Geometrie: Konstruktion eines speziellen Inkreises

[Brigitta Jennen]

Hallo,
trotz heftigen Bemühens schaffen wir es nicht, folgende einfache Aufgabe
*konstruktiv* zu lösen:

Gegeben ist ein Viertel-Kreis mit Radius R.
Diesem Viertel-Kreis ist ein Inkreis mit Radius r so einzubeschreiben, dass er
sowohl die beiden Begrenzungsradien als auch die Kreislinie berührt.

Rechnerisch ist das simpel, Pythagoras liefert r = R/(1+sqrt(2))
Aber mit Zirkel und Lineal scheint's nicht so ganz einfach.

Klar ist, dass der Mittelpunkt dieses Inkreises auf der 45-Grad-Diagonalen
wischen den beiden Begrenzungsradien liegt.
Aber wie kriegt man den Mittelpunkt des Inkreises?

Ich hab gedacht, man könnte über eine zentrische Streckung weiterkommen,
aber irgendwas übersehe ich.

Könnte mir jemand bei der Konstruktion auf die Sprünge helfen?

Danke und Grüße
Brigitta

[Stefan Schmitz]

Am 15.11.2022 um 11:04 schrieb Brigitta Jennen:
> Hallo,
> trotz heftigen Bemühens schaffen wir es nicht, folgende einfache Aufgabe
> *konstruktiv* zu lösen:
>
> Gegeben ist ein Viertel-Kreis mit Radius R.
> Diesem Viertel-Kreis ist ein Inkreis mit Radius r so einzubeschreiben, dass er
> sowohl die beiden Begrenzungsradien als auch die Kreislinie berührt.
>
> Rechnerisch ist das simpel, Pythagoras liefert r = R/(1+sqrt(2))

Wie kommst du darauf?

> Aber mit Zirkel und Lineal scheint's nicht so ganz einfach.
>
> Klar ist, dass der Mittelpunkt dieses Inkreises auf der 45-Grad-Diagonalen
> wischen den beiden Begrenzungsradien liegt.
> Aber wie kriegt man den Mittelpunkt des Inkreises?

Ich habe den Verdacht, dass deine Rechnung bereits die Lage des
Mittelpunkts voraussetzt.

Wenn du dir sicher bist, dass der Mittelpunkt auf der Diagonalen liegt,
berührt der Inkreis den Kreisbogen genau in der Mitte. Bilde dort die
Tangente und verlängere die beiden Radien, bis sie sich mit ihr
schneiden. Der Inkreis des Dreiecks ist dann der gesuchte.

[Brigitta Jennen]

Stefan Schmitz schrieb am Dienstag, 15. November 2022 um 11:29:19 UTC+1:

Hallo Stefan,
dein Wink mit dem Außendreieck - das war's!
Der Inkreismittelpunkt liegt halt einfach auf auf dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Ich hab das nicht gleich gesehen.
Schönes Beispiel für "think out of the box".
Ich bin im Denken immer innerhalb des Viertel-Kreises "gekreist" :-).
Vielen Dank für die Hilfe.

> Ich habe den Verdacht, dass deine Rechnung bereits die Lage des
> Mittelpunkts voraussetzt.

Ja.
Ich hab mir eine Skizze gemacht und gesehen, dass der Mittelpunkt
des Inkreises auf dieser Diagonale liegen muss. Und den Radius r
erhält man aus dem Quadrat, das durch die Berührradien und die
Begrenzungsradien gebildet wird.

[Andreas Leitgeb]

Brigitta Jennen <ladya...@gmail.com> wrote:
> Ja.
> Ich hab mir eine Skizze gemacht und gesehen, dass der Mittelpunkt
> des Inkreises auf dieser Diagonale liegen muss. Und den Radius r
> erhält man aus dem Quadrat, das durch die Berührradien und die
> Begrenzungsradien gebildet wird.

Was sind hier "Begrenzungsradien" ?

Wenn man dem Viertelkreis ein Quadrat "einschreibt, dessen
Diagonale somit gleich dem Radius ist, dann liegt der Mittel-
punkt des gesuchten Kreises dort, wo der Abstand zum Viertel-
kreismittelpunkt genau sqrt(2) mal so lang ist, wie der
Abstand zur Viertelkreislinie.

Die gesamte Diagonale gehört also im Verhältnis sqrt(2) : 1
geteilt, was man irgendwie mit dem Strahlensatz hinbekommen
müsste. Nur so als weitere Alternative zu Stefans elegantem
Vorschlag:

[Brigitta Jennen]

Andreas Leitgeb schrieb am Donnerstag, 17. November 2022 um 00:01:49 UTC+1:

> Was sind hier "Begrenzungsradien" ?

Wenn man als Viertelkreis den linken oberen Quadranten eines Vollkreises
nimmt, dann wird diese Figur rechts vom senkrecht verlaufenden Radius des
Vollkreises und unten vom waagerecht verlaufenden Radius begrenzt.
Ich hab diese beiden Radien als "Begrenzungsradien" bezeichnet, weil sie
die Gesamtfigur "begrenzen", zusammen mit der Kreislinie.
Die Radien, die vom Mittelpunkt des Inkreises senkrecht auf diese
Begrenzungsradien zulaufen, hab ich als "Berührradien" bezeichnet, weil
sie in den Berührpunkten diese "Begrenzungsradien" schneiden.

>
> Wenn man dem Viertelkreis ein Quadrat "einschreibt, dessen
> Diagonale somit gleich dem Radius ist, dann liegt der Mittel-
> punkt des gesuchten Kreises dort, wo der Abstand zum Viertel-
> kreismittelpunkt genau sqrt(2) mal so lang ist, wie der
> Abstand zur Viertelkreislinie.
>
> Die gesamte Diagonale gehört also im Verhältnis sqrt(2) : 1
> geteilt, was man irgendwie mit dem Strahlensatz hinbekommen
> müsste.

Wenn ich jetzt puristisch bin, entgegne ich, dass Du vorher rechnest und
das Rechenergebnis dann konstruierst.
Laut Aufgabenstellung, soll die Konstruktion ausschließlich mit Zirkel und Lineal
erfolgen, ohne Rechnung.
Grüße B.

p.s.:
Erst zu rechnen, und dann zu konstruieren, ist natürlich verlockend.
Doch wie löst man die nachfolgende, wie ich finde verteufelte Aufgabe, wenn Rechnen
und Zirkel verboten sind:

"Halbieren Sie eine gegebene Strecke zwischen den Punkten A und B, ohne Zirkel, ohne
Winkelmesser und ohne etwas abzumessen!"
Als Hilfsmittel ist nur ein Lineal mit geraden, parallelen Kanten erlaubt.

Für die, die's probieren wollen, ein kleiner Hinweis:
Ein Trapez ist hilfreich!
Ich hab tagelang über dieser simplen Aufgabe gebrütet.
Und wenn meine Quellen nicht falsch sind, konnten die Babylonier das.

[Ralf Bader]

On 11/17/2022 01:36 PM, Brigitta Jennen wrote:
> Andreas Leitgeb schrieb am Donnerstag, 17. November 2022 um 00:01:49 UTC+1:
>
>> Was sind hier "Begrenzungsradien" ?
>
> Wenn man als Viertelkreis den linken oberen Quadranten eines Vollkreises
> nimmt, dann wird diese Figur rechts vom senkrecht verlaufenden Radius des
> Vollkreises und unten vom waagerecht verlaufenden Radius begrenzt.
> Ich hab diese beiden Radien als "Begrenzungsradien" bezeichnet, weil sie
> die Gesamtfigur "begrenzen", zusammen mit der Kreislinie.
> Die Radien, die vom Mittelpunkt des Inkreises senkrecht auf diese
> Begrenzungsradien zulaufen, hab ich als "Berührradien" bezeichnet, weil
> sie in den Berührpunkten diese "Begrenzungsradien" schneiden.
>
>>
>> Wenn man dem Viertelkreis ein Quadrat "einschreibt, dessen
>> Diagonale somit gleich dem Radius ist, dann liegt der Mittel-
>> punkt des gesuchten Kreises dort, wo der Abstand zum Viertel-
>> kreismittelpunkt genau sqrt(2) mal so lang ist, wie der
>> Abstand zur Viertelkreislinie.
>>
>> Die gesamte Diagonale gehört also im Verhältnis sqrt(2) : 1
>> geteilt, was man irgendwie mit dem Strahlensatz hinbekommen
>> müsste.
>
> Wenn ich jetzt puristisch bin, entgegne ich, dass Du vorher rechnest und
> das Rechenergebnis dann konstruierst.
> Laut Aufgabenstellung, soll die Konstruktion ausschließlich mit Zirkel und Lineal
> erfolgen, ohne Rechnung.

Weshalb sind dann Überlegungen nichtrechnerischer Art mit diesem
Purismus vereinbar?
Vielleicht interessiert Dich
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/52/August_Adler._Theorie_der_geometrischen_Konstruktionen%2C_Leipzig_1906.pdf
gefunden via
https://core.ac.uk/download/pdf/82348485.pdf
Dort wird ab Seite 7 gerechnet.

> Grüße B.
>
> p.s.:
> Erst zu rechnen, und dann zu konstruieren, ist natürlich verlockend.
> Doch wie löst man die nachfolgende, wie ich finde verteufelte Aufgabe, wenn Rechnen
> und Zirkel verboten sind:
>
> "Halbieren Sie eine gegebene Strecke zwischen den Punkten A und B, ohne Zirkel, ohne
> Winkelmesser und ohne etwas abzumessen!"
> Als Hilfsmittel ist nur ein Lineal mit geraden, parallelen Kanten erlaubt.
>
> Für die, die's probieren wollen, ein kleiner Hinweis:
> Ein Trapez ist hilfreich!
> Ich hab tagelang über dieser simplen Aufgabe gebrütet.
> Und wenn meine Quellen nicht falsch sind, konnten die Babylonier das.
>

Man legt das Lineal so an, daß A auf der einen, B auf der anderen Kante
liegt und zeichnet die beiden parallelen Geraden ein. Dann legt man das
Lineal so an, daß A auf der anderen, B auf der einen Kante liegt, und
zeichnet wieder die beiden parallelen Geraden ein. Die Verbindungslinie
zweier der Schnittpunkte der eingezeichneten Geraden schneidet die
Verbindungslinie von A und B mittig.

[Andreas Leitgeb]

Brigitta Jennen <ladya...@gmail.com> wrote:
> Andreas Leitgeb schrieb am Donnerstag, 17. November 2022 um 00:01:49 UTC+1:
>> Wenn man dem Viertelkreis ein Quadrat "einschreibt, dessen
>> Diagonale somit gleich dem Radius ist, dann liegt der Mittel-
>> punkt des gesuchten Kreises dort, wo der Abstand zum Viertel-
>> kreismittelpunkt genau sqrt(2) mal so lang ist, wie der
>> Abstand zur Viertelkreislinie.
>> Die gesamte Diagonale gehört also im Verhältnis sqrt(2) : 1
>> geteilt, was man irgendwie mit dem Strahlensatz hinbekommen
>> müsste.

> Wenn ich jetzt puristisch bin, entgegne ich, dass Du vorher rechnest und
> das Rechenergebnis dann konstruierst.

I beg to differ. Ich habe nicht "berechnet" wie lang der gesuchte
radius ist, sondern nur durch Analyse der Situation erkannt, dass
er den gegebenen (Viertelkreis-)Radius mit seinem eigenen sqrt(2)-
fachen aufteilt.

> p.s.:
> Erst zu rechnen, und dann zu konstruieren, ist natürlich verlockend.
> Doch wie löst man die nachfolgende, wie ich finde verteufelte Aufgabe, wenn Rechnen
> und Zirkel verboten sind:

> "Halbieren Sie eine gegebene Strecke zwischen den Punkten A und B, ohne Zirkel, ohne
> Winkelmesser und ohne etwas abzumessen!"
> Als Hilfsmittel ist nur ein Lineal mit geraden, parallelen Kanten erlaubt.

Ui, bin leider kein Archimedes, dass ich da sofort wüsste, was ohne
Zirkel noch so an komplexen Konstruktionen möglich ist...

Kann man ohne Zirkel Strecken entlang einer Linie verdoppeln?

> Für die, die's probieren wollen, ein kleiner Hinweis:
> Ein Trapez ist hilfreich!

Kann man ohne Zirkel Parallele Strecken zeichnen, oder darf man
die gegenüberliegenden Kanten eines als trapez-förmig angenommenen
Lineals mit fixem Abstand nutzen?

> Ich hab tagelang über dieser simplen Aufgabe gebrütet.
> Und wenn meine Quellen nicht falsch sind, konnten die Babylonier das.

Der Teufel steckt bei solchen Aufgaben doch immer im Detail, was für
Konstruktionen ein windiger Anwalt als im Sinne der Angabe rechtmäßig
durchsetzen könnte ;-)

[Andreas Leitgeb]

Ralf Bader <ba...@nefkom.net> wrote:
> Man legt das Lineal so an, daß A auf der einen, B auf der anderen Kante
> liegt und zeichnet die beiden parallelen Geraden ein. Dann legt man das
> Lineal so an, daß A auf der anderen, B auf der einen Kante liegt, und
> zeichnet wieder die beiden parallelen Geraden ein. Die Verbindungslinie
> zweier der Schnittpunkte der eingezeichneten Geraden schneidet die
> Verbindungslinie von A und B mittig.

Und was, wenn das Lineal breiter ist als die zwei Punkte
auseinanderliegen? ;-)

[Stefan Schmitz]

Am 18.11.2022 um 09:32 schrieb Andreas Leitgeb:
> Brigitta Jennen <ladya...@gmail.com> wrote:
>> Andreas Leitgeb schrieb am Donnerstag, 17. November 2022 um 00:01:49 UTC+1:
>>> Wenn man dem Viertelkreis ein Quadrat "einschreibt, dessen
>>> Diagonale somit gleich dem Radius ist, dann liegt der Mittel-
>>> punkt des gesuchten Kreises dort, wo der Abstand zum Viertel-
>>> kreismittelpunkt genau sqrt(2) mal so lang ist, wie der
>>> Abstand zur Viertelkreislinie.
>>> Die gesamte Diagonale gehört also im Verhältnis sqrt(2) : 1
>>> geteilt, was man irgendwie mit dem Strahlensatz hinbekommen
>>> müsste.
>
>> Wenn ich jetzt puristisch bin, entgegne ich, dass Du vorher rechnest und
>> das Rechenergebnis dann konstruierst.
>
> I beg to differ. Ich habe nicht "berechnet" wie lang der gesuchte
> radius ist, sondern nur durch Analyse der Situation erkannt, dass
> er den gegebenen (Viertelkreis-)Radius mit seinem eigenen sqrt(2)-
> fachen aufteilt.

Wie hast du das denn "erkannt"? Mir ist nicht klar, wie du darauf kommst.
Und allein schon die Wurzel ist das Ergebnis einer Rechnung.

[Paul Paulsen]

Hallo,
so mal aus dem Bauchgefühl, ohne zu rechnen:

geg.:

- viertel Kreis, rechter Winkel.
- Zirkel, Lineal
- Bleistift

Lsg.:

1. Radius für Zirkel einstellen:
- untere Kante (links) mit Spitze-Ende einstellen,
- Stift-Ende (obere Kante - links) einstellen

dann hat man den Radius.

oder:
- untere Kante (rechts) mit Spitze-Ende einstellen,
- Stift-Ende (untere Kante - links) einstellen

dann hat man auch den Radius.

- den Radius-Anfang (0-Punkt) bezeichne ich als Punkt C.
- den Radius-Ende (R-Punkt) bezeichne ich als Punkt A und B.

2. Spitze in A einstechen, und einen kleinen Kreisbogen (außerhalb
des viertel Kreises) zeichnen.

3. wie 2. - Spitze in B einstechen, kleinen Kreisbogen einzeichen

Als Resultat sollte nun ein Punkt enstehen, der sich außerhalb
des Kreises befindet.

Ich nenne diesen Punkt D.
__
4. Linie CD, mit den Lineal einzeichnen

5. Zirkel-Spitze in A einstechen, und kleinen Kreisbogen auf der
linken Seite des viertel Kreises einzeichnen.
6. Zirkel-Spitze in C einstechen, und kleinen kreisbogen auf der
linken Seite des viertel Kreises einzeichnen.

Ich bezeichne diesen Punkt E.
__
7. Line von BE einzeichen __ __
Es sollte nun ein Kreuzungspunkt entstehen, von BE und CD

ich bezeichne diesen Punkt K.
__
8. Zirkel einstellen für die Spanne der Linie CK .

somit dürfte man den Radius für den Innen-Kreis haben.

9. Zirkel in K einstechen, und mit der Stift-Spitze den Inn-Kreis
zeichnen.


Schematisch:

E D
\ /
\ /
A\ _ /
|\ -/_ _
| \/ - |_ Punkt K
| /\ - _|
|/__\-
C B

In Textform kann ich es im Moment nicht genau darstellen.
Ich hoffe, ihr steinigt mich nicht.

[Ralf Bader]

Dann hat man eine Gelegenheit, den Strahlensatz anzuwenden.

[Andreas Leitgeb]

Ok, ich geb zu, die Wurzel hätt ich gar nicht erwähnen sollen.
Mit einer Skizze der Angabe (Viertelkreis z.B. im 1.Quadranten)
die Diagonale mit 45° durch den Ursprung, und man sieht, dass
ein beliebiger Kreis mit Radius r' und Mittelpunkt auf der
Diagonalen, der das Koordinatenkreuz berührt, den Mittelpunkt
"um einen Faktor" mal r' vom Ursprung entfernt hat.
Gleichzeitig muss r' der Abstand zum Viertelkreis sein.

Diesen Faktor kann man konstruieren, als seite c eines gleich-
schenkelig rechtwinkeligen dreiecks...

Hab grad keine zeit es weiter auszuschmücken.

[Stefan Schmitz]

Wie hilft der bei der Zeichnung?

Man könnte die Verbindungslinie von A und B auf beiden Seiten um die
Linealbreite verlängern. Der Mittelpunkt der neuen Linie ist der gleiche
wie von der alten.

[Ralf Bader]

Man wählt einen Punkt C außerhalb der Geraden AB und zeichnet, auf der C
gegenüberliegenden Seite der Geraden AB, Parallelen zu dieser im Abstand
der Linealbreite. Es läßt sich eine solche Parallele p so finden, daß
der Abstand der Schnittpunkte A' von p und der Geraden CA sowie B' von p
und der Geraden CB größer als die Linealbreite ist. Dann kann der
Mittelpunkt M' der Strecke A'B' wie angegeben bestimmt werden. Der
Schnittpunkt M von CM' und AB ist dann nach Strahlensatz Mittelpunkt von AB.

