sie die einfache Tatsache, dass es keine solchen Zahlen gibt.
> >

> es gibt keine solche Zahl. <Blubber>

GENAU DAS hat JVR doch gerade gesagt, heilige Mutter Gottes!

Mit anderen Worten: JEDE rationale Zahl ist "nummeriert".

Dieter Heidorn

unread,

Jan 7, 2022, 9:36:28 AM1/7/22

to

Ganzhinterseher schrieb:

> "∀q ∈ Q: 1 raus, ℵo rein" ist der Beweis für die Existenz von mehr Brüchen als nummeriert werden können. Was kann man dagegen sagen?

* Es widerspricht der Cantorschen Diagonalabzählung, mit der erfolgreich
nachgewiesen wird, dass die Paarmenge |Nx|N abzählbar ist.
Die Cantorsche Abbildung ist eine Bijektion |Nx|N <--> |N, eine
Widerlegung hast du nicht vorlegen können.

* Es widerspricht allen im von dir hier erwähnten Werk von Fraenkel:

"Einleitung in die Mengenlehre" 3. Aufl., Springer, Berlin (1928)

(zu finden unter

https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN373206852?tify={%22view%22:%22info%22}
)
im "§4: Abzählbare Mengen" benannten und ausführlich dargestellten
Beispielen.

* Es beruht auf der simplen Tatsache, dass du den Satz 3 auf Seite 35 im
Fraenkel "übersiehst"...

Dieter Heidorn

Marcus Gloeder

unread,

Jan 7, 2022, 9:55:22 AM1/7/22

to

Hallo alle zusammen,

am 06.01.22 10:09, schrieb Ganzhinterseher:

>nach einem Platzregen, dann werden Deine Stiefel schwer vor Schlamm und Dreck.

Na und?

>Genau so […]

Nur weil er mit »Genau so« eingeleitet wird, heißt das noch nicht, dass der
folgende Satz irgendetwas mit dem Kartoffelacker zu tun hat.

Denkexperimente (wie Hilberts Hotel) sind natürlich erlaubt. Dann sollten
sie aber etwas mit dem behandelten Thema zu tun haben. Als mathematischer
Laie ist für mich noch nicht einmal ersichtlich, worum es überhaupt gehen
soll.

Eine klare und eindeutige Formulierung des abstrakten theoretischen Problems
wäre mir wesentlich lieber als so ein konkretistischer Unfug wie dieser
»Kartoffelacker«. Dass es sich dabei um Unfug handelt, ist auch für Laien
wie mich direkt erkennbar.

Marcus Gloeder

unread,

Jan 7, 2022, 9:59:32 AM1/7/22

to

Am 07.01.22 15:55, schrieb ich:
>Hallo alle zusammen,

Für das Doppelposting kann ich nur um Entschuldigung bitten. Bei dem ersten
Posting habe ich gedacht, es sei nicht versandt worden und habe es dann neu
geschrieben.

Ganzhinterseher

unread,

Jan 7, 2022, 12:52:58 PM1/7/22

to

Marcus Gloeder schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 10:57:56 UTC+1:

> Mir jedenfalls wäre eine klare und eindeutige Formulierung des abstrakten
> theoretischen Problems wesentlich lieber als so ein konkretistischer Unfug
> wie der Kartoffelacker.

Dann ganz abstrakt: Man addiert zur leeren Menge unendlich viele Elemente und entnimmt eines. Dann addiert man wieder unendlich viele Elemente und entnimmt eines. Das wiederholt man unendlich oft und behauptet, dass die Menge dann leer sei.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,

Jan 7, 2022, 1:01:56 PM1/7/22

to

Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 12:48:39 UTC+1:
> On Friday, January 7, 2022 at 9:26:37 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
>

> Welcher Unterschied?

Alle definierbaren Zahlen lassen bei Subtraktion von ℕ unendlich viele Zahlen übrig:

∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .

Alle natürlichen Zahlen lassen bei Subtraktion von ℕ nichts übrig.
|ℕ \ {1, 2, 3, ...}| = 0 .

Alle definierbaren Zahlen können addiert werden. Nicht alle Elemente der Menge ℕ können addiert werden.

> > "∀q ∈ Q: 1 raus, ℵo rein" ist der Beweis für die Existenz von mehr Brüchen als nummeriert werden können. Was kann man dagegen sagen?
> Hmmm... Man kann "dagegen" sagen, dass das absurder Quatsch ist, den Sie da hingeschrieben haben.

Es ist genau das, was Cantor behauptet.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,

Jan 7, 2022, 1:19:41 PM1/7/22

to

Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 15:36:28 UTC+1:
> Ganzhinterseher schrieb:
> > "∀q ∈ Q: 1 raus, ℵo rein" ist der Beweis für die Existenz von mehr Brüchen als nummeriert werden können. Was kann man dagegen sagen?
> * Es widerspricht der Cantorschen Diagonalabzählung, mit der erfolgreich
> nachgewiesen wird, dass die Paarmenge |Nx|N abzählbar ist.

Die Abzählung kommt niemals über die Diagonale eines endlichen Quadrates hinaus. Ja, potentiell unendliche Mengen kann man abzählen, so weit man will. Aber niemals vollständig.

> Die Cantorsche Abbildung ist eine Bijektion |Nx|N <--> |N, eine
> Widerlegung hast du nicht vorlegen können.

Die Widerlegung steht oben: "∀q ∈ Q: 1 raus, ℵo rein" führt nicht zu einer leeren Menge nichtindizierter Brüche, ist aber genau Cantors Abzählung. Also bestände, wenn seine Diagonalabzählung gültig wäre, ein Widerspruch. Dagegen hast Du nichts?

>
> * Es widerspricht allen im von dir hier erwähnten Werk von Fraenkel:
> "Einleitung in die Mengenlehre" 3. Aufl., Springer, Berlin (1928)

Jedenfalls besteht ein Widerspruch. Kannst Du ihn beheben? Oder ist mein Satz "∀q ∈ Q: 1 raus, ℵo rein" falsch?

>
> * Es beruht auf der simplen Tatsache, dass du den Satz 3 auf Seite 35 im
> Fraenkel "übersiehst"...
>

Nein, dessen Satz 3 betrifft abzählbare unendliche Mengen. Die gibt es gar nicht, weil sie im Widerspruch zu "∀q ∈ Q: 1 raus, ℵo rein" stehen würden.

Gruß, WM

Fritz Feldhase

unread,

Jan 7, 2022, 1:25:47 PM1/7/22

to

On Friday, January 7, 2022 at 7:01:56 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

Für jedes ℕ_def c ℕ gilt:

> ∀n ∈ ℕ_def: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .

Und? Ein trivialer mengentheoretischer Sachverhalt. Allgemeiner gilt

∀n ∈ ℕ: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .

bzw.

∀n ∈ ℕ: |{n+1, n+2, n+3, ...}| = ℵo .

Warum glaubst Du eigentlich, dass solche Trivialitäten irgend eine tiefere Bedeutung hätten.

> |ℕ \ {1, 2, 3, ...}| = 0 .

Ja, unfassbar.

Ein großes RÄTSEL: Für jede Menge A gilt

A \ A = {}.

Wer hätte das gedacht?

> <Unsinn gelöscht>

Fritz Feldhase

unread,

Jan 7, 2022, 1:29:13 PM1/7/22

to

On Friday, January 7, 2022 at 7:19:41 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote

saudummen Scheißdreck.

Dieter Heidorn

unread,

Jan 7, 2022, 1:52:04 PM1/7/22

to

Ganzhinterseher schrieb:

> Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 15:36:28 UTC+1:
>> Ganzhinterseher schrieb:
>>> "∀q ∈ Q: 1 raus, ℵo rein" ist der Beweis für die Existenz von mehr Brüchen als nummeriert werden können. Was kann man dagegen sagen?
>>
>> * Es widerspricht der Cantorschen Diagonalabzählung, mit der erfolgreich
>> nachgewiesen wird, dass die Paarmenge |Nx|N abzählbar ist.
>
> Die Abzählung kommt niemals über die Diagonale eines endlichen Quadrates hinaus.

Es wird die Paarmenge |Nx|N abgezählt - die entspricht nicht einem
"endlichen Quadrat". Also wieder nur leeres Gerede von dir und keine
inhaltliche Widerlegung der Cantorschen Abzählung.

> potentiell unendliche Mengen kann man abzählen

In der Mathematik gibt es keine "potentiell unendlichen Mengen".
Also wieder keine inhaltliche Widerlegung der Cantorschen Abzählung.

>> Die Cantorsche Abbildung ist eine Bijektion |Nx|N <--> |N, eine
>> Widerlegung hast du nicht vorlegen können.
>
> Die Widerlegung steht oben: "∀q ∈ Q: 1 raus, ℵo rein"

Das ist keine Widerlegung von Cantors Aussage, die da lautet:

| "Es hat nämlich die Funktion μ + ((μ + n − 1) (μ + n − 2))/2, wie
| leicht zu zeigen, die bemerkenswerte Eigenschaft, dass sie alle
| positiven ganzen Zahlen und jede nur einmal darstellt, wenn in ihr μ
| und n unabhängig voneinander ebenfalls jeden positiven,
| ganzzahligen Wert erhalten."

>> Also bestände, wenn seine Diagonalabzählung gültig wäre, ein Widerspruch.

Sie ist nachweislich gültig, und du hast sie nicht widerlegt, sondern
nur eine falsche Vorstellung geäußert. Du bist - um es mit Fraenkels
Worten zu sagen - ein Opfer deiner "durch die 'Philosophie des Als-Ob'
irregeleiteten Auffassungen" (a.a.O. S.21).

>> * Es widerspricht allen im von dir hier erwähnten Werk von Fraenkel:
>> "Einleitung in die Mengenlehre" 3. Aufl., Springer, Berlin (1928)
>
> Jedenfalls besteht ein Widerspruch.
>

Ja: Deine Auffassung steht im Widerspruch zur Cantorschen Abzählung.
Letztere ist bewiesen, und du hast sie (natürlich) immer noch nicht
widerlegt, sondern ausschließlich "irre geleitete Auffassungen"
abgesondert.

> Oder ist mein Satz "∀q ∈ Q: 1 raus, ℵo rein" falsch?
>

So wie du ihn meinst: Ja.

>> * Es beruht auf der simplen Tatsache, dass du den Satz 3 auf Seite 35 im
>> Fraenkel "übersiehst"...
>>
> Nein, dessen Satz 3 betrifft abzählbare unendliche Mengen. >

Und jedes Einheitsintervall rationaler Zahlen ist abzählbar unendlich.
Die Vereinigung aller solcher Intervalle ergibt somit eine abzählbar
unendliche Menge. Mithin ist dein "Satz" für die Tonne.

Dieter Heidorn

Ganzhinterseher

unread,

Jan 7, 2022, 1:53:19 PM1/7/22

to

Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 19:25:47 UTC+1:

Allgemeiner gilt
>
> ∀n ∈ ℕ: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .

Falsch. Kämen alle natürlichen Zahlen zur Anwendung, so würde die Differenz nicht fast alle betragen. Es würden bei der Differenzbildung nicht fast alle übrig bleiben.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,

Jan 7, 2022, 2:06:56 PM1/7/22

to

Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 19:52:04 UTC+1:
> Ganzhinterseher schrieb:
> > Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 15:36:28 UTC+1:
> >> Ganzhinterseher schrieb:
> >>> "∀q ∈ Q: 1 raus, ℵo rein" ist der Beweis für die Existenz von mehr Brüchen als nummeriert werden können. Was kann man dagegen sagen?
> >>
> >> * Es widerspricht der Cantorschen Diagonalabzählung, mit der erfolgreich
> >> nachgewiesen wird, dass die Paarmenge |Nx|N abzählbar ist.
> >
> > Die Abzählung kommt niemals über die Diagonale eines endlichen Quadrates hinaus.
> Es wird die Paarmenge |Nx|N abgezählt - die entspricht nicht einem
> "endlichen Quadrat".

Jeder abgezählte Bruch liegt auf der Diagonale eines endlichen Quadrates. Gegenbeispiel?

> Also wieder nur leeres Gerede von dir und keine
> inhaltliche Widerlegung der Cantorschen Abzählung.

Jeder abgezählte Bruch liegt auf der Diagonale eines endlichen Quadrates. Gegenbeispiel?

