Mächtigkeit der Menge der Primzahlen
Jens Ahring
Und wie kann ich das Beweisen? Auch über Cantor?
Jens
Paul Ebermann
> Welche Mächtigkeit hat die Menge der Primzahlen?
Es gibt genauso viele wie natürliche Zahlen (N).
> Und wie kann ich das Beweisen? Auch über Cantor?
Vorbereitung:
a) Für jede unendliche Menge gilt:
card(M) >= card(N)
Das ist meine Definition von unendlicher
Menge.
b) Ist A eine Teilmenge von B, so gilt
card(A) <= card(B).
Das folgt direkt aus der Definition der
<=-Relation auf Kardinalzahlen.
c) Ist
card(A) <= card(B) und card(B) <= card(A),
so ist
card(A) = card(B).
Das ist die Totalordnung der Kardinalzahlen,
auch bekannt als Satz von Cantor, Schröder
und Bernstein. [1]
Eigentlicher Beweis:
d) Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Dafür gibt es ziemlich viele Beweise,
die bestimmt gleich von den anderen
Teilnehmern eingeschickt werden ...
e) Die Menge der Primzahlen P ist eine Teilmenge
der Menge der natürlichen Zahlen.
Das sollte klar sein.
Aus a) bis f) folgt dann, dass
card(P) = card(N).
HTH
Paul
[1] Ein Beweis dafür und für die Fakten davor aus einer
LAAG1-Vorlesung (die ich gehört habe) ist in meinem
Mengenlehre-Skript zu finden:
http://purl.org/NET/epaul/liste.html
Joachim Pense
> Welche Mächtigkeit hat die Menge der Primzahlen?
> Und wie kann ich das Beweisen? Auch über Cantor?
>
> Jens
>
>
Abzählbar unendlich. Unendlich - das ist der Klassiker von Euklid, und
abzählbar, weil Teilmenge der Natürlichen Zahlen.
Joachim
--
der Sinn des Lebens liegt in sich selbst
Hermann Kremer
>"Jens Ahring" skribis:
[ ... ]
>d) Es gibt unendlich viele Primzahlen.
>
>Dafür gibt es ziemlich viele Beweise,
>die bestimmt gleich von den anderen
>Teilnehmern eingeschickt werden ...
Nee, nur einen Link mit 27 Stück davon - das sind aber bei weitem nicht alle :-)
http://www.theory-of-numbers.de/
---> Primzahlbeweise
Gruß
Hermann
--
Hans-Christoph Wirth
>
> natürliche Zahlen (N).
>
> a) Für jede unendliche Menge gilt:
>
> card(M) >= card(N)
>
> Das ist meine Definition von unendlicher
> Menge.
Deine Definition ist unvollstaendig, weil M nirgends definiert wird.
Paul Ebermann
Ich meinte eigentlich:
| a) Für jede unendliche Menge M gilt:
|
| card(M) >= card(N)
|
| Das folgt aus meiner Definition von
| "unendlicher Menge".
Danke für den Hinweis.
Paul