Das Parallellineal wird auch im genannten Adlerschen Buche behandelt
(§23), sowie in Bieberbach, Theorie der geometrischen Konstruktionen,
§8. Dort:
"Dies ist ein Lineal mit zwei parallelen Kanten. Jede derselben darf zum
Zeichnen von geraden Linien verwendet werden. Das Instrument ist dabei
so auf das Papier zu legen, daß zwei gegebene oder schon konstruierte
Punkte (kurz zwei schon vorhandene Punkte) entweder auf der gleichen
Kante liegen oder auf beide Kanten verteilt sind. Es ist klar, daß man
mit diesem Instrument keine Aufgaben lösen kann, die sich nicht auch mit
Zirkel und Lineal lösen lassen1). Ich werde zeigen, daß umgekehrt alle
Punkte, die mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können, auch mit
dem Parallellineal allein konstruiert werden können. Es ersetzt also
vollständig Zirkel und Lineal, wenn man davon absieht, daß man damit
natürlich keine Kreisperipherien zeichnen kann."

[Rainer Rosenthal]

Dank an Brigitta, Andreas, Ralf, August und Ludwig für diesen schönen
und (in dsm) seltenen Ausflug in die Mathematik!

Gruß,
Rainer

[Brigitta Jennen]

Vielen Dank an alle, die sich zu diesem simplen elementargeometrischen Problem geäußert
haben. Natürlich ist das Schulstoff. Und Geometrie sei sowieso, wie es ein Dozent hier an der
örtlichen Hochschule formuliert hat, "ausgelutscht", uninteressant.
Trotzdem bin ich immer wieder überrascht, welch unglaublich schöne Einsichten es gibt.

Die Lösung von Ralf Bader bzgl. der Streckenteilung ohne Zirkel, nur mit Lineal, entspricht
meinem Vorgehen. Nur, ich hab etwas gebraucht, bis der Groschen gefallen ist :-))

Beide Aufgaben: die ursprüngliche Halbkreisaufgabe wie die Streckenteilung zeigen etwas sehr schön.
Du hast keine Chance, solche Probleme zu lösen, wenn du nicht über den Tellerrand blickst.
"Think out of the box" klingt zwar toll, doch wie geht's im konkreten Fall?

Ich stelle mir gerade die Frage, ob man (in der Geometrie) Kreativität trainieren kann.Meine
Skepsis überwiegt. Ich fürchte, dass unsere Möglichkeiten da doch beschränkt sind, weil Schule
und Studium früh Autobahnen gezogen haben, von denen man nicht mehr so ohne weiteres runterkommt.
Viele "Ausfahrten" werden durch unser Erziehungssystem, fürchte ich, einfach zugesperrt.

Nochmals Dank an alle für die hilfreichen und interessanten Antworten.

Grüße B.

[JVR]

Geometrie hat ganz erheblichen Unterhaltungswert, auch wenn manche 'örtliche Hochschuldozenten' das
nicht verstehen; und sogar wenn man dabei nur an die ebene euklidische Geometrie denkt.

Es gab seinerzeit, als die bösen Kommunisten noch regierten, eine russische Buchreihe, die
hieß популярные лекции по математике im Verlag наука, zum Teil geschrieben von bekannten
Mathematikern; zum Teil auch in englischer Übersetzung im Mir Verlag - damals der Fremdsprachenverlag
der bösen Kommunisten - als "Little Mathematics Library"; zum Teil auch auf deutsch im VEB Verlag,
als "Kleine Ergänzungsreihe zu den Hochschulbüchern für Mathematik". Danach lohnt es sich Ausschau zu
halten, aber gebrauchte Exemplare werden kaum in gutem Zustand erhältlich sein, weil die bösen
Kommunisten nur sehr schlechtes Papier hatten.

In diesen Büchlein, Umfang meistens weniger als 100 Seiten, werden viele geometrische Themen behandelt, z.B.
Beskin - Dividing a Segment in a Given Ratio
Shilov - Plotting Graphs
Markuschewitsch - Komplexe Zahlen und konforme Abbildung
Beskin - Images of Geometric Solids
Rosenfeld & Sergeeva - Stereographic Projection
Fetisov - Proof in Geometry
Dubnow - Fehler in geometrischen Beweisen

Und eins, das mir ganz besonders gefallen hat:
Donath - Die merkwürdigen Punkte und Linien des ebenen Dreiecks

Ferner für 'örtliche Hochschuldozenten', die mit den Anfangsgründen Schwierigkeiten haben:
Natanson - Summierung unendlich kleiner Größen
Golowina & Jaglom - Vollständige Induktion in der Geometrie

In der russischen Reihe sind 62 solche Büchlein erschienen, die alle in meiner elektronischen
Bibliothek vorhanden sind - seinerzeit hatten die bösen kapitalistischen Nachfolger der bösen
Kommunisten keinen Respekt vor Copyright-Konventionen, da konnte man sich derartiges im Internet
herunterladen.

[Tom Bola]

JVR schrieb:

> ...

> In der russischen Reihe sind 62 solche Büchlein erschienen, die alle in meiner elektronischen
> Bibliothek vorhanden sind - seinerzeit hatten die bösen kapitalistischen Nachfolger der bösen
> Kommunisten keinen Respekt vor Copyright-Konventionen, da konnte man sich derartiges im Internet
> herunterladen.

Das geht auch heute noch und wenn man sich mit dem Tor Browser auch absolut anonym.

[JVR]

Damals war der Zugang schwierig aber nicht unmöglich:
- zuerst musste man von irgendwoher den Link bekommen haben
- dann musste man den richtigen kyrillische Schriftsatz finden, um überhaupt etwas lesen zu können
- die Anleitungen, natürlich auf Russisch, verlangten u.a. dass man den Namen einer Kinderbuchfigur mit
langer Nase eingibt
- Pinocchio heißt auf Russisch Buratino, was mir neu war
- In sehr langwierigem Verfahren habe ich dann auf mehr als 100 CD's, heute natürlich auf Festplatte,
gewaltige Sammlungen von Literatur über Mathematik und Physik heruntergeladen; wahrscheinlich
strafbar. Auch Schachliteratur war frei zugänglich - das geht heute noch.

Ich hab mich immer gewundert, wie so ein Projekt zustande gekommen ist; das muss eine
Arbeitsgemeinschaft unter Studenten gewesen sein, die sich am Scannen beteiligt haben.

Heute bekommt man zu vielem legal Zugriff z.B. über die Bayerische Staatsbibliothek.

[JVR]

On Saturday, November 19, 2022 at 10:40:52 AM UTC+1, Brigitta Jennen wrote:

Ja - es ist sehr erfreulich, dass in dieser Gruppe ausnahmsweise auch mathematische Themen besprochen
werden. Andererseits, wenn die Mückenplage nicht wäre, käme kaum einer mehr vorbei, um hier hereinzuschauen.

[Tom Bola]

JVR schrieb:

Ja, das war alles "witzig" ... ;)

> Heute bekommt man zu vielem legal Zugriff z.B. über die Bayerische Staatsbibliothek.

Oder ganz einfach über zBl. "Verteiler" wie library.lol

Siehe auch
https://academia.stackexchange.com/questions/112509/legality-of-downloading-books
-from-websites-such-as-library-genesis

[Tom Bola]

JVR schrieb:

> Ja - es ist sehr erfreulich, dass in dieser Gruppe ausnahmsweise auch mathematische Themen besprochen
> werden. Andererseits, wenn die Mückenplage nicht wäre, käme kaum einer mehr vorbei, um hier hereinzuschauen.

Es ist mir "übrigens" richtig schwer verständlich, dass diese wirklich geniale
Möglichkeit der Konversation hier, nicht mehr genutzt wird, ich meine weshalb?...

[Brigitta Jennen]

@ Ralf Bader schrieb am Freitag, 18. November 2022 um 00:49:58 UTC+1:
...

> Vielleicht interessiert Dich
> https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/52/August_Adler._Theorie_der_geometrischen_Konstruktionen%2C_Leipzig_1906.pdf
> gefunden via
> https://core.ac.uk/download/pdf/82348485.pdf

Herzlichen Dank für diesen tollen Link!
Eine Fundgrube.

@ JVR
> ... zum Teil auch auf deutsch im VEB Verlag,

> als "Kleine Ergänzungsreihe zu den Hochschulbüchern für Mathematik". Danach lohnt es sich Ausschau zu

> halten ...

Ich hab das mal versucht, dem Hinweise von Tom Bola folgend, mit dem Tor-Browser.
Allerdings bin ich da nicht weit gekommen, weil ich mich mit dem Tor-Browser und mit dem
Dark-Net nicht so auskenne.

Gibt es eine Möglichkeit, an diese Buchreihe legal heranzukommen?

Die Bücher aus dem VEB-Verlag standen zu Studienzeiten bei uns hoch im Kurs.
Etwa Näser, Physikalischen Chemie (mit russischer Übersetzung) oder in der
Medizin: Voss, Härlinger Anatomie,
da haben wir sogar einen "Vertriebsweg" in die damalige DDR aufgebaut :-))
Diese Bücher waren (und sind) einfach legendär. Da konnte man vieles, was bei
uns im Westen angeboten wurde, grad vergessen. Ich denke da besonders
an die Chemie.

Deshalb wäre es toll, wenn man an diese Mathematikreihe aus dem VEB-Verlag
irgendwie rankommen könnte.

Danke und Grüße
B.

[JVR]

Der Akademie-Verlag hatte u.a. die Landau-Lifschiz Lizenz.

Darknet und auch VPN mache ich nicht, weil ich die Konsequenzen nicht
überblicke. Da müsste man einen Rechner haben, mit dem man wirklich
nichts anderes macht.

[Tom Bola]

Brigitta Jennen schrieb:

> @ Ralf Bader schrieb am Freitag, 18. November 2022 um 00:49:58 UTC+1:
> ...
>> Vielleicht interessiert Dich
>> https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/52/August_Adler._Theorie_der_geometrischen_Konstruktionen%2C_Leipzig_1906.pdf
>> gefunden via
>> https://core.ac.uk/download/pdf/82348485.pdf
>
> Herzlichen Dank für diesen tollen Link!
> Eine Fundgrube.
>
> @ JVR
>> ... zum Teil auch auf deutsch im VEB Verlag,
>> als "Kleine Ergänzungsreihe zu den Hochschulbüchern für Mathematik". Danach lohnt es sich Ausschau zu
>> halten ...
>
> Ich hab das mal versucht, dem Hinweise von Tom Bola folgend, mit dem Tor-Browser.
> Allerdings bin ich da nicht weit gekommen, weil ich mich mit dem Tor-Browser und mit dem
> Dark-Net nicht so auskenne.
>
> Gibt es eine Möglichkeit, an diese Buchreihe legal heranzukommen?
>
> Die Bücher aus dem VEB-Verlag standen zu Studienzeiten bei uns hoch im Kurs.
> Etwa Näser, Physikalischen Chemie (mit russischer Übersetzung) oder in der
> Medizin: Voss, Härlinger Anatomie,

Die sind zu alt und auch zu "speziell" für og. Verteiler. In die Adressleiste
des Tor Brower kann man eingeben, was man sonst auch in seinen Browser tippen
würde, man kann dann aber eine Warnung bekommen, dass eine sichere Verbindung
über https nicht machbar ist.

[Andreas Leitgeb]

Stefan Schmitz <ss...@gmx.de> wrote:
> Am 18.11.2022 um 18:40 schrieb Ralf Bader:
>> On 11/18/2022 09:34 AM, Andreas Leitgeb wrote:
>>> Ralf Bader <ba...@nefkom.net> wrote:
>>>> Man legt das Lineal so an, daß A auf der einen, B auf der anderen Kante
>>>> liegt und zeichnet die beiden parallelen Geraden ein. Dann legt man das
>>>> Lineal so an, daß A auf der anderen, B auf der einen Kante liegt, und
>>>> zeichnet wieder die beiden parallelen Geraden ein. Die Verbindungslinie
>>>> zweier der Schnittpunkte der eingezeichneten Geraden schneidet die
>>>> Verbindungslinie von A und B mittig.
>>> Und was, wenn das Lineal breiter ist als die zwei Punkte
>>> auseinanderliegen? ;-)
>> Dann hat man eine Gelegenheit, den Strahlensatz anzuwenden.
> Wie hilft der bei der Zeichnung?

Auf diese Frage hat eh schon Ralf geantwortet...

> Man könnte die Verbindungslinie von A und B auf beiden Seiten um die
> Linealbreite verlängern.

Das ist sicherlich nicht im Umfang der erlaubten Aktionen mit dem
Lineal... immerhin hat das Lineal keinerlei Markierungen, die
ein leichtes "Schiefhalten" verhindern könnten.

> Der Mittelpunkt der neuen Linie ist der gleiche wie von der alten.

Das würde zwar stimmen, aber soweit kommen wir ... zumindest nicht
ganz so einfach.

Damit will ich nicht sagen, dass man die Linealbreite nicht auf eine
Strecke übertragen könnte, denn dieses Lineal wurde ja als zu Zirkel
und (einseitigem) Lineal äquivalent erkannt, und somit könnte man wohl
auch eine Normale durch einen Punkt auf die Strecke konstruieren, und
dann das doppel-Lineal somit korrekt im rechten Winkel zur Strecke
anlegen.

Hat jemand Lust, die Normalen-Konstruktion mit Doppellineal zu
skizzieren?

[Martin Vaeth]

Brigitta Jennen <ladya...@gmail.com> schrieb:

>
> Wenn ich jetzt puristisch bin, entgegne ich, dass Du vorher rechnest
> und das Rechenergebnis dann konstruierst.

Wie man eine Lösung *sieht*, ist mathematisch vollkommen irrelevant.

> Laut Aufgabenstellung, soll die Konstruktion ausschließlich mit
> Zirkel und Lineal erfolgen, ohne Rechnung.

Die Konstruktion erfolgt ausschließlich mit Zirkel und Lineal.
Das andere ist die Frage, wie man *beweist*, dass die behauptete
Konstruktion richtig ist. Ich habe es nicht genau überlegt, bin
aber ziemlich sicher, dass das *ohne* Rechnung geht, sobald man
die Konstruktion explizit durchführt.

Hier ist eine andere geometrische Aufgabe, bei der nicht so klar
ist, wie/ob man das ohne Rechnung hinbekommt:

Gegeben sei eine Kirchturmspitze - ein gleichseitiger senkrecht
stehender Kegel mit kreisförmigem Querschnitt. Wir sehen nur
die senkrechte Parallelprojektion, also ein gleichschenkliges Dreieck.
Gegeben sei ebenfalls eine Lichteinstrahlung, der Einfachheit halber
überall parallel (und parallel zur Projektionsebene), aber sonst
in allgemeiner Lage.

Gesucht ist die (Projektion der) Kurve, ab der auf dem Kegel (also
dem Dreieck) der Schatten beginnt.

[Paul Paulsen]

bin doch schon dabei ...

ja, ich kenne den russischen Server gen.lib.
habe dort auch paar Sachen auf meinen stinke haufen account.

mit den meisten älteren Kram (so unter 1940) komm ich nicht
so recht mit (alles Bild scan's, und manchmal recht kuriose
Schriftdesign).

Naja, wenn jeman was braucht, der kann sich melden.

Aber natürlich nur zu _rein_ Education und Testzwecken.

[Brigitta Jennen]

Martin Vaeth schrieb am Samstag, 19. November 2022 um 18:24:17 UTC+1:

> Hier ist eine andere geometrische Aufgabe, bei der nicht so klar
> ist, wie/ob man das ohne Rechnung hinbekommt:
>
> Gegeben sei eine Kirchturmspitze - ein gleichseitiger senkrecht
> stehender Kegel mit kreisförmigem Querschnitt. Wir sehen nur
> die senkrechte Parallelprojektion, also ein gleichschenkliges Dreieck.
> Gegeben sei ebenfalls eine Lichteinstrahlung, der Einfachheit halber
> überall parallel (und parallel zur Projektionsebene), aber sonst
> in allgemeiner Lage.
>
> Gesucht ist die (Projektion der) Kurve, ab der auf dem Kegel (also
> dem Dreieck) der Schatten beginnt.

Hallo Martin,
ich würde mich gerne an die Lösung dieser Aufgabe machen, aber ich hab sie
nicht verstanden.
Ein senkrechter Kegel, bei dem die Seiten (Länge l) genauso lang sind wie der
Durchmesser des Bodenkreises steht vor mir eben auf dem Tisch.
Jetzt stelle ich links daneben ein Blatt Papier senkrecht dazu und beleuchte das
Ganze von rechts mit einer (nicht punktförmigen, damit die Lichtstrahlen parallel
verlaufen) Lichtquelle. Auf dem Papier sehe ich jetzt die Projektion: ein gleichseitiges
Dreieck. Soweit richtig?
Was ist jetzt gesucht? Was verstehe ich falsch?
Danke und Grüße B.

[Paul Paulsen]

Hallo Brigitta,

erinnere Dich:
Einfalls-Winkel = Austritts-Winkel.

Hier die (nicht orginalgetreue) Schemata:
Einfalls-Winkel A muss der Dachgiebel (die Schräge des Kirchturmes
oder Zyilinders) angepasst werden:

A B
\ /
\ /
______._______________.___ <-- diese Linie, ein Punkt weiter unten,
. \ | / nur zur Anschauung, über den Zylinder !
/ \ \ | /
/ Z \ \ | /
+-----+ --\---+---/-- <-- Zylinder-Höhe - Boden
| | \ | /
| w | \ | /
+-----+ _____\./__________ <-- Boden(platte), Ausfallwinkel

Z = Zylinder / Kreiskegel = Querschnitt (minus Ellipse am Ende)
= gleichschenkliches Dreieck

W = Würfel / Quadrat = Querschnitt

Hope this helps

[Brigitta Jennen]

Paul Paulsen schrieb am Sonntag, 20. November 2022 um 12:25:42 UTC+1:
> Hallo Brigitta,
>
> erinnere Dich:
> Einfalls-Winkel = Austritts-Winkel.

???
Die Lichtstrahlen sollen senkrecht und parallel auf den Kegel treffen.

> Hier die (nicht orginalgetreue) Schemata:
> Einfalls-Winkel A muss der Dachgiebel (die Schräge des Kirchturmes
> oder Zyilinders) angepasst werden:
>
> A B
> \ /
> \ /
> ______._______________.___ <-- diese Linie, ein Punkt weiter unten,
> . \ | / nur zur Anschauung, über den Zylinder !
> / \ \ | /
> / Z \ \ | /
> +-----+ --\---+---/-- <-- Zylinder-Höhe - Boden
> | | \ | /
> | w | \ | /
> +-----+ _____\./__________ <-- Boden(platte), Ausfallwinkel
>
> Z = Zylinder / Kreiskegel = Querschnitt (minus Ellipse am Ende)
> = gleichschenkliches Dreieck
>
> W = Würfel / Quadrat = Querschnitt

Deine "Zeichnung" ist nicht rekonstruierbar.

> Hope this helps

Leider Nein!

[Paul Paulsen]

Du brauchst das entstandene Dreieck, nur unter die Kirche
schieben, dann ist die Projektion unter den Kirchturm.

Allerdings bedenke:

- senkrecht Einfallendes Licht, macht nur einen Punktschatten.
- von daher kannst du ferner nur einen Rand am Boden um die
Rundkirche sehen.

[JVR]

Heutzutage von solchen Servern irgendetwas herunterzuladen ist
nicht ratsam, egal ob in Russland oder sonst wo.

