jeder gegen jedem - Formel
Gerhard Wolf
meine Tochter (4-Schuljahr) hat eine Matheaufgabe bekommen bei der sie
die Anzahl der möglichen Paarungen einer Spielergruppe ermitteln soll.
Z.B.:
In einem Schachturnier mit 10 Teilnehmern spielt jeder gegen jeden
einmal.Wieviele Partien werden
gespielt ?
= 45 Paarungen
Eine Formel dazu habe ich bisher nicht gefunden. Lediglich erfolglos mit
z.B. !(n-1) oder n-1 o. ä. herumexperimentiert.
---
2
Das Ergebnis lässt sich auch mit: 9+8+7+6+5+4+3+2+1 berechnen.
Wie lautet die Formel dazu?
Ralf Goertz
Für Spieler 1 gibt es 10 Möglichkeiten, für Spieler 2 dann noch neun
(weil Spieler 1 schon gewählt ist). Macht 90 Möglichkeiten. Das dann
noch durch zwei dividieren, weil Spieler 1 gegen Spieler 2 dasselbe ist
wie Spieler zwei gegen Spieler 1.
Als Formel n*(n-1)/2.
Ralf
Johannes Bauer
> Das Ergebnis lässt sich auch mit: 9+8+7+6+5+4+3+2+1 berechnen.
> Wie lautet die Formel dazu?
(n^2 + n) / 2
Viele Grüße,
Johannes
--
"Meine Gegenklage gegen dich lautet dann auf bewusste Verlogenheit,
verlästerung von Gott, Bibel und mir und bewusster Blasphemie."
-- Prophet und Visionär Hans Joss aka HJP in de.sci.physik
<48d8bf1d$0$7510$5402...@news.sunrise.ch>
Johannes Bauer
> Gerhard Wolf schrieb:
>
>> Das Ergebnis lässt sich auch mit: 9+8+7+6+5+4+3+2+1 berechnen.
>> Wie lautet die Formel dazu?
>
> (n^2 + n) / 2
Ergänzung: Hier ist n also 9, die Formel gilt für 1..n.
Rainer Rosenthal
> meine Tochter (4-Schuljahr) hat eine Matheaufgabe bekommen
> Das Ergebnis lässt sich auch mit: 9+8+7+6+5+4+3+2+1 berechnen.
> Wie lautet die Formel dazu?
9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
-------------------------------------------
10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10
Das Doppelte von 9+8+7+6+5+4+3+2+1 ist offenbar 9*10.
Also ist diese Summe selbst die Hälfte davon: 9*10/2=45.
Wenn Du für 9 jetzt allgemein n nimmst, dann siehst Du
bzw. Deine Tochter, dass 1+2+...+n gleich (n+1)*n/2 ist.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Jutta Gut
"Ralf Goertz" <r_go...@expires-2006-11-30.arcornews.de> schrieb
> Gerhard Wolf wrote:
>
>> Hallo,
>>
>> meine Tochter (4-Schuljahr) hat eine Matheaufgabe bekommen bei der sie
>> die Anzahl der möglichen Paarungen einer Spielergruppe ermitteln soll.
>> Z.B.:
>>
>> In einem Schachturnier mit 10 Teilnehmern spielt jeder gegen jeden
>> einmal.Wieviele Partien werden
>> gespielt ?
>
Andere Begründung: Jeder der 10 Spieler spielt 9 Partien, also insgesamt
10*9 = 90. Jetzt wurde aber jede Partie doppelt gezählt, denn A gegen B ist
dasselbe wie B gegen A. Man muss das Ergebnis also noch durch 2 dividieren
und erhält 45.
Allgemein: Jeder der n Spieler spielt (n-1) Partien, also n*(n-1)/2.
Grüße
Jutta
Hendrik van Hees
(1<=k<=n) ohne Zurückliegen zu ziehen, wobei es auf die Reihenfolge der
Ziehung nicht ankommt. Das ergibt den Binomialkoeffizienten (n über k),
wobei im gegebenen Beispiel n=10 und k=2.
Man erhält das Ergebnis wie folgt:
Für den ersten Zug gibt es n mögliche Resultate, für den zweiten (n-1)
usw. Das ergibt zusammen insgesamt
N(n,k)=n*(n-1)*...*(n-k+1)/k!
