Winkelsumme im Dreieck ungleich 180°?
A.A.Interrants
in einem Buch über Einstein fand ich eine Abbildung, in der ein Dreieck
dargestellt wird, dessen Winkelsumme mehr als 180 ° hat (270° nach den
Angaben im Buch, um genau zu sein).
Was mich jetzt verwirrt, das ist die Tatsache, dass es sich bei dem Dreieck
quasi um eine Kugeloberfläche handelt (Man schneidet die Kugel dreimal in
der Mitte durch, um jeweils 90 ° versetzt, entsprechend den drei
Raumdimensionen, so dass es eine Kugelachtel wird).
Wenn ich jetzt die Winkel der gekrümmten Oberfläche messen möchte, müsste
ich dann nicht auch einen gekrümmten Maßstab hernehmen? Wäre die Winkelsumme
dann nicht wieder 180°?
Ist das nicht einfach nur ein Auffassungsproblem?
Alex'
--
A Bavarian user of RISC OS since January 1994
and Psion computers since January 2005
Website contains: Psion netBook, handmade books,
ebooks, all in German as well
David Kastrup
> in einem Buch über Einstein fand ich eine Abbildung, in der ein Dreieck
> dargestellt wird, dessen Winkelsumme mehr als 180 ° hat (270° nach den
> Angaben im Buch, um genau zu sein).
>
> Was mich jetzt verwirrt, das ist die Tatsache, dass es sich bei dem Dreieck
> quasi um eine Kugeloberfläche handelt (Man schneidet die Kugel dreimal in
> der Mitte durch, um jeweils 90 ° versetzt, entsprechend den drei
> Raumdimensionen, so dass es eine Kugelachtel wird).
>
> Wenn ich jetzt die Winkel der gekrümmten Oberfläche messen möchte, müsste
> ich dann nicht auch einen gekrümmten Maßstab hernehmen?
Wenn Du möchtest...
> Wäre die Winkelsumme dann nicht wieder 180°?
Nö. Ein Winkel ist ja unabhängig von der Länge der daranhängenden
Schenkel. Ob diese nun vernachlässigbar klein gegenüber dem
Kugelradius sind (und dann bekommen wir im Grenzfall wieder ein ebenes
Dreieck mit Winkelsumme 180°) oder groß: der Winkel dazwischen ändert
sich nicht.
> Ist das nicht einfach nur ein Auffassungsproblem?
Nein.
--
David Kastrup, Kriemhildstr. 15, 44793 Bochum
Florian Schmidt
> Hallo,
>
> in einem Buch über Einstein fand ich eine Abbildung, in der ein Dreieck
> dargestellt wird, dessen Winkelsumme mehr als 180 ° hat (270° nach den
> Angaben im Buch, um genau zu sein).
>
> Was mich jetzt verwirrt, das ist die Tatsache, dass es sich bei dem
> Dreieck quasi um eine Kugeloberfläche handelt (Man schneidet die Kugel
> dreimal in der Mitte durch, um jeweils 90 ° versetzt, entsprechend den
> drei Raumdimensionen, so dass es eine Kugelachtel wird).
>
> Wenn ich jetzt die Winkel der gekrümmten Oberfläche messen möchte, müsste
> ich dann nicht auch einen gekrümmten Maßstab hernehmen? Wäre die
> Winkelsumme dann nicht wieder 180°?
>
> Ist das nicht einfach nur ein Auffassungsproblem?
Nee, stell dir vor, du faengst eine Reise am Nordpol an. Du schaust genau
entlang dem Null-Meridian (der auf dessen Linie Greenwich liegt).. Dann
gehst du suedlich bis zum Aequator. Da drehst du dich um 90 Grad nach links
und laeufst dann am Aequator entlang. Und zwar laeufst du solange bis du
1/4 des Erdumfangs hinter dir gelassen hast. Dann drehst du dich wieder um
90 Grad nach links und laeufst jetzt direkt nach Norden. Mit deinen beiden
Drehungen hast du bereits 180 Grad Drehung vollzogen. Wenn du jetzt oben am
Nordpol ankommst wirst du feststellen, dass du, wenn du wieder deinem alten
Pfad direkt nach Sueden (nach Greenwich) folgen willst, dich nochmal um 90
Grad drehen musst.
Ergo, die Winkelsumm betraegt in diesem "Dreieck" 270 Grad.
Was Winkelsummen in einem Dreieck ergeben haengt von der Geometrie des
Raumes ab. In euklidischer Geometrie ist die Winkelsumme 180 Grad. In
elliptischer mehr als 180 Grad und in hyperbolischer weniger als 180 Grad
(ein oft benutztes Beispiel fuer hyperbolische Geometrie ist ein Sattel
(siehe daz z.B. den Artikel zu hyperbolic geometry auf wikipedia)).
Gruss,
Flo
--
Palimm Palimm!
http://tapas.affenbande.org
kilian heckrodt
> Hallo,
>
> in einem Buch über Einstein fand ich eine Abbildung, in der ein Dreieck
> dargestellt wird, dessen Winkelsumme mehr als 180 ° hat (270° nach den
> Angaben im Buch, um genau zu sein).
>
> Was mich jetzt verwirrt, das ist die Tatsache, dass es sich bei dem Dreieck
> quasi um eine Kugeloberfläche handelt (Man schneidet die Kugel dreimal in
> der Mitte durch, um jeweils 90 ° versetzt, entsprechend den drei
> Raumdimensionen, so dass es eine Kugelachtel wird).
>
> Wenn ich jetzt die Winkel der gekrümmten Oberfläche messen möchte, müsste
> ich dann nicht auch einen gekrümmten Maßstab hernehmen? Wäre die Winkelsumme
> dann nicht wieder 180°?
>
> Ist das nicht einfach nur ein Auffassungsproblem?
>
> Alex'
>
euklidischen (der klassischen in der Schule unterrichteten) Geometrie.
Die Kugelgeometrie ist nicht euklidisch, daher muss die Winkelsumme
nicht 180 Grad betragen.
Die euklidische Geometrie entspringt in gewisser Weise unserer
raeumlichen Wahrnehmung und galt so auch lange Zeit als die einzig
moegliche Geometrie. Es hat sich aber eben herausgestellt das unsere
raeumliche Wahrnehmung nur lokal "richtig" ist, die Erdkugel laesst sich
lokal recht gut durch Karten (euklidisch) beschreiben aber eben nicht
als ganzes.
Axiomatisch betrachtet macht sich die Problematik am Parallelenaxiom
fest, dessen Konsequenz die Winkelsumme von 180 ist.Diese nimmt eine
Sonderstellung ein und gilt im Gegensatz zu allen anderen Axiomen eben
nicht in alle Geometrien.
David Kastrup
> Axiomatisch betrachtet macht sich die Problematik am Parallelenaxiom
> fest, dessen Konsequenz die Winkelsumme von 180 ist.Diese nimmt eine
> Sonderstellung ein und gilt im Gegensatz zu allen anderen Axiomen
> eben nicht in alle Geometrien.
Blödsinn. Selbstverständlich ergeben sich auch unter Verzicht auf
andere Axiome noch Geometrien. Es ist ja gerade eine
Fundamentaleigenschaft von Axiomen eines Axiomensystemes, daß ihre
Gültigkeit unabhängig voneinander postuliert werden kann.
Hero
> Hallo,
>
> in einem Buch über Einstein fand ich eine Abbildung, in der ein Dreieck
> dargestellt wird, dessen Winkelsumme mehr als 180 ° hat (270° nach den
> Angaben im Buch, um genau zu sein).
>
> Was mich jetzt verwirrt, das ist die Tatsache, dass es sich bei dem Dreieck
> quasi um eine Kugeloberfläche handelt (Man schneidet die Kugel dreimal in
> der Mitte durch, um jeweils 90 ° versetzt, entsprechend den drei
> Raumdimensionen, so dass es eine Kugelachtel wird).
Wenn Du drei Raumpunkte mit Geraden verbindest ergibt sich immer die
Winkelsumme von 180 Grad.
>
> Wenn ich jetzt die Winkel der gekrümmten Oberfläche messen möchte, müsste
> ich dann nicht auch einen gekrümmten Maßstab hernehmen?
Eigentlich wohl, aber den gibt es nicht. Ich hab gelernt, dass man an
die krummen Verbindungslinien des krummen Dreiecks in den Eckpunkten
Tangenten anlegt und dann die Winkel misst.
Wäre die Winkelsumme
> dann nicht wieder 180°?
>
Kann man nicht sagen, weil es keine krummen Winkel gibt.
Aber die Winkelsumme zwischen den Tangenten kann durchaus ungleich 180
Grad sein.
Das wussten die Landkartenhersteller schon in alexandrinischer Zeit.
Mit freundlichen Grüssen
Hero
Peter Niessen
>> Was mich jetzt verwirrt, das ist die Tatsache, dass es sich bei dem Dreieck
>> quasi um eine Kugeloberfläche handelt (Man schneidet die Kugel dreimal in
>> der Mitte durch, um jeweils 90 ° versetzt, entsprechend den drei
>> Raumdimensionen, so dass es eine Kugelachtel wird).
>
> Wenn Du drei Raumpunkte mit Geraden verbindest ergibt sich immer die
> Winkelsumme von 180 Grad.
Das meinst du doch nicht wirklich oder?
Wenn ja, dann beweise das mal.
--
Mit freundlichen Grüssen
Peter Nießen
Hero
Peter Niessen schrieb:
Euclid's Elements, Book I, Proposition 32
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI32.html
Mit freundlichen Grüssen
Hero
kilian heckrodt
Von der allgemeinen Eigenschaften eines Axiomssystems war doch garnicht
die Rede.
Welche Axiome willst du denn weglassen?
Natürlich kann man weitere weglassen, aber die dann enstehenden
Strukturen bezeichnet man dann soweit mir bekannt eben nicht mehr
als Geometrien.
Rudi Menter
> David Kastrup wrote:
>>> Axiomatisch betrachtet macht sich die Problematik am Parallelenaxiom
>>> fest, dessen Konsequenz die Winkelsumme von 180 ist.Diese nimmt eine
>>> Sonderstellung ein und gilt im Gegensatz zu allen anderen Axiomen
>>> eben nicht in alle Geometrien.
>>
>> Blödsinn. Selbstverständlich ergeben sich auch unter Verzicht auf
>> andere Axiome noch Geometrien. Es ist ja gerade eine
>> Fundamentaleigenschaft von Axiomen eines Axiomensystemes, daß ihre
>> Gültigkeit unabhängig voneinander postuliert werden kann.
> Was Blösinn?
Ich lese das so, daß ihr Zwei dasselbe sagen wollt...
fg
--
David Kastrup
Nicht? Affine Geometrien sind i.a. durch Parallelenaxiom,
Verbindungsaxiom und Reichhaltigkeitsaxiom charakterisiert, projektive
Geometrien durch Schnittaxiom statt Parallelenaxiom.
Beispielsweise sind die Eckpunkte und Kanten eines Tetraeders ein
Beispiel für eine endliche affine Geometrie mit 4 Punkten und 6
Geraden.
Rudi Menter
Peter Niessen
Das ist aber kein Beweis!
In der euklidschen Definition der Gerade stecken schon sehr viele
Voraussetzungen die keinesfalls selbstverständlich sind. Du setzt ja ganz
einfach voraus das der Raum nicht gekrümmt ist, aber das ist zur Definition
einer Gerade überhaupt nicht notwendig. Ich setze dagegen:
Die Gerade(Linie) ist einem gegeben Raum die kürzeste Verbindung zwischen
zwei Punkten. Und nun (er)kläre erstmal was es denn bedeutet zu sagen: Das
ist die kürzeste Verbindung.
kilian heckrodt
Naja das bestreitet ja keiner. Wir können auch gerne Inzidenzgeometrie
oder endliche Geometrie betrachten, allerdings hat das nicht unbedingt
was mit der ursprünglichen Aussage zu tun, da diese Geometrien nicht
unbedingt durch das Weglassen weiterer Axiome der absoluten Geometrie
entstehen, sondern durch alternative Axiome bzw. eine Menge von Axiomen
die mit denen der absoluten Geometrie eine nicht leere Schnitmmenge
haben, aber eben keine echte Teilmenge ist.
Um das sinnvoll zu diskutieren, muss man sich erst einmal auf einen
Geometriebegriff einigen (anstatt irgendwelche Dinge aufzuzählen in
denen das Geometrie drin vorkommt). Als für eine allgemeine Definition
von Geometrie nimmt man z.B. eine Menge mit einer auf ihr definierten
symmetrischen und relativen Relation (siehe z.B. Beutelspacher/Rosenbaum
- Projektive Geometrie Seite 5). Da ist dann natürlich einiges möglich,
aber das ist jetzt schon wieder weit weg von der absoluten Geometrie,
auf die sich meine ursprüngliche Aussage bezog bzw. beziehen sollte,
vielleicht hätte ich dieses Stichwort gleich zu Beginn nennen sollen.
Jutta Gut
"A.A.Interrants" <nor...@chiemgau-net.de> schrieb
> in einem Buch über Einstein fand ich eine Abbildung, in der ein Dreieck
> dargestellt wird, dessen Winkelsumme mehr als 180 ° hat (270° nach den
> Angaben im Buch, um genau zu sein).
>
> Was mich jetzt verwirrt, das ist die Tatsache, dass es sich bei dem
> Dreieck
> quasi um eine Kugeloberfläche handelt (Man schneidet die Kugel dreimal in
> der Mitte durch, um jeweils 90 ° versetzt, entsprechend den drei
> Raumdimensionen, so dass es eine Kugelachtel wird).
Nicht nur quasi, das ist ein Teil einer Kugeloberfläche. Für solche
Berechnungen braucht man die sphärische Trigonometrie.
> Ist das nicht einfach nur ein Auffassungsproblem?
In gewissem Sinn ja. Wenn du die Kugel in den euklidischen Raum eingebettet
betrachtest, sind die Siten des Dreiecks natürlich Kreisbögen und keine
Geraden.
Nach der modernen Auffassung beschreibt die Geometrie aber nicht die
"Wirklichkeit", sondern Beziehungen zwischen Punkten und Geraden, die sich
aus bestimmten Axiomen ergeben. Was man sich dabei unter "Punkten" und
"Geraden" vorstellt, ist egal, solange es mit den Axiomen übereinstimmt.
Dass die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt, folgt aus dem Parallelenaxiom.
Wenn man dieses weglässt, erhält man andere Geometrien. Die Geometrie auf
der Kugel ist ein schönes Modell für die "elliptische" Geometrie, bei der es
keine Parallelen gibt. Die "Geraden" in diesem Modell sind die
Großkreisbögen, und die Winkelsumme in einem Dreieck ist immer größer als
180°.
Man kann auch eine "hyperbolische" Geometrie konstruieren, in der es durch
einen Punkt mehrere Parallelen zu einer gegebenen Geraden gibt. Hier ist die
Winkelsumme kleiner als 180°. Auch diese Geometrie kann man sich durch
Modelle veranschaulichen.
Welche dieser Geometrien die reale Welt am besten beschriebt, ist eine
andere Frage. Von unserer Anschauung her ist es die euklidische Geometrie.
Aber laut Relativitätstheorie wird der Raum in der Nähe von großen Massen
gekrümmt, und die Winkelsumme in einem Dreieck (das aus drei Lichtstrahlen
gebildet ist) unterscheidet sich dort von 180°.
Ich habe ein bisschen was über nichteuklidische Geometrie zusammengestellt:
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/newsletter/newsletter11.htm
Sehr empfehlen kann ich auch das Buch "Flacherland" von Ian Stewart. Es
beschreibt auf unterhaltsame Weise verschiedene Geometrien, die mit dem, was
man sich landläufig unter "Geometrie" vorstellt, zum Teil nicht mehr viel zu
tun haben.