[Paul Paulsen]

Am 20.11.2022 um 13:16 schrieb JVR:
> Heutzutage von solchen Servern irgendetwas herunterzuladen ist
> nicht ratsam, egal ob in Russland oder sonst wo.

ja, stimmt schon.

Schließlich haben die Buchauthoren von jeden verkauften Exemplar
was.
Damit meine ich Geld, um die Bedürfnisse (Schutz, Essen, ...)
zu befriedigen.
Ich war ja auch noch vor einigen Jahren so nen Partei Pirat.
Aber ich habs jetzt eingesehen (was ich oben schrieb) und lieber
ein paar Cent spende, um den Author zu ehren.
Von der Deutschen Mitnahme Gesellschaft halte ich nicht viel.

[Paul Paulsen]

Am 20.11.2022 um 12:34 schrieb Brigitta Jennen:
> Hier die (nicht orginalgetreue) Schemata:
> Einfalls-Winkel A muss der Dachgiebel (die Schräge des Kirchturmes
> oder Zyilinders) angepasst werden:
>
> A B
> \ /
> \ /
> ______._______________.___ <-- diese Linie, ein Punkt weiter unten,
> . \ | / nur zur Anschauung, über den Zylinder !
> / \ \ | /
> / Z \ \ | /
> +-----+ --\---+---/-- <-- Zylinder-Höhe - Boden
> | | \ | /
> | w | \ | /
> +-----+ _____\./__________ <-- Boden(platte), Ausfallwinkel
>
> Z = Zylinder / Kreiskegel = Querschnitt (minus Ellipse am Ende)
> = gleichschenkliches Dreieck
>
> W = Würfel / Quadrat = Querschnitt

wenn Du sowas hast, dann stelle ich Fest-schrift-breite ein.

[Martin Vaeth]

Brigitta Jennen <ladya...@gmail.com> schrieb:

> Martin Vaeth schrieb am Samstag, 19. November 2022 um 18:24:17 UTC+1:
>
>> Hier ist eine andere geometrische Aufgabe, bei der nicht so klar
>> ist, wie/ob man das ohne Rechnung hinbekommt:
>>
>> Gegeben sei eine Kirchturmspitze - ein gleichseitiger senkrecht
>> stehender Kegel mit kreisförmigem Querschnitt. Wir sehen nur
>> die senkrechte Parallelprojektion, also ein gleichschenkliges Dreieck.
>> Gegeben sei ebenfalls eine Lichteinstrahlung, der Einfachheit halber
>> überall parallel (und parallel zur Projektionsebene), aber sonst
>> in allgemeiner Lage.
>>
>> Gesucht ist die (Projektion der) Kurve, ab der auf dem Kegel (also
>> dem Dreieck) der Schatten beginnt.
>
> Hallo Martin,
> ich würde mich gerne an die Lösung dieser Aufgabe machen, aber ich hab sie
> nicht verstanden.

Stelle Dir das Ganze erst einmal dreidimensional vor:

Eine (kegelförmige) Kirchturmspitze, die von der Sonne beleuchtet wird.
Dabei idealisieren wir ein kleines bisschen: Wir stellen uns vor, dass die
Sonnenstrahlen beim Kegel alle parallel zueinander verlaufen (was zwar
eine hinreichend gute Näherung ist, aber physikalisch strenggenommen nicht
stimmt, weil die Lichtstrahlen von einer Kugel ausgehen).

Ein Teil des Kegels wird dann von der Sonne beleuchtet sein, aber nicht
der ganze Kegel (wenn die Sonne nicht "zu weit oben" steht, also wenn
der Vektor, entlang dem die parallelen Lichtstrahlen verlaufen, "etwas"
flacher ist, als der Kegel steil ist).

Jetzt schauen wir mit einer Kamera auf den Kegel (wir stehen "senkrecht"
auf dem Boden), und wir sind an dem erhaltenen Foto interessiert.

Dabei idealisieren wir wieder ein bisschen, indem wir nicht in eine
kleine Kameralinse "hineinprojizieren" sondern mathematisch eine sog.
Parallelprojektion machen, wir uns also vorstellen, dass das Foto
1-1-Größe hat: Jeder Punkt P des Fotos zeigt genau denjenigen Punkt
des Kegels, der "senkrecht" (zur Fotoebene und durch den Punkt P)
dort steht: Deswegen ist der "Boden" des Kegels automatisch eine Gerade
(unsere Kamera hat keine "Höhe", von der aus wir den Boden als
Ellipse sehen könnten, sondern alle Punkte des Bodens fallen parallel
auf die selbe Gerade des Fotos).

Die gesamte Szenerie wird also durch ein paar Größen beschreiben:

1. Durchmesser und Höhe des Kegels.
2. Der Vektor (im Raum), entlang dem das Licht parallel einfällt.
3. Der Vektor, der senkrecht auf der Foto-Ebene steht.

Der Einfachheit halber stellen wir die Kamera so auf, dass der
Vektor aus 2 parallel zum Foto verläuft: Auf diese Weise enthält
das Foto alle Daten, die man wissen muss:

1. Breite und Höhe des Dreiecks.
2. Der Vektor (in der Fotoebene) entlang dem das Licht parallel
einfällt.

Die Annahme über die Kamerarichtung ist deswegen so wichtig,
damit wir aus dem Lichtvektor aus der Fotoebene eindeutig auf
den Lichtvektor im Raum schließen können.

/\
/ \ <--- Lichtvektor
/ \
/______\

In diesem Bild verläuft der Lichtvektor genau waagerecht, was
bedeutet (da wir annehmen, dass er im Raum parallel zur
Fotoebene verläuft), dass *exakt* die rechte Hälfte
des Kegels hell und die linke dunkel sein wird: Die Trennlinie
zwischen “hell” und “dunkel” ist in diesem speziellen Beispiel
also genau die Mittelsenkrechte des gleichschenkligen Dreiecks.

Die Frage ist jetzt: Wie sieht die Trennlinie aus, wenn der
Lichtvektor in der Skizze nicht exakt waagerecht verläuft,
sondern z.B. ein bisschen von rechts oben nach links unten zeigt?

[Brigitta Jennen]

Martin Vaeth schrieb am Sonntag, 20. November 2022 um 14:43:31 UTC+1:

> Stelle Dir das Ganze erst einmal dreidimensional vor:

...

O Klasse, Deine Erklärung.
Jetzt hab ich das Problem verstanden und ich finde diese Aufgabe reizvoll.
Ob ich zu Lösung etwas beitragen kann - mal sehen.

Wenn ich was gefunden hab, melde ich mich wieder.
Fürs Erste vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Grüße B.

[Ulrich D i e z]

Am 19.11.22 um 17:36 schrieb Andreas Leitgeb:

Habe ich richtig verstanden? Du möchtest mit einem
Doppellineal eine Strecke AB an einem ihrer Enden, zB am Punkt B,
um die Breite des Doppellineals verlängern ?

Gegeben seien die nicht aufeinander liegenden Punkte A und B.
Gegeben sei die Strecke AB mit den Endpunkten A und B.
Gegeben sei auch die Gerade [AB] durch die Punkte A und B.

Angenommen, man möchte die Strecke AB am Punkt B um die Breite des
Dopplellineals verlängern.

Die Skizze sei so ausgerichtewt, dass die Gerade [AB] waagrecht ist und
die Grenzlimie darstellt, die die Skizze in einen oberen und einen
unteren Bereich aufteilt.

Das Konstruieren der Mittelsenkrechten der Strecke AB wurde bereits erklärt.
Die Mittelsenkrechte der Strecke AB sei konstruiert.

Man zeichne im Abstand der Breite des Doppellineals im oberen Bereich der
Skizze die Parallele p_1 der Geraden [AB].
Der Schnittpunkt von p_1 und der Mittelsenkrechten der Strecke AB sei mit C_1 bezeichnet.

Man zeichne im Abstand der Breite des Doppellineals im unteren Bereich der
Skizze die Parallele p_2 der Geraden [AB].
Der Schnittpunkt von p_2 und der Mittelsenkrechten der Strecke AB sei mit C_2 bezeichnet.

Der Schnittpunkt von p_1 und der Geraden [C_2B] sei mit D_1 bezeichnet.

Die Mittelsenkrechte der Strecke C_1D_1 ist parallel zur
Mittelsenkrechten der Strecke AB und verläuft durch den Punkt B.
(Das Konstruieren der Mittelsenkrechten einer Strecke wurde bereits erklärt.)

Man zeichne diejenige Parallele dieser Mittelsenkrechten, die von dieser
Mittelsenkrechten einen Abstand hat, die der Breite des Doppellineals
entspricht und die Gerade [AB], aber nicht die Strecke AB schneidet.

Der Schnittpunkt dieser Parallelen und der Geraden [AB] ist der
Endpunkt der verlängerten Strecke.

Ich hoffe, verstanden zu haben, was du wissen wolltest und mich nicht
vertan zu haben.

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Ulrich D i e z]

Habe ich vor Schmerzen bei Geraden statt bei Strecken Klammern gesetzt.

Also nochmal:

Habe ich richtig verstanden? Du möchtest mit einem
Doppellineal eine Strecke AB an einem ihrer Enden, zB am Punkt B,
um die Breite des Doppellineals verlängern ?

Gegeben seien die nicht aufeinander liegenden Punkte A und B.
Gegeben sei die Strecke [AB] mit den Endpunkten A und B.
Gegeben sei auch die Gerade AB durch die Punkte A und B.

Angenommen, man möchte die Strecke [AB] am Punkt B um die Breite des
Dopplellineals verlängern.

Die Skizze sei so ausgerichtewt, dass die Gerade AB waagrecht ist und
die Grenzlimie darstellt, die die Skizze in einen oberen und einen
unteren Bereich aufteilt.

Das Konstruieren der Mittelsenkrechten der Strecke [AB] wurde bereits erklärt.
Die Mittelsenkrechte der Strecke [AB] sei konstruiert.

Man zeichne im Abstand der Breite des Doppellineals im oberen Bereich der

Skizze die Parallele p_1 der Geraden AB.

Der Schnittpunkt von p_1 und der Mittelsenkrechten der Strecke [AB] sei mit C_1 bezeichnet.

Man zeichne im Abstand der Breite des Doppellineals im unteren Bereich der

Skizze die Parallele p_2 der Geraden AB.

Der Schnittpunkt von p_2 und der Mittelsenkrechten der Strecke [AB] sei mit C_2 bezeichnet.

Der Schnittpunkt von p_1 und der Geraden C_2B sei mit D_1 bezeichnet.

Die Mittelsenkrechte der Strecke [C_1D_1] ist parallel zur
Mittelsenkrechten der Strecke [AB] und verläuft durch den Punkt B.
(Das Konstruieren der Mittelsenkrechten einer Strecke wurde bereits erklärt.)

Man zeichne diejenige Parallele dieser Mittelsenkrechten, die von dieser
Mittelsenkrechten einen Abstand hat, die der Breite des Doppellineals

entspricht und die Gerade AB, aber nicht die Strecke [AB] schneidet.

[Ulrich D i e z]

Mir wird gerade bewusst, dass nur das Halbieren der Strecke AB, aber
nicht das Konstruieren der Mittelsenkrechten der Strecke AB erklärt ist.


Bei der Strahlensatzfigur zwecks Halbierens der Strecke AB wählt man
einen Punkt S außerhalb der Strecke AB und streckt die Strecke AB
auf eine Parallele von AB, die man mittels der mit dem Doppellineal zu
zeichenden Raute halbieren kann.

(Einschub: Der "Strahl" von der Mitte der zentisch Gestreckten Strecke zu
S halbiert auch die Strecke [AB]. damit hat man [AB] halbiert, aber noch
nicht die Mittelsenkrechte von [AB]. Einschub Ende.)

Diejenigen beiden Eckpunkte der Raute, die nicht auf den Endpunkten der
zentrisch gestreckten Strecke liegen, liegen auf der Mittelsenkrechten
der zentrisch gestreckten Strecke, können also genutzt werden, um die
Mittelsenkrechte der zentrisch gestreckten Strecke zu zeichnen.

Bei der Wahl von S achte man darauf, dass der Punkt S auf einer Parallelen
von AB liegt - sie sei mit p_1 bezeichnet, die den selben Abstand von AB
hat wie die zentrisch gestreckte Strecke.
Die Mittelsenkrechte der zentrisch gestreckten Strecke, die sich mittels
Rautenkonstruktion mit dem Doppellineal zeichnen lässt, schneidet p_1 im
Punkt S'.

Bei genügend großem Abstand von S von AB lässt sich die Mittelsenkrechte
der Strecke [SS`] auch mittels Rautenkonstruktion mit dem Doppellineal
zeichnen. Sie ist identisch mit der Mittelsenkrechten von [AB].

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Andreas Leitgeb]

Zum langsam verdauen:

Wenn die Punkte für die Rautenkonstruktion nicht weit genug
auseinanderliegen (also enger als Linealbreite), wird die Strecke
erst einmal mit Strahlensatz auf A'B' hochskaliert (wobei aber
A'B' eventuell weiter von AB entfernt liegen kann, als S von AB).
Damit kann man dann den Halbierungspunkt hinterher wieder auf die
originale Strecke zurückskalieren. Soweit so gut.

Weiters hat man über die Raute die Mittelsenkrechte der gestrecken
Strecke A'B' einzeichnen.

Ulrich D i e z <ud.usenetco...@web.de> wrote:
> Bei der Wahl von S achte man darauf, dass der Punkt S auf einer Parallelen
> von AB liegt - sie sei mit p_1 bezeichnet, die den selben Abstand von AB
> hat wie die zentrisch gestreckte Strecke.

Das sehe ich nicht zwingend erfüllt: diese Gerade p_1 mag existieren,
aber - zumindest mit meinem bisherigen Wissen - noch nicht konstruierbar,
und sofern man sich nicht auf 1:2 skalierungen versteift, muss die
Gerade p_1 auch nicht den gleichen Abstand haben.

Man könnte sich aber natürlich darauf versteifen, und im Fall wirklich
kleinen Abstands AB dann die ganze Skalierungs-Konstruktion gegebenen-
falls wiederholen, bis der Abstand für die Lineal-Raute ausreicht.

Also nehme ich mal an, der Punkt S wurde nach Anlegen des Lineals
unterhalb von AB irgendwo auf der anderen Seite des Lineals gewählt,
und die Träger-gerade für A'B' um genau eine Linealbreite oberhalb
von AB, dann ist die Gerade p_1 bekannt, und wir können weitermachen.

> Die Mittelsenkrechte der zentrisch gestreckten Strecke, die sich mittels

Hier stößt mir das "zentrisch" jetzt auf... Das S wurde ja "beliebig"
auf der "unteren Parallele p_1" gewählt, also ist A'B' lediglich eine
Streckung von AB, aber der Mittelpunkt von AB ist nicht zwingend auch
auf der Mittelsenkrechten von A'B' liegend. Mal schauen, ob es darauf
ankommt...

> Rautenkonstruktion mit dem Doppellineal zeichnen lässt, schneidet p_1 im
> Punkt S'.
> Bei genügend großem Abstand von S von AB lässt sich die Mittelsenkrechte
> der Strecke [SS`] auch mittels Rautenkonstruktion mit dem Doppellineal
> zeichnen. Sie ist identisch mit der Mittelsenkrechten von [AB].

Ui, in meinen Skizzen war SS' meist kleiner als das ursprüngliche AB.

Wenn man das S auf p_1 so wählt, dass es von der vorab geschätzten
AB mittelsenkrechten um deutlich mehr als die Halbe Linealbreite
entfernt liegt, könnte es klappen.

Ob eine Formulierung
" wählen Sie den Punkt S entlang p_1 so, dass der sich im Zuge der
" weiteren Konstruktion ergebende Punkt S' einen hinreichend großen
" Abstand von S hat, um die Rautenkonstruktion auf SS' zu ermöglichen
nun den Forderungen einer Konstruktionsbeschreibung genüge tut, weiss
ich nicht, aber meine Frage sehe ich mit dieser Anleitung und der im
Posting davor zusammen als beantwortet.

Danke!

[Ulrich D i e z]

Am 25.11.22 um 15:32 schrieb Andreas Leitgeb:

> Ulrich D i e z <ud.usenetco...@web.de> wrote:

>> Die Mittelsenkrechte der zentrisch gestreckten Strecke, die sich mittels

> Hier stößt mir das "zentrisch" jetzt auf.

Inwiefern? - Streckentrum der zentrischen Streckung ist der Punkt S.

>> Bei der Wahl von S achte man darauf, dass der Punkt S auf einer Parallelen
>> von AB liegt - sie sei mit p_1 bezeichnet, die den selben Abstand von AB
>> hat wie die zentrisch gestreckte Strecke.

> Das sehe ich nicht zwingend erfüllt: diese Gerade p_1 mag existieren,
> aber - zumindest mit meinem bisherigen Wissen - noch nicht konstruierbar,
> und sofern man sich nicht auf 1:2 skalierungen versteift, muss die
> Gerade p_1 auch nicht den gleichen Abstand haben.

Es stimmt - man ist damit auf Streckung um den Streckfaktor 2 festgelegt
und ggfs muss man rekursiv vorgehen bis die Abstände für Rautenkonstruktion
direkt mit dem Doppellineal groß genug sind.

Wenn man die Mittelsenkrechte von [AB] nicht mit der Rautenkonstruktion und
dem Doppellineal direkt konstruieren kann, weil der Abstand von A und B nicht
größer ist als die Breite des Doppellinreals, dann konstriert die
Mittelsenkrechte von [AB] mithilfe der Mittelsenkrechten der um den Faktor 2
gestreckten Strecke [A'B'].
Wenn man die Mittelsenkrechte der Strecke [A'B'] nicht mit dem Doppellineal
als Raute konstruieren kann, muss man ihre Mittelsenkrechte eben mithilfe
einer weiteren wiederum um den Faktor 2 gestreckten Strecke [A''B'']
konstruieren.
Wenn man die Mittelsenkrechte der Strecke [A''B''] nicht mit dem Doppellineal
als Raute konstruieren kann, muss man ihre Mittelsenkrechte eben mithilfe
einer weiteren wiederum um den Faktor 2 gestreckten Strecke [A'''B''']
konstruieren.
Wenn man die Mittelsenkrechte der Strecke [A'''B'''] nicht mit dem
Doppellineal als Raute konstruieren kann, ...

Irgendwann hat eine Strecke, bei der die Abstände groß genug sind, dass man
die Mittelsenkrechte mit der Rautenkonstruktion und dem Doppellineal direkt
konstruieren kann.

>> Rautenkonstruktion mit dem Doppellineal zeichnen lässt, schneidet p_1 im
>> Punkt S'.
>> Bei genügend großem Abstand von S von AB lässt sich die Mittelsenkrechte
>> der Strecke [SS`] auch mittels Rautenkonstruktion mit dem Doppellineal
>> zeichnen. Sie ist identisch mit der Mittelsenkrechten von [AB].
>
> Ui, in meinen Skizzen war SS' meist kleiner als das ursprüngliche AB.