> > potentiell unendliche Mengen kann man abzählen
> In der Mathematik gibt es keine "potentiell unendlichen Mengen".

Alles was Cantor abzählt, ist aber potentiell unendliche, weil fast alle Elemente darauf folgen. Gegenbeispiel?

> > Die Widerlegung steht oben: "∀q ∈ Q: 1 raus, ℵo rein"
> Das ist keine Widerlegung von Cantors Aussage, die da lautet:
>
> | "Es hat nämlich die Funktion μ + ((μ + n − 1) (μ + n − 2))/2, wie
> | leicht zu zeigen, die bemerkenswerte Eigenschaft, dass sie alle
> | positiven ganzen Zahlen und jede nur einmal darstellt, wenn in ihr μ
> | und n unabhängig voneinander ebenfalls jeden positiven,
> | ganzzahligen Wert erhalten."

Es ist eine Widerlegung der Behauptung, dass die Menge der nicht abgezählten Brüche leer sei.

> >> Also bestände, wenn seine Diagonalabzählung gültig wäre, ein Widerspruch.
> Sie ist nachweislich gültig, und du hast sie nicht widerlegt,

Bringe erst einmal das geforderte Gegenbeispiel.

> > Oder ist mein Satz "∀q ∈ Q: 1 raus, ℵo rein" falsch?
> >
> So wie du ihn meinst: Ja.

Wie wäre er denn richtig gemeint?

> >> * Es beruht auf der simplen Tatsache, dass du den Satz 3 auf Seite 35 im
> >> Fraenkel "übersiehst"...
> >>
> > Nein, dessen Satz 3 betrifft abzählbare unendliche Mengen. >
> Und jedes Einheitsintervall rationaler Zahlen ist abzählbar unendlich.

Also ist die Menge der nicht abgezählten Brüche leer. Wie ist das mit meinem Satz "∀q ∈ Q: 1 raus, ℵo rein" falsch? verträglich?

> Die Vereinigung aller solcher Intervalle ergibt somit eine abzählbar
> unendliche Menge. Mithin ist dein "Satz" für die Tonne.

Was ist falsch daran?

Gruß, WM

Fritz Feldhase

unread,

Jan 7, 2022, 2:11:01 PM1/7/22

to

On Friday, January 7, 2022 at 7:53:19 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 19:25:47 UTC+1:
> >
> > Allgemeiner gilt
> >
> > ∀n ∈ ℕ: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .
> >

> Falsch. <blubber>

Nein, trivialerweise richtig, jedenfalls im Kontext der MATHEMATIK.

Deine Wahnideen interessieren hier niemanden, Mückenheim.

Mit DUMMHEIT kann man Dein Gefasel nicht mehr erklären.

Dieter Heidorn

unread,

Jan 7, 2022, 3:55:57 PM1/7/22

to

Ganzhinterseher schrieb:
> Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 19:52:04 UTC+1:
>> Ganzhinterseher schrieb:
>>> Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 15:36:28 UTC+1:
>>>> Ganzhinterseher schrieb:
>>>>> "∀q ∈ Q: 1 raus, ℵo rein" ist der Beweis für die Existenz von mehr Brüchen als nummeriert werden können. Was kann man dagegen sagen?
>>>>
>>>> * Es widerspricht der Cantorschen Diagonalabzählung, mit der erfolgreich
>>>> nachgewiesen wird, dass die Paarmenge |Nx|N abzählbar ist.
>>>
>>> Die Abzählung kommt niemals über die Diagonale eines endlichen Quadrates hinaus.
>> >> Es wird die Paarmenge |Nx|N abgezählt - die entspricht nicht einem
>> "endlichen Quadrat".
>
> Jeder abgezählte Bruch liegt auf der Diagonale eines endlichen Quadrates.
>

Und - wie hier bereits mehrfach erwähnt und dargestellt - ist bei
Cantors Konstruktion die Nummer des Bruches auf dem Endpunkt einer
Diagonalen eine Dreieckszahl. Nun überlege einmal, wie die Dreiecks-
zahlen mit den natürlichen Zahlen zusammenhängen, dann wird dir
vielleicht auch klar, "wieviele" Dreieckszahlen es gibt...

>> Also wieder nur leeres Gerede von dir und keine
>> inhaltliche Widerlegung der Cantorschen Abzählung.
>

Daran hat sich durch deine obige Einlassung nichts geändert.

>>> potentiell unendliche Mengen kann man abzählen
>> >> In der Mathematik gibt es keine "potentiell unendlichen Mengen".
>
> Alles was Cantor abzählt, ist aber potentiell unendliche,
>

Wie du dem Zitat:

| "Es hat nämlich die Funktion μ + ((μ + ν − 1) (μ + ν − 2))/2, wie

| leicht zu zeigen, die bemerkenswerte Eigenschaft, dass sie alle
| positiven ganzen Zahlen und jede nur einmal darstellt, wenn in ihr μ

| und ν unabhängig voneinander ebenfalls jeden positiven,
| ganzzahligen Wert erhalten."

hättest entnehmen können, zählt Cantor mit der Menge der positiven
ganzen Zahlen (aka natürliche Zahlen) die Menge von Paaren (μ,ν) resp.
die zugehörigen Brüche μ/ν ab. Und |N ist eine aktual unendliche Menge.

Deine Denkhemmung ist bei Fraenkel, §2, Punkt 4, Seite 6/7 schön
beschrieben. Die wichtigste Stelle zitiere ich einmal:

| "Die Außenwelt scheint uns also nur endliche Mengen darzubieten. Um
| zu Mengen mit unendlichvielen Elementen zu gelangen, müssen wir
| demnach Erzeugnisse nicht unserer sinnlichen Erfahrung, sondern
| unseres Denkens in Betracht ziehen."

Genau diesen entscheidenden Denkschritt kannst du offensichtlich nicht
vollziehen.

>>> Die Widerlegung steht oben: "∀q ∈ Q: 1 raus, ℵo rein"
>>
>> Das ist keine Widerlegung von Cantors Aussage, die da lautet:
>>

>> | "Es hat nämlich die Funktion μ + ((μ + ν − 1) (μ + ν − 2))/2, wie

>> | leicht zu zeigen, die bemerkenswerte Eigenschaft, dass sie alle
>> | positiven ganzen Zahlen und jede nur einmal darstellt, wenn in ihr μ

>> | und ν unabhängig voneinander ebenfalls jeden positiven,

>> | ganzzahligen Wert erhalten."
>
> Es ist eine Widerlegung der Behauptung, dass die Menge der nicht abgezählten Brüche leer sei.
>

Es ist keine Behauptung, dass "die Menge der nicht abgezählten Brüche
leer ist", sondern das ergibt sich aus der Cantorschen Abbildung. Auf
deine Widerlegung von Cantors Aussage warte ich immer noch. Deine
Vorstellung "∀q ∈ Q: 1 raus, ℵo rein" ist jedenfalls keine,
denn: Weder wird "ein Bruch entnommen" noch "kommen ℵo rein".
Die aktual unendliche Menge |Nx|N liegt vor und wird mit der aktual
unendlichen Menge |N durch Konstruktion einer bijektiven Abbildung
abgezählt. Du müsstest also zeigen, dass Cantors Abbildung keine
Bijektion ist.

>>>> Also bestände, wenn seine Diagonalabzählung gültig wäre, ein Widerspruch.
>>
>> Sie ist nachweislich gültig, und du hast sie nicht widerlegt,
>
> Bringe erst einmal das geforderte Gegenbeispiel.
>

Es ist kein Gegenbeispiel erforderlich - siehe oben.

Aber für dich wäre es von Vorteil, ein Beispiel für einen Bruch zu
benennen, der bei Cantors Vorgehen nicht abgezählt wird...

>>> Oder ist mein Satz "∀q ∈ Q: 1 raus, ℵo rein" falsch?
>>>
>> So wie du ihn meinst: Ja.
>
> Wie wäre er denn richtig gemeint?
>

In Bezug auf die Cantorsche Abbildung ist er völlig sinnfrei. Weder wird
"ein Bruch entnommen" noch "kommen ℵo rein". Die aktual unendliche
Menge |Nx|N liegt vor und wird mit der aktual unendlichen Menge |N durch
Konstruktion einer bijektiven Abbildung g abgezählt. Richtig ist also:

für alle (i,j) e |Nx|N gibt es genau ein n e |N, so dass g(n) = (i,j),

wobei g ist die Umkehrfunktion zu der Funktion ist, die Cantor
beschreibt.

>>>> * Es beruht auf der simplen Tatsache, dass du den Satz 3 auf Seite 35 im
>>>> Fraenkel "übersiehst"...
>>>>
>>> Nein, dessen Satz 3 betrifft abzählbare unendliche Mengen.

So ist es. Ich zitiere:

| "Satz 3. Durch Vereinigung der Elemente abzählbar unendlichvieler
| Mengen, von denen jede abzählbar ist, entsteht wiederum eine
| abzählbare Menge."

>> Und jedes Einheitsintervall rationaler Zahlen ist abzählbar unendlich.
>
> Also ist die Menge der nicht abgezählten Brüche leer.

So ist es. Späte Einsicht von dir - aber lieber spät als nie.

Dieter Heidorn

Ganzhinterseher

unread,

Jan 7, 2022, 5:08:30 PM1/7/22

to

Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 20:11:01 UTC+1:
> On Friday, January 7, 2022 at 7:53:19 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 19:25:47 UTC+1:
> > >
> > > Allgemeiner gilt
> > >
> > > ∀n ∈ ℕ: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .
> > >
> > Falsch.
>

> Nein, trivialerweise richtig, jedenfalls im Kontext der MATHEMATIK.

Diese Ansicht ist leider von Blindheit geschlagen. Wenn alle natürlichen Zahlen von ℕ subtrahiert werden, so bleibt nichts übrig, denn ℕ \ {1, 2, 3, ...}| = { }.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,

Jan 7, 2022, 5:27:48 PM1/7/22

to

Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 21:55:57 UTC+1:
> Ganzhinterseher schrieb:

> > Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 19:52:04 UTC+1:

> > Jeder abgezählte Bruch liegt auf der Diagonale eines endlichen Quadrates.
> >
> Und - wie hier bereits mehrfach erwähnt und dargestellt - ist bei
> Cantors Konstruktion die Nummer des Bruches auf dem Endpunkt einer
> Diagonalen eine Dreieckszahl.

Was auch immer sie ist, |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo. Es bleiben also für jeden Index unendlich viele Zahlen unverarbeitet. Und Brüche noch viel mehr.

> hättest entnehmen können, zählt Cantor mit der Menge der positiven
> ganzen Zahlen (aka natürliche Zahlen) die Menge von Paaren (μ,ν) resp.
> die zugehörigen Brüche μ/ν ab. Und |N ist eine aktual unendliche Menge.

Aber das, was davon benutzt werden kann, ist es nicht, denn |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .

>
> Deine Denkhemmung ist bei Fraenkel, §2, Punkt 4, Seite 6/7 schön
> beschrieben. Die wichtigste Stelle zitiere ich einmal:
>
> | "Die Außenwelt scheint uns also nur endliche Mengen darzubieten. Um
> | zu Mengen mit unendlichvielen Elementen zu gelangen, müssen wir
> | demnach Erzeugnisse nicht unserer sinnlichen Erfahrung, sondern
> | unseres Denkens in Betracht ziehen."
>
> Genau diesen entscheidenden Denkschritt kannst du offensichtlich nicht
> vollziehen.

Ich kann den folgenden dafür vollziehen:

> >>> Die Widerlegung steht oben: "∀q ∈ Q: 1 raus, ℵo rein"

> > Es ist eine Widerlegung der Behauptung, dass die Menge der nicht abgezählten Brüche leer sei.
> >
> Es ist keine Behauptung, dass "die Menge der nicht abgezählten Brüche
> leer ist", sondern das ergibt sich aus der Cantorschen Abbildung.

Es ergäbe sich, wenn nicht "∀q ∈ Q: 1 raus, ℵo rein" dem widerspräche.

> Auf
> deine Widerlegung von Cantors Aussage warte ich immer noch. Deine
> Vorstellung "∀q ∈ Q: 1 raus, ℵo rein" ist jedenfalls keine,
> denn: Weder wird "ein Bruch entnommen" noch "kommen ℵo rein".