Grüße
Jutta
Hero
Peter Niessen schrieb:
> Am 18 Dec 2006 14:12:43 -0800 schrieb Hero:
>
> > Peter Niessen schrieb:
> >
> >> Am 18 Dec 2006 13:10:02 -0800 schrieb Hero:
> >>
> >>>> Was mich jetzt verwirrt, das ist die Tatsache, dass es sich bei dem Dreieck
> >>>> quasi um eine Kugeloberfläche handelt (Man schneidet die Kugel dreimal in
> >>>> der Mitte durch, um jeweils 90 ° versetzt, entsprechend den drei
> >>>> Raumdimensionen, so dass es eine Kugelachtel wird).
> >>>
> >>> Wenn Du drei Raumpunkte mit Geraden verbindest ergibt sich immer die
> >>> Winkelsumme von 180 Grad.
> >>
> >> Das meinst du doch nicht wirklich oder?
> >> Wenn ja, dann beweise das mal.
> >
> > Euclid's Elements, Book I, Proposition 32
> > http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI32.html
>
> Das ist aber kein Beweis!
> In der euklidschen Definition der Gerade stecken schon sehr viele
> Voraussetzungen die keinesfalls selbstverständlich sind. Du setzt ja ganz
> einfach voraus das der Raum nicht gekrümmt ist, aber das ist zur Definition
> einer Gerade überhaupt nicht notwendig. Ich setze dagegen:
> Die Gerade(Linie) ist einem gegeben Raum die kürzeste Verbindung zwischen
> zwei Punkten.
Mathematiker nennen etwa Flächen auch Räume, so z.B. Hyperboloide.
Die kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten auf solchen Flächen
nennt man geodätische Linien.
Auf einem Hyperboloid gibt es gerade und gekrümmte Geodäten.
Wie unterscheidest Du diese?
> Und nun (er)kläre erstmal was es denn bedeutet zu sagen: Das
> ist die kürzeste Verbindung.
>
Mit freundlichen Grüssen
Hero
Benno Hartwig
"Peter Niessen" <peter-...@arcor.de> schrieb
>> Wenn Du drei Raumpunkte mit Geraden verbindest ergibt sich immer die
>> Winkelsumme von 180 Grad.
>
> Das meinst du doch nicht wirklich oder?
> Wenn ja, dann beweise das mal.
Betrachtete die euklidische Ebene, die durch die 3 Punkte festgelegt wird.
Dann ist das Dreieck ein ganz normales Dreieck in dieser Ebene.
Und es hat damit die Winkelsumme 180°.
Benno
kilian heckrodt
> A.A.Interrants schrieb:
>
>> Hallo,
>>
>> in einem Buch über Einstein fand ich eine Abbildung, in der ein Dreieck
>> dargestellt wird, dessen Winkelsumme mehr als 180 ° hat (270° nach den
>> Angaben im Buch, um genau zu sein).
>>
>> Was mich jetzt verwirrt, das ist die Tatsache, dass es sich bei dem Dreieck
>> quasi um eine Kugeloberfläche handelt (Man schneidet die Kugel dreimal in
>> der Mitte durch, um jeweils 90 ° versetzt, entsprechend den drei
>> Raumdimensionen, so dass es eine Kugelachtel wird).
>
> Wenn Du drei Raumpunkte mit Geraden verbindest ergibt sich immer die
> Winkelsumme von 180 Grad.
In einem _euklidischen_ Raum, sonst muss das nicht der Fall sein.
>
Klaus
> Nach der modernen Auffassung beschreibt die Geometrie aber nicht die
> "Wirklichkeit", sondern Beziehungen zwischen Punkten und Geraden, die sich
> aus bestimmten Axiomen ergeben. Was man sich dabei unter "Punkten" und
> "Geraden" vorstellt, ist egal, solange es mit den Axiomen übereinstimmt.
Versteh ich nicht. Steht das so in einem Lehrbuch?
v. Mangoldt-Knopp, Kapitel VI, Grundbegriffe der analytischen
Geometrie:
Mit dieser nun endgueltig geklaerten Feststellung, dass sich die
reellen Zahlen und die Punkte einer Geraden in bestimmtem Sinne
umkehrbar eindeutig entsprechen, ist die Verbindung zwischen Analysis
(reelle Zahlen) und der Geometrie (Punkte der Geraden) grundsaetzlich
hergestellt ...
http://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Geometrie#Die_moderne_axiomatische_Theorie
letzter Abschnitt von "Geometrie und Wirklichkeit bei Hilbert":
Andererseits erklaert Hilbert in der Einleitung zu seinem Werk: Die
vorliegende Untersuchung ist ein neuer Versuch, für die Geometrie ein
vollstaendiges und moeglichst einfaches System von Axiomen
aufzustellen. Mit diesem Bezug auf die Geometrie stellt er klar, dass
es ihm nicht um einen beliebigen Formalismus geht, sondern um eine
Praezisierung dessen, was Euklid mit Geometrie gemeint hat und was wir
alle als die Eigenschaften des uns umgebenden Raumes kennen.
Gruss
-- Klaus
kilian heckrodt
> Jutta Gut schrieb:
>
>> Nach der modernen Auffassung beschreibt die Geometrie aber nicht die
>> "Wirklichkeit", sondern Beziehungen zwischen Punkten und Geraden, die sich
>> aus bestimmten Axiomen ergeben. Was man sich dabei unter "Punkten" und
>> "Geraden" vorstellt, ist egal, solange es mit den Axiomen übereinstimmt.
>
> Versteh ich nicht. Steht das so in einem Lehrbuch?
Ja und so einen allgemeinen Ansatz brauch man um alles was heute in der
Mathematik auch mit dem Begriff belegt wenigstens ansatzweise unter
einen Hut zu bringen. Der von dir zitierte Mangold-Knopp ist schon
zimelich in die Jahre gekommen,bezieht sich lediglich auf analytische
Geometrie im R^n (vermutlich auch nur mit euklidischer Metrik).
Eine moderne Lehrbuchdefinition für Geometrie ist z.B. die folgende:
Eine Geometrie ist ein 2-Tupel (M,R), wobei M eine beliebige Menge ist
und R eine auf ihr definierte Relation, die reflexiv und symmetrisch ist.
Entscheidend ist hier, das die reellen Zahlen (oder der R^n) durch eine
beliebige Menge ersetzt werden, diese kann insbesondere endlich sein.
Man beachte das in dieser Definition noch nicht einmal von Punkten und
Geraden die Rede ist, diese ergeben sich später nachdem die Begriffe
Rand und Typ eingeführt werden.
(Details finden sich z.B. in: beutelspacher/rosenbaum: projektive
geometrie (vieweg)).
In der Praxis arbeitet man jedoch oft mit direkt speziellen Definition
der jeweiligen Geometrie (sowie man oft direkt mit den Axiomen der
reellen Zahlen arbeitet ohne sie von b oder gar ZFC herzuleiten)
http://de.wikipedia.org/wiki/Projektive_Geometrie
enhält eine Beispiel fur einen axiomatischen Zugang zu der projektiven
Geometrie und mit der Fano-Ebene gleich ein Beispiel das mit dem R^n nix
mehr zu tun hat.
Klaus
> Klaus wrote:
> > Jutta Gut schrieb:
> >
> >> Nach der modernen Auffassung beschreibt die Geometrie aber nicht die
> >> "Wirklichkeit", sondern Beziehungen zwischen Punkten und Geraden, die sich
> >> aus bestimmten Axiomen ergeben. Was man sich dabei unter "Punkten" und
> >> "Geraden" vorstellt, ist egal, solange es mit den Axiomen übereinstimmt.
> >
> > Versteh ich nicht. Steht das so in einem Lehrbuch?
>
> Ja und so einen allgemeinen Ansatz brauch man um alles was heute in der
> Mathematik auch mit dem Begriff belegt wenigstens ansatzweise unter
> einen Hut zu bringen. Der von dir zitierte Mangold-Knopp ist schon
> zimelich in die Jahre gekommen,bezieht sich lediglich auf analytische
> Geometrie im R^n (vermutlich auch nur mit euklidischer Metrik).
Ok. Ich denke das hab ich verstanden: es geht also um den ganz modernen
Ansatz, dessen Entwicklung noch gar nicht abgeschlossen ist und dessen
Allgemeinheit aber jeweils einen Tick groesser ist, und so die
speziellen Begriffe (Punkt, Gerade, "Geometrie", ...) in der
jeweils alten "Wirklichkeit" hinlaenglich macht. Und ganz oben auf der
Allgemeinheits-Leiter ruht die Mengenlehre, da man den Begriff der
Menge, sozusagen das letzte reservierte Wort, nicht weiter
verallgemeinern kann. Die Geometrie (im ganz allgemeinen Sinn) ist
somit nicht mehr als angewandte Mengenlehre.
So in etwa richtig?
Gruss
-- Klaus
Hero
Da dürfte es doch nicht schwer sein, eine Antwort auf meine Frage an
Peter zu finden:
> > Mathematiker nennen etwa Flächen auch Räume, so z.B. Hyperboloide.
> > Die kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten auf solchen Flächen
> > nennt man geodätische Linien. Auf einem Hyperboloid gibt es gerade und gekrümmte > > Geodäten.
> > Wie unterscheidest Du diese?
Mit freundlichen Grüssen
Hero
PS Zeig uns doch mal ein Beispiel eines Dreiecks mit geraden Seiten, in
dem die Winkelsumme ungleich 180 Grad ist.
kilian heckrodt
kilian heckrodt
muehsam was zu konstruieren, wuerde ich gerne begrifflich etwas klaeren,
da mir dort ein problem zu liegen scheint.
Was verstehtst du unter einer "geraden" Seite?
Deine Frage an Peter verstehe ich nicht ganz (und auch nicht was das mit
dem Ausgangsproblem zu tun hat.
'
ich betrachte die Problematik auch aus einem etwas anderen Blickwinkel.
Die Winkelsumme 180 ist eine Folgerung aus Parallelenaxiom
(Wechselwinkel an parallelen),wenn dieses nun nicht gilt bricht der
herkoemmliche beweis der winkelsumme zusammen und es gibt in der Tat
Beispiele fuer geometrien (wie die schon genannte Kugelgeometrie) in den
die Winkelsumme nicht mehr 180 ist.
Wen du jetzt argumentierst bei den raeumlichen Verbindungen 3-er Punkte
auf der Kugel waere die Winkelsumme wieder 180, dann ist das natuerlich
richtig, aber eben nur weil du kugelmetrie in einen 3 dimensionalen
euklidischen Raum (indem das parallelenaxiom gilt) betrachtest, und in
der von den 3 Punkten aufgespannte Ebene das parallelenaxiom ebenfalls gilt.
kilian heckrodt
Hendrik van Hees
> Ok. Ich denke das hab ich verstanden: es geht also um den ganz
> modernen Ansatz, dessen Entwicklung noch gar nicht abgeschlossen ist
> und dessen Allgemeinheit aber jeweils einen Tick groesser ist, und so
> die speziellen Begriffe (Punkt, Gerade, "Geometrie", ...) in der
> jeweils alten "Wirklichkeit" hinlaenglich macht. Und ganz oben auf der
> Allgemeinheits-Leiter ruht die Mengenlehre, da man den Begriff der
> Menge, sozusagen das letzte reservierte Wort, nicht weiter
> verallgemeinern kann. Die Geometrie (im ganz allgemeinen Sinn) ist
> somit nicht mehr als angewandte Mengenlehre.
>
> So in etwa richtig?
Ich kann mal als (theoretischer) Physiker meinen Senf dazugeben. Meiner
Meinung nach ist die Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten
ein ziemlich abgeschlossenes Gebiet der Mathematik des 19. allenfalls
des frühen 20. Jhs. Die Mengenlehre ist wohl in der Tat die Grundlage
für nahezu alle (aber eben nur nahezu, denn z.B. die Kategorientheorie
erfordert, wenn ich mich recht an eine Vorlesung über dieselbe
erinnere, die Erweiterung zum Klassenbegriff) Mathematik.
Die große Erkenntnis von Gauß und (unabhängig von ihm) Lobachewski et al
war eben, daß es nicht "die Geometrie" schlechthin gibt, für die man
jahrtausende zuvor die Euklidische Geometrie gehalten hatte. Die
einfachsten Beispiele für nichteuklidische Geometrien sind in den uns
aus der Schule her vertrauten Euklidischen 3D Raum (der bis ca. 1907
für das beste mathematische Modell des physikalischen Raumes gehalten
wurde) eingebettete Flächen, von denen sich zwei Typen durch besondere
Geometrie auszeichnen, nämlich die Kugel (sphärische Geometrie) und
eine Sattelfläche, die ein Modell der ebenen Lobachewskischen Geometrie
(hyperbolische Geometrie) darstellt.
Gauß' große Erkenntnis war nun, daß diese Einbettung 2dim. Flächen in
einen Euklidischen R^3 für die intrinische Geometrie der Flächen
irrelevant ist und diese durch bloß intrinsische Größen feststellbar
ist (zumindest lokal).
In der Physik ist das beste Modell, das wir bisher haben, für die
Raumzeit eine sog. pseudo-Riemannscher vierdimensionale
Mannigfaltigkeit, deren spezifische Geometrie durch die in dieser
Raumzeit sich bewegende Materie (beschrieben durch Quantenfelder)
bestimmt ist. Die entsprechende Wirkung auf universelle Wirkung der
Raumzeit auf die Materie ist nichts anderes als die
Gravitationswechselwirkung zwischen Energie-Impulsverteilungen eben
dieser Materie.
Wir müssen also konstatieren, daß die einzige Vorrangstellung der
Euklidischen Geometrie darin besteht, daß wir von Kindheit auf auf sie
trainiert werden; es ist also bloße Gewohnheit. Das hat aber auch
wieder seinen physikalischen Grund, da wir naturgemäß in einer Umgebung
relativ schwacher Gravitationswechselwirkungen leben, und die Krümmung
des Raumes (also der dreidimensionalen raumartigen Hyperfläche der
vierdimensionalen Raumzeit, die durch unser Ruhsystem aus
derselben "herausgeschnitten" (time sliced) wird) für unsere sehr
lokalen Belange vernachlässigbar ist, und also die Euklidische
Geometrie für die meisten praktischen Belange hinreichend ist. Erst
wenn es zu höchster Präzision in Raum-Zeitmessungen kommt, wird die
Krümmung der Raumzeit wichtig. Ein sattsam bekanntes Beispiel ist das
Global Positioning System (GPS), das ohne die Berücksichtigung sowohl
speziell- als auch allgemeinrelativistischer Effekte nicht
funktionieren würde. Ein anderes weniger bekanntes Beispiel ist die
Problematik einer Neufestlegung der universellen Weltzeit aufgrund der
heute prinzipiell möglichen Zeitmeßgenauigkeit via quantenoptischer
Methoden (vgl. Nobelpreis 2005): Diese Genauigkeit ist so groß, daß
unsere mangelnde Kenntnis über das Gravitationsfeld der Erde ausreicht,
die hinreichend genaue Synchronisation der Uhren zu verhindern. So
werden wir noch ein wenig mit der geringeren Genauigkeit unseres
derzeitigen Zeitsystems auskommen müssen :-).
--
Hendrik van Hees Texas A&M University
Phone: +1 979/845-1411 Cyclotron Institute, MS-3366
Fax: +1 979/845-1899 College Station, TX 77843-3366
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq mailto:he...@comp.tamu.edu
Hendrik van Hees
> PS Zeig uns doch mal ein Beispiel eines Dreiecks mit geraden Seiten,
> in dem die Winkelsumme ungleich 180 Grad ist.
Das ist nicht schwer. Ein beliebiges Dreieck auf einer Kugelfläche
besitzt eine Winkelsumme >pi.
Hendrik van Hees
> Was verstehtst du unter einer "geraden" Seite?
Die Verbindung zweier Punkte durch eine Geodäte im Sinne der jeweils
betrachteten Geometrie (in sphärischen Geometrie sind das die
Großkreise).
kilian heckrodt
> kilian heckrodt wrote:
>
>> Was verstehtst du unter einer "geraden" Seite?