Möglichkeiten. Der Nenner k! muß deshalb dort stehen, weil ja die
Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen werden, unerheblich ist. Es gilt
nun aber
N(n,k)=n!/[(n-k)! k!]=(n über k).
Gerhard Wolf wrote:
--
Hendrik van Hees Institut für Theoretische Physik
Phone: +49 641 99-33342 Justus-Liebig-Universität Gießen
Fax: +49 641 99-33309 D-35392 Gießen
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/
Markus Wichmann
Spieler 1 spielt gegen 9 andere Leute (weil er nicht gegen sich selbst
spielen kann).
Spieler 2 spielt gegen 8 andere Leute (weil er nicht gegen sich selbst
spielen kann und schon gegen Spieler 1 gespielt hat).
Spieler 3 spielt gegen 7 andere Leute (weil er nicht gegen sich selbst
spielen kann und schon gegen Spieler 1 und 2 gespielt hat).
Spieler 4 ...
Formel:
n - Anzahl der Mitspieler
m - Anzahl der Paarungen
n - 1
,------
\
m = > i = (n^2 + n)/2 (nach Gauss)
/
`------
i = 1
(Unter der Summe könnte auch "i = 0" stehen, denn es ist ja egal, ob man
am Ende noch 0 addiert oder nicht.)
HTH,
Markus
--
GUI - ein Hintergrundbild und zwölf XTerms
vim -c "exec \"norm iwHFG#NABGURE#IVZ#UNPXRE\"|%s/#/ /g|norm g??g~~"
Klaus-R. Loeffler
Nach vielen Erklärungen noch einmal eine Variante, die wegen der
Variablenfreiheit vielleicht auch für eine Schülerin des vierten
Schuljahrs einfach ist:
Wenn man die Spielergebnisse in eine Tabelle einträgt, in der über den
Spalten und neben den Zeilen jeweils die Mannschaftsnamen stehen, dann
erhält man ein quadratisches Schema mit 10*10 Feldern. Dabei ist in die
Felder auf der Hauptdiagonale nichts einzutragen, da keine Mannsschaft
gegen sich selber spielt. Gäbe es also zu jedem Spiel ein Rückspiel,
dann blieben 100-10 = 90 Ergebnisse. Ohne Rückspiele wird nur die Hälfte
der verbliebenen Felder (z.B. die Felder oberhalb der Diagonale)
ausgefüllt, also 90/2 Felder.
Mit Platzhaltern entspricht dann bei n Mannschaften die Formel (Anzahl
der Spiele) = (n^2 - n)/2 .
Klaus-R.
Stephan Gerlach
> In einem Schachturnier mit 10 Teilnehmern
n = 10
> spielt jeder gegen jeden
> einmal.
k = 2
> Wieviele Partien werden
> gespielt ?
[...]
> Wie lautet die Formel dazu?
Das ist einer der Standard-Fälle der Kombinatorik:
"Ohne Wiederholung, Reihenfolge unwichtig" -> (n über k).
Wobei die Schwierigkeit darin bestehen dürfte, n und k zu erkennen.
Ähnlich formulierte Aufgaben:
- Bei n Personen schüttelt jeder jedem anderen die Hand.
- n Personen stoßen jeweils mit Sektgläsern paarweise an.
Frage jeweils: Wieviele Hand-Schüttel-Vorgänge/Anstoß-Vorgänge gibt es?
--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Matthias Rosenkranz
> Das Ergebnis lässt sich auch mit: 9+8+7+6+5+4+3+2+1 berechnen.
Genau.
> Wie lautet die Formel dazu?
http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel
Gruß Matthias
in...@sbs-tec.de
(x-1) x (x:2)
x steht für Anzahl der Spieler.
Beispiel
25 Spieler spielen gegeneinander wieviel Spiele werden gesamt ausgetragen?
(25-1) = 24 x (25:2) 12,5 = 300 Spiele
Mehr Formeln?
Gruss
sbs-tec.de
Matthias Rosenkranz
> Am Montag, 16. März 2009 13:27:42 UTC+1 schrieb Gerhard Wolf:
schwierige Aufgabe gewesen zu sein ;->
>> Das Ergebnis lässt sich auch mit: 9+8+7+6+5+4+3+2+1 berechnen.
