Taylorreihe - Fourierreihe
Stefan Krompaß
Eine Frage: wann wird eine Funktion mit der Taylorreihe approximiert,
und wann durch eine Fourierreihe? Und was genau ist der Unterschied
zwischen einer Potenzreihe und einer Taylorreihe? Ist die Potenzreihe
ein "Spezielfall" der Taylorreihe?
Danke!
Stefan
Lukas-Fabian Moser
<krom...@fmi.uni-passau.de> wrote:
>zwischen einer Potenzreihe und einer Taylorreihe? Ist die Potenzreihe
>ein "Spezielfall" der Taylorreihe?
Andersherum: die Taylorreihe ist eine spezielle Potenzreihe. Eine
Potenzreihe ist allgemein eine Reihe der Form
sum_{k=0}^\infty a_k x^k.
Lukas
Hermann Kremer
Stefan Krompaß schrieb in Nachricht <3AB06A31...@fmi.uni-passau.de>...
Hallo Stefan,
eine Taylor-Reihe approximiert eine Funktion in der Umgebung des
Entwicklungspunkts x0 sehr gut (bei Entwicklungspunkt x0 = 0 spricht man
auch von einer MacLaurin-Reihe), aber umso schlechter, je weiter man sich
vom Entwicklungspunkt entfernt. Man kann aber andere Potenzreihen basteln,
die eine gegebene Funktion in einem ganzen Intervall mehr oder minder gut
approximieren. Es gibt dazu einen Satz von K. Weierstraß, der besagt, daß
man jede in einem abgeschlossenen Intervall einschließlich der
Intervallränder stetige Funktion dort durch Polynome (Potenzreihen) beliebig
genau approximieren kann - solche Polynome sind z.B. die
Bernstein-Polynome.
Eine Taylor-Reihe ist also nur ein Spezialfall einer Potenzreihe, die eine
Funktion nur lokal approximiert.
Fourier-Reihen verwendet man zur Approximation periodischer Funktionen im
gesamten Periodenintervall. Die Basisfunktionen von Fourier-Reihen sind
Sinus- und Cosinus-Funktionen mit ganzzahligen Vielfachen einer
"Grundfrequenz". In der Technik spricht man dabei auch von Oberwellen oder
Harmonischen.
Etwas ähnliches sind die sog. fastperiodischen Funktionen - das sind
ebenfalls Summen von Sinus- und Cosinus-Funktionen, deren Frequenzen aber
keine ganzzahligen Vielfachen einer Grundfrequenz sind, sondern in
irrationalen Verhältnissen stehen. Solche Funktionen sind also nicht streng
periodisch, aber "fast". Die Theorie solcher fastperiodischer Funktionen
geht im wesentlichen auf Harald Bohr zurück, das war der Bruder des
Physikers Nils Bohr.
Ich hoffe, das erkärt einigermaßen Deine Frage.
Grüße
Hermann
--
>Stefan
>
Roland Franzius
Eine Taylorreihe approximiert eine analytische Funktion in der Umgebung
eines Entwicklungspunktes x_0 in der Form
f(x)= sum a_n (x-x_0)^n mit a_n = d^n f(x_0)/dx_0^n / n!.
Die Reihe konvergiert im größten Kreis der komplexen Ebene, in der die
Funktion analytisch ist.
Die abgeschnittene Taylorreihe ist eine Polynom und gibt i.a. nur eine
schlechte Approximation außer in der Umgebung des Entwicklungspunktes
x_0.
Eine spezielle Form von Fourierreihen ergibt sich aus der Taylorreihe
einer analytischen Funktion durch Einsetzen von x -> r e^(i t) für
irgendein r innerhalb des Konvergenzkreises. Nimmt man davon Real oder
Imaginärteil, erhält man 2pi-periodische reell-analytische Funktionen
der Form
g(t) = sum_n a_n r^n Cos(n t).
Im allgemeinen sind reelle 2pi-periodische Funktionen der Form
f(x)=sum_n ( a_n cos(nt) + b_n sin(nt) )
nicht glatt (=oo-oft diffbar). Hier steht im Vordergrund die
Approximation im Mittel über das Intervall (0,2pi), d.h. man bestimmt
die Entwicklungskoeffizienten so, dass das Integral
int_0^2pi dx | f(x)- sum_n ( a_n cos(nx) + b_n sin(nx) |^p für
irgendein positves p, meist 1 oder 2, minimal wird.
Diese Approximationen sind bei abbrechender Reihe also gleichmäßiger im
gesamten Intervall, da der Aproximationsfehler über das ganze Intervall
gemittelt minimiert wird. Im Gegensatz zur Taylorreihe sind selbst
unstetige Funktionen durch Fourierreihen approximierbar.
--
Roland Franzius
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