(a-x)^3+(b-x)^3-(c-x)^3=y

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peter....@arcor.de

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Jun 20, 2021, 6:51:28 PMJun 20
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Betrachten wir den Ausdruck (a-x)^3+(b-x)^3-(c-x)^3=y
Dieser lässt sich umformen zu:

x (-3 a^2 - 3 b^2 + 3 c^2) + x^2 (3 a + 3 b - 3 c) (a^3 + b^3 - c^3) - x^3 = y

Wenn (a^3 + b^3 - c^3)=0, dann ist der Ausdruck stets durch x teilbar.
Also kann man annehmen, x=b und wir erhalten:

(a-b)^3 - (c-b)^3 = y

y müsste also durch b teilbar sein.

Die beiden Lösungen der resultierenden quadratischen Gleichung lauten:

b = -(-3 a^2 + sqrt(3) sqrt(-(c - a) (c^3-a^3 + 3 a^2 c - 3 a c^2 + 4 y)) + 3 c^2)/(6 (a - c)) and a!=c
b = (3 a^2 + sqrt(3) sqrt(-(a - c) (a^3-c^3 - 3 a^2 c + 3 a c^2 - 4 y)) - 3 c^2)/(6 a - 6 c) and a!=c

Man erkennt, wenn a^3-c^3=b^3 und wenn a,b,c teilerfremd, dann ist eine ganzzahlige Lösung für b nicht möglich.
Außerdem müsste dann b den Teiler 3 enthalten, da ja auch y durch b teilbar sein muss.

Da a und b in der ursprünglichen Gleichung gleichberechtigt sind, müsste das auch auf a zutreffen und dies ist unmöglich, wenn a,b,c als teilerfremd vorausgesetzt werden.


Tom Bola

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Jun 20, 2021, 7:08:52 PMJun 20
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peter....@arcor.de schrieb:
Verstehe!

Wird langsam.
Nicht übel.

peter....@arcor.de

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Jun 20, 2021, 7:14:05 PMJun 20
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On Monday, June 21, 2021 at 1:08:52 AM UTC+2, Tom Bola wrote:
> peter....@arcor.de schrieb:
> > Betrachten wir den Ausdruck (a-x)^3+(b-x)^3-(c-x)^3=y
> > Dieser lässt sich umformen zu:
> >
> > x (-3 a^2 - 3 b^2 + 3 c^2) + x^2 (3 a + 3 b - 3 c) (a^3 + b^3 - c^3) - x^3 = y
Soll heißen: x (-3 a^2 - 3 b^2 + 3 c^2) + x^2 (3 a + 3 b - 3 c)+ (a^3 + b^3 - c^3) - x^3 = y

> Verstehe!
>
> Wird langsam.
> Nicht übel.
Danke, ich habe ein "+" Zeichen unterschlagen. Korrektur siehe oben, oder einfach nachrechnen in Wolfram Alpha.

Tom Bola

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Jun 20, 2021, 7:16:57 PMJun 20
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peter....@arcor.de schrieb:
Es ist ein Beweis

peter....@arcor.de

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Jun 20, 2021, 8:02:36 PMJun 20
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Vielleicht eleganter ist diese Lösung:
solve (a-b)^3 - (c-b)^3 =b z for a
<https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+%28a-b%29%5E3+-+%28c-b%29%5E3+%3Db+z+for+a>

Man erhält eine kubische Gleichung die nur eine reelle Lösung fü a hat:
a = (-b^3 + 3 b^2 c - 3 b c^2 + b z + c^3)^(1/3) + b
Wenn c^3-b^3=a^3, und a.b.c teilerfremd, wird klar, dass es keine ganzzahlige Lösung für a gibt, wenn c und b und z ganzzahlig sind.

Tom Bola

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Jun 20, 2021, 8:06:30 PMJun 20
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peter....@arcor.de schrieb:
Das ist die reelle Zahl als Teiler...

Stephan Gerlach

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Jun 30, 2021, 3:38:22 PMJun 30
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peter....@arcor.de schrieb:
> Betrachten wir den Ausdruck (a-x)^3+(b-x)^3-(c-x)^3=y

Der richtige (oder zumindest "bessere") Begriff ist "Gleichung", nicht
"Ausdruck".
Wobei es dir offenbar nur auf die linke Seite der Gleichung ankommt, die
du lediglich zur Abkürzung mit y bezeichnet hast(?).