>> Wie lautet die Formel dazu?
>
> Also ich habe eine Formel, die ist von mir.
zugeschrieben, war aber wohl schon in der vorgriechischen Mathematik
bekannt.
Gruß Matthias
Klaus-R. Loeffler
sie gelten, oder ihre Richtigkeit begründet bezweifeln kann - wie beim
Datum der Frage nach der Formel.
Wenn man sich die n Teilnehmer am linken und unteren Rand einer
n_x_n-Tabelle eingetragen denkt, dann entspricht jedes der n*n Felder
der Tabelle einer Paarung, wobei die n Felder einer Diagonale wegfallen,
da keiner gegen sich selbst spielt. Es bleiben also noch n*n - n Felder
und damit Spiele, wobei jede Paarung zweimal auftritt. Wenn das Turnier
also ohne Rückspiele erfolgt, müssen (n*n - n)/2 Spiele stattfinden.
Klaus-R.
Carlos Naplos
schrieb in...@sbs-tec.de am 06.03.2014 21:52:
>>
>> Das Ergebnis lässt sich auch mit: 9+8+7+6+5+4+3+2+1 berechnen.
>> Wie lautet die Formel dazu?
>
(9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) +
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) =
10 +10 +10 +10 +10 +10 +10 +10 +10 = 90
Davon die Hälfte ist 45.
Summe {1 ... n} = n*(n+1)/2
Gruß
CN
astrid...@gmail.com
Dieter Heidorn
9
Anzahl Spiele = SUMME (10 - i)
i=1
Diese Summe entsteht so, dass man sich für jeden Spieler die Anzahl der
Spiele klar macht:
Spieler 1 muss gegen Spieler 2, 3, ...9, 10 spielen - also 9 Spiele
spielen.
Spieler 2 hat schon gegen Spieler 1 gespielt, und muss noch gegen
Spieler 3, Spieler 4 , ... Spieler 10 spielen - also noch weitere
8 Spiele spielen.
Spieler 3 muss noch weitere 7 Spiele spielen
...
...
Spieler 9 muss noch 1 weiteres Spiel spielen.
------------
Falls Sie noch an einer anderen Überlegung interessiert sind:
Die Anzahl der Spiele ergibt sich auch aus:
Anzahl Spiele = (10*10 - 10)/2
Dies sieht man z.B. dadurch, dass man sich ein Quadrat mit 10*10
Kästchen vorstellt:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
1 |_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|
2 |_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|
3 |_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|
4 |_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|
5 |_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|
6 |_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|
7 |_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|
8 |_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|
9 |_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|
10 |_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|
Das Kästchen in Zeile 4 und Spalte 7 steht dann für:
"Spieler 4 spielt gegen Spieler 7".
Die Kästchen auf der Diagonalen (Zeilennummer = Spaltennummer) sind
außer Acht zu lassen, da natürlich kein Spieler gegen sich selbst
spielt. Es bleiben also 10*10 - 10 = 90 Kästchen.
Die Kästchen mit vertauschten Zeilen- und Spaltennummer - z.B.
4,7 und 7,4 , oder 9,2, und 2,9 - bedeuten jeweils das gleiche. Somit
ist die Anzahl der Spiele gleich der Hälfte der verbliebenen Kästchen:
(10*10 - 10)/2 = 90/2 = 45 Kästchen.
Dieter Heidorn
Stephan Gerlach
Man kann die Aufgabe auch als Spezialfall folgender Standardaufabe der
Kombinatorik auffassen:
"Wieviele Möglichkeiten gibt es, k Objekte aus n Objekten zu 'ziehen',
Reihenfolge unwichtig, ohne Wiederholung?"
k = Anzahl Versuche/Durchführungen
n = Anzahl Möglichkeiten im 1. Versuch (von insgesamt k Versuchen)
Die Formel zur Berechnung der Anzahl N der Möglichkeiten lautet bei
dieser Standardaufgabe
N = (n über k).
Im genannten Spezialfall ist k=2, das sind die 2 Personen, die an einem
Schachspiel teilnehmen. Weiter ist n=10, das bedeutet, wenn man die
erste der beiden Personen auswählt, hat man 10 Möglichkeiten dafür.
