Hummingbird Problem

[Alfred Flaßhaar]

Hallo in die Runde,

zu o. g. Betreff las ich eine recht anspruchsvolle Mathcad-Lösung ohne
Aufgabenstellung. Vermutlich ist das ein Klassiker, den ich nicht kenne
:-( . Was steckt dahinter?

Freundliche Grüße, Alfred Flaßhaar

[Carlo XYZ]

Alfred Flaßhaar schrieb am 17.12.21 um 16:37:

> zu o. g. Betreff las ich eine recht anspruchsvolle Mathcad-Lösung ohne
> Aufgabenstellung. Vermutlich ist das ein Klassiker, den ich nicht kenne
> :-( . Was steckt dahinter?

Kolibri. Wenn mich nicht alles täuscht, handelt es sich
um das unappetitliche Problem: Zwei Züge fahren aus zwei
Städten A und B mit Geschwindigkeiten x bzw y aufeinander
zu, während ein Kolibri mit Geschwindigkeit z zwischen den
beiden "Zugspitzen" hin und her fliegt. Welche Flugstrecke
ist ihm vergönnt, bevor er zerquetscht wird, wenn d die
Entfernung zwischen A und B ist?

[Stephan Gerlach]

Carlo XYZ schrieb:

Wenn ich mich nicht verrechnet habe und s_z die (gesamte) Flugstrecke
des Vogels ist:

s_z = d * z / (x + y)

Trick: Physikalisch denken, dann wird die Lösung relativ einfach.

Die "ehrliche" mathematische Lösung über (vermutlich; habe das nicht
genau durchdacht) geometrische Reihen sollte dieselbe Lösung liefern.

--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

[Alfred Flaßhaar]

Am 18.12.2021 um 01:50 schrieb Stephan Gerlach:
> Carlo XYZ schrieb:
>> Alfred Flaßhaar schrieb am 17.12.21 um 16:37:
>>

(...)

Gemäß dem ohne Aufgabenstellung voliegenden Lösungsweg ist das zu
vermuten. Der Haken an der Sache ist, das Problem ist nicht
eindimensional: In der Lösung werden mehrere Vögel im Raum beschrieben.
Was ist es, das die Welt der Vögel immer kleiner werden läßt, bis sie
zerquetscht werden und unerwartet ein definierter längster Flugweg sich
ergibt?

Wochenend- und Adventgruß, Alfred Flaßhaar

[Ralf Goertz]

Am Sat, 18 Dec 2021 01:50:44 +0100
schrieb Stephan Gerlach <mam9...@t-online.de>:

> Carlo XYZ schrieb:
> > Alfred Flaßhaar schrieb am 17.12.21 um 16:37:
> >
> >> zu o. g. Betreff las ich eine recht anspruchsvolle Mathcad-Lösung
> >> ohne Aufgabenstellung. Vermutlich ist das ein Klassiker, den ich
> >> nicht kenne :-( . Was steckt dahinter?
> >
> > Kolibri. Wenn mich nicht alles täuscht, handelt es sich
> > um das unappetitliche Problem: Zwei Züge fahren aus zwei
> > Städten A und B mit Geschwindigkeiten x bzw y aufeinander
> > zu, während ein Kolibri mit Geschwindigkeit z zwischen den
> > beiden "Zugspitzen" hin und her fliegt. Welche Flugstrecke
> > ist ihm vergönnt, bevor er zerquetscht wird, wenn d die
> > Entfernung zwischen A und B ist?
>
> Wenn ich mich nicht verrechnet habe und s_z die (gesamte) Flugstrecke
> des Vogels ist:
>
> s_z = d * z / (x + y)
>
> Trick: Physikalisch denken, dann wird die Lösung relativ einfach.
>
> Die "ehrliche" mathematische Lösung über (vermutlich; habe das nicht
> genau durchdacht) geometrische Reihen sollte dieselbe Lösung liefern.

Ich kenne das Problem in einer ähnlichen Fassung, nämlich der des
Jägers, der mit 5km/h zwei Stunden lang zu seiner entfernten Jagdhütte
unterwegs ist und dabei von seinem doppelt so schnell laufenden Hund
beigleitet wird, der ständig zwischen Jäger und Hütte hin und
herläuft. Zwar ist hier die Hütte stationär, dafür wird aber der Hund
nicht zerquetscht. Auch hier ist die Lösung für die vom Hund gelaufene
Strecke einfach (wahrscheinlich noch einfacher), denn der Jäger ist
offensichtlich 10km unterwegs, also der Hund die doppelte Strecke von
20km. Die Geschichte dazu ist aber eigentlich, dass diese Aufgabe einem
berühmten Mathematiker/Physiker X bei einem Spaziergang gestellt wurde
(ich weiß nicht mehr wem). X wusste die Antwort und der Fragende sagt
daraufhin sinngemäß, dass manche langwierig mit Reihen zu hantieren
anfingen, woraufhin X verwundert antwortet, dass er genau das getan
hätte.

