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Algebra: Reduktionskriterium
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Stephan Gerlach
Aug 12, 2014, 11:15:15 AM8/12/14
to
Q := rationale Zahlen
Z := ganze Zahlen
Z/n*Z := Restklassenring = {0, 1, 2, ..., n-1} mit n natï¿œrliche Zahl
Z[x] := Polynomring ganzzahliger Polynome
(Z/n*Z)[x] := Polynomring ï¿œber Z/n*Z
Reduktionskriterium (vereinfachte Form)
---------------------------------------
Sei P = Summe_{k=0 bis m} a_k * x^k
ein Polynom aus Z[x] mit Leitkoeffizient a_m = 1.
Dann kann man P auffassen als Element von (Z/n*Z)[x], indem man einfach
die Koeffizienden a_k "modulo n" betrachtet.
Die Aussage des Reduktionskriteriums lautet verschiedenen Quellen
zufolge dann:
Ist n eine Primzahl, und ist P irreduzibel ï¿œber (Z/n*Z)[x], so ist P
auch irreduzibel ï¿œber Z[x].
Der Beweis geht wohl einfach so, daￜ man "P ist reduzibel" in Z[x]
annimmt, also eine Zerlegung P = P1*P1 mit Polynomen P1 und P2 aus Z[x].
Und daraus folgert man dann "P ist reduzibel" in (Z/n*Z)[x].
Soweit, so gut. Jetzt die Frage: Ist die Voraussetzung des
Reduktionskriteriums "n ist eine Primzahl" tatsï¿œchlich erforderlich?
Anders gefragt: Was genau geht im Beweis schief, wenn man diese
Voraussetzung weglￜￜt?
Noch anders gefragt: Gibt es ein Beispiel fï¿œr ein Polynom, welches
irreduzibel in (Z/n*Z)[x] ist, aber reduzibel in Z[x]? Dabei mￜￜte ja
definitiv n eine Nicht-Primzahl sein.
--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Z := ganze Zahlen
Z/n*Z := Restklassenring = {0, 1, 2, ..., n-1} mit n natï¿œrliche Zahl
Z[x] := Polynomring ganzzahliger Polynome
(Z/n*Z)[x] := Polynomring ï¿œber Z/n*Z
Reduktionskriterium (vereinfachte Form)
---------------------------------------
Sei P = Summe_{k=0 bis m} a_k * x^k
ein Polynom aus Z[x] mit Leitkoeffizient a_m = 1.
Dann kann man P auffassen als Element von (Z/n*Z)[x], indem man einfach
die Koeffizienden a_k "modulo n" betrachtet.
Die Aussage des Reduktionskriteriums lautet verschiedenen Quellen
zufolge dann:
Ist n eine Primzahl, und ist P irreduzibel ï¿œber (Z/n*Z)[x], so ist P
auch irreduzibel ï¿œber Z[x].
Der Beweis geht wohl einfach so, daￜ man "P ist reduzibel" in Z[x]
annimmt, also eine Zerlegung P = P1*P1 mit Polynomen P1 und P2 aus Z[x].
Und daraus folgert man dann "P ist reduzibel" in (Z/n*Z)[x].
Soweit, so gut. Jetzt die Frage: Ist die Voraussetzung des
Reduktionskriteriums "n ist eine Primzahl" tatsï¿œchlich erforderlich?
Anders gefragt: Was genau geht im Beweis schief, wenn man diese
Voraussetzung weglￜￜt?
Noch anders gefragt: Gibt es ein Beispiel fï¿œr ein Polynom, welches
irreduzibel in (Z/n*Z)[x] ist, aber reduzibel in Z[x]? Dabei mￜￜte ja
definitiv n eine Nicht-Primzahl sein.
--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Michael Klemm
Aug 12, 2014, 11:44:47 AM8/12/14
to
Stephan Gerlach
>Q := rationale Zahlen
> Z := ganze Zahlen
> Z/n*Z := Restklassenring = {0, 1, 2, ..., n-1} mit n natï¿œrliche Zahl
> Z[x] := Polynomring ganzzahliger Polynome
> (Z/n*Z)[x] := Polynomring ï¿œber Z/n*Z
----
im
Nichtprimzahlfall genￜgend viel weiￜ.