Wenn du nicht allzu hilflos schätzen möchtest wie S zu legen ist, damit
die Mittelsenkrechte von [SS'] direkt mit der Doppellineal-Raute
konstruiert werden kann:

Die Strecke [AB] sei waagrecht und der Punkt A sei links vom Punkt B.

Du möchtest dein Streckzentrum S offenbar gerne unterhalb der Strecke AB haben.

Man könnte S unterhalb der Strecke AB rechts von B legen:

Zeichne nach oben und unten Parallelen zu [AB] in Abständen des
Doppellineals.

Zeichne eine Hilfsgerade h_1 durch B, die die Parallelen unterhalb der
Strecke [AB] nicht links von B und die Parallelen oberhalb von [AB] nicht
rechts von B schneidet.
Zeichne eine zweite Hilfsgerade h_2 parallel zu h_1,
rechts von h_1 und B, sodass der Abstand zwischen h_1 und h_2 der
Breite des Doppellineals entspricht.
(Der Abstand des Schnittpunkt von h_2 mit der Geraden AB vom
Punkt B ist dann nicht kleiner als die Linealbreite.)
Für den Fall, dass man ungeschickt war und deshalb h_1 und h_2 (nahezu)
senkreht auf [AB] stehen, zeichne eine dritte Hilfsgerade h_3 parallel
zu h_2, rechts von h_2, sodass der Abstand zwischen h_2 und h_ der
Breite des Doppellineals entspricht.
(Der Abstand, des Schnittpunkt von h_2 mit der Geraden AB vom
Punkt B ist dann nicht kleiner als die doppelte Linealbreite.)
Wähle als Streckzentrum S den Schnittpunkt von h_2 mit einer der unterhalb
von [AB] verlaufenden Parallelen von [AB] und strecke mit den Faktor 2,
wobei die oberhalb von [AB] verlaufenden Parallelen von [AB] zu nutzen sind.

Auf diese Weise wird S horizontal rechts von B liegen in einem horizontalen
Abstand von B, der auf jeden Fall größer ist als die Linealbreite.
S' wird horizontal links von der Mitte von [AB] und somit horizontal
links von B liegen, sodass der horizontale Abstand zwischen S und S` größer
ist als die Linealbreite, sodass die Doppellineal-Rautenkonstruktion mittels
S und S' gemacht werden kann.


Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Ulrich D i e z]

Am 25.11.22 um 20:28 schrieb Ulrich D i e z:

> Wenn du nicht allzu hilflos schätzen möchtest wie S zu legen ist, damit
> die Mittelsenkrechte von [SS'] direkt mit der Doppellineal-Raute
> konstruiert werden kann:
>
> Die Strecke [AB] sei waagrecht und der Punkt A sei links vom Punkt B.
>
> Du möchtest dein Streckzentrum S offenbar gerne unterhalb der Strecke AB haben.
>
> Man könnte S unterhalb der Strecke AB rechts von B legen:
>
> Zeichne nach oben und unten Parallelen zu [AB] in Abständen des
> Doppellineals.
>
> Zeichne eine Hilfsgerade h_1 durch B, die die Parallelen unterhalb der
> Strecke [AB] nicht links von B und die Parallelen oberhalb von [AB] nicht
> rechts von B schneidet.

Um so eine Hilfsgerade zu zeichnen braucht man zusätzlich zum Punkt B einen
zweiten Punkt und muss abschätzen wann ein Punkt links oberhalb
oder rechts unterhalb vom Punkt B liegt. Ich hoffe das darf man.

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Ulrich D i e z]

Am 25.11.22 um 20:28 schrieb Ulrich D i e z:

> Wenn du nicht allzu hilflos schätzen möchtest wie S zu legen ist, damit
> die Mittelsenkrechte von [SS'] direkt mit der Doppellineal-Raute
> konstruiert werden kann:
>
> Die Strecke [AB] sei waagrecht und der Punkt A sei links vom Punkt B.
>
> Du möchtest dein Streckzentrum S offenbar gerne unterhalb der Strecke AB haben.
>
> Man könnte S unterhalb der Strecke AB rechts von B legen:
>
> Zeichne nach oben und unten Parallelen zu [AB] in Abständen des
> Doppellineals.
>
> Zeichne eine Hilfsgerade h_1 durch B, die die Parallelen unterhalb der
> Strecke [AB] nicht links von B und die Parallelen oberhalb von [AB] nicht
> rechts von B schneidet.
> Zeichne eine zweite Hilfsgerade h_2 parallel zu h_1,
> rechts von h_1 und B, sodass der Abstand zwischen h_1 und h_2 der
> Breite des Doppellineals entspricht.
> (Der Abstand des Schnittpunkt von h_2 mit der Geraden AB vom
> Punkt B ist dann nicht kleiner als die Linealbreite.)
> Für den Fall, dass man ungeschickt war und deshalb h_1 und h_2 (nahezu)
> senkreht auf [AB] stehen, zeichne eine dritte Hilfsgerade h_3 parallel
> zu h_2, rechts von h_2, sodass der Abstand zwischen h_2 und h_ der
> Breite des Doppellineals entspricht.

Korrektur:

Für den Fall, dass man ungeschickt war und deshalb h_1 und h_2 (nahezu)
senkreht auf [AB] stehen, zeichne eine dritte Hilfsgerade h_3 parallel

zu h_2, rechts von h_2, sodass der Abstand zwischen h_2 und h_3 der

Breite des Doppellineals entspricht.


> (Der Abstand, des Schnittpunkt von h_2 mit der Geraden AB vom
> Punkt B ist dann nicht kleiner als die doppelte Linealbreite.)

Korrektur:

(Der Abstand, des Schnittpunkt von h_3 mit der Geraden AB vom

Punkt B ist dann nicht kleiner als die doppelte Linealbreite.)

> Wähle als Streckzentrum S den Schnittpunkt von h_2 mit einer der unterhalb
> von [AB] verlaufenden Parallelen von [AB] und strecke mit den Faktor 2,
> wobei die oberhalb von [AB] verlaufenden Parallelen von [AB] zu nutzen sind.

Korrektur:

Wähle als Streckzentrum S den Schnittpunkt von h_3 mit einer der unterhalb

von [AB] verlaufenden Parallelen von [AB] und strecke mit den Faktor 2,
wobei die oberhalb von [AB] verlaufenden Parallelen von [AB] zu nutzen sind.

> Auf diese Weise wird S horizontal rechts von B liegen in einem horizontalen
> Abstand von B, der auf jeden Fall größer ist als die Linealbreite.
> S' wird horizontal links von der Mitte von [AB] und somit horizontal
> links von B liegen, sodass der horizontale Abstand zwischen S und S` größer
> ist als die Linealbreite, sodass die Doppellineal-Rautenkonstruktion mittels
> S und S' gemacht werden kann.

Man soll halt nichts machen wenn man Schmerzen hat und sich nicht
gut konzentrieren kann.
Aber irgendwie muss ich mich ja davon ablenken. ;.)

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Stephan Gerlach]

Martin Vaeth schrieb:

[...]

Eine interessante Aufgabe.

Für eine allgemeine Fläche im R^3 (nicht unbedingt ein Kegel):

Gegeben ist eine (hinreichend reguläre) Fläche F mit der Darstellung

F(x,y,z)=0

im R^3. Die einfallenden Lichtstrahlen können durch einen Vektor

a=(a1,a2,a3)^T

beschrieben werden (der als Richtungsvektor von Geraden (Lichtstrahlen)
auftritt, wobei die Geraden selbst allerdings unwesentlich sind).

Um nun eine auf der Fläche F befindliche Trennlinie zwischen Hell und
Dunkel zu bestimmen, ist es offenbar erforderlich, daß in einem
bestimmten Punkt P(x;y;z) der Trennlinie a ein Tangentialvektor ist.
Also a muß Tangentialvektor in P sein.
Das ist äquivalent dazu, daß a orthogonal zum Normalenvektor n in P ist.
Ein Normalenvektor in P sollte sich als Gradient von F in P bestimmen
lassen:

n = grad(F(x,y,z))

n orthogonal zu a heißt also

a * grad(F(x,y,z)) = 0,

wobei * das Skalarprodukt bezeichnet.
Zusammen mit dem Fakt, daß der Punkt P in F liegt, ergibt sich das
Gleichungssystem für x,y,z

(I) F(x,y,z) = 0
(II) a * grad(F(x,y,z)) = 0.

Die Lösung beschreibt die gesuchte Trennlinie in der Fläche F.
(Vermutlich sind hier weitere Bedingungen an F und/oder a zu stellen,
damit das wirklich eine Trennlinie ist; z.B. die Eigenschaften konvex
oder konkav betreffend.)

Für eine Kegelfläche im R^3 ist speziell
F(x,y,z) = m²*(x²+y²)-z².
Der Vektor a kann o.B.d.A angenommen werden als
a = (0,1,k)^T.
Vereinfachend (für die Berechnung) sollte man sich vorstellen, daß das
Licht "von unten nach oben" fällt, also k>0, und der Kegel auf der
Spitze im Koordinatenursprung (0;0;0) steht.

Wenn ich damit die Trennlinie ausrechne, komme ich (modulo Rechenfehler)
seltsamerweise(?) darauf, daß diese Trennline eine Gerade(?!) ist. Das
wäre dann einfach eine Mantellinie des Kegels.


--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

[Martin Vaeth]

Stephan Gerlach <mam9...@t-online.de> schrieb:

>>
>> /\
>> / \ <--- Lichtvektor
>> / \
>> /______\
>>

>> [...]

>> Die Frage ist jetzt: Wie sieht die Trennlinie aus, wenn der
>> Lichtvektor in der Skizze nicht exakt waagerecht verläuft,
>> sondern z.B. ein bisschen von rechts oben nach links unten zeigt?
>

> [...]

> daß diese Trennline eine Gerade(?!) ist.

Das kann man sich auch ohne jede Rechnung überlegen:
Überlegen wir uns dazu, wo der Schnittpunkt der Linie mit der
Bodenebene liegt. Dazu ist es doch offensichtlich vollkommen
egal, ob 1mm der Skizze "in Wirklichkeit" 1cm oder 1m sind,
oder irgendeine anderer Faktor vorliegt.
Das bedeutet aber, dass das Verhältnis der Licht- und
Schattenseite auf der Bodenlinie unabhängig ist von der Skalierung.

Jetzt erinnern wir uns daran, dass die gesamte Situation nur
vom Winkel oben, vom Lichteinfallswinkel, und von der Höhe des
Dreiecks/Kegels abhängt: Die einzige Größe, die sich unter
Skalierung ändert, ist die Höhe des Kegels/Dreiecks.

Mit anderen Worten: Solange wir die beiden Winkel nicht ändern,
ist das Verhältnis zwischen Licht und Schatten auf der
Bodenlinie unabhängig von der Höhe des Dreiecks, also von der
Lage der Bodenlinie.
Auf jeder waagerechten Line im Dreieck (die wir willkürlich
als "Bodenlinie" definieren können) haben wir daher das selbe
Verhältnis. Wenn wir aber auf jeder waagerechten Line beim
selben Verhältnis einen Punkt markieren, müssen wir zwangsläufig
eine Gerade erhalten.

Der eigentliche Grund für meine Frage war aber ein anderer:
Wie *konstruiert* man das Verhältnis in der Skizze?

Man kann es ausrechnen und kommt dann auf eine Gleichung, für
deren Lösung man nur ein- oder zweimal Wurzel ziehen muss
(Details habe ich inzwischen vergessen): Man kann daher diese
Lösung leicht mit Zirkel und Lineal aus den Daten der Skizze
konstruieren.

Aber ich war nicht in der Lage, anhand dieser Konstruktion zu
erkennen, ob die Lösung richtig ist. Vielleicht geht es, aber
ich habe es nicht geschafft. Deswegen habe ich die Frage eben
in dem Zusammenhang "Rechnung oder Konstruktion" gestellt:
Für *mich* zumindest war das ein Problem, das nur mit Rechnung
lösbar war, obwohl ich die Lösung dann doch konstruieren kann.

[Ulrich D i e z]

Am 19.11.22 um 16:10 schrieb Tom Bola:

Falls du mit "diese Möglichkeit" das Usenet/normale Newsgroups meinst:

1) Weil diese Möglichkeit der Konversation technisches Verständnis und Zugang zu
einem nntp-Server erforderlich macht - das überfordert heutzutage auch viele
Akademiker/innen aus den MINT-Fächern.
(Das Interface für den Zugang über Google-Groups wurde wieder und wieder
umgestaltet und dabei wurden die Dinge jedesmal schlimmer statt besser.)

2) Weil Usenet, von diversen kommerziellen Providern um sogenannte binäre
Newsgroups ergänzt, in denen alle möglichen Daten ausgetauscht werden,
inzwischen bei Leuten, die nur oberflächlich davon gehört haben, generell
den Nimbus des Schmuddeligen hat. Und das ist heutzutage die Mehrheit.

3) Weil diese Möglichkeit der Konversation dann und nur dann erquicklich ist,
wenn die Kommunikationsteilnehmer/innen gewillt und in der Lage sind, sich
zueinander sozialkompetent und sozialverträglich zu verhalten.
Die relative Häufigkeit, in der Menschen, die diese Voraussetzung erfüllen,
in unserer Welt vorkommen, wird durch diverse Mechanismen unserer Gesellschaft,
unter anderem durch das Erziehungs- und Ausbildungswesen, systematisch
drastisch verringert.
Dadurch ist Usenet eine Kommunikationsform, bei der man nie weiß an
was für Leute man gerät.
Das Volumen an Trollpostings und nicht als Trollpostings gemeinten
Asozialitäten und Scharlatanerien ist beträchtlich.
Nicht jede/r ist dafür hinreichend schmerzbefreit.

4) Speziell de.sci.mathematik ist auf einen unbequemen Themenbereich bezogen.
Unbequem, weil erstens man denken muss und zweitens - so, wie es mir öfter
unterläuft - sich leicht bloßstellen kann indem man seine Irrtümer und
Rechtschreibfehler postet.

5) Viele Leute spielen lieber mit Facebook/Twitter und dergleichen und wollen
sich auch lieber passiv mit Videos berieseln lassen anstatt sich hinzusetzen
und selbst etwas zu schreiben/zu verfassen und dabei nur Textdarstellung
zur Verfügung zu haben. Features wie die Möglichkeit, Bilder/Videos/
Zeichnungen/Formeln einzufügen oder ein Posting nachträglich zu editieren,
zB, um Rechtschreibfehler zu korrigieren, werden von einigen auch
schmerzlich vermisst.

6) Die Leute werden nicht so bei der Stange gehalten wie bei anderen
Kommunikationsplattformen. Woanders kann man sich in Form von
Punkten, die man sammeln kann, loben, mit "Reputation" versehen
und für beliebt erklären lassen und Erfolgserlebnisse haben und
besser als diejenigen mit wenig Punkten/"Reputation" fühlen.
Im Usenet sieht man keine Zahlen, die anderen zeigen, wie toll man
schon ist.
Die Art und Weise, in der im Usenet der menschliche Hang nach
Einstufung und Bewertung der Mitmenschen, um sich selbst zu erhöhen,
befriedigt wird, ist subtiler und komplizierter.

Diese Möglichkeit ist genial, unerquicklich, und um sie länger nutzen zu
können, braucht man in mehrerlei Hinsicht eine hohe Schmerzgrenze.

Ulrich

[Tom Bola]

Ulrich D i e z schrieb:

Zu den Akten: eine (imho) grossartige Anylyse!

Leider sind auch nicht nur die entsprechenden Fakten denjenigen unbekannt,
die sich durchaus darauf einlassen würden, sondern auch die Tatsache der
Existenz dieser Kommunikationsvariante selber, insbesondere "jüngeren
Leuten". Weiterhin wird der Anteil der ernsthaften Teilnehmer immer
kleiner, weil älter, und damit verschwindet auch die Möglichkeit
ernsthafter Kommunikation langsam aber sicher. Es hat ja ganz
sicher viele Posts und Jahre gedauert, bis der (ehemalige)
Stamm der ernsthaften Newsgroups von jenen entsprechend
dicht besiedelt war, das kam alles nicht von selbst,
sondern hatte sich sehr langsam entwickelt...

[Ulrich D i e z]

Am 19.11.22 um 17:36 schrieb Andreas Leitgeb:

> Damit will ich nicht sagen, dass man die Linealbreite nicht auf eine
> Strecke übertragen könnte, denn dieses Lineal wurde ja als zu Zirkel
> und (einseitigem) Lineal äquivalent erkannt, und somit könnte man wohl
> auch eine Normale durch einen Punkt auf die Strecke konstruieren, und
> dann das doppel-Lineal somit korrekt im rechten Winkel zur Strecke
> anlegen.
>
> Hat jemand Lust, die Normalen-Konstruktion mit Doppellineal zu
> skizzieren?

Eas geht natürlich auch einfacher als bisher von mir beschrieben:

Die Strecke [AB] sei waagrecht und A liege links von B.

Angenommen man will die Strecke [AB] am Punkt B nach rechts um
die Linealbreite verlängern.

Man kann eine Hilfsgerade h_1 durch B zeichnen, die die
Gerade AB schneidet und dann
- links von h_1 die zu h_1 liegende parallele Hilfsgerade h_2
zeichnen, die von h_1 einen der Linealbreite entsprechenden
Abstand hat.
- rechts von h_1 die zu h_1 liegende parallele Hilfsgerade h_3
zeichnen, die von h_1 einen der Linealbreite entsprechenden
Abstand hat.
- Der Schnittpunkt von h_2 und AB sei P_2
- Der Schnittpunkt von h_3 und AB sei P_3

P_2 und P_3 liegen links und rechts von B auf AB und haben den
selben Abstand von B und zueinander einen Abstand der nicht
kleiner als die doppelte Linealbreite ist.

Die Mittelsenkrechte der Strecke [P_2 P_3] steht senkrecht auf [AB]
und verläuft durch B und lässt sich mit dem Doppellineal mittels
Rautenkonstruktion konstruieren.

Der Schnittpunkt derjenigen Parallelen dieser Mittelsenkrechte, die
rechts von dieser Mittelsenkrechten liegt und von dieser
Mittelsenkrechten einen Abstand hat, der der Linealbreite entspricht,
schneidet AB im Endpunkt der verlängerten Strecke.

Die Mitte(lsenkrechte) von [AB] braucht man da gar nicht.

(Weiss nicht warum ich nicht daran gedacht habe, dass der
Abstand zwischen einem Punkt der einen Kante des Doppellineals
und einem Punkt der anderen Kante des Doppellineals nie kleiner
ist als die Breite des Doppellineals.

Das macht mich jedenfalls grade depressiv. ;-) )

Ulrich

[Paul Paulsen]

Am 26.11.2022 um 12:59 schrieb Tom Bola:
> Stamm der ernsthaften Newsgroups von jenen entsprechend
> dicht besiedelt war, das kam alles nicht von selbst,
> sondern hatte sich sehr langsam entwickelt...

Es ist sicherlich eine größeren Akt zu vollziehen, als der
der die Pandemie gezeigt hat.

In meiner Einschätzung ist das ganze Covid eine Kopfsache:
der eine kommt, der andere machts nach (weil, sie können es
ja).