[Stefan Schmitz]

Am 18.12.2021 um 10:09 schrieb Ralf Goertz:

> Ich kenne das Problem in einer ähnlichen Fassung, nämlich der des
> Jägers, der mit 5km/h zwei Stunden lang zu seiner entfernten Jagdhütte
> unterwegs ist und dabei von seinem doppelt so schnell laufenden Hund
> beigleitet wird, der ständig zwischen Jäger und Hütte hin und
> herläuft. Zwar ist hier die Hütte stationär, dafür wird aber der Hund
> nicht zerquetscht. Auch hier ist die Lösung für die vom Hund gelaufene
> Strecke einfach (wahrscheinlich noch einfacher), denn der Jäger ist
> offensichtlich 10km unterwegs, also der Hund die doppelte Strecke von
> 20km. Die Geschichte dazu ist aber eigentlich, dass diese Aufgabe einem
> berühmten Mathematiker/Physiker X bei einem Spaziergang gestellt wurde
> (ich weiß nicht mehr wem). X wusste die Antwort und der Fragende sagt
> daraufhin sinngemäß, dass manche langwierig mit Reihen zu hantieren
> anfingen, woraufhin X verwundert antwortet, dass er genau das getan
> hätte.

Wie sieht denn die Reihe aus?

Der Hund läuft erst eine Stunde bis zur Hütte und legt dabei 10km
zurück. In der Zeit hat der Jäger 5 km zurückgelegt. Dann dreht er um
und beide laufen mit 15 km/h aufeinander zu. Sie treffen sich also nach
weiteren 1/3 Stunden. In der Zeit hat der Hund 10/3 km zurückgelegt, die
er auch wieder in Gegenrichtung läuft, also 20/3 km bis zur zweiten
Ankunft bei der Hütte.

Anscheinend eine geometrische Reihe mit 10 * SUMME_n (2/3)^n.
Die konvergiert aber gegen 30 und nicht gegen 20.
Wo ist mein Denkfehler?

[Pether Hubert]

Am 18.12.21 um 11:13 schrieb Stefan Schmitz:

Ohne nachgerechnet zu haben, würde ich spontan vermuten, Du hast die
Reihe beim Index 0 starten lassen, hättest aber bei 1 starten sollen.
Das ist bei solchen Reihenaufgaben oft das erste, was man checken
sollte, wenn das Ergebnis nicht paßt.

Ciao
Pether

[Ganzhinterseher]

10 + 20(1/3 + 1/9 + 1/27 + ...) = 10 + 20*(3/2 - 1)= 20

Gruß, WM

[Alfred Flaßhaar]

Am 18.12.2021 um 11:52 schrieb Pether Hubert:
> Am 18.12.21 um 11:13 schrieb Stefan Schmitz:
>> Am 18.12.2021 um 10:09 schrieb Ralf Goertz:
>>

(...)

Durch elendes Rückwärtsrechnen habe ich nun die Aufgabenstellung
rekonstruieren können: Analog zur Aufgabe, wo Mäuse in Quadratecken
starten und aufeinanderzu laufen, starten nun in den vier Ecken eines
regelmäßigen Einheitstetraeders Humming Birds und fliegen mit beliebig
gewählter Startrichtung aber gleichem Geschwindigkeitsbetrag und stets
aufeinander zu. Berechnet wird die Weglänge bis zum Treffpunkt.

Freundliche Grüße, Alfred Flaßhaar

[Rainer Rosenthal]

Am 18.12.2021 um 18:05 schrieb Alfred Flaßhaar:
>
> Durch elendes Rückwärtsrechnen habe ich nun die Aufgabenstellung
> rekonstruieren können: Analog zur Aufgabe, wo Mäuse in Quadratecken
> starten und aufeinanderzu laufen, starten nun in den vier Ecken eines
> regelmäßigen Einheitstetraeders Humming Birds und fliegen mit beliebig
> gewählter  Startrichtung aber gleichem Geschwindigkeitsbetrag und stets
> aufeinander zu. Berechnet wird die Weglänge bis zum Treffpunkt.
>

Hallo Alfred,

Beim Quadrat ABCD heißt "stets aufeinander zu":
A hat immer B im Visier,
B hat immer C im Visier,
C hat immer D im Visier,
D hat immer A im Visier.