Gruￜ
Michael
>Q := rationale Zahlen
> Z := ganze Zahlen
> Z/n*Z := Restklassenring = {0, 1, 2, ..., n-1} mit n natï¿œrliche Zahl
> Z[x] := Polynomring ganzzahliger Polynome
> (Z/n*Z)[x] := Polynomring ï¿œber Z/n*Z
> Reduktionskriterium (vereinfachte Form)
> ---------------------------------------
> Sei P = Summe_{k=0 bis m} a_k * x^k
ein Polynom aus Z[x] mit Leitkoeffizient a_m = 1.
Dann kann man P auffassen als Element von (Z/n*Z)[x], indem man einfach
die Koeffizienden a_k "modulo n" betrachtet.
> Die Aussage des Reduktionskriteriums lautet verschiedenen Quellen zufolge
> dann:
> Ist n eine Primzahl, und ist P irreduzibel ï¿œber (Z/n*Z)[x], so ist P auch
> irreduzibel ï¿œber Z[x].
>
> Der Beweis geht wohl einfach so, daￜ man "P ist reduzibel" in Z[x]
> annimmt, also eine Zerlegung P = P1*P1 mit Polynomen P1 und P2 aus Z[x].
> Und daraus folgert man dann "P ist reduzibel" in (Z/n*Z)[x].
>
>
> Soweit, so gut. Jetzt die Frage: Ist die Voraussetzung des
> Reduktionskriteriums "n ist eine Primzahl" tatsï¿œchlich erforderlich?
> Anders gefragt: Was genau geht im Beweis schief, wenn man diese
> Voraussetzung weglￜￜt?
Wenn ich mich richtig erinnere, ist n obdA eine Primzahl, weil man ï¿œber Z/nZ
> ---------------------------------------
> Sei P = Summe_{k=0 bis m} a_k * x^k
ein Polynom aus Z[x] mit Leitkoeffizient a_m = 1.
Dann kann man P auffassen als Element von (Z/n*Z)[x], indem man einfach
die Koeffizienden a_k "modulo n" betrachtet.
> Die Aussage des Reduktionskriteriums lautet verschiedenen Quellen zufolge
> dann:
> Ist n eine Primzahl, und ist P irreduzibel ï¿œber (Z/n*Z)[x], so ist P auch
> irreduzibel ï¿œber Z[x].
>
> Der Beweis geht wohl einfach so, daￜ man "P ist reduzibel" in Z[x]
> annimmt, also eine Zerlegung P = P1*P1 mit Polynomen P1 und P2 aus Z[x].
> Und daraus folgert man dann "P ist reduzibel" in (Z/n*Z)[x].
>
>
> Soweit, so gut. Jetzt die Frage: Ist die Voraussetzung des
> Reduktionskriteriums "n ist eine Primzahl" tatsï¿œchlich erforderlich?
> Anders gefragt: Was genau geht im Beweis schief, wenn man diese
> Voraussetzung weglￜￜt?
im
Nichtprimzahlfall genￜgend viel weiￜ.
Gruￜ
Michael
Detlef Müller
Aug 12, 2014, 1:22:26 PM8/12/14
to
On 12.08.2014 17:15, Stephan Gerlach wrote:
> Q := rationale Zahlen
> Z := ganze Zahlen
> Z/n*Z := Restklassenring = {0, 1, 2, ..., n-1} mit n natï¿œrliche Zahl
> Z[x] := Polynomring ganzzahliger Polynome
> (Z/n*Z)[x] := Polynomring ï¿œber Z/n*Z
>
>
> Reduktionskriterium (vereinfachte Form)
> ---------------------------------------
> Sei P = Summe_{k=0 bis m} a_k * x^k
> ein Polynom aus Z[x] mit Leitkoeffizient a_m = 1.