>
> Die Verbindung zweier Punkte durch eine Geodäte im Sinne der jeweils
> betrachteten Geometrie (in sphärischen Geometrie sind das die
> Großkreise).
>
Verdacht habe, das er Dreiecke aus Grosskreissegmenten eben nicht als
"gerade" Seiten ansieht. Vielleicht habe ich ihn aber auch falsch
verstanden, deshalb die Frage.
kilian heckrodt
> Hero wrote:
>
>
>> PS Zeig uns doch mal ein Beispiel eines Dreiecks mit geraden Seiten,
>> in dem die Winkelsumme ungleich 180 Grad ist.
>
> Das ist nicht schwer. Ein beliebiges Dreieck auf einer Kugelfläche
> besitzt eine Winkelsumme >pi.
Das Beispiel hatten wie ja schon weiter oben im Thread, deswegen glaube
ich er haette gerne ein anderes detailliert beschrieben, welches in
einen 3 dim Raum lebt.
Leider sind die einfach zu visualisierenden meist 2 dimensional (wie z.B
die Kugelgeometrie) oder ebene Versionen einer hyperboloiden Geometrie.
Rudi Menter
Genau, Hero scheint immerzu entweder über planare Projektionen oder
sogar über planare Schnitte durch gekrümmte Flächen (das sind auch
Räume) zu sprechen...
Rudi Menter
Genau, Hero scheint immerzu entweder über planare Projektionen oder
sogar über planare Schnitte durch gekrümmte Räume (das sind Flächen
auch) zu sprechen...
Hero
Das habt Ihr schon gut eingeschätzt, eine Gerade ist traditionell
durch einige Eigenschaften definiert, axiomatisiert bzw
charakterisiert:
x Gerade und krumm sind Gegensätze z.B. bei Linien
x Durch zwei Punkte geht eine Gerade
x Man kann eine gerade Strecke zusammenhängend gerade verlängern
x ein Punkt und eine Richtung (sowie Gegenrichtung) bestimmt eine
Gerade
x der Translation (Verschieben, Scrollen) eines Punkts entspricht ein
Abschnitt einer Geraden
x Eine Gerade ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte , sie ist also
stets eine geodätische Linie.
Dagegen steht, was Hendrik auf die Frage:
> >>> Was verstehtst du unter einer "geraden" Seite?
schreibt:
> >>
> >> Die Verbindung zweier Punkte durch eine Geodäte im Sinne der jeweils
> >> betrachteten Geometrie (in sphärischen Geometrie sind das die
> >> Großkreise).
(NB Mir kommt das so vor, wie wenn man den Schwanz ein Bein nennt, dann
hat ein Hund fünf Beine. Hier wird Extremität mit Bein verwechselt).
Dann kann man natürlich auf
meine Frage:
> PS Zeig uns doch mal ein Beispiel eines Dreiecks mit geraden Seiten,
> in dem die Winkelsumme ungleich 180 Grad ist.
wie Hendrik antworten:
> > Das ist nicht schwer. Ein beliebiges Dreieck auf einer Kugelfläche
> > besitzt eine Winkelsumme >pi.
Wenn man also diese gekrümmten Grosskreise "gerade" nennt, dann haben
diese Art "Geraden" eine messbare Krümmung ( 1/ Kugelradius). Wir
können also jetzt "Geraden" mit Krümmung Null und "Geraden" mit
Krümmung ungleich Null betrachten. Eben dazu zum dritten mal die
Frage:
Rudi Menter
> Das habt Ihr schon gut eingeschätzt, eine Gerade ist traditionell
> durch einige Eigenschaften definiert, axiomatisiert bzw
> charakterisiert:
> x Gerade und krumm sind Gegensätze z.B. bei Linien
> x Durch zwei Punkte geht eine Gerade
> x Man kann eine gerade Strecke zusammenhängend gerade verlängern
> x ein Punkt und eine Richtung (sowie Gegenrichtung) bestimmt eine
> Gerade
> x der Translation (Verschieben, Scrollen) eines Punkts entspricht ein
> Abschnitt einer Geraden
> x Eine Gerade ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte , sie ist also
> stets eine geodätische Linie.
Kürzer: eine gerade wird als ein Extremum definiert, also entweder
die sog. kürzeste Verbindung oder auch die längste (Raumzeit)...
fg
--
Rudi Menter
> Das habt Ihr schon gut eingeschätzt, eine Gerade ist traditionell
> durch einige Eigenschaften definiert, axiomatisiert bzw
> charakterisiert:
> x Gerade und krumm sind Gegensätze z.B. bei Linien
> x Durch zwei Punkte geht eine Gerade
> x Man kann eine gerade Strecke zusammenhängend gerade verlängern
> x ein Punkt und eine Richtung (sowie Gegenrichtung) bestimmt eine
> Gerade
> x der Translation (Verschieben, Scrollen) eines Punkts entspricht ein
> Abschnitt einer Geraden
> x Eine Gerade ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte , sie ist also
> stets eine geodätische Linie.
Kürzer: eine gerade wird als ein Extremum (bezüglich einer Metrik)
definiert, also entweder die sog. kürzeste Verbindung oder auch
die längste (wie in der Raumzeit)...
fg
--
Rudi Menter
> Das habt Ihr schon gut eingeschätzt, eine Gerade ist traditionell
> durch einige Eigenschaften definiert, axiomatisiert bzw
> charakterisiert:
> x Gerade und krumm sind Gegensätze z.B. bei Linien
> x Durch zwei Punkte geht eine Gerade
> x Man kann eine gerade Strecke zusammenhängend gerade verlängern
> x ein Punkt und eine Richtung (sowie Gegenrichtung) bestimmt eine
> Gerade
> x der Translation (Verschieben, Scrollen) eines Punkts entspricht ein
> Abschnitt einer Geraden
> x Eine Gerade ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte , sie ist also
> stets eine geodätische Linie.
Kürzer: eine gerade wird als ein Extremum (bezüglich einer Metrik)
definiert, ist also entweder die sog. kürzeste oder auch die längste
Verbindung (wie in der Raumzeit)...
fg
--
Rudi Menter
> Das habt Ihr schon gut eingeschätzt, eine Gerade ist traditionell
> durch einige Eigenschaften definiert, axiomatisiert bzw
> charakterisiert:
> x Gerade und krumm sind Gegensätze z.B. bei Linien
> x Durch zwei Punkte geht eine Gerade
> x Man kann eine gerade Strecke zusammenhängend gerade verlängern
> x ein Punkt und eine Richtung (sowie Gegenrichtung) bestimmt eine
> Gerade
> x der Translation (Verschieben, Scrollen) eines Punkts entspricht ein
> Abschnitt einer Geraden
> x Eine Gerade ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte , sie ist also
> stets eine geodätische Linie.
Kürzer: eine Gerade wird als ein Extremum (bezüglich des Längenelements
Peter Niessen
> Wenn man also diese gekrümmten Grosskreise "gerade" nennt, dann haben
> diese Art "Geraden" eine messbare Krümmung ( 1/ Kugelradius). Wir
> können also jetzt "Geraden" mit Krümmung Null und "Geraden" mit
> Krümmung ungleich Null betrachten. Eben dazu zum dritten mal die
> Frage:
>>> Mathematiker nennen etwa Flächen auch Räume, so z.B. Hyperboloide.
>>> Die kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten auf solchen Flächen
>>> nennt man geodätische Linien. Auf einem Hyperboloid gibt es gerade und gekrümmte
>>> Geodäten.
>>> Wie unterscheidest Du diese?
Du fängst es falsch an:
Was "gerade" ist, wird durch die Metrik des konkret betrachteten Raumes
bestimmt. Es gibt (ausser historischer Gewohnheit und weil sie so schön
simpel ist) keinen Grund die euklidsche Metrik zu bevorzugen.
Hero
Doch. Unter allen Metriken, mit denen man Verbindungs-Linien von zwei
Punkten messen kann, gibt die Metrik das Minimum, die die Länge einer
Verbindungslinie mit Krümmung Null, die diese beiden Punkte verbindet,
misst.
Und da wir gerade beim Messen sind:
Wie misst Du die Gradzahl der drei Winkel zwischen den drei Geodäten
beim Kugeldreieck?
Anders als durch die Winkel zwischen den entsprechenden Tangenten in
den Eckpunkten zu messen?
Mit freundlichen Grüssen
Hero
kilian heckrodt
zu koennen, aber ich denke genau hier liegt der Hase im Pfeffer.
Insbesondere die Unterscheidung zwischen "krumm" und "gerade".
Ein solcher Geradenbegriff deckt sich vermutlich eben _nicht_ mit dem
allgemein ueblichen. Damit eine Parellele zu einer Geraden durch einen
Punkt sich intuitiv (unsere Raumliche Wahrnehmung ist euklidisch) als
"gerade" und nichts als "krum" visualisieren laesst benoetigt man ja
Gerade die Gueltigkeit des Parallelenaxioms. Das heisst wenn, du die
Gueltigkeit des Parallelenaxioms implizit durch einen _abgewandelten_
Geradenbegriff forderst, dann ist die Winkelsumme natuerlich 180.
Um das jetzt etwas formaler zu untersuchen und nicht nur auf der
Visualisierungsebene zu argumentieren, muessten wir die Begriffe krumm
und gerade formal fassen.
Siehe hierzu auch:
http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry
http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_space
http://de.wikipedia.org/wiki/Raumkr%C3%BCmmung
http://mathworld.wolfram.com/Curvature.html
http://mathworld.wolfram.com/TrianglePostulate.html
http://eom.springer.de/N/n067030.htm
Rudi Menter
> Insbesondere die Unterscheidung zwischen "krumm" und "gerade".
Ja, das ist praktisch Poesie. Um eine Definition zu tun,
mußt du die Konstituenten eben deiner Aussage wirklich
alle erwähnen und verknüpfen. Für sich gesehen sind Dinge
wie gut oder schlecht, krumm oder gerade nichts als Poesie.
(Das hat übrigens Wittgenstein erkannt, wonach wir endlich den
'Linguistic Turn' erleiden durften, als dessen Folge eine gewisse
Mathematisierung stattfand, samt Technologischub incl. Mondbesuch.)
fg
--
Hero
Einen _abgewandelten_ Geradenbegriff hat Hilbert erst vor hundert
Jahren geschaffen, so wie Hendrik es beschreibt - alle Geodäten sind
,,Geraden" -, ich bleib mal konservativ.
Natürlich fordere ich das Parallelenaxiom:
Postulat 5
Und dass, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien
bewirkt, dass innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen
kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien bei
Verlängerung ins unendliche sich treffen auf der Seite, auf der die
Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind.
(Oder anders beschrieben:
Schneidet eine Gerade zwei andere Geraden dergestalt, dass die
Innenwinkel auf der einen Seite zusammen kleiner als zwei rechte Winkel
( 180° ) sind, dann schneiden sich letztere zwei Geraden auf
ebendieser Seite.)
Für Hendrik sind alle Geodäten ,,Geraden", damit ergibt sich
Postulat 5 abgewandelt
Und dass, wenn eine Geodäte beim Schnitt mit zwei Geodäten bewirkt,
dass innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als
zwei Rechte werden, dann die zwei Geodäten bei Verlängerung ins
unendliche sich treffen auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die
zusammen kleiner als zwei Rechte sind.
Aber dies hat Euklid nie gesagt oder ausgedrückt.
Und da gibt es Flächen, auf denen es nicht gilt.
Adäquat übersetzt muss es aber eher so heissen:
Postulat 5
Und dass, wenn eine Geodäte mit Krümmung Null beim Schnitt mit zwei
Geodäten mit Krümmung Null bewirkt, dass innen auf derselben Seite
entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann die
zwei Geodäten mit Krümmung Null bei Verlängerung ins unendliche
sich treffen auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen
kleiner als zwei Rechte sind.
Mit freundlichen Grüssen
Hero
kilian heckrodt
Christopher Creutzig
> Auf einem Hyperboloid gibt es gerade und gekrümmte Geodäten.
Auf einem Hyperboloid gibt es Geodäten, die in einer bestimmten
Einbettung des Hyperboloids in einen höherdimensionalen Raum auch mit
der Geometrie des höherdimensionalen Raums Geraden sind (ich vermute,
das meinst Du mit „gerade Geodäten“) und solche, die das unter der
gleichen Einbettung nicht sind.
> Wie unterscheidest Du diese?
Innerhalb des Hyperboloids: Gar nicht, es gibt keinen Unterschied. Das
ist eine Frage an die Einbettung in bspw. den R^3. Da habe ich dann auf
einmal so Dinge wie Geraden außerhalb des Hyperboloids oder eine
Gauß-Krümmung zur Verfügung.
Gruß,
Christopher
kilian heckrodt
Wunderbar, da werden wir uns ja einig. Wenn Du das Parallelenaxiom
forderst, dann ist die Winkelsumme auch immer 180 und dem widersprechen
ja weder Hendrik ,Peter noch ich.
Ich hatte sowieso schon den Verdacht das (Schein)widersprüche der
letzten Postings im wesentlichen durch eine unterschiedliche Sprachwahl
verursacht waren (klassische/euklidische Auffassung von Geraden vs
moderne Sichte von Geraden in alllgemeineren Geometriedefinition).
Streng genommen macht der Begriff der Gerade ohne den Kontext der
zugegörigen Geometrie wohl auch keinen Sinn (mehr). In diesem Sinne gibt
es keine "absolute" Geraden, sondern die jeweile Geometrie legt eben
fest, was man in ihr als Gerade zu verstehen hat (wobei sich das
natuerlich weit entfernt aus der euklidischen Geometrie motiviert)
gu
Peter Niessen
Den Winkel zwischen zwei Linien möchtest du über die Tangenten bestimmen?
Das heisst:
Es gibt Linien die sich in genau einem Punkt schneiden nirgendwo paralell
sind und dort den Winkel Null haben. Anschaulich geht aber irgendwie
anders. Beispiel:
f(x)=x^2 und f(x)=x^3
Ansonsten liegen ja bei einem Kugeldreieck deine Geraden (bestimmt durch
Tangenten) überhaupt nicht im fraglichen Raum. Objekte die nicht zum
fraglichen Raum gehören kann man aber schlecht heranziehen um Eigenschaften
des Raumes zu bestimmen.
Lukas-Fabian Moser
> Den Winkel zwischen zwei Linien möchtest du über die Tangenten bestimmen?
Wie denn sonst?
> Das heisst:
> Es gibt Linien die sich in genau einem Punkt schneiden nirgendwo paralell
> sind und dort den Winkel Null haben. Anschaulich geht aber irgendwie
> anders. Beispiel:
> f(x)=x^2 und f(x)=x^3
Hast Du einen plausibleren Vorschlag für den Wert eines "Schnittwinkels"
der Graphen dieser Kurven als 0?
Lukas
Peter Niessen
Nicht unbedingt
Ich wollte Hero nur darauf hinweisen das solche Definitionen auch nicht
ohne Problem sind. Bei meinem Beispiel liegen die Tangenten ja immerhin
noch in dem gleichen euklidschen Raum wie die Linien. Also kann die
Definition Sinn machen. Bei einem sphärischen Raum geht das aber so einfach
nicht.
Hendrik van Hees
> Kürzer: eine Gerade wird als ein Extremum (bezüglich des
> Längenelements einer Metrik) definiert, ist also entweder die sog.
> kürzeste oder auch die längste Verbindung (wie in der Raumzeit)...
Es ist sozusagen die geradestmögliche Verbindung. Wie man am Beispiel
der Kugelfläche im 3D Euklidischen Raume schön sieht, ist die
geoddätische Verbindung zweier Punkte durch Geodäten nicht notwendig
eindeutig.
Wenn man von Dreiecken in nichteuklidischen Geometrien spricht, meint
man damit selbstverständlich durch Geodäten begrenzte Gebilde. In der
Euklidischen Geometrie heißen die Geodäten Geraden, das ist alles.