Man könnte also genausogut sagen: sei laufen "stets voneinander weg".
Wesentlich ist aber das Zyklische der Bewegungsrichtungen:
A -> B -> C -> D -> A

Beim Tetraeder darf meiner Meinung nach ebenfalls nicht mit "beliebiger"
Startrichtung gestartet werden, sondern die Ecken A, B, C, D sollen
ebenfalls nach diesem Schema verlassen werden.

Ich habe mich mit Logik (weil ich elend schwach im Integrieren bin) an
das Quadrat-Problem gemacht, indem ich vom Quadrat--Zentrum aus die
Mäusejagd verfolgt habe und dabei beachtet habe, dass sie zwar auf
krummer Bahn laufen, dass sie aber stes ein (kleiner werdendes) Quadrat
bilden. Mitr simpler geometrischer Reihe habe ich ihre Weglängen addiert
und nach Grenzübergang das erstaunliche Resultat gehabt, dass jede Maus
genau so viel Weg zum Treffpunkt im Zentrum zurückgelegt hat, wie eine
Quadratseite lang ist. Misstrauisch habe ich gegoogelt und habe mein
Ergebnis bestätigt bekommen.

Ich nenne Dir zwei Links, die Dir sicher gefallen werden. im ersten habe
ich das Ergebnis als Spezialfall n = 4 für n-Ecke gefunden. Die Länge
wird darin hergeleitet als L_n = s / (1 - cos(2*Pi/n)), d.h. L_4 = s.
https://homepage.univie.ac.at/christian.schmeise/Verfolgungsprobleme.pdf

Der andere Link der ETH Zürich hat gleich zu Anfang einen hübschen
Holzschnitt von 1531, der diese Aufgabe bebildert:
https://ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/dual/educeth-dam/documents/Unterrichtsmaterialien/mathematik/gruene-berichte
/verfolgungsprobleme.pdf

Mit etwas mehr Zeit und Interesse würde ich mir sogar zutrauen, mit
gleicher trickreicher zu-Fuß-Rechnung die Kolibris auf ihren ruckweise
zusammenschnurrenden konzentrischen Tetraedern vom Tetraeder-Zentrum aus
zu beobachten und mit geometrischer Reihe ihre Weglängen zusammenzählen
und dann mit Grenzübergang die Ruckelei stetig machen. Große Worte -
keine Taten :-)

Liebe Grüße,
Rainer

[Stephan Gerlach]

Ralf Goertz schrieb:

Jetzt, wo du das schreibst, meine ich mich dunkel zu erinneren, die
Aufgabe in *dieser* Form (Jäger + Hund) schonmal gehört zu haben,
vermutlich im Studium.

> Zwar ist hier die Hütte stationär, dafür wird aber der Hund
> nicht zerquetscht. Auch hier ist die Lösung für die vom Hund gelaufene
> Strecke einfach (wahrscheinlich noch einfacher), denn der Jäger ist
> offensichtlich 10km unterwegs, also der Hund die doppelte Strecke von
> 20km. Die Geschichte dazu ist aber eigentlich, dass diese Aufgabe einem
> berühmten Mathematiker/Physiker X bei einem Spaziergang gestellt wurde
> (ich weiß nicht mehr wem). X wusste die Antwort und der Fragende sagt
> daraufhin sinngemäß, dass manche langwierig mit Reihen zu hantieren
> anfingen, woraufhin X verwundert antwortet, dass er genau das getan
> hätte.

Die Geschichte mit dem X war mir jetzt hingegen neu.

[Alfred Flaßhaar]

Am 18.12.2021 um 22:14 schrieb Rainer Rosenthal:
> Am 18.12.2021 um 18:05 schrieb Alfred Flaßhaar:
>>

(...)

>
> Beim Tetraeder darf meiner Meinung nach ebenfalls nicht mit "beliebiger"
> Startrichtung gestartet werden, sondern die Ecken A, B, C, D sollen
> ebenfalls nach diesem Schema verlassen werden.
>

(...)

Das Interessante der Aufgabe ist, daß jeder Kolibri sich beim Startschuß
einen Kumpel dauerhaft auswählt, den er verfolgen will. Er hat also die
einmalige Auswahl zwischen drei Mitfliegern. Eine sinngemäße
Orientierung des "Drehsinns" wie bei der Mäuseaufgabe ist beim
Tetraedermodell nicht vorausgesetzt.