> Dann kann man P auffassen als Element von (Z/n*Z)[x], indem man einfach
> die Koeffizienden a_k "modulo n" betrachtet.
>
> Die Aussage des Reduktionskriteriums lautet verschiedenen Quellen
> zufolge dann:
> Ist n eine Primzahl, und ist P irreduzibel ï¿œber (Z/n*Z)[x], so ist P
> auch irreduzibel ï¿œber Z[x].
>
> Der Beweis geht wohl einfach so, daￜ man "P ist reduzibel" in Z[x]
> annimmt, also eine Zerlegung P = P1*P1 mit Polynomen P1 und P2 aus Z[x].
> Und daraus folgert man dann "P ist reduzibel" in (Z/n*Z)[x].
>
>
> Soweit, so gut. Jetzt die Frage: Ist die Voraussetzung des
> Reduktionskriteriums "n ist eine Primzahl" tatsï¿œchlich erforderlich?
> Anders gefragt: Was genau geht im Beweis schief, wenn man diese
> Voraussetzung weglￜￜt?
Irreduzible Elemente sind (zumindest im Fischer/Sacher) fï¿œr
> Q := rationale Zahlen
> Z := ganze Zahlen
> Z/n*Z := Restklassenring = {0, 1, 2, ..., n-1} mit n natï¿œrliche Zahl
> Z[x] := Polynomring ganzzahliger Polynome
> (Z/n*Z)[x] := Polynomring ï¿œber Z/n*Z
>
>
> Reduktionskriterium (vereinfachte Form)
> ---------------------------------------
> Sei P = Summe_{k=0 bis m} a_k * x^k
> ein Polynom aus Z[x] mit Leitkoeffizient a_m = 1.
> Dann kann man P auffassen als Element von (Z/n*Z)[x], indem man einfach
> die Koeffizienden a_k "modulo n" betrachtet.
>
> Die Aussage des Reduktionskriteriums lautet verschiedenen Quellen
> zufolge dann:
> Ist n eine Primzahl, und ist P irreduzibel ï¿œber (Z/n*Z)[x], so ist P
> auch irreduzibel ï¿œber Z[x].
>
> Der Beweis geht wohl einfach so, daￜ man "P ist reduzibel" in Z[x]
> annimmt, also eine Zerlegung P = P1*P1 mit Polynomen P1 und P2 aus Z[x].
> Und daraus folgert man dann "P ist reduzibel" in (Z/n*Z)[x].
>
>
> Soweit, so gut. Jetzt die Frage: Ist die Voraussetzung des
> Reduktionskriteriums "n ist eine Primzahl" tatsï¿œchlich erforderlich?
> Anders gefragt: Was genau geht im Beweis schief, wenn man diese
> Voraussetzung weglￜￜt?
Integritï¿œtsringe definiert.
Die Ringe (Z/n*Z)[x] sind nur fï¿œr Primzahlen n Integritï¿œtsringe.
Setzen wir uns darï¿œber hinweg und definieren einfach
r irreduzibel :<=> r ist nicht das Produkt zweier nicht-Einheiten.
> Noch anders gefragt: Gibt es ein Beispiel fï¿œr ein Polynom, welches
> irreduzibel in (Z/n*Z)[x] ist, aber reduzibel in Z[x]? Dabei mￜￜte ja
> definitiv n eine Nicht-Primzahl sein.
>
in Z[x].
Das Bild von p in (Z/n*Z)[x] wï¿œre das Bild unter der
Quotienten-Abbildung Phi(p) = 1 das Einselement in (Z/4*Z)[x],
welches per Definition nicht als Produkt von nicht-Einheiten darstellbar
ist (dann wï¿œren sie ja Einheiten).
Gruￜ,
Detlef
--
Dr. Detlef Mï¿œller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Stephan Gerlach
Aug 12, 2014, 2:19:14 PM8/12/14
to
Detlef Mï¿œller schrieb:
Voraussetzung "p teilt nicht a_m" gefordert.
In diesem Fall taugt das Gegenbeispiel (s.u.) nicht als solches.