Der "entnommene Bruch" ist der von n nummerierte Bruch q_n. Alle Brüche aus (n-1, n] kommen gleichzeitig dazu. Nein, nicht bei Cantor, da sind sie schon drin, um unaufmerksame Leser nicht zum Nachdenken zu verleiten. Aber meine Abbildung ist dieselbe wie die von Cantor (was übrigens erst einem Leser dieses Illustren Kreises aufgefallen ist) und ob die Brüche alle am Anfang oder nur schrittweise erscheinen, sollte das Ergebnis doch nicht beeinträchtigen, oder? Vermindern sie sich, wenn sie von Anfang an zur Nummerierung bereitstehen müssen?

> Die aktual unendliche Menge |Nx|N liegt vor und wird mit der aktual
> unendlichen Menge |N durch Konstruktion einer bijektiven Abbildung
> abgezählt. Du müsstest also zeigen, dass Cantors Abbildung keine
> Bijektion ist.

Das habe ich getan. Dass Du blind oder hypnotisiert bist, kann ich allerdings nicht verhindern.

> > Bringe erst einmal das geforderte Gegenbeispiel.
> >
> Es ist kein Gegenbeispiel erforderlich - siehe oben.

Oben behauptest Du eine Unwahrheit. Jeder nummerierte Bruch gehört zu einer Diagonale eines endlichen Quadrates.

>
> Aber für dich wäre es von Vorteil, ein Beispiel für einen Bruch zu
> benennen, der bei Cantors Vorgehen nicht abgezählt wird...

Ich habe begründet, warum die meisten Brüche nicht angegeben werden können. Schon für die eisten natürlichen Zahlen gilt, dass sie nicht angegeben werden können.

> >>> Oder ist mein Satz "∀q ∈ Q: 1 raus, ℵo rein" falsch?
> >>>
> >> So wie du ihn meinst: Ja.
> >
> > Wie wäre er denn richtig gemeint?
> >
> In Bezug auf die Cantorsche Abbildung ist er völlig sinnfrei. Weder wird
> "ein Bruch entnommen" noch "kommen ℵo rein".

Die Abzählung darf man also nicht überprüfen? Also bis zur Nr. 17 ginge das. Cantor hat es in seinem Brief an Lipschitz vom 19. Nov. 1883 sogar bis Nr. 31 vorgeführt. Aber Du meinst, dass das irgendwo gegen ein Verbot verstößt? Vor oder nach Nr. 4711?

Und wie gesagt, auch wenn bei Cantor alle gleichzeitig starten, es sind nicht weniger als in meinem schrittweisen Prozess.

Gruß, WM

Marcus Gloeder

unread,

Jan 8, 2022, 2:14:28 AM1/8/22

to

Hallo alle zusammen,

am 07.01.22 18:52, schrieb Ganzhinterseher:

>
>Dann ganz abstrakt: Man addiert zur leeren Menge unendlich viele Elemente und entnimmt eines. Dann addiert man wieder unendlich viele Elemente und entnimmt eines. Das wiederholt man unendlich oft und behauptet, dass die Menge dann leer sei.

Das ist nachvollziehbar.

1.
»Man addiert zur leeren Menge unendlich viele Elemente und entnimmt eines.«

Ergebnis: unendlich viele Elemente.

2.
»Dann addiert man wieder unendlich viele Elemente und entnimmt eines.«

Ergebnis: immer noch unendlich viele Elemente.

Anmerkung: Solange das _endlich_ viele Male wiederholt wird, bleibt es bei
unendlich vielen Elementen.

3.
»Das wiederholt man unendlich oft und behauptet, dass die Menge dann leer
sei.«

Die Behauptung ist gerechtfertigt. Wenn das _unendlich_ viele Male
wiederholt wird, werden der Urne _unendlich_ viele Elemente entnommen. Das
heißt, wir haben eine Menge von unendlich vielen Elementen, der unendlich
viele Elemente entnommen werden. Mit anderen Worten: wir können eine
Bijektion durchführen, die ohne Rest aufgeht. Das bedeutet: die Menge der
Elemente, die sich zunächst in der Urne befinden und die Menge der
Elemente, die der Urne entnommen werden, sind gleich mächtig.

Deshalb ist die Urne am Ende leer.

Die Frage, wie lange das dann dauert, untersuche ich jetzt nicht.

Übrigens ist für diesen Fall Hilberts Hotel als Denkmodell sehr viel
geeigneter als der komische Kartoffelacker.

Marcus Gloeder

unread,

Jan 8, 2022, 2:30:36 AM1/8/22

to

Hallo alle zusammen,

am 07.01.22 23:08, schrieb Ganzhinterseher:

>Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 20:11:01 UTC+1:
>> On Friday, January 7, 2022 at 7:53:19 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
>> > Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 19:25:47 UTC+1:
>> > >
>> > > Allgemeiner gilt
>> > >
>> > > ∀n ∈ ℕ: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .

Wenn in Hilberts Hotel eine beliebige, aber _endliche_ Anzahl an Gästen
gleichzeitig abreist, dann bleiben immer unendlich viele Gäste übrig.

>> > Falsch.

Nein, richtig.

>> Nein, trivialerweise richtig, jedenfalls im Kontext der MATHEMATIK.
>
>Diese Ansicht ist leider von Blindheit geschlagen. Wenn alle natürlichen Zahlen von ℕ subtrahiert werden, so bleibt nichts übrig, denn ℕ \ {1, 2, 3, ...}| = { }.

Wenn in Hilberts Hotel _alle_ (unendlich viele) Gäste gleichzeitig anreisen,
dann ist das Hotel hinterher leer.

Beide Sätze widersprechen sich nicht.

Marcus Gloeder

unread,

Jan 8, 2022, 2:37:12 AM1/8/22

to

Am 08.01.22 08:30, schrieb Marcus Gloeder:
>Hallo alle zusammen,
>
>[…]

>
>Wenn in Hilberts Hotel _alle_ (unendlich viele) Gäste gleichzeitig anreisen,
> dann ist das Hotel hinterher leer.

Das sollte natürlich »abreisen« heißen.

Ganzhinterseher

unread,

Jan 8, 2022, 4:04:41 AM1/8/22

to

Marcus Gloeder schrieb am Samstag, 8. Januar 2022 um 08:14:28 UTC+1:
> am 07.01.22 18:52, schrieb Ganzhinterseher:
> >
> >Dann ganz abstrakt: Man addiert zur leeren Menge unendlich viele Elemente und entnimmt eines. Dann addiert man wieder unendlich viele Elemente und entnimmt eines. Das wiederholt man unendlich oft und behauptet, dass die Menge dann leer sei.
> Das ist nachvollziehbar.
>
> 1.
> »Man addiert zur leeren Menge unendlich viele Elemente und entnimmt eines.«
>
> Ergebnis: unendlich viele Elemente.
>
> 2.
> »Dann addiert man wieder unendlich viele Elemente und entnimmt eines.«
>
> Ergebnis: immer noch unendlich viele Elemente.
>
> Anmerkung: Solange das _endlich_ viele Male wiederholt wird, bleibt es bei
> unendlich vielen Elementen.
>
> 3.
> »Das wiederholt man unendlich oft und behauptet, dass die Menge dann leer
> sei.«
>
> Die Behauptung ist gerechtfertigt. Wenn das _unendlich_ viele Male
> wiederholt wird, werden der Urne _unendlich_ viele Elemente entnommen. Das
> heißt, wir haben eine Menge von unendlich vielen Elementen, der unendlich
> viele Elemente entnommen werden.

Du vergisst, dass bei jeder Entnahme, wieviele es auch sein mögen, unendlich viele Elemente hinzugefügt werden.

> Mit anderen Worten: wir können eine
> Bijektion durchführen, die ohne Rest aufgeht. Das bedeutet: die Menge der
> Elemente, die sich zunächst in der Urne befinden und die Menge der
> Elemente, die der Urne entnommen werden, sind gleich mächtig.

Und die Menge die in jedem Falle hinzukommt auch.

>
> Deshalb ist die Urne am Ende leer.
>

Da es kein Ende gibt, ist die Urne immer voll, sehr voll sogar.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,

Jan 8, 2022, 4:10:15 AM1/8/22

to

Marcus Gloeder schrieb am Samstag, 8. Januar 2022 um 08:30:36 UTC+1:
> Hallo alle zusammen,
>
> am 07.01.22 23:08, schrieb Ganzhinterseher:
> >Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 20:11:01 UTC+1:
> >> On Friday, January 7, 2022 at 7:53:19 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> >> > Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 19:25:47 UTC+1:
> >> > >
> >> > > Allgemeiner gilt
> >> > >
> >> > > ∀n ∈ ℕ: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .
> Wenn in Hilberts Hotel eine beliebige, aber _endliche_ Anzahl an Gästen
> gleichzeitig abreist, dann bleiben immer unendlich viele Gäste übrig.

Genau. Beliebige Zahlen, also Zahlen, die beliebt werden können, lassen immer unendlich viele Zahlen übrig.

> Nein, richtig.

Dann versuche doch einmal, das Hotel durch individuelle Abreisen zu leeren. Wie Du oben schon richtig erkanntest, geht das nicht. Man kann also nicht alle natürlichen Zahlen individuell manipulieren.

> >Diese Ansicht ist leider von Blindheit geschlagen. Wenn alle natürlichen Zahlen von ℕ subtrahiert werden, so bleibt nichts übrig, denn ℕ \ {1, 2, 3, ...}| = { }.
> Wenn in Hilberts Hotel _alle_ (unendlich viele) Gäste gleichzeitig anreisen,
> dann ist das Hotel hinterher leer.

Richtig.

>
> Beide Sätze widersprechen sich nicht.

Natürlich nicht. Individuell manipulierbare Zahlen lassen stets unendlich viele übrig. Also können nicht alle individuell manipuliert werden. Man kann aber alle durch kollektive Manipulation erfassen. Also gibt es einen Unterschied zwischen beiden Arten.

Gruß, WM

Gus Gassmann

unread,

Jan 8, 2022, 9:04:39 AM1/8/22

to

On Saturday, 8 January 2022 at 05:10:15 UTC-4, Ganzhinterseher wrote:
> Marcus Gloeder schrieb am Samstag, 8. Januar 2022 um 08:30:36 UTC+1:
> > Hallo alle zusammen,
> >
> > am 07.01.22 23:08, schrieb Ganzhinterseher:
> > >Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 20:11:01 UTC+1:
> > >> On Friday, January 7, 2022 at 7:53:19 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > >> > Fritz Feldhase schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 19:25:47 UTC+1:
> > >> > >
> > >> > > Allgemeiner gilt
> > >> > >
> > >> > > ∀n ∈ ℕ: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .
> > Wenn in Hilberts Hotel eine beliebige, aber _endliche_ Anzahl an Gästen
> > gleichzeitig abreist, dann bleiben immer unendlich viele Gäste übrig.
> Genau. Beliebige Zahlen, also Zahlen, die beliebt werden können, lassen immer unendlich viele Zahlen übrig.
>
> > Nein, richtig.
>
> Dann versuche doch einmal, das Hotel durch individuelle Abreisen zu leeren. Wie Du oben schon richtig erkanntest, geht das nicht. Man kann also nicht alle natürlichen Zahlen individuell manipulieren.
> > >Diese Ansicht ist leider von Blindheit geschlagen. Wenn alle natürlichen Zahlen von ℕ subtrahiert werden, so bleibt nichts übrig, denn ℕ \ {1, 2, 3, ...}| = { }.
> > Wenn in Hilberts Hotel _alle_ (unendlich viele) Gäste gleichzeitig anreisen,
> > dann ist das Hotel hinterher leer.
> Richtig.
> >
> > Beide Sätze widersprechen sich nicht.
> Natürlich nicht. Individuell manipulierbare Zahlen lassen stets unendlich viele übrig.

Bravo, klar erkannt!

> Also können nicht alle individuell manipuliert werden.

Das ist prinzipiell falsch, aber es hat mit der Sache nichts zu tun.

> Man kann aber alle durch kollektive Manipulation erfassen. Also gibt es einen Unterschied zwischen beiden Arten.

Natürlich gibt es einen Unterschied zwischen ℕ \ {1, 2, 3, ... , k} und ℕ \ {1, 2, 3, ... }. Das hat man dir schon jahrelang erklärt, und du kommst erst jetzt drauf?!? Naja, better late than never.