Und die langeweile Sendungen im TV ...
und und und, das würde Bücher füllen, und wir wären kein
Stück weiter.

[Tom Bola]

Paul Paulsen schrieb:

> Am 26.11.2022 um 12:59 schrieb Tom Bola:
>> Stamm der ernsthaften Newsgroups von jenen entsprechend
>> dicht besiedelt war, das kam alles nicht von selbst,
>> sondern hatte sich sehr langsam entwickelt...
>
> Es ist sicherlich eine größeren Akt zu vollziehen, als der
> der die Pandemie gezeigt hat.
>
> In meiner Einschätzung ist das ganze Covid eine Kopfsache:

Ich sprach über einen Zeitraum von deutlich mehr als 30 Jahren,
damals haben wir in Abwesenheit des Internet mit Datex-P am
Wochenende für hunderte D-Mark mit bestenfalls 1.2k Baud Modems
mit den Amis gechattet - und später eben auch per NNTP.
Sci-Newsgroups wie sci.math, sci.physik, sci.astronomie, philoso u.a.
haben sich ganz langsam und gründlich (!) entlang von relativ
wenigen Leuten entwickelt (Beispiel, was wären sci.math und
sci.physik ohne Roland F. gewsesn). Und offenbar ist nun recht
bald auch wieder für immer Schluß damit.

[Brigitta Jennen]

Paul Paulsen schrieb am Samstag, 26. November 2022 um 20:51:11 UTC+1:

> Es ist sicherlich eine größeren Akt zu vollziehen, als der
> der die Pandemie gezeigt hat.

???
Der Sinn dieser Aussage bleibt mir schon rein sprachlich verborgen.

> In meiner Einschätzung ist das ganze Covid eine Kopfsache:
> der eine kommt, der andere machts nach (weil, sie können es
> ja).

Vorschlag:
Für Gedanken/Thesen/Vermutungen/Kommentare etc. zu Covid eignet sich "de.sci.medizin.misc"
besser als die Gruppe hier.
Du findest dort die gesamte Bandbreite der Meinungen zu Covid.
Gruß B.

[Ulrich D i e z]

Am 26.11.22 um 20:51 schrieb Paul Paulsen:

> Am 26.11.2022 um 12:59 schrieb Tom Bola:
>> Stamm der ernsthaften Newsgroups von jenen entsprechend
>> dicht besiedelt war, das kam alles nicht von selbst,
>> sondern hatte sich sehr langsam entwickelt...
>
> Es ist sicherlich eine größeren Akt zu vollziehen, als der
> der die Pandemie gezeigt hat.

Mir ist nicht klar was du zum Ausdruck bringen möchtest.

> In meiner Einschätzung ist das ganze Covid eine Kopfsache:
> der eine kommt, der andere machts nach (weil, sie können es
> ja).

Covid Kopfsache?
Mir ist nicht klar was du zum Ausdruck bringen möchtest.
Krankheitsverläufe bei Covid19 - insbesondere, dass doch etliche
daran sterben - halte ich nicht für "nur Kopfsache".

Da kannst du zB jeden Bestatter und jeden Steinmetz fragen,
der mit der Gestaltung von Grabstätten für an Covid19
Verstorbenen befasst war/ist.

Ich vermute, ich habe nicht verstanden auf was du hinaus
möchtest.

> Und die langeweile Sendungen im TV ...
> und und und, das würde Bücher füllen, und wir wären kein
> Stück weiter.

Vielleicht füllt ja deswegen niemand die Bücher damit. ;-)

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Paul Paulsen]

Naja, ich will mal öffentlicher werden:

- niemand bestreitet ja, das die Bevölkerung altert.
- niemand bestreitet ja, das vorwiegend "ältere" Menschen von Covid19
betroffen waren, die an (naja, Vereinsamung???) gestorben sind - ich
jedenfalls nicht
- niemand bestreitet ja, das der Beruf "Lehrer" vor 50 Jahren noch ein
Inbegriff und "Würdigung" war, als der "Herr" Lehrer mit seinen Namen
angesprochen wurde, und solche Leute ja auch noch verbeamtet waren -
also dem Staat dienten.
Damals galt der Lehrer als "anlernend" bzw. "begleitetend" oder wie
soll ich es schreiben: "er war für die "weiter" Entwicklung von
Fähigkeiten, nicht aber für die Erziehung des Schülers zuständig."
Heute meinen ja viele (Eltern), das die Schule den Schüler zu erziehen
hat, was in meinen Augen und Kopf eine völlig falsche Vorstellung ist.
- niemand bestreitet ja, das es politische und kulturelle Brennpunkte
gibt, die den Status des Lehrers auch nicht gerade besser machen:
wie zu oft kommt der Spruch: Hey Alter, was willst Du, wenn Du mir
nicht eine Eins gibst, dann F.... ich deine Mudder. ... und so dieser
Ausartungen.
- niemand bestreitet ja, das es durch die ganze Globalisierung und der
Entwicklung des Arbeitsmarktes (technischer Fortschritt vor allem),
das dort ziemlich Große Lücken entstanden sind.
- niemand bestreitet ja, dass das Angebot für junge Menschen nicht mehr
zu fassen ist, und eine Art "Jongleur" oder "Wegweiser" wie bei den
Pfadpfindern zur Verfügung steht, der für jedem ein passendes Rezept
vorlegen kann.
Damit meine ich, das viele junge Menschen von zu vielen Dingen zu sehr
abgelengt sind - war doch selbst hier die Rede von Forums und Punkte-
systeme, die das Ego stärken sollen, um so die junge Gemeinde bei der
Stange zu Halten.
Oder die Werbung, die ununterbrochen im Radio, TV, oder Handy-Konsum
ausgestrahlt wird. Da blinkt dort ein Licht, dort springt eine Figur
rum, auf der man aufmerksam gemacht werden soll.
Das setzt sich dann so fest ins Gehirn, das man dann Abends nicht
mehr zu den gewohnten Zeiten einschlafen kann, und so übernächtigt am
anderen Morgen aufwacht, um dann wieder "neues" Wissen in der Schule
zu verarbeiten.
Auf Dauer macht das Krank. Ist mir schon klar.
Das macht dann so Krank, das die Leute Monogamie schieben, nicht mehr
durch den Tag kommen, und auf Dauerschlaf angewiesen sind.
- wer sagt denn in diesen Zusammenhang, das die Covid-Campange nicht
bloß eine Studie war, und ist, um die Zusammenhänge (der schon über
30 Jahre anhaltenden Monogamie) zu erforschen.
- ich kann hier auch herkommen und nen Lagerkoller schieben.
mach ich aber nicht, weil ich mir ein anspruchsvolles Hobby gesucht
habe: Computerprogramme entwickeln, Computer-Programm-Anleitungen vom
englischen ins deutsche übersetzen, WebSeiten gestalten, und mich ein
wenig hier mit Mathe beschäftigen.
Das ist freilich ein sehr spezielles Hobby was ich hier da so betreibe
Aber es könnte auch ein Hobby sein, zu stricken, oder Bilder zu malen
und zu zeichnen.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten.
Doch welche werden genutzt ?
Da muss es das neueste FIFA Spiel sein, das auf der PlayStation 10
läuft. Und da sind wir wieder bei dem Werbekonsum: erst neulich habe
ich eine drei minütige Werbung konsumieren müssen, bei der bunte Spiel
figuren umhergehüpft sind ... (und wenn Sie dieses Spiel nun JETZT
kaufen, erhalten Sie auf Ihre nächste Bestellung garantiert ein neues
viel besseres Angebot - natürlich zum Vorzugspreis von 800,- Euro
-> Playdooo, Dein Freund, dem die Geldbörsen vertrauten....).
- niemand bestreitet ja, das Wissen kostet.
Aber wieviel gute Sachen wurden kaput gemacht, nur weil man sich die
10 .. 15 Euro nicht selbst verdienen wollte, um das Assemblerbuch zu
erhalten, um damit die tollsten Demos zu programmieren.
Hey, ist ja cool, nen Koffer voll E-Book's zu haben - der, mit den
meisten shit ist der angesehenste.
Jaja, ich war ja auch so - ich wills ja nicht abstreiten.
Aber durch diesen Fehler lernt man (ich jedenfalls und ich möchte da
jedem animieren, keine Raubkopiesammlungen zu verbreiten.
- es ist ja auch hier durch die Runde gegangen, das viele (auch)
geschultes Personal, nicht in der Lage ist, einen Newsserver zu
bedienen, oder gar 10 Euro im Jahr für einen Dienst auszugeben, der
für mich erstmal keinen Mehrwert darstellt.
Wo wir dann wieder auf Preis und Leistung sind:
Gute Sachen kosten.
Aber keiner ist mehr bereit dafür ein Wagnis einzugehen.
Es ist klar, das die meisten durch viele Vertriebswege eingeschüchtert
und verunsichert werden.
Aber das ist halt so das Problem von Leuten, die wiederrum Raubkopie
Sammlungen Ihr Eigen nennen.
Nicht umsonst kommen die doch zu diesen Gedanken.
- um es abschließend auf den Punkt zu bringen:
die Bevölkerung ist gelangweilt, und nicht bereit Veränderungen
entgegen zu stehen, da sie diese nicht wollen, weil ja Arbeiten daran
hängt. Aber seit vielen (30) Jahren haben die Leute gelernt durch
"Nichtstun" auch den Tag zu bewältigen, was anderen dann missfällt.
Ich will hier um himmelswillen keine Mutmaßungen machen.
Aber ich finde, das sich die Leute selbst das Lernen abgewöhnt haben,
und nun mekkern, das sie in den jetzigen Status stecken, wie sie
gerade stehen: Es ist kein Geist mehr dahinter.

[Brigitta Jennen]

Paul Paulsen schrieb am Sonntag, 27. November 2022 um 20:15:45 UTC+1:
> Naja, ich will mal öffentlicher werden:

Ich wiederhole gleich zu Anfang meine Empfehlung, Covid-Theorien und
Meinungen auf "de.sci.medizin.misc" zu diskutieren.

> - niemand bestreitet ja, das vorwiegend "ältere" Menschen von Covid19
> betroffen waren, die an (naja, Vereinsamung???) gestorben sind - ich
> jedenfalls nicht

Da gibt es nichts zu "bestreiten".
Deine Vermutung lässt sich eindeutig widerlegen.
Ich empfehle, die Zahlen zu Covid bei Eurostat und/oder Destatis
zur Kenntnis zu nehmen.

> Das macht dann so Krank, das die Leute Monogamie schieben, nicht mehr
> durch den Tag kommen, und auf Dauerschlaf angewiesen sind.

Der Begriff "Monogamie" ist Dir unklar.

> - wer sagt denn in diesen Zusammenhang, das die Covid-Campange nicht
> bloß eine Studie war, und ist, um die Zusammenhänge (der schon über
> 30 Jahre anhaltenden Monogamie) zu erforschen.

Du irrlichterst.
Ich hab normalerweise nichts dagegen, wenn Menschen der Meinung sind,
dass die Erde eine Scheibe ist. Aber bei Covid hört's auf!
Falls Du daran interessiert bist, Fakten zu Covid mit eigenen Augen zu sehen,
melde Dich auf meiner E-Mailadresse. Ich kann vermitteln, dass Du mal eine
Intensivstaion besuchen kannst oder einen Tag in einer pulmologischen Praxis
als "Praktikant" zubringst.

Aber bitte sei so gut, und verbreite Deine "Ansichten" in der oben genannten
Gruppe "de.sci.medizin.misc".
Dort findest Du Gleichgesinnte.
In dieser Gruppe hier wird Dir nicht widersprochen,
hier wirst Du widerlegt.

> - um es abschließend auf den Punkt zu bringen:

> ...

> Ich will hier um himmelswillen keine Mutmaßungen machen.

Nichts anderes sind Deine "Ausführungen".

> ... gerade stehen: Es ist kein Geist mehr dahinter.

Diese letzte Aussage unterstütze ich.

Gruß B.

[Ulrich D i e z]

Am 28.11.22 um 14:42 schrieb Brigitta Jennen:

> Paul Paulsen schrieb am Sonntag, 27. November 2022 um 20:15:45 UTC+1:

>> - niemand bestreitet ja, das vorwiegend "ältere" Menschen von Covid19
>> betroffen waren, die an (naja, Vereinsamung???) gestorben sind - ich
>> jedenfalls nicht
>
> Da gibt es nichts zu "bestreiten".
> Deine Vermutung lässt sich eindeutig widerlegen.
> Ich empfehle, die Zahlen zu Covid bei Eurostat und/oder Destatis
> zur Kenntnis zu nehmen.

Ich brauche da keine Studien oder Diskussionen.

Es sollte ausreichen, die Augen offen zu halten bei dem, was um einen
herum vorgeht, und zur Kenntnis zu nehmen, wer in der Nachbarschaft
wann woran gestorben ist, und was man über Sterbealter und Todesursache
erfahrt, wenn man bei einem Steinmetzbetrieb ab und zu mithilft,
Grabsteine und Urnengrab-Platten zu setzen oder Gedenktäfelchen am
Kolumbarium anzubringen.

In meiner Straße ist zB in der ersten Covid-19-Welle jemand in seiner
Wohnung an Covid-19 gestorben - nicht an Einsamkeit, sondern unter
anderem, weil von vorneherein kein Arzt helfen wollte.
Da gab es keinerlei Hilfe durch das Gesundheitswesen.
Die örtliche (Haus-)Ärzteschaft meinte, man solle sich ans
Gesundheitsamt halten und tat nichts. Beim Gesundheitsamt
hieß es, man solle sich an die Hausärzte halten. So ging das im
Kreis herum. In den Krankenhäusern hieß es, ohne Überweisung werde man
ihn nicht nehmen. So starb der Mann recht schnell in den besten Jahren
daheim im Bett ohne jemals einen Arzt zu Gesicht bekommen zu haben,
obwohl in den Krankenhäusern der Gegend noch viele Plätze in den
Isolierstationen/Intensivstationen frei waren, wo man ihn beatmen und
sein Fieber hätte senken können.

Das war nicht die/der einzige, bei der/dem ich mitbekommen habe, dass
sie/er aufgrund der Hilfeverweigerung durch das Gesundheitswesen in
Einsamkeit nicht an Einsamkeit sondern an Covid 19 gestorben ist.

Ulrich

[Rainer Rosenthal]

Am 28.11.2022 um 14:42 schrieb Brigitta Jennen:
> Paul Paulsen schrieb am Sonntag, 27. November 2022 um 20:15:45 UTC+1:

>> Das macht dann so Krank, das die Leute Monogamie schieben ...

>
> Der Begriff "Monogamie" ist Dir unklar.
>

*schmunzel* andere Leute kommen mit Assoziativität und Transitivität
nicht klar, und die Begriffe "Injektivität", "unendlich", "Stetigkeit"
usw. werden frei von jeder Norm (*) verwendet.

>
> In dieser Gruppe hier wird Dir nicht widersprochen,
> hier wirst Du widerlegt.
>

Schön gesagt!

>>
>> Ich will hier um himmelswillen keine Mutmaßungen machen.
>
> Nichts anderes sind Deine "Ausführungen".
>

Tja, das hat sich in dsm leider seit Jahren eingebürgert :-(

>> ... gerade stehen: Es ist kein Geist mehr dahinter.
>
> Diese letzte Aussage unterstütze ich.
>

+1

Gruß,
Rainer

(*) Am 27.11.2022 um 12:24 schrieb <auch so einer> im Thread
"Das Endergebnis auf einem (mir neuen) Preprint-Server // siehe TH1,
TH2, TH8, ..."
Ich habe Mathematik gelehrt, auch Geschichte der Mathematik, also ein
Fach wo man erkennen kann, dass alles im Fluss ist und die gegenwärtigen
Normen eine Zufallsentwicklung sind, die ebensogut durch andere ersetzt
werden könnten.

[Brigitta Jennen]

Aus gegebenem Anlass greife ich nochmals die weiter oben angeschnittene
"Grundsatzfrage der Konstruktion mit Zirkel und Lineal" auf:

Gilt eine Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal als durchgeführt, wenn ich das
Ergebnis einer zuvor durchgeführten Rechnung bei der Konstruktion verwende?

Die Meinungen hierüber gehen in den mir zugänglichen "Hobby-Mathematikerkreisen"
auseinander :-)).

Hintergrund ist eine konkrete Aufgabe, für die ich jetzt keinen eigenen Thread eröffne,
da hier ohnehin schon einiges durcheinandergemischt wurde.
Diese Aufgabe hat's in sich und stammt aus einem Kurs der technischen Hochschule,
wo Leute höherer Semester sitzen, die zukünftig Brücken und Tunnel bauen sollen.

Also:
Gegeben sind zwei unterschiedlich große Kreise:
K1 mit Radius R, Mittelpunkt M1.
K2 mit Radius r, Mittelpunkt M2.

Beide Kreise berühren sich und liegen auf der x-Achse, berühren diese also unten ebenfalls.
Zwischen der x-Achse und diesen beiden Kreisen ist jetzt so eine Art "Zwickel"
entstanden, in den jetzt - Achtung: verteufelt! - ein Inkreis einbeschrieben werden soll,
der die beiden Kreise K1 und K2 sowie die x-Achse berührt.
Den Radius dieses Inkreises bezeichne ich mal mit x.

Eine Konstruktion dieses Inkreises nur mit Zirkel und Lineal, ohne Rechnung, ist niemandem
in der Studentengruppe gelungen. Fast alle glauben, dass das ohne Rechnung
nicht geht.

Meine Frage ist, ob das tatsächlich so ist.
Mit Rechnung ist's einfach.

Ich gebe nach dem Spoiler das Rechenergebnis für den Radius des Inkreises
mal an, damit man sich mit der länglichen Rechnung über dreimal Pythagoras nicht zu lange
aufhalten muss.
#
#
#
#
#
#
#
#
#
Ergebnis für x:

x = 1/4 * (R^2 + 2Rr) / (R + r + 2*Sqrt(Rr))

[Udo]

Brigitta Jennen schrieb am Dienstag, 29. November 2022 um 17:10:22 UTC+1:
> Aus gegebenem Anlass greife ich nochmals die weiter oben angeschnittene
> "Grundsatzfrage der Konstruktion mit Zirkel und Lineal" auf:
> Gilt eine Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal als durchgeführt, wenn ich das
> Ergebnis einer zuvor durchgeführten Rechnung bei der Konstruktion verwende?

...

> Eine Konstruktion dieses Inkreises nur mit Zirkel und Lineal, ohne Rechnung, ist niemandem
> in der Studentengruppe gelungen. Fast alle glauben, dass das ohne Rechnung
> nicht geht.
>
> Meine Frage ist, ob das tatsächlich so ist.
> Mit Rechnung ist's einfach.

Hallo Brigitta,
doch das geht tatsächlich ohne zu rechnen, ist aber verzwickt!

Folgende Situation:
Die y-Achse schneidet den Kreis K1 oben in einem Punkt S1.
Eine Parallele zur y-Achse durch M2 schneidet K2 oben in S2.

Jetzt folgende Überlegung:
Der "Zwickelinkreis" muss Inkreis eines Dreiecks sein. OK?
Wie komme ich an dieses Dreieck?