Winkel sind (für Riemannsche Räume und nur für die; in der ART, wo man
es nur mit einem pseudo-Riemannschen Raum zu tun hat, gibt es keinen
sinnvollen Winkelbegriff) selbstverständlich lokale Größen und besitzen
dieselbe Bedeutung wie in der Euklidischen Geometrie. Lokal sehen
Riemannsche Räume überhaupt wie Euklidische Räume aus. Das zeichnet sie
vor allgemeineren differenzierbaren Mannigfaltigkeiten (dMfk) aus. Auch
dMfk mit affiner Konnexion haben lokal schon viele Eigenschaften
Euklidischer Räume, aber da gibt es mW. nach noch keinen Winkelbegriff,
der eine Metrik erfordert.
Carsten Schultz
> Lokal sehen
> Riemannsche Räume überhaupt wie Euklidische Räume aus.
Da wäre ich mit der Formulierung vorsichtiger. Die Krümmung ist ja auch
eine lokale Eigenschaft, und sie muss nicht verschwinden.
Gruß,
Carsten
--
Carsten Schultz (2:38, 33:47)
http://carsten.codimi.de/
PGP/GPG key on the pgp.net key servers,
fingerprint on my home page.
Roland Harnau
> Hendrik van Hees schrieb:
>> Lokal sehen Riemannsche Räume überhaupt wie Euklidische Räume aus.
>
> Da wäre ich mit der Formulierung vorsichtiger. Die Krümmung ist ja auch
> eine lokale Eigenschaft, und sie muss nicht verschwinden.
Ja. S^2 mit der induzierten Metrik etwa ist nicht 'mal lokal
isometrisch zur euklidischen Ebene. Hendrik hat nur Recht, wenn er
"lokal" durch "infinitesimal" ersetzt, für jeden Punkt x einer
riemannschen Mannigfaltigkeit X ist T_xX ein euklidischer Raum.
Roland
Hendrik van Hees
> Ja. S^2 mit der induzierten Metrik etwa ist nicht 'mal lokal
> isometrisch zur euklidischen Ebene. Hendrik hat nur Recht, wenn er
> "lokal" durch "infinitesimal" ersetzt, für jeden Punkt x einer
> riemannschen Mannigfaltigkeit X ist T_xX ein euklidischer Raum.
Stimmt auffallend. Es war auch infinitesimal gemeint.
Jutta Gut
"Klaus" <klaus....@wtal.de> schrieb
> v. Mangoldt-Knopp, Kapitel VI, Grundbegriffe der analytischen
> Geometrie:
>
> Mit dieser nun endgueltig geklaerten Feststellung, dass sich die
> reellen Zahlen und die Punkte einer Geraden in bestimmtem Sinne
> umkehrbar eindeutig entsprechen, ist die Verbindung zwischen Analysis
> (reelle Zahlen) und der Geometrie (Punkte der Geraden) grundsaetzlich
> hergestellt ...
Da wird wohl unausgesprochen vorausgestzt, dass Geraden im euklidischen Sinn
gemeint sind.
> http://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Geometrie#Die_moderne_axiomatische_Theorie
> letzter Abschnitt von "Geometrie und Wirklichkeit bei Hilbert":
>
> Andererseits erklaert Hilbert in der Einleitung zu seinem Werk: Die
> vorliegende Untersuchung ist ein neuer Versuch, für die Geometrie ein
> vollstaendiges und moeglichst einfaches System von Axiomen
> aufzustellen. Mit diesem Bezug auf die Geometrie stellt er klar, dass
> es ihm nicht um einen beliebigen Formalismus geht, sondern um eine
> Praezisierung dessen, was Euklid mit Geometrie gemeint hat und was wir
> alle als die Eigenschaften des uns umgebenden Raumes kennen.
Diese Stelle gefällt mir gar nicht. Gerade Hilbert hat doch die axiomatische
Auffassung der Geometrie begründet. (Es gibt ein bekanntes Zitat von ihme,
wonach man statt "Punkte, Geraden, Ebenen" jederzeit "Stühle,
Tische,Bierseidel" sagen können muss.) Natürlich geht es ihm nicht une eine
"beliebigen Formalismus", sondern um die axiomatische begründung der
Euklidischen Geometrie, die auf den 5 Postulaten von Euklid und einigen
späteren ERgänzungen beruht (z.B. die Axiome von Pasch). Das steht ja alles
in dem Artikel. Aber die Gleichsetzung dieser Geometrie mit dem realen Raum
ist naiv. Da hat der Wikipedia-Autor wahrscheinlich versucht, den begriff
"Euklidische Geometrie" allgemeinberständlich zu umschreiben. Aber nach der
Relativitätstheorie ist ja der "uns umgebende Raum" gerade nicht euklidisch.
Die Abweichungen sind nur so klein, dass man sie in den Maßstäben, mit denen
wir normalerweise zu tun haben, nicht feststellen kann.
Grüße
Jutta
Hero
....
> > Andererseits erklaert Hilbert in der Einleitung zu seinem Werk: Die
> > vorliegende Untersuchung ist ein neuer Versuch, für die Geometrie ein
> > vollstaendiges und moeglichst einfaches System von Axiomen
> > aufzustellen. Mit diesem Bezug auf die Geometrie stellt er klar, dass
> > es ihm nicht um einen beliebigen Formalismus geht, sondern um eine
> > Praezisierung dessen, was Euklid mit Geometrie gemeint hat und was wir
> > alle als die Eigenschaften des uns umgebenden Raumes kennen.
>
> Diese Stelle gefällt mir gar nicht. Gerade Hilbert hat doch die axiomatische
> Auffassung der Geometrie begründet. (Es gibt ein bekanntes Zitat von ihme,
> wonach man statt "Punkte, Geraden, Ebenen" jederzeit "Stühle,
> Tische,Bierseidel" sagen können muss.) ...
Hier die Einleitung:
"Die Geometrie bedarf - ebenso wie die Arithmetik - zu ihrem
folgerichtigen Aufbau nur weniger und einfacher Grundsätze. Diese
Grundsätze heißen Axiome der Geometrie. Die Aufstellung der Axiome
der Geometrie und die Erforschung ihres Zusammenhanges ist eine
Aufgabe, die seit Euklid in zahlreichen vortrefflichen Abhandlungen der
mathematischen Literatur sich erörtert findet. Die bezeichnete
Aufgabe läuft auf die logische Analyse unserer räumlichen Anschauung
hinaus.
Die vorliegende Untersuchung ist ein neuer Versuch, für die Geometrie
ein vollständiges und möglichst einfaches System von Axiomen
aufzustellen und aus denselben die wichtigsten geometrischen Sätze in
der Weise abzuleiten, daß dabei die Bedeutung der verschiedenen
Axiomgruppen und die Tragweite der aus den einzelnen Axiomen zu
ziehenden Folgerungen klar zutage tritt. "
http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/history/ausstell/hilbert/
Der gesamte Text online hab ich grad nur auf englisch hier:
http://www.hti.umich.edu/cgi/b/bib/bibperm?q1=ABR1237.0180.001
Mit freundlichen Grüssen
Hero
Hero
> Hero wrote:
>
> > Auf einem Hyperboloid gibt es gerade und gekrümmte Geodäten.
>
> Auf einem Hyperboloid gibt es Geodäten, die in einer bestimmten
> Einbettung des Hyperboloids in einen höherdimensionalen Raum auch mit
> der Geometrie des höherdimensionalen Raums Geraden sind (ich vermute,
> das meinst Du mit ,,gerade Geodäten") und solche, die das unter der
> gleichen Einbettung nicht sind.
>
> > Wie unterscheidest Du diese?
>
> Innerhalb des Hyperboloids: Gar nicht, es gibt keinen Unterschied. Das
> ist eine Frage an die Einbettung in bspw. den R^3. Da habe ich dann auf
> einmal so Dinge wie Geraden außerhalb des Hyperboloids oder eine
> Gauß-Krümmung zur Verfügung.
Schön, dass Du direkt und ohne Umschweife die Frage beantwortet hast.
Eben. Hilbert's Geometrie kann nicht gerade von krumm unterscheiden,
spricht aber von Geraden, obwohl sie Geodäten meint.
Auf einem Hyperboloid gibt es Geodäten mit Krümmung 0, eben Geraden
und Geodäten mit Krümmung ungleich Null, warum soll man die nun
Gerade nennen? Man kann sie doch weiterhin Geodäten nennen.
Zu jeder Geraden gibt es übrigens dort auch eine Parallele (parallele
Gerade).
Ich denke solche Wortspielereien, Geodäten mit Krümmung ungleich Null
Geraden zu nennen, werden wohl auf den kleinen Kreis der
Hilbert-Anhänger beschränkt bleiben, wie die letzten hundert Jahre.
Ihr braucht Euch nur mal vorzustellen dies im Schulunterricht
einzuführen - da kippt doch glatt der Pisa-Turm von um.
Woher weisst Du eigentlich, dass Du ein Hyperboloid vor Dir hast, wenn
Du nur intrinsisch vorgehst, Dich also rein auf diesen Raum
beschränkst? Ich kenne das Hyperboloid nur als Regelfläche, also
durch eine bewegte Gerade erzeugt, bzw, durch Scharen gerader Linien
(gerade = Geodäten mit Krümmung Null - na ja, man hat eigentlich erst
Geodäten, wenn man einen Raum voraussetzt, aber damit Du weisst, dass
ich hier die traditionellen Geraden meine).
Mit freundlichen Grüssen
Hero
kilian heckrodt
> Christopher Creutzig schrieb:
>
>> Hero wrote:
>>
> Ich denke solche Wortspielereien, Geodäten mit Krümmung ungleich Null
> Geraden zu nennen, werden wohl auf den kleinen Kreis der
> Hilbert-Anhänger beschränkt bleiben, wie die letzten hundert Jahre.
> Ihr braucht Euch nur mal vorzustellen dies im Schulunterricht
> einzuführen - da kippt doch glatt der Pisa-Turm von um.
>
Das sehe ich etwas anders, die Bezeichnung Gerade fuer Geodaeten bzw.
andere Gebilde als euklidische Geraden mit Kruemmung 0 ist in vielen
mathematischen Kontexten _ueblich_. Das steht in wohl fast jedem
Mathebuch zu nicht euklidischen Geometrien so. Also eher Allgemeingut
als Hilbert-Anhaenger. Ich habe ehrlich gesagt den Begriff Geodaete hier
zum ersten Mal gehoert und das in meinen Geometrievorlesunge nur als
Gerade kennengelernt.
Zwischen Gerade und Geodaete zu unterscheiden, macht Sinn wenn man die
nicht euklidische Geometrie in einen euklidischen Raum einbettet bzw.
dieses zur Beschreibung der Geometrie nutzt. Dann hilft die sprachliche
Trennung um zu unterscheiden ob man sich aud die Geometrie selbst
bezieht oder den Raum in den sie eingebettet ist.
Eine ganz andere Frage ist es natuerlich, ob man und in welchem Umfang
oder Fach man nicht euklidische Geometrien in der Schule unterrichten
sollte. Da stimme ich dir zu, das ist vermutlich keine gute Idee.
Der Begriff Gerade ist ja auch nicht der einzige, der in der
Schulmathematik etwas anders belegt als in der Universitaetsmathetik
oder in allgemeinen mathematischen Kontext.
Andere Beispiele sind:
lineare Funktionen (Geraden) in der Schule und an der Uni (f(a+b)=f(a)+f(b)
oder unter algebra versteht man in der schule meist auch etwas anderes
als an der Uni.
Auch der Begriff Vektor wird in der Schule oft anders verwandt als an
der Uni, naemlich lediglich als n-dim Tupel oder oft auch nur mit
geometrischer Deutung im R^3.
Man muss da schon trennen zwischen Vorstellung/Begrifflichkeiten die
(oft aus guten Gruenden) in der Schulmathematik ueblich sind und denen
die sonst innerhalb der Mathematik ueblich sind.
Rudi Menter
> Das sehe ich etwas anders, die Bezeichnung Gerade fuer Geodaeten bzw.
> andere Gebilde als euklidische Geraden mit Kruemmung 0 ist in vielen
> mathematischen Kontexten _ueblich_.
Mag sein, allerdings ist aus 'didaktischer' Sicht klar, daß das was
eine Gerade in unserer Anschauung, d.h. im Euklidraum, gerade macht,
auch für andere Gebilde zutrifft: nämlich den minimalen Weg zwischen
zwei Punkten zu benennen.
Die Frage, ob gekrümmt oder nicht, stellt sich ja gar nicht, denn
man kann die Metrik einer gegebene Geometrie eben nicht umgehen,
und wenn diese gekrümmt ist, dann ist sie das eben.
So kannst du weder in einem 1d-Kreisbogen 2 Punkte anders als der
Krümmung des Raumes, des Kreisbogens, verfolgend verbinden, noch
kannst du einen geschlossenen Luftballon im 3d-Raum umkrempeln,
was in 4 Raumdimensionen kinderleicht wäre! Und du kannst auch nicht
die Winkel auf der Erdoberfläche messen, in dem du geradewegs z.B.
Löcher zwischen den Polen und den Äquator bohrst, ohne die gegebene
Geometrie zu mißachten, in diesem Fall machst du eben einen planaren
Schnitt, der nicht auf Elementen des Raums Kugeloberfläche liegt...
fG
--
Rudi Menter
> Das sehe ich etwas anders, die Bezeichnung Gerade fuer Geodaeten bzw.
> andere Gebilde als euklidische Geraden mit Kruemmung 0 ist in vielen
> mathematischen Kontexten _ueblich_.
Mag sein, allerdings ist aus 'didaktischer' Sicht klar, daß das was
eine Gerade in unserer Anschauung, d.h. im Euklidraum, gerade macht,
auch für andere Gebilde zutrifft: nämlich den minimalen Weg zwischen
zwei Punkten zu benennen.
Die Frage, ob gekrümmt oder nicht, stellt sich ja gar nicht, denn
man kann die Metrik einer gegebene Geometrie eben nicht umgehen,
und wenn diese gekrümmt ist, dann ist sie das eben.
So kannst du weder in einem 1d-Kreisbogen 2 Punkte anders als der
Krümmung des Raumes, der des Kreisbogens, folgend verbinden, noch
kannst du einen geschlossenen Luftballon im 3d-Raum 'umkrempeln',
was in 4 Raumdimensionen kinderleicht ist! Und du kannst auch nicht
kilian heckrodt
> +0100 schrieb kilian heckrodt:
>
>> Das sehe ich etwas anders, die Bezeichnung Gerade fuer Geodaeten bzw.
>> andere Gebilde als euklidische Geraden mit Kruemmung 0 ist in vielen
>> mathematischen Kontexten _ueblich_.
>
> Mag sein, allerdings ist aus 'didaktischer' Sicht klar, daß das was
> eine Gerade in unserer Anschauung, d.h. im Euklidraum, gerade macht,
> auch für andere Gebilde zutrifft: nämlich den minimalen Weg zwischen
> zwei Punkten zu benennen.
>
Ja natuerlich, das ist ja einer der Gruende, warum man solche Gebilde
eben auch als Geraden bezeichnet.
Im Prinzip ist das ja nur eine Abstraktion des euklidisches
Geradenbegriffs bzw. dessen Verpflanzung in einen anderen Kontext.
Wenn man so will typische Mathematik als Strukturwissenschaft.
Hero
> Wunderbar, da werden wir uns ja einig. Wenn Du das Parallelenaxiom
> forderst, dann ist die Winkelsumme auch immer 180 und dem widersprechen
> ja weder Hendrik ,Peter noch ich.