> Dieser lässt sich umformen zu:
>
> x (-3 a^2 - 3 b^2 + 3 c^2) + x^2 (3 a + 3 b - 3 c) (a^3 + b^3 - c^3) - x^3 = y
^^^
Da fehlt IMHO ein +, es soll wohl heißen

x (-3a^2 - 3b^2 + 3c^2) + x^2 (3a + 3b - 3c) + (a^3 + b^3 - c^3) - x^3
= y

> Wenn (a^3 + b^3 - c^3)=0, dann ist der Ausdruck stets durch x teilbar.

Unter geeigneten Voraussetzungen an a, b und c.
Z.B. könnte als Voraussetzung hinreichend sein, daß a, b und c
ganzzahlig sind.
Oder auch die (stärkere) Voraussetzung, daß a, b und c natürliche Zahlen
sind.

Außerdem sollte man voraussetzen, daß x selbst ganzzahlig ist, da sonst
die Aussage "etwas ist durch x teilbar" unlogisch wäre.

> Also kann man annehmen, x=b ...

Hier ist wohl sowas gemeint wie
"Wir können in der Gleichung x=b setzen".
Das "also", was eine Schlußfolgerung suggeriert, ist BTW etwas
irreführend, denn x=b setzen kann man völlig unabhängig von deiner
Umformung.

> ... und wir erhalten:
>
> (a-b)^3 - (c-b)^3 = y

Das kommt (trivialerweise) heraus, wenn du in deine ursprüngliche
Gleichung x=b einsetzt.

> y müsste also durch b teilbar sein.

Wenn ich richtig verstehe, hast du bis hierhin:

Wenn (a^3 + b^3 - c^3)=0,
dann ist (a-b)^3 - (c-b)^3 durch b teilbar.

> Die beiden Lösungen der resultierenden quadratischen Gleichung lauten:

Mit der resultierenden quadratischen Gleichung ist wohl

(a-b)^3 - (c-b)^3 = y

als Gleichung für b gemeint. Diese Gleichung in einer besser lesbaren
Form lautet BTW

(3a-3c) b^2 - (3a^2-3c^2) b + (a^3-c^3-y) = 0 [*]

> b = -(-3 a^2 + sqrt(3) sqrt(-(c - a) (c^3-a^3 + 3 a^2 c - 3 a c^2 + 4 y)) + 3 c^2)/(6 (a - c)) and a!=c
> b = (3 a^2 + sqrt(3) sqrt(-(a - c) (a^3-c^3 - 3 a^2 c + 3 a c^2 - 4 y)) - 3 c^2)/(6 a - 6 c) and a!=c

Müßte stimmen.

> Man erkennt, wenn a^3-c^3=b^3 und wenn a,b,c teilerfremd, dann ist eine ganzzahlige Lösung für b nicht möglich.

Diese lapidare(?) Schlußfolgerung ist allerdings jetzt nicht so klar.
Folgt das aus der genannten Lösung der quadratischen Gleichung für b?

Oder aus der Gleichung [*] selbst?

Wenn ich in die Lösung unter der Wurzel a^3-c^3 durch b^3 ersetze, ist
da erstmal nicht a priori klar, ob/wann dieser Term unter der wurzel
ganzzahlig bzw. sogar eine Quadratzahl wäre.

> Außerdem müsste dann b den Teiler 3 enthalten, da ja auch y durch b teilbar sein muss.

Auch das ist nicht ganz klar. Oben schriebst du, daß aus
a^3+b^3-c^3=0 [1]
folgt, daß y durch b teilbar ist.
Wenn zusätzlich(?)
a^3-c^3=b^3 [2]
gilt, dann folgt aus [1] und [2] relativ einfach b=0.

> Da a und b in der ursprünglichen Gleichung gleichberechtigt sind,...

... ja...

> ... müsste das auch auf a zutreffen und dies ist unmöglich, wenn a,b,c als teilerfremd vorausgesetzt werden.

Aber in a^3-c^3=b^3 sind a und b nicht gleichberechtigt (vertauschbar).


--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
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