Das Beispiel ist offenbar 'ohne Wiederholung' und mit 'Reihenfolge
unwichtig'.
Also gilt
N = (n über k) = (10 über 2),
was tatsächlich identisch ist mit 10*(10-1)/2.
Mit der genannten Methode könnte man auch ausrechnen, wieviele Partien
es gäbe, wenn z.B. gleichzeitig 3 Spieler gegeneinander spielen würden
(was bei Schach allerdings ziemlicher Unsinn ist).
Andreas Leitgeb
> Am Montag, 16. März 2009 13:27:42 UTC+1 schrieb Gerhard Wolf:
>> meine Tochter (4-Schuljahr) hat eine Matheaufgabe bekommen bei der sie
>> die Anzahl der möglichen Paarungen einer Spielergruppe ermitteln soll.
hinter sich :-)
Vielleicht kann man diesem uralt-Thema ja etwas Neues abgewinnen, indem
man sich überlegt, ob man diese Spiele algorithmisch parallelisieren kann,
sodass mit jeder neuen Runde immer alle am Spielbrett sitzen.
Bei 10 Spielern, und somit 45 Partien, sollte es sich doch ausgehen, dass
neun mal je fünf Partien gleichzeitig starten. Lässt sich der Ablauf
direkt "ausrechnen", oder braucht es dafür einen durchprobier-Algorithmus?
Klaus Loeffler
> astrid...@gmail.com <astrid...@gmail.com> wrote:
> > Am Montag, 16. März 2009 13:27:42 UTC+1 schrieb Gerhard Wolf:
> >> meine Tochter (4-Schuljahr) hat eine Matheaufgabe bekommen bei der sie
> >> die Anzahl der möglichen Paarungen einer Spielergruppe ermitteln soll.
>
> Vielleicht kann man diesem uralt-Thema ja etwas Neues abgewinnen, indem
> man sich überlegt, ob man diese Spiele algorithmisch parallelisieren kann,
> sodass mit jeder neuen Runde immer alle am Spielbrett sitzen.
> Bei 10 Spielern, und somit 45 Partien, sollte es sich doch ausgehen, dass
> neun mal je fünf Partien gleichzeitig starten. Lässt sich der Ablauf
> direkt "ausrechnen", oder braucht es dafür einen durchprobier-Algorithmus?
1979 (also 30 Jahre vor Gerhards Frage) in der ersten Runde des
Bundeswettbewerbs Mathematik (Entwurf eines Fußball-Liga-Plans).
Der Zuordnungs-Algorithmus lässt sich an einem geometrischen Modell
(reguläres n-Eck) oder mit Restklassen-Arithmetik beschreiben.
Klaus-R.
Ralf Goertz
schrieb Andreas Leitgeb <a...@logic.at>:
Runde zu Runde jeder von seinem derzeitigen Platz auf den links von ihm
liegenden wechselt, jeder bis auf ein Spieler am Tisch 1 (Spieler 0).
Der bleibt immer sitzen und wird von den anderen „übersprungen“:
1. Runde
0 1 2 3 4
9 8 7 6 5
2. Runde
0 9 1 2 3
8 7 6 5 4
…
9. Runde
0 2 3 4 5
1 9 8 7 6
Jens Kallup
ich komm da auf 42 Partien, bei 10 Spieler, mit
1 Gewinner, die gegeneinander Spielen, also 86 / 2 = 42.
Oder stimmt da was nicht?