Dieter Heidorn

unread,

Jan 8, 2022, 11:56:37 AM1/8/22

to

Ganzhinterseher schrieb:
> Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 21:55:57 UTC+1:
>> Ganzhinterseher schrieb:
>>> Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 19:52:04 UTC+1:
>
>>> Jeder abgezählte Bruch liegt auf der Diagonale eines endlichen Quadrates.
>>>
>> Und - wie hier bereits mehrfach erwähnt und dargestellt - ist bei
>> Cantors Konstruktion die Nummer des Bruches auf dem Endpunkt einer
>> Diagonalen eine Dreieckszahl.
>
> Was auch immer sie ist, |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo. Es bleiben also für jeden Index unendlich viele Zahlen unverarbeitet.

Mit {1, 2, 3, ..., n} werden genau n Brüche abgezählt. Und in der Tat
stehen dann noch abzählbar unendlich viele natürliche Zahlen zur
Verfügung, mit denen die weiteren Brüche abgezählt werden können.

>> zählt Cantor mit der Menge der positiven
>> ganzen Zahlen (aka natürliche Zahlen) die Menge von Paaren (μ,ν) resp.
>> die zugehörigen Brüche μ/ν ab. Und |N ist eine aktual unendliche Menge.
>
> Aber das, was davon benutzt werden kann,

... ist die Menge |N der natürlichen Zahlen.

Daher kommt ja der Begriff der abzählbar unendlichen Menge: Man zählt
der Reihe nach das erste, das zweite, dass dritte, ... Element ab.
Gelingt es auf diese Weise, alle Elemente der untersuchten Menge zu
erfassen, so ist sie per definitionem abzählbar. (Einfache Beispiele zu
diesem Vorgehen findest du im Fraenkel in "§4. Abzählbare Mengen",
darunter auch eine Abzählung der rationalen Zahlen.)

>> Auf
>> deine Widerlegung von Cantors Aussage warte ich immer noch. Deine
>> Vorstellung "∀q ∈ Q: 1 raus, ℵo rein" ist jedenfalls keine,
>> denn: Weder wird "ein Bruch entnommen" noch "kommen ℵo rein".
>
> Der "entnommene Bruch" ist der von n nummerierte Bruch q_n. Alle Brüche aus (n-1, n] kommen gleichzeitig dazu. Nein, nicht bei Cantor, da sind sie schon drin,

... und werden "später" abgezählt. Um dir das zu verdeutlichen, brauchst
du lediglich einige Anfangswerte mit der inversen Cantor-Funktion
zu berechnen, und dir klar zu machen, in welchem Intervall die
nummerierten Brüche liegen. Zu erkennen ist (anschaulich formuliert):
Die zunächst nicht nummerierten Brüche im jeweils gewählten Intervall
werden bei größer werdenden n irgendwann immer nummeriert. Das liegt
einfach daran, dass |N eine aktual unendliche Menge ist.

Obiges "später" ist nicht wörtlich zu nehmen. Es umschreibt nur die sich
bei Cantors Abbildung ergebende Reihenfolge, in der die Brüche abgezählt
werden. Hier der Anfang der Zählung:

n i/j Intervall (a,b]
------------------------------
1 1/1 (0,1]
2 1/2 (0,1]
3 2/1 (1,2]
4 1/3 (0,1]
5 2/2 (0,1]
6 3/1 (2,3]
7 1/4 (0,1]
8 2/3 (0,1]
9 3/2 (1,2]
10 4/1 (3,4]
11 1/5 (0,1]
12 2/4 (0,1]
13 3/3 (0,1]
14 2/1 (1,2]
15 5/1 (4,5]
16 1/6 (0,1]
17 2/5 (0,1]
18 3/4 (0,1]
19 4/3 (1,2]
20 5/2 (2,3]

>> Die aktual unendliche Menge |Nx|N liegt vor und wird mit der aktual
>> unendlichen Menge |N durch Konstruktion einer bijektiven Abbildung
>> abgezählt. Du müsstest also zeigen, dass Cantors Abbildung keine
>> Bijektion ist.
>
> Das habe ich getan.

Nein. Du hast übersehen, dass die in einem Einheitsintervall zunächst
nicht nummerierten Brüche später mit größeren Werten n nummeriert
werden.

>>> Bringe erst einmal das geforderte Gegenbeispiel.
>>>
>> Es ist kein Gegenbeispiel erforderlich - siehe oben.
>
> Oben behauptest Du eine Unwahrheit. Jeder nummerierte Bruch gehört zu einer Diagonale eines endlichen Quadrates.
>

Auf deine Aussage zu den nummerierten Brüchen hatte ich geantwortet
(oben steht es auch noch):

| Und - wie hier bereits mehrfach erwähnt und dargestellt - ist bei
| Cantors Konstruktion die Nummer des Bruches auf dem Endpunkt einer
| Diagonalen eine Dreieckszahl.

Mir die Behauptung einer Unwahrheit zu unterstellen, ist also eine klare
Lüge von dir.

Abgesehen davon drückst du dich mit dieser Lüge um die Konsequenzen aus
meiner Aussage. "Wie viele" Dreieckszahlen gibt es wohl? "Wie viele"
Diagonalen gibt es demzufolge?

>> Aber für dich wäre es von Vorteil, ein Beispiel für einen Bruch zu
>> benennen, der bei Cantors Vorgehen nicht abgezählt wird...
>
> Ich habe begründet, warum die meisten Brüche nicht angegeben werden können.

Von einer Begründung ist bei dir nichts zu sehen. Lediglich dein
Missverständnis, dass die "beiseite gelegten Brüche" nicht abgezählt
werden, ist zu erkennen.

> Die Abzählung darf man also nicht überprüfen?

Natürlich kann man die Abzählung überprüfen. Ich habe es auch getan und
mich davon überzeugt, dass Cantors Abbildung

--
| |Nx|N ---> |N
f: |
| (i,j) |--> f(i,j) = 1/2*(i + j - 2)*(i + j - 1) + i
--

injektiv und surjektiv ist - also eine Bijektion.

> Also bis zur Nr. 17 ginge das. Cantor hat es in seinem Brief an Lipschitz vom 19. Nov. 1883 sogar bis Nr. 31 vorgeführt.

Und mit dem Nachweis, dass f eine Bijektion ist, "geht" das für alle
natürlichen Zahlen. Dein "n = 4711" nummeriert übrigens den Bruch 55/43,
und der liegt im Intervall (1,2].

Dieter Heidorn

Ganzhinterseher

unread,

Jan 8, 2022, 5:35:50 PM1/8/22

to

Im zweiten Falle kann man nur kollektiv subtrahieren. Behauptet wird allerdings, man könne keinen Unterschied feststellen.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,

Jan 8, 2022, 5:48:23 PM1/8/22

to

Dieter Heidorn schrieb am Samstag, 8. Januar 2022 um 17:56:37 UTC+1:
> Ganzhinterseher schrieb:
> > Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 21:55:57 UTC+1:
> >> Ganzhinterseher schrieb:
> >>> Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 19:52:04 UTC+1:
> >
> >>> Jeder abgezählte Bruch liegt auf der Diagonale eines endlichen Quadrates.
> >>>
> >> Und - wie hier bereits mehrfach erwähnt und dargestellt - ist bei
> >> Cantors Konstruktion die Nummer des Bruches auf dem Endpunkt einer
> >> Diagonalen eine Dreieckszahl.
> >
> > Was auch immer sie ist, |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo. Es bleiben also für jeden Index unendlich viele Zahlen unverarbeitet.
> Mit {1, 2, 3, ..., n} werden genau n Brüche abgezählt. Und in der Tat
> stehen dann noch abzählbar unendlich viele natürliche Zahlen zur
> Verfügung, mit denen die weiteren Brüche abgezählt werden können.

Nein, wenn alle abgezählt würden, bliebe ja keiner übrig. Es bleiben aber bei jedem Versuch ℵo übrig.

> Daher kommt ja der Begriff der abzählbar unendlichen Menge: Man zählt
> der Reihe nach das erste, das zweite, dass dritte, ... Element ab.
> Gelingt es auf diese Weise, alle Elemente der untersuchten Menge zu
> erfassen, so ist sie per definitionem abzählbar.

Es gelingt aber nicht, denn es bleiben bei jedem Versuch ℵo übrig, also fast alle.

> >> deine Widerlegung von Cantors Aussage warte ich immer noch. Deine
> >> Vorstellung "∀q ∈ Q: 1 raus, ℵo rein" ist jedenfalls keine,
> >> denn: Weder wird "ein Bruch entnommen" noch "kommen ℵo rein".
> >
> > Der "entnommene Bruch" ist der von n nummerierte Bruch q_n. Alle Brüche aus (n-1, n] kommen gleichzeitig dazu. Nein, nicht bei Cantor, da sind sie schon drin,
> ... und werden "später" abgezählt.

Eben nicht. Sie sind zwar drin, können aber mit der Abzählung von q_n durch n genauer ins Auge gefasst werden. Das ist identisch mit der Methode, sie erst bei Abzählung von q_n durch n hinzuzugeben. Damit ist klar, dass bei jeder Abzählung eines Bruches ℵo dazukommen. Daher werden niemals alle rationalen Zahlen nummeriert.

> Um dir das zu verdeutlichen, brauchst
> du lediglich einige Anfangswerte mit der inversen Cantor-Funktion
> zu berechnen, und dir klar zu machen, in welchem Intervall die
> nummerierten Brüche liegen. Zu erkennen ist (anschaulich formuliert):
> Die zunächst nicht nummerierten Brüche im jeweils gewählten Intervall
> werden bei größer werdenden n irgendwann immer nummeriert.

Nein, es kommen in jedem Schritt ℵo dazu.

>
> Obiges "später" ist nicht wörtlich zu nehmen. Es umschreibt nur die sich
> bei Cantors Abbildung ergebende Reihenfolge, in der die Brüche abgezählt
> werden. Hier der Anfang der Zählung:

Du solltest das für irgendeinen Bruch aus dem unter der Diagonale gelegenen Teil der Matrix zeigen.

>
> Abgesehen davon drückst du dich mit dieser Lüge um die Konsequenzen aus
> meiner Aussage. "Wie viele" Dreieckszahlen gibt es wohl? "Wie viele"
> Diagonalen gibt es demzufolge?

Es gibt weniger Dreieckszahlen als natürliche Zahlen. Aber das ist unwesentlich.

> >> Aber für dich wäre es von Vorteil, ein Beispiel für einen Bruch zu
> >> benennen, der bei Cantors Vorgehen nicht abgezählt wird...
> >
> > Ich habe begründet, warum die meisten Brüche nicht angegeben werden können.
> Von einer Begründung ist bei dir nichts zu sehen. Lediglich dein
> Missverständnis, dass die "beiseite gelegten Brüche" nicht abgezählt
> werden, ist zu erkennen.

Die bei der Abzählung mit n hinzukommenden oder ins Auge gefassten werden nicht mit n abgezählt. Es sind für jedes n unendlich viele.

> > Die Abzählung darf man also nicht überprüfen?
> Natürlich kann man die Abzählung überprüfen.

Dann solltest Du bemerken, dass bei jeder Abzählung eines Paares unendlich viele Brüche nachgeliefert werden.

> Ich habe es auch getan und
> mich davon überzeugt, dass Cantors Abbildung
>
> --
> | |Nx|N ---> |N
> f: |
> | (i,j) |--> f(i,j) = 1/2*(i + j - 2)*(i + j - 1) + i
> --
>
> injektiv und surjektiv ist - also eine Bijektion.
> > Also bis zur Nr. 17 ginge das. Cantor hat es in seinem Brief an Lipschitz vom 19. Nov. 1883 sogar bis Nr. 31 vorgeführt.
> Und mit dem Nachweis, dass f eine Bijektion ist, "geht" das für alle
> natürlichen Zahlen.

Dann zeige es doch einmal für einen Bruch, der sich unterhalb der Diagonale des gesamten Quadrates |Nx|N befindet. Du behauptest nur immer Bijektion, gehst darauf aber nicht ein.

> Dein "n = 4711" nummeriert übrigens den Bruch 55/43,
> und der liegt im Intervall (1,2].