>> Der Beweis geht wohl einfach so, daￜ man "P ist reduzibel" in Z[x]
>> annimmt, also eine Zerlegung P = P1*P1 mit Polynomen P1 und P2 aus Z[x].
>> Und daraus folgert man dann "P ist reduzibel" in (Z/n*Z)[x].
>>
>>
>> Soweit, so gut. Jetzt die Frage: Ist die Voraussetzung des
>> Reduktionskriteriums "n ist eine Primzahl" tatsï¿œchlich erforderlich?
>> Anders gefragt: Was genau geht im Beweis schief, wenn man diese
>> Voraussetzung weglￜￜt?
>
> Irreduzible Elemente sind (zumindest im Fischer/Sacher) fï¿œr
> Integritï¿œtsringe definiert.
Ah... das war/ist also die Falle :-) .
> Die Ringe (Z/n*Z)[x] sind nur fï¿œr Primzahlen n Integritï¿œtsringe.
Also ist - bï¿œsartig formuliert - die Voraussetzung "n ist Primzahl"
mï¿œglicherweise nur deswegen vorhanden, weil man irreduzible Polynome fï¿œr
den Fall, daￜ der Polynomring nur ein "normaler" Ring ist, "vergessen"
hat zu definieren?!
> Setzen wir uns darï¿œber hinweg und definieren einfach
>
> r irreduzibel :<=> r ist nicht das Produkt zweier nicht-Einheiten.
Ich wￜￜte jetzt auf die Schnelle nicht, warum das fￜr einen "normalen"
Polynomring (der nicht unbedingt Integritï¿œtsring ist) unsinnig wï¿œre.
Evtl. ist aber hier noch ein Haken an der Sache.
>> Noch anders gefragt: Gibt es ein Beispiel fï¿œr ein Polynom, welches
>> irreduzibel in (Z/n*Z)[x] ist, aber reduzibel in Z[x]? Dabei mￜￜte ja
>> definitiv n eine Nicht-Primzahl sein.
>>
>
> Nehmen wir n=4, dann ist p = 4 x^2 - 4 x +1 =(2x+1)(-2x+1) reduzibel
> in Z[x].
Soll das auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens evtl.
(-2x+1)(-2x+1)
heiï¿œen?
Wie dem auch sei:
Der Leitkoeffizient a_m in Q bzw. Z ist in diesem Beispiel nicht 1; ich
wollte aber gerade voraussetzen, daￜ der 1 ist.
> Das Bild von p in (Z/n*Z)[x] wï¿œre das Bild unter der
> Quotienten-Abbildung Phi(p) = 1 das Einselement in (Z/4*Z)[x],
> welches per Definition nicht als Produkt von nicht-Einheiten darstellbar
> ist (dann wï¿œren sie ja Einheiten).
Das ist klar - p ist irreduzibel in (Z/4*Z)[x].
Gibt es aber auch ein Beispiel mit Leitkoeffizient a_m = 1 (in diesem
Fall 1 in Z *und* Z/4*Z)? Oder auch allgemeiner ein Beispiel, wo
zumindest n nicht Teiler von a_m ist?
Mir fiel bisher keines ein.
Stattdessen habe ich den Verdacht, daￜ der Beweis, der fￜr den
Primzahl-Fall funktioniert, auch im Nicht-Primzahl-Fall noch funktioniert.
> On 12.08.2014 17:15, Stephan Gerlach wrote:
>> Q := rationale Zahlen
>> Z := ganze Zahlen
>> Z/n*Z := Restklassenring = {0, 1, 2, ..., n-1} mit n natï¿œrliche Zahl
>> Z[x] := Polynomring ganzzahliger Polynome
>> (Z/n*Z)[x] := Polynomring ï¿œber Z/n*Z
>>
>>
>> Reduktionskriterium (vereinfachte Form)
>> ---------------------------------------
>> Sei P = Summe_{k=0 bis m} a_k * x^k
>> ein Polynom aus Z[x] mit Leitkoeffizient a_m = 1.
>> Dann kann man P auffassen als Element von (Z/n*Z)[x], indem man einfach
>> die Koeffizienden a_k "modulo n" betrachtet.