Ziehe von S1 eine Tangente an K2, liefert einen Schnittpunkt mit der x-Achse: P1
Ziehe von S2 eine Tangente an K1, liefert einen Schnittpunkt mit der x-Achse: P2
Die Tangenten schneiden sich an Punkt Q.

So, das war's.
Dein gesuchter Inkreis ist gerade der Schnittpunkt der
Winkelhalbierenden des Dreiecks P1 - P2 - Q.

Hammer-Aufgabe!
Vielen Dank dafür.
Grüße Udo

[Martin Vaeth]

Die Fragestellung ist mir unklar:

Brigitta Jennen <ladya...@gmail.com> schrieb:

> Gegeben sind zwei unterschiedlich große Kreise:
> K1 mit Radius R, Mittelpunkt M1.
> K2 mit Radius r, Mittelpunkt M2.
>
> Beide Kreise berühren sich und liegen auf der x-Achse,
> berühren diese also unten ebenfalls.

Du sagst nichts über die x-Koordinaten.
Verstehe ich das richtig, dass M1 und M2 die gleichen x-Koordinaten
haben - ohne Einschränkung x=0 - und beide Kreise durch den Nullpunkt
gehen, also M1 = (0, R), M2 = (0, r)?

> Zwischen der x-Achse und diesen beiden Kreisen ist jetzt so eine
> Art "Zwickel" entstanden

Ich würde das sichelförmig nennen (eine geschlossene Sichel), aber
das ist ja nur Terminologie.

> ein Inkreis einbeschrieben werden soll,
> der die beiden Kreise K1 und K2 sowie die x-Achse berührt.

Erfüllt nicht jeder Kreis mit Radius rho \in [r, R] und
Mittelpunkt (0,rho) diese Forderung?
Oder hast Du in der Fragestellung x und y verwechselt und meinst,
er soll die y-Achse berühren? (In diesem Fall wäre das aber nicht
nur ein Typo, sondern die von mir oben getroffene Annahme x=0 wäre
ein wesentlicher nicht erwähnter Teil der Aufgabenstellung...)

[Brigitta Jennen]

Martin Vaeth schrieb am Dienstag, 29. November 2022 um 18:52:20 UTC+1:
> Die Fragestellung ist mir unklar:

...

> Du sagst nichts über die x-Koordinaten.
> Verstehe ich das richtig, dass M1 und M2 die gleichen x-Koordinaten
> haben - ohne Einschränkung x=0 - und beide Kreise durch den Nullpunkt
> gehen, also M1 = (0, R), M2 = (0, r)?

Hallo Martin,
Sorry für meine missverständliche Darstellung.
Die beiden Kreise K1 und K2 berühren sich außen, K2 liegt nicht(!) innerhalb von K1.

Bei mir in der Skizze:
K1 mit M1(0, 4) und K2 mit M2(-5.66, 2).
Zwischen der x-Achse und den beiden Kreisen ist jetzt so ein hellebardenfömiger
Zwickel entstanden, in dem der gesuchte Inkreis liegen soll.
Dieser inkreis berührt K1 und K2 jeweils von außen und unten die x-Achse.

Die Lösung von Udo ist richtig.
Ich bin baff, dass das doch geht.
Wir haben vergeblich gegrübelt und sind erst nach Rechnung auf eine Lösung gekommen.
Vielen Dank für diese wundervoll einfache, "puristische" Lösung.
Gruß B.

[Stefan Schmitz]

Am 29.11.2022 um 18:37 schrieb Udo:
> Brigitta Jennen schrieb am Dienstag, 29. November 2022 um 17:10:22 UTC+1:
>> Aus gegebenem Anlass greife ich nochmals die weiter oben angeschnittene
>> "Grundsatzfrage der Konstruktion mit Zirkel und Lineal" auf:
>> Gilt eine Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal als durchgeführt, wenn ich das
>> Ergebnis einer zuvor durchgeführten Rechnung bei der Konstruktion verwende?
> ...
>> Eine Konstruktion dieses Inkreises nur mit Zirkel und Lineal, ohne Rechnung, ist niemandem
>> in der Studentengruppe gelungen. Fast alle glauben, dass das ohne Rechnung
>> nicht geht.
>>
>> Meine Frage ist, ob das tatsächlich so ist.
>> Mit Rechnung ist's einfach.
>
> Hallo Brigitta,
> doch das geht tatsächlich ohne zu rechnen, ist aber verzwickt!
>
> Folgende Situation:
> Die y-Achse schneidet den Kreis K1 oben in einem Punkt S1.

Das muss nach der Aufgabenstellung nicht so sein.

> Eine Parallele zur y-Achse durch M2 schneidet K2 oben in S2.

Meinst du mit S1 und S2 den jeweils obersten Punkt von K1 und K2?

> Jetzt folgende Überlegung:
> Der "Zwickelinkreis" muss Inkreis eines Dreiecks sein. OK?
> Wie komme ich an dieses Dreieck?
>
> Ziehe von S1 eine Tangente an K2, liefert einen Schnittpunkt mit der x-Achse: P1
> Ziehe von S2 eine Tangente an K1, liefert einen Schnittpunkt mit der x-Achse: P2
> Die Tangenten schneiden sich an Punkt Q.

Wohin legst du die Tangente vom niedrigeren der beiden Punkte, nach
unten oder nach oben?

> So, das war's.
> Dein gesuchter Inkreis ist gerade der Schnittpunkt der
> Winkelhalbierenden des Dreiecks P1 - P2 - Q.

So ganz kann ich dein Vorgehen nicht nachvollziehen.

Ich hätte ein Dreieck aus den drei Berührungspunkten der Kreise
miteinander und der x-Achse gebildet. Dessen Inkreis wäre aber zu groß,
darum die beiden schrägen Seiten so parallel nach innen verschieben,
dass sie zu Tangenten des Kreises werden.

[Stefan Schmitz]

Kann sogar sein, dass wir das gleiche Dreieck herausbekommen. Aber wie
wäre das zu beweisen?

[Brigitta Jennen]

Stefan Schmitz schrieb am Mittwoch, 30. November 2022 um 00:04:19 UTC+1:

> Kann sogar sein, dass wir das gleiche Dreieck herausbekommen. Aber wie
> wäre das zu beweisen?

Ich hab mal meine Skizze hochgeladen und das so gemacht, wie Udo das beschrieben hat.
Für mich sieht das korrekt aus.

https://ibb.co/7y2nfBL

[Rainer Rosenthal]

Am 29.11.2022 um 18:37 schrieb Udo:

> Die y-Achse schneidet den Kreis K1 oben in einem Punkt S1.
> Eine Parallele zur y-Achse durch M2 schneidet K2 oben in S2.
>

> Ziehe von S1 eine Tangente an K2, liefert einen Schnittpunkt mit der x-Achse: P1
> Ziehe von S2 eine Tangente an K1, liefert einen Schnittpunkt mit der x-Achse: P2
> Die Tangenten schneiden sich an Punkt Q.
>

> Dein gesuchter Inkreis ist gerade der Schnittpunkt der
> Winkelhalbierenden des Dreiecks P1 - P2 - Q.
>
> Hammer-Aufgabe!
> Vielen Dank dafür.
>

Hallo Udo, ich stimme Deiner Bewertung 100-prozentig zu.
Du hast die Lösung schön knapp und nachvollziehbar formuliert, wobei dem
Leser Gelegenheit zum Mitdenken gegeben wird.
Die von S1 und S2 aus zu ziehenden Tangenten sind die inneren, also die,
die näher am eigenen Kreis K1 bzw. K2 liegen.
Und die Formulierung "... Inkreis ... ist Schnittpunkt ..." ist
verunglückt. Dass der Inkreis der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
ist, ist bekannt. Deine Kernaussage ist:

Der von Dir gesuchte Kreis ist der Inkreis des Dreiecks P1 - P2 - Q.

Ich habe mir das sauber aufgezeichnet und bin geflasht. Das muss ich mir
noch in Ruhe anschauen, was da los ist. Wenn ich mit W den Mittelpunkt
des Inkreises bezeichne, dann muss es einen Grund geben, warum W - M1
durch den Berührpunkt der Tangente S2 - P2 geht. (Und entsprechend W -
M2 durch den Berührpunkt der Tangente S1 - P1.)
Welcher elementargeometrische Satz hilft mir hier wohl weiter?
(to be continued ...)

Gruß,
Rainer

[Rainer Rosenthal]

Ja, auch meine Zeichnung sagt, dass die Konstruktion nicht falsch sein
muss :-)
Aber um zu wissen, ob sie richtig ist, brauche ich die Gewissheit, dass
M1 - W durch den Berührpunkt von S2 - P2 mit K1 geht.

Mit W bezeichne ich dabei den von Dir rot markierten Inkreismittelpunkt.

Lieben Gruß, danke für die sehr interessante Aufgabe,
Rainer

[Ulrich D i e z]

Am 29.11.22 um 18:37 schrieb Udo:

> Folgende Situation:
> Die y-Achse schneidet den Kreis K1 oben in einem Punkt S1.
> Eine Parallele zur y-Achse durch M2 schneidet K2 oben in S2.
>
> Jetzt folgende Überlegung:
> Der "Zwickelinkreis" muss Inkreis eines Dreiecks sein. OK?
> Wie komme ich an dieses Dreieck?
>
> Ziehe von S1 eine Tangente an K2, liefert einen Schnittpunkt mit der x-Achse: P1
> Ziehe von S2 eine Tangente an K1, liefert einen Schnittpunkt mit der x-Achse: P2
> Die Tangenten schneiden sich an Punkt Q.
>
> So, das war's.
> Dein gesuchter Inkreis ist gerade der Schnittpunkt der
> Winkelhalbierenden des Dreiecks P1 - P2 - Q.

Wie begründest du, dass die Punkte, in denen die Tangenten ihre
jeweiligen Kreise berühren, gleichzeitig auch Punkte der Halbierenden
derjenigen Winkel des Dreiecks P1 - P2 - Q sind, die P1 bzw P2 als
Scheitel haben?

(Wenn das nicht der Fall ist, berührt der Inkreis dees Dreiecks
P1 - P2 - Q zwar die Tangenten der Kreise, aber nicht die Kreise.

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Ulrich D i e z]

Am 30.11.22 um 01:11 schrieb Ulrich D i e z:

> Wie begründest du, dass die Punkte, in denen die Tangenten ihre
> jeweiligen Kreise berühren, gleichzeitig auch Punkte der Halbierenden
> derjenigen Winkel des Dreiecks P1 - P2 - Q sind, die P1 bzw P2 als
> Scheitel haben?
>
> (Wenn das nicht der Fall ist, berührt der Inkreis dees Dreiecks
> P1 - P2 - Q zwar die Tangenten der Kreise, aber nicht die Kreise.

Das war ein Denkfehler von mir.

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Rainer Rosenthal]

Neuer Tag, neues Glück:
Was an Udos Lösung so verblüffend ist und wie vom Himmel gefallen zu
sein scheint, das sind die Punkte S1 und S2, die diagonal gegenüber den
Berührpunkten X1 und X2 mit der x-Achse liegen. Das sieht so unnatürlich
aus.

Es wird aber sofort natürlich, wenn man die x-Achse als Rand des Kreises
K0 betrachtet, dessen Mittelpunkt S0 im Unendlichen liegt!
Dann wird der gesuchte Kreis zum vierten Kreis K3, und die vier Kreise
berühren einander paarweise. Dazu findet man dann sicher was unter dem
Stichwort Apollonius".
Punkt S1 ist dann einfach der zweite Schnittpunkt der Geraden M0 - M1
mit dem Kreis K1, und S2 entsprechend Schnitt von M0 - M2 mit K2.

Gruß,
Rainer Rosenthal

[Brigitta Jennen]

Rainer Rosenthal schrieb am Mittwoch, 30. November 2022 um 09:46:17 UTC+1:
...

> Es wird aber sofort natürlich, wenn man die x-Achse als Rand des Kreises
> K0 betrachtet, dessen Mittelpunkt S0 im Unendlichen liegt!
> Dann wird der gesuchte Kreis zum vierten Kreis K3, und die vier Kreise
> berühren einander paarweise. Dazu findet man dann sicher was unter dem
> Stichwort Apollonius".

OK.
Der Kreis K0 berührt die x-Achse von unten. Richtig?
Sein Mittelpunkt liegt "tief unten" irgendwo im Unendlichen.

> Punkt S1 ist dann einfach der zweite Schnittpunkt der Geraden M0 - M1
> mit dem Kreis K1, und S2 entsprechend Schnitt von M0 - M2 mit K2.

Sehr interessante Sichtweise! (Schönes Beispiel für "think out of the box") :-))
Doch ich kann den Zusammenhang zum Apolloniuskreis (Menge aller Punkte, die zu zwei gegebenen
Fixpunkten ein festes Abstandsverhältnis haben) noch nicht erkennen.
Was übersehe ich?

Deine Denkweise, einen vierten Kreis hinzuzunehmen, ist irgendwie faszinierend.
Ich durchschaue das nur noch nicht so ganz.
Gruß Brigitta

>
> Gruß,
> Rainer Rosenthal

[Rainer Rosenthal]

Am 30.11.2022 um 16:22 schrieb Brigitta Jennen:
>
> Doch ich kann den Zusammenhang zum Apolloniuskreis (Menge aller Punkte, die zu zwei gegebenen
> Fixpunkten ein festes Abstandsverhältnis haben) noch nicht erkennen.
> Was übersehe ich?
>

Du übersiehst, dass Apollonius allerlei feine Ideen hatte und sein Name
deswegen an mehreren Stellen auftaucht.

> Deine Denkweise, einen vierten Kreis hinzuzunehmen, ist irgendwie faszinierend.
> Ich durchschaue das nur noch nicht so ganz.
>

Geometrie mochte ich schon immer gerne, und in den goldenen dsm-Zeiten
wurden wirklich schöne Sachen diskutiert. Da war z.B. ein französischer
Geometrie-Fan mit prächtiger Website, der sehr schöne Anstöße geliefert
hat. Von daher habe ich so manche Erinnerung, die dann hilft "aus der
box" heraus zu denken. Lies mal, was es zum Apollonischen Berührproblem
gibt, z.B. hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Apollonisches_Problem

Da sind wir zu 100 Prozent genau bei dieser Aufgabe mit dem Grenzfall
eines entarteten Kreises. Ich bin leider etwas abgelenkt gewesen heute,
aber ich bleibe dran und wahrscheinlich gibt es hier auch bald
interessante Beiträge, die ich dann gerne lese.

Gruß,
Rainer

[Roalto]

Brigitta Jennen schrieb am Samstag, 19. November 2022 um 16:22:27 UTC+1:
> @ Ralf Bader schrieb am Freitag, 18. November 2022 um 00:49:58 UTC+1:
> ...
> > Vielleicht interessiert Dich
> > https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/52/August_Adler._Theorie_der_geometrischen_Konstruktionen%2C_Leipzig_1906.pdf
> > gefunden via
> > https://core.ac.uk/download/pdf/82348485.pdf
> Herzlichen Dank für diesen tollen Link!
> Eine Fundgrube.
>
> @ JVR
> > ... zum Teil auch auf deutsch im VEB Verlag,
> > als "Kleine Ergänzungsreihe zu den Hochschulbüchern für Mathematik". Danach lohnt es sich Ausschau zu
> > halten ...
>
> Ich hab das mal versucht, dem Hinweise von Tom Bola folgend, mit dem Tor-Browser.
> Allerdings bin ich da nicht weit gekommen, weil ich mich mit dem Tor-Browser und mit dem
> Dark-Net nicht so auskenne.
>
> Gibt es eine Möglichkeit, an diese Buchreihe legal heranzukommen?
>
> Die Bücher aus dem VEB-Verlag standen zu Studienzeiten bei uns hoch im Kurs.
> Etwa Näser, Physikalischen Chemie (mit russischer Übersetzung) oder in der
> Medizin: Voss, Härlinger Anatomie,
> da haben wir sogar einen "Vertriebsweg" in die damalige DDR aufgebaut :-))
> Diese Bücher waren (und sind) einfach legendär. Da konnte man vieles, was bei
> uns im Westen angeboten wurde, grad vergessen. Ich denke da besonders
> an die Chemie.

Ja, mit dem Näser haben wir in der BASF auch Physikalische Chemie gelernt.
Die Bücher stehen noch im Schrank.

Viel Spass weiterhin
Roalto

> Deshalb wäre es toll, wenn man an diese Mathematikreihe aus dem VEB-Verlag
> irgendwie rankommen könnte.
>
> Danke und Grüße
> B.

[Ulrich D i e z]

Am 30.11.22 um 16:56 schrieb Rainer Rosenthal:

> Geometrie mochte ich schon immer gerne, und in den goldenen dsm-Zeiten wurden wirklich schöne Sachen diskutiert. Da war z.B. ein französischer Geometrie-Fan mit prächtiger Website, der sehr schöne Anstöße geliefert hat. Von daher habe ich so manche Erinnerung, die dann hilft "aus der box" heraus zu denken. Lies mal, was es zum Apollonischen Berührproblem gibt, z.B. hier:
> https://de.wikipedia.org/wiki/Apollonisches_Problem
>
> Da sind wir zu 100 Prozent genau bei dieser Aufgabe mit dem Grenzfall eines entarteten Kreises. Ich bin leider etwas abgelenkt gewesen heute, aber ich bleibe dran und wahrscheinlich gibt es hier auch bald interessante Beiträge, die ich dann gerne lese.

Der innere Soddy-Kreis dreier gegebener Kreise von denen
einer einen unendlich großen Radius hat?

https://de.wikipedia.org/wiki/Soddy-Kreis

https://de.wikipedia.org/wiki/Formel_von_W._K._B._Holz

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Ulrich D i e z]

Am 29.11.22 um 18:37 schrieb Udo:

> Folgende Situation:
> Die y-Achse schneidet den Kreis K1 oben in einem Punkt S1.
> Eine Parallele zur y-Achse durch M2 schneidet K2 oben in S2.
>
> Jetzt folgende Überlegung:
> Der "Zwickelinkreis" muss Inkreis eines Dreiecks sein. OK?
> Wie komme ich an dieses Dreieck?
>
> Ziehe von S1 eine Tangente an K2, liefert einen Schnittpunkt mit der x-Achse: P1
> Ziehe von S2 eine Tangente an K1, liefert einen Schnittpunkt mit der x-Achse: P2
> Die Tangenten schneiden sich an Punkt Q.
>
> So, das war's.
> Dein gesuchter Inkreis ist gerade der Schnittpunkt der
> Winkelhalbierenden des Dreiecks P1 - P2 - Q.

Ich habe bestimmt noch nicht alles verstanden.

Aber wenn Du die durch S1 bzw S2 verlaufenden Tangenten der beiden
gegebenen Kreise schon hast, schneiden sich die durch die
Kreismittelpunkte verlaufenden Lote dieser Tangenten im Inkreismittelpunkt.

(Diese Lote dürfte man im Zuge der Thaleskreiskonstruktion der Tangenten
bereits haben.)