Die Hälfte aller nummerierten Brüche liegt übrigens im Intervall (0, 1]. Das ist offensichtlich mit der Realität der vorhandene Brüche nicht in Einklang zu bringen, denn in jedem Einheitsintervall liegt genau dieselbe Anzahl.

Gruß, WM

Marcus Gloeder

unread,

Jan 8, 2022, 9:03:03 PM1/8/22

to

Am 08.01.22 10:04, schrieb Ganzhinterseher:

>Du vergisst, dass bei jeder Entnahme, wieviele es auch sein mögen, unendlich viele Elemente hinzugefügt werden.

Durch diese »Hinzufügung« werden es aber nicht »mehr« Elemente. Mehr als
unendlich gibt es nicht. Die Menge der natürlichen Zahlen mit Null enthält
genauso »viele« Elemente wie die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null
oder die Menge aller positiven geraden ganzen Zahlen.

0 1 2 3 usw.
1 2 3 4 usw.
2 4 6 8 usw.

Das geht jedes Mal vollständig auf. Es gibt also echte Teilmengen, die zu
der Menge, deren Teilmenge sie sind, gleich mächtig sind. Beide Mengen
haben gleich viele Elemente, nämlich abzählbar unendlich viele.

Stefan Schmitz

unread,

Jan 9, 2022, 4:27:23 AM1/9/22

to

Am 09.01.2022 um 03:03 schrieb Marcus Gloeder:
> Am 08.01.22 10:04, schrieb Ganzhinterseher:
>> Du vergisst, dass bei jeder Entnahme, wieviele es auch sein mögen,
>> unendlich viele Elemente hinzugefügt werden.
>
> Durch diese »Hinzufügung« werden es aber nicht »mehr« Elemente. Mehr als
> unendlich gibt es nicht. Die Menge der natürlichen Zahlen mit Null enthält
> genauso »viele« Elemente wie die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null
> oder die Menge aller positiven geraden ganzen Zahlen.
>
> 0 1 2 3 usw.
> 1 2 3 4 usw.
> 2 4 6 8 usw.

Siehst du denn nicht, dass die erste Zeile ein Element mehr enthält als
die zweite, und die zweite doppelt so viele wie die dritte???

Wer ganz nach hinten schaut, sieht
|{n ; n aus ℕ| = ℵ₀
|{n-1 ; n aus ℕ}| = ℵ₀ + 1
|{2n; n aus ℕ}| = ℵ₀ / 2

Ganzhinterseher

unread,

Jan 9, 2022, 5:08:38 AM1/9/22

to

Marcus Gloeder schrieb am Sonntag, 9. Januar 2022 um 03:03:03 UTC+1:
> Am 08.01.22 10:04, schrieb Ganzhinterseher:
> >Du vergisst, dass bei jeder Entnahme, wieviele es auch sein mögen, unendlich viele Elemente hinzugefügt werden.
> Durch diese »Hinzufügung« werden es aber nicht »mehr« Elemente. Mehr als
> unendlich gibt es nicht.

Falsch. Es ist ein Unterschied, ob unendlich mal unendlich oder nur einmal unendlich. Aber davon gabz abgesehen, in jedem Schritt ist das Reservoir nicht leer. Das ändert sich niemals.

Und nun der matheologische Syllogismus: Das ändert sich niemals. Niemals ist unendlich. Also ändert es sich im Unendlichen.

> Die Menge der natürlichen Zahlen mit Null enthält
> genauso »viele« Elemente wie die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null
> oder die Menge aller positiven geraden ganzen Zahlen.

Das ist ein *Ergebnis* der Anwendung von Cantors Methode, die wie gerade gezeigt, fehlgeht. Dein Argrument ist also: Da Cantor das so berechnet, ist seine Rechnung richtig. Natürlich ist sie falsch. Es gibt unendlich viele gerade natürliche Zahlen, aber doppelt so viele natürliche Zahlen. Schon die Annahme, dies könne falsch sein, zeigt eingeschränkte Urteilsfähigkeit. Das ist eben die Gefahr bei der Matheologie, dass sie Neulingen wie Dir anfangs plausibel vorkommt und außerdem von "Kapazitäten" vertreten wird. Und schwupdiwupp ist die Falle zugeschnappt und Du kannst, in diesen Punkten jedenfalls, nicht mehr klar denken.

>
> 0 1 2 3 usw.
> 1 2 3 4 usw.
> 2 4 6 8 usw.
>
> Das geht jedes Mal vollständig auf. Es gibt also echte Teilmengen, die zu
> der Menge, deren Teilmenge sie sind, gleich mächtig sind.

Siehste. Schon passiert.

> Beide Mengen
> haben gleich viele Elemente, nämlich abzählbar unendlich viele.

Das ist ausgesprochener Unsinn. Hätten beide Mengen gleichviele Elemente, dann bestände eine Bijektion. Sie würde sich bei Transpositionen unter keinen Umständen ändern. Das ist falsch. Also besteht keine Bijektion.

Cantor hat seine Abzählung von endlichen Mengen übernommen. Dort führt jede Transposition in einer Bijektion wieder zu einer Bijektion. Das hat er nicht übernommen, bzw. zuerst hat er es behauptet, aber später gemerkt, dass es falsch ist. Und wie immer in der Matheologie: Wenn etwas nicht passt, dann ist es eben eine Eigenschaft des Unendlichen, die nur von Insidern "begriffen" werden kann.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

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Jan 9, 2022, 5:11:36 AM1/9/22

to

Stefan Schmitz schrieb am Sonntag, 9. Januar 2022 um 10:27:23 UTC+1:
> Am 09.01.2022 um 03:03 schrieb Marcus Gloeder:
> > Am 08.01.22 10:04, schrieb Ganzhinterseher:
> >> Du vergisst, dass bei jeder Entnahme, wieviele es auch sein mögen,
> >> unendlich viele Elemente hinzugefügt werden.
> >
> > Durch diese »Hinzufügung« werden es aber nicht »mehr« Elemente. Mehr als
> > unendlich gibt es nicht. Die Menge der natürlichen Zahlen mit Null enthält
> > genauso »viele« Elemente wie die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null
> > oder die Menge aller positiven geraden ganzen Zahlen.
> >
> > 0 1 2 3 usw.
> > 1 2 3 4 usw.
> > 2 4 6 8 usw.
> Siehst du denn nicht, dass die erste Zeile ein Element mehr enthält als
> die zweite, und die zweite doppelt so viele wie die dritte???

Erstaunlich, dass Du es siehst.

>
> Wer ganz nach hinten schaut, sieht
> |{n ; n aus ℕ| = ℵ₀
> |{n-1 ; n aus ℕ}| = ℵ₀ + 1
> |{2n; n aus ℕ}| = ℵ₀ / 2

Hätten zwei unendliche Mengen gleichviele Elemente, dann wäre eine Bijektion möglich. Sie würde sich bei Transpositionen unter keinen Umständen ändern. Das ist falsch. Also besteht keine Bijektion.

Marcus Gloeder

unread,

Jan 9, 2022, 6:10:58 AM1/9/22

to

Am 09.01.22 10:27, schrieb Stefan Schmitz:

>Am 09.01.2022 um 03:03 schrieb Marcus Gloeder:
>> 0 1 2 3 usw.
>> 1 2 3 4 usw.
>> 2 4 6 8 usw.
>
>Siehst du denn nicht, dass die erste Zeile ein Element mehr enthält als
>die zweite, und die zweite doppelt so viele wie die dritte???

Das wäre nur dann der Fall, wenn es sich um abzählbar *endliche* Mengen
handeln würde. Es sind aber abzählbar *unendliche*. Hilberts Hotel.

Marcus Gloeder

unread,

Jan 9, 2022, 8:13:13 AM1/9/22

to

Am 09.01.22 11:08, schrieb Ganzhinterseher:

>Es ist ein Unterschied, ob unendlich mal unendlich oder nur einmal unendlich.

Dazu habe ich zwei Bemerkungen: Erstens ist »unendlich« keine Zahl, weil es
weder einen Platz auf dem Zahlenstrahl noch auf der durch die imaginäre
Achse aufgespannten Fläche hat. Zweitens: Wenn ich mal für einen Augenblick
annehmen würde, unendlich sei eine Zahl, dann gilt: unendlich mal unendlich
ist unendlich. Das Ergebnis enthält kein einziges Element »mehr«.

>Aber davon gabz abgesehen, in jedem Schritt ist das Reservoir nicht leer. Das ändert sich niemals.

Es ist ein Unterschied, ob Du eine beliebige, aber *endliche* Menge an
Schritten hast oder abzählbar unendlich viele.

An dieser Stelle habe ich ein kleines Denkexperiment. Der Unterschied
zwischen 0,9 und 1 ist 0,1. Der Unterschied zwischen 0,99 und 1 ist 0,01.
Der Unterschied zwischen 0.999 und 1 ist 0.001. Und so weiter. Solange Du
eine beliebig große, aber endliche Menge an Neunen hinter dem Komma hast,
ist es so, dass der Unterschied zu 1 immer kleiner wird, je mehr Neunen
hinter dem Komma Du hast, aber er bleibt immer bestehen. Das heißt:

$$
\sum\limits _{i=1} ^{n} {\frac{9}{10^{i}}}=1-\varepsilon \quad|\quad
\varepsilon > 0
$$

Wenn Du jetzt aber *unendlich* viele Neunen hinter dem Komma hast, dann wird
der Unterschied zu 1 *unendlich klein*, das heißt er verschwindet. Es gilt
also:

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum\limits _{i=1} ^{n} {\frac{9}{10^{i}}}=1
$$

Oder anders gesagt:

$$
0,\!\bar{9}=1
$$

Hier ist der Unterschied zwischen _beliebig, aber endlich viel_ und
_abzählbar unendlich viel_ so deutlich, dass auch Du ihn verstehen
müsstest. Wenn Du nicht ideologisch verblendet wärst.

>Und nun der matheologische Syllogismus: Das ändert sich niemals. Niemals ist unendlich. Also ändert es sich im Unendlichen.

Das ist so schräg ausgedrückt, dass der Formulierung anzumerken ist, dass Du
mit dem Denkkonzept »unendlich« kognitiv nicht umgehen kannst. Im Grunde
genommen aber stimmt das. Besser ausgedrückt:

Solange es eine beliebig große, aber endliche Anzahl an Schritten gibt,
verbleiben immer unendlich viele Elemente in der Urne. Anders gesagt:
Solange eine beliebig große, aber endliche Anzahl an Gästen aus Hilberts
Hotel abreist, bleiben alle Zimmer belegt. Sobald es es abzählbar
unendlich viele Schritte sind, werden der Menge der abzählbar unendlich
vielen Elemente in der Urne abzählbar unendlich viele Elemente entnommen.
Die Urne ist danach leer.

Eine Anmerkung: Das passiert natürlich *nicht* sukzessive, weil es dann
unendlich lange dauern würde, sondern alle Gäste von Hilberts Hotel reisen
*gleichzeitig * ab.

>Das ist ein *Ergebnis* der Anwendung von Cantors Methode, die wie gerade gezeigt, fehlgeht.

Geht sie nicht.

>Es gibt unendlich viele gerade natürliche Zahlen, aber doppelt so viele natürliche Zahlen.

Aha. Noch einmal: »unendlich« ist keine Zahl. Wenn Du es aber so benutzt,
dann gilt:

unendlich + irgendwas = unendlich
unendlich × irgendwas = unendlich
unendlich + unendlich = unendlich
unendlich × unendlich = unendlich

In jedem dieser Fälle gibt es im Ergebnis »unendlich« kein einziges Element
»mehr« als im Ausgangswert »unendlich«. Die Mengen der positiven geraden
ganzen Zahlen und der natürlichen Zahlen ohne Null sind gleich mächtig.

>> Beide Mengen
>> haben gleich viele Elemente, nämlich abzählbar unendlich viele.
>
>Das ist ausgesprochener Unsinn. Hätten beide Mengen gleichviele Elemente, dann bestände eine Bijektion.

Sie besteht.

>Sie würde sich bei Transpositionen unter keinen Umständen ändern. Das ist falsch. Also besteht keine Bijektion.