1. Runde: 1 - 2 => 1 gewinnt => 2 raus => 1. Runde
2. Runde: 1 - 3 => 1 gewinnt => 3 raus
3. Runde: 1 - 4 => 1 gewinnt => 4 raus
4. Runde: 1 - 5 => 1 gewinnt => 5 raus
5. Runde: 1 - 6 => 1 gewinnt => 6 raus
6. Runde: 1 - 7 => 1 gewinnt => 7 raus
7. Runde: 1 - 8 => 1 gewinnt => 8 raus
8. Runde: 1 - 9 => 1 gewinnt => 9 raus => 8. Runden: 1 gewinnt => 9-1
winner: 1
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
1. Runde: |_1_|_1_|_1_|_1_|_1_|_1_|_1_|_1_|
1. Runde: 2 - 1 => 2 gewinnt => 1 raus => 2. Runde
2. Runde: 2 - 3 => 2 gewinnt => 3 raus
3. Runde: 2 - 4 => 2 gewinnt => 4 raus
4. Runde: 2 - 5 => 2 gewinnt => 5 raus
5. Runde: 2 - 6 => 2 gewinnt => 6 raus
6. Runde: 2 - 7 => 2 gewinnt => 7 raus
7. Runde: 2 - 8 => 2 gewinnt => 8 raus => 7. Runden: 2 gewinnt => 7-1
winner: 2
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2. Runde: |_2_|_2_|_2_|_2_|_2_|_2_|___|___|
1. Runde: 3 - 4 => 3 gewinnt => 4 raus => 3. Runde
2. Runde: 3 - 5 => 3 gewinnt => 5 raus
3. Runde: 3 - 6 => 3 gewinnt => 6 raus
4. Runde: 3 - 7 => 3 gewinnt => 7 raus
5. Runde: 3 - 8 => 3 gewinnt => 8 raus => 5. Runden: 3 gewinnt => 5-1
winner: 3
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
3. Runde: |_3_|_3_|_3_|_3_|___|___|___|___|
1. Runde: 4 - 5 => 4 gewinnt => 5 raus => 4. Runde
2. Runde: 4 - 6 => 4 gewinnt => 6 raus
3. Runde: 4 - 7 => 4 gewinnt => 7 raus
4. Runde: 4 - 8 => 4 gewinnt => 8 raus
5. Runde: 4 - 9 => 4 gewinnt => 9 raus => 5. Runden: 4 gewinnt => 4-1
winner: 4
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
4. Runde: |_4_|_4_|_4_|___|___|___|___|___|
1. Runde: 5 - 6 => 5 gewinnt => 6 raus => 4. Runde
2. Runde: 5 - 7 => 5 gewinnt => 7 raus
3. Runde: 5 - 8 => 5 gewinnt => 8 raus
5. Runde: 5 - 9 => 5 gewinnt => 9 raus => 5. Runden: 5 gewinnt => 4-1
winner: 5
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
5. Runde: |_5_|_5_|_5_|___|___|___|___|___|
1. Runde: 6 - 7 => 6 gewinnt => 7 raus => 6. Runde
2. Runde: 6 - 8 => 6 gewinnt => 8 raus
3. Runde: 6 - 9 => 6 gewinnt => 9 raus => 3. Runden: 6 gewinnt => 3-1
winner: 6
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
6. Runde: |_6_|_6_|___|___|___|___|___|___|
1. Runde: 7 - 8 => 7 gewinnt => 8 raus => 7. Runde
2. Runde: 7 - 9 => 7 gewinnt => 9 raus => 2. Runden: 7 gewinnt => 2-1
winner: 7
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
7. Runde: |_7_|___|___|___|___|___|___|___|
1. Runde: 8 - 9 => 8 gewinnt => 9 raus => 2. Runden: 8 gewinnt => 1-1
winner: 8
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
8. Runde: |___|___|___|___|___|___|___|___|
Lösung:
37 - 1 Spiele = 36
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
1. Runde: |_1_|_1_|_1_|_1_|_1_|_1_|_1_|_1_| 8
2. Runde: |_2_|_2_|_2_|_2_|_2_|_2_|___|___| 12
3. Runde: |_3_|_3_|_3_|_3_|___|___|___|___| 12
4. Runde: |_4_|_4_|_4_|___|___|___|___|___| 12
5. Runde: |_5_|_5_|_5_|___|___|___|___|___| 15
6. Runde: |_6_|_6_|___|___|___|___|___|___| 12
7. Runde: |_7_|___|___|___|___|___|___|___| 7
8. Runde: |_8_|___|___|___|___|___|___|___| 8 => 86
36| 21| 15| 6| 3| 3| 1| 1| => 86
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 = 3
1 + 2 = 3
1 = 1
1 = 1 => 86
1 mal Extra-Runde (Gewinner aus Runde:8 und Runde:1)
Lösung: Remee;
86 dividiert durch 2 Spieler = 43 - 1 Gewinner = 42 Partien
bei 10 Spieler.
Grüße, Jens