Morgengruß zum Advent, Alfred

[Rainer Rosenthal]

Am 19.12.2021 um 06:23 schrieb Alfred Flaßhaar:
>
> Das Interessante der Aufgabe ist, daß jeder Kolibri sich beim Startschuß
> einen Kumpel dauerhaft auswählt, den er verfolgen will. Er hat also die
> einmalige Auswahl zwischen drei Mitfliegern. Eine sinngemäße
> Orientierung des "Drehsinns" wie bei der Mäuseaufgabe ist beim
> Tetraedermodell nicht vorausgesetzt.
>

Hallo Alfred,

das glaube ich Dir nicht. In beiden Aufgaben sind 4 Kolibris oder
anderes Bewegliches aus dem Tierreich beteiligt: A, B, C, D.
Sie sind räumlich verteilt und könnten sich auch beim Quadrat aussuchen,
wem sie nachlaufen sollen. Dann bekommt auch die Quadrat-Aufgabe eine
vielleicht interessante Variante (aber s.u.).

In der Tetraeder-Aufgabe könnte man natürlich A -> B -> C -> A im
Dreieck kreisen lassen, aber was soll D dann tun? D muss sich eins
dieser drei Etwasse aussuchen und ihm nachrennen. Solche Varianten sind
nicht besonders prickelnd, oder?
Noch schlimmer wäre A -> B -> A zusammen mit C -> D -> C. Da rennen dann
die Pärchen aufeinander zu und *batsch* kleben sie nach der Weglänge s/2
zusammen. Das soll interessant sein?

Schönen Sonntag,
Rainer

[Rainer Rosenthal]

Am 19.12.2021 um 02:10 schrieb Stephan Gerlach:
>
> Die Geschichte mit dem X war mir jetzt hingegen neu.
>

Weil ich weiß, dass es sich um John von Neumann handelt, konnte ich es
schnell im Web finden:

Wenn man ihm ein Problem stellte, während er stand, begann
Johnny in einem gewissen Stadium von einem Fuß auf den anderen zu
tänzeln. Diese Angewohnheit führte auf seinen überfüllten Cocktailparties
nicht nur zu einigen verschütteten Drinks, sie gehört auch zu einer der
besten Stories über ihn - seiner Reaktion auf das Fliegenproblem: Zwei
Radfahrer, zwanzig Meilen voneinander entfernt, fahren heide mit einer
Geschwindigkeit von 10 Meilen pro Stunde aufeinander zu. Gleichzeitig
startet eine Fliege mit einer Geschwindigkeit von 15 Meilen pro Stunde
vom Vorderrad des nach Norden fahrenden Fahrrads. Sie landet auf dem
Vorderrad des nach Süden fahrenden Fahrrads, dreht sich dann sofort um
und fliegt wieder zurück, landet, kehrt sofort um usw. Frage: Wie groß ist
die Gesamtstrecke, die die Fliege zurücklegt, bevor sie zwischen den
bei den Vorderrädern zerquetscht wird?
Die langsame Art und Weise, um zu einer Antwort zu gelangen,
besteht darin, die Entfernung zu berechnen, die die Fliege auf ihrem ersten
Trip zum südwärts fahrenden Rad zurücklegt, dann die Entfernung, die sie
auf ihrem nächsten Trip zum nordwärts fahrenden Rad zurücklegt, und
schließlich die unendliche Reihe, die man so erhält, aufzusummieren. Es
ist erstaunlich, wieviel Mathematiker sich dazu verleiten lassen, diese
lange Berechnung anzustellen. Der kurze Weg zur Antwort besteht darin,
sich klarzumachen, daß die beiden Räder genau eine Stunde nach dem Start
aufeinandertreffen, ein Zeitraum, in dem die Fliege mit ihrer
Durchschnittsgeschwindigkeit von 15 Meilen pro Stunde genau 15 Meilen
zurückgelegt haben muß. Als man Johnny die Frage stellte, begann er wie
üblich zu tänzeln und antwortete sofort: «15 Meilen.» «Oh, Sie kennen den
Trick bereits», meinte der Fragesteller enttäuscht. «Was für einen Trick?»
fragte Johnny erstaunt zurück. «Ich habe einfach die unendliche Reihe
aufsummiert.» Es sei hinzugefügt, daß Johnny, als man ihn später mit der
Geschichte aufzog, meinte, die Zahlen, die man ihm tatsächlich genannt
habe, seien nicht so einfach gewesen.