Die Permutationen sind im Grunde gleichgültig. Ich kann immer eine Bijektion
herstellen. Um das an einem einfachen (weil endlichen) Beispiel zu
verdeutlichen:

Die Zuordnung

1 2 3 4
2 4 6 8

Ist ebenso eine vollständige Bijektion wie

3 1 4 2
6 2 4 8

Dass die Permutationen gleichgültig sind, ändert sich nicht, wenn ich
abzählbar unendliche Mengen vor mir habe. Deshalb kann ich von einer
bestimmten Permutation pro Menge ausgehen und zeigen, dass in diesem Fall
eine Bijektion besteht und habe das dann auch für alle anderen
Permutationen gezeigt.

Ganzhinterseher

unread,

Jan 9, 2022, 12:17:26 PM1/9/22

to

Marcus Gloeder schrieb am Sonntag, 9. Januar 2022 um 14:13:13 UTC+1:
> Am 09.01.22 11:08, schrieb Ganzhinterseher:
> >Es ist ein Unterschied, ob unendlich mal unendlich oder nur einmal unendlich.
> Dazu habe ich zwei Bemerkungen: Erstens ist »unendlich« keine Zahl, weil es
> weder einen Platz auf dem Zahlenstrahl noch auf der durch die imaginäre
> Achse aufgespannten Fläche hat.

Das wäre im Falle der Mathematik richtig. ∞ ist keine Zahl. Hier geht es aber um die Mengenlehre, und da ist es falsch. Unendlich ist eine ganze feste und unveränderliche Zahl, nämlich als ω eine Ordinalzahl, als Aleph eine Kardinalzahl.

"Unter einem A.-U. ist dagegen ein Quantum zu verstehen, das einerseits nicht veränderlich, sondern vielmehr in allen seinen Teilen fest und bestimmt, eine richtige Konstante ist," [Cantor] "Zunächst mache ich auf die Allgemeinheit, Schärfe und Bestimmtheit meiner Zahlendefinitionen aufmerksam; sie sind gleichlautend, gleichviel ob sie auf endliche oder unendliche Mengen bezogen werden. Jede transfinite Zahl der zweiten Zahlenklasse z. B. hat ihrer Definition nach dieselbe Bestimmtheit, dieselbe Vollendung in sich wie jede endliche Zahl." [Cantor] "Das Vollendetunendliche findet sich allerdings in gewissem Sinne in den Zahlen ω, ω + 1, ... , ω^ω, ... ; sie sind Zeichen für gewisse Modi des Vollendetunendlichen und weil das Vollendetunendliche in verschiedenen, von einander mit der äussersten Schärfe durch den sogenannten „endlichen, menschlichen Verstand" unterscheidbaren Modificationen auftreten kann" [Cantor] "wogegen v - n immer gleich ω ist; dieser Unterschied ändert aber nichts daran, daß ω als ebenso bestimmt und vollendet anzusehen ist" [Cantor]

> Zweitens: Wenn ich mal für einen Augenblick
> annehmen würde, unendlich sei eine Zahl, dann gilt: unendlich mal unendlich

> ist unendlich. Das Ergebnis enthält kein einziges Element »mehr«..

Das ist Unsinn. Du nist offenbar schon weitestgehend verdummt worden.

> >Aber davon gabz abgesehen, in jedem Schritt ist das Reservoir nicht leer. Das ändert sich niemals.
> Es ist ein Unterschied, ob Du eine beliebige, aber *endliche* Menge an
> Schritten hast oder abzählbar unendlich viele.

Wenn jeder Schritt versagt, dann spielt es keine Rolle.

>
> An dieser Stelle habe ich ein kleines Denkexperiment. Der Unterschied
> zwischen 0,9 und 1 ist 0,1. Der Unterschied zwischen 0,99 und 1 ist 0,01.
> Der Unterschied zwischen 0.999 und 1 ist 0.001. Und so weiter.

Und der Unterschied verschwindet nie. Lediglich der Grenzwert ist 1. Aber diesen auf die Abzählung anzuwenden ist der klassische Fehlschluss, denn Cantor will alle Brüche nummerieren, nicht einen Grenzwert finden.

> Wenn Du jetzt aber *unendlich* viele Neunen hinter dem Komma hast, dann wird
> der Unterschied zu 1 *unendlich klein*, das heißt er verschwindet.

Nein. Jede Neun unterscheidet sich von einer Nichtneun. Das ist auch für unendlich viele nicht anders.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,

Jan 9, 2022, 12:22:52 PM1/9/22

to

Marcus Gloeder schrieb am Sonntag, 9. Januar 2022 um 14:13:13 UTC+1:

> Dass die Permutationen gleichgültig sind, ändert sich nicht, wenn ich
> abzählbar unendliche Mengen vor mir habe. Deshalb kann ich von einer
> bestimmten Permutation pro Menge ausgehen und zeigen, dass in diesem Fall
> eine Bijektion besteht und habe das dann auch für alle anderen
> Permutationen gezeigt.

Dann gehe von der Cantorschen Abzählung aller positiven Brüche aus und erzeuge die Permutation, wo alle Stammbrüche zuerst erscheinen. Und dann vielleicht noch die, wo alle positiven Brüche nach Größe geordnet sind, beginnend mit dem kleinsten. Diese Ordnung könnte man mit ℵo Transpositionen erzeugen, wenn man eine Abzählung aller positiven Brüche hätte. Schon deswegen kann sie nicht existieren.

Gruß, WM

Dieter Heidorn

unread,

Jan 9, 2022, 3:46:26 PM1/9/22

to

Ganzhinterseher schrieb:
> Dieter Heidorn schrieb am Samstag, 8. Januar 2022 um 17:56:37 UTC+1:
>> Ganzhinterseher schrieb:
>>> Dieter Heidorn schrieb am Freitag, 7. Januar 2022 um 21:55:57 UTC+1:
>>>> Ganzhinterseher schrieb:

>>>> [Bei] Cantors Konstruktion [ist] die Nummer des Bruches auf dem Endpunkt einer

>>>> Diagonalen eine Dreieckszahl.
>>>
>>> Was auch immer sie ist, |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo. Es bleiben also für jeden Index unendlich viele Zahlen unverarbeitet.
>>
>> Mit {1, 2, 3, ..., n} werden genau n Brüche abgezählt. Und in der Tat
>> stehen dann noch abzählbar unendlich viele natürliche Zahlen zur
>> Verfügung, mit denen die weiteren Brüche abgezählt werden können.
>
> Nein,

Aber gewiss doch. Du schreibst ja selbst:

"|ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo"

Oder in deiner Ausdrucksweise formuliert:
"n Zahlen zum Abzählen verbraucht, bleiben noch ℵo zum weiteren
Abzählen übrig".

>> Um dir das zu verdeutlichen, brauchst
>> du lediglich einige Anfangswerte mit der inversen Cantor-Funktion
>> zu berechnen, und dir klar zu machen, in welchem Intervall die
>> nummerierten Brüche liegen. Zu erkennen ist (anschaulich formuliert):
>> Die zunächst nicht nummerierten Brüche im jeweils gewählten Intervall
>> werden bei größer werdenden n irgendwann immer nummeriert.
>
> Nein, es kommen in jedem Schritt ℵo dazu.
>

Es kommt nichts dazu, da |Nx|N und |N aktual unendliche abzählbare
Mengen sind. Mit deinem schrittweisen Auflösen einer Abbildung von zwei
aktual unendlichen Mengen aufeinander hast du dich nur selber in die
Irre geführt. (Satz 3 im Fraenkel, S.35, könnte dich wieder heraus
führen...)

>>> Die Abzählung darf man also nicht überprüfen?
>> Natürlich kann man die Abzählung überprüfen.

>> Ich habe es auch getan und
>> mich davon überzeugt, dass Cantors Abbildung
>>
>> --
>> | |Nx|N ---> |N
>> f: |
>> | (i,j) |--> f(i,j) = 1/2*(i + j - 2)*(i + j - 1) + i
>> --
>>
>> injektiv und surjektiv ist - also eine Bijektion.
>>> >>> Also bis zur Nr. 17 ginge das. Cantor hat es in seinem Brief

anLipschitz vom 19. Nov. 1883 sogar bis Nr. 31 vorgeführt.

>>
>> Und mit dem Nachweis, dass f eine Bijektion ist, "geht" das für alle
>> natürlichen Zahlen.
>

> Du behauptest nur immer Bijektion, gehst darauf aber nicht ein.
>

Darauf bin ich vor einiger Zeit im Thread "Zusammenfassung" mehrmals
eingegangen. Du hast es offensichtlich "übersehen" wollen.

Also erneut:

* Die Cantorsche Abzählung bezieht sich auf die folgende Anordnung,
deren Anfang hier zur Veranschaulichung dargestellt wird:

i ^
|
6 | 21 27 34 42 51 61
5 | 15 20 26 33 41 50
4 | 10 14 19 25 32 40
3 | 6 9 13 18 24 31
2 | 3 5 8 12 17 23
1 | 1 2 4 7 11 16
--|------------------------------> j
1 2 3 4 5 6

Nach dem zu erkennenden Bildungsgesetz:

Anordnung der natürlichen Zahlen in aufsteigender Reihenfolge in
Diagonalen (von rechts unten nach links oben) jeweils konstanter
Summe k = i + j,

kommt jede natürliche Zahl n e |N genau einmal vor.

* Mit der Cantorschen Funktion berechnet man die zu einem Paar (i,j)
nach obigem Anordnungsschema gehörige natürliche Zahl n:

--
| |Nx|N --> |N
f : |
| (i,j) |--> f(i,j) = 1/2 * (i + j - 2)*(i + j - 1) + i
--

Die Funktion f ist definiert für alle Paare (i;j) e |Nx|N.

* Wie leicht zu sehen ist, ist f injektiv:
Wenn n_1 = f(i_1,j_1) = f(i_2,j_2) = n_2 ist,
dann ist (i_1,j_1) = (i_2,j_2).

Weiter ist f surjektiv:
Sei n e |N eine beliebige natürliche Zahl. Dann ist n = f(i,j) für ein
bestimmtes Paar (i,j). Dieses Paar ergibt sich (nach einiger Rechnung)
zu:

i(n) = n - d(c(n))
j(n) = c(n) - i(n) + 2

mit c(n) = Floor(sqrt(2*n) - 1/2),
d(c(n)) = 1/2*c(n)*(c(n) + 1)

* Somit ist f bijektiv.

Die Umkehrfunktion ist mit

--
| |N ---> |Nx|N
f^(-1): |
| n |---> (i(n),j(n))
--

gegeben. Sie ist definiert für alle n e |N.

Dieter Heidorn

Ganzhinterseher

unread,

Jan 9, 2022, 5:40:21 PM1/9/22

to

Dieter Heidorn schrieb am Sonntag, 9. Januar 2022 um 21:46:26 UTC+1:
> Ganzhinterseher schrieb:

> > Nein, es kommen in jedem Schritt ℵo dazu.
> >
> Es kommt nichts dazu, da |Nx|N und |N aktual unendliche abzählbare
> Mengen sind.

Dieser Begriff ist sinnlos. Er erfordert, dass lediglich durch Verschieben der Markierungen der Punkte n/1 alle Punkte rationaler Zahlen bedeckt werden können. Wer das glaubt, ist für folgereichtiges Denken verloren. (Dort wo die Markierungen weggenommen werden, entstehen Lücken.)

> Mit deinem schrittweisen Auflösen einer Abbildung von zwei
> aktual unendlichen Mengen aufeinander hast du dich nur selber in die
> Irre geführt.

Im Gegenteil, eine nüchterne Betrachtung zeigt, dass das Hinzufügen gegenüber dem Vorhandensein und ins Auge fassen keinen Unterschied macht. Ist das falsch gedacht?

> * Die Cantorsche Abzählung bezieht sich auf die folgende Anordnung,
> deren Anfang hier zur Veranschaulichung dargestellt wird:

Das war nicht meine Frage.

> * Mit der Cantorschen Funktion berechnet man die zu einem Paar (i,j)
> nach obigem Anordnungsschema gehörige natürliche Zahl n:
>
> --
> | |Nx|N --> |N
> f : |
> | (i,j) |--> f(i,j) = 1/2 * (i + j - 2)*(i + j - 1) + i
> --
>
> Die Funktion f ist definiert für alle Paare (i;j) e |Nx|N.

Dies ist meine Frage: |Nx|N ist doch ein Quadrat. Bitte definiere die Abbildung auf einen Punkt unterhalb der Diagonale.