>
"parallel" assoziert man vielleicht mehr hinein, als in den Axiomen
drin ist. Hilbert's auf Geodäten abgeschwächte Parallelenaxiom ist
natürlich schwächer als das von Euklid:
IV.(auch ,,Euklidisches" Axiom.) Es sei g eine beliebige
,,Gerade" und P ein Punkt außerhalb von g. Dann gibt es in der
durch g und P bestimmten ,,Ebene" höchstens eine ,,Gerade" g',
die durch P verläuft und g nicht schneidet. (Frei nach Hilbert -
Anführungszeichen von mir)
Solange die Geodäten keine Krümmung haben ist es ja fast identisch,
aber wenn ich nun eine Ebene (planar) U-förmig verbiege so bleibt es
doch gültig, oder täusche ich mich? Nur sind aus ungekrümmten
Geraden teilweise gekrümmte Geodäten geworden. Wie steht es auf
dieser Fläche mit der Winkelsumme im geodätischen Dreieck?
Mit freundlichen Grüssen
Hero
PS Was heisst ,,gu"?
> gu
Hero
Wie steht es auf
> dieser Fläche mit der Winkelsumme im geodätischen Dreieck?
Ach nee, da hab ich mich getäuscht. Die Winkelsumme bleibt 180 Grad.
Na, ich such mal weiter oder seid Ihr hier schlauer?
Mit freundlichen Grüssen
Hero
Hero
>
> Wunderbar, da werden wir uns ja einig. Wenn Du das Parallelenaxiom
> forderst, dann ist die Winkelsumme auch immer 180 und dem widersprechen
> ja weder Hendrik ,Peter noch ich.
>
Wir sind uns sicher auch einig, dass man für viele geometrische
Beweise das 5.Postulat nicht benötigt, man also auch ohne es einige
Geometrie treiben kann.
Und wir sind uns sicher auch einig, dass man auf einer Kugelfläche
sphärische Geometrie betreiben kann -und es auch schon vor
Lobatschewsky und Bolyai und Hilbert wirklich tat - und ähnliches auch
etwa auf dem Hyperboloid, wo man etwa ein schiefwinkliges
Koordinatensystem hat. Oder auch bei der Strömung von Flüssigkeiten
gibt es spezielle geometrische Eigenschaften.
Sind wir uns aber auch einig, dass das 5.Postulat von Euklid nicht
durch seine Negation ersetzt werden kann, durch ein hyperbolisches oder
elliptisches Axiom?
> Ich hatte sowieso schon den Verdacht das (Schein)widersprüche der
> letzten Postings im wesentlichen durch eine unterschiedliche Sprachwahl
> verursacht waren (klassische/euklidische Auffassung von Geraden vs
> moderne Sichte von Geraden in alllgemeineren Geometriedefinition).
>
> Streng genommen macht der Begriff der Gerade ohne den Kontext der
> zugegörigen Geometrie wohl auch keinen Sinn (mehr).
Dann sprecht doch bitte auch lieber von Geodäten.
> In diesem Sinne gibt
> es keine "absolute" Geraden, sondern die jeweile Geometrie legt eben
> fest, was man in ihr als Gerade zu verstehen hat (wobei sich das
> natuerlich weit entfernt aus der euklidischen Geometrie motiviert)
>
Mit freundlichen Grüssen
Hero
Hendrik van Hees
> Man muss da schon trennen zwischen Vorstellung/Begrifflichkeiten die
> (oft aus guten Gruenden) in der Schulmathematik ueblich sind und denen
> die sonst innerhalb der Mathematik ueblich sind.
Ich bin da vollständig anderer Ansicht. Daß die Schulmathematik ja eben
mit Mathematik wenig bis gar nichts zu tun hat, ist ja der eigentliche
Skandal, die dieses Fach zur Qual macht, anstatt die Freude am
mathematischen Denken zu fördern! Das Gymnasium soll schließlich in
allen Fächern adäquat auf das Studium vorbereiten und nicht das
Verständnis in den ersten Semestern erschweren, indem sie aus
vermeintlich pädagogischen Gründen unübliche, zuweilen gar ungenaue
Begriffe verwendet.
Hendrik van Hees
> Doch. Unter allen Metriken, mit denen man Verbindungs-Linien von zwei
> Punkten messen kann, gibt die Metrik das Minimum, die die Länge einer
> Verbindungslinie mit Krümmung Null, die diese beiden Punkte verbindet,
> misst.
In der Riemannschen Geometrie hast Du die Metrik als positiv definite
Bilinearform auf den Tangentialräumen der Mannigfaltigkeit. Sie gibt
erst einmal also nur die Länge "infinitesimaler Linienelemente" an (ich
weiß, die Mathematiker mögen diese anschauliche Formulierung nicht und
bevorzugen die abstrakte Formulierung wie ich sie z.B. in meinem
FAQ-Artikel
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/geo/geo.html
zusammengestellt habe).
Ein Winkel wird zu einer lokalen Größe und in der Tat so definiert, wie
Du sagst:
> Und da wir gerade beim Messen sind:
> Wie misst Du die Gradzahl der drei Winkel zwischen den drei Geodäten
> beim Kugeldreieck?
> Anders als durch die Winkel zwischen den entsprechenden Tangenten in
> den Eckpunkten zu messen?
Die Abweichung der Winkelsumme von pi ist gerade ein Maß für die Fläche
des Dreiecks (gemessen in Einheiten von R^2, wobei R der Radius der
Kugel im R^3 ist). Ein infinitesimales Dreieck besitzt also die
Winkelsumme von pi. Die Kugelfläche ist also im Infinitesimalen mit der
ihre eigenen Riemannschen Metrik versehen (wie alle Riemannschen
Mannigfaltigkeiten) tatsächlich auch im Hinblick auf Winkelsummen in
Dreiecken wieder euklidisch.
Hero
> Na, ich such mal weiter oder seid Ihr hier schlauer?
Welches Axiom von Hilbert gilt denn auf einer Zylinderfläche?
Mit freundlichen Grüssen
Hero
Klaus
> "Klaus" <klaus....@wtal.de> schrieb
> > Andererseits erklaert Hilbert in der Einleitung zu seinem Werk: Die
> > vorliegende Untersuchung ist ein neuer Versuch, für die Geometrie ein
> > vollstaendiges und moeglichst einfaches System von Axiomen
> > aufzustellen. Mit diesem Bezug auf die Geometrie stellt er klar, dass
> > es ihm nicht um einen beliebigen Formalismus geht, sondern um eine
> > Praezisierung dessen, was Euklid mit Geometrie gemeint hat und was wir
> > alle als die Eigenschaften des uns umgebenden Raumes kennen.
>
> Diese Stelle gefällt mir gar nicht.
Die moderne Auffassung stellt sich mir so dar:
- Wirklichkeit: wird nicht beschrieben
- Punkte, Gerade, Vorstellungen: nichts bestimmtes, alles moeglich
- Oberstes Gebot: Axiome
Zwei negative Aeusserungen, kein positive.
Meiner Meinung nach ein ziemlich desolates Bild eines mathematischen
Labors, das weder Tueren noch Fenster hat ueber welche Gedanken und
Ideen hinein- und herausstroemen koennten.
(Hmm. Diese einfache Formulierung hat mich jetzt einige Zeit gekostet,
deshalb streich ich was ich vorher eigentlich noch schreiben wollte und
mach wegen dem schoenen Wetter hier einen Punkt :-))
Gruss
-- Klaus
Klaus
> Ich kann mal als (theoretischer) Physiker meinen Senf dazugeben.
Wow, Danke! Verstaendliche Einblicke in die aktuelle Physik, die Arbeit
stell ich mir recht spannend und kreativ vor.
Schoenen Tag!
Gruss
--Klaus
Peter Niessen
> Die moderne Auffassung stellt sich mir so dar:
>
> - Wirklichkeit: wird nicht beschrieben
> - Punkte, Gerade, Vorstellungen: nichts bestimmtes, alles moeglich
> - Oberstes Gebot: Axiome
>
> Zwei negative Aeusserungen, kein positive.
>
> Meiner Meinung nach ein ziemlich desolates Bild eines mathematischen
> Labors, das weder Tueren noch Fenster hat ueber welche Gedanken und
> Ideen hinein- und herausstroemen koennten.
Was soll da negativ sein?
Das der "euklidsche Raum" nur noch ein Spezialfall eines verallgemeinerten
Geometriebegriffes ist? Auf diese Weise lassen sich auch Objekte
untersuchen die man gemeinhin kaum als Raum identifiziert z.B.:
Datenbanken. Mit der Topologie hast du dann nochmal eine weitere
Abstraktion. Das Untersuchen mathematischer Objekte mit solch abstrakten
Methoden hat sich als sehr erfolgreich erwiesen.
kilian heckrodt
> kilian heckrodt schrieb:
>
>
>> Wunderbar, da werden wir uns ja einig. Wenn Du das Parallelenaxiom
>> forderst, dann ist die Winkelsumme auch immer 180 und dem widersprechen
>> ja weder Hendrik ,Peter noch ich.
>>
>
> Wir sind uns sicher auch einig, dass man für viele geometrische
> Beweise das 5.Postulat nicht benötigt, man also auch ohne es einige
> Geometrie treiben kann.
>
> Und wir sind uns sicher auch einig, dass man auf einer Kugelfläche
> sphärische Geometrie betreiben kann -und es auch schon vor
> Lobatschewsky und Bolyai und Hilbert wirklich tat - und ähnliches auch
> etwa auf dem Hyperboloid, wo man etwa ein schiefwinkliges
> Koordinatensystem hat. Oder auch bei der Strömung von Flüssigkeiten
> gibt es spezielle geometrische Eigenschaften.
>
> Sind wir uns aber auch einig, dass das 5.Postulat von Euklid nicht
> durch seine Negation ersetzt werden kann, durch ein hyperbolisches oder
> elliptisches Axiom?
Nein, das sind wir uns nicht einig bzw. die Aussage ist so falsch.
Geometrie ohne das Parallelenaxiom ist die absolute Geometrie, ihre
Aussagen gelten also fuer alle Geometrien in denen das Parallenaxiom
durch ein anderes ersetzt wird. Dabei wird in der Tat das
Parallelenpostulat durch an anderes Axiom ersetzt, welches das
Parallelpostulat negiert.
Einiges an Info findest du z.B. im folgenden Link, besonders interessant
duerfte fuer dich auch sein, das er sich mit hyperbolischer Geometrie
in der Schule befasst.
http://orion.math.iastate.edu/msm/DonaldCMSMCCF05.pdf
Ausserdem ganz hilfreich:
http://math.rutgers.edu/~zchan/435/f06/NEnotes.pdf
>
>> Ich hatte sowieso schon den Verdacht das (Schein)widersprüche der
>> letzten Postings im wesentlichen durch eine unterschiedliche Sprachwahl
>> verursacht waren (klassische/euklidische Auffassung von Geraden vs
>> moderne Sichte von Geraden in alllgemeineren Geometriedefinition).
>>
>> Streng genommen macht der Begriff der Gerade ohne den Kontext der
>> zugegörigen Geometrie wohl auch keinen Sinn (mehr).
>
> Dann sprecht doch bitte auch lieber von Geodäten.
Naja, die Ausgangsfrage nach einer Geometrie in der die Winkelsumme
nicht 180 betraegt und im Kontext dieser Geometrie war eben von Geraden
die Rede und wie gesagt die Sprechweise Gerade ist wirklich ueblich und
auch allgemeiner als Geodaete. Wenn man naemlich endliche Geometrien
betrachet wird die definierende Eigenschaft "kuerzeste Verbindung zweier
Punkte" durch "durch 2 Punkte geht genau eine Gerade ersetzt", in
solchen Strukturen kann man nicht mehr von Geodaeten reden, aber man
spricht eben immer von Geraden. Allerdings gibt es jetzt auch keine
Winkel mehr ueber die man sich streiten koennte.
kilian heckrodt
> kilian heckrodt wrote:
>
>> Man muss da schon trennen zwischen Vorstellung/Begrifflichkeiten die
>> (oft aus guten Gruenden) in der Schulmathematik ueblich sind und denen
>> die sonst innerhalb der Mathematik ueblich sind.
>
> Ich bin da vollständig anderer Ansicht. Daß die Schulmathematik ja eben
> mit Mathematik wenig bis gar nichts zu tun hat, ist ja der eigentliche
> Skandal, die dieses Fach zur Qual macht, anstatt die Freude am
> mathematischen Denken zu fördern! Das Gymnasium soll schließlich in
> allen Fächern adäquat auf das Studium vorbereiten und nicht das
> Verständnis in den ersten Semestern erschweren, indem sie aus
> vermeintlich pädagogischen Gründen unübliche, zuweilen gar ungenaue
> Begriffe verwendet.
>
(obwohl es ja in verschiedener Gestalt schon reichlich Threads zu dieser
Thematik gab). Vor allem muss man vorab klaeren was Schulmathematik fuer
wen eigentlich leisten soll.
"Das Gymnasium soll schließlich in allen Fächern adäquat auf das Studium
vorbereiten"
Dem stimme ich zu, aber ich sage auch:
"Die Schulmathematik ist _primaer_ nicht dazu da, den angehenden
Mathestudenten optimal auf sein Mathestudium vorzubereiten"
Mathematisch unscharfe Begriffe werden schliesslich auch in vielen nicht
mathematischen Studiengaengen verwendet und auch da zumindest oft auch
aus "gute Gruenden"
Fuer Sprachuebersetzungen gibt es den Grundsatz "so woertlich wie
moeglich, so frei wie noetig".
So aehnlich wuerde ich das auch fuer den Mathe Unterricht in der Schule
sehen, wobei sich die Ausgestaltung immer an der jeweiligen
Unterrichtsgruppe orientieren muss.
An dem Grundsatz sollte man dann auch jegliche paedagogische/didaktische
Vereinfachungen messen und wenn sie nicht noetig sind fliegen sie raus.
Genauso aber gilt wenn eine exakte mathematische Formulierung dazu
fuehrt das 50% grosse Verstaendnisschwierigkeiten haben bzw. mit der
Begrifflichkeit nicht arbeiten koennen, dann fliegt sie eben auch
zugunsten einer unscharfen raus (so leid einem das auch tut).
Hero
> Hero wrote:
> > kilian heckrodt schrieb:
> >
> > Sind wir uns aber auch einig, dass das 5.Postulat von Euklid nicht
> > durch seine Negation ersetzt werden kann, durch ein hyperbolisches oder
> > elliptisches Axiom?
>
> Nein, das sind wir uns nicht einig bzw. die Aussage ist so falsch.
> Geometrie ohne das Parallelenaxiom ist die absolute Geometrie, ihre
> Aussagen gelten also fuer alle Geometrien in denen das Parallenaxiom
> durch ein anderes ersetzt wird. Dabei wird in der Tat das
> Parallelenpostulat durch an anderes Axiom ersetzt, welches das
> Parallelpostulat negiert.
> >
> Einiges an Info findest du z.B. im folgenden Link, besonders interessant
> duerfte fuer dich auch sein, das er sich mit hyperbolischer Geometrie
> in der Schule befasst.
>
> http://orion.math.iastate.edu/msm/DonaldCMSMCCF05.pdf
>
und hier steht:
"Hyperbolic geometry is, by definition, the geometry you get
by assuming all the axioms for neutral geometry and replacing
Hilbert's parallel postulate by its negation, which we shall call
the 'hyperbolic axiom'"
Sind wir uns einig, dass wir
das 5.Postulat von Euklid vom
Parallelen Axiom von Hilbert ( genannt ,,euklidisch")
unterscheiden müssen?
Der Unterschied liegt in der Definition des Wortes ,,Gerade"
Hilbert's Axiom kann negiert werden.
Euklids Postulat ist bisher nie erfolgreich negiert worden( für
Geraden, die Geodäten sind mit Krümmung Null).
> >> Streng genommen macht der Begriff der Gerade ohne den Kontext der
> >> zugegörigen Geometrie wohl auch keinen Sinn (mehr).
> >
> > Dann sprecht doch bitte auch lieber von Geodäten.