Quelle:
https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2F978-3-0348-6064-2.pdf

Gruß und schönen Sonntag,
Rainer

[Ralf Goertz]

Am Sun, 19 Dec 2021 10:41:53 +0100
schrieb Rainer Rosenthal <r.ros...@web.de>:

> Am 19.12.2021 um 02:10 schrieb Stephan Gerlach:
> >
> > Die Geschichte mit dem X war mir jetzt hingegen neu.
> >
>
> Weil ich weiß, dass es sich um John von Neumann handelt, konnte ich
> es schnell im Web finden:

Richtig, von Neumann, danke!

Interessant. Ich bin sicher, die Jägervariante gehört zu haben (wobei
die Entfernungen und Geschwindigkeiten andere gewesen sein mögen).

> Quelle:
> https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2F978-3-0348-6064-2.pdf

Oh, jetzt habe ich auch eine Quelle gefunden (Seite 2):

<https://bildungsverlag-lemberger.at/pdf_muster/978-3-7098-1778-0_M.pdf>

Und sogar die 2 Stunden und 5km/h stimmen!

[Alfred Flaßhaar]

Am 19.12.2021 um 10:34 schrieb Rainer Rosenthal:
> Am 19.12.2021 um 06:23 schrieb Alfred Flaßhaar:
>>

(...)

> Noch schlimmer wäre A -> B -> A zusammen mit C -> D -> C. Da rennen dann
> die Pärchen aufeinander zu und *batsch* kleben sie nach der Weglänge s/2
> zusammen. Das soll interessant sein?
>

Wenn Du die Sache so siehst... Dann werde ich mal im Lösungsweg nach
einer versteckten Voraussetzung suchen, die das ausschließt.

Ursprünglich hatte mich die Aufgabe interessiert, weil offensichtlich
ein Mathcad-Profi das gemacht hat. Von seinen Methoden wollte ich mir
etwas abgucken. Aber nun wird es anstrengend.

Gruß, Alfred

[Alfred Flaßhaar]

Am 19.12.2021 um 11:28 schrieb Alfred Flaßhaar:
> Am 19.12.2021 um 10:34 schrieb Rainer Rosenthal:
>> Am 19.12.2021 um 06:23 schrieb Alfred Flaßhaar:
>>>
> (...)
>

Jetzt habe ich es wohl gefunden. Die Voraussetzung war heimtückisch in
der Wahl eines tetraederbezogenen Koordinatensystems versteckt, das
mitfliegt. Demnach fliegen die Vögel so, daß ihre Position zu jedem
Zeitpunkt Tetraederecken sind. Da es vier Vögel sind gibt es zu jedem
Zeitpunkt vier Flugrichtungen in Kantenrichtung. Zwei Kanten bleiben als
Flugrichtung ungenutzt. Das ist nur möglich, wenn die beflogenen Kanten
einen geschlossenen Polygonzug bilden. Projiziert man das Tetraeder
geeignet auf eine Koordinatenebene, bilden die beflogenen Kanten ein
Quadrat und die nichtbeflogenen Kanten werden als Quadratdiagonalen
abgebildet.

Adventgruß, Alfred

p. s.
Es ist schon anstrengend, zu einem Lösungsweg die Aufgabenstellung zu
rekonstruieren. Das erinnert an eine alte Anekdote, wo jemandem
vorgeworfen wird: Wenn ein Problem zu lösen ist, findest Du immer die
schlechteste Lösung. Antwortet der Beschuldigte: Dann suche doch zu
meiner Lösung _das_ Problem, was dadurch am besten gelöst wird.

[Juergen Ilse]

Hallo,

MEiner Ansicht nach ist die einfachste Loesung nicht das aufsummmieren
der jeweiligen Strecken, die der Vogel zuruecklegt, sondern die BErechnung
der Zeit bis zum zerquetschen des Vogels. Wenn man die Zeit und die Ge-
schwindigkeit des vogels kennt, ist die Flugstreccke des vogels trivial
berechenbar ...

Tschuess,
Juergen Ilse (jue...@usenet-verwaltung.de)

[Alfred Flaßhaar]

Am 19.12.2021 um 16:26 schrieb Alfred Flaßhaar:
> Am 19.12.2021 um 11:28 schrieb Alfred Flaßhaar:
>> Am 19.12.2021 um 10:34 schrieb Rainer Rosenthal:
>>> Am 19.12.2021 um 06:23 schrieb Alfred Flaßhaar:
>>>>
>> (...)
>>

Nun habe ich die Aufgabe und ihre Lösung vollständig rekonstruieren
können und leicht verständlich überarbeitet. Bei Interesse versende ich
dies gern als email-Antwort mit html- und zip-Anhang (wegen der Bilder
im Lösungsweg).

Sonntagsgruß, Alfred Flaßhaar