Gruß, WM

Gus Gassmann

unread,

Jan 9, 2022, 7:43:29 PM1/9/22

to

Hirnrissiger Einwurf deinerseits. Du solltest wirklich dein Hirn einschalten, bevor du Scheissdreck postest. Die Abbildung ist *nach N*. Hat N jetzt bei dir eine Diagonale?

Du schwadronierst die ganze Zeit von "Cantors Abzählung" und hast nicht den blassesten Schimmer, in welcher Beziehung diese zu Heidorns Funktion steht? Lass dir helfen: Der Bruch i/j erscheint an der Stelle f(i,j) in Cantors Abzählung. Wenn i > j, dann liegt der Bruch i/j im Intervall (1,oo), wenn i < j im Intervall (0,1). Das ist alles.

Fritz Feldhase

unread,

Jan 10, 2022, 7:31:34 AM1/10/22

to

Nein, IN x IN ist kein "Quadrat", sondern eine Menge von geordneten Paaren, genauer:

IN x IN = {(n, m) : n e IN & m e IN} .

Durch f(i,j) = 1/2 * (i + j - 2)*(i + j - 1) + i mit (i,j) e IN x IN ist nun eine Funktion von IN x IN in IN definiert. D. h. jedem Paar in IN x IN ist durch f ein Element in IN zugeordnet.

Ganzhinterseher

unread,

Jan 10, 2022, 7:35:12 AM1/10/22

to

Fritz Feldhase schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 13:31:34 UTC+1:

> Nein, IN x IN ist kein "Quadrat", sondern eine Menge von geordneten Paaren, genauer:

Das widerspricht sich nicht. Jedes Quadrat ist eine Menge von Punkten oder Koordinatenpaaren.

>
> IN x IN = {(n, m) : n e IN & m e IN} .
>
> Durch f(i,j) = 1/2 * (i + j - 2)*(i + j - 1) + i mit (i,j) e IN x IN ist nun eine Funktion von IN x IN in IN definiert. D. h. jedem Paar in IN x IN ist durch f ein Element in IN zugeordnet.

Ein Punkt unterhalb der Diagonale wäre als Prüfstein für diese kühne Behauptung geeignet.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,

Jan 10, 2022, 7:38:37 AM1/10/22

to

Gus Gassmann schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 01:43:29 UTC+1:
> On Sunday, 9 January 2022 at 18:40:21 UTC-4, Ganzhinterseher wrote:

> > > Die Funktion f ist definiert für alle Paare (i;j) e |Nx|N.
> > Dies ist meine Frage: |Nx|N ist doch ein Quadrat. Bitte definiere die Abbildung auf einen Punkt unterhalb der Diagonale.
> Hirnrissiger Einwurf deinerseits. Du solltest wirklich dein Hirn einschalten, bevor du Scheissdreck postest. Die Abbildung ist *nach N*. Hat N jetzt bei dir eine Diagonale?

Erstens ist sie von ℕ nach Q, zweitens wäre "nach" bei einer Bijektion in beiden Richtungen erfüllt. Drittens werde ich zukünftig auf Deine Endgleisungen nicht mehr antworten.
>
Gruß, WM

Fritz Feldhase

unread,

Jan 10, 2022, 7:55:39 AM1/10/22

to

On Monday, January 10, 2022 at 1:35:12 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> Fritz Feldhase schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 13:31:34 UTC+1:
> >
> > Nein, IN x IN ist kein "Quadrat", sondern eine Menge von geordneten Paaren, genauer:

> > IN x IN = {(n, m) : n e IN & m e IN} .
> >

> <blubber> Jedes Quadrat ist eine Menge von Punkten oder Koordinatenpaaren.

Was verstehst Du an "Anzahl der Ecken: 4" nicht, Mückenheim?

Fritz Feldhase

unread,

Jan 10, 2022, 7:58:53 AM1/10/22

to

On Monday, January 10, 2022 at 1:38:37 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> Gus Gassmann schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 01:43:29 UTC+1:
> >
> > Hirnrissiger Einwurf deinerseits. Du solltest wirklich dein Hirn einschalten, bevor du Scheissdreck postest. Die Abbildung ist *nach N*. Hat N jetzt bei dir eine Diagonale?
> >

> <Blubber> Drittens werde ich zukünftig auf Deine Endgleisungen nicht mehr antworten.

Wieso? Was Gus hier formuliert, ist "quite to the point".

Fritz Feldhase

unread,

Jan 10, 2022, 8:03:36 AM1/10/22

to

On Monday, January 10, 2022 at 1:55:39 PM UTC+1, Fritz Feldhase wrote:

Ganz nebenbei:

> Jedes Quadrat ist eine Menge von Punkten

Ja, aber nicht jede Menge von Punkten ist ein Quadrat. (*stöhn*)

Nein, denken kannst Du schon lange nicht mehr, Mückenheim.

Gus Gassmann

unread,

Jan 10, 2022, 8:17:55 AM1/10/22

to

On Monday, 10 January 2022 at 08:38:37 UTC-4, Ganzhinterseher wrote:
> Gus Gassmann schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 01:43:29 UTC+1:
> > On Sunday, 9 January 2022 at 18:40:21 UTC-4, Ganzhinterseher wrote:
>
> > > > Die Funktion f ist definiert für alle Paare (i;j) e |Nx|N.
> > > Dies ist meine Frage: |Nx|N ist doch ein Quadrat. Bitte definiere die Abbildung auf einen Punkt unterhalb der Diagonale.
> > Hirnrissiger Einwurf deinerseits. Du solltest wirklich dein Hirn einschalten, bevor du Scheissdreck postest. Die Abbildung ist *nach N*. Hat N jetzt bei dir eine Diagonale?
> Erstens ist sie von ℕ nach Q,

Du solltest lesen *BEVOR* du deinen Scheiss ablädst. Aber irgendwann hast du es vermutlich doch bemerkt, weil du Heidorns Beitrag gelöscht hast. Er schrieb nämlich am Sonntag, 9. Januar 2022 um 21:46:26 UTC+1:
[...]

> * Mit der Cantorschen Funktion berechnet man die zu einem Paar (i,j)
> nach obigem Anordnungsschema gehörige natürliche Zahl n:
>
> --
> | |Nx|N --> |N
> f : |
> | (i,j) |--> f(i,j) = 1/2 * (i + j - 2)*(i + j - 1) + i
> --
>

> Die Funktion f ist definiert für alle Paare (i;j) e |Nx|N.

Du hättest besser daran getan, zehn Sekunden Zeit darauf zu verwenden, den Wertebereich seiner Funktion zu erfassen.

> zweitens wäre "nach" bei einer Bijektion in beiden Richtungen erfüllt.

Da hast du weder gelesen noch erfasst, worum es ging, und folglich Scheisse abgeladen.

> Drittens werde ich zukünftig auf Deine Endgleisungen nicht mehr antworten.

Gut so. Danke!!!! (Nicht, dass ich dir und deiner Altersdemenz das auch nur eine Sekunde glaube.)

JVR

unread,

Jan 10, 2022, 9:19:32 AM1/10/22

to

On Monday, January 10, 2022 at 1:55:39 PM UTC+1, Fritz Feldhase wrote:

Ist doch klar: Die Ecken sind dunkel.
2 sind ein bisschen dunkel, eine ist richtig dunkel.
Von den Diagonalen ist auch eine halbdunkel und die andere ganz dunkel.

Was ist an 'dunkel' so schwer zu verstehen?

Dieter Heidorn

unread,

Jan 10, 2022, 12:17:31 PM1/10/22

to

Ganzhinterseher schrieb:

> Dieter Heidorn schrieb am Sonntag, 9. Januar 2022 um 21:46:26 UTC+1:
>> Ganzhinterseher schrieb:
>
>>> Nein, es kommen in jedem Schritt ℵo dazu.
>>>
>> Es kommt nichts dazu, da |Nx|N und |N aktual unendliche abzählbare
>> Mengen sind.
>
> Dieser Begriff ist sinnlos.

Nur, weil du einen Begriff nicht verstehst, ist er nicht sinnlos.
(Willst du eigentlich hier eine Art Kurt Bindl der Mathematik geben?)

In der zuletzt von dir zitierten Arbeit Cantors findet sich auch
folgendes:

|"Wenn wir eine von A anfangende unendliche Gerade AO haben und wir
| setzen an ihren Anfang A die endliche Strecke BA, so erhalten wir
| wieder eine unendliche von B ausgehende Grade BO, in welcher das
| hinzukommende gerade Stück nicht die geringste Änderung in bezug
| auf die 'Größe' hervorgebracht hat, was daraus erkannt wird, daß
| man die neue Gerade zur völligen Kongruenz mit der alten bringen
| kannn; der Gewinn, den sie durch das hinzugekommene Stück BA
| erhalten hat, ist zwar real vorhanden und unbestreitbar,
| _verschwindet_ aber völlig, wenn man bloß auf das den beiden
| Linien AO und BO anhaftende _Akzidens_ der Größe achtet.
| Wer hier wie überhaupt bei aktual-unendlichen Quantitäten einen
| Verstoß gegen das Widerspruchsprinzip findet, irrt durchaus,
| indem er den abstraktiven Charakter der 'Größe' aus dem Auge verliert
| und sie fälschlich mit der substanziellen Entität des vorliegenden
| Quantums identifiziert."
(Cantor: Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten.
in: Gesammelte Abhandlungen (1932), S. 393)

>> Mit deinem schrittweisen Auflösen einer Abbildung von zwei
>> aktual unendlichen Mengen aufeinander hast du dich nur selber in die
>> Irre geführt.
>
> Im Gegenteil,

Aber gewiss doch. Deine "Argumentation" war ja:

Die Brüche jedes Einheitsintervalls werden nacheinander in ein
"Reservoir" gefüllt, jeweils ein Bruch wird mit der jeweils nächsten
natürlichen Zahl nummeriert. So sammeln sich im Reservoir nach

Schritt 1 2 3 ...

ℵo ℵo + ℵo ℵo + ℵo + ℵo ...

Brüche an, und die noch zur Verfügung stehenden natürlichen Zahlen
verringern sich:

Schritt 1 2 3

|N\{1} |N\{1,2} |N\{1,2,3} ...

Da | |N\{1,2,3,...,n} | = ℵo ist willst du "schließen", dass die Zahl
der nicht nummerierten Brüche immer größer wird als die Zahl der
verbliebenen natürlichen Zahlen.

Was du in deiner völligen Unkenntnis der Mengenlehre "übersiehst" ist
die simple Tatsache, dass

ℵo + ℵo = ℵo , und daher

ℵo + ℵo + ℵo = ℵo + ℵo = ℵo

usw. ist. Dein "Reservoir" hat immer die Mächtigkeit ℵo, genauso wie
die Menge |N\{1,2,3,...,n}. Daher ist eine bijektive Zuordnung zwischen
|N und der Menge der positiven Brüche möglich, auch wenn man das in der
Augsburger Puppenkiste - wo man "Anzahl" und "Mächtigkeit" nicht
auseinanderhalten kann - nicht begreift.

>> * Die Cantorsche Abzählung bezieht sich auf die folgende Anordnung,
>> deren Anfang hier zur Veranschaulichung dargestellt wird:
> Das war nicht meine Frage.
>
>> * Mit der Cantorschen Funktion berechnet man die zu einem Paar (i,j)
>> nach obigem Anordnungsschema gehörige natürliche Zahl n:
>>
>> --
>> | |Nx|N --> |N
>> f : |
>> | (i,j) |--> f(i,j) = 1/2 * (i + j - 2)*(i + j - 1) + i
>> --
>>
>> Die Funktion f ist definiert für alle Paare (i;j) e |Nx|N.
>
> Dies ist meine Frage: |Nx|N ist doch ein Quadrat. >

Nein. |Nx|N ist die Menge der geordneten Paare (i,j) mit i e |N und
j e |N.

> Bitte definiere die Abbildung auf einen Punkt unterhalb der Diagonale.
>

Bitte lass' das Saufen vor dem posten und bitte lies' mit
eingeschaltetem Hirn in nüchternem Zustand, was man dir schreibt:

Die Cantorsche Funktion f, die ich zum wiederholten Male angeschrieben
hatte, bildet ein Paar (i,j), und damit einen Bruch i/j auf eine
natürliche Zahl ab, mit der der betreffende Bruch bei der Cantorschen
Abzählung nummeriert wird.