>
> Naja, die Ausgangsfrage nach einer Geometrie in der die Winkelsumme
> nicht 180 betraegt und im Kontext dieser Geometrie war eben von Geraden
> die Rede und wie gesagt die Sprechweise Gerade ist wirklich ueblich und
> auch allgemeiner als Geodaete. Wenn man naemlich endliche Geometrien
> betrachet wird die definierende Eigenschaft "kuerzeste Verbindung zweier
> Punkte" durch "durch 2 Punkte geht genau eine Gerade ersetzt", in
> solchen Strukturen kann man nicht mehr von Geodaeten reden, aber man
> spricht eben immer von Geraden. Allerdings gibt es jetzt auch keine
> Winkel mehr ueber die man sich streiten koennte.
>
Solche Untersuchungen und Verallgemeinerungen ( Abschwächungen) der
Begriffe sind sehr interessant und wertvoll.
Nur haben wir Eure (Hilbert's) ,,Geraden", bei denen durch zwei
Punkte manchmal viele ,,Geraden" gehen, jetzt dazu ,, ,, Geraden
,, ,,, die nicht mehr kürzeste Verbindungen sind und drittens noch
die Geraden von Euklid selbst.
An anderer Stelle in diesem Thread schreibst Du, kilian:
> Genauso aber gilt wenn eine exakte mathematische Formulierung dazu
> fuehrt das 50% grosse Verstaendnisschwierigkeiten haben bzw. mit der
> Begrifflichkeit nicht arbeiten koennen, dann fliegt sie eben auch
> zugunsten einer unscharfen raus (so leid einem das auch tut).
Bedenke auch die vielen Begriffe spezieller Geraden etwa Tangente,
Translation usw und setz hier mal überall Hilbert's Geradenbegriff
ein, dann verstehst Du vielleicht, was diese exakte mathematische
Formulierung durch falsche Wortwahl anrichtet.
Mit freundlichen Grüssen
Hero
Rudi Menter
> Euklids Postulat ist bisher nie erfolgreich negiert worden
> (für Geraden, die Geodäten sind mit Krümmung Null).
Es gibt Metriken, Geometrien, auf denen keine
"Geodäten mit Krümmung Null" existieren.
fg
--
Rudi Menter
> Euklids Postulat ist bisher nie erfolgreich negiert worden
> (für Geraden, die Geodäten sind mit Krümmung Null).
Es gibt Metriken, Geometrien, auf denen keine "Geodäten mit
Krümmung Null" existieren, wohl aber kürzestmögliche Strecken.
Die Frage ist nun einfach, ob man den Begriff 'Gerade' auf
derartiges erweitert oder nicht...
fg
--
kilian heckrodt
Nein, insofern die unterschiedlichen Formulierungen _aequivalent_ sind.
Es gibt auch noch weitere equivalente Formulierungen des
Parallenpostulats (findet sich alles auf Wikipedia).
>
> Der Unterschied liegt in der Definition des Wortes ,,Gerade"
> Hilbert's Axiom kann negiert werden.
> Euklids Postulat ist bisher nie erfolgreich negiert worden( für
> Geraden, die Geodäten sind mit Krümmung Null).
Das macht aus meiner Sicht keinen Sinn. Wenn Du mit Euklid direkt
argumentierst, dann kannst du den Begriff Kruemmung nicht verwenden, da
dieser Euklid ueberhaupt nicht zur Verfuegung stand.
>
>
> An anderer Stelle in diesem Thread schreibst Du, kilian:
>> Genauso aber gilt wenn eine exakte mathematische Formulierung dazu
>> fuehrt das 50% grosse Verstaendnisschwierigkeiten haben bzw. mit der
>> Begrifflichkeit nicht arbeiten koennen, dann fliegt sie eben auch
>> zugunsten einer unscharfen raus (so leid einem das auch tut).
Das betraf die Schulmathematik und dnicht ie Universitaetsmathematik,
um die es es in diesen Thread geht.
Also es geht darum, was Mathematiker unter Geraden verstehen und nicht
darum, was Schueler unter Geraden verstehen.
>
> Bedenke auch die vielen Begriffe spezieller Geraden etwa Tangente,
> Translation usw und setz hier mal überall Hilbert's Geradenbegriff
> ein, dann verstehst Du vielleicht, was diese exakte mathematische
> Formulierung durch falsche Wortwahl anrichtet.
>
Es ist keine "falsche" Wortwahl, sondern eine "richtige" in der
Mathematik uebliche Wortwahl, die du (aus welchen Gruenden auch immer)
nicht teilen moechtest.
> Mit freundlichen Grüssen
> Hero
>
Hero
Na klar, das ist sinnvoll. Bloss befleissige man sich dabei einer
exakten Sprache.
Bei Hilbert ist die Wahl des Wortes "Gerade" aber Absicht.
Worum es geht, drückt wiki so aus:
"Inzwischen spielt nichteuklidische Geometrie eine wichtige Rolle in
der theoretischen Physik und der Kosmologie. Gemäß der allgemeinen
Relativitätstheorie weicht die Geometrie des Weltalls von der
euklidischen ab, weil Schwerefelder den Raum ,,krümmen". Ob die
Geometrie des Universums ,,im Großen" sphärisch (elliptisch), eben
(das heißt euklidisch) oder hyperbolisch ist, gehört zu den großen
aktuellen Fragen der Physik. "
Es sind wohl nicht die Schwerefelder, sondern eine Angst vor dem
"Unendlichen", die hier krümmt.
Betrachten wir mal die Translation eines Punkts, da ist seine Lage am
Anfang mit dem Bildpunkt durch eine Gerade verbunden. Nun sagt Ihr
(wie Hilbert) diese Gerade kann auch eine Geodäte mit Krümmung sein,
einverstanden?
Gut, jetzt soll diese Translation aber nicht nur auf einen Punkt
sondern mal auf einen Körper bzw eine räumliche Punktmenge angewendet
werden. Dann ergibt sich doch eine Deformation dieses Körpers, was im
Widerspruch zur Eigenschaft einer Translation steht. Gibt es denn
überhaupt Translationen, wenn der Raum gekrümmt ist?
Mit freundlichen Grüssen
Hero
Peter Niessen
> Gut, jetzt soll diese Translation aber nicht nur auf einen Punkt
> sondern mal auf einen Körper bzw eine räumliche Punktmenge angewendet
> werden. Dann ergibt sich doch eine Deformation dieses Körpers, was im
> Widerspruch zur Eigenschaft einer Translation steht. Gibt es denn
> überhaupt Translationen, wenn der Raum gekrümmt ist?
Warum denn nicht?
Allerdings ist dann im allgemeinen die verschobene Figur nicht mehr ähnlich
(andere Winkel etc.)
Hero
Okay, der Hinweis auf Krümmung sollte Euklid's Geraden in heutiger
Sprache beschreiben.
Formulier es so:
Euklid's Definitionen und Postulate liefern andere Geraden als Hilberts
"euklidische Geometrie" und damit ist Hilbert's Negation des
Parallelenaxioms eben keine Negation des Euklidischen 5. Postulats. Und
für Geraden von Euklid selbst kann man es nicht negieren.
Und doch wurde damals auch sphärische Geometrie betrieben, bekannt ist
etwa die Landkarte des Mittelmeer-Raums.
Mit freundlichen Grüssen
Hero
Rudi Menter
>> Es gibt Metriken, Geometrien, auf denen keine "Geodäten mit
>> Krümmung Null" existieren, wohl aber kürzestmögliche Strecken.
>>
>> Die Frage ist nun einfach, ob man den Begriff 'Gerade' auf
>> derartiges erweitert oder nicht...
>>
> Na klar, das ist sinnvoll. Bloss befleissige man sich dabei einer
> exakten Sprache.
> Bei Hilbert ist die Wahl des Wortes "Gerade" aber Absicht.
>
> Worum es geht, drückt wiki so aus:
> "Inzwischen spielt nichteuklidische Geometrie eine wichtige Rolle
> ... weicht die Geometrie des Weltalls von der euklidischen ab
Ok,
nun mußt du das nur auf 2 Dimensionen übertragen: z.B. die Erdoberfläche,
und wir haben hier keine Geraden ohne Krümmumg. Uns fällt es nur nicht
weiter auf. Aber wir können nicht einfach generell die Erdoberfläche als
Einbettung eines ungekrümmten 2d-Raumes in einem Euklidraum betrachten,
nur damit wir die uns so liebgewordenen Euklidsche Geraden verwenden
können ;) denn so haben wir die bekannten Abbildungsfehler auf unseren
Landkarten und mit dieser Falschannahme wäre z.B das Flugwesen umnmögich.
> Betrachten wir mal die Translation eines Punkts, da ist seine Lage am
> Anfang mit dem Bildpunkt durch eine Gerade verbunden. Nun sagt Ihr
> (wie Hilbert) diese Gerade kann auch eine Geodäte mit Krümmung sein,
> einverstanden?
> Gut, jetzt soll diese Translation aber nicht nur auf einen Punkt
> sondern mal auf einen Körper bzw eine räumliche Punktmenge angewendet
> werden. Dann ergibt sich doch eine Deformation dieses Körpers, was im
> Widerspruch zur Eigenschaft einer Translation steht. Gibt es denn
> überhaupt Translationen, wenn der Raum gekrümmt ist?
Ja, man beachte den unvergleichlichen Escher:
http://members.tripod.com/vismath/dunham/section4.html
http://members.tripod.com/vismath/dunham/section5.html
http://members.tripod.com/vismath/dunham/section6.html
Aber neben der Konformen Abbildung
http://de.wikipedia.org/wiki/Konforme_Abbildung
gibt es noch beliebig viele weitere, dank des Mappingtheorems
http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher_Abbildungssatz
fg
--
Rudi Menter
>> Es gibt Metriken, Geometrien, auf denen keine "Geodäten mit
>> Krümmung Null" existieren, wohl aber kürzestmögliche Strecken.
>>
>> Die Frage ist nun einfach, ob man den Begriff 'Gerade' auf
>> derartiges erweitert oder nicht...
>>
> Na klar, das ist sinnvoll. Bloss befleissige man sich dabei einer
> exakten Sprache.
> Bei Hilbert ist die Wahl des Wortes "Gerade" aber Absicht.
>
> Worum es geht, drückt wiki so aus:
> "Inzwischen spielt nichteuklidische Geometrie eine wichtige Rolle
> ... weicht die Geometrie des Weltalls von der euklidischen ab
Ok,
nun mußt du das nur auf 2 Dimensionen übertragen: z.B. die Erdoberfläche,
und hier haben wir keine Geraden ohne Krümmumg, das fällt uns nur nicht
weiter auf. Aber wir können nicht einfach generell die Erdoberfläche als
Einbettung eines ungekrümmten 2d-Raumes in einem Euklidraum betrachten,
und so haben wir die bekannten Abbildungsfehler auf unseren Landkarten
und mit obiger Falschannahme wäre z.B das Flugwesen unmöglich.
> Betrachten wir mal die Translation eines Punkts, da ist seine Lage am
> Anfang mit dem Bildpunkt durch eine Gerade verbunden. Nun sagt Ihr
> (wie Hilbert) diese Gerade kann auch eine Geodäte mit Krümmung sein,
> einverstanden?
> Gut, jetzt soll diese Translation aber nicht nur auf einen Punkt
> sondern mal auf einen Körper bzw eine räumliche Punktmenge angewendet
> werden. Dann ergibt sich doch eine Deformation dieses Körpers, was im
> Widerspruch zur Eigenschaft einer Translation steht. Gibt es denn
> überhaupt Translationen, wenn der Raum gekrümmt ist?
Ja, man beachte den unvergleichlichen Escher:
Hendrik van Hees
FACK: "Translationen", also Parallelverschiebungen, gibt es übrigens
schon bei viel einfacheren Mannigfaltigkeiten, nicht nur Riemannschen,
nämlich solchen, auf denen eine affine Konnexion definiert ist
("Christoffelsymbole", wenn man sich lokaler Koordinaten bedient). Ein
Riemannscher Raum ist dann einer mit einer affinen Konnexion ohne
Torsion ("Christoffelsymbole", die unter Vertauschung der unteren
Indices symmetrisch sind, so daß der Torsionstensor in jedem Punkt der
Mannigfaltigkeit identisch verschwindet), die mit der Metrik
verträglich ist, d.h. daß sich infinitesimale Abstände unter
infinitesimalen Parallelverschiebungen nicht ändern.
Hero
> Peter Niessen wrote:
>
> > Am 22 Dec 2006 09:17:21 -0800 schrieb Hero:
> >
> >> Gut, jetzt soll diese Translation aber nicht nur auf einen Punkt
> >> sondern mal auf einen Körper bzw eine räumliche Punktmenge angewendet
> >> werden. Dann ergibt sich doch eine Deformation dieses Körpers, was im
> >> Widerspruch zur Eigenschaft einer Translation steht. Gibt es denn
> >> überhaupt Translationen, wenn der Raum gekrümmt ist?
> >
> > Warum denn nicht?
> > Allerdings ist dann im allgemeinen die verschobene Figur nicht mehr
> > ähnlich (andere Winkel etc.)
>
Weil Translationen geraden- längen- und winkeltreu sein müssen.
> FACK: "Translationen", also Parallelverschiebungen, gibt es übrigens
> schon bei viel einfacheren Mannigfaltigkeiten, nicht nur Riemannschen,
> nämlich solchen, auf denen eine affine Konnexion definiert ist
> ("Christoffelsymbole", wenn man sich lokaler Koordinaten bedient). Ein
> Riemannscher Raum ist dann einer mit einer affinen Konnexion ohne
> Torsion ("Christoffelsymbole", die unter Vertauschung der unteren
> Indices symmetrisch sind, so daß der Torsionstensor in jedem Punkt der
> Mannigfaltigkeit identisch verschwindet), die mit der Metrik
> verträglich ist, d.h. daß sich infinitesimale Abstände unter
> infinitesimalen Parallelverschiebungen nicht ändern.
Etwas ausführlicher, aber dadurch vielleicht für manche
verständlicher, schreibt Riemann selbst:
,,...Der gemeinsame Charakter dieser Mannigfaltigkeiten, deren
Krümmungsmass constant ist, kann auch so ausgedrückt werden, dass
sich die Figuren in ihnen ohne Dehnung bewegen lassen. Denn offenbar
würden die Figuren in ihnen nicht beliebig verschiebbar und drehbar
sein können, wenn nicht in jedem Punkte in allen Richtungen das
Krümmungsmass dasselbe wäre." Das mein ich auch.
Und hier sein Wunsch:
,,..Die Unbegrenztheit des Raumes besitzt daher eine grössere
empirische Gewissheit, als irgend eine äussere Erfahrung. Hieraus
folgt aber die Unendlichkeit keineswegs; vielmehr würde der Raum, wenn
man Unabhängigkeit der Körper vom Ort voraussetzt, ihm also ein
constantes Krümmungsmass zuschreibt, nothwendig endlich sein, so bald
dieses Krümmungsmass einen noch so kleinen positiven Werth hätte. Man
würde, wenn man die in einem Flächenelement liegenden
Anfangsrichtungen zu kürzesten Linien verlängert, eine unbegrenzte
Fläche mit constantem positiven Krümmungsmass, also eine Fläche
erhalten, welche in einer ebenen dreifach ausgedehnten Mannigfaltigkeit
die Gestalt einer Kugelfläche annehmen würde und welche folglich
endlich ist. ..."
Riemann kannte Hilbert ja noch nicht ( für ihn sind krumme Geodäten
noch keine Geraden) und so ist seine ,,Lösung":
,,...Nun scheinen aber die empirischen Begriffe, in welchen die
räumlichen Massbestimmungen gegründet sind, der Begriff des festen
Körpers und des Lichtstrahls, im Unendlichkleinen ihre Gültigkeit zu
verlieren; es ist also sehr wohl denkbar, dass die Massverhältnisse
des Raumes im Unendlichkleinen den Voraussetzungen der Geometrie nicht
gemäss sind, und dies würde man in der That annehmen müssen, sobald
sich dadurch die Erscheinungen auf einfachere Weise erklären liessen.