Diese Tangenten sind Begrenzungslinien des Dreiecks mit dem gesuchten
Inkreises und damit auch Tangenten des gesuchten Inkreises, wobei
der Berührpunkt des gesuchten Inkreises mit der zu einen der beiden
gegebenen Kreise gehörenden Tangente und der Berührpunkt dieses
gegebenen Kreises mit der zu ihm gehörenden Tangente zum Berührüunkt
des gesuchten Inkreises mit diesem gegebenen Kreis zusammenfällt und
die Verbindungslinie zwischen dem Mittelpunkt dieses gegebenen Kreises
und dem Mittelpunkt des gesuchten Inkreises senkrecht auf der zu
diesem gegebenen Kreis gehörenden Tangente steht.

Auf diese Weise bekommt man den Inkreismittelpunkt und zwei auf der
Inkreislinie liegende Punkte und kann damit den gesuchten Inkreis
konstruieren ohne sich mit Winkelhalbierenden herumschlagen zu müssen.


Was ich aber im Moment überhaupt noch nicht verstehe:

Wenn man die Konstruktion vollbracht hat, hat man drei einander paarweise
brührende Kreise, die eine gemeinsame Tangente haben.

Was mir im Moment fehlt, um die Sache als vollständig durchdacht ad acta
legen zu können, ist eine Methode, um zu zeigen, dass diejenige Tangente
zwichen dem kleinsten Kreis und einem der anderen beiden Kreise, die durch
den Berührpunkt dieser beiden Kreise verläuft, die Kreislinie des anderen
Kreises in einem Punkt schneidet, durch den auch das durch den Mittelpunkt
des anderen Kreises verlaufende Lot der allen drei Kreisen gemeinsamen
Tangente verläuft.

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Roalto]

Es ist mir nicht ganz klar, was du meinst; aber vielleicht hilft der Hinweis darauf, dass
die entsprechenden Tangentenabschnitte gleich lang sind und man mit gleichschenkligen
Dreiecken arbeiten kann, um den Beweis zu führen.
>
> Mit freundlichem Gruß
>
> Ulrich

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Ulrich D i e z]

Am 30.11.22 um 23:57 schrieb Roalto:

Bei mir ist die Rede von drei Kreisen und zwei Tangenten.

Erster Kreis: Der eine gegebene Kreis.
Zweiter Kreis: Der amdere gegebene Kreis.
Dritter Kreis: Der zu konstruierende Zwickelkreis.
Erste Tangente: Die Tangente, die alle drei Kreise gemeinsam haben.
Zweite Tangente: Die Tangente, die der kleinste Kreis=der zu
konstruierende Zwickelkreis und der eine gegebene Kreise gemeinsam
haben, und die durch den Berührüunkt dieser beiden Kreise verläuft.

Die zweite Tangente schneidet den anderen gegebenen Kreis in einem
Punkt, durch den auch diejenige Mttelsenkrechte der ersten Tangente
verläuft, die durch den Mittelpunkt des anderen Kreises verläuft.

Mir ist im Moment nicht klar wie man das beweist.

Ich weiß nicht, von was für Tamgenten_abschnitten_ bei dir die
Rede ist, und deshalb ist mir nicht klar, was du mit "entsprechende
Tangentenabschnitte" meinst.

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Brigitta Jennen]

Ulrich D i e z schrieb am Mittwoch, 30. November 2022 um 20:56:30 UTC+1:

> ...

> Aber wenn Du die durch S1 bzw S2 verlaufenden Tangenten der beiden
> gegebenen Kreise schon hast, schneiden sich die durch die
> Kreismittelpunkte verlaufenden Lote dieser Tangenten im Inkreismittelpunkt.

> ...

> Auf diese Weise bekommt man den Inkreismittelpunkt und zwei auf der
> Inkreislinie liegende Punkte und kann damit den gesuchten Inkreis
> konstruieren ohne sich mit Winkelhalbierenden herumschlagen zu müssen.

Ja - Du hast recht, das ist eine Abkürzung der Konstruktion.

>
> Was ich aber im Moment überhaupt noch nicht verstehe:
>
> Wenn man die Konstruktion vollbracht hat, hat man drei einander paarweise
> brührende Kreise, die eine gemeinsame Tangente haben.
>
> Was mir im Moment fehlt, um die Sache als vollständig durchdacht ad acta
> legen zu können, ist eine Methode, um zu zeigen, dass diejenige Tangente
> zwichen dem kleinsten Kreis und einem der anderen beiden Kreise, die durch
> den Berührpunkt dieser beiden Kreise verläuft, die Kreislinie des anderen
> Kreises in einem Punkt schneidet, durch den auch das durch den Mittelpunkt
> des anderen Kreises verlaufende Lot der allen drei Kreisen gemeinsamen
> Tangente verläuft.
>

Das ist exakt der Punkt, an dem ich auch noch knabbere.
Vielleicht kann ja Rainer weiterhelfen, oder Alfred, Martin, Ralf, Stefan, Stephan,
Tom, JVR oder Andreas, denen ich allen herzlich danke für die Zeit, die sie sich
genommen haben, hier zu antworten.
Gruß B.

> Mit freundlichem Gruß
>
> Ulrich

[Roalto]

Können wir das von Brigitta gezeichnete Bild als Grundlage nehmen?
Wie du schon sagtest haben wir 2 Punkte auf dem Inkreis durch die konstruierten Tangenten.
Nennen wir den Punkt der zur Tangente S2-P2 gehört T2, entsprechend den anderen T1.
Diese Punkte gehören zum Innenkreis. Der Verlängerung M1-T2 und M2-T1 treffen sich im Mittelpunkt
des Innenkreises. Das hatten wir ja schon festgestellt.
Die allen Kreisen gemeinsame Tangente ( obda nennen wir x_Achse)
Die Strecke P1-T1 tragen wir in P1 auf die x_Achse. Dieser Schnittpunkt ist der gesuchte 3. Berührpunkt
des Innenkreises. (Tangensatz). Genauso geht mit der Stecke P2-T2.
Ich hoffe, das wurde gesucht.

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Rainer Rosenthal]

Am 01.12.2022 um 13:05 schrieb Roalto:
> Können wir das von Brigitta gezeichnete Bild als Grundlage nehmen?
> Wie du schon sagtest haben wir 2 Punkte auf dem Inkreis durch die konstruierten Tangenten.
> Nennen wir den Punkt der zur Tangente S2-P2 gehört T2, entsprechend den anderen T1.
> Diese Punkte gehören zum Innenkreis. Der Verlängerung M1-T2 und M2-T1 treffen sich im Mittelpunkt
> des Innenkreises. Das hatten wir ja schon festgestellt.

Oh, das hatte ich nicht gesehen, das war ja mein Problem, und ich muss
gestehen, dass ich nur gelegentlich reinschauen kann, weil es gerade
tausend andere Dinge gibt, die getan werden wollen. OK, vielleicht sind
es nur 993.

Wo und wann, bitte, habt Ihr das festgestellt?

Gruß,
Rainer

[Roalto]

Das hat Ulrich am 30. gepostet.
Mein Nachdenken kam zum selben Ergebnis, aber er postete es zuerst.

> Gruß,
> Rainer

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Rainer Rosenthal]

Am 01.12.2022 um 11:37 schrieb Brigitta Jennen:
> Ulrich D i e z schrieb am Mittwoch, 30. November 2022 um 20:56:30 UTC+1:
>>
>> Was mir im Moment fehlt, um die Sache als vollständig durchdacht ad acta
>> legen zu können, ist eine Methode, um zu zeigen, dass diejenige Tangente
>> zwichen dem kleinsten Kreis und einem der anderen beiden Kreise, die durch
>> den Berührpunkt dieser beiden Kreise verläuft, die Kreislinie des anderen
>> Kreises in einem Punkt schneidet, durch den auch das durch den Mittelpunkt
>> des anderen Kreises verlaufende Lot der allen drei Kreisen gemeinsamen
>> Tangente verläuft.
>>

Ich muss diesen Satz in kleine Stücke zerlegen, um ihn zu verstehen.
Dabei beziehe ich mich (wie Roalto) auf das Bild https://ibb.co/7y2nfBL.
Für "einen der anderen beiden Kreise" nehme ich den Kreis K1.
Den kleinsten Kreis (der in der Originalaufgabe zu konstruieren ist und
im Bild den Radius x hat) nenne ich K3.
Den "Berührpunkt dieser beiden Kreise" nenne ich B13.
Die "allen drei Kreisen gemeinsame Tangente" ist die x-Achse.
Der "andere Kreis" ist K2, sein Mittelpunkt ist M2.
"Ein Punkt, durch den das durch den Mittelpunkt des anderen Kreises

verlaufende Lot der allen drei Kreisen gemeinsamen Tangente verläuft"

ist also "ein Punkt, durch den das durch M2 verlaufende Lot der x-Achse
verläuft". Und das ist nach Definition S2 oder der auf dem Kreis K2
diagonal entgegengesetzte Punkt S2'.
Ulrich sucht also einen Beweis dafür, dass die Tangente durch B13 durch
S2 oder S2' geht.

>
> Das ist exakt der Punkt, an dem ich auch noch knabbere.

> Vielleicht kann ja Rainer weiterhelfen ...

Wie Du siehst konnte ich noch nicht weiter helfen, sondern nur
feststellen, dass Ihr beiden das gleiche Problem habt wie ich.
Das hatte ich ich am 30.11. um 0:46 so formuliert:
"Ich brauche ich die Gewissheit, dass M1 - W durch den Berührpunkt von

S2 - P2 mit K1 geht. Mit W bezeichne ich dabei den von Dir rot
markierten Inkreismittelpunkt."

Das ist deswegen mit Eurer oben formulierten Frage identisch, weil W der
Mittelpunkt von K3 ist und der Berührpunkt B13 von K1 und K3 auf der
Geraden durch die Mittelpunkte M1 und W liegt.
Den "Berührpunkt von S2 - P2 mit K1" bezeichne ich mit T2, wie von
Roalto vorgeschlagen.

Die einzige Hilfe, die ich momentan anbieten kann, ist eine kurze
Formulierung unseres gemeinsamen Problems:
#====================
# Ist T2 = B13?
#====================

Und gerne noch ein Bild dazu:
http://rwro.de/Demonstrationen/dsmBJ_02_Frage.jpg

Gruß,
Rainer

[Alfred Flaßhaar]

Am 02.12.2022 um 01:57 schrieb Rainer Rosenthal:
> Am 01.12.2022 um 11:37 schrieb Brigitta Jennen:
>> Ulrich D i e z schrieb am Mittwoch, 30. November 2022 um 20:56:30 UTC+1:
>>>

(...)

Zuruf von der hinteren Bank:

Könnten vielleicht

https://de.wikipedia.org/wiki/Soddy-Kreis

und darin enthaltene links insbesondere auf

Arthur Baragarm, Alex Kontorovich: Efficiently Constructing Tangent Circles
https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Eppstein.shtml
N. Dergiades: The Soddy Circles" helfen?

Viele Grüße zum Wochenende, Alfred

[Rainer Rosenthal]

Am 02.12.2022 um 10:08 schrieb Alfred Flaßhaar:

> Am 29.11.2022 um 17:10 schrieb Brigitta Jennen:
> >
> > Gegeben sind zwei unterschiedlich große Kreise:
> > K1 mit Radius R, Mittelpunkt M1.
> > K2 mit Radius r, Mittelpunkt M2.
> >
> > Beide Kreise berühren sich und liegen auf der x-Achse, berühren diese also unten ebenfalls.
> > Zwischen der x-Achse und diesen beiden Kreisen ist jetzt so eine Art "Zwickel"
> > entstanden, in den jetzt - Achtung: verteufelt! - ein Inkreis einbeschrieben werden soll,
> > der die beiden Kreise K1 und K2 sowie die x-Achse berührt.
> > Den Radius dieses Inkreises bezeichne ich mal mit x.
> >

> > Eine Konstruktion dieses Inkreises nur mit Zirkel und Lineal, ist niemandem
> > in der Studentengruppe gelungen. Skizze: https://ibb.co/7y2nfBL (30.11.2022 um 00:18)

> >

>
> Könnten vielleicht
> https://de.wikipedia.org/wiki/Soddy-Kreis
>
> und darin enthaltene links insbesondere auf
> Arthur Baragarm, Alex Kontorovich: Efficiently Constructing Tangent Circles
> https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Eppstein.shtml
> N. Dergiades: The Soddy Circles" helfen?
>

Aber ja, sehr sogar! "cut-the-knot" ist eine gigantische Fundgrube.
Unglaublich, wo Descartes überall Spuren hinterlassen hat. Spannend zu
lesen, wie oft das Thema neu bearbeitet und Ergebnisse wiederentdeckt
wurden. Und dann als Sahnehäubchen die Entdeckung von David Eppstein aus
dem Jahr 2001 in diesem über hunderte von Jahren durchgepflügten Gelände.

OK, zugegeben: eine Antwort auf "Ist T2 = B13?" habe ich noch nicht
daraus destillieren können, aber ich freue mich, bei der Party Gast zu sein.

Gruß,
Rainer

P.S. Ich denke, es war in Deinem Sinne, Alfred, dass ich die
Thread-Vorgeschichte in die Antwort mit einbezogen habe.

[Roalto]

Der Berührpunkt zweier Kreise liegt immer auf der Verbindung der Mittelpunkte
Das, was man a priori sagen kann ist, das T1 und T2 auf einem Innenkreis eines
Dreiecks liegen( die Seiten eines Dreiecks sind Tangenten an den Innenkreis
dieses Dreiecks)
Zu zeigen wäre, dass T3 auf dem gleichen Innenkreis liegt.
Das ergibt sich aber daraus das T1,T2,T3 paarweise auf dem selben Innenkreis liegen.
Oder ,kleingehackt, kann mann das über sws-Kongruenz der Dreiecke T1-P1-W und
W-P1-T3 zeigen.

> Und gerne noch ein Bild dazu:
> http://rwro.de/Demonstrationen/dsmBJ_02_Frage.jpg
>
> Gruß,
> Rainer
> (*) Am 01.12.2022 um 13:05 schrieb Roalto:
> > Nennen wir den Punkt der zur Tangente S2-P2 gehört T2

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Stefan Schmitz]

Mir fehlt noch immer eine Idee, warum gerade S1 und S2 auf diesen
Tangenten liegen.

[Rainer Rosenthal]

Am 01.12.2022 um 23:19 schrieb Roalto:
> Rainer Rosenthal schrieb am Donnerstag, 1. Dezember 2022 um 20:54:25 UTC+1:
>> Am 01.12.2022 um 13:05 schrieb Roalto:
>>> Können wir das von Brigitta gezeichnete Bild als Grundlage nehmen?
>>> Wie du schon sagtest haben wir 2 Punkte auf dem Inkreis durch die konstruierten Tangenten.
>>> Nennen wir den Punkt der zur Tangente S2-P2 gehört T2, entsprechend den anderen T1.
>>> Diese Punkte gehören zum Innenkreis. Der Verlängerung M1-T2 und M2-T1 treffen sich im Mittelpunkt
>>> des Innenkreises. Das hatten wir ja schon festgestellt.
>>

>> Wo und wann, bitte, habt Ihr das festgestellt?
>
> Das hat Ulrich am 30. gepostet.
> Mein Nachdenken kam zum selben Ergebnis, aber er postete es zuerst.
>

Ich kann da keine Feststellung und kein Ergebnis sehen. Im Gegenteil:
Ulrich schreibt, dass er noch Klärungsbedarf hat. Seine Frage habe ich
umformuliert und in die kurze Form gebracht: "ist T2 = B13?" mit Bezug
auf das mit Erläuterungen versehene Bild von Brigitta Jennen:
http://rwro.de/Demonstrationen/dsmBJ_02_Frage.jpg
Auch Stefan Schmitz hat heute um 14:51 die Frage noch einmal gestellt:

"Mir fehlt noch immer eine Idee, warum gerade S1 und S2 auf diesen
Tangenten liegen".

Gruß,
RR

[Rainer Rosenthal]

Am 02.12.2022 um 12:22 schrieb Roalto:
>

> Der Berührpunkt zweier Kreise liegt immer auf der Verbindung der Mittelpunkte

Natürlich. Darum habe ich ja den Berührpunkt B13 der Kreise K1 und K3 in
Brigittas Skizze eingezeichnet mit dem Text "B13 = Schnitt M1 - W mit
K1". (Siehe http://rwro.de/Demonstrationen/dsmBJ_02_Frage.jpg)
Wofür war Dein Hinweis gedacht?

> Das, was man a priori sagen kann ist, das T1 und T2 auf einem Innenkreis eines
> Dreiecks liegen( die Seiten eines Dreiecks sind Tangenten an den Innenkreis
> dieses Dreiecks)
> Zu zeigen wäre, dass T3 auf dem gleichen Innenkreis liegt.

Was ist T3?

> Das ergibt sich aber daraus das T1,T2,T3 paarweise auf dem selben Innenkreis liegen.
> Oder ,kleingehackt, kann mann das über sws-Kongruenz der Dreiecke T1-P1-W und
> W-P1-T3 zeigen.
>

Das hilft doch nicht, die Frage von Ulrich, Stefan und mir zu
beantworten. Es ist klar, dass S2 - P2 sowohl den Kreis K1 berührt
(nämlich in T2) als auch den Kreis K3 (denn so ist der konstruiert).
Daraus folgt doch aber nicht, dass diese beiden Berührpunkte identisch
sind. Wenn(!) sie identisch sind, dann sind sie selbstverständlich
gleich dem Berührpunkt B13 der Kreise K1 und K3.

Die Frage bleibt also:

#====================
# Ist T2 = B13?
#====================

Gruß,
RR

[Rainer Rosenthal]

Am 01.12.2022 um 11:37 schrieb Brigitta Jennen:

Das Thema wird immer faszinierender, und das angesprochene Problem habe
ich mit Verweis auf Deine etwas erweiterte Skizze
http://rwro.de/Demonstrationen/dsmBJ_02_Frage.jpg
als sehr kurze Frage formuliert:

#====================
# Ist T2 = B13?
#====================

Ich konnte mich einfach nicht von dem Problem lösen und habe irgendwann
bei den Skizzen das Gefühl gehabt, da gäbe es eine gewisse "Mechanik" zu
bestaunen und zu ergründen. Ich habe mir verschiedene Dreiecke mit
Grundseite P1 - P2 vorgestellt mit Spitze Q, die die Kreise K1 und K2
gleichzeitig berühren. In Gedanken habe ich sie dann von ganz flach (Q
knapp über der x-Achse, P1 und P2 weit auseinander), bis zu ganz hoch
und spitz mit P1 und P2 eng beisammen, verformt. Ebenfalls in Gedanken
habe ich mir dabei den jeweiligen Inkreis K3 vorgestellt.
Dabei hat mich die relative Lage der Berührpunkte interessiert.
Es seien
T1 auf P1 - Q der Berührpunkt mit K2,
U1 auf P1 - Q der Berührpunkt mit K3,
T2 auf P2 - Q der Berührpunkt mit K1,
U2 auf P2 - Q der Berührpunkt mit K3.