>>
>> Die Aussage des Reduktionskriteriums lautet verschiedenen Quellen
>> zufolge dann:
>> Ist n eine Primzahl, und ist P irreduzibel ï¿œber (Z/n*Z)[x], so ist P
>> auch irreduzibel ï¿œber Z[x].
Zusatz: Lￜￜt man die Voraussetzung a_m = 1 weg, so wird als zusￜtzliche
>> Q := rationale Zahlen
>> Z := ganze Zahlen
>> Z/n*Z := Restklassenring = {0, 1, 2, ..., n-1} mit n natï¿œrliche Zahl
>> Z[x] := Polynomring ganzzahliger Polynome
>> (Z/n*Z)[x] := Polynomring ï¿œber Z/n*Z
>>
>>
>> Reduktionskriterium (vereinfachte Form)
>> ---------------------------------------
>> Sei P = Summe_{k=0 bis m} a_k * x^k
>> ein Polynom aus Z[x] mit Leitkoeffizient a_m = 1.
>> Dann kann man P auffassen als Element von (Z/n*Z)[x], indem man einfach
>> die Koeffizienden a_k "modulo n" betrachtet.
>>
>> Die Aussage des Reduktionskriteriums lautet verschiedenen Quellen
>> zufolge dann:
>> Ist n eine Primzahl, und ist P irreduzibel ï¿œber (Z/n*Z)[x], so ist P
>> auch irreduzibel ï¿œber Z[x].
Voraussetzung "p teilt nicht a_m" gefordert.
In diesem Fall taugt das Gegenbeispiel (s.u.) nicht als solches.
>> Der Beweis geht wohl einfach so, daￜ man "P ist reduzibel" in Z[x]
>> annimmt, also eine Zerlegung P = P1*P1 mit Polynomen P1 und P2 aus Z[x].
>> Und daraus folgert man dann "P ist reduzibel" in (Z/n*Z)[x].
>>
>>
>> Soweit, so gut. Jetzt die Frage: Ist die Voraussetzung des
>> Reduktionskriteriums "n ist eine Primzahl" tatsï¿œchlich erforderlich?
>> Anders gefragt: Was genau geht im Beweis schief, wenn man diese
>> Voraussetzung weglￜￜt?
>
> Irreduzible Elemente sind (zumindest im Fischer/Sacher) fï¿œr
> Integritï¿œtsringe definiert.
> Die Ringe (Z/n*Z)[x] sind nur fï¿œr Primzahlen n Integritï¿œtsringe.
mï¿œglicherweise nur deswegen vorhanden, weil man irreduzible Polynome fï¿œr
den Fall, daￜ der Polynomring nur ein "normaler" Ring ist, "vergessen"
hat zu definieren?!
> Setzen wir uns darï¿œber hinweg und definieren einfach
>
> r irreduzibel :<=> r ist nicht das Produkt zweier nicht-Einheiten.
Polynomring (der nicht unbedingt Integritï¿œtsring ist) unsinnig wï¿œre.
Evtl. ist aber hier noch ein Haken an der Sache.
>> Noch anders gefragt: Gibt es ein Beispiel fï¿œr ein Polynom, welches
>> irreduzibel in (Z/n*Z)[x] ist, aber reduzibel in Z[x]? Dabei mￜￜte ja
>> definitiv n eine Nicht-Primzahl sein.
>>
>
> Nehmen wir n=4, dann ist p = 4 x^2 - 4 x +1 =(2x+1)(-2x+1) reduzibel
> in Z[x].
(-2x+1)(-2x+1)
heiï¿œen?
Wie dem auch sei:
Der Leitkoeffizient a_m in Q bzw. Z ist in diesem Beispiel nicht 1; ich
wollte aber gerade voraussetzen, daￜ der 1 ist.
> Das Bild von p in (Z/n*Z)[x] wï¿œre das Bild unter der
> Quotienten-Abbildung Phi(p) = 1 das Einselement in (Z/4*Z)[x],
> welches per Definition nicht als Produkt von nicht-Einheiten darstellbar
> ist (dann wï¿œren sie ja Einheiten).
Gibt es aber auch ein Beispiel mit Leitkoeffizient a_m = 1 (in diesem
Fall 1 in Z *und* Z/4*Z)? Oder auch allgemeiner ein Beispiel, wo
zumindest n nicht Teiler von a_m ist?
Mir fiel bisher keines ein.
Stattdessen habe ich den Verdacht, daￜ der Beweis, der fￜr den
Primzahl-Fall funktioniert, auch im Nicht-Primzahl-Fall noch funktioniert.
Ronald Benedik
Aug 13, 2014, 7:35:10 AM8/13/14
to
Sei I ein Ring:
Ein Polynomring P[X] ï¿œber I ist genau dann ein Integritï¿œtsbereich,
wenn I ein Integritï¿œtsberiech ist.
Ein Polynomring P[X] ï¿œber I ist genau dann ein Integritï¿œtsbereich,
wenn I ein Integritï¿œtsberiech ist.
Detlef Müller
Aug 13, 2014, 8:09:50 AM8/13/14
to
On 12.08.2014 20:19, Stephan Gerlach wrote:
> Detlef Mï¿œller schrieb:
>> On 12.08.2014 17:15, Stephan Gerlach wrote:
>>> Q := rationale Zahlen
>>> Z := ganze Zahlen
>>> Z/n*Z := Restklassenring = {0, 1, 2, ..., n-1} mit n natï¿œrliche Zahl
>>> Z[x] := Polynomring ganzzahliger Polynome
>>> (Z/n*Z)[x] := Polynomring ï¿œber Z/n*Z
>>>
>>>
>>> Reduktionskriterium (vereinfachte Form)
>>> ---------------------------------------
>>> Sei P = Summe_{k=0 bis m} a_k * x^k
>>> ein Polynom aus Z[x] mit Leitkoeffizient a_m = 1.
>>> Dann kann man P auffassen als Element von (Z/n*Z)[x], indem man einfach
>>> die Koeffizienden a_k "modulo n" betrachtet.
>>>
>>> Die Aussage des Reduktionskriteriums lautet verschiedenen Quellen
>>> zufolge dann:
>>> Ist n eine Primzahl, und ist P irreduzibel ï¿œber (Z/n*Z)[x], so ist P
>>> auch irreduzibel ï¿œber Z[x].
>
> Zusatz: Lￜￜt man die Voraussetzung a_m = 1 weg, so wird als zusￜtzliche
> Voraussetzung "p teilt nicht a_m" gefordert.
>
> In diesem Fall taugt das Gegenbeispiel (s.u.) nicht als solches.
>
Stimmt, der Leitkoeffizient kommt nicht hin.
> Detlef Mï¿œller schrieb:
>> On 12.08.2014 17:15, Stephan Gerlach wrote:
>>> Q := rationale Zahlen
>>> Z := ganze Zahlen
>>> Z/n*Z := Restklassenring = {0, 1, 2, ..., n-1} mit n natï¿œrliche Zahl
>>> Z[x] := Polynomring ganzzahliger Polynome
>>> (Z/n*Z)[x] := Polynomring ï¿œber Z/n*Z
>>>
>>>
>>> Reduktionskriterium (vereinfachte Form)
>>> ---------------------------------------
>>> Sei P = Summe_{k=0 bis m} a_k * x^k
>>> ein Polynom aus Z[x] mit Leitkoeffizient a_m = 1.
>>> Dann kann man P auffassen als Element von (Z/n*Z)[x], indem man einfach
>>> die Koeffizienden a_k "modulo n" betrachtet.
>>>
>>> Die Aussage des Reduktionskriteriums lautet verschiedenen Quellen
>>> zufolge dann:
>>> Ist n eine Primzahl, und ist P irreduzibel ï¿œber (Z/n*Z)[x], so ist P
>>> auch irreduzibel ï¿œber Z[x].
>
> Zusatz: Lￜￜt man die Voraussetzung a_m = 1 weg, so wird als zusￜtzliche
> Voraussetzung "p teilt nicht a_m" gefordert.
>
> In diesem Fall taugt das Gegenbeispiel (s.u.) nicht als solches.
>
>>> ...
>>
>> Nehmen wir n=4, dann ist p = 4 x^2 - 4 x +1 =(2x+1)(-2x+1) reduzibel
>> in Z[x].
>
> Soll das auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens evtl.
> (-2x+1)(-2x+1)
> heiï¿œen?
>
In der Tat ... natï¿œrlich klappt es viel besser mit der 3. Binomischen:
>> Nehmen wir n=4, dann ist p = 4 x^2 - 4 x +1 =(2x+1)(-2x+1) reduzibel
>> in Z[x].
>
> Soll das auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens evtl.
> (-2x+1)(-2x+1)
> heiï¿œen?
>
4x^2 - 1 = (2x-1)*(2x+1) u.s.w. Das repariert das Beispiel
natï¿œrlich auch nicht ...
> Wie dem auch sei:
> Der Leitkoeffizient a_m in Q bzw. Z ist in diesem Beispiel nicht 1; ich
> wollte aber gerade voraussetzen, daￜ der 1 ist.
> Gibt es aber auch ein Beispiel mit Leitkoeffizient a_m = 1 (in diesem
> Fall 1 in Z *und* Z/4*Z)? Oder auch allgemeiner ein Beispiel, wo
> zumindest n nicht Teiler von a_m ist?
> Mir fiel bisher keines ein.
>
> Stattdessen habe ich den Verdacht, daￜ der Beweis, der fￜr den
> Primzahl-Fall funktioniert, auch im Nicht-Primzahl-Fall noch funktioniert.
>
Da hast Du wohl recht:
> Fall 1 in Z *und* Z/4*Z)? Oder auch allgemeiner ein Beispiel, wo
> zumindest n nicht Teiler von a_m ist?
> Mir fiel bisher keines ein.
>
> Stattdessen habe ich den Verdacht, daￜ der Beweis, der fￜr den
> Primzahl-Fall funktioniert, auch im Nicht-Primzahl-Fall noch funktioniert.
>
Da die Quotientenabbildung Phi: Z[x] --> (Z/k*Z)[x], p->p'
ein Homomorphismus ist, gilt
p = p_1 * p_2 => p' = p_1' * p_2'.
Mit deg(p_1),deg(p_2)>0 und Leitkoeffizienten L(p_1)=L(p_2)=1.
Das kann man erreichen weil L(p_1)*L(p_2)=L(p)=1 ist (p ist normiert),
also L(p_1) und L(p_2) beide 1 oder beide -1 (die beiden einzigen
Einheiten in Z) sein mï¿œssen.
Falls beide -1 sind geht man zu p=(-p_1)*(-p_2) ï¿œber.
p' kann also nur irreduzibel sein, wenn p_1' oder p_2' eine
Einheit in (Z/(k*Z))[x] ist (ansonsten wï¿œren p_1 und p_2 "Zeugen"
der Reduzibilitï¿œt von p').
Damit ein Polynom
x^n + a_{n-1} x^(n-1) + ...
eine Einheit ist, mï¿œsste in (Z/(k*Z))[x] ein Polynom b existieren mit
1 = (x^n + a_{n-1} x^(n-1) + ...) * (b_m x^m+ b_(m-1)x^(m-1)+...) (*)
wobei b_m=L(b) != 0 sei.
Der Leitterm dieses Produktes ist aber b_m x^(m+n),
wegen b_m!=0 kann b_m x^(m+n) nicht 0 sein und (*) ist fï¿œr
kein Polynom aus (Z/(k*Z))[x] erfï¿œllbar.
Durch die Normierung von p_1' und p_2' klappt das wirklich fï¿œr
beliebige k>1. Da die Leitkoeffizienten nun garantiert keine
Nullteiler sind, kï¿œnnen sie nicht ï¿œber eine Polynom-Multiplikation
eliminiert werde.
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