.."
Über die Hypothesen,...
http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Geom/
Und so drückt wiki dies aus:
http://de.wikipedia.org/wiki/Paralleltransport
Das ,,Dumme" ist nur, dass Abstände als variablen Differenzen,
diese delta's oder (x1 - x2) 's, entweder ungleich Null oder gleich
Null sind, tertium non datur. Erst wenn sie gleich Null geworden sind
heissen die dx und erst dann sind sie infinitesimal klein.
Freundliche Grüße von Eurem einfältigen
Hero
PS. Klaus schreibt über die ,,moderne Auffassung":
> > > > Meiner Meinung nach ein ziemlich desolates Bild eines mathematischen
> > > > Labors, das weder Tueren noch Fenster hat ueber welche Gedanken und
> > > > Ideen hinein- und herausstroemen koennten.
Daran gemessen war selbst Riemann noch weltoffen.
Rudi Menter
> http://de.wikipedia.org/wiki/Paralleltransport
> Das ,,Dumme" ist nur, dass Abstände als variablen Differenzen,
> diese delta's oder (x1 - x2) 's, entweder ungleich Null oder gleich
> Null sind, tertium non datur. Erst wenn sie gleich Null geworden sind
> heissen die dx und erst dann sind sie infinitesimal klein.
Sorry, aber du scheinst, durchgehend sozusagen, etwas zu verwechseln ;)
Was ich meine hört sich simpel an, ist aber zentral, z.B. für
Physiker... ;) Und zwar, man kann ja mathematisch alles konstruieren,
und das ist ja auch der Zweck einer solchen, per Zielsetzung
absoluten und unbegrenzten, Sprache, aber es ist deshalb wiederum
auch ganz besonders leicht, gewisse /wesentlich verschiedene/
Konstrukte zu verwechseln, weil sie formal sehr ähnlich sind.
Was ich meine sind die Begriffe Abbildung vs. Operation, wobei
ich nicht recht weiß, ob der zweite Begriff halbwegs paßt. Also,
Abbildungen bilden ein /absolutes/ Urbild ab, ohne es irgendwie
anzutasten, dagegen ist Zweck einer Operation, ein Objekt, also
etwas das den Status eines solchen Urbildes hat, zu modifizieren.
Dieser Unterschied wird in der Symbolik der Mathematik gar nicht
explizit (oder implizit) sichtbar (!) ... in der Physik schon,
kurzum: eine Translation eines Objektes ändert nicht unbedingt
das Objekt, sondern eventuell 'nur' seine (relative) Projektion...
> Freundliche Grüße von Eurem einfältigen
> Hero
Um Himmels Willen, du doch nicht ;)
Kann gut sein, daß ich dich völlig mißverstanden habe oder selbst
keinen Durchblick habe, aber egal, das sind just meine 2 cent ;)
fg
--
kilian heckrodt
Beschreibungen forderst du eben implizit die Gueltigkeit des
Parallenaxioms. Und wenn du das Parallelenaxiom implizit als richtig
voraussetzt kann es natuerlich nicht widerrlegen (sofern das
Axiomensystem nicht inkonsistent ist)
Aber der Geradenbegriff kann (und wurde historisch) aber eben auch in
der absoluten Geometrie _ohne_ den impliziten Rueckgriff auf das
Parallenaxiom gebildet werden.
> Formulier es so:
> Euklid's Definitionen und Postulate liefern andere Geraden als Hilberts
> "euklidische Geometrie"
Nein, das tun sie eben _nicht_. Die verschiedenen Varianten fuer das
Parallelenaxiom sind aequivalent und liefern diesselbe Geometrie.
Die Hilbert'sche Formulierung uebersetzt die Euklidsche Formulierung nur
in eine moderne (sprich adaequatere) Sprache.
Im Uebrigen ist das auch keine Hilbert vs. Euklid Diskussion, da jede
Menge andere Mathematiker (vor und nach Hilbert) aequivalente Axiome
oder andere Formulierungen zum Parallenpostulat verwendet haben.
Soviel ich weiss hat auch Euklid schon die Sonderstellung des
Parallenaxioms erkannt und bis zur Entdeckung nicht euklidischen
Geometrien ist lange versucht worden das Parallenaxiom aus den anderen
Axiomen herzuleiten.
> und damit ist Hilbert's Negation des
> Parallelenaxioms eben keine Negation des Euklidischen 5. Postulats. Und
> für Geraden von Euklid selbst kann man es nicht negieren.
Wenn man irgendeine der Varianten des Parallelenpostulats negiert,
negiert man _alle_ aequivalenten Formulierungen und natuerlich auch das
von Euklid und genau das wird gemacht, wenn man die absolute Geometrie
statt mit dem Paralleln-Axiom mit einen hyperbolischen Axiom oder einem
elliptischen Axiom erweitert.
kilian heckrodt
Also aus meiner Sich beklommt dir Diskussion jetzt einen
grundsaetzlichen Fehler, du forderst staendig weitere Eigenschaften, die
in der euklidischen Geometrie eine _Konsequenz_ des Parallelaxioms sind.
Wenn man diese Eigenschaften haben moechte, dann muss man sich eben mit
einer euklidischen Geometrie arbeiten.
Es hat niemand behauptet das alle wuenschenswerten (oder erwarteten)
Eigenschaften in der euklidischen Geometrie in nicht euklidischen
Geometrien auch gelten (viele tun es, wie du zu recht anmerkst nicht).
Es ist aber sinnlos diese Eigenschaften nachtraeglich in den
Geradenbegriff als definierende Eigenschaften mit hineinbasteln und dann
zu sagen, füer solche Geraden kann das Parallelaxiom nicht negiert werden.
Natuerlich kann es das dann nicht (da es implizit bereits vorausgesetzt
wird).
Der Witz ist ja mit einen Geradenbegriff aus der absoluten Geometrie (in
der nur ersten 4 Axiome gelten) zu arbeiten. Genau das ist ja in der
historischen Entwicklung des Begriffes ja gemacht worden, wobei sich der
Geradenbegriff dann spaeter im Hinblick auf endliche Geometrien noch
weiter verallgemeinert hat.
kilian heckrodt
Geometrie konkrete gegebene Dreieck (also mit festen Seitenlaengen
a,b,c) nicht infinitesimal und amit ist seine Winkelsumme < Pi.
Oder verstehe ich da jetzt etwas falsch (ich kenne mich in
Differentialgeometrie nicht aus)?
kilian heckrodt
Ich wuerde das nicht so negativ sehen.
Abstraktion/Verallgemeinerung liegt nun mal
im Wesen der Mathematik. Und die Tatsache, das es von einem Begriff
Abstraktionen/allgemeinere Versionen gibt heisst ja nicht, das ich diese
fuer ein konkrete Problematik nutzen (sofern sie mir da nicht von Nutzen
sind).
Ausserdem ist das Schoene an Abstraktionen ja, das sie gemeiname
(Grund)strukturen freilegen.
>
> Die moderne Auffassung stellt sich mir so dar:
>
> - Wirklichkeit: wird nicht beschrieben
Man kann das auch so sehen, statt einer Wirklichkeit kann ich mehrere
Wirklichkeiten beschreiben (in diesem Sinne gewinne ich) und weitherhin
erkenne ich auch klare Grenzen des WWirklichkeitsbezugs.
Denn streng genommen liefert Mathematik ohnehin immer nur Modelle, die
auffallend oft eine Wirklichkeit gut (aber eigentlich nur approximativ)
beschreiben.
> - Punkte, Gerade, Vorstellungen: nichts bestimmtes, alles moeglich
Das heisst alle Lehrsaetze/Erkenntnisse lassen sich in unterschiedlichen
Gebieten anwenden (das ist ja gerade ein Ziel der Abstraktion).
> - Oberstes Gebot: Axiome
Js, allerdings waehlt man diese ja "sinnvoll" und nicht beliebig.
Das Mathematik das Axiom als Grundlage verwendet und nicht die
experimentelle Beobachtung unterscheidet sie gerade bewusst von den
Naturwissenschaften.
Hendrik van Hees
> Nein, das tun sie eben _nicht_. Die verschiedenen Varianten fuer das
> Parallelenaxiom sind aequivalent und liefern diesselbe Geometrie.
> Die Hilbert'sche Formulierung uebersetzt die Euklidsche Formulierung
> nur in eine moderne (sprich adaequatere) Sprache.
So habe ich es auch immer verstanden, habe allerdings Hilberts
Geometriebuch nicht gelesen. Soweit ich weiß, hat Hilbert nur
herausgepfriemelt, welche versteckten Annahmen Euklid hinsichtlich
Vollständigkeit macht und diese explizit beschrieben. Modern
ausgedrückt ist eine Gerade eine affine Untermannigfaltigkeit eines
affinen Punktraumes, wobei der Skalarenkörper des Vektorraums R sein
muß (Q reicht nicht).
Hendrik van Hees
> Man kann das auch so sehen, statt einer Wirklichkeit kann ich mehrere
> Wirklichkeiten beschreiben (in diesem Sinne gewinne ich) und
> weitherhin erkenne ich auch klare Grenzen des WWirklichkeitsbezugs.
> Denn streng genommen liefert Mathematik ohnehin immer nur Modelle, die
> auffallend oft eine Wirklichkeit gut (aber eigentlich nur
> approximativ) beschreiben.
Das ist schon schön von Einstein in "Geometrie und Erfahrung"
beschrieben. Ich würde aber die Mathematik eher als adäquaten
Ausdrucksrahmen für physikalische Modelle denn als Modell der Natur
selbst sehen. Das "mathematische Universum" ist ja nichts anderes als
ein reines Denkkonstrukt ohne Bezug auf irgendwelche realen
Gegebenheiten.
Es gibt auch keine andere Möglichkeit, festzustellen welches Modell die
beste Naturbeschreibung liefert als das Experiment. Die Idee Kants,
irgendwelche speziellen Raum-Zeitmodelle (in seinem Falle die
Euklidsche Geometrie bzw. insgesamt die Galilei-Newtonsche Raumzeit)
seien "a priori denknotwendig", ist schlicht und ergreifend Unsinn,
sozusagen ein Rückfall in tiefstes scholastisches Mittelalter, so sehr
Kant auch sonst zur Aufklärung beigetragen hat.
Wie wir seit Einsteins (und Hilberts!) ART (1915) wissen, ist die
Euklidsche Geometrie nur deshalb eine relativ gute Beschreibung in
unserem Alltagsgeschehen, weil wir in einem Raumzeitbereich geringer
Gravitation leben. Immerhin war die Präzision astronomischer
Beobachtungen und die astronomische Störungstheorie zur
Berücksichtigung der Wechselwirkungen des Merkur mit anderen
Himmelskörpern außer der Sonne bereits im 19. Jh. so gut, daß man
relativistische Korrekturen zur Bahn des Merkur lange vor der ART
entdeckt hat, ohne sie deuten zu können. Einstein hat diesen winzigen
Effekt dann mit der ART erklärt.
>
>> - Punkte, Gerade, Vorstellungen: nichts bestimmtes, alles moeglich
>
> Das heisst alle Lehrsaetze/Erkenntnisse lassen sich in
> unterschiedlichen Gebieten anwenden (das ist ja gerade ein Ziel der
> Abstraktion).
>
>> - Oberstes Gebot: Axiome
> Js, allerdings waehlt man diese ja "sinnvoll" und nicht beliebig.
Die einzige Forderung an Axiome kann sein, daß sie sich nicht
widersprechen (was man dann allerdings i.a. nicht aus dem Axiomensystem
heraus beweisen kann, wie uns Gödel ja lehrt). Ansonsten gibt es
keine "sinnvollen" oder "sinnlosen" Axiomensysteme. Ob man ein
mathematisches Gedankenspiel dann irgendwo "anwenden" kann, ist damit
nicht gesagt. Für die reine Mathematik ist das auch irrelevant.
> Das Mathematik das Axiom als Grundlage verwendet und nicht die
> experimentelle Beobachtung unterscheidet sie gerade bewusst von den
> Naturwissenschaften.
Eben!
Hendrik van Hees
> Aber wenn ich das richtig sehe ist doch jedes in der riemannschen
> Geometrie konkrete gegebene Dreieck (also mit festen Seitenlaengen
> a,b,c) nicht infinitesimal und amit ist seine Winkelsumme < Pi.
oder größer pi (wie das Beispiel der sphärischen Geometrie zeigt).
Mathematisch korrekt formuliert, besagt die Definition des Riemannschen
Raumes nur, daß dieser Raum
(a) eine (hinreichend oft) differenzierbare Mannigfaltigkeit ist, für
die
(b) der Tangentialraum in jedem Punkt die Struktur eines Euklidischen
Vektorraumes besitzt (=>Existenz einer Metrik) und
(c) eine torsionsfreie affine Konnexion besitzt, die mit der Metrik
verträglich ist
Aus (c) folgt die affine Konnexion eindeutig aus der Metrik.
In der sphärischen Geometrie ist der Exzeß, also die Abweichung der
Winkelsumme in einem sphärischen Dreieck von pi proportional zur Fläche
dieses Dreiecks. Läßt man das Dreieck immer kleiner werden, nähert sich
die Winkelsumme im Limes beliebig kleiner Flächen daher pi. Mehr wollte
ich nicht sagen.
Ich denke allerdings, daß das eigentlich bei jedem Riemannschen Raum so
sein müßte, nur daß eben die Abweichung i.a. wohl nicht mehr so einfach
mit der Fläche des Dreiecks korreliert sein dürfte. Ich muß mal näher
darüber nachsinnen (unterm Weihnachtsbaum vielleicht ;-)).
Hendrik van Hees
> Weil Translationen geraden- längen- und winkeltreu sein müssen.
Das gilt in allgemeinen Riemannschen Räumen aber nur noch für
infinitesimale Parallelverschiebungen. Die Parallelverschiebung eines
Vektors (oder allgmeineren Tensors) hängt i.a. vom Weg ab, was ja
gerade die Krümmung des Riemannschen Raumes definiert.
> Etwas ausführlicher, aber dadurch vielleicht für manche
> verständlicher, schreibt Riemann selbst:
> ,,...Der gemeinsame Charakter dieser Mannigfaltigkeiten, deren
> Krümmungsmass constant ist, kann auch so ausgedrückt werden, dass
> sich die Figuren in ihnen ohne Dehnung bewegen lassen. Denn offenbar
> würden die Figuren in ihnen nicht beliebig verschiebbar und drehbar
> sein können, wenn nicht in jedem Punkte in allen Richtungen das
> Krümmungsmass dasselbe wäre." Das mein ich auch.
Das sind, wie Riemann natürlich richtig schreibt, ganz spezielle
Riemannsche Mannigfaltigkeiten, nämlich solche konstanter Krümmung. Sie
besitzen ein hohes Maß an Symmetrie. Man kann diese Räume maximal
möglicher Symmetrie auch ausrechnen, indem man nach solchen
Riemannschen Räumen sucht, die eben maximal mögliche Symmetrie
besitzen. Man sucht nach solchen Räumen, die eine maximal mögliche
Anzahl von Killingvektoren (eine Basis der Liealgebra der
Symmetriegruppe des Raumes also) besitzen. Wieviele das sind, hängt nur
von der Dimension der Mannigfaltigkeit ab.
Es ist auch ohne Probleme auf Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten
erweiterbar. In der Allgemeinen Relativitätstheorie gelangt man so
zu "Kosmologien", also zur Robertson-Walker-Friedmann-Lemaitre
(Pseudo-)Metrik, welche das Universum im großräumigen Mittel beschreibt
und Grundlage der Big Bang Kosmologie (dem heutigen Standardmodell der
Kosmologie, für deren Bestätigung es dieses Jahr den Physiknobelpreis
an die Chefs des COBE Teams gab) liefert.
> Und hier sein Wunsch:
> ,,..Die Unbegrenztheit des Raumes besitzt daher eine grössere
> empirische Gewissheit, als irgend eine äussere Erfahrung. Hieraus
> folgt aber die Unendlichkeit keineswegs; vielmehr würde der Raum, wenn
> man Unabhängigkeit der Körper vom Ort voraussetzt, ihm also ein
> constantes Krümmungsmass zuschreibt, nothwendig endlich sein, so bald
> dieses Krümmungsmass einen noch so kleinen positiven Werth hätte.
Yep, das ist der Fall positiver Krümmung. In dem oben angedeuteten
physikalischen Kontext entscheidet der Energie-Impulsgehalt des
Universums, ob ein positiv, negativ oder gar nicht gekrümmter Raum
vorliegt. Nach derzeitigem Kenntnisstand ist der Raum in der Tat mit
großer Genauigkeit flach (Krümmung 0).
> Man
> würde, wenn man die in einem Flächenelement liegenden
> Anfangsrichtungen zu kürzesten Linien verlängert, eine unbegrenzte
> Fläche mit constantem positiven Krümmungsmass, also eine Fläche
> erhalten, welche in einer ebenen dreifach ausgedehnten
> Mannigfaltigkeit die Gestalt einer Kugelfläche annehmen würde und
> welche folglich endlich ist. ..."
> Riemann kannte Hilbert ja noch nicht ( für ihn sind krumme Geodäten
> noch keine Geraden) und so ist seine ,,Lösung":
Ich würde auch lieber von Geodäten als von Geraden sprechen, damit klar
ist, daß man sich in einem allgemeineren Riemannschen Raume und nicht
einem Euklidischen befindet. Soviel ich weiß, hat Hilbert selbst ja
auch nur eine präzisere Formulierung der Euklidischen Axiome
vorgenommen und nicht allgemeine Riemannsche Räume betrachtet.
> ,,...Nun scheinen aber die empirischen Begriffe, in welchen die
> räumlichen Massbestimmungen gegründet sind, der Begriff des festen
> Körpers und des Lichtstrahls, im Unendlichkleinen ihre Gültigkeit zu
> verlieren; es ist also sehr wohl denkbar, dass die Massverhältnisse
> des Raumes im Unendlichkleinen den Voraussetzungen der Geometrie nicht
> gemäss sind, und dies würde man in der That annehmen müssen, sobald
> sich dadurch die Erscheinungen auf einfachere Weise erklären liessen.
> .."
Riemann hat ja gar nicht geahnt, wie recht er damit hatte!
> Über die Hypothesen,...
> http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Geom/
> Und so drückt wiki dies aus:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Paralleltransport
> Das ,,Dumme" ist nur, dass Abstände als variablen Differenzen,
> diese delta's oder (x1 - x2) 's, entweder ungleich Null oder gleich
> Null sind, tertium non datur. Erst wenn sie gleich Null geworden sind
> heissen die dx und erst dann sind sie infinitesimal klein.
Na ja, man muß schon ein bißchen aufpassen, wenn man
mit "infinitesimalen" Größen argumentiert. Wie gesagt, ist das
mathematisch nicht strikt, und für mathematische Beweise muß man immer
zu den strengen Begriffen zurück (vgl. meine
Differentialgeometrie-FAQ), aber um eine Anschauung zu bilden, sind
infinitesimale Denkweisen schon erlaubt und nützlich.
> Daran gemessen war selbst Riemann noch weltoffen.
Riemann war ja auch einer der bedeutendsten Mathematiker aller Zeiten
und kein Crackpot...
Hendrik van Hees
> Was ich meine sind die Begriffe Abbildung vs. Operation, wobei
> ich nicht recht weiß, ob der zweite Begriff halbwegs paßt. Also,
Hm, ich weiß nicht so recht, wo da der Unterschied sein soll. Physiker
denken gerne Abbildungen als Operatoren, die auf irgendwelche andere
mathematische Konstrukte wirken. Meistens sind lineare Operatoren auf
bestimmten Vektorräumen (meist Banach- oder Hilberträume oder
endlichdimensionale Vektorräume über R oder C) gemeint.
>
> Abbildungen bilden ein /absolutes/ Urbild ab, ohne es irgendwie
> anzutasten, dagegen ist Zweck einer Operation, ein Objekt, also
> etwas das den Status eines solchen Urbildes hat, zu modifizieren.
Operatoren sind Abbildungen, wie gesagt meist auf einen bestimmten
Kontext eingeschränkt (z.B. Endomorphismen oder gar Automorphismen auf
Hilberträumen in der Quantenmechanik oder Differentiationsoperatoren
auf Funktionenräumen in der Feldtheorie usw.).
Rudi Menter
> Rudi Menter wrote:
>
>> Was ich meine sind die Begriffe Abbildung vs. Operation, wobei
>> ich nicht recht weiß, ob der zweite Begriff halbwegs paßt. Also,
>
> Hm, ich weiß nicht so recht, wo da der Unterschied sein soll. Physiker
> denken gerne Abbildungen als Operatoren, die auf irgendwelche andere
> mathematische Konstrukte wirken.
Habe bloß gemeint, daß, besonders im didaktischen Zusammenhang, aber
auch z.B. in der 'ganz modernen' theoretischen Physik, vielleicht
die Gefahr gar nicht mehr bewußt wird, daß etwa ein Körper identisch
dieser Körper bleibt, der a) wenn auch deformiert gesehen werden kann
selbst nicht deformiert wurde, oder b) durch Einwirkung von Kräften
selbst verändert wird und in beiden Fällen ist die Mathematik gleich...
fg
--
Rudi Menter
> Rudi Menter wrote:
>
>> Was ich meine sind die Begriffe Abbildung vs. Operation, wobei
>> ich nicht recht weiß, ob der zweite Begriff halbwegs paßt. Also,
>
> Hm, ich weiß nicht so recht, wo da der Unterschied sein soll. Physiker
> denken gerne Abbildungen als Operatoren, die auf irgendwelche andere
> mathematische Konstrukte wirken.
Habe bloß gemeint, daß, besonders im didaktischen Zusammenhang, aber
auch z.B. in der 'ganz modernen' theoretischen Physik, vielleicht
die Gefahr gar nicht mehr bewußt wird, daß etwa a) ein Körper identisch
dieser Körper bleibt, der wenn auch deformiert projeziert gesehen werden
kann selbst aber nicht deformiert wurde, oder b) durch Einwirkung von
Kräften tatsächlich selbst verändert wird, aber in beiden Fällen ist
u.A. die Mathematik gleich...
fg
--
kilian heckrodt
Das sehe ich nicht ganz so bzw. mir ging es um einen anderen
Gesichtspunkt. Natuerlich kann man prinzipiell mit jedem Axiomensystem
solange es nicht inkonsistent ist Mathematik machen, aber genau das wird
in der Realitaet eben meist nicht gemacht. Sondern es werden gezielt
bestimmte Axiome gewaehlr und nicht irgendwelche. Weder bei Euklid noch
in anderen Geometrien sind die Axiome beliebig gewaehlt.Dasselbe gilt
auch fuer die meisten anderen Axiomensysteme, ZFC, Algebra, reelle
Zahlen etc ..).
Florian Schmidt
>> Aber wenn ich das richtig sehe ist doch jedes in der riemannschen
>> Geometrie konkrete gegebene Dreieck (also mit festen Seitenlaengen
>> a,b,c) nicht infinitesimal und amit ist seine Winkelsumme < Pi.
>
> oder größer pi (wie das Beispiel der sphärischen Geometrie zeigt).
>
> Mathematisch korrekt formuliert, besagt die Definition des Riemannschen
> Raumes nur, daß dieser Raum
>
> (a) eine (hinreichend oft) differenzierbare Mannigfaltigkeit ist, für
> die
>
> (b) der Tangentialraum in jedem Punkt die Struktur eines Euklidischen
> Vektorraumes besitzt (=>Existenz einer Metrik) und
>
> (c) eine torsionsfreie affine Konnexion besitzt, die mit der Metrik
> verträglich ist
>
> Aus (c) folgt die affine Konnexion eindeutig aus der Metrik.
>
> In der sphärischen Geometrie ist der Exzeß, also die Abweichung der
> Winkelsumme in einem sphärischen Dreieck von pi proportional zur Fläche
> dieses Dreiecks. Läßt man das Dreieck immer kleiner werden, nähert sich
> die Winkelsumme im Limes beliebig kleiner Flächen daher pi. Mehr wollte
> ich nicht sagen.
>
> Ich denke allerdings, daß das eigentlich bei jedem Riemannschen Raum so
> sein müßte, nur daß eben die Abweichung i.a. wohl nicht mehr so einfach
> mit der Fläche des Dreiecks korreliert sein dürfte. Ich muß mal näher
> darüber nachsinnen (unterm Weihnachtsbaum vielleicht ;-)).
Soweit ich das weiss, ist die Proportionalitaet der Abweichung der
Winkelsumme von PI zu der Flaeche des Dreiecks nur in einer sphaerischen
Geometrie (mit konstanter Kruemmung) immer gegeben (ich meine mich zu
erinnern, das im Penrose gelesen zu haben).
Und bei einer hyperbolischen Geometrie mit konstanter Kruemmung koennte ich
mir vorstellen, dass die Abweichung von pi ungekehrt proportional zur
Flaeche des Dreiecks ist (rein intuitiv, handwedlerisch und vollkommen
unmathematisch geraten).
Gruss,
Flo
--
Palimm Palimm!
http://tapas.affenbande.org
Hendrik van Hees
> Das sehe ich nicht ganz so bzw. mir ging es um einen anderen
> Gesichtspunkt. Natuerlich kann man prinzipiell mit jedem Axiomensystem
> solange es nicht inkonsistent ist Mathematik machen, aber genau das
> wird in der Realitaet eben meist nicht gemacht. Sondern es werden
> gezielt bestimmte Axiome gewaehlr und nicht irgendwelche. Weder bei
> Euklid noch in anderen Geometrien sind die Axiome beliebig
> gewaehlt.Dasselbe gilt auch fuer die meisten anderen Axiomensysteme,
> ZFC, Algebra, reelle Zahlen etc ..).
Nach welchen Kriterien sind denn die Axiomensysteme gewählt? Freilich
existiert die Mathematik nicht ganz im luftleeren Raum der puren
Gedanken, sondern ist durch die Beobachtung inspiriert. Es ging mir nur
ums Prinzip. Mathematik braucht sich eben (im Prinzip) gerade nicht
darum zu kümmern, ob ihre Konstrukte irgendwie die Wirklichkeit
beschreiben. Gleichwohl bekommen Mathematiker natürlich ihre Ideen u.a.
durch Problemstellungen aus der Praxis des täglichen Lebens: Die
Euklidsche Geometrie z.B. aus der Erfordernis, ordentliche
Landvermessung zu betreiben, also wie mißt man Flächen und Längen und
dgl. ordentlich oder aus der Wirtschaft (Zinsrechnung, lineare
Optimierung und dgl. mehr) oder eben aus den Naturwissenschaften,
namentlich der Physik (Hydrodynamik, Elektrodynamik <-> Vektoranalysis,
Quantentheorie <-> Theorie der Distributionen auf Hilberträumen, rigged
Hilbert spaces usw. usw.).
Hendrik van Hees
> Soweit ich das weiss, ist die Proportionalitaet der Abweichung der
> Winkelsumme von PI zu der Flaeche des Dreiecks nur in einer
> sphaerischen Geometrie (mit konstanter Kruemmung) immer gegeben (ich
> meine mich zu erinnern, das im Penrose gelesen zu haben).
>
> Und bei einer hyperbolischen Geometrie mit konstanter Kruemmung
> koennte ich mir vorstellen, dass die Abweichung von pi ungekehrt
> proportional zur Flaeche des Dreiecks ist (rein intuitiv,
> handwedlerisch und vollkommen unmathematisch geraten).
Hm, man müßte es aber beweisen können.
Hero
> >>> Der Unterschied liegt in der Definition des Wortes ,,Gerade"
> >>> Hilbert's Axiom kann negiert werden.
> >>> Euklids Postulat ist bisher nie erfolgreich negiert worden( für
> >>> Geraden, die Geodäten sind mit Krümmung Null).
> >> Das macht aus meiner Sicht keinen Sinn. Wenn Du mit Euklid direkt
> >> argumentierst, dann kannst du den Begriff Kruemmung nicht verwenden, da
> >> dieser Euklid ueberhaupt nicht zur Verfuegung stand.
> >>
> > Okay, der Hinweis auf Krümmung sollte Euklid's Geraden in heutiger
> > Sprache beschreiben.
> Das ist schon klar und ist auch sinnvoll, aber mit diesen zusaetzlichen
> Beschreibungen forderst du eben implizit die Gueltigkeit des
> Parallenaxioms. Und wenn du das Parallelenaxiom implizit als richtig
> voraussetzt kann es natuerlich nicht widerrlegen (sofern das
> Axiomensystem nicht inkonsistent ist)
Falsch:
Euklid Postulat 2:
Gefordert soll sein:
2.Daß man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade
verlängern kann.
Dies ist ein vom 5.Postulat (Parallelenaxiom) unabhängiges Postulat.
http://www.tu-berlin.de/fb1/AGiW/Auditorium/BAntWiss/SO3/Euklid.htm
Kann man Grosskreise auf einer Kugelfläche verlängern? Kann man die
Kreise auf dem Hyperboloid verlängern? Nein, also sind sie keine
geraden Linien.
kilian schrieb:
>
> Aber der Geradenbegriff kann (und wurde historisch) aber eben auch in
> der absoluten Geometrie _ohne_ den impliziten Rueckgriff auf das
> Parallenaxiom gebildet werden.
Von Euklid auch.
Hero schrieb:
> > Formulier es so:
> > Euklid's Definitionen und Postulate liefern andere Geraden als Hilberts
> > "euklidische Geometrie"
kilian antwortete:
>
> Nein, das tun sie eben _nicht_. Die verschiedenen Varianten fuer das
> Parallelenaxiom sind aequivalent und liefern diesselbe Geometrie.
> Die Hilbert'sche Formulierung uebersetzt die Euklidsche Formulierung nur
> in eine moderne (sprich adaequatere) Sprache.
An anderer Stelle schreibt kilian:
> Es ist aber sinnlos diese Eigenschaften nachtraeglich in den
> Geradenbegriff als definierende Eigenschaften mit hineinbasteln und dann
> zu sagen, füer solche Geraden kann das Parallelaxiom nicht negiert werden.
> Natuerlich kann es das dann nicht (da es implizit bereits vorausgesetzt
> wird).
> Der Witz ist ja mit einen Geradenbegriff aus der absoluten Geometrie (in
> der nur ersten 4 Axiome gelten) zu arbeiten. Genau das ist ja in der
> historischen Entwicklung des Begriffes ja gemacht worden, wobei sich der
> Geradenbegriff dann spaeter im Hinblick auf endliche Geometrien noch
> weiter verallgemeinert hat.
Und was wurde aus dem 2. Postulat (Axiom) von Euklid?
Mit freundlichen Grüssen
Hero
Rainer Rosenthal
> Kann man Grosskreise auf einer Kugelfläche verlängern?
Ja, wenn man es ganz langsam macht :-)
Gruss und FW
Rainer
____________________________________________
Rainer Rosenthal r.ros...@web.de
kilian heckrodt
Das interspretierst du falsch.
Das Axiom besagt, das man ein eine Strecke in eine Gerade erweitern kann
(oder auch as durch 2 Punkte genau eine Gerade geht, auf der die
kuerzeste Verbindung der 2 Punkte liegt).
Auf der Kugel ist die Strecke zwischen 2 Punkten nun das ein
Grosskreissegment, dass sie natuerlich in den zugehörigen (eindeuting
bestimmten) Grosskreis verlängern lässt.
Eulid's 2-tes Postulat ist also erfüllt.
Nichts - es gilT in jeer Erweiterung der absoluten Geometrie und
natuerlich auch in der Kigelgeometrie (siehe oben).
>
> Mit freundlichen Grüssen
> Hero
>