Um dir das Verstehen zu erleichtern, hatte ich den Anfang der
Cantorschen Abzählung dargestellt:

i ^
|
6 | 21 27 34 42 51 61
5 | 15 20 26 33 41 50
4 | 10 14 19 25 32 40
3 | 6 9 13 18 24 31
2 | 3 5 8 12 17 23
1 | 1 2 4 7 11 16
--|------------------------------> j
1 2 3 4 5 6

Die Koordinaten der Paare (i,j) sind auf den Achsen eingetragen, und die
im Koordinatengitter eingetragenen natürlichen Zahlen sind die Nummern,
die jeweils ein Paar (i,j) beim Abzählen erhält, und die mit der
Cantorschen Funktion f: Nx|N --> |N, (i,j) |--> f(i,j) = n berechnet
werden. Wie ich gezeigt habe, _ist f bijektiv_ - auch wenn du es
löschst, bleibt es dennoch richtig.

Dein "Kampf" gegen die Mengenlehre erinnert mehr und mehr an den
Titelhelden eines Romans von Miguel de Cervantes...

Dieter Heidorn

Ganzhinterseher

unread,

Jan 11, 2022, 1:48:25 AM1/11/22

to

Dieter Heidorn schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 18:17:31 UTC+1:

> Dein "Kampf" gegen die Mengenlehre erinnert mehr und mehr an den
> Titelhelden eines Romans von Miguel de Cervantes...

Ich halte das folgende für Mathematik: Lageveränderungen von einem, mehreren, vielen oder allen Quadraten in der Matrix

, 1/2, 1/3, 1/4, ...
, 2/2, 2/3, 2/4, ...
, 3/2, 3/3, 3/4, ...
, 4/2, 4/3, 4/4, ...
...

kann das Verhältnis zwischen bedeckter und unbedeckter Fläche, hier Null, nicht ändern.
Jede gegenteilige Meinung ist Unsinn. Mathematik ist kein Unsinn.

Woran das erinnert ist mir egal.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,

Jan 11, 2022, 2:00:35 AM1/11/22

to

Dieter Heidorn schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 18:17:31 UTC+1:

> Ganzhinterseher schrieb:
> > Dieter Heidorn schrieb am Sonntag, 9. Januar 2022 um 21:46:26 UTC+1:
> >> Ganzhinterseher schrieb:
> >
> >>> Nein, es kommen in jedem Schritt ℵo dazu.
> >>>
> >> Es kommt nichts dazu, da |Nx|N und |N aktual unendliche abzählbare
> >> Mengen sind.
> >
> > Dieser Begriff ist sinnlos.
> Nur, weil du einen Begriff nicht verstehst, ist er nicht sinnlos.

Nein, er ist sinnlos, weil er aus einer sinnlosen Überlegung entstanden ist.

>
> Die Brüche jedes Einheitsintervalls werden nacheinander in ein
> "Reservoir" gefüllt, jeweils ein Bruch wird mit der jeweils nächsten
> natürlichen Zahl nummeriert. So sammeln sich im Reservoir nach
>
> Schritt 1 2 3 ...
>
> ℵo ℵo + ℵo ℵo + ℵo + ℵo ...
>
> Brüche an, und die noch zur Verfügung stehenden natürlichen Zahlen
> verringern sich:
>
> Schritt 1 2 3
>
> |N\{1} |N\{1,2} |N\{1,2,3} ...
>
> Da | |N\{1,2,3,...,n} | = ℵo ist willst du "schließen", dass die Zahl
> der nicht nummerierten Brüche immer größer wird als die Zahl der
> verbliebenen natürlichen Zahlen.
>
> Was du in deiner völligen Unkenntnis der Mengenlehre "übersiehst" ist
> die simple Tatsache, dass
>
> ℵo + ℵo = ℵo , und daher

Du übersiehst, dass dies nur aufgrund der Unschärfe von ℵo möglich ist.

>
> ℵo + ℵo + ℵo = ℵo + ℵo = ℵo
>
> usw. ist. Dein "Reservoir" hat immer die Mächtigkeit ℵo, genauso wie
> die Menge |N\{1,2,3,...,n}. Daher ist eine bijektive Zuordnung zwischen
> |N und der Menge der positiven Brüche möglich,

Natürlich nicht. Die Mächtigkeit ℵo beschreibt sehr verschiedene Mengen. Du meinst daraus gleiche Anzahlen erschließen zu können. Das ist falsch. Dass in jedem Schritt unendlich viel dazukommt, wenn man es wie beschrieben macht, kann nicht bestritten werden. Und wenn man die Elemente schon im Reservoir hat, dann sind sie zum angegeben Schritt noch alle vollzählig vorhanden.

Du versuchst mit dem falschen Ergebnis Cantors seinen falschen Ansatz zu stützen.

> >> * Mit der Cantorschen Funktion berechnet man die zu einem Paar (i,j)

Wie im vorigen Posting schon gesagt, diese Rechnung ist durch meine Matrixüberdeckung obsolet geworden. Deswegen braucht man sie nicht mehr zu diskutieren.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

unread,

Jan 11, 2022, 5:53:00 AM1/11/22

to

Fritz Feldhase schrieb am Montag, 10. Januar 2022 um 14:03:36 UTC+1:
> On Monday, January 10, 2022 at 1:55:39 PM UTC+1, Fritz Feldhase wrote:
>
> Ganz nebenbei:
> > Jedes Quadrat ist eine Menge von Punkten
> Ja, aber nicht jede Menge von Punkten ist ein Quadrat.

Das hat auch niemand behauptet. Eine nxn-Matrix wird gewöhnlich in Form eines Quadrates dargestellt (natürlich könnte man auch andere Darstellungsformen wählen). Und eine ℕxℕ-Matrix wir ebenso dargestellt. Wenn ℕ vollständig ist, dann ist es auch das Quadrat und damit die Hälfte unterhalb der Diagonale.

Tatsächlich ist das aber nicht der Fall, denn da dunkle Zahlen kein erkennbares Maximum besitzen, sind auch die Ecken der Matrix (außer der sichtbaren) diffus.

Gruß, WM

Fritz Feldhase

unread,

Jan 11, 2022, 6:00:07 AM1/11/22

to

On Tuesday, January 11, 2022 at 11:53:00 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> Eine <blubber>

Was verstehst Du an "Anzahl der Ecken: 4" nicht, Mückenheim?

Kannst Du nicht mehr bis 4 zählen?

Fritz Feldhase

unread,

Jan 11, 2022, 6:13:18 AM1/11/22

to

On Tuesday, January 11, 2022 at 11:53:00 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> da dunkle Zahlen kein erkennbares Maximum besitzen, sind auch die Ecken der Matrix (außer der sichtbaren) diffus.

Ja, das hat JVR schon erklärt:

| Ist doch klar: Die Ecken sind dunkel.

| 2 sind ein bisschen dunkel [also diffus --FF], eine ist richtig dunkel.

| Von den Diagonalen ist auch eine halbdunkel und die andere ganz dunkel.

Tja, wenn das so ist...

https://www.youtube.com/watch?v=WG6WF1Qmq3c

Ganzhinterseher

unread,

Jan 11, 2022, 6:22:03 AM1/11/22

to

So ist es. Jedenfalls wenn man die natürlichen Zahlen, zwischen denen und ω auf der Ordinalachse ℵo natürliche Zahlen liegen, zu einer Menge zusammenfassen kann. Eine Teilmenge dieser Menge nenne ich ℕ_def. Wenn man sie, d.h. ihre Elemente von ℕ subtrahiert, so bleiben nach Voraussetzung ℵo Zahlen übrig.

Gruß, WM

Fritz Feldhase

unread,

Jan 11, 2022, 6:32:34 AM1/11/22

to

On Tuesday, January 11, 2022 at 12:22:03 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> Jedenfalls wenn <blubber blubber>

Lernen Sie erst einmal bis 4 zu zählen, Mückenheim.

Marcus Gloeder

unread,

Jan 11, 2022, 1:52:32 PM1/11/22

to

Hallo alle zusammen, werter WM,

am 11.01.22 08:00, schrieb WM:

> Und wenn man die Elemente schon im Reservoir hat, dann sind sie zum angegeben Schritt noch alle vollzählig vorhanden.

Das Wort »vollzählig« ist in diesem Zusammenhang mehr als schräg.

Neulich war ich in Göttingen zu Besuch. Ich habe da im Hotel Hilbert
übernachtet. Da das Hotel damit wirbt, unendlich viele Zimmer zu haben,
habe ich nicht vorher eins reserviert. Da wird schon eins frei sein, habe
ich mir gedacht.

Nun, als ich ankam, sagte der Portier zu mir: »Tut mir Leid, wir sind
vollzählig. Alle Zimmer sind belegt.« Gerade als ich enttäuscht wieder
gehen wollte, sagte der Portier: »Moment, ich glaube, ich habe da eine
Idee.« Er schlug auf einen Gong und machte über die Gegensprechanlage eine
Durchsage: »Bitte alle Gäste jetzt vor die Zimmertür treten.« Als das
geschehen war, fuhr er fort: »Bitte ziehen Sie jetzt alle in das nächste
Zimmer um.« Dann machte er wieder einen Gangschlag und alle Gäste zogen
gleichzeitig Zimmer weiter. »Zimmer 1 ist jetzt frei.« Er gab mir den
Schlüssel. »Das ging schnell«, wunderte ich mich. »Und kein Gast muss jetzt
ausziehen?« – »Nein.«, entgegnete der Portier. »Wir haben unendlich viele
Zimmer.«

Also waren die Zimmer vor meiner Ankunft »vollzählig« belegt und nach meiner
Ankunft ebenso. Übrigens hat der Portier es auch geschafft, eine
Reisegruppe mit unendlich vielen Touristinnen und Touristen unterzubringen.
Er machte noch einmal eine Durchsage und sagte, alle Gäste sollten in das
Zimmer mit der doppelten Zimmernummer ihres bisherigen Zimmers umziehen.
Dadurch wurden alle Zimmer mit ungeraden Zimmernummern frei und alle
Touristinnen und Touristen konnten dort einziehen. Wieder war das Hotel
»vollzählig« belegt, ohne dass irgendjemand ausziehen musste.

Das ist im Hotel Hilbert so. Es hat eben abzählbar unendlich viele Zimmer.

>Du versuchst mit dem falschen Ergebnis Cantors seinen falschen Ansatz zu stützen.

Cantors Ergebnis ist nicht falsch. Sondern Deines.

Ganzhinterseher

unread,

Jan 12, 2022, 4:40:22 AM1/12/22

to

Marcus Gloeder schrieb am Dienstag, 11. Januar 2022 um 19:52:32 UTC+1:
> Hallo alle zusammen, werter WM,
>
> am 11.01.22 08:00, schrieb WM:
> > Und wenn man die Elemente schon im Reservoir hat, dann sind sie zum angegeben Schritt noch alle vollzählig vorhanden.
> Das Wort »vollzählig« ist in diesem Zusammenhang mehr als schräg.

Nein es bezeichnet einfach den Umstand, dass alle Brüche aus dem Intervall (n-1, n] noch ungeimpft sind.

>
> Neulich war ich in Göttingen zu Besuch. Ich habe da im Hotel Hilbert
> übernachtet.

Ich kenne Göttingen sehr gut, weil ich dort studiert habe. Es gibt dort zwar einen Hilbert-Raum mit einer kleinen Büste des großen Mathematikers. Aber das Hotel wurde auf seine Anweisung aus dem Jenseits hin längst geschlossen. Er hat dort nämlich die ewige Weisheit erfahren und sofort erkannt, dass das Hotel niemals funktioniert hätte.

Gruß, WM

JVR

unread,

Jan 12, 2022, 9:02:06 AM1/12/22

to

" ... weil ich dort studiert habe ..."

Sie haben niemals im üblichen Sinne studiert, weil man dabei nämlich etwas lernt.
Sie haben offenbar nur auswendig gelernt und abgeschrieben.

Jetzt ist Hilbert plötzlich ein 'großer Mathematiker' - aber natürlich viel, viel kleiner als Mückenheim.
Mücke hat sie alle durchschaut, die Betrüger, die Aufschneider, die Unterdrücker der Wahrheit.