Mir scheint Folgendes zu gelten:

Satz A:
=======
Punkt U1 liegt genau dann tiefer als T1, wenn U2 tiefer als T2 liegt.

Mit einem Stetigkeitsargument bedeutet das, dass es genau ein Dreieck P1
- P2 - Q gibt, bei dem T1 = U1 und T2 = U2 ist.
Mit Satz A ist also bewiesen, dass es überhaupt ein solches Dreieck
gibt, dessen Inkreis beide Kreise K1 und K2 berührt!

Das ist ja schon mal mehr als nix, nicht wahr?

Dann kann man sich daran machen, auf weitere Erkundung zu gehen und zu
schauen, ob tatsächlich S1 auf P1 - T1 liegt und S2 auf P2 - T2.

Gruß und gute Rest-Nacht,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

[Stefan Schmitz]

Am 03.12.2022 um 02:26 schrieb Rainer Rosenthal:

> Satz A:
> =======
> Punkt U1 liegt genau dann tiefer als T1, wenn U2 tiefer als T2 liegt.
>
> Mit einem Stetigkeitsargument bedeutet das, dass es genau ein Dreieck P1
> - P2 - Q gibt, bei dem T1 = U1 und T2 = U2 ist.
> Mit Satz A ist also bewiesen, dass es überhaupt ein solches Dreieck
> gibt, dessen Inkreis beide Kreise K1 und K2 berührt!
>
> Das ist ja schon mal mehr als nix, nicht wahr?

Wirklich?
Es geht ja eigentlich um die Konstruktion eines Kreises, der K1, K2 und
die x-Achse berührt. Wenn es so einen Kreis gibt, dann auch ein Dreieck,
dessen Inkreis er ist. Bestehen Zweifel an der Existenz des Kreises?

[Roalto]

Es gibt viele Dreiecke mit denTangenten als 2 Seiten, dessen Inkreis die Kreise K1 und K2 in T2 bzw. T1 berühren.
(Sekanten - Tangentensatz).
Die Frage ist dann ob, die x-Achse auch Tangente ist. In der vorliegenden Konstruktion ist sie das.
Das müsste man evtl. beweisen. (das habe ich gemacht).

Die Punkte S1,S2 wurden ja per Konstruktionsvorschrift zur Tangentenbildung -festgelegt-.
Die Frage ist, ob die Konstruktion ebenfalls greift, wenn die Punkte S1,S2 woanders liegen.
Den Innenkreis eines Dreiecks kann man dann auch konstruieren ; nur ist dann die x-Achse keine Tangente, sondern
eine andere Gerade, parallel zur x-Achse.

> Das ist ja schon mal mehr als nix, nicht wahr?
>
> Dann kann man sich daran machen, auf weitere Erkundung zu gehen und zu
> schauen, ob tatsächlich S1 auf P1 - T1 liegt und S2 auf P2 - T2.
>
> Gruß und gute Rest-Nacht,
> Rainer Rosenthal
> r.ros...@web.de

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Roalto]

Brigitta Jennen schrieb am Dienstag, 29. November 2022 um 17:10:22 UTC+1:
> Aus gegebenem Anlass greife ich nochmals die weiter oben angeschnittene
> "Grundsatzfrage der Konstruktion mit Zirkel und Lineal" auf:
>
> Gilt eine Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal als durchgeführt, wenn ich das
> Ergebnis einer zuvor durchgeführten Rechnung bei der Konstruktion verwende?
>
> Die Meinungen hierüber gehen in den mir zugänglichen "Hobby-Mathematikerkreisen"
> auseinander :-)).
>
> Hintergrund ist eine konkrete Aufgabe, für die ich jetzt keinen eigenen Thread eröffne,
> da hier ohnehin schon einiges durcheinandergemischt wurde.
> Diese Aufgabe hat's in sich und stammt aus einem Kurs der technischen Hochschule,
> wo Leute höherer Semester sitzen, die zukünftig Brücken und Tunnel bauen sollen.
>
> Also:

> Gegeben sind zwei unterschiedlich große Kreise:
> K1 mit Radius R, Mittelpunkt M1.
> K2 mit Radius r, Mittelpunkt M2.
>
> Beide Kreise berühren sich und liegen auf der x-Achse, berühren diese also unten ebenfalls.
> Zwischen der x-Achse und diesen beiden Kreisen ist jetzt so eine Art "Zwickel"
> entstanden, in den jetzt - Achtung: verteufelt! - ein Inkreis einbeschrieben werden soll,
> der die beiden Kreise K1 und K2 sowie die x-Achse berührt.
> Den Radius dieses Inkreises bezeichne ich mal mit x.
>

> Eine Konstruktion dieses Inkreises nur mit Zirkel und Lineal, ohne Rechnung, ist niemandem
> in der Studentengruppe gelungen. Fast alle glauben, dass das ohne Rechnung
> nicht geht.
>
> Meine Frage ist, ob das tatsächlich so ist.
> Mit Rechnung ist's einfach.
>
> Ich gebe nach dem Spoiler das Rechenergebnis für den Radius des Inkreises
> mal an, damit man sich mit der länglichen Rechnung über dreimal Pythagoras nicht zu lange
> aufhalten muss.
> #
> #
> #
> #
> #
> #
> #
> #
> #
> Ergebnis für x:
>
> x = 1/4 * (R^2 + 2Rr) / (R + r + 2*Sqrt(Rr))

mein Ergebnis lautet:

1/Sqrt(x)=1/Sqrt(r)+1/Sqrt(R).
Vielleicht ist es ja das selbe?
wenn ich mich nicht verrechnet habe.
Viel Spass weiterhin
Roalto

[Stefan Schmitz]

Am 03.12.2022 um 13:36 schrieb Roalto:

> Die Punkte S1,S2 wurden ja per Konstruktionsvorschrift zur Tangentenbildung -festgelegt-.

Eben nicht. Die kommen anscheinend aus dem Nichts. Erst danach werden
Tagenten von dort aus konstruiert.

> Die Frage ist, ob die Konstruktion ebenfalls greift, wenn die Punkte S1,S2 woanders liegen.
> Den Innenkreis eines Dreiecks kann man dann auch konstruieren ; nur ist dann die x-Achse keine Tangente, sondern
> eine andere Gerade, parallel zur x-Achse.

Warum ist sie es denn bei dieser Wahl?

[Rainer Rosenthal]

Am 03.12.2022 um 02:26 schrieb Rainer Rosenthal:
>

> Das Thema wird immer faszinierender, und das angesprochene Problem habe

> ich mit Verweis auf http://rwro.de/Demonstrationen/dsmBJ_02_Frage.jpg

> als sehr kurze Frage formuliert:
> #====================
> #   Ist T2 = B13?
> #====================
>
> Ich konnte mich einfach nicht von dem Problem lösen und habe irgendwann
> bei den Skizzen das Gefühl gehabt, da gäbe es eine gewisse "Mechanik" zu
> bestaunen und zu ergründen. Ich habe mir verschiedene Dreiecke mit
> Grundseite P1 - P2 vorgestellt mit Spitze Q, die die Kreise K1 und K2
> gleichzeitig berühren. In Gedanken habe ich sie dann von ganz flach (Q
> knapp über der x-Achse, P1 und P2 weit auseinander), bis zu ganz hoch
> und spitz mit P1 und P2 eng beisammen, verformt. Ebenfalls in Gedanken
> habe ich mir dabei den jeweiligen Inkreis K3 vorgestellt.
> Dabei hat mich die relative Lage der Berührpunkte interessiert.
> Es seien
> T1 auf P1 - Q der Berührpunkt mit K2,
> U1 auf P1 - Q der Berührpunkt mit K3,
> T2 auf P2 - Q der Berührpunkt mit K1,
> U2 auf P2 - Q der Berührpunkt mit K3.
>

> Satz A (zu beweisen):
> =====================

> Punkt U1 liegt genau dann tiefer als T1, wenn U2 tiefer als T2 liegt.
>
> Mit einem Stetigkeitsargument bedeutet das, dass es genau ein Dreieck P1
> - P2 - Q gibt, bei dem T1 = U1 und T2 = U2 ist.
> Mit Satz A ist also bewiesen, dass es überhaupt ein solches Dreieck
> gibt, dessen Inkreis beide Kreise K1 und K2 berührt!
>
> Das ist ja schon mal mehr als nix, nicht wahr?
>
> Dann kann man sich daran machen, auf weitere Erkundung zu gehen und zu
> schauen, ob tatsächlich S1 auf P1 - T1 liegt und S2 auf P2 - T2.
>

Aus Zeitmangel kann ich nur eine weitere Skizze liefern, in der ich zu
den genannten Punkten noch U1 und U2 hinzugefügt habe:
http://rwro.de/Demonstrationen/dsmBJ_02_Antwort.jpg

Genauer herauszuarbeiten ist Folgendes:
der Kreis K3 wird größer, wenn V1 und V2 nach oben wandern.
Gleichzeitig wandern U1 und V1 dann nach unten in Richtung T1 und T2.
Der Kreis K3 ist am größten, wenn V1 und V2 den jeweils höchsten Punkt
S1 bzw. S2 erreicht haben.

Hilfreich dürfte sein, dass der Inkreis der größte Kreis ist, der einem
Dreieck einbeschrieben werden kann.

OK, das konnte ich nur andeuten, muss jetzt weg. Ich habe aber das gute
Gefühl, dass die "Mechanik" stimmt. Damit bestehen gute Chancen auf
einen entsprechenden Beweis. Sag ich mal :-)

Gruß,
Rainer R.

[Brigitta Jennen]

Roalto schrieb am Samstag, 3. Dezember 2022 um 13:47:29 UTC+1:
> ...
> mein Ergebnis lautet:
> 1/Sqrt(x)=1/Sqrt(r)+1/Sqrt(R).

Deine Formel liefert einen zu großen Wert für x.
Löst man Deine Formel nach x auf, so ergibt sich:

sqrt(x) = r * R / (sqrt(R) + sqrt(r))
bzw.
x = r^2 * R^2 /(R + 2*sqrt(R*r) + r)

Setzt Du dafür die realen Werte aus meiner Ursprungs-Skizze ein,
http://rwro.de/Demonstrationen/dsmBJ_02_Frage.jpg
R = 4 und r = 2
so ergibt sich nach Deiner Formel für x (den Radius des gesuchten Inkreises)
ein Wert für
x = 4 * 16 / (4 + 2 * sqrt(8) + 2) = 64 / (6 + 2*sqrt(8))
x = 32 / (3 + sqrt(8)) = 5.49...
(Hoffentlich hab ich mich jetzt nicht verrechnet).

Meine Formel

x = 1/4 * (R^2 + 2Rr) / (R + r + 2*Sqrt(Rr))

liefert als Ergebnis
x = 0.68...
was mit den Werten aus der Skizze übereinstimmt.

Wie anfangs gesagt, die Rechnung (3 mal Pythagoras) ist länglich und die
Gefahr ist groß, sich zu verrechnen.
Der Dreh besteht darin, die richtigen rechtwinkligen Dreiecke für die Berechnung
von x zu finden. Nicht ganz einfach.

> Vielleicht ist es ja das selbe?

Leider Nein.
Grüße B.

> Viel Spass weiterhin
> Roalto

[Brigitta Jennen]

Brigitta Jennen schrieb am Samstag, 3. Dezember 2022 um 15:12:52 UTC+1:
> Roalto schrieb am Samstag, 3. Dezember 2022 um 13:47:29 UTC+1:
...

> > 1/Sqrt(x)=1/Sqrt(r)+1/Sqrt(R).
>
Was hab ich da für einen Quatsch gerechnet.
Deine Formel stimmt!
Sorry!

[Ulrich D i e z]

Am 30.11.22 um 20:56 schrieb Ulrich D i e z:

> Was ich aber im Moment überhaupt noch nicht verstehe:
>
> Wenn man die Konstruktion vollbracht hat, hat man drei einander paarweise
> brührende Kreise, die eine gemeinsame Tangente haben.
>
> Was mir im Moment fehlt, um die Sache als vollständig durchdacht ad acta
> legen zu können, ist eine Methode, um zu zeigen, dass diejenige Tangente
> zwichen dem kleinsten Kreis und einem der anderen beiden Kreise, die durch
> den Berührpunkt dieser beiden Kreise verläuft, die Kreislinie des anderen
> Kreises in einem Punkt schneidet, durch den auch das durch den Mittelpunkt
> des anderen Kreises verlaufende Lot der allen drei Kreisen gemeinsamen
> Tangente verläuft.

Für den Fall, dass jemand spielen möchte, habe ich bei
GeoGebra Online einen kostemlosen Account erstellt und ein
Bildchen gemacht, in dem man diverse Punkte anklicken und
hin- und herziehen kann, um Größen zu verändern.

Abrufbar unter <https://www.geogebra.org/geometry/v85enufg>


Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Ulrich D i e z]

Am 03.12.22 um 18:34 schrieb Ulrich D i e z:

Ich hänge immer noch fest:

Es ist klar, dass der gesuchte Kreis mit jedem der gegebenen Kreise eine
Tangente gemeinsam hat, die durch seinen Berührpunkt mit diesem anderen
Kreis verläuft.

Wenn man andere Punkte als die von Udo angegebenen Punkte S_1 und S_2
wählt, um durch sie hindurch verlaufende Tangenten an die gegebenen
Kreise anzulegen, bilden diese Tangenten auch Dreiecke, die einen
Inkreis haben.

Aber bei diesen Inkreisen fällt der Berührpunkt des Inkreises mit
der jeweiligen Tangente nicht mit dem Berührpunkt des jeweiligen
gegebenen Kreises und der Tangente zusammen.

Wie zeigt man geometrisch, dass diese Berührpunkte dann und nur dann
zusammenfallen wenn die Tangenten durch S_1 bzw S_2 verlaufen?


Mit freundlichem Gruß

Ulrich

[Rainer Rosenthal]

Am 03.12.2022 um 21:04 schrieb Ulrich D i e z:
>
> Wie zeigt man geometrisch, dass diese Berührpunkte dann und nur dann
> zusammenfallen wenn die Tangenten durch S_1 bzw S_2 verlaufen?
>

Schau Dir meine Gedanken zur "Mechanik" an, bitte!
Die Punkte U1 und T1 werden genau dann gleich, wenn auch U2 = T2 wird.
In dieser Situation hat der Kreis K3 seine maximale Größe erreicht.
Die maximale Größe wird genau dann erreicht, wenn der Schnittpunkt Q von
P1 - V1 und P2 - V2 seine höchste Höhe über der x-Achse erreicht hat.
Und das ist genau dann der Fall, wenn V1 = S1 und V2 = S2.

Siehe Skizze http://rwro.de/Demonstrationen/dsmBJ_02_Antwort.jpg

Bitte entschuldige, dass ich das nicht formal sauber ausgearbeitet habe.
Es steckt noch einige Arbeit darin, aber wenigstens scheint mir, dass
der Zusammenhang deutlich wird, und dass nun S1 und S2 nicht mehr wie
"vom Himmel gefallen" erscheinen.

Gruß,
Rainer R.

[Brigitta Jennen]

Roalto schrieb am Samstag, 3. Dezember 2022 um 13:47:29 UTC+1:
...

> mein Ergebnis lautet:
>
> 1/Sqrt(x)=1/Sqrt(r)+1/Sqrt(R).
> Vielleicht ist es ja das selbe?
> wenn ich mich nicht verrechnet habe.

Könntest Du kurz skizzieren, wie Du zu Deiner Formel kommst?
Mein Rechenergebnis

x = 1/4 * (R^2 + 2Rr) / (R + r + 2*Sqrt(Rr))

leitet sich aus folgender Skizze ab, scheint aber falsch zu sein:

https://ibb.co/9pLVPrZ

Hab ich da einen Rechenfehler gemacht, den ich nicht sehe?
Die Formel ist insofern fatal, als sie mit dem Ergebnis Deiner Formel

1/Sqrt(x) = 1/Sqrt(r) + 1/Sqrt(R)

übereinstimmt, wenn R gerade doppelt so groß wie r ist.
Ich hab das erst gesehen, als ich mit anderen Werten für R und r
rumgespielt habe.

Wie bist Du auf Deine Formel gekommen?
Und wo liegt mein Fehler?
Vielleicht bringt uns das ein Stück weiter, wenn der Rechenweg
verstanden ist.

Es wird immer merkwürdiger und ich durchblicke das noch immer
nicht vollständig.

[Rainer Rosenthal]

Am 04.12.2022 um 10:50 schrieb Rainer Rosenthal:

> Schau Dir meine Gedanken zur "Mechanik" an, bitte!

>

> Siehe Skizze http://rwro.de/Demonstrationen/dsmBJ_02_Antwort.jpg

>
> Die Punkte U1 und T1 werden genau dann gleich, wenn auch U2 = T2 wird.

Das ist Unsinn, sorry!
Ich kann die Tangente V2 - P2 unbewegt lassen und durch Veränderung von
V1 auf dem Kreis K1 dafür sorgen, dass T1 = U1 wird, d.h. dass K2 und K3
sich berühren. Dabei ist K3 immer der Inkreis des Dreiecks P1 - P2 - Q.
Q ist der Schnittpunkt der beiden schwarz gezeichneten Tangenten.

Oha, jetzt wird's lustig. Fast hätte ich geglaubt, ich hätte mich
geirrt, und T1 = U1 könne ich doch nicht schaffen, ohne die T2-Tangente
zu verändern. Geht aber doch ganz einfach! Ich denke mir die T1-Tangente
weg und vergrößere den Kreis K3, indem ich ihn nach links schiebe und
die x-Achse und die T2-Tangente berühren lasse. Sobald K3 den Kreis K2
berührt, lasse ich K3 stehen und lege die Tangente durch den
Berührpunkt. Die Punkte bezeichne ich genau wie in der Skizze:
T1 ist der Berührpunkt mit K2, P1 Schnitt mit der x-Achse und V1 der von
T1 weiter entfernte Schnittpunkt mit Kreis K1.

Für jede Lage der T2-Tangente kann ich diese Konstruktion durchführen.
Aber - wie ich jetzt gerade bemerke: ich kann ja auch die T1-Tangente
festhalten und den Kreis K3 nach rechts "aufblasen". Beim Aufblasen
liegt der Kreismittelpunkt M3 natürlich auf der Winkelhalbierenden der
tangentialen Geraden, entlang denen K3 bewegt wird. Jetzt wird es
anschaulich immer deutlicher: durch Iteration dieser Bewegungen von
Kreis K3 mal nach links und mal nach rechts kommt K3 der Lage immer
näher, in der er beide Kreise K1 und K2 berührt.
Gleichzeitig werden die T1-Tangente und die T2-Tangente immer steiler,
weil V1 und V2 höher wandern. Ihre Grenzpunkte sind dann S1 und S2.

> In dieser Situation hat der Kreis K3 seine maximale Größe erreicht.
> Die maximale Größe wird genau dann erreicht, wenn der Schnittpunkt Q von
> P1 - V1 und P2 - V2 seine höchste Höhe über der x-Achse erreicht hat.
> Und das ist genau dann der Fall, wenn V1 = S1 und V2 = S2.

Amen.

Gruß,